Ido Jos Schneider

MATEMTICA FINANCEIRA: UM CONHECIMENTO IMPORTANTE E NECESSRIO PARA A VIDA DAS

PESSOAS

Dissertao apresentada ao curso de ps-graduao em Educao, da Faculdade de Educao, da Universidade de Passo Fundo, como requisito parcial para a obteno do grau de Mestre em Educao, tendo como orientadora a Dr Neiva Igns Grando.

Passo Fundo

2008

CIP Catalogao na Publicao ________________________________________________________________

________________________________________________________________ Catalogao: bibliotecria Jucelei Rodrigues Domingues - CRB 10/1569

S358m Schneider, Ido Jos Matemtica financeira : um conhecimento importante e necessrio para a vida das pessoas / Ido Jos Schneider. 2008. 111 f. : il. color. ; 29 cm.

Orientao: Prof Dr Neiva Igns Grando. Dissertao (Mestrado em Educao) Universidade de Passo Fundo, 2008.

1. Matemtica financeira. 2. Processo decisrio.

3. Educao - Marau (RS) - Finanas. I. Grando, Neiva Igns, orientadora. II. Ttulo.

CDU : 51:336

Agradeo, primeiramente a Deus, pela vida e por amparar-me durante toda a trajetria na busca de novos conhecimentos. minha esposa Snia, pelo apoio e incentivo para que eu conclusse a dissertao. Aos meus filhos Henrique e Helena, que sempre foram a minha fora e motivao para prosseguir em meus estudos. professora Dr. Neiva Igns Grando, prof. Neiva, pela pacincia e compreenso e, ao mesmo tempo, por conduzir-me com firmeza e sabedoria com suas orientaes. Aos demais professores e funcionrios do Programa de Ps-Graduao em Educao da UPF e aos colegas de mestrado da turma 2005, pela troca de experincias e convivncia, que me proporcionaram um crescimento pessoal e profissional. Finalmente, a todas as pessoas que contriburam com a realizao desta investigao, de modo especial os alunos, professores e direo das escolas pesquisadas e os gerentes e atendentes das empresas contatadas.

Muito obrigado a todos!

O mundo atual est a exigir outros

contedos, naturalmente outras metodologias, para

que se atinjam os objetivos maiores de criatividade e

cidadania plena.

Isso exige entender melhor o homem, a

humanidade e o conhecimento.

Ubiratan DAmbrosio

RESUMO

Esta pesquisa tem como objetivo questionar e analisar a importncia dos contedos de

matemtica financeira para a vida das pessoas, mostrando a necessidade de apropriar-se dos

significados desses conceitos para a tomada de decises adequadas e conscientes diante das

facilidades de crdito proporcionadas pelo comrcio e por financeiras. Como instrumento de

coleta de informaes, foram utilizados questionrios, aplicados a alunos da 8 srie do

ensino fundamental e do 3 ano do ensino mdio e tambm a professores de matemtica de

escolas do municpio de Marau/RS, e documentos que registram as situaes reais sobre

compras, emprstimos e financiamentos oferecidos em estabelecimentos comerciais e

instituies financeiras. Os dados foram analisados com base em teorias, pesquisas e

documentos relacionados ao tema, utilizando-se uma abordagem qualitativa. As anlises

indicaram um conhecimento fragmentado, incompleto e superficial, pelas dificuldades dos

alunos de lembrar algo sobre os contedos de matemtica financeira estudados na escola.

Mesmo que a totalidade dos alunos e professores pesquisados considere importante o

conhecimento desses contedos para a vida das pessoas, essa parte da matemtica no est

sendo priorizada na educao bsica, especialmente no ensino mdio, pois constam apenas em

alguns livros didticos. As situaes reais evidenciaram a necessidade do conhecimento de

contedos da matemtica financeira para no se configurarem como armadilhas do credirio e

do crdito fcil. Com base nas constataes produzidas, sugere-se um ensino contextualizado

mediante o uso de materiais informativos provenientes do cotidiano das pessoas, como artigos

de jornais, revistas, folders promocionais, e relacionados com os conceitos da matemtica

financeira, que propicie uma educao financeira para os alunos.

Palavras-chave: educao financeira, educao bsica, matemtica financeira, consumo.

ABSTRACT

This study had as objective to question and analyze the importance of financial

mathematics contents to peoples lives, showing the necessity of taking possession of the

meanings of this contents, to making appropriate and conscious decisions facing the facilities

in credit provided by the trade market and financial companies. As an instrument of

information collection there was the use of questionnaires, applied to students of 8th grade

and senior year and also to math teachers of the municipal schools of Marau/RS, and

documents that registered real shopping, loaning and financing situations offered in

commercial establishments and financial institutions. The data was analyzed based on

theories, researches and documents related to the theme, using a qualitative approach. The

analysis indicated a fragmented, incomplete and superficial knowledge, by the difficulty of

the students in remembering something about each of the financial mathematics contents

studied at school. Even though the totality of students and teachers questioned consider

important the knowledge of this contents to peoples lives, this part of math is not receiving

priority in basic education, especially in high school, because they are only in a few didactic

books. The real situations show the necessity of the knowledge of the financial mathematics

contents, not to be caught in the traps of credit plans and easy credit. Based on observations of

this study, comes the suggestion of contextualized study, using informative material from

peoples day to day lives like newspaper articles, magazines, promotional folders related to

the concepts of financial mathematics that provides a financial education to the students.

Key-words: financial education, basic education, financial mathematics, consumption.

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Quadro comparativo juro simples/composto ..........................................................35

Tabela 2 - Fragmentos de frases completadas corretamente ....................................................43

Tabela 3 Simulao venda aparelho telefnico/credirio ......................................................73

Tabela 4 Simulao venda microcomputador/credirio ........................................................73

Tabela 5 Simulao emprstimo pessoal ...............................................................................74

Tabela 6 Simulao venda produto anunciado em folder/credirio ......................................75

Tabela 7 Simulao credirio direto (sem financeira) ...........................................................76

Tabela 8 Condies financiamento automvel ......................................................................77

Tabela 9 Financiamento de moto...........................................................................................78

SUMRIO

INTRODUO ........................................................................................................................9

1 METODOLOGIA................................................................................................................14

2 FUNDAMENTAO TERICA ......................................................................................20

2.1 Sobre pesquisas relacionadas matemtica financeira ............................................20

2.2 Alguns elementos histricos da matemtica comercial e financeira ........................26

2.2.1 Sobre sua origem .....................................................................................................26

2.2.2 Conceitos contemporneos da matemtica financeira.............................................31

2.3 Outras contribuies ....................................................................................................38

3 SOBRE A IMPORTNCIA DA MATEMTICA FINANCEIRA..................................45

3.1 O que pensam os alunos ...............................................................................................45

3.2 O que pensam os professores .......................................................................................65

3.3 Relaes entre situaes reais e educao para o consumo ......................................71

3.3.1 Credirio ..................................................................................................................72

3.3.2 Emprstimos ou financiamentos..............................................................................77

CONSIDERAES FINAIS E IMPLICAES EDUCACIONAIS ...............................81

REFERNCIAS .....................................................................................................................91

Anexos......................................................................................................................................95

ANEXO A Quadro geral das escolas do municpio de Marau/2006 .....................................96

ANEXO B Estatstica questionrios alunos ..........................................................................97

ANEXO C Categorizao das respostas dos questionrios.................................................100

ANEXO D Questionrio alunos ..........................................................................................104

ANEXO E Questionrio professores...................................................................................106

ANEXO F - Relao dos principais produtos financeiros existentes no mercado para compras

a prazo, emprstimos e financiamentos, direcionados a pessoas fsicas ................................108

8

ANEXO G Anncio de credirio......................................................................................... 110

ANEXO H Tabela emprstimo consignado......................................................................... 111

INTRODUO

A escolha do tema matemtica financeira para a investigao deveu-se trajetria

profissional do pesquisador: bancrio por vinte e seis anos e com atuao em empresas nos

setores de contabilidade e financeiro por mais quatro. Levando em conta a experincia

acumulada na rea financeira e o desejo de trabalhar na rea da educao, optou-se pela

docncia no ensino superior e em cursos de matemtica financeira com utilizao da

calculadora HP12-C, direcionados a pessoas das reas administrativa e financeira.

Nessa nova atividade, por meio de sondagens de conhecimentos, verificou-se uma

grande dificuldade dos alunos na resoluo de problemas que envolvem contedos de

matemtica financeira, como porcentagem, juro, regra de trs. Esses estudantes eram, na sua

maioria, oriundos de escolas do municpio de Marau-RS, concluintes do ensino mdio ou

cursando os primeiros semestres de uma faculdade. Quando questionados, alegavam que no

haviam tido essa disciplina na escola ou que apenas teriam sido trabalhadas algumas noes

de tais contedos.

Ao destacar a presena da matemtica financeira (MF) no dia-a-dia da vida das

pessoas, Santos (2005), ao mesmo tempo, manifesta a preocupao com a sua ausncia no

currculo escolar, particularmente no ensino mdio:

Percebe-se que a MF est muito presente no dia-a-dia de qualquer pessoa atravs dos problemas de ordem financeira comuns da vida moderna, o que possibilita uma aproximao com a vida do aluno fora da escola. No entanto, mesmo sendo um contedo imediatamente aplicvel fora da escola e de extrema importncia na formao do cidado, verifica-se sua ausncia no currculo escolar. (p. 13).

Parente e Carib reforam a idia da presena desta parte da matemtica no cotidiano

e da sua importncia para as pessoas, afirmando que a matemtica financeira est hoje

presente no cotidiano das pessoas. com ela que calculado o aumento do po e do nibus,

o reajuste das prestaes e o saldo devedor da casa prpria. (1996, p. 3). Os autores

10

confirmam a importncia da matemtica financeira, justificando, assim, a inquietao com as

dificuldades apresentadas pelos estudantes na resoluo de problemas simples, relacionados

com o dia-a-dia de qualquer cidado.

Duarte, ao relacionar educao escolar e os problemas do cotidiano, defende uma

maior aproximao entre a escola e o cotidiano. Para esclarecer melhor em que contexto se

encontra este cotidiano, assim define: Cotidiano aquilo que acontece fora dos muros da

escola ou, pelo menos, fora da sala de aula; a realidade concreta dos alunos; a sua prtica

social; em suma: a vida. (1996, p. 37).

