le leggi dei gas perfetti 1° parte

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA

Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino

1

LE LEGGI DEI GAS PERFETTI

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


2

IL GAS PERFETTO

Alcuni elementi chimici come l’Idrogeno, l’Elio, l’Azoto, l’Ossigeno, il Fluoro, il Neon, l’Argon, il

Cloro, il Kripton, lo Xeno e il Radon, sono presenti in natura - se non combinati con altri -

solitamente allo stato gassoso.

Altri, come ad esempio il carbonio e lo zolfo - pur trovandosi più comunemente allo stato solido -

se opportunamente combinati, possono dar luogo a composti gassosi quali l’Ossido di carbonio,

l’Anidride carbonica, l’Ammoniaca, l’Acetilene, il Metano, il Protossido d’azoto, l’Anidride

solforosa.

Inoltre, composti ed elementi chimici liquidi, se sottoposti a valori particolari di pressione e/o

temperatura, passano allo stato aeriforme.

Notevole è il caso dell’acqua la cui molecola, formata da due atomi di idrogeno ed uno d’ossigeno,

è quasi sempre reperibile sottoforma liquida o solida, tuttavia, non di rado, passa allo stato

aeriforme di vapor d’acqua comportandosi più o meno come un gas.

La “fase gassosa”, com’è definita la particolare condizione di alcuni elementi chimici o molecole

composite, è caratterizzata da una scarsissima coesione molecolare, dalla conseguente mancanza di

forze di attrazione o repulsione (coesione interna) e dal fatto che le molecole presenti possono

essere immaginate a distanze reciproche enormemente grandi rispetto alle loro dimensioni reali.

Non potendo però immaginare completamente nullo il volume occupato dalle molecole gassose ed

escludere completamente la possibilità di urti o interazioni molecolari, specialmente nel caso di gas

poco rarefatti, è abitudine definire “GAS REALE” un qualsiasi elemento o composto chimico che è

normalmente in fase gassosa.

D’altra parte se un “gas reale” qualsiasi è caratterizzato da valori di pressione, temperatura e

volume superiori a quelli definiti rispettivamente:

C

P Pressione critica

C

V Volume critico

C

T Temperatura critica

esso si comporta seguendo in modo piuttosto regolare alcune semplici leggi sperimentali quali le

Leggi di Gay-Lussac, la Legge di Boyle e la Legge di Stato.

I parametri che caratterizzano le condizioni in cui si trova il gas – pressione, volume e temperatura

– sono appunto definite “VARIABILI DI STATO”.

In questo caso è possibile affermare che:

Un qualsiasi “gas reale” caratterizzato da valori delle variabili di stato superiori ai corrispondenti

valori critici per il gas considerato, segue fedelmente le leggi sperimentali citate ed è definito, in

questo caso, un “GAS PERFETTO”.

Per il gas perfetto diventa teoricamente possibile considerare nulle le interazioni e nullo sia il

volume molecolare che il valore dell’energia potenziale posseduta dalle molecole.

La teoria dei gas perfetti è particolarmente utile per lo studio delle trasformazioni di stato dei

sistemi termodinamici ed è una solida base dalla quale partire per lo studio dei “gas reali”.

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3

Le Leggi sperimentali prima accennate sono relazioni di collegamento tra le tre variabili di stato che

permettono di stabilire, in determinate condizioni, il valore di una delle tre variabili in funzione

delle altre due supponendo di essere a conoscenza di alcuni parametri caratteristici.

Ad esempio, utilizzando la Legge di stato dei gas perfetti, risulta possibile determinare in modo

univoco il valore della temperatura alla quale si trova un gas se si conoscono i valori di pressione e

volume oltre che il numero di moli e la costante di stato R .

Rn

VpT

IL SISTEMA TERMODINAMICO IDEALE A GAS PERFETTO

Un qualsiasi dispositivo in grado di trasferire ai o dai sistemi esterni l’energia sottoforma di

“CALORE” e/o “LAVORO” trattenendone per sé una parte oppure cedendone una parte che già gli

apparteneva, è definito “SISTEMA TERMODINAMICO”.

Il termine “termodinamico” è, di per sé, significativo in quanto chiarisce immediatamente che il

dispositivo (o sistema) può essere sottoposto a differenti livelli termici (differenti temperature) e

quindi costretto a cedere o acquisire calore e, nel contempo, essendo in grado di subire

modificazioni dinamiche a carico del suo aspetto esterno, ha la capacità di compiere o subire una

determinata quantità di lavoro.

Conviene subito anticipare che la presenza di un sistema termodinamico – assunto quale attore

principale di un evento di scambio energetico – presuppone la contemporanea presenza di almeno

un altro sistema in grado di interagire con il primo.

Un corpo caldo è in grado di raffreddarsi, cedendo calore, solo se esiste un altro sistema in grado di

assorbirlo.

Gli altri sistemi – anch’essi per un certo verso da considerarsi termodinamici – sono essenzialmente

costituiti dal mondo esterno che circonda il sistema principale e possono essere pensati

rispettivamente alla stessa stregua di serbatoi nei quali il sistema principale, alternativamente, si

procura o cede calore oppure riversa o preleva energia sottoforma di lavoro meccanico.

Senza la presenza dei sistemi esterni, il sistema principale, come si vedrà più avanti, non può

operare alcuno scambio ed è quindi inutile.

Con il termine “termodinamico” si può inoltre pensare ad un dispositivo in grado di modificare in

continuazione, in un senso o nell’altro, il proprio livello termico o temperatura e i parametri ad essa

collegati.

E’ un sistema termodinamico, anche se non in senso strettamente legato alla definizione, una

resistenza elettrica quando è utilizzata dai forni per riscaldare o cuocere le vivande, per inviare aria

calda quando è inserita in un asciugacapelli, per innalzare la temperatura dell’acqua se è inserita in

un boiler oppure per produrre vapore se inserita in un ferro da stiro.

Il funzionamento di una resistenza elettrica è piuttosto semplice e comprensibile:

Inizialmente la resistenza e l’ambiente esterno in cui è immersa sono alla stessa temperatura.

Se pensiamo alla resistenza come al sistema termodinamico principale, allora l’ambiente

esterno sarà il secondo sistema.

Ad un certo istante e da un altro sistema esterno – da considerare di capacità illimitata – è

trasferita al sistema principale una certa quantità di energia sottoforma di corrente elettrica

che comincia ad attraversare la resistenza.

Il terzo sistema – quello che fornisce energia dall’esterno - è immediatamente individuato

nel fornitore di energia elettrica ed è chiaro che si tratta di un secondo serbatoio di capacità

limitata solo dal contratto di fornitura.

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4

Il sistema principale comincia quindi ad utilizzare l’energia fornita dall’esterno per variare i

propri parametri termici caratteristici dell’istante iniziale. Ciò significa che la temperatura

del sistema aumenta velocemente. Dal momento stesso in cui la temperatura del sistema

principale supera la temperatura del sistema esterno, la resistenza comincia a trasmettere

calore cercando di ripristinare lo stato d’equilibrio iniziale.

Lo stato transitorio iniziale è solitamente di breve durata e può essere descritto nel modo

seguente:

Mentre la temperatura del sistema principale aumenta, una parte di energia elettrica

fornita è direttamente scambiata con l’ambiente esterno sottoforma di calore in

quanto i sistemi cercano di riportarsi in equilibrio termico, mentre, una parte è

utilizzata dallo stesso sistema principale per innalzare ancor di più il proprio livello

termico.

Come si vedrà più avanti, la quota di energia assorbita dal sistema principale è

utilizzata a livello microscopico per innalzare l’energia cinetica molecolare e, di

conseguenza, una funzione di stato che sarà definita “Energia interna”.

Volendo interpretare meccanicamente le modalità con le quali aumenta l’energia

interna si potrebbero descrivere così:

La corrente elettrica reale in un conduttore è provocata dall’applicazione, ai

capi del conduttore stesso, di una differenza di potenziale che costringe le

cariche elettriche di conduzioni negative (elettroni) a muoversi da punti a

potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.

Il loro movimento è reso difficoltoso dal fatto che in un materiale solido le

molecole sono a stretto contatto e gli spazi sono limitati.

Per questo motivo il movimento degli elettroni può essere assimilato a quello

di un autoveicolo con il freno a mano tirato; l’auto si muove comunque, ma

l’attrito provocato dallo sfregamento delle pastiglie sui dischi è causa di

considerevoli aumenti di temperatura degli apparati frenanti e degli organi

meccanici collegati.

Il processo così descritto sembra essere desiderato dal sistema termodinamico

principale che, però in effetti, lo subisce.

L’aumento di temperatura a carico del sistema principale provoca un incremento

della quota di energia totale ceduta all’ambiente per irraggiamento, convezione e

conduzione.

Il termine della fase transitoria si ottiene nell’istante in cui la temperatura del sistema

principale è così elevata rispetto a quella del sistema esterno che la quota di energia

termica scambiata istantaneamente pareggia l’energia elettrica prelevata dal terzo

sistema. La temperatura del sistema principale risulta stazionaria e il sistema

trasforma di continuo l’energia elettrica in energia termica.

Anche la temperatura del secondo sistema, nel frattempo, è aumentata.

Durante la fase transitoria lo stato termico del sistema principale subisce una

modificazione definita, in special modo, dalla differenza di temperatura iniziale e

finale della resistenza, mentre lo stato termico del secondo si modifica anch’esso

passando dalla temperatura iniziale – quella dell’ambiente che lo contiene – a quella

finale, ottimale per la cottura.

Per la precisione, oltre al sistema principale (resistenza) che esegue materialmente la

trasformazione energetica utilizzando l’energia del terzo sistema e trasmettendola al

secondo, specialmente se si considera una resistenza inserita in un forno, dovremo

considerare l’esistenza di un quarto sistema che contiene sia quello principale sia il secondo.

Il quarto sistema, termicamente isolato dal secondo, non risente delle trasformazioni a carico

del primo e del secondo e non ha nessun contatto con il terzo.

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5

Il quarto sistema è l’ambiente “cucina” ove è inserito il forno e, almeno teoricamente, non

dovrebbe modificare i propri parametri termici iniziali.

Il quarto sistema è dunque, contrariamente a quanto detto inizialmente, il serbatoio termico

illimitato.

Inoltre il secondo sistema – o forno – contiene, a sua volta, un quinto sistema in grado di

prelevare calore dal secondo ed operare un’ulteriore trasformazione.

Esso subisce la trasformazione che più è desiderabile da chi materialmente dà inizio alla

stessa: la cottura.

Il sistema principale torna poi in tempi brevi alla situazione termica iniziale allorché cessa

l’afflusso energetico di corrente elettrica.

La resistenza si raffredda rapidamente cedendo ancora calore al secondo sistema che

provvede poi anche al suo personale raffreddamento cedendo calore al quarto sistema.

Il quarto sistema – l’ambiente cucina – risente in modo minino delle trasformazioni dei

sistemi in esso contenuti in quanto dotato di elevata inerzia termica.

Figura 1 – SCHEMA DI SISTEMI TERMODINAMICI

Il sistema descritto, pur essendo in grado di soddisfare pienamente le nostre necessità del momento

– cioè provvedere a cuocere i cibi – trasformando quasi integralmente l’energia elettrica in calore,

non risponde del tutto alle caratteristiche richieste dalla definizione di sistema termodinamico.

Non è in grado, infatti, così come concepito e costruito, di provvedere alla trasformazione di energia

termica in energia meccanica mentre, le maggiori esigenze dell’umanità sono proprio legata alla

possibilità di costruire macchine in grado di fornire energia meccanica cioè lavoro direttamente

utilizzabile.

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6

A questo scopo è possibile la realizzazione di un dispositivo in grado di soddisfare tali esigenze e

rispondente quindi alla definizione di “Sistema termodinamico ideale”.

Il Sistema termodinamico di cui si parla è costituito, essenzialmente e in linea di principio, da:

Un cilindro con pareti realizzate utilizzando materiali e modalità tali, da impedire l’afflusso

di calore sia in uscita che in ingresso.

Devono inoltre essere molto limitati o comunque determinati gli scambi di calore tra il

contenuto e il cilindro stesso.

Se il dispositivo fosse assimilato ad un calorimetro ad acqua, allora “l’equivalente in acqua”,

sarebbe analogo quantità di calore scambiato dal contenuto con le pareti.

Da un pistone scorrevole e a tenuta stagna anch’esso costruito in modo da evitare la

trasmissione di calore da e verso l’esterno e in modo da assorbire e/o trasmettere calore, dal

o verso il contenuto, in termini infinitesimi.

Dovrà inoltre essere considerato nullo l’attrito tra pistone e cilindro mentre lo stesso è in

movimento.

Una serie di pesi o masse note da disporre sulla parte superiore del pistone – quella a

contatto con l’ambiente esterno – in modo da garantire l’equilibrio statico dello stesso

quando sottoposto alla pressione esercitata dal contenuto del cilindro.

Da una parete di fondo che, secondo le esigenze nei confronti del calore, può avere le

caratteristiche di un perfetto isolante o di perfetto conduttore.

Attraverso il fondo del cilindro sono permessi o impediti gli scambi di calore con i sistemi

esterni.

Una sorgente termica esterna di capacità termica illimitata se rapportata alla capacità termica

del cilindro e caratterizzata da temperatura superiore a quella del dispositivo e del suo

contenuto.

Una sorgente termica esterna di capacità illimitata se rapportata alla capacità termica del

cilindro e caratterizzat da una temperatura inferiore a quello del dispositivo e del suo

contenuto.

Un sistema autonomo in grado di modificare, aumentando o diminuendo, i livelli termici

delle sorgenti esterne descritte.

Si tratta semplicemente di un generatore di calore, a gas o elettrico, e di un gruppo

frigorifero.

Un sistema esterno di capacità termica illimitata ed in grado di contenere tutti i sistemi. Tale

sistema è l’ambiente esterno definito dalla temperatura e dalla pressione esistenti durante la

sperimentazione.

Un rubinetto a tenuta collocato sul fondo del recipiente cilindrico allo scopo di permettere

l’uscita e l’ingresso di gas nel recipiente.

Un apparecchio in grado di misurare ed eventualmente registrare in modo continuo i valori

di temperatura del contenuto del cilindro (termometro)


di pressione del contenuto del cilindro (misuratore di pressione – manometro)

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7

Un apparecchio in grado di misurare la pressione e la temperatura dell’ambiente esterno


dello spostamento del pistone rapportandoli alla superficie del cilindro e ricavando di

conseguenza il volume del contenuto.

Una certa quantità di moli di un gas con caratteristiche tali da poterlo definire “GAS

PERFETTO”.

Tale gas sarà contenuto nel cilindro e trattenuto dal pistone a tenuta stagna.

Con un tale dispositivo – o macchina termodinamica - è possibile condurre esperienze relative alla

dilatazione dei gas, agli scambi di energia termica tra il dispositivo e i sistemi termici confinanti,

alle variazioni di energia interna della macchina e agli scambi di energia meccanica ora possibili in

virtù della possibilità che ha il sistema termodinamico di variare in continuazione la propria

geometria strutturale attraverso la modificazione della posizione del pistone mobile.

Figura 2 – SISTEMA TERMODINAMICO IDEALE

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8

LA DILATAZIONE DEI GAS

LE LEGGI SPERIMENTALI DI GAY-LUSSAC

TRASFORMAZIONI ISOCORE E ISOBARE

Utilizzando il dispositivo illustrato è possibile, ad esempio, studiare il comportamento di un gas

simile al gas perfetto, nei confronti dei parametri caratteristici quali il volume, la pressione e la

temperatura.

Considerando che la fase aeriforme non possiede volume proprio, ma, contrariamente alla fase

liquida, occupa sempre tutto il recipiente che lo contiene, è definito come “volume di gas” quello

del recipiente che lo contiene e lo confina dall’ambiente esterno.

Se si immagina di riempire di gas il cilindro del sistema termodinamico e, successivamente,

impedire, con un dispositivo di blocco, i movimenti del pistone stesso, è facile comprendere che si è

realizzato un recipiente il cui volume è costante nel tempo.

In questo caso, qualora il gas subisca trasformazioni di stato variando le sue condizioni rispetto a

quelle iniziali, si dirà che le trasformazioni avvengono comunque senza variazione di volume cioè “

a volume costante”.

Una trasformazione a volume costante sarà definita “ISOCORA”.

Il risultato di una trasformazione “ISOCORA” è la variazione della pressione e della temperatura ed

è, per analogia, assimilabile a ciò che succede ad un materiale solido quando la sua dilatazione per

effetto termico è impedita da vincoli rigidi esterni.

Essendo impedita la dilatazione, compaiono, sui vincoli esterni e sul corpo stesso, forze di pressione

di elevata intensità sovente responsabili del cedimento e rottura dei vincoli e/o della struttura.

Al gas contenuto nel recipiente, essendo impedita la dilatazione, esercita, con l’aumento della

temperatura, pressioni sempre crescenti sulle pareti del recipiente.

Considerato che durante la trasformazione a volume costante è impedito il movimento del pistone si

conclude che il sistema termodinamico non può scambiare energia meccanica con l’ambiente

esterno ma solo energia termica.

Lo scambio termico risulta solo a carico della variazione di energia interna del sistema

termodinamico.

Se, al contrario, dopo avere riempito il cilindro di gas, si comincia a variarne la temperatura

lasciando libertà di movimento al pistone e controllando che la pressione rimanga costante durante

la trasformazione, si noterà una variazione di volume accompagnata anche dalla variazione della

geometria strutturale del recipiente.

Il gas è libero di dilatarsi e la trasformazione è definita “a pressione costante” o “ISOBARA”.

La trasformazione “ISOBARA” permette lo scambio di energia termica, meccanica e la variazione

dell’energia interna propria del sistema.

TRASFORMAZIONE A VOLUME COSTANTE

ISOCORA

Legge di Gay-Lussac

Scambi energetici consentiti:

SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO

VARIAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA DEL SISTEMA

Scambi energetici NON consentiti:

SCAMBIO DI ENERGIA MECCANICA CON L’AMBIENTE ESTERNO

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TRASFORMAZIONE A PRESSIONE COSTANTE

ISOBARA:

Legge di Gay-Lussac


SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO

SCAMBIO ENERGIA MECCANICA DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO


LA LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE

LA TRASFORMAZIONE ISOTERMICA O ISOTERMA

Qualora al gas contenuto nel recipiente sia concessa la possibilità di variare contemporaneamente il

volume e la pressione e, nel contempo, mantenga costante il proprio livello termico, si dirà che esso

ha subito una trasformazione “ISOTERMA” a temperatura costante.

La trasformazione “ISOTERMA” - a temperatura costante – di un gas perfetto, segue piuttosto

fedelmente la legge sperimentale di Boyle-Mariotte.

Al sistema termodinamico sono consentiti gli scambi termici, energetici e la variazione di energia

interna.

TRASFORMAZIONE A TEMPERATURA COSTANTE

ISOTERMA

Legge di Boyle.Mariotte


SCAMBIO TERMICO DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO.

SCAMBIO ENERGIA MECCANICA DA E VERSO L’AMBIENTE ESTERNO


SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC

TRASFORMAZIONE ISOCORA A VOLUME COSTANTE

E’ una legge sperimentale che descrive la trasformazione del sistema termodinamico al quale è

impedita la possibilità di variare la propria geometria strutturale.

In altre parole:

Il gas è confinato in un recipiente il cui pistone mobile è bloccato in posizione fissa e

sono quindi impediti gli scambi di energia meccanica da e verso l’ambiente esterno. La

pressione del gas è direttamente proporzionale alla temperatura.

La legge sperimentale di Gay-Lussac è la seguente:

tppt1pp000

Supponiamo di utilizzare il sistema termodinamico ideale descritto precedentemente con l’ipotesi di

procedere sperimentalmente in un luogo ove la pressione atmosferica sia inferiore a quella che,

normalmente, si ha a livello del mare ed avere a disposizione una certa quantità di gas ad un solo

componente contenuto in un recipiente a pressione.

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Pensiamo di utilizzare il seguente procedimento:

1. FASE 1 - Eliminazione dell’aria contenuta nel cilindro del sistema termodinamico.

Eliminiamo facilmente l’aria contenuta inizialmente nel cilindro spingendo verso il basso il

pistone, mentre la valvola di scarico è aperta.

Quando il pistone è a contatto con il fondo del cilindro provvediamo a chiudere la valvola di

scarico impedendo così l’afflusso di altra aria.

Il dispositivo è completamente vuoto e, sulla superficie del pistone rivolta verso l’ambiente

esterno, agisce sicuramente la sola pressione atmosferica *p che, per ipotesi, manteniamo

ad un valore più basso della pressione atmosferica normale a livello del mare a

p .

Figura 3 – FASE 1- ELIMINAZIONE ARIA (PISTONE A CONTATTO CON IL FONDO CILINDRO)

2. FASE 2 - Caricamento del pistone.

Disponiamo sul pistone una certa quantità di piccole masse m note sino al raggiungimento

di una massa complessiva M .

Il valore totale della massa M può essere ottenuto pensando di applicare infinite

masse m di valore infinitamente piccolo.

Alla fine, sulla superficie superiore del pistone, sarà applicato il seguente sistema di forze:

Forza dovuta alla pressione atmosferica in ambiente:

N*prS*pF2

a

In cui si indica con r il raggio interno del cilindro.

Le unità di misura sono:

S 2

m r m

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*p 2

m

N

Forza dovuta alla presenza delle masse note:

NgMgmF

Ni

1i

g

Sulla superficie inferiore del pistone non sono presenti forze in quanto, con l’eliminazione

dell’aria, è stato generato il vuoto assoluto.

Il sistema di forze è dunque costituito da una forza che, complessivamente, mantiene il

pistone a contatto con il fondo del cilindro ed il cui valore è:

*prgMFFF2

gat

In realtà, almeno sino a quando pistone e fondo del cilindro sono a contatto, la forza totale

esterna è controbilanciata dalla reazione vincolare di uguale valore e segno contrario

applicata al pistone dal fondo del recipiente.

Figura 4 – FASE 2 – CARICAMENTO DEL PISTONE

3. FASE 3 - Immissione del gas.

Collegando la valvola di scarico ad un serbatoio di gas in pressione mediante un tubo a

tenuta e aprendo successivamente la valvola, si regola l’afflusso gas dal serbatoio a

pressione al cilindro del sistema termodinamico.

Il pistone comincia a sollevarsi, quando la pressione del gas all’interno del cilindro supera il

valore:

*pr

gM

S

Fp

2

t

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Continuando ad immettere gas e a regolare la pressione d’immissione agendo sulla valvola

del serbatoio si provocherà la risalita del pistone sino ad una quota desiderata e il

raggiungimento di un volume 1

V .

La risalita del pistone si blocca nel momento in cui la pressione del gas all’interno del

cilindro è esattamente pari al valore precedente.

E’ ovvio che il valore della pressione interna può essere modificato agendo in modo

opportuno sulla quantità di massa disposta sul pistone.

Alla fine dell’operazione si richiude la valvola di scarico e si scollega il recipiente

contenente gas compresso.

Il cilindro è ora pieno di un gas con caratteristiche tali da poterlo assimilare a gas perfetto e i

cui parametri sono i seguenti:

*pr

gMp

21

1

V

C0t1

Si suppone di effettuare le operazioni ad una temperatura

superiore a 0°C

Durante tutte le operazioni di immissione gas, il fondo mobile e termo-isolante del cilindro è

rimasto posizionato in modo da impedire lo scambio termico con l’ambiente esterno.

Figura 5 – FASE 3 – IMMISSIONE GAS

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4. FASE 4 - Scambio termico a volume costante con un sistema termodinamico esterno alla

temperatura C0t .

Ora il pistone è bloccato in modo tale da impedirne il movimento verso il basso e, nello

stesso tempo, mantenere costante il volume di gas nel cilindro.

E’ poi rimosso il fondo termo-isolante - scoprendo così il fondo conduttore del cilindro - al

quale si pone a contatto un sistema di capacità termica infinita ad un livello termico di

C0t0

.

Il sistema termodinamico contenente gas comincia a scambiare energia termica con il

sistema esterno più freddo sino al raggiungimento della temperatura caratteristica della

sorgente esterna.

Il sistema esterno costituisce, per il sistema termodinamico in esame, una sorgente entro cui

riversare energia termica in eccesso cioè raffreddarsi.

Per definizione, la capacità di ricevere calore senza modificare il proprio livello termico, è

tipica di una sorgente avente capacità infinita.

Ad esempio il mare ha le caratteristiche di sorgente a capacità termica infinita nei riguardi di

un qualsiasi oggetto ad un livello termico diverso che gli è posto a contatto.

Durante la cessione di calore alla sorgente esterna – tramite il fondo conduttore – il gas del

sistema termodinamico non modifica il proprio volume, ma comincia a diminuire la

pressione esercitata sulle pareti del cilindro, cosicché se il pistone non fosse bloccato

tenderebbe a scendere.

La trasformazione del gas a contatto con il sistema esterno, che avviene in tempi

considerevoli, ha, come risultato finale, la variazione dei parametri caratteristici dai valori

iniziali precedenti ai seguenti valori finali:

da: *pr

gMp

21

1V

C0t1

a: 12

pp

12

VV

C0t2

Da manometro a mercurio installato su una delle pareti o sul fondo del recipiente sarà

possibile, a questo punto ed utilizzando la Legge di Stevin, la misurazione della pressione

2p corrispondente al livello termico finale C0t

2 :

h*ppHg2

In cui:

Hg Peso specifico mercurio

3m

N

h Dislivello manometro m

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14

Dalla lettura o calcolo della pressione 2

p che il gas esercita sulle pareti del cilindro –

compresi fondo e superficie interna pistone – è poi possibile determinare la massa 1

M da

disporre sul pistone in modo tale da poterlo sbloccare senza che si abbia movimento.

Dalla relazione:

*pr

gMp

2

1

2

E dal confronto con la precedente, si ottiene:

h*p*pr

gMp

Hg2

1

2

Ed infine il valore della nuova massa:

g

hrM

Hg

2

1

Rispetto alla massa M collocata in precedenza, la massa 1

M ha un valore minore quindi

occorre procedere con l’eliminazione di una quantità di massa m :

1MMm

Dopo aver tolto dal pistone la quantità m è possibile sbloccarlo senza che si abbiano

spostamenti dello stesso.

Il sistema termodinamico può ora scambiare energia meccanica e termica con l’ambiente

esterno mentre, il sistema di capacità infinita e livello termico C0t continua ad

essere in contatto con il fondo conduttore del cilindro.

Figura 6 – FASE 4 – SCAMBIO TERMICO A VOLUME COSTANTE CON SORGENTE A t=0° C

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5. FASE 5 – Variazione della pressione e del volume a temperatura costante.

Continuando il contatto del sistema termodinamico con il sistema esterno a 0° si procede

variando la pressione 2

p aggiungendo o togliendo gradatamente piccole masse m dal

pistone sino ad un valore di pressione esattamente pari alla pressione atmosferica normale a

livello del mare, alla temperatura di 0° C:

20

m

N325.101p

La trasformazione del gas sarà talmente lenta da essere definita “Quasi-statica” e, oltre alla

variazione di pressione, sarà accompagnata dalla variazione di volume e da scambi di

energia termica in un senso o nell’altro tra il sistema termodinamico e il sistema a capacità

infinita tali da mantenere inalterata la temperatura al valore C0t2

.

Alla fine della trasformazione “isoterma” i nuovi parametri caratteristici del gas saranno:

203

m

N325.101pp

3

V

C0t3

Sarebbe adesso possibile, conoscendo l’equazione generale di stato dei gas perfetti,

determinare la quantità di gas – sottoforma di numero di moli – immessa nel cilindro

all’inizio della sperimentazione, ma si tralascia il calcolo per riprenderlo successivamente.

La fase 5 è conclusa con l’eliminazione del sistema esterno a temperatura 0° C, il ripristino

della parete di fondo termo-isolante e con il bloccaggio del pistone nella posizione finale

alla quale corrisponde la pressione del gas 0

p .

Figura 7 – FASE 5 – VARIAZIONE PRESSIONE E VOLUME A TEMPERATURA COSTANTE

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6. FASE 6 – Variazione della temperatura a volume costante.

E’ la fase conclusiva che permette di ricavare i dati necessari alla dimostrazione della Legge

di Gay-Lussac relativa alla dilatazione di un gas a volume costante.

Il pistone è bloccato quindi non si avranno scambi di energia meccanica con l’ambiente

esterno.

Le condizioni iniziali del gas sono le precedenti:

203

m

N325.101pp

3

V

C0t3

A questo punto è rimossa la parete di fondo termo-isolante ed il sistema termodinamico è

posto a contatto con una nuova sorgente a capacità termica infinita e livello termico

C0t4

.

La temperatura del gas comincerà gradatamente ad aumentare portandosi, alla fine, alla

stessa temperatura della sorgente.

Nel contempo la pressione subirà un aumento sino alla pressione 4

p , superiore 0

p , ed il

volume rimarrà naturalmente invariato.

La dilazione del gas è impedita e, di conseguenza, sale la pressione.

I risultati concernenti la pressione e la temperatura saranno annotati con precisione.

Il valore della pressione si potrà ricavare utilizzando il solito manometro oppure

aumentando le masse per mantenere fisso il pistone.

Il procedimento è reiterato ponendo a contatto con il gas sorgenti termiche a temperatura

sempre maggiore ed annotando sia le temperature che le pressioni caratteristiche

dell’equilibrio termico.

E’ comunque possibile utilizzare anche sorgenti con temperatura inferiore a 0° C.

In questo caso si noterà un abbassamento della pressione che sarà annotata.

Figura 8 – FASE 6 – VARIAZIONE DELLA PRESSIONE A VOLUME COSTANTE.

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7. FASE 7 – Costruzione del diagramma pressione-temperatura e verifica della Legge

sperimentale di Gay-Lussac per trasformazioni a volume costante.

Utilizzando i risultati ottenuti dalla FASE 6 è realizzato un diagramma cartesiano che riporta

sulle ascisse i valori delle temperature delle sorgenti utilizzate per riscaldare o raffreddare il

gas contenuto nel cilindro e, in corrispondenza, i valori calcolati o misurati della pressione

esercitata dal gas sulle pareti.

I parametri iniziali saranno costituiti dal punto di coordinate C0tt0

e

20

m

N325.101atm1p , rappresentativo dei valori tipici della FASE 5, mentre,

tutti i punti successivi sono ricavati misurando le temperature delle diverse sorgenti e il

corrispettivo valore della pressione del gas.

Il diagramma ottenuto rappresenta graficamente la funzione analitica che, utilizzando come

variabile indipendente il valore della temperatura in gradi Celsius, restituisce un

corrispondente valore della pressione del gas.

La funzione risulta di tipo direttamente proporzionale rispetto al semplice valore della

variabile ed è quindi rappresentata da una retta inclinata rispetto all’asse orizzontale delle

temperature.

La retta deve intersecare l’asse verticale delle pressioni per il valore nullo della temperatura

ove la pressione risulta uguale alla pressione atmosferica normale

20

m

N325.101p .

Analiticamente la funzione tp sarà del tipo:

000

tttgppptp

00

ttmptp

In cui il coefficiente angolare m è dato da una qualsiasi delle seguenti relazioni:

0n

0n

02

02

01

01

tt

pp............

tt

pp

tt

ppm

In cui:

20

m

N325.101p

C0t0

Sperimentalmente il coefficiente m ha il valore pressoché costante per tutti i punti trovati:

00p003661,0pm

Considerando che l’equazione della retta:

00

ttmptp

è valida anche per i punti caratterizzati da temperature negative e che il coefficiente m è

anche dato da:

tt

ppm

0

0

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


18

Con il valore p e t corrispondenti al punto in cui, teoricamente, la retta interseca l’asse

delle temperature:

0p

Si ottiene:

t

ppm

0

0

Da cui si ricava il valore incognito della temperatura alla quale la pressione del gas

contenuto nel cilindro teoricamente si annulla:

C16,273003661,0

11t

Il valore teorico di temperatura, espressa in gradi Celsius, alla quale si annulla la pressione

del gas, corrisponde alla minima temperatura raggiungibile ed è definito “ZERO

ASSOLUTO” in quanto ad essa corrisponde il valore nullo della temperatura misurata con la

scala Kelvin:

C16,273t K0T

Il valore del coefficiente , pressoché costante quando un gas può essere considerato

“perfetto”, si ottiene dunque da:

1C

16,273

1003661,0

E rappresenta fisicamente l’incremento (decremento) di pressione, rapportata alla pressione

atmosferica normale, per ogni aumento (diminuzione) di temperatura di un grado.

L’equazione rappresentativa delle trasformazioni ISOCORE – a volume costante – di un gas

perfetto contenuto in un sistema termodinamico ideale, detta anche LEGGE DI GAY-

LUSSAC, può quindi essere scritta nella forma:

00000

ttppttmptp

Sinteticamente:

t16,273

ppp

0

0 ISOCORA (VOLUME COSTANTE)

t1pp0

Con: 1C

16,273

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


19

Figura 9 – DIAGRAMMA TRASFORMAZIONE ISOCORA – SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


20

LA TRASFORMAZIONE ISOCORA E LA SCALA ASSOLUTA DI TEMPERATURA.

La Legge di Gay-Lussac valida per trasformazioni isocore – a volume costante – è più facilmente

rappresentata se si effettua uno spostamento della scala delle temperature adottando la scala

assoluta o scala Kelvin.

Basta spostare l’origine degli assi nel punto rappresentativo dello zero assoluto e variare tutti i

valori di temperatura rapportandoli ai Kelvin:

Figura 10 – LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOCORA – SCALA ASSOLUTA

L’equazione caratteristica può quindi essere facilmente scritta nella forma seguente:

TmTp

In cui in coefficiente angolare m è dato da:

16,273

p

T

pm

0

0

0

Per cui:

TT

pp

0


Oppure:

TpTp00 (AREE UGUALI DEI RETTANGOLI)

00T

T

p

p (LEGGE DI SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI)

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


21

INTERPRETAZIONE DELLA LEGGE DI GAY-LUSSAC ESPRESSA IN KELVIN

La Legge di Gay-Lussac relativa alla trasformazione isocora e con l’utilizzo della scala assoluta di

temperatura è interpretata facilmente se si considera il diagramma cartesiano che la rappresenta.

Figura 11 – ISOCORA ESPRESSA CON LA SCALA ASSOLUTA

AREE UGUALI DI RETTANGOLI:

Il significato fisico della relazione:

TpTp00

comporta, sul diagramma cartesiano T;p , l’uguaglianza delle due aree rettangolari aventi basi

rispettivamente uguali l’una alla temperatura assoluta 0

T l’altra alla temperatura T corrispondente

alla pressione p , ed altezze rispettivamente l’una uguale alla pressione p l’altra alla pressione 0

p .

Figura 12 – UGUAGLIANZA DELLE AREE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


22

Considerato che tale uguaglianza deve valere per qualsiasi altra coppia di punti comunque disposti

nel piano cartesiano a condizione che essi siano posizionati sulla retta di proporzionalità Tp , ad

esempio due punti che definiremo 1 e 2 ognuno caratterizzato da condizioni di pressione e

temperatura:

1Punto 11

T;p

2Punto 22

T;p

Si ottiene:

1221TpTp

In questo modo si svincola la Legge di Gay-Lussac dalla conoscenza delle condizioni di pressione e

temperatura particolari relative alla temperatura di 273,16 K.

SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI:

Anche la relazione:

00T

T

p

p

ha un particolare significato geometrico relativamente al diagramma caratteristico della

trasformazione isocora in quanto generata dalla semplice regola di similitudine tra triangoli simili:

Figura 13 – REGOLA DI SIMILITUDINE

Anche in questo caso si possono svincolare i punti considerando l’altra relazione equivalente:

1

2

1

2

T

T

p

p

Ovviamente le due interpretazioni sono coincidenti.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


23

TRASFORMAZIONE ISOCORA.

PRECISAZIONI CIRCA LA PRESSIONE 0

p DEL GAS A TEMPERATURA NULLA.

La trasformazione di un gas contenuto in un sistema termodinamico ideale, da uno stato iniziale A

a uno stato finale B , se avviene a volume costate – ISOCORA -, è descritto dalla Seconda Legge di

Gay-Lussac ricavata in modo sperimentale utilizzando il dispositivo descritto precedentemente.

La Legge di Gay-Lussac può essere scritta tenendo conto della temperatura assoluta utilizzando la

scala Kelvin oppure della temperatura espressa in gradi centigradi o Celsius:

t1pp0

Scala Celsius - ISOCORA

TT

pp

0

0 Scala assoluta o Kelvin - ISOCORA

In entrambi i casi, per determinare la pressione del gas ad una determinata temperatura, occorre

conoscere il valore della pressione che lo stesso gas eserciterebbe nel recipiente di volume V

qualora la temperatura del sistema sia nulla (Celsius) oppure abbia un valore di 273,16 (Kelvin).

Nell’utilizzare il dispositivo termodinamico ideale si è considerato, durante la FASE 5, di portare il

gas ad una temperatura C0t0

ed ad una pressione 0

p pari alla pressione atmosferica

normale alla stessa temperatura Pascal325.101p0 .

Ci si potrebbe domandare se la Legge di Gay-Lussac mantiene comunque la sua validità anche nel

caso in cui, a temperatura nulla, la pressione fosse diversa dal valore scelto prima in modo

arbitrario.

Potremmo ad esempio domandarci cosa succede, relativamente alla pressione, ad una certa quantità

di gas compresso contenuto in una ruota d’automobile qualora la temperatura dovesse aumentare

passando da zero ad un determinato valore.

Certamente la pressione iniziale alla temperatura nulla, dell’aria contenuta in una ruota, non è pari

alla pressione atmosferica normale ma sicuramente di parecchio superiore e non sono rari i casi in

cui, specialmente alle alte velocità, il riscaldamento della ruota è notevolissimo.

La dilatazione a volume costante (il contenitore dell’aria o pneumatico non cambia in modo

apprezzabile il suo volume, anche se la temperatura aumenta) ha sicuramente come risultato un

aumento della pressione ma, tale aumento sarà ancora proporzionale alla pressione a temperatura

nulla e, se la risposta è positiva, a quale pressione: quella reale iniziale o alla pressione

20

m

N325.101p dell’esperienza precedente?

Per rispondere a questo quesito si può ancora ricorrere al sistema termodinamico ideale partendo

però, in questo caso, dalla FASE 5.

Al termine della FASE 5 il gas aveva assunto la temperatura caratteristica della sorgente fredda,

cioè C0 , e la pressione 0p pari alla pressione atmosferica normale.

Per far ciò si erano variate le masse appoggiate al pistone sino al raggiungimento dei valori

richiesti.

Ora, mantenendo sempre a contatto il sistema termodinamico con la sorgente fredda a 0° C,

aumentiamo nuovamente il numero di masse sul pistone in modo “Quasi-statico” aspettando ogni

volta che il sistema raggiunga la temperatura d’equilibrio con la sorgente fredda.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


24

Se sufficientemente lenta, la trasformazione del gas sarà di tipo “ISOTERMICO” a temperatura

costante.

Il pistone tenderà verso il fondo del cilindro riducendo progressivamente il volume a disposizione

del gas e, di conseguenza, aumenterà la pressione dello stesso sulle pareti, pistone e fondo del

cilindro.

Possiamo aumentare la pressione in modo arbitrario esattamente come succede durante la fase di

gonfiaggio di una ruota, anche se il procedimento risulta completamente diverso.

Infatti, durante la fase di gonfiaggio, si ottiene un aumento di pressione a volume costante

immettendo una quantità d’aria sempre maggiore, mentre, nel nostro caso, l’aumento di pressione è

causato da una diminuzione di volume e non alla variazione della quantità di gas nel cilindro che,

evidentemente, rimane la stessa.

In ogni caso la FASE 5 si conclude, quando la pressione ha raggiunto un valore arbitrario 1

op

diverso dal precedente 0

p .

A semplice titolo d’esempio si potrebbe decidere di portare la pressione ad un valore pari a 3 volte

il valore della pressione atmosferica normale, cioè:

Pascal975.303m

N325.1013p3p

20

1

0

A detta pressione il volume del gas sarà nettamente inferiore al volume determinato nella

precedente FASE 5.

Anche in questo caso, supponendo di essere già a conoscenza della Legge di Boyle-Mariotte o

dell’equazione generale di stato, saremmo in grado di determinare il volume finale del gas, ma,

come in precedenza si preferisce posticipare il calcolo.

Iniziamo adesso una nuova FASE 6 che si svolgerà esattamente con le stesse modalità precedenti:

Dopo aver eliminato la sorgente fredda alla temperatura di 0° C sostituendola con una

sorgente più calda (ad esempio 50° C) e bloccato il pistone per mantenere costante il

volume, aspettiamo che il gas raggiunga lo stato d’equilibrio termico con la sorgente e

annotiamo la nuova pressione raggiunta 50

p .

Reiteriamo l’operazione sostituendo le sorgenti, utilizzando sorgenti sempre più calde (si

potrebbe ad esempio incrementare di 50° C la temperatura di ogni sorgente) ed annotando le

relative pressioni d’equilibrio 400200150100

p,........p,p,p .

Potremmo reiterare l’operazione utilizzando sorgenti a temperatura inferiore 10050

t,t

ottenendo le relative pressioni.

Anche in questo caso la parte sperimentale si conclude ed inizia la trascrizione dei risultati sul

grafico cartesiano pressione e temperatura.

Rispetto al precedente si è modificato il punto caratteristico iniziale in quanto la pressione

corrispondente alla temperatura C0t 0 è stata arbitrariamente innalzata ad un valore

2

1

0

m

N975.303p , ma, nel contempo, si nota un aumento dell’inclinazione della retta

rappresentativa della funzione tp e il mantenimento di un punto fisso in corrispondenza del valore

nullo della pressione e della temperatura corrispondente allo zero assoluto.

In altre parole:

La retta tp è più inclinata rispetto alla precedente e l’aumento d’inclinazione è causato da una

rotazione in senso antiorario attorno al punto di coordinata 0p .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


25

Figura 14 – TRASFORMAZIONE ISOCORA – PRESSIONO INIZIALI DIVERSE – CONFRONTO.

Analiticamente la nuova funzione tp sarà analoga alla precedente, cioè:

01

1

0

1

0tttgppptp

01

1

0ttmptp

In cui il coefficiente angolare 1

m è dato da una qualsiasi delle seguenti relazioni:

0n

1

0n

02

2

02

01

1

01

tt

pp............

tt

pp

tt

ppm

In cui:

2

1

0

m

N975.303p

C0t0

Sperimentalmente il coefficiente 1

m ha il valore pressoché costante per tutti i punti trovati:

1

0

1

01p003661,0pm

Si nota che, pur modificando il valore di pressione iniziale, il valore del coefficiente

angolare 1

m , diverso dal precedente, continua ad avere un valore pari alla stessa frazione

della pressione iniziale.

In pratica il valore continua ad essere pari a 0,003661.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


26

Considerando che l’equazione della retta:

01

1

0ttmptp

è valida anche per i punti caratterizzati da temperature negative e che il coefficiente 1

m è

anche dato da:

tt

ppm

0

1

0

1

Con il valore p e t corrispondenti al punto in cui, teoricamente, la retta interseca l’asse

delle temperature:

0p

Si ottiene:

Da cui si ricava il valore incognito della temperatura alla quale la pressione del gas

contenuto nel cilindro teoricamente si annulla:

C16,273003661,0

11t

Il valore del coefficiente , pressoché costante quando un gas può essere considerato

“perfetto”, si ottiene dunque da:

1C

16,273

1003661,0

E rappresenta fisicamente l’incremento (decremento) di pressione, rapportato, questa volta

al valore della pressione iniziale del gas alla temperatura di 0° C, per ogni aumento

(diminuzione) di temperatura di un grado.

Rispetto all’equazione precedente la differenza di pressione per ogni aumento o diminuzione

della temperatura del gas di un grado è maggiore in quanto maggiore è il prodotto 1

0p .

L’equazione caratteristica di una trasformazione isocora segue dunque ancora la Legge di

Gay-Lussac anche se la pressione iniziale è diversa dalla precedente.

Sinteticamente:

t16,273

ppp

1

01


t1pp1

0

Con: 1C

16,273

1

t

ppm

1

01

01

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


27

Utilizzando la scala delle temperature assolute si ottiene:

Figura 15 – ISOCORA – SCALA ASSOLUTA DELLE TEMPERATURE

TT

pp

0

1


Oppure:

TpTp1

00

0

1

0T

T

p

p

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


28

2° LEGGE DI GAY-LUSSAC _ TRASFORMAZIONE ISOCORA – ESERCIZI.

ESERCIZIO 1:

Un pneumatico d’automobile è gonfiato alla pressione di 3 atmosfere e l’aria, da ritenersi in prima

approssimazione un gas perfetto, si porta alla temperatura ambiente C20t a .

Supponendo che, durante il moto dell’autoveicolo, l’aria subisca un innalzamento di temperatura

pari a C70t e che il volume della ruota non subisca apprezzabili cambiamenti, determinare

la pressione dell’aria alla nuova temperatura.

Soluzione:

La trasformazione del gas contenuto nella ruota è evidentemente ISOCORA in quanto non è

modificato il volume iniziale.

Il gas assorbe calore dall’ambiente a causa degli inevitabili attriti, di conseguenza, non potendo

scambiare energia meccanica, aumenta la propria energia interna che causa l’aumento di pressione.

Si può quindi applicare la Legge di Gay-Lussac relativamente al tipo di trasformazione.

Utilizzando la legge ricavata utilizzando la scala di temperatura assoluta si ha:

1

2

1

2

T

T

p

p

In cui:

xp 2 Pressione finale alla temperatura C9070tt a2

Pascal975.303

m

N325.1013atm3p 1

Pressione iniziale alla temperatura 20t a

K16,363finaleassolutaatemperaturT 2

K16,293inizialeassolutaatemperaturT1

Otteniamo quindi:

atm716,3Pa557.376Pa975.303K16,293

K16,363p

T

Tp 1

1

22

ESERCIZIO 2:

L’idrogeno contenuto in un serbatoio avente volume 3m30V , alla pressione iniziale

atm2p i , è riscaldato da una temperatura iniziale 20t i ad una finale 450t f .

Determinare la pressione finale 2p .

Soluzione:

Si utilizza la legge:

1

2

1

2

T

T

p

p

Da cui:

Pa532.499atm93,4atm2K16,293

K16,723p

T

Tp 1

1

22

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


29

ESERCIZIO 3:

Determinare la pressione di un gas perfetto alla temperatura di 100° C, sapendo che alla

temperatura di 30° C e allo stesso volume la pressione risultava Pa104,15

.

Soluzione:


1

2

1

2

T

T

p

p

Da cui:

Pa1072,1Pa104,1K16,303

K16,373p

T

Tp

55

1

1

22

ESERCIZIO 4:

Qual è la temperatura 2t dell’aria, contenuta in un recipiente sigillato, alla pressione

bar05,1p 2 se alla pressione bar27,1p 1 la temperatura è C40t1 ?

Soluzione:


1

2

1

2

T

T

p

p

Da cui:

K91,25816,313

bar27,1

bar05,1T

p

pT 1

1

22

Otteniamo quindi:

C25,1416,27391,258t 2

E’ possibile pervenire ad un risultato analogo utilizzando la legge di Gay-Lussac scritta per le

temperature espresse in gradi centigradi:

t1pp 0

Occorre prima calcolare la pressione 0p che il gas eserciterebbe alla temperatura C0t 0 , poi

con tale pressione e la pressione finale determinare temperatura finale corrispondente:

t1pp 01

Da cui:

bar1078,1

C16,273

C401

bar27,1

16,273

t1

pp

10

E poi:

t1pp 02

0

2

p

pt1

1p

p

t0

2

Ottenendo:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


30

C25,14

16,273

1

1bar1078,1

bar05,1

t

La temperatura corrispondente alla pressione di 1,05 bar è quindi C25,14t 2

ESERCIZIO 5:

Un gas alla temperatura C0t 0 è contenuto in un recipiente cilindrico chiuso da un pistone che

ha una superficie 2cm3S .

Il pistone è in equilibrio ed esercita sul gas una pressione pari a kPa3p 0 .

Determinare il valore della nuova massa da appoggiare sul pistone quando la temperatura del gas è

innalzata di un valore pari a C50t in modo tale che il pistone non cambi posizione.

Soluzione:

Si tratta di una trasformazione a volume costante in quanto il pistone non deve cambiare posizione.

Occorre quindi calcolare il valore della pressione che eserciterà il gas alla nuova temperatura sulla

superficie interna del pistone.

La pressione 50p è data:

0

2

0

2

T

T

p

p

20

0

250

m

N3546Pa3546kPa546,3kPa3

16,273

16,323p

T

Tp

La differenza di pressione tra quella finale e quella iniziale deve essere bilanciata dal

posizionamento di una nuova massa sulla superficie esterna del pistone, tale per cui:

S

gMp

Quindi:

g69,16kg01669,0

s

m81,9

m103

m

N000.3546.3

g

SpM

2

24

2

Lo stesso calcolo utilizzando la legge con le temperature in gradi Celsius:

Calcolo della pressione alla temperatura di 50° C:

2050

m

N549.3kPa549,3

C16,273

C501kPa3t1pp

Determino poi la massa seguendo lo stesso calcolo precedente:

g79,16kg01679,0

s

m81,9

m103

m

N549

g

SpM

2

24

2

I risultati sono leggermente diversi per la diversa approssimazione.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


31

PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC

TRASFORMAZIONE ISOBARA A PRESSIONE COSTANTE

Anche la prima legge di Gay-Lussac è di tipo sperimentale ed è nuovamente utilizzato il sistema

termodinamico ideale a gas perfetto.

Contrariamente alla precedente è ora la pressione a rimanere costante durante tutta la fase finale di

riscaldamento e/o raffreddamento del gas, mentre, il volume da esso occupato nel cilindro risulta

variabile in dipendenza della temperatura.

La legge analitica di una trasformazione ideale “ISOBARA” è nella forma della precedente isocora:

t1VV 0

In cui si intendono:

V Volume occupato dal gas nel sistema alla temperatura finale

0V Volume occupato dal gas nel sistema alla temperatura di riferimento C0t 0

t Differenza di temperatura tra le fasi iniziali e finali del sistema

Coefficiente sperimentale il cui valore è sensibilmente uguale a quello di per l’isocora

Anche in questo caso, come si vedrà, è possibile utilizzare una forma semplificata della Legge

qualora si decida di utilizzare la scala assoluta delle temperature:

TT

VV

0

0

La sperimentazione utilizza lo stesso dispositivo ideale a gas perfetto già descritto per la

trasformazione a volume costante in una condizione iniziale preparatoria corrispondente all’inizio

della FASE 6.

Ciò significa che le prime cinque fasi possono essere considerate identiche alle precedenti.

FASE 6 – Variazione continua della temperatura del sistema con mantenimento della

pressione iniziale.

Contrariamente alla sperimentazione precedente, relativa alla trasformazione isocora, si

tiene conto, annotandolo, del volume occupato dal gas alla temperatura iniziale del sistema

termodinamico.

Ricordando che il sistema è collegato ad una sorgente alla temperatura C0t 0 e

considerando che entrambi sono in equilibrio termico, si conclude immediatamente che la

temperatura del sistema è pari a quello della sorgente.

Facendo inoltre riferimento a quanto illustrato a proposito del valore iniziale di pressione

circa la corrispondenza o meno alla pressione atmosferica normale è già possibile anticipare

che, anche a proposito del volume, vale la stessa regola:

La variazione di volume a pressione costante dipenderà unicamente dal valore iniziale

dello stesso alla temperatura nulla e sarà costituita sempre dalla stessa frazione. In buona

sostanza si ribadisce l’esistenza di un coefficiente moltiplicatore costante avente le stesse

caratteristiche di .

Non occorre quindi riportare il volume iniziale, come si fatto inizialmente per la pressione,

al valore che normalmente occuperebbe una mole di gas alla pressione atmosferica normale

e alla temperatura nulla.

Detto questo, occorre ora variare la temperatura del gas mantenendo costante la pressione

che lo stesso esercita sulle pareti del cilindro.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


32

Il pistone, essendo sbloccato, è libero di muoversi per effetto della dilazione del gas che non

è quindi più impedita.

Durante la trasformazione la massa M applicata al pistone non sarà variata in modo tale da

garantire la costanza della pressione interna pari al valore iniziale:

20

r

*pgMp

Il sistema termodinamico è ora in grado di modificare la propria geometria strutturale

cedendo o assorbendo dai sistemi ad esso collegati anche lavoro meccanico per effetto dello

spostamento del pistone il quale incrementa, oltre tutto, la sua energia potenziale.

La temperatura del gas è variata applicando di volta in volta, come al solito, sorgenti a

temperatura crescente ed aspettando il tempo necessario per permettere ai sistemi di

riportare l’equilibrio termico.

Le quantità di calore cedute, di volta in volta, dai sistemi esterni al sistema termodinamico

attraverso la parete conduttrice di fondo serviranno sia per la dilatazione del gas sia

all’incremento dell’energia interna dello stesso.

Si ricorda che l’unico risultato di una trasformazione isocora era l’incremento o il

decremento dell’energia interna in quanto al sistema termodinamico non era concessa la

possibilità di scambiare energia meccanica.

Possiamo già quindi immaginare che per ottenere la stessa variazione di energia interna del

gas, nel caso di trasformazione isobara, sia necessario scambiare una maggiore quantità di

calore con il sistema esterno.

Procedendo ad esempio con sorgenti caratterizzate da un variazione di temperatura di 50°

una dall’altra, occorrerà prendere nota con misurazioni accurate del volume occupato dal gas

per ogni condizione d’equilibrio semplicemente misurando il volume tra il fondo del

cilindro e la parte interna del pistone.

Figura 16 – FASE 6 – TRASFORMAZIONE ISOBARA A PRESSIONE COSTANTE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


33

FASE 7 – Costruzione del diagramma e della legge analitica della trasformazione isobara.

I risultati ottenuti annotando, per ogni variazione di temperatura, il relativo valore del

volume V saranno utilizzati per la costruzione di un diagramma cartesiano di assi t;V .

Il diagramma sarà rappresentato abbastanza fedelmente da una retta inclinata passante per il

punto, sull’asse del volume, di coordinate:

C0t

V

0

0

E, come si vedrà, per il punto sull’asse delle temperature, caratterizzato dalle coordinate:

C16,273t

0V

La retta sarà caratterizzata dall’equazione:

000

ttmVVVtV

In cui il coefficiente angolare m ha un valore:

0V.m

Il coefficiente angolare m rappresenta, questa volta, l’incremento di volume subito dal gas

per una variazione di temperatura di 1 grado e, come nel caso della trasformazione isocora, è

una frazione, di valore , del volume iniziale alla temperatura nulla.

Tale frazione è ancora uguale a:

003661,0

C16,273

1

Quindi, alla fine, la prima Legge di Gay-Lussac, relativa alla trasformazione isobara, risulta

nelle seguenti forme:

00000

tt1VttVVtV

16,273

t1V

16,273

tt1VtV

0

0

0 LEGGE GAY-LUSSAC

TRASFORM. ISOBARA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


34

Figura 17 – PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOBARA.

LA TRASFORMAZIONE ISOBARA E LA SCALA ASSOLUTA DI TEMPERATURA.

La Prima Legge di Gay-Lussac valida per trasformazioni isobare – a pressione costante – è più

facilmente rappresentata se si effettua uno spostamento della scala delle temperature adottando la

scala assoluta o scala Kelvin.

Basta spostare l’origine degli assi nel punto rappresentativo dello zero assoluto e variare tutti i

valori di temperatura rapportandoli ai Kelvin:

Figura 18 – LEGGE DI GAY-LUSSAC – TRASFORMAZIONE ISOCORA – SCALA ASSOLUTA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


35

L’equazione caratteristica può quindi essere facilmente scritta nella forma seguente:

TmTV

In cui in coefficiente angolare m è dato da:

16,273

V

T

Vm

0

0

0

Per cui:

TT

VV

0

0 ISOBARA (PRESSIONE COSTANTE)

Oppure:

TVTV00 (AREE UGUALI DEI RETTANGOLI)

00T

T

V

V (LEGGE DI SIMILITUDINE DI TRIANGOLI SIMILI)

Svincolando anche in questo caso il punto origine si ottengono le due relazioni equivalenti:

1221TVTV

1

2

1

2

T

T

V

V

In questo modo si svincola la Legge di Gay-Lussac dalla conoscenza delle condizioni di pressione e

temperatura particolari relative alla temperatura di 273,16 K.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


36

1° LEGGE DI GAY-LUSSAC _ TRASFORMAZIONE ISOBARA – ESERCIZI.

ESERCIZIO 1:

Supponendo di scaldare un volume di gas pari a 3

1dm100V con pressione costante, da una

temperatura C25t1 ad una temperatura C100t 2 , determinare il volume finale occupato

dal gas.

Soluzione:

La trasformazione è isobara, si può quindi applicare la prima Legge di Gay-Lussac nella forma:

1

2

1

2

T

T

V

V

Da cui si ottiene:

33

1

1

22 dm16,125dm100

K16,298

K16,373V

T

TV

Allo stesso risultato si perviene utilizzando la formula con la temperatura in Celsius ove, però

occorre prima determinare il volume occupato dal gas alla temperatura nulla:

0101 tt1VV

3

1

3

1

10 dm61,91

C25C003661,01

dm100

t1

VV

Ed infine:

313

0202 dm15,125C100C003661,01dm61,91tt1VV

ESERCIZIO 2:

Calcolare la temperatura alla quale bisogna portare una massa di idrogeno affinché il suo volume, di

20 litri alla temperatura di 20° C, salga a 30 litri, supponendo che la pressione rimanga costante

durante la trasformazione.

Soluzione:

La trasformazione è isobara, per cui:

1

2

1

2

T

T

V

V

C58,166K74,439K16,293

l20

l30T

V

VT 1

1

22

Utilizzando la scala Celsius:

020020 tt1VV

l63,18

20003661,01

l20

20003661,01

VV

200

00xt tt1VV

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


37

Da cui:

l63,18

l30tt1 0

C62,166003661,0

61,0161,1tt 0

C62,166t

Risultato analogo al precedente.

ESERCIZIO 3:

Una certa quantità di gas, inizialmente alla temperatura C0t0

, subisce una trasformazione in

cui è triplicato il suo volume mantenendo costante la pressione.

Qual è la temperatura del gas al termine della trasformazione?

Soluzione:

La trasformazione è isobara e, definendo 0

V il volume occupato alla temperatura iniziale, si

ottiene:

0

f

0

f

T

T

V

V

Da cui si ottiene:

C32,546K48,819K16,2733T3TV

V3T

V

VT

00

0

0

0

0

f

f

Oppure:

f0f

t1VV

3V

V3t1

0

0

f

C32,54616,2732003661,0

213t

f

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


38

ESERCIZIO 4:

In un cilindro di raggio cm30r ed altezza indefinita è contenuta una quantità di gas che

occupa inizialmente un volume 3

im5V alla temperatura C50t

i . Il pistone di massa

kg30M è in equilibrio e la pressione dell’ambiente esterno è una frazione pari all’ %85 della

pressione atmosferica normale.

Determinare, supponendo che il gas subisca una trasformazione isobara, l’aumento di energia

potenziale del pistone, quando la temperatura è incrementata di C800t .

Soluzione:

La pressione del gas contenuto nel cilindro è pari a: 2

a

22

irp85,0gMr*pgMrp

2222

2

a2i

m

N168.87

m

N325.10185,0

m3,0

s

m81,9kg30

p85,0r

gMp

atm86,0325.101

168.87p

i

Considerato che la trasformazione è isobara, tale pressione si manterrà costante con l’aumento di

temperatura.

Il volume occupato dal gas dopo l’incremento di temperatura sarà:

50

850

50

850

T

T

V

V

Da cui:

33

850m38,17m5

K16,323

K16,123.1V

Ad un incremento di volume pari a:

3

50850m38,12538,17VV

Corrisponde un incremento di quota del pistone pari a:

32m38,12Vhr

Da cui si ricava:

m81,43

m3,014,3

m38,12h

22

3

E il relativo incremento di energia potenziale:

J893.12mN893.12m81,43kg

N81,9kg30hgME

P

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


39

LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE

TRASFORMAZIONE ISOTERMA A TEMPERATURA COSTANTE.

Come si è visto, le due Leggi di Gay-Lussac descrivono il comportamento di un gas dal punto di

vista della variabilità della pressione e del volume in funzione del solo parametro di stato

“temperatura”.

La trasformazione è definita ISOBARA se, con la variazione di temperatura, è il solo volume a

modificarsi, mentre la pressione rimane costante; è definita ISOCORA se, con la temperatura, si

modifica la pressione ed il volume rimane inalterato.

Se, al contrario, è la temperatura a rimanere costante durante la trasformazione, gli altri due

parametri – pressione e volume – subiranno delle variazioni.

La trasformazione a temperatura costante è definita “ISOTERMICA” o “ISOTERMA” ed è

descritta dalla Legge sperimentale di Boyle-Mariotte.

La Legge di Boyle-Mariotte (ISOTERMA) e le due Leggi di Gay-Lussac (ISOBARA e ISOCORA),

unitamente, saranno poi utilizzate quali basi di partenza per lo studio della “Legge Generale di Stato

dei gas perfetti” ove compariranno la “Costante Generale di stato” e la quantità molecolare effettiva

di gas.

Anche la Legge di Boyle-Mariotte è di tipo sperimentale ed anche in questo caso, per studiarla,

conviene utilizzare il sistema termodinamico ideale contenente gas perfetto.

Prima di iniziare l’utilizzo teorico del sistema ideale occorre, però, anticipare alcune informazioni

che sono emerse in modo sufficientemente chiaro dallo studio delle trasformazioni isocore ed

isobare.

La più o meno rapida compressione di un gas, contenuto nel sistema termodinamico in

equilibrio termico con una sorgente esterna, provoca un brusco aumento di temperatura e di

pressione e una conseguente variazione dello stato di equilibrio termico precedente.

Il gas soggetto ad una compressione si riscalda e, per mantenersi in equilibrio termico con la

sorgente a capacità infinita, deve poter cedere energia termica alla stessa.

La rapidità e l’entità della compressione determinano, in prima approssimazione, il valore

della variazione termica.

Una pompa per bicicletta si riscalda durante le compressioni dello stantuffo.

Se la compressione è effettuata in modo “Quasi-statico”, ad esempio appoggiando al pistone

piccoli pesi in aggiunta a quelli già presenti, il riscaldamento del gas è minimo e uniforme in

tutto il cilindro ma la temperatura del sistema è comunque sempre superiore a quella della

sorgente esterna e lo scambio termico per riportare l’equilibrio è inevitabile anche se di

durata ridotta.

La più o meno rapida espansione determina, al contrario, una diminuzione di temperatura e

il conseguente prelievo, dalla sorgente, di una certa quantità di energia termica.

La brusca espansione del liquido frigorifero in pressione all’interno dell’evaporatore

provoca l’immediata trasformazione da fase liquida a fase gassosa e il conseguente

raffreddamento del sistema ad esso collegato.

E’ questo il principio di funzionamento dei frigoriferi e dei condizionatori estivi.

Sia la compressione che l’espansione del gas, essendo esso inizialmente in equilibrio con la

sorgente a capacità termica infinita, devono essere necessariamente provocate dall’azione di

forze esterne e dal conseguente flusso, in entrata o uscita, di energia meccanica.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


40

In altre parole:

Ogni compressione è accompagnata dall’aumento di temperatura e da lavoro

meccanico che, dall’esterno, affluisce nel sistema termodinamico. Dal punto di vista

del sistema tale lavoro è positivo, mentre, dal punto di vista dell’ambiente esterno

esso è negativo.

Ogni espansione è accompagnata dalla diminuzione di temperatura e da lavoro

meccanico che, dal sistema, affluisce all’ambiente esterno. Dal punto di vista del

sistema tale lavoro è negativo, mentre, dal punto di vista dell’ambiente esterno esso è

positivo. Considerando che l’ambiente esterno è, per noi, particolarmente importante

in quanto rappresenta il mondo in cui viviamo, possiamo cominciare a notare la

particolare importanza dell’espansione del gas.

Da quanto si affermato, si può anche concludere che le sorgenti collegate al sistema

termodinamico sono due:

L’una alternativamente cede o acquisisce calore (la sorgente a capacità termica

infinita), l’altra (il mondo esterno), di solito, alternativamente acquisisce o cede

lavoro meccanico.

Il sistema termodinamico agisce pertanto come tramite ai trasferimenti di energia

termica e meccanica.

Come si vedrà più avanti, i cicli chiusi seguiti dai sistemi termodinamici per il

trasferimento di energia meccanica verso il mondo esterno, richiedono la presenza

contemporanea di due sorgenti a differente temperatura.

Tornando alla trasformazione “ISOTERMA”, la sperimentazione utilizza lo stesso dispositivo

ideale a gas perfetto già descritto per la trasformazione a volume costante e a pressione costante in

una condizione iniziale preparatoria corrispondente all’inizio della FASE 6.

Ciò significa che le prime cinque fasi possono essere considerate identiche alle precedenti.

FASE 6 – Variazione continua della pressione e del volume mantenendo costante la

temperatura del sistema termodinamico. La trasformazione è di tipo “QUASI-STATICO”.

Contrariamente alle sperimentazioni precedenti, relative alle trasformazioni isocora ed

isobara, si tiene conto, annotandoli, dei valori di pressione e volume del gas alla temperatura

iniziale.

Ricordando che il sistema è collegato ad una sorgente alla temperatura C0t 0 e

considerando che entrambi sono in equilibrio termico, si conclude immediatamente che la

temperatura del sistema è pari a quello della sorgente.

I parametri di stato che caratterizzano il gas nelle condizioni iniziali sono dunque:

000t;V;p

Il pistone è quindi sbloccato e libero di muoversi.

Aggiungendo, di volta in volta, piccole masse si noterà l’abbassamento del pistone, la

contemporanea diminuzione di volume e un piccolo incremento della temperatura del

sistema che in poco tempo si riporterà in equilibrio con sorgente esterna collegata.

Durante la reiterazione delle operazioni la temperatura continua a rimanere costante ed

uguale a quella della sorgente mentre ad ogni aumento di pressione corrisponderà una

diminuzione di volume.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


41

Il procedimento può essere reiterato un numero di volte indefinito – dipendendo unicamente

dal valore dell’incremento della massa – e anche in senso contrario cioè diminuendo la

massa.

Ad ogni diminuzione di massa corrisponderà una diminuzione di pressione, un aumento di

volume, una diminuzione temporanea diminuzione di temperatura ed un nuovo stato

d’equilibrio termico con la sorgente.

Al termine delle operazioni saremo in possesso delle terne di parametri di stato

caratteristiche di ogni reiterazione:

011t;V;p

022t;V;p

033t;V;p

……………….

……………….

0nnt;V;p

Avendo indicato con n il numero di prove.

FASE 7 – Variazione della temperatura del sistema e ripetizione della FASE 6.

Il sistema è riportato nelle condizioni iniziali procedendo in senso inverso a quello utilizzato

nella fase precedente cioè diminuendo lentamente la quantità di massa sul pistone; al

termine i valori dei parametri di stato saranno nuovamente:

000t;V;p

Occorre ora variare la temperatura del sistema mediante l’eliminazione della sorgente alla

temperatura 0

t e il collegamento con una sorgente a temperatura 1

t superiore o inferiore.

Si supponga di utilizzare una sorgente ad una temperatura superiore e di attendere il tempo

necessario allo scambio di calore con il sistema sino al raggiungimento della stessa

temperatura.

Durante la variazione di temperatura da 0

t a 1

t varierà anche il volume se si decide per una

trasformazione ISOBARA oppure la pressione se la trasformazione è ISOCORA.

Alla fine i parametri di stato caratteristici saranno:

1

1

0

1

0t;V;p

Con 01

VV se la trasformazione è isocora oppure 01

pp se è isobara.

Si ripete ora nuovamente una FASE 6 mantenendo collegata la sorgente 1

t , variando

lentamente la pressione ed annotando i corrispondenti volumi ai nuovi stati d’equilibrio.

Al termine delle operazioni saremo in possesso di altre terne di parametri di stato

caratteristiche di ogni reiterazione:

1

1

1

1

1t;V;p

1

1

2

1

2t;V;p

1

1

3

1

3t;V;p

……………….

……………….

1

1

n

1

nt;V;p

Avendo ancora indicato con n il numero di prove.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


42

Figura 19 – TRASFORMAZIONE ISOTERMA ALLA TEMPERATURA 0

T

FASE 8 – Costruzione di diagramma pressione-volume.

Con i dati ricavati dalla prima e dalla seconda FASE 6 – a due temperature differenti -, si

costruisce, per punti, il diagramma cartesiano V,p riportando sull’asse orizzontale il

volume e la pressione sull’asse verticale.

Resta inteso che le due trasformazioni a differenti temperature saranno raffigurate da due

distinti diagrammi e dalle relative funzioni.

Relativamente ai dati ottenuti durante la trasformazione a temperatura 0

t si potrà notare che

i prodotti ottenuti moltiplicando il valore della pressione per il relativo valore di volume

sono sensibilmente uguali tra loro ed uguali ad una costante 0

K :

0nn221100KVp...........VpVpVp

Da cui:

00t

KVp

Lo stesso vale per la trasformazione a temperatura 1

t salvo il fatto che il valore della

costante 1

K è diverso dalla precedente, cioè:

1

1

n

1

n

1

2

1

2

1

1

1

1

1

0

1

0KVp...........VpVpVp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


43

Da cui:

11t

KVp

Con:10

KK

E, nel caso che la temperatura 1

t sia maggiore della temperatura 0

t si avrà:

01KK

Le relazioni intercorrenti, a temperatura costante, tra la pressione esercitata e il volume

occupato, chiaramente di tipo inversamente proporzionale, sono rappresentate graficamente

da iperboli equilatere di funzione analitica rispettivamente:

V

KVp

0 ISOTERMA ALLA TEMPERATURA

0t

V

KVp

1 ISOTERMA ALLA TEMPERATURA

1t

In cui i valori delle costanti K sono, rispettivamente:

000

VpK

1

0

1

01VpK

Figura 20 – DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME - TRASFORMAZIONI ISOTERME

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


44


In conclusione si è ottenuta la relazione sperimentale di Boyle-Mariotte riguardante le

trasformazioni “ISOTERME” – a temperatura costante - dei gas perfetti contenuti nei sistemi

termodinamici.

000KVpVp Valida per isoterma alla temperatura

0T

Oppure:

1122VpVp Valida per isoterma ad una temperatura qualsiasi

Da cui:

1

2

1

2p

V

Vp ISOTERMA ALLA TEMPERATURA T

1

2

1

2V

p

pV ISOTERMA ALLA TEMPERATURA T

Dalla prima relazione si determina la pressione 2

p di un gas che, ad una certa temperatura, occupa

un volume noto 2

V se si conoscono la pressione 1

p e il volume 1

V caratteristici alla stessa

temperatura di un altro punto della stessa trasformazione.

La stessa cosa dicasi a proposito del calcolo del volume 2

V

LE TRASFORMAZIONI ISOCORE ED ISOBARE SUL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME

Il diagramma V;p caratteristico delle trasformazioni ISOTERME – regolate dalla Legge di

Boyle – può essere utilizzato per una diversa e, allo stesso tempo più completa, rappresentazione

delle trasformazioni ISOCORE ed ISOBARE, regolate invece dalle due LEGGI DI Gay-Lussac.

L’isobara – trasformazione caratterizzata dalla variazione di temperatura e dalla pressione costante

– sarà rappresentata dal segmento orizzontale che collega un punto caratteristico dell’isoterma

rappresentativa della temperatura iniziale i

T ad un altro punto sull’isoterma rappresentativa della

temperatura finale f

T .

L’isocora – trasformazione caratterizzata dalla variazione di temperatura e dal volume che si

mantiene costante – sarà rappresentata dal segmento verticale che collega le due isoterme

rispettivamente alla temperatura iniziale i

T e alla temperatura f

T .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


45

Figura 21 – TRASFORMAZIONE ISOBARA SUL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME

Figura 22 – TRASFORMAZIONE ISOCORA SUL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


46

SERIE DI TRASFORMAZIONI A CICLO CHIUSO

Particolare importanza per le trasformazioni successive che riportano il sistema termodinamico

ideale ed il gas in esso contenuto alle condizioni iniziali di partenza.

E’ ovvio che il gas segue un ciclo chiuso composto da un numero indefinito di trasformazioni il cui

risultato è quello di riportare i parametri di stato pressione, volume e temperatura agli stessi valori

iniziali.

Non è invece affatto ovvio che tutte le sorgenti ad esso collegate durante le svariate fasi delle

trasformazioni siano riportate, alla fine del ciclo chiuso, alle stesse ed identiche condizioni iniziali.

La serie di trasformazioni – ISOTERMA, ISOCORA ed ISOBARA – che costituiscono, in un

ordine qualsiasi, un ciclo chiuso, possono essere rappresentate su un diagramma pressione-volume

seguendo il criterio precedentemente illustrato.

Figura 23 – CICLO CHIUSO DI TRASFORMAZIONI ISOBARE, ISOCORE, ISOTERME

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


47

INTERPRETAZIONE E SIGNIFICATO

DEL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME

1 - COSTANTE DI STATO – INTRODUZIONE ALL’EQUAZIONE GENERALE DI STATO

L’iperbole equilatera che rappresenta, sul diagramma pressione-volume, una trasformazione

isoterma alla temperatura T qualsiasi – si preferisce qui utilizzare la definizione di temperatura

assoluta – è costituita di una serie continua di punti ognuno dei quali è caratterizzato da una coppia

diversa di parametri di stato – pressione e volume – e ha in comune il valore costante della

temperatura.

Per tutti gli stati d’equilibrio appartenenti ad un’isoterma alla temperatura 1

T , in virtù della Legge

di Boyle, è costante il prodotto della pressione per il volume.

Per tutti gli stati d’equilibrio appartenenti ad un’isoterma a temperatura 2

T è ancora costante il

prodotto pressione-volume ma il suo valore è diverso dal valore caratteristico dell’isoterma

precedente.

Inoltre, come si vedrà, è possibile ed utile riferire il valore costante Vp , relativamente ad

un’isoterma qualsiasi, al valore costante 00

Vp caratteristico dell’isoterma alla temperatura di

0°C.

Tale riferimento conduce immediatamente alla Equazione Generale di Stato dei gas perfetti.

