305

c

b

a

b

2arctg

2arcsin

2

. (12.18)

12.5.2 Určenie polomeru kružnicového oblúka

Obr. 12.27. Meranie vzopätí na oblúku

Pri rektifikácií oblúka určujeme strednú

hodnotu polomeru kružnicového oblúka. Môžeme

ju určiť z odmeraných vzopätí alebo analyticky zo

súradníc bodov, ktoré ležia na oblúku.

Vzopätia f odmeriame pozdĺž vnútornej

hrany vonkajšieho koľajnicového pásu, ktorý

rozdelíme na dĺžky b (b = 10 m). Postup merania

je podľa obr. 12.27. Polomer určíme z rovnice:

(b/2)2 = f (2r – f), ktorú upravíme na tvar

28

2 e

f

br . (12.19)

Údaj e predstavuje rozchod koľaje

(e = 1435 mm). V ďalších výpočtoch sa používa

priemerná hodnota z vypočítaných polomerov

podľa rovnice (12.19).

Obr. 12.28. GLUNI – prístroj na meranie vzopätí na oblúku

306

Na podklade merania vzopätí pozdĺž celého oblúka a oblastí prechodníc, sú vypracované rôzne

metódy vyjadrenia oblúka (oblúkovými súradnicami), podľa ktorých sa uskutočňuje vytyčovanie

a smerové opravy železničných oblúkov. Aby sa uľahčilo a spresnilo meranie vzopätí, vyrobili sa

špeciálne meracie súpravy na meranie vzopätí, založené na opticko-mechanických princípoch.

K najmodernejším prístrojom tohto druhu patrí univerzálny optický meračský prístroj GLUNI firmy

Breithaupt (obr. 12.28), ktorý sa okrem merania a vytyčovania vzopätí nad tetivou môže prispôsobiť

na meranie vzdialeností bodov v osi koľaje od zaisťovacích značiek, vytýčenie susedných koľají

v smere normály, na niveláciu a výškové vytyčovanie koľajnicových pásov. Prístrojom môžeme

odmerať vzopätie s presnosťou 1 mm.

Na analytické určenie veľkosti polomeru oblúka potrebujeme poznať súradnice najmenej troch

bodov vhodne rozložených na oblúku. Súradnice stredu kružnicového oblúka S vypočítame napr. ako

priesečník symetrál úsečiek 21PP a 32PP , (obr. 12.29):

12

32221113

2 kk

yykyykxxyS

, (12.20)

12

3121212321

2 kk

yykkxxkxxkxS

,

kde 21

211

xx

yyk

a

32

322

xx

yyk

.

Polomer vypočítame zo súradníc stredu kružnicového oblúka a niektorého z bodov na oblúku.

Iným riešením je určenie súradníc stredu kružnicového oblúka pretínaním napred, ako to vyplýva

z obr. 12.29.

Obr. 12.29. Výpočet polomeru oblúka zo súradníc

Ak je kružnicový oblúk určený viac ako tromi bodmi, môžeme veľkosť polomeru optimalizovať

vyrovnaním MNŠ. Vypočítané súradnice S(yS, xS) a polomer r vzťahmi (12.20) sa stávajú

predbežnými hodnotami 000 ,, rxy SS . Rovnice opráv majú tri členy

1331 ,,n,n xCv (n,1) , (12.21)

kde

C(n,3) = (1 (yi – yS0) / ri (xi – xS0)/ri), (12.22)

307

dx

dy

dr

,13x , (12.23)

(n,1) = irr 0 , (12.24)

202

0 SiSii xxyyr , pre i = 1, ..., n .

Vyriešime rovnicu

TTCCCx n,,nn,, 3

1

3313

(n,1) (12.25)

a k predbežným hodnotám yS0, xS0, r0 pripočítame vypočítané opravy dy, dx a dr a dostaneme

optimalizované súradnice stredu oblúka a polomer.

Polomer kružnicového oblúka sa dá tiež vypočítať, ak máme odmeraný jeden bod na oblúku

a poznáme analyticky definované smery dotyčníc. Veľkosť polomeru vypočítame iteračným postupom

(Bitterer, L.: Vyrovnávací počet).

12.5.3 Vytyčovanie hlavných bodov kružnicového oblúka

Na vytýčenie kružnicového oblúka potrebujeme poznať vytyčovacie prvky: stredový uhol

a polomer kružnicového oblúka r. Predpokladajme, že na vytýčenie hlavných bodov kružnicového

oblúka máme v teréne stabilizované vrcholy Vi dotyčnicového polygónu, ktoré boli vytýčené podľa

projektu líniovej stavby. Vytyčovanie hlavných bodov kružnicového oblúka, prechodníc a ich

podrobných bodov sa aplikuje v miestnom súradnicovom systéme dotyčnicového polygónu. V prípade

potreby ich do súradnicového systému S-JTSK prevedieme výpočtom vo vzťahu k súradniciam

dotyčnicového polygónu alebo transformáciou súradníc.