Num sistema capitalista, em que predomina o acmulo cada vez maior de capital,

resultando numa concentrao de bens, as pessoas so induzidas ao consumo pelas

facilidades de crdito oferecidas por empresas comerciais, bancos e financeiras, que se

utilizam de grandes redes de atendimento, inclusive espaos virtuais.

A revista Veja, edio de 26 de abril de 2006, trouxe o artigo O show do credirio,

de Lucila Soares, mostrando as diversas modalidades de crdito acessveis aos consumidores

e como os valores vm crescendo nos ltimos anos. As lojas travam uma verdadeira guerra

para oferecer opes nas vendas a crdito (prazos e taxas) e emprstimos de dinheiro: A

razo simples, o consumidor brasileiro chega a pagar taxas de juros acima de 100% ao ano e

nem se d conta. (p. 99). Segundo os prprios vendedores das lojas, o que importa ao

consumidor no momento da compra se o valor da prestao cabe no seu oramento mensal.

Na edio de 29 de agosto de 2007 a mesma revista apresentou um artigo assinado por

Marcio Aith, intitulado Juros fantsticos, em que cita uma frase do economista e filsofo

Eduardo Giannetti da Fonseca, pela sua abordagem sobre as implicaes sociais, psicolgicas

e biolgicas das decises do ser humano quanto ao seu futuro no momento de consumir:

Viver intensamente o presente, sem pensar no amanh, ou trabalhar duro hoje e ter a certeza

de um futuro mais tranqilo. (p. 144). Assim, poder-se-ia afirmar que seria o mesmo que

comprar agora pagando juros, ou poupar acumulando o rendimento para consumir no futuro.

O texto, justificando o seu ttulo, traz ainda informaes sobre o crescimento do consumo no

Brasil, que levou muitos consumidores ao endividamento pelas altas taxas de juros cobradas,

uma das maiores do planeta. No relato da revista:

11

[...] o Brasil se tornou, de uma hora para a outra, o pas do crdito fcil. Fcil demais. Em apenas dez anos, subiu de 35 bilhes de reais para 150 bilhes de reais o valor dos emprstimos que os bancos entregaram a consumidores de baixa renda. Este dinheiro permitiu a milhes de pessoas trocar de carro, comprar aparelho de DVD e voar pela primeira vez de avio. Mas no as tornou mais ricas. Ao contrrio, boa parte delas se endividou alm da conta: 45% das famlias brasileiras esto inadimplentes, segundo pesquisa do Instituto Fernand Braudel. Por dificuldade de fazer contas ou desejo inconseqente de consumir, foram com muita sede ao pote na primeira oportunidade que lhes apareceu. (AITH, 2007, p. 144, grifo nosso).

Por isso, o apelo cada vez mais forte ao consumo, o lanamento de sempre novos

produtos, a utilizao do marketing na mdia divulgando promoes com variadas

modalidades e opes de pagamento objetivam induzir os consumidores a comprar cada vez

mais. Nos ltimos anos, esses estabelecimentos alongaram os prazos de pagamento e criaram

muitas facilidades para acesso ao crdito. De acordo com Soares, [...] comeam a surgir

parcelamentos a prazos impensveis h muito pouco tempo, como o financiamento de

automveis em 72 meses. Nunca houve, na histria brasileira, tanto dinheiro oferecido para

financiar o consumo. (2006, p. 99). Contudo, para decidir-se pela melhor opo no

momento de uma compra a vista ou a prazo ou de um emprstimo, o conhecimento sobre

contedos de matemtica financeira torna-se imprescindvel.

Os adolescentes e jovens cada vez mais cedo tomam conhecimento e participam das

decises de compras e investimentos no ambiente familiar e social. O acesso internet,

utilizada em sua maioria pelas pessoas mais jovens, tem proporcionado a oferta de muitos

produtos com diferentes possibilidades de pagamento: carto eletrnico (dbito ou crdito),

carn ou boleto bancrio, cada um com um custo diferenciado. Mesmo que o poder aquisitivo

das classes mais pobres tenha melhorado nos ltimos anos, torna-se relevante o planejamento

do oramento familiar, porque os recursos financeiros continuam limitados.

Diante desse cenrio, das dificuldades apresentadas pelos estudantes, das inquietaes

e desejo de qualificao acadmica do pesquisador, decidiu-se pela realizao desta pesquisa

nas escolas do ensino fundamental e mdio do municpio de Marau, com o objetivo de

questionar e analisar a importncia e a necessidade dos contedos de matemtica financeira

para a vida das pessoas em geral. Tambm se buscaram em estabelecimentos comerciais e

instituies financeiras exemplos de situaes reais de compras, emprstimos e

financiamentos, para mostrar que o conhecimento sobre contedos de matemtica financeira

nos clculos de taxas de juros, prestaes e valores totais efetivamente pagos pode propiciar

ao consumidor condies de enfrentar as armadilhas do credirio e do crdito fcil.

A pesquisa visa contribuir com a educao, destacando a necessidade de se perceber a

importncia e o significado dos contedos de matemtica financeira para a tomada de

12

decises apropriadas quando da realizao de relaes econmicas de consumo. Borges

apresenta uma relao entre a educao e o consumo, na qual destaca a funo da escola

como instituio formadora dos indivduos com uma viso de mundo.

A educao para o consumo como matria escolar j existe em vrios pases h alguns anos e tem sido vista pela Organizao das Naes Unidas como a oportunidade de criar, inovar e mudar um pas, pois a escola a instituio mais capacitada para formar indivduos autnomos, capazes de acompanhar as mudanas do mundo. Cidados preparados para viver num mundo globalizado. (1999, p. 27).

Com relao educao como um direito de todos, busca-se na Declarao de

Jomtien, tambm chamada de Declarao Mundial de Educao para Todos, realizada na

Tailndia em 1990, a concepo sobre o atendimento das necessidades bsicas de

aprendizagem, visando garantir a todas as pessoas os conhecimentos mnimos para uma vida

digna e uma sociedade mais justa e humana.

Toda a pessoa criana, adolescente ou adulto deve poder beneficiar de uma formao concebida para responder as suas necessidades educativas fundamentais. Estas necessidades dizem respeito tanto aos instrumentos essenciais de aprendizagem (leitura, escrita, expresso oral, clculo, resoluo de problemas), como aos contedos educativos fundamentais (conhecimentos, aptides, valores e atitudes) de que o ser humano tem necessidade para sobreviver, desenvolver todas as suas faculdades, viver e trabalhas com dignidade, participar plenamente do desenvolvimento, melhorar a qualidade de sua existncia, tomar decises esclarecidas e continuar a aprender. (Artigo I I). (DELORS, 2004, p. 126, grifo nosso).

O Brasil, por meio do Ministrio da Educao, elaborou um plano decenal (1993 a

2003) para cumprir as resolues dessa conferncia, mas que at hoje, possivelmente, ainda

no foi executado em sua totalidade. Defende-se, assim, que os contedos de matemtica

financeira, como um direito bsico de educao para todos, devem estar includos em toda a

educao bsica, para que a pessoa possa discernir sobre necessidades fundamentais para a

sua sobrevivncia, desenvolvimento e tome decises conscientes (esclarecidas).

Para investigar sobre o tema da matemtica financeira envolvendo a educao escolar

e situaes do cotidiano, formularam-se alguns questionamentos, cujas respostas, mesmo que

parciais, so dadas no decorrer da pesquisa. Por exemplo: Das propostas pedaggicas das

escolas fazem parte contedos de matemtica financeira? Quais e em que sries? Qual a

relevncia que as escolas do para o ensino-aprendizagem dos contedos caracterizados

como matemtica financeira? Esses so priorizados dentro da disciplina de matemtica? Os

professores de matemtica dessas escolas, na sua formao, em seu curso de graduao,

13

tiveram oportunidade de aprender contedos de matemtica financeira? Os professores e

alunos, como sujeitos envolvidos nesse processo, consideram importante o ensino desses

contedos? Nas situaes reais, como nos casos de compras e contratao de emprstimos, o

conhecimento de contedos da matemtica financeira importante e necessrio para o

consumidor? Enfim, que importncia tem os contedos de matemtica financeira para a vida

das pessoas em geral, especialmente nas relaes de consumo e no mundo do trabalho?

A dissertao est estruturada em trs captulos: o primeiro contm a descrio dos

aspectos essenciais para a construo da pesquisa, como a indicao dos instrumentos a

serem utilizados para a obteno das informaes, a metodologia e as etapas percorridas; no

segundo captulo expe-se a fundamentao terica, revisando contribuies de investigaes

j realizadas sobre o tema e de autores que tratam da importncia histrica e atual dos

contedos da matemtica financeira; o terceiro captulo apresenta o desenvolvimento

propriamente dito desta pesquisa: uma anlise qualitativa dos dados extrados dos

questionrios e das situaes reais de compras a prazo (credirio), emprstimos e

financiamentos (financeiras ou bancos). Por fim, apresentam-se as consideraes finais e

implicaes educacionais sobre a investigao, destacando algumas concluses relevantes da

pesquisa, sugestes para a continuidade de estudos sobre o tema e a indicao de novas

investigaes na rea da educao.

1 METODOLOGIA

Ao tratar da evoluo da pesquisa em educao, Ldke e Andr explicitam sua

posio: Para se realizar uma pesquisa preciso promover o confronto entre os dados, as

evidncias, as informaes coletadas sobre determinado assunto e o conhecimento terico

acumulado a respeito dele. (1986, p. 1). Nesta pesquisa segue-se, de certa forma, o que as

autoras preconizam, ou seja, faz-se uma triangulao entre as informaes das escolas

(alunos, professores e documentos), as situaes reais (aplicao de contedos) e a

fundamentao terica (autores) envolvendo o tema da matemtica financeira. Inicialmente, enquanto ainda projeto, pretendia-se fazer uma anlise crtica dos

currculos de matemtica das escolas do ensino mdio do municpio de Marau-RS, porm, no

decorrer dos trabalhos, os estudos foram direcionados para a importncia e a necessidade dos

contedos de matemtica financeira para a vida das pessoas em geral, estendendo-se a

pesquisa para todo o ciclo da educao bsica, envolvendo alunos e professores de

matemtica. Os primeiros passos para a investigao foram dados com uma pesquisa

bibliogrfica envolvendo leituras sobre a histria da matemtica, educao matemtica e

matemtica financeira em livros, peridicos, artigos, monografias e dissertaes, os quais

serviram de base para a delimitao do campo da pesquisa e a coleta de informaes.

