1

Faire des maths en s'amusant : On peut faire (et mme commencer faire) des mathmatiques avec plaisir, tout ge, quelles que soient ses connaissances dans ce domaine !

Objectifs : Les mathmatiques sont souvent une matire mal reue. Il s'agit d'en faire

dcouvrir une nouvelle image, en insistant sur l'approche ludique, le ct plaisant; d'en donner une vision plus dynamique, interactive.

Il s'agit de dvelopper une relle activit mathmatique : inciter les visiteurs exprimenter, inventer, oser des combinaisons, s'interroger et comprendre en manipulant.

Tout en faisant appel aux sens (toucher, vue), provoquer des questions; les rponses, les approfondissements peuvent tre donns diffrents niveaux.

Favoriser la construction d'images mentales par la manipulation. S'amuser !

Prsentation de la malle: Une dizaine d'ateliers, rpartir sur des tables. Les panneaux explicatifs sont sur un

support vertical de dimensions rduites ou bien incorpores au jeu. L'accent est mis sur le matriel de jeu, abondant, divers, et color (trs important).

La plupart des jeux ont t tests lors de deux expositions : - pour "La Science en Fte 1993" pendant 2 semaines au Centre de Rencontre

de la Grce de Dieu Caen - durant tout le mois de janvier 1994 la Bibliothque Municipale de Caen.

Pour quel public? L'exposition ne demande aucune connaissance pralable: les jeux ne font appel qu'

la rflexion, la logique, l'imagination, l'envie de jouer... Les problmes sont accessibles : les noncs sont faciles comprendre par tous. La

thorie sous-jacente, non dtaille, peut tre complexe, mais il s'agit ici de manipuler, et la manipulation aboutit.

On peut dire que cette exposition s'adresse aux lves de primaire et de collge,

mais de plus jeunes peuvent trouver des ateliers qui les attirent, de mme que les lycens, les tudiants et les adultes. Chaque activit permet plusieurs niveaux de jeu, avec indication de la gradation des difficults. Cette exposition trouve aussi sa place dans les centres socio-culturels, les MJC, les bibliothques. Dans cette exposition, trs varie, tout ne s'adresse pas tout le monde, mais chacun peut trouver des activits qui devraient lui donner le got d'accrotre ou approfondir ses connaissances.

2

Exposition itinrante: Liste des ateliers et manipulations associes.

Description du matriel et des jeux proposs. Atelier n1 : Somme de puissances.

Matriel : cinq puzzles plans dans leur support, chacun de couleur diffrente. Pour chacun des puzzles n 1 4, les morceaux permettent de reconstituer un seul carr ou bien deux autres plus petits (Pythagore). Pour le puzzle n5, avec les morceaux on peut faire un carr ou bien un octogone rgulier. Matriel : Huit pices de bois formes de cubes-unit (huit "polycubes"). Les huit pices peuvent tre assembles pour former un cube de ct 6 ou bien trois cubes spars de cts 3, 4 et 5 (33+43+53=63).

Atelier n2 : Puzzles plans et dans l'espace.

Dans le plan Matriel : un jeu de Tangram classique et un jeu de Tangram "uf". Construire une figure donne, gomtrique ou non, avec les pices du jeu. Pages de modles fournies. Matriel : quatre puzzles plans (n II-1 II-4), dans leur support. Les pices sont des carrs multicolores (chaque pice porte le repre du cadre auquel elle appartient). Chaque cadre doit tre rempli avec les carrs qui lui appartiennent. Plusieurs niveaux de jeu. Matriel : un puzzle toile (n II-5) dans son support. Avec les pices, on fait une grande toile ou trois petites. Matriel : trois puzzles plans (n II-6, II-7, II-8),dans leur support, chacun de couleur diffrente. Pour chacun de ces puzzles, la consigne est la mme : avec les pices du puzzle, on peut reconstituer diffrentes figures (qui auront donc la mme aire). Matriel : deux puzzles plans (II-9 et II-10), dans leur support. Puzzle de Lewis Carroll (II-9): en disposant les pices de deux faons diffrentes, on obtient un carr ou un rectangle et surprise....les deux figures n'ont pas la mme aire ! Puzzle des lapins de Paul Curry (II-10): en disposant les pices de deux faons diffrentes, on obtient dans chaque cas un rectangle mais ...un lapin a disparu !!!

3

Dans l' espace: Matriel : - un grand cube de bois de ct 22cm dans un contenant transparent. Le cube est

dcoup en neuf ttradres. - un jeu Soma c'est--dire sept pices de bois constitues de petits cubes-unit (6

"ttracubes" et 1 "tricube"). Dans les deux cas, le but du jeu est de reconstituer un grand cube. Dans le cas du jeu Soma, avec les sept pices de bois on peut aussi construire des structures, symtriques ou non, ou encore des objets familiers (tour, chteau, maison, etc.).

Atelier n3 : Pavages.

Matriel : un jeu de mosaque. 250 pices en plastique, couleurs et formes varies (carrs, hexagones, triangles, losanges, trapzes). Permet la construction de figures gomtriques varies, de pavages esthtiques, ainsi que l'approche de la perspective. Matriel : jeu "Scope couleur". Quatre plateaux hexagonaux en plastique, 400 trapzes en plastique de huit couleurs diffrentes et des modles reproduire. Reproduire les modles ou crer ses propres pavages en laissant libre cours son imagination.

Atelier n4 : Figures magiques.