Quindi, prese due isoterme qualsiasi alle temperature 1

T e 2

T oltre all’isoterma di riferimento

caratteristica della temperatura K16,273T0 e definendo A , B e 0 tre punti appartenenti

rispettivamente all’isoterma 1

T , all’isoterma 2

T e all’isoterma 0

T ognuno dei quali definisce lo

stesso volume o la stessa pressione, si avrà:

0

1

0

1

000KVpVp Per il punto 0 e per tutti i punti sull’isoterma

0T

1

1

A

1

AAAKVpVp Per il punto A e per tutti i punti sull’isoterma

AT

2

1

B

1

BBBKVpVp Per il punto B e per tutti i punti sull’isoterma

0T

Con:

BA0

VVV Se la trasformazione da 0 a B è a volume costante (isocora)

BA0

ppp Se la trasformazione da 0 a B è a pressione costante (isobara)

210

KKK

012

KKK

TfCKi

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


48

Figura 24 – CALCOLO DEI VALORI DI K CON TRASFORMAZIONE ISOCORA

Considerando che i punti B,A,0 sono posizionati su un’isocora – volume costante – e che le

temperature sono variabili dal valore K16,273T0 al valore qualsiasi

2T , per essi ha validità

la seconda Legge di Gay-Lussac, ed è quindi possibile riferire le pressioni alla pressione iniziale e

alla temperatura iniziale.

Si ha quindi:

1

0

0

AT

T

pp

2

0

0

BT

T

pp

Considerando poi che il volume 0

V rappresenta la base di tutti e tre i rettangoli caratteristici delle

rispettive isoterme, si ottengono i valori delle costanti 0

K , 1

K e 2

K :

0

0

00

000T

T

VpVpK

1

0

00

01

0

0

0AAA1T

T

VpVT

T

pVpVpK

2

0

o0

02

0

0

0BBB2T

T

VpVT

T

pVpVpK

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


49

L’area dei rettangoli caratteristici di ogni isoterma è quindi direttamente proporzionale alla

rispettiva temperatura assoluta e ad un coefficiente generale di stato il cui valore è dato da:

0

00

T

VpC

I valori di pressione e volume relativi all’isoterma alla temperatura di 273,16 (K), data la costanza

del prodotto Vp , possono essere riferiti, ad esempio, a quelli che eserciterebbe una mole o una

chilomole di gas perfetto alla temperatura normale C0t .

In conclusione la Legge di Boyle-Mariotte applicata alle tre isoterme considerate, assume la forma:

00

0

00TCT

T

VpVp

Isoterma

0T

11

0

00TCT

T

VpVp

Isoterma

1T

22

0

00TCT

T

VpVp

Isoterma

2T

Si sarebbe giunti alla stessa conclusione utilizzando, per il calcolo dell’area dei rettangoli Vp ,

una trasformazione isobara in grado di, mantenendo costante il valore della pressione – altezza del

rettangolo -, modificarne i volumi cioè la basi.

Figura 25 – CALCOLO DEI VALORI DI K CON TRASFORMAZIONE ISOBARA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


50

2 – LAVORO MECCANICO ED ENERGIA TERMICA

Unitamente al diagramma pressione-volume relativo ad una trasformazione isoterma è utile

ricordare che il sistema termodinamico agisce da tramite per i trasferimenti di energia meccanica e

termica da e verso le sorgenti collegate.

A questo scopo è possibile schematizzare il sistema, le sorgenti e i trasferimenti energetici nel modo

seguente:

Figura 26 – FLUSSI ENERGETICI TRA SISTEMA E SORGENTI.

Dal punto di vista del sistema termodinamico, il lavoro entrante 1

L e il calore entrante 2

Q

risultano positivi in quanto a carico delle rispettive sorgenti, viceversa il lavoro 2

L e il calore 1

Q

sono negativi in quanto uscenti.

Naturalmente le definizioni s’invertono qualora il punto di vista sia la sorgente di energia

meccanica o la sorgente di calore.

Particolarmente importante è il punto di vista della sorgente E in quanto costituisce il nostro

ambiente di vita quotidiana e nostro obiettivo principale è produrre e utilizzare il lavoro.

A questo riguardo sarà per noi positivo il lavoro 2

L che ci fornisce il sistema termodinamico,

mentre negativo sarà 1

L che lo stesso ci sottrae.

Potendo scegliere tra due sistemi – o macchine termodinamiche – opteremo per quella che è in

grado di fornirci la maggiore energia 2

L o, ancora meglio, la maggiore differenza – in termini

positivi - 12

LLL .

Si supponga ora di agire sul gas del sistema producendo in esso una trasformazione tale da

modificare il suo stato facendolo passare da “1” a “2” entrambi caratterizzati dall’equilibrio

termico.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


51

Lo stato 1 sarà caratterizzato dai seguenti parametri:

T

V

p

1

1

Lo stato 2 dai seguenti:

T

V

p

2

2

Supponiamo inoltre che, per passare da 1 a 2, sia necessario aumentare la forza applicata al pistone

ad esempio incrementando la massa appoggiata, in modo tale che risulti una forza 1

F a definire lo

stato 1 e una forza 2

F per lo stato 2 .

Alla forza 1

F corrisponde la pressione iniziale 1

p , alla forza 2

F la pressione finale 2

p .

A causa dell’improvviso incremento della forza, lo stato d’equilibrio iniziale non può essere

mantenuto e il pistone accelera verso il basso riducendo il volume di gas ed incrementando la

pressione nel cilindro.

Il movimento del pistone, ipotizzando nullo l’attrito con le pareti, sarà analogo a quello di un

oscillatore smorzato all’intorno della nuova posizione d’equilibrio 2 .

Durante il moto oscillatorio e transitorio del pistone, la temperatura e la pressione saranno

comunque sempre superiori ai valori iniziali e, a riguardo della pressione, potremo ammettere che

essa si manterrà, mediamente, pari al valore della pressione 2

p .

Ciò significa che, mentre il pistone ha raggiunto la posizione 2 discendendo, l’energia cinetica

acquistata ha un valore tale da costringerlo ad abbassarsi ancora comprimendo il gas ad una

pressione maggiore di quella che caratterizzerà, alla fine, il secondo stato d’equilibrio.

La temperatura sarà sempre superiore a quella di partenza cosicché, per tale periodo transitorio, non

è possibile ritenere isoterma la trasformazione del gas.

E’ durante questa fase transitoria che il sistema cede, alla sorgente termica a temperatura

leggermente inferiore, la quantità di calore 1

Q indicata nello schema.

E’ ancora durante questa fase transitoria che il sistema riceve, dalla sorgente di energia meccanica,

la quantità di lavoro 1

L il cui valore è calcolato tenendo conto dello spostamento della forza 2

F

applicata:

hFL21

Con:

h Abbassamento del pistone dalla posizione iniziale a quella finale.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


52

D’altra parte, per i motivi prima esposti, la forza 2

F è compensata dal valore della pressione 2

p che

agisce sulla superficie del pistone:

SpF22

Per cui il lavoro è espresso anche:

hSpL21

E, considerando che:

21VVVhS

21221

VVpVpL

Sul diagramma pressione-volume dell’isoterma caratteristica della trasformazione tale lavoro –

evidentemente negativo dal punto di vista della sorgente E - è rappresentato dall’area del

rettangolo evidenziato.

Figura 27 – LAVORO FORNITO AL SISTEMA DALLA SORGENTE E .

Se ora si elimina la forza 2

F , tornando cosi alla forza 1

F , si può ripetere il ragionamento

precedente con la seguente conclusione:

Il gas si espande e spinge la forza 1

F verso l’alto restituendo così alla sorgente esterna E una certa

quantità di lavoro 2

L ; nello stesso tempo si raffredda prelevando così dalla sorgente termica una

certa quantità di calore 2

Q .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


53

Il lavoro 2

L sarà definito, come in precedenza, da:

21112

VVpVpL

E rappresentato dall’area del rettangolo evidenziato sul diagramma pressione-volume:

Figura 28 – LAVORO FORNITO DAL SISTEMA ALLA SORGENTE E .

Il gas del sistema ha quindi subito due trasformazioni consecutive che hanno riportato i parametri

agli stessi valori dello stato iniziale, ma, per quanto riguarda la sorgente di energia meccanica, lo

stato iniziale e quello finale non sono coincidenti.

La sorgente E ha, infatti, ceduto al sistema più energia di quanta ricevuta e ha, perciò, perso

capacità di svolgere lavoro.

D’altra parte, dopo le due trasformazioni e secondo dati sperimentali, anche la sorgente termica non

è nelle stesse condizioni iniziali in quanto ha ricevuto dal sistema una quantità di calore superiore a

quella ceduta.

La sua capacità di ricevere altro calore è così diminuita.

Le due trasformazioni, come descritte, avvengono secondo modalità tanto più dinamiche quanto più

grande è la differenza tra la forze agenti.

Pensando di incrementare in termini infinitesimi la forza agente si può pensare di raggiungere lo

stato d’equilibrio successivo seguendo modalità statiche.

In altre parole:

Per raggiungere, partendo dallo stato 1 , il nuovo stato d’equilibrio 2 è necessario il

passaggio attraverso infiniti altri stati d’equilibrio intermedi.

Gli infiniti stati d’equilibrio intermedi costituiscono un’isoterma.

In questi termini il lavoro complessivo 1

L , ceduto dalla sorgente E al sistema, è rappresentato

dall’area confinata superiormente dall’iperbole tipica dell’isoterma e lateralmente dal volume

iniziale e finale.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


54

La trasformazione inversa restituisce alla sorgente E la stessa quantità di lavoro.

Le quantità di calore cedute e prelevate dal sistema alla sorgente termica sono le stesse.

Le trasformazioni di questo tipo sono dette “QUASI-STATICHE” e si definiscono

“REVERSIBILI” in quanto possono essere percorse nei due sensi.

Figura 29 – LAVORO DI UNA TRASFORMAZIONE “QUASI-STATICA” REVERSIBILE.

Figura 30 – TRASFORMAZIONI REVERSIBILI

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


55

LEGGE DI BOYLE-MARIOTTE – TRASFORMAZIONI ISOTERME.

ESERCIZI.

ESERCIZIO 1:

Un gas occupa, alla temperatura C0t1

, un volume 3

1dm30V . Mantenendo costante la

temperatura lo si comprime

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


56

L’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI

Utilizzando le Leggi di Gay-Lussac unitamente alla Legge di Boyle-Mariotte è ora possibile

ricavare una legge più generale in cui sono presenti contemporaneamente le tre variabili di stato

“pressione, volume, temperatura” e la quantità di gas, costante o variabile durante le trasformazioni.

Tale legge sarà definita “EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI” e permetterà di

determinare i parametri caratteristici di un qualsiasi stato d’equilibrio senza dover necessariamente

preoccuparci del tipo di trasformazione avvenuto all’interno del sistema termodinamico.

Supponiamo quindi che il gas passi da uno stato d’equilibrio 1 definito dal valore dei parametri

111

TVp ad un nuovo stato d’equilibrio generico TVp .

Dal punto di vista del gas non sono assolutamente rilevanti né il tipo né la quantità di trasformazioni

che deve subire per modificare i suoi parametri in quanto gli stati d’equilibrio sono univoci e

dipendono sono dai valori assunti dalla terna di parametri di stato.

E’ quindi possibile immaginare una serie qualsiasi di trasformazioni semplici alla sola condizione

che esse, alla fine, conducano, partendo dalla terna di parametri iniziali, alla terna finale.

Decidiamo quindi di utilizzare una serie di trasformazioni costituita da un’isocora, da un’isoterma e

da un’isobara e, visto che ci è consentito, decidiamo anche di costringere il gas, prima di giungere

allo stato finale, ad assumere una temperatura pari allo zero centigrado cioè K16,273T0 .

Utilizziamo il diagramma pressione-volume e le tre isoterme caratteristiche delle temperature

iniziale, finale e dello zero centigrado, riportando sulle prime due i punti di coordinate iniziali e

finali:

Stato d’equilibrio iniziale 1 111

TVp

Stato d’equilibrio finale 2 TVp

Indichiamo poi, con un tratto verticale, la trasformazione isocora dal punto 1 al punto A

sull’isoterma K16,273T0 .

Seguendo l’isoterma 0

T - con una trasformazione a temperatura costante – proseguiamo la

trasformazione sino ad un punto B al quale corrisponde una pressione del gas uguale alla pressione

p caratteristica del punto 2 finale.

Concludiamo infine con una trasformazione isobara dallo stato d’equilibrio B allo stato

d’equilibrio finale 2 .

Risulta chiaro che, se non si cambiano i parametri dello stato iniziale e finale, caratteristici del

sistema termodinamico, il risultato non dipende né dal numero né dal tipo di trasformazioni

intermedie in quanto lo stato d’equilibrio finale può comunque essere raggiunto con una serie di

trasformazioni qualsiasi.

Da quanto esposto precedentemente a proposito dell’interpretazione della legge di Boyle dovrebbe

essere chiaro che, se nulla cambia circa le condizioni del sistema termodinamico alla fine delle

trasformazioni scelte, ciò non è altrettanto vero dal punto di vista delle sorgenti collegate al sistema.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


57

Figura 31 -

Applicazione della seconda Legge di Gay-Lussac alla trasformazione isocora A1 :

Il sistema termodinamico, nello stato iniziale di parametri 111

TVp , è collegato ad una

sorgente termica alla temperatura K16,273T0 alla quale inizia a cedere calore. Il

pistone è bloccato perciò la trasformazione è isocora e lo stato finale d’equilibrio sarà

caratterizzato dai nuovi parametri:

AStato 0

A

1

1

T

p

T

p

0A

1A

0

1

1A

TT

VV

TT

pp

Applicazione della Legge di Boyle alla trasformazione isoterma BA :

Il pistone è sbloccato e la sorgente alla temperatura 0

T continua ad essere collegata al

sistema. Si variano la pressione e il volume in modo lento e graduale in modo da realizzare

una trasformazione isoterma sino a raggiungere il nuovo stato d’equilibrio B caratterizzato

dai seguenti parametri:

BStato BBAA VpVp

0B

B

AAB

B

TT

P

VpV

pp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


58

Applicazione della prima Legge di Gay-Lussac alla trasformazione isobara 2B :

Con il pistone sbloccato e utilizzando il collegamento ad una sorgente alla temperatura 2

T

si realizza una trasformazione isobara sino a raggiungere il nuovo stato d’equilibrio finale.

Esso sarà caratterizzato dai parametri:

2Stato 0

B

2 T

V

T

V

TT

TT

VVV

ppp

2

2

0

B

2

B2

In conclusione:

Per il punto 2 situato sull’isoterma 2

T vale quindi:

2

0

BB

2

0

B

B22T

T

VpT

T

VpVpVp

D’altra parte essendo i due punti A e B sulla stessa isoterma 0

T , vale la Legge di Boyle, quindi:

0

00

0

AA

0

BB

T

Vpn

T

Vp

T

Vp

00AABBVpnVpVp

In cui lo stato d’equilibrio 0 è caratterizzato dal fatto che la pressione è equivalente alla pressione

esercitata normalmente alla temperatura di zero gradi centigradi da una quantità di gas pari ad una

mole (il peso del gas equivale al suo peso molecolare) e che il volume è equivalente al volume

normalmente occupato, alla temperatura di zero gradi centigradi e alla pressione normale, sempre

da una mole di gas:

Pa325.101m

N325.101p

20

32

0m022414,0litri414,22dm414,22V

Il prodotto BBAA

VpVp è quindi direttamente proporzionale alla quantità di gas contenuta

nel sistema cioè al numero di moli o chilomoli n con 00

Vp costante di proporzionalità.

In definitiva lo stato d’equilibrio finale relativo ad un punto qualsiasi di una qualsiasi isoterma alla

temperatura T è rappresentato dall’equazione generale di stato dei gas perfetti:

TT

VpnVp

0

00

EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


59

Dove il termine entro la parentesi è costante ed ha un valore pari a:

Se n è misurato in moli:

Kmole

J314,8

Kmole

mN314,8

K16,273

mole

m022414,0

m

N325.101

T

Vp

3

2

0

00

Se n è misurato in chilomoli:

Kchilomole

J314.8

Kchilomole

mN314.8

K16,273

chilomole

m414,22

m

N325.101

T

Vp

3

2

0

00

La costante è denominata “ COSTANTE DI STATO DEI GAS PERFETTI ” ed è indicata con R :

Kmole

J314,8

T

VpR

0

00

L’equazione generale di STATO DEI GAS PERFETTI assume quindi la forma:

TRnVp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


60

EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI ESERCIZI.

ESERCIZIO 1:

In un recipiente di volume 3m35V è riempito, alla temperatura C50t1 , con un gas

compresso sino al raggiungimento di una pressione atm20p . Determinare la temperatura alla

quale occorre riscaldare il gas, senza modificarne la quantità, per aumentarne la pressione del %25

pensando di aumentare, nel contempo, il volume del recipiente del %12 .

Soluzione:

Il gas compresso nel recipiente alla temperatura K16,323T1 assume la pressione iniziale data

se la quantità è: TRnVp

chimol39,26

K16,323Kchimol

J314.8

m35

m

N325.101atm20

TR

Vpn

3

2

La temperatura necessaria per aumentare la pressione del 25% quando il volume aumenta del 12%

è:

C42,179K57,452314.839,26

12,13525,1325.10120

Rn

VpT

ESERCIZIO 2:

Supponendo di scaldare un volume di gas pari a 3

1dm100V con pressione costante, da una

temperatura C25t1 ad una temperatura C100t 2 , determinare il volume finale occupato

dal gas.

Soluzione:

La pressione e la quantità di gas rimangono costanti durante la trasformazione isobara.

Si può applicare l’equazione di stato per il gas nelle due distinte condizioni:

111 TRnVp

22122 TRnVpVp

Dividendo membro a membro si ottiene:

2

1

21

11

TRn

TRn

Vp

Vp

Da cui:

2

1

2

1

T

T

V

V Cioè si è ottenuta la prima legge di Gay-Lussac per l’isobara

Quindi:

3

1

1

22 dm15,125100

16,298

16,373V

T

TV

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


61

ESERCIZIO 3:

Un gas alla temperatura C0t e alla pressione di 1 atmosfera occupa un volume di 30 litri. Lo si

comprime a 3 atmosfere e durante la compressione lo si riscalda a 75° C. Determinare il volume

finale.

Soluzione:

Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti ai due stati d’equilibrio, si ottiene:

111 TRnVp

222 TRnVp

Da cui:

2

22

1

11

T

Vp

T

VpRn

Cioè:

litri74,12

K16,273atm3

K16,348l30atm1

T

T

p

VpV

1

2

2

112

ESERCIZIO 4:

In una bombola di capacità 50 litri, contenente gas compresso a 25 atmosfere, è fatto fuoriuscire del

gas in modo da riempire un recipiente di 200 litri a pressione atmosferica. Determinare la pressione

finale del gas restante nella bombola.

Soluzione:

Lo stato d’equilibrio del gas in pressione contenuto nella bombola piena è:

1) TRnVp11

Lo stato d’equilibrio del gas in pressione nella bombola dopo il travaso, sarà:

2) TRnnVp112

Lo stato d’equilibrio del gas nel recipiente di 200 litri, sarà:

3) TRnVp133

Ricavando TR dalle tre equazioni si ottiene:

n

VpTR

11

1

12

nn

VpTR

1

33

n

VpTR

Ricavando 1

n dalla terza equazione:

TR

Vpn

33

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


62

E sostituendo tale valore nella seconda:

33

33

12VpTRnTR

TR

VpnVp

Tenendo poi conto della prima:

331112VpVpVp

Si ricava il valore della pressione 2

p :

atm21

l50

l200atm1l50atm25

V

VpVpp

1

3311

2

La risoluzione dell’esercizio poteva essere svolta nel modo seguente:

Il gas compresso nel primo recipiente possiede un’energia data dal prodotto della pressione per il

volume:

J656.126mN656.126

m

dm000.1

1dm50

atm

m

N

325.101atm25VpE

3

3

32

111

Parte del gas compresso è travasato e fatto espandere, si ritiene a pressione iniziale nulla, in un altro

recipiente sino a raggiungere una pressione pari alla pressione atmosferica normale.

Il gas contenuto, alla fine, nel secondo recipiente possiede un’energia data da:

J265.20

m

dm000.1

1dm200

m

N325.101VpE

3

3

3

2333

Per cui, nel primo recipiente, il gas rimasto deve possedere un’energia pari alla differenza tra

l’energia iniziale e l’energia trasferita:

J360.106265.20656.126EEE 312

Tale energia, considerato che il volume non è cambiato, è ancora data dal prodotto della pressione

finale per il volume:

360.106Vp 12

Da cui:

atm21325.101

380.127.2

m

N380.127.2

dm

m

000.1

1dm50

m

N369.106

p2

3

33

2

2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


63

ESERCIZIO 5:

Si collegano tra loro due bombole: una di volume litri10V1 e contenente gas ad una pressione

atm20p 1 e l’altra di volume litri3,0V 2 con gas a pressione atm80p 2 . Determinare la

pressione finale del gas.

Soluzione:

Applicando l’equazione di stato alle due bombole:

1) TRnVp 111

2) TRnVp 222

E al recipiente che si ottiene con il collegamento delle due bombole:

3) TRnnVVp 21213

Per cui, sostituendo nelle 3) i valori della 1) e 2):

2211213 VpVpVVp

Da cui:

atm75,213,10

3,0801020p 3

ESERCIZIO 6:

Una bombola di volume l20V contiene 4,0 grammi di Idrogeno alla pressione

Pa105,2P5

. Determinare la temperatura del gas.

Soluzione:

Si utilizza l’equazione di stato:

TRnVp

Da cui si ricava la temperatura:

Rn

VpT

Tenendo conto che una mole di idrogeno biatomico ha un peso di 2 grammi, il numero di moli

contenute nella bombola è:

moli2

mole

g2

g4

molarePeso

Peson

Per cui:

C53,27K69,300

Kmole

J314,8moli2

m

N105,2

m

dm000.1

1dm20

T

2

5

3

3

3

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


64

ESERCIZIO 7:

Calcolare il volume occupato da 7,2 moli di gas perfetto alla pressione di 75 kPa e alla temperatura

di -12° C.

Soluzione:

Il volume occupato dal gas si ricava dall’equazione di stato:

p

TRnV

In cui:

moli2,7n

Kmole

J314,8R

K16,2611216,273T

2m

N000.75Pa000.75kPa75p

Per cui:

litri208m208,0

m

N000.75

K16,261Kmole

J314,8moli2,7

V3

2

ESERCIZIO 8:

Determinare la pressione alla quale due moli di gas perfetto occupano un volume di 10 litri alla

temperatura di 25° C.

Soluzione:

Con l’equazione di stato:

V

TRnp

E sostituendo i valori dati:

kPa1095,4

m

N780.495

m

J780.495

m

dm000.1

1dm10

K16,298Kmol

J314,8mol2

p2

23

3

3

3

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


65

ESERCIZIO 9:

Un recipiente contiene 26

104 molecole di gas perfetto alla pressione di Pa105 e alla

temperatura di 0° C. Determinare il volume del recipiente.

Soluzione:

Considerando il numero d’Avogadro e il numero di molecole presenti, si ottiene il numero di moli:

moli664

10022,6

104n

23

26

Applicando quindi l’equazione di stato:

3

2

5

m08,15

m

N10

K16,273Kmol

J314,8mol664

p

TRnV

ESERCIZIO 10:

In un recipiente di volume 3dm1V è stato creato quasi il vuoto con una pressione residua di

Pa109 . Determinare il numero di molecole di gas ancora presenti se la temperatura è di 0° C.

Soluzione:

Con l’equazione di stato si determina il numero di moli e poi, con il numero d’Avogadro, il numero

di molecole:

moli1040,4

K16,273Kmol

J314,8

m

dm000.1

1dm1

m

N10

TR

Vpn

16

3

3

3

2

9

Da cui:

molecole1065,210022,64,4NnN82316

A

ESERCIZIO 11:

Un recipiente della capacità di 3m5,0V contiene dell’ossigeno alla pressione kPa250p e

alla temperatura C9t . Determinare la massa del gas contenuta nel recipiente.

Soluzione:

Dall’equazione di stato:

moli28,53

K16,282Kmol

mN314,8

m5,0

m

N000.250

TR

Vpn

3

2

Per cui:

kg705,1gr705.1mol

gr32moli28,53PnM M

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


66

ESERCIZIO 12:

Una certa quantità di gas perfetto si trova alla temperatura C30t e alla pressione

kPa100p . Determinare la densità molecolare (cioè il numero di molecole per unità di volume)

del gas.

Soluzione:

Dall’equazione di stato si ricava il rapporto V

n:

TRnVp

3

2

m

mol67,39

K16,303Kmol

mN314,8

m

N000.100

TR

p

V

n

Da cui, moltiplicando per il numero d’Avogadro:

3

25123

3

A

m

molecole1039,2mol10022,6

m

mol67,39

V

Nn

ESERCIZIO 13:

Un cilindro, lungo 92 cm e chiuso alle estremità, è diviso in due parti da un pistone termicamente

isolante. Una stessa quantità di gas perfetto, alla stessa temperatura di 330 K e alla stessa pressione

di Pa105 , si trova in ciascuna delle due parti. Il gas che si trova da una parte è riscaldato di 30 K.

Determinare di quanto si sposta il pistone e quanto vale la pressione del gas in ciascuna delle due

parti.

Soluzione:

Il pistone è inizialmente in equilibrio in quanto la pressione dalle due parti è uguale. Il

riscaldamento di una delle due parti di gas modifica il prodotto Vp . La variazione può essere

calcolata con l’equazione di stato:

111 TRnVp a 330 K

222 TRnVp a 360 K

Con:

Pa10p5

1

1V S46,0 Volume iniziale pari a metà del volume totale

VVV 12 Volume finale dopo il riscaldamento

Da cui si ottiene:

1

2

11

22

T

T

Vp

Vp

D’altra parte, il gas contenuto nella seconda zona, essendo il pistone termicamente isolante, subisce

una trasformazione isotermica regolata dalla Legge di Boyle-Mariotte. Per esso il prodotto Vp

deve rimanere costante ed uguale a quello iniziale:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


67

2

2

5

33 mSm46,0

m

N10pVp

2

2

5

1133 mSm46,0

m

N10VpVp

3344 VpVp

VV

Vp

V

Vpp

1

11

4

334

Ma, considerato che dopo il riscaldamento, il pistone è ancora in equilibrio, risulta che le pressioni

finali nelle due parti del cilindro devono ancora essere uguali.

Per cui:

42 pp

1

21

2

12

T

Tp

V

Vp

VV

S46,010

V

Vpp

1

5

4

114

Uguagliando le espressioni della pressione:

VV

S46,010

T

Tp

V

Vp

1

5

1

21

2

12

Da cui:

VV

S46,010

T

Tp

VV

V

1

5

1

21

1

1

VV

S46,0

T

T

VV

S46,0

11

2

1

VV

1

T

T

VV

1

11

2

1

1

VV

T

T

1

VV 1

2

11

2

11

2

1

T

T1V1

T

TV

1T

T

T

T1

V

V

2

1

2

1

1

04348,0

1360

330

360

3301

1T

T

T

T1

46,0

h

S46,0

hS

2

1

2

1

cm2m02,004348,046,0h

Si può ora determinare la pressione finale 2p utilizzando, ad esempio, la relazione:

1

21

2

12

T

Tp

V

Vp

In cui:

48,0

46,0

S02,046,0

S46,0

V

V

2

1

Così:

Pa10045,1330

36010

48,0

46,0p

55

2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


68

ESERCIZIO 14:

Due recipienti cilindrici collegati tra loro sono riempiti in parte con acqua. Il rapporto tra le sezioni

orizzontali dei cilindri è pari a 3/2. L’altezza della colonna d’aria nei due recipienti è,

rispettivamente, m00,1h 1 e m40,0h 2 e la pressione nel serbatoio di destra vale

Pa105,8p4

1 .

Il serbatoio di sinistra è chiuso all’estremità, mentre, quello di destra, è munito di rubinetto di sfiato.

In un secondo momento è aperto il rubinetto di sfiato e il recipiente di destra è messo in

comunicazione con l’atmosfera sino al raggiungimento delle condizioni d’equilibrio.

Determinare le altezze delle colonne d’aria nei due recipienti e la pressione nel recipiente di sinistra

dopo che si è raggiunto l’equilibrio.

Soluzione:

Figura 32

La pressione iniziale nel recipiente di destra è inferiore alla pressione atmosferica normale e, per

questo motivo, aprendo il rubinetto di sfiato, entra aria dall’esterno e la pressione finale pareggia,

alla fine, la pressione atmosferica.

Evidentemente, per effetto dell’aumento di pressione, l’altezza subisce un incremento.

Inizialmente l’aria contenuta nel recipiente di sinistra si troverà ad una pressione inferiore alla

pressione nel recipiente di destra.

La pressione iniziale nel recipiente di sinistra può essere calcolata utilizzando la Legge di Stevin:

2120H21 hhpp

Durante l’apertura del rubinetto l’aria contenuta nel recipiente di sinistra subisce una trasformazione

isoterma per cui deve valere la Legge di Boyle-Mariotte:

3322 VpVp

Alla fine la pressione 3p potrà ancora essere calcolata utilizzando la Legge di Stevin e tenendo

conto che, nel recipiente di destra il valore della pressione è pari alla pressione atmosferica normale.

1O2H3atm hpp

1O2Hatm3 hpp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


69

Calcolo di 2p iniziale:

Pa114.79m40,01

m

dm000.1

dm

N81,9Pa105,8hpp

3

3

3

4

O2H12

Applicazione della Legge di Boyle-Mariotte:

3322 VpVp

233222 ShpShp

3322 hphp

3

223

h

hpp

Determinazione della pressione incognita 3p caratteristica dello stato d’equilibrio finale con nuovo

utilizzo della Legge di Stevin:

34a3 hhpp

Per cui, uguagliando le relazioni relative alla pressione finale 3p , si ottiene:

34a

3

22hhp

h

hp

L’equazione, così com’è, non può essere risolta in quanto sono presenti due incognite - 3h e 4h -

che caratterizzano i livelli delle superfici di separazione aria-acqua nei due cilindri allo stato

d’equilibrio finale.

Si può però ovviare al problema considerando che, mentre l’aumento di pressione nel recipiente di

destra dovuto all’apertura del rubinetto verso l’ambiente a pressione atmosferica produce un

abbassamento del livello dal valore 1h al valore 4h , nel cilindro di sinistra il livello diminuisce dal

valore 2h al valore 3h .

Il processo coinvolge evidentemente una stessa quantità d’acqua che si trasferisce quindi dal

cilindro di destra a quello di sinistra.

Tale quantità può essere espressa da:

141 ShV

232 ShV

In cui si sono indicati con 1V e 2V rispettivamente l’abbassamento di volume d’acqua nel

cilindro di destra e l’aumento di volume d’acqua in quello di destra.

D’altra parte si ha:

21 VV

Da cui risulta:

2314 ShSh

1

2

3

4

S

S

h

h

dove:

2

3

S

S

2

1

4

2

13 h

S

Sh

43 h2

3h

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


70

Utilizzando quest’ultima relazione è ora possibile modificare l’equazione a due incognite

riducendone il numero all’unità:

34a

3

22hhp

h

hp

Dove:

42323 h2

3hhhh

414 hhh

Per cui si ottiene:

4241a

42

22h

2

3hhhp

h2

3h

hp

E’ un’equazione di secondo grado contenente una sola incognita cioè l’abbassamento di quota

dell’acqua contenuta nel cilindro di destra oppure l’aumento di volume dell’aria per effetto

dell’incremento della pressione dal valore 1p al valore ap .

Dall’equazione si ottiene:

421a4222 h

2

5hhph

2

3hhp

4214a44212a222 h

2

5hhh

2

3ph

2

3h

2

5hhhphhp

2

4214a442212a222 h4

15hhh

2

3ph

2

3hh

2

5hhhphhp

Sostituendo i valori numerici in nostro possesso si ottiene:

22

m

N114.79p

m40,0h 2

m00,1h 1

33

3

3m

N810.9

m

dm000.1

dm

N81,9

2a

m

N325.101p

2

43

434243

322

h

m

N810.9

4

15

hm6,0

m

N810.9

2

3h

m

N325.101

2

3h

m

N810.9m4,0

2

5

m6,0

m

N810.9m40,0

m

N325.101m40,0m40,0

m

N114.79

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


71

2

4342

4242

h

m

N787.36h

m

N829.8

h

m

N987.151h

m

N810.9

m

N354.2

m

N530.40

m

N645.31

Da cui:

0m

N531.6h

m

N968.152h

m

N787.36 42

2

43

Cioè:

017754,0h158,4h 4

2

4

E’ questa l’equazione di secondo grado la cui risoluzione è:

043,0;115,4

2

072,4158,4

2

17754,04158,4158,4h

2

4

I risultati sono espressi in metri.

La prima soluzione è fisicamente inaccettabile in quanto l’abbassamento è eccessivo e impossibile

per quanto riguarda il cilindro di sinistra.

Quindi la soluzione reale è:

cm3,4m043,0h 4

Con questo risultato è possibile calcolare il valore finale delle quote:

m043,1043,000,1h 4

m3355,0043,02

34,0h

2

3hhhh 42323

m7075,03355,0043,1h F

E il valore della pressione nel cilindro di sinistra:

2

2

3

223

m

N323.94

m3355,0

m40,0

m

N114.79

h

hpp

Verifica con la Legge di Stevin:

23234a3

m

N384.94m3355,0043,1

m

N810.9

m

N325.101hhpp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


72

ESERCIZIO 15:

Dopo aver gonfiato lentamente una ruota di bicicletta si è determinato che il numero di moli è

aumentato del 2%, la temperatura assoluta dell’1% e il volume della camera d’aria dello 0,2%.

Determinare l’aumento in percentuale della pressione.

Soluzione:

Con l’equazione di stato, definiti:

n Numero di moli iniziali

T Temperatura iniziale

V Volume iniziale

P Pressione iniziale

02,1n Numero di moli finali

01,1T Temperatura finale

002,1V Volume finale

xp Pressione finale

Si ottiene:

TRnVp Equilibrio iniziale

01,1TR02,1n002,1Vxp Equilibrio finale

Per cui:

01,1TR02,1n

TRn

002,1Vxp

Vp

01,102,1

1

002,1x

1

Da cui si ottiene x:

02814,1002,1

01,102,1x

L’aumento di pressione è del 2,814%.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


73

GAS PERFETTI E GAS REALI

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


74

I GAS PERFETTI O IDEALI E I GAS REALI

Si è detto che un gas è considerato “perfetto” se è possibile immaginare nullo il volume occupato

dalle molecole e distanze infinitamente grandi tra le stesse in modo da rendere impossibile le

collisioni o urti molecolari.

In queste condizioni è possibile considerare pari a zero l’energia potenziale del gas in quanto risulta

nullo il lavoro che bisognerebbe eseguire per eliminare completamente le interazioni molecolari.

L’energia posseduta dal gas è solamente quella cinetica dovuta alla velocità media con la quale le

molecole si muovono entro il volume occupato.

Un gas con queste caratteristiche è definito “perfetto” o “ideale” ed è applicabile la Legge Generale

di stato o equazione di stato:

TRnVp

Si ricorda che l’equazione di stato riassume le due Leggi di Gay-Lussac (isobara ed isocora –

dilatazione del gas a pressione e/o volume costanti) e la Legge di Boyle-Mariotte (isoterma –

dilatazione del gas a temperatura costante).

In pratica l’equazione di stato è valida, quando la densità del gas è tale da consentire l’uso del

termine “rarefatto” per descriverne la caratteristica principale.

Se, al contrario, le molecole del gas non sono sufficientemente distanti, ovvero se la densità è

superiore a quella tipica di un gas ideale – per adesso non sono definiti termini di paragone – allora

non sarà difficile pensare che le molecole, adesso piuttosto vicine tra loro, possano scontrarsi o

comunque trovarsi le une nelle sfere d’azione delle altre.

In questo caso non sarà più possibile considerare nulle l’energia potenziale e le forze di coesione

molecolari.

Il gas sarà allora considerato “reale” ed il suo comportamento nei confronti delle trasformazioni e

degli stati d’equilibrio non potrà essere descritto dall’equazione di stato così come prevista per i gas

perfetti.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


75

TEORIA CINETICA DEI GAS

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


76

LA TEORIA CINETICA DEI GAS PERFETTI

CALCOLO DELLA PRESSIONE ESERCITATA DA UN GAS PERFETTO CONTENUTO IN

UN RECIPIENTE.

Supponiamo di considerare una certa quantità di moli di un gas perfetto contenute in un recipiente

cubico di lato L .

Il numero complessivo N è direttamente proporzionale al numero di moli n e si può ottenere

tenendo conto che ogni mole di gas contiene un numero di molecole pari al Numero di Avogadro,

cosicché:

ANnN N = numero di molecole contenute nel recipiente.

n = numero di moli

AN = Numero d’Avogadro

12323

A mole100221,6mole

1100221,6N

Per il gas contenuto nel recipiente cubico di spigolo L , trattandosi di gas perfetto o comunque di

fluido aeriforme con temperatura superiore alla temperatura critica caratteristica C

T , sono

applicabili le relazioni seguenti:

la Legge Generale di Stato dei Gas Perfetti TRnVP

le due leggi di Gay-Lussac (trasformazione isocora a volume costante, isobara a pressione

costante)

la Legge di Boyle (trasformazione isotermica a temperatura costante) kVP :

Leggi di Gay.Lussac:

Trasformazione isobara

Pressione costante

t1VV 0 3m

TT

VV

0

0

2

1

1

2T

T

VV

Trasformazione isocora

Volume costante

t1PP0

Pascal

m

N

2

TT

PP

0

0

2

1

1

2T

T

PP

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


77

Legge di Boyle:

Trasformazione isotermica o isoterma (temperatura costante)

kVPVP00 JmNm

m

N 3

2

kVPVP2211

2

1

1

2

V

V

P

P

2

11

2V

VPP

Legge generale di Stato dei gas perfetti:

TRnVP JmNm

m

N 3

2

In cui:

1K

16,273

1

Kmole

J10731451,8

T

VPR

5

0

00 Costante universale dei gas perfetti

Costante molare dei gas perfetti

K16,273tT Temperatura assoluta

C16,273Tt Temperatura in gradi Celsius

K16,273anormaleaatmosfericessionePrP0

mole

m0224141,0perfettigasmolareVolumeV

3

0

K16,273C0aeequivalentassolutaaTemperaturT 0

HgHg0 hP Legge di Stevin

33Hg

dm

dN59,13

dm

kg59,13

mm760h Hg

Pa1001325,1

m

N325.101

m

dm100

kg

N81,9

dm

kg59,13dm6,7atm1P

5

22

2

3Hg0

Kmole

J314,8

Kmole

mN314,8

K16,273

mole

m0224141,0

m

N1001325,1

T

VPR

3

2

5

0

00

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


78

Tornando alle N molecole e immaginando di riuscire a visualizzarne una sola per un solo istante –

come si vedrà più avanti la velocità teorica media di una molecola di Idrogeno alla temperatura

C0tK273T è valutata

h

km660.6

s

m850.1v - e, nel contempo di poterne

misurare la massa m , ci accorgeremmo che è animata da una velocità i

v con direzione e verso

qualsiasi.

La molecola è quindi paragonabile ad un proiettile di massa infinitesima che, nel suo cammino,

continua a urtare necessariamente contro ogni ostacolo incontrato.

Considerando che il fluido nel recipiente si comporta da gas perfetto solo se le molecole sono

infinitamente distanti tra loro in modo tale da poter considerare nulla l’energia potenziale posseduta,

potemmo pensare come ipotesi molto improbabili gli eventi classificabili come urti molecolari ed

invece inevitabili gli urti delle molecole stesse contro le pareti del recipiente.

Dato che, come si vedrà più avanti, il modulo della velocità molecolare ha un valore molto elevato e

che il recipiente ha necessariamente dimensioni ridotte, seremo indotti a pensare che il numero di

urti, nell’unità di tempo, della molecola-proiettile contro una delle qualsiasi pareti sia elevatissimo

e, dato che anche il numero di molecole è enormemente grande, quella particolare parete sia

sottoposta ad un numero di urti infinitamente grande.

Il risultato macroscopico dei continui urti microscopici delle molecole contro le pareti sarà

assimilabile alla presenza di una forza applicata alla parete in modo oscillatorio con frequenza tipica

talmente elevata da farla risultare continua.

In virtù del Terzo Principio della Dinamica (Legge d’azione e reazione) potremo altresì immaginare

che le pareti del recipiente, sottoposte dalle molecole del gas a forze continue, reagiscano sulle

molecole stesse applicando loro forze uguali e contrarie.

Ipotizzando quindi di riuscire in qualche modo a determinare il valore delle forze applicate alle

pareti e dalla conoscenza delle superfici coinvolte, sarà poi semplice procedura il calcolo della forza

sull’unità di superficie cioè della PRESSIONE.

Ma torniamo a parlare della velocità molecolare incognita.

La velocità molecolare iv può quindi essere scomposta secondo le tre direzioni principali,

parallele, ognuna, ad uno degli spigoli del recipiente cubico.

Otteniamo:

iziyixivvvv

O anche:

iyixxyivvv

2

iy

2

ixxyivvv

izxyiivvv

2

iz

2

iy

2

ix

2

iz

2

xyiivvvvvv

Per cui, tralasciando il simbolo del modulo: 2

iz

2

iy

2

ix

2

ivvvv

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


79

Supponendo di poter trattare una singola molecola allo stesso modo con cui si è trattato un corpo

rigido nei riguardi delle caratteristiche dinamiche proprie, come l’energia, la quantità di moto,

l’impulso e le regole di conservazione dell’energia e della quantità di moto, e di poter poi utilizzare

le semplici regole di somma algebrica alle N molecole di gas contenute nel recipiente, si ottiene

una semplificazione in grado di permetterci di descrivere le grandezze microscopiche caratteristiche

delle molecole per mezzo di grandezze macroscopiche facilmente rilevabili all’osservatore esterno.

A questo scopo è però necessario nuovamente ipotizzare che il fluido contenuto nel recipiente abbia

caratteristiche tali da poterci permettere di definirlo “gas perfetto”.

Forze di coesione molecolare nulle o comunque trascurabili

Energia potenziale molecolare nulla

Molecole estremamente distanti tra loro rispetto ai raggi d’azione delle forze di coesione e/o

repulsione molecolare

Assenza di urti tra le molecole

Temperatura superiore alla temperatura critica

Volume molecolare nullo

Urti perfettamente elastici delle molecole contro le pareti del recipiente in modo da poter

considerare validi il principio di conservazione dell’energia, di conservazione della quantità

di moto del sistema gas-parete e il teorema dell’impulso.

Figura 33 – RECIPIENTE CUBICO, ASSI PRINCIPALI E COMPONENTI DELLA VELOCITA’ MOLECOLARE.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


80

La quantità di moto i

Q posseduta dalla molecola i-esima dipende quindi dalla massa molecolare e

dalla velocità i

v secondo la relazione:

iivmQ

Oppure, scomponendo anche la quantità di moto secondo gli assi principali:

iziyixiziyixivmvmvmqqqQ

Considerando che, prima o poi, la molecola urta una delle facce del recipiente, che l’urto può essere

considerato perfettamente elastico e che la quantità di moto del sistema gas-pareti rimane costante

prima e dopo l’urto, si può ammettere che la velocità della molecola stessa, pur cambiando

direzione e verso, rimanga costante in modulo, cosicché l’energia cinetica, grandezza scalare, non

cambi nel tempo.

Allo stesso tempo si può immaginare che nell’urto contro una parete, la sola componente della

velocità i

v perpendicolare alla parete stessa cambi il proprio verso mantenendo costante il modulo.

Le direzioni e i moduli delle altre due componenti, essendo esse parallele alla parete considerata,

non subiscono variazioni e, di conseguenza, rimane costante anche il modulo della quantità di moto

dopo l’urto.

Dato che possiamo considerare un urto contro una qualsiasi delle pareti decidiamo di prendere in

esame in particolare l’urto contro la parete perpendicolare all’asse X (contenuta cioè nel piano

YZ ).

E’ evidente che i risultati potranno poi essere ripetuti allo stesso modo anche per le altre due

componenti della velocità non coinvolte nell’urto considerato ma coinvolte quando l’urto si

verifichi contro le pareti ad esse perpendicolari.

L’urto perfettamente elastico contro la parete perpendicolare a X produce l’inversione della

componente della velocità ix

v che, mantenendo quindi il suo valore in modulo, assume il segno

negativo dopo l’urto.

Supponendo di definire Iixv la componente prima dell’urto e

Fixv la stessa dopo l’urto e di

considerare positiva la prima essendo diretta verso la parte positiva dell’asse X , si potrà scrivere:

IixFix

vv

Ovviamente anche le quantità di moto, rispettivamente prima e dopo l’urto, dovranno essere

calcolate utilizzando la convenzione adottata per le velocità, ottenendo il seguente risultato:

ixIixIix vmvmq

ixIixFixFix vmvmvmq

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


81

Figura 34 – COMPONENTE ORIZZONTALE DELLA VELOCITA’ MOLECOLARE PRIMA E DOPO L’URTO.

Durante l’urto - che deve necessariamente avvenire in un tempo infinitamente piccolo – la

molecola-proiettile e la parete-bersaglio si scambiano forze reciproche secondo una modalità che

potremmo pensare come il seguente schema modello:

L’energia cinetica CE posseduta dalla molecola in virtù della sua massa m e della velocità

ixv prima dell’urto, si annulla completamente nel momento in cui la velocità è ridotta a zero

dalla forza elastica di deformazione della parete nel punto in cui essa è colpita. In altre

parole potremo dire che la presenza della parete deformabile è un freno nei confronti del

proiettile.

Possiamo ammettere che, a causa di ciò, sia la parete sia la molecola si deformino in modo

perfettamente elastico senza disperdere energia di alcun tipo.

E quindi ammissibile dedurre che l’energia cinetica molecolare sia trasmessa integralmente,

sottoforma di energia potenziale elastica di deformazione 2

.EL xk2

1E , alla parete

colpita.

Il comportamento della parete è quindi assimilabile a quello di una molla ideale.

L’energia elastica è poi restituita dalla parete che riprende elasticamente la sua forma

originale applicando alla massa molecolare una forza di intensità variabile il cui risultato è la

comparsa di un’accelerazione altrettanto variabile e il ripristino della velocità ixv diretta

però nel verso opposto.

Tale modello è simile al modello di un oscillatore armonico elastico

Concentrando l’attenzione sulla forza F che la parete applica alla molecola e pensando ai

due tempi del modello di oscillatore armonico, potremo immaginare quanto segue:

La velocità molecolare iniziale diretta verso destra è necessariamente rallentata sino al

completo annullamento, da una forza xF variabile da zero al valore massimo ma

comunque sempre di verso contrario al verso della velocità.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


82

Tale forza, applicata alla massa costante della molecola, causa la comparsa di una

decelerazione altrettanto variabile xa che, alla fine del primo periodo di oscillazione,

raggiunge il valore massimo.

Al termine del primo periodo la deformazione della parete è massima e la velocità

molecolare è nulla.

Ora la parete-molla ideale riprende elasticamente la sua forma originale applicando ancora

alla molecola una forza elastica di intensità variabile dal valore massimo al valore nullo

xF con verso costantemente opposto al verso della velocità iniziale.

La massa molecolare è quindi sottoposta ad un’accelerazione variabile che provoca un

aumento di velocità nel verso opposto al precedente.

Al termine del secondo periodo, considerando la restituzione integrale dell’energia

potenziale elastica – quindi senza perdita d’energia -, la massa molecolare avrà acquistato la

stessa velocità caratteristica posseduta prima dell’urto ma di segno ovviamente contrario.

Durante l’urto deve necessariamente essere valido il Secondo Principio della Dinamica in quanto

sono coinvolte le grandezze tipiche caratteristiche anche se variabili nel tempo o:

xkamF

Ove si indica con xk la reazione elastica della parete assimilata a molla ideale.

Oppure, tendendo conto della definizione canonica dell’accelerazione:

t

vvmF

if

Da cui si ricava il Teorema dell’Impulso:

qqqvmvmtFiFif

La forza che compare nell’equazione deve essere interpretata come reazione vincolare media che la

parete applica alla massa molecolare durante l’intervallo di tempo che caratterizza il passaggio dalla

velocità iniziale massima (prima dell’urto) alla velocità finale massima (dopo l’urto).

Naturalmente, in virtù del Terzo Principio della Dinamica, essa è di pari valore ma opposta alla

forza esercitata dalla molecola alla parete.

La durata dell’urto – quindi t - è invece pari alla metà del periodo caratteristico dell’oscillatore

armonico modello ed è, evidentemente, di tipo infinitesimo.

Il prodotto tF è l’Impulso della forza mentre le grandezze F

vm e i

vm sono

rispettivamente la quantità di moto finale F

q e iniziale i

q .

Applicando il Teorema dell’impulso alla particella molecolare si ottiene quindi:

ixixixiixfixixix

vm2vmvmvmvmqtF

ixixixvm2qtF

Possiamo evitare di domandarci cosa succede alla componente ix

v qualora la molecola, essendo

dotata di altre due componenti parallele al piano YZ e rispettivamente l’una perpendicolare al

piano XY e l’altra perpendicolare al piano XZ , urti uno degli altri due piani, prima di urtare di

nuovo il piano parallelo e contrapposto alla parete precedente.

La componente ix

v , non essendo coinvolta negli urti contro i due (quattro) piani ad essa paralleli,

avrà sempre lo stesso valore e, di conseguenza, la molecola impiegherà sempre lo stesso tempo per

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


83

percorrere la distanza L che separa le due pareti del recipiente perpendicolari alla sua direzione

anche se, nel frattempo, subisce un numero imprecisato di urti contro le altre quattro pareti.

In altre parole:

Non è di nessuna importanza il numero di urti molecolari contro pareti perpendicolari a

quella considerata, relativamente al tempo impiegato per percorrere la distanza L , a

condizione di considerare perfettamente elastici gli urti stessi.

Se tale ipotesi è soddisfatta la componente considerata mantiene inalterato il suo modulo e

lo spostamento della molecola nella direzione prefissata è assimilabile al moto rettilineo

uniforme in cui gli spazi percorsi sono proporzionali ai tempi impiegati.

Figura 35 – URTI IN DUE DIREZIONI CON MANTENIMENTO DEL MODULO DELLE COMPONENTI ix

v -

iyv

Consideriamo ora il fatto che la singola molecola è dotata, prima dell’urto contro la parete YZ , di

una velocità globale i

v di componenti iziyix

v,v,v e che, nell’urto, la sola componente

ixv mantiene inalterato il modulo cambiando però verso.

In questo modo possiamo immaginare che, dopo aver colpito la parete YZ di destra, rimbalzi verso

un’altra parete qualsiasi urtandola e invertendo il segno della velocità ad essa perpendicolare.

Tuttavia, in base a quanto descritto prima, il tempo impiegato dalla molecola per percorrere lo

spazio che separa le due pareti parallele YZ dipende esclusivamente dal modulo della velocità ix

v -

da ritenersi uniforme - e dalla misura dello spigolo L .

Se indichiamo con 1

t un tempo arbitrariamente piccolo, lo spazio percorso dalla molecola nella

direzione X sarà calcolato con:

1ixxtvS

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


84

Mentre il numero di urti contro la stessa parete YZ sarà dato da:

xSL2n

Da cui:

L2

tv

L2

Sn

1ixx

x

E’ ovvio che tale risultato deve valere anche nei confronti del numero di collisioni che la stessa

molecola ha con le altre due pareti principali dove, però sono coinvolte le componenti iy

v e iz

v :

L2

tv

L2

Sn

1iyy

y

L2

tv

L2

Sn

1izz

z

Quindi, nel tempo 1

t la differenza di quantità di moto che, complessivamente, la molecola subisce

in x

n collisioni contro la parete YZ di destra, è data da:

L

tvm

L2

tvvm2nqq

12

ix

1ix

ixxixtiix

Da notare che la durata del tempo 1

t , pur essendo presa arbitrariamente piccola a piacere, non

coincidere con il tempo teorico d’impulso t durante il quale avviene lo scambio reale di forze tra

la parete e la molecola.

Essendo però talmente elevato il numero di molecole che, nello stesso istante colpisce la parete, si

può ritenere che le collisioni avvengano in continuazione.

Se ora consideriamo che nel recipiente sono contenute N molecole, ognuna animata da velocità i

v

qualsiasi e di relativa componente ix

v , e se applichiamo ad esse il risultato ottenuto per la molecola

singola considerata, otteniamo, relativamente alla differenza di quantità di moto e al tempo 1

t , il

seguente risultato:

Ni

1i

12

ixixL

tvmQ

In cui:

ixQ Componente in direzione X della differenza di quantità di moto relativa alle N

molecole.

1t Tempo medio impiegato dalla molecola per invertire due volte sulla stessa parete la

propria quantità di moto oppure tempo impiegato per percorrere uno spazio uguale al

doppio della distanza tra le pareti.

Considerando poi che la massa molecolare m , il tempo 1

t e il valore di L , sono costanti

all’interno della sommatoria, si ottiene:

Ni

1i

2

ix

1

ixv

L

tmQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


85

D’altra parte, la differenza di quantità di moto complessiva è pari all’impulso nel tempo 1

t della

forza media ix

F che la parete destra YZ applica alle molecole per invertirne le loro componenti di

velocità:

ix1ixQtF

Si ricava dunque il valore medio della forza complessiva:

Ni

1i

2

ix

1

1ixv

L

tmtF

Ni

1i

2

ixixv

L

mF

Mentre, in virtù del Terzo Principio della Dinamica o legge d’azione e reazione, la forza che le

molecole applicano mediamente alla parete è di verso opposto:

Ni

1i

2

ix

'

ixv

L

mF

Ora, tenendo presente che, la media delle velocità caratteristiche di un numero di corpi pari a N è

definita velocità media (in questo caso la velocità media si identifica con la media delle velocità) e

che la media delle velocità al quadrato è pari alla velocità quadratica media:

N

v

N

v.............vvvv

Ni

1i

i

N321

m

Velocità media

N

v

N

v...........vvvv

ni

1i

2

i2

N

2

3

2

2

2

12

m

Velocità quadratica media

Si può interpretare e sviluppare la relazione precedente:

N

v

v

Ni

1i

2

ix

2

mx

Da cui:

2

mx

Ni

1i

2

ixvNv

Inserendo il risultato nella relazione precedente si ottiene:

2

mx

'

xvN

L

mF Forza media esercitata delle N molecole su YZ

E’ questa la relazione che permette di calcolare la forza media esercitata dalle molecole contenute

nel recipiente cubico sulla parete YZ .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


86

Estendendo il risultato alle altre pareti si avrà:

2

my

'

yvN

L

mF Forza media esercitata delle N molecole su XZ

2

mz

'

zvN

L

mF Forza media esercitata delle N molecole su XY

CALCOLO DELLA PRESSIONE

E’ ora possibile riferire la forza media esercita dal gas sulle pareti all’unità di superficie delle pareti

stesse ottenendo in questo modo la pressione media.

Per la parete YZ :

2

mx32

'

x

'

x

mxv

L

mN

L

F

S

Fp

Per le altre due pareti:

2

my32

'

y

'

y

myv

L

mN

L

F

S

Fp

2

mz32

'

z

'

z

mzv

L

mN

L

F

S

Fp

Ricordando poi la Legge di Pascal, applicabile e valida per i fluidi generici quali liquidi e gas, in cui

si dimostra che la pressione esercitata su una parete di un recipiente è uguale alla pressione sulle

altre pareti comunque orientate e che la stessa è sempre perpendicolare alle superfici interessate, si

ottiene:

mzmymxppp

Da cui:

3

pppp

mzmymx

m

2

mz

2

my

2

mx3mvvv

L3

mNp

E, ricordando che:

2

m

2

mz

2

my

2

mxvvvv

2

m3mv

L3

mNp

Tenendo conto che con 3

L s’identifica il volume del recipiente cubico e, allo stesso tempo, il

volume di gas e uguagliando la pressione media m

p all’effettiva pressione che il gas esercita sulle

pareti, si ottiene:

2

mv

V3

mNp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


87

L’equazione finale permette di mettere in relazione una grandezza microscopica come la velocità

media delle molecole con grandezze macroscopiche facilmente misurabili come la pressione e il

volume.

Inoltre è di fondamentale importanza la relazione che, ricavata dalla precedente e dalla legge di

stato dei gas perfetti, consente di determinare la grandezza fisica “ENERGIA INTERNA” e di

comprendere come quest’ultima sia dipendente solo dallo stato iniziale o finale di una

trasformazione e non da come avviene la trasformazione.

Infatti, partendo dall’equazione ricavata precedentemente, si ottiene:

2

mv

V3

mNp

2

mvm

3

NVp

2

mvm

2

1

3

N2Vp

N

Vp

2

3vm

2

1 2

m

Ricordando la Legge di Stato dei gas perfetti:

TRnVp

Kmole

J314,8

T

VpR

0

00

N

TRn

2

3vm

2

1 2

m

ANnN

A

2

mNn

TRn

2

3vm

2

1

TN

R

2

3vm

2

1

A

2

m

TK2

3vm

2

1

B

2

m

In cui il rapporto tra le due costanti R e A

N , indicato con B

k è la costante universale di

BOLTZMANN il cui valore è:

K

J103807,1

mole

1100221,6

Kmole

J314,8

N

RK

23

23A

B

La costante di Boltzmann rappresenta fisicamente l’incremento di energia cinetica (oppure di

energia interna) di una singola molecola per effetto della variazione di un grado Kelvin.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


88

Dalla relazione:

Si evince inoltre che la temperatura di un gas perfetto – variabile di stato – dipende dalla velocità

media di traslazione molecolare e, se si suppone nulla la temperatura (zero assoluto corrispondente

a – 273,16°C), che la velocità molecolare è nulla.

Inoltre la velocità molecolare dipende anche in modo inversamente proporzionale dalla massa

molecolare cosicché gas leggeri alla stessa temperatura si muovono più velocemente.

VELOCITA’ MOLECOLARI- COLLISIONI – ENERGIA CINETICA MOLECOLARE

Con la relazione fondamentale descritta è possibile il calcolo della velocità quadratica media o, più

semplicemente, della velocità media caratteristica molecolare partendo dal presupposto di

conoscere il tipo di gas e la variabile di stato “temperatura”:

molemole

BA

A

BABB2

mM

TR3

M

TKN3

mN

TKN3

m

TK3

m2

TK23v

mole

mM

TR3v

In cui:

AN Numero d’Avogadro – numero di molecole contenute in una mole di gas

m Massa molecolare gas

M Massa mole gas

T Temperatura assoluta

Prendendo ad esempio le caratteristiche dei principali gas assimilabili a gas perfetti e supponendo di

poter applicare la Legge di Stato integralmente tenendo conto del valore della costante R ideale:

Massa molecolare

Kmole/kg

Ossigeno 2O 32,00

Idrogeno 2H 2,016

Azoto 2N 28,016

Ossido di carbonio CO 28,00

Anidride carbonica 2CO 44,00

Ammoniaca 3NH 17,032

Acetilene 22 HC 26,016

Metano 4CH 16,032

Protossido d’azoto ON 2 44,016

Elio He 4

Anidride solforosa 2SO 64,07

TK2

3vm

2

1

B

2

m

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


89

Per l’idrogeno alla temperatura K273T 0 :

h

km600.6

s

m837.1

Kmole

kg016,2

Kmole

mN10809,6

Kmole

kg016,2

K273KKmole

J314.83

M

TR3v

6

mole

m

Supponendo uguali le componenti di velocità secondo assi principali e il gas contenuto in un

recipiente di lato m1L , si potrà calcolare un numero di collisioni al secondo pari a:

2

x

2

z

2

y

2

xmv3vvvv

2

m

2

xvv3

s

m060.1

3

vv

2

m

x

s

urti530

m2

m060.1

L2

tvn

x

x

E, per una gmole di gas: 23

A10022,6NN

s

urti1019,3n

26

x

Mentre l’energia cinetica media molecolare:

J1065,5K273k

J103807,1

2

3TK

2

3vm

2

1E

2123

0B

2

mmolecolareC

Per l’azoto alla temperatura K273T 0

h

km771.1

s

m492

Kmole

kg016,28

Kmole

mN10809,6

Kmole

kg016,28

K273KKmole

J314.83

M

TR3v

6

mole

m

s

m284

3

vv

2

m

x

s

urti142

m2

m284

L2

tvn

x

x


A10022,6NN

s

urti1055,8n

25

x

J1064,5s

m492

gmole

1100221,6

gmole

kg028016,0

2

1vm

2

1E

21

2

2

2

23

2

mmolecolareC

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


90

Per l’ossigeno alla temperatura K273T 0

h

km659.1

s

m461

Kmole

kg32

Kmole

mN10809,6

Kmole

kg32

K273KKmole

J314.83

M

TR3v

6

mole

m

s

m266

3

vv

2

m

x

s

urti133

m2

m266

L2

tvn

x

x


A10022,6NN

s

urti1000,8n

25

x

J1064,5E21

molecolareC

Per l’anidride carbonica alla temperatura K273T 0

h

km418.1

s

m394

Kmole

kg44

Kmole

mN10809,6

Kmole

kg44

K273KKmole

J314.83

M

TR3v

6

mole

m

s

m227

3

vv

2

m

x

s

urti114

m2

m227

L2

tvn

x

x


A10022,6NN

s

urti1086,6n

25

x

J1064,5E21

molecolareC

Per l’elio alla temperatura K273T 0

h

km696.4

s

m304.1

Kmole

kg4

Kmole

mN10809,6

Kmole

kg4

K273KKmole

J314.83

M

TR3v

6

mole

m

s

m752

3

vv

2

m

x

s

urti376

m2

m752

L2

tvn

x

x

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


91


A10022,6NN

s

urti1026,2n

26

x

J1064,5E21

molecolareC

L’ENERGIA INTERNA DEL GAS PERFETTO

Estendendo il concetto di energia cinetica molecolare prima definito, a tutte le molecole contenute

in un certo volume di gas perfetto, ricordando che l’energia interna di un fluido gassoso molto

rarefatto è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale (il concetto di energia interna è

quindi molto simile al concetto di energia meccanica) e tenendo conto che l’energia potenziale è

nulla proprio nel caso di gas perfetti o comunque fluidi a temperature superiori alle proprie

temperature critiche C

T , si può concludere che l’energia interna di una massa gassosa è pari alla

somma algebrica dell’energia cinetica posseduta mediamente da ogni molecola.

Per una quantità di moli pari a n di un gas in equilibrio alla temperatura T e per un conseguente

numero di molecole N , si avrà dunque:

ANnN

Ni

1i

2

i

Ni

1i

2

i

Ni

1i

iCm.Cvm

2

1vm

2

1EEU

Ricordando che:

2

m

Ni

1i

2

i

vN

v

Definizione di velocità quadratica media

Si ottiene:

2

mA

2

m

Ni

1i

2

ivNnvNv

Per cui, sostituendo:

2

mA

2

mA

Ni

1i

2

ivm

2

1NnvNnm

2

1vm

2

1U

Tenendo poi presente il calcolo dell’energia cinetica media molecolare effettuato precedentemente:

2

mv

V3

mNp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


92

2

mvm

3

NVp

2

mvm

2

1

3

N2Vp

N

Vp

2

3vm

2

1 2

m

E la Legge di stato dei gas perfetti:

TRnVp

Sostituendo nella precedente si ottiene:

AA

2

mN

TR

2

3

Nn

TRn

2

3

N

TRn

2

3

N

Vp

2

3vm

2

1

Quindi l’energia interna U si ottiene:

A

A

2

mAN

TR

2

3Nnvm

2

1NnU

TRn2

3U ENERGIA INTERNA DI UN GAS PERFETTO

KTKmole

JRmolin

2

3U

Si può quindi concludere osservando che:

L’energia interna dipende dal numero di moli di gas contenuto nel sistema termodinamico.

L’energia interna, a parità di quantità di gas o numero di moli, dipende unicamente dalla

temperatura assoluta del gas.

L’energia interna di un gas alla temperatura corrispondente allo zero assoluto, qualunque sia

il numero di moli, è nulla.

CONSIDERAZIONI IMPORTANTI:

Trasformazioni isotermiche – ISOTERME

1. Per trasformazioni di tipo “QUASI-STATICHE” caratterizzate da temperatura

costante, regolate dalla Legge di Boyle-Mariotte e rappresentate sul diagramma

pressione-volume da iperboli equilatere, l’energia interna è costante per tutti i punti –

o stati d’equilibrio – caratteristici della stessa iperbole.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


93

Figura 36 – ENERGIA INTERNA COSTANTE SULLA STESSA ISOTERMA

2. Ciò è ovvio in quanto per essi la temperatura non varia.

3. Per una stessa isoterma alla temperatura T l’energia interna del gas è indipendente

dai valori assunti dalla pressione e dal volume.

4. La differenza di energia interna tra stati d’equilibrio su due isoterme a temperature

1T e

2T dipende qundi esclusivamente dalla differenza di temperatura:

11 TRn2

3U Energia interna caratteristica dell’iperbole 1T

22 TRn2

3U Energia interna caratteristica dell’iperbole 2T

12 TTRn

2

3U

Figura 37 -

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


94

5. Fissati due stati d’equilibrio qualsiasi A e B - valori qualsiasi delle coppie di

parametri di stato pressione e volume - rispettivamente sull’isoterma 1

T e 2

T , si può

quindi concludere che la differenza di energia interna B.A

U è indipendente dai

punti scelti a condizione che si mantengano comunque sulle stesse isoterme:

F.ED.CB.AUUU

Figura 38 – DIFFERENZA COSTANTE DI ENERGIA INTERNA TRA PUNTI DI DUE ISOTERME

6. La variazione di energia interna U tra due isoterme alle temperature 1

T e 2

T è

quindi anche indipendente dal tipo di trasformazione che il gas contenuto nel sistema

effettua per passare da un’isoterma all’altra.

Quindi, ad esempio, un’isocora e un’isobara o qualsiasi altra trasformazione o

successioni di trasformazioni, il cui risultato sia il passaggio da un’isoterma all’altra,

producono la stessa differenza di energia interna, anche se i parametri di stato sono,

alla fine, diversi tra loro.

Figura 39 – DIFFERENZA DI ENERGIA INTERNA INDIPENDENTE DALLA TRASFORMAZIONE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


95

7. Una trasformazione isoterma non modifica l’energia interna.

8. Qualsiasi serie o successione di trasformazioni il cui risultato sia quello di

ripristinare, dopo averle modificate, le stesse condizioni di pressione, volume e

temperatura iniziali del gas, oltre a mantenere immutato il valore dell’energia interna

iniziale, mantiene anche immutate le condizioni delle sorgenti di calore ed energia

meccanica collegate al sistema termodinamico.

Un sistema che subisce una serie di trasformazioni di questo tipo percorre un

“CICLO CHIUSO”.

Figura 40 – SERIE DI TRASFORMAZIONI A CICLO CHIUSO – N.2 ISOCORE + N. 2 ISOTERME

9. Se il ciclo chiuso è formato da trasformazioni reversibili o quasi-statiche è anch’esso

reversibile e può essere percorso in un senso o nell’altro.

10. Durante una trasformazione reversibile o quasi-statica il gas contenuto nel sistema

termodinamico, agendo da tramite con le sorgenti esterne di calore ed energia

meccanica, preleva o cede una certa quantità di calore e, nel contempo, fornisce o

assorbe una certa quantità di lavoro.

Se la serie di trasformazioni costituisce un ciclo chiuso e se si utilizzano unità di

misura unificate per la grandezza lavoro e calore, allora l’energia interna finale è

uguale a quella iniziale e il bilancio energetico che tiene conto del calore assorbito e

ceduto e del lavoro meccanico prelevato e fornito alle sorgenti esterne è nullo.

Ad esempio, nel caso della trasformazione ciclica illustrata in fig. 40 – costituita da

due isocore e due isoterme – in cui si prevede di iniziare le trasformazioni partendo

dallo stato caratteristico del punto “A” e percorrendo il ciclo in senso orario, si potrà

dire quanto segue.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


96

CICLO “1” N.2 ISOCORE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE)

Dal punto “A” al punto “B”.

PRIMA Trasformazione isocora dalla temperatura 1

T alla temperatura 2

T

La trasformazione è isocora quindi senza variazione di volume. Il gas è confinato

all’interno del cilindro con il pistone bloccato.

Per innalzare la temperatura dal valore 1

T al valore 2

T occorre fornire calore al

sistema in quanto è esclusa la possibilità di incrementare la temperatura per

compressione e diminuzione di volume.

Il gas non può né fornire né prelevare lavoro meccanico dall’esterno perciò tutto il

calore è utilizzato per incrementere l’energia interna.

Il calore potrà essere ceduto al gas da una sorgente esterna a temperatura superiore a

quella iniziale del sistema.

Definiamo 1

Q il calore ceduto dalla sorgente al sistema.

Per la sorgente tale calore è negativo, per il sistema esso è positivo.

Dal punto B al punto C.

PRIMA Trasformazione isoterma alla temperatura 2

T .

La trasformazione è isoterma quindi deve avvenire senza che si possa modificare la

temperatura.

Il pistone è sbloccato e, considerato che il ciclo è percorso in senso orario verso il

punto C, si deduce che la pressione deve diminuire, mentre il volume aumenta.

Ciò può essere ottenuto, per esempio, riducendo i pesi poggiati al pistone.

Il gas, espandendosi, fornisce lavoro all’ambiente esterno e, nel contempo tende a

diminuire di temperatura.

La sorgente termica, tuttavia, continua a cedere calore al sistema mantenendo la

temperatura e l’energia interna al livello dell’isoterma 2

T .

Qundi, durante la prima trasformazione isoterma, il sistema fornisce lavoro meccanico

ed assorbe ancora calore.

Il lavoro fornito dal sistema termodinamico è rappresentato graficamente dall’area

della superficie posta sotto l’iperbole equilatera e delimitata a destra e sinistra dai

valori del volume iniziale e finale.

Definiamo 2

Q il calore fornito dalla sorgente al sistema e 1

L il lavoro meccanico

fornito all’ambiente dal sistema.

Per la sorgente 2

Q è negativo, per il sistema 2

Q è positivo.

Per il mondo esterno il lavoro 1

L è positivo, per il sistema esso è negativo.

Dal punto C al punto D.

SECONDA Trasformazione isocora dalla temperatura 2


T .

Il pistone è nuovamente bloccato e confina il gas all’interno del volume caratteristico

del punto C.

Per abbassare la temperatura occorre ora porre a contatto il sistema termodinamico con

una sorgente fredda ad una temperatura inferiore.

Non è possibile abbassare la temperatura espandendo il gas in quanto la

trasformazione è isocora.

Durante la trasformazione è il sistema a cedere calore alla sorgente fredda.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


97

Definiamo 3

Q il calore ceduto dal sistema alla sorgente.

Per la sorgente 3

Q è positivo, per il sistema 3

Q è negativo.

Non si hanno scambi di energia meccanica quindi il lavoro è nullo.

Dal punto D al punto A.

SECONDA Trasformazione isoterma alla temperatura 1

T .

Il pistone è sloccato e la trasformazione avviene a temperatura costante.

La pressione è incrementata, ad esempio aumentando i pesi sul pistone, mentre, il

volume torna a ridursi e la temperatura tende ad aumentare per compressione.

Quindi, essendo ancora a contatto con la sorgente fredda, il sistema continua a cedere

calore, mentre, nel contempo, dall’esterno è fornito lavoro meccanico mediante

l’aggiunta dei pesi.

Il lavoro è nuovamente rappresentato dall’area della superficie delimitata

superiormente dall’iperbole equilatera dell’isoterma 1

T e, ai fianchi, dal volume

iniziale e finale.

Tale area ha un valore inferiore a quella precedente per cui il lavoro assorbito da

sistema durante la seconda trasformazione isoterma è minore di quello ceduto durante

la prima trasformazione isoterma.

4Q sarà il calore ceduto dal sistema alla sorgente fredda,

2L il lavoro che l’ambiente

esterno fornisce al sistema.

4Q positivo dal punto di vista della sorgente, negativo da quello del sistema.

2L positivo per il sistema, negativo per l’ambiente esterno.

La seconda trasformazione isoterma riporta qundi il sistema alle stesse condizioni

iniziali caratteristiche del punto A , la trasformazione è ciclica e, se avviene in tempi

sufficientemente lunghi, è anche reversibile.

Da notare che, per chiudere il ciclo, servono due sorgenti termiche a temperature

differenti tra loro.

Il bilancio energetico può essere riassunto con la seguente schematizzazione.

Figura 41 – FLUSSI ENERGETICI DI CALORE E LAVORO VISTI DAL SISTEMA.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


98

Il lavoro meccanico che, complessivamente, è ceduto dal sistema termodinamico

all’ambiente esterno, è rappresentato dall’area racchiusa superiormente dall’isoterma 2

T ,

inferiormente dall’isoterma 1

T , a sinistra dalla linea verticale che caratterizza l’isocora 1

V e

a destra dalla linea verticale dell’isocora 2

V .

Esso è ottenuto dalla sottrazione tra il lavoro fatto dal sistema sull’ambiente e quello che

l’ambiente esterno applica al sistema.

Figura 42 – LAVORO MECCANICO COMPLESSIVO CEDUTO ALL’AMBIENTE.

Figura 43 - LAVORO POSITIVO E NEGATIVO

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


99

CICLO “2” N.2 ISOBARE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE)

Qualora il ciclo sia formato da due trasformazioni isobare e due trasformazioni isoterme si

potrà ragionare come segue:

Figura 44 – CICLO DI TRASFORMAZIONI A CICLO CHIUSO – N. 2 ISOBARE + N. 2 ISOTERME


PRIMA trasformazione isobara dalla temperatura 1


T .

La trasformazione è isobara con aumento della temperatura e dell’energia interna

dall’isoterma 1

T all’isoterma 2

T .

I pesi sul pistone non sono modificati durante la trasformazione cosicché la

pressione rimane costante, mentre il pistone, causa la dilazione del gas, si solleva

fornendo lavoro meccanico all’ambiente esterno.

Occorre perciò che una sorgente termica a temperatura superiore 1

T fornisca il

calore necessario.

1Q sarà il calore fornito dalla sorgente termica mentre

1L sarà il lavoro

meccanico applicato all’ambiente esterno dal sistema.

Per il sistema 1

Q è positivo mentre 1

L è negativo.

Contrariamente ad una trasformazione isocora, ove il calore fornito era

completamente utilizzato dal sistema per incrementare la propria energia interna

da A

U ad B

U , durante la trasformazione isobara parte del calore è utilizzato per

l’espansione – quindi per generare lavoro meccanico – e parte per l’incremento

dell’energia interna.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


100

Il lavoro 1

L è rappresentato, sul diagramma pressione-volume, dall’area del

rettangolo che ha per base la differenza tra il volume finale e quello iniziale V

e per altezza il valore, costante, della pressione iniziale A

p .

Dal punto “B” al punto “C”.

PRIMA trasformazione isoterma alla temperatura 2

T .

La trasformazione è isotermica quindi deve avvenire senza modificazione della

temperatura che si mantiene perciò al valore 2

T .

Il pistone è ancora sbloccato e, considerato che il ciclo è percorso in senso orario

verso il punto C , si deduce che la pressione deve diminuire, mentre il volume

aumenta ancora.

Ciò può avvenire se si diminuisce il valore del peso poggiato sul pistone.

Mentre il gas si espande per effetto della decompressione il pistone fornisce

all’ambiente esterno altro lavoro meccanico, nel contempo, la temperatura tende

a diminuire.

