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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

NOCIONES INTRODUCTORIAS

PDS – NOCIONES INTRODUCTORIAS

SEÑAL Observación de una magnitud física en función de variables independientes, realizada de tal manera que la señal contenga información de los procesos observados. Su naturaleza puede ser variable : acústica, eléctrica, óptica, etc.


Algunos ejemplos… Sismógrafos registran señales sísmicas que contienen intensidad y características espectrales de los sismos.


Algunos ejemplos… Las señales electrocardiográficas permiten a los médicos determinar el estado del corazón de sus pacientes.


Algunos ejemplos… Señales acústicas


Las señales pueden ser representadas matemáticamente como funciones con una o más variables independientes :

Voz (presión acústica en función del tiempo).

Imagen en tonos de gris (brillantez en función de 2 variables espaciales)

Patrones meteorológicos (Viento en función de la altura, por

ejemplo)

Video (???)


Las señales pueden ser representadas matemáticamente como funciones con una o más variables independientes :

Voz (presión acústica en función del tiempo).

Imagen en tonos de gris (brillantez en función de 2 variables espaciales)

Patrones meteorológicos (Viento en función de la altura, por

ejemplo)

Video (señal espacio-temporal: coordenadas x,y y tiempo)


Las funciones, por medio de la cuales se representan las señales, pueden ser escalares o vectoriales : Función escalar à 1 solo valor en cada instante de tiempo (i.e. grabación de una voz es hecha con un micrófono monofónico) Función vectorial à varios valores para cada instante de tiempo. (i.e. un encefalograma provee un conjunto o vector de señales eléctricas provenientes de los diferentes electrodos para cada instante de t).

f(t) = [ f1(t) f2(t) … fn(t)]T


A cada una de las componentes de las señales vectoriales se les denomina usualmente canales, por lo que a estas señales se les denota como multicanal.


SISTEMAS •  El termino sistema denota una colección o conjunto de

elementos interrelacionados que conforman un todo unificado.

•  Un sistema puede formar parte de otro subsistema de mayor nivel (el primero sería un subsistema del segundo)

•  Los diferentes subsistemas intercambian información, materia

o energía para lograr algún objetivo. •  Los términos señales de entrada o de salida se utilizan para

abstraer el flujo de información.


SISTEMAS Podemos entender el término de Sistema en nuestro contexto como un conjunto de subsistemas que logran transformar una señal en otra. Estos dispositivos pueden ser entes físicos (circuito electrónico) o virtuales (algoritmos implementados en software). Actualmente, se tiende a diferenciar 2 tipos de tareas de los sistemas : Procesamiento y Análisis.


PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Se refiere al proceso de modificación de una señal digital en un sistema, realizado para analizar, destacar, suprimir, y/o transformar características de una señal.

Herramientas matemáticas para descripción de señales

Métodos y algoritmos para elaborar, modificar o interpretar señales


ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE PDS El procesamiento digital requiere transformar las señales de entrada a un formato digital, es decir, a funciones f[n] (funciones discretizadas). Esto necesita de una etapa de conversión analógica-digital (A/D).


ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE PDS

PDS – NOCIONES INTRODUCTORIAS VENTAJAS DEL PROCESAMIENTO DIGITAL Alto grado de flexibilidad en el diseño. Al ser sistemas programables, estos pueden adaptarse o modificarse según la aplicación. Las precisiones alcanzables con sistemas digitales son usualmente mucho mayores que los circuitos analógicos, en los que el error acumulado en forma de ruido aumenta con cada etapa de procesamiento. Los sistemas digitales son más robustos que los sistemas analógicos. Los sistemas digitales poseen una gran capacidad de almacenamiento de la información prácticamente sin pérdidas (excepto las introducidas por la propia digitalización). Los sistemas digitales permiten alcanzar una alta complejidad en las aplicaciones dirigidas al tratamiento de la información por medio de algoritmos de sotfware.


