ผศ.อาภรณ  อินตะชัย 

แผนกคณิตศาสตร สาขาวิทยาศาสตร คณะ

วิทยาศาสตรและเทคโนโลยีราชมงคลลานนา

ภาคพายัพ เชียงใหม 

การหาคาอินทิกรัลฟงกชันพีชคณิต

Calculus

2

แบบฝกทักษะการหาคาอินทิกรัล ชุดท่ี 1 ช่ือ-สกุล...............................................................................สาขา................................เลขท่ี............... ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- นิยาม เราเรียกฟงกชัน F(x) วาเปนปฏิยานุพันธ ( Antiderivatives ) ของ f(x) บนชวง I ถา )x(F = f(x) เขียนแทนดวยสัญลักษณ F(x) = dx)x(f และเรียกวา อินทิกรัลไมจํากัดเขต (Indefinite integral ) ของ f เรียก f(x) วาตัวถูกอินทิเกรต และถา F(x) วาเปนปฏิยานุพันธ ของ f(x) แลว F(x) + C จะเปนปฏิยานุพนัธ ของ f(x) ดวย สูตรการหาคาอินทิกรัลเบื้องตน ถา u เปนฟงกชันของ x และ a , c และ n เปนคาคงท่ี

สูตร1 dx)wv( = wdxvdx สูตร2 adx = cax

du)wv( = wduvdu adu = cau

สูตร3 avdx = dxva

สูตร4 dxax n = c

1n

ax 1n

เม่ือ 1n

avdu = duva duau n = c1n

au 1n

เม่ือ 1n

สําหรับ กรณท่ีี u เปนฟงกชันของตัวแปรอ่ืน ก็สามารถหาคาอินทิกรัลไดโดยใชสูตรดังกลาว โดยการเปล่ียนเปนตัวแปรนั้น ๆของ ฟงกชัน u

ตัวอยางการใชสูตร adx = cax , dxax n = c1n

ax 1n

เม่ือ 1n และ dx)wv( = wdxvdx

จงหาคาอินทิกรัลตอไปนี้

1. จงหาคาของ dx4 วิธีทํา ใชสูตร adx = cax

ดังนั้น dx4 = cx4

2. จงหาคาของ ds4

3

วิธีทํา ใชสูตร ads = cas

ดังนั้น ds4

3 = cs4

3

3. จงหาคาของ dxx33 10

วิธีทํา ใชสูตร dxaxn = c1n

ax 1n

จะได dxx33 10 = c110

x33 110

= cx3 11

4. จงหาคาของ dxx

242

วิธีทํา เนื่องจาก 2x

24 = 2x24

ใชสูตร dxax n = c1n

ax 1n

Calculus

2

จะได dxx

242

= dxx24 2

= c12

x24 12

= c1

x24 1

= cx

24

5. จงหาคาของ dxx5

12 5

1

วิธีทํา ใชสูตร dxax n = c1n

ax 1n

จะได dxx5

12 5

1

= c)1

51

(

x

5

121

5

1

= c)

56

(

x

5

12 5

6

= cx2 5

6

6. จงหาคาของ dx)18x2x8( 23 วิธีทํา ใชสูตร dx)wv( = wdxvdx

adx = cax และ dxax n = c1n

ax 1n

จะได dx)18x2x8( 23 = dx18dxx2dxx8 23

= cx1812

x2

13

x8 1213

= cx183

x2

4

x8 34

= cx183

x2x2

34

สําหรับกรณีท่ีตัวถูกอินทิเกรตมีมากเกนิ 1 พจน และอยูในรูปผลคูณ หารหรือเลขชี้กําลังรวมกัน จะตองใชหลักการทางพีชคณิตปรับฟงกชันใหแตละพจนเปนอิสระ ใหอยูในรูปผลบวกหรือผลตาง กอนจะใชสูตร dx)wv( = wdxvdx ดังตัวอยางตอไปนี ้

