isomorfisma.doc

8/10/2019 Isomorfisma.doc

1/4

Isomorfisma

The idea behind an isomorphism is to realize that two groups are structurally the same

even though the names and notation for the elements are different. Ide di balikisomorfisme adalah menyadari bahwa dua kelompok secara struktural sama meskipun

nama dan notasi untuk elemen-elemen berbeda. We say that groups GandHareisomorphicif there is an isomorphism between them. Kita mengatakan bahwa kelompokGdanHisomorfisjika ada isomorfisme antara mereka. Another way to think of an

isomorphism is as a renaming of elements. Cara lain untuk memikirkan isomorfisme

adalah sebagai penggantian nama elemen.

For example, the set of complex numbers Misalnya, himpunan bilangan kompleks

under complex multiplication, the set of integers perkalian di bawah

kompleks, himpunan bilangan bulat under addition modulo 4, and thesubgroup Selain itu di bawah modulo 4, dan subkelompok

of dari look different but are structurally thesame. tampak berbeda, tetapi secara struktural sama. They are all of order 4 (but that's not

what makes them isomorphic) and are cyclic groups. Mereka semua order 4 (tapi bukan

itu yang membuat mereka isomorfis) dan kelompok siklik. The maps Peta (for the

first pair of groups) and (Untuk pasangan pertama kelompok) dan (for

the second and third of the groups) provide the necessary isomorphisms. (Untuk kedua

dan ketiga dari kelompok-kelompok) memberikan isomorphisms diperlukan.

We often give a name to certain collections of isomorphic groups. Kita sering memberi

nama koleksi tertentu dari kelompok isomorfik. For example, the above groups are cyclic

of order 4 (usually denoted as Misalnya, kelompok-kelompok di atas adalah siklik order 4

(biasanya dinotasikan sebagai (multiplicative notation) or (Notasi perkalian) atau

(additive notation)). (Notasi aditif)). When we say that there are only ngroups of order k(or ngroups up to isomorphism) we mean that there are only nisomorphic types. Ketika

kita mengatakan bahwa hanya ada kelompok-kelompok norder k(atau nkelompok

hingga isomorfisme) kita maksudkan bahwa ada hanya tipe nisomorfik. Any group of kelements must be isomorphic to one of these types. Setiap kelompok elemen kharus

isomorfik ke salah satu jenis. For example, there are only two groups of order 4 - cyclic

of order 4 and the Klein 4 group. Misalnya, hanya ada dua kelompok untuk 4 - siklik

urutan 4 dan Klein 4 kelompok. There are many groups with 4 elements but they are

isomorphic to one of these. Ada banyak kelompok dengan 4 elemen tetapi merekaisomorfis ke salah satu.

Up to isomorphism, there is only one group with a prime number of elements. Sampai

isomorfisme, hanya ada satu kelompok dengan sejumlah elemen utama. It is the cyclic

group Ini adalah kelompok siklik wherepis a prime. dimanapadalah bilangan prima.

There is only one infinite cyclic group up to isomorphism, namely the integers under


2/4

addition. Hanya ada satu kelompok siklik tak terbatas hingga isomorfisme, yaitu bilangan

bulat terhadap penjumlahan.

In trying to prove groups isomorphic, we might set up a map between the two groups

(following along the idea behind constructing a homomorphism). Dalam mencoba

membuktikan isomorfik kelompok, kita mungkin menyiapkan peta antara dua kelompok(berikut sepanjang ide di balik membangun homomorfisma a). Then, perhaps we find this

is not an isomorphism. Kemudian, mungkin kita menemukan ini bukan isomorfisme. And

that is all we have found. Dan itu semua kita telah menemukan. We cannot conclude thatthe groups are not isomorphic yet. Kita tidak bisa menyimpulkan bahwa kelompok yang

tidak isomorfik belum. We might just have hit on the wrong map. Kita mungkin telah

memukul pada peta yang salah. For example, there are 120 bijections between two

groups of order 5 (and 24 of these map the identity to the identity). Sebagai contoh, ada120 bijections antara dua kelompok untuk 5 (dan 24 ini peta identitas ke identitas). Of

these, only 4 are isomorphisms. Dari jumlah tersebut, hanya 4 yang isomorphisms. The

problem is much greater for more complicated groups. Masalahnya adalah jauh lebih

besar bagi kelompok-kelompok yang lebih rumit.

To show that two groups are not isomorphic, we need to exhibit a structural property ofone group not shared by the other. Untuk menunjukkan bahwa kedua kelompok tidak

isomorfik, kita perlu menunjukkan sebuah properti struktural satu kelompok tidak

dimiliki oleh yang lain. For example, the cyclic group of order 4 has two elements of

order 4 whereas the Klein 4 group has no elements of order 4. Sebagai contoh, kelompoksiklik orde 4 memiliki dua elemen pesanan 4 sedangkan Klein 4 kelompok tidak memiliki

unsur ketertiban 4. Thus the two cannot be isomorphic and belong in different

isomorphism classes. Dengan demikian kedua tidak dapat isomorfik dan termasuk dalamkelas yang berbeda isomorfisma. Other structural things to look for (but not limited to)

are number of (cyclic, abelian, non-abelian) subgroups, number of normal subgroups,

isomorphism types of factor groups. Hal struktural lainnya untuk mencari (tapi tidak

terbatas pada) adalah jumlah (siklik, abelian non-abelian) subkelompok, jumlah normalsubgroups, isomorphism jenis kelompok faktor

Dasar Teorema isomorfisma

In this sections we shall assume that GandHare groups and that Dalam bagian kita akan

mengasumsikan bahwa GdanHadalah kelompok dan bahwa is a homomorphism from

GtoH. adalah homomorfisma dari GkeH.