APLICACIONES Entre las aplicaciones más conocidas del tratamiento digital de señales encontramos : Tratamiento de señales acústicas : •  Almacenamiento y transmisión eficiente de sonido digital •  Procesamiento profesional de sonido en industria musical y

cinematográfica •  Manejo de ultrasonido para la elaboración de imágenes médicas •  Procesamiento de voz humana (codificación, encriptación,

reconocimiento e síntesis del habla)


Procesamiento de imágenes :

•  Análisis de imágenes provenientes de cámaras industriales en líneas de producción.

•  Procesamiento de imágenes satelitales para la construcción de mapas

•  Codificación y compresión de señales de video. •  Procesamiento de imágenes tridimensionales para el análisis y

generación de imágenes de resonancia magnética (MRI) utilizadas en medicina


Telecomunicaciones: •  Codificación y decodificación de señales •  Telefonía celular •  Módems •  Ecualizadores de señal •  etc. Técnicas modernas de análisis de señales aplicadas a radares y sonares Estudio de señales sísmicas y volcánicas para la implementación de técnicas de simulación y reconocimiento de patrones para la predicción de zonas y períodos de riesgo. Procesos de automatización industrial que involucran el tratamiento de información proveniente de sensores.


SEÑALES CONTINUAS Y DISCRETAS Continuas : sucesión continua de valores de la variable independiente.

función continua x(t)


SEÑALES CONTINUAS Y DISCRETAS Discretas : están definidas en tiempos discretos (la variable independiente toma solamente un conjunto discreto de valores).

Función discreta x[n]


SEÑALES DE ENERGIA Y POTENCIA La energía total para una señal continua en el intervalo de tiempo t1 ≤t ≤t2 se define como : donde x(t)denota la magnitud del numero x (posiblemente complejo). La potencia promedio para una señal continua en tiempo se obtiene dividiendo la ecuación anterior entre t2 – t1.


SEÑALES DE ENERGIA Y POTENCIA La energía total para una señal discreta en el intervalo de tiempo n1 ≤n ≤n2 se define como : La potencia promedio para una señal discreta se obtiene dividiendo la ecuación anterior entre el número de puntos en el intercalo : n2 – n1 + 1


SEÑALES DE ENERGIA Y POTENCIA En muchos sistemas estaremos interesados en examinar la potencia y la energía en señales sobre un intervalo de tiempo infinito, es decir, para -∝ ≤t ≤+∝ y -∝ ≤n ≤+∝ Energía de una señal continua en un intervalo infinito Potencia de una señal continua en un intervalo infinito


SEÑALES DE ENERGIA Y POTENCIA Energía de una señal discreta en un intervalo infinito Potencia de una señal discreta en un intervalo infinito


SEÑALES DE ENERGIA Y POTENCIA A partir de estas definiciones podemos identificar 3 clases importantes de señales : 1. Señales con energía total finita E∞ < ∞. Estas tienen potencia promedio cero. 2. Señales con potencia promedio finita P∞. Estas tienen energía total infinita E∞ = ∞. 3. Señales con P∞ y E∞ infinitas. Por ejemplo, la señal x(t) = t.


TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE Transformaciones elementales de señales por medio de modificaciones sencillas de la variable independiente. Desplazamiento en el tiempo Señales idénticas pero desplazadas una con respecto a la otra en el tiempo.


TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE

Desplazamiento en el tiempo Señales idénticas pero desplazadas una con respecto a la otra en el tiempo.



Inversión en el tiempo



Escalamiento en el tiempo



Generalizando, podemos obtener todas las operaciones anteriores al modificar la variable independiente de la función x(t) por x(αt+ β), donde α y β son números dados.

Si 0<α<1, la señal es alargada linealmente, Si α>1, la señal es comprimida linealmente, Si a<0, la señal es invertida en el tiempo, Si a<0, la señal es invertida en el tiempo



Dada la función x(t) mostrada en la figura, dibuje las transformaciones siguientes de la función :

x(t + 1) x(-t + 1) x(3/2 t)

x(3/2 t + 1)

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

SEÑALES PERIÓDICAS SEÑALES PAR E IMPAR

SEÑALES EXPONENCIALES Y SENOIDALES


SEÑALES PERIÓDICAS x(t) = x(t + T)


SEÑALES PERIÓDICAS

X[n] = x[n + N]