Matriel : cinq plaques sur lesquelles sont graves les figures et les rgles du jeu; des pions numrots. Il s'agit de complter les figures dessines en posant des pions numrots sur les points afin de rendre ces figures magiques. Une figure magique est un ensemble de points relis par des lignes. On place des nombres sur ces points de telle sorte que la somme le long de chaque ligne soit la mme. Les figures magiques ici sont : toile, triangle, carr, rosace.

Atelier n5 : Jeux d'allumettes.

Matriel : cinq plaques sur lesquelles sont gravs les textes et les configurations de dpart des "allumettes". Des btonnets en forme d'allumettes. Disposer les allumettes comme indiqu sur la plaque. Suivre la consigne pour former une nouvelle figure.

Atelier n6 : Polydres.

Matriel : Kit CLIXI (polygones en plastique qui se "clixent" entre eux). 408 pices: rectangles, carrs, pentagones, hexagones, octogones, losanges, triangles quilatraux, isocles demi-carrs. Des modles reproduire. Les polygones permettent de construire des structures gomtriques de l'espace. On peut reproduire les solides prsents sur les modles ou bien en imaginer d'autres.

4

Atelier n7 : Rubans de Mbius et graphes. Ruban de Mbius Matriel : deux rubans en toile munis de velcro et de fermetures glissire. L'un est partag en deux suivant la ligne mdiane. Quant l'autre, deux fermetures permettent de le partager en trois bandes identiques. Pour faire des expriences avec les rubans: aprs avoir fait (ou non) subir la bande une ou plusieurs torsions, on referme l'anneau avec le velcro. Puis on le "dcoupe" avec les fermetures glissire. Les rsultats obtenus dfient l'intuition ! Graphes. Matriel : quatre plaques effaables sur lesquelles sont gravs les dessins et les textes. Feutres pour tableau. Il faudra aider le facteur organiser sa tourne, le gardien de nuit faire sa ronde, dessiner comme le paresseux "sans lever le crayon" et tracer les itinraires d'entranement de Romo et Juliette.

Atelier n8 : Triminos.

Matriel : 24 triangles quilatraux non retournables, dont les cts sont peints d'une couleur parmi quatre possibles. Deux cadres supports : un hexagonal et un paralllogramme. Avec ces 24 pices, on remplira le cadre choisi en respectant la rgle suivante: deux triangles peuvent tre juxtaposs si les cts accols sont de la mme couleur. On peut en plus imposer que le pourtour du cadre comporte une seule couleur.

Atelier n9 : Tours de Hano.

Tour de Hano bicolore : Matriel : un support avec trois tiges, trois disques rouges et trois disques blancs (diamtres 4cm, 5,5cm, 7cm). Les positions de dpart et d'arrive sont celles dessines sur le panneau et dans le livret d'accompagnement : deux tours de couleurs alternes au dpart, une tour rouge et une tour blanche l'arrive. On dplace un seul disque la fois, sans jamais placer un disque plus grand sur un disque plus petit. Effectuer le passage de la position de dpart celle d'arrive en un minimum de coups.

5

Atelier n10 : Enigmes logiques.

Le tapis en patchwork : Matriel : un cadre support 22 cm x 22 cm, 25 carrs colors (cinq de chaque couleur). Raliser un tapis sans mettre deux fois la mme couleur dans une mme ligne, dans une mme colonne ni dans une mme diagonale. Le zbre. Matriel : quatre maisons de couleurs diffrentes; douze plaques rectangulaires portant le nom d'un animal, ou d'une boisson, ou d'une nationalit; un texte donnant une liste de dix indices. Trouver qui boit de l'eau et qui appartient le zbre.

La classe. Matriel: une plaque effaable portant le texte de l'nigme et un tableau aidant la rsoudre; feutre effaable. partir d'une liste de quatre indices, trouver qui enseigne qui. Un indice est superflu. Trouver lequel.

Un livret d'accompagnement : Destin au responsable de l'exposition et aux animateurs, avec pour chaque atelier, des dtails sur le contenu mathmatique, des pistes d'approfondissement, l'indication de livres et revues de rfrence sur le sujet et les solutions dtailles des jeux.

6

Adresses utiles, rfrences bibliographiques.

Quelques adresses: APMEP Association des Professeurs de Mathmatiques de l'Enseignement Public 26 Rue Dumril 75013 Paris 01 43 31 34 05 http://www.apmep.asso.fr (Publie un bulletin et de nombreuses brochures). FFJM Fdration Franaise des Jeux Mathmatiques 8 rue Bouilloux-Lafont 75015 Paris 01 44 26 08 37 http://www.ffjm.org (Organise les championnats nationaux et internationaux de jeux mathmatiques). Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathmatiques de Basse-Normandie UFR de Sciences, Campus II Cte de Nacre, Sciences 3, Boulevard Marchal Juin 14032 Caen cedex 02 31 56 74 02 http://math.unicaen.fr/irem (Bibliothque avec de nombreux ouvrages et publications. Il existe un catalogue des publications de tous les IREM -il y a un IREM par acadmie). Editions POLE 80 Boulevard Saint Michel 75006 Paris http://poleditions.com Publie TANGENTE, HYPERCUBE. Diffuse galement de nombreux ouvrages de jeux, de culture et de matriel mathmatiques. Catalogue de la "librairie de Tangente" sur demande. Revue QUADRATURE : http://www.quadrature.info ACL, les ditions du Kangourou 12 Rue de lpe de bois 75005 Paris 01 43 31 40 30 http://mathkang.org Edite Maths et Malices et les numros spciaux "Maths pour Tous". Organise le Kangourou des Collges. Diffuse des ouvrages de culture et d'histoire des mathmatiques. Catalogue sur demande. Revues sur abonnement: HYPERCUBE (collge) Editions ARCHIMDE. TANGENTE (lyce) Editions ARCHIMDE.