La pressione diminuisce dal valore B

p al valore C

p

Per l’equilibrio termico con la sorgente a temperatura 2

T , ancora a contatto con

il sistema, il gas assorbe altro calore dalla sorgente.

L’energia interna è costante ed uguale a quella caratteristica dell’isoterma 2

T .

2Q sarà il calore assorbito dal sistema,

2L il lavoro fornito all’ambiente esterno.

Dal punto “C” al punto “D”.

SECONDA Trasformazione isobara alla pressione C

p .

Il pistone è ancora sbloccato, il sistema è posto a contatto con una sorgente a

temperatura minore di 2

T ed i pesi non sono modificati.

La pressione rimane costante, mentre il gas, raffreddandosi, diminuisce di

volume e passa nuovamente sull’isoterma 1

T .

Il sistema cede calore 3

Q alla sorgente e riceve lavoro meccanico 3

L dal pistone

che si abbassa.

L’energia interna passa dal valore caratteristico dell’isoterma 2

T a quello

caratteristico dell’isoterma 1

T .

Dal punto “D” al punto “A”.

SECONDA trasformazione isoterma alla temperatura 1

T .

La trasformazione è isotermica quindi deve avvenire senza modificazione della

temperatura che si mantiene perciò al valore 1

T .

Il pistone è ancora sbloccato e, considerato che il ciclo è percorso in senso orario

verso il punto A , si deduce che la pressione deve aumentare, mentre il volume

diminuisce ancora.

Ciò può avvenire se si aumenta il valore del peso poggiato sul pistone.

Mentre il gas è compresso per effetto dell’aumento dei pesi, il pistone fornisce al

sistema altro lavoro meccanico, nel contempo, la temperatura tende ad

aumentare.

La pressione aumenta dal valore D

p al valore A

p

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


101

Per l’equilibrio termico con la sorgente a temperatura 2

T , ancora a contatto con

il sistema, il gas cede altro calore dalla sorgente.

L’energia interna è costante ed uguale a quella caratteristica dell’isoterma 2

T .

4Q sarà il calore ceduto dal sistema,

2L il lavoro prelevato all’ambiente

esterno.

La seconda trasformazione isoterma riporta qundi il sistema alle stesse condizioni

iniziali caratteristiche del punto A , la trasformazione è ciclica e, se avviene in tempi

sufficientemente lunghi, è anche reversibile.

Da notare che, per chiudere il ciclo, anche in questo caso, servono due sorgenti

termiche a temperature differenti tra loro.

Il bilancio energetico può essere riassunto con la seguente schematizzazione.

Figura 45 – FLUSSI ENERGETICI DI CALORE E LAVORO VISTI DAL SISTEMA


all’ambiente esterno, è rappresentato dall’area racchiusa superiormente dalla linea

orizzontale dell’isobara e dall’isoterma 2

T , inferiormente dalla linea orizzontale della

seconda isobara e dall’isoterma 1

T .

Dal raffronto con il lavoro ceduto all’ambiente durante il ciclo precedentemente descritto, si

può notare che si tratta di una quantità sicuramente minore.



APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


102


Figura 47 – LAVORO POSITIVO E NEGATIVO.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


103

TRASFORMAZIONI ADIABATICHE – SENZA SCAMBI DI CALORE

Oltre alle trasformazioni isoterme (temperatura costante) regolate dalla Legge di Boyle-Mariotte,

alle trasformazioni isocore (volume costante) ed isobare (pressione costante) entrambe regolate

dalle due Leggi di Gay-Lussac e ai cicli chiusi od aperti costituiti da una serie in successione

possibile di tali trasformazioni, il gas contenuto nel sistema termodinamico può subire una

trasformazione senza avere la possibilità di scambi termici con le sorgenti esterne.

Si ricorda che:

Durante la trasformazione isotermica è necessario lo scambio termico con una sorgente più

calda o più fredda del gas (se il gas si espande aumentando di volume raffreddandosi è

necessaria una sorgente più calda – se il gas è compresso diminuendo di volume e

riscaldandosi è necessaria una sorgente più fredda)

Durante la trasformazione isocora e/o isobara è ancora necessario lo scambio termico con la

sorgente esterna (più calda se si vuole aumentare l’energia interna e la pressione o il volume,

più fredda se si vuole diminuire)

Per tali tipologie di trasformazioni è quindi indispensabile mantenere il collegamento termico tra il

sistema termodinamico e la sorgente.

Se il gas confinato all’interno del sistema termodinamico ideale è isolato termicamente

dall’ambiente esterno, gli scambi di calore non sono evidentemente possibili e, di conseguenza, le

trasformazioni considerate sino ad ora non possono avvenire.

Le Leggi di Boyle-Mariotte e le Leggi di Gay-Lussac non sono quindi applicabili ad un sistema

termicamente isolato.

E’ però possibile modificare i parametri di stato del gas (pressione, volume e temperatura) agendo

meccanicamente dall’esterno o permettendo al gas di agire sull’ambiente esterno in quanto al

sistema, pur isolato termicamente, sono permessi gli scambi di energia meccanica.

Il gas può quindi fornire e ricevere lavoro meccanico dall’ambiente esterno.

A un sistema termodinamico di questo tipo si possono variare i parametri di stato costringendolo ed

eseguire una trasformazione senza scambi di calore che è definita “ADIABATICA”.

In altre parole:

Il gas è contenuto in un cilindro dotato di pareti, pistone e fondo con caratteristiche tali da

rendere impossibile ogni scambio termico con l’esterno (termoisolanti). Al pistone sono

permessi tutti i movimenti che hanno come scopo la variazione dei parametri di stato.

La compressione è l’azione esterna del pistone che, fornendo al gas lavoro meccanico, causa

l’aumento di pressione, l’aumento di temperatura e la diminuzione di volume.

Di conseguenza, considerato che l’aumento di temperatura non può essere smaltito per

equilibrio termico con una sorgente esterna fredda causa l’isolamento, ogni compressione

produce l’incremento di energia interna del gas.

L’espansione del gas, causata dal pistone in movimento contrario a quello di compressione,

produce la diminuzione della pressione e della temperatura e l’aumento del volume.

Durante l’espansione il gas fornisce energia meccanica all’ambiente esterno e, nel

contempo, la sua energia interna diminuisce.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


104

Risulta quindi abbastanza evidente che ad ogni compressione adiabatica corrisponde un aumento

d’energia interna ed ad ogni espansione adiabatica un decremento d’energia interna.

Il gas contenuto nel sistema si comporta in modo analogo ad una molla ideale che incrementa la

propria energia elastica ogni qual volta riceve lavoro di compressione e la cede ritrasformandola in

energia meccanica tutte le volte che torna elasticamente alla forma originale.

In questo senso l’energia interna del gas è paragonabile all’energia elastica di una molla.

Figura 48 – VARIAZIONE DEI PARAMETRI DI STATO IN UNA TRASFORMAZIONE ADIABATICA.

EQUAZIONE DELLE TRASFORMAZIONI ADIABATICHE DEI GAS PERFETTI

LEGGE DI POISSON

Rispetto ad un’espansione isotermica, in cui la pressione diminuisce solo in funzione dell’aumento

di volume V in quanto la temperatura rimane costante per scambio termico con la sorgente calda,

durante l’espansione adiabatica la diminuzione di pressione è provocata, oltre che dall’aumento di

volume, anche dalla diminuzione di temperatura T e, di conseguenza, dell’energia interna U .

Per un’espansione adiabatica, a parità di decremento di volume V si ha quindi una diminuzione

di pressione p maggiore rispetto ad una trasformazione isoterma .

Al contrario la compressione adiabatica produce un incremento di pressione p maggiore

dell’incremento di pressione che subirebbe lo stesso gas per effetto della stessa diminuzione di

volume V durante una trasformazione isotermica.

Anche in questo caso il maggior incremento è dovuto al fatto che, durante la compressione

adiabatica, la temperatura del gas aumenta.

L’incremento di pressione è quindi funzione della variazione di volume e dell’aumento di

temperatura.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


105

Considerando che, anche per le trasformazioni adiabatiche continua a valere una legge di

proporzionalità inversa tra i parametri di stato pressione e volume e, tenendo conto dell’aumento di

temperatura per compressione e della diminuzione per espansione, si conclude che il diagramma

rappresentativo di tali trasformazioni deve essere simile a quello già utilizzato per le isoterme cioè

di tipo iperbolico.

Sul diagramma pressione-volume ogni trasformazione adiabatica sarà rappresentata da un’iperbole

che interseca necessariamente le iperboli equilatere tipiche delle trasformazioni isoterme.

L’iperbole dell’adiabatica, da sola e sul diagramma pressione-volume, non può essere

rappresentativa degli effettivi e completi stati d’equilibrio in quanto la linea che la contraddistingue

non è caratterizzata da temperatura costante.

Per cui, se si intende utilizzate il diagramma pressione-volume occorre corredare ogni

trasformazione adiabatica con il fuso delle iperboli equilatere rappresentative delle varie

temperature intersecate dall’adiabatica stessa.

Così, ad esempio, l’adiabatica rappresentata in figura sul diagramma Vp , interseca le sole

isoterme alla temperatura 1

T e 2

T mentre, in realtà, essa converge con un numero infinito

d’isoterme.

Figura 49 – DIAGRAMMA TRASFORMAZIONE ADIABATICA E RAFFRONTO CON ISOTERME

L’equazione che descrive le trasformazioni adiabatiche è sempre di tipo sperimentale e si può

ottenere con l’utilizzo del sistema termodinamico ideale eliminando i collegamenti con le sorgenti

termiche esterne ed inserendo una parete di fondo termoisolante.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


106

Tale equazione è nota come “EQUAZIONE DI POISSON” o Legge delle trasformazioni

adiabatiche:

1 tetancosVpVp2211

LEGGE DI POISSON PER LE ADIABATICHE

Dall’equazione di Poisson – tenendo conto del fatto che la curva adiabatica incrocia le isoterme e

che nei punti di convergenza deve essere valida anche l’equazione generale di stato per l’isoterma

considerata – si rivano le seguenti:

TEMPERATURA-VOLUME

2211

VpVp Stati d’equilibrio sull’adiabatica

111TRnVp Stato d’equilibrio comune all’adiabatica e all’isoterma

1T 1

222TRnVp Stato d’equilibrio comune all’adiabatica e all’isoterma

2T 2

Ricavando le pressioni dalle due equazioni di stato 1 2 e sostituendo nell’equazione di Poisson:

1

1

1V

TRnp

2

2

2V

TRnp

2

2

2

1

1

1V

V

TRnV

V

TRn

Da cui, eliminando i termini simili ed utilizzando le proprietà dalla divisione tra potenze con la

stessa base:

2 1

22

1

11VTVT

1

1

2

11

1

2

112

T

TV

T

TVV

TEMPERATURA-PRESSIONE

Ricavando i volumi dalle due equazioni di stato e sostituendo nell’equazione di Poisson:

1

11

p

TRnV

2

22

p

TRnV

2

22

1

11

p

TRnp

p

TRnp

2

22

1

11

p

TRnp

p

TRnp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


107

Da cui, eliminando i termini simili ed utilizzando le proprietà della divisione tra potenze con la

stessa base:

2

2

2

1

1

1

p

Tp

p

Tp

2

1

21

1

1TpTp

Ed infine, estraendo la riduce gamma-esima, si ottiene:

2

1

21

1

1TpTp

3

1

22

1

11pTpT

1

2

112

T

Tpp

In cui il termine è ottenuto dal rapporto tra il calore specifico del gas a pressione costante p

c - (o

capacità termica molare a pressione costante p

C ) - e il calore specifico a volume costante V

c - (o

capacità termica molare a volume costante V

C ).

Per cui:

V

p

C

C

Come si vedrà in seguito, le capacità termiche a volume costante e a pressione costante – oppure i

calori specifici a volume costante e a pressione costante, dipendono dalla costante di stato dei gas

perfetti R per mezzo della relazione di Mayer:

RCCVP

Volendo esprimere le capacità termiche molari in funzione del coefficiente :

Per la capacità VC :

RCC VP

VV

VP

C

R

C

CC

VC

R1

1

RC V

Per la capacità PC :

RCC VP

PP

VP

C

R

C

CC

PC

R11

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


108

PC

R1

1

RC P

Utilizzando la Teoria cinetica dei gas perfetti si ottengono le seguenti espressioni per le capacità

molari a volume e pressione costante e, di conseguenza, i corrispondenti valori di :

Per i gas monoatomici (esempio Elio ed Argon):

R2

3C V

R2

5C P

67,13

5

Per i gas biatomici (esempio Idrogeno, Azoto, Ossigeno):

R2

5C V

R2

7C P

40,15

7

Per i gas triatomici (esempio 2

CO ):

R2

7C V

R2

9C P

30,17

9

L’equazione di Poisson per le adiabatiche può quindi essere scritta nelle seguenti forme:

Per i gas monoatomici:

tetancosVpVp67,1

11

67,1

22

67,0

22

67,0

11 VTVT

40,0

22

40,0

11 pTpT

Per i gas biatomici:

tetancosVpVp40,1

11

40,1

22

40,0

22

40,0

11 VTVT

28,0

22

28,0

11 pTpT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


109

Per i gas triatomici:

tetancosVpVp30,1

11

30,1

22

30,0

22

30,0

11 VTVT

23,0

22

23,0

11 pTpT

Quanto detto al punto 10, relativamente alle trasformazioni reversibili a ciclo chiuso, continua ad

essere valido anche nel caso in cui il ciclo chiuso sia formato da due trasformazioni adiabatiche e da

due trasformazioni isotermiche.

Tale esempio è di FONDAMENTALE IMPORTANZA in quanto descrive il ciclo di

funzionamento delle principali macchine termiche o motori termici.

Il ciclo chiuso che ora si descrive, prevede lo scambio termico con sole due sorgenti, ed è definito

“CICLO DI CARNOT”.

LE TRASFORMAZIONI POLITROPICHE

Tra le infinite trasformazioni reversibili che può subire una certa quantità o un certo numero di moli

di gas perfetto, contenuto in un sistema termodinamico, a partire dallo stato iniziale di parametri

TVp , si sono sino ad ora esaminate le quattro più caratteristiche e fondamentali:

ISOCORA Trasformazione a volume costante

ISOBARA Trasformazione a pressione costante

ISOTERMA - ISODINAMICA Trasformazione a temperatura costante

ADIABATICA – ISOENTROPICA Trasformazione senza scambi di calore

ISOCORA – VOLUME COSTANTE – CON VARIAZIONE D’ENERGIA INTERNA

1

2

1

2

T

T

p

p GAY-LUSSAC

Se un gas opera una trasformazione in assenza di variazioni di volume la quantità di calore assorbito

o ceduto dal sistema dipende dalla capacità termica molare a volume costante VC , dal numero di

moli e dalla differenza di temperatura tra lo stato iniziale e finale.

TCnQ VV

La capacità termica si mantiene costante durante tutta la trasformazione ed il suo valore è anche

calcolato con la formula inversa:

Tn

QC V

Il gas non scambia lavoro con l’ambiente esterno.

ISOBARA – PRESSIONE COSTANTE – CON VARIAZIONE D’ENERGIA INTERNA

1

2

1

2

T

T

V

V GAY-LUSSAC

Se la trasformazione è isobara, cioè a pressione costante, la quantità di calore assorbito o ceduto dal

sistema dipende dalla capacità termica molare a pressione costante PC , dal numero di moli o massa

di gas, dalla differenza di temperatura e dalla quantità di lavoro scambiato con l’esterno:

TCnQ PP

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


110

VpTCnQ VP

Anche in questo caso, se si esamina la prima relazione, risulta che la capacità termica PC si

mantiene costante durante la trasformazione ed il suo valore è superiore al valore della capacità

termica a volume costante.

Utilizzando la relazione di Mayer è possibile affermare che la capacità termica molare a pressione

costante supera quella a volume costante di una quantità pari alla costante generale di stato:

RCC VP

Tn

QC

PP

Inoltre il rapporto tra le due capacità dipende esclusivamente dalla tipologia di gas impiegato:

67,1C

C

V

P.monoat

40,1C

C

V

P.biat

30,1C

C

V

P.triat

ISOTERMICA –ISODINAMICA – SENZA VARIAZIONE D’ENERGIA INTERNA.

2211 VPVP BOYLE-MARIOTTE

Nel caso di trasformazione isotermica tutto il calore assorbito o ceduto da o verso l’ambiente

esterno è completamente convertito in lavoro meccanico, mentre la temperatura rimane costante.

In tal caso siamo in presenza di un gas che si comporta come se fosse dotato di una capacità termica

molare infinitamente grande.

Supponendo, infatti, di poter riutilizzare la relazione fondamentale per il calcolo della capacità

termica:

Tn

QC

ISOT.ISOt

e, con l’ipotesi di considerare nulla la variazione di temperatura T (isotermica), risulterebbe

infinitamente grande, sia in senso positivo che negativo, il valore della capacità:

0n

QC

ISOT.ISOt

ADIABATICA – ISOENTROPICA – SENZA SCAMBI DI CALORE

2211 VPVP POISSON

La trasformazione adiabatica o isoentropica avviene senza scambi di calore con l’ambiente esterno.

La temperatura del gas aumenta nel caso in cui è fornito dall’esterno lavoro meccanico

(compressione adiabatica), diminuisce nel caso in cui è il gas a fornire lavoro all’esterno a spese

della sua energia interna (espansione adiabatica).

La capacità termica molare .adiabC è fittizia ed ha valore nullo.

Infatti:

0Tn

0

Tn

QC

.ADIAB.ADIAB

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


111

Le quattro trasformazioni reversibili sono rappresentate sul diagramma di Clapeyron o pressione-

volume da linee diritte o curve nel modo seguente:

V

Is o b a ra

Is o te rm a

A d ia b a tic a

p

Is o c o ra

P R E S S IO N E -V O L U M E

D IA G R A M M A D I C L A P E Y R O N

C = C V

C = C P

C =is o t.

C =a d ia b .

0

p , V ,T

TRASFORMAZIONE POLITROPICA

Se la trasformazione avviene con variazione di pressione, di volume e di temperatura ed in presenza

di scambi di calore e di lavoro non nulli, mentre la capacità termica C si mantiene costante e

l’energia interna subisce variazioni, allora la il tipo di trasformazione sarà necessariamente diversa

dalle trasformazioni fondamentali studiate.

Si dirà che la trasformazione è POLITROPICA.

Per una trasformazione POLITROPICA reversibile da uno stato iniziale d’equilibrio A ad uno stato

d’equilibrio finale B dovrà essere valida la relazione che esprime il bilancio energetico e che, come

si vedrà, è anche l’espressione del Primo Principio della Termodinamica:

LdUQ

Con:

Q Calore scambiato

dU Variazione d’energia interna

L Lavoro scambiato

Con l’ipotesi che lo stato A e lo stato B siano prossimi tra loro e collocati, il primo sull’isoterma a

temperatura TT A ed il secondo sull’isoterma a temperatura TTT B , che la capacità

termica del gas durante la trasformazione sia costante ed uguale a C , la relazione di bilancio

energetico assume la forma:

LdUQ

VpTTCnTTCn ABVAB

VpTTTCnTTTCn V

VpTCnTCn V

VpTCCn V 1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


112

D’altra parte, applicando la legge generale di stato ai parametri del punto iniziale e finale, si ottiene

la seguente relazione:

TRnTRnVP AAA

Rn

VpT

AA

TTRnTRnVP BBB

Rn

VpTT

BB

Dato che i due stati d’equilibrio non sono, per ipotesi, troppo distanti tra loro, la

pressione ed il volume dello stato B saranno prossimi a quelli dello stato A, cioè:

Ppp AB

VVV AB

E, allo scopo di semplificare, definiti con:

pp A

VV A

Si ottiene:

Ppp B

VVV B

La differenza di temperatura tra i due stati d’equilibrio è quindi:

Rn

Vp

Rn

VpTTTTTT

AABBAB

AABB VpVp

Rn

1T

Sul diagramma pressione-volume tale differenza di temperatura è rappresentata dalla

differenza tra le aree dei rettangoli caratteristici delle due isoterme moltiplicata per il

coefficiente Rn

1

.

Sostituendo si ottiene:

VpVVPpRn

1T

VpVpVVVpVpRn

1T

VpVVVpRn

1T

Con l’ipotesi che p e V siano sufficientemente piccoli, si deduce che il loro

prodotto sia ancora più piccolo, quindi trascurabile, per cui:

pVVpRn

1T

Sostituendo nella 1 il risultato ottenuto:

VpTCCn V

VppVVpRn

1CCn V

VppVVpR

1CC V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


113

Ricordando poi la relazione di Mayer:

VppVVpCC

1CC

VP

V

vPV CCVppVVpCC

VpCVpCpVCVpCpVCVpC VPVV

VpCpVCpVCVpC PV

0pVCpVCVpCVpC VP

0pVCCVpCC VP

pVCCVpCC VP

pVVpCC

CC

V

p

0pVVpCC

CC

V

p

Ponendo:

CC

CC

CC

CC

V

P

V

P

Si ottiene l’equazione della trasformazione POLITROPICA:

KVpVp11

Il valore della capacità termica C , da ritenersi costante durante la politropica, può essere posto in

relazione sia alla capacità termica VC sia PC :

V

P

CC

CC

PV CCCC

PV CCCC

PV CCCC

PV CC1C

1

CCC

PV

VVV

V

PV

C1

C1

C11

C

CC

C

VC1

C

PP

C1

C

1C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


114

I punti caratteristici che rappresentano, sul digramma pressione-volume, gli stati d’equilibrio

appartenenti ad una trasformazione politropica d’equazione:

KVpVp 11

sono ottenenti, come per l’adiabatica, dalla intersezione con le isoterme e considerando l’equazione

di stato, nel modo seguente:

VOLUME-TEMPERATURA

2211 VpVp POLITROPICA

1

11

V

TRnp

2

22

V

TRnp

2

2

21

1

1V

V

TRnV

V

TRn

1

22

1

11 VTVT

1

1

2

112

T

TVV

PRESSIONE-TEMPERATURA


1

11

p

TRnV

2

22

p

TRnV

2

22

1

11

p

TRnp

p

TRnp

2

22

1

11

p

Tp

p

Tp

2

1

21

1

1 TpTp

1

1

2

2

1

p

p

T

T

1

2

11

1

2

112

T

Tp

T

Tpp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


115

RAPPRESENTAZIONE DELLA POLITROPICA SUL DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME

Le quattro trasformazioni fondamentali possono essere definite ora, in modo assolutamente

generale, delle trasformazioni politropiche con esponenti caratteristici:

ISOCORA:

1

1

2

112

T

TVV

Risulta con:

12 VV

1T

T

V

V 1

1

2

1

1

2

1T

T 1

1

2

1

01

1

VC1

C

VVV CC1C

1C

La politropica senza variazione di volume risulta evidentemente un’isocora per la quale l’esponente

deve essere infinitamente grande.

La capacità termica del gas sottoposto ad una simile politropica deve necessariamente essere uguale

alla capacità termica VC .

La curva della politropica risulta, sul diagramma pressione-volume, una retta verticale.

ISOBARA:

1

2

112

T

Tpp

Risulta con:

12 PP

1T

T

p

p 1

2

1

1

2

01

0

PV

V

PVV CC

C

CC

1C

1C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


116

La politropica senza variazione di pressione (pressione costante) risulta evidentemente un’isobara

per la quale l’esponente è nullo e, di conseguenza, la capacità termica è pari alla capacità termica

a pressione costante PC

La curva della politropica risulta, sul diagramma pressione-volume, una retta orizzontale.

ISOTERMA:


2211 VpVp ISOTERMA

Da cui deve risultare:

1

VC1

C

VC

11

1C

La curva della politropica caratteristica, con esponente 1 e capacità termica infinitamente

grande, è dunque l’iperbole equilatera dell’isoterma.

ADIABATICA:


2211 VpVp ADIABATICA

Da cui deve risultare:

0C1

C V

La politropica con esponente è dunque l’equazione di una semplice trasformazione adiabatica

ed è rappresentata da una curva di tipo iperbolico che interseca le isoterme.

CONCLUSIONI CIRCA IL VALORE DELLA CAPACITA’ TERMICA MOLARE

L’equazione di una trasformazione politropica può essere definita come espressione generalizzata di

una qualsiasi trasformazione reversibile.

Il valore dell’esponente ci permette poi di stabilire quale tipo di trasformazione fondamentale (tra

le quattro esaminate) sia effettivamente rappresentata dalla politropica e, nello stesso tempo, ci

permette di conoscere il valore della capacità termica reale o fittizia ad essa associata.

Così, per valori crescenti di a partire dal valore nullo ad un valore infinitamente grande, è

possibile individuare le quattro condizioni rappresentative delle trasformazioni fondamentali:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


117

CASO 1° - ISOBARA:

Ipotesi: 0

Conseguenze: 0CC

CC

V

P

0CC P PCC

La capacità termica è pari alla capacità termica molare a pressione costante.

L’equazione della politropica con esponente nullo rappresenta quindi una

trasformazione isobara:

2211 VpVp Politropica generalizzata

0

22

0

11 VpVp Kpp 21 ISOBARA

CASO 2° - ISOTERMA:

Ipotesi: 1

Conseguenze: 1CC

CC

V

P

VP CCCC C

La capacità termica è infinitamente grande sia con valore positivo che

negativo. L’equazione della politropica con esponente pari ad uno

rappresenta quindi una trasformazione isoterma:


1

22

1

11 VpVp KVpVp 2211 ISOTERMA

CASO 3° - ADIABATICA:

Ipotesi:

Conseguenze:

V

P

CC

CC

vP CCCC

V

V

PP C

C

CC1C

01

0C

0C

La capacità termica è nulla. L’equazione della politropica con esponente pari

a rappresenta quindi una trasformazione adiabatica:


2211 VpVp ADIABATICA

CASO 4° - ISOCORA:

Ipotesi:

Conseguenze:

V

P

CC

CC 0CC v vCC

La capacità termica è pari alla capacità termica molare a volume costante.

L’equazione della politropica con esponente pari a rappresenta quindi una

trasformazione isocora:


2211 VpVp 21 VV ISOCORA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


118

V

Is o b a ra

Is o te rm a

A d ia b a tic a

p

Is o c o ra



C = C V

C = C P

p , V ,T

C =

C=

0

vC = C

TRACCIAMENTO DELLA POLITROPICA ESEMPLIFICATIVA.

A titolo d’esempio si ricava ora il tracciato di una politropica esemplificativa da confrontarsi con il

tracciato dell’adiabatica che è esaminato più avanti (Termodinamica).

La politropica in esame parte da uno stato d’equilibrio collocato sull’isoterma n. 9 e caratterizzato,

come per l’adiabatica, dai seguenti parametri di stato:

3

9 m6V

2

5

9

m

N1065,16p

K202.1T 9

La politropica passante per il punto 9 dell’isoterma alla temperatura di 1.202 K è regolata

dall’equazione:

8899 VpVp

Si ipotizza di utilizzare un gas biatomico caratterizzato da un coefficiente:

40,1

E si utilizza un coefficiente lievemente inferiore a :

30.1

Per cui la politropica:

30,1

88

30,1

99 VpVp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


119

La politropica dovrà quindi intersecare l’isoterma sottostante - 8.n - nel punto 8 i cui parametri,

tranne la temperatura, sono incogniti.

D’altra parte, per il punto 9 e per il punto 8 , collocati sulle rispettive isoterme, devono valere

anche le equazione di stato:

9

99

V

TRnp

8

88

V

TRnp

Sostituendo le espressioni delle pressioni nell’equazione della politropica si ottiene:

8

8

89

9

9V

V

TRnV

V

TRn

Cioè: 1

88

1

99 VTVT

Da cui si ricava il valore incognito di 8V :

8

91

9

1

8T

TVV

1

1

8

9

91

8

91

98T

TV

T

TVV

Sostituendo i valori noti, si ottiene:

33

10

3

8 m57,8080.1

202.1m6V

Ricavando invece il volume dall’equazione generale di stato e sostituendo nell’equazione della

politropica, si ha:

9

99

p

TRnV

8

88

p

TRnV

8

8

8

9

9

9p

TRnp

p

TRnp

Da cui si ottiene ancora:

1

8

1

89

1

9 TpTp

Ed il valore della pressione 8p :

8

91

9

1

8T

Tpp

1

8

99

1

8

998

T

Tp

T

Tpp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


120

Sostituendo i valori dati:

2

53,0

3,1

2

5

8

m

N1047,10

080.1

202.1

m

N1065,16p

Reiterando il procedimento utilizzato per i punti 9 e 8 a tutti gli altri punti su ciascuna

isoterma si ottengono i seguenti risultati:

7) 31

1

1

1

7

8

81

7

81

87 m69.12960

080.157,8

T

TV

T

TVV

2

53,0

3,1

51

7

88

1

7

887

m

N1028,6

960

080.11047,10

T

Tp

T

Tpp

6) 31

1

1

1

6

7

71

6

71

76 m80,19840

96069,12

T

TV

T

TVV

2

53,0

3,1

51

6

77

1

6

776

m

N1052,3

840

9601028,6

T

Tp

T

Tpp

5) 31

1

5

6

61

5

61

65 m09,33T

TV

T

TVV

2

51

5

66

1

5

665

m

N1080,1

T

Tp

T

Tpp

V (m )3

2p ( )

N

m

5 1 0 1 5 2 0

5

1 0

1 5

2 0

x 1 05

V9

9p 9

9T

T8

7T1 .2 0 2 K

1 .0 8 0 K

9 6 0 K

8 4 0 K

7 2 0 K

6 0 0 K

4 8 0 K

3 6 0 K

2 4 0 K

T6

8

7

IS O T E R M A

A D IA B A T IC A

P O L IT R O P IC A

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


121

CICLO DI CARNOT N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE)

ESPANSIONE ISOTERMICA + ESPANSIONE ADIABATICA

COMPRESSIONE ISOTERMICA + COMPRESSIONE ADIABATICA

Anche in questo caso si immagina di percorrere il ciclo in senso orario partendo dal punto “A” i cui

parametri di stato sono comuni sia all’isoterma alla temperatura 1

T sia all’adiabatica che interseca

l’isoterma 1

T .


PRIMA Trasformazione ADIABATICA dalla temperatura 1


T .

La trasformazione è ADIABATICA ed avviene quindi senza scambi di calore con

l’ambiente esterno.

Il pistone è sbloccato e sul fondo del cilindro è posizionato il setto termoisolante. Le pareti e

lo stesso pistone sono già realizzati – per costruzione del sistema termodinamico – con

materiali perfettamente termoisolanti.

L’aumento di temperatura, per passare dal valore tipico dell’isoterma 1

T a quello tipico

dell’isoterma 2

T , non può che essere provocato da una compressione del gas per mezzo

dell’abbassamento del pistone.

La compressione provoca la diminuzione di volume V e l’aumento di pressione p .

Se, per esempio, nel cilindro è contenuto un gas biatomico come ossigeno o azoto, la

variazione dei parametri di stato pressione e volume segue la Legge di Poisson: 40,1

11

40,1VpVp

Ove con 1

p e 1

V s’intendono la pressione e il volume iniziali posizionati sull’isoterma 1

T .

Per cui se si considera come variabile indipendente il volume si potrà calcolare, di

conseguenza, la relativa pressione durante la trasformazione adiabatica:

40,1

40,1

11

V

Vpp

La compressione e la conseguente trasformazione adiabatica sono ultimate quanto la

temperatura del gas assume il valore tipico dell’isoterma 2

T e i parametri di stato sono

quelli caratteristici del punto “B”.

A livello energetico occorre fornire lavoro esterno di compressione e tutto il lavoro serve per

incrementare la sola energia interna del gas dal valore 1

U al valore 2

U .

Il lavoro è positivo per il sistema e negativo per l’ambiente esterno che lo fornisce al sistema

ed è inoltre rappresentato dall’area sottostante la curva dell’adiabatica e delimitata, a destra e

sinistra, rispettivamente dal valore del volume iniziale e finale.

Definiamo 1

L tale lavoro per noi negativo in quanto “noi” siamo “l’ambiente esterno”.


PRIMA Trasformazione isoterma alla temperatura 2

T .

La trasformazione è isoterma quindi deve avvenire senza che si possa modificare la

temperatura.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


122

Occorre quindi eliminare il fondo termoisolante del cilindro e permettere lo scambio termico

con una sorgente termica di capacità infinita alla temperatura 2

T .

Il pistone è sbloccato e, considerato che il ciclo è percorso in senso orario verso il punto C,

si deduce che la pressione deve diminuire, mentre il volume aumenta.

Ciò può essere ottenuto, per esempio, riducendo i pesi poggiati al pistone o diminuendo la

forza utilizzata per la compressione adiabatica.

Il gas, espandendosi, fornisce lavoro all’ambiente esterno e, nel contempo tende a diminuire

di temperatura.

La sorgente termica, tuttavia, cede calore al sistema mantenendo la temperatura e l’energia

interna al livello dell’isoterma 2

T .

Quindi, durante la prima trasformazione isoterma, il sistema fornisce lavoro meccanico ed

assorbe calore dalla sorgente.

Il lavoro fornito dal sistema termodinamico è rappresentato graficamente dall’area della

superficie posta sotto l’iperbole equilatera e delimitata a destra e sinistra dai valori del

volume iniziale e finale rispettivamente del punto “B” e del punto “C”.

Definiamo 1

Q il calore fornito dalla sorgente al sistema e 2

L il lavoro meccanico fornito

all’ambiente dal sistema.

Per la sorgente 1

Q è negativo, per il sistema 1

Q è positivo.

Per il mondo esterno, cioè per ”noi”, il lavoro 2

L è positivo, per il sistema è negativo.

Il lavoro 2

L è rappresentato dall’area della figura delimitata superiormente dall’isoterma

2T e, a sinistra e destra, rispettivamente dai valori di volume, iniziale e finale, corrispondenti

al punto “B” e al punto “C”.


SECONDA Trasformazione ADIABATICA dalla temperatura 2


T .

Il pistone è ancora sbloccato e confina il gas all’interno del volume caratteristico del punto

C.

Si dovrà scollegare il sistema dalla sorgente termica e ripristinare il fondo termoisolante al

cilindro allo scopo di impedire nuovamente gli scambi termici.

La temperatura diminuisce dal valore 2

T al valore 1

T solo a causa di un’espansione

adiabatica che si ottiene riducendo ancora la quantità di pesi sul pistone.

Il gas, espandendosi, fornisce altro lavoro all’ambiente esterno e diminuisce

contemporaneamente la propria energia interna.

Si può dire che il lavoro è eseguito dal gas a spese della propria energia interna.

Definiamo 3

L il lavoro fornito ancora positivo per l’ambiente esterno.

Anche in questo caso è possibile applicare la Legge di Poisson relativa alle trasformazioni

adiabatiche tenendo conto dei parametri caratteristici iniziali tipici del punto “C”.

Il lavoro 3

L è rappresentato dall’area della superficie delimitata superiormente dalla linea

dell’adiabatica e. a destra e sinistra, dai valori del volume iniziale e finale.


SECONDA Trasformazione isotermica alla temperatura 1

T .

E’ la trasformazione che conclude e chiude il ciclo reversibile.

Il pistone è sbloccato, il fondo termoisolante è rimosso ed il gas è collegato ad una sorgente

termica alla temperatura 1

T .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


123

Inizia una nuova compressione, con incremento del valore dei pesi sul pistone, il cui scopo è

riportare il gas ai valori di pressione e volume caratteristici del punto “A”.

Durante la trasformazione è il sistema a Durante la trasformazione è il sistema a cedere

calore alla sorgente termica, mentre, dall’esterno, è applicato lavoro di compressione al

sistema.

Definiamo 2

Q il calore ceduto alla sorgente e 4

L il lavoro fornito dall’esterno.

Per l’ambiente esterno il lavoro 4

L è negativo ed è rappresentato dall’area della superficie

delimitata dall’isoterma e dai valori di volume iniziale e finali caratteristici del punto “D” e

del punto “A”.

Figura 50 – FLUSSI ENERGETICI DI CALORE E LAVORO VISTI DAL SISTEMA.


all’ambiente esterno, è rappresentato dall’area racchiusa superiormente dall’isoterma 2

T ,

inferiormente dall’isoterma 1

T , a sinistra dalla linea curva che caratterizza la prima

adiabatica e a destra dalla linea curva della seconda adiabatica.



APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


124


Figura 52 – LAVORO MECCANICO POSITIVO E NEGATIVO

Le due trasformazioni adiabatiche, unite alle due trasformazioni isotermiche, costituiscono il

“CICLO DI CARNOT”.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


125

CICLO “OTTO” N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOCORE

MOTORE A CARBURAZIONE

Figura 53 – CICLO “OTTO” – N. 2 ADIABATICHE + N. 2 ISOCORE

Il ciclo è percorso in senso orario partendo dal punto “A” i cui parametri di stato sono comuni

all’isoterma a temperatura minore 1T , all’adiabatica di compressione che interseca l’isoterma stessa

e all’isocora D-A nel punto terminale.


COMPRESSIONE ADIABATICA



T .



Il ciclo ideale prevede che il pistone sia sbloccato e che sul fondo del cilindro sia

posizionato il setto termoisolante. Le pareti e lo stesso pistone sono già realizzati – per

costruzione del sistema termodinamico – con materiali perfettamente termoisolanti.


T a quello tipico

dell’isoterma 2



La compressione provoca la diminuzione di volume V e l’aumento di pressione p .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


126

La variazione dei parametri di stato segue le Leggi di Poisson:

1 tetancosVpVpBBAA

2 1

BB

1

AA VTVT

2

1

BB

1

AA pTpT

Il valore della costante dipende, come al solito, dal tipo di gas contenuto nel sistema.






incrementare la sola energia interna del gas dal valore AU al valore BU .

AB1 UL

0Q 1

Considerando che la compressione adiabatica avviene senza scambi di calore è subito

evidente che il lavoro di compressione – per noi negativo – è uguale all’incremento

d’energia interna U .




Definiamo 1

L tale lavoro per noi negativo in quanto “noi” siamo “l’ambiente esterno”.


TRASFORMAZIONE ISOCORA – ACQUISIZIONE DI CALORE A VOLUME

COSTANTE

La trasformazione B-C prevede che il pistone sia bloccato in una posizione tale da

mantenere costante il volume al valore raggiunto al termine della compressione adiabatica

A-B.

Il fondo termoisolante non è presente ed il sistema è a contatto con una sorgente termica ad

alta temperatura che, cedendo calore al sistema, provoca l’aumento di temperatura sino al

valore dell’isoterma 4T e l’incremento di pressione p sino al valore caratteristico dello stato

“C”.

Nella realtà tecnologica tale trasformazione corrisponde all’incremento quasi istantaneo

della pressione causato dall’esplosione della miscela combustibile nello spazio compreso tra

la parte superiore del pistone e la parte inferiore della testata (camera di scoppio).

Data la rapidità dell’esplosione e il tempo tecnico occorrente per lo spostamento del pistone

verso il basso, è possibile ritenere nullo l’incremento di volume ed assumere quindi la

trasformazione come “isocora”.

La quantità di calore fornita dall’esplosione della miscela combustibile è totalmente

trasformata in energia interna BCU e la temperatura aumenta sino al valore caratteristico

dell’isoterma ad alta temperatura 4T .

BC2 UQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


127


ESPANSIONE ADIABATICA

Il pistone è sloccato ed è riposizionato il fondo termoisolante per impedire lo scambio di

calore con l’esterno.

Il gas alla temperatura 4T e alla pressione Cp si espande adiabaticamente aumentando

rapidamente di volume, calando di pressione e di temperatura sino a raggiungere il nuovo

stato d’equilibrio caratteristico del punto “D” ove la temperatura 3T è minore di 4T ma

maggiore di 1T e 2T .

E’ questa la fase in cui il sistema fornisce lavoro all’ambiente esterno in quantità pari al

decremento d’energia interna CDU .

CD3 UL

0Q 3

Alla fine della trasformazione adiabatica i parametri caratteristici dello stato d’equilibrio

saranno quelli tipici del punto “D” cioè Cp , 3T e CV


TRASFORMAZIONE ISOCORA – CESSIONE DI CALORE A VOLUME COSTANTE -

RAFFREDDAMENTO

La trasformazione finale teorica avviene a volume costante e prevede che, con pistone

bloccato, sia ceduto all’ambiente esterno una quantità di calore tale da riportare la

temperatura del sistema a quella iniziale corrispondente all’inizio delle fase di compressione

adiabatica.

Tale operazione corrisponde, nel ciclo tecnologico reale, alla fase di scarico dei gas

combusti (fumi di scarico) e alla relativa perdita energetica.

La quantità di calore ceduto all’ambiente corrisponde alla variazione d’energia interna

DAU in quanto la trasformazione è isocora.

DA4 UQ

0L 4

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


128

CICLO “DIESEL” N.2 ADIABATICHE + N. 1 ISOCORA + N. 1 ISOBARA

MOTORE DIESEL AD INIEZIONE

Figura 54 – CICLO “DIESEL” – N. 2 ADIABATICHE + N. 1 ISOCORA + N. I ISOBARA

Il ciclo è percorso in senso orario partendo dal punto “A” i cui parametri di stato sono comuni

all’isoterma a temperatura minore 1T , all’adiabatica di compressione che interseca l’isoterma stessa

e all’isocora D-A, nel suo punto terminale.





T .



Il ciclo ideale prevede che il pistone sia sbloccato e che sul fondo del cilindro sia

posizionato il setto termoisolante. Le pareti e lo stesso pistone sono già realizzati – per

costruzione del sistema termodinamico – con materiali perfettamente termoisolanti.


T a quello tipico

dell’isoterma 2



La compressione provoca la diminuzione di volume V e l’aumento di pressione p e di

temperatura T .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


129

La variazione dei parametri di stato segue le Leggi di Poisson:

1 tetancosVpVpBBAA

2 1

BB

1

AA VTVT

2

1

BB

1

AA pTpT

Il valore della costante dipende, come al solito, dal tipo di gas contenuto nel sistema.






incrementare la sola energia interna del gas dal valore AU al valore BU .

AB1 UL

0Q 1

Considerando che la compressione adiabatica avviene senza scambi di calore è subito

evidente che il lavoro di compressione – per noi negativo – è uguale all’incremento

d’energia interna ABU .




Nel ciclo reale il punto terminale della compressione adiabatica corrisponde alla massima

compressione che il pistone provoca nella camera alla quale, inoltre, corrisponde la massima

temperatura.

A quel punto interviene la pompa d’inezione che, operando ad una pressione superiore,

inietta il combustibile liquido finemente polverizzato nella camera di combustione.

Il combustibile, venendosi a trovare in un ambiente a temperatura superiore alla temperatura

d’ignizione propria, brucia formando gas di combustione e si espande.


ESPANSIONE ISOBARA

È la fase in cui il combustibile cede calore al sistema provocando, nel contempo,

un’espansione che si ritiene isobara e un ulteriore aumento dell’energia interna.

La temperatura aumenta dal valore 2T - punto B – al valore 4T per il punto C.

L’energia interna aumenta di conseguenza, mentre il sistema fornisce lavoro all’esterno in

quantità pari all’area del rettangolo di altezza cB pp e di base BC VV .

La quantità di calore fornito durante l’espansione isobara è quindi data da:

BC24V24p2 VpTTnCTTnCQ

BCB2 VVpL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


130



Seconda Trasformazione ADIABATICA dalla temperatura 4T alla temperatura 3T .

E’ la fase in cui il sistema fornisce la maggior quantità di lavoro all’ambiente esterno

diminuendo l’energia interna dal valore CU al valore DU senza che possibilità di scambi

termici con l’esterno.

La temperatura passa da 4T a 3T .

Valgono ancora le equazioni di Poisson:

1 tetancosVpVpBBAA

2 1

BB

1

AA VTVT

2

1

BB

1

AA pTpT

Il lavoro è rappresentato dall’area della superficie sottostante la curva d’espansione

adiabatica.

CD3 UL

0Q 3


TRASFORMAZIONE ISOCORA

E’ la fase conclusiva del ciclo durante la quale sono scaricati i gas di combustione con

conseguente perdita del calore residuo in essi contenuti.

E’ assimilabile ad una trasformazione isocora con decremento della temperatura che passa

dal valore 3T al valore iniziale 1T .

L’energia interna torna al valore iniziale AU .

Il lavoro è nullo mentre la quantità di calore ceduto è pari ad decremento d’energia interna:

0L 4

13VDA4 TTCnUQ

In realtà ocoorrerà nenere conto del fatto che, nel ciclo reale, il gas contenuto nel sistema

deve essere continuamente rinnovato ad ogni ciclo per il fatto che la combustione provoca

dei mutamenti radicali alle sue caratteristiche.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


131

CICLO “JOULE” O “BRAYTON” N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOBARE

TURBINE A GAS

Figura 55 – CICLO “JOULE” O DI “BRAYTON” – CICLO TURBINE A GAS

Il ciclo di “Joule” o “Brayton” è costituito da una serie di trasformazioni teoriche ed ideali che sono

alla base del funzionamento reale delle turbine a gas.

Le turbine a gas, o turbo reattori, sono largamente utilizzate per la produzione di energia elettrica se

abbinate ad alternatori, per la propulsione aero-spaziale se installate su vettori di linea o militari.

Il funzionamento è assimilabile, almeno per quanto riguarda il continuo ricambio dei gas, ai

principali cicli reversibili teorici aperti e si distinguono le seguenti trasformazioni:



Una certa portata d’aria, prelevata direttamente dall’atmosfera circostante, è immessa in un

apparecchio rotante ad alta velocità detto “compressore rotativo” o “turbo-compressore” – di

tipo centrifugo o a funzionamento assiale – che provvede ad incrementarne in modo

adiabatico sia la temperatura – dal valore AT al valore BT - che la pressione (da Ap a Bp ).

In questa fase il compressore cede energia al gas che si riscalda, diminuisce di volume ed

incrementa la temperatura e, di conseguenza, la propria energia interna.

AB1 UL

0Q 1

La trasformazione adiabatica segue teoricamente le leggi di Poisson:

1 tetancosVpVpBBAA

2 1

BB

1

AA VTVT

2

1

BB

1

AA pTpT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


132

Il lavoro risulta negativo per l’ambiente esterno ed è rappresentato, come al solito, dall’area

della superficie sottostante l’adiabatica A_B.


ESPANSIONE ISOBARA

L’aria, già fortemente compressa e riscaldata dalla compressione adiabatica A_B, passa dal

turbo-compressore alla camera di combustione ove subisce l’iniezione di un combustibile

liquido polverizzato che fornisce il calore per un ulteriore aumento di temperatura che

s’innalza al valore 4T .

La cessione di calore alla miscela gassosa è assimilata ad una trasformazione isobara

regolata dalla seguente legge:

BCBBCVBCp2 VpTTCnTTCnQ

BCB2 VpL


ESPANSIONE ADIABATICA – PASSAGGIO NELLA TURBINA

La miscela gassosa composta da aria e prodotti di combustione – ad alta pressione e

temperatura – è immessa nella turbina ove segue una forte decompressione che si suppone

avvenire secondo un’adiabatica.

L’espansione adiabatica è causa di un repentino aumento di volume, di un decremento

notevole di pressione e un conseguente raffreddamento dalla temperatura 4T alla

temperatura 3T .

La perdita di energia interna CDU è trasformata, senza scambi di calore, intermente in

energia meccanica di rotazione dell’albero della turbina.

CD3 UL

0Q 3


COMPRESSIONE ISOBARA – SCARICO DEI GAS

E’ la fase terminale del ciclo durante la quale sono scaricati all’esterno i gas di combustione.

Tale fase è assimilata ad una trasformazione ideale isobara, anche se, in realtà, si tratta della

fase in cui è rinnovato in ciclo con aspirazione di altra aria.

La perdita energetica è regolata da:

DADADDAVDAp4 UVpTTCnTTCnQ

Il ciclo di “Joule” ideale seguito dai gas nel compressore, nella camera di combustione, nella

turbina e nello scarico in atmosfera è una notevole semplificazione di ciò che accade

realmente.

Di conseguenza lo studio della tecnologia delle turbine a gas è notevolmente complicato dal

fatto che le quantità in massa della fase gassosa è variabile durante le varie trasformazioni

come, d’altra parte, lo sono anche le capacità termiche ed altre variabili di stato.

Inoltre, come già anticipato, il ciclo è di tipo aperto con rinnovo continuo dei gas.

Si rimanda quindi alle nozioni di termodinamica dei reattori e delle turbine a gas contenuti

nei corsi di macchine e costruzioni meccaniche.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


133

CALCOLO DEL CALORE SCAMBIATO DAL SISTEMA TERMODINAMICO

Si sono presi sino ad ora in considerazione alcuni esempi di trasformazioni cicliche reversibili alle

quali può essere sottoposto un sistema termodinamico contenente gas perfetto.

Essenzialmente:

Ciclo 1: N. 2 trasformazioni isocore + N. 2 trasformazioni isoterme

Ciclo 2: N. 2 trasformazioni isobare + N. 2 trasformazioni isoterme

Ciclo 3: N. 2 trasformazioni adiabatiche + N. 2 trasformazioni isoterme

Di fondamentale importanza il “ciclo 3” – detto CICLO DI CARNOT – in base al quale può essere

descritto il funzionamento delle macchine termiche principali come, ad esempio, il motore a

scoppio.

Una macchina termica che utilizza il ciclo di Carnot, è in grado di fornire lavoro utile all’ambiente

esterno utilizzando il contatto con due sole sorgenti termiche a temperature tra loro differenti.

La caratteristica principale di una successione possibile di trasformazioni reversibili a ciclo chiuso è

quella di mantenere inalterato il valore dell’energia interna e dei parametri di stato posseduti dal

sistema termodinamico nel punto iniziale e terminale del ciclo.

Durante un ciclo chiuso qualsiasi, che riporta al valore iniziale l’energia interna, il sistema assorbe e

cede quantità di calore e lavoro meccanico i cui valori dipendono essenzialmente dalla tipologia di

trasformazioni eseguite.

L’energia interna, il calore e il lavoro meccanico sono però definizioni diverse della stessa

grandezza fisica – L’ENERGIA – ed è quindi possibile e consigliabile – allo scopo di esprimerne il

valore numerico – utilizzare l’unità di misura generale che, nel Sistema Internazionale, è il

"JOULE" o "mN" .

Anticipando i concetti e, soprattutto, i risultati dell’Esperienza di Joule, che costituisce

l’applicazione pratica del PRINCIPIO D’EQUIVALENZA tra le grandezze energetiche Calore e

Lavoro meccanico relativamente proprio ad un ciclo chiuso, si giunge alla seguente conclusione:

DEFINIZIONE DELL’UNITA’ DI MISURA DEL CALORE - (SISTEMA TECNICO):

La quantità di calore, o energia termica, necessaria ad incrementare di 1° Centigrado, da

14°C A 15°C, (o 1 Kelvin), la temperatura di una quantità d’acqua distillata pari a 1

chilogrammo-massa – o un volume di 1 dm3

– e alla pressione atmosferica normale, può

essere assunta come unità di misura del calore ed è definita comunemente GRANDE

CALORIA (Kcal).

E’ opportuno essere a conoscenza e ricordare tale definizione anche se la Kcal non è

compresa tra le unità di misura del Sistema Internazionale ma del Sistema Tecnico ormai in

disuso.

Solitamente il calore è indicato dalla lettera Q

Q Calore

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


134

DEFINIZIONE DELL’UNITA’ DI MISURA DEL CALORE - (SISTEMA INTERNAZIONALE):

In base al Principio d’Equivalenza e all’Esperienza di Joule, la quantità di calore, essendo una

grandezza energetica, è quindi esprimibile con l’unità di misura generale dell’energia nel SISTEMA

INTERNAZIONALE.

La corrispondenza tra l’unità di misura del Sistema Tecnico e del Sistema Internazionale è stata

stabilita da Joule con la determinazione del valore della costante J data dal rapporto tra il lavoro

eseguito e il calore sviluppato durante un ciclo chiuso:

JQ

L con

Kcal

Joule186.4J

Quindi l’equivalenza tra unità di misura tecniche ed internazionali del calore è la seguente:

mN186.4Joule186.4Kcal1

QUANTITA’ DI CALORE SCAMBIATA DA UN CORPO SOLIDO O LIQUIDO

CALORE SPECIFICO E CAPACITA’ TERMICA

Il calore scambiato con l’esterno da un corpo solido o liquido, per diminuire o aumentare il proprio

livello termico o temperatura, dipende essenzialmente dai seguenti parametri:

12 TTT Differenza di temperatura K

m Massa del corpo kg

sc Calore specifico del materiale

Kkg

J

Kkg

Kcal

Il “Calore Specifico” è, per definizione, la quantità di calore – esprimibile il Kcal o Joule –

necessaria per incrementare di K1 la temperatura di kg1 della sostanza considerata.

Solitamente, salvo diverse indicazioni, il valore del calore specifico del materiale è da ritenersi

costante per intervalli di temperatura compresi tra 273° K e 373° K.

La quantità di calore scambiata da un corpo è quindi data dalla seguente relazione:

12s

TTmcQ TmcQs

J

E con le seguenti unità di misura:

KTTkgmKkg

JcQ 12s

Ovviamente il calore è misurato, in virtù del Principio d’Equivalenza, in “Joule” se si utilizza il

Sistema Internazionale oppure in “Kcal” se è utilizzato il Sistema Tecnico.

Considerando che la quantità di calore, per una certa sostanza di calore specifico s

c e per uno stesso

intervallo di temperatura, dipende esclusivamente dalla massa, risulta definita la “Capacità

Termica” come il calore necessario per incrementare di 1 (K) la temperatura di una certa quantità di

massa:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


135

K

JmcC

s

Con unità di misura:

K

Jkgm

Kkg

JcC

s

Il calore può quindi essere calcolato anche con la seguente:

12

TTCQ TCQ J

Alcuni valori del calore specifico s

c relativo a materiali di uso comune:

SOSTANZA Calore specifico

Kkg

J

Calore specifico

Kkg

Kcal

LIQUIDI

Acqua 4.186 1

Acetone 2.177 0,52

Acido acetico 2.135 0,51

Acido nitrico 2.763 0,66

Acido solforico 1.381 0,33

Alcool etilico a 20° 2.398 0,573

Alcol etilico a – 20° 2.114 0,505

Ammoniaca liquefatta 3.935 0,94

Anilina 2.051 0,49

Azoto liquido 1.800 0,43

Benzolo e benzina 1.758 0,42

Trementina 1.758 0,42

Etere etilico 2.260 0,54

Glicerina 2.428 0,58

Olio d’oliva 1.674/1.884 0,40/0,45

Olio minerale lubrificante 1.674 0,40

Ossigeno liquido 1.453 0,347

Petrolio 2.093 0,5

SOLIDI

Acciaio 502 0,12

Alluminio da 18° a 100° 908 0,217

Alluminio da 18° a 500° 992 0,237

Alluminio fuso 1.636 0,391

Amianto 816 0,195

Antimonio 209 0,050

Arenaria 753/837 0,18/0,2

Argentana 398 0,095

Argento da 18° a 100° 234 0,056

Argento da 18 a 500° 251 0,060

Argento fuso 314 0,075

Asfalto 933 0,223

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


136

Bismuto 126 0,03

Bronzo e ottone 377 0,09

Calcestruzzo 879 0,21

Caolino 938 0,224

Carbone di legna; coke 837 0,20

Carbone fossile 1.298 0,31

Carta 1.339 0,32

Cemento Portland 741 0,177

Cenere 837 0,20

Costantana 410 0,098

Cotone e lana 1.339 0,32

Ebanite 1.423 0,34

Farina fossile 887 0,212

Ferro da 0° a 100° 494 0,118

Ferro da 0° a 500° 561 0,134

Ferro da 0° a 1000° 686 0,164

Gesso 837 0,20

Ghiaccio da -40° a 0° 1.925 0,46

Ghiaccio a 0° 2.114 0,505

Ghisa 544 0,13

Grafite 837 0,20

Legno rovere 2.386 0,57

Legno abete 2.720 0,65

Magnesio 1.046 0,25

Manganina 406 0,097

Mattoni 753/921 0,18/0,22

Mercurio 138 0,033

Nichel 452 0,108

Oro 130 0,031

Pietra 879 0,21

Piombo 130 0,031

Piombo fuso 142 0,034

Platino da 0° a 100° 134 0,032

Porcellana 1.072 0,256

Rame da 18° a 100° 389 0,093

Rame da 18° a 300° 402 0,096

Rame fuso 653 0,156

Sabbia 837 0,20

Seta 134 0,32

Stagno 231 0,057

Sughero 2.051 0,49

Terra 1.255/1.674 0,30/0,40

Tufo 138 0,33

Vetro 837 0,20

Zinco 393 0,094

Zinco fuso 506 0,121

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


137

CALORE LATENTE DI FUSIONE O SOLIDIFICAZIONE:

La legge di variazione della temperatura in funzione del calore assorbito o ceduto:

mc

QTT

s

if

mc

QTT

s

if

derivata da quella generale per il calcolo del calore:

ifs TTmcQ

Può ritenersi valida ed utilizzabile ha condizione che lo scambio di calore Q si verifichi tra corpi

solidi o liquidi con temperature diverse dalle rispettive temperature di fusione o solidificazione.

Durante il passaggio di stato solido-liquido, il calore fornito non è causa di incremento di

temperatura, ma è utilizzato per la rottura dei legami molecolari che caratterizzano lo stato solido.

Durante il cambiamento di stato la temperatura si mantiene costantemente uguale alla temperatura

di fusione o solidificazione tipica del determinato materiale.

Il calore scambiato per la fusione o solidificazione completa di una certa massa di materiale,

dipende da una grandezza caratteristica definita “Calore Latente di fusione o solidificazione” FL :

mLQ FF

Il “Calore Latente di Fusione o Solidificazione” è una costante, tipica di ogni materiale, che

rappresenta la quantità di calore assorbita (fusione) o ceduta (solidificazione) da una quantità pari

ad kg1 di una determinata sostanza.

Le unità di misura del Calore Latente sono:

kg

JL F

Sistema Internazionale

kg

KcalL F

Sistema tecnico

Il passaggio dal Sistema Tecnico al Sistema Internazionale si avvale del coefficiente d’equivalenza:

J186.4Kcal1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


138

Tabella temperature di fusione o solidificazione e calore latente fusione alla pressione ordinaria:

SOSTANZA Temperatura fusione

C

Calore latente fusione o

solidificazione

kg

Kcal

kg

KJ

Acciaio 1300/1400

Acqua 0 79,6 333,2

Acqua di mare -2,5

Allumina 2050

Alluminio 658 90 376,7

Alcool etilico a 20° 2.398

Alcol etilico a – 20° 2.114

Anidride carbonica -56,5 45 188

Argento 960 25 105

Antimonio 630 40 167

Azoto -210

Benzina -150

Benzolo 5,7

Berillio 1280

Bismuto 271 12 50

Bronzo 900/960

Cadmio 321

Calcio 830

Carbonio 3600

Caucciù 125

Cera 64

Ceralacca 150

Cloro -101

Cloroformio -63

Cloruro di sodio 800

Cloruro di calcio 774

Cloruro di piombo 500

Cloruro di rame 425

Cloruro di ferro 300

Cloruro di bismuto 232

Cloruro di alluminio 190

Cobalto 1490

Etere etilico -118

Ferro puro 1530 55 230

Fluoruro di calcio 1378

Fluoruro di sodio 992

Fosforo 44

Ghisa bianca 1130 23/33 96/138

Ghisa grigia 1200 23/33 96/138

Glicerina 18

Iridio 2350

Magnesio 651

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


139

Manganese 1245

Mercurio -38,9 2,8 12

Metano -184

Naftalina 80

Nichelio 1450 60 251

Nitrato potassico 308

Olio d’oliva 3

Olio di lino -20

Olio di colza 1

Oro 1063

Ossido di calcio 2570

Ossido di magnesio 2800

Ossigeno -219

Ottone 900/1000

Palladio 1557

Paraffina 54

Pentano -131

Piombo 327 6,3 26

Platino 1776 27 113

Porcellana 1600

Potassio 64

Quarzo 1470

Rame 1083 42 176

Silicio 1430

Smalto 960

Soda caustica 322

Stagno 232 14 59

Tungsteno 3370

Zinco 419 27 113

Zolfo rombico 112 9,4 39

Zolfo monoclino 119 11 46

Ghiaccio 79,6 333.2

Idrogeno -259 14,09 59

Alcool etilico -114 25 105

Dati ricavati dal Manuale G. Colombo

In mancanza di dati, si può valutare il calore latente di fusione mediante la seguente regola

approssimata:

42T

AL

.Fus

F

Con:

A Peso atomico

.FusT Temperatura assoluta di fusione

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


140

CALORE LATENTE DI VAPORIZZAZIONE O CONDENSAZIONE:

La legge di variazione della temperatura in funzione del calore assorbito o ceduto:

mc

QTT

s

if

mc

QTT

s

if

derivata da quella generale per il calcolo del calore:

ifs TTmcQ

Può ritenersi valida ed utilizzabile ha condizione che lo scambio di calore Q si verifichi tra corpi

solidi o liquidi con temperature diverse dalle rispettive temperature di vaporizzazione o

condensazione.

Durante il passaggio di stato liquido-aeriforme il calore fornito non è causa di incremento di

temperatura, ma è utilizzato per la rottura dei legami molecolari che caratterizzano lo stato liquido.

Durante il cambiamento di stato la temperatura si mantiene costantemente uguale alla temperatura

di ebollizione-condensazione tipica del determinato materiale.

Il calore scambiato per la vaporizzazione o condensazione completa di una certa massa di materiale,

dipende da una grandezza caratteristica definita “Calore Latente di vaporizzazione o

condensazione” vL :

mLQ VV

Il “Calore Latente di vaporizzazione o condensazione” è una costante, tipica di ogni materiale, che

rappresenta la quantità di calore assorbita (vaporizzazione) o ceduta (condensazione) da una

quantità pari ad kg1 di una determinata sostanza.

Le unità di misura del Calore Latente sono:

kg

JL V

Sistema Internazionale

kg

KcalL V

Sistema tecnico

Il passaggio dal Sistema Tecnico al Sistema Internazionale si avvale del coefficiente d’equivalenza:

J186.4Kcal1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


141

Tabella temperature di ebollizione e calore latente vaporizzazione alla pressione ordinaria:

SOSTANZA Temperatura fusione

C

Calore latente fusione o

solidificazione

kg

Kcal

kg

KJ

Acetilene liquefatto -84

Acido nitrico 86

Acido solforico 332 122

Acqua 100 539 2.256

Alcool 78,3 220

Alluminio 1800

Ammoniaca liquefatta -33 326

Anidride solforosa liquida -10 96

Anilina 184 108

Argon liquefatto -186

Azoto liquefatto -196 48

Benzolo 84 95

Cloro liquefatto -34 62

Cloroformio 61 60

Cloruro di metile liquido -24

Elio liquefatto -269

Essenza di trementina 160 70

Etere etilico 35 89

Ferro 2450

Fosforo 285

Glicerina 290

Idrogeno liquefatto -253 111

Mercurio 357 69

Metano liquefatto -162

Naftalina 218 75

Nichel 3075

Olio di lino 316

Ossido di carbonio liquido -191

Ossigeno liquefatto -183 51

Paraffina 300

Rame 2340

Solfuro di carbonio 46 85

Toluolo 110 85

Zinco 912 55

Zolfo 444 362

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


142

QUANTITA’ DI CALORE SCAMBIATA DA UNA SOSTANZA GASSOSA:

CALORE SPECIFICO A PRESSIONE COSTANTE

CALORE SPECIFICO A VOLUME COSTANTE

Per quanto riguarda il calore scambiato da un gas perfetto o un fluido con parametri caratteristici

superiori a quelli critici, occorrerà far riferimento alle due trasformazioni tipo:

Scambio termico per trasformazione a volume costante – ISOCORA

Scambio termico per trasformazione a pressione costante - ISOBARA

Il calore necessario per incrementare la temperatura del gas di un valore T - quindi per passare da

un’isoterma o isodinamica all’altra – è pari alla differenza di energia interna U e dipende dal tipo

di trasformazione e dalla quantità di gas.

Per una trasformazione ISOCORA – a volume costante – tutto il calore scambiato è utilizzato dal

gas per la sola variazione di energia interna (essendo nullo il lavoro scambiato con l’ambiente

esterno, mentre, per una trasformazione ISOBARA – pressione costante – è utilizzato in parte per la

variazione dell’energia interna ed in parte per prelevare o fornire lavoro meccanico.

CALORE - TRASFORMAZIONE ISOCORA

Per una trasformazione isocora dalla temperatura 1


T e per una quantità m di

gas perfetto, il calore Q scambiato dipende dal valore di un coefficiente V

c definito “CALORE

SPECIFICO A VOLUME COSTANTE” oppure, se si considera una certa quantità di moli, da un

coefficiente V

C definito “CAPACITA’ TERMICA MOLARE A VOLUME COSTANTE”.

Risultano le seguenti espressioni:

12v

TTmcQ J

Con:

Q Calore scambiato dal gas per trasformazione a volume costante J

Vc Calore specifico del gas a volume costante

Kkg

J

m Massa gas kg

12

TT Differenza di temperatura K

Oppure:

12v

TTnCQ J

Con:

VC Capacita termica molare a volume costante

Kmole

J

n Numero moli

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


143

CALORE - TRASFORMAZIONE ISOBARA

Per una trasformazione isobara dalla temperatura 1


T e per una quantità m di

gas perfetto, il calore Q scambiato dipende dal valore di un coefficiente P

c definito “CALORE

SPECIFICO A PRESSIONE COSTANTE” oppure, se si considera una certa quantità di moli, da un

coefficiente P

C definito “CAPACITA’ TERMICA MOLARE A PRESSIONE COSTANTE”.

Risultano le seguenti espressioni:

12P

TTmcQ J

Con:

Q Calore scambiato dal gas per trasformazione a volume costante J

Pc Calore specifico del gas a pressione costante

Kkg

J

m Massa gas kg

12

TT Differenza di temperatura K

Oppure:

12P

TTnCQ J

Con:

PC Capacità termica molare a pressione costante

Kmole

J

n Numero moli

RELAZIONE TRA I CALORI MOLARI A VOLUME E PRESSIONE COSTANTE

E’ una relazione fondamentale tra i valori della capacità termica molare a volume costante e il suo

equivalente a pressione costante.

Per la dimostrazione della relazione – definita “relazione di Mayer” – conviene utilizzare il

diagramma pressione-volume con indicate le due isoterme o isodinamiche rappresentative della

temperatura iniziale e finale.

Supponendo di partire da uno stato d’equilibrio del gas sull’isoterma 1

T indicato con “A”, è

possibile raggiungere un punto "B" sull’isoterma 2

T facendo subire al gas una trasformazione.

E’ importante notare che la differenza di energia interna dipende esclusivamente dalla differenza tra

i valori delle temperature finale ed iniziale e non dalla posizione dei punti “A” e “B” sulle rispettive

isoterme.

La differenza di energia interna non è quindi dipendente dal tipo di trasformazione che esegue il

gas.

ABB_A

UUU

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


144

Se immaginiamo una trasformazione isocora dallo stato “A” allo stato “B” essa sarà rappresentata

dal segmento verticale – parallelo all’asse delle pressioni – i cui punti terminali corrispondono

rispettivamente allo stato “A” e allo stato “B”.

Il calore scambiato dal gas con la sorgente termica – positivo o negativo secondo il senso di

percorrenza – è completamente utilizzato per la variazione di energia interna e si calcola utilizzando

il coefficiente V

C con la seguente formula:

1. 12V1

TTCnQ

D’altra parte, utilizzando la definizione di trasformazione isocora e le definizioni di energia interna

iniziale e finale, e ricordando inoltre che il tipo di trasformazione non permette scambi di energia

meccanica con l’esterno:

2. B1A

UQU

Combinando le due relazioni:

12V1

TTCnQ

1ABQUU

Si ottiene:

ABAB12V

UUUTTCn

Se invece immaginiamo una trasformazione isobara dallo stato “A” allo stato “B* ” essa sarà

rappresentata dal segmento orizzontale – parallelo all’asse dei volumi – i cui punti terminali

corrispondono rispettivamente allo stato “A” e allo stato “B* ”.

La posizione del nuovo stato “B* ” è naturalmente diversa da quella precedente, ma giace

comunque sull’isoterma 2

T .

Per questo motivo la differenza di energia interna tra gli stati “A” e “B” presi sull’isocora e

sull’isobara è comunque uguale.

ISOBARA_*ABISOCORA_ABUU

Il calore scambiato dal gas con la sorgente durante la trasformazione isobara è utilizzato sia per la

variazione di energia interna sia per scambio di energia meccanica (lavoro) e si calcola utilizzando

il coefficiente P

C con la seguente:

3. 12P2

TTCnQ

D’altra parte, utilizzando la definizione di trasformazione isobara e le definizioni di energia interna

iniziale e finale, ricordando inoltre che il tipo di trasformazione permette scambi di energia

meccanica con l’esterno e che la quantità di lavoro scambiato è rappresentato dall’area del

rettangolo avente come base la differenza tra il volume finale ed iniziale e, come altezza, il valore

costante della pressione, si ottiene:

4. *B2A

ULQU

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


145

Dalla combinazione delle due relazioni:

12P2

TTCnQ

LQUU2A*B LUQ

*AB2

Si ottiene:

LUTTCn*AB12P

Però, per quanto espresso precedentemente, la variazione d’energia interna non è modificata dalla

posizione degli stati d’equilibrio e dal tipo di trasformazione, quindi:

AB*ABUU

Ed è quindi possibile, sostituendo, ottenere:

LUTTCnAB12P

Con AB

U variazione d’energia interna per effetto della trasformazione isocora:

Per cui:

LTTCnTTCn12V12P

Occorre quindi ricordare che il lavoro è uguale:

A*BA*B

VpVpVVpL

Dove, utilizzando l’equazione generale di stato dei gas perfetti:

2*BTRnVp

1ATRnVp

Sostituendo si ottiene dunque:

1212V12P

TRnTRnTTCnTTCn

1212V12P

TTRnTTCnTTCn

E, semplificando i termini uguali:

RCCVP

Da cui si ottiene la Relazione di Mayer tra la capacità termica molare a pressione costante e la

capacità termica molare a volume costante:

RCCVP

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


146

Cioè:

La differenza tra la capacità termica molare a pressione costante e la capacità termica a

volume costante – relative entrambe ad un gas perfetto - è uguale alla costante di stato R.

A riguardo dei calori specifici a pressione costante e volume costante P

c e V

c , si può ricordare

che:

mcCPP

mcCVV

Per cui, sostituendo nella relazione di Mayer, si ottiene:

RccmsP

m

Rcc

VP

VALORI DI V

C E P

C

I valori numerici delle capacità termiche a pressione e volume costante possono essere calcolati

tenendo presente l’espressione dell’energia interna espressa con la “Teoria cinetica dei gas”.

Dal calcolo della pressione esercitata dal gas sulle pareti del recipiente in virtù della velocità

molecolare si giungeva al calcolo dell’energia cinetica molecolare media e alla definizione

dell’energia interna come sommatoria delle energie cinetiche elementari proprie delle N molecole di

gas.

L’espressione dell’energia interna calcolata con la Teoria Cinetica dei gas perfetti – metodo

probabilistico – conferma che essa è una funzione della sola temperatura e non dipende quindi dal

tipo di trasformazione subita dal gas.

La funzione energia interna è quindi un differenziale esatto della sola variabile “temperatura,

mentre le funzioni che esprimono le grandezze energetiche calore e lavoro sono dipendenti, oltre

che dalla temperatura, anche dai valori assunti dai parametri di stato.

Tale espressione è:

TRn2

3U Energia interna

Se ora si considera la trasformazione “isocora” dallo stato “A” allo stato “B” con la relativa

variazione dell’energia interna, della temperatura e la quantità di calore scambiata, si ottiene:

12V

TTCnQ

BA

UQU QUUAB

Con:

1ATRn

2

3U

2BTRn

2

3U

12AB

TTRn2

3UU

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


147

Per cui, sostituendo:

12V12 TTCnTTRn

2

3

Da cui si ottiene il valore di V

C :

1) R2

3C V Gas monoatomico

2) R2

5C V Gas biatomico

3) R2

7C V Gas triatomico

Di conseguenza, dopo aver determinato il valore della capacità termica molare a volume

costante e utilizzando la Relazione di Mayer, si può calcolare il valore della capacità

termica molare a pressione costante.

Infatti:

RCC VP

RCC VP

1) R2

5RR

2

3C P Gas monoatomico

2) R2

7RR

2

5C P Gas biatomico

3) R2

9RR

2

7C P Gas triatomico

I valori, espressi in

Kmole

J, delle due capacità, sono i seguenti:

Kmole

J78,20

Kmole

J314,8

2

5R

2

5C P

Kmole

J47,12

Kmole

J314,8

2

3R

2

3C V

Gli stessi valori espressi con l’unità di misura del Sistema Tecnico:

Kmole

cal96,4

Kmole

Kcal00496,0

Kcal

J186.4

1

Kmole

J78,20C P

Kmole

cal98,2

Kmole

Kcal00298,0

Kcal

J186.4

1

Kmole

J47,12C V

Il rapporto tra PC e VC , da utilizzarsi come esponente nell’espressione della

trasformazione adiabatica per un gas monoatomico, ha quindi il seguente valore:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


148

1) 667,13

5

R2

3

R2

5

C

C

V

P

Gas monoatomico

2) 40,15

7

R2

5

R2

7

C

C

V

P

Gas biatomico

3) 28,17

9

R2

7

R2

9

C

C

V

P

Gas triatomico

POTENZA TERMICA

La quantità di calore scambiato nell’unità di tempo è definita Potenza termica in perfetta analogia

con la definizione di Potenza Meccanica.

t

QP t

tPQ t

Se si utilizza il Sistema Tecnico è abitudine misurare la potenza termica in h

Kcal prendendo quindi

come riferimento, la quantità d’energia termica scambiata in un tempo pari ad ora1

Se, come di norma, è utilizzato il Sistema Internazionale, la potenza termica è misurata in Watt o

Kw .

Passaggio dal Sistema Tecnico al Sistema Internazionale di Misura:

Energia termica o Quantità di calore: KcalQ

Potenza termica:

Watt163,1s

J

600.3

186.4

h

s600.3h1

Kcal

J186.4Kcal1

h

Kcal1

t

QP t

Passaggio dal Sistema Internazionale al Sistema Tecnico:

Energia termica o Quantità di calore: JouleQ

Potenza termica:

h

Kcal860,0

Kcal

J186.4

h

s600.3

s

J1

W1t

QP t

Da cui si ottiene immediatamente:

h

Kcal860Kw1P t

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


149

ESERCIZI

ESERCIZIO 1:

Determinare – in Kcal e Joule - la quantità di calore ceduta all’esterno da un volume d’acqua pari a

3dm500.1V durante un processo di raffreddamento nel quale si ottiene, partendo da una

temperatura iniziale C87t i , una temperatura finale K293T f .