SEÑALES PAR E IMPAR


SEÑALES PAR E IMPAR Descomposición de una señal en suma de dos señales


SEÑALES PAR E IMPAR Dadas las funciones,

parte par de x(t)

parte impar de x(t) Compruebe la simetría de ambas y que su suma es igual a x(t)


SEÑALES PAR E IMPAR Dadas y (parte par x(t)) Encuentre la función impar que satisface la relación,

x(t) = +


SEÑALES PAR E IMPAR


SEÑALES EXPONENCIALES Y SENOIDALES SEÑALES CONTINUAS EXPONENCIAL COMPLEJA

x(t) = C eat

Donde C y a son, por lo general números complejos

Tipos: Señales exponenciales reales

Señales exponenciales complejas Señales complejas generales


SEÑALES EXPONENCIALES REALES

x(t) = C eat

C y a son números reales


SEÑALES PERIODICAS EXPONENCIAL COMPLEJA

x(t) = ej wo t

Encontrar el periodo fundamental, T0, de una señal periódica exponencial compleja


SEÑALES PERIODICAS EXPONENCIAL COMPLEJA Y SENOIDAL


SEÑALES PERIODICAS EXPONENCIAL COMPLEJA Y SENOIDAL Encontrar la Energía total y la Potencia promedio para una señal exponencial compleja


SEÑALES EXPONENCIALES COMPLEJAS RELACIONADAS ARMÓNICAMENTE Conjunto de señales que poseen un período en común T0.

En otras palabras, un conjunto de exponenciales periódicas complejas relacionadas armónicamente es un conjunto de exponenciales periódicas con frecuencias fundamentales que son todas múltiplos de una sola frecuencia fundamental positiva w0.


SEÑALES EXPONENCIALES COMPLEJAS RELACIONADAS ARMÓNICAMENTE


REEXPRESION DE SEÑALES QUE INVOLUCRAN LA SUMA DE EXPONENCIALES COMPLEJAS A veces es conveniente expresar la suma de 2 exponenciales complejas como el producto de una sola exponencial compleja y una senoidal. Esta reformulación de la expresión de una señal la podemos hacer utilzando la identidad de Euler. Ejemplo: Dibuje la magnitud de la señal:

x(t) = ej2t + ej3t


SEÑALES EXPONENCIALES COMPLEJAS GENERALES Estas señales se pueden expresar en términos de los 2 casos examinados hasta ahora: la exponencial real y la exponencial periódica compleja. Las exponenciales complejas generales son de la forma:

x(t) = C eat

Donde C se expresa en forma polar y a en forma rectangular:


SEÑALES EXPONENCIALES COMPLEJAS GENERALES


SEÑALES DISCRETAS EXPONENCIAL COMPLEJA Y SENOIDAL Dentro de este grupo de señales encontramos:

- Las exponenciales discretas reales - Las senoidales discretas - Las exponenciales complejas generales

Su expresión es de la forma:

x[n] = C αn

donde α = eß

C y α son números complejos


SEÑALES EXPONENCIALES REALES x[n] = C αn

C y α son números reales


SEÑALES SENOIDALES Son de la forma

x[n] = A Cos (won + φ) Donde wo y φ están en radianes Están estrechamente relacionadas con

x[n] = C ejwon

ß es imaginaria, IαI = 1

C es un número real


SEÑALES SENOIDALES


SEÑALES EXPONENCIALES COMPLEJAS GENERALES

x[n] = C αn donde α = eß

C y α son números complejos


PROPIEDADES DE PERIODICIDAD EN EXPONENCIALES DISCRETAS Así como hay similitudes entre las exponenciales continuas y discretas, existen diferencias importantes. Examinaremos el caso de ejwot y ejwon Entre ellas existen diferencias fundamentales en los siguientes aspectos: 1)  Correspondencia de la magnitud de wo con la velocidad de

oscilación de la señal

2)  Criterio de periodicidad de las señales discretas


PROPIEDADES DE PERIODICIDAD EN EXPONENCIALES DISCRETAS Correspondencia de la magnitud de wo con la velocidad de oscilación de la señal


PROPIEDADES DE PERIODICIDAD EN EXPONENCIALES DISCRETAS

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