A seguir, foram realizadas visitas s escolas da educao bsica do municpio de

Marau: uma escola particular, quatro estaduais e, para as escolas municipais, o contato foi

feito diretamente na Secretaria Municipal de Educao, com a coordenao pedaggica. As

visitas permitiram manter contato com as direes e as coordenaes pedaggicas, para expor

o objetivo da pesquisa sobre a importncia dos contedos da matemtica financeira na

disciplina de matemtica na educao bsica. Tambm se aproveitou o momento para obter

informaes sobre as escolas, como nmero de alunos no ensino fundamental e mdio,

documentos utilizados na rea de matemtica, como os Parmetros Curriculares Nacionais

15

(PCNs), o Padro Referencial de Currculo (PRC), Plano Poltico Pedaggico (PPP), e

tambm os planos de estudos e livros didticos.

Para conhecer melhor o campo de pesquisa, organizou-se um quadro geral das escolas

de educao bsica do municpio, com dados relevantes que pudessem servir de subsdios

para este trabalho, como nome e localizao (urbana ou rural), classificao (particular,

estaduais e municipais), nmero total de alunos e quantidade de concluintes do ensino

fundamental e mdio (Anexo A).

Dado o universo de escolas, alunos e professores, foi necessrio delimitar o campo da

pesquisa. A orientao que se seguiu foi a de escolher entre as escolas que oferecem somente

ensino fundamental, uma da rea rural e outra da urbana, para uma possvel anlise em funo

de cada contexto. E para que a investigao abrangesse tambm o ensino mdio, decidiu-se

pela escolha de uma escola que atendesse os ciclos completos (fundamental e mdio), a fim

de verificar o que ocorre com os contedos de matemtica financeira nesta etapa do ensino.

Para a escolha das escolas a serem pesquisadas, realizou-se um sorteio, no qual foram

contempladas as seguintes: Escola Municipal de Ensino Fundamental Henrique Dias1, situada

na localidade So Caetano, distante aproximadamente 12 km da sede do municpio, em rea

rural de pequenos agricultores e atende alunos de 5 a 8 srie em turno nico (tarde), num

total de 77 estudantes, com um corpo docente formado por nove professores; Escola

Municipal de Ensino Fundamental Pedro Rigo2, localizada em rea urbana, num bairro

residencial denominado So Pelegrino, com predomnio de trabalhadores assalariados,

possuindo um quadro de 20 professores, que atendem a 244 alunos em dois turnos, manh e

tarde; Escola Estadual de Ensino Mdio Anchieta3, situada no bairro Cidade Alta, prximo ao

centro da cidade, circundada por residncias, estabelecimentos comerciais e de servios,

possuindo 1033 alunos, 615 do ensino fundamental e 418 do mdio, distribudos em trs

turnos, atendidos por um quadro de 62 professores; seus estudantes so oriundos tambm dos

bairros circunvizinhos e de escolas do interior, especialmente no caso do ensino mdio.

Nas duas escolas municipais, como existe apenas uma turma de 8 srie em cada uma,

no houve necessidade de outro sorteio; na escola estadual, por haver trs turmas de 8 srie,

procedeu-se escolha de uma delas. No ensino mdio, tendo em vista a existncia de somente

duas turmas, uma pela manh e outra noite, decidiu-se pela incluso de ambas na pesquisa.

1 Escola 1 2 Escola 2 3 Escola 3

16

Como instrumentos de coleta de informaes foram elaborados e aplicados

questionrios, um para alunos e outro para professores (Anexos D e E). Em relao aos

estudantes, entendeu-se conveniente aplicar o questionrio para os alunos concluintes, tanto

do ensino fundamental (8 srie) como do ensino mdio (3 ano), por estarem no final de uma

etapa de ensino, possibilitando a obteno de dados mais abrangentes, especialmente no que

se relaciona com a matemtica financeira, envolvendo, assim, todo o perodo escolar da

educao bsica. O questionrio aplicado aos professores direcionou-se a todos os docentes da

disciplina de matemtica das escolas envolvidas na pesquisa, mesmo que no estivessem

trabalhando com contedos de matemtica financeira nas sries em que atuavam, pois inferiu-

se que, possivelmente, teriam tido contato com esse conhecimento na escola em anos

anteriores, ou quando da sua formao no curso de graduao.

Para identificar os alunos nas respostas dos questionrios adotou-se a seguinte

codificao: A Aluno. Na seqncia, os primeiros nmeros direita, 1, 2 ou 3, indicam a

escola pesquisada; o segundo nmero, a srie e o terceiro significa o nmero seqencial da

relao dos alunos. No caso da Escola 3, como participaram da pesquisa duas turmas do

terceiro ano do ensino mdio, uma do diurno e outra do noturno, estas foram diferenciadas por

d e n:

Ex 1: A2818: A = Aluno; 2 = Escola Pedro Rigo; 8 = oitava srie; 18 = nmero

seqencial da relao de alunos.

Ex 2: A33d12 A = Aluno; 3 = Escola Anchieta; 3d = terceiro ano, diurno e 12 =

nmero seqencial do aluno.

Com base no levantamento feito por ocasio das primeiras visitas s escolas, previu-se

um pblico-alvo total de 99 alunos, 55 das oitavas sries do ensino fundamental e 44 dos

terceiros anos do ensino mdio. Todavia, 92 estudantes responderam os questionrios, 54 do

ensino fundamental e 38 do ensino mdio. Desses, 59 (64,1%) so do sexo feminino e 33

(35,9%), do masculino; de uma faixa etria, no geral, entre 13 e 21 anos, sendo no ensino

fundamental de 13 a 16, com maior concentrao entre 14 e 15 (90,7%) e, no ensino mdio,

de 16 a 21 anos, tendo o maior nmero entre 17 e 18 (81,6%); os alunos que trabalham so 22

(23,9%), 4 (7,4%) do ensino fundamental e 18 (47,4%) do ensino mdio (Anexo B).

Quanto aos professores, participaram da pesquisa todos os que trabalham com a

disciplina de Matemtica das trs escolas, num total de oito docentes: um da Escola 1, dois da

Escola 2 e cinco da Escola 3. Possuem formao em ensino superior, sete deles com

graduao em Matemtica Licenciatura Plena e um com Licenciatura Plena em Cincias; trs

possuem ps-graduao, em nvel de especializao, sendo dois em Educao Matemtica e

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um em Matemtica Aplicada. Com relao ao tempo de atuao, de cinco a vinte anos,

ficando a mdia em torno de 13 anos de trabalho no magistrio. Para a identificao utilizou-

se codificao semelhante a dos alunos. Veja-se: P Professor. O primeiro nmero direita

identifica a escola, no caso, 1, 2 ou 3; o segundo nmero, o seqencial dos professores de uma

mesma escola:

Ex 1: P21 , onde P = Professor; 2 = Escola Pedro Rigo; 1 = o primeiro professor da

relao dos pesquisados;

Ex 2: P35, P = Professor; 3 = Escola Anchieta; 5 = nmero seqencial da relao dos

professores que responderam o questionrio.

Para mostrar a importncia e a necessidade do conhecimento dos contedos da

matemtica financeira e destacar o papel da escola em preparar seus alunos para as relaes

de consumo, buscaram-se situaes reais em que so utilizados para a soluo de clculos

matemticos. Nesse momento foi preciso escolher algumas das situaes constatadas para

demonstrao, levando em conta as justificativas e exemplos apresentados pelos sujeitos

pesquisados (alunos e professores) e o que mais tem sido destacado na mdia, nos jornais, na

televiso e em folders promocionais. Entre os produtos e servios relacionados no Anexo F,

optou-se por detalhar melhor e fazer simulaes sobre situaes de compras a prazo

(credirio), emprstimos e financiamentos.

Essas situaes reais, comuns na vida das pessoas em geral, em especial nas suas

relaes de consumo, foram relatadas nos contatos com estabelecimentos comerciais e

instituies financeiras. Para isso, selecionaram-se uma rede de lojas que possui financeira

prpria ou conveniada (LA), outra rede sem financeira (LB) e uma terceira loja, uma empresa

familiar (LC). Para exemplificar um emprstimo consignado escolheu-se um banco, que

forneceu, inclusive, uma tabela com vrias opes de prazos e taxas (Anexo H).

Em resumo, as principais etapas seguidas no desenvolvimento desta pesquisa, no

perodo compreendido entre novembro de 2006 e dezembro de 2007, foram as seguintes:

1. pesquisa bibliogrfica, com a leitura de livros, peridicos, artigos, dissertaes

sobre assuntos relacionados ao tema da investigao, como a histria da

matemtica financeira, educao matemtica, conceitos de matemtica financeira,

consumo e cidadania;

2. consulta aos documentos das escolas selecionadas (PCNs, PRC, PPP, planos de

estudo e livros didticos) e coleta de informaes sobre a escola, como o seu nome,

localizao, total de alunos e quantidade de estudantes concluintes do ensino

fundamental e mdio;

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3. elaborao e aplicao do instrumento de coleta de informaes, no caso, um

questionrio para os alunos da 8 srie e 3 ano, e para todos os professores de

matemtica das escolas envolvidas na pesquisa;

4. descrio e anlise dos dados obtidos com o instrumento de coleta de informaes

dos alunos e professores, com a fundamentao em documentos e autores;

5. anlise de situaes reais de compras e emprstimos levantadas em

estabelecimentos comerciais e instituies financeiras, com o fim de enfatizar a

importncia e a necessidade do conhecimento dos contedos de matemtica

financeira para a resoluo dos clculos dessas operaes, possibilitando ao

consumidor uma opo consciente;

6. consideraes finais da pesquisa e suas implicaes educacionais, com resultados,

concluses, proposio de continuidade de estudos e de novas investigaes sobre

o tema com base nos questionamentos levantados neste trabalho.

A organizao das informaes dos instrumentos de coleta de dados foi realizada em

duas etapas. Na primeira separaram-se os questionrios dos professores e alunos, sendo estes

ltimos subdivididos em dois grupos, estudantes do ensino fundamental e mdio (Anexo B).