Si considera costante il calore specifico dell’acqua nell’intervallo di temperature considerate:

Soluzione:

La quantità di calore ceduta durante il raffreddamento – negativa per la massa d’acqua e positiva

per il sistema che la riceve – dipende dalla massa di liquido, dal calore specifico e dalla differenza

tra la temperatura finale ed iniziale:

iFs TTcmQ

Con:

K293T F

K16,36016,273tT iI

Kcal

J186.4c s

kg500.1

dm

kg1dm500.1Vdm

3

3

3dm

kg1d densità acqua

Per cui si ottiene:

J10217,4K16,360293Kkg

Joule186.4kg500.1Q

8

Il segno negativo è indice di calore ceduto.

La stessa quantità, misurata in Kcal – grandi calorie -, è:

Kcal740.100

Kcal

J186.4

1J10217,4Q

8

ESERCIZIO 2:

Determinare la quantità di calore necessaria per riscaldare 80 litri d’acqua da 30°C a 50°C.

Si considera costante il calore specifico dell’acqua.

Soluzione:

La quantità di calore è ora positiva.

iFsiFs ttcVdttcmQ

Con:

3dm80lt80V

Kcal600.1C3050Ckg

Kcal1dm80

dm

kg1Q

3

3

J10697,6Kcal

J186.4Kcal600.1Q

6

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


150

ESERCIZIO 3:

Con un piccolo generatore di calore a gas avente la potenza termica Kw15P CALDAIAt si

intende riscaldare i locali di un edificio residenziale per il quale occorre, invece, una potenza

termica pari a

h

Kcal000.30P EDIFICIOt .

Si decide di utilizzare il seguente sistema:

Durante la notte, mentre l’edificio non ha bisogno di riscaldamento, la caldaia è utilizzata per

riscaldare una quantità d’acqua contenuta in un grosso recipiente cilindrico – fortemente isolato

termicamente – da una temperatura minima pari a 50°C ad una temperatura massima di 80°C.

Il recipiente ha un diametro di 120 cm, un’altezza da stabilire ed è completamente pieno

d’acqua.

Si determini l’altezza massima del serbatoio considerando che il funzionamento del generatore

inizia alle ore 22,00 e che l’acqua deve raggiungere la temperatura massima di 80°C alle ore

6,00 del giorno successivo.

Il calore contenuto nel serbatoio è poi utilizzato per riscaldare l’edificio attraverso la

circolazione di acqua calda nell’impianto a bassa temperatura.

Calcolare la durata massima del periodo di riscaldamento consentita dal solo utilizzo del calore

contenuto nel serbatoio supponendo un prelievo calorico pari all’80 % della potenza massima

necessaria a riscaldare l’edificio ed una temperatura minima raggiungibile dell’acqua nel serbatoio

di 40°C.

Soluzione:

La potenza massima della caldaia a gas è:

s

J000.15Watt000.15Kw15P CALDAIAT

Che equivalgono a:

h

J104,5

h

s600.3

s

J000.15P

7

CALDAIAT

Ricordando il coefficiente d’equivalenza tra energia meccanica e termica, si ottiene, nel Sistema

Tecnico:

h

Kcal900.12

Kcal

J186.4

h

J104,5

P

7

CALDAIAT

Il riscaldamento notturno dell’acqua nel serbatoio, per un tempo massimo di 8 ore (dalle 22,00 alle

06,00), con funzionamento continuo della caldaia, fornisce una quantità di calore massima pari a:

tempo

QP CALDAIAT

Da cui:

Kcal200.103h8h

Kcal900.12tempoPQ CALDAIAT

Utilizzando il Sistema Internazionale:

J1032,4Kcal

J186.4Kcal200.103Q

8

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


151

La quantità d’acqua contenuta nel serbatoio dipende dall’altezza dello stesso, dalla quantità

massima di calore che la caldaia può erogare durante il funzionamento notturno e dalla differenza di

temperatura richiesta:

iFs ttcmQ 1

Dove:

J1032,4Q8

Ckg

J186.4c s

C305080tt iF

m Quantità d’acqua incognita in quanto no si conosce l’altezza del serbatoio

Si ricava quindi l’altezza del serbatoio utilizzando la relazione precedente invertita, la formula per il

calcolo del volume di un cilindro e la relazione che lega la densità, il volume e la massa:

Dalla 1 :

kg440.3

C30Ckg

J186.4

J1032,4

ttc

Qm

8

iFs

Dalle relazioni per il calcolo del volume e della massa:

Vdm

hrV2

Si ottiene:

hrdm2

Da cui:

2

rd

mh

Sostituendo il valore della massa ottenuto precedentemente e i valori del raggio e

della densità:

cm304dm43,30

dm6

dm

kg1

kg440.3h

22

3

L’acqua riscaldata durante la notte è poi utilizzata per l’alimentazione dell’impianto di

riscaldamento dell’edificio con un salto termico di 40°C (da 80 a 40°C).

Si suppone di prelevare, mediante scambiatore immerso nel serbatoio, una potenza media pari

all’80 % della potenza massima richiesta:

h

Kcal000.24

h

kcal000.308,0P8,0P EDIFICIOtMEDIA

Equivalenti a:

h

J000.464.100

Kcal

J186.4

h

Kcal000.24P MEDIA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


152

La quantità di calore prelevata, la potenza termica e il tempo di possibile funzionamento

dell’impianto sono legati dalla relazione:

tempoPQ MEDIA.PRELEV

La quantità di calore prelevata è maggiore di quella ceduta dalla caldaia in quanto risulta maggiore

la differenza di temperatura:

J1076,5C4080Ckg

J186.4kg440.3ttcmQ

8

iFs.PRELEV

Quindi il periodo massimo di funzionamento dell’impianto collegato al solo serbatoio d’accumulo

risulta:

ore73,5

h

J000.464.100

J1076,5

P

Qtempo

8

MEDIA

.PRELEV

Il tempo previsto per il completo utilizzo del calore accumulato nel serbatoio con un salto termico

di 40° C e senza ulteriore utilizzo della caldaia, è quindi dato da:

min43eore5ora

min60ore73,0ore5Tempo

ESERCIZIO 4:

Un boiler cilindrico, alto 80 cm e di raggio 20 cm, è pieno d’acqua. Determinare la quantità di

calore necessaria per riscaldare l’acqua da 15°C a 40°C.

Soluzione:

La quantità di calore necessaria è:

thrdtcVdtcmQ2

ss

Sostituendo i valori noti si ottiene:

J232.515.10C25Ckg

J186.4dm8dm2

dm

kg1tcVdtcmQ

22

3ss

Kcal512.2J232.515.10Q

ESERCIZIO 5:

Un compressore sviluppa, in 1 ora di normale funzionamento, una quantità di calore pari a

Kcal000.5Q e deve quindi essere raffreddato.

Per il raffreddamento si utilizza un impianto a circolazione d’acqua che entra alla temperatura di

25°C ed esce a 30°C.

Determinare la quantità oraria d’acqua in circolazione.

Soluzione:

La quantità di calore prodotto ogni ora dal compressore è assorbita dall’acqua di raffreddamento in

circolazione.

La potenza termica da dissipare è quindi:

h

Kcal000.5

h1

Kcal000.5

tempo

QPT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


153

D’altra parte il calore ceduto all’acqua è:

iFs ttmcQ

Con:

Ckg

Kcal1c s

Calore specifico acqua

Vdm Massa d’acqua

3dm

kg1d Densità acqua

C5tt if Differenza di temperatura acqua uscente-acqua entrante

V Volume d’acqua passante in un tempo di 1 ora

Quindi:

kg000.1

C5Ckg

Kcal1

Kcal000.5

ttc

Qm

ifs

Si ricava poi il volume passante in un’ora:

3

3

dm000.1

dm

kg1

kg000.1

d

mV

ESERCIZIO 6:

Una caldaia a gas avente potenza termica Kw35PT è utilizzata per produrre acqua calda

sanitaria da inviare ai servizi igienici di un edificio residenziale.

Tenendo conto che l’acqua deve essere riscaldata da una temperatura iniziale di 12°C ad una

temperatura finale d’utilizzo di 40°C, determinare la massima portata a cui la caldaia è in grado di

sopperire e il numero approssimativo di servizi igienici in servizio contemporaneo.

Si tenga conto che ogni servizio igienico utilizza mediamente una quantità d’acqua calda pari a 10

litri al minuto.

Soluzione:

La potenza termica della caldaia è:

s

J000.35W000.35Kw35N

T

La quantità di calore erogata in un determinato tempo T è quindi:

sT

JQN T TNQ T 1

Per non confondere la grandezza tempo e la grandezza temperatura si utilizza, per indicare il tempo,

il simbolo “T”, mentre, per la “Potenza termica” il simbolo “N”

D’altra parte tale quantità di calore è fornita all’acqua secondo la relazione:

1fs ttmcQ 2

Il rapporto tra la quantità d’acqua in transito nelle tubazioni ed il tempo, è definito “Portata in

massa”:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


154

s

kg

T

mQ m

Da cui si ottiene:

TQm m

Sostituendo nella 2 e confrontandola con la 1 :

ifmsT ttTQcTN

ifmsT ttQcN

Da cui si ricava il valore della portata in massa:

s

kg2986,0

C1240Ckg

J186.4

s

J000.35

tc

NQ

s

Tm

Equivalenti a:

s

dm2986,0Q

3

V Portata volumetrica per densità acqua uguale all’unità

Trasformando tale valore in decimetri cubi o litri al minuto si ottiene:

min

lt18

min

s60

s

lt2986,0Q V

Considerando poi che l’erogazione di acqua calda è pari a circa 10 litri al minuto per ogni servizio

igienico, si deduce che la caldaia è in grado di garantire il funzionamento corretto per quasi due

servizi igienici funzionanti contemporaneamente.

ESERCIZIO 7:

Si cede una quantità di calore pari a cal000.8Q ad una massa di alluminio pari a g800m

che si trova inizialmente ad una temperatura di 15°C.

Quale sarà la temperatura finale dell’alluminio.

Dalle tabelle si considera un calore specifico per l’alluminio:

Cg

cal217,0c ALLUMINIOs

Cg

Jl908,0c ALLUMINIOs

Soluzione:

Dalla relazione fondamentale del calore, si ottiene:

1fs ttmcQ

mc

Qtt

s

1f

C082,61

C800Cg

cal217,0

cal000.8C15

mc

Qtt

s

if

Si indicano con (cal) le “Piccole calorie” riferite ad un grammo del materiale.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


155

ESERCIZIO 8:

Si somministrano 80 Kcal ad 1 kg di acqua, di ferro e di vetro che si trovano tutti ad una

temperatura iniziale di 15°C. Quale sarà la temperatura finale di ciascun corpo?

Ckg

J186.4c O2Hs

Ckg

J494c Ferros

Ckg

J837c Vetros

Soluzione:

mc

Qtt

s

if

Formula generale

Da cui si ottiene:

C95

kg1Ckg

J186.4

Kcal

J186.4Kcal80

15t O2Hf

ACQUA

C693

kg1Ckg

J494

Kcal

J186.4Kcal80

15t Ferrof

FERRO

C415

kg1Ckg

J837

Kcal

J186.4Kcal80

15t Vetrof

VETRO

ESERCIZIO 9:

In un recipiente con pareti termicamente isolate dall’esterno è versato un volume d’acqua pari a 5

litri a una temperatura di 20°C.

Nell’acqua è poi immerso un cubo di acciaio di lato 10 cm e riscaldato ad una temperatura di 105

°C.

Determinare la temperatura finale d’equilibrio supponendo nulle le perdite di calore verso l’esterno

e verso le pareti del recipiente.

Soluzione:

Si tratta di risolvere un semplice problema di bilancio energetico termico tra il calore ceduto dal

cubo di acciaio che si raffredda e il calore acquistato dall’acqua che si riscalda.

Il calore ceduto dall’acciaio – più caldo – è uguale, in assenza di perdite, al calore acquistato

dall’acqua più fredda.

ACCiACCfAcciaios.ACC1 ttcmQ Calore ceduto dall’acciaio

O2HiO2HfO2HsO2H2 ttcmQ Calore acquistato dall’acqua

12 QQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


156

Da cui si ottiene:

O2HiO2HfO2HsO2HACCfACCiAcciaios.ACC ttcmttcm

D’altra parte le temperature finali dell’acqua e dell’acciaio al termine dello scambio termico ed in

condizioni d’equilibrio sono uguali, quindi:

ttt O2HfACCf

O2HiO2HsO2HACCiAcciaios.ACC ttcmttcm

Da cui si ottiene:

O2HsO2HACCsACC

O2HiO2HsO2HACCiACCsACC

cmcm

tcmtcmt

In cui:

kg86,7dm1

dm

kg86,7Vdm

3

3ACC

Kkg

J502c ACCs

C48,33

Kkg

J186.4kg5

Ckg

J502kg86,7

C20Kkg

J186.4kg5C105

Kkg

J502kg86,7

t

ESERCIZIO 10:

Un recipiente di rame, isolato termicamente verso l’esterno, e avente massa di 200 grammi,

contiene 300 grammi d’acqua alla temperatura di 25°C.

La massa d’acqua e di rame sono inizialmente in equilibrio termico.

Si immerge quindi nell’acqua una massa di 100 grammi di un materiale riscaldato alla temperatura

di 250°C e si nota un incremento di temperatura di 3°C rispetto agli iniziali 25°C.

Determinare il calore specifico del materiale e, se possibile, la natura dello stesso.

Soluzione:

Anche in questo caso si tratta di risolvere l’equazione di bilancio energetico tra calore ceduto dalla

lega e calore acquistato dal sistema recipiente-acqua.

Rispetto all’esercizio precedente si ammette lo scambio termico tra l’acqua e il rame del recipiente.

ttcmQ 1111

3332222 ttcmttcmQ

Per tenere conto dei segni algebrici sono stati scambiati i valori della temperatura finale ed iniziale

del materiale che si raffredda.

Con:

kg1,0m 1 Massa lega

kg3,0m 2 Massa acqua

kg2,0m 3 Massa recipiente rame

Xc 1 Calore specifico incognito lega

Ckg

J186.4c 2

Calore specifico incognito acqua

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


157

Ckg

J389c 3

Calore specifico incognito rame

Uguagliando le due relazioni relative al calore ceduto ad acquistato si ottiene:

25283892,02528186.43,028250c1,0 1

Da cui:

Ckg

J180

2221,0

000.4c 1

Nelle tabelle non compare un materiale con calore specifico uguale a quello calcolato. Si può quindi

trattare di una lega di materiali diversi.

ESERCIZIO 11:

In un serbatoio contenente 30 litri d’acqua a 20°C si versano 10 litri d’acqua a 95°C.

Determinare la temperatura del sistema, supponendolo isolato, quando è raggiunto l’equilibrio

termico.

Soluzione:

L’acqua versata, raffreddandosi, cede calore all’acqua già contenuta nel serbatoio.

Lo scambio di calore è ultimato quando si raggiunge la temperatura incognita d’equilibrio.

Vale quindi la relazione:

20tcmt95cm s2s1

Considerando che i calori specifici sono uguali:

C75,383010

20309510

mm

20m95mt

21

21

ESERCIZIO 12:

Immergendo 400 grammi di piombo in 1 litro d’acqua a 25°C, la temperatura dell’acqua sale a

28°C.

Calcolare la temperatura iniziale del piombo.

Soluzione:

kg4,0m 1

kg1m 2

Ckg

J186.4c 2s

Ckg

J130c 1s

C25t 2i

C28t 2f

Xt 1i

C28t 1f

Si ottiene:

2528cm28Xcm 2s21s1

C5,2691304,0

3186.41281304,0

cm

3cm28cmt

1s1

2s21s11i

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


158

ESERCIZIO 13:

A seguito dell’assorbimento di 186 cal, un blocco di rame di massa g100m varia la sua

temperatura di 20°C. Determinare il calore specifico del rame.

Soluzione:

La quantità di calore assorbita da rame è espressa in “piccole calorie” e si riferisce quindi ad una

massa espressa in grammi.

Dalla relazione fondamentale si ottiene:

tmcQ s

Cg

cal093,0

C20g100

cal186

tm

Qc s

Ckg

Kcal093,0

Ckg

cal93

kg

g000.1

Cg

cal093,0c s

Ckg

J29,389

Kcal

J186.4

Ckg

Kcal093,0c s

Il calore specifico calcolato è praticamente uguale a quello indicato in tabella.

ESERCIZIO 14:

Un corpo di massa kg2m assorbe una quantità di calore cal60Q e varia la sua

temperatura di C10t .

Calcolare il calore specifico e la capacità termica del corpo.

Soluzione:

Dalla relazione fondamentale si ottiene:

Ckg

J55,12

Cg

cal003,0

C10g000.2

cal60

tm

Qc s

C

cal6

C10

cal60

t

QmcC st

Considerando il valore del calore specifico ottenuto e dal confronto con la tabella non risultano

materiali compatibili.

ESERCIZIO 15:

La capacità termica di un oggetto è

K

J104,8C

2. Determinare la variazione di temperatura se

assorbe una quantità d’energia termica pari a J102,1Q4

.

Determinare inoltre, se possibile, la massa del corpo.

Soluzione

La variazione di temperatura, in questo caso positiva, è data dalla seguente relazione:

C

Q

mc

Qt

s

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


159

Con:

mcC s Capacità termica del corpo

Quindi:

K28,14

K

J104,8

J102,1

C

Qt

2

4

La massa del corpo non è determinabile in quanto non si conosce il valore del calore specifico.

ESERCIZIO 16:

Determinare la capacità termica di un corpo al quale si debba fornire una quantità di calore pari a

Kcal210Q per variare la sua temperatura da 20°C a 573 K.

Soluzione:

La capacità termica di un corpo è la quantità di calore che è richiesta per variare di 1 grado Celsius

o di 1 Kelvin la temperatura dello stesso.

Dalla relazione fondamentale:

ifsifs TTmcttmcQ

Si ottiene:

if

stt

QcmC

Con:

Kcal210Q

C20t i

C300273573t f

Per cui:

K

J5,139.3

Kcal

J186.4

C

Kcal75,0

C

Kcal75,0

C20300

Kcal210

tt

QC

if

Anche in questo caso il calore specifico e la massa del corpo non possono essere determinati.

ESERCIZIO 17:

Si calcoli la capacità termica C di un pezzo d’argento che ha massa g200m , sapendo che il

calore specifico dell’argento è

Kkg

J240c s

.

Soluzione:

La capacità termica è data da:

mcC s

Per cui:

K

cal4,11

K

J48kg2,0

Kkg

J240C

O anche:

K

cal47,11

cal

J186,4

K

J48

C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


160

ESERCIZIO 18:

La capacità termica C di 15 kg di rame è

K

J840.5C . Determinare il calore specifico del rame.

Soluzione:

mcC s

m

Cc s

Per cui:

Kkg

J33,389

kg15

K

J840.5

c s

Valore in accordo con quello in tabella.

ESERCIZIO 19:

Per scaldare una massa d’acqua pari a 10 g da 10°C a 15°C è possibile utilizzare un agitatore a

mulinello che, per attrito delle palette sull’acqua, trasforma il lavoro fornito dalla discesa di una

massa di 1 kg per una certa altezza.

Trascurando le perdite d’energia, determinare il dislivello di caduta della massa.

Soluzione:

Si utilizza il coefficiente d’equivalenza ricavato dall’esperienza di Joule tra il lavoro fornito e il

calore sviluppato.

Tale coefficiente è pari a:

J186.4Kcal1

Il calore occorrente per il riscaldamento dell’acqua è:

Kcal05,0K1015kg01,0Kkg

Kcal1tmcQ s

mN3,209J3,209Kcal

J186.4Kcal05,0Q

Tale energia deve essere fornita dalla massa in discesa che diminuisce quindi l’energia potenziale

iniziale di una quantità pari al calore:

Quindi:

hgmhhgmU 12

Da cui si ottiene:

m33,21

s

m81,9kg1

mN3,209

gm

Q

gm

Uh

2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


161

ESERCIZIO 20:

Su un dolce è riportato un valore nutrizionale di 350 Kcal. Quanti kilowattora di energia saranno

ceduti al corpo quando sarà digerita?

Soluzione:

In base al principio d’equivalenza si trasforma il valore nutrizionale (espresso in unità termiche) in

Joule (unità meccaniche):

J10465,1J100.465.1Kcal

J186.4Kcal350Q

6

Dalla definizione generalizzata della grandezza “Potenza meccanica” risulta:

s

J1W1 sW1J1

Per cui si ottiene:

sKw465.1

Kw

W000.1

sW10465,1sW10465,1J10465,1Q

666

hKw407,0

h

s600.3

sKw465.1Q

Si può ragionare anche al contrario:

s

J000.1W000.1Kw1P

t

LP da cui: tPL

Quindi l’energia sviluppata in 1 ora da una potenza di 1 Kw risulta:

hKw1h

J106,3

h

s3600

s

J000.1L

6

ora1

Con una semplice proporzione:

J10465,1

KwhX

J106,3

Kwh1

66

Da cui:

Kwh407,06,3

465,1KwhX

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


162

ESERCIZIO 21:

Calcolare l’energia termica che, complessivamente, è necessario fornire ad una massa

kg000.10m di ghiaccio alla temperatura iniziale C10t per farla passare allo stato

liquido ad una temperatura C15t .

Supponendo che tale calore sia fornito da un generatore termico avente potenzialità Kw20P

determinare il tempo impiegato per la trasformazione descritta.

Soluzione:

Occorre distinguere in tre periodi distinti la trasformazione che si intende eseguire sulla massa di

ghiaccio:

Fornitura del calore occorrente per innalzare la temperatura del ghiaccio sino al valore

critico C0t1

Fornitura del calore occorrente per la trasformazione di fase solido-liquido alla temperatura

costante C0t1

Fornitura del calore occorrente per innalzare la temperatura della fase liquida ottenuta sino

alla temperatura 2t finale desiderata.

)1 Per il primo periodo si utilizza il calore specifico del ghiaccio per temperature comprese tra

-40°C e 0° C:

J10925,1C100Ckg

J925.1kg000.10ttcmQ

8

1s1

Kcal106,4Q4

1

Con:

Ckg

J925.1c s

Calore specifico del ghiaccio

)2 Per il secondo periodo si utilizza il calore latente di fusione o solidificazione considerando

che la temperatura resta costantemente al valore 0°C sino alla completa fusione del ghiaccio:

J103,3kJ103,3kg000.10kg

kJ330mqQ

96

L2

Kcal1089,7Q6

2

Con:

kg

kJ330q L

Calore latente di fusione del ghiaccio

)1 Per il terzo periodo si utilizza il calore specifico dell’acqua:

J1028,6C015Ckg

J186.4kg000.101ttcmQ

8

2s3

Kcal105,1Q5

3

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


163

L’energia termica occorrente è pari alla somma delle tre quantità:

J1012,4102,4128,633925,110Q988

TOTALE

L’energia termica, espressa in Joule, che la caldaia deve fornire è quindi pari alla quantità di calore

totale.

Considerando che la potenza è 20 Kw, si determina il tempo di funzionamento:

tPE

s1006,2

s

J2

J1012,4

Kw

W000.1Kw20

J1012,4

P

Q

P

Et

559

TOTALE

ore22,57

h

s600.3

s1006,2t

5

ESERCIZIO 22:

Un termometro di massa g55m e di calore specifico

Kkg

kJ837,0c s

indica inizialmente

una temperatura C15t1 . Esso è immerso completamente in un recipiente contenente 300 g

d’acqua e raggiunge la stessa temperatura finale ft dell’acqua.

Se il termometro indica, alla fine, una temperatura di 44.4 °C, qual era la temperatura dell’acqua

prima dell’immersione del termometro ?

Soluzione:

Il termometro incrementa la propria temperatura assorbendo calore dall’acqua in cui è immerso.

Nello stesso tempo l’acqua, cedendo calore, diminuisce la propria temperatura sino al valore finale

letto dal termometro.

Per questo motivo la temperatura indicata alla fine dal termometro, non corrisponde alla vera

temperatura iniziale dell’acqua.

Calcolo del calore ceduto dall’acqua al termometro:

J4,353.1C154,44Kkg

J837kg055,0ttcmQ if)t(st

Calcolo della temperatura iniziale dell’acqua:

J4,353.1ttcmQ ifO2HsO2H

K078,1

Kkg

J186.4kg3,0

J4.353.1t

Quindi:

C48,45078,14,44t O2Hi

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


164

ESERCIZIO 23:

Un thermos isolato contiene 3cm130 di caffè caldo, ad una temperatura di 80°C. Per raffreddare il

caffè si aggiunge un cubetto di ghiaccio pesante 12 g alla sua temperatura di fusione.

Di quanti gradi si raffredda il caffè dopo che il ghiaccio si è completamente fuso?

Il calore specifico del caffè è pari a quello dell’acqua.

Soluzione:

Per la completa fusione il cubetto di ghiaccio preleva al caffè una quantità di calore pari a:

kJ96,3kg012,0kg

kJ330mqQ ghLFUSIONE

Tale quantità di calore, sottratta alla massa di caffè, è causa della diminuzione di temperatura:

C28,7

Ckg

J186.4kg13,0

J960.3

cm

Qt

cfscf

FUSIONE

La temperatura finale del caffè raffreddato sarà:

C72,7228,780t cff

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


165

SCAMBI DI CALORE E LAVORO E BILANCI ENERGETICI

Dopo aver stabilito i coefficienti d’equivalenza tra il calore e il lavoro e detto che entrambe le

grandezze sono espressioni dell’energia si può tornare ai concetti iniziali, cioè al fatto che ogni

trasformazione ciclica assorbe e cede calore e lavoro mantenendo inalterato il valore dell’energia

interna.

In ogni caso, qualsiasi sia la tipologia delle trasformazioni che costituiscono il ciclo chiuso, la

sommatoria algebrica dell’energia assorbita (positiva per il sistema) e dell’energia ceduta (negativa

per il sistema), dovendo essere pari a zero la differenza d’energia interna tra il punto iniziale e finale

di una trasformazione ciclica, è pure pari a zero.

Quindi, facendo riferimento ai tre esempi di ciclo chiuso presi in esame, e alle quantità di lavoro e

calore scambiate, si avrà:

CICLO “1” N.2 ISOCORE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE)

Figura 53– CICLO 1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


166

Figura 54 – CICLO 2 – LAVORO UTILE

Bilancio energetico del ciclo chiuso ADCBA :

A243121A U)LQ()Q()LQ(QU

In cui:

AU Energia interna iniziale J

186.4Q 1 Calore entrante durante la prima isocora J BA

186.4Q 2 Calore entrante durante la prima isoterma J CB

1L Lavoro uscente durante la prima isoterma J CB

186.4Q 3 Calore uscente durante la seconda isocora J DC

186.4Q 4 Calore uscente durante la seconda isoterma J AD

2L Lavoro uscente durante la seconda isoterma J AD

Da cui:

0LLQQQQ 214321

Cioè:

0LQ

2i

1i

i

4i

1i

i

Oppure:

LQ

Cioè la somma delle quantità di energia termica e di energia meccanica scambiate

durante il ciclo chiuso è nulla, ovvero, la somma delle quantità di energia termica e la

somma delle quantità di energia meccanica sono uguali.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


167

Rappresentazione grafica con il diagramma pressione- volume:

Se si utilizza il diagramma pressione-volume, i lavori scambiati durante le

trasformazioni isoterme CB alla temperatura 2T e AD alla temperatura 1T

sono rappresentati dalle aree delle superfici sottostanti le rispettive iperboli equilatere

e racchiuse entrambe dalle linee verticali della prima BA e seconda DC

isocora.

Bilancio energetico della prima trasformazione isocora BA :

B1A UQU

Da cui:

12AB1 TTRn

2

3UUQ

2B TRn2

3U

1A TRn2

3U

La quantità di calore assorbita dal sistema termodinamico è pari alla differenza di

Energia Interna oppure, in altre parole, la quantità di calore è utilizzata interamente

per passare dall’energia caratteristica dell’isoterma 1T a quella dell’isoterma 2T .

Tale quantità di calore risulta proporzionale al numero di moli, alla differenza di

temperatura e dipende inoltre dal valore della capacità termica molare a volume

costante VC :

12V1 TTCnQ

Con:

1) R2

3C V Per gas monoatomico

2) R2

5C V Per gas biatomico

3) R2

7C V Per gas triatomico

Quindi:

121 TTRn

2

3Q Gas monoatomico

121 TTRn

2

5Q Gas biatomico

121 TTRn

2

7Q Gas triatomico

L’equivalente in energia meccanica di tale calore è già espresso in Joule a condizione

di utilizzare le unità di misura del S.I per il valore di R.

Bilancio energetico della prima trasformazione isoterma CB :

BC12B UULQU

Da cui:

0LQ 12

E, di conseguenza:

12 LQ 12 LQJ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


168

Durante la prima trasformazione isoterma alla temperatura 2T l’energia interna non

varia in quanto essa è funzione della sola temperatura e la temperatura si mantiene

costante.

L’isoterma è anche definita “isodinamica”.

L’energia interna del sistema allo stato “B” è uguale all’energia interna allo stato

“C”.

Il calore 2Q assorbito dal sistema dalla sorgente calda è quindi uguale, se si utilizza

il coefficiente d’equivalenza J, al lavoro fornito durante l’espansione del gas 1L .

D’altra parte il lavoro 1L è pari all’area della superficie sottostante l’isoterma 2T

delimitata a sinistra e destra rispettivamente dal valore del volume caratteristico dei

punti “A” o “B” e del volume caratteristico dei punti “C” o “D”.

Tale lavoro si calcola utilizzando la formula:

B

Ce2

V

V

2

V

V

V

V

21

V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVpL

C

B

C

B

C

B

Quindi, considerando che l’energia interna è costante, il calore scambiato durante

l’isoterma è pari al lavoro.

Considerando che il volume del gas, al termine della trasformazione, è maggiore di

quello iniziale – per espansione isotermica – il termine B

C

V

V risulta superiore all’unità

e, di conseguenza, il valore del logaritmo è positivo.

Il lavoro è quindi da considerarsi positivo dal punto di vista dell’ambiente esterno,

mentre, in ogni caso, si può sempre far riferimento ai segni indicati nel bilancio

energetico del ciclo.

Se R è espresso in Joule, il calore:

B

Ce22

V

VlogTRnQ J

Se si intende misurare il calore il Kcal, mantenendo il valore di R in Joule:

Kcal

J186.4

JV

VlogTRn

QB

Ce2

2

Qualora si conosca la quantità di calore 2Q o il lavoro 1L scambiato durante

l’isoterma, è possibile, utilizzando la relazione precedente, determinare il valore del

rapporto

B

C

V

V, nel modo seguente:

2

2

B

Ce

TRn

Q

V

Vlog

2

2

TRn

Q

B

Ce

V

V

2

2

TRn

Q

BC eVV

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


169

Oppure, tenendo conto della Legge di Boyle-Mariotte:

CCBB VpVp

C

B

B

C

p

p

V

V

Da cui si ottiene:

2

2

TRn

Q

C

Be

p

p

2

2

TRn

Q

BC epp

Dove con Cp e CV si intendono i valori della pressione e del volume al termine

dalla trasformazione isotermica.

Bilancio energetico della seconda trasformazione isocora DC :

D3C UQU

Da cui:

DC3 UUQ

La quantità di calore ceduta dal sistema alla sorgente fredda riporta l’energia interna

al valore caratteristico dell’isoterma 1T .

Tale trasformazione è completamente a carico del gas che, in questo modo, torna a

raffreddarsi.

La quantità di calore 3Q ceduta risulta uguale alla quantità di calore 1Q in quanto il

passaggio da stati d’equilibrio qualsiasi sulle due isoterme richiede sempre la stessa

energia termica.

Il lavoro scambiato è nullo in quanto la trasformazione è isocora.

Per cui:

21V3 TTCnQ

Oppure, usando la definizione di energia interna:

213 TTRn

2

3Q Gas monoatomico

Essendo la temperatura 1T minore della temperatura 2T si ottiene, di conseguenza,

un valore negativo del calore scambiato come d’altra parte era stato previsto dalla

formula di bilancio energetico.

Bilancio energetico della seconda trasformazione isoterma AD :

DA24D UULQU

Da cui:

0LQ 24

E, di conseguenza:

24 LQ

Il calore ceduto dal sistema alla sorgente alla temperatura 1T è quindi uguale al

lavoro di compressione isotermica 2L che occorre fornire al gas dall’ambiente

esterno che, a sua volta, risulta uguale all’area della superficie sottostante l’isoterma

1T delimitata nuovamente a destra dal valore del volume caratteristico dei punti “C”

o “D” e a sinistra dal valore del volume dei punti “A” o “B”

Tale lavoro si calcola utilizzando nuovamente la formula:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


170

D

Ae1

V

V

1

V

V

V

V

12

V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVpL

A

D

A

D

A

D

Il segno algebrico è negativo



Se misuriamo in Joule il calore:

D

Ae14

V

VlogTRnQ

Se si intende misurare il calore il Kcal:

186.4

V

VlogTRn

QD

Ae1

4

La relazione è, anche in questo caso, utilizzata per definire il valore del rapporto D

A

V

V

oppure A

D

p

p.

Bilancio energetico FINALE del ciclo chiuso ADCBA :

A243121A ULQQLQQU

In cui, per un gas monoatomico:


121 TTRn

2

3Q Calore entrante durante la prima isocora J

B

Ce22

V

VlogTRnQ Calore entrante durante la prima isoterma

B

Ce21

V

VlogTRnL Lavoro uscente durante la prima isoterma

213 TTRn

2

3Q Calore uscente durante la seconda isocora

D

Ae14

V

VlogTRnQ Calore uscente durante la seconda isoterma

D

A

e12V

VlogTRnL Lavoro entrante durante la seconda isoterma

Da cui:

21UTILE LLLL

B

Ae1

B

Ce2UTILE

V

VlogT

V

VlogTRnL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


171

In cui il secondo termine è sicuramente negativo e minore, in valore assoluto del

primo termine.

Il bilancio di energia meccanica scambiata è quindi a favore dell’ambiente esterno al

quale il sistema termodinamico fornisce lavoro.

CONCLUSIONI:

Da quanto illustrato si deduce:

Il ciclo chiuso reversibile ha riportato il gas nel sistema termodinamico alle

stesse condizioni energetiche iniziali, ma ha mutato le condizioni energetiche

sia delle due sorgenti termiche sia dell’ambiente esterno, infatti:

Dalla sorgente calda alla temperatura 2T è stata prelevata una quantità di

calore pari alla somma 21 QQ (durante la prima isocora e la prima

isoterma).

Alla sorgente fredda alla temperatura 1T il sistema ha restituito una quantità

di calore pari alla somma 43 QQ .

Considerando che 2Q è maggiore di 4Q (per confronto delle aree

corrispondenti ai lavori) e che 1Q è uguale a 3Q (per passaggio tra due

isodinamiche), risulta quindi evidente che il calore restituito è minore di

quello assorbito.

Inoltre il calore è restituito ad una temperatura minore.

L’ambiente esterno ha ricevuto una quantità di lavoro meccanico 1L (durante

la prima isoterma) maggiore della quantità 2L (durante la seconda isoterma).

La differenza 21 LL è il lavoro utile che il sistema ha effettuato a nostro

vantaggio ed è uguale alla differenza tra il calore assorbito e ceduto

JQQ 42 .

Tale differenza risulta uguale all’area della figura compresa tre le due

isoterme.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


172

CICLO “2” N.2 ISOBARE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE)

Figura 55 – CICLO 2

Figura 56 – CICLO 2 – LAVORO UTILE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


173


A44332211A UQLQLLQLQU

In cui:


186.4Q 1 Calore entrante durante la prima isobara J BA

2L Lavoro uscente durante la prima isobara J BA

186.4Q 2 Calore entrante durante la prima isoterma J CB

2L Lavoro uscente durante la prima isoterma J CB

3L Lavoro entrante durante la seconda isobara J DC

186.4Q 3 Calore uscente durante la seconda isobara J DC

4L Lavoro entrante durante la seconda isoterma J AD

186.4Q 4 Calore uscente durante la seconda isoterma J AD

Da cui:

0LLLLQQQQ 43214321

Cioè:

0LQ

4i

1i

i

4i

1i

i

Oppure:

LQ

Cioè la somma delle quantità di energia termica e di energia meccanica scambiate

durante il ciclo chiuso è nulla, ovvero, la somma delle quantità di energia termica e la

somma delle quantità di energia meccanica sono uguali.

Il lavoro utile UL è uguale alla sommatoria dell’energia meccanica scambiata

durante le quattro trasformazioni:

4321U LLLLL



trasformazioni isobare BA - alla pressione 1p - e DC - alla pressione 2p -

sono rappresentati dalle aree dei rispettivi rettangoli, di altezze 1p e 2p , e base

rispettivamente AB VV e DC VV .

Bilancio energetico della prima trasformazione isobara BA :

B11A ULQU

Da cui:

1AB1 LUUQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


174

La quantità di calore assorbita dal sistema termodinamico è pari alla somma

dell’incremento di Energia Interna e del lavoro che il sistema fornisce all’ambiente

esterno, oppure, in altre parole, la quantità di calore è utilizzata sia per aumentare

l’energia interna sia per fornire lavoro all’esterno.


temperatura e dipende inoltre dal valore della capacità termica molare a pressione

costante pC :

112V12p1 LTTCnTTCnQ

D’altra parte la capacità termica a pressione costante, per un gas monoatomico e in

virtù della relazione Mayer, è dato da:

RCC VP

Con:

R2


Quindi:

R2

5C P

Da cui:

121 TTRn

2

5Q

1121 LTTRn

2

3Q



Il lavoro 1L fornito all’esterno è invece rappresentato dall’area del rettangolo avente

altezza pari alla pressione iniziale nel punto “A” e, come base, la differenza tra il

volume dello stato “B” e dello stato “A”:

AABAABA1 VpVpVVpL

Con:

BA pp

1AA TRnVp

2BBBA TRnVpVp

Per cui:

121 TTRnL

Oppure, uguagliando le due relazioni di 1Q :

12112 TTRn

2

5LTTRn

2

3

12121 TTRnTTRn2

3

2

5L

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


175


BC22B UULQU

Da cui:

0LQ 12

E, di conseguenza:

22 LQ 12 LQJ


varia in quanto essa è funzione della sola temperatura.

L’isoterma è anche isodinamica.


“C”.




delimitata a sinistra e destra rispettivamente dal valore del volume caratteristico del

punto “B” e del volume caratteristico del punto “C”.


B

Ce2

V

V

2

V

V

V

V

22

V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVpL

C

B

C

B

C

B

Quindi, dato che l’energia interna è costante, il calore scambiato durante l’isoterma è

pari al lavoro.



C

V







B

Ce22

V

VlogTRnQ J


186.4

V

VlogTRn

QB

Ce2

2

Bilancio energetico della seconda trasformazione isobara DC :

D33C ULQU

Da cui:

1DC3 LUUQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


176

La quantità di calore ceduta risulta proporzionale al numero di moli, alla differenza

di temperatura e dipende inoltre dal valore della capacità termica molare a pressione

costante pC :

21p3 TTCnQ

Dato che la temperatura 2T è maggiore di 1T il calore risulta negativo.



RCC Vp

Con:

R2


Quindi:

R2

5C p

Da cui:

213 TTRn

2

5Q




altezza pari alla pressione iniziale nel punto “C” e, come base, la differenza tra il

volume dello stato “C” e dello stato “D”:

DCCCDCC1 VpVpVVpL

Con:

DC pp

2CC TRnVp

1DC TRnVp

Per cui:

123 TTRnL


DA44D UULQU

Da cui:

0LQ 44

E, di conseguenza:

44 LQ



esterno e che, a sua volta, risulta uguale all’area della superficie sottostante

l’isoterma 1T delimitata nuovamente a destra dal valore del volume caratteristico del

punto “D” e a sinistra dal valore del volume del punto “A” .


APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


177

D

Ae1

V

V

1

V

V

V

V

14

V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVpL

A

D

A

D

A

D





D

Ae14

V

VlogTRnQ


186.4

V

VlogTRn

QD

Ae1

4

Bilancio energetico FINALE del ciclo chiuso ADCBA :

A44332211A UQLQLLQLQU

In cui:


121 TTRn

2

5Q Calore entrante durante la prima isobara

121 TTRnL Lavoro uscente durante la prima isobara

B

Ce22

V

VlogTRnQ Calore entrante durante la prima isoterma

B

Ce22

V

VlogTRnL Lavoro uscente durante la prima isoterma

213 TTRn

2

5Q Calore uscente durante la seconda isobara

123 TTRnL Lavoro entrante durante la seconda isobara

D

Ae14

V

VlogTRnQ Calore uscente durante la seconda isoterma

D

Ae14

V

VlogTRnL Lavoro entrante durante la seconda isoterma

Da cui:

4321UTILE LLLLLL

D

Ae112

B

Ce212UTILE

V

VlogTRnTTRn

V

VlogTRnTTRnL

D

Ae1

B

Ce2UTILE

V

VlogTRn

V

VlogTRnL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


178

D

Ae1

B

Ce2UTILE

V

VlogT

V

VlogTRnL

Il lavoro utile, rappresentato dall’area racchiusa tra le due isobare e le due isoterme, è

pari alla differenza algebrica tra l’area sottostante l’isoterma alla temperatura 2T -

compresa tra i volumi estremi dell’isoterma BV e CV - e l’area sottostante

l’isoterma alla temperatura 1T - compresa tra i volumi estremi dell’isoterma AV e

DV .

Ciò è spiegabile anche con il seguente ragionamento:

La quantità totale di lavoro 21 LL fornita dal sistema all’ambiente esterno

(durante la prima isobara e la prima isoterma) è data dalla somma dell’area

del rettangolo con altezza pari alla pressione Ap e base pari alla differenza

AB VV e dell’area (circa quella di un trapezio) avente come base maggiore

il valore della pressione Ap , come base minore il valore della pressione CP

e, come altezza, la differenza tra il volume CV e il volume BV .

La quantità totale di lavoro 43 LL che l’ambiente esterno fornisce al

sistema (durante la seconda isobara e la seconda isoterma) è pari alla somma

dell’area del rettangolo che ha come altezza la pressione Cp e come base la

differenza DC VV e dell’area (circa quella di un trapezio) avente come base

maggiore la pressione Ap , base minore la pressione Dp e, come altezza, la

differenza tra il volume DV e il volume AV .

Il lavoro utile complessivo è dato dalla differenza tra il lavoro fornito dal

sistema e quello acquisito dall’ambiente esterno.

Dato che i due rettangoli rappresentativi dei lavori 1L e 3L - rispettivamente

ceduto ed acquisito, hanno area uguale (come si potrà anche verificare

misurandole sul diagramma pressione-volume e come confermato dalle loro

espressioni analitiche), la loro differenza è nulla.

Quindi il lavoro utile risulta dalla sola differenza 32 LL tra le aree della

due figura simili a trapezi come, d’altra parte, era comprensibile dalla lettura

dei risultati analitici.

L’area risultante dalla differenza è sensibilmente uguale all’area misurata

della superficie racchiusa tra le due isoterme e le due isobare.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


179

Figura 57 – LAVORO POSITIVO PRIMA ISOBARA – PRIMA ISOTERMA

Figura 58 – LAVORO NEGATIVO SECONDA ISOCORA – SECONDA ISOTERMA.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


180

Figura 59 – LAVORO UTILE

D

Ae1

B

Ce2UTILE

V

VlogTRn

V

VlogTRnL

B

Ce2

V

VlogTRn AREA TRAPEZOIDALE

2L

D

Ae1

V

VlogTRn AREA TRAPEZOIDALE

4L

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


181

CICLO DI CARNOT N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOTERME (ISODINAMICHE)

ESPANSIONE ISOTERMICA + ESPANSIONE ADIABATICA

COMPRESSIONE ISOTERMICA + COMPRESSIONE ADIABATICA

Figura 60 – CICLO DI CARNOT – N.2 ADIABATICHE + N.2 ISOTERME

Bilancio energetico del ciclo chiuso di CARNOT ADCBA

A243211A UQLLLQLU

In cui:

AU Energia interna iniziale punto “A”

1L Lavoro entrante durante la compressione adiabatica 21 TT BA

1Q Calore entrante durante l’espansione isotermica 2T CB

2L Lavoro uscente durante l’espansione isotermica 2T CB

3L Lavoro uscente durante l’espansione adiabatica 12 TT DC

2Q Calore uscente durante la compressione isotermica 1T AD

4L Lavoro entrante durante la compressione isotermica 1T AD

E’ ovvio che tutti i valori delle grandezze saranno misurati in Joule facendo uso, se

richiesto, del coefficiente d’equivalenza J .

Dalla relazione precedente, considerata per il ciclo chiuso, si ricava la seguente:

0QQLLLL 214321

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


182

E, immaginando di descrivere il bilancio energetico dal punto di vista dell’ambiente

esterno che trae vantaggio dal funzionamento della macchina termica di Carnot:

214132UTILE QQLLLLL

21UTILE QQL

42UTILE LLL

Cioè:

Il lavoro utile che la macchina termica, funzionante secondo un ciclo chiuso

di Carnot costituito da due trasformazioni adiabatiche e due trasformazioni

isoterme rispettivamente alle temperature 1T e 2T , riesce a fornire

all’ambiente esterno, è pari alla differenza tra il calore assorbito durante

l’espansione isotermica alla temperatura 2T e il calore ceduto durante la

compressione isotermica alla temperatura 1T .

CONSIDERAZIONE:

Dato che durante le trasformazioni isotermiche non varia l’energia interna, le

quantità di calore assorbite o cedute 1Q e 2Q - misurate in Joule – sono

rispettivamente uguali ai lavori forniti o prelevati 2L e 4L .

Per questo motivo è ovvio giungere alla conclusione – già anticipata - che il

lavoro utile UL effettuato dalla macchina termica per ogni ciclo di

funzionamento è pari a:

21UTILE QQL

Da cui:

42UTILE LLL



trasformazioni isoterme CB - alla temperatura 2T - e AD - alla temperatura

1T - sono rappresentati dalle aree sottostanti le relative isoterme e delimitati, a sinistra

e destra, dai valori del volume iniziale e finale.

Tali aree sono altresì rappresentative rispettivamente del calore assorbito 1Q e

ceduto 2Q .

Le quantità di calore scambiate con le sorgenti esterne durante le due trasformazioni

adiabatiche sono ovviamente nulle per stessa definizione di adiabatica.

Il lavoro scambiato con l’esterno durante la compressione e l’espansione adiabatica è

completamente a carico della variazione d’energia interna del gas contenuto nel

sistema o macchina termica.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


183

Bilancio energetico della prima trasformazione adiabatica BA :


B1A ULU

Da cui:

ABAB1 UUUL

Il lavoro fornito dall’esterno per la compressione adiabatica è completamente

utilizzato, dal sistema termodinamico, per incrementare l’energia interna dal valore

AU iniziale al valore BU finale.

La compressione adiabatica corrisponde, nella tecnologia meccanica applicata al

motore a scoppio, alla parte finale del movimento del pistone nel cilindro, durante la

quale è provocato un brusco aumento di pressione ed un corrispondente aumento di

temperatura prima dell’immissione forzata del combustibile nello spazio ristretto

compreso tra la parte superiore del pistone e la parte inferiore della testata.

Dato che la variazione d’energia interna U non dipende dal tipo di trasformazione,

ma dalla sola differenza di temperatura, è possibile applicare la seguente formula:

1A TRn2

3U

2B TRn2

3U

Da cui:

12AB TTRn

2

3U Per gas monoatomico

12AB TTRn

2

5U Per gas biatomico

Il lavoro fornito è quindi pari a tale variazione:

121 TTRn

2

3L

Sul diagramma pressione-volume esso è anche rappresentato dall’area della

superficie sottostante la curva dell’adiabatica che congiunge lo stato “A” con lo stato

“B” e delimitata, a sinistra e destra, rispettivamente dal volume BV e AV .

Anche in questo caso tale superficie è assimilabile ad un trapezio rettangolo di base

maggiore Bp , base minore Ap ed altezza BA VV mentre è uguale all’integrale

definito - tra i valori AV e BV - della funzione pressione derivata dalla Legge di

Poisson:

KVp

V

Kp

B

A

V

V

1 dV

V

KL

Durante la compressione adiabatica sono applicabili le leggi di Poisson:

1 tetancosVpVp2211

2 1

22

1

11VTVT

3

1

22

1

11pTpT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


184


ESPANSIONE ISOTERMICA

BC21B UULQU

Da cui:

0LQ 21

E, di conseguenza:

21 LQ 21 LQJ


varia in quanto essa è funzione della sola temperatura.

L’isoterma è anche isodinamica.


“C”.




delimitata a sinistra e destra rispettivamente dal valore del volume caratteristico del

punto “B” e del volume caratteristico del punto “C”.


B

Ce2

V

V

2

V

V

V

V

22

V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVpL

C

B

C

B

C

B

Quindi, dato che l’energia interna è costante, il calore scambiato durante l’isoterma è

pari al lavoro.



C

V







B

Ce21

V

VlogTRnQ J


186.4

V

VlogTRn

QB

Ce2

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


185

Bilancio energetico della seconda trasformazione adiabatica DC :


D3C ULU

Da cui:

DCCD3 UUUL

Il lavoro, ora negativo per il sistema è invece positivo per l’ambiente esterno.

Il sistema termodinamico utilizza l’energia interna propria e la trasferisce, sottoforma

di lavoro meccanico, all’esterno durante l’espansione adiabatica.

Il calore scambiato è nullo per definizione di adiabatica.



2C TRn2

3U

1D TRn2

3U

Da cui:

21DC TTRn

2

3U per gas monoatomico


123 TTRn

2

3L


superficie sottostante la curva dell’adiabatica che congiunge lo stato “C” con lo stato

“D” e delimitata, a sinistra e destra, rispettivamente dal volume CV e DV .


maggiore Cp , base minore Dp ed altezza CD VV mentre è uguale all’integrale

definito - tra i valori CV e DV - della funzione pressione derivata dalla Legge di

Poisson:

KVp

V

Kp

D

C

V

V

1 dV

V

KL


COMPRESSIONE ISOTERMICA

DA42D UULQU

Da cui:

0LQ 44

E, di conseguenza:

42 LQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


186



esterno e che, a sua volta, risulta uguale all’area della superficie sottostante

l’isoterma 1T delimitata nuovamente a destra dal valore del volume caratteristico del

punto “D” e a sinistra dal valore del volume del punto “A”.


D

Ae1

V

V

1

V

V

V

V

14

V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVpL

A

D

A

D

A

D





D

Ae12

V

VlogTRnQ


186.4

V

VlogTRn

QB

Ce1

2


A243211A UQLLLQLU

In cui:


121 TTRn

2

3L Compressione adiabatica 21 TT BA

B

Ce21

V

VlogTRnQ Espansione isotermica 2T CB

B

Ce22

V

VlogTRnL Espansione isotermica 2T CB

123 TTRn

2

3L Espansione adiabatica 12 TT DC

D

Ae14

V

VlogTRnL Compressione isotermica 1T AD

D

Ae12

V

VlogTRnQ Compressione isotermica 1T AD



APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


187

Il lavoro utile è:

D

Ae1

B

Ce22142UTILE

V

VlogT

V

VlogTRnQQLLL

Figura 61 – LAVORO UTILE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


188

CICLO “OTTO” N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOCORE

MOTORE A CARBURAZIONE


Bilancio energetico del ciclo chiuso “OTTO” ADCBA

A2211A UQLQLU

In cui:



1Q Calore entrante durante l’isocora 42 TT CB


2Q Calore uscente durante l’isocora 13 TT AD




0QQLL 2121


esterno che trae vantaggio dal funzionamento della macchina termica utilizzante il

ciclo “OTTO”:

2112UTILE QQLLL

21UTILE QQL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


189



B1A ULU

Da cui:

ABAB1 UUUL







1A TRn2

3U

2B TRn2

3U

Da cui:

12AB TTRn

2


12AB TTRn

2



121 TTRn

2

3L Gas monoatomico







Poisson:

KVp

V

Kp

B

A

V

V

1 dV

V

KL


1 tetancosVpVpBBAA

Da cui:

B

A

A

B

V

V

p

p

1

A

B

A

B

B

A

P

p

p

p

V

V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


190

2 1

B2

1

A1 VTVT

Da cui:

1

B

A

1

2

V

V

T

T

1

A

B

11

A

B

1

2

p

p

p

p

T

T

3

1

B2

1

A1 pTpT

Da cui:

1

B

A

1

2

p

p

T

T

Bilancio energetico della prima trasformazione isocora CB :

ACQUISIZIONE DI CALORE A VOLUME COSTANTE

C1B UQU

Da cui:

BCBC1 UUUQ

0L

Il gas del sistema acquisisce il calore fornito dalla detonazione della miscela

combustibile – trasformazione assimilata ad isocora – ed aumenta di temperatura e di

pressione passando dall’isoterma 2T all’isoterma 4T .

Il tipo di trasformazione non permette l’espansione del sistema che non è quindi in

grado di fornire lavoro all’esterno, ma ha solo la possibilità di incrementare la

propria energia interna da BU ad CU .

4C TRn2

3U

2B TRn2

3U

241 TTRn

2

3Q

Oppure, con la capacità termica a volume costante:

24V1 TTCnQ


ESPANSIONE ADIABATICA – FASE UTILE

D2C ULU

Da cui:

CDDC2 UUUL

Il gas si espande in modo adiabatico utilizzando parte dell’energia interna acquisita

in precedenza per fornire lavoro all’esterno.




APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


191

4C TRn2

3U

3D TRn2

3U

Da cui:

34CD TTRn

2


34CD TTRn

2



342 TTRn

2

3L Gas monoatomico



“D” e delimitata, a sinistra e destra, rispettivamente dal volume BC VV e

AD VV .




Poisson:

KVp

V

Kp

AD

BC

VV

VV

1 dV

V

KL


1 tetancosVpVpDDCC

Da cui:

D

C

C

D

V

V

p

p

1

C

D

C

D

D

C

P

p

p

p

V

V

1

D

C

C

D

p

p

V

V

2 1

D3

1

C4 VTVT

Da cui:

1

C

D

3

4

V

V

T

T

1

D

C

11

D

C

3

4

p

p

p

p

T

T

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


192

3

1

D3

1

C4 pTpT

Da cui:

1

D

C

4

3

p

p

T

T

Bilancio energetico della seconda trasformazione isocora AD :

CESSIONE DI CALORE A VOLUME COSTANTE

A2D UQU

Da cui:

DAAD2 UUUQ

0L DA

Il gas del sistema cede calore – trasformazione assimilata ad isocora – e diminuisce

di temperatura e di pressione passando dall’isoterma 3T all’isoterma 1T .

Il tipo di trasformazione non permette l’espansione del sistema che non è quindi in

grado di fornire lavoro all’esterno, ma solo di abbassare la propria energia interna da

DU ad AU .

3D TRn2

3U

1A TRn2

3U

132 TTRn

2

3Q

Oppure, con la capacità termica a volume costante:

13V2 TTCnQ


A2211A UQLQLU

In cui:


121 TTRn

2


241 TTRn

2

3Q Isocora 42 TT CB

342 TTRn

2


132 TTRn

2

3Q Isocora 13 TT AD

Il lavoro utile è:

132412342112UTILE TTTTRn2

3TTTTRn

2

3QQLLL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


193

Il rendimento:

1

2

24

13

24

1324

1

U

Q

Q1

TT

TT1

TT

TTTT

Q

L

Considerando che la quantità di calore 2Q non può essere nulla, si conclude che il

rendimento è comunque sempre minore dell’unità.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


194

CICLO “DIESEL” N.2 ADIABATICHE + N. 1 ISOCORA + N. 1 ISOBARA

MOTORE DIESEL AD INIEZIONE

Figura 63 – CICLO “DIESEL” – N. 2 ADIABATICHE + N. 1 ISOBARA + N. 1 ISOCORA

Bilancio energetico del ciclo chiuso “DIESEL” ADCBA

A23211A UQLLQLU

In cui:



1Q Calore entrante durante l’isobara 42 TT CB

2L Lavoro uscente durante l’isobara 42 TT CB


2Q Calore uscente durante l’isocora 13 TT AD




0QQLLL 21321



ciclo “OTTO”:

21132UTILE QQLLLL

21UTILE QQL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


195



B1A ULU

Da cui:

ABAB1 UUUL







1A TRn2

3U Monoatomico 1A TRn

2

5U Biatomico

2B TRn2

3U Monoatomico 2B TRn

2

3U Biatomico

Da cui:

12AB TTRn

2


12AB TTRn

2



121 TTRn

2

3L Gas monoatomico







Poisson:

KVp

V

Kp

B

A

V

V

1 dV

V

KL


1 tetancosVpVpBBAA

Da cui:

B

A

A

B

V

V

p

p

1

A

B

A

B

B

A

P

p

p

p

V

V

2 1

B2

1

A1 VTVT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


196

Da cui, tenendo conto della equazione 1 :

1

B

A

1

2

V

V

T

T

1

A

B

11

A

B

1

2

p

p

p

p

T

T

3

1

B2

1

A1 pTpT

Da cui:

1

B

A

1

2

p

p

T

T

Bilancio energetico della trasformazione isobara CB :

C21B ULQU

Da cui:

2BC1 LUUQ







costante pC :

224V24p1 LTTCnTTCnQ



RCC VP RCC VP

Con:

R2


R2


Quindi:

R2

5C P

Da cui:

241 TTRn

2

5Q

2241 LTTRn

2

3Q




altezza pari alla pressione iniziale nel punto “B” – oppure "C" - e, come base, la

differenza tra il volume dello stato “C” e dello stato “B”:

BBCBBCB2 VpVpVVpL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


197

Con:

BC pp

4CC TRnVp

2BB TRnVp

Per cui:

242 TTRnL


24224 TTRn

2

5LTTRn

2

3

24242 TTRnTTRn2

3

2

5L



D3C ULU

Da cui:

CDDC3 UUUL

Il sistema termodinamico utilizza parte della sua energia interna per eseguire lavoro

verso l’ambiente esterno che lo riceve.

L’energia interna decresce dal valore CU iniziale al valore DU finale.




4C TRn2

3U Monoatomico 4C TRn

2

5U Biatomico

3D TRn2

3U Monoatomico 3D TRn

2

3U Biatomico

Da cui:

34CD TTRn

2


34CD TTRn

2



343 TTRn

2

3L Gas monoatomico





maggiore Cp , base minore Dp ed altezza CD VV mentre è esattamente uguale

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


198

all’integrale definito - tra i valori CV e DV - della funzione pressione derivata dalla

Legge di Poisson:

KVp

V

Kp

D

C

V

V

3 dV

V

KL

Durante l’espansione adiabatica sono applicabili le leggi di Poisson:

1 tetancosVpVpDDCC

Da cui:

D

C

C

D

V

V

p

p

1

C

D

C

D

D

C

P

p

p

p

V

V

2 1

D3

1

C4 VTVT


1

D

C

4

3

V

V

T

T

1

C

D

11

C

D

4

3

p

p

p

p

T

T

3

1

D3

1

C4 pTpT

Da cui:

1

C

D

3

4

p

p

T

T

Bilancio energetico della trasformazione isocora AD :

A2D UQU

Da cui si ottiene:

AD2 UUQ

Dove:

3D TRn2

3U

1A TRn2

3U

Il gas cede alla sorgente refrigerante una quantità di calore pari al decremento di

energia interna in quanto la trasformazione isocora avviene senza scambio di lavoro

meccanico.

La quantità di calore ceduta è anche uguale a:

13V2 TTCnQ

Con:

R2

3C V Gas monoatomico

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


199

Per cui:

132 TTRn

2

3Q


A23211A UQLLQLU

In cui:


121 TTRn

2


241 TTRn

2

5Q Isobara 42 TT CB

242 TTRnL Isobara 42 TT CB

343 TTRn

2


132 TTRn

2

3Q Isocora 13 TT AD

Il lavoro utile è:

21132UTILE QQLLLL

123424132UTILE TTRn2

3TTRn

2

3TTRnLLLL

241234UTILE TT

3

2TTTTRn

2

3L

241234UTILE T

3

2T

3

2TTTTRn

2

3L

1324UTILE TTT

3

5T

3

5Rn

2

3L

1324UTILE TTRn2

3TTRn

2

5L

Il rendimento:

1

2

24

1324

1

U

Q

Q1

TTRn2

5

TTRn2

3TTRn

2

5

Q

L



APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


200

CICLO “JOULE” O “BRAYTON” N.2 ADIABATICHE + N. 2 ISOBARE

TURBINE A GAS

Figura 64 – CICLO “JOULE” – N. 2 ADIABATICHE + N. 2 ISOBARE

Bilancio energetico del ciclo chiuso “DIESEL” ADCBA

A243211A UQLLLQLU

In cui:



1Q Calore entrante durante l’isobara 42 TT CB

2L Lavoro uscente durante l’isobara 42 TT CB


2Q Calore uscente durante l’isobara 13 TT AD

4L Lavoro entrante durante l’isobara 13 TT AD




0QQLLLL 214321



ciclo “JOULE”:

214132UTILE QQLLLLL

21UTILE QQL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


201



B1A ULU

Da cui:

ABAB1 UUUL







1A TRn2

3U Monoatomico

1A TRn2

5U Biatomico

2B TRn2

3U Monoatomico 2B TRn

2

3U Biatomico

Da cui:

12AB TTRn

2


12AB TTRn

2



121 TTRn

2

3L Gas monoatomico







Poisson:

KVp

V

Kp

B

A

V

V

1 dV

V

KL


1 tetancosVpVpBBAA

Da cui:

B

A

A

B

V

V

p

p

1

A

B

A

B

B

A

P

p

p

p

V

V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


202

2 1

B2

1

A1 VTVT


1

B

A

1

2

V

V

T

T

1

A

B

11

A

B

1

2

p

p

p

p

T

T

3

1

B2

1

A1 pTpT

Da cui:

1

B

A

1

2

p

p

T

T

Bilancio energetico della trasformazione isobara CB :

C21B ULQU

Da cui:

2BC1 LUUQ







costante pC :

224V24p1 LTTCnTTCnQ



RCC VP RCC VP

Con:

R2


R2


Quindi:

R2


Da cui:

241 TTRn

2

5Q

2241 LTTRn

2

3Q



APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


203


altezza pari alla pressione iniziale nel punto “B” – oppure "C" - e, come base, la

differenza tra il volume dello stato “C” e dello stato “B”:

BBCBBCB2 VpVpVVpL

Con:

BC pp

4CC TRnVp

2BB TRnVp

Per cui:

242 TTRnL


24224 TTRn

2

5LTTRn

2

3

24242 TTRnTTRn2

3

2

5L



D3C ULU

Da cui:

CDDC3 UUUL

Il sistema termodinamico utilizza parte della sua energia interna per eseguire lavoro

verso l’ambiente esterno che lo riceve.

L’energia interna decresce dal valore CU iniziale al valore DU finale.




4C TRn2

3U Monoatomico 4C TRn

2

5U Biatomico

3D TRn2

3U Monoatomico 3D TRn

2

3U Biatomico

Da cui:

34CD TTRn

2


34CD TTRn

2



343 TTRn

2

3L Gas monoatomico





maggiore Cp , base minore Dp ed altezza CD VV mentre è esattamente uguale

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


204

all’integrale definito - tra i valori CV e DV - della funzione pressione derivata dalla

Legge di Poisson:

KVp

V

Kp

D

C

V

V

3 dV

V

KL

Durante l’espansione adiabatica sono applicabili le leggi di Poisson:

1 tetancosVpVpDDCC

Da cui:

D

C

C

D

V

V

p

p

1

C

D

C

D

D

C

P

p

p

p

V

V

2 1

D3

1

C4 VTVT


1

D

C

4

3

V

V

T

T

1

C

D

11

C

D

4

3

p

p

p

p

T

T

3

1

D3

1

C4 pTpT

Da cui:

1

C

D

3

4

p

p

T

T

Bilancio energetico della seconda trasformazione isobara AD :

A42D ULQU

Da cui:

4AD2 LUUQ



costante pC :

413V13p2 LTTCnTTCnQ



RCC VP RCC VP

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


205

Con:

R2


R2


Quindi:

R2


Da cui:

132 TTRn

2

5Q

2242 LTTRn

2

3Q

Il lavoro 4L è invece rappresentato dall’area del rettangolo avente altezza pari alla

pressione iniziale nel punto “D” – oppure "A" e, come base, la differenza tra il

volume dello stato “D” e dello stato “A”:

ADDDADD4 VpVpVVpL

Con:

AD pp

3DD TRnVp

1AA TRnVp

Per cui:

134 TTRnL


13413 TTRn

2

5LTTRn

2

3

13134 TTRnTTRn2

3

2

5L


A243211A UQLLLQLU

In cui:


121 TTRn

2


241 TTRn

2

5Q Isobara 42 TT CB

242 TTRnL Isobara 42 TT CB

343 TTRn

2


132 TTRn

2

5Q Isobara 13 TT AD

134 TTRnL Isobara 13 TT AD

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


206

Il lavoro utile è:

214132UTILE QQLLLLL

13123424UTILE TTRnTTRn

2

3TTRn

2

3TTRnL

13241234UTILE TTTT

3

2TTTTRn

2

3L

241234UTILE T

3

2T

3

2TTTTRn

2

3L

1324UTILE TTT

3

5T

3

5Rn

2

3L

1324UTILE TTRn2

3TTRn

2

5L

Il rendimento:

1

2

24

1324

1

U

Q

Q1

TTRn2

5

TTRn2

3TTRn

2

5

Q

L



APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


207

ESERCIZIO N. 1

CICLO DI CARNOT – N. 2 adiabatiche+N. 2 isoterme

Un ciclo di Carnot che utilizza “aria standard” assimilabile a gas perfetto, si svolge tra le

temperature estreme di 7°C e 847°C e con un valore minimo di pressione pari a 1 atmosfera (1 bar).

Il calore fornito alla temperatura massima è

kg

kJ120Q .

Nell’ipotesi che il calore specifico possa essere ritenuto costante, si determini il valore della

pressione in corrispondenza dei vertici ed il rendimento termico del ciclo.

Si assume pari a

Kmole

kg97,28 il valore della massa di una kilomole di aria standard.

Il valore della costante per l’aria standard, assimilata a gas perfetto biatomico, è assunto pari a

1,40.

Soluzione:

Il ciclo di Carnot è la base teorica del principio di funzionamento dei motori a combustione interna

come, ad esempio, il motore a scoppio.

La base teorica e la tecnologia reale della macchina termica si discostano tra loro per alcune

fondamentali differenze.

Il ciclo di Carnot teorico utilizza un ciclo chiuso in cui il gas, confinato nel sistema termodinamico,

mantiene costanti le proprie caratteristiche durante le varie fasi del ciclo.

Per questo motivo il ciclo teorico non prevede alcuna sostituzione o integrazione della quantità di

gas.

Inoltre l’assorbimento di calore durante le due espansioni – isoterma CD e adiabatica DA – e la

cessione di calore durante le due compressioni – isoterma AB e adiabatica BC – sono possibili

grazie alla presenza di due sorgenti termiche rispettivamente alla temperatura 2T e alla temperatura

1T .

Il ciclo reale funziona, invece, utilizzando sostanze che mutano di continuo le proprie caratteristiche

fisiche.

Inizialmente è immessa nel cilindro una miscela vaporizzata di aria e combustibile che, esplodendo

violentemente a causa di una scintilla d’innesco, fornisce calore e, nel contempo, provoca un brusco

aumento di volume del gas e la conseguente spinta meccanica.

Il calore fornito dall’esplosione reale della miscela compressa aria-combustibile può essere

sostituito da quello fornito da una sorgente virtuale al livello termico 2T .

Lo scarico dei prodotti della combustione – fumi di scarico – avviene in concomitanza con la

seconda trasformazione isoterma ed è sostituita, nel ciclo teorico, dalla cessione di calore ad una

sorgente di livello termico 1T .

Il ciclo teorico costituisce quindi una notevole semplificazione del ciclo reale e permette, allo stesso

tempo, di ottenere risultati non troppo diversi dalla realtà meccanica applicativa.

I dati del problema consentono di individuare alcuni parametri di stato caratteristici dei punti iniziali

e terminali delle quattro trasformazioni che formano il ciclo di Carnot:

Vertice A – (INIZIO CICLO DI CARNOT)

Inizio della COMPRESSIONE ISOTERMA BA alla temperatura minore 1T

corrispondente al termine dell’ESPANSIONE ADIABATICA AD :

Pascal10bar1p5

A

K2802737TT 1A

AV Incognito

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


208

Vertice B

Termine della COMPRESSIONE ISOTERMA BA alla temperatura costante minore 1T

ed inizio della COMPRESSIONE ADIABATICA CB che innalzerà la temperatura al

valore massimo 2T :

Bp Incognito

K2802737TT 1B

BV Incognito

Vertice C

Termine della COMPRESSIONE ADIABATICA CB che innalza la temperatura dal

valore 1T al valore 2T ed inizio dell’ESPANSIONE ISOTERMA DC alla temperatura

2T :

Cp Incognito

K120.1273847TT 2C

BV Incognito

Vertice D

Termine dell’ESPANSIONE ISOTERMA DC alla temperatura 2T ed inizio

dell’ESPANSIONE ADIABATICA AD che abbasserà la temperatura da 2T a 1T :

Dp Incognito

K120.1273847TT 2D

DV Incognito

Vertice A – (TERMINE CICLO)

Termine dell’ESPANSIONE ADIABATICA AD :

Pascal10bar1p5

A

K2802737TT 1A

AV Incognito

ESPANSIONE ADIABATICA AD - TRATTO “4”

Iniziamo ad analizzare la curva relativa alla “espansione adiabatica ” AD ” ove sono applicabili

le formule relative alla Legge di Poisson per le trasformazioni senza scambio di calore:

1 tetancosVpVp2211

Pressione-volume

2 1

22

1

11VTVT

Temperatura-volume

3

1

22

1

11pTpT Temperatura-pressione

La curva inizia nel punto D e termina nel punto A.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


209

La temperatura caratteristica dello stato d’equilibrio iniziale dell’espansione adiabatica corrisponde

alla temperatura del punto D, in quanto lo stato d’equilibrio è ancora posizionato sull’isoterma 2T .

Quindi:

K120.1TT 2D

La temperatura caratteristica dello stato d’equilibrio finale dell’espansione adiabatica corrisponde

alla temperatura 1T :

Quindi:

K280TT 1A

Applicando la 3 , si ottiene:

1

AA

1

DD pTpT

4

K280

K120.1

T

T

P

p

T

T

1

2

1

D

1

A

A

D

Da cui si ricava:

4p

p

1

D

A

11 1

D

A4

p

p

1

D

A4

p

p

1

A

1

A

1

AD 4p4p

4

pp

Trattandosi di un ciclo funzionante, per ipotesi, con gas perfetto, pensando di utilizzare un gas bi-

atomico con valore di 40.15

7

C

C

V

P , ed utilizzando la relazione trovata sfruttando l’equazione

e i dati relativi all’espansione adiabatica, si può quindi determinare la pressione caratteristica del

punto D – terminale dell’espansione adiabatica :

bar128128bar14bar14bar14bar14pp50,34,0

4,1

14,1

4,1

1

AD

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


210

ESPANSIONE ISOTERMICA DC - TRATTO “3”

Durante l’espansione isotermica C-D l’energia interna del sistema si mantiene costante quindi la

quantità di calore fornito dalla sorgente alla temperatura 2T è uguale al lavoro d’espansione che il

sistema fornisce all’ambiente esterno.

Nella realtà tecnologica tale fase corrisponde alla detonazione della miscela combustibile e alla

conseguente espansione dei prodotti gassosi generati.

Il pistone, al termine della compressione adiabatica, si trova nel punto più alto – quasi a contatto

con la testata di chiusura e delle valvole automatiche -

Vale la relazione:

11 LQ

D’altra parte il lavoro 1L è rappresentato dall’area della superficie sottostante l’isoterma 2T

delimitata a sinistra e destra rispettivamente dal volume caratteristico dei due stati d’equilibrio

iniziale e finale dell’isoterma CV e DV .

Tale lavoro risulta determinato dall’equazione:

C

De2

V

V

2

V

V

V

V

21

V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVpL

D

C

D

C

D

C

C

De21

V

VlogTRnL

Per cui:

C

De21

V

VlogTRnQ

Sfruttando poi l’equazione generale di stato:

CCDD VpVp

D

C

C

D

P

p

V

V


D

Ce21

p

plogTRnQ

2

1

D

Ce

TRn

Q

p

plog

1

In cui 1Q esprime la quantità di calore, espressa in Joule, ceduta dalla sorgente alla temperatura

maggiore ad una quantità di gas, contenuto nel sistema, di massa pari a 1 kg.

Considerando che il gas è assimilato ad “aria standard” e che la quantità in massa “d’aria standard”

occorrente per costituire una Kmole risulta essere pari a circa 28,97 kg:

kg97,28Kmole1STANDARDARIA

Possiamo determinare il numero di moli d’aria a cui si riferisce il calore ceduto:

kg1

KmoliX

kg97,28

Kmole1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


211

Da cui si ricava il valore di n :

0345,097,28

1Xn Kmoli

Per cui, sostituendo i valori dati e/o calcolati nell’equazione 1 :

2

1

D

Ce

TRn

Q

p

plog

3735,0

K120.1KKmole

kJ314,8

kg

Kmol0345,0

kg

kJ120

p

plog

D

Ce

45,1ep

P 3735,0

D

C

45,1pp DC

Utilizzando ora la pressione caratteristica del termine dell’isoterma – inizio dell’espansione

adiabatica - determinata precedentemente:

bar6,18545,1bar128p C

Si ottiene così il valore di pressione tipico della fase terminale della compressione adiabatica e della

fase iniziale dell’espansione isoterma.

COMPRESSIONE ADIABATICA CB - TRATTO “2”

Si analizza ora la curva relativa alla “compressione adiabatica ” CB ” ove sono applicabili le

formule relative alla Legge di Poisson per le trasformazioni senza scambio di calore:

1 tetancosVpVp2211

Pressione-volume

2 1

22

1

11VTVT

Temperatura-volume

3

1

22

1

11pTpT Temperatura-pressione

La compressione adiabatica inizia nel punto B e termina nel punto C.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


212

La temperatura caratteristica dello stato d’equilibrio iniziale della compressione adiabatica

corrisponde alla temperatura del punto B, in quanto lo stato d’equilibrio è posizionato sull’isoterma

1T .

Quindi:

K280TT 1B

La temperatura caratteristica dello stato d’equilibrio finale della compressione adiabatica

corrisponde alla temperatura 2T (il pistone ha raggiunto la massima altezza nel cilindro cui

corrisponde il minor volume disponibile e la massima pressione):

Quindi:

K120.1TT 2C

Applicando la 3 , si ottiene:

1

BB

1

CC pTpT

4

K280

K120.1

T

T

P

p

T

T

1

2

1

C

1

B

B

C

Da cui si ricava:

4p

p

1

C

B

11 1

C

B4

p

p

1

C

B4

p

p

bar45,10078,06,1854bar6,1854bar6,1854p4pp 4

14

4,0

4.1

1

C

1

CB

CALORE CEDUTO AL REFRIGERANTE DURANTE LA COMPRESSIONE ISOTERMA

Il calore ceduto dal sistema alla sorgente refrigerante alla temperatura 1T durante la compressione

isoterma A-B è uguale al lavoro meccanico che il sistema deve ricevere dall’esterno.