7

JOUER JEUX MATHMATIQUES FFJM. MATHS ET MALICE (collge) Editions ACL. QUADRATURE (tudiants, professeurs) Editions du CHOIX. Le Jeune Archimde (anciens numros) : s'adresser aux Editions ARCHIMDE. Le Petit Archimde (Ancienne revue dite entre 1972 et 1984 par l'ADCS). Lassociation ADCS (Association pour le Dveloppement de la Culture Scientifique), cre en 1972 par Yves Roussel, a t dissoute en 2010 mais Christian Boyer a cr un site ddi ces revues (http://www.lepetitarchimede.com) qui est en cours de mise en ligne de lintgralit des numros publis. Articles, brochures, BD : Collection "Maths pour Tous" Vol 1 : Histoires de Maths; Vol 2 : Le monde des Symtries ; Vol 3 : Pythagore ; Vol 4 : La magie du Calcul, Editions ACL. Les Mathmatiques du Kangourou (Prix d'Alembert 1994), Editions ACL. Jeux du Kangourou des collges 1995, Editions ACL. Pages de jeux de certaines revues scientifiques: Science et vie Junior, Science et vie, etc... "Jeux 1", publication APMEP n44 (contient en particulier une bibliographie trs fournie pour le lancement d'un club de mathmatiques, date de 1982). "Jeux 2, Jeux et activits numriques", publication APMEP n59. "Jeux 3, Jeux pour la tte et les mains", publication APMEP n78. "Les carrs magiques", publication APMEP n10. J.P. Petit, "Le Gomtricon" (bande dessine), BELIN. Quelques livres extraits des catalogues des diteurs: Nicholas Falletta, "Le livre des paradoxes", BELFOND. Martin Gardner, "La magie des paradoxes", Bibliothque POUR LA SCIENCE, BELIN. E.P. Northtrop, "Fantaisies et paradoxes mathmatiques", DUNOD. Collectif, "Annales du championnat de jeux mathmatiques", Editions ARCHIMEDE. Yacov Perelman, "Oh, les maths!", DUNOD. Martin Gardner, "Nouveaux divertissements mathmatiques", DUNOD. Martin Gardner, "Problmes et divertissements mathmatiques", 2 tomes, DUNOD. Martin Gardner, "Les casse-tte mathmatiques de Sam Loyd",2 tomes, DUNOD. Collectif, "Les rcrations arithmtiques d'Evariste et Sophie", Editions ARCHIMEDE. Philippe Boulanger, "La fte des petits matheux", (Belin) Editions ARCHIMEDE. Marie Berrondo, "Faites vos Jeux", DUNOD. Marie Berrondo, "Gomtriquement vtre ", DUNOD. Pour la Science " La mathmatique des jeux", BELIN. Raymond Smullyan, "Le livre qui rend fou", DUNOD.

8

Raymond Smullyan, "Ca y est, je suis fou", DUNOD. Ian Stewart, "Visions gomtriques", Bibliothque Pour la Science, BELIN. Collectif, "Les Mathmatiques aujourd'hui", Bibliothque Pour la Science, BELIN. Et ceux-ci, qu'on doit trouver au fond des (bonnes) bibliothques: Aux Editions CEDIC, (aujourd'hui disparues....), Odier et Roussel, "Surprenants triangles", Collection LES DISTRACTS, n1. Holden, "Formes, espace et symtries", Collection LES DISTRACTS, n2. Meeus et Torbijn,"Polycubes", Collection LES DISTRACTS, n 4. Yacov Perelman, "La mathmatique vivante". Emma Castelnuovo, "Mathmatiques dans la ralit". Cundy et Rollett, "Modles mathmatiques". Yvon Bossard, "Rosaces, frises et pavages", 2 tomes. M. Dumont et F. Pasquis, "Mathmatiques pour la tte et les mains". F. Boule, "Mathmatiques et jeux".

Dans les pages qui suivent, chaque atelier est dcrit en dtail, avec en particulier une rubrique concernant le contenu mathmatique sous-jacent et des pistes d'approfondissement permettant d' aller (un peu) (beaucoup) (passionnment) ( la folie) ou.....(pas du tout) plus loin, au gr de l'envie du visiteur et/ou de l'animateur.

Rappelons qu'aucune connaissance spcialise n'est exige pour aborder les activits, qui ne font appel qu' la rflexion, la logique, et surtout l'envie de jouer et chercher.

9

ATELIER n1 Somme de puissances.

Contenu :

* Thorme de Pythagore a2=b2+c2 pour les puzzles plans n1 5 * 33+43+53=63 pour les cubes en bois.

Pour aller plus loin : * Les triplets pythagoriciens (trouver tous les entiers vrifiant a2=b2+c2 ) * Le thorme de Fermat (Pour n>2, il est impossible de trouver 3 entiers tous diffrents de 0 tels que xn+yn=zn) * Dcomposition d'entiers sous forme de sommes de carrs, de somme de cubes, de somme de toutes autres puissances d'entiers.

Rfrences (entre autres ) : * Pour le Thorme de Pythagore:

Revue Tangente n 8-33- 34- 40 ACL Collection "Maths pour Tous" Vol 3: Pythagore Emma Castelnuovo, "Mathmatiques dans la ralit", Editions CEDIC Serge Lang, "Des jeunes et des maths (un chercheur rencontre des collgiens)", Editions BELIN.