The Fundamental Theorem of Homomorphisms (also known as the First IsomorphismTheorem) states that Teorema Fundamental homomorphisms (juga dikenal sebagai

Teorema isomorphism Pertama) menyatakan bahwa . . If we denote the

natural homomorphism from Gto Jika kita menotasikan homomorfisma alami dari G

by oleh and the isomorphism from dan isomorfisma dari to untuk


3/4

by oleh then we have that maka kita memiliki . . That is, for all Artinya,

untuk semua , , . .

One question we have asked is how we can construct a non trivial homomorphism Satu

pertanyaan yang kita miliki ditanyakan adalah bagaimana kita dapat membangunhomomorfisma sepele non . . The Fundamental theorem provides a different

way to think about the problem. Teorema Fundamental menyediakan cara yang berbedauntuk berpikir tentang masalah. It tells us that if we look at the normal subgroups of G,

we can form all the possible factor groups. Ini memberitahu kita bahwa jika kita melihat

pada subkelompok normal G,kita dapat membentuk semua kelompok faktor yangmungkin. Then ifHcontains a subgroup isomorphic to that factor group there is a

homomorphism from GtoH. Kemudian jikaHberisi isomorfik subkelompok untuk

kelompok faktor ada homomorfisma dari GkeH.

For example, let us denote the elements of Sebagai contoh, mari kita menunjukkan unsur-

unsur where ris a rotation of di mana radalah rotasi ,xreflection about thex-axis,yreflection about they-axis, dreflection about the diagonaly

=xand areflection about the diagonaly=-x. ,Xrefleksi terhadap sumbux, yrefleksitentang sumbuy, drefleksi terhadapy=xdan diagonal refleksiterhadapy=-xdiagonal.

The subgroup Subkelompok is a normal subgroup of adalah subkelompok

normal . . The cosets areN, Para koset-koset adalahN, , ,

and dan . . Since Sejak , , then kemudian isisomorphic to the Klein-4 group. isomorfis ke grup Klein-4. Thus there is a non trivial

homomorphism from Jadi ada homomorfisma sepele non dari to any group that hasthe Klein-4 group as a subgroup. untuk setiap kelompok yang memiliki kelompok Klein-

4 sebagai sebuah subkelompok. As examples of groups that could act as codomain are the

Klein-4 group itself and Sebagai contoh kelompok yang dapat bertindak sebagai

kodomain adalah kelompok Klein-4 itu sendiri dan . .

The group Kelompok has 10 subgroups. memiliki 10 subkelompok. These are: Ini

adalah:

1.

2. , , , , , , , ,

3. , , , ,

4.


4/4

Of the eight proper non-trivial subgroups, the normal ones are: Dari delapan yang tepat

non-sepele subkelompok, yang normal adalah:

1.

2.

, , , ,

We have already seen Kita telah melihat is isomorphic to the Klein-4 group.

isomorfis ke grup Klein-4. Now Sekarang , , , is a group of order 2 and

must be isomorphic to the cyclic group of order 2, , Adalah kelompok berorde 2 dan

harus isomorfis ke grup siklik berorde 2, . . This tells us that the only other non-trivialhomomorphisms that can be constructed with Ini memberitahu kita bahwa hanya non-

sepele homomorphisms yang dapat dibangun dengan as domain are ones to groups

that have a subgroup isomorphic to sebagai domain adalah orang-orang kepada

kelompok-kelompok yang memiliki isomorfik subkelompok untuk . . Examples of

possible codomains are Contoh codomains mungkin adalah for na positive integer,

untuk nbilangan bulat positif, and dan . . We could also answer the problem, say,of how many epimorphisms are there from Kami juga bisa menjawab masalah ini,

mengatakan, berapa banyak epimorphisms ada dari to untuk . . For each possible

epimorphism there is a kernel of order 4 in Untuk setiap epimorphism mungkin ada

kernel ketertiban 4 di . . The "other" coset must map to the generator of "Orang lain"

koset harus peta untuk pembangkit . . There are 3 candidates for kernel and so thereare 3 epimorphisms from Ada 3 kandidat untuk kernel dan jadi ada 3 epimorphisms dari

to untuk . . All told, there are 4 homomorphisms from Semua mengatakan, ada 4

homomorphisms dari to untuk (the fourth one being the trivial homomorphism).

(Yang keempat menjadi homomorfisma sepele).

isomorfisma.doc

Documents