Integral calculusline integrals

From calculus, in the case of a single variable

1

01 0 ,  where f

x

x

dFF F x F x f x dx xdx

Suppose , ,dF M x y dx N x y dy

1 1,x y

0 0,x y

There is an infinite number ofdifferent paths from  0 0 1 1, ,x y x y to 

1 1

00

, ,x

x y

ydF M x y x dx y x yN dy

Now, consider the case that two variables are at play.

Note how in the dx integralwe expressed y in terms of xand in the dy integral, weexpressed x in terms of y.

Rev. 2/27/2019

Example 2 3 , 3 4M x y N x y    

integrate along                       from (x,y) = (0, 3) to (2,7) 2 3y x

2 7

0 3

2 7

0 3

2 22 70 3

32 3 2 3 4 32

11 98 92 2

8 11 992 2 2 2

11 9 11 916 18 49 7 9 34 2 4 2

126

c

ydF x x dx y dy

x dx y dy

x yx y

       

       

       

        

if dF is an exact differential, then

1 1 0 0, ,c c

y x

F Fdf dx dy F x y F x yx y

if dF not an exact differential, the integral depends on the path

2 7

0 3

2 2 2 70 3

2 3

2 6 4

9 6 2

4 19 42 2(49) 18

3 4

18

9

126

x y dx

x dx y dy

x x y

x y dy

y

(3,7)

(2,3)(0,3)

The integral is independent of the path, i.e., only depends on the endpoints.

The example given above corresponds to an exact differential.

We already integrated this along the most directpath.  Now lets integrate from x = 0 to 2, keepingy = 3, and then from y = 3 to 7, keeping x = 2.

same as before

Example of an inexact differential

ab

b

(2,2)

2,0(0,0)

du dx xdy

2 2

0 02

2 20 0

2 2 2 20 00 0

2 2 42

2 2 6

c a

c b

dx xdy dx ydy

yx

dx xdy dx dy x y

There are also line integrals with three independent variables.

path a is along the liney = x

, , , , , ,c

M x y z dx N x y z dy P x y z dz

Path a

Path b

(y = x)

Example: du yzdx xzdy xydz

This is an exact differential (with u = xyz)Exact differentials are important in thermodynamics

reversible processes proceed infinitely slowlycyclic processes:  begin and end

in same state

ex. 0 0 0 1 1 1 0 0 0, , , , , ,P T V P T V P T V

A line integral for a cyclic process is written as  du

0du if du is an exact differential

If du is not an exact differential  0du obvious such a process is irreversible, since goingaround a cycle does not fully restore the systemto its initial state.

For a gas (or liquid) revd PdV

This is not an exact differential

rev rev revcd  not 

Example:  1 mol of ideal gas at T = 500 K, V = 20.0 l

(a) expand at constant T to V = 40.0 l(b) cool at constant volume to 300 K(c) compress to V = 20 l at T = 300 K(d) heat to T= 500 K at V = 20 l

40

20

2

1

401.0 8.3145 500 288220

rev

n

nRTPdV dVV

V JKnRT n K JV mol

(a) 

               mol 

PV nRTusing

Step (b)                  ,  so work = 00V

Step (c) 1729revnRTPdV dV JV

Step (d)                  since there is no volume change 0rev

To go around the cycle,  1153rev J

cdq q dq = heat transferred in a reversible process

It is also not an exact differential

dU dq dU q

so for a cyclic process q = ‐for the process worked out above, heat had to be provided

,rev pdq C dT constant P and no reaction or phase change, Cp = heat capacity

adiabatic process: 0addq

ad addU d

Double integrals

2 2

1 1

,a b

a bI f x y dxdy

When doing the first integral, treatthe other variable as a constant

2

0 0

22

00

2 2

0

3 2 2

0

4

42

2

23 2

a b

ba

a

a

x xy dydx

xyx y dx

bx b x dx

bx b x

Example

Double integrals

3 2 2

0 0

332 2

00

33 3 3

0 0

4 40

2

3

273 9 213

21 214 4

a x

xa

a a

a

x xy y dydx

yx y xy dx

xx x dx x dx

x a

A somewhat more complicated case is when the upper limit of the inner integral depends on the variable used for the outer integration.Example

Look at bottom of objecty ranges from 0 to x2 ‐ 4 (limits of )

If upper surface were flat (parallel to xy plane), with f = 2

2

32 0 2 2 222 4 2

2 2 4 2 4 21.33x

xdydx x dx x

If the upper surface were flat with f = 6, the volume would be 63.9

Actually, the upper surface varies from 2 to 6 according to f = 2‐y

22

22 0 2 042 4 2

22 4 22 22 2

2 2

52 4 2 3 222

2 22

4 8 162 4 2 82 2

1 66 16 162 10 3

xx

yV y dydx y dx

x x xx dx x dx

xx x dx x x

A more challenging example

In QM, for the H atom and for a particle in a 3‐D box, we encounter triple integrals

2 2 2

1 1 1

2 , ,Prob a b c

a b cx y z dxdydz

A special case is when the integral factors

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

a b c

a b c

a b c

a b c

f x g y h z dzdydx

f x dx g y dy h z dz

It may be easier to do an integralin polar or spherical coordinates

This is the case for the H atom.

Probability of finding a particle in the specified volume (rectangular box)

Integrals involving polar coordinates 2 2 2a x y aBe Be

ha

2

2

22 2

0 0

2 2 20 0

2

2

a

a

B e d d

B e d

Ba

Note, we pick up a factor of  whenintegrating in polarcoordinates

Normalize2 21

2B aB

a

1f ha

if  = a   height = 0if  = 0   height = h

2 3 2 2 20 2 0

01 2 2

2 3 2 3 3aa

a a hah d d h ha a

2 2

0 0 0, , sinf r r drd d

Integrals in spherical coordinatesHere the integral is over all space.  2 is max angle for  and  is the max anglefor 

2 integrated over all space should give 1.

2 2

0 0 0, , sinf r r drd d

Integrals in spherical coordinatesHere the integral is over all space.  2 is max angle for and  is the max anglefor