Questo per il fatto che la compressione avviene senza modificare l’energia interna del gas.

Quindi, definito 2L in lavoro meccanico, si ha:

22 LQ

Con:

A

Be1

V

V

1

V

V

V

V

12

V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVpL

B

A

B

A

B

A

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


213

A

Be12

V

VlogTRnL

Per cui:

A

Be12

V

VlogTRnQ

Sfruttando poi l’equazione generale di stato o la legge di Boyle:

AABB VpVp

B

A

A

B

P

p

V

V


B

Ae12

p

plogTRnQ

Considerando che il gas è assimilato ad “aria standard” e che la quantità in massa “d’aria standard”

occorrente per costituire una Kmole risulta essere pari a circa 28,97 kg:

kg97,28Kmole1STANDARDARIA

Possiamo determinare il numero di moli d’aria a cui si riferisce il calore ceduto:

kg1

KmoliX

kg97,28

Kmole1

Da cui si ricava il valore di n :

0345,097,28

1Xn Kmoli

Quindi il calore:

kJ84,29bar45,1

bar1logK280

KKmole

kJ314,8Kmoli0345,0

p

plogTRnQ e

B

Ae12

CALCOLO DEL LAVORO UTILE

Per ogni ciclo di funzionamento il sistema termodinamico è quindi in grado di fornire all’ambiente

esterno una quantità di lavoro utile pari a:

kg

kJ16,9084,29120QQLLL 2121U

RENDIMENTO

Il rendimento della macchina di Carnot operante tra le temperature indicate è quindi:

%1,75751,0120

16,90

Q

L

1

U

E anche:

%7575,0120.1

280120.1

T

TT

T

T1

2

12

2

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


214

Figura 62 – CICLO DI CARNOT AD “ARIA STANDARD”

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


215

ESERCIZIO N. 2

CICLO “OTTO” – MOTORE A CARBURAZIONE – N. 2 adiabatiche+N. 2 isocore.

Un ciclo “OTTO” ad “aria standard”, con un rapporto volumetrico di compressione uguale a 8,

inizia la fase di compressione compressione con un valore di temperatura pari a 16°C ed un valore

di pressione pari a 1 bar.

La quantità di calore fornita al sistema ad ogni ciclo vale

kg

kJ800.1Q .

Determinare i valori della pressione e della temperatura in corrispondenza dei vertici ed il

rendimento del ciclo.

Si assume pari a

Kmole

kg97,28 il valore della massa di una kilomole di aria standard.

Il valore della costante per l’aria standard, assimilata a gas perfetto biatomico, è assunto pari a

1,40.


Soluzione:

Dati del problema:

2

5

A

m

N10bar1p

K28927316T A

8V

V

B

A Rapporto di compressione

kg

kJ800.1Q

Kmole

kg97,28M

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


216

L’equazione generale di stato dei gas perfetti ci permette di calcolare il volume di gas relativamente

allo stato d’equilibrio “A” ed ad una massa di gas pari ad 1 kg:

AAA TRnVp

Ove:

Kmoli03452,0

Kmole

kg97,28

kg1n

Risulta quindi:

N

mmN829,0

N

mJ829,0

m

N10

K289Kkmole

J314.8kmoli03452,0

p

TRnV

22

2

5A

AA

kg

m829,0V

3

A

FASE N. 1 – COMPRESSIONE ADIABATICA A-B

Per la fase di compressione adiabatica sono applicabili le leggi di Poisson:

1 tetancosVpVp2211

2 1

22

1

11VTVT

3

1

22

1

11pTpT

In particolare, dalla 2 , tenendo conto del rapporto di compressione dato, si ottiene:

1

BB

1

AA VTVT

B

A

1

A

1

B

T

T

V

V

B

A

1

A

B

T

T

V

V

435,08

1

8

1

8

1

T

T4,014,11

B

A

Da cui si ricava la temperatura dello stato d’equilibrio B:

K664

435,0

K289

435,0

TT

AB

Mentre il volume di una massa di gas pari ad 1 kg si ricava tenendo conto del rapporto di

compressione:

8V

V

B

A

kg

m103,0

8

kg

m829,0

8

VV

3

3

AB

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


217

La pressione finale caratteristica dello stato finale della compressione adiabatica può essere rivata

indifferentemente utilizzando l’equazione generale di stato o la legge di Poisson:

Con la legge di Poisson:

BBAA VpVp

bar4,18Pa1084,138,18

m

N10810

V

Vp

V

Vpp

6

2

54,15

B

AA

B

AAB


BBB TRnVp

bar5,18

m

mN170.850.1

kg

m103,0

K664KKmole

J314.8

kg

Kmoli03452,0

p33

B

FASE N. 2 – CESSIONE DI CALORE A VOLUME COSTANTE – ISOCORA B-C

Il gas è poi riscaldato a volume costante per mezzo della cessione di calore.

Si utilizza la seguente relativamente sempre alla quantità di gas pari a 1 kg:

CBBCV UTTCnQ

KKmole

JR

2

5

kg

Kmoli03452,0

kg

J000.800.1

KKmole

kJC

kg

Kmolin

kg

kJQ

TT

V

BC

K508.2

KKmole

J314.85

kg

Kmoli03452,0

kg

J000.800.12

TT BC

Da cui si ricava la temperatura del punto C:

K172.3508.2664508.2TT BC

Utilizzando poi l’equazione dell’isocora:

B

B

C

C

T

p

T

P

Si ottiene la pressione del punto C:

bar37,88

K664

K172.3bar5,18

T

Tpp

B

CBC

Il volume dello stato C deve essere uguale a quello dello stato B (isocora).

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


218

FASE N. 3 – ESPANSIONE ADIABATICA C-D

Sono ancora applicate le leggi di Poisson:

1 tetancosVpVp2211

2 1

22

1

11VTVT

3

1

22

1

11pTpT

Considerando che il rapporto di compressione è pari ad 8, si ottiene, applicando la 2 :

1

DD

1

CC VTVT

D

C

1

C

D

T

T

V

V

29,2888T

T 4,014,11

D

C

K385.1

29,2

K172.3

29,2

TT

CD

E, con l’equazione generale di stato:

DDD TRnVp

AD VV

bar79,4

m

N486.479

kg

m829,0

K385.1KKmole

J314.8

kg

Kmoli03452,0

p23

D

Il lavoro utile può essere determinato tenendo conto del fatto che esso corrisponde alla somma

algebrica del lavoro fornito durante l’espansione adiabatica (positivo) e del lavoro applicato

dall’esterno durante la compressione adiabatica (negativo).

Considerando che, sia l’espansione che la compressione avvengono senza scambi di calore, risulta

evidente che le quantità di lavoro sono uguali rispettivamente all’aumento e alla diminuzione di

energia interna:

ABCDU LLL

kg

J1028,1K385.1172.3

KKmole

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5

TTRn2

5TRn

2

3TRn

2

5UUL

6

DCDCDCCD

kg

J1069,2K289664

KKmole

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5

TTRn2

5TRn

2

5TRn

2

5UUL

5

ABABABAB

kg

J1001,1LLL

6

ABCDU

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


219

RENDIMENTO

Il rendimento del ciclo è il rapporto tra il lavoro utile effettivamente ceduto all’ambiente esterno e la

quantità d’energia che è stata spesa per ottenere tale lavoro.

Tenendo conto del fatto che l’energia spesa corrisponde, in questo caso, alla quantità di calore data

al sistema durante la trasformazione isocora:

kg

J000.800.1Q

Si ottiene:

%11,56100

kg

J108,1

kg

J1001,1

Q

L

6

6

U

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


220

ESERCIZIO N. 3

CICLO “DIESEL” – MOTORE A INIEZIONE – N. 2 adiabatiche + N. 1 isobara + N. 1 isocora.

Un ciclo “DIESEL” ad “aria standard”, con rapporto volumetrico di compressione uguale a 15,

inizia la fase di compressione con un valore di temperatura pari a 16°C ed un valore di pressione

pari a 1 bar.

La quantità di calore fornita ad ogni ciclo vale 1.800 kJ/kg.

Determinare i valori della pressione e temperatura in corrispondenza dei vertici ed il rendimento del

ciclo.

Figura 57 – CICLO DIESEL

Soluzione:

Dati del problema:

2

5

A

m

N10bar1p

K28927316T A

15V

V

B

A Rapporto di compressione

kg

kJ800.1Q

Kmole

kg97,28M

L’equazione generale di stato dei gas perfetti ci permette di calcolare il volume di gas relativamente

allo stato d’equilibrio “A” ed ad una massa di gas pari ad 1 kg:

AAA TRnVp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


221

Ove:

Kmoli03452,0

Kmole

kg97,28

kg1n

Risulta quindi:

N

mmN829,0

N

mJ829,0

m

N10

K289Kkmole

J314.8kmoli03452,0

p

TRnV

22

2

5A

AA

kg

m829,0V

3

A



1 tetancosVpVp2211

2 1

22

1

11VTVT

3

1

22

1

11pTpT

In particolare, dalla 2 , tenendo conto del rapporto di compressione dato, si ottiene:

1

BB

1

AA VTVT

B

A

1

A

1

B

T

T

V

V

B

A

1

A

B

T

T

V

V

3385.015

1

15

1

15

1

T

T4,014,11

B

A

Da cui si ricava la temperatura dello stato d’equilibrio B:

K8,853

3385,0

K289

3385,0

TT

AB

Mentre il volume di una massa di gas pari ad 1 kg si ricava tenendo conto del rapporto di

compressione:

15V

V

B

A

kg

m05527,0

15

kg

m829,0

15

VV

3

3

AB

La pressione finale caratteristica dello stato finale della compressione adiabatica può essere ricavata

indifferentemente utilizzando l’equazione generale di stato o la legge di Poisson:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


222

Con la legge di Poisson:

BBAA VpVp

bar3,44Pa1043,431,44

m

N101510

V

Vp

V

Vpp

6

2

54,15

B

AA

B

AAB


BBB TRnVp

bar3,44

m

mN508.433.4

kg

m05527,0

K8,853KKmole

J314.8

kg

Kmoli03452,0

p33

B

Il lavoro fornito al sistema durante la fase di compressione adiabatica è dato da:

ABABAB UUUL

BB TRn2

5U

AA TRn2

5U

K2898,853KKmol

J314.8

kg

Kmol03452,0

2

5TTRn

2

5LL AB3AB

kg

J242.405LL 3AB

FASE N. 2 – CESSIONE DI CALORE A PRESSIONE COSTANTE – ISOBARA B-C

Il gas compresso ad una pressione pari a 44,3 bar ed ad una temperatura di 853,4 K è riscaldato con

una quantità di calore pari a Q seguendo una trasformazione a pressione costante.

La pressione al termine dell’isobara è dunque pari a quella iniziale.

La legge di riferimento è, in questo caso, quella di Gay-Lussac ed il bilancio energetico il seguente:

BCBBCVBCP VVpTTCnTTCnQ

Da cui si ottiene, utilizzando la prima parte:

BCP TTCnQ

P

BCCn

QTT

Sostituendo i termini noti e tenendo conto che, nel caso di gas biatomico – aria standard – il valore

di pC è dato da:

R2

7C P

K8,645.2K792.1K8,853

KKmole

J314.8

2

7

kg

Kmoli03452,0

kg

J000.800.1

K8,853T C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


223

Utilizzando la seconda parte si ottiene:

BCBBCV VVpTTCnQ

BCVBCB TTCnQVVp

Da cui si ottiene:

B

BCVBC

p

TTCnQVV

Sostituendo i valori noti e tenendo conto che la capacità termica a volume costante è, per un gas

biatomico, pari a:

R2

5C V

Si ha:

2

6

3

C

m

N1043,4

K8,8538,645.2KKmol

J314.8

2

5

kg

Kmol03452,0

kg

J000.800.1

kg

m05527,0V

kg

m1714,0V

3

C

Il lavoro che è fornito dal sistema durante l’espansione isobara vale:

ciclokg

J1015,5

kg

m05527,01714,0

m

N1043,4VVpL

53

2

6

BCB1

FASE N. 3 – ESPANSIONE ADIABATICA C-D

Per la fase di espansione adiabatica sono applicabili le leggi di Poisson:

1 tetancosVpVp2211

2 1

22

1

11VTVT

3

1

22

1

11pTpT

In particolare, dalla 2 , si ottiene la temperatura DT :

1

DD

1

CC VTVT

Tenendo conto che:

K8,645.2T C

kg

m1714,0V

3

C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


224

kg

m829,0VV

3

AD

K3,408.12067,08,645.2829,0

1714,0K8,645.2

V

VTT

4,0

14,11

D

C

CD

Dalla 1 si ottiene la pressione al termine dell’espansione adiabatica:

DDCC VpVp

bar88,4

m

N1088,4

829,0

1714,0

m

N1043,4

V

Vpp

2

5

4,1

2

6

D

C

CD

Il lavoro meccanico ceduto all’esterno durante l’espansione adiabatica può essere determinato

tenendo conto che, non essendoci scambi di calore, deve essere:

DCCDCD UUUL

CC TRn2

5U

DD TRn2

5U

K3,408.18,645.2KKmol

J314.8

kg

Kmol03452,0

2

5TTRn

2

5LL DC2CD

kg

J904.887LL 2CD

RENDIMENTO:

Il rendimento del ciclo si ottiene tenendo conto che il lavoro utile si calcola sommando i lavori

positivi ceduti all’esterno durante la trasformazione isobara e l’espansione adiabatica e sottraendo il

lavoro negativo fornito dall’ambiente durante la compressione adiabatica:

kg

J1098,91005,41088,81015,5LLLL

5555

321U

Tenendo conto che, per ottenere tale lavoro utile, è stata utilizzata una quantità d’energia pari a:

kg

J108,1Q

6

Il rendimento vale:

%44,55100

108,1

1098,9100

Q

L

6

5

U

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


225

ESERCIZIO N. 4

CICLO “JOULE” – TURBINA A GAS – N. 2 adiabatiche + N. 2 isobare.

In un ciclo “JOULE” o “BRAYTON” ad aria standard l’aria entra nel compressore ad una pressione

di 1 bar ed a una temperatura di 16°C e ne esce ad una pressione di 5 bar; la temperatura massima

raggiunta nel ciclo è di 870 °C.

Determinare i valori della pressione e della temperatura in corrispondenza dei vertici, il lavoro

richiesto dal compressore, quello sviluppato dalla turbina ed il rendimento del ciclo.

Figura 58 – CICLO “JOULE o BRAYTON” – TURBINA A GAS

Soluzione:

Dati del problema:

2

5

A

m

N10bar1p

K28927316T A

K143.1273870TT CMAX

2

5

B

m

N105bar5P

Kmole

kg97,28M

kg

Kmoli03452,0n

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


226



1 tetancosVpVp2211

2 1

22

1

11VTVT

3

1

22

1

11pTpT

In particolare, dalla 3 , tenendo conto della pressione iniziale e finale, si ottiene:

1

BB

1

AA pTpT

K7,457583,1K2892,0K2895

1K289

P

pTT

4,1

4,0

4,1

4,111

B

AAB

Con il valore della temperatura iniziale e finale, tenendo conto del fatto che l’aria standard è

assimilabile ad un gas biatomico, si possono determinare l’energia interna iniziale e finale e, di

conseguenza, dato che la trasformazione è adiabatica, la quantità di lavoro richiesto all’asse del

compressore:

ABABECOMPRESSOR1 UUULL

kg

J399.328K7,457

KKmol

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5TRn

2

5U BB

kg

J357.207K289

KKmol

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5TRn

2

5U AA

kg

J042.121357.207399.328L 1

FASE N. 2 – ESPANSIONE ISOBARA B-C – CAMERA DI COMBUSTIONE

Durante il passaggio in camera di combustione il gas assorbe calore e si espande mantenendo

costante la pressione – pari al valore Bp - e raggiungendo la temperatura massima K143.1T C .

E’ valida la legge per l’isobara:

BCBBCBCP1 VVpUTTCnQ

Si ricava quindi, date le temperature BT e CT nonché il valore della capacità termica molare per un

gas biatomico, il valore della quantità di calore fornito durante l’isobara:

kg

J382.688K7,457143.1

KKmol

J314.8

2

7

kg

Kmoli03452,0Q 1

E, di conseguenza anche il valore del lavoro fornito dal sistema durante l’isobara:

BCBCB2 UQVpL

kg

J399.328K7,457

KKmol

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5TRn

2

5U BB

kg

J100.820K143.1

KKmol

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5TRn

2

5U CC

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


227

kg

J701.491399.328100.820U BC

kg

J681.196701.491382.688UQVpL BCBCB2

FASE N. 3 – ESPANSIONE ADIABATICA C-D – FASE UTILE ALLA TURBINA

Per la fase d’espansione adiabatica – fase utile in turbina - sono applicabili le leggi di Poisson:

1 tetancosVpVp2211

2 1

22

1

11VTVT

3

1

22

1

11pTpT

In particolare, dalla 3 , tenendo conto che la pressione finale dell’espansione adiabatica

corrisponde alla pressione caratteristica del punto iniziale Ap (per il fatto che la trasformazione

finale D-A è da considerarsi isobara), si ottiene:

1

DD

1

CC pTpT

K37,722632,0K143.15K143.11

5K143.1

P

pTT

4,1

4,0

4,1

4,111

D

C

CD

Con il valore della temperatura iniziale e finale, tenendo conto del fatto che l’aria standard è

assimilabile ad un gas biatomico, si possono determinare l’energia interna iniziale e finale e, di

conseguenza, dato che la trasformazione è adiabatica, la quantità di lavoro fornito all’asse della

turbina:

DCCDTURBINA3 UUULL

kg

J100.820K143.1

KKmol

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5TRn

2

5U CC

kg

J299.518K37,722

KKmol

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5TRn

2

5U DD

kg

J801.301299.518100.820ULL CDTURBINA3

FASE N. 4 – COMPRESSIONE ISOBARA D-A

Durante la trasformazione isobara (in realtà la miscela di gas è espulso all’esterno ed altra miscela è

immessa nel compressore) il gas cede calore mentre viene fornito lavoro, mantenendo costante la

pressione – pari al valore AD pp - e raggiungendo la temperatura ambiente K289T A .

E’ valida la legge per l’isobara:

ADBDAADP2 VVpUTTCnQ

Si ricava quindi, date le temperature DT e AT nonché il valore della capacità termica molare per un

gas biatomico, il valore della quantità di calore fornito durante l’isobara:

kg

J319.435K28937,722

KKmol

J314.8

2

7

kg

Kmoli03452,0Q 2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


228

E, di conseguenza anche il valore del lavoro fornito al sistema durante l’isobara:

DADAD4 UQVpL

kg

J299.518K37,722

KKmol

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5TRn

2

5U DD

kg

J357.207K289

KKmol

J314.8

kg

Kmoli03452,0

2

5TRn

2

5U AA

kg

J942.310357.207299.518U DA

kg

J357.207942.310299.518UQVpL DADAD4

Riepilogando i risultati:

kg

J042.121L 1

Lavoro richiesto all’asse del compressore

kg

J382.688Q 1

Calore fornito nella camera di combustione

kg

J681.196L 2

Lavoro fornito durante l’espansione isobara

kg

J801.301L 3

Lavoro fornito durante l’espansione adiabatica

kg

J319.435Q 2

Calore ceduto allo scarico

kg

J357.207L 4

Lavoro assorbito

Da cui si ottiene:

kg

J083.170357.207042.121801.301681.196LLLLL 2132UTILE

%71,24100382.688

083.170

Q

L

1

U

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


229

INTRODUZIONE AL

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Dallo studio della cinematica e della dinamica provengono le informazioni che permettono di

stabilire relazioni fisiche tra grandezze tipiche della dinamica - quali la massa, la forza, il momento

d’inerzia e la coppia - e le grandezze tipiche della cinematica quali la posizione, la velocità,

l’accelerazione e l’accelerazione angolare.

LEGGI DELLA DINAMICA

Si ricordano, in particolare:

1. Legge d’inerzia o 1° Principio della dinamica

2. Legge del moto o 2° Principio della dinamica

3. Legge d’azione e reazione o 3° Principio della dinamica

4. Il teorema dell’impulso

5. Il teorema di conservazione della quantità di moto

6. Il teorema di conservazione del momento angolare.

LAVORO, POTENZA ED ENERGIA

La Meccanica ci permette poi di introdurre i concetti di lavoro, potenza ed energia definendo anche

quest’ultima come la capacità di un corpo a compiere lavoro in virtù della massa e della velocità di

cui è dotato (Energia cinetica) oltre che alla posizione che occupa nello spazio (Energia Potenziale).

La somma algebrica dell’energia cinetica e potenziale costituisce appunto la quantità di lavoro

meccanico che il corpo potrebbe complessivamente compiere, se messo in condizione di farlo, ed è

comunemente definita Energia Meccanica.

PCM EEE

hgmvm2

1E

2

M

LEGGE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

Di importanza fondamentale e punto d’inizio dello studio della termodinamica è poi la Legge di

Conservazione dell’Energia Meccanica che stabilisce l’invariabilità della quantità di energia

meccanica posseduta da un corpo sul quale agiscono solo forze conservative.

Essa stabilisce, infatti, che:

In un campo di forze conservative la somma dell’energia cinetica e dell’energia

potenziale (cioè l’energia meccanica) di un corpo in movimento, resta costante

nel tempo. Si intende campo di forze conservative una regione dello spazio in cui agiscono forze per le quali il

lavoro effettuato non dipende dal tipo di percorso o traiettoria del corpo cui sono applicate ma

unicamente dalla posizione iniziale e finale (ad esempio sono campi conservativi il campo

gravitazionale, elettrico e magnetico).

Non è conservativo il campo in cui si generano le forze d’attrito in quanto per tali forze il lavoro

dissipato dipende essenzialmente dal tipo di percorso.

La validità della Legge di Conservazione dell’Energia Meccanica è poi generalizzata anche per

campi di forze non conservative tenendo conto della trasformazione dell’energia meccanica in altre

forme quali, ad esempio, l’energia dovuta ai fenomeni di propagazione del calore, del suono e della

luce, l’energia elastica di deformazione ecc. ecc.

E’ questa estensione del concetto di Conservazione dell’energia a costituire la base della

Termodinamica.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


230

LEGGE DI CONSERVAZIONE ENERGIA MECCANICA - FORZE CONSERVATIVE

E’ possibile citare un solo caso che soddisfa integralmente le condizioni di applicabilità della Legge

di Conservazione, senza estensioni all’energia dispersa, e precisamente al moto di un corpo rigido

in una regione dello spazio nella quale è generato il vuoto assoluto.

Supponendo che il corpo, di massa m , sia fermo e posizionato ad un’altezza 0h ad un istante

iniziale 0t 0 , in un campo di forze gravitazionali da cui risulta un valore di accelerazione

2s

m81,9g (quindi il campo gravitazionale terrestre), si conclude immediatamente che il valore

dell’energia meccanica è pari alla quantità di lavoro esterno che è stato necessario applicare al

corpo per sollevarlo dalla quota nulla di riferimento sino alla quota 0h , perciò:

00tM hgmE

L’energia cinetica 0tCE è evidentemente nulla in quanto nulla la velocità iniziale.

Ad un istante 1t , successivo all’istante iniziale, dopo aver abbandonato il corpo all’attrazione

gravitazionale, il valore della velocità di caduta e la nuova posizione assunta, saranno calcolati:

1011 tgttgv

2

10

2

0101 tg2

1httg

2

1hh

Di conseguenza il valore dell’energia meccanica:

2

111ttM vm2

1hgmE

Sostituendo si ha:

2

1

2

101ttM tgm2

1tg

2

1hgmE

0

2

1

2

101ttM hgmtgm2

1tgm

2

1hgmE

Cioè:

KEE 0tM1ttM

O anche:

0EE 1ttM0tM

Si può quindi concludere che, essendo preso arbitrariamente il tempo per il calcolo dell’energia

meccanica, le relazioni considerate dovranno essere valide indipendentemente dai tempi che

intercorrono tra l’istante iniziale e l’istante precedente al contatto con la superficie di riferimento di

altezza nulla.

L’energia meccanica è quindi costante se il campo di forze è conservativo.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


231

LEGGE DI CONSERVAZIONE ENERGIA MECCANICA - FORZE NON CONSERVATIVE

La legge di conservazione può essere valida anche nel caso in cui il corpo sia soggetto ad una forza

o sistema di forze non conservative, quali, ad esempio, l’attrito dell’aria sulla superficie del corpo

stesso.

Tale forza, contraria alla forza motrice gravitazionale, è definita “Resistenza del mezzo” e risulta

direttamente proporzionale al quadrato della velocità assunta dal corpo nei vari istanti del moto.

Tenere conto della resistenza del mezzo equivale a studiare il fenomeno di caduta dei gravi come

risulta nella quasi totalità dei casi reali.

In questo caso si osserva che la quantità di energia meccanica è, ad ogni istante, inferiore al valore

caratteristico dell’istante iniziale.

Vale quindi la regola:

0EE 1ttM0tM

D1ttM0tM EEE

Ove con il termine DE si indica il valore d’energia dispersa per attrito.

La legge di conservazione in un campo di forze non conservativo, pur diversa nella formulazione,

ha quindi una validità più generale sia per il fatto di tenere conto dell’energia dispersa sia per la

ovvia conclusione che, in ogni caso, l’energia dissipata non può che essere misurata con le stesse

unità di misura utilizzate per misurare l’energia meccanica.

Considerando poi il fatto che, nella maggior parte dei casi, il decremento di energia meccanica

coincide con la comparsa di un’uguale quantità di energia termica (calore), si può concludere che il

calore e l’energia meccanica sono i classici “due volti per una stessa medaglia” cioè due grandezze

omogenee.

CONVERSIONE DELL’ENERGIA MECCANICA IN ENERGIA TERMICA

Dalla Legge di Conservazione dell’Energia Meccanica e dalla sua naturale estensione ai fenomeni

dissipativi dovuti alle forze non conservative appare abbastanza evidente il fatto che, l’aumento di

energia dispersa provoca una diminuzione di energia meccanica rispetto a quella iniziale.

Talvolta si osserva sperimentalmente che l’energia dispersa è pari all’energia meccanica posseduta

inizialmente dal corpo il che, in altre parole, significa che è possibile convertire integralmente in

calore o in altra forma d’energia utilizzabile tutta l’energia meccanica.

Purtroppo il nostro problema essenziale non è la conversione di energia meccanica in energia

termica ma piuttosto il contrario.

E’ pur vero che è anche possibile convertire energia termica in energia meccanica, ma, come si

vedrà più avanti, il Secondo Principio della Termodinamica, impone delle precise limitazioni.

Al contrario l’obiettivo della Termodinamica e, in special modo del 1° Principio, è proprio lo studio

delle svariate possibilità con le quali si ottiene energia meccanica convertendo l’energia termica

ampiamente disponibile.

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA

Anche il Teorema dell’Energia Cinetica applicato ai corpi solidi e la sua estensione alle masse

liquide e gassose nella forma conosciuta come “Legge di Bernoulli”, prevede l’intervento di forze

dissipative d’attrito la cui presenza comporta la diminuzione d’energia meccanica e la comparsa di

altre forme d’energia, tra le quali quella termica riveste il ruolo più rilevante.

E’ importante osservare che ad ogni decremento d’energia meccanica – per la legge di

conservazione – e ad ogni decremento d’energia cinetica – per il Teorema dell’energia cinetica –

compare un ugual incremento di energia, in special modo, energia termica.

Per adesso ci basta tenere presente che alcune forme d’energia, quali ad esempio, quella termica,

sono, per così dire, meno nobili che quella meccanica in quanto più difficilmente utilizzabili.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


232

PRINCIPIO D’EQUIVALENZA

Dopo aver stabilito che, nei processi o trasformazioni reali, non è possibile la completa

conservazione dell’energia meccanica e dopo aver rilevato sperimentalmente la comparsa di

quantità più o meno abbondanti d’energia in altre forme, specialmente calore, nel momento in cui

quella meccanica diminuisce, si è concluso che la Legge di Conservazione può essere ancora

ritenuta valida a patto di considerare e misurare la nuova forma d’energia – di qualsiasi tipo essa sia

– con il medesimo criterio che si utilizza per l’energia meccanica o il lavoro.

Ovviamente un tale ragionamento sarebbe altrettanto valido, a condizione di introdurre precise

limitazioni al concetto di conversione, se il punto di partenza fosse un’ipotetica e per niente virtuale

Legge di Conservazione dell’energia termica.

Dato che la maggior parte di trasformazioni reali coinvolgono soprattutto lavoro e calore, e

considerando il fatto che l’energia del primo tipo è solitamente misurata in Joule per il

coinvolgimento di grandezze tipiche della meccanica, mentre, quella di secondo tipo in Calorie - per

il coinvolgimento di grandezze tipiche della termologia come la temperatura -, occorre quindi

definire le modalità da utilizzare per uniformare le unità di misura secondo le nostre esigenze di

calcolo.

Le modalità cui si fa riferimento sono quelle indicate nel “Principio d’Equivalenza” dovuto ai

risultati della sperimentazione condotta da Joule tra il 1843 e il 1848.

Il Principio d’equivalenza, oltre a dare precise indicazioni circa il fattore di conversione tra lavoro

meccanico e calore, è, allo stesso tempo, una generalizzazione ai sistemi che seguono

trasformazioni cicliche del PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA.

In altre parole, si può dire che il Primo Principio della Termodinamica costituirà un caso particolare

di una legge generale quale il Principio d’Equivalenza, anche se quest’ultimo non pretende di

entrare nel dettaglio dell’analisi quantitativa.

Viceversa il Principio d’equivalenza costituisce il caso particolare, esteso alle sole trasformazioni

cicliche, dell’importante Primo Principio della Termodinamica.

L’ipotesi di partenza per l’analisi del Principio d’Equivalenza è la seguente considerazione:

Un sistema termodinamico ideale o un sistema materiale che esegue una trasformazione

ciclica tra uno stato iniziale e uno finale, caratterizzati da uguali parametri identificativi, non

può variare il proprio livello energetico immagazzinando o cedendo quote d’energia da o

verso l’esterno.

Il sistema termodinamico o il sistema materiale sono però in grado di scambiare con

l’esterno sia lavoro che calore.

Se il sistema termodinamico fosse assimilato ad un recipiente potremmo pensare all’altezza

di liquido contenuto come alla quantità d’energia iniziale.

Il ciclo potrebbe essere paragonato all’aggiunta d’acqua che innalza il livello e ad un

successivo svuotamento sino a riportarlo alla quota iniziale.

E’ evidente che, terminato il ciclo di riempimento e svuotamento, nessuno è in grado di dire,

dalla sola osservazione del livello finale, se si sono svolte trasformazioni intermedie e, ancor

meno, di descrivere le modalità di svolgimento delle stesse se eventualmente si sono

verificate.

Non esistono prove di ciò che è accaduto in quanto né il recipiente né il liquido contenuto

hanno subito modificazioni.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


233

L’enunciato del Principio d’Equivalenza è il seguente:

Se un sistema materiale o un sistema termodinamico eseguono una trasformazione ciclica

durante la quale il sistema scambia con l’esterno una quantità di lavoro L e una quantità di

calore Q (senza scambio di altre forme d’energia), esiste un rapporto costante tra i valori L

e Q.

Questo rapporto ha un valore universale indipendente dal particolare sistema e dal tipo di

trasformazione.

Il valore del rapporto dipende unicamente dalle unità di misura adottate per l’energia

meccanica e l’energia termica.

Occorre dunque pensare ad una trasformazione ciclica e, a questo scopo, si può ricorrere allo

schema riportato su un diagramma pressione-volume ove un sistema generico parte da uno stato

d’equilibrio 1, subisce una prima trasformazione qualsiasi che conduce allo stato 2 e una seconda

trasformazione qualsiasi che lo riporta esattamente allo stato 1:

Figura 59 – TRASFORMAZIONE CICLICA

Se si interpreta il diagramma secondo lo schema già adottato, relativamente alle equazioni di

bilancio energetico, e introducendo nuovamente il concetto di energia interna posseduta dal sistema,

che è comunque ininfluente, si avrà:

1212112121 ULQLQU

Da cui:

21122112 LLQQ

Oppure:

LQ

Con:

1U Energia posseduta dal sistema allo stato 1

12Q Calore scambiato con l’esterno durante la trasformazione qualsiasi 1-2

21Q Calore scambiato con l’esterno durante la trasformazione qualsiasi 2-1

12L Lavoro meccanico scambiato durante la trasformazione qualsiasi 1-2

21L Lavoro meccanico scambiato durante la trasformazione qualsiasi 2-1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


234

Se il sistema percorre un ciclo le quantità nette di calore e lavoro scambiate complessivamente con

l’esterno sono uguali.

Per cui, se si decide di misurare le quantità di lavoro utilizzando come unità di misura il Joule e le

quantità di calore le Calorie o Kcal, si dovranno ottenere, indipendentemente dal tipo o tipi di

trasformazione eseguiti, valori tali da mantenere costante il rapporto tra le quantità nette di lavoro e

calore, cioè:

JQ

L

QJL

J

1

L

Q

J

LQ

La costante J è definita “EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA” e consente di

misurare in modo omogeneo l’energia meccanica e l’energia termica.

Il valore di J è stato misurato sperimentalmente dallo stesso Joule utilizzando il dispositivo definito

“Mulinello di Joule”:

Kcal

J186.4J

Ciò significa che una quantità di lavoro meccanico pari a 4.186 J equivale ad una quantità di energia

termica o calore pari ad 1 Kcal oppure che una quantità di calore pari a Kcal186.4

1 equivale ad

una quantità d’energia meccanica pari a 1 Joule.

Volendo quindi determinare la quantità di Joule equivalenti ad una determinata quantità di Kcal o

viceversa, occorre:

KcalQKcal

J186.4JL

Viceversa:

Kcal

J186.4

JLKcalQ

Si ricorda che la Kcal è, per definizione, la quantità di calore necessaria ad incrementare di 1 K o

1°C la temperatura (da 14,5° a 15,5°) di una quantità d’acqua distillata pari ad 1 kg e che il Joule è

il lavoro effettuato da una forza pari ad 1 Newton per uno spostamento di 1 metro.

ESPERIENZA DI JOULE PER LA DETERMINAZIONE DI J – MULINELLO DI JOULE

Una determinata quantità d’acqua è collocata all’interno di un recipiente dotato di forte isolamento

termico verso l’ambiente esterno.

Il recipiente contiene un’apparecchiatura ad elica azionata dall’esterno da un sistema di carrucole e

rinvii collegate a due pesi di massa nota posizionate ad una certa altezza da terra.

La quantità d’acqua immessa nel recipiente è bastevole a sommergere completamente

l’apparecchiatura ad elica.

La temperatura iniziale dell’acqua è misurata da un termometro permanentemente inserito nel

recipiente.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


235

Abbandonando i pesi all’azione gravitazionale terrestre, si aziona il mulinello che ruotando fornisce

per attrito una certa quantità di lavoro meccanico all’acqua facendone in questo modo aumentare la

temperatura.

È possibile così determinare la quantità di calore ceduta per attrito all’acqua mentre, misurando

l’abbassamento dei pesi e le relative velocità di moto uniforme si determina il lavoro meccanico

ceduto.

Dal rapporto tra il lavoro ceduto e la quantità di calore acquistata si determina il valore di J.

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

ED ENERGIA INTERNA

PRINCIPIO DELLO STATO INIZIALE E DELLO STATO FINALE

Come detto precedentemente a proposito del Principio d’Equivalenza, per una trasformazione

ciclica di un qualsiasi sistema termodinamico e per un numero e natura qualsiasi di trasformazioni

che compongono il ciclo, le quantità di calore e lavoro scambiate sono uguali:

LQ Per trasformazioni cicliche

0LQ

Tenendo conto del fatto che ogni trasformazione, per essere rappresentata da una sola linea sul

diagramma pressione-volume, deve essere immaginata come una serie infinita di stati d’equilibrio

successivi (definizione di trasformazione quasi-statica reversibile), si conclude che le quantità di

calore e lavoro scambiate complessivamente con l’ambiente esterno non potranno che essere

costituite dalla sommatoria algebrica di tutte le quantità elementari di calore e lavoro coinvolte negli

infiniti passaggi da uno stato d’equilibrio a quello successivo.

La relazione fondamentale del Principio d’Equivalenza dovrà quindi assumere la forma:

Ni

1i

i

Ni

1i

i LQ N21N21 L.....LLQ.....QQ

In cui i termini iQ e iL rappresentano le quantità elementari di energia termica e meccanica

scambiate durante N stati d’equilibrio che, complessivamente, costituiscono il ciclo.

Il passaggio dalla simbologia della sommatoria a quella con uso degli integrali permette di

riscrivere la relazione nel modo seguente:

dLdQ

Si utilizza dunque il simbolo di integrale esteso ad una linea chiusa ove le funzioni da integrare

sono però da immaginare dipendenti dal tipo di linea e non dal valore dei punti estremi.

Tanto per fare un esempio del significato dell’affermazione, basti pensare che, per passare da uno

stato A ad uno stato B, caratterizzati dallo stesso valore di volume, esistono infinite possibili

trasformazioni tra cui, ad esempio, una trasformazione isocora diretta o la successione di un’isobara

e un’isoterma.

Entrambe conducono allo stesso risultato ma, le quantità di calore e lavoro coinvolte sono

completamente diverse.

Per la trasformazione isocora che, in modo diretto, permette il passaggio dallo stato A allo stato B,

risulta evidentemente nullo il lavoro meccanico scambiato in quanto il sistema non subisce

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


236

variazioni di volume, mentre, per le due trasformazioni – isobara e isoterma – si ha un trasferimento

di calore a pressione costante (isobara) e a temperatura costante (isoterma) e scambi di lavoro

meccanico sia durante la trasformazione isobara che quella isoterma.

Figura 60

Sebbene i risultati che si vogliono ricavare siano validi per qualsiasi sistema termodinamico, si

preferisce utilizzare un sistema contenente gas ideale per il quale gli stati d’equilibrio sono

completamente definiti dalla conoscenza dei valori assunti rispettivamente dalla pressione, dal

volume e dalla temperatura assoluta.

Volendo poi utilizzare il diagramma pressione-volume per la rappresentazione delle trasformazioni

subite dal sistema, si ricorda che la temperatura è espressa in funzione della pressione, del volume e

della quantità di moli per mezzo dell’equazione generale di stato.

Supponiamo quindi di individuare due dei possibili stati d’equilibrio del sistema definendo con

"A" il primo e "B" il secondo.

Essi saranno rappresentati sul diagramma pressione-volume da due punti distinti.

Il passaggio dallo stato "A" allo stato "B" può avvenire in modi diversi, reversibili o irreversibili,

ad esempio seguendo le due trasformazioni indicate con e sul diagramma sotto riportato.

Dato che si tratterà di studiare una trasformazione ciclica è necessario indicare, sullo stesso

diagramma, una terza trasformazione - detta di “ritorno” – in grado di riportare il sistema allo stato

"A" iniziale partendo dallo stato "B" .

Indichiamo con r la trasformazione di ritorno.

E’ ovvio, per quanto detto precedentemente, che le tre trasformazioni potranno avere un andamento

qualsiasi alle seguenti condizioni:

, , e r dovranno congiungere ognuna i due stati considerati

e saranno percorse da "A" verso "B"

r sarà percorsa da "B" verso "A"

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


237

Figura 61 – TRASFORMAZIONI CICLICHE

Indicando genericamente ed astraendo dai segni algebrici caratteristici, con:

QQ

B

A

Calore scambiato durante la trasformazione da “A” verso “B”

LL

B

A

Lavoro scambiato durante la trasformazione da “A” verso “B”

r

rA

rB

r QQ Calore scambiato durante la trasformazione r da “B” verso “A”

r

rA

rB

r LL Lavoro scambiato durante la trasformazione r da “B” verso “A”

E applicando quanto contenuto nel Principio di Equivalenza al ciclo chiuso r , si ottiene:

B

A

Q +

rA

rB

rQ =

B

A

L +

rA

rB

rL rr LLQQ

Cioè:

B

A

Q -

B

A

L =

rA

rB

rL -

rA

rB

rQ 1

rr QLLQ 1

D’altra parte, allo stesso modo di r , anche per il ciclo chiuso r deve valere il Principio

d’Equivalenza, perciò, indicando con:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


238

QQ

B

A

Calore scambiato durante la trasformazione da “A” verso “B”

LL

B

A

Lavoro scambiato durante la trasformazione da “A” verso “B”

r

rA

rB

r QQ Calore scambiato durante la trasformazione r da “B” verso “A”

r

rA

rB

r LL Lavoro scambiato durante la trasformazione r da “B” verso “A”

E applicando nuovamente il Principio d’Equivalenza al ciclo chiuso r :

B

A

Q +

rA

rB

rQ =

B

A

L +

rA

rB

rL rr LLQQ

Cioè:

B

A

Q -

B

A

L =

rA

rB

rL -

rA

rB

rQ 2

rr QLLQ

Da cui risulta, confrontando la 1 e la 2 :

B

A

Q -

B

A

L =

B

A

Q -

B

A

L 3

Rinunciando per semplicità alla simbologia integrale, si ottiene:

ABABABAB LQLQ 3

LQLQ

Per cui, considerando che le trasformazioni e prese in esame sono solo due delle infinite che

si possono scegliere e che la regola deve valere per tutte le trasformazioni possibili, si ottiene:

KLQLQ ABABABAB

Il risultato ottenuto costituisce la prima e importante base del PRIMO PRINCIPIO DELLA

TERMODINAMICA.

Quando un sistema termodinamico passa da uno stato "A" d’equilibrio ad uno stato "B"

d’equilibrio, la quantità LQ è indipendente dalla particolare trasformazione seguita,

ma dipende solo dai parametri caratteristici dei due stati.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


239

ENERGIA INTERNA

Come dimostrato prima, quando un sistema termodinamico passa da uno stato "A" ad uno stato

"B" , la quantità di calore Q e la quantità di lavoro L dipendono entrambi dal tipo di

trasformazione eseguita (funzione di linea), mentre, la loro differenza non dipende dal tipo di

trasformazione, ma solo dai parametri che caratterizzano lo stato iniziale e finale.

La differenza tra le quantità di calore e lavoro – entrambe da computare con le stesse unità di

misura in base al principio d’equivalenza – è quindi una costante il cui valore dipende solo dagli

estremi della trasformazione.

Se lo stato "A" è univocamente determinato dalla conoscenza di Ap , AV e se lo stato "B" da Bp ,

BV , allora si potrà tener conto della relazione seguente:

B;AfV,p;V,pfLQ BBAABA

Indicando con B;Af una funzione delle estremità della trasformazione (funzione di punto).

Oppure, considerando che con la Legge generale di stato la conoscenza della pressione e del volume

equivale a conoscere automaticamente la temperatura:

B;AfT;TfLQ BABA

D’altra parte anche la quantità AB

LQ

deve dipendere unicamente dallo stato iniziale e finale

della trasformazione r , quindi:

A;BfLQAB

Ma, dato che le due quantità BA

LQ

e AB

LQ

sono uguali per il Principio d’Equivalenza,

si ottiene:

ABBAABBA LLQQ

0LLQQ ABBAABBA

0LQLQ ABABBABA

Da cui:

0A;BfB;AfLQLQABBA

A1

Da cui si ottiene che il valore della funzione B;Af deve essere uguale e di segno opposto al

valore della funzione A;Bf :

A;BfB;Af

Si immagini ora di considerare un qualsiasi stato intermedio di una qualsiasi trasformazione da "A"

a "B" e di indicare con "O" tale punto caratteristico.

Potendo scegliere un punto qualsiasi su una qualsiasi trasformazione si decide posizionare lo stato

intermedio "O" sulla linea della trasformazione .

Nessun motivo reale giustifica una modifica del ragionamento che seguirà se si decide di scegliere

il punto "O" in un punto qualsiasi della trasformazione o di qualsiasi altra trasformazione il cui

effetto sia di congiungere gli estremi "A" e "B" .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


240

Allora, visto che la trasformazione da "A" a "B" è, nel complesso, ottenuta dal tratto di

trasformazione da "A" a "O" e dal tratto da "O" a "B" , la relazione di cui al punto A1 può

anche essere ottenuta da:

B;AfLQBA

BOOABA

LQLQLQ

O;AfLQOA

B;OfLQBO

B;OfO;AfLQLQBOOA

Ma, per quanto detto prima:

O;BfB;Of

Quindi:

O;BfO;AfLQLQBOOA

Figura 62 – STATO INTERMEDIO SULLA TRASFORMAZIONE

Considerando che il punto O intermedio è scelto in una posizione qualsiasi della trasformazione ed

è quindi ininfluente ai fini della trasformazione stessa, è possibile concludere che il risultato

LQ deve dipendere solo dai punti estremi presi in esame, cioè:

BfAfLQLQLQBABOOA

I valori delle funzioni Af e Bf sono definiti scambiando il segno algebrico nel modo seguente:

AfAU

BfBU

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


241

E la relazione finale costituisce il PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA:

AUBULQ

Per una trasformazione che collega due punti molto ravvicinati:

dUUULQ12

dULQ

Il valore che assume la funzione di punto U è definito “ENERGIA INTERNA” ed ha un valore

determinato per ogni coppia di valori dei parametri che individuano lo stato termodinamico del

sistema.

Il PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA può quindi essere riassunto:

In una qualsiasi trasformazione (reversibile o irreversibile) di un sistema

termodinamico, la quantità di calore scambiata con l’esterno dal sistema è uguale

alla somma della variazione d’energia interna del sistema col lavoro da esso

compiuto.

LdUQ PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

211221 LUUQ

Il PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA costituisce appunto l’estensione del Principio

di Conservazione dell’Energia Meccanica ai processi in cui sono coinvolti scambi di calore e lavoro

cosicché, ad esempio, il calore assorbito dal sistema può essere speso in parte per compiere lavoro

ed in parte essere immagazzinato sotto forma di energia interna.

L’energia interna posseduta dal sistema può essere poi utilizzata sia per riscaldare altri corpi sia per

effettuare lavoro sull’ambiente esterno.

Se un corpo solido ad una certa temperatura è posto a contatto con un altro corpo a temperatura

inferiore si osserva una cessione di calore, mentre il volume rimane costante.

La trasformazione è isocora senza scambi di lavoro e il corpo cede calore diminuendo appunto la

propria energia interna.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


242

ESPERIENZA DI JOULE PER DIMOSTRARE CHE L’ENERGIA INTERNA DIPENDE SOLO

DALLA TEMPERATURA

In particolare, per i gas ideali, Joule dimostrò che l’Energia Interna è una funzione della sola

temperatura (come dimostrato in seguito dalla Teoria Cinetica dei gas) .

TfU

L’apparecchiatura che utilizzò Joule per la dimostrazione è composta da un calorimetro ad acqua

con pareti perfettamente isolate termicamente in cui sono immersi due recipienti collegati tra loro

da un condotto munito di valvola.

Le pareti dei due recipienti e del condotto d’unione sono buoni conduttori termici.

Uno dei due recipienti contiene aria ad alta pressione, mentre nell’altro è praticato il vuoto, mentre

la valvola che li collega è chiusa.

Il calorimetro, i due recipienti, il condotto che li collega e l’aria a pressione contenuta sono allo

stesso livello termico.

I parametri di stato caratteristici dello stato d’equilibrio iniziale cui si trova l’aria in uno dei due

recipienti sono quindi:

1p Pressione iniziale aria

1V Volume iniziale aria

1T Temperatura iniziale aria, recipienti e calorimetro.

Figura 63 – APPARECCHIATURA DI JOULE

L’aria subisce una trasformazione allorché, aprendo velocemente la valvola, si permette una rapida

espansione nel recipiente adiacente.

La pressione e il volume variano in modo quasi istantaneo riducendosi la prima ed aumentando il

secondo mentre, la temperatura dell’aria, dei recipienti e dell’acqua contenuta nel calorimetro non

subisce alcuna variazione.

La trasformazione avviene quindi senza scambi di calore.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


243

D’altra parte anche il lavoro scambiato è nullo in quanto l’espansione non provoca variazioni di

volume né dei recipienti né del calorimetro, inoltre la pressione non ha alcun contrasto in quanto nel

secondo recipiente c’è il vuoto assoluto.

Si conclude che, essendo nullo il calore e il lavoro scambiato, per il Primo Principio della

Termodinamica si ha:

LUUQ12

0Q

0L

Da cui:

0UU12

12UU

E, di conseguenza, l’energia interna caratteristica dello stato iniziale e finale non si è modificata.

La trasformazione subita dall’aria è adiabatica e, nello stesso tempo, isoterma dato che la

temperatura dei sistemi coinvolti non è variata.

Il valore dell’energia interna non dipende quindi né dalla variazione di pressione né dalla variazione

del volume e quindi può essere solo funzione della temperatura.

Un’altra importante conclusione è che le trasformazioni isoterme dei gas perfetti avvengono senza

modificare il valore della funzione Energia Interna mentre le quantità di calore e lavoro scambiate

dal sistema con l’esterno, se misurate entrambe con la stessa unità di misura, si mantengono

costantemente uguali.

Infatti, per un’isoterma si ha:

12UU

0UUdU12

Da cui:

LdUQ

LQ

DIFFERENZA D’ENERGIA INTERNA PER TRASFORMAZIONI ISOCORE – USO DI vC

Considerate poi due isoterme a temperature differenti 1T e 2T i cui punti sono caratterizzati

rispettivamente dalle energie interne 1U e 2U , è indifferente, per quanto riguarda la differenza

12 UU , la posizione dei punti sulle rispettive iperboli.

In particolare i punti possono essere scelti sulla linea verticale che interseca le due isoterme e che

rappresenta, come già detto, una trasformazione isocora.

In questo caso, considerando che la trasformazione isocora non permette scambi di lavoro

d’espansione con l’esterno, il lavoro è nullo ed il Primo Principio della Termodinamica assume la

forma:

0L

dULdUQ

QUUdU 12

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


244

Ove, la quantità di calore scambiata durante una trasformazione a volume costante può essere

espressa utilizzando la definizione di capacità termica a volume costante VC :

TCnTTCnQ V12V

Quindi la differenza d’energia interna è anche esprimibile con:

TCndU V

D’altra parte, ricordando la legge di Gay-Lussac relativa alle trasformazioni isocore, l’equazione di

stato e considerando costante il volume:

2

1

12 T

T

pp Legge di Gay-Lussac

Rn

Vp

Rn

VpT

12222

Rn

Vp

Rn

VpT

11111

12

112 pp

Rn

VTTT

Risulta che il calore scambiato e la variazione d’energia interna possono essere anche calcolati:

12

1V12

1V pp

R

VCpp

Rn

VCnQdU

Con:

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

1C

R

V

1

RC V

12

112

1Vpp

1

Vpp

R

VCdU

DIFFERENZA D’ENERGIA INTERNA - TRASFORMAZIONI QUALSIASI – USO DI vC E pC

Se la trasformazione avviene tra due punti qualsiasi appartenenti rispettivamente all’isoterma 1T e

all’isoterma 2T potremo applicare il Primo Principio utilizzando il risultato precedente visto che,

comunque, la differenza d’energia interna non cambia, perciò:

LdUQ

TCndU V

LTCnQ V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


245

Poi, tenendo conto che il lavoro d’espansione L è sempre esprimibile come prodotto della

pressione per la variazione di volume ed è rappresentato dall’area della superficie sottostante la

linea della trasformazione compresa tra i valori del volume iniziale e finale:

VpL

Si ottiene, alla fine:

VpTCnLTCnQ VV

Il calore scambiato per effetto di una trasformazione qualsiasi è pari alla somma del calore

occorrente per una trasformazione isocora tra le temperature caratteristiche delle due isoterme

considerate e del lavoro d’espansione che, invece, dipende dal tipo di trasformazione.

Solitamente, salvo il caso di trasformazione isobara, la pressione è variabile in funzione del volume

e può essere espressa genericamente da:

Vpp

Per cui:

VVpTCnVpTCnQ VV

E il prodotto VVp deve essere calcolato con le regole d’integrazione anche di tipo numerico:

i1i

Ni

1i

ii

V

V

VVVpdVVpVVp

2

1

TRASFORMAZIONI ISOBARE – RELAZIONE DI MAYER TRA CAPACITA’ TERMICHE

Per trasformazioni a pressione costante il prodotto VVp è facilmente determinato da:

1121121 VpVpVVpVVp

Utilizzando l’equazione generale di stato per i gas perfetti e tenendo conto che la pressione è

costante:

12 pp

Si ottiene:

11221121121 VpVpVpVpVVpVVp

TRnTRnTRnVpVpVVp 121122

E quindi il Primo Principio assume la forma:

RCTnTRnTCnVVpTCnQ VVV

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


246

D’altra parte, se la trasformazione è isobara, il calore scambiato dipende dalla capacità termica

molare a pressione costante pC :

TCnQ pp

Sostituendo si ottiene nuovamente l’importante relazione Mayer tra le capacità termiche a pressione

e volume costante:

RCTnTCnQ Vpp

Da cui:

RCCVp RELAZIONE DI MAYER

RCCVp

Le capacità termiche molari possono essere anche espresse:

Per quanto riguarda VC :

1

RC

V

Kmole

J Si veda quanto esposto precedentemente

Per quanto riguarda PC :

RCC Vp

pP

V

P

P

C

R

C

C

C

C

PC

R11

11

C

R

P

1

C

R

P

1R

C P

1RC

P

Kmole

J

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


247

CONVENZIONI DI SEGNO PER IL CALORE, IL LAVORO E L’ENERGIA INTERNA

Per quanto riguarda i segni algebrici da assegnare rispettivamente al calore e al lavoro scambiati

durante una trasformazione qualsiasi di un sistema termodinamico contenente gas, e all’energia

interna immagazzinata o ceduta dallo stesso gas, si potrà far riferimento al seguente schema:

C A L O R E L A V O R O

L A V O R OC A L O R E



T E R M O D IN A M IC O

S IS T E M A

C E D U T O = N E G A T IV O

A S S O R B IT O = P O S IT IV O

A S S O R B IT O = P O S IT IV O A S S O R B IT O = N E G A T IV O

C E D U T O = P O S IT IV OC E D U T O = N E G A T IV O

A S S O R B IT O = N E G A T IV O

C E D U T O = P O S IT IV O

S IS T E M A



S IS T E M A

S IS T E M A


C A L O R E L A V O R O d U 0

L A V O R OC A L O R E d U 0

C A L O R E L A V O R O 0d U= =


= L A V O R OC A L O R E


0d U

=d U 0

0d U

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


248

ESERCIZI – PRIMO PRINCIPIO TERMODINAMICA

ESERCIZIO N.1

Un pistone scorre a perfetta tenuta in un cilindro verticale contenente un gas perfetto.

Il cilindro e lo stantuffo hanno una sezione trasversale 2cm250S .

Il pistone ha una massa kg50m e si trova inizialmente in equilibrio per l’azione combinata del

peso proprio, della pressione atmosferica e della pressione del gas all’interno del cilindro.

Se si appende una massa M al pistone e si attende che la temperatura del sistema riacquisti il valore

iniziale assorbendo calore da una sorgente termica disponibile e a contatto con le pareti conduttrici

del cilindro, si ottiene un abbassamento del pistone stesso di cm20h .

Determinare il valore della massa M incognita con l’ipotesi che il sistema occupi inizialmente un

volume iniziale 3

A dm15V .

Soluzione:

S O R G E N T E T E R M IC AS O R G E N T E T E R M IC A

S = 2 5 0 c m q

S = 2 5 0 c m q

m = 5 0 k g

M

h = 2 0 c m

Dalla condizione d’equilibrio iniziale e assumendo la pressione atmosferica pari a

2atm

m

N300.101p , si può determinare la pressione interna del gas nel cilindro:

SpgmSp atmA

S

gmp

S

gmSpp atm

atmA

atm806,0

m

N680.81

m025,0

s

m81,9kg50

m

N300.101p

22

2

2A

L’applicazione di una massa M sul pistone provoca l’improvviso abbassamento dello stesso e un

conseguente movimento oscillatorio smorzato sino al raggiungimento di una nuova configurazione

d’equilibrio corrispondente all’abbassamento cm20h , ad un aumento del volume occupato

dal gas e ad una variazione della pressione interna sino al valore Bp .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


249

La nuova configurazione d’equilibrio – da ritenersi ottenuta dopo un certo numero di oscillazioni

smorzate – prevede la seguente situazione:

SpgMmSp atmB

S

gMmpp atmB

La trasformazione subita dal gas nel passare dalla posizione d’equilibrio iniziale al nuovo equilibrio

finale è chiaramente di tipo irreversibile in quanto non è certamente “quasi-statica” ma, pur non

potendo definire in modo determinato le quantità di calore e lavoro scambiate, è certamente

possibile affermare che i parametri di stato iniziali e finali sono gli stessi che si avrebbero nel caso

di una trasformazione isotermica reversibile.

Cioè, in altri termini:

La configurazione d’equilibrio finale, ottenuta mediante l’applicazione improvvisa di tutta la

massa aggiuntiva M , è la stessa che si avrebbe nel caso di aggiunte discrete di piccole

masse sino al raggiungimento della massa complessiva.

D’altra parte, considerando che, alla fine, la temperatura del sistema rimane inalterata, risulta

possibile applicare la legge di Boyle-Mariotte:

BBAA VpVp

E ricavare la pressione finale:

B

AAB

V

Vpp

Con:

hSVV AB

hSV

Vpp

A

AAB

Confrontando le due equazioni della pressione finale, si ottiene:

hSV

Vpp

A

AAB

S

gMmpp atmB

S

gMmp

hSV

Vp atm

A

AA

hSV

VPp

S

gMm

A

AAatm

hSV

VSpSpgMm

A

AAatm

gmhSV

VSpSpgM

A

AAatm

mhSV

V

g

Sp

g

SpM

A

AAatm

kg5250

2,0102501015

1015

81,9

1025081680

81,9

10250300.101M

43

344

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


250

ESERCIZIO N. 2

Un corpo di massa kg5,10M , partendo dalla quiete, scende strisciando lungo un piano

inclinato, che forma un angolo 15 con l’orizzontale.

Dopo aver percorso una distanza m5,1L la sua velocità è

s

m9,0v .

Supponendo trascurabile la resistenza dell’aria, si calcoli il calore sviluppato per attrito.

Soluzione:

E’ valida la legge di conservazione dell’energia meccanica estesa ai fenomeni dissipativi per

intervento di forze non conservative.

In questo caso si suppone che l’energia dispersa sia quella termica dovuta all’attrito radente tra le

superfici a contatto e al movimento del corpo.

Supponendo che il corpo sia posto ad un’altezza h dalla superficie di riferimento e che, all’istante

iniziale la sua velocità sia nulla, l’energia meccanica posseduta – pari al lavoro che è stato

necessario per sollevarlo in quota – si calcola con:

hgmE1M

Dopo aver percorso la distanza m5,1L sul piano inclinato, il corpo si troverà ad un’altezza pari

alla differenza tra l’altezza iniziale e il dislivello h :

388,0hhhh 112

Con:

m388,015senm5,1senLh

Considerando che in tale punto la velocità è

s

m9,0v 2 , si calcola l’energia meccanica

posseduta:

2

21

2

222C2P2M vm2

1hhgmvm

2

1hgmEEE

In virtù della Legge di Conservazione dell’energia meccanica:

D2M1M EEE

2

2112M1MD vm2

1hhgmhgmEEE

2

2D vm2

1hgmE

mN71,35

s

m9,0kg5,105,0m388,0

s

m81,9kg5,10E

2

22

2D

L’energia termica dispersa per attrito è quindi un tipo d’energia degradata rispetto all’originale

energia meccanica in quanto contribuisce al riscaldamento del corpo in movimento, al

riscaldamento del piano d’appoggio e al riscaldamento dell’aria circostante.

Volendo calcolare il calore totale generato dall’attrito si deve tenere conto del coefficiente

d’equivalenza J :

cal53,8

cal

J186,4

J71,35

cal

J186,4

JEQ

D

Si perviene allo stesso risultato partendo dal presupposto che tutto il lavoro meccanico resistente

delle forze d’attrito sia disperso sottoforma d’energia termica.

Il lavoro resistente eseguito dalle forze d’attrito si può calcolare con il teorema dell’energia cinetica:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


251

CEL

AP LLL

ACPCC EEE

PL Lavoro positivo della componente della forza peso

AL Lavoro negativo delle forze d’attrito

PCE Energia cinetica dovuta alla sola componente della forza peso in assenza attrito.

Calcoliamo dunque l’energia cinetica che dovrebbe avere il corpo, dopo aver percorso lo spazio sul

piano inclinato, con l’ipotesi di assenza delle forze d’attrito.

2

FPC vm2

1E

tav F

2

P

s

m54,2seng

m

Fa

N66,2615sen

s

m81,9kg5,10sengmF

2P

2ta

2

1S

a

S2t

seng

S2sengv F

Ssengmseng

S2sengm

2

1vm

2

1E

222

FPC

mN17,40m5,126,0

s

m81,9kg5,10E

2PC

Calcoliamo ora l’energia cinetica che il corpo possiede realmente, cioè con presenza delle forze

d’attrito:

mN25,4

s

m9,0kg5,10

2

1vm

2

1E

2

222

FREALEC

La differenza tra l’energia cinetica che avrebbe posseduto il corpo in assenza delle forze d’attrito e

l’energia cinetica reale, corrisponde dunque all’energia dissipata e trasformata in energia termica:

J92,3525,417,40EEE RCPCD

E’ anche possibile determinare il valore della forza d’attrito e il coefficiente d’attrito dinamico:

SFE AD

N95,23

m5,1

mN92,35

S

EF

DA

AdNPA KcosgmKFF

24,0

966,0

s

m81,9kg5,10

N950,23

cosgm

FK

2

AAd

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


252

ESERCIZIO N. 3

Un cilindro orizzontale, isolato termicamente dall’ambiente esterno, contiene del gas fortemente

compresso e chiuso da un pistone mantenuto bloccato da un fermo removibile applicato al cilindro

stesso.

Con l’ipotesi di conoscere i parametri caratteristici sia del gas contenuto nel cilindro sia del pistone

a tenuta stagna, si determini la temperatura del gas, quando, eliminato il blocco del pistone, esso

raggiunge la velocità fv .

Pa1020p5

i Pressione iniziale

3

i dm10V Volume iniziale

gr20m gas Quantità di gas espressa in grammi

gr1000M .Pist Massa del pistone espressa in grammi

mole

gr1P .molec Peso molecolare gas

s

m30v .f

Soluzione:

m = 1 k g

v = 3 0 m /s

v = 0 m /s

m = 1 k gV = 1 0 d m c

p = 2 b a r

Con l’equazione generale di stato determiniamo la temperatura iniziale del sistema termodinamico:

Rm

PVp

RP

m

Vp

Rn

VpT

gas

.molecii

.molec

gas

iiiii

Lo sblocco del pistone provoca la brusca espansione del gas con calo della pressione, veloce

aumento di volume e abbassamento della temperatura.

Tali considerazioni sono derivate dal fatto che il cilindro è isolato termicamente e il sistema non

può quindi scambiare calore con l’ambiente esterno.

La trasformazione del gas sarà quindi adiabatica e dovrà essere quindi valido il Primo Principio

della Termodinamica espresso nel modo seguente:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


253

LdUQ

0Q

0LdU

LUU if

LUU fi

D’altra parte, il pistone, spinto dall’espansione del gas, si muoverà di moto accelerato non uniforme

sino a raggiungere la velocità fv alla quale corrisponde un valore d’energia cinetica pari a:

2

ffC vM2

1E

Dal teorema dell’energia cinetica, considerando nulla la velocità iniziale, si ricava immediatamente

la quantità di lavoro applicata dal gas al pistone:

2

fiCfC vM2

1EEL

Quindi la differenza d’energia interna:

2

ffi vM2

1UU

La differenza d’energia interna tra lo stato iniziale e finale della trasformazione si può anche

esprimere utilizzando l’equazione del Primo Principio applicata ad una trasformazione isocora

senza scambio di lavoro:

ififVif TTR

2

3nTTCnQUU

Per cui, sostituendo, si ha:

if

2

f TTR2

3nvM

2

1

if

2

f TTRn3vM

Rm3

vMPTT

gas

2

f.molec

if

Rm3

vMPTT

gas

2

f.molec

if

Ricordando l’espressione della temperatura iniziale:

3

vMVp

Rn

1

Rm3

vMP

Rm

PVpT

2

fii

gas

2

f.molec

gas

.moleciif

3

s

m30kg1

m10

m

N1020

Kmole

mN314,8

mole

gr1

gr20

1T

2

22

32

2

5

f

mN300mN1020

Kmole

mN314,8mole20

1T

3

f

K0,118mN700.19mN

K106mN700.19

K

mN28,166

1T

3

f

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


254

K28,120314,820

1101020

Rm

PVp

RP

m

Vp

Rn

VpT

25

gas

.molecii

.molec

gas

iiiii

E i parametri di stato finali:

iii TRnVp

fff TRnVp

ffii VpVp

Da cui si ottiene: 1

ff

1

ii VTVT

34.0

1

31

1

f

ii

1

f

iif dm5,10

00,118

28,120dm10

T

TV

T

TVV

Pa1068,18V

TRnp

5

f

ff

ESERCIZIO N. 4

Un cilindro, al cui interno può scorrere senza attrito un pistone, è posto in comunicazione,

attraverso un condotto chiuso da una valvola ad apertura automatica, con un serbatoio in pressione.

Lo spazio libero del cilindro, avente una lunghezza cm20L , contiene del gas ad una pressione

bar1p 1 , mentre, nel serbatoio è contenuto gas ad una pressione bar4p 2 .

Sapendo che la valvola si apre automaticamente, quando la pressione del gas nel cilindro è uguale

alla pressione del gas nel serbatoio, determinare lo spostamento minimo del pistone necessario

all’apertura della valvola nei seguenti casi specifici:

1. Il pistone è mosso molto lentamente verso il fondo del cilindro

2. Il pistone è mosso in modo molto veloce verso il fondo del cilindro

Soluzione:

F

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


255

Nel primo caso è possibile far riferimento ad una trasformazione isotermica con variazione

continua della pressione e del volume mentre la temperatura si mantiene inalterata per

assorbimento o cessione di calore dall’ambiente esterno.

Durante la trasformazione isoterma deve essere valida la legge di Boyle-Mariotte ed è quindi

possibile determinare lo spostamento minimo del pistone sapendo che, alla fine della

trasformazione, la pressione nel cilindro dovrà uguagliare quella del gas nel serbatoio:

2211 VpVp

2

112

p

pVV

Con:

LSV1

xLSV 2

x Spostamento minimo del pistone

L Lunghezza iniziale cilindro

S Superficie pistone e cilindro

Si ricava quindi il valore dello spostamento incognito:

2

1

p

pLSxLS

2

1

p

pLxL

cm15

bar4

bar11cm20

p

p1Lx

2

1

Nel secondo caso è possibile far riferimento ad una trasformazione adiabatica con variazione

della pressione, del volume e della temperatura.

La trasformazione adiabatica segue la legge di Poisson:

2211 VpVp

1

2

11

2

112

p

pV

p

pVV

1

2

1

p

pLSxLS

1

2

1

p

pLxL

1

2

1

p

p1Lx

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


256

Supponendo di utilizzare aria standard il coefficiente 4,1 :

cm57,124

1120x

4,1

1

ESERCIZIO N. 5

Un cilindro contenente una quantità di idrogeno pari a g1m H è collegato mediante supporti

rigidi ad un sistema di sollevamento a fune e carrucole.

L’espansione del gas provoca il movimento del pistone e il conseguente azionamento del sistema di

sollevamento.

Il sistema di sollevamento è collegato ad un corpo di massa kg7,115M , posizionato su di un

piano inclinato con angolo di 30° rispetto all’orizzontale ove può scorrere senza attriti.

L’espansione del gas avviene secondo un’isoterma reversibile e trascina il corpo per un tratto di

lunghezza m2L misurato lungo il piano inclinato sollevandolo quindi ad un dislivello h .

Lo stato d’equilibrio finale è determinato dai parametri seguenti:

bar013,1p f

dm2,11V f

Si vuole determinare:

1. Le condizioni iniziali del gas

2. La quantità di calore assorbita dal gas durante l’espansione.

3. La quantità di calore che sarebbe necessario fornire al gas, a volume costante, per riportarlo

alla pressione iniziale.

Soluzione:

S O R G E N T E T E R M IC A

1. Si determina subito la quantità di calore assorbita dal gas durante la trasformazione

isotermica.

Considerando che l’energia interna rimane costante, l’espressione del Primo Principio è

semplificata:

LdUQ

0dU

LQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


257

L’energia termica assorbita è uguale al lavoro complessivamente svolto.

Il lavoro che deve essere applicato al corpo, dal pistone spinto dal gas in espansione, è pari

all’incremento d’energia potenziale tra la fase iniziale e finale del sollevamento.

Tale lavoro si calcola quindi:

1P2P EEL

E, supponendo nulla l’energia potenziale all’inizio del sollevamento:

J135.1EL 2P

mN135.130senm2

s

m81,9kg7,115senLgmhgmE

22P

Il calore assorbito deve quindi essere:

Kcal27,0

Kcal

J186.4

J135.1J135.1Q

2. La temperatura finale del gas è pari alla temperatura iniziale in quanto la trasformazione è

isotermica. Per determinare la temperatura si utilizza l’equazione di stato:

Rn

VpTT

ffif

Con:

moli5,0

mole

g016,2

g1

P

mn

M

H

C0K93,272

Kmoli

mN314,8moli5,0

m102,11

m

N10013,1

TT

33

2

5

if

Per la determinazione del volume iniziale o della pressione iniziale si utilizza ancora il

Primo Principio partendo dalla considerazione che le quantità di calore e lavoro scambiate

sono uguali e dal fatto che il lavoro scambiato durante una trasformazione isoterma è

calcolato con:

i

f

i

f

p

plogTRn

V

VlogTRnQL

D’altra parte il lavoro scambiato è già stato calcolato in termini di differenza d’energia

potenziale, quindi:

mN135.1p

plogTRn

V

VlogTRnL

i

f

i

f

Si ottiene quindi:

mN135.1V

VlogTRn

i

f

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


258

00038,1

K93,272Kmole

mN314,8moli5,0

mN135.1

V

Vlog

i

f

00038,1VlogVlog if

00038,1VlogVlog fi

412,100038,12,11logVlog i

3412,1

i dm10,4eV

Per la pressione iniziale si può ora utilizzare l’equazione di stato:

23

i

i

m

N724.276

101,4

K93,272Kmoli

mN314,8moli5,0

V

TRnp

Al termine della trasformazione il pistone del sistema termodinamico e il corpo collegato al

sistema devono aver raggiunto una configurazione d’equilibrio stabile in cui il sistema di

forze applicato ha risultante nulla.

La configurazione d’equilibrio stabile è espressa dalla seguente relazione:

sengmSpSp atmf

30sengmppS if

2

5if

m44,0

10013,0

5,081,97,115

pp

30sengmS

3. La quantità di calore che sarebbe necessario fornire al gas per riportarlo, a volume costante,

alla pressione iniziale si calcola utilizzando l’equazione del Primo Principio e la Legge di

Gay-Lussac per una trasformazione isocora:

LdUQ

0L

TCndUQ V

f

2

f

2

T

T

P

P

K50,745

bar013,1

bar767,2K93,272

p

pTT

f

2f2

Una volta calcolata la temperatura finale dell’isocora si determina il calore assorbito:

TCnQ V

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

VC

R1

1C

R

V

1

1

R

C V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


259

1

RC V

mN911.493,2725,74514,1

Kmoli

mN314,8

moli5,0T1

RnQ

Kcal17,1

Kcal

J186.4

J911.4Q

ESERCIZIO N. 6

La figura seguente illustra due processi reversibili a cui viene sottoposta la stessa quantità di gas

perfetto.

Le curve AT e BT sono isoterme, le trasformazioni 32 e 65 sono isobare, mentre le 13

e 46 sono isocore.

Dimostrare che i lavori e le quantità di calore messe in gioco nei due processi 1321 e

4654 sono uguali.

Soluzione:

V

p

1

2

3 4

5

5

Per quanto riguarda il primo ciclo chiuso 1321 la quantità di lavoro è data dalla

differenza tra il lavoro positivo relativo all’espansione isotermica 21 e il lavoro negativo

relativo alla trasformazione isobara 32 .

Il lavoro relativo alla trasformazione 13 è nullo in quanto isocora.

Quindi:

32211321 LLL

Con:

1

2A21

V

VlogTRnL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


260

BABA332232232 TTRnTRnTRnVpVpVVpL

BA

1

2A1321 TT

V

VlogTRnL

Allo stesso modo la quantità di lavoro per il ciclo chiuso 4654 è data da:

BA

4

5A4654 TT

V

VlogTRnL

Sottraendo le quantità di lavoro relative ai due cicli si ottiene:

LLL 46541321

BA

4

5ABA

1

2A TT

V

VlogTRnTT

V

VlogTRn

4

5

1

2A

V

Vlog

V

VlogTRn

6

5

3

2A

V

Vlog

V

VlogTRn

Con:

2

B

3

B3

p

TRn

p

TRnV

5

B

6

B6

p

TRn

p

TRnV

Per cui:

5

B

5

2

B

2A

p

TRn

Vlog

p

TRn

VlogTRn

0T

Tlog

T

TlogTRn

p

TRn

5p

TRn

log

p

TRn

p

TRn

logTRn

B

A

B

AA

5

B

A

2

B

2

A

A

Si è quindi dimostrato che il lavoro scambiato nei due cicli è identico in quanto la loro differenza è

nulla.

Per quanto riguarda il calore e tornando sul ciclo chiuso 1321 , si deduce:

1332211321 QQQQ

Con:

1

2A21

V

VlogTRnQ

BAP32 TTCnQ

BAP32 TTCnQ

BAVBAP

1

2A1321 TTCnTTCn

V

VlogTRnQ

VPBA

1

2A1321 CCTTn

V

VlogTRnQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


261

RTTnV

VlogTRnQ BA

1

2A1321

BA

1

2A1321 TT

V

VlogTRnQ

Allo stesso modo per il ciclo chiuso 4654 :

BA

4

5A4654 TT

V

VlogTRnQ

Facendo la differenza tra le due quantità di calore ed utilizzando quanto ottenuto precedentemente si

ottiene ancora un risultato nullo a dimostrazione che anche le quantità di calore scambiate sono

identiche per i due cicli:

1321Q 4654Q

BA

1

2A TT

V

VlogTRn 0TT

V

VlogTRn BA

4

5A

Con:

B

A

4

5

1

2

T

Tlog

V

Vlog

V

Vlog

ESERCIZIO N. 7

Un pneumatico d’automobile è gonfiato ad un valore di pressione differenziale (relativamente alla

pressione atmosferica) atm8,1p i .