7. จงหาคาของ

dx)x2

x3x4x6(

24

วิธีทํา เนื่องจาก x2

x3x4x6 24

= x2

x3

x2

x4

x2

x6 24

=2

3x2x3 3

ดังนั้น

dx)x2

x3x4x6(

24

= dx)2

3x2x3( 3

= dx2

3xdx2dxx3 3

= cx2

3

2

x2

4

x3 24

= cx2

3x

4

x3 24

8. จงหาคาของ dx)1x2( 22

วิธีทํา เนื่องจาก 22 )1x2( = 1x4x4 24

ดังนั้น dx)1x2( 22

= dx)1x4x4( 24

= dx1dxx4dxx4 24

= cx3

x4

5

x4 35

Calculus

1

แบบฝกทักษะการหาคาอินทิกรัล 1.1

จงหาคาอินทิกรัลตอไปนี้

1. dx)x3x36( 25

=

=

2. dv)v408( 3

2

=

=

3. dx)x

20x9(

32

=

=

=

4. dx)x

4x(

=

=

=

5. dx)x5

4x4(5 23

=

=

=

6. dx)1x2(x3

=

=

=

7.

dx)x

5x8(

2

6

=

=

=

=

8. dx)x23(x 2

=

=

=

=

เกณฑการใหคะแนน หาคาอินทิกรัลถูกตองสมบูรณ พจนละ 1 คะแนน หาคาอินทิกรัลถูกบางสวน พจนละ 0.5 คะแนน หาคาอินทิกรัลไมถูก พจนละ 0 คะแนน

Calculus

2

การหาคาอินทิกรัลโดยวิธีแทนคา

สําหรับการหาคาอินทิกรัลของ dx))x(f)(x(g n ท่ีตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูปแบบท่ีซับซอน สามารถปรับฟงกชันเพื่อลดความซับซอนโดยใชหลักการทางพีชคณติ หรืออนุพนัธของฟงกชัน แลวใชสูตร

duau n = c1n

au 1n

, 1n ได โดยมีข้ันตอนดังนี ้

1. เลือกนิพจนท่ีเหมาะสมจากตัวถูกอินทิเกรตใหเปน u และหาคา dx

du = u

2. แทนคา u และ dx = u

du

ลงใน dx))x(f)(x(g n แลวพิจารณาผลของการแทนคา

ถาไมมีฟงกชันของ x เหลืออยูในตัวถูกอินทิเกรต จะได

dx))x(f)(x(g n = duau n = c1n

au 1n

เม่ือ 1n

2.2 ถายังมีฟงกชันของ x เหลืออยูในตัวถูกอินทิเกรต เชน duu)x(ha n แสดงวายงัไมสามารถปรับเพื่อใชสูตร duau n ได ใหเลือกกําหนด u ใหม หาก เลือกกําหนด u จนครบทุกนิพจนแลวไมสามารถปรับใชสูตรดังกลาวนีไ้ด ควรใชวิธีอ่ืน หาคาอินทิกรัลตอไป

3. แทนคาของ u ลงในผลการอินทิเกรต จะไดคาอินทิกรัลท่ีตองการ

ตัวอยางการหาคาอินทิกรัลโดยวิธีการแทนคา 1. จงหาคาอินทิกรัล dx)3x4(x32 42 วิธีทํา ให u = )3x4( 2 จะได u = 8x