Keď vytyčujeme oblúk bez krajných prechodníc, polohu začiatku kružnicového oblúka (ZO)

a konca kružnicového oblúka (KO), určíme vytýčením dĺžky dotyčnice t od vrcholu V

dotyčnicového polygónu (obr. 12.30).

2tg

rtVKOZOV . (12.26)

V prípade, že je vrchol dotyčníc neprístupný, určíme stredový uhol riešením trojuholníka (obr.

12.24) alebo polygónom (obr. 12.25). Odmeriame dĺžku d medzi bodmi P1 a P2, alebo ju

vypočítame z polygónu vloženého medzi body R1 a R5. Vypočítame uhol . ZO a KO potom

vytýčime od bodov P1 a P2 podľa vypočítaných údajov

atZOP 1 , (12.27)

btKOP 2 ,

kde

sin

200sin g da a

sin

200sin g db .

Polohu bodu v strede na kružnicovom oblúku SO môžeme vytýčiť (obr. 12.30):

1. Pravouhlými súradnicami z bodov ZO a KO

2sin21

rKOEZOEx , (12.28)

2cos121

rfSOESOEy . (12.29)

308

2. Na dotyčnici v bode SO medzi bodmi T1 a T2

4tg11

rSOTZOTt . (12.30)

3. Vzdialenosťou z od bodu V a uhlom 21002 // g

1

2cos

1

2tg

rrVStVSOz . (12.31)

Obr. 12.30. Hlavné body kružnicového oblúka ( 200g)

Dĺžku oblúka vypočítame podľa rovnice

gg

g

g

200

/ararZOKOo

. (12.32)

Rovnice (12.28) až (12.31) sú platné aj pre oblúk so stredovým uhlom väčším ako 200g.

309

12.5.4 Vytyčovanie podrobných bodov kružnicového oblúka

Na podrobné vytýčenie bodov kružnicového oblúka najčastejšie používame metódu

ortogonálnych súradníc a metódu semipolárnych súradníc.

Obr. 12.31. Ortogonálne vytyčovanie podrobných bodov kružnicového oblúka pre x = konšt.

Obr. 12.32. Ortogonálne vytyčovanie podrobných bodov kružnicového oblúka pre s

= konšt.

310

12.5.4.1 Vytyčovanie podrobných bodov ortogonálnymi súradnicami od dotyčnice

Od ZO na dotyčnici vytyčujeme zaokrúhlené hodnoty úsečiek xi a k nim na kolmici poradnice

yi (obr. 12.31)

22ii xrry , (12.33)

alebo podrobné body vytyčujeme pri rovnako dlhých oblúkoch s

(obr. 12.32). Stredový uhol, ktorý

zodpovedá dĺžke s je

gg

2

400

r

s

r

sg

. (12.34)

Ortogonálne súradnice podrobných bodov oblúka vypočítame podľa rovníc

.nrynrx

,ryrx

,ryrx

nn

cos1sin

2cos12sin

cos1sin

22

11

(12.35)

12.5.4.2 Vytyčovanie podrobných bodov kružnicového oblúka metódou semipolárnych súradníc

Obr. 12.33. Vytyčovanie podrobných bodov kružnicového oblúka metódou semipolárnych súradníc

Metóda je založená na poučke o obvodových uhloch: smery, ktoré vychádzajú z bodu na kružnici

a zvierajú medzi sebou rovnaké uhly, vytvárajú na tejto kružnici rovnaké dĺžky oblúkov (obr. 12.33).

Pre zvolené s

(napr. pre párny zlomok dĺžky oblúka) vypočítame

gg

2r

s

(12.36)

311

a dĺžku tetivy

sin2 rt . (12.37)

Z bodu ZO a smeru na bod V vytýčime uhol (resp. 400g - ), v smere ktorého vo vzdialenosti

t vytýčime bod P1. Ďalší bod vytýčime v smere uhla 2 (resp. 400g – 2) od posledne vytýčeného

bodu vo vzdialenosti t, atď. Oblúk vytyčujeme zo začiatku oblúka (ZO) a konca oblúka (KO) po

stykový bod, ktorý je najlepšie zvoliť v strede na oblúku (SO).

12.5.4.3 Vytyčovanie podrobných bodov kružnicového oblúka metódou semipolárnych súradníc po

obvode

Po vytýčení bodu P1 predchádzajúcim postupom, centrujeme a horizontujeme teodolit nad

bodom P1, zacielime na bod ZO, od ktorého vytýčime uhol 2 + 200g, v smere ktorého vo

vzdialenosti t je bod P2. Podobne postupujeme ďalej a z bodu P2 vytýčime ďalšie body P3, atď.

(obr. 12.34).