Numa segunda etapa, realizou-se uma tabulao dos dados das respostas dos alunos (questes

1 a 4) e dos professores (2 e 4), destacando percentuais em relao ao total (Anexo C).

A partir das questes identificaram-se as categorias prvias para encaminhar as

anlises. No caso dos alunos foram quatro categorias: contedos/conceitos estudados;

importncia dos contedos para a vida; participao nas decises econmicas na famlia;

utilizao dos conhecimentos da matemtica financeira no trabalho. Para os professores, cinco

categorias: contedos/planos de ensino; uso de recursos didticos; interesse dos alunos pelos

contedos de matemtica financeira; formao dos professores; importncia social da

matemtica financeira. Foram feitos, tambm, recortes das falas dos alunos e professores,

vinculando aquelas que, no entender do pesquisador, melhor caracterizam cada categoria com

o intuito de dar maior autenticidade s manifestaes desses sujeitos.

Os dados foram analisados com base em teorias, pesquisas e documentos relacionados

ao tema, optando-se pelo mtodo de pesquisa qualitativa, uma abordagem que prioriza a

anlise dos significados, no apenas a descrio das informaes coletadas. Minayo (2004),

ao tratar sobre a pesquisa qualitativa, afirma que [...] a abordagem qualitativa aprofunda-se

no mundo dos significados das aes e relaes humanas, um lado no perceptvel e no

captvel em equaes, mdias e estatsticas. Destaca ainda que o conjunto de dados

19

quantitativos e qualitativos, porm, no se opem. Ao contrrio, se complementam, pois a

realidade abrangida por eles interage dinamicamente, excluindo qualquer dicotomia. (p. 22).

Reforando essa posio, Andr (2005) assim se manifesta sobre a presena de dados

numricos em pesquisa considerada qualitativa: deixa o estudo de ser qualitativo porque

reportou nmeros? evidente que no. No caso, o nmero ajuda a explicitar a dimenso

qualitativa. (p. 24). Nesta pesquisa, em vrios momentos utilizaram-se dados quantitativos,

que so analisados, comparados, relacionados com outros conceitos, vindo ao encontro do que

os autores preconizam.

Diehl e Tatim (2004), no campo da pesquisa em cincias sociais aplicadas, classificam

os tipos de pesquisa, segundo a abordagem do problema, em quantitativa e qualitativa. Quanto

estratgia da abordagem qualitativa, fazem a seguinte descrio:

Os estudos qualitativos podem descrever a complexidade de determinado problema e a interao de certas variveis, compreender e classificar os processos dinmicos vividos por grupos sociais, contribuir no processo de mudana de dado grupo e possibilitar, em maior nvel de profundidade, o entendimento das particularidades de comportamento dos indivduos. (p. 52).

A citao transcrita relevante, na medida em que nesta investigao se registraram

diferentes manifestaes dos alunos pesquisados, em razo do seu contexto ou grupo social,

no caso, rural ou urbano. Assim, a utilizao do mtodo da abordagem qualitativa

proporcionou ao pesquisador realizar observaes e anlises significativas sobre os dados

obtidos junto aos alunos e professores, bem como das situaes reais de compras e

emprstimos. Desse modo, pode-se demonstrar com mais clareza a importncia e a

necessidade do conhecimento dos contedos de matemtica financeira para a vida das pessoas

em geral ao realizarem compras a prazo e contrarem financiamentos, para que o faam com

conscincia, sabendo como e quanto iro pagar at o final do prazo acordado.

Portanto, pode-se caracterizar o presente estudo como uma pesquisa educacional, pois

ao longo de todo o trabalho realizado destaca-se a importncia da apropriao do significado

dos conceitos de matemtica financeira pelos alunos no perodo escolar compreendido como

educao bsica. Enfatiza-se tambm o importante papel da escola em preparar os estudantes

no s para o prosseguimento dos seus estudos, mas tambm para sua vida futura, exercendo

sua cidadania nas relaes de consumo e no mundo do trabalho.

2 FUNDAMENTAO TERICA

Neste captulo revisa-se o tratamento dado aos contedos de matemtica financeira em pesquisas, documentos e obras sobre essa rea da matemtica. Para isso, apresentam-se

algumas pesquisas relacionadas ao tema da investigao; alguns elementos histricos da

matemtica comercial e financeira, desde a origem das primeiras trocas comerciais at as

formas e conceitos contemporneos, e a fundamentao terica que embasar a anlise, com

autores e documentos pesquisados.

2.1 Sobre pesquisas relacionadas matemtica financeira

Interessam a esta investigao trabalhos que tratam de contedos de matemtica

financeira, experincias em sala de aula, uso de recursos tecnolgicos (vdeo, computador,

calculadora), anlise de currculos, especialmente aqueles que destacam a importncia do

conhecimento desta rea da matemtica para a vida das pessoas, ao abordar conceitos como

consumo, cidadania, autonomia, educao financeira.

Marasini (2001) realizou seu trabalho de pesquisa A matemtica financeira na escola e

no trabalho: uma abordagem histrico-cultural com o objetivo de identificar os conceitos de

matemtica financeira utilizados em transaes comerciais e bancrias e relacion-los com os

desenvolvidos na escola do ensino fundamental. Investigando em trs instituies bancrias,

um estabelecimento comercial e quatro escolas do municpio de Passo Fundo-RS, chegou

concluso de que existem semelhanas nos conceitos utilizados nos contextos do trabalho em

relao escola. Props, assim, a formulao de propostas pedaggicas que incluam prticas

sociais como mediadoras na formao de conceitos cientficos e destaca a importncia da

matemtica financeira. Afirma a autora:

21

[...] grande a importncia que essa parte da matemtica tem na vida das pessoas, as quais esto permanentemente cercadas pelos problemas de sobrevivncia financeira, necessitando de clareza e autonomia para tomar decises frente s situaes dirias e para que possam compreender as transaes comerciais e bancrias das quais se utilizam com freqncia. (p. 10).

Nascimento (2004) investigou a formao do aluno e a viso do professor no ensino

mdio em relao matemtica financeira. Seu objetivo foi refletir sobre o que sabem os

alunos cursantes e egressos do ensino mdio e o que pensam os professores a respeito da

matemtica financeira nesta etapa da escolaridade. Para os alunos aplicou testes sobre

contedos de matemtica financeira, como regra de trs, porcentagem e juro, cujos resultados

revelaram que as dificuldades so muito grandes, como registrou: As dificuldades reveladas

podem ser atribudas, [...], ausncia desse tema no planejamento dos professores e,

conseqentemente, ao no tratamento dele em sala de aula. (p. 123). Aos professores,

participantes de um projeto de formao continuada, por meio de um convnio entre a PUC-

SP e a Secretaria Estadual de Educao de So Paulo, aplicou questionrios e realizou

entrevistas, constatando que eles consideram a matemtica financeira como um tema

importante para a formao dos alunos. Com base nas constataes dessa pesquisa, infere-se

que o conhecimento dos contedos da matemtica financeira auxiliariam os alunos a

assumirem uma posio crtica diante das situaes a serem enfrentadas nas suas relaes de

consumo e no exerccio da cidadania. Em suas concluses, o autor defende a incluso de

contedos da matemtica financeira no currculo do ensino mdio, enfatizando que

[...] h necessidade de se adotar currculos no Ensino Mdio que possibilitem a insero cultural dos jovens no que se refere aos conhecimentos financeiros. S assim, repetimos, a Escola lhes propiciar condies para o exerccio da cidadania no mundo do trabalho, consumo, comrcio e finanas em geral. (p. 103).

Na pesquisa Trabalhando matemtica financeira em uma sala de aula do ensino

mdio da escola pblica, Almeida (2004) desenvolveu uma proposta de trabalho com uma

turma de primeiro ano do ensino mdio, denominada Projeto Clculo. O estudo envolveu a

participao dos alunos no estudo de matemtica financeira utilizando reportagens de jornais,

troca de experincias sobre problemas elaborados pelos prprios alunos ou pela pesquisadora,

com resoluo individual ou em pequenos grupos. O objetivo era analisar como os alunos

sistematizam e apreendem os contedos de matemtica financeira numa prtica colaborativa e

participante entre os sujeitos envolvidos na pesquisa. A autora afirma que importante

explicitar que este estudo no se refere a uma anlise sobre o currculo da Escola, mas achei

adequado socializar como o ensino da matemtica est organizado. (p. 35). Analisando

22

especialmente as interaes em sala de aula, ao final props outras investigaes, como a

discusso sobre o currculo de matemtica no ensino mdio da escola pblica e a construo

de uma proposta pedaggica de ensino da matemtica para o ensino mdio, a partir de

materiais que circulam na mdia. (p. 99). Almeida reafirma a importncia da proposta

desenvolvida em sala de aula, mostrando que contribui para a formao matemtica do aluno

e sua preparao para o mundo em que vive.

Considero que a abordagem de contedos de matemtica financeira no ensino mdio pode contribuir com a formao matemtica deste nvel de aluno, bem como capacit-lo para entender o mundo em que vive, tornando-o mais crtico ao assistir a um noticirio, ao ingressar no mundo do trabalho, ao consumir, ao cobrar seus direitos e analisar seus deveres. (p. 5).

A pesquisa Educao financeira: uma perspectiva interdisciplinar na construo da

autonomia do aluno, de Stephani (2005), trata da possibilidade da construo da autonomia

do aluno numa perspectiva interdisciplinar, tendo a educao financeira como um elo de

ligao entre vrias reas do conhecimento. Os trabalhos de investigao foram realizados por

meio de um projeto com alunos do 2 ano do ensino mdio, com orientao de um grupo de

professores das disciplinas de matemtica, tica, histria, geografia e informtica. No decorrer

das atividades, os alunos foram incentivados a trazer dados sobre o oramento familiar, gastos

com gua, luz, telefone, escola, automvel, financiamento. No desenvolvimento do projeto

foram tratados contedos de matemtica financeira (juros e porcentagem), legislao

econmica, aplicaes financeiras, histria da economia brasileira, linguagem comercial. O

pesquisador, com uma abordagem qualitativa, objetivou analisar que mudanas o

planejamento do oramento familiar proporcionou aos participantes do projeto e como

contribuiu na construo de sua autonomia. Para o autor,

fica evidenciada a construo de autonomia, quando os alunos so capazes de argumentar, reconhecer o que aprenderam e no conheciam ou no dominavam antes. (p. 64). [...] durante o desenvolvimento das atividades do projeto de educao financeira, promovendo um verdadeiro frum onde os alunos e professores puderam manifestar suas idias, discutir, tirar concluses. [...] essa troca de idias possibilitou neles as trocas de alguns de seus paradigmas em relao ao consumo e ao planejamento de seus gastos e de sua vida profissional futura. (p. 65).