Dopo un certo tempo di guida la pressione differenziale sale ad un valore atm2p f .

Nell’ipotesi che l’aria si comporti come un gas perfetto e che il volume interno del pneumatico

rimanga invariato al valore 3dm50V , si vuole determinare la variazione d’energia interna

dell’aria del pneumatico corrispondente alla variazione di pressione riscontrata.

Soluzione:

La trasformazione del gas all’interno del pneumatico è chiaramente isocora.

Il Primo Principio è applicato tenendo conto che il lavoro d’espansione è nullo, perciò:

LdUQ

0L

if UUdUQ

D’altra parte, per una trasformazione isocora:

ifV TTCnQ

1

T

TTCnQ

i

fiV

Utilizzando l’equazione di stato o la legge di Gay-Lussac si ottiene:

Rn

VpT

fff

Rn

VpT

iii

i

f

i

f

p

p

T

T

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


262

Per cui:

1

p

pTCnQ

i

fiV

Utilizzando ancora l’equazione di stato:

iii TRnVp

R

VpTn

iii

1

p

p

R

CVpQ

i

fVii

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

1C

R

V

1

RC V

U1

p

p

1

VpQ

i

fii

J500.21

18.1

12

4,0

m05,0

m

N1018,1

U

3

2

5

ESERCIZIO N. 8

Un sistema termodinamico costituito da cilindro e pistone contiene aria. Il pistone ha una superficie

2dm1S ed è contrastato sulla faccia esterna da una molla vincolata in modo fisso all’estremità

opposta a quella applicata al pistone.

La costante elastica della molla è

m

N10k

4

e .

Nelle condizioni iniziali l’aria occupa nel cilindro un volume 3

i dm4V , alla pressione

bar1p ì e alla temperatura C27t i . La pressione atmosferica sulla faccia superiore del

pistone, ove è applicata un’estremità della molla, ha un valore bar1p atm e la molla è in

posizione neutra.

Supponendo che si verifichi una trasformazione reversibile, determinare la quantità di calore Q

necessaria a provocare un’espansione del gas e un conseguente innalzamento del pistone per un

valore cm10h .

Da notare che la trasformazione sarà un’espansione accompagnata da un aumento di volume quindi

non può trattarsi di una trasformazione semplice.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


263

Soluzione:

S O R G E N T E T E R M IC A

Il gas contenuto nel cilindro dovrà necessariamente espandersi, mentre, allo stesso tempo, si

incrementa la pressione per compensare l’effetto di compressione provocato dalla forza elastica,

variabile con lo spostamento, della molla esterna.

Allo stato iniziale la molla è in posizione di riposo quindi il pistone deve essere in equilibrio per

effetto della pressione interna del gas e della pressione atmosferica esterna.

Si ritiene il pistone privo di peso.

Considerando che la trasformazione è reversibile – ottenuta cioè mediante una successione

infinitamente lunga di stati d’equilibrio successivi – si deduce che, per ognuno di essi, deve

comunque essere soddisfatto il Primo Principio della Dinamica o Legge d’Inerzia, nel senso che

deve essere nulla la risultate delle forze esterne ed interne applicate al pistone.

La pressione del gas all’interno del cilindro al termine della trasformazione e, con la molla al

massimo della compressione, si calcola dunque:

hkSpSp elatmf

bar2

m

N102

m10

m10m

N10

m

N10

S

hkpp

2

5

22

14

2

5maxelatmf

Dall’equazione di stato e dalla conoscenza della pressione iniziale e finale e del volume iniziale e

finale, è possibile determinare l’incremento di temperatura del gas:

fff TRnVp

iii TRnVp

ii

ff

ì

f

Vp

Vp

T

T

K750

m104bar1

m105bar2K27273

Vp

VpTT

33

33

ii

ffif

33123

maxif m10510101104hSVV

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


264

Utilizzando poi il Primo Principio della termodinamica:

LdUQ

Con:

ifVif TT

1

RnTCnUUdU

moli16,0

K300Kmole

mN314,8

m104

m

N10

TR

Vpn

33

2

5

i

ii

J1496K30075014,1

Kmoli

mN314,8

moli16,0dU

Mentre il lavoro eseguito è pari all’area della superficie sottostante alla linea della trasformazione

reversibile compresa tra il valore del volume iniziale e finale.

La variazione di pressione è lineare, quindi l’area è quella di un trapezio:

J150m10m102

m

N)10210(

V2

ppL

1222

55

fi

La quantità di calore necessaria per la trasformazione è quindi:

Kcal393,0J646.1150496.1Q

ESERCIZIO N. 9

Un sistema gassoso chiuso compie una trasformazione quasi statica e reversibile, durante la quale è

ceduta all’esterno una quantità di calore Q pari a 25 kJ, mentre il volume passa da 3

1 m5V a

3

2 m2V , e la pressione resta costante al valore bar5p 0 .

Determinare la variazione di energia interna del gas.

Soluzione:

Si applica il Primo Principio della Termodinamica:

LdUQ

La trasformazione è isobara e la quantità di calore è ceduta all’esterno con conseguente

raffreddamento del gas.

Dato che la variazione di volume è negativa ne consegue che il sistema gassoso riceve una quantità

di lavoro da considerarsi positivo.

Per cui, dall’equazione di bilancio energetico:

21 ULQU

LQUUdU 12

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


265

3

2

5

1212 m52

m

N105mN000.25VVpJ000.25UU

kJ525.1mN1015mN000.25UU5

12

ESERCIZIO N. 10

Un sistema termodinamico, al quale è fornito calore, compie un lavoro di 250 J. Sapendo che, alla

fine del processo, l’energia interna è aumentata di 25 J, determinare la quantità di calore assorbito.

Supponendo che il gas contenuto nel sistema sia ossigeno – biatomico - e che la sua quantità sia pari

a 150 kg, determinare la differenza di temperatura tra lo stato finale e lo stato iniziale.

Soluzione:

Indipendentemente dal tipo di trasformazione subita e in base al Primo Principio della

Termodinamica, la differenza d’energia interna tra lo stato finale e lo stato iniziale è data da:

LUULdUQ if

Di conseguenza il calore assorbito:

J275J250J25Q

kcal1057,6

kcal

J186.4

1J275Q

2

Per quanto riguarda la seconda parte dell’esercizio:

Si tratta di un gas biatomico per il quale il rapporto tra capacità termica molare a pressione costante

e volume costante può essere assunto:

40,1

La differenza d’energia interna dU dipende esclusivamente dalla quantità di gas e dalla differenza

di temperatura tra i due stati d’equilibrio per il tramite della capacità termica molare a volume

costante:

ifV TTCndU

La differenza di temperatura è quindi:

V

ifCn

dUTT

Occorre calcolare il numero di moli:

moli5,687.4

mole

g32

kg

g000.1kg150

P

mn

.mol

Il valore della capacità termica molare a volume costante, che è possibile ricavare dalla relazione di

Mayer con l’ipotesi di trattare il gas biatomico come gas ideale, è data da:

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

VC

R1

1

RC V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


266

Per cui, sostituendo si ottiene:

K106,2K00026,0

140,1

Kmole

J314,8

moli5,687.4

J25TT

4

if

La temperatura finale è lievemente superiore a quella iniziale. Ciò è comprensibile per il fatto che le

quantità di energia accumulata sottoforma d’energia interna è piccola ed è invece notevolmente

grande la quantità di gas coinvolta nel processo.

ESERCIZIO N. 11

Un gas si espande compiendo un lavoro di 5 J. La sua energia interna diminuisce di 15 J.

Determinare il valore del calore scambiato e discuterne il segno algebrico.

Se la quantità di gas è pari 0,35 moli e se la temperatura iniziale del sistema è di 100 °C,

determinare il calo di temperatura dovuta alla sola fornitura di lavoro e il calo di temperatura

complessivo.

Soluzione:

Il lavoro è compiuto dal sistema sull’ambiente esterno e deve essere quindi considerato uscente dal

sistema. Se il gas non potesse scambiare calore con l’esterno la quantità di lavoro compiuto

abbasserebbe l’energia interna di una pari quantità.

Siccome però l’energia interna diminuisce di 15 J – una diminuzione maggiore della quantità di

lavoro – occorre immaginare che il sistema ceda all’esterno una quantità di calore pari alla

differenza.

Con il Primo Principio:

LUULdUQ if

J10J5J15Q

In questo caso si considera positivo il lavoro fornito dal sistema all’ambiente.

L’abbassamento di temperatura dovuta alla sola fornitura di lavoro senza scambio di calore, può

essere determinato immaginando una prima trasformazione adiabatica per la quale la quantità di

lavoro è pari alla diminuzione d’energia interna:

LTCndU V

VCn

LT

Sempre con gas biatomico, si ottiene:

K68,0

314,835,0

140,15

1

Rmoli35,0

J5T

L’abbassamento di temperatura dovuto al raffreddamento è invece determinato immaginando una

trasformazione isocora senza scambio di lavoro con calore ceduto uguale a decremento dell’energia

interna, per cui:

K37,1

Kmoli

J

1

Rmoli35,0

J10

Cn

dU

Cn

QT

VV

1

La temperatura finale sarà quindi:

C95,9768,037,1C100T F

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


267

ESERCIZIO N. 12

Il calore sviluppato dalla combustione di 400 grammi di benzina è fornito a un sistema che subisce

una trasformazione cui compete una variazione di energia interna dU pari a 1,245 MJ.

Sapendo che il potere calorifico della benzina è

gr

cal10

4 e che il 20% del calore sviluppato è

perso, si determini il lavoro compiuto dal sistema durante la trasformazione.

Soluzione:

Dalla combustione di 400 grammi di benzina si ottiene una quantità di calore pari a:

J1067,1kcal

J186.4kcal000.4cal104

g

cal10g400Q

764

La percentuale di calore assorbito dal sistema è pari all’80% del calore sviluppato:

J1034,180,01067,1Q77

Parte del calore assorbito è trattenuto dal sistema sottoforma d’incremento d’energia interna,

mentre, la parte restante è convertita in lavoro meccanico.

Il lavoro meccanico è dato dalla differenza tra il calore assorbito e la variazione d’energia interna:

MJ15,12J1015,12245,14,1310J10245,11034,1L6667

ESERCIZIO N. 13

Un gas è contenuto in un recipiente cilindrico, avente raggio cm10R , chiuso da un pistone

scorrevole. Il pistone esercita su gas una forza di 60 N. Il gas assorbe una certa quantità di calore e

la sua energia interna aumenta di 40 J, mentre il volume occupato aumenta di 3dm5 . Determinare

la quantità di calore assorbito.

Determinare inoltre le temperature iniziali e finali della trasformazione supponendo che nel

recipiente cilindrico sia contenuta una quantità di idrogeno pari a 0,01 grammo e che il volume

iniziale sia pari a 15 litri.

Soluzione:

Vale il Primo Principio e la trasformazione è chiaramente isobara.

La quantità di calore assorbita è data da:

LdUQ

La quantità di lavoro uscente dal sistema, da considerarsi quindi positiva per l’ambiente, si

determina tenendo conto del fatto che la trasformazione avviene a pressione costante, quindi:

VpL

Con il valore della pressione:

Per cui:

J55,9m105

m

N910.1L

33

2

Quindi il calore:

kcal1018,1J55,49J55,9J40Q2

222

m

N910.1

m1,0

N60

A

Fp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


268

Con la legge di stato si determina il volume iniziale del gas:

K19,689

Kmole

mN314,8

mole

g2

g10

m1015

m

N910.1

Rn

VpT

2

33

2i

i

La temperatura finale si può determinate con:

TCnQ P

PCn

QT

Utilizzando la relazione di Mayer:

RCC VP

PP

V

P

P

C

R

C

C

C

C

PC

R11

PC

R1

1RC P

Si ricava:

K56,340

40,1Kmole

J314,8

mole

g2

g10

140,1J55,49

Rn

1QT

2

Per cui la temperatura finale è:

K75,029.156,34019,689TTT if

ESERCIZIO N. 14

Un cilindro chiuso da un pistone a tenuta e scorrevole, contiene 5 moli di gas perfetto

monoatomico. Sul pistone è posta una massa di 1,2 kg. Il sistema è inizialmente in equilibrio con

l’ambiente alla temperatura di 300 K. Determinare il lavoro compiuto dal gas, il calore da esso

assorbito e la variazione di energia interna quando il gas raddoppia il proprio volume per effetto di

un aumento di temperatura.

Soluzione:

Dall’equazione di stato applicata ai due stati d’equilibrio, si ottiene:

111 TRnVp

222 TRnVp

Dal rapporto e dalla considerazione che la pressione rimane costante, mentre il volume raddoppia:

1

2

11

22

T

T

Vp

Vp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


269

1

2

1

1

T

T

V

V2

K600T2T 12

La quantità di calore assorbita è data dalla relazione:

TCnQ P

Con:

1

RC P

Con:

67,1 per gas monoatomico

Per cui:

kJ31J084.31K30067,0

67,1Kmole

J314,8

moli5T1

RnQ

La variazione d’energia interna può essere calcolata tenendo presente che sarebbe la stessa se la

variazione di temperatura avvenisse a volume costante:

kJ63,18J613,18K3001

Kmole

JR

moli5TCndU V

La quantità di lavoro si può ottenere, per differenza, dall’applicazione del Primo Principio:

LdUQ

kJ45,12kJ63,18kJ08,31dUQL

ESERCIZIO N. 15

Un gas perfetto monoatomico, che si trova nelle condizioni iniziali 11 V,p , subisce una

trasformazione termodinamica caratterizzata, nel piano pressione-volume, da una relazione lineare.

Nello stato finale la pressione e il volume del gas sono aumentati e valgono 22 V,p .

Determinare la quantità di calore assorbita, il lavoro compiuto e la variazione d’energia interna del

gas.

Soluzione:

In questo caso, dato che non compaiono valori numerici definiti, le quantità richieste dall’esercizio

saranno determinate in modo del tutto generale.

Considerando che la trasformazione è di tipo lineare e che sia la pressione che il volume subiscono

incrementi nel passaggio dallo stato uno allo stato due, si potrà scrivere:

V

ppVkpp 11

Con:

V

p

VV

ppk

12

12

La quantità di lavoro compiuto dal sistema è data dall’area della superficie sottostante la linea della

trasformazione e compresa tra il volume iniziale e il volume finale.

Tale superficie è un trapezio rettangolo, per cui si ha:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


270

12

12VV

2

ppL

La variazione d’energia interna vale, per un gas monoatomico:

112212V VpVp

2

3TTRn

2

3TCndU

Con:

R2

3R49,1R

7,6

10

67,0

R

167,1

R

1

RC V

La quantità di calore è determinata con il Primo Principio tenendo conto che sia la variazione

d’energia interna che il lavoro compiuto sono da considerarsi positivi:

12121122 VVpp

2

1VpVp

2

3Q

ESERCIZIO N. 16

In una trasformazione isocora un fluido assorbe una quantità di calore pari a cal5Q .

Determinare il lavoro compiuto e la variazione d’energia interna.

Soluzione:

La trasformazione è isocora per cui il lavoro meccanico d’espansione è nullo.

Di conseguenza la variazione d’energia interna è pari al calore assorbito.

Esprimendo la variazione d’energia in Joule:

J93,20cal

J186,4cal5cal5dU

ESERCIZIO N. 17

Un gas perfetto alla temperatura di 30 °C subisce una trasformazione isoterma e successivamente

una trasformazione isobara. Sapendo che, alla fine del processo, il volume è triplicato e la pressione

è dimezzata, determinare, in funzione del volume iniziale 0V , il volume del gas alla fine della

trasformazione isoterma e la temperatura del gas.

Soluzione:

Durante la trasformazione isoterma la temperatura è costantemente pari al valore iniziale, mentre, il

volume aumenta progressivamente al diminuire della pressione.

E’ valida la legge di Boyle-Mariotte:

1100 VpVp

Il volume, alla fine della trasformazione isoterma, è quindi dato da:

0

1

01 V

p

pV

Ma, al termine della trasformazione isoterma, la pressione è dimezzata rispetto a quella iniziale e si

manterrà poi costante sino al termine della trasformazione isobara successiva, quindi:

2

ppp

0f1

Per cui:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


271

00

0

00

1

01 V2V

p

2pV

p

pV

Durante la trasformazione isobara finale si mantiene costante la pressione, pari al valore 2

p 0 ,

mentre, il volume subisce un ulteriore incremento pari al valore del volume iniziale 0V per essere

alla fine pari a 02 V3V .

La temperatura finale della trasformazione isobara si determina con la legge di Gay-Lussac:

1

2

1

2

T

T

V

V

C34,181K5,445273305,1T2

3

V2

V3T

V

VTT 0

0

00

1

202

ESERCIZIO N. 18

Una quantità di gas perfetto monoatomico pari a moli75,0n , inizialmente a temperatura

ambiente, subisce una compressione isotermica che aumenta la pressione del %5 , quindi una

trasformazione isobara che aumenta il volume del %7 . Determinare il lavoro eseguito dal sistema

sull’ambiente e la variazione d’energia interna nel corso dell’intera trasformazione.

Soluzione:

Per quanto riguarda la prima trasformazione isoterma si considera nullo il lavoro eseguito dal

sistema sull’ambiente in quanto la compressione isotermica richiede lavoro dall’esterno; è anche

nulla la variazione d’energia interna in quanto la temperatura non subisce variazione (per

definizione d’isoterma).

Per la prima trasformazione risulta indifferente applicare l’equazione di stato o la legge di Boyle-

Mariotte:

111 TRnVp

122 TRnVp

2211 VpVp

1

1

11

2

112 V95,0

p05,1

pV

p

pVV

Con:

12 p05,1p

Durante la successiva trasformazione isobara si ha un incremento di volume, rispetto a quello

terminale della trasformazione isoterma, del 7%, per cui:

1123 V0165,1V95,007,1V07,1V

La quantità di lavoro eseguito dal sistema sull’ambiente è data da:

11111232 TRn0698,0Vp0698,095,00165,1Vp05,1VVpL

J129TRn0698,0L 1

La quantità di lavoro eseguito dall’ambiente sul sistema è:

J95v

V95,0logK298

Kmole

J314,8moli75,0

V

VlogTRnL

1

1

1

21

La quantità di lavoro complessivamente ceduto all’ambiente è quindi:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


272

J3495129L

La variazione d’energia interna è data tenendo conto della sola trasformazione isobara:

TCndU V

11111212 V95,0p05,1V0165,1p05,1

7,6

10nRTnRT

1

1TT

1

RndU

J193TRn7,6

698,00698,0

7,6

Vp10dU 1

11

ESERCIZIO N. 19

Una miscela di diversi gas perfetti si trova nelle condizioni iniziali 00 V,p .

Determinare il rapporto tra le capacità termiche a pressione e volume costante della miscela,

sapendo che, se una quantità di calore Q viene assorbita dalla miscela in una isocora, la pressione

finale vale 1p , mentre, se la stessa quantità Q viene assorbita in un’isobara il volume finale vale

1V .

Soluzione:

Dall’isocora e dall’isobara, uguagliando le quantità di calore:

01

00001V pp

1

VVpVp

1

1T

1

RnTCnQ

isocora

0010P VpVp

1TCnQ

isobara

01

001

0pp

1

VVV

1

p

010010 ppVVVp

010

010

VVp

ppV

ESERCIZIO N. 20

Una certa quantità di calore Q è fornita ad un gas monoatomico contenuto in un recipiente chiuso

di volume costante. La stessa quantità di calore è fornita ad un’uguale massa dello stesso gas che,

però, è contenuta in un recipiente chiuso da un pistone scorrevole senza attrito e tenuto in equilibrio

dal suo peso e dall’effetto della pressione atmosferica.

In entrambi i casi si rileva una variazione della temperatura.

Se nel primo caso la variazione di temperatura è T , quanto sarà quella relativa al secondo caso?

Soluzione:

Dall’isocora:

TCnQ V

Dall’isobara (secondo caso):

1P TCnQ

Per cui:

1PV TCTC

T5

3T5988,0

67,1

TTT

C

CT

P

V

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


273

ESERCIZIO N. 21

Un gas perfetto subisce una trasformazione adiabatica in cui compie un lavoro di 20 J. Determinare

la variazione d’energia interna.

Determinare inoltre la differenza di temperatura al termine della trasformazione, supponendo il gas

biatomico e in quantità pari a 0,005 moli.

Soluzione:

La trasformazione adiabatica non consente scambi di calore.

Tutto il lavoro è fornito a spese dell’energia interna.

In questo caso il sistema compie lavoro verso l’esterno a spese della propria energia interna, quindi,

in base al Primo Principio si ha:

LdUQ

J20LUUdU if

LUU if

L’energia interna finale è quindi ridotta, rispetto all’iniziale, di una quantità pari a 20 J.

Se il gas perfetto è biatomico si ottiene la seguente riduzione di temperatura:

TCndU V

K4,192

Kmole

J314,8moli005,0

140,1J20

1

Rn

dU

Cn

dUT

V

ESERCIZIO N. 22

Un gas ideale occupa inizialmente un volume di 32m103

quando è sottoposto ad una pressione

pari a Pa105 . Il gas subisce la seguente trasformazione ciclica:

1. Mantenendo costante la pressione esso si espande occupando un volume di 32m105

2. Successivamente, mantenendo costante il volume, il gas è sottoposto a pressioni crescenti

sino al valore di Pa1035

3. Subisce poi una trasformazione ancora a pressione costante sino ad occupare un volume pari

a 32m103

4. Infine ancora una trasformazione isocora sino al valore di pressione iniziale di Pa105

Determinare il lavoro totale compiuto dal sistema.

Soluzione:

Il lavoro complessivo compiuto dal sistema è pari all’area della superficie racchiusa tra le due

isobare (una superiore, l’altra inferiore) e le due isocore.

La rappresentazione sul diagramma di Clapeyron (pressione volume) è quella della figura

sottostante.

Il lavoro complessivamente svolto dal sistema è negativo in quanto il ciclo chiuso è percorso in

senso antiorario.

D’altra parte, qualora non si prendesse in esame il senso di percorrenza, basterebbe ragionare nel

modo seguente:

Durante la trasformazione isobara da 1 a 2 il gas si espande fornendo all’esterno un lavoro che

risulta positivo in quanto uscente dal sistema (in questo caso si ragiona in modo opposto a quanto

previsto con le formule di bilancio energetico).

Tale lavoro è pari all’area del rettangolo compreso tra l’isobara e l’asse orizzontale di riferimento.

Durante la seconda trasformazione isobara il gas viene compresso da un’azione esterna.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


274

Il lavoro è quindi da considerarsi negativo ed entrante nel sistema (uscente dall’esterno).

Tale lavoro è raffigurato dall’area del rettangolo maggiore ed è quindi superiore al lavoro positivo.

Durante le due trasformazioni isocore non viene scambiato lavoro d’espansione; quindi il lavoro

complessivo è dato dalla differenza tra le aree dei due rettangoli oppure all’area del rettangolo

rappresentativo del ciclo.

2143 LLL

J106m102

m

N103VVpL

332

2

5

12443

J102m102

m

N101VVpL

332

2

5

12121

kJ4J104L3

L

ESERCIZIO N. 23

Un recipiente, chiuso da un pistone a tenuta e scorrevole senza attrito, contiene un gas perfetto

monoatomico. Con una trasformazione quasistatica reversibile è dimezzato il volume iniziale.

Durante il processo la variazione di temperatura è la metà di quella che si avrebbe se il processo

fosse adiabatico.

Determinare di quanto è variata percentualmente la temperatura assoluta alla fine del processo.

Soluzione:

Se la trasformazione avvenisse in modo adiabatico la differenza d’energia interna sarebbe uguale al

lavoro scambiato dal sistema.

Dato che il volume è dimezzato rispetto allo stato iniziale, si tratterebbe dunque di una

compressione adiabatica accompagnata da un aumento della temperatura.

La variazione d’energia interna sarebbe comunque uguale all’ipotetica quantità di calore che

occorrerebbe fornire al sistema, a volume costante, cioè:

TCndU V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


275

Con:

R2

3

167,1

R

1

RC V

Quindi:

1211122 p2pV

4

3VpVp

2

3TRn

2

3TR

2

3ndU

121 p2pV4

3dU

Rn

dU

3

2T

La variazione di temperatura durante il processo reale reversibile è quindi data da:

Rn3

dUT aleRe

ESERCIZIO N. 24

Una data massa di gas subisce la trasformazione rappresentata in figura in cui variano pressione e

volume. Se il gas passa dallo stato P allo stato R seguendo le trasformazioni PQ e QR, assorbe 8 J

di calore e compie un lavoro di 3 J.

Se invece il passaggio di stato avviene secondo le trasformazioni PS e SR, il gas compie un lavoro

di 1 J. Determinare il calore scambiato in questo secondo caso.

Soluzione:

La differenza d’energia interna tra lo stato R e lo stato P è indipendente dal tipo e numero di

trasformazioni ed è quindi uguale sia nel primo che nel secondo caso.

Applicando il Primo Principio alla prima serie di trasformazioni si ottiene:

LdUQ

J538LQdU

E alla seconda serie di trasformazioni:

J615LdUQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


276

ESERCIZIO N. 25

Una bombola, contenente 1,5 moli di elio alla temperatura ambiente di 20 °C e alla pressione

atm10p 0 , è collegata mediante una valvola e un sottile capillare ad un recipiente vuoto, chiuso

da un pistone mobile a tenuta e di massa trascurabile.

Quando la valvola viene aperta il gas fluisce abbastanza lentamente, in modo da poter considerare

costante la temperatura.

Sul pistone mobile agisce la pressione atmosferica normale.

Determinare il lavoro fatto dal gas e il calore scambiato con l’ambiente durante la trasformazione

descritta.

Soluzione:

La trasformazione si suppone isoterma in quanto reversibile e senza variazioni di temperatura e di

energia interna.

Ciò significa che, durante l’espansione del gas nel secondo recipiente vuoto, occorre fornire

dall’esterno la quantità di calore necessaria a mantenere costante la temperatura che, in caso

contrario, si abbasserebbe sfruttando l’energia interna.

Il Primo Principio è quindi applicato all’isoterma nel modo seguente:

LQ

Con l’equazione di stato è possibile determinare il volume iniziale del gas:

33

2

0

0 m1061,3

m

N300.10110

K293Kmole

mN314,8moli5,1

p

TRnV

La variazione di volume si determina tenendo conto della legge di Boyle-Mariotte e del fatto che,

alla fine della trasformazione, la pressione del gas deve essere uguale alla pressione atmosferica.

1100 VpVp

323

1

00

1 m1061,3300.101

1061,3300.10110

p

VpV

Il lavoro d’espansione è quindi dato da:

J314.8

1061,3

1061,3logK293

Kmole

J314,8moli5,1

V

VlogTRnL

3

2

0

1

Il calore occorrente per l’espansione isotermica è assorbito dal gas dall’ambiente esterno e la sua

quantità è pari al lavoro d’espansione:

J314.8Q

Qualora l’espansione si verificasse senza scambi di calore con l’esterno, quindi secondo

un’adiabatica, occorrerebbe utilizzare l’equazione di Poisson nel modo seguente:

1100 VpVp

3267,1

1

33

1

1

0

01 m10433,11

10m1061,3

p

pVV

La temperatura al termine dell’espansione adiabatica si calcolerebbe con:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


277

K116

Kmoli

mN314,85,1

m10433,1

m

N300.101

Rn

VpT

32

211

1

La variazione d’energia interna (si tratta di un decremento) si calcola con:

J294.3177167,1

314,85,1293116

1

RnTTCndU 01V

In questo caso il sistema non scambia calore con l’ambiente esterno.

ESERCIZIO N. 26

Un cilindro di volume 100 litri è realizzato con un materiale termicamente isolante e contiene una

parete mobile, pure isolante, a tenuta e in grado di scorrere senza attrito posizionata, all’inizio della

trasformazione, a metà del cilindro. Ciascuna delle due parti del cilindro contiene gas perfetto

monoatomico alla stessa temperatura di 0°C e alla stessa pressione di 1 atmosfera.

Una resistenza elettrica scalda lentamente il gas della parte sinistra fino a quando la parete non ha

compresso il gas della parte destra a 2,5 atmosfere.

Determinare:

1. La temperatura finale dei due gas

2. Il lavoro compiuto sul gas di destra

3. La quantità di calore fornita dalla resistenza al gas di sinistra

Soluzione:

In ognuna delle due parti il volume occupato dal gas, allo stato iniziale, è pari alla metà del volume

complessivo del cilindro, per cui è possibile determinare con l’equazione di stato il numero di moli:

moli23,2

K273Kmole

mN314,8

m1050

m

N300.101

TR

Vpn

33

2

La dilatazione del gas della parte di sinistra, provocata dall’apporto di calore della resistenza, spinge

la parete mobile verso destra riducendo il volume ed incrementando la pressione del gas nella parte

di destra sino al valore di 2,5 atmosfere.

Dato che il cilindro e la parete mobile sono isolati termicamente, la trasformazione subita dal gas

contenuto nella parte destra deve essere adiabatica e regolata dalla legge di Poisson:

2211 VpVp

E’ quindi possibile calcolare il volume finale del gas nella parte destra:

3267,1

1

33

1

2

112 m1089,2

5,2

1m1050

p

pVV

Con l’equazione di stato si determina la temperatura finale del gas nella parte destra:

C7,121K394

Kmoli

mN314,8moli23,2

m1089,2

m

N300.1015,2

Rn

VpT

32

222

2

Il gas contenuto nella parte sinistra, riscaldato dalla resistenza elettrica, aumenta il proprio volume

al valore:

323233m1011,7m1089,2m10100V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


278

La temperatura del gas nella parte sinistra è ancora ricavato con l’equazione di stato tenendo conto

che la pressione deve essere pari a quella del gas della parte di destra, cioè 2,5 atmosfere:

C698K971

Kmoli

mN314,8moli23,2

m1011,7

m

N300.1015,2

Rn

VpT

32

22

Il lavoro eseguito sul gas contenuto nella parte di destra, sottoposto alla trasformazione adiabatica, è

pari all’incremento d’energia interna in quanto senza scambio di calore, vale il Primo Principio:

LdUQ

0Q

LdU

Con:

J348.3273394167,1

Kmole

J314,8

moli23,2TT1

RnTCndU 1fV

Per quanto riguarda il calore assorbito dal gas contenuto nella parte di sinistra, esso si può ricavare

tenendo conto dell’aumento d’energia interna causata dall’incremento di temperatura e del lavoro,

positivo, fornito dal gas di sinistra al gas di destra, uguale evidentemente a quello prima calcolato:

LdUQ

J663.22J348.3K273971167,1

Kmole

J314,8

moli23,2LTT1

RnQ if

ESERCIZIO N. 27

Una massa di 2 grammi d’elio alla temperatura di 0 °C è racchiusa in un cilindro di volume iniziale

pari a 2 litri. Il gas è riscaldato in modo da mantenere costante il rapporto V

p fino a quando volume

e pressione sono raddoppiati. Quindi il riscaldamento continua con un’isobara fino a raggiungere un

volume di 5 litri.

Successivamente, con un’isocora, la pressione è ridotta al valore iniziale.

Infine il gas è riportato nelle condizioni iniziali con un’altra trasformazione isobara.

Disegnare nel piano di Clapeyron il diagramma del ciclo e determinare i valori dei parametri di

stato ai vertici del ciclo.

Calcolare poi il calore ed il lavoro scambiati in ogni trasformazione ed il segno algebrico

dell’energia scambiata.

Soluzione:

Dal peso molecolare dell’elio e dalla quantità di gas contenuta nel cilindro, si ricava il numero di

moli:

moli5,0

mole

g4

g2

P

mn

M

Con il numero di moli e gli altri dati si ricava il valore della pressione iniziale:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


279

kPa567

m

N430.567

102

K273Kmole

mN314,8moli5,0

V

TRnp

231

i

Il primo vertice del ciclo è quindi caratterizzato dai seguenti parametri di stato:

K273T1

33

1 m102V

21

m

N430.567p

Il secondo vertice è caratterizzato dai parametri:

33

2 m104V

222

m

N860.134.1

m

N430.5672p

K091.1

Kmole

mN314,8moli5,0

m104

m

N860.134.1

Rn

VpT

33

222

2

Il terzo vertice dai parametri:

23

m

N860.134.1p

33

3 m105V

K365.1

Kmole

mN314,8moli5,0

m105

m

N860.134.1

Rn

VpT

33

233

3

Il quarto vertice dai parametri:

24

m

N430.567p

33

4 m105V

K682

Kmole

mN314,8moli5,0

m105

m

N430.567

Rn

VpT

33

244

4

Infine il quinto vertice, coincidente con il primo:

K273TT 15

33

15 m102VV

215

m

N430.567pp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


280

Per la prima trasformazione, dal vertice 1 al vertice 2:

J777.6702.1075.5LdUQ 21 Positivo quindi assorbito dal gas

J075.5K273091.1167,1

Kmole

J314,8

moli5,0TCndU V21

positivo

J702.1m102

m

N

2

860.134.1430.567V

2

ppL

33

21221

21

positivo

Per la seconda trasformazione isobara, dal vertice 2 al vertice 3:

J834.2134.1700.1LdUQ 323232 Positivo quindi assorbito dal gas

J700.1K091.1365.1167,1

Kmole

J314,8

moli5,0TCndU 32V32

positivo

J134.1m101

m

N860.134.1VpL

33

232232

positivo

Per la terza trasformazione isocora, dal vertice 3 al vertice 4:

J237.4LdUQ 434343 Negativo quindi ceduto dal gas

0L 43

J237.4365.1682167,1

314,85,0TTCndU 34V43

negativo

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


281

Per la quarta trasformazione isobara, dal vertice 4 al vertice 1:

J806.4269.2J537.2LdUQ 141414 Negativo quindi ceduto

dal gas

J537.2K682273167,1

Kmole

J314,8

moli5,0TCndU 14V14

J269.2m104

m

N430.567VpL

33

214114

La prova con utilizzo del Principio d’equivalenza:

0LQ

6.777+2834-4.237-4.806=1.702+1.134-2.269

568=567

ESERCIZIO N. 28

Un cilindro, chiuso nella parte superiore da un pistone mobile, contiene una certa quantità di elio.

Con una trasformazione molto lenta, rappresentata nel piano di Clapeyron da una retta, l’elio è

portato dallo stato A, caratterizzato da kPa40p A , 3

A dm3V e K300T A , allo stato B,

caratterizzato da kPa150p B , 3

B dm1V .

Determinare la temperatura del gas nello stato B.

Determinare il massimo valore della temperatura raggiunto dal gas durante la trasformazione ed il

valore della pressione corrispondente a tale stato.

Determinare il calore scambiato dal gas con l’ambiente esterno durante la trasformazione.

Successivamente il gas viene riportato dallo stato B allo stato iniziale A mediante una

trasformazione isocora seguita da una trasformazione isobara.

Determinare il lavoro utile compiuto nel ciclo.

Soluzione:

Con l’equazione di stato e sapendo che il peso molecolare dell’elio è

mole

g4 , si ricava il numero

di moli e la massa di elio contenuto nel cilindro:

moli048,0

K300Kmoli

mN314,8

m103

m

N000.40

TR

Vpn

33

2

A

AA

Ancora con l’equazione di stato si calcola la temperatura del gas nello stato B:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


282

K375

Kmole

mN314,8moli048,0

101

m

N000.150

Rn

VpT

3

2BB

B

Durante la trasformazione si raggiunge il massimo valore di temperatura, quando il prodotto Vp è

massimo tra tutti quelli possibili.

Utilizzando il diagramma della trasformazione:

2

xx X55X55X150150X1X13

40150150Vp

Il prodotto è massimo quando la derivata della funzione è orizzontale e quindi nulla.

La derivata della funzione è:

0X11055150

86,0110

95X

Quindi il massimo prodotto è: 3

1086,1V

7,10286,055150p

K478

Kmole

mN314,8moli048,0

1086,1

m

N700.102

Rn

VpT

3

2XX

max

Il calore scambiato durante la trasformazione si ricava dall’equazione del Primo Principio:

J14519067,44LdUQ Calore negativo quindi ceduto all’esterno.

Con:

J67,44300375167,1

Kmole

J314,8

048,0TCndU V

J19010132

ppL

3BA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


283

ESERCIZIO N. 29

Una quantità di 0,2 moli di gas perfetto sono contenuti in un recipiente cilindrico dotato di pistone

mobile a tenuta e di massa trascurabile. Il sistema è in equilibrio con l’ambiente esterno ad una

temperatura di 20 °C ed alla pressione normale di 1 atmosfera.

In questa condizione il pistone si trova a 50 cm d’altezza rispetto al fondo del cilindro.

Determinare il raggio del cilindro.

Soluzione:

La pressione del gas all’interno del cilindro è ovviamente uguale alla pressione atmosferica perché,

se non lo fosse, il pistone, di massa trascurabile non potrebbe essere in equilibrio.

Con l’equazione di stato è quindi possibile determinare il volume del gas:

3

2

m00481,0

m

N300.101

K293Kmole

mN314,8moli2,0

p

TRnV

Con il volume calcolato e utilizzando l’altezza del pistone dal fondo è possibile calcolare il raggio

del cilindro:

Vhr2

cm53,5m0553,0m50,014,3

m1081,4

h

Vr

33

ESERCIZIO N. 30

Due moli di gas biatomico subiscono una trasformazione a pressione costante. Il volume occupato

dal gas alla temperatura K300T è 33m1020V

.

Successivamente il gas occupa i volumi 33

1 m1040V

, 33

2 m1050V

e

33

3 m1060V

.

Determinare la temperatura del gas in questi tre stati, la quantità di lavoro e calore scambiato con

l’esterno e la variazione d’energia interna considerando lo stato finale cui corrisponde il volume

massimo.

Determinare inoltre la quantità di calore che bisogna fornire per ogni secondo al gas se si desidera

che la trasformazione avvenga in un tempo di 3 ore.

Se fosse possibile sfruttare tutta l’energia interna posseduta dal gas mediante un’espansione

adiabatica, quanto lavoro fornirebbe il gas all’ambiente esterno?

Soluzione:

Si utilizza la legge di Gay-Lussac relativamente alle trasformazioni isobare:

00 T

T

V

V

Da cui si ottiene:

0

0V

VTT

Quindi:

K600

1020

1040K300

V

V300T

3

3

0

11

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


284

K750

1020

1050K300

V

V300T

3

3

0

22

K900

1020

1060K300

V

V300T

3

3

0

3

3

Considerando che la trasformazione è isobara e utilizzando il Primo Principio della termodinamica

si ottiene:

kJ918,34976,9942,24LdUQ

Con:

kJ942,24K300900140,1

Kmole

J314,8

moli2TT1

RnTCndU 03V

J976.9m10201060

m

N420.249VpL

333

2

233

0

0

m

N420.249

m1020

K300Kmole

mN314,8moli2

V

TRnp

La quantità di calore, riferita all’unità di tempo, che occorre fornire al gas per far avvenire la

trasformazione in un tempo di 3 ore, è data da:

Watt22,3s

cal77,0

s

Kcal107,7

ora

s3600ore3

Kcal

J186.4

J918.34

t

Qq

4

La quantità di lavoro che sarebbe possibile estrarre dal gas pensando di utilizzare tutta l’energia

interna è pari alla variazione d’energia interna se si considera nulla l’energia interna alla

temperatura K0T - cioè lo “zero assoluto”:

J413.37K900140,1

Kmole

J314,8

moli209001

RndUL

ESERCIZIO N. 31

Una quantità d’azoto 2N pari a 1,12 grammi è riscaldata da -10 °C a 70 °C. Determinare la

variazione d’energia interna.

Soluzione:

Dato che l’azoto biatomico ha un peso molare di

mole

g28 si ottiene il numero di moli:

moli04,0

mole

g28

g12,1n

La variazione d’energia interna è quindi data da:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


285

J51,66263343140,1

Kmole

J314,8

moli04,0T1

RnTCndU V

ESERCIZIO N. 32

Una mole di gas perfetto è contenuta in un recipiente chiuso, munito di un pistone che esercita una

pressione costante sul gas. Il gas si trova inizialmente alla temperatura di 0 °C.

Determinare il lavoro compiuto dal gas quando è riscaldato alla temperatura di 100 °C.

Soluzione:

Si tratta di una trasformazione isobara in cui il lavoro è determinato dalla formula:

ifi VVpL

D’altra parte la variazione di volume è regolata dalla legge di Gay-Lussac:

1

f

i

f

T

T

V

V

i

fif

T

TVV

Considerando che si tratta di una mole di gas alla temperatura normale di 0 °C, è risaputo che il

prodotto pressione per volume, nelle condizioni iniziali, è uguale al prodotto della pressione per il

volume specifici per quella determinata temperatura 00 Vp con:

20

m

N300.101p

3

0 dm41,22V

J54,270.2m10414,22

m

N300.101Vp

33

200

Quindi la pressione iniziale reale del gas contenuto nel recipiente è data da:

J54,270.2VpVp 00ii

i

iV

J54,270.2p

Elaborando quindi la formula del lavoro:

i

if

3

i

3

ii

i

fi

3

i

ifiT

TT

mV

mVJ54,270.2V

T

TV

mV

J54,270.2VVpL

J69,831

273

273373

1

J54,270.2L

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


286

ENTALPIA

Si è detto che un qualsiasi stato d’equilibrio del gas, contenuto in un sistema termodinamico, è

definito in modo univoco dai valori assunti dalle tre variabili di stato:

T Temperatura

p Pressione

V Volume

C’è inoltre da dire che la temperatura, la pressione ed il volume, pur essendo variabili di stato, non

possono assumere valori completamente indipendenti uno dall’altro.

La legge che regola le possibili variazioni e l’interdipendenza delle tre variabili di stato è

“L’equazione generale di stato dei gas perfetti”:

TRnVp Equazione generale di stato

Proprio utilizzando l’equazione generale e le conseguenti relazioni inverse ci si rende conto che

ogni parametro di stato, preso singolarmente, dipende comunque sempre dagli altri due.

Infatti:

1) V

Tk

V

TRnp

V,Tfp

2) p

Tk

p

TRnV

p,TgV

3) Vpk

1

Rn

VpT

V,phT

L’interpretazione delle relazioni inverse è semplice:

1) Supponendo di fissare un determinato valore della temperatura d’equilibrio T ed un

determinato valore del volume occupato dal gas V, esiste un solo valore della pressione p

che soddisfa le condizioni d’equilibrio relativamente ad una quantità di moli n .

Sul diagramma Vp ciò significa aver determinato in modo univoco l’iperbole

caratteristica della temperatura T e risolvere il sistema formato dall’equazione

dell’iperbole stessa e da tutte le equazioni caratterizzate dal volume costante. Ogni

sistema permette una sola soluzione rappresentativa del valore di pressione tipico del

punto d’incrocio dell’iperbole con la retta a volume costante.

2) Supponendo di fissare un determinato valore della temperatura d’equilibrio T ed un

determinato valore della pressione dal gas p , esiste un solo valore del volume V che

soddisfa le condizioni d’equilibrio relativamente ad una determinata quantità di moli n .

Sul diagramma Vp ciò significa aver determinato in modo univoco l’iperbole

caratteristica della temperatura T e risolvere il sistema formato dall’equazione

dell’iperbole stessa e da tutte le equazioni caratterizzate da pressione costante. Ogni

sistema permette una sola soluzione rappresentativa del valore del volume tipico del

punto d’incrocio dell’iperbole con la retta a pressione costante.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


287

3) Supponendo di fissare un determinato valore della pressione d’equilibrio p ed un

determinato valore del volume occupato dal gas V , esiste un solo valore di temperatura T

che soddisfa le condizioni d’equilibrio relativamente ad una determinata quantità di moli n .

Sul diagramma Vp ciò significa risolvere il sistema formato dalle equazioni delle

rette rappresentative di pressione e volume costante. Ogni sistema permette una sola

soluzione rappresentativa del valore di temperatura T tipico del punto d’incrocio delle

due rette.

D’altra parte anche l’energia interna U può essere considerata come parametro di stato in quanto

dipende unicamente dal valore della temperatura T cui si trova il gas.

E’ però chiaro che ad ogni determinato valore dell’energia interna U corrispondono infinite coppie

dei parametri pressione e volume in grado di soddisfare le condizioni d’equilibrio del gas.

Ogni valore di energia interna è, infatti, rappresentato da una singola isoterma, perciò ogni punto

appartenente all’isoterma determina i valori dei parametri pressione e volume tipici dell’equilibrio.

Per un gas monoatomico l’energia interna, da quanto emerso dalla Teoria Cinetica dei gas, è:

AA TRn2

3U

Da cui si può determinare univocamente il valore di temperatura:

A

AA U

3

2

k

1

Rn3

U2T

Ed i rispettivi valori delle coppie p,V:

1

A

1

A

1

A1

V

U

3

2

V

U3

2

k

1

kV

TRnp

1

A

1

A

1

A1

p

U

3

2

p

U3

2

k

1

kp

TRnV

Anche il prodotto Vp , essendo costituito da due variabili di stato principali, può essere utilizzato

come una funzione di stato e lo stesso discorso è valido per ogni altra grandezza ottenuta dalla

combinazione di parametri di stato principali.

Una funzione di particolare importanza è quella ottenuta sommando l’energia interna U (funzione

della sola temperatura assoluta) al prodotto Vp caratteristico di ogni stato d’equilibrio.

Se l’energia interna U è costante significa che tutti gli stati d’equilibrio sono posizionati sulla stessa

isoterma caratterizzata anche dal prodotto Vp costante.

Si conclude allora che, per ogni isoterma e per ogni stato d’equilibrio appartenente alla stessa, la

somma VpU è costante.

La nuova grandezza fisica che così si ottiene ha quindi un valore costante se la trasformazione è

isotermica.

Considerando che l’energia interna U ed il prodotto Vp rappresentano ognuno una grandezza

energetica omogenea da misurarsi in Joule, risulta possibile la somma algebrica.

La nuova grandezza:

JVpUH

è quindi una funzione di stato a cui viene dato il nome di “ENTALPIA”.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


288

Per quanto detto in precedenza, il valore di ENTALPIA è costante per tutti gli stati d’equilibrio

appartenenti ad una stessa isoterma.

Cioè:

Ipotesi: T = costante

Tesi: H = costante

Considerando che l’energia interna del gas è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta

secondo la relazione:

TRnCU

Ove con C è definita una costante di valore diverso in funzione del tipo di gas – per tenere conto

della sola energia di velocità, quando il gas è monoatomico oppure anche dell’energia cinetica di

rotazione per molecole poliatomiche, e, in particolare:

2

3C Gas monoatomico

2

5C Gas biatomico

2

7C Gas triatomico

E che il prodotto Vp è anche espresso, in base all’equazione generale di stato, da:

TRnVp

Si ottiene, per l’entalpia, la seguente relazione:

TRn1CTRnTRnCVpUH

Quindi:

TRn2

5H Gas monoatomico

TRn2

7H Gas biatomico

TRn2

9H Gas triatomico

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


289

VARIAZIONE DI ENTALPIA

Si vuole ora valutare il valore della variazione della grandezza “ENTALPIA”, quando il gas passa

da uno stato d’equilibrio ad un altro sufficientemente prossimo al precedente.

Pensiamo ad esempio ad una trasformazione, semplice o composta, il cui effetto finale sia un

piccolo aumento di temperatura, di pressione e di volume rispetto ai valori dello stato d’equilibrio

iniziale.

Ciò può essere rappresentato sul seguente diagramma pressione-volume.

Figura 64

Si tratta di un’espansione (visto l’aumento di volume) che avviene contemporaneamente ad un

aumento di temperatura e di pressione.

Occorre quindi considerare una cessione di energia meccanica e la contemporanea acquisizione di

una certa quantità di calore.

Senza entrare nel dettaglio della trasformazione si potrà indicare il seguente bilancio energetico:

21 ULQU

LQUU 12

LQdU

Oppure:


Ciò a significare che, mentre il calore fornito Q e il lavoro prodotto L dipendono dal tipo di

trasformazione che il gas subisce, la loro differenza o differenza d’energia interna dU è invece

indipendente dal tipo di trasformazione essendo solo influenzata dalla differenza tra la temperatura

finale ed iniziale.

L’energia interna è quindi una variabile di stato.

La quantità di lavoro ceduto all’esterno durante la trasformazione è quantificabile calcolando l’area

sottostante la curva che rappresenta la trasformazione stessa e delimitata a sinistra e destra

rispettivamente dai valori del volume 1V e 2V .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


290

dVvpL

Ove con vp si indica la pressione, variabile in funzione del volume, che è definita in modo

univoco dalla conoscenza del tipo di trasformazione.

La quantità di lavoro dipende quindi dal tipo di trasformazione che può essere immaginata sia di

tipo semplice che composto.

Ad esempio si potrebbe pensare ad una prima trasformazione isobara alla pressione 1p dal valore

1V a 2V ed ad una seconda trasformazione isocora a volume costante 2V con aumento della

pressione dal valore 1p al valore 2p .

E’ chiaro che nessuna delle due trasformazioni, presa singolarmente, permette il passaggio diretto

da 1U a 2U .

Tale possibilità è naturalmente solo una tra le infinite che potrebbero essere scelte.

Per quanto riguarda l’energia interna potremo invece considerare il fatto che il valore iniziale 1U e

finale 2U non dipendono dal tipo di trasformazione ma solo dalle rispettive temperature.

Tornando all’Entalpia, si avrà:

1111 VpUH

2222 VpUH

D’altra parte, qualora il punto 2 possa essere considerato molto vicino al punto 1, il volume 2V , la

pressione 2p e l’energia interna 2U differiranno dal volume, pressione ed energia interna del punto

1 solo per piccoli incrementi V , p e dU perciò:

ppp 12

VVV 12

dUUU 12

Quindi il valore dell’entalpia 2H :

VVppdUUH 1112

VppVVpVpdUUH 111112

Allora la differenza d’entalpia sarà:

1111111112 VpHVppVVpVpdUUHH

VppVVpdUHH 1112

Considerando poi che gli incrementi p e V sono piccoli, risulta possibile trascurare il loro

prodotto, quindi:

pVVpdUHHH 1112

E ancora:

pVVpdUH 11

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


291

O anche:

VpdUpVH 11

VppVdHdU 11

LdUQ

dVVpVppVdHQ 11

Dove il termine Vp 1 rappresenta il lavoro fornito all’esterno dal gas come se si verificasse una

espansione isobara, il termine dU l’incremento d’energia interna ed il termine pV1 l’energia che

sarebbe necessaria per aumentare la pressione dal valore 1p al valore 2p mantenendo costante il

volume del gas al valore iniziale.

Rimane da considerare il fatto che, sia l’espansione isobara che la trasformazione isocora ideale,

conducono il gas a temperature minori di quella che caratterizza l’energia interna 2U .

L’ultimo tipo di trasformazione è assimilabile ad una trasformazione isocora alla quale dovrà

necessariamente corrispondere un aumento di temperatura 1T , un lavoro esterno nullo sia per

compressione che per espansione, un’eventuale acquisizione di calore da una sorgente esterna

oppure l’apporto, dall’interno del sistema e direttamente inserito nel gas del cilindro, di lavoro

meccanico fornito ad esempio da un compressore centrifugo.

Non si tratta, in questo caso, del classico lavoro d’espansione rappresentato dall’area sottostante la

curva di trasformazione che, essendo un’isocora, è evidentemente nulla ma, piuttosto, d’energia

meccanica che è trasformata direttamente nell’equivalente energia termica alla stessa stregua di

quello che succede all’acqua contenuta nel calorimetro di Joule, quando è messo in funzione

l’agitatore interno oppure all’aria quando entra dalla bocca aspirante ed esce da quella premente di

un ventilatore.

D’altra parte, per un incremento di temperatura T e per una trasformazione a volume costante, la

variazione d’energia interna dU è pari al calore fornito:

dUTCnQ V

Mentre il lavoro d’espansione Vp 1 si ottiene, evidentemente per una trasformazione isobara, da:

1111221211 TRnTTRnVpVpVVpVp

TRnVp 1

Quindi:

RCTnTRnTCnVpdUpVH VV11

E ancora, per la relazione di Mayer:

RCC VP

Si ottiene:

TCnpVH p1

pVTCnH1P

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


292

PER UNA TRASFORMAZIONE ISOBARA:

Se la variazione di entalpia H è provocata da una trasformazione isobara si deduce

immediatamente che, non essendoci variazioni di pressione tra i due stati d’equilibrio, il valore p

risulta evidentemente nullo, ed è quindi nullo il prodotto pV1 .

Allora la variazione d’entalpia rappresenta il calore complessivamente scambiato dal sistema

termodinamico con l’ambiente esterno.

Infatti:

0p 0pV1

PP QTCnH

Si perviene alla stessa conclusione dall’applicazione del bilancio energetico o del primo principio

della termodinamica, infatti, per una trasformazione isobara:

21 ULQU

1212 VVpQLQUU

1212 VpVpQUU

Con:

21 ppp

1122p12 VpVpQUU

p111222 QVpUVpU

12111222p HHVpUVpUQ

Da cui, tenendo conto della capacità termica a pressione costante:

12pp TTCnQ

12pp TTCnQH

PER UNA TRASFORMAZIONE ADIABATICA:

Durante la trasformazione adiabatica risulta nullo il calore scambiato dal sistema con l’esterno e, di

conseguenza, la variazione di energia interna dU è pari al lavoro L :

0Q

0VpdUQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


293

IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

I fenomeni in cui sono coinvolti scambi di energia termica e meccanica tra sistemi, che siano essi

considerati termodinamici o no, possono essere opportunamente studiati utilizzando il Primo

Principio della Termodinamica che, come detto, costituisce l’estensione della Legge di

Conservazione dell’Energia Meccanica.

Il Primo Principio non è, però in grado di dare alcuna spiegazione circa l’evolversi di fenomeni che,

in natura, avvengono spontaneamente in una sola direzione.

Ad esempio:

L’aria ad alta pressione contenuta in un recipiente dell’apparecchiatura utilizzata da Joule

per la dimostrazione dell’energia interna, si espande in modo spontaneo diminuendo la

pressione ed aumentando il volume, quando è aperta la valvola sul condotto che la separa

dal recipiente vuoto.

Il fenomeno avviene spontaneamente nella sola direzione descritta, si tratta di una

trasformazione naturalmente irreversibile ed è impossibile che, spontaneamente e senza

intervento di fattori esterni, l’aria decida di ritornare alla pressione iniziale in un solo

recipiente.

Il Primo Principio della Termodinamica ci permette di comprendere che le quantità di

lavoro, calore ed energia interna coinvolte sono nulle, ma non dà informazioni circa il verso

della trasformazione.

Se due corpi a temperature diverse sono posti a contatto risulta inevitabile la cessione di

calore da parte del corpo più caldo a quello più freddo.

Anche in questo caso il Primo Principio non ci permette di intuire che il trasferimento di

calore è possibile solo in quel verso.

Non risulta naturalmente possibile, senza intervento di lavoro esterno o trasformazioni

interne, che il corpo freddo ceda calore al corpo caldo.

Un pendolo in movimento, frenato dai vari attriti, rallenta costantemente il proprio

movimento sino a fermarsi completamente. Durante il fenomeno l’energia meccanica è

continuamente dissipata e provoca un leggero riscaldamento dell’aria circostante. La

dissipazione di energia meccanica e la conseguente comparsa di energia termica è prevista

dal Primo Principio che, allo stesso tempo, non prende in considerazione il fenomeno

opposto.

Non si è mai verificato che un pendolo in quiete e libero di muoversi, si sia messo in

movimento assorbendo calore dall’ambiente circostante provocandone un raffreddamento.

Il fatto che, in natura, esistono innumerevoli esempi di trasformazioni irreversibili che avvengono

sempre e solo in un verso stabilito, costituisce la base del SECONDO PRINCIPIO DELLA

TERMODINAMICA.

Inoltre il SECONDO PRINCIPIO stabilisce precise limitazioni o restrizioni all’utilizzo dell’energia

termica allo scopo di produzione di energia meccanica.

Infatti, né il Principio d’Equivalenza né il Primo Principio della Termodinamica escludono la

possibilità di convertire integralmente in lavoro il calore a nostra disposizione.

Il SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA esprime l’impossibilità di convertire una

quantità di energia termica in una pari quantità d’energia meccanica cioè di trasformare

integralmente il calore in lavoro.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


294

L’esistenza del SECONDO PRINCIPIO è la conseguenza di svariate sperimentazioni che, nel

tempo, sono confluite in alcuni importanti ENUNCIATI o postulati:

Enunciato o postulato di LORD KELVIN

Enunciato o postulato di CLAUSIUS

Enunciato o postulato della variazione entropica crescente

Rendimento di una macchina termica

L’ENUNCIATO O POSTULATO DI LORD KELVIN

Il postulato di Lord Kelvin è la conclusione della fase sperimentale durante la quale si tentò di

ricavare lavoro meccanico dalla conversione del calore prelevato da un’unica sorgente termica

senza altri scambi con l’ambiente esterno.

Il postulato di Lord Kelvin afferma:

E’ impossibile realizzare una trasformazione il cui “UNICO risultato” sia

quello di assorbire una determinata quantità di calore da “un’UNICA

sorgente termica” e trasformarla “INTEGRALMENTE” nell’equivalente

lavoro meccanico.

Per la comprensione del postulato è necessario ed essenziale interpretare in senso stretto il

significato di “UNICO risultato”, “un’UNICA sorgente termica” e “INTEGRALMENTE”.

Si prenda ad esempio quello che succede ad un sistema termodinamico contenente gas perfetto nel

caso di una trasformazione isotermica (isodinamica) reversibile o quasi-statica da uno stato “A” ad

uno stato “B” entrambi d’equilibrio.

La trasformazione isoterma è regolata dalla Legge di Boyle-Mariotte e, per essere reversibile o

quasi-statica, deve avvenire per mezzo di una successione infinita di stati d’equilibrio infinitamente

prossimi uno all’altro.

La variazione dei parametri di stato pressione e volume deve essere ottenuta per mezzo di una

variazione continua delle quantità di massa poggianti sul pistone e del contatto del sistema con una

sorgente termica di capacità infinita.

Solo in questo caso limite – che nella realtà pratica è irrealizzabile – la trasformazione è

rappresentata da una successione di punti tutti posizionati su una stessa iperbole equilatera.

Dato che la trasformazione così descritta è reversibile è del tutto ininfluente se essa è percorsa in un

senso o nell’altro.

Decidiamo quindi di considerare il caso in cui il gas si espande.

Occorre quindi diminuire gradatamente la quantità dei pesi sul pistone cui corrisponderà una

diminuzione di pressione p , un aumento di volume V e un prelievo di calore Q dalla sorgente

termica.

Si ricorda che l’espansione provoca una diminuzione della temperatura e il conseguente innesco

dello scambio calorico con la sorgente termica che riporta il livello termico al valore iniziale.

Dato che la trasformazione è isoterma, la temperatura rimane costante e l’energia interna non

subisce variazioni.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


295

Di conseguenza, applicando quanto stabilito dal Primo Principio della termodinamica, si potrà

sicuramente affermare che:

LdUQ

Ma, essendo costante la temperatura, l’energia interna U non cambia e risulta quindi evidentemente

nulla la quantità dU , di conseguenza:

BA UU

0dU

LQ

Cioè:

Durante una trasformazione isoterma ad una qualsiasi temperatura, la

quantità di calore Q prelevata dall’unica sorgente termica è integralmente

trasformata in energia meccanica.

Questa conclusione potrebbe indurci a considerare errato il Postulato di Lord Kelvin in virtù del

fatto che il risultato di questa particolare trasformazione è la completa conversione in lavoro

dell’energia termica assorbita LQ e la stessa energia termica è stata prelevata da un’unica

sorgente.

Quindi i termini "NTEINTEGRALME" e UNICA'un" sorgente”, interpretati in senso stretto alla

luce del risultato ottenuto, farebbero pensare alla falsità del postulato di Lord Kelvin.

Rimane un dubbio sul termine “UNICO RISULTATO” contenuto nel postulato.

Cioè:

Durante la trasformazione isotermica descritta, si ottiene come UNICO RISULTATO la

conversione integrale del calore in lavoro oppure no?

Se la risposta è positiva il postulato di Lord Kelvin è da considerarsi “FALSO”.

Per rispondere proviamo a porci un’altra domanda:

Sarebbe possibile, utilizzando la trasformazione isoterma, convertire integralmente ed in modo

continuativo, senza ricorrere ad altri intermediari, il calore assorbito nell’equivalente quantità

d’energia meccanica?

Per mantenere in modo continuativo tale trasformazione sarebbe necessario assorbire

continuamente calore, ma ciò è possibile solo alla condizione che il gas contenuto nel sistema

continui ad espandersi all’infinito.

Pur supponendo di poter sfruttare le basse pressioni provocate dall’espansione (gli stati d’equilibrio

sono posizionati su un’iperbole equilatera che interseca l’asse orizzontale del volume solo

all’infinito), occorrerebbe tenere conto del fatto che il volume aumenta a dismisura, quando la

pressione tende ad assumere valori prossimi a zero.

Saremmo quindi costretti a realizzare un sistema termodinamico dotato di un cilindro di proporzioni

infinite atto a contenere l’infinita variazione di volume.

Dato che ciò è praticamente impossibile da realizzare risulta evidente che non siamo in grado di

mantenere all’infinito la trasformazione isoterma e, di conseguenza, è anche impossibile la

conversione integrale e continuativa di calore in lavoro.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


296

Qualcuno potrebbe pensare di costruire infiniti sistemi termodinamici ognuno dei quali termina di

essere utilizzato solo nel momento in cui l’espansione del gas ha raggiunto volumi umanamente

realizzabili.

L’idea si dimostrerebbe assurda al solo pensiero del dispendio d’energia e di materiali per ottenere

una quantità d’energia forse minore di quella spesa.

L’idea giusta sarebbe quella di realizzare un solo sistema termodinamico in grado di operare in

modo ciclico, ma, per far ciò, sarebbe necessario dopo un’espansione ammissibile del gas, riportare

il pistone ad un livello più basso e riprendere una nuova trasformazione isoterma.

Tale operazione è evidentemente in contrasto con il postulato di Kelvin in quanto saremmo costretti

a ridurre il volume o raffreddando il gas con una sorgente termica a temperatura più bassa oppure

fornendo al pistone lavoro meccanico di compressione.

In un modo o nell’altro saremmo quindi costretti ad operare ulteriori scambi energetici tra il sistema

e l’ambiente esterno violando il postulato di Lord Kelvin.

Concludendo:

La trasformazione isoterma descritta non ha prodotto come “UNICO

RISULTATO” la conversione integrale di una quantità di calore prelevata da

un’unica sorgente nell’equivalente quantità di lavoro ma anche l’innalzamento

del pistone.

Tale “SECONDO RISULTATO” impedisce l’utilizzo continuativo del sistema

ed è annullato alla sola condizione di ammettere altri scambi energetici.

Ma, se si ammette la possibilità di altri scambi energetici, automaticamente

compare almeno una seconda sorgente termica ed è cosi violato il postulato di

Kelvin.

Di conseguenza dobbiamo concludere che il postulato di Lord Kelvin afferma la verità.

Figura 65 – SCHEMI VIETATI O CONSENTITI IN BASE AL POSTULATO DI LORD KELVIN

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


297

CONSEGUENZE DEL POSTULATO DI LORD KELVIN

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA – MACCHINA TERMICA IDEALE

Una volta dimostrata l’esattezza del postulato di LORD KELVIN, risulta evidente la possibilità di

realizzare un sistema termodinamico che, operando ciclicamente, effettui la conversione di calore in

lavoro, a condizione di ammettere la presenza, non di una ma di due sorgenti termiche a

temperature differenti e di accettare che la conversione di energia termica in energia meccanica non

sia integrale.

Sottoposto a queste condizioni il postulato di Lord Kelvin costituisce il SECONDO PRINCIPIO

DELLA TERMODINAMICA.

Le limitazioni alla conversione di energia termica in energia meccanica sono dunque l’obbligatoria

presenza di una sorgente termica calda (dalla quale è prelevata una quantità di calore) e di una

sorgente fredda o ricevitore (entro la quale è riversata un’altra quantità di calore).

Deve inoltre essere accettato il fatto che, fatto salvo il coefficiente d’equivalenza J , il lavoro

prodotto durante il funzionamento del sistema o macchina termica sia minore dalla quantità di

calore assorbito dalla sorgente calda.

La macchina che converte l’energia termica deve operare in modo ciclico prelevando una quantità

di calore dalla una sorgente termica a temperatura superiore 2T , convertendone una parte in lavoro

meccanico L e restituendo la parte restante ad una sorgente termica (ricevitore) a temperatura

inferiore 1T .

A questa macchina termica ideale non saranno permessi ulteriori scambi termici ed è perciò esclusa

la presenza di altre sorgenti termiche intermedie.

Ciò equivale a dire che il ciclo di funzionamento non potrà che essere composto da due

trasformazioni a temperatura costante (n. 2 isoterme) a da altre due trasformazioni senza scambio di

calore cioè adiabatiche (n. 2 adiabatiche).

La MACCHINA TERMICA IDEALE dovrà quindi operare utilizzando un CICLO DI

CARNOT.

Figura 66 – CICLO DI CARNOT (N. 2 ISOTERME + N. 2 ADIABATICHE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


298

RENDIMENTO DI CONVERSIONE DELLA MACCHINA IDEALE

Visto e considerato che lo studio della termodinamica è mirato alla produzione di lavoro meccanico

dalla conversione dell’energia termica, che il Primo Principio regola le modalità con le quali il

calore, il lavoro e l’energia interna interagiscono ed amplia il concetto di Conservazione

dell’energia meccanica anche ai fenomeni in cui è interessata l’energia termica, che dal Principio

d’Equivalenza si estrae il fattore generale di conversione tra i due tipi di energia in base ai sistemi di

misura adottati, che i postulati di Lord Kelvin e Clausius conducono direttamente alla formulazione

del Secondo Principio in cui sono poste precise limitazioni alla conversione di energia termica,

siamo giunti alla conclusione che la macchina termica ideale deve funzionare in modo ciclico

secondo il ciclo teorico di Carnot e che la conversione integrale dell’energia termica non è

realizzabile.

Rimane da stabilire quanto lavoro meccanico è in grado di produrre una macchina termica ideale

rispetto alla quantità di calore assorbito visto che risulta impossibile una conversione integrale.

E’ ovvio l’interesse per quella macchina che, a parità di energia termica assorbita, produce una

maggiore quantità di lavoro meccanico.

Si definisce quindi “efficienza” o “RENDIMENTO” della macchina termica il rapporto tra il lavoro

utile prodotto (per lavoro utile intendiamo quello effettivamente sfruttabile) e il calore assorbito:

Ass

Utile

Q

L RENDIMENTO

100Q

L

Ass

Utile RENDIMENTO IN PERCENTUALE

E’ già evidente, visto che il postulato di Kelvin e il Secondo Principio escludono la conversione

integrale, che il rendimento della macchina termica ideale sarà sicuramente inferiore all’unità o al

100%.

Ora, senza entrare ancora nel dettaglio degli scambi energetici del ciclo ideale di Carnot, è tuttavia

possibile anticipare lo schema funzionale mediante cui si procede al calcolo del rendimento.

Figura 67 – SCHEMA FUNZIONALE CONVERSIONE CALORE LAVORO

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


299

Per il Principio di conservazione dell’energia, il Principio d’Equivalenza ed il Primo Principio della

Termodinamica applicato alle trasformazioni cicliche, deve valere la regola:

LQJQJ21

Da cui:

21

QQJL

Il “RENDIMENTO” o efficienza della macchina termica, secondo lo schema funzionale sintetico,

sarà calcolato quindi con la seguente:

1

2

1

21

1

21

AssQ

Q1

Q

QQ

QJ

QQJ

Q

L

100Q

Q1

1

2

RENDIMENTO PERCENTUALE

Dato che è impossibile, secondo Kelvin e al conseguente Secondo Principio, realizzare un sistema

termodinamico che, effettuando un processo ciclico, riceva una quantità di calore 1

Q dall’ambiente

esterno e fornisca un lavoro L equivalente a 1

Q , è ovvio che la quantità 2

Q non può essere nulla.

Di conseguenza il Rendimento dovrà sempre essere minore dell’unità ed il rendimento

percentuale minore del 100%.

Per quanto riguarda gli effettivi scambi di calore e lavoro del ciclo di Carnot, si ricorda quanto

segue:

1. Il calore 1Q è assorbito dal sistema durante la fase d’espansione isotermica alla temperatura

maggiore 1T . Esso è convertito integralmente in un’uguale quantità di lavoro 1

L in quanto

durante l’isoterma l’energia interna del gas non subisce variazioni ed il Primo Principio

stabilisce:

11LdUQ

0dU

11LQ

2. Il calore 2Q deve essere ceduto dal sistema durante la fase di compressione isotermica alla

temperatura 2T . In questa fase parte del lavoro ottenuto dalle precedenti trasformazioni,

espansione isotermica ed espansione adiabatica, è riconvertito integralmente in calore e

restituito alla sorgente a bassa temperatura. Ancora il Primo Principio stabilisce:

32LdUQ

0dU

32

LQ

3. Le due trasformazioni che completano il ciclo sono, rispettivamente, un’espansione ed una

compressione, entrambe adiabatiche senza scambio di calore, per le quali il Primo Principio,

afferma:

0LdU21

0LdU42

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


300

Ma, trattandosi di due trasformazioni che collegano le stesse isoterme, si deduce che la variazione

d’energia interna è la stessa in valore assoluto e, di conseguenza i lavori scambiati sono uguali e

contrari:

21dUdU

42LL

Dunque, alla fine, il lavoro 2L , ottenuto dall’espansione adiabatica alle spese dell’energia interna

del gas, è restituito integralmente al gas durante la compressione adiabatica.

La conclusione è che entrambe le quantità di lavoro non sono da considerare agli effetti del calcolo

del rendimento della macchina termica.

Alla fine, non conteggiando i lavori 2L ed 4L per le ragioni sopra esposte, la macchina termica di

Carnot fornisce una quantità di lavoro netto pari alla differenza 31 LL , ma, d’altra parte, fatto

salvo il coefficiente d’equivalenza, tale differenza è anche uguale alla differenza tra il calore

assorbito e restituito, per cui:

2131 QQLLL

Da cui si ottiene il rendimento:

1

2

1

21

1

31

1 Q

Q1

Q

QQ

Q

LL

Q

L

CICLO INVERSO DI CARNOT – FUNZIONAMENTO A POMPA DI CALORE

Se un sistema termodinamico attua un ciclo di Carnot percorrendolo in senso orario – come

illustrato sul diagramma pressione-volume - esso fornisce all’ambiente esterno una quantità di

lavoro ed il sistema funziona come “MACCHINA TERMICA”.

La “Macchina Termica di Carnot” modifica le due sorgenti termiche asportando da quella a

temperatura maggiore una quantità di calore superiore di quella ceduta alla sorgente a temperatura

minore.

Nel contempo anche l’ambiente esterno è modificato dalla quantità di lavoro che proviene dalla

macchina termica.

Se, al contrario, il sistema attua il ciclo di Carnot percorrendolo in senso antiorario, esso è in grado

di trasferire calore prelevandolo dalla sorgente fredda ed inviandolo a quella più calda.

Il sistema funziona come “Pompa di Calore” o “Macchina Frigorifera” senza violare il postulato di

Clausius in quanto il trasferimento da una sorgente fredda ad una calda – mai spontaneo in natura –

è forzato da lavoro meccanico che, dall’esterno, deve essere fornito alla “Macchina Frigorifera”.

Il termine “Pompa di calore” deriva proprio dal fatto che il calore – come succede per analogia

all’acqua da trasferire dal basso verso l’alto – deve essere “Spinto” o “Pompato” da un livello

termico basso (temperatura minore) ad uno più elevato (temperatura maggiore) e la pompa fornisce

la “spinta” occorrente.

Anche la “Pompa di calore” modifica le due sorgenti termiche con l’apporto alla sorgente calda di

una quantità di calore superiore alla quantità asportata alla sorgente fredda di una quantità pari alla

quantità di lavoro fornito.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


301

Il rendimento della Pompa di Calore è uguale a quello della Macchina Termica se entrambe operano

tra le stesse temperature.

Se una “Macchina Termica” e una “Pompa di Calore” attuano ognuna un ciclo di Carnot tra le

stesse sorgenti termiche e se la macchina termica fornisce alla pompa di calore tutto il lavoro

ottenuto dalla conversione dal calore prelevato, alla fine, le due sorgenti e l’ambiente esterno non

subiscono modificazioni.

Figura 68 – FUNZIONAMENTO A “POMPA DI CALORE” E “MACCHINA TERMICA”

Anticipando il concetto di rendimento della macchina di Carnot in funzione delle temperature delle

sorgenti e tenendo conto che le quantità di calore e lavoro scambiate dalla macchina termica di

Carnot sono esattamente scambiate tra loro, quando la macchina inverte il ciclo di funzionamento

comportandosi da frigorifero o da pompa di calore, si ottengono i seguenti risultati:

11

21

Q

L

Q

QQ

LQ

L

Q

QQ

21

21

LLQ 2

LLQ 2

LLQ 2

1LQ 2

1LQ 2 Calore assorbito dal ciclo frigorifero

111

L

Q 2

Coefficiente di efficienza del ciclo frigorifero.

1QL 2 Lavoro assorbito dal ciclo frigorifero

LLQQ 21 Calore ceduto dal ciclo frigorifero

1

L

Q 1 Coefficiente di efficienza per pompa di calore

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


302

IL RENDIMENTO IN FUNZIONE DELLE TEMPERATURE DELLE DUE SORGENTI

Si vuole dimostrare che il Rendimento di una macchina termica ideale, funzionante secondo il ciclo

di Carnot tra le sole due temperature 1

T e 2

T , dipende in modo esclusivo dal rapporto tra la

temperatura minima e massima.

Cioè:

1

2

T

T1

Si ricorda che, in base alle definizioni precedenti, l’efficienza o rendimento di una macchina

termica di Carnot – l’unica tra tutte le macchine cicliche che può operare tra solo due livelli di

temperatura in quanto composta da due trasformazioni adiabatiche mentre per ogni altra

trasformazione non adiabatica occorrerebbero in realtà infinite sorgenti intermedie per rendere la

trasformazione reversibile – è il rapporto tra il lavoro prodotto e il calore assorbito.

Il rendimento serve dunque a misurare anche il fattore di conversione nel passaggio dall’energia

termica a quella meccanica ed è, per quanto stabilito dal postulato di Kelvin e dal Secondo

Principio, necessariamente sempre minore dell’unità.

Vale quindi la formula generale:

1

2

1

21

1 Q

Q1

Q

QQ

Q

L

Per dimostrare che le due formulazioni del rendimento sono equivalenti occorre ripartire con

l’analisi delle quantità di calore e lavoro scambiate durante le varie fasi del ciclo di Carnot.