Obr. 12.34. Vytyčovanie podrobných bodov oblúka metódou semipolárnych súradníc po obvode

12.5.5 Vytyčovanie oblúkov s prechodnicami

Prechodnice sú krivky, ktoré vkladáme medzi priame úseky a kružnicové oblúky. Na líniových

stavbách sa používajú rôzne krivky vo funkcii prechodnice. Prechodnice zaisťujú plynulý prechod

z priamej časti trasy do kružnicového oblúka. Spojením dvoch priamych úsekov kružnicovým

oblúkom, nastáva v dotykových bodoch priamky a kružnicového oblúka okamžitá zmena krivosti

a prechádzajúce vozidlá sú vystavené náhle vzniknutej odstredivej sile. Účinok odstredivej sily

eliminujeme prevýšením koľajnicových pásov, resp. priečnym sklonom vozovky. Pretože na konci

priameho úseku nemá byť ešte žiadne prevýšenie a súčasne na začiatku oblúka má byť už plné

prevýšenie, vkladáme medzi priamy úsek a kružnicový oblúk v horizontálnom smere krivku nazvanú

prechodnica, krivka vo vertikálnom smere je vzostupnica. Prechodnica má nasledujúce vlastnosti

(obr. 12.35):

312

- krivosť prechodnice postupne narastie od priameho úseku, kde je krivosť 1/, po kružnicový oblúk,

kde je krivosť 1/r,

- súčasne nastáva postupné zvyšovanie vonkajšieho koľajnicového pásu, resp. vozovky od nuly

v priamom úseku po plnú hodnotu prevýšenia p v kružnicovom oblúku.

Hodnota prevýšenia p je funkciou navrhovanej rýchlosti a polomeru oblúka. Stúpanie

z priameho úseku do naklonenej časti prebieha po vzostupnici, ktorej sklon v priemete na dotyčnicu

vyjadrujeme pomerom 1 : n, kde n je relatívny spád vzostupnice. Tvar vzostupníc je priamy alebo

zaoblený.

V železničnom staviteľstve sa používajú prechodnice v tvare paraboly 3° a 5° (Blossova

prechodnica), v zahraničí klotoida, Höferova prechodnica a iné. V cestnom staviteľstve sa používa

výhradne klotoida.

12.5.5.1 Výpočet vytyčovacích prvkov prechodnice v tvare kubickej paraboly

Obr. 12.35. Prechodnica a vzostupnica

Dĺžka prechodnice p na oblúku s prevýšením koľajnicových pásov p sa rovná dĺžke

vzostupnice (obr. 12.35)

1000

pnp , (12.38)

kde n je koeficient, ktorý určuje sklon (strmosť) vzostupnice. Normálny koeficient sklonu

vzostupnice sa volí n = 10 V (V je rýchlosť v km h-1

). V projekčne stiesnených pomeroch a

v ekonomicky odôvodnených prípadoch je dovolené podľa STN 73 6360 Geometrická poloha

a usporiadanie koľaje železničných dráh normálneho rozchodu, použiť aj menšie hodnoty koeficientu

n. Pre kubickú parabolu sa používa priama vzostupnica. Blossova prechodnica má zaoblený priebeh

vzostupnice.

Rovnica kubickej paraboly má tvar:

313

pr

xy

6

3

, (12.39)

kde

cos

1 . Uhol vypočítame z rovnice

r

p

2arcsin

.

Dosadením p za x do rovnice kubickej paraboly vypočítame poradnicu yKP na konci

prechodnice (obr. 12.36)

rky

p

KP6

2 . (12.40)

Odsadenie kružnicového oblúka m je:

cos1tg3

cos16

cos1

2

rrr

rympp

KP

. (12.41)

Obr. 12.36. Zobrazenie smerových pomerov a priebehu krivosti prechodnice

v tvare kubickej paraboly

Súradnice stredu prechodnice sú:

.m

yr

y,x KP

p

SPpSP28

1

482

12

(12.42)

314

Dĺžku prechodnice v osi koľaje vypočítame z členov rozvoja binomického radu

...rr

pp

p 4

5

4

2

3

20

1152

1

40

1 . (12.43)

STN 73 6360 na výpočet dĺžky prechodnice, resp. jej častí, uvádza len prvé dva členy

z binomického rozvoja. Odchýlky rádovo v mm od exaktnej dĺžky sú iba pri prechodniciach s oblúkmi

o malých polomeroch (rmin.).

12.5.5.2 Výpočet vytyčovacích prvkov prechodnice v tvare paraboly 5

Obr. 2.37. Zobrazenie smerových pomerov a priebehu krivosti prechodnice v tvare paraboly 5

(Blossova prechodnica)

Rovnica prechodnice v tvare paraboly 5 (Blossova prechodnica obr.12.37) má tvar

3

5

2

4

104

1

pp

xx

ry

. (12.44)

Dosadením p za x do rovnice paraboly 5 vypočítame poradnicu yKP na konci prechodnice

r,

rrky

ppppKP

2222

15020

3

104

1

. (12.45)

Odsadenie kružnicového oblúka je

m = yKP – r (1 - cos ) r

,p2

0250

, (12.46)

315

keď vypočítame z rovnice r

p

2arctg

.