Carvalho (1999) desenvolveu o tema educao matemtica, destacando a matemtica e

a educao para o consumo numa reflexo sobre os chamados temas transversais constantes

nos Parmetros Curriculares Nacionais. Ao tratar do tema educao para o consumo e o uso

do vdeo em aulas de matemtica, elaborou uma proposta de interveno a dois professores de

23

matemtica, visando utilizao de novos recursos de ensino para contribuir na dinmica do

processo de ensino-aprendizagem. A problemtica de estudo da pesquisadora aparece assim

delineada: Que contribuies para a formao profissional de professores de matemtica

poderiam trazer a elaborao e discusso de uma proposta pedaggica orientada para a

Educao do consumidor e mediada pelo uso do vdeo? (p. 5). A importncia do

conhecimento de contedos de matemtica comercial e financeira na educao destacada

pela autora ao concluir que, nas diversas formas de dar significado matemtica comercial e

financeira, este estudo favoreceu as interaes professor-contedo, professor-aluno, aluno-

aluno, aluno-contedo e aluno-cidadania. (p. 143). Outras afirmaes conclusivas

apresentadas neste trabalho so:

[...] uma oportunidade de reflexo e de tomada de conscincia, possibilitando mais uma vez o desenvolvimento da conscincia metacognitiva deles como professores. [...] acreditamos ter contribudo para, de alguma forma, despertar alunos e professores para a validade de se discutir e exercitar a cidadania. [...] esperamos, ainda, poder motivar outras pessoas para prosseguirem disseminando uma viso crtica sobre a educao para o consumo. (CARVALHO, 1999, p. 151).

No trabalho Educao financeira: a matemtica financeira sob nova perspectiva,

Santos (2005) teve como objetivo principal possibilitar o acesso ao conhecimento da

matemtica financeira a ser utilizado como instrumento para educar financeiramente o jovem

e sua famlia. Uma educao financeira serve no s para a administrao das despesas e

possibilidades de crdito, mas tambm para o planejamento financeiro para a construo do

futuro. Segundo a autora,

necessrio esclarecer o jovem colocando-o a par de alguns aspectos do sistema, levando-o a entender que comprar e vender, acessar servios bancrios e poupar so atos comuns da vida social, mas escondem procedimentos que sugam recursos, muitas vezes eliminando possibilidades futuras de equilbrio financeiro. (p. 138).

Como metodologia de trabalho, Santos utilizou os cinco passos propostos pela

pedagogia histrico-crtica (PHC) segundo Saviani: partir da prtica social, problematizar,

instrumentalizar, incorporar os instrumentos culturais (catarse) e retornar prtica social. No

primeiro momento, trabalhando com alunos, e depois, com professores da rede estadual de

ensino, junto Diretoria Regional de Catanduva, So Paulo, apresentou seu estudo sobre a

educao financeira estruturando um mtodo nos cinco passos da PHC. No desenvolvimento

deste projeto a pesquisadora constatou que no somente os alunos desconhecem os

princpios da EF, mas tambm os professores, e esta uma das causas da ausncia deste

24

contedo em sala de aula. (p. 135). Para suprir a escassez de material didtico especfico,

Santos elaborou uma apostila reunindo os contedos mais importantes da matemtica

financeira para alcanar um trabalho efetivo de educao financeira, uma verdadeira proposta

de trabalho para os professores, voltada ao pblico do ensino mdio.

[...] nossa inteno foi produzir um material a nossa sntese capaz de relacionar contedos clssicos com problemas de ordem social, que envolvem reflexes sobre gastos, servios bancrios, oramento pessoal e domstico e ainda sobre poupana, investimentos e planejamento financeiro. (p. 139).

Santos et al. (2007), com o artigo Viso de professores e desempenho de alunos em

relao ao ensino-aprendizagem de matemtica financeira, tiveram como objetivo pesquisar

junto aos professores que lecionavam no ensino mdio sobre suas concepes a respeito do

ensino da matemtica financeira; com os estudantes visavam verificar o desempenho na

resoluo de questes envolvendo conceitos da matemtica financeira. Para a realizao da

pesquisa utilizaram formulrios especficos para entrevista com 77 alunos do 1 ano da

Universidade do Estado do Par, que freqentavam cursos de matemtica, cincias naturais ou

formao de professores, e 40 professores de diversas instituies de ensino da regio

metropolitana de Belm. No instrumento aplicado aos alunos era solicitado como fora seu

estudo referente matemtica financeira e formulavam-se algumas questes sobre contedos

deste tema; para os professores, questionamentos sobre como eram abordados os contedos da

matemtica financeira, solicitando-se que eles classificassem as questes aplicadas aos alunos

quanto ao grau de complexidade (muito fcil, fcil, regular, difcil ou muito difcil). Para os

professores, o nvel das questes de matemtica financeira foi considerado, em mdia,

regular; como mais fcil os contedos de juros simples e montante, e difcil, quando se tratava

dos juros compostos e seu montante. Quanto ao desempenho dos alunos, significativo

percentual errou, em mdia 16%, ou nem respondeu s questes (70%). No geral,

consideraram as questes difceis; alguns, inclusive, manifestaram que no gostavam ou eram

indiferentes quanto matemtica financeira. Algumas concluses evidenciaram-se nas

respostas dos professores, como o uso da metodologia tradicional no ensino da matemtica

financeira (definio, exemplos, exerccios); os recursos utilizados, sendo em primeiro lugar o

livro didtico e, em segundo, outros, por exemplo, apostilas; e o desempenho dos alunos, que

estaria muito aqum do desejado.

Silva e Arajo Jr. (2007) realizaram um trabalho sobre o tema aprendizagem da

matemtica financeira, intitulado Concepes dos alunos sobre a matemtica financeira: um

25

estudo de caso luz da aprendizagem significativa, com o objetivo de investigar as

concepes de matemtica financeira e estratgias de aprendizagem sustentadas por alunos da

3 srie do ensino mdio e examinar a relao entre as concepes dos alunos e a prtica de

atividades contextualizadas (p. 1), privilegiando a utilizao de instrumentos auxiliares como

o computador e a calculadora. Para a efetivao dos trabalhos utilizaram-se de pesquisa

exploratria, com a construo de hipteses, pesquisa bibliogrfica, pesquisa descritiva sobre

caractersticas dos alunos participantes (idade, sexo, participao no mercado de trabalho,

perfil do aluno) e um estudo de caso com dois alunos, mapeando suas concepes e

observando-os na sua relao com questes contextualizadas da matemtica financeira. Os

autores buscaram resposta para duas questes: uma, se preferncias professadas pelos alunos

a respeito de matemtica financeira estavam refletidas em suas prticas na resoluo de

atividades relacionadas a esta temtica (p. 9-10); a outra, [...] se a utilizao do recurso da

calculadora e do computador na resoluo de atividades contextualizadas iria influenciar em

suas concepes. (p. 10). Os resultados demonstraram mudanas nas concepes dos alunos

sobre os contedos de matemtica financeira. Os pesquisadores entendem que os resultados

positivos devem ter ocorrido em virtude da unio de estratgias de ensino-aprendizagem, ou

seja, do contexto histrico-cultural e o uso de tecnologias da informao. (p. 15-16). Neste

trabalho, os autores puderam, ainda, concluir sobre a anlise do questionrio aplicado.

Dentre as limitaes deste trabalho preciso destacar que, embora tenha sido realizado estudo de caso com dois alunos, onde se verifica mudanas de concepes, a anlise especfica do questionrio final aplicado para todos os alunos da 3 srie do ensino mdio que compe nossa amostra, permite algumas generalizaes, isto , sobre qual a viso dos alunos a respeito do uso do computador e da calculadora, como instrumentos auxiliares no estudo de Matemtica Financeira. (p. 16).

Identificaram-se nessas pesquisas alguns elementos que evidenciam a importncia da

matemtica financeira como parte da construo do conhecimento na disciplina de

matemtica. Destaca-se a afirmao sobre a necessidade de incluso dos contedos da

matemtica financeira no ensino mdio, constante na Proposta Curricular Oficial para o

Ensino de Matemtica no Estado de So Paulo (PCESP), de 1992. (NASCIMENTO, 2004, p.

47). Outros trabalhos tambm trazem para a discusso a importncia de se tratar desses

contedos na escola bsica, por serem imprescindveis para os alunos obterem autonomia e

exercitarem a cidadania. Santos (2005) vai alm ao afirmar que os contedos clssicos da

matemtica e da matemtica financeira so instrumentos para um processo mais amplo: a

Educao Financeira. (p. 139).

26

2.2 Alguns elementos histricos da matemtica comercial e financeira

Os elementos histricos sobre o tema permitem uma melhor compreenso dos

conceitos atuais da matemtica financeira. Assim, apresentam-se algumas referncias, desde a

sua origem, por meio das primeiras trocas comerciais, passando pelo uso de equivalncias nas

trocas, a criao da moeda, at as formas contemporneas da utilizao de contedos de

matemtica financeira para a resoluo de problemas.

2.2.1 Sobre sua origem

A matemtica financeira, historicamente, esteve muito ligada ao conceito e ao

significado de comrcio, tanto que a maioria dos autores de livros desta rea do conhecimento

denominou suas obras de Matemtica comercial e financeira. Humberto Grande, no prefcio

da obra de Carvalho e Cylleno (1971), chega a escrever que a histria do comrcio a

prpria histria da civilizao e, ainda, que o comrcio o sangue da economia. (p. 3).