แทนคา dx = u

du

= x8

du

ดังนั้น dx)3x4(x32 42

= x8

du)u(x32 4

= du)u(4 4

= c5

u4 5

= c)3x4(5

4 52

2. จงหาคาของ dx)x3x2)(x3224( 52

วิธีทํา ให u = )x3x2( 2 จะได u = 4x – 3

แทนคา dx = u

du

= )3x4(

du

ดังนั้น dx)x3x2)(x3224( 52 = dx)x3x2)(3x4)(8( 52

=

)3x4(

du)u)(3x4)(8( 5

= du)u)(8( 5

= c6

u)8( 6

= cu3

4 6

= c)3x2(3

4 62

Calculus

2

3. จงหาคาอินทิกรัล

dx

x21

x483 3

2

วิธีทํา เนื่องจาก

3 3

2

x21

x48

=

3

13

2

)x21(

x48

= 3

132 )x21(x48

ให u = )x21( 3 จะได u = 2x)6(

แทนคา dx = u

du

= 2x)6(

du

ดังนั้น

dx

x21

x483 3

2

=

dx)x21(x48 3

132

=

23

12

x)6(

du)u(x48

=

du)u)(8( 3

1

= c

32u)8( 3

2

= cu12 3

2

= c)x21(12 32

3

4. จงหาคาอินทิกรัล

dxx

)3x4( 5

วิธีทํา ให u = )3x4(

จะได u = x2

4 = x

2

แทนคา dx = u

du

=

x

2du

ดังนั้น

dxx

)3x4( 5

= x

2du

x

)u( 5

= du)u(2

1 5

= c6

u

2

1 6

= c12

u6

= c12

)3x4( 6

5. จงหาคาอินทิกรัล dx)x

35(

x

24 32

วิธีทํา ให u = )x

35( = )x35( 1

จะได u = 2x3 = 2x

3

แทนคา dx = u

du

= 2x

3du

ดังนั้น dx)x

35(

x

24 32

= 2

32

x

3du

)u(x

24

= du)u(8 3

= c4

u8 4

= cu2 4

= c)x

35(2 4

Calculus

2

แบบฝกทักษะการหาคาอินทิกรัล 1.2

จงหาคาอินทิกรัลตอไปนี ้1. dx)x32(x50 943 วิธีทํา ให u = จะได u =

แทนคา dx = u

du

= du

ดังนั้น dx)x32(x50 943

=

=

=

=

=

2. จงหาคาของ

dxx

)5xln2( 4

วิธีทํา ให u = จะได u =

แทนคา dx = u

du

= du

ดังนั้น

dxx

)5xln2( 4

=

=

=

=

=

3. จงหาคาของ dx)1x2x3)(1x3(12 52 วิธีทํา ให u = จะได u =

แทนคา dx = u

du

= du

ดังนั้น dx)1x2x3)(1x3(12 52

=

=

=

=

=

4. จงหาคาของ dxx2x)8x8( 2 วิธีทํา ให u = จะได u =

แทนคา dx = u

du

= du

ดังนั้น dxx2x)8x8( 2

=

=

=

=

=

Calculus

2

5. จงหาคาของ

dxx23

x10

3

2

วิธีทํา ให u = จะได u =

แทนคา dx = u

du

= du

ดังนั้น

dxx23

x10

3

2

=

=

=

=

=

เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทักษะการหาคาอินทิกรัล ท่ี 1.2 (ขอละ 3 คะแนน) กําหนด u , หาคา uและแทนคา dx ถูกตองสมบูรณ ได 1.5 คะแนน กําหนด u , หาคา uและแทนคา dx ถูกบางสวน ได 0.5 คะแนน หาคาอินทิกรัลถูกตองสมบูรณ ได 1 คะแนน หาคาอินทิกรัลถูกบางสวน ได 0.5 คะแนน แทนคาของ u ในผลการอินทิเกรตถูกตอง ได 0.5 คะแนน ไมแทนคาของ u ในผลการอินทิเกรตถูกตอง ได 0 คะแนน