Súradnice stredu prechodnice sú

xSP = p - r sin ,p2

1

r,

rry

ppppSP

2222

012508032064

1

. (12.47)

Dĺžku prechodnice v osi koľaje vypočítame z členov rozvoja binomického radu

...r,r,

ppp

4

5

2

3

012758343

. (12.48)

Obr. 12.38. Zobrazenie smerových pomerov a priebehu krivosti prechodnice v tvare paraboly 5

na protismerných oblúkoch

12.5.5.3 Výpočet vytyčovacích prvkov prechodnice v tvare paraboly 5 na protismerných oblúkoch

Rovnica prechodnice v tvare paraboly 5 na protismerných oblúkoch (obr. 12.38) má tvar

3

53

404

1

pp

xx

ry

. (12.49)

Dosadením p za x do rovnice paraboly 5 vypočítame poradnicu yKP na konci prechodnice

316

r,ky

pKP

2

2250

. (12.50)

Odsadenie kružnicového oblúka je

m = yKP -r (1 - cos ) r

,r

pp22

0260730

19 , (12.51)

keď vypočítame z rovnice

r,

p6250arctg .

Súradnica xS je

sinrx pS . (12.52)

Dĺžku prechodnice v osi koľaje vypočítame z členov rozvoja binomického radu

...r,r,

ppp

4

5

2

3

0944068722

. (12.53)

12.5.5.4 Výpočet vytyčovacích prvkov medziľahlej prechodnice

Na zloženom oblúku sa rozdiel prevýšenia koľajnicových pásov vyrovnáva v rozsahu medziľahlej

prechodnice (obr. 12.39). Dĺžku medziľahlej prechodnice vypočítame podľa rovnice

1000

12 ppnp

, (12.54)

kde p1 je prevýšenie koľajnicových pásov na oblúku s polomerom r1 a p2 na oblúku s polomerom

r2, n = 10 V (pozri rovnicu (12.38)).

V železničnom staviteľstve sa ako medziľahlá prechodnica používa časť kubickej paraboly. Jej

vytyčovacie prvky sa počítajú pre náhradný polomer rx, ktorý sa pre r1 r2 vypočíta z rovnice

21

21

rr

rrrx

. (12.55)

Poradnicu v koncovom bode medziľahlej prechodnice kx a poradnice k1 , k2 kružnicových

oblúkov k dotyčniciam t1 , t2 vypočítame z rovníc

222111

2

cos1cos16

rk,rk,r

kx

px

, (12.56)

kde uhly 1 , 2 a koeficient vyjadrujú rovnice

.r

,r

,r x

pp

x

px

cos

1a

2sin

2sin

2sin

22

11

(12.57)

Odsadenie kružnicového oblúka o menšom polomere r2 od dotyčnice sa vypočíta z rovnice

21 kkkm x . (12.58)

317

Obr. 12.39. Medziľahlá prechodnica

Medziľahlá prechodnica sa vytyčuje poradnicami dotyčnice kružnicového oblúka s väčším

polomerom od bodu M na obidve strany. Poradnice pre väčší polomer r1 vypočítame z rovníc

222111 CC yyY,yyY , (12.59)

kde y1 , y2 , yC1 a yC2 vypočítame z rovníc

bx,ax,l

xk

lr

b

y,l

xk

lr

a

ypp

px

px

p

px

px

p

226

2

6

221

2

3

21

3

1

, (12.60)

;ry,ry bCaC cos1cos1 1211 pričom 11

arcsinarcsinr

b,r

aba . ( 12.61)

Dĺžka medziľahlej prechodnice v osi koľaje 0 sa počíta z dĺžok oblúkov, vypočítaných z

náhradných polomerov (pre r1 r2) 4

,4

2211

mrr

mrr a oblúkom odpovedajúcim uhlom 1

a 2

2004200422110

mr

mr . (12.62)

318

12.5.5.5 Výpočet vytyčovacích prvkov prechodnice v tvare klotoidy

Tvar a dĺžku klotoidy vyjadruje (obr. 12.40) rovnica

rA 2 , (12.63)

kde A je parameter klotoidy,

r je polomer oskulačnej kružnice v uvažovanom bode, zvyčajne sa volí na styku prechodnice

s kružnicovým oblúkom

je dĺžka prechodnice.

Obr. 12.40. Vytyčovacie prvky klotoidy

Dĺžka prechodnice sa odvodzuje

- z prípustného prírastku odstredivého zrýchlenia za jednotku času pri jazde po prechodnici,

- z času potrebného na plynulý prechod z priameho úseku do oblúka,

- zo sklonu vzostupnice vonkajšej hrany vozovky pri zmene obojstranného priečneho sklonu

v priamom úseku na dostredivý sklon v oblúku,

- z jazdno-psychologických a estetických požiadaviek.