* Pour 33+43+53=63 :

Cundy et Rollett, "Modles mathmatiques", Editions CEDIC Hardy and Wright, "An introduction to the theory of numbers" chap 13-20-21, Oxford Science Publication.

Solutions :

puzzle nI-1

1

4

2

33

41

2

puzzle nI-2

5

3

56

4

2

1

3

6

4

2

1

Les dessins figurant ct du numro des puzzles correspondent aux

marques de reprage portes sur les pices et leur support

10

puzzle n I-3

1

12

2

3

4

4

5

puzzle nI-5

puzzle n I-4

11

33+43+53=63

Reconstitution du cube de ct 6:

A

C

B

A redresse A couche sur le ct

12

A

CB

A redresse

B

13

Passons maintenant la confection du cube de ct 5 (pour le cube de ct 4, c'est immdiat).

B

C

B

A

A

C

A couche sur le ct

B bascule d'un quart de tour en avant.

14

ATELIER n2 Puzzles plans et dans l'espace.

Contenu: Une figure tant donne, il faut la reconstituer l'aide de formes gomtriques donnes. Cette figure peut tre :

une figure gomtrique plane : puzzles n1 et 2 carr remplir de carrs puzzles n3 et 4 rectangle remplir de carrs puzzle n5 toile.

une figure plane quelconque : oiseau, personnage dans diffrentes attitudes, etc. avec les tangrams (version classique et version tangram oeuf).

un solide de l'espace le cube Soma: avec 7 pices (6 composes chacune de quatre cubes-unit et 1 de trois cubes-

unit) on peut reconstituer un cube de ct 3. un cube de ct 22 cm reconstituer avec 9 ttradres

Figures de mme aire

puzzles n 6, 7 et 8, pour chacun de ces trois puzzles, la consigne est la mme: avec un certain nombre de pices donnes, on peut reconstituer diffrentes figures, qui auront donc la mme aire.

Puzzles surprenants (paradoxaux)

puzzle n9 (de Lewis Carroll): en disposant les pices de deux faons diffrentes, on obtient un carr ou un rectangle et ..., surprise, les deux figures n'ont pas la mme aire !

puzzle n10 (les lapins de Paul Curry -mathmaticien et magicien-): en disposant les pices de deux faons diffrentes, on obtient dans chaque cas un rectangle, mais un lapin a disparu !

Pour aller plus loin: A propos des puzzles n6, 7 et 8 :

Polygones de mme aire : si deux polygones ont mme aire, l'un d'eux peut tre dcompos en un ensemble fini de polygones qui permettent de reconstituer l'autre (Bolyai 1832).

Polydres de mme volume : c'est le troisime problme d' Hilbert. " Si deux polydres ont mme volume, l'un d'eux peut -il toujours tre dcompos en un ensemble fini de polydres qui permettent de reconstituer l'autre ? "La rponse est non (Dane 1900). Cf PLOT n 62 p 13 (bulletin de la rgionale APMEP d' Orlans).

A propos du puzzle n9 :

Les puzzles de Lewis Carroll et les suites de Fibonacci (cf Tangente n 17 et Jouer Jeux Mathmatiques n7)

Les polycubes, assemblages de petits "cubes -unit" comme par exemple les cubes Soma. Parmi les nombreux

jeux possibles on peut citer les Pentaminos ou encore le jeu qui consiste prendre les 8 ttracubes possibles et raliser diffrentes structures familires en laissant libre cours son imagination : maison, escalier, tour, chteau, etc.

Rfrences (entre autres ...) : Cundy et Rollett, "Modles mathmatiques", Editions CEDIC Jeux 1, publication APMEP n 44 puzzles de carrs : Le Jeune Archimde Maths et malices n5 Hypercube n7 puzzle n6 : Tangente n32 puzzles paradoxaux n9 et 10 : Tangente n17 Nicholas Falletta, "Le livre des paradoxes", BELFOND Martin Gardner, "La magie des paradoxes", Bibliothque POUR LA SCIENCE BELIN

15

Cubes Soma Meeus et Torbijn,"Polycubes", Collection LES DISTRACTS, Editions CEDIC, 1977 Martin Gardner, article complet dans le Scientific American de septembre 1958 Martin Gardner, "Problmes et divertissements mathmatiques, tome 2"

Solutions: Notons tout d' abord qu'on peut fixer plusieurs niveaux de jeu

Pour les puzzles n 1-2-3-4 : niveau 1 : utiliser le cadre de rangement du puzzle et utiliser les pices carres avec leur face indiquant

leur dimension. niveau 2 : utiliser le cadre, mais utiliser les pices avec leur face "aveugle" niveau 3 : ne pas se servir du cadre ni des indications de dimension des pices carres.

Pour les puzzles n6-7-8, dans la reconstitution du carr:

niveau 1 : en utilisant le cadre de rangement du puzzle. niveau 2: le faire en dehors du cadre du puzzle.

Puzzle n II-2

2

10

10

12

4

4

4

88

6666

2

2

Puzzle n II-1

68

4

4

46

12

1214

2

2

ou bien

Les dessins figurant ct du numro de certains puzzles correspondent aux marques de reprage portes sur les

pices et leur support

10

2

2 2

4

6

6

4

4 8

6 6 12

8

10

16

Puzzle n II-3

98

7

4

1

15

10

1418

Puzzle n II-4

102

8

12

62

12810

Puzzle n II-5

17

Puzzle n II-6

EE

F

F

GG

H H

1

2

3

4

Remarquer que :AE=ED=BF=FCG (resp H) n' est pas le milieu du segment AB(resp DC)BG > BF.