Nas civilizaes primitivas, em que os homens sobreviviam tirando diretamente da

natureza os produtos para suprir suas necessidades, as trocas comerciais praticamente no

ocorriam. Porm, quando se iniciou a comunicao entre os primeiros grupos humanos,

comearam tambm as trocas de mercadorias a partir das quantidades excedentes que cada um

possua, sem a preocupao de sua equivalncia de valor. Surgiu, ento, a primeira forma de

comrcio entre as sociedades, a troca direta de mercadorias, assim descrita por Ifrah (1997):

o primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, frmula segundo a qual se trocam diretamente (e, portanto sem a interveno de uma moeda no sentido moderno da palavra) gneros e mercadorias correspondentes a matrias primas ou a objetos de grande necessidade. (p.145).

Pode-se verificar que na troca direta as mercadorias apresentavam-se no seu estado

natural e eram destinadas a suprir as necessidades fundamentais dos membros do grupo.

Mais tarde, com o contato cada vez maior entre as comunidades e com o

desenvolvimento do artesanato e da cultura, comearam a surgir dificuldades nas trocas por

no haver uma medida comum de valor entre os produtos a serem permutados. Por isso,

houve a necessidade de se criar um sistema mais estvel de avaliao e equivalncia, com

unidades chamadas de moeda-mercadoria ou padres fixos. Segundo Ifrah,

27

a primeira unidade de escambo admitida na Grcia pr-helnica foi o boi. No sculo VIII a.C., na Ilada de Homero (XXIII, 705, 749-751 e VI, 236), uma mulher hbil para mil trabalhos assim avaliada em 4 bois, a armadura em bronze de Glauco em 9 bois e a de Diomedes (que era de ouro) em 100 bois; ademais, numa lista de recompensas, vem-se suceder-se, na ordem dos valores decrescentes, uma copa de prata cinzelada, um boi e um meio talento de ouro. (1997, p. 146).

O boi, como padro de equivalncia, apresentava vantagens pela locomoo prpria,

reproduo e seu uso na prestao de servios. Outro padro de avaliao utilizado na poca

foi o sal, cujo valor decorria do seu uso na conservao de alimentos. Por isso, a palavra

salrio (remunerao, geralmente em dinheiro, devida pelo empregador ao empregado para

pagamento de servios prestados), no Imprio Romano, teve sua origem creditada pela

utilizao do sal como equivalncia nas trocas comerciais.

Nas ilhas do Pacfico as mercadorias eram estimadas em colares de prolas ou conchas

e, em outras civilizaes, utilizaram-se os mais diversos objetos ou produtos, que serviram

como critrio de valor e meio de troca comercial. Na Amrica Central pr-colombiana, os

maias usavam algodo, cacau, cermicas; os astecas, pedaos de tecido, semente de cacau, a

verdadeira pequena moeda com seu mltiplo, o xiquipilli, saco contendo ou supondo-se conter

8.000 gros (IFRAH, 1997, p. 146-147), pequenos machados em forma de T ou tubos de

plumas preenchidos com ouro. Na China, nos sculos XVI XI a.C. trocavam-se gneros e

mercadorias por padres como dentes ou chifres de animais, carapaas de tartarugas, conchas,

couros e peles. Mais tarde, usaram-se como base armas e ferramentas, que podiam ser de

pedra, inicialmente, e depois de bronze. No Egito faranico as mercadorias eram pagas com

metais como cobre, bronze e, por vezes, ouro e prata, divididos em pepitas ou palhetas, ou,

ainda, na forma de lingotes e anis, cujo valor era determinado pelo peso.

A moeda de troca, no sentido moderno do termo, comeou a ser realizada quando o

metal passou a ser fundido em pequenos lingotes ou peas, que eram facilmente manejveis,

de peso igual e selados com a marca oficial de uma autoridade pblica, a nica que podia

certificar o bom preo e o bom quilate.

A inveno desse sistema ideal de troca comercial, segundo a opinio da maioria dos

especialistas, foi atribuda Grcia da sia (ou sia Menor) e Ldia, no sculo VII antes da

era crist. Em razo das mltiplas vantagens que comportava, seu uso teria se espalhado

rapidamente pela Grcia, Fencia, Roma e entre inmeros outros povos, inclusive na China.

(IFRAH, 1997, p. 152).

Com o maior desenvolvimento do comrcio no mundo, inicialmente os centros

comerciais eram a Fencia, Cartago e as cidades-estado da Grcia. Mais tarde, com a criao

28

do Imprio Romano, o centro passou a ser Roma. Na Idade Mdia, o comrcio prosperou

especialmente nas cidades-estado da Itlia, como Veneza, Pisa, Gnova e Florena, que

negociavam muito com o Oriente.

A partir do sculo XV, outros pases, como a Holanda, Espanha, Portugal e,

posteriormente (sculo XVII), a Inglaterra fortaleceram-se assumindo a liderana do

comrcio. Intensificaram o transporte martimo para suas mercadorias, por oferecer maior

segurana do que por terra firme, onde freqentemente os mercadores eram saqueados. Esses

pases, ento, atingiram uma nova posio no mundo pela navegao, o que aumentou seu

poder martimo. De acordo com Robert (1989), essa transformao deu-se em razo do grande

achado geogrfico constitudo pela descoberta do caminho martimo para a ndia e, sobretudo,

pela descoberta do Novo Mundo, a Amrica. (p. 54).

Quando o comrcio comeava a atingir o auge, com a figura do mercador se iniciou

uma atividade nova, que era o comrcio do prprio dinheiro, na poca o ouro e a prata. Com

as relaes entre pases aumentando cada vez mais, moedas de diversos pases eram trocadas,

mas, ao passar as fronteiras, a questo quantidade de ouro em cada moeda se torna muito

importante, pois o pas comprador paga com sua moeda, uma soma equivalente quantidade

de ouro contida na moeda do pas vendedor. (ROBERT, 1989, p. 31). Como estabelecer a

relao entre os valores das moedas nas relaes internacionais, o que hoje seria a taxa de

cmbio, cotao ou padro monetrio? Definiu-se, ento, o primeiro critrio para determinar a

equivalncia entre moedas, o qual se baseou na quantidade de ouro em poder de cada pas o

chamado padro ouro -, s abandonado no incio do sculo XX (pouco antes de 1930).

Alguns comerciantes, conhecendo muito essas moedas estrangeiras (ouro e prata), comearam

a interessar-se por acumular grandes quantidades para, ento, se dedicar atividade de troca

ou cmbio de dinheiro, da o surgimento dos cambistas. Assim,

num espao de tempo relativamente curto, acumularam-se fantsticas somas em dinheiro nas mos dos cambistas. Paulatinamente, foram se ocupando de uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. Imaginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma, em seus cofres, imensa quantidade de dinheiro. Era natural que a seguinte idia lhe ocorresse: porque estas grandes somas de dinheiro havero de permanecer em nosso poder sem qualquer lucro para mim? [...] emprestarei parte deste dinheiro a quem pedir, sob a condio de que seja devolvido num prazo determinado. E como meu devedor empregar o dinheiro como quiser durante este perodo talvez em transaes comerciais -, natural que eu obtenha alguma vantagem. Por isso, alm do dinheiro emprestado, dever entregar-me, no vencimento do prazo estipulado, uma soma adicional. (ROBERT, 1989, p. 55-56).

A partir desse procedimento, isto , da cobrana de uma soma adicional, evidencia-se

o lucro, o ganho ou, ento, o juro. Assim, ficaram caracterizadas, ainda que de uma forma

29

bastante rudimentar, o que seriam as primeiras operaes de crdito. Outra curiosidade o

modo como os cambistas exerciam sua profisso, sentados num banco de madeira em algum

lugar do mercado, local onde faziam o intercmbio de sua mercadoria especfica, o dinheiro,

dando origem palavra banqueiro e, tambm, banco.

Entre os egpcios e babilnios, no mundo antigo, e, mais tarde, entre os gregos e

romanos, era costume os cidados mais abastados confiarem a custdia de seu ouro aos

sacerdotes. Dessa forma, os primeiros bancos teriam sido criados pelos sacerdotes, pois

emprestavam por meio de suas organizaes, como os templos, quantias que depois de um

certo tempo eram devolvidas com juros, em ouro e prata. A Igreja Catlica criou, ento, o

Banco do Esprito Santo, j com um fabuloso capital inicial, com o objetivo de facilitar a

cobrana de impostos, dzimos e indulgncias de seus fiis, como tambm de realizar

operaes de emprstimos. Desse modo, a Igreja exercia um domnio nesta atividade,

proibindo ou at condenando os cidados que emprestavam dinheiro a juros. Na prtica, como

escreveu Robert (1989), esta proibio era motivada por um interesse econmico muito

mundano: a Igreja ambicionava assegurar para si o monoplio absoluto na exao [cobrana]

de juros. (p. 57).

A Igreja, apesar das ameaas e maldies, no conseguiu conter a avidez das pessoas

por ganhos e lucros. O prprio desenvolvimento do comrcio j exigia a criao de uma rede

bancria mais ampla. As pioneiras nesta atividade foram as cidades-estado da Itlia, que

atuavam at os mais distantes confins do mundo conhecido na poca. Por isso, o primeiro

banco privado foi fundado em Veneza, pelo duque Vitali, no ano de 1157. Nos sculos XIII,

XIV e XV, houve a criao de toda uma rede bancria e a Igreja teve de aceitar a nova

realidade, de que no estava mais sozinha nesse ramo de negcio.

Aps a descoberta da Amrica, que trouxe como uma das conseqncias um

impetuoso florescimento do comrcio na Europa ocidental, surgiram poderosas casas

bancrias nos finais do sculo XVI e XVII, e uma nova espcie de transao, a conta corrente,

que utilizada ainda hoje pelos bancos. Robert (1989) esclarece sobre o funcionamento desta

nova modalidade para a movimentao de dinheiro:

Sua essncia a seguinte: os possuidores de dinheiro, tendo frente o comerciante, depositam no banco uma determinada quantia de dinheiro sob a denominao de conta corrente. Mais tarde, se o comerciante necessita efetuar um pagamento, preenche um formulrio impresso pelo prprio banco, chamado de cheque. Assim, o cheque nada mais que uma ordem que o depositante d ao banco para que este pague ao portador a soma estipulada no cheque, deduzindo-a de sua conta corrente ou transferindo-a para a conta corrente de um outro depositante. (p. 58).

30

Assim, o cheque pode ser considerado como a primeira forma de uso do papel-moeda.