Podľa STN 73 6101 Projektovanie ciest a diaľnic má byť vzťah medzi polomerom a dĺžkou

prechodnice 0,1 r < < r , resp. polomerom a parametrom klotoidy 0,33 r < A < r.)

Na vytýčenie prechodnice v tvare klotoidy musíme vypočítať (obr. 12.40):

)

V cestnom staviteľstve sa používa označenie R , L , A .

319

- uhol dotyčnice v koncovom bode prechodnice k ,

- pravouhlé súradnice klotoidy x, y ,

- odsadenie kružnicového oblúka r ,

- vytyčovacie prvky klotoidy: súradnice stredu kružnicového oblúka, dĺžky normály, subtangenty

a tetivy.

Vzťahy medzi uhlom k , dĺžkou prechodnice a polomerom r vyjadrujú rovnice:

./

Ar,/A,

Ak

kkg

gg

2

2g

22

2

(12.64)

Pravouhlé súradnice klotoidy vypočítame z rovníc

....AAA

y

,...AA

x

10

11

6

7

2

3

8

9

4

5

240423366

345640

(12.65)

Rady (12.65) rýchle konvergujú, na praktické použitie stačí vypočítať iba prvé dva členy rovníc.

Dosadením do rovnice (12.65) vypočítame úsečku xPK a poradnicu yPK na konci prechodnice.

Odsadenie kružnicového oblúka vypočítame z rovnice

kPK ryr cos1 . (12.66)

Súradnice stredu kružnicového oblúka vyjadrujú rovnice

rry,sinrxx SkPKS . (12.67)

Dĺžky krátkej dotyčnice tk , normály z a subtangenty st = MN vypočítame z rovníc

kPKt

k

PK

k

PKk ys

yz

yt

cotg,

cos,

sin . (12.68)

Vloženie prechodnice medzi dotyčnicu a kružnicový oblúk je možné iba vtedy, ak

2 k . Keď = 2 k vznikne priebežný prechodnicový oblúk, ktorý je vytvorený z dvoch

prechodníc. Riešenie nie je možné, keď < 2 k . Vtedy buď zväčšíme polomer oblúka, alebo

zmenšíme dĺžku prechodnice.

12.5.5.6 Výpočet dĺžok dotyčníc s nerovnakými veľkosťami krajných prechodníc

Polohu bodov ZP a KP na dotyčniciach pri nerovnako dlhých prechodniciach vypočítame

podľa obr. 12.41, pomocou súradníc stredu oblúka S

.rky,rx

,rky,rx

SpS

SpS

222222

211111

cossin

cossin

(12.69)

Vypočítame dĺžky úsečiek u1 a u2

320

.yy

u,uyy

,yy

u,uyy

SSSS

SSSS

sin

cossincos

sin

cossincos

121112

212221

(12.70)

Vzdialenosti t1 = ZPV a t2 = VKP potom budú:

.

,

222

111

uxt

uxt

S

S

(12.71)

Obr.12.41. Oblúk s nerovnako dlhými krajnými prechodnicami

12.5.6 Vytýčenie hlavných bodov kružnicového oblúka s krajnými prechodnicami v tvare

paraboly 3 a 5

Dĺžku dotyčnice pri rovnako dlhých prechodniciach a vzdialenosť z (VSO ) vypočítame z rovníc

2

tg

mrt , (12.72)

.

2cos

1rmrz

(12.73)

Priemety stredov prechodnice na dotyčnici E1 a E2 vytýčime od vrcholu V alebo od pomocných

bodov P1 a P2 , ak je bod V neprístupný (obr. 12.23). Vynesením úsečiek 2/p (parabola 3),

resp. xS a p - xS (parabola 5) na obidve strany od bodov E1 a E2 dostaneme body prechodníc ZP

a KP ako aj body ZO0, resp. KO0, ktoré sú pätami kolmíc z bodov prechodníc KPZO a ZPKO

obr. 12.42) .

321

Na kolmice vytýčené v bodoch ZO0 a KO0 vynesieme hodnoty poradníc yKP , čím dostaneme

polohu bodov na začiatku oblúka ZO a konci oblúka KO. Na kolmice v bodoch E1 a E2 vytýčime

stredy prechodníc M1 a M2 vo vzdialenosti ySP.

Na kolmice vytýčené v bodoch ZO0 a KO0 vynesieme hodnoty poradníc yKP , čím dostaneme

polohu bodov na začiatku ZO a konci oblúka KO. Na kolmice vztýčené v bodoch E1 a E2

vytýčime stredy prechodníc vo vzdialenosti ySP.

Poznámka: Dĺžky kolmíc väčšie ako 2 m vytyčujeme teodolitom. Dĺžky kolmíc v intervale 0,4 m

až 2 m môžeme vytýčiť použitím Pytagorovho trojuholníka, dĺžky kratšie ako 0,4 m vytýčime vizuálne

(zrakom).