On retournera les pices en les faisant pivoter : autour de l' axe EG pour la pice 1 autour de l' axe EH pour la pice 2 autour de l' axe GF pour la pice 3 autour de l' axe FH pour la pice 4

puis on les assemblera pour former le triangle.

A B

CD

E F

G

H

I1

2

3

4

A

I

I

I

FF

HH

E

E

C

B

GG

D

4

3

2

1

18

Puzzle n II-7

3

12

2

1

3

3

21

21

3retourn

3

12

3 1retourn

2

Puzzle n II-8 (de Sam Loyd)

1

5

3

2

4

2

5

3

4

19

La croix grecque

2

5

4

3

1 2

5

4

3

1

2

5

4

3

1

2

5

4

3

1

Puzzle n II-9 (de Lewis Carroll ).

En exagrant beaucoup le phnomne,voil ce qui se passe rellement: le cm2manquant est rparti sur toute la zonegrise, et tant donne la taille du puzzle,c' est imperceptible l' oeil.

8, 13 et 21 sont des nombres de la suitede Fibonacci.

20

Puzzle n II-10 (Les lapins de Paul Curry).

A B

C D E

F G H

I

J

F

I

A B

C E

C D

F G

Prenons comme unit de longueur le ct d'un "carr -lapin". Le rectangle d'origine a pour dimensions 6 units sur 13 et il contient donc 78 cases (c'est--dire 78 lapins entiers).

Pour la dcoupe : AB = 1 et AI = 5 ; EH = JF =DG =5 et JD = DE =3

Plus prcisment: D' aprs le thorme de Thals JC

AI =

JFFI

d'o JC = 2513

et donc CD =3 - JC =1413

(environ 1,08 et non pas1 ! Tout est l.

Le nouveau rectangle a en fait comme dimensions 13 units pour la longueur (inchange) et 79

13 (5 + 14

13) pour la

largeur. L'aire de ce rectangle est donc de 79 (13 x 79

13). Il contient

77 lapins entiers et une case vide. La case vide correspond l'unit d' aire supplmentaire ( la 79e). Et le 78e lapin ? Il est "rparti" sur la "surpaisseur" (que l'on a exagre en en faisant une bande grise sur la figure) qui a pour aire 1 unit (13x 1

13), 1

13 reprsentant la diffrence CD - AB.

C D

G

Explication : La base CD du petit trapze CDGF semble tre gale 1

(juste le ct d'un carreau, comme AB). Mais non ! En fait c'est un tout petit peu plus (environ 1,08), car il y a un petit bout d'oreille du lapin ct !

Une fois rarrang, le nouveau rectangle est un tout petit peu plus large et recouvre 79 cases.

L'unit supplmentaire, la 79e, c'est le "trou". Le 78e lapin est "rparti" sur la "surpaisseur", (que l'on a exagre en en faisant une bande grise sur la figure ).

21

LE CUBE SOMA

Conway et Guy (Cambridge) ont trouv qu'il y avait 480 solutions distinctes, sans compter celles obtenues par rotation de l' ensemble. En voici une:

22

NEUF TTRADRES POUR UN CUBE.

On a coup les quatre "coins" du cube ABCDEFGH. Il reste la "grande" pyramide centrale ACEG.

* Le "coin" HGEA reste intact. * Les "coins" ABCG sont coups chacun en deux pyramides (voir schma). * Le "coin" ADEC, lui, est coup en trois pyramides identiques, les plans de coupe "passant" par la hauteur [DO], O tant le centre de la face AEC

A

H

G F

E

D

C B

A

H

G

E

G F

E

C

A

G

B C

A D

E

C

23

OAD

E

OD

C

E

OA

D

C

A

H

G

E

G F

E

C

A

G

BC

A D

E

C

Tout en laissant le "coin" pos sur sa base ADE, le faire pivoter pour avoir la face ACE vers soi.

G F

E

M

C

T

A

G

B C

T est situ au tiers de [AC].

M est le milieu de [CE].

E

C

O

A D

O

E

A D

C

24

ATELIER n4 Figures magiques.

Contenu :

Les carrs magiques, bien connus, sont un cas particulier de figures magiques, ensembles finis de points relis par des lignes. On place sur ces points des nombres de telle sorte que la somme le long de chaque ligne soit constante. Avec usuellement la condition supplmentaire (mais ce n'est pas obligatoire) que les nombres soient des entiers conscutifs, le plus souvent de 1 n, n tant le nombre de points de la figure.

Pour aller plus loin:

Les carrs latins. Les carrs grco-latins. Les carrs magiques. Gomtries finies et carrs grco-latins. Carrs, triangles bi-magiques, tri-magiques (Tangente n 27 Le Petit Archimde

n 73 - 74) Applications pratiques des carrs magiques: conception d'exprimentations en

biologie, agronomie, sociologie, tudes de marchs, codes correcteurs d'erreurs, problmes d'emploi du temps.

Rfrences (entre autres ...) :

Figures magiques en gnral, de nombreux exemples dans Maths et malices Le Jeune Archimde Tangente n27 Carrs magiques remarquables : Jeux du Kangourou des collges 1995, Editions ACL "Pythagore", Collection Maths pour tous, vol 3, Editions ACL Carrs grco-latins, carrs magiques (gnralits, construction) : Le Petit Archimde n62-63, 84-85, 90, 91-92,93-94 Tangente n20 Martin Gardner, "Nouveaux divertissements mathmatiques", DUNOD "Les carrs magiques", publication n10 de l'APMEP

25

Solutions : Figure magique n1 : Soit S la somme sur chaque ligne. On dmontre que ncessairement S=26.