Posteriormente, surgiriam as letras de cmbio, com a qual vendedor e comprador estabelecem

um prazo e, neste caso, o comprador se obriga diante do vendedor a pagar em dinheiro a

dvida contrada no prazo determinado. Outra espcie de obrigao surgida foi a emisso do

bilhete de banco, segundo Robert (1989), [...] uma obrigao por uma determinada soma

de dinheiro emitida por um banco para isso autorizado e que se compromete a pagar em

dinheiro efetivo e a qualquer momento a soma ali estipulada. (p. 59). O bilhete era

facilmente aceito pelos cidados porque confiavam na solvncia do banco e era respaldado em

ouro.

Gonalves (2007) apresenta claramente a ligao existente entre o desenvolvimento

dos bancos e a utilizao dos clculos da matemtica comercial e financeira:

O surgimento dos bancos est diretamente ligado ao clculo de juros compostos e o uso da Matemtica Comercial e Financeira, de modo geral. Na poca em que o comrcio comeava a chegar ao auge, uma das atividades do mercador foi tambm a do comrcio de dinheiro: com o ouro e a prata. Nos diversos pases eram cunhadas moedas de ouro e prata. (p. 4). Assim os bancos foram um dos grandes propulsores prticos para o avano da Matemtica Comercial e Financeira e da Economia durante os sculos X at XV. Pois sem essa motivao para o aprimoramento dos clculos, talvez, essa rea de Matemtica no estivesse to avanada nos dias atuais. (p. 6).

Infere-se que, para alcanar uma preciso nos clculos, houve toda uma evoluo

histrica nas formas utilizadas para resolver os problemas a partir das primeiras trocas

comerciais. Segundo Medeiros (2003), foram os dedos das mos e dos ps os primeiros

instrumentos que o homem primitivo utilizou para atender a diferentes necessidades como a

de controlar a quantidade de animais dos rebanhos utilizados em seu sustento. (2003, p. 19).

Mais tarde, com o aumento das transaes comerciais, o homem criou instrumentos que, ao

longo do tempo, foram se sofisticando. Para a contagem dos objetos, podem-se citar o baco

(inveno atribuda aos chineses no sculo 20 a.C.), as tabelas, rguas de clculos e tbuas

matemticas. O uso da aritmtica na resoluo de problemas matemticos j existia bem antes

dos escritos sobre ela, porm, quando se necessitou efetuar contagens mais extensas, o

processo de contar teve de ser escrito e sistematizado.

Com o crescimento significativo da atividade comercial no Renascimento e o interesse

pela educao, foram elaborados os primeiros escritos populares sobre a aritmtica, tendo sido

impressas vrias obras na Europa ainda antes do sculo XVII e, de acordo com Eves (2004),

[...] basicamente aquelas escritas em latim por intelectuais de formao clssica, muitas

vezes, ligados a escolas da Igreja, e outras escritas no vernculo por professores prticos

31

interessados em preparar jovens para carreiras comerciais. (p. 299). A obra denominada

Aritmtica de Treviso considerada a mais antiga aritmtica impressa, annima e

extremamente rara nos dias de hoje. Publicada na cidade de Treviso, em 1478,

trata-se de uma aritmtica amplamente comercial, dedicada a explicar a escrita dos nmeros, a efetuar clculos com eles e que contm aplicaes envolvendo sociedades e escambo. Como os algoritmos iniciais do sculo XIV, ela tambm inclui questes recreativas. Foi o primeiro livro de matemtica a ser impresso no mundo ocidental. (GONALVES, 2007, p. 6).

Outras publicaes sobre a aritmtica tambm tiveram sua relevncia, como a

aritmtica comercial escrita por Piero Borghi, em Veneza, em 1484, e que alcanou dezessete

edies at 1557; a aritmtica de Filippo Calandri, publicada em Florena em 1491,

considerada menos importante, mas que trouxe, segundo Gonalves, o primeiro exemplo

impresso do moderno processo de diviso e tambm os primeiros problemas ilustrados que

apareceram na Itlia. (2007, p. 7).

Podem-se citar ainda outras obras sobre aritmtica que tiveram muita influncia no

desenvolvimento da matemtica, como as de Widman, Kbel e Riese, na Alemanha, sendo a

de Adam Riese considerada a mais influente de todas as aritmticas comerciais alems, [...]

este trabalho conseguiu uma reputao to alta que, ainda hoje na Alemanha, nach Adam

Riese significa clculo correto. (EVES, 2004, p. 299). Tambm na Inglaterra, no sculo XVI,

foram publicadas as aritmticas de Tonstall e de Recorde, este ltimo, segundo Eves (2004),

o mais influente autor ingls de textos escolares. (p. 300), deu incio ao simbolismo

algbrico e escreveu textos sobre lgebra, geometria e astronomia.

Portanto, a aritmtica foi a precursora nos clculos dos problemas nas relaes

comerciais de vrios povos, evoluindo mais tarde para o uso da lgebra (frmulas ou modelos

matemticos) e que teve a sua contribuio importante na forma como hoje so resolvidas as

questes da matemtica comercial e financeira.

2.2.2 Conceitos contemporneos da matemtica financeira

Atualmente, a matemtica est presente em todos os nveis da educao escolar; por

isso, no se pode relegar a segundo plano sua importncia para a apropriao dos significados

nas relaes econmicas e financeiras e o desenvolvimento do raciocnio lgico.

A partir dessa colocao, trazem-se algumas definies atuais sobre a matemtica

financeira. Segundo Arajo (1992), a matemtica financeira um ramo da matemtica

32

aplicada. Mais precisamente aquele ramo da matemtica que estuda o comportamento do

dinheiro no tempo. (p. 13). J Hazzan e Pompeo (2004) afirmam que a matemtica

financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo [...]. (p. 1). Laureano e Leite (1987)

formulam um conceito mais amplo, referindo-se ao desenvolvimento e ao domnio deste ramo

da matemtica:

A matemtica financeira desenvolveu-se pari passu com o sistema econmico, conhecido por Economia de Mercado. Domin-la, por conseguinte, tornou-se como que impositivo, quer pelas implicaes do trabalho assalariado, quer pelas operaes de compra e venda, quer pelos investimentos de capital. (p. 3).

At pouco tempo atrs, a maior parte das obras deste ramo da matemtica trazia bem

clara a denominao de matemtica comercial e financeira. Carvalho e Cylleno (1971)

distinguiram a matemtica comercial (juros e descontos simples, ligas, moeda, cmbio e

ttulos de renda) da matemtica financeira (juros e descontos compostos, rendas certas,

emprstimos, depreciao e as tbuas financeiras). Acredita-se que a classificao de

comercial ou financeira esteja mesmo ligada forma de resoluo dos problemas. Os clculos

relacionados utilizao de frmulas matemticas, porcentagens, juros e descontos simples,

por exemplo, esto mais prximos do conceito de comrcio. Por outro lado, os clculos de

juros compostos, sries de pagamentos, amortizaes de emprstimos bancrios so

entendidos como financeiros, pois, em geral, utilizam-se calculadoras financeiras para a

soluo dos problemas apresentados. Atualmente, j se encontram obras com os ttulos

Matemtica financeira (ARAJO, 1992; CAMPOS FILHO, 2001) e Matemtica financeira

aplicada (PUCCINI, 2001; BRANCO, 2002).

Santos (2005), ao tentar responder questo sobre o que a matemtica financeira

estuda, assim esclarece:

De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemtica Financeira o ramo da Matemtica Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemtica Financeira busca quantificar as transaes que ocorrem no universo financeiro levando em conta a varivel tempo, ou seja, o valor monetrio no tempo (time value money). As principais variveis envolvidas no processo de quantificao financeira so a taxa de juros, o capital e o tempo. (p. 157).

Para entender melhor a definio da autora poder-se-ia afirmar que um determinado

valor - capital em dinheiro hoje poder no ser o mesmo em outro tempo, porque, alm das

variveis capital e tempo, existe a taxa de juros, justificada pelo uso ou emprstimo do

dinheiro, ou da inflao (aumento geral dos preos de produtos e servios).

33

A matemtica financeira, como parte ou ramo da matemtica, segundo a maioria dos

autores citados neste trabalho, composta de vrios contedos interligados e

interdependentes, formando um sistema de conceitos, definio que se encontra em Vigotski

(2005):

Nos conceitos cientficos que a criana adquire na escola, a relao com um objeto mediada, desde o incio, por algum outro conceito. Assim, a prpria noo de conceito cientfico implica uma certa posio em relao a outros conceitos, isto , um lugar dentro de um sistema de conceitos. (p. 116, grifo nosso).

Razo, proporo, porcentagem, regra de trs, juro simples e composto so

considerados nesta pesquisa como contedos bsicos da matemtica financeira, constituindo

um sistema de conhecimentos pela relao existente entre eles.

Bigode (2000) apresenta um conceito de razo relacionado a uma taxa percentual: a

razo entre um nmero e 100. (p. 218). Acrescenta que uma razo cujo segundo termo

igual a 100 chamada de taxa percentual. (p. 226).

Ao tratar de razo e proporo, pode-se verificar que h uma relao com a regra de

trs. Segundo Souza e Spinelli (1999), a igualdade entre duas razes chamada de

proporo. (p. 270). Os autores evidenciam a ligao desses contedos:

Uma proporo uma igualdade formada por duas razes. Como em cada razo h dois nmeros, em uma proporo h quatro. Nos problemas com grandezas diretamente proporcionais, normalmente so conhecidos trs nmeros da proporo, sendo necessrio calcular o quarto. Esse mtodo de resoluo de problemas com grandezas proporcionais chamado de regra de trs. (p. 274, grifo do autor).

A porcentagem, tambm conhecida por percentagem, ou, ainda, por taxa de

porcentagem, utilizada quase diariamente nos meios de comunicao, especialmente na

divulgao de pesquisas de opinio e indicadores econmicos. De acordo com Balielo e Sodr

(2005), o termo por cento proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda

razo da forma a/b na qual o denominador b=100, chamada taxa de porcentagem. [...]. A

expresso por cento, segundo estes autores, aparece nas primeiras obras de aritmtica do

sculo XV, na Itlia, e o smbolo % teria surgido como uma abreviatura da palavra cento,

utilizada nas operaes mercantis. (p. 17). Santos (2005), ao discorrer sobre porcentagem,

afirma:

34

Porcentagem uma comparao. A porcentagem est presente em inmeras situaes. No h como entender o mundo do capital, das compras, das vendas, do planejamento financeiro, etc. sem entender porcentagem. Precisamos entend-la para realizar clculos, interpretar grficos, tabelas, e principalmente, us-la a nosso favor. (p. 157).