Obr.12.42. Vytyčovanie kružnicového oblúka s prechodnicami v tvare paraboly 3

Obr. 12.43. Vytyčovanie podrobných bodov prechodnice

322

Vytyčovanie podrobných bodov prechodnice

Vytýčenie bodov ZP, M1, ZO, resp. KO, M2, KP, spravidla nestačí na vytýčenie prechodnice.

Ďalšie podrobné body prechodnice vytyčujeme v párnych zlomkoch dĺžky prechodnice v závislosti od

veľkosti polomeru kružnicového oblúka, pričom by vzdialenosti medzi susednými bodmi nemali

prekročiť hodnoty:

15 m pre r 300 m,

20 m pre 300 m < r 500 m, (12.74)

25 m pre r 500 m.

Najvhodnejšie vytyčovanie podrobných bodov prechodnice je pomocou semipolárnej metódy.

Postup vytyčovania je rovnaký ako pri kružnicovom oblúku (obr. 12.33).

Vytyčovacie prvky uhly i a dĺžky t(i-1),i medzi susednými podrobnými bodmi

(obr. 12. 43) vypočítame pomocou pravouhlých súradníc podrobných bodov xi a yi

212

11aarctg iiiii,ii

ii yyxxt

x

y . (12.75)

Vytyčovanie kružnicového oblúka z koncových bodov prechodnice

V bode dotyku prechodnice s kružnicovým oblúkom vytýčime smer dotyčnice, od ktorej

vytyčujeme podrobné body kružnicového oblúka. Smer dotyčnice určuje spojnica ZOT1 + 200g.

Dotyčnicu vytýčime presnejšie napr. od spojnice ZOZP pomocou uhla (obr. 12.44), ktorý

vypočítame podľa rovnice

p

KPy

arctg200200 g

1g . (12.76)

Na druhom bode dotyku kružnice a prechodnice bude uhol

p

KPy

arctg200200 g

1g . (12.77)

Po vytýčení smeru dotyčnice, podrobné body kružnicového oblúka vytyčujeme podľa kap. 12.5.4,

keď stredový uhol kružnicového oblúka bude 2 .

Obr. 12.44. Vytýčenie dotyčnice v koncovom bode prechodnice

Príklad 12.1 :

Oblúk s prechodnicami v tvare kubickej paraboly a s priamou vzostupnicou má vytyčovacie

prvky: r = 500 m, = 36,2390g , V = 75 km h

-1, p = 133 mm. Vytyčovacie prvky hlavných bodov

oblúka a vytyčovacie prvky na podrobné vytýčenie oblúka a prechodnice sú na obr. 12.45.

323

Obr. 12.45. Vytyčovanie oblúka s prechodnicami v tvare kubickej paraboly a priamou

vzostupnicou

324

Presnosť podrobného vytýčenia na železnici

Kritériom presnosti vytýčenia podrobných bodov sú krajné pozdĺžne a priečne odchýlky vo

vzťahu k hlavným bodom trasy (kap. 12.9). Neprekročenie týchto odchýlok má zaistiť polohovo

vyhovujúce vytýčenie trasy.

Vytýčenie ďalej musí zodpovedať STN 73 6360, kde je určená stavebná odchýlka od určeného

vzopätia a rozdiel dvoch susedných odchýlok od stanoveného vzopätia na kružnicovom oblúku a na

prechodnici. Vzopätia meriame na vonkajšom koľajnicovom páse nad stredom tetivy o dĺžke b.

Na prevádzku železnice je rozhodujúca tvarová správnosť vytýčenia príslušnej krivky.

Zachovanie predpísanej krivosti je závislé na veľkosti priečnych odchýlok susedných troch

vytýčených podrobných bodov. Stredná chyba vzopätia mf je jediným hodnotiacim kritériom tvarovej

správnosti vytýčenia krivky. Hladkosť vytýčenia krivky sa posudzuje porovnaním dvoch susedných

odmeraných vzopätí s teoretickými hodnotami. Mierou presnosti vytýčenia je potom stredná chyba

rozdielu dvoch susedných vzopätí mf . Hodnoty odchýlok od projektovaného vzopätia (f) na

kružnicovom oblúku a prechodnici sú v S TN 73 6360. Výpočet f je uvedený v kap. 12.5.8.

12.5.7 Vytýčenie kružnicového oblúka s prechodnicami v tvare klotoidy

Obr. 12.46. Vytyčovanie kružnicového oblúka s prechodnicami v tvare klotoidy

Dĺžku dotyčnice t a vzdialenosť z (VSO ) na kružnicovom oblúku s prechodnicou v tvare

klotoidy (obr. 2.46) vypočítame z rovníc

2

tg

rrxt S , (12.78)

rrrz

2cos

1

. (12.79)

325

Vo vzťahu k vrcholu dotyčnicového polygónu, vytýčime na dotyčniciach začiatok (TP, resp. PT)

a koniec prechodnice (PK, resp. KP) pomocou úsečiek t, xPK, yPK.