9

58

7

12

4 6

21 11

3

10

Figure magique n2

9

58

7

4

6

2

13

Somme 17

9 5

8

7

4

6

2

1

3

Somme 20

26

Figure magique n3

Ncessairement le 5 est au centre de l' toile.

9

5

8

7

4

62

1

3

Figure magique n4

Il y a 332 solutions distinctes, sans compter cellesobtenues partir de celles-ci par rotation et parsymtrie, ce qui en fait 332 x 12 = 3984 au total.

12

11

109

13

8

5

7

4

62

1

3

Figure magique n 5

5 6 12 18 2413 19 25 1 721 2 8 14 20

9 15 16 22 317 23 4 10 11

27

ATELIER n5 Jeux d'allumettes.

Rfrences (entre autres ....) : De nombreuses revues proposent des jeux d'allumettes. Citons:

Le Jeune Archimde Maths et malices Jouer Jeux Mathmatiques (en particulier le n 9)

Voir aussi : "La gomtrie des allumettes", article dans Jouer Jeux Mathmatiques n17 Martin Gardner, "Jeux du Scientific American", Editions CEDIC (rfrence donne dans JJM n 17).

Solutions: Jeu n1.

Jeu n2.

28

Jeu n3.

Pour la deuxime partie, penser "passer" dans l'espace: avec 12 allumettes on peut faire un cube qui a 6 faces carres. Jeu n4.

29

Jeu n5.

30

ATELIER n7 Rubans de Mbius et graphes.

Contenu: Topologie: graphes et surfaces de Mbius.

Les graphes: Chacune des situations des jeux n1 4 peut tre modlise par un schma plus simple : un graphe. Un graphe est un ensemble de points (les sommets) et d'artes les reliant. Ici tous les graphes sont "d'un

seul tenant" (ie connexes). Le jeu consiste en la recherche de chemins "eulriens" : un chemin est eulrien lorsqu' il permet de redessiner tout le graphe sans lever le crayon et sans repasser sur une ligne dj trace (le chemin passe une fois et une seule par chaque arte).

Les surfaces de Mbius.

Grce au systme velcro on peut fabriquer un ruban de Mbius un demi-tour. On comptera le nombre de faces, de bords des anneaux ainsi obtenus. On pourra aussi chercher si les bords sont nous, sont entrelacs. Grce aux fermetures glissire, on pourra exprimenter la dcoupe d'un ruban, de Mbius selon une ligne centrale mdiane ou selon une ligne situe au tiers de la largeur partir d' un des bords. Rsultats surprenants garantis !

Pour aller plus loin: Les graphes : De nombreuses applications : - thorie des jeux ; - thorme des quatre couleurs ; - recherche oprationnelle (problmes de flux, par exemple la distribution du courant dans un rseau) ; - problme du voyageur de commerce (qui n'a pas reu de solution gnrale) ; - problmes d'ordonnancement des tches lors du droulement de travaux (mthode PERT - Program Evaluation Research Task).

Les surfaces de Mbius :

- anneau de Moebius 2, 3,..... n demi-tours (avec du papier quand n augmente) ; - dcoupe au 1/4, 1/5,....de la largeur (avec du papier galement) ; - anneau de Mbius double ; - orientation d'un ruban de Mbius, surfaces non orientables ; - bouteille de Klein.

Rfrences (entre autres ...) : Les graphes : Maths et malices n4 Le Jeune Archimde Tangente n21 Jouer Jeux Mathmatiques n7, 8, 9 (n7 assez complet sur le sujet et trs accessible) Ian Stewart, "Visions gomtriques", Bibliothque Pour la Science, BELIN, chapitre 15

Les surfaces de Moebius: Tangente n23 Maths et malices n10 Le Petit Archimde n91-92 Cundy et Rollett, "Modles mathmatiques", Editions CEDIC Nicholas Falletta, "Le livre des paradoxes", BELFOND E.P.Northtrop, "Fantaisies et paradoxes mathmatiques", DUNOD J.P. Petit, "Le Gomtricon" (bande dessine), BELIN "Les Mathmatiques aujourd'hui", Bibliothque Pour la Science, BELIN

31

Solutions: Les graphes:

Si on veut interprter en termes de graphes les jeux, on a la correspondance suivante : La ronde de nuit La tourne du facteur Dessins Romo et Juliette

Sommets pices, jardin carrefours intersections de lignes les, rives

Artes portes rues arcs ponts

La ronde du gardien, la tourne du facteur, les dessins ralisables la paresseuse, le parcours de

Juliette sont des chemins eulriens (cf le paragraphe "Contenu"). Comment savoir si un chemin eulrien existe? On regarde chaque sommet et on compte le nombre

d'artes qui y aboutissent (ce qu'on appelle le degr du sommet). Pour un sommet "pair", le chemin pourra y entrer autant de fois qu'il en sort. Pas de difficult. Pour un sommet "impair", le chemin ne peut y entrer autant de fois qu'il en sort. Un tel sommet ne

peut tre pris que comme point de dpart ou d'arrive du chemin. Il y a donc au maximum deux sommets de degr impair.

D'o la rgle : Un chemin eulrien existe (dans un graphe "d'un seul tenant") si et seulement si tous les sommets, sauf

ventuellement deux, sont de degr pair. Si tous les sommets sont de degr pair, les chemins sont ferms (ils reviennent au point de dpart,

qui peut tre n' importe quel sommet). S'il y a deux sommets de degr impair, les chemins sont ouverts : ils partent de l'un de ces deux

sommets et aboutissent l'autre.

32

LA RONDE DE NUIT.