คําตอบ คําตอบแบบฝกทักษะการหาคาอินทิกรัล ชุดท่ี 1.1 1. cxx6 36

2. cv24v8 3

5

3. cx

10x3

23

4. cx8x3

2 23

5. cx3

4x5 34

6. c4

xx

5

2 45

7. cx

5x

5

8 5

8. cx5

8x6x6 2

522

3

คําตอบแบบฝกทักษะการหาคาอินทิกรัล ชุดท่ี 1.2

1. c)x32(12

5 104

2. c)5xln2(10

1 5

3. c)1x2x3( 62

4. c)x2x(3

8 23

2

5. cx233

10 3

Calculus

2

หาคาอินทิกรัลถูกบางสวน พจนละ 0.5 คะแนน หาคาอินทิกรัลไมถูก พจนละ 0 คะแนน

ให u = หา u= dx

du

u =

dx =u

du

=

ดังนั้น dx)3x4(40 19

=

=

=

=

52. dx)4x(36 112

ให u = หา u= dx

du

จะได u =

dx = u

du

= dU

ดังนั้น dx)4x(36 112

=

=

=

=

Calculus

3

53. dt)5t2(t96 732

ให u = หา u= dx

du

จะได u =

dt = u

du

= dU

ดังนั้น dt)5t2(t96 732

=

=

=

54. dx)x32(x50 943

ให u = หา u= dx

du

จะได u =

dx =u

du

= dU

ดังนั้น dx)x32(x50 943

=

=

=

=

55. dx)1x2x3)(1x3(12 52

ให u = หา u= dx

du

จะได u = =

dx =u

du

= dU

Calculus

4

ดังนั้น dx)1x2x3)(1x3(12 52

=

=

=

=

56.

dx)3x2(

x489

ให u = หา u= dx

du

จะได u =

dx =u

du

= dU

ดังนั้น

dx)3x2(

x489

= dx)3x2(24 9

=

=

=

=

=

57.

dx)x21(

x4832

ให u = หา u = dx

du

จะได u =

dx =u

du

= dU

Calculus

5

ดังนั้น

dx)x21(

x4832

= dx)x21(x48 32

=

=

=

=

=

58.

dxx

)3x4( 5

ให u = หา u = dx

du

จะได u =

dx = u

du

= dU = dU2

x

ดังนั้น

dxx

)3x4( 5

=

=

=

=

59.

dxx

)5xln2( 4

ให u = หา u = dx

du

จะได u =

Calculus

6

dx = u

du

= dU =

ดังนั้น

dxx

)5xln2( 4

=

=

=

=

60. dxx2x)8x8( 2

ให u = หา U = dx

du

จะได u = =

จะได u =

dx ='U

dU = dU

ดังนั้น dxx2x)8x8( 2

= dx)x2x)(1x(8 212

=

=

=

= #

61. dx)x

35(

x

24 32

ให u = หา u = dx

du

จะได u = 2x

3

Calculus

7

dx =u

du

= dU

ดังนั้น dx)x

35(

x

24 32

=

=

= #

62.