1

2

1

2

T

T1

Q

Q1

1L L 3

Figura 69 – LAVORO FORNITO ED ASSORBITO DURANTE LE ISOTERME

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


303

L 3 L 1

Figura 70 – LAVORO EQUIVALENTE RICAVATO CON LA FORMULA DELL’ADIABATICA

Come già detto le quantità di calore 1

Q e 2

Q sono scambiate durante le due trasformazioni

isoterme mentre la temperatura e l’energia interna si mantengono costanti.

Dal Primo Principio si deduce che la quantità 1

Q è convertita integralmente in lavoro, mentre, la

quantità 2

Q - restituita dal sistema alla sorgente fredda – deriva dalla conversione integrale di

lavoro esterno.

Ciò può essere espresso da:

11 LQ Trasformazione A-B

23 QL Trasformazione C-D

Con:

1L Lavoro ricavato dall’espansione isotermica alla temperatura 1

T .

3L Lavoro assorbito durante la compressione isotermica alla temperatura 2

T

D’altra parte le quantità di lavoro 1

L ed 3

L sono determinate dall’area delle superfici sottostanti le

rispettive isoterme e delimitate, a sinistra e destra, dai valori del volume in corrispondenza dei punti

interessati.

Dal calcolo delle due aree possiamo determinare le quantità di lavoro e, di conseguenza, le quantità

di calore scambiate.

Fissiamo l’attenzione sul calcolo della superficie sottostante l’isoterma alla temperatura maggiore.

Durante la trasformazione da “A” a “B” si ha l’espansione del gas con diminuzione della pressione

e aumento di volume.

La variazione della pressione e del volume sono regolati dalla Legge di Boyle-Mariotte e anche

dall’equazione generale di stato:

1TRnVp

Essendo costante la temperatura, il valore della pressione in un punto dipende unicamente dal

valore del volume in quel punto.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


304

La temperatura 1

T è assimilabile ad un coefficiente moltiplicativo da applicare al risultato:

11 KV

RnT

V

RnVp

ISOTERMA BA

Oppure, considerando che anche il numero di moli e la costante di stato non cambiano durante la

trasformazione, si può scrivere:

111 KRn

V

1TRn

V

1T

V

RnVp

Il lavoro 1L è quindi calcolato integrando il valore della funzione Vp tra i limiti rispettivamente

corrispondenti al volume iniziale AV e il volume finale BV , ottenendo il seguente risultato:

A

B1

V

V

V

V

V

V

11

1V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVVpL

B

A

B

A

B

A

La quantità di calore che il sistema ha assorbito durante la trasformazione, è quindi:

A

B111

V

Vlog

J

TRn

J

LQ

Possiamo fare lo stesso ragionamento per il calcolo del lavoro scambiato durante l’isoterma a

temperatura minore 2T :

22 KV

RnT

V

RnVp

ISOTERMA DC

D

C2

V

V

V

V

V

V

22

3V

VlogTRn

V

dVTRndV

V

TRndVVpL

C

D

C

D

C

D

D

C232

V

Vlog

J

TRn

J

LQ

D’altra parte il punto “A” ed il punto “D”, pur essendo collocati su due isoterme diverse, sono però

comuni alla stessa adiabatica di compressione che congiunge i punti e chiude il ciclo, devono quindi

valere contemporaneamente sia la Legge di Poisson che l’Equazione generale di stato:

DDAA

VpVp Legge di Poisson per l’adiabatica di compressione

1AATRnVp

2DDTRnVp

Da cui:

A

1

AV

TRnp

D

2

DV

TRnp

Sostituendo nell’equazione di Poisson, si ottiene:

D

D

2

A

A

1V

V

TRnV

V

TRn

1

D2

1

A1VTVT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


305

Ricavando poi il valore di D

V :

1

A

2

11

DV

T

TV

1

A

2

11

DV

T

TlogVlog

A

2

11

A

2

1D Vlog1

T

TlogVlog

T

TlogVlog1

A

2

1D Vlog

T

Tlog

1

1Vlog

Lo stesso procedimento è adottato per quanto riguarda i punti “B” e “C”, collocati sulle due

isoterme diverse ma sulla stessa linea che rappresenta l’espansione adiabatica CB :

CCBB VpVp Legge di Poisson per l’adiabatica d’espansione

1BB TRnVp

2CC TRnVp

Da cui:

B

1B

V

TRnp

C

2C

V

TRnp

Sostituendo nell’equazione di Poisson, si ottiene:

C

C

2

B

B

1V

V

TRnV

V

TRn

1

C2

1

B1 VTVT

Ricavando poi il valore di CV :

1

B

2

11

CV

T

TV

1

B

2

11

CV

T

TlogVlog

B

2

11

B

2

1C Vlog1

T

TlogVlog

T

TlogVlog1

B

2

1C Vlog

T

Tlog

1

1Vlog

Ritornando poi alla relazione che esprime la quantità di calore 2Q ed utilizzando le relazioni

trovate, si avrà:

D

C232

V

Vlog

J

TRn

J

LQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


306

DC

22 VlogVlog

J

TRnQ

Sostituendo:

A

2

1B

2

122 Vlog

T

Tlog

1

1Vlog

T

Tlog

1

1

J

TRnQ

AB

22 VlogVlog

J

TRnQ

A

B22

V

Vlog

J

TRnQ

Possiamo adesso ricalcolare il rendimento utilizzando i risultati ottenuti:

1

2

1

21

Q

Q1

Q

QQ

Sostituendo:

1

2

A

B1

A

B2

T

T1

V

Vlog

J

TRn

V

Vlog

J

TRn

1

Alla fine:

1

2

T

T1 RENDIMENTO DEL CICLO DI CARNOT

Dalla relazione finale si può comprendere che, per migliore il rendimento di una macchina termica,

dobbiamo necessariamente utilizzare sorgenti termiche ad una differenza di temperatura più elevata

possibile.

Se, ad esempio, la sorgente che cede calore si trova alla temperatura di 1.000 °C e la sorgente che lo

riceve ad una temperatura di 100°C, si otterrà un rendimento massimo di:

%6,70100706,0k273.1

K3731

273000.1

2731001

T

T1

1

2

Ciò significa che per una quantità di calore assorbito pari a 1 Kcal alla temperatura di 1.000 °C, sarà

restituita alla temperatura di 100 °C una quantità di calore pari a 0,294 Kcal mentre sarà fornito un

lavoro utile esterno pari a J955.2Kcal

J186.4Kcal706,0L U

.

Per concludere si tenga presente che i calcoli effettuati non tengono conto dei lavori 2L ed 4L

scambiati durante le fasi d’espansione e compressione adiabatica in quanto, avendo lo stesso valore

e segno contrario, sono ininfluenti.

Si realizza un rendimento tanto maggiore quanto più è alta la temperatura 1

T della sorgente calda o

quanto più è bassa quella 2

T della sorgente fredda, in sostanza quanto più è piccolo il rapporto

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


307

1

2

T

T. E’ evidente che non è possibile con una macchina ciclica trasformare in lavoro tutto il calore

estratto dalla sorgente calda perché si dovrebbe disporre di una macchina reversibile e di una

sorgente termica alla temperatura dello zero assoluto.

Le varie specie di energia non si trasformano con uguale facilità l’una nell’altra; un lavoro

meccanico può trasformarsi completamente in calore, ma una quantità di calore estratta da una

sorgente può essere trasformata in lavoro con una macchina termica solo in parte, mentre la parte

restante finisce a corpi meno caldi.

Questi ultimi, usati come sorgenti calde per altre macchine termiche, risultano sempre meno

convenienti (si ricordi che il rendimento è tanto più grande quanto maggiore è 1

T ).

Le continue trasformazioni che avvengono in natura fanno diminuire costantemente le differenze tra

le temperature dei vari corpi e, come conseguenza, l’energia assume forme sfruttabili sempre più

difficilmente, cioè L’ENERGIA SI DEGRADA IN CONTINUAZIONE.

Allorché, in ogni parte di spazio, si avrà la stessa temperatura saranno impossibili tutti i tipi di

trasformazione d’energia.

Combinando le due relazioni che esprimono il rendimento di una macchina termica reversibile,

l’una partendo dagli scambi di calore tra le due sorgenti, l’altra dalla differenza di temperatura tra le

stesse sorgenti, si perviene alla seguente espressione:

1

2

RT

T1

1

2

RQ

Q1 A

1

2

1

2

Q

Q1

T

T1

Da cui si ottiene:

1

2

1

2

Q

Q

T

T

Cioè:

2

2

1

1

T

Q

T

Q

0T

Q

T

Q

2

2

1

1 Valida per un ciclo reversibile

Nota A :

Il passaggio dalla formula del rendimento più utilizzata:

1

2

RQ

Q1 1

all’altra, meno famigliare:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


308

1

2

R

Q

Q1 2

che, alla fine, serve per stabilire una relazione tra il calore scambiato durante il ciclo reversibile e i

rispettivi limiti di temperatura delle sorgenti cedenti e riceventi, è dovuta alla sola interpretazione

dell’effettivo segno algebrico delle quantità di calore in gioco.

Per quanto riguarda la formula 1 :

Essa non tiene conto del fatto che il calore scambiato dal sistema con l’ambiente esterno

deve essere considerato positivo se entrante e negativo se uscente.

Dato che il rendimento deve comunque essere sempre minore del 100%, il valore algebrico

del rapporto

1

2

Q

Q deve comunque essere sempre considerato positivo.

In realtà, considerando che il calore ceduto 2

Q è in effetti negativo in quanto ceduto e il

calore 1

Q positivo in quanto assorbito, il rapporto dovrebbe essere considerato negativo.

Il modo più formalmente corretto esprimere il rendimento sarebbe quello di utilizzare i soli

valori assoluti delle quantità di calore:

1

2

RQ

Q1

1

2

RQ

Q1

Per quanto riguarda la formula 2 :

Se si utilizza tale formula per il calcolo del rendimento occorre tenere conto degli effettivi

segni algebrici che, fisicamente, rappresentano il flusso di calore entrante e quello uscente.

In ogni caso prevale il segno negativo per il fatto che il rapporto tra il calore ceduto e quello

assorbito è sicuramente negativo.

0Q1

In quanto calore assorbito

0Q1

In quanto calore ceduto

0Q

Q

1

2 In quanto rapporto tra un numero negativo ed uno positivo

1

2

1

2

RQ

Q1

Q

Q1

Di tale considerazione occorre dunque tenere conto anche nella formula finale:

0T

Q

T

Q

2

2

1

1

0

T

Q

T

Q

2

2

1

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


309

L’ENUNCIATO O POSTULATO DI CLAUSIUS

Anche il postulato di CLAUSIS deriva dalla sperimentazione e dalla constatazione che alcuni

fenomeni legati alle grandezze calore e temperatura avvengono spontaneamente in natura solo in un

verso.

Il postulato di CLASIUS afferma:

E’ impossibile che avvenga spontaneamente una trasformazione il cui

“SOLO” risultato finale sia quello di trasferire calore da un sistema ad una

temperatura minore ad un sistema a temperatura maggiore.

E’ impossibile realizzare una macchina termica o una trasformazione il cui

“UNICO” risultato sia quello di prelevare calore da una sorgente fredda e

trasferirlo ad una sorgente calda.

In altre parole il postulato afferma che il calore non passa mai spontaneamente da un corpo freddo

ad un corpo caldo.

Il flusso di calore è tale da produrre sempre un livellamento dei livelli termici e mai ad accentuarne

la differenza.

Esistono sistemi in grado di trasferire calore da corpi freddi a corpi caldi, ad esempio i frigoriferi, a

condizione che sia ad essi fornita una certa quantità di lavoro meccanico.

Ciò non vietato dal Postulato di CLAUSIUS che, infatti, non prevede l’intervento di scambi

energetici con un altro sistema.

Anche il postulato di Clausius, come quello di Lord Kelvin, è, in pratica, una formulazione del

Secondo Principio della Termodinamica.

EQUIVALENZA DEI POSTULATI DI LORD KELVIN E DI CLAUSIS

Si vuole dimostrare ora che i due postulati su cui si basa il Secondo Principio della Termodinamica

sono perfettamente equivalenti nella loro formalità.

Per fare ciò basterebbe dimostrare che, se uno dei due non affermasse la verità – fosse cioè falso –

lo sarebbe di conseguenza anche l’altro.

SUPPONIAMO CHE SIA FALSO IL POSTULATO DI CLAUSIS.

Se fosse falso il postulato di Clausius saremmo in grado di realizzare una macchina termica in grado

di trasferire calore da un corpo freddo ad uno caldo senza che avvengano altri scambi di calore o

lavoro con il mondo esterno.

Supponiamo di aver costruito una simile macchina termica – che definiamo “macchina di Clausius”

– ed immaginiamo di poterla affiancare ad una macchina termica reversibile che, prelevando una

certa quantità di calore ad una sorgente alla temperatura 1T , sia in grado di convertirne una parte in

lavoro e restituire l’altra parte, ancora sottoforma di calore ma ad una temperatura 2T minore di 1T ,

alla stessa e ipotetica “macchina di Clausius”.

Definiamo “macchina di Kelvin” un sistema in grado di prelevare una certa quantità di calore dalla

sorgente calda e convertirne una parte in lavoro.

Potremmo pensare che, regolando opportunamente il funzionamento della “macchina di Clausius”,

essa sia in grado, per come è stata definita, di trasferire tutto il calore che riceve dalla “macchina di

Kelvin” come “scarto di lavorazione”, nuovamente alla sorgente a livello termico più elevato.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


310

Se esistesse veramente un tale dispositivo potremmo concludere nel modo seguente:

La “macchina di Kelvin” avrebbe assorbito una quantità di calore 1Q dalla sorgente calda,

producendo un lavoro L e cedendo una quantità di calore 2Q , pari alla differenza tra il

calore 1Q ed il lavoro L , alla “macchina di Clausius”.

La sorgente calda avrebbe perso quindi una quantità d’energia pari a 1Q mentre l’ambiente

esterno avrebbe ricevuto una quantità di lavoro pari alla differenza tra l’energia assorbita e

quella ceduta alla “macchina di Clausius”.

La “macchina di Clausius” sarebbe poi in grado di restituire la quantità di calore 2Q alla

sorgente calda.

Il bilancio energetico finale della sorgente calda sarebbe quindi il seguente:

J

LQQ 21 Calore assorbito dalla “macchina di Kelvin”

J

LQQ 12 Calore restituito dalla “macchina di Clausius”

J

L

J

LQQQQ 1121

Cioè l’energia termica finale della sorgente calda sarebbe diminuita di una quantità di calore

pari al lavoro prodotto dalla “macchina di Kelvin” opportunamente trasformato con utilizzo

del coefficiente d’equivalenza.

Esaminando il bilancio energetico della sorgente calda ci accorgeremmo che, alla fine delle

operazioni, la quantità d’energia è calata esattamente della quantità di lavoro ceduto

all’ambiente esterno.

In altre parole la “macchina di Kelvin” avrebbe convertito integralmente il calore prelevato

dalla sorgente calda in lavoro meccanico violando il postulato di Kelvin.

Si conclude che se fosse falso il postulato di Clausius risulterebbe possibile costruire una

macchina di Kelvin con rendimento pari al 100% e, di conseguenza, sarebbe falso anche il

postulato di Lord Kelvin.

Figura 71 – DISPOSITIVO IPOTETICO CHE VIOLA IL POSTULATO DI LORD KELVIN

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


311

SUPPONIAMO CHE SIA FALSO IL POSTULATO DI LORD KELVIN.

Se fosse falso il postulato di Lord Kelvin sarebbe automaticamente possibile costruire un sistema

termodinamico in grado di prelevare calore da un’unica sorgente e convertirlo integralmente in una

quantità equivalente di lavoro meccanico.

Si verificherebbe cioè la seguente condizione:

IIPOTESI: 0Q 2

TESI: LQJ 1 Conversione integrale

Prelievo da unica sorgente

%1001

Con il lavoro prodotto dalla conversione del calore 1Q sarebbe quindi possibile alimentare una

nuova macchina il cui unico scopo sarebbe quello di riconvertire il lavoro fornito facendo

aumentare, ad esempio, la temperatura di una sorgente ad un livello superiore a quello della

sorgente da cui è stato prelevato il calore 1Q .

Se fosse possibile realizzare un’ipotetica macchina a cui è permesso violare il postulato di Lord

Kelvin, sarebbe quindi altrettanto possibile realizzare un dispositivo che, nel complesso, viola il

postulato di Clausius trasferendo calore da una sorgente fredda ad una calda senza ulteriori scambi

intermedi.

Figura 72 – IPOTETICA MACCHINA DI LORD KELVIN E DISPOSITIVO CHE VIOLA IL

POSTULATO DI CLAUSIUS.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


312

MACCHINE TERMICHE REVERSIBILI E IRREVERSIBILI.

TEOREMA DI CARNOT Si è detto che, visto il postulato di Lord Kelvin, è possibile la formulazione del secondo Principio

della Termodinamica in base al quale è accettata la possibilità di convertire calore in lavoro

meccanico a condizione di operare tra solo due livelli di temperatura ed accettare il fatto che non

tutto il calore può essere trasformato in lavoro.

La sola macchina termica che può operare, in modo reversibile, tra i limiti di temperatura prefissati

risulta quindi la Macchina di Carnot in quanto funzionante secondo due trasformazioni adiabatiche.

Qualsiasi altra macchina che funzioni utilizzando un ciclo diverso da quello di Carnot può essere

considerata reversibile alla sola condizione di ammettere la presenza di infinite altre sorgenti

termiche il cui livello varia in modo continuo tra la temperatura massima e quella minima delle

relative isoterme di assorbimento e cessione calore.

Ogni macchina reversibile, diversa da quella operante con il ciclo di Carnot, funziona quindi tra

infiniti livelli di temperatura e non possiede quindi i requisiti richiesti dal Secondo Principio della

Termodinamica.

In altre parole:

Una macchina termica che opera ciclicamente in modo reversibile tra due sole capacità

termiche deve essere una macchina di Carnot.

Infatti un qualsiasi altro ciclo tra le due stesse temperature estreme comporterebbe scambi

di calore con differenze di temperature finite e pertanto non sarebbe reversibile.

In sostanza se due macchine termiche operano tra due livelli di temperatura, o

sono macchine di Carnot o sono macchine irreversibili.

Il Teorema di Carnot serve a dimostrare che nessuna macchina termica operante tra due sole

sorgenti termiche può avere un rendimento superiore al rendimento di una “macchina di Carnot”,

che tutti i cicli di Carnot tra le stesse temperature hanno lo stesso rendimento e che se una macchina

termica ha un rendimento pari al rendimento del ciclo di Carnot non può essere altro che essa stessa

una macchina di Carnot reversibile.

TEOREMA DI CARNOT

Il teorema di Carnot stabilisce che, considerata una “macchina termica reversibile R ”di rendimento

R e una “macchina qualsiasi Z ” con rendimento Z , entrambi operanti tra le stesse temperature

1T e 2T , deve sempre valere la seguente condizione:

Ipotesi: Macchina "R" Reversibile (quindi necessariamente di Carnot)

Macchina "Z" Qualsiasi (quindi necessariamente irreversibile)

Macchine R" e "Z Operanti entrambi tra 1T e 2T

TESI: ZR

Dove il segno “uguale” è valido solo se la macchina "Z" è anch’essa reversibile quindi

anch’essa necessariamente una “macchina di Carnot”.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


313

La dimostrazione del Teorema di Carnot si basa sulla definizione di rendimento di una macchina

termica che, come visto in precedenza, è definito genericamente da:

1

2

Q

Q1

La macchina "R" funziona con il ciclo di Carnot e il suo rendimento è quindi:

R

1

R

2

R

Q

Q1

La macchina "Z" è una macchina qualsiasi ed il suo rendimento è:

Z

1

Z

2

Z

Q

Q1

Il lavoro meccanico che le due macchine forniscono all’ambiente esterno, convertendo parte del

calore assorbito, è: R

2

R

1

RQQL

Z

2

Z

1

ZQQL

Per dimostrare il Teorema di Carnot, cioè che il rendimento di una macchina di Carnot è sempre

superiore a quello di una macchina qualsiasi operante tra le stesse temperature, si immagini che ciò

non sia vero supponendo perciò che esista una macchina qualsiasi il cui rendimento sia superiore a

quello della macchina di Carnot:

Per ipotesi assurda: ZR

Utilizzando le formule del rendimento, si ottiene:

Z

1

Z

2

R

1

R

2

Q

Q1

Q

Q1

Da cui:

Z

1

Z

2

R

1

R

2

Q

Q

Q

Q 1

Pensiamo ora di regolare opportunamente il funzionamento della macchina reversibile "R" in

modo tale che la quantità di calore assorbita R

1Q sia perfettamente uguale alla quantità di calore

Z

1Q assorbita dalla macchina qualsiasi "Z" , perciò:

Z

1

R

1QQ

In base a questa considerazione otteniamo che la 1 deve essere:

Z

2

R

2QQ 2

ZR

LL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


314

Cioè:

La quantità di calore ceduta alla sorgente fredda dalla macchina reversibile, a parità di calore

assorbito, deve risultare maggiore di quella ceduta dalla macchina qualsiasi.

Di conseguenza, se fosse vera l’ipotesi di partenza, il lavoro svolto dalla macchina

reversibile "R" sarebbe minore di quello prodotto dalla macchina "Z" qualsiasi.

Dopo la regolazione si procede con l’inversione del ciclo della macchina "R" che, essendo

reversibile, può funzionare anche come “pompa di calore”.

La nuova macchina reversibile *"R" è ora in grado di assorbire calore dalla sorgente fredda 2

T e

trasferirlo a quella calda 1

T .

Se, per il funzionamento di *"R" come pompa di calore, si utilizza il lavoro Z

L prodotto dalla

macchina "Z" , che, dopo la regolazione di "R" , è maggiore di R

L e si pensa di mantenere

inalterata la quantità di calore *R

2Q prelevata dalla sorgente fredda, si avrà, di conseguenza un

aumento della quantità di calore *R

1Q ceduta alla sorgente calda rispetto alla quantità

Z

1Q assorbita

dalla macchina "Z" .

Alla fine delle operazioni ipotizzate, il bilancio energetico delle due sorgenti termiche sarà il

seguente:

Dalla sorgente fredda la pompa di calore *"R" , alimentata dal lavoro prodotto dalla

macchina "Z" , sottrae una quantità di calore *R

2Q maggiore della quantità di calore

Z

2Q

che la macchina "Z" fornisce alla stessa sorgente.

L’energia termica della sorgente fredda diminuisce quindi della quantità: Z

2

*R

22TQQQ

La sorgente calda riceve dalla pompa di calore *"R" una quantità di calore *R

1Q maggiore

della quantità Z

1Q assorbita dalla macchina "Z" .

L’ambiente esterno non è modificato in quanto tutto il lavoro prodotto dalla macchina "Z"

è stato utilizzato per il funzionamento della pompa di calore *"R" .

Conclusione:

Dall’ipotesi di partenza, ove si riteneva falso il teorema di Carnot, si giunge alla conclusione che

sarebbe così possibile realizzare un dispositivo in grado di trasferire calore da una sorgente fredda

ad una calda senza l’intervento di ulteriori scambi di lavoro o calore con l’ambiente esterno.

Avremmo in pratica realizzato un dispositivo che, senza consumare energia, raffredda ancor di più

la sorgente fredda e riscalda ancor di più la sorgente calda aumentando così il dislivello termico tra

le due sorgenti.

Ma un tale dispositivo sarebbe in netto contrasto con quanto espresso dal postulato di Clausius ed è

quindi evidente che è impossibile da realizzare.

L’ipotesi di partenza in cui si ammetteva il maggior rendimento della macchina qualsiasi rispetto

alla macchina di Carnot deve quindi essere falsa.

Di conseguenza deve essere vera l’ipotesi contenuta nel teorema di Carnot:

ZR

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


315

In conclusione:

Il rendimento di una macchina termica che funziona utilizzando un ciclo diverso da

quello di Carnot è sempre minore del rendimento di una macchina termica che

utilizza il ciclo di Carnot.

Ciò è vero se le due macchine operano tra gli stessi livelli termici estremi 1

T e 2

T .

Il rendimento di una macchina di Carnot reversibile, composta da trasformazioni

reversibili, è comunque sempre superiore ad una macchina irreversibile.

Figura 73 – PER ASSURDO: RENDIMENTO DI "R" MINORE DEL RENDIMENTO DI "z"

Figura 74 – PER ASSURDO: IL DISPOSITIVO TRASFERISCE CALORE DALLA SORGENTE FREDDA

A QUELLA CALDA SENZA SCAMBI DI ENERGIA CON L’AMBIENTE ESTERNO

VIOLANDO IN QUESTO MODO IL POSTULATO DI CLAUSIUS.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


316

Dalla dimostrazione per assurdo del Teorema di Carnot e ricordando la definizione di rendimento in

funzione delle temperature estreme del ciclo reversibile si ottiene le seguenti relazioni:

ZR

Teorema di Carnot

1

2

1

2

1

2

RT

T1

Q

Q1

Q

Q1 Macchina reversibile

0T

Q

T

Q

2

2

1

1

1

2

1

2

ZT

T1

Q

Q1 Macchina irreversibile

1

2

1

2

T

T

Q

Q

1

1

2

2

T

Q

T

Q

0T

Q

T

Q

2

2

1

1

Per un ciclo utilizzato da una macchina non reversibile, dunque diversa dalla macchina di Carnot, la

sommatoria algebrica dei rapporti tra i calori scambiati e le rispettive temperature è sempre minore

di zero.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


317

ESERCIZI – SECONDO PRINCIPIO TERMODINAMICA

ESERCIZIO N. 1

In una macchina termica, il cui rendimento è 24,0 , la caldaia fornisce una quantità di calore

pari a Kcal4400Q in un dato intervallo di tempo.

Determinare il lavoro prodotto dalla macchina in questo intervallo di tempo, la quantità di calore

necessariamente dispersa per raffreddamento e la potenza termica della caldaia se si tiene conto che

il calore è fornito in un tempo pari s10t .

Soluzione:

Il rendimento di una macchina termica è dato dalla relazione:

.Ass

Utile

1

21

Q

L

Q

QQ

La quantità di lavoro utile è quindi data da:

J1042,4Kcal

J186.4Kcal400.424,0QL

6

AssU

La quantità di calore dispersa per raffreddamento è pari alla differenza tra il calore fornito e il

lavoro prodotto:

J10399,1J1042,4Kcal

J186.4Kcal400.4Q

76

2

La potenza termica totale è data:

kW842.1

s

J10842,1

s10

Kcal

J186.4Kcal400.4

P6

T

h

Kcal000.264

s

Kcal440

s10

Kcal400.4PT

ESERCIZIO N. 2

Una macchina termica sviluppa una potenza kW6,11P assorbendo tutto il calore emesso dalla

combustione di 5,0 kg di benzina in un’ora.

Considerando il potere calorifico della benzina pari a

kg

J102,4p

7

C, determinare il

rendimento della macchina termica.

Soluzione:

Con il dato della potenza ed il riferimento ad un tempo di funzionamento di un’ora, si determina il

lavoro complessivamente svolto in detto periodo di tempo:

t

LP

h

J10176,4

h

s3600

s

J600.11tPL

7

Il lavoro eseguito dalla macchina in un’ora deriva dall’assorbimento del calore prodotto dalla

combustione della benzina e dalla conseguente conversione di parte di esso in lavoro.

La quantità di calore assorbito è:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


318

h

J101,2

kg

J102,4

ora

kg0,5Q

87

1

Perciò il rendimento della macchina termica è:

%9,19100199,0

h

J101,2

h

J10176,4

100Q

L

8

7

1

ESERCIZIO N. 3

Un motore termico sviluppa una potenza di 15 kW con un rendimento del 10 %. Determinare le

quantità di calore 1Q e 2Q scambiate ogni secondo, rispettivamente con la caldaia e il refrigerante.

Soluzione:

Dal dato della potenza e con riferimento al tempo di 1 secondo:

s

J000.15

t

LP

J000.15s1s

J000.15tPL

Utilizzando il valore del rendimento si ottiene quindi il calore scambiato con la caldaia:

10,0Q

L

1

s

cal834.35

Kcal

J186.4

s

J000.150

s

J000.150

1,0

s

J000.15

1,0

LQ 1

E con il refrigerante:

1

2

1

21

Q

Q1

Q

QQ

1Q

Q

1

2

s

cal250.32

s

J000.1359,0

s

J000.1501QQ 12

ESERCIZIO N. 4

Un motore termico sviluppa una potenza di 13 kW con un rendimento del 18 % prelevando calore

da una caldaia alimentata a carbon coke il cui potere calorifico è

kg

J1034,3P

7

C.

Determinare la quantità di carbone consumato dal motore in un’ora di funzionamento.

Soluzione:

Dalla potenza, dal rendimento e dal periodo di funzionamento del motore si ottiene:

s

J000.13

t

LP

h

J1068,4

h

s3600

s

J000.13tPL

7

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


319

1Q

L

h

J106,2

18,0

h

J1068,4

LQ

8

7

1

Dalla quantità di calore fornita, in un’ora, alla caldaia dalla combustione del carbone e dal potere

calorifico, si ottiene quindi la quantità di combustibile necessario:

CCoke1 PMQ

h

kg78,7

kg

J1034,3

h

J106,2

P

QM

7

8

C

1Coke

ESERCIZIO N. 5

Una centrale utilizza vapore per azionare le turbine e generare energia elettrica. La potenza generata

dalla centrale è di MW105,13

, ma il rendimento del processo di conversione in energia elettrica

è del 30%.

Trascurando l’energia utilizzata dalla centrale per funzionare, si supponga che tutto il calore in

eccesso sia eliminato trasferendolo ad un fiume la cui portata è pari a

s

m75

3

.

Determinare quanto calore è smaltito nel fiume ogni secondo.

Determinare l’aumento di temperatura dell’acqua del fiume ossia il grado di inquinamento termico.

Soluzione:

Dal valore della potenza e del rendimento di conversione, si ricava il valore del calore necessario

alla centrale:

s

J105,1W105,1

t

LP

99

J105,1s1s

J105,1tPL

99

3,0Q

L

1

J105

3,0

J105,1LQ

99

1

per ogni secondo

Si determina poi la quantità di calore da smaltire:

1

2

1

21

Q

Q1

Q

QQ

J105,370,0J1051QQ99

12 per ogni secondo

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


320

Infine l’incremento di temperatura dell’acqua del fiume:

tcmQ s2

K15,11

Kkg

J186.4

s

kg000.75

s

J105,3

cm

QT

9

s

2

ESERCIZIO N. 6

Una valvola termoionica sviluppa una potenza pari a W102P4

con un rendimento pari al

%65 . Il sistema di raffreddamento per mantenere l’efficienza è ad acqua.

Determinare la portata d’acqua in s

m3

, se si vuole che l’acqua del sistema di raffreddamento non

abbia incrementi di temperatura superiori a 10° C.

Soluzione:

s

J102

t

LP

4

J102s1s

J102tPL

44

LQ

L

Q

L

21

LLQ 2

1LQ 2

s

J769.10

65,0

35,0

s

J102

1LQ

4

2

La portata minima d’acqua di raffreddamento è calcolata imponendo che il salto termico non sia

superiore a 10 °C:

TCmQ s2

s

m106,2

s

dm26,0

s

kg26,0

K10Kkg

J186.4

s

J769.10

TC

Qm

34

3

s

2

ESERCIZIO N. 7

Una mole di gas perfetto biatomico è contenuta in un recipiente termicamente isolato. Un pistone,

termicamente isolante, chiude il recipiente e può scorrere senza attrito. La pressione del gas è di 200

kPa, mentre le sua temperatura è di 450 K. La pressione esterna è di 100 kPa.

Il pistone, inizialmente bloccato, è liberato dai blocchi ed il gas si espande in modo irreversibile.

Trascorso un tempo sufficientemente lungo, il gas raggiunge uno stato d’equilibrio.

Il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione è di J102,13

.

Determinare la temperatura d’equilibrio del gas.

Determinare quale sarebbe la temperatura d’equilibrio se l’espansione fosse stata reversibile.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


321

Soluzione:

Con l’equazione di stato è possibile determinare il volume occupato dal gas nello stato d’equilibrio

iniziale con pistone bloccato:

32

2

1

1 m1087,1

m

N000.200

K450Kmole

mN314,8mole1

p

TRnV

La trasformazione irreversibile è di tipo adiabatico in quanto, per via delle pareti isolanti, non sono

permessi scambi di calore con l’ambiente esterno.

La quantità di lavoro eseguita dal sistema durante l’espansione adiabatica (si tratterà di una

espansione in quanto la pressione iniziale del gas con pistone bloccato è superiore alla pressione

esterna) è prodotta a spese dell’energia interna iniziale che, alla fine della trasformazione sarà

sicuramente inferiore.

Utilizzando il primo principio:

LdU

J102,1T1

Rmole1TCndU

3

V

K7,57

mole1Kmole

J314,8

1J102,1T

3

Per cui la temperatura finale al termine della trasformazione irreversibile sarà:

K3,3927,57450TTT 12

A questa temperatura e alla pressione finale, necessariamente uguale alla pressione esterna, dovrà

corrispondere un volume finale:

32

2

2

22 m1026,3

m

N000.100

K3,392Kmole

mN314,8mole1

p

TRnV

D’altra parte la pressione finale del gas nel cilindro, al termine della trasformazione, deve essere

necessariamente pari alla pressione esterna e quindi, se la trasformazione fosse adiabatica

reversibile, si utilizzerebbe la legge di Poisson:

2211 VpVp

Il volume finale sarebbe quindi il seguente:

324,1

1

32

1

2

112 m1006,3

000.100

000.200m1087,1

p

pVV

La temperatura finale dell’ipotetica trasformazione adiabatica reversibile si potrebbe calcolare sia

utilizzando l’equazione di Poisson sia direttamente con l’equazione di stato.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


322


K368

Kmole

mN314,8mole1

m1006,3

m

N000.100

Rn

VpT

32

222

2

Con l’equazione di Poisson combinata con l’equazione di stato:

111 TRnVp

222 TRnVp

Da cui:

1

11

p

TRnV

2

22

p

TRnV

2

22

1

11

p

TRnp

p

TRnp

2

1

21

1

1TpTp

K3691

2K450

p

pTT

40,1

40,01

2

112

Se la trasformazione fosse stata adiabatica reversibile la variazione d’energia interna e, di

conseguenza, il lavoro fornito all’esterno, sarebbe stata:

J5,683.13694501

Rmole1TCnLdU V

ESERCIZIO N. 8

Determinare il rendimento delle macchine termiche reversibili che funzionano tra le seguenti coppie

di temperature:

K600T1 K340T 2

K600T1 K300T 2

K600T1 K200T 2

K300T1 K10T 2

K300T1 K1T 2

Soluzione:

Per una macchina reversibile il rendimento si calcola con:

1

2

T

T1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


323

Per cui:

%3,43600

3401

T

T1

1

21

%50600

3001

T

T1

1

22

%7,66600

2001

T

T1

1

23

%7,96300

101

T

T1

1

24

%7,99300

11

T

T1

1

25

ESERCIZIO N. 9

Una macchina di Carnot esegue cicli scambiando calore con due sorgenti ideali, una a temperatura

K350T1 , l’altra a temperatura K273T 2 .

La macchina, inoltre, cede al termostato più freddo una quantità di calore pari a Kcal60Q 2 .

Calcolare il calore assorbito dalla macchina dalla sorgente calda e il lavoro effettuato in 15 cicli

completi.

Soluzione:

Si calcola il rendimento della macchina di Carnot:

22,0350

2731

T

T1

1

2

Il rendimento è anche dato dalla relazione:

22,0Q

QQ

Q

Q1

1

21

1

2

Da cui si ottiene il calore assorbito dalla sorgente calda:

121 Q22,0QQ

J322.322

Kcal

J186.4Kcal77Kcal77

78,0

Kcal60

22,01

QQ

21

Se sono effettuati 15 cicli completi il calore assorbito e il lavoro effettuato sono rispettivamente:

MJ83,4322.32215Q cicli151

MJ07,1Kcal

J186.4Kcal607715QQ15L 21cicli15

ESERCIZIO N. 10

Una macchina termica opera cicli irreversibili scambiando calore con due sorgenti termiche a

temperatura C10T1 e C150T 2 . Per sollevare un corpo di 10 kg ad un’altezza di 3 m la

sorgente a temperatura maggiore trasmette alla macchina termica una quantità di calore pari a

cal000.1Q 1 .

Determinare il rendimento della macchina e confrontarlo con quello di una macchina di Carnot che

opera tra le due stesse temperature.

Soluzione:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


324

Per il sollevamento di un corpo di massa m ad una quota h , occorre fornire un lavoro pari

all’incremento di energia potenziale:

J3,294m3

s

m81,9kg10hgmL

2

Tale è il lavoro prodotto dalla macchina irreversibile che è anche uguale alla differenza tra il calore

assorbito e quello ceduto alla sorgente fredda.

Il rendimento della macchina irreversibile si calcola quindi:

%707,0

cal

J186,4cal000.1

J3,294

Q

L

Q

QQ

11

21IRREV

Se si trattasse di una macchina di Carnot, avrebbe un rendimento pari a:

%3333,0273150

273101

T

T1

1

2

Essa assorbirebbe dalla sorgente ad alta temperatura una quantità nettamente inferiore da quella, in

effetti, prelevata dalla macchina irreversibile:

cal213J8,891

33,0

J3,294LQ 1

ESERCIZIO N. 11

Una macchina termica opera cicli di Carnot. La sorgente a temperatura più alta si trova alla

temperatura K535T1 , mentre, l’altra è alla temperatura del ghiaccio fondente.

Durante il ciclo sono fusi 10 kg di ghiaccio (calore latente di fusione pari a

kg

J1035,3

5 .

Determinare il calore ceduto alla macchina dalla sorgente calda.

Soluzione:

Con la quantità di ghiaccio fuso e il valore del calore latente di fusione è possibile determinare la

quantità di calore ceduto dalla macchina termica alla sorgente fredda:

J1035,3kg10kg

J1035,3mCQ

4

L2

Con le temperature di scambio termico si determina poi il rendimento della macchina di Carnot:

49,0535

2731

T

T1

1

2

Con il valore del rendimento e del calore ceduto si determina poi il calore assorbito dalla macchina:

1

21

Q

QQ

J1057,6

49,01

J1035,3

1

QQ

66

21

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


325

ESERCIZIO N. 12

Una macchina termica ideale opera tra le temperature 1T e 2T con 21 TT . Per ottenere dalla

macchina un rendimento maggiore, si pensa di aumentare di T la differenza di temperatura tra le

sorgenti. Questo può essere fatto aumentando la temperatura maggiore mantenendo costante la

temperatura minore, oppure diminuendo la temperatura minore mantenendo costante la temperatura

maggiore.

Determinare se l’aumento del rendimento è lo stesso.

Soluzione:

Il rendimento della macchina ideale è dato da:

1

2

T

T1

Se si pensa di aumentare il rendimento operando una riduzione della temperatura del refrigerante, si

otterrà, per una riduzione pari ad un T qualsiasi, il seguente rendimento:

11

2

1

21

T

T

T

T1

T

TT1

Si ha così un aumento di rendimento, rispetto a quello originale, pari alla differenza:

11

2

11

211

T

T

T

T1

T

T

T

T1

Allo stesso modo, se si pensa di aumentare il rendimento aumentando la temperatura della sorgente

dalla quale la macchina assorbe calore, si avrà:

TT

T1

1

22

In questo caso l’aumento di rendimento sarà:

TTT

TTTT

TT

T

T

T

T

T1

TT

T1

11

112

1

2

1

2

1

2

1

222

TT

T

T

T

TTT

TT

11

2

11

22

Ora è possibile confrontare i due aumenti di rendimento facendo il rapporto tra il primo e il

secondo:

2

1

Il valore del rapporto sarà quindi indicativo dei valori al numeratore e al denominatore che

rappresentano rispettivamente l’aumento di rendimento dovuto alla diminuzione della temperatura

del refrigerante e l’aumento di rendimento per effetto di un incremento della temperatura della

sorgente che cede calore.

Entrambi sono ottenuti con la stessa variazione di temperatura:

1

T

TT

TTT

TTTT

TT

T

T

T

T

T

2

1

21

11

11

2

1

2

1

21

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


326

Il valore del rapporto è sicuramente maggiore dell’unità per ovvi motivi e, di conseguenza,

l’aumento di rendimento dovuto alla riduzione di 2T risulta maggiore.

E’ quindi più conveniente, per aumentare il rendimento di una macchina termica ideale, operare una

riduzione della temperatura 2T piuttosto che aumentare dello stesso valore la temperatura 1T .

L’incremento di rendimento rispetto a quello originale è dato da:

21211

1

1

2

11

2

1

TT

T1

TTT

TT1

T

T1

T

T

T

T1

21

1TT

T1

Esempio:

K100T1

K50T 2

K10T

Da cui si ottiene:

50,0T

T1

1

2

60,0T

TT1

1

21

545,0TT

T1

1

22

2,2T

TT

2

1

2

1

10,050,060,01

045,050,0545,02

1,0045.02,21

6,05,050100

1011

ESERCIZIO N. 13

Un gas perfetto monoatomico compie cicli Stirling scambiando calore con due sorgenti termiche

aventi temperatura una doppia dell’altra. Le trasformazioni isocore del ciclo avvengono a volumi

costanti uno quadruplo dell’altro. Una quantità uguale di gas compie cicli di Carnot tra le stesse

sorgenti e i volumi massimi e minimi raggiunti dal fluido nell’eseguire il ciclo sono gli stessi.

Determinare il rapporto tra i lavori netti compiuti nei due casi.

Soluzione:

Il ciclo Stirling è composto da due isocore e da due isoterme mentre, il ciclo di Carnot da due

adiabatiche e due isoterme.

Il ciclo di Carnot è reversibile in quanto opera tra solo due temperature mentre, il ciclo Stirling per

essere considerato reversibile necessita di infinite capacità termiche a livelli differenti per lo

svolgimento delle trasformazioni isocore.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


327

Calcolo del lavoro utile netto per il ciclo Stirling:

Il lavoro utile netto L effettuato dalla macchina di Stirling è pari alla differenza tra il lavoro

fornito 1L e quello assorbito 2L , rispettivamente durante l’isoterma ad alta temperatura e l’isoterma

a bassa temperatura.

Le due trasformazioni isocore non permettono scambi di lavoro con l’esterno.

Per cui:

1

11

1

21

1

2V

1V

2V

1V

1V

V4logTRn

V

VlogTRndV

V

TRndVvpL

111 TRn39,1

1

14logTRnL

1

11

2

12

2

2V

1V

1V

2V

2V4

VlogTRn

V

VlogTRndV

V

TRndVvpL

222 TRn39,141

1logTRnL

Da cui si ottiene:

22221.Stirl TRn39,1TT2Rn39,1TTRn39,1L

Calcolo del lavoro utile netto per il ciclo di Carnot:

5,0T2

T1

T

T1

2

2

1

2C

5,0Q

L

Q

QQ

11

21C

1

3111C

V

VlogTRn5,0L5,0QL

Per il calcolo di 3V si usa la legge di Poisson per l’adiabatica d’espansione:

2433 VpVp

133 TRnVp

224 TRnVp

2

2

2

3

3

1V

V

TRnV

V

TRn

1

22

1

31 VTVT

2

167,1

1

2

22

1

1

1

223 V36,0

T2

TV

T

TVV

1

11

1

21

1

31

V

V436,0logTR5,0

V

V36,0logTRn5,0

V

VlogTRn5,0L

11Carnot TRn18,01

436,0logTR5,0L

Quindi il rapporto tra i lavori forniti dai due cicli è:

86,3T218,0

T39,1

TRn18,0

TRn39,1

L

L

2

2

1

2

Carn

ST

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


328

ESERCIZIO N. 14

Un gas perfetto biatomico esegue un ciclo Diesel: dallo stato iniziale A di parametri:

Pa10p5

A

34

A m100,5V

K293T A

viene compresso adiabaticamente allo stato B; segue un’espansione isobara fino allo stato C ed una

adiabatica fino allo stato D ove la pressione risulta:

Pa105p5

D

Il ciclo si chiude con un’isocora.

Il rapporto di compressione, ovvero il rapporto tra il volume massimo e quello minimo raggiunti nel

ciclo è 22.

Determinare i valori di pressione, volume e temperatura ai vertici del ciclo.

Determinare inoltre il rendimento del ciclo.

Soluzione:

La prima trasformazione subita dal gas è una compressione adiabatica con aumento un aumento

della temperatura e della pressione e una diminuzione del volume.

L’ultima trasformazione, che chiude il ciclo e riporta il gas ai parametri iniziali, è un’isocora.

Considerando che il rapporto di compressione è 22 e che il volume massimo è quello appartenente

allo stato iniziale A, è possibile determinare il valore del volume minimo – caratteristico dello

spigolo B:

Quindi, riepilogando:

22V

VR

B

AC

3534

AB m103,2

22

m100,5

22

VV

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


329

La compressione adiabatica è regolata dalla legge di Poisson, per cui:

BBAA VpVp

Da cui si ottiene il valore della pressione Bp :

Pa1075,7522Pa10V

Vpp

540,15

B

AAB

E, con l’equazione di stato, il valore della temperatura BT :

BBB TRnVp

AAA TRnVp

K020.1

m105

m

N10

m103,2

m

N1075,75

K293Vp

VpTT

34

2

5

35

2

5

AA

BBAB

Conoscendo il valore della pressione caratteristico del vertice D – dato del problema – e il valore

del volume (volume massimo pari a quello dello stato A) ed utilizzando l’equazione di stato con i

parametri del vertice A, si determina:

DDD TRnVp

AAA TRnVp

AA

DD

A

D

Vp

Vp

T

T

K465.1

m105

m

N10

m105

m

N105

K293Vp

VpTT

34

2

5

34

2

5

AA

DDAD

Gli altri parametri di stato, caratteristici del vertice D sono dati del problema:

Pa105P5

D

34

AD m105VV

Per ultimo si determinano i valori dei parametri di stato del vertice C – punto iniziale

dell’espansione adiabatica sino al punto D:

Vale ancora la legge di Poisson:

DDCC VpVp

Dalla quale si ricava il valore del volume nel vertice C:

354,1

1

5

534

D

1

C

DC m17,7

1075,75

105m105V

P

pV

E ancora con l’equazione di stato, la temperatura è:

CCC TRnVp

DDD TRnVp

DD

CC

D

C

Vp

Vp

T

T

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


330

K182.3

105105

1017,71075,75K465.1

Vp

VpTT

54

55

DD

CC

DC

Riepilogando i risultati:

Vertice A:

K293T A

34

A m105V

021,0

Kmole

mN314,8K293

m105

m

N10

RT

Vpn

34

2

5

Pa10p5

A

Vertice B:

K020.1T B

35

B m103,2V

Pa1075,75p5

B

Vertice C:

K182.3T C

35

C m1017,7V

Pa1075,75p5

C

Vertice D:

K465.1T D

34

D m105V

Pa105p5

D

Con il numero di moli determinato con una qualsiasi delle combinazioni di parametri di stato (ad

esempio per il vertice A), si può determinare il calore e il lavoro scambiato in un ciclo completo:

Per la prima compressione adiabatica A-B:

0Q

K293020.11

Rmoli021,0TTCnUL ABVBABA

J317K293020.1140,1

Kmole

J314,8

moli021,0L BA

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

1

RC V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


331

Per l’isobara B-C:

J311.1368943LdUQ CBCBCB

K020.1182.314,1

Kmole

J314,8

moli021,0TT1

RndU BCCB

J943dU CB

J368103,21017,7

m

N1075,75VVpL

55

2

5

BCBCB

Per l’adiabatica C-D:

0Q

K182.3465.11

Rmoli021,0TTCnUL CDVDCDC

J749K182.3465.1140,1

Kmole

J314,8

moli021,0L BA

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

1

RC V

Per l’isocora D-A:

0L

DAVADAD TTCndUQ

J511465.1293140,1

Kmole

J314,8

moli021,0Q AD

In conclusione, il lavoro utile netto è dato da:

J800749368317L U

Mentre il calore assorbito da:

J311.1Q

E, il rendimento:

61,0

J311.1

J800

Q

L

Q

QQ

1

U

1

21

ESERCIZIO N. 15

Una macchina di Carnot è utilizzata come frigorifero, cioè assorbe una quantità di calore 1Q da una

sorgente “fredda” a temperatura C18t1 , e cede una quantità di calore 2Q ad una sorgente

“calda” a temperatura C25t 2 .

Determinare il lavoro necessario per trasferire una quantità di calore pari a 680 cal da una sorgente

all’altra.

Soluzione:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


332

Il rendimento di una macchina di Carnot che opera un ciclo diretto – quindi come macchina termica

– è dato da:

1

2

1

2

1

2

11

21

T

T1

Q

Q1

Q

Q1

Q

L

Q

QQ

Nel caso di ciclo diretto s’intende con 1Q la quantità di calore assorbita dalla sorgente calda, con

2Q la quantità di calore restituita alla sorgente fredda e con L il lavoro prodotto.

Nel caso di un ciclo inverso utilizzato come macchina frigorifera – quindi allo scopo di sottrarre una

certa quantità di calore da una sorgente che si trova già a bassa temperatura con l’intenzione di

mantenere basso il livello termico (ad esempio per la conservazione dei cibi) – la quantità di calore

2Q è assorbita dalla sorgente fredda e trasferita alla sorgente calda con l’intervento di una certa

quantità di lavoro proveniente dall’esterno (si ricorda che il processo non avviene spontaneamente

in natura come appurato anche dal postulato di Clausius).

Il rapporto tra la quantità di calore assorbita e il lavoro necessario per il suo trasferimento alla

sorgente calda è definito efficienza del ciclo e dipende evidentemente dal rendimento del ciclo di

Carnot diretto (considerando che nel ciclo inverso sono coinvolte le stesse quantità energetiche) :

21

2

1

21

1

2

1

2

1

2

1

21

1

2

21

22

TT

T

T

TT

T

T

T

T1

T

T11

1

Q

QQ

Q

Q

QQ

Q

L

Q

93,5255298

255

TT

T

21

2

93,5L

Q 2

J48093,5

cal

J186,4cal680

93,5

QL

2

Per cui, in conclusione, la macchina frigorifera assorbe una quantità di calore pari a 680 (J), una

quantità di lavoro pari a 480 (J) e cede, alla sorgente calda, una quantità di calore pari a 1.160 (J).

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


333

ESERCIZIO N. 16

Una macchina termica contiene un gas biatomico ed esegue un ciclo frigorifero composto da

un’espansione adiabatica dal volume 1V al volume 2V , da un’isocora in cui la temperatura aumenta

da 2T a 1T (con 21 T2T ) e da una compressione isoterma in cui il gas torna alle condizioni

iniziali.

Disegnare il ciclo e calcolare il coefficiente di efficienza definito come:

compiutolavoro

freddasorgenteallasottrattocalore

Soluzione:

Il calore è sottratto alla sorgente fredda durante la trasformazione isocora allorché, a volume

costante, il gas assorbe calore dall’esterno ed aumenta la propria temperatura ed energia interna.

La fase successiva è una compressione isoterma alla temperatura costante durante la quale la

macchina riceve una quantità di lavoro e cede la stessa quantità sottoforma di calore.

Il calore sottratto dalla sorgente fredda utilizzando direttamente l’equazione del calore oppure con

l’uso del primo principio:

1

TRnTT2

1

RnTTCnQ

22221V2

Il lavoro utile netto è dato dalla differenza tra l’energia meccanica ricevuta durante la fase di

compressione isotermica (da considerarsi negativo) e quella fornita all’esterno durante la fase di

espansione adiabatica:

12log21

TRn

1

TRn2log

1

TRn2LLL

22221

11

TRn12log2

1

TRnL

22

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


334

2

12

2

111

V

VlogTRn2

V

VlogTRnL

212V2 T

1

RnTTCndUL

D’altra parte, per l’espansione adiabatica, dovendo valere la legge di Poisson e l’equazione di stato

si ottiene:

2211 VpVp

111 TRnVp

222 TRnVp

2

2

2

1

1

1V

V

TV

V

T

1

1

2

21

1

2

1

1

2

T

T2

T

T

V

V

1

1

1

22

V

V

Per cui l’espressione del lavoro:

1

1

2

2

121 2logTRn2

V

VlogTRn2L

2log1

1TRn2L 21

Quindi l’efficienza:

50,2140,1

1

1

1

11

TRn

1

TRn

L

Q

2

2

2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


335

ESERCIZIO N. 17

Una macchina termica compie cicli irreversibili operando tra due sorgenti di calore, una alla

temperatura K273T1 e l’altra alla temperatura K473T 2 .

Ad ogni ciclo la macchina assorbe una quantità di calore J1034,3Q3

2 e produce un lavoro

J670L .

Determinare il rendimento della macchina termica.

Determinare il lavoro prodotto da una macchina di Carnot che compie cicli termici nelle stesse

condizioni.

In un secondo momento, la macchina di Carnot è utilizzata come frigorifero per trasferire calore

dalla sorgente 1T alla sorgente 2T utilizzando il lavoro prodotto dall’altra macchina.

Se C è il rendimento della macchina di Carnot, dimostrare che il coefficiente di prestazione è

dato da:

11

C

Calcolare inoltre il calore che la macchina così composta scambia con le due sorgenti.

Il coefficiente di prestazione o efficienza è dato nell’esercizio precedente.

Soluzione:

Il rendimento della macchina irreversibile è il seguente:

201,0

J1034,3

J670

Q

L

31

.IRR

Mentre il rendimento della macchina di Carnot che opera tra le stesse due sorgenti è:

423,0

J473

K2731

T

T1

1

2C

Il lavoro prodotto dalla macchina di Carnot è dato da:

1

CQ

L423,0

J413.1Q423,0L 1

Il coefficiente di prestazione o efficienza è dato dal rapporto tra il calore assorbito dalla macchina

frigorifera di Carnot dalla sorgente a bassa temperatura e il lavoro compiuto:

L

Q 2

Dalla formula del rendimento di una macchina termica di Carnot:

1

21

Q

QQ

Tenendo presente che le quantità di calore scambiate dalla macchina di Carnot quando funziona da

frigorifero rimangono le stesse in valore assoluto ma con senso contrario:

1Q Calore assorbito dalla sorgente a temperatura superiore 1T dalla macchina termica.

1Q Calore ceduto alla sorgente a temperatura superiore 1T dalla macchina frigorifera

2Q Calore ceduto alla sorgente a temperatura inferiore 2T dalla macchina termica

2Q Calore assorbito dalla sorgente a temperatura inferiore 2T dalla macchina frigorifera

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


336

Inoltre la differenza 21 QQ rappresenta, sia per il ciclo termico diretto che per il ciclo inverso

frigorifero, la quantità di lavoro utile netto L che è fornito dalla macchina termica e che è

assorbito dalla macchina frigorifera.

Per cui si ottiene da l rendimento:

1

21

Q

QQ

LQ

L

2

LLQ 2

LLQ 2

LLQ 2

1LQ 2

111

L

Q 2

Il sistema termodinamico composto dalla macchina irreversibile che assorbe calore dalla sorgente

1T , cede calore alla sorgente 2T e fornisce lavoro alla macchina frigorifera reversibile di Carnot la

quale, a sua volta, assorbe calore dalla sorgente 2T e cede alla sorgente 1T , opera i seguenti scambi

termici:

Calore prelevato dalla macchina frigorifera alla sorgente a bassa temperatura:

J913J6701423,0

1L1

1LQ 2

Calore ceduto dalla macchina frigorifera alla sorgente ad alta temperatura:

J583.1670913LQQ 21

ESERCIZIO N. 18

Una macchina di Carnot compie cicli reversibili operando tra due sorgenti, una a temperatura

C10t1 , l’altra a temperatura C0t 2 .

Una macchina identica può compiere cicli operando tra C190t1 e C200t 2 .

Nell’ipotesi che le due macchine producano la stessa quantità di lavoro, determinare quale delle due

assorbe la maggior quantità di calore dalla sorgente a temperatura più alta.

Nell’ipotesi che le due macchine assorbano la stessa quantità di calore dalla sorgente a temperatura

più alta, determinare quale delle due produce più lavoro

Soluzione:

Il rendimento della prima macchina è dato da:

035,0283

2731

T

T1

1

21

Il rendimento della seconda macchina è dato da:

12,083

731

T

T1

1

22

Supponendo che entrambe le macchine producano la stessa quantità di lavoro L :

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


337

11

211

Q

L

Q

QQ035,0

L57,28035,0

LLQ

1

1

*

1

*

1

212

Q

L

Q

QQ12,0

L33,812,0

LLQ

2

*

1

Quindi, a parità di lavoro effettuato, la prima macchina assorbe una quantità di calore pari a circa

3,43 volte quella assorbita dalla seconda macchina.

Nell’ipotesi che le due macchine assorbano la stessa quantità di calore, si ottiene:

11

211

Q

L

Q

QQ035,0

1Q035,0L

1

*

*

1

212

Q

L

Q

QQ12,0

1

*Q12,0L

Quindi, a parità di calore assorbito, la seconda macchina produce una quantità di lavoro pari a circa

3,43 volte quello prodotto dalla prima.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


338

L’EQUAZIONE DI CLAUSIS – DISEGUAGLIANZA DI CLAUSIUS

ESPRESSIONE ANALITICA DEL SECONDO PRINCIPIO

L’equazione, o disuguaglianza, di Clausius si riferisce, ancora una volta, ad un sistema

termodinamico di tipo reversibile che esegue una serie di trasformazioni, tali da percorrere un ciclo

chiuso.

In particolare, se si tratta di un ciclo semplice di Carnot reversibile, si è giunti alla conclusione che

la somma algebrica dei rapporti tra le quantità di calore e le rispettive temperature di assorbimento o

cessione isotermica deve essere nulla.

0T

Q

T

Q

2

2

1

1

Intendendo con 1Q e 2Q , rispettivamente il calore assorbito alla temperatura 1T ed il calore

ceduto alla temperatura 2T . Ovviamente, nel caso semplice del ciclo di Carnot il calore

assorbito ha segno positivo, mentre, è negativo il calore ceduto.

Si giunge a tale importante conclusione tenendo conto:

Della definizione generale di rendimento o efficienza della macchina termica:

1

2

1

2

Q

Q1

Q

Q1

Del Teorema di Carnot per mezzo del quale si dimostra che il rendimento della macchina

termica operante un ciclo di Carnot è maggiore di quello di una qualsiasi macchina che operi

secondo un ciclo diverso da quello di Carnot.

ZR

Dalla dimostrazione che, per un ciclo di Carnot, il rendimento dipende in modo esclusivo

dalle temperature tipiche della sorgente cedente e ricevente.

1

2

RT

T1

IL CICLO REVERSIBILE QUALSIASI

Si consideri ora un qualsiasi ciclo reversibile come, ad esempio, quello rappresentato, con il

diagramma pressione-volume, nella seguente figura n. 18.

Il ciclo è composto da due trasformazioni reversibili qualsiasi che, unitamente, riportano il sistema

termodinamico ai parametri iniziali.

La prima trasformazione modifica lo stato iniziale, rappresentato dal punto Y , mediante variazione

continua di stati d’equilibrio sino a raggiungere il punto Z .

Tale trasformazione è indicata con la lettera .

La seconda trasformazione, indicata con e anch’essa reversibile e qualsiasi, riporta il sistema allo

stato iniziale a partire dal punto Z .

Entrambe le trasformazioni attraversano il fascio, discreto ma in realtà continuo, di iperboli

equilatere rappresentative delle trasformazioni isotermiche possibili.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


339

Ogni isoterma è quindi caratterizzata dalla propria temperatura assoluta.

Ciò significa che, durante le trasformazioni e , la temperatura deve variare in modo continuo e

sono quindi necessarie, per rendere reversibile il ciclo, un numero infinito di sorgenti termiche

ognuna a temperatura diversa.

Per ragioni di semplicità grafica sono state indicate le sole isoterme caratterizzate da temperature da

1T a

9T , ma, è da intendersi che l’intero ciclo è completamente attraversato dal fascio di isoterme

comprese tra la temperatura minima e massima raggiunta in due punti rispettivamente prossimi,

come da disegno, al punto iniziale Y e al punto intermedio Z .

Tale condizione è solo evidentemente una casualità provocata dalla scelta arbitraria del punto

iniziale e terminale delle rispettive trasformazioni.

Occorre inoltre tenere presente che il fascio di isoterme di cui si è parlato è completamente

attraversato da un fascio di adiabatiche, regolate ognuna dalla legge di Poisson, e caratterizzate

globalmente dal valore del coefficiente tipico del gas impiegato.

Di conseguenza ogni coppia di isoterme è intersecata da almeno un’adiabatica individuando così

due diversi stati d’equilibrio.

Per la costruzione del grafico contenuto nel diagramma di Clapeyron – pressione/volume – con

relativo tracciamento del fascio discreto d’isoterme e dell’andamento di una curva adiabatica

esemplificativa, si è seguito il seguente procedimento:

2 4 0 K

3 6 0 K

4 8 0 K

6 0 0 K7 2 0 K

8 4 0 K

9 6 0 K

1 .0 8 0 K

1 .2 0 2 K

V (m )3

2p ( )

N

m

5 1 0 2 0

5

1 0

1 5

2 0

x 1 05

V9

9p 9

8V

p8

7p

V7 6

V

1 5

p6 5

A D IA B A T IC A

IS O T E R M E

5p

T1

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

T9

8

7

6

Figura 75 – DIAGRAMMA PRESSIONE-VOLUME CON FASCIO D’ISOTERME ED ADIABATICA D’ESEMPIO

Tracciamento degli assi pressione e volume, scelta delle unità di misura e individuazione dei

parametri necessari alla costruzione delle isoterme.

Sull’asse orizzontale, rappresentativo del volume, sono stati riportati valori crescenti e con

incrementi pari all’unità sino al massimo valore 3

Max m20V .

Sull’asse verticale, rappresentativo della pressione, sono stati riportati valori crescenti con

incremento pari all’unità, sino al valore massimo di

atm20p

2Max

m

N000.10020p .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


340

La prima iperbole in basso rappresenta la trasformazione isoterma alla temperatura assoluta

minore e per il suo tracciamento si è utilizzata la legge di Boyle-Mariotte con i seguenti

parametri iniziali:

J102m20

m

N000.100VpVp

63

2ii

2mini

m

N000.100pp

3

maxi m20VV

L’ultima iperbole in alto rappresenta la trasformazione isoterma alla temperatura assoluta

maggiore e, per il suo tracciamento, si è utilizzata ancora la legge di Boyle con i seguenti

parametri iniziali:

J10m5

m

N000.10020VpVp

73

2ii

2maxi

m

N000.10020pp

3

mini m5VV

Ogni iperbole del fascio rappresenta poi una trasformazione isoterma con incremento

d’energia pari a:

J10Vp6

Quindi, riepilogando:

J102Vp6

1 J103Vp

6

2 J104Vp

6

3

J105Vp6

4 J106Vp

6

5 J107Vp

6

6

J108Vp6

7 J109Vp

6

8 J10Vp

7

9

Determinazione della temperatura assoluta caratteristica di ogni isoterma.

Per la determinazione delle temperature caratteristiche di ogni isoterma appartenente al

fascio si è utilizzata l’equazione generale di stato con l’ipotesi di utilizzare sistemi

termodinamici operanti con una quantità di gas pari a 1 Kmole e, di conseguenza, con un

valore della costante R pari a:

Kmole1n

KKmole

J314.8R

Si sono quindi ricavate le seguenti temperature assolute:

C33K240

KKmole

J314.8Kmole1

J102

Rn

VpT

6

11

C87K360

KKmole

J314.8Kmole1

J103

Rn

VpT

6

2

2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


341

C207K480

KKmole

J314.8Kmole1

J104

Rn

VpT

6

3

3

C327K600

KKmole

J314.8Kmole1

J105

Rn

VpT

6

4

4

C447K720

KKmole

J314.8Kmole1

J106

Rn

VpT

6

5

5

C567K840

KKmole

J314.8Kmole1

J107

Rn

VpT

6

6

6

C687K960

KKmole

J314.8Kmole1

J108

Rn

VpT

6

7

7

C807K080.1

KKmole

J314.8Kmole1

J109

Rn

VpT

6

8

8

C929K202.1

KKmole

J314.8Kmole1

J10

Rn

VpT

7

9

9

TRACCIAMENTO DELL’ADIABATICA ESEMPLIFICATIVA.

Il tracciamento dell’adiabatica esemplificativa per tutto il fascio di adiabatiche che, in realtà,

attraversano il fascio d’isoterme parte da un punto collocato sull’isoterma n. 9, in una

posizione alta della stessa, che rappresenta uno stato d’equilibrio caratterizzato da un

volume ipotetico di 3m6 .

Per tale punto, utilizzando l’equazione generale di stato, si ottengono i seguenti parametri:

3

9 m6V

K202.1T 9

2

5

39

99

m

N1065,16

m6

K202.1KKmole

J314.8Kmole1

V

TRnp

L’adiabatica passante per il punto 9 dell’isoterma alla temperatura di 1.202 K è regolata

dall’equazione di POISSON e si ipotizza di utilizzare un gas biatomico caratterizzato da un

coefficiente:

40,1

8899

VpVp EQUAZIONE DI POISSON PER L’ADIABATICA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


342

L’adiabatica dovrà quindi intersecare l’isoterma sottostante - 8.n - nel punto 8 i cui

parametri, tranne la temperatura, sono incogniti.

D’altra parte, per il punto 9 e per il punto 8 , collocati sulle rispettive isoterme, devono

valere anche le equazione di stato:

9

99

V

TRnp

8

88

V

TRnp

Sostituendo le espressioni delle pressioni nell’equazione dell’adiabatica si ottiene:

8

8

8

9

9

9V

V

TRnV

V

TRn

Cioè: 1

88

1

99 VTVT

Da cui si ricava il valore incognito di 8V :

8

91

9

1

8T

TVV

1

1

8

9

91

8

91

98T

TV

T

TVV

Sostituendo i valori noti, si ottiene:

34

10

3

8 m84,7080.1

202.1m6V

Ricavando invece il volume dall’equazione generale di stato e sostituendo nell’equazione

dell’adiabatica, si ha:

9

99

p

TRnV

8

88

p

TRnV

8

8

8

9

9

9p

TRnp

p

TRnp

Da cui si ottiene ancora:

1

8

1

89

1

9TpTp

Ed il valore della pressione 8p :

8

91

9

1

8T

Tpp

1

8

99

1

8

998

T

Tp

T

Tpp

Sostituendo i valori dati:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


343

2

54,0

4,1

2

5

8

m

N1045,11

080.1

202.1

m

N1065,16p

Reiterando il procedimento utilizzato per i punti 9 e 8 a tutti gli altri punti su ciascuna

isoterma si ottengono i seguenti risultati:

7) 31

1

1

1

7

8

81

7

81

87 m52,10960

080.184,7

T

TV

T

TVV

2

54,0

4,1

51

7

88

1

7

887

m

N1058,7

960

080.11045,11

T

Tp

T

Tpp

6) 31

1

1

1

6

7

71

6

71

76 m69,14840

96052,10

T

TV

T

TVV

2

54,0

4,1

51

6

77

1

6

776

m

N1075,4

840

9601058,7

T

Tp

T

Tpp

5) 31

1

5

6

61

5

61

65 m59,21T

TV

T

TVV

2

51

5

66

1

5

665

m

N1076,2

T

Tp

T

Tpp

Tornando al problema iniziale, si riportano, sul diagramma pressione-volume costruito in

precedenza, le due trasformazioni reversibili e che, unitamente, costituiscono il ciclo chiuso

reversibile e reale.

Sul diagramma sono indicati con Y e Z rispettivamente il punto iniziale e finale del ciclo e delle

relative trasformazioni di andata e ritorno. Il ciclo si immagina percorso in senso orario.

Tutta la figura geometrica delimitata dalle linee delle trasformazioni è attraversata sia dal fascio

d’isoterme che dal fascio delle adiabatiche.

Si immagini ora di visualizzare due adiabatiche qualsiasi molto ravvicinate tra loro e i tratti di due

isoterme che, collegando nella parte sinistra e destra le due adiabatiche scelte, suddividono in parti

uguali il tratto sinistro (trasformazione ) e destro (trasformazione ) delle parti di

trasformazione reale tagliati dalle due adiabatiche.

I due tratti d’adiabatica – che attraversano tutta la figura – unitamente ai due tratti d’isoterma –

molto brevi e localizzati solo in prossimità dei bordi – costituiscono un ciclo di Carnot infinitesimo

percorso in senso orario da una macchina termica fittizia che opera tra le due temperature delle

isoterme individuate.

I tratti delle adiabatiche, i tratti delle isoterme e i tratti delle trasformazioni reali dovranno

costituire, sia nella parte sinistra che nella parte a destra, due figure geometriche simili a triangoli,

poste una all’esterno della figura l’altra all’interno della stessa, di uguale superficie.

Sia 1

T la temperatura caratteristica del tratto d’isoterma sinistra e 2

T la temperatura caratteristica

del tratto d’isoterma a destra.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


344

Se le due adiabatiche sono molto ravvicinate tra loro anche i due tratti d’isoterma saranno molto

brevi ed è quindi logico immaginare tutta la figura attraversata da una fitta rete d’adiabatiche, unite

a coppie, dalle rispettive isoterme.

Le coppie d’adiabatiche unite dai rispettivi tratti d’isoterma rappresenteranno quindi una fitta rete di

cicli di Carnot fittizi percorsi in senso orario e operanti ciascuno tra limiti di temperatura

infinitamente prossimi – sia in senso positivo che negativo - alle temperature del ciclo indicato ad

esempio.

Le linee rappresentative delle due trasformazioni reali e potranno essere così sostituite da una

serie continua di trasformazioni isotermiche collegate tra loro da una serie continua di

trasformazioni adiabatiche.

La successione di trasformazioni semplici costituisce una sorta di linea spezzata a pettine (o zig-

zag) che è tanto più simile alle curve reali quanto più si immagina fitto in fascio d’adiabatiche ed

isoterme.

Ciò vuol dire che è necessario avere a disposizione un numero infinitamente grande di sorgenti

caloriche i cui livelli termici sono infinitamente prossimi.

2 4 0 K

3 6 0 K

4 8 0 K

6 0 0 K7 2 0 K

8 4 0 K

9 6 0 K

1 .0 8 0 K

1 .2 0 2 K

V (m )3

2p ( )

N

m

5 1 0 2 0

5

1 0

1 5

2 0

x 1 05

9

1 5

A D IA B A T IC H E

IS O T E R M E

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

Z

Y

C IC L O R E A L E

C IC L O C A R N O T IN F .

F IG U R A 1 9

Figura 76 – CICLO REVERSIBILE REALE – FASCIO D’ISOTERME ED ADIABATICHE.

CICLI DI CARNOT INFINITESIMI

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


345

Z

Y

Figura 77 -

Ogni ciclo di Carnot infinitesimo operante tra i propri estremi di temperatura, essendo composto da

trasformazioni reversibili, è reversibile e, di conseguenza, si possono applicare sia la definizione di

rendimento che la definizione di rendimento massimo r

:

1

2

1

21

Q

Q1

Q

QQ

1

1

2

1

21

Q

Q1

Q

QQ

2

1

2r

T

T1 3

r 1

2

1

2

T

T1

Q

Q1

1

2

1

2

T

T

Q

Q

0T

Q

T

Q

2

2

1

1 4

Con:

1Q Calore assorbito durante il tratto infinitesimo 21 d’isoterma alla temperatura

1T

2Q Calore ceduto durante il tratto infinitesimo *2*1 d’isoterma alla temperatura

2T

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


346

Si tenga conto che utilizzando la 1 il calore ceduto è comunque sempre considerato positivo

mentre con la 2 è necessario tenere conto dell’effettivo segno algebrico, evidentemente

negativo, dello stesso calore ceduto.

Sostanzialmente le definizioni di rendimento e rendimento massimo della macchina ideale di Carnot

conducono all’importante relazione in cui si afferma che, a parte il segno algebrico, è costante il

rapporto tra la quantità di calore scambiato e il valore della temperatura relativa.

Si consideri inoltre che, per il ciclo di Carnot infinitesimo preso ad esempio, l’area racchiusa tra le

due adiabatiche e i due tratti d’isoterma – se si utilizza il diagramma pressione-volume –

rappresenta il lavoro utile pari alla differenza la tra il calore assorbito 1Q e quello ceduto 2Q .

Ciò è vero in quanto il lavoro positivo scambiato durante la fase d’espansione adiabatica *12 è

pari al lavoro negativo di compressione adiabatica 1*2 in virtù del fatto che risulta evidentemente

uguale la differenza d’energia interna tra le due isoterme:

1*2*12 UU

1*2*12 LL

0LL 1*2*12

Se l’area dei triangoli (lavoro in eccesso) esterni alle linee delle trasformazioni reali è pari a quella

dei triangoli interni (lavoro mancante), si può concludere che la somma delle aree racchiuse in tutti i

cicli di Carnot infinitesimi contenuti nella figura formata dalle due trasformazioni reali rappresenta

il lavoro utile svolto dal sistema termodinamico che opera secondo il ciclo chiuso reale

YZY .

T1

a

b

1

2

IS O T E R M A 1T

A D IA B A T IC A 1

A D IA B A T IC A 2

T2IS O T E R M A T

a*1*

2 **b

C IC L O R E A L E

C IC L O R E A L E

c

c*

L 'a re a d e i tr ia n g o li a -1 -c /c -2 -b è u g u a le

- 2 - *11-*2

C IC L O D I C A R N O T IN F IN IT E S IM O

L 'a re a d e i tr ia n g o li a * -1 * -c * /c * -2 * -b * è u g u a le

F IG U R A N . 2 0

2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


347

Figura 78 – PARTICOLARE CICLO DI CARNOT INFINITESIMO

a

b

1

2

cT ra s f.

A d ia b . 2A d ia b . 1

Is o te rm a T1

C ic lo C a rn o t

T - T1 2

21T ' - T '

C ic lo C a rn o t

1T '

Figura 79 – PARTICOLARE DEL TRATTO TERMINALE DEL CICLO DI CARNOT INFINITESIMO

SIGNIFICATO FISICO DELL’UGUAGLIANZA DELLE AREE “a-1-c” E “c-2-b”

Le aree dei triangoli "c1a" e "b2c" rappresentano – sul diagramma pressione-

volume - rispettivamente:

"c1a" : Quantità di lavoro in eccesso (esterno) alla linea della trasformazione

reale "ba" . Tale quantità è contenuta all’interno del ciclo di Carnot

infinitesimo *2*121" tra il tratto terminale dell’adiabatica 1, il tratto

"c1" dell’isoterma 1

T e il tratto "ac" di trasformazione reale.

"b2c" : Quantità di lavoro in difetto (interno) alla linea della trasformazione reale

"ba" . Tale quantità non è contenuta all’interno del ciclo di Carnot

infinitesimo *2*121" ma compresa tra il tratto "2c" dell’isoterma

1T , il tratto "b2" terminale dell’adiabatica 2 – appartenente sia al ciclo

infinitesimo considerato che al ciclo infinitesimo successivo e il tratto

"cb" di trasformazione reale.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


348

Lo stesso ragionamento è valido per i triangoli *"c*1*a" e *"b*2*c" collocati sul

tratto di trasformazione reale in prossimità dell’isoterma 2

T .