Maison n 1. Une des solutions possibles (les pices de dpart et d'arrive sont ncessairement la n3 ou la n4) :

Maison n 2 Une solution possible, la condition d'ajouter une porte entre les pices n 2 et n 4.

Avant le percement de la porte entre les pices n2 et n4, il y a quatre sommets impairs (2, 4, 7 et 1), donc pas de parcours possible. Aprs l'ajout de cette porte, il ne reste plus que deux sommets impairs (7 et 1), qui seront les extrmits de tous les parcours possibles.

7

6

5

4

3

2

1

8

Dp

Arr

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

1

1

1

7 6

5 4

3

2

1

Dp

Arr

9

8

7

6

5

4 3

2

1

33

LA TOURNE DU FACTEUR . Un trajet possible:

Une solution:

9

8

7

6

5

4

3

2

17

16

15

14

1312

11

10

1

Les flches indiquent les points qui doivent tre pris comme extrmits.

Pas de parcours possible, car il y aplus de deux sommets d' ordreimpair:

B A

9

8

7

6

5

4

3 2

1

1

Deux sommets de degr impair : A et B, qui sont ncessairement les extrmits des parcours.

34

DESSINS LA PARESSEUSE.

Tous les tracs ont pour extrmits les points marqus par une flche. Voici une possibilit pour chaque dessin :

Pour l'autre poupe, c'est impossible car il y a quatre sommets de degr impair:

9 8

7

6

5

4

3

2

1

1

1

35

ROMO ET JULIETTE Le jogging de Juliette. Le graphe est (presque) apparent sur le dessin: les sommets sont les deux rives (1 et 5) et les cinq les. Les arcs sont les ponts. Il y a deux sommets de degr impair : le n3 (3 ponts) et rive n 1 (5 ponts). Ils seront donc les extrmits de tout trajet eulrien. Le dessin montre un parcours possible ; c'est d'ailleurs un exemple de trajet qui ne se recoupe pas.

76

5

432

1

Romo. Le trajet de Romo, lui, est une coupe eulrienne (trac continu dans le plan du graphe qui coupe une fois et une seule chaque arte -pour plus de dtail voir JJM n7). On numrote les zones de la rivire et on compte le nombre de ponts qui les bordent. Les zones n5 et n7 sont bordes par un nombre impair de ponts. Elles seront donc les points de dpart et d'arrive de tout parcours rpondant la condition nonce. Voici un parcours possible, qui, de plus, a la particularit de ne pas se recouper.

9

876

5

4 3

2

101

LE RUBAN DE MBIUS.

Si on recolle le velcro aprs avoir fait subir un demi-tour une extrmit de la bande, on obtient un "ruban de Mbius". Il n'a qu'une seule face et un seul bord.

Si on le coupe suivant la ligne centrale, on obtient ... un seul anneau. Si on le coupe suivant une ligne situe au tiers de la largeur partir du bord, on obtient un ruban central semblable l'ancien et un deuxime anneau, deux fois plus long !

36

ATELIER n8 Triminos.

Contenu: Jeu de juxtaposition se composant de 24 triangles quilatraux dont les cts portent l'une des quatre

couleurs jaune, rouge, vert, bleu (les triminos). Les pices ne sont pas retournables, on a donc 24 pices toutes diffrentes, dont voici un classement logique:

BBB

BBB

BBB

BBBBBBB

BB

VVV

VV

V

VVV

VVVVVVV

VV

RRR

R

R

RR

R

R

R

R RRRRR

RR

Rgle du jeu: Deux triangles peuvent tre juxtaposs si les cts accols sont de la mme couleur; Avec ces 24 pices peut-on former un hexagone de ct 2 (l'unit tant le ct d'un triangle) ? Avec ces 24 pices peut-on former un paralllogramme de dimensions 3 sur 4 ? On peut ajouter comme rgle supplmentaire que le pourtour de la figure soit d'une seule couleur.

Pour aller plus loin: Avec les triminos, on peut chercher former d'autres figures comme :

*

37

Le Trioker : mmes rgles que les triminos, mais ce sont les sommets qui sont colors (les sommets mis en contact doivent tre de la mme couleur).

Les quadriminos

Rfrences (entre autres ...) : Jeux 1, publication APMEP n44 Odier et Roussel, "Surprenants triangles", Collection Les Distracts, n1, Editions CEDIC Le Petit Archimde (toute une srie d'articles sur le trioker -jeux et solutions-)

Solutions : Une solution parmi toutes celles possibles:

V

V V

V

V

V

V

VV

VVV

VVV

V

VV

BBB

B

B

BBB

BBB

BB

B

B

BB

R

R

RR

RR

R

R R

R

RRR

R

R

R

RR

38

Une solution possible est:

VV

V

V

V V V V

VV V

V

V

VVVV

V

BB

B

B

B

BB

B

B

B

B

B

B

B

B

BB

B

R

R

RR

R

R

R

RRR

RRR

R

RRR

R

39

ATELIER n9 Jeux de Hano.

Contenu:

Les tours de Hano bicolores:

Situation de dpart:

tige n 3tige n 2tige n 1

Situation d' arrive:

tige n 3tige n 2tige n 1

Il s' agit de passer de la situation de dpart celle d' arrive en un minimum de coups,en utilisant si besoin la tige supplmentaire, mais en respectant la rgle suivante :

On ne peut dplacer qu'un disque la fois, sans jamais le poser sur un disque de plus petit diamtre (par contre on peut le poser sur un de mme diamtre).