Polohu bodov M1 a M2 vytýčime dvakrát od bodov TP , resp. PT pomocou úsečiek

xM1 = xPK st a od bodu PK0 , resp. KP0 pomocou úsečky st . Spojnice bodov M1 a PK, resp. M2

a KP vytvárajú spoločné dotyčnice pre prechodnicu a kružnicový oblúk.

Vytýčenie dotyčnice a vytyčovanie podrobných bodov klotoidy a kružnicového oblúka je

podobné, ako sme to uviedli v predchádzajúcich častiach.

Príklad 12.2:

Oblúk s prechodnicami v tvare klotoidy je určený parametrami: r = 300 m , A = 160 ,

= 44,0310g . Vytyčovacie prvky hlavných bodov oblúka a vytyčovacie prvky na podrobné vytýčenie

oblúka a prechodnice sú na obr. 12.47.

Vyrovnanie priečnej odchýlky zistenej na stykovom bode. Účinkom nevyhnutných chýb pri

vytyčovaní nebude stykový bod vytýčený z oboch smerov identický. Vytyčovaním dostaneme napr.

body P PS Sa .

Vzdialenosť medzi nimi v smere oblúka je pozdĺžna odchýlka p, vzdialenosť v smere

normály je priečna odchýlka q (obr. 12.48). Odchýlky p a q porovnáme s krajnými odchýlkami

uvedenými v STN 73 0422. Ak ich neprekračujú, odchýlky lineárne vyrovnáme podľa počtu bodov.

Opravy z priečnej odchýlky vyrovnávame v smere normály. Odchýlka v pozdĺžnom smere sa

spravidla nevyrovnáva.

Obr. 12.48. Odchýlky po vytýčení kružnicového oblúka

12.5.8 Podrobné vytyčovanie bodov prechodnice a kružnicového oblúka pre smerovú opravu

koľaje

V kapitolách 12.5.3 a 12.5.6 sme si ukázali postup výpočtu vytyčovacích prvkov a vytyčovania

hlavných a podrobných bodov kružnicového oblúka a prechodníc. Vzdialenosti vytýčených bodov sú

v odstupoch 15 až 30 m a v niektorých prípadoch až 50 m. Táto hustota bodov nepostačuje na

položenie koľaje do projektovaného tvaru pri komplexnej rekonštrukcii železničného zvršku a pri

periodických opravách koľaje založených na absolútnych princípoch, kedy sa koľaj smerovo a

výškovo podbíjacím mechanizmom upravuje do projektovaného tvaru. Vtedy sa vyžaduje

hustota vytýčených bodov vo vzdialenostiach 2 až 5 m v súlade s krokom automatickej strojnej

podbíjačky. Vytýčenie bodov k takejto hustote by predchádzajúcimi metódami nebolo efektívne a ani

by sa nesplnila vyžadovaná presnosť vytýčenia. Podrobné vytýčenie uskutočníme vo vzťahu k

vytýčeným podrobným bodom kružnicového oblúka a prechodnice, ktoré v čase takéhoto

326

Obr. 12.47. Oblúk s prechodnicami v tvare klotoidy

327

podrobného vytyčovania sú už odsadené od osi koľaje na zaisťovacích značkách koľaje.

Body zo zaisťovacích značiek premietneme do priestoru, kde sa má nachádzať od osi koľaje

odsadený koľajnicový pás napr. e´ = 3,0 – 0,718 m = 2,282 m (obr. 12.49). Vytýčené body

stabilizujeme osobitnou príchytkou ku koľajnicovému pásu. Medzi susednými bodmi vytvárame dlhú

tetivu, na ktorej vo vyžadovaných odstupoch vypočítame vzopätia fi. Vypočítané vzopätia sa

porovnajú s odmeranými vzopätiami a zistené rozdiely predstavujú opravy, ktoré je potrebné nasadiť

k existujúcej polohe osi oblúka alebo prechodnice. Opravy sa zapisujú na stojine koľajnice podľa

dohovoru, napr. kladná oprava znamená posun osi koľaje napravo, záporná posun naľavo v smere

staničenia.

Obr. 12.49. Podrobné vytyčovanie kružnicového oblúka

Dlhá tetiva sa vytvára opticky medzi teodolitom a cieľovou značkou, ktoré sú scentrované nad

koncovými bodmi P1, P2; P2, P3 atď. Merané hodnoty vzopätia if odmeriame meradielkom vo

vyznačených miestach si. Odstupy volíme v rovnakej hustote priebežne, napr. od začiatku smerovej

opravy koľaje. Neznamená to však, že sa v určitých vzdialenostiach nemôžu zmeniť. Ak napr. pred

bodom P2 (obr. 12.49) bol úsek 1s , za bodom P2 je úsek s - 1s .

Výpočet vzopätí na prechodnici

V súradnicovom systéme prechodnice vypočítame poradnice yi bodov Pi, ležiacich na rovnako

dlhých odstupoch prechodnice, o ktorých platí ii x (obr. 12.50). Výpočet uskutočníme postupným

dosadzovaním hodnôt i za ix do rovnice (12.39). Vzopätia k súradnicovo určeným bodom

prechodnice iii yxP , vypočítame ako dĺžky kolmíc spustených na príslušnú tetivu.