dxx23

x10

3

2

dxx23

x10

3

2 =

dx)x23(x10 2

132

ให u = หา u = dx

du

จะได u =

dx =u

du

= dU

ดังนั้น

dxx23

x10

3

2

=

dx)x23(x10 21

32

=

=

=

= #

63. dt)35(3.48 5t2t2

ให u = หา u= dt

du

จะได u =

Calculus

8

dt =u

du

= dU

ดังนั้น dt)35(3.48 5t2t2

=

=

=

=

= #

64. dxxx736 74

dxxx736 74

= dx)x7(x36 34

= dxx7x36 32

ให u = หา u = dx

du

จะได u =

dx =u

du

= dU

ดังนั้น dxxx736 74

= dxx7x36 32

=

=

=

=

= #

Calculus

9

65. dx9x12x4

)3x2(722

5

dx9x12x4

)3x2(722

5

= dx)3x2(

)3x2(722

5

= dx)3x2(72 3

ให u = หา u = dx

du

จะได u =

dx =u

du

= dU

ดังนั้น dx9x12x4

)3x2(722

5

=

=

=

= #

66. dx)x3(cosx3sin12 3

dx)x3(cosx3sin12 3

= dx))x3)(cos(x3sin(12 3

ให U = หา u = dx

du

จะได u =

dx = u

du

= dU

ดังนั้น dx)x3(cosx3sin12 3

=

Calculus

10

=

=

=

= #

67. dx)x2(tan)x2(sec24 52

dx)x2(tan)x2(sec24 52

= dx))x2)(tan(x2(sec24 52

ให u = หา u = dx

du

จะได u =

dx =u

du

= dU

ดังนั้น dx)x2(tan)x2(sec24 52

= dx))x2)(tan(x2(sec24 52

=

=

=

=

= #

68. dx))x61cot(23(

)x61(csc602

2

Calculus

11

dx))x61cot(23(

)x61(csc602

2

= dx))x61cot(23)(x61(csc60 22

ให U = หา u = dx

du

จะได u =

dx =u

du

= dU

ดังนั้น dx))x61cot(23(

)x61(csc602

2

= dx))x61cot(23)(x61(csc60 22

=

=

=

=

= #

69. dt)t4sec(7)t4tan()t4sec(48

dt)t4sec(7)t4tan()t4sec(48

= dt))t4sec(7)(t4tan()t4sec(48 2

1

ให U = หา u = dt

du

จะได u =

dt = u

du

= dU

ดังนั้น dt)t4sec(7)t4tan()t4sec(48

Calculus

12

= dt))t4sec(7)(t4tan()t4sec(48 2

1

=

=

=

=

=

= #

70. dxx23

x23ln6

dxx23

x23ln6

= dx)x23(2

)x23ln(6

ให U = หา u = dx

du

จะได u =

จะได dx = u

du

= dU

ดังนั้น dxx23

x23ln6

= dx)x23(2

)x23ln(6

=

=

=

=

= #

Calculus

13

71. dx)x2arctan(5

)x41(8)x41(8

22

dt)t4sec(7)t4tan()t4sec(48

= dt))t4sec(7)(t4tan()t4sec(48 2

1

ให U = หา u = dt

du

จะได u =

dt = u

du

= dU

ดังนั้น dt)t4sec(7)t4tan()t4sec(48

= dt))t4sec(7)(t4tan()t4sec(48 2

1

=

=

=

=

=

= #

คําตอบ 1. cx4 2. cx5

3. cx8 4. ct9 5. cv3

6. cz2

7. cs4

3

Calculus

2

8. cu3

2

9. cy2.0 10. cuv 11. cx6 5 12. cx3 11 13. ct 4

14. c3

u5 6

15. ct3

10 6

16. cv6 12

17. cx

62

18. cx4

5 5

6

19. cu

24

20. cx

24

21. ct5 3 22. cx6 6

23. cv24 35

24. cs

29

25. ct5

3 25

26. cx

102

27. cm10

28. cx3

2 23

29. cx8 30. cx5 20

31. cx72

13

32. cx2 4

33. c13

u36 13

cxx2x5

12x

7

8 357

34. cx3x3

x 23

35. cx183

x2x2

34

36. cx2

3x

3

2x2 25

37. ctt2t4t 234

38. c2

vv6v

2

3 234

39. cs

6

s

10

3

s22

2

40. cxx25

36 23

35

41. cx2

3

x

2x4

2

42. cx2

3xx

4

3 24

43 cx12x4x2 25

44. cx9x33

x 23

45.

46. c4

x

5

x2 45

47. cx5

4x2 2

52

48.

49. cx4x3

8

2

x 232

50. c)1x2(12

1 6

51. c)3x4(12

1 20

52. c)4x(2

3 122

53. c)5t2(2 83

54. c)x32(12

5 104

55. c)1x2x3( 62

56. c)3x2(2

38

57. c)x21(

622

58. c)3x4(12

1 6

59. c)5xln2(10

1 5

60. C)x2x(3

8 232

61. C)x

35(2 4

62. Cx233

10 3

63. C)35(3ln

4 6t2

64. C)x7(8 2

33

65. C)3x2(9 4 66. C)x3(cos4 67. C)x2(tan2 6

68. C)x61cot(23

5

69. c))t4sec(7(8 2

3

70. C)x23(ln4

3 2

71. c))t4sec(7(8 2

3

c2

xx

3

4x

2

3x

5

4

6

x 2345

6

cxx2x5

12x

7

8 357