Sobre esse contedo, Bigode (2000) traz a seguinte definio: As porcentagens

expressam relaes entre uma quantidade e o nmero 100. Da o nome porcentagem. E cita

um exemplo de pesquisa de opinio sobre hbitos de um grupo populacional, com os

resultados comparados, utilizando o nmero de 100 pessoas como base: 23 em cada 100

habitantes usam o sabonete Cheiroso (23%); de cada 100 habitantes, 11 preferem vlei a

futebol (11%); 90 em cada 100 famlias assistem ao Jornal Regional (90%). (p. 226).

Na resoluo de problemas envolvendo porcentagem, pode-se utilizar o mtodo da

regra de trs, como no exemplo a seguir: se uma mercadoria recebeu um abatimento

(desconto) de 15%, correspondente a R$ 1.200,00, qual o seu preo inicial? Para montar uma

proporo, parte-se dos dados conhecidos das grandezas taxa de porcentagem e valor em

reais e pode-se indicar com x o termo desconhecido. Ento, 15 (por cento) est para

1.200,00 e 100 (por cento) para x:

Porcentagem Valor

15 1200 ento, 100 x

Aplicando a propriedade fundamental das propores - o produto dos meios igual

ao produto dos extremos (GIOVANI; PARENTE, 1993, p. 5) - encontra-se que o preo

inicial era de R$ 8.000,00.

O conceito de juro, quando analisado apenas sob o aspecto econmico-financeiro,

leva afirmao de que a remunerao pelo emprstimo de um capital (dinheiro). Se se est

devendo, pagam-se juros; quando se aplica um valor no banco ou se empresta um dinheiro,

recebem-se juros. Santos (2005) define juro como sendo

[...] aquela quantia que cobrada ou recebida a mais sobre um valor emprestado ou aplicado durante certo tempo referida taxa. Quando pedimos dinheiro emprestado a um banco, sempre teremos que pagar juros pelo emprstimo obtido. Quando efetuamos depsitos em poupana ou outro tipo de investimento, o valor excedente que recebemos por mantermos nosso capital aplicado o juro. como se fosse um aluguel que se paga pelo uso do dinheiro. (p. 161).

Entretanto, o conceito de juro pode ser definido sob diferentes prismas, como o

poltico, o econmico, o jurdico ou at um enfoque filosfico. A economia, conforme Alencar

(2006), conceitua juros como sendo a remunerao paga pelo tomador de um emprstimo

10015 =

x1200

35

junto ao detentor do capital emprestado. Juridicamente, os juros so ditos frutos civis do

capital, remunerao pela disponibilidade de uma importncia em dinheiro por determinado

tempo. (p. 1).

Quando so consideradas decises de governos, est presente o enfoque poltico no

conceito de juro, com critrios objetivos e subjetivos, que

consistiam na escassez de capital e renncia liquidez monetria, aliada oferta e procura da moeda em investimentos. [...] os juros passaram a ser instrumentos de polticas de desenvolvimento econmico com manipulao da oferta monetria disponvel. (ALENCAR, apud CALDAS, 1996, p. 76).

Do prisma filosfico, tem-se o conceito do filsofo e economista Giannetti (2005):

[...] a realidade dos juros no se restringe ao mundo das finanas, como supe o senso comum, mas permeia as mais diversas e surpreendentes esferas da vida prtica, social e espiritual, a comear pelo processo de envelhecimento a que nossos corpos esto inescapavelmente sujeitos. Os juros so o prmio da espera na ponta credora os ganhos decorrentes da transferncia ou cesso temporria de valores do presente para o futuro; e so o preo da impacincia na ponta devedora o custo de antecipar ou importar valores do futuro para o presente. (p. 10).

Os juros so classificados em simples ou compostos, dependendo do regime de

capitalizao. No caso do juro simples, a taxa percentual incide somente sobre o capital inicial

e no se incorpora no capital, mesmo com o passar do tempo, tendo um crescimento linear.

No juro composto, o regime de capitalizao diferente, porque a cada perodo o juro gerado

incorporado ao capital atual (saldo devedor) e sua acumulao se d de forma exponencial.

O regime de capitalizao do juro composto o mais utilizado no sistema financeiro e nos

clculos de emprstimos. A seguir apresenta-se uma tabela comparativa entre juro simples e

composto, representada tambm num grfico, evidenciando as diferentes formas de

capitalizao. O exemplo demonstrado considera um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma

taxa de 20% ao ano, por quatro perodos consecutivos, mostrando a forma de acumulao dos

juros nos dois regimes de capitalizao, encontrado em Mathias e Gomes (2004, p. 100).

Tabela 1 Quadro comparativo juro simples/composto

n Juros simples Juros Compostos Juro por perodo Montante Juro por perodo Montante

1 1000 x 0,20 = 200 1.200,00 1000 x 0,20 = 200 1.200,00 2 1000 x 0,20 = 200 l.400,00 1200 x 0,20 = 240 1.440,00 3 1000 x 0,20 = 200 1.600,00 1440 x 0,20 = 288 1.728,00 4 1000 x 0,20 = 200 1.800,00 1728 x 0,20 = 346 2.074,00

Fonte: Mathias e Gomes, 2004, p. 100.

36

No clculo dos juros verificou-se a necessidade de saber e relacionar os demais

conceitos da matemtica financeira, como razo, proporo, porcentagem e regra de trs, para

a resoluo dos problemas. Com base na tabela anterior, no perodo 1 pode-se efetuar o

clculo com a seguinte representao:

Capital (R$) Porcentagem (%)

1000 100 x 20

Assim, tem-se a seguinte proporo:

Ao acumulado de cada perodo denomina-se de montante, sendo o elemento que

representa a soma do capital com o juro. No final do primeiro perodo o montante igual

tanto com o clculo de juro simples quanto com o de juro composto, porque ainda no ocorreu

a capitalizao (incorporao do juro no capital). Porm, a partir do segundo perodo fica

evidente a diferena da base de clculo para o juro composto, porque a cada novo perodo a

base se altera, resultando num montante maior em relao ao juro simples, conforme

demonstrado na tabela.

Essa seqncia de clculos remete possibilidade de utilizao de frmulas

matemticas, que so generalizaes de procedimentos para se chegar diretamente ao

resultado com n perodos. Para a resoluo de problemas de juro simples, tm-se as

variveis J (juro), C (capital), i (taxa) e t (tempo = n de perodos). Segundo Giovanni e

Parente, o juro (J) proporcional ao capital (C), taxa de juro (i) e ao prazo empregado (t).

Ento, pode-se estabelecer a seguinte regra de trs composta. (1993, p. 210):

x1000

20100=

37

Capital Juro Prazo

100 i 1

C J t

Logo:

Pode-se dividir a taxa percentual por 100, transformando em unidade centesimal, e

tem-se a seguinte relao: J = C . i. t , ou ainda, J = C . i . n, onde n significa nmero de

perodos.

O montante, por definio, igual ao capital mais o juro: M = C + J. Substituindo o J

por (C . i . n ), tem-se M = C + (C . i . n) e, atribuindo 1(uma unidade de capital) para C,

chega-se formula para o clculo do montante do juro simples: M = C (1 + i . n).

No juro composto, a frmula para o clculo do montante pode ser representada com os

seguintes passos, com base em Branco (2002): Para encontrarmos o montante (M) de uma

operao comercial ou financeira, vamos considerar um valor presente (C), uma taxa (i) e

calculemos o valor futuro (M), obtido a juros compostos, aps (n) perodos de tempo. (p.

30).

Valor futuro ou montante aps perodo 1: M1 = C + C x i = C (1 + i)

Montante aps perodo 2: M2 = M1 + M1 x i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2

Montante aps perodo 3: M3 = M2 + M2 x i = M2 (1 + i) = C (1 + i)2 (1 + i) = C (1 + i)3

Montante ou valor futuro aps perodo n: Para um perodo n possvel perceber que: Mn = C (1 + i)n, resultando na frmula

para clculo do juro composto: M = C (1 + i)n

Para obter o valor do juro, quando os valores do capital e do montante so conhecidos,

pode-se utilizar a definio J = M C (juro igual diferena entre o montante e o capital

inicial).

Se as pessoas soubessem, pelo menos, comparar o total do valor a prazo (montante)

com o a vista (capital inicial), utilizando o recurso da proporo ou da porcentagem, teriam

uma noo do valor a mais que estariam pagando na modalidade a prazo, mesmo no sabendo

Ji =

Ct1.100

Ji

tC.100 = 100 J = C.i.t J =

100.. tiC

38

calcular exatamente a taxa de juros mensais includa nas transaes com lojas ou financeiras.

O que se verifica, e foi confirmado pelos vendedores, em geral, que a maioria dos

consumidores no questiona a taxa de juros; apenas leva em considerao o valor da

prestao, se cabe no seu oramento mensal. As grandes redes de lojas, aproveitando-se desta

postura dos compradores, anunciam slogans como a menor prestao do mercado, a

condio que cabe no seu bolso e, para possibilitar parcelas mensais cada vez menores,

alongam os prazos, conseqentemente, as taxas de juros so maiores.

2.3 Outras contribuies

Os Parmetros Curriculares Nacionais esto baseados em normas legais,

especialmente na LDB 9.394/96 Lei de Diretrizes e Bases da Educao Nacional , que

norteia os currculos e seus contedos mnimos para assegurar uma formao bsica comum,

respeitando as diversidades regionais, culturais, polticas existentes no pas. Em 1998 foram

introduzidos os Parmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCNEF) e,

em 1999, os Parmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio (PCNEM).

No que se refere matemtica do ensino fundamental, no seu terceiro e quarto ciclos,

os PCNs apresentam uma finalidade clara, levando em conta o contexto social do aluno.

Visam construo de um referencial que oriente a prtica escolar de forma a contribuir para que toda criana e jovem brasileiros tenham acesso a um conhecimento matemt