Vzopätia a staničenia na tetive vypočítame transformáciou súradníc bodov zo systému XY do

systému YX . Uhol rotácie (obr. 12.51) vypočítame z rovnice

12

12arctgx

y

, (12.80)

vzopätia a staničenia vypočítame podľa rovníc

cossin 11 iii yxf ,

sincos 11 iii yxs . (12.81)

328

Obr. 12.50. Dlhá tetiva na prechodnici

Obr. 12.51. Výpočet vzopätia na prechodnici

Výpočet vzopätia na kružnicovom oblúku

Vzopätia nad dlhou tetivou kružnicového oblúka vypočítame podľa rovnice

2

2

2

2

22

brx

brf ii . (12.82)

Odvodenie rovnice je zrejmé podľa obr. 12.52. Vzopätia počítame do polovice a od polovice

dlhej tetivy. Pri vytyčovaní úsekov si na oblúku vychádzame z predpokladu, že ii xs .

Vzopätia na styku priameho úseku a prechodnice, prechodnice a kružnicového oblúku, atď.,

vypočítame tak, že v odstupoch si vypočítame súradnice bodov Pi na príslušných smerových

úsekoch koľaje. Vzopätia počítame ako na prechodnici s použitím rovníc (12.80) a (12.81). Ak

vzopätia meriame na vonkajšom koľajnicovom páse, pri exaktnom výpočte zväčšíme hodnotu

polomeru o polovicu rozchodu koľaje. Vzopätia v osi koľaje meriame napr. prístrojom GLUNI.

329

Pred podrobným vytyčovaním porovnáme vzdialenosti medzi zaisťovacími značkami koľaje (obr.

12.23). Ak je nesúlad medzi danou a odmeranou dĺžkou, alebo ak je značka poškodená, môžeme sa

pripojiť na ďalšiu zaisťovaciu značku.

Obr. 12.52. Výpočet vzopätia na kružnicovom oblúku

Naznačený postup podrobného vytyčovania koľaje po príslušnej príprave a výpočtoch je veľmi

rýchly a dá sa podľa potreby pred každou opravou koľaje bezprostredne zopakovať. Vychádza však zo

závažnej požiadavky, že poloha zaisťovacích značiek zodpovedá presnému odsadeniu od vytýčených

bodov prechodnice a oblúka, a presnosť vytýčenia je v súlade s STN 73 0422.

12.5.9 Kontrola vytýčenia prechodníc a oblúkov

Správnosť polohy koľaje v prechodnici a kružnicovom oblúku kontrolujeme pomocou

vyžadovaného vzopätia v strede tetivy, ktoré porovnávame s odmeranými vzopätím. Povolené

odchýlky uvádza STN 73 6360. Závisia od najväčšej povolenej rýchlosti na trati a druhu stavebnej

činnosti na trati, resp. vyznačujú dovolené odchýlky za prevádzky na trati. Vyžadované vzopätie na

kružnicovom oblúku vypočítame úpravou rovnice (12.19), keď zanedbáme rozdiel vzopätia v osi

koľaje a na vonkajšom koľajnicovom páse:

r

bf

8

2

. (12.83)

Na prechodnici veľkosť vzopätia pre zvolené b (b = 10, 16 alebo 24 m) vypočítame podľa

rovnice

p

p

xff

, (12.84)

kde x znamená vzdialenosť, v ktorej sa meria vzopätie od začiatku prechodnice,

f je veľkosť vzopätia na priľahlom oblúku o polomere r.

Po ukončení obnovy alebo rekonštrukcii železničného zvršku, odchýlka od určeného vzopätia

nemá prekročiť hodnotu

330

100

100 2

2

2 b

V

bf (mm, m, km h

-1, m) (12.85)

a pre V 160 km h-1

2

2200

V

bf (mm, m, km h

-1) .

Okrem toho, rozdiel dvoch susedných odchýlok od určeného vzopätia nesmie tiež prekročiť

f .

12.6 VYTÝČENIE NORMÁLY KU KRIVKE

Pri vytyčovaní prechodnice a oblúka sa nám môže vyskytnúť úloha vytýčenia normály

k príslušnej krivke. Podľa požiadaviek na presnosť, normálu vytýčime pentagónom alebo teodolitom.

Obr. 12.53. Vytýčenie normály na prechodnici

Normálu k prechodnici v danom bode o súradnici xi vytýčime ako kolmicu k dotyčnici ti. Podľa

obr. 12.53 nám spojnica PiBi predstavuje dotyčnicu. Bod Bi vytýčime od bodu Pi0 vo vzdialenosti

xi/3. Na obr. 12.54 sú uvedené metódy vytýčenia normály ku kružnicovému oblúku.

Obr. 12.54 Vytýčenie normály na kružnicovom oblúku