Pour aller plus loin: Tour de Hano bicolore : modifier l'tat initial et final des deux tours ; faire des tours de 4 rondelles, 5 rondelles, etc. Le jeu classique des tours de Hano, monocolores

tige n 3tige n 2tige n 1

Faire passer la tour de n disques de la tige n 1 la tige n 3, en ne dplaant qu'un seul disque la fois, en utilisant la tour intermdiaire n 2, de telle sorte qu' aucun moment un disque ne soit sur un disque plus petit. Programmer ces jeux sur ordinateur.

Rfrences (entre autres ....) : Informatique et jeu de Hano classique: Le Beux et Tavernier, "Le Pascal par la pratique", ditions SYBEX

40

Solutions: Les tours de Hano bicolores:

Remarque: 99,99% des joueurs qui prtendent obtenir la solution en moins de 10 secondes ont " juste oubli" qu'il faut aussi dplacer les rondelles de base des tours et les intervertir !

Tour de Hano Bicolore.

tige n 3tige n 2tige n 1

Codage de la solution: signifie "prendre le disque qui est au sommet de la pile de la tige n 1 et le dposer sur la pile de la tige n 3".

Minimum de coups: 29. (Solution connue ce jour. Si vous trouvez moins, contactez-nous ou faites-vous connatre auprs de la FFJM). Une solution possible en 29 coups est : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

41

ATELIER n10 Enigmes logiques.

Contenu:

Petits problmes logiques facilement rsolubles grce des manipulations. Le tapis en patchwork : rsultat esthtique ! Facilit par l'utilisation de permutations.

La classe: se rsout facilement par l'utilisation d'un tableau double entre.

L'nigme du zbre : version simplifie d'un "classique", que les anglo-saxons aiment rsoudre grce un "tableau d'associations". (Pour le fonctionnement d'un tel tableau, voir Maths et malices n 8 p 13). Ici, l'utilisation des maisons et des barrettes fournies avec le jeu permet de matrialiser un tableau (voir corrig) plus simple que le tableau d'associations.

Rfrences (entre autres ....) : D'une faon gnrale, tous les livres et revues de jeux mathmatiques proposent des nigmes logiques varies, des plus simples aux plus ardues. Citons: Jouer Jeux Mathmatiques (certaines nigmes sous forme de BD dans les n 6, 8, 11). Tangente n 31 (nigmes rsolubles par tableau comme "La classe"). Maths et malices n 8 (o on trouve le principe du tableau d'associations). Les pages jeux des revues scientifiques.

Pour les accros de la logique: Raymond Smullyan, "Le livre qui rend fou", DUNOD Raymond Smullyan, "a y est, je suis fou", DUNOD

Solutions: Le tapis en patchwork. Une solution est : La classe.

Gilles Mireille Paula Serge

Jenny oui non non non

Tommy non oui non non

Willy non non non oui

Kathy non non oui non

L'indice dont on peut se passer est le deuxime ("Serge surveille la classe de Tommy quand l'enseignant(e) de cette classe s'absente").

42

Le zbre.

Jaune Bleu Rouge Vert Norvgien Ukrainien Anglais Japonais Renard Cheval Escargots Zbre Eau Th Lait Caf

43

Annexe 1 : Extrait d'un article de la brochure APMEP n44 : JEUX 1, Les jeux et les mathmatiques

(page 157).

LE JEU DANS LA CLASSE (Comptes rendus d'expriences)

Jouer dans la classe ! N' est-ce pas un paradoxe? A l'heure o, dans toutes les disciplines, des professeurs s'efforcent de faire un

enseignement plus vivant et de mettre les lves en situation d'activit, l'heure o des professeurs de mathmatiques poursuivent le mme but, dmystifiant les mathmatiques pures, dures, dsincarnes et font de cette discipline un jeu, il nous semble que le jeu peut tre un des moyens de renouvellement pdagogique.

Ce n'est pas une panace. Notre but dans cet article n'est pas de fournir aux

enseignants de mathmatique une recette au succs garanti. Nous voulons simplement, en faisant part de nos expriences et de nos travaux utilisant des jeux, rendre accessible nos collgues un domaine finalement trs difficile. Cette terre mal connue et trs souvent non dfriche nous parat riche de promesses.

Le jeu, le jeu mathmatique, mrite mieux que la dernire heure du trimestre. Il a

ses lettres de noblesse : il a t l'origine de l'tude des probabilits et de bien des recherches sur les nombres. Certains noncs rcemment mis au point ont d' abord t des "curiosits mathmatiques" (par exemple, le thorme des quatre couleurs concernant la coloration des cartes de gographie). En plus de ses vertus ludiques, le jeu, tout en nous divertissant, nous conduit la rflexion et au raisonnement et c'est dans l' ensemble de cette dmarche que nous cherchons accompagner nos lves.

Le jeu permet de concrtiser des tres mathmatiques:

droites du plan ou de l'espace (Sogo, Puissance 4, Stro 4); couples, paires, triplets (Dominos, Trioker, Trimino, Triminal); isomtries du plan ou de l'espace (Pavages, Cube Soma); longueurs et angles (Thon, Tangram).

Le jeu conduit trs souvent l'utilisation de concepts et de mthodes

mathmatiques: manipulation de tableaux, d'arbres, de dnombrements. Il constitue parfois une concrtisation presque parfaite d'un raisonnement (telle la rcurrence grce aux tours de Hano) et dans tous les cas un merveilleux terrain o s'exerce la logique. Le jeu, d'autre part impose cet esprit de recherche qui manque tant nos lves. Il leur permet d'chafauder de riches constructions. Il laisse la place l'imagination et les mne parfois jusqu'aux frontires de l'art (pavages, frises et rosaces volutives).