Se si riesce dunque a dimostrare che tali aree sono uguali si conclude immediatamente che l’area

contenuta nel ciclo di Carnot (2 adiabatiche + 2 isoterme) è uguale all’area compresa tra le stesse

adiabatiche e i tratti "ba" e *"b*a" delle relative trasformazioni reali e .

Di conseguenza la somma di tutte le aree contenute nei cicli di Carnot compresi nella figura formata

dalle due trasformazioni reali, cioè il ciclo reale reversibile, deve essere uguale all’area contenuta

nella figura del ciclo.

Considerando che le aree dei cicli di Carnot rappresentano il lavoro utile infinitesimo è allora

evidente che la loro somma rappresenta il lavoro utile dell’intero ciclo reale reversibile.

La dimostrazione dell’uguaglianza delle aree conduce anche alla seguente e importante

conclusione:

La quantità di calore 1

Q assorbita durante la trasformazione isoterma "21" , appartenente

al ciclo di Carnot fittizio, alla temperatura 1

T , è uguale alla quantità di calore

1Q che il

sistema termodinamico assorbirebbe se seguisse il tratto di trasformazione reale "ba"

appartenente ad .

Lo stesso vale per la quantità di calore ceduta durante la trasformazione isoterma *"2*1" ,

alla temperatura 2

T , uguale alla quantità di calore

2Q ceduta durante il tratto *"b*a"

appartenente alla trasformazione .

Per cui, se le quantità di calore fittizie sono uguali alle quantità di calore reali, si potrà

concludere che l’ipotesi dei cicli di Carnot infinitesimi non modifica né i parametri iniziali e

finali del gas né l’ambiente esterno rispetto a quanto succede con le trasformazioni reali.

L’ipotesi dei cicli infinitesimi è quindi accettabile.

Per eseguire materialmente la dimostrazione si procede nel modo seguente:

Si immagini un sistema termodinamico che esegue un ciclo chiuso partendo dallo stato

d’equilibrio indicato con la lettera "a" operando una prima trasformazione adiabatica sino

raggiungere lo stato d’equilibrio "1" , una seconda trasformazione isoterma alla temperatura

1T sino al punto "2" , una terza trasformazione adiabatica sino al punto "b" e una

conclusiva trasformazione qualsiasi sino a raggiungere nuovamente lo stato di partenza

"a" .

Il ciclo chiuso "ab21a" è dunque costituito da due trasformazioni, di cui una

adiabatica e l’altra isoterma, integrate nel ciclo di Carnot infinitesimo operante tra le

temperature 1

T e 2

T , da una trasformazione adiabatica integrata nel ciclo di Carnot

infinitesimo successivo a quello principale considerato e operante tra le temperature

TT1

e TT2

, oltre che da una trasformazione che ha il compito di riportare il

sistema allo stato iniziale.

L’ultima trasformazione è, in realtà, esattamente inversa al tratto di trasformazione reale tra

il punto a e il punto b .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


349

Studiare il ciclo chiuso "ab21a" e il suo corrispettivo *"a*b*2*1*a"

equivale a prendere in esame il ciclo di Carnot infinitesimo operante tra 1

T e 2

T , un ciclo di

Carnot infinitesimo precedente operante tra TT1

e TT2

ed un ciclo di Carnot

infinitesimo operante tra TT1

e TT2

.

Durante la prima trasformazione adiabatica "1a" è nullo, per definizione, il calore

scambiato.

Di conseguenza, visto che si tratta di una compressione con aumento di temperatura sino al

valore 1

T , il lavoro fornito dall’esterno è convertito integralmente nell’incremento d’energia

interna.

In base al Primo Principio della Termodinamica:

0Q1a

1a1a1aLdUQ

a11a

UUdU

1a1a

UL

Per il sistema, il lavoro di compressione adiabatica è positivo.

Durante la seconda trasformazione "21" , isoterma alla temperatura costante 1

T , si ha

un’espansione del gas con relativo aumento di volume e diminuzione della pressione. Il

sistema deve quindi assorbire calore senza modifiche all’energia interna che, dunque,

rimane costante ed uguale a quella di partenza, cioè 1

U .

Il Primo Principio prevede, in questo caso, che tutto il calore assorbito sia convertito in una

equivalente quantità di lavoro.

21UU

0UUdU1221

2121LdUQ

21121

LQQ

Con 1

Q è indicato il calore assorbito alla temperatura dell’isoterma 1

T .

Durante la terza trasformazione "b2" , adiabatica n. 2, (già compresa nel ciclo di Carnot

successivo) si ha un nuovo aumento di temperatura senza che il sistema scambi calore con

l’esterno.

E’ nuovamente una compressione adiabatica che produce un secondo aumento d’energia

interna dal valore 12

UU sino al valore b

U .

Ancora con il Primo Principio:

0Qb2

0LdUQb2b2b2

2bb2

UUdU

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


350

b2b2

UL

Per il sistema il lavoro di compressione adiabatica è ancora positivo.

Infine la quarta trasformazione "ab" .

E’ una trasformazione qualsiasi e può quindi essere perfettamente corrispondente al tratto di

trasformazione reale, appartenente alla trasformazione , salvo per il fatto che è percorsa in

senso opposto a quello che succede in realtà.

In effetti il tratto di trasformazione reale "ba" dovrà essere caratterizzata dagli stessi

parametri e scambi di calore e lavoro della trasformazione "ab" ma con segno algebrico

opposto.

La trasformazione "ab" riporta il sistema termodinamico al punto di partenza

provocando un decremento d’energia interna pari all’incremento subito dal gas durante le

due compressioni adiabatiche.

Essendo una trasformazione qualsiasi la quantità di calore e lavoro scambiati variano

proprio in funzione delle modalità con cui si svolge.

Per essa il Primo Principio è scritto genericamente:

abababLdUQ

Con:

baab

UUdU

D’altra parte la differenza d’energia interna tra lo stato iniziale e lo stato finale è anche

uguale ma di segno contrario alla somma dei due incrementi d’energia interna subiti dal gas

durante le due trasformazioni adiabatiche "1a" e "b2" :

b21ab21abaLLdUdUdU

b21aab

LLdU

Quindi:

abb21aab

LLLQ

Per finire occorre tornare all’ipotesi di partenza cioè “l’uguaglianza delle aree dei triangoli

interni ed esterni al ciclo di Carnot infinitesimo”.

Se tale ipotesi fosse confermata risulterebbe immediatamente nullo il lavoro utile eseguito

dal sistema che opera il ciclo chiuso indicato, per il fatto che i lati dei triangoli in esame

sarebbero sono percorsi rispettivamente in senso orario per il triangolo esterno ed in senso

antiorario per quello interno.

Per cui:

0L)ab21a(U

Tenendo conto delle quantità di lavoro interessate nelle quattro trasformazioni, si ha:

0LLLLabb2211a

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


351

Da cui risulta:

b21a21ab

LLLL

Ciò significa che:

Il lavoro scambiato durante il tratto di trasformazione reale "ba" deve essere

uguale al lavoro che, complessivamente, è scambiato nei due tratti d’adiabatica e nel

tratto d’isoterma.

Tale lavoro è rappresentato dall’area della superficie sottostante alla linea di

trasformazione reale compresa tra i volumi rispettivamente dello stato a e dello stato

b . Il ciclo di Carnot non modifica quindi l’energia meccanica scambiata rispetto al

tratto di trasformazione reale.

T1

a

b

1

2

c

L a - 1

2 b-L

a

2

T

c

1

b

1

21L -

p p

V V

Figura 80 – LAVORO SCAMBIATO DURANTE LA TRASFORMAZIONE “a-b”

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


352

T1

a

b

1

2

c

-L 1 2 -L a 1-

c

2

1

b

a

1T T

1

a

b

1

2

c

- aL -21L - 1 - b-L 2 2- aL -21L - 1 - -L b

V VV

p p p

Figura 81 – SOMMA ALGEBRICA DEI LAVORI SCAMBIATI

T1

a

b

1

2

c

=- ba -1 2 bL --1L -L a- 2L

Figura 82 – RISULTATO FINALE – LAVORO SCAMBIATO TRASFORM. REALE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


353

Mentre dall’equazione di bilancio energetico per il ciclo chiuso, si ottiene:

aababb221211aaULQLQLLU

Da cui:

0LLLLQQabb21a21ab21

Risulta quindi:

0QQab21

21abQQ

Cioè:

Se le aree dei due triangoli formati dal ciclo chiuso "ab21a" sono uguali,

allora, di conseguenza, il calore 121

QQ

assorbito dal sistema durante il tratto di

trasformazione isoterma alla temperatura 1

T del ciclo di Carnot fittizio risulterebbe

uguale al calore assorbito dal sistema se seguisse il tratto di trasformazione

reale "ba" appartenente ad .

In questo senso risulta quindi indifferente, sia nei confronti del sistema sia

dell’ambiente esterno, operare il tratto di trasformazione reale "ba" oppure il

ciclo di Carnot fittizio *"121*2" .

Lo stesso ragionamento è valido per il ciclo chiuso che si dovrebbe svolgere a

cavallo dell’isoterma 2

T .

Anche in quel caso il calore scambiato durante il tratto di trasformazione reale

*"b*a" risulta uguale al calore scambiato durante il tratto di trasformazione

isotermica alla temperatura 2

T .

Per quanto riguarda la restante parte del ciclo di Carnot infinitesimo e di tutti gli altri cicli

contenuti nella figura si può dire quanto segue:

Oltre ai tratti di trasformazione presi in esame precedentemente e costituenti il

percorso a zig-zag che approssima le linee delle trasformazioni reali, essi sono

composti anche dai due tratti principali "a*2" e *"a2" che attraversano

praticamente tutta la figura.

Tali tratti rappresentano trasformazioni adiabatiche tra le due isoterme 1

T e 2

T .

Il tratto "a*2" rappresenta una compressione adiabatica mentre il tratto *"a2"

un’espansione adiabatica.

Considerando che il lavoro di compressione e d’espansione non sono accompagnati

da scambi di calore – per definizione d’adiabatica – si può dedurre che il primo è

causa di incremento d’energia interna ed il secondo di decremento.

L’aumento e la diminuzione d’energia interna hanno evidentemente lo stesso valore

assoluto in quanto le adiabatiche collegano punti sulle stesse isoterme.

Di conseguenza il lavoro di compressione e d’espansione sono uguali e contrari, si

annullano a vicenda e non devono quindi essere compresi nel calcolo del lavoro

utile.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


354

Di conseguenza, per quanto riguarda gli effettivi scambi di calore e lavoro, il ciclo di

Carnot infinitesimo, unitamente al ciclo precedente e quello successivo, produce gli

stessi effetti della serie di trasformazioni a zig-zag aderenti alle linee delle

trasformazioni reali.

CONCLUSIONI FINALI – L’EQUAZIONE DI CLAUSIUS

Si è dunque dimostrato che per ciclo reversibile qualsiasi è possibile – nei confronti del lavoro e del

calore scambiato – sostituire i tratti di trasformazione reale con una serie di cicli di Carnot

infinitesimi oppure con una serie continua di trasformazioni adiabatiche ed isoterme che

approssimano le line delle trasformazioni reali.

Per ogni ciclo di Carnot il lavoro utile infinitesimo assume seguente valore:

1

2

121UQ

Q1QQQL

Tenendo presente che il rendimento del ciclo reversibile di Carnot dipende dai due soli valori di

temperatura di scambio isotermico dalla già dimostrata relazione:

1

2

1

2

RT

T1

Q

Q1

1

2

1

2

T

T

Q

Q

0T

Q

T

Q

2

2

1

1 Valida solo per il ciclo reversibile

0T

Q

T

Q

2

2

1

1 Valida per un ciclo irreversibile

E considerando che, per ogni ciclo infinitesimo inserito nella figura del ciclo reversibile

"YZY" , le temperature 1

T e 2

T - definite in modo generico – sono diverse tra loro

e diverse da quelle caratteristiche del ciclo precedente o successivo, risulta logico riscrivere la

formulazione del rendimento di ogni ciclo di Carnot in base ad una formulazione più particolare:

0T

Q

T

Q

i2

i2

i1

i1 Per il ciclo di Carnot i-esimo

Con il seguente significato dei simboli:

i1Q Calore assorbito (positivo) dal i-esimo ciclo di Carnot alla temperatura maggiore i1

T

i2Q Calore ceduto (negativo) dal i-esimo ciclo di Carnot alla temperatura minore i2

T

i1T Temperatura maggiore dell’ i-esimo ciclo di Carnot

i2T Temperatura minore dell’i-esimo ciclo di Carnot

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


355

Supponendo che tutto il ciclo reversibile "YZY" sia suddiviso in un numero di

cicli infinitesimi pari a N, si potrà cosi scrivere:

Per il ciclo n. 1:

0T

Q

T

Q

12

12

11

11

Per il ciclo n. 2:

0T

Q

T

Q

22

22

21

21

Per il ciclo n. N:

0T

Q

T

Q

N2

N2

N1

N1

Ma, se è per ogni ciclo di Carnot reversibile è nulla la somma dei rapporti tra il calore scambiato e

la rispettiva temperatura di scambio, deve essere nulla, per il ciclo reversibile complessivo, anche la

somma di tutte le relazioni.

Si ottiene dunque:

0T

Q

T

Q........................

T

Q

T

Q

T

Q

T

Q

N2

N2

N1

N1

22

22

21

21

12

12

11

11

Cioè, in termini di sommatoria:

0T

Q

T

Q Ni

1i i2

i2Ni

1i i1

i1

E, in termini d’integrale esteso a tutto il ciclo chiuso reversibile:

0T

Q

.REV

EQUAZIONE DI CLAUSIUS

L’equazione di CLAUSIS relativa ad un ciclo chiuso reversibile è anche l’espressione analitica del

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA.

Cioè:

Per un ciclo chiuso reversibile, ove con il termine reversibile si intende la

presenza di un numero infinitamente grande di sorgenti termiche a livelli

termici infinitamente prossimi uno all’altro, è nullo il valore dell’integrale –

esteso a tutto il ciclo – dei rapporti tra le quantità di calore assorbite e cedute

e le rispettive temperature di scambio.

Se il ciclo chiuso non è reversibile, ovvero se il numero di sorgenti termiche è limitato e quindi

discreto, il rendimento è minore del rendimento del ciclo di Carnot e le relazioni assumono le

seguenti forme:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


356

R

1

2

1

2

T

T1

Q

Q1

1

2

1

2

T

T

Q

Q

1

1

2

2

T

Q

T

Q 0

T

Q

T

Q

2

2

1

1

La relazione, applicata ad un ciclo irreversibile qualsiasi, assume quindi la forma:

0T

Q

T

Q

i2

i2

i1

i1 0

T

Q

.IRREV

L’ENTROPIA

Le stesse modalità con le quali si dimostrava il Principio d’Equivalenza relativamente ai cicli chiusi

e il Primo Principio della Termodinamica relativamente ad una trasformazione reversibile qualsiasi

– non ciclica – durante la quale lo stato d’equilibrio di un sistema termodinamico variava da una

situazione iniziale A ad una finale B , possono ora essere applicate per la definizione di un’altra

grandezza fondamentale della Termodinamica e per un’ulteriore formulazione analitica del Secondo

Principio della Termodinamica.

Si ricordano sinteticamente i ragionamenti che hanno condotto alla formulazione del Primo

Principio e alla definizione della grandezza ENERGIA INTERNA:

1. CICLI CHIUSI – PRINCIPIO D’EQUIVALENZA – COEFFICIENTE J

D’EQUIVALENZA – CALORE E LAVORO INTESE COME FUNZIONI DI LINEA.

Punto di partenza è stato l’esame o bilancio energetico delle quantità di calore e lavoro

scambiate da un sistema termodinamico verso l’ambiente esterno durante una serie qualsiasi

di trasformazioni costituenti, nell’insieme, un ciclo chiuso reversibile.

A seguito di semplici constatazioni circa la coincidenza dello stato iniziale con quello finale

e tenuto conto degli scambi di calore e lavoro meccanico operati durante le varie fasi del

ciclo, si è giunti alla definizione del Principio d’Equivalenza e del coefficiente J .

La fase di studio si è conclusa con la scoperta del Principio d’Equivalenza:

Se un sistema termodinamico opera un ciclo chiuso costituito da un qualsiasi numero

e tipo di trasformazioni anche di tipo elementare, la somma algebrica delle quantità

di calore scambiate con l’ambiente esterno – considerate positive se si tratta di calore

assorbito e negative se si tratta di calore ceduto – deve essere uguale alla sommatoria

algebrica delle quantità di lavoro meccanico – negativo se ceduto e positivo se

assorbito dal sistema - scambiato con l’ambiente esterno.

0LQ

In funzione delle unità di misura che sono utilizzate per il calore e di quelle utilizzate

per il lavoro meccanico risulta quindi definito in modo completamente univoco il

coefficiente d’equivalenza tra energia termica ed energia meccanica.

JQ

L QJL

Inoltre le quantità di calore e lavoro scambiate con l’esterno durante le svariate fasi

del ciclo dipendono dal tipo di trasformazione e non dagli stati iniziali e terminali

della trasformazione stessa: il calore e il lavoro sono dunque funzioni di linea.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


357

2. TRASFORMAZIONI APERTE – PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA –

ENERGIA INTERNA INTESA COME GRANDEZZA TERMODINAMICA FUNZIONE

DI PUNTO.

Prendendo poi in esame una qualsiasi delle trasformazioni costituenti il ciclo chiuso o anche

solo un tratto qualsiasi della stessa (cioè una trasformazione aperta con estremi non

coincidenti), si perveniva alla formulazione del Primo Principio della Termodinamica:

La somma algebrica delle quantità di calore e lavoro scambiate dal sistema con

l’ambiente esterno durante una trasformazione aperta qualsiasi e rese omogenee

l’una all’altra con l’utilizzo del coefficiente d’equivalenza J, non dipende dal tipo di

trasformazione ma unicamente dai parametri di stato caratteristici dello stato iniziale

e terminale della trasformazione stessa.

Cioè, in altre parole, mentre le quantità di calore e lavoro scambiate dipendono dal

tipo di trasformazione, la loro differenza dipende unicamente dal punto iniziale e

terminale della stessa.

In altre parole: se sul diagramma pressione-volume si fissano due punti qualsiasi

aventi parametri AAA T;V;p e

BBB T;V;p , esistono infinite trasformazioni di

collegamento per ognuna delle quali ha lo stesso valore la differenza

B

A

LQ .

aB

B

A

UULQ


Rimane così stabilito che ogni stato d’equilibrio deve essere contraddistinto da un

valore particolare della grandezza definita ENERGIA INTERNA.

Come è poi dimostrato dalla Teoria Cinetica dei gas tali valori dipendono

unicamente dalla temperatura assoluta del sistema.

L’Energia Interna è quindi una funzione di “punto”.

ENTROPIA Le conclusioni cui si è pervenuti dalla dimostrazione rigorosa dell’equazione di CLAUSIUS circa i

rapporti tra le quantità di calore e le relative temperature di scambio termico per un sistema

termodinamico operante un ciclo chiuso reversibile qualsiasi, conducono ad un ragionamento simile

a quello già affrontato per il Primo Principio utilizzando il Principio d’Equivalenza:

Se per un ciclo chiuso reversibile deve essere nulla la somma algebrica dei rapporti

i

i

T

Q, ovvero deve essere nullo l’integrale esteso a tutto il ciclo

T

Q, allora, per

una trasformazione aperta qualsiasi appartenente al ciclo o per un tratto qualsiasi

della stessa caratterizzato da stati d’equilibrio iniziale A e finale B non coincidenti,

lo stesso integrale esteso tra i limiti dello stato iniziale e finale non può essere nullo:

0T

Q

B

A

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


358

Il valore dell’integrale o, più semplicemente, della sommatoria tra i due limiti

indicati, è l’incremento di una particolare funzione, dipendente dai soli parametri di

stato del punto iniziale e terminale della trasformazione, che è definita ENTROPIA.

In altre parole:

Fissati due punti, rappresentativi ognuno di uno stato d’equilibrio diverso, e alla

condizione di prendere in esame le sole trasformazioni reversibili, esistono infinite

trasformazioni per le quali il valore dell’integrale

B

A

T

Q assume lo stesso valore.

Deve quindi esistere una particolare funzione di stato, che è definita ENTROPIA,

indipendente dal tipo di trasformazione, la cui variazione è stabilita, a meno di una

costante arbitraria, dal valore dell’integrale di cui sopra.

Indicando con S l’entropia, si avrà, in modo analogo a quanto già visto per l’energia

interna:

dSSST

Q

AB

B

A

Essendo essenzialmente un rapporto tra energia termica e livello termico, l’ENTROPIA sarà

misurata in

K

J o

K

Kcal.

L’ENTROPIA - VARIABILE DI STATO INDIPENDENTE DALLA TRASFORMAZIONE.

Si immagini di prendere in esame due trasformazioni qualsiasi, ma entrambe reversibili, costituenti,

nell’insieme, un ciclo chiuso che inizia e termina in un punto A .

Sia B uno stato d’equilibrio intermedio del ciclo.

Sia la prima trasformazione dallo stato A allo stato B , sia la seconda – di ritorno – dallo

stato B nuovamente allo stato A .

Supponiamo inoltre che esista una terza trasformazione , anch’essa reversibile, con inizio nel

punto A e termine nel punto B .

Il sistema può quindi percorrere un ciclo formato dalla trasformazione sino al punto B e tornare

al punto A utilizzando la trasformazione , oppure, utilizzare sino a B e ritornare ancora con

al punto A di partenza.

Entrambe le possibilità costituiscono cicli chiusi reversibili e, per entrambi, deve essere valida

l’equazione di CLAUSIUS:

Per il ciclo n. 1 - ABA

0T

Q

T

Q

T

Q

ABBA1.n

AB i

i

BA i

i

1.n i

i0

T

Q

T

Q

T

Q

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


359

Per il ciclo n. 2 - ABA

0T

Q

T

Q

T

Q

ABBA2.n

AB i

i

BA i

i

2.n i

i0

T

Q

T

Q

T

Q

Eguagliando le espressioni relative ai due cicli si ottiene:

ABBA

T

Q

T

Q

ABBAT

Q

T

Q

BA

T

Q

BAT

Q

Cioè il valore dell’integrale relativo alla trasformazione è uguale a quello relativo alla

trasformazione e a quello di qualsiasi altra trasformazione reversibile tra il punto A ed il punto B.

In altri termini il valore dell’integrale dipende unicamente dai parametri dei due punti.

In particolare se con A

S ed B

S si indicano i valori della grandezza entropia relativamente ai due

punti interessati – valutati a meno di una costante arbitraria – per tutte le sole trasformazioni

reversibili qualsiasi, l’integrale indicato deve avere lo stesso valore:

AB

AB

ABAB

SST

Q

T

Q

T

Q

A

B

S B

S A(R e v .)

(R e v .)

(R e v .)

p

V Figura 83 – CICLO CHIUSO REVERSIBILE – ENTROPIA

Risulta anche possibile un diverso ragionamento i cui risultati sono identici a quelli già ottenuti.

Si prenda in esame il ciclo chiuso reversibile formato da due trasformazioni reversibili qualsiasi, ad

esempio la trasformazione dal punto A al punto B e la trasformazione dal punto B al

punto A .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


360

E’ chiaro che e costituiscono solo una delle infinite coppie di trasformazioni reversibili

possibili e che quanto si dimostrerà deve necessariamente essere valido per tutte le infinite coppie

che si potranno prendere in esame.

V

p

A

B

S B

AS(R e v .)

(R e v .)

Figura 84 – CICLO REVERSIBILE – ENTROPIA

Per il ciclo chiuso reversibile "ABA" deve necessariamente essere nullo l’integrale

o sommatoria:

0T

Q

Cioè, deve essere nulla la somma degli integrali estesi alle due trasformazioni:

0T

Q

T

Q

T

Q

ABBA

Da cui risulta:

ABBAT

Q

T

Q

D’altra parte, considerando che si tratta di trasformazioni reversibili e quindi percorribili anche in

senso opposto, se una delle due, ad esempio , è percorsa in senso contrario, la quantità di calore

scambiata in una parte infinitesima della trasformazione deve necessariamente essere di segno

contrario alla quantità di calore scambiata nel medesimo tratto quando è percorso nel senso opposto.

Per cui:

BAABT

Q

T

Q

A questo punto basta sostituire il risultato nella relazione precedente per giungere ancora alla

conclusione che gli integrali estesi ad una qualsiasi trasformazione reversibile operante tra gli

estremi A e B devono dare luogo a risultati uguali:

BAABBA

T

Q

T

Q

T

Q

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


361

BABAT

Q

T

Q

Cioè che il valore dell’integrale è indipendente dal tipo di trasformazione reversibile eseguita e

dipende unicamente dai parametri dello stato iniziale e finale della trasformazione.

AB

B

A

SST

Q

L’ENTROPIA PER UNA TRASFORMAZIONE IRREVERSIBILE

Si immagini ora un sistema termodinamico che opera una trasformazione ciclica irreversibile tra

uno stato d’equilibrio A e un altro stato d’equilibrio B .

Sfruttando il concetto che il ciclo, per essere reversibile, deve essere composto da una serie

qualsiasi di trasformazioni, anche elementari, tutte reversibili, possiamo prendere in esame, ad

esempio, il ciclo chiuso formato da una trasformazione ,irreversibile, dal punto A al punto B e

da una trasformazione , reversibile, di ritorno dal punto B al punto A .

Pensato in questo modo il ciclo "ABA" , essendo formato da una trasformazione

irreversibile, è sicuramente esso stesso irreversibile.

Si potrebbe pensare, ad esempio, che, operando la trasformazione , il numero di sorgenti termiche

con le quali è scambiato calore sia in numero non sufficiente a garantire l’uniformità delle

temperature in qualsiasi istante della trasformazione e a tutta la massa di gas contemporaneamente.

La temperatura e gli altri parametri di stato non sarebbero quindi uniformi in tutto il sistema e, di

conseguenza, la trasformazione dovrebbe essere rappresentata da un susseguirsi, più o meno

continuo, di fusi all’interno dei quali sono contenuti i valori massimi e minimi dei parametri di

stato.

La trasformazione , reversibile per definizione, è invece rappresentata dalla solita linea continua a

significare l’uniformità e la variazione continua dei parametri di stato.

V

p

A

B

S B

AS

(R e v .)

( Ir re v e rs ib ile .)

Figura 85 – CICLO IRREVERSIBILE CON TRASFORMAZIONE IRREVERSIBILE.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


362

Per il ciclo chiuso irreversibile occorre dunque applicare la disuguaglianza di CLAUSIUS che,

come si ricorda, è derivata direttamente dal Teorema di Carnot in cui si dimostra come nessun

sistema termodinamico operante un ciclo irreversibile può avere un rendimento uguale o superiore

ad un ciclo di Carnot reversibile tra le stesse temperature.

Per cui, facendo riferimento al ciclo "ABA" , si dovrà scrivere:

0T

Q

T

Q

T

Q

)(AB

.REV

)(BA

.IRR

.IRR

1

D’altra parte, considerando il fatto che almeno la trasformazione è reversibile, tra gli estremi B

e A può essere applicata l’equazione di CLAUSIUS al calcolo della variazione d’entropia:

BA

A

B

.REVSS

T

Q

2

Dunque la relazione 1 relativa al ciclo irreversibile, integrata con la relazione 2

relativa alla sola trasformazione , diventa la seguente:

0SST

Q

BA

)(BA

.IRR

Da cui si ricava:

)(BA

.IRR

ABT

QSS

AB

)(BA

.IRRSS

T

Q

3

dST

Q

T

Q

.REV.IRREV

L’equazione 3 rappresenta un’altra espressione, ancora più generale delle precedenti, del

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA.

Occorre in questo caso rinunciare alla pretesa di pensare all’entropia come ad una variabile di stato

dipendente dai soli parametri rappresentativi dello stato iniziale e finale della trasformazione

(funzione di punto) e tornare a pensare, solo nel caso di trasformazioni irreversibili, alla dipendenza

dell’integrale dal particolare tipo di percorso seguito durante la trasformazione.

In questo senso la relazione 3 si differenzia in modo sostanziale dal ragionamento che ha

condotto alla definizione dell’energia interna e del Primo Principio della Termodinamica.

In realtà, considerato il fatto che non esistono praticamente trasformazioni completamente

reversibili, la relazione 3 è più aderente ai fenomeni termici e meccanici che avvengono

spontaneamente in natura o a quelli avviati e condotti in modo artificiale dall’uomo per proprie

necessità.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


363

La relazione 3 è anche conosciuta come “PRINCIPIO DI ACCRESCIMENTO ENTROPICO”

ed è in grado di determinare quasi in modo analitico se un particolare processo può verificarsi

spontaneamente oppure no.

ENTROPIA IN UNA TRASFORMAZIONE ISOTERMICA REVERSIBILE

Si consideri una certa quantità di gas perfetto contenuto nel cilindro di un sistema termodinamico.

Il gas occupa un volume iniziale V ad una temperatura iniziale 0

T ed a una pressione

V

TRnp

.

La posizione dello stato iniziale, sul diagramma pressione-volume, è indicata con A e in questo

modo s’intende dire che in tutti i punti fisici del sistema sono caratterizzati dallo stesso valore dei

parametri di stato.

Cioè tutta la massa di gas, che occupa il volume V , ha una temperatura uniforme pari a 0T e una

pressione uniforme pari a p , inoltre, si suppone che il sistema termodinamico sia comunicante con

una sorgente termica di capacità infinita anch’essa alla temperatura 0T .

In queste condizioni d’equilibrio termico, meccanico e chimico, la pressione interna applica alla

superficie del pistone una forza i

F che, complessivamente, deve controbilanciare il peso del

pistone, della massa appoggiata sullo stesso e della pressione atmosferica esterna.

Possiamo anche immaginare che la massa sia costituita dall’insieme di piccole sferette di piombo

contenute in un recipiente privo di peso.

La risultante delle forze applicate sul pistone dall’esterno e della reazione vincolare applicata dalla

pressione del gas dall’interno, deve evidentemente essere nulla:

0FFF .AtmEI

Con:

IF Reazione vincolare dovuta alla pressione del gas. Contraria alla forza peso.

EF Forza peso pistone più sferette.

AtmF Forza dovuta alla pressione atmosferica esterna

Cioè:

0Spg)MM(Sp aSfere.PIST

Con:

Ni

1i

SfereSfere mM

Si intende ora modificare lo stato d’equilibrio iniziale in modo tale da produrre, mentre la

temperatura del gas si mantiene costantemente uguale a 0

T , una variazione di volume V .

Supponiamo che la variazione di volume sia positiva, cioè che il volume aumenti rispetto al valore

iniziale ed, inoltre, che sia infinitesima, cioè estremamente piccola rispetto al valore del volume

iniziale.

L’espansione del gas sarà provocata togliendo un certo numero di sferette di piombo con la

conseguente riduzione della forza esterna applicata e la modifica dello stato d’equilibrio iniziale.

Il pistone sarà quindi sottoposto all’azione di due forze contrapposte non più bilanciate e, per il

Secondo Principio della Dinamica, dovrà necessariamente muoversi con una certa accelerazione a

di verso uguale alla risultante delle forze applicate.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


364

Nel nostro caso l’eliminazione di alcune sferette riduce la forza-peso, mentre la pressione interna

iniziale del gas si mantiene inalterata al valore iniziale p per un tempo estremamente breve.

Ciò significa che il gas, espandendosi, spinge il pistone verso l’alto fornendo quindi all’ambiente

esterno una certa quantità di lavoro meccanico L .

m

T1

T2

T3T4

T56T

7T8T

9T

2 4 0 K

3 6 0 K

4 8 0 K

6 0 0 K

7 2 0 K

8 4 0 K

9 6 0 K

1 .0 8 0 K

1 .2 0 2 K

V (m )3

2p ( )

Nx 1 0

5

A

B

Figura 86 – TRASFORMAZIONE ISOTERMA REVERSIBILE – LAVORO MECCANICO

Il movimento del pistone sarà del tutto simile al movimento di un oscillatore armonico sottoposto

all’azione di una forza elastica variabile e, se il numero di sferette eliminate non è troppo elevato,

sarà destinato ad esaurirsi in breve tempo per effetto della contemporanea riduzione della pressione.

Per il teorema di conservazione dell’energia e in virtù del Primo Principio della Termodinamica

sarà logico pensare che il lavoro fornito dal gas all’ambiente esterno tramite il movimento del

pistone sia derivato dalla conversione di parte dell’energia interna.

Non sarebbe logico pensare ad un assorbimento di calore dall’esterno in quanto, come detto in

precedenza, la temperatura della sorgente è pari alla temperatura iniziale del gas.

Dovremo quindi pensare che il gas subisca un’istantanea trasformazione adiabatica con relativo

aumento di volume, riduzione della pressione e abbassamento della temperatura e della propria

energia interna.

Ma l’abbassamento di temperatura, provocata dall’iniziale espansione adiabatica, innesca

immediatamente lo scambio termico con la sorgente a temperatura costante 0T .

Il gas assorbe quindi dalla sorgente una quantità di calore 1Q bastevole a riportare la temperatura e

l’energia interna ai valori iniziali.

Dato che, alla fine della trasformazione, la temperatura si è riportata al valore 0T iniziale e, di

conseguenza, non si è modificata l’energia interna, potremo affermare che il calore assorbito è stato

completamente convertito in lavoro meccanico.

La trasformazione operata sul gas è chiaramente isotermica e la temperatura alla quale avviene

l’assorbimento di calore 1Q è 0T , cioè la temperatura iniziale del gas che coincide con la

temperatura della sorgente a contatto con il sistema.

In prima approssimazione la quantità di lavoro fornito dal gas del sistema si può calcolare

utilizzando il diagramma pressione-volume:

V

2

pphS

2

ppL

11

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


365

Naturalmente il procedimento adottato può essere ripetuto più volte sino a raggiungere uno stato

d’equilibrio finale B caratterizzato dai parametri 0BB T,V,p .

Se la variazione di volume finale è ottenuto mediante la somma delle variazioni infinitesimali dello

stesso, allora la trasformazione è da considerarsi REVERSIBILE.

Durante la trasformazione REVERSIBILE, dal punto A al punto B il sistema ha dunque assorbito

dalla sorgente una quantità di calore 1

Q e fornito all’ambiente una quantità di lavoro 1

L .

E’ sempre possibile, dopo aver raggiunto lo stato d’equilibrio finale, ripetere le stesse operazioni

fatte in precedenza ma in senso opposto cioè incrementando nuovamente le masse sul pistone

aggiungendo di volta in volta lo stesso numero di sfere tolte.

Il gas, compresso inizialmente in modo adiabatico, tenderà ad incrementare la temperatura, ma

tornerà presto in equilibrio cedendo alla sorgente, che mantiene costante la propria temperatura, una

certa quantità di calore.

Alla fine della trasformazione inversa il gas ritorna ai parametri caratteristici dello stato A iniziale.

Se la trasformazione è REVERSIBILE la quantità di calore complessivamente ceduto alla sorgente,

pari alla somma delle quantità infinitesime cedute nei vari tratti componenti, è pari alla quantità

assorbita 1

Q nella trasformazione inversa ed inoltre, il lavoro di compressione è pari al lavoro

d’espansione 1

L .

In altre parole:

Se le trasformazioni sono state entrambe reversibili non c’è possibilità di verificare se si

siano effettivamente svolte.

Le trasformazioni non hanno modificato né il sistema, né la sorgente termica, né l’ambiente

esterno cosicché l’eventuale osservatore non ha elementi per esprime giudizi o opinioni.

Il diagramma finale sarà l’iperbole equilatera caratteristica della temperatura 0T e del numero di

moli di gas contenute nel sistema.

Per una trasformazione isotermica REVERSIBILE da uno stato A 0T,V,p ad uno stato B

0B,B T,Vp il calore assorbito ed il lavoro ceduto all’esterno hanno – a parte il coefficiente

d’equivalenza – lo stesso valore :

LdUQ 1

0UUdU AB

J

LQ

A

B0AB

V

VlogTRnL

Quindi la differenza d’ENTROPIA tra lo stato A e B, è data da:

AB

0

AB

0

1

BV

AV0

1SS

TJ

L

T

Q

T

Q

A

B

A

B

0

0AB

V

Vlog

J

Rn

V

Vlog

TJ

TRnSS

0AB1 TSSQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


366

Sempre in virtù del Primo Principio della Termodinamica applicato ad una trasformazione

REVERSIBILE isoterma BA , si ha:

ABABAB LdUQ

ABABAB dUQL

ABABABABAB UUSSTUUdSTL

BFAFSTUSTUUUSTSTL BBAAABABAB

Dove si indica con F una funzione di stato definita “ENERGIA LIBERA” del sistema:

STUF J

Nel caso della trasformazione isoterma, dato che l’energia interna non cambia, si ha:

BA UU

AA STUAF

BB STUBF

ABAB SSTL

ENTROPIA IN UNA TRASFORMAZIONE “ISOTERMICA” IRREVERSIBILE

Diverso è il caso in cui il gas

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


367

CALCOLO DELL’ENTROPIA DI UN GAS PERFETTO

Per un gas perfetto e per una trasformazione REVERSIBILE qualsiasi è sempre possibile

l’applicazione del Primo Principio della Termodinamica con lo scopo del calcolo della differenza

d’entropia tra due stati d’equilibrio A e B, infatti:

dVVpdTCnLdUQ V

Con:

dTCnTTCndU VABV Per definizione d’isocora

dVVpL Per definizione di lavoro d’espansione

con pressione variabile

Per cui:

B

A

REVAB

T

QSS

B

A

B

A

V

B

A

VAB

T

dVVp

T

dTCn

T

dVVpdTCnSS

D’altra parte l’equazione generale di stato ci permette di calcolare la pressione in funzione

del volume:

V

TRnVp

Quindi:

V

Rn

T

Vp

Di conseguenza la differenza d’entropia diventa:

BV

AV

BT

AT

V

B

A

BT

AT

VAB dVV

Rn

T

dTCndV

T

Vp

T

dTCnSS

A

B

A

BV

BV

AV

BT

AT

VABV

VlogRn

T

TlogCn

V

dVRn

T

dTCnSS

A

B

A

BVAB

V

VlogRn

T

TlogCnSS 1

A

B

A

BVAB

V

VlogR

T

TlogCnSS 1

Con:

RCC VP

VP CCR

Quindi:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


368

A

BVp

A

BVAB

V

VlogCCn

T

TlogCnSS

A

B

V

p

V

A

BVAB

V

Vlog1

C

CCn

T

TlogCnSS

Ma:

V

P

C

C

Quindi:

A

B

A

BVAB

V

Vlog1

T

TlogCnSS

1

A

B

A

BVAB

V

Vlog

T

TlogCnSS

1

A

B

A

BVAB

V

V

T

TlogCnSS

1

AA

1

BB

VAB

VT

VTlogCnSS

1

AA

1

BBVAB VTlogVTlogCnSS

2

APPLICAZIONE ALLE TRASFORMAZIONI DEI GAS PERFETTI

TRASFORMAZIONE ISOTERMA REVERSIBILE

Dall’esame dell’equazione 1 e considerando il fatto che, per durante la trasformazione

isoterma reversibile, la temperatura si mantiene costante, si può concludere che, per una

trasformazione isotermica REVERSIBILE, la differenza d’entropia dS è coincidente con il

valore calcolato in precedenza.

Infatti, tenuto conto che durante una trasformazione isotermica la temperatura del gas non

subisce variazioni, si ha immediatamente:

AB TT

01logT

Tlog

A

B

Da cui:

0T

TlogCn

A

BV

E, di conseguenza, la differenza d’entropia:

A

B

A

BVAB

V

VlogRn

T

TlogCnSS 1

A

BAB

V

VlogRnSS PER TRASFORMAZIONE ISOTERMICA REVERSIBILE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


369

S ( )

T ( K )

J

K

T2

Is o te rm a . 1

1T 1T

T2

Is o te rm a . 2

T

Q 1

SA B

S

A B

B 11A

Figura 28 – DIAGRAMMA DI GIBBS – TEMPERATURA/ENTROPIA – TRASF. ISOTERMA

Considerando che la variazione entropica è data da:

T

QdS

e, per la trasformazione isoterma è costante la temperatura, si ottiene la quantità di calore

scambiato con la relazione inversa:

AB SSTdSTQ

Sul diagramma di Gibbs la quantità di calore Q è quindi rappresentata dall’area sottesa

dalla linea orizzontale raffigurante la temperatura costante e dai due segmenti verticali

indicanti i valori d’entropia del punto A (sinistra) e del punto B (destra).

TRASFORMAZIONE ADIABATICA REVERSIBILE

Dall’esame della stessa equazione principale 1 , modificata nell’equivalente equazione

2 , si riconosce immediatamente che, per una trasformazione adiabatica reversibile di

collegamento tra gli stati d’equilibrio A e B , devono essere uguali i prodotti:

1

BB

1

AA VTVT

La differenza d’entropia per stati d’equilibrio qualsiasi appartenenti ad una trasformazione

adiabatica reversibile risulta evidentemente nulla, infatti:

1

AA

1

BBVAB VTlogVTlogCnSS

2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


370

1

BB

1

AA VTVT

0VTlogVTlog1

AA

1

BB

0VTlogVTlogCnSS1

AA

1

BBVAB

0SS AB

AB SS

Si conclude che le trasformazioni adiabatiche REVERSIBILI sono anche trasformazioni ad

ENTROPIA costante cioè “ISOENTROPICHE”.

Esse sono rappresentate, in un diagramma Entropia-Temperatura o diagramma di “GIBBS”,

da una retta parallela all’asse indicatore delle temperature assolute.

S ( )

T ( K )

J

K

T1

2T 2T

T1

S 2S 1

S

A d ia b . 2A d ia b . 1

Q = 0

1A

B 1B

A

Figura 29 – DIAGRAMMA DI GIBBS – TEMPERATURA/ENTROPIA – TRASF. ADIABATICA

Il calore scambiato è evidentemente nullo in quanto l’entropia è costante durante la

trasformazione adiabatica (isoentropica).

Sul diagramma non è presente area in quanto la linea è verticale.

TRASFORMAZIONE ISOCORA REVERSIBILE

Esaminando l’equazione principale 1 e tenendo conto che, durante una trasformazione

isocora, il volume del gas si mantiene costante ed è quindi nullo il lavoro d’espansione,

risulta:

A

B

A

BVAB

V

VlogRn

T

TlogCnSS

KVV BA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


371

1logRnT

TlogCnSS

A

BVAB

A

BVAB

T

TlogCnSS

La variazione d’entropia tra due stati d’equilibrio, caratterizzati dallo stesso volume e da

temperature differenti, è quindi una funzione dipendente dal logaritmo del rapporto tra la

temperatura finale ed iniziale.

Sul diagramma di GIBBS – temperatura-entropia – è quindi rappresentata da una curva con

concavità diretta verso l’alto:

S ( )

T ( K )

J

K

T1

T2

S S 21

Q

Figura 30 – DIAGRAMMA DI GIBBS – TEMPERATURA/ENTROPIA – TRASF. ISOCORA

TRASFORMAZIONE ISOBARA REVERSIBILE

Esaminando l’equazione principale 1 e tenendo conto che, durante una trasformazione

isobara, la pressione del gas si mantiene costante, risulta, applicando l’equazione generale di

stato:

A

B

A

BVAB

V

VlogRn

T

TlogCnSS

BBB TRnVp

AAA TRnVp

A

B

A

B

T

T

V

V

A

B

A

BVAB

T

TlogRn

T

TlogCnSS

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


372

A

BPV

A

BAB

T

TlogCnRC

T

TlognSS

A

BPAB

T

TlogCnSS

Anche nel caso di trasformazione isobara, la variazione entropica dipende dal logaritmo del

rapporto tra la temperatura finale ed iniziale – come per la trasformazione isocora – ed è

quindi rappresentata da una curva con la concavità rivolta verso l’alto.

Considerando che la capacità termica a pressione costante PC è maggiore della capacità

termica a volume costante VC e confrontando le relazioni:

A

BPAB

T

TlogCnSS Differ. d’entropia per trasf. a Pressione costante

A

BVAB

T

TlogCnSS Differ. d’entropia per trasf. a Volume costante

risulta evidente che, a parità del rapporto A

B

T

T, la differenza d’entropia deve essere maggiore

nel caso di trasformazione a pressione costante, per cui si ottiene il diagramma seguente:

T ( K )

T1

T2

1SK

JS ( )

2S

Q

2T

Is o c o ra

Is o b a ra

Figura 31 – DIAGRAMMA DI GIBBS – TRASFORMAZIONE ISOBARA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


373

I CICLI REVERSIBILI DI IMPORTANZA PRIMARIA

DIAGRAMMI DI CLAPEYRON E DI GIBBS A CONFRONTO

S ( )

T ( K )

J

K

Is o c o ra

A d ia b a tic a

Is o b a ra

Is o te rm a

T E M P E R A T U R A -E N T R O P IA

D IA G R A M M A D I G IB B S

Is o te rm a

Is o b a ra



V

Is o c o ra

p

A d ia b a tic a

Figura 32 – DIAGRAMMI DI GIBBS E CLAPEYRON – RAFFRONTO TIPOLOGIA TRASFORMAZIONI

V

p

A

A D IA B A T IC H E

IS O T E R M E

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

S

T

5T

T4

AS

B

C

D

BS

A B

CD

Q

L

C IC L O D I C A R N O T




Figura 33 – CICLO DI CARNOT - DIAGRAMMI DI GIBBS E CLAPEYRON

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


374

V

p

A

A D IA B A T IC H E

IS O T E R M E

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

S

T

5T

T1

AS

B

D

BS

Q

L

C

IS O C O R E

CSDS

A

D

B

C

N . 2 IS O C O R E + N . 2 IS O T E R M E


N . 2 IS O C O R E + N . 2 IS O T E R M E


Figura 34 – N. 2 ISOCORE + N. 2 ISOTERME REVERS. - DIAGRAMMI DI GIBBS E CLAPEYRON

V

p

A

A D IA B A T IC H E

IS O T E R M E

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

S

T

6T

T1

AS

B

D

BS

A B

CD

Q

N . 2 IS O B A R E + N . 2 IS O T E R M E

D IA G R A M M A D I C L A P E Y R O ND IA G R A M M A D I G IB B S

LIS O C O R E

CSDS

N . 2 IS O B A R E + N . 2 IS O T E R M E

C

Figura 35 – N. 2 ISOBARE + N. 2 ISOTERME REVERS. - DIAGRAMMI DI GIBBS E CLAPEYRON

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


375

V

p

A D IA B A T IC H E

IS O T E R M E

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

S

T

L

C IC L O "O T T O " - N . 2 A D IA B A T IC H E + N . 2 IS O C O R E


IS O C O R E

B

A

C

D

AT1

T2

C

DB

Q

T8

T6

C IC L O "O T T O " - N . 2 A D IA B A T IC H E + N . 2 IS O C O R E

D IA G R A M M A D I G IB B S Figura 36 – N. 2 ISOCORE + N. 2 ADIABATICHE REVERS. - DIAGRAMMI DI GIBBS E CLAPEYRON

CICLO “OTTO”

V

p

C

A D IA B A T IC H E

IS O T E R M E

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

S

T

1T

T2

C

QL D

A

B

IS O C O R A

A

DB

8T

T6


IS O B A R A

A D IA B A T IC H E

C IC L O "D IE S E L " - N . 2 A D IA B A T IC H E + N . 1 + 1 IS O B A R A /IS O C O R A


C IC L O "D IE S E L " - N . 2 A D IA B A T IC H E + N . 1 + 1 IS O B A R A /IS O C O R A

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


376

ESERCIZI – ENTROPIA E SECONDO PRINCIPIO

ESERCIZIO N. 1

L’argento, a pressione atmosferica normale, fonde ad una temperatura di 1.233 K.

Determinare la variazione d’entropia di una massa di 20 grammi di argento a seguito della sua

fusione e temperatura indicate.

Il calore latente di fusione dell’argento è

kg

MJ105,0c l

.

Soluzione:

La variazione d’entropia è pari al rapporto tra il calore assorbito e la temperatura di fusione che si

mantiene costante durante tutto il processo di passaggio dallo stato solido alla stato liquido.

fT

QdS

Il calore assorbito è dato da:

J1021kg1020kg

J1005,1mcQ

235

l

La variazione d’entropia:

K

J703,1

K233.1

J1021

T

QSSdS

2

f

12

ESERCIZIO N. 2

Riscaldando lo stagno, è possibile modificarne la struttura cristallina passando dalla struttura

reticolare detta “stagno grigio”, stabile sotto i 19°C, a quella detta “stagno bianco”, stabile a

temperature superiori.

Operando tale modificazione, a pressione atmosferica e alla temperatura di 19°C, si misura una

variazione molare di entropia pari a

moleK

J83,7SSdS 12 .

Determinare il calore latente associato al cambiamento di forma reticolare dello stagno, riferito

all’unità di massa in grammi.

La massa atomica dello stagno è 118,69.

Soluzione:

Dalla conoscenza del valore della variazione di entropia risulta possibile determinare la quantità di

calore necessaria al cambiamento di forma reticolare, anche tenendo conto che la temperatura

rimane costante durante il processo.

Il valore della quantità di calore assorbito è dato da:

T

QdS

mole

J36,286.2

moleK

J83,7K27319dSTQ

La quantità di calore assorbita dipende dal valore del calore latente e dalla massa:

lcmQ

Perciò:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


377

g

J36,19

mole

g69,118

mole

J36,286.2

m

Qc l

ESERCIZIO N. 3

Durante una delle trasformazioni isoterme, l’entropia di una macchina di Carnot aumenta di

K

J102,4dS

3 .

Determinare la quantità di lavoro che è prodotta ad ogni ciclo di quella macchina se la differenza di

temperatura tra le due isoterme è 150 K.

Soluzione:

La differenza d’entropia tra lo stato iniziale e finale di un’isoterma appartenente ad un ciclo di

Carnot è definita dalla relazione:

T

QSSdS 12

Dalle due formule che permettono di calcolare il rendimento di una macchina funzionante secondo

un ciclo reversibile di Carnot, si ottiene:

11

21

1

2

T

T

T

TT

T

T1

1

1

U

1

21

Q

L

Q

QQ

2

Uguagliando le due espressioni del rendimento:

11 Q

L

T

T

3

E tenendo conto che, per un ciclo di Carnot reversibile valgono le relazioni:

0T

Q

T

Q

2

2

1

1

12

2

2

1

1SS

T

Q

T

Q

Dalla numero 3 si ottiene:

12

1

1SS

T

L

T

Q

TSSL 12

J103,6K150K

J102,4L

53

ESERCIZIO N. 4

Una certa quantità di elio è sottoposto ad un ciclo di Carnot tra le temperature di 200 K e 300 K.

Il gas assorbe dalla sorgente termica più calda una quantità di calore J50Q 1 .

Rappresentare il ciclo in un diagramma della temperatura in funzione dell’entropia (diagramma di

Gibbs) sapendo che il valore assoluto dell’entropia del gas durante la compressione adiabatica è

K

J75,1S .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


378

Soluzione:

Durante la compressione adiabatica e l’espansione adiabatica i valori dell’entropia si mantengono

costanti in quanto non c’è scambio di calore:

0T

0

T

QSSdS 12.Ad.Comp

Compressione adiabatica

K

J75,1tetancosSS 12

0T

0

T

QSSdS 12Ad.Esp

Espansione adiabatica

tetancosSS 12

Durante la fase d’espansione isotermica alla temperatura maggiore il gas assorbe la quantità di

calore indicata dal problema e, di conseguenza, incrementa la propria entropia di un valore:

K

J167,0

K300

J50

T

QSSdS

1

112

Di conseguenza l’entropia caratteristica della fase successiva d’espansione adiabatica è quella

massima del ciclo ed ha un valore pari a:

K

J917,1167,075,1dSSS .Ad.CompMax

S

T

A B

CD

Q



3 0 0

2 0 0

1 ,7 5 1 ,9 1 7

(J /K )

(K )

C o m p re s s io n e is o te rm ic a

E s p a n s io n e is o te rm ic a

Es

p.

ad

iab

ati

ca

Co

mp

. a

dia

ba

tic

a

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


379

ESERCIZIO N. 5

In un processo termodinamico a temperatura costante, un sistema sviluppa un lavoro J80L e

la sua entropia aumenta di un valore pari a

K

J25,0dS .

Determinare di quanto è variata l’energia interna del sistema se la temperatura si è mantenuta a 350

(K).

Soluzione:

Si risolve il problema (esercizio n. 7 – Ugo Amaldi – La fisica per licei scientifici) anche se si nota

l’incongruenza dell’affermazione che il processo avviene a temperatura costante (isoterma) mentre

l’energia interna subisce variazioni.

Se la temperatura si mantiene costante durante il processo, l’energia interna non dovrebbe subire

modificazioni, mentre tutto il calore assorbito dovrebbe essere convertito in lavoro.

Se, al contrario, la quantità di lavoro fornito non fosse uguale alla quantità di calore assorbita, la

temperatura non potrebbe rimanere costante.

Si ritiene dunque che l’esercizio sia carente nella parte espositiva.

Tenendo conto dell’aumento d’entropia dato, si ha:

T

QdS

J5,87K350K

J25,0TdSQ

Per il primo principio della termodinamica:

LdUQ

Da cui si dovrebbe ricavare l’incremento d’energia interna:

J5,7805,87LQdU

Il risultato corrisponde a quello esposto sul testo dell’Amaldi.

La variazione d’energia interna dovrebbe far concludere che si sia verificato un aumento di

temperatura di:

TCndU V

0Cn

dUT

V

Ma questo risultato sarebbe in contrasto con quanto esposto nel testo dell’esercizio.

ESERCIZIO N. 6

La temperatura di un frigorifero è di 4 °C e quella dell’ambiente in cui si trova è 20 °C. La potenza

effettiva impegnata dal motore è di 700 W.

Si tratti il frigorifero come una macchina di Carnot a ciclo inverso per determinare l’incremento di

entropia subita dall’ambiente in un’ora di funzionamento del frigorifero.

Soluzione:

L’incremento entropico dell’ambiente a 20 °C è dato dal rapporto tra il calore ceduto dal

condensatore del frigorifero e la temperatura – costante – dell’ambiente esterno:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


380

.Amb

12T

QSSdS

Il calore ceduto all’ambiente esterno è pari al calore che assorbirebbe una macchina di Carnot a

ciclo diretto dalla stessa sorgente di calore esterna.

Per il calcolo del calore si può utilizzare la formula del rendimento:

0546,0

20273

42731

T

T1

1

2

11

21

Q

L

Q

QQ

h

J1062,4

0546,0

h

s600.3

s

J700

tPLQ

7

1

Per cui l’accrescimento entropico dell’ambiente è:

hK

J1058,1

K293

h

J1062,4

T

QSSdS

5

7

.Amb

12

ESERCIZIO N. 7

Un sistema isolato consiste di due serbatoi di calore, mantenuti rispettivamente alle temperature

costanti di 27 °C e 150 °C.

I due serbatoi vengono, per breve tempo, messi in contatto tra loro.

Determinare di quanto è variata l’entropia del sistema se il calore scambiato è stato di J100,23

.

Soluzione:

La sorgente termica alla temperatura minore subisce un accrescimento d’entropia pari a:

K

J67,6

K300

J100,2

T

QSSdS

3

.Amb

12

La sorgente termica ad alta temperatura subisce un decremento entropico:

K

J72,4

K423

J100,2

T

QSSdS

3

.Amb

12

Complessivamente il sistema aumenta la propria entropia di un valore pari alla differenza:

K

J95,172,467,6dS T

ESERCIZIO N. 8

Un sistema isolato è costituito da una sorgente di calore mantenuta a temperatura costante di 27 °C

e da una massa di 100 grammi di ghiaccio alla temperatura di 0 °C.

Il calore latente di fusione del ghiaccio è

g

J334 .

Determinare la variazione d’entropia del ghiaccio dovuta alla sua fusione e la conseguente

variazione d’entropia di tutto il sistema.

Cosa si può dire delle trasformazioni termodinamiche che sono avvenute nel sistema?

Soluzione:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


381

Il calore assorbito dal ghiaccio per il cambiamento di stato è pari a:

J1034,3g

J334g100mcQ

4

L

La variazione entropica del ghiaccio è dunque pari a:

K

J34,122

K273

J1034,3

T

QSSdS

4

12

La variazione entropica della sorgente di calore, dalla quale è stata assorbita l’energia termica

necessaria per la fusione del ghiaccio, è data da:

K

J34,111

K300

J1034,3

T

QSSdS

4

121

La variazione entropica del sistema è pari alla differenza d’entropia:

K

J1134,11134,122

T

QSSdS

S.1S.2Sis

ESERCIZIO N. 9

In un esperimento, un secchio pieno di sabbia è sospeso avvolgendo un filo di nailon ad un perno e

legandone l’estremità al secchio; il secchio è poi fatto cadere a velocità costante regolando l’attrito

tra il filo e il perno su cui è avvolto.

A causa dell’attrito il perno si riscalda; dopo un certo tempo dalla fine della caduta del secchio, il

perno torna a temperatura ambiente causando l’aumento d’entropia di quest’ultimo.

Determinare l’aumento d’entropia dell’ambiente nel caso in cui il secchio abbia una massa di 2,0 kg

e percorra un tratto di 0,70 m in un laboratorio mantenuto ad una temperatura ambiente di 20 °C.

Soluzione:

Supponendo che la diminuzione d’energia potenziale si trasformi completamente in energia termica

a causa dell’attrito ed utilizzando i dati del problema:

J73,13m7,0

s

m81,9kg2hgmEQ

2P

L’incremento d’entropia dell’ambiente è quindi:

K

J107,4

K293

J73,13

T

QdS

2

ESERCIZIO N. 10

Il pistone di una siringa è spinto in modo da comprimere l’aria contenuta evitandone la fuoriuscita.

Se si agisce molto lentamente la temperatura dell’aria durante la compressione resta

sostanzialmente quella dell’ambiente esterno.

Sapendo che questa è di 300 K e l’entropia del gas nel processo è variata di

K

J1011

4,

determinare il lavoro fatto per spingere il pistone.

Soluzione:

Dal valore della variazione d’entropia si ricava:

J1033K300K

J1011TdSQ

64

Considerando il fatto che la compressione del gas avviene lentamente con mantenimento della

temperatura ad un valore costante, si conclude che la trasformazione deve essere isotermica.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


382

Il calore ceduto dal gas all’ambiente esterno è dunque pari al lavoro applicato al pistone, per cui:

J1033QL6

ESERCIZIO N. 11

Calcolare il rendimento di una macchina di Carnot che opera tra la temperatura di ebollizione

dell’acqua alla pressione atmosferica e quella di fusione del ghiaccio.

Determinare inoltre la quantità di lavoro meccanico scambiato durante le fasi d’espansione

adiabatica e di compressione adiabatica supponendo di utilizzare un sistema termodinamico

contenente una quantità di ossigeno biatomico pari a 56 kg.

Soluzione:

Il rendimento del ciclo è indipendente dal tipo e dalla quantità di gas e si determina con:

%2727,0373

273373

T

TT

T

T1

1

21

1

2C

Il lavoro meccanico scambiato durante la fase d’espansione adiabatica dalla temperatura maggiore a

quella minore è positivo e si può determinare tenendo conto del fatto che, essendo nulla la quantità

di calore scambiato, il lavoro è uguale al decremento d’energia interna:

LdUQ

0Q

21V2112 TTCnUUUUdUL

Con:

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

VC

R1

1

RC V

MP

mn

kmoli75,1

Kmole

kg32

kg56n

Da cui si ottiene:

J1064,3K273373140,1

Kkmole

J314.8

kmoli75,1TTCnL6

21V.Esp

Il lavoro per la compressione adiabatica è negativo in quanto applicato al sistema dall’ambiente

esterno e il suo valore è pari a quello scambiato durante l’espansione adiabatica per il fatto che le

due trasformazioni comportano la stessa differenza d’energia interna.

J1064,3L6

.Comp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


383

Il rapporto tra il calore assorbito durante l’espansione isotermica alla temperatura K373T1 e

quello caduto durante la compressione isotermica alla temperatura K273T 2 , si ricava tenendo

conto del valore del rendimento determinato in precedenza:

1Q

Q

Q

QQ

2

1

2

21

1Q

Q

2

1

27,1127,0Q

Q

2

1

21 Q27,1Q

ESERCIZIO N. 12

Il rendimento di un ciclo di Carnot è pari al 10 %.

Sapendo che la temperatura della sorgente a livello termico minore è 300 K, determinate la

temperatura della sorgente a temperatura maggiore.

Soluzione:

1

2

T

T1

1T

T

1

2

K3339,0

K300

1

TT

21

ESERCIZIO N. 13

Calcolare il rendimento di una macchina di Carnot operante fra le temperature estreme di 127 °C e

19 °C.

Soluzione:

1

2

T

T1

%2727,0127273

192731

ESERCIZIO N. 14

Una macchina termica assorbe in un’ora una quantità di calore pari a Kcal1024Q3

fornendo

una potenza pari a kW6P .

Calcolare il rendimento della macchina.

Soluzione:

11

21

1

2

1

2

Q

L

Q

QQ

Q

Q1

T

T1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


384

215,0

Kcal

J186.4

h

Kcal1024

h

s3600

s

J000.6

Q

tP

Q

L

311

ESERCIZIO N. 15

Calcolare il rendimento relativo al processo durante il quale una mole di gas perfetto si espande in

modo isotermico reversibile dallo stato 11 V,p allo stato

22 V,p .

Soluzione:

Durante l’espansione isotermica reversibile, la quantità di calore assorbita è completamente

trasformata in un’equivalente quantità di lavoro.

Per questo motivo il rendimento, pur non potendo essere espresso secondo la formula generale, non

può che essere uguale all’unità.

Per cui:

1

ESERCIZIO N. 16

Calcolare il rendimento relativo al processo durante il quale una mole di gas perfetto passa dallo

stato 11 V,p allo stato

12 V,p

Soluzione:

Il processo, come definito dallo stato iniziale e finale, avviene senza che il volume subisca

variazioni ed è quindi di tipo isocoro.

Dato che il lavoro effettuato è nullo risulta nullo anche il rendimento relativo alla trasformazione.

Per cui:

0

ESERCIZIO N. 17

In un ciclo di Carnot il rapporto tra il calore prelevato dalla sorgente a temperatura maggiore e il

calore ceduto al refrigerante è pari a 7

10.

Sapendo che la temperatura della sorgente termica è 127 °C, determinare la temperatura del

refrigerante ed il rendimento del ciclo.

Soluzione:

K400T1

%303,010

71

Q

Q1

T

T1

1

2

1

2

1

2

1

2

Q

Q

T

T

C7K28010

7K127273

Q

QTT

1

212

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


385

ESERCIZIO N. 18

Nei riguardi dell’esercizio precedente si sa che la quantità di calore assorbita supera di 200 J la

quantità di calore ceduta al refrigerante.

Calcolare il lavoro ottenuto dal ciclo e le quantità di calore scambiate nel processo esprimendole in

calorie.

Soluzione:

Dalle relazioni:

7

10

Q

Q

2

1

J200QQ 21

Si ottiene:

200Q7

10Q 22

2007

101Q 2

2007

107Q 2

cal112J4673

7200

7

107Q 2

cal159J667Q 1

Il lavoro ottenuto è quindi dato da:

1Q

L

J200J6673,0QL 1

ESERCIZIO N. 19

Il rendimento di una macchina termica irreversibile è espresso dalla relazione:

21

21

21TT

TT2

TT

Lavorando tra le due temperature estreme K600T1 e K300T 2 , la macchina compie, per

ogni ciclo, il lavoro J140L .

Determinare il calore assorbito e ceduto dalla macchina per ogni ciclo.

Soluzione:

Dai valori delle temperature estreme e dalla formula del rendimento si ottiene:

354,0300600

6003002

300600

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


386

Utilizzando poi il valore del rendimento:

J396

354,0

J140LQ 1

J256140396LQQ 12

ESERCIZIO N. 20

Una macchina termica funziona secondo un ciclo di Carnot tra le temperature di 127 °C e 27 °C.

Calcolare il calore assorbito ad ogni ciclo sapendo che il lavoro compiuto dalla macchina è pari a

4.180 J.

Soluzione:

25,0400

3001

11

21

Q

L

Q

QQ

Kcal994,3J720.1625,0

J180.4LQ 1

ESERCIZIO N. 21

Una macchina di Carnot lavora tra le temperature di ebollizione dell’acqua alla pressione

atmosferica normale e quella di fusione del ghiaccio, assorbendo ad ogni ciclo una quantità di

calore pari a 1.000 cal e trasformando in lavoro 268 cal.

Sapendo che la differenza di temperatura tra la sorgente termica ed il refrigerante è 100,

determinare il rendimento della macchina, la temperatura di ebollizione dell’acqua e quella di

fusione del ghiaccio.

Soluzione:

Il rendimento della macchina è dato da:

268,0

cal000.1

cal268

Q

L

Q

QQ

11

21

Le temperature della sorgente termica e del refrigerante:

1

21

1

2

T

TT

T

T1

K14,373268,0

100T1

K14,273100TT 12

ESERCIZIO N. 22

Con un rendimento del 25% un uomo compie un lavoro dissipando 20 Kcal. Determinare, in unità

meccaniche, il lavoro compiuto.

Soluzione:

1

21

1

2

Q

QQ

Q

Q1

211 QQQ

21 Q1Q

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


387

Kcal67,26

25,01

Kcal20

1

QQ

21

J920.27Kcal67,6QQL 21

ESERCIZIO N. 23

Con un rendimento pari al 24 %, una macchina termica sviluppa un lavoro di 360 J in un’ora.

Determinare, in calorie, la quantità di calore che bisogna fornire alla macchina per ogni minuto.

Soluzione:

1Q

L

h

J500.1

24,0

h

J360

LQ 1

min

cal97,5

cal

J186,4

h

min60

1

h

J500.1Q 1

ESERCIZIO N. 24

Un gas ideale compie un’espansione isoterma reversibile a 132 °C. Il valore dell’entropia subisce

un incremento pari a

K

J46dS .

Determinare la quantità di calore assorbito.

Soluzione:

T

QdS

J10863,1K

J46K132273dSTQ

4

ESERCIZIO N. 25

2,5 moli di un gas ideale si espandono in modo reversibile ed isotermico a 360 K fino ad un volume

doppio rispetto a quello iniziale.

Determinare l’incremento d’entropia.

Soluzione:

La quantità di calore assorbita durante una trasformazione isotermica reversibile è pari al lavoro

ceduto all’esterno.

Il lavoro e, di conseguenza, il calore da utilizzare per il calcolo della variazione d’entropia è

determinato da:

J5,186.5V

V2logK360

Kmole

J314,8moli5,2

V

VlogTRnQL

Iniz

Iniz

Iniz

FIn

Conseguentemente la variazione d’entropia è data da:

K

J41,14

K360

J5,186.5

T

QdS

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


388

ESERCIZIO N. 26

Un gas ideale compie un’espansione isoterma reversibile a 77 °C, aumentando il suo volume da 1,3

litri a 3,4 litri. La variazione d’entropia del gas è

K

J22 .

Determinare il numero di moli di gas.

Soluzione:

Utilizzando la variazione d’entropia e la temperatura della trasformazione, si determina la quantità

di calore scambiata durante la trasformazione che, essendo isotermica, fornisce una pari quantità di

lavoro:

T

QdS

J700.7K350K

J22TdSLQ

Dall’espressione del lavoro si ottiene poi il numero di moli:

Iniz

Fin

V

VlogTRnL

moli752,2

3,1

4.3logK350

Kmole

J314,8

J700.7

V

VlogTR

Ln

Iniz

Fin

ESERCIZIO N. 27

Quattro moli di un gas ideale si espandono dal volume 1V al volume 12 V2V . Se l’espansione è

isotermica ad una temperatura di 400 K, determinare il lavoro compiuto dal gas che si espande e la

variazione d’entropia. Se l’espansione anziché isoterma fosse adiabatica reversibile, quale sarebbe

la variazione d’entropia.

Soluzione:

Il lavoro compiuto dal gas si determina con:

J5,220.92logK400Kmole

J314,8moli4

V

V2logTRnL

1

1


K

J05,23

K400

J5,220.9

T

L

T

QdS

Se la trasformazione fosse adiabatica – quindi senza scambio di calore – la variazione d’entropia

sarebbe nulla.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


389

ESERCIZIO N. 28

Determinare il calore assorbito e la variazione d’entropia di un blocco di rame di 2.000 kg la cui

temperatura è aumentata reversibilmente da 25 °C a 100 °C. Il calore specifico del rame è

Kkg

J386c s

.

Soluzione:

La quantità di calore necessaria per riscaldare la massa di rame dalla temperatura di partenza a

quella finale è:

J1079,5K75Kkg

J386kg000.2TcmQ

7

s


K

J1073,1224,0

Kkg

J386kg000.2

298

373logcm

T

dTcm

T

dTcmdS

5

s

373

298

ss

ESERCIZIO N. 29

La temperatura di una mole di un gas ideale monoatomico è elevata, a volume costante ed in modo

reversibile, da 300 K a 400 K.

Determinare la variazione d’entropia.

Soluzione:

La quantità di calore assorbita dal gas durante la trasformazione è data da:

TCnQ V

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

VC

R1

1

RC V

J9,240.1K100167,1

Kmole

J314,8

mole1T1

RnQ

Per un gas monoatomico: 67,1


K

J57,3288,0

67,0

Kmole

J314,8

mol1300

400logCn

T

dTCn

T

dTCndS V

400

300

V

V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


390

ESERCIZIO N. 30

Una barra di ottone è a contatto termico con una sorgente di calore a 130 °C ad un’estremità e con

una sorgente a 24 °C all’altra estremità.

Determinare la variazione totale di entropia prodotta dalla conduzione di 5.030 J di calore attraverso

la sbarra.

L’entropia della barra varia durante il processo?

Soluzione:

La variazione d’entropia della sorgente ad alta temperatura è data da:

K

J48,12

K403

J030.5

T

QdS

La variazione d’entropia della sorgente a bassa temperatura è:

K

J94,16

K297

J030.5

T

QdS

La variazione d’entropia complessiva del sistema è:

K

J46,448,1294,16dS T

L’entropia della barra d’ottone non varia.

ESERCIZIO N. 31

A bassissima temperatura il calore specifico molare di molti solidi è approssimativamente pari a 3

V TAC essendo A una costante caratteristica della sostanza.

Per l’alluminio si ha

4

5

Kmole

J1015,3A .

Determinare il salto entropico relativo a 4 moli di alluminio quando la temperatura cresce da 5 K a

10 K.

Soluzione:

La variazione d’entropia è dato da:

dTTAnT

dTTAn

T

TCn

T

dQdS

23

V

dTT

Kmole

J1015,3moli4dTTAnS

10

5

2

4

52

10

5

3

4

5T

3

1

Kmole

J1015,3moli4S

k

J107,3

3

1510

Kmole

J1015,3moli4S

233

4

5

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


391

ESERCIZIO N. 32

Un campione di 2 moli di gas monoatomico ideale percorre un processo reversibile in cui l’entropia

subisce un incremento lineare passando dal valore

K

J5S 1 al valore finale

K

J20S 2 ,

mentre, la temperatura si abbassa linearmente dal valore di 400 K al valore di 200 K.

Determinare il calore assorbito dal gas, la variazione d’energia interna e il lavoro compiuto dal gas.

Soluzione:

La variazione d’energia interna è data dalla relazione:

T1

RnTTCnUUdU IFV12

J963.420067,0

Kmole

J314,8

moli2dU

La quantità di calore scambiata durante la trasformazione – con riferimento al diagramma di Gibbs -

è data dall’area della superficie sottostante la linea caratteristica della trasformazione e compresa tra

i valori minimo e massimo dell’entropia:

5 1 0 1 5 2 0

S (J /K )

T (K )

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

Q

Per cui si determina il calore scambiato:

J500.4K

J1520

2

K600SS

2

TTQ 12

21

Per il calcolo del lavoro scambiato si utilizza il Primo Principio della termodinamica:

LdUQ

J463.9963.4500.4dUQL

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


392

ESERCIZIO N. 33

Una macchina termica ideale assorbe 52 kJ di calore e ne scarica 36 kJ ad ogni ciclo. Calcolare il

rendimento e il lavoro compiuto per ogni ciclo.

Soluzione:

Il lavoro compiuto è pari alla differenza tra il calore assorbito e quello scaricato:

kJ163652QQL 21

Il rendimento:

308,0

kJ52

kJ16

Q

L

1

ESERCIZIO N. 34

Calcolare il rendimento di un impianto di potenza a combustibile fossile che ogni ora consuma 380

tonnellate di carbone per produrre lavoro utile alla potenza di 750 MW.

Il calore di combustione del carbone è

kg

MJ28 .

Soluzione:

Il calore prodotto, per ogni ora di funzionamento, dalla combustione del carbone è pari a:

h

J1006,1

h

kg108,3

kg

J108,2mPQ

1357

C

Il calore prodotto, riferito ad un tempo di un secondo, è:

W1094,2s

J1094,2

h

s3600

h

J1006,1

Q99

13

Il rendimento della centrale di produzione è quindi data da:

%5,25255,0

s

J1094,2

s

J105,7

Q

L

9

8

ESERCIZIO N. 35

Un inventore afferma di aver ideato quattro macchine termiche, ognuna delle quali funziona tra

sorgenti di calore a 400 K e 300 K. I dati di ogni macchina termica, per ogni ciclo di

funzionamento, sono i seguenti:

Macchina 1:

J40L

J175Q

J200Q

2

1

Macchina 2:

J400L

J200Q

J500Q

2

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


393

Macchina 3:

J400L

J200Q

J600Q

2

1

Macchina 4:

J10L

J90Q

J100Q

2

1

Quale tra le macchine ideate viola la prima o la seconda legge della termodinamica?

Soluzione:

Determiniamo il rendimento delle macchine:

Macchina 1:

125,0200

1751

Q

Q1

1

2

Macchina 2:

60,0500

2001

Q

Q1

1

2

Macchina 3:

667,0600

2001

Q

Q1

1

2

Macchina 4:

10,0100

901

Q

Q1

1

2

Determiniamo ora il rendimento di una macchina ideale di Carnot operante tra le temperature

indicate dall’inventore:

25,0400

3001

T

T1

1

2C

Risulta quindi chiaro che le macchine n. 2 e n. 3, il cui rendimento è superiore al rendimento della

macchina di Carnot tra le due temperature indicate, violano la seconda legge della termodinamica e

non è quindi possibile la loro realizzazione.

Dal punto di vista del Primo principio della termodinamica risulta altrettanto chiaro che le macchine

n. 1 e n. 1 sono irrealizzabili in quanto è violato, per entrambe, il bilancio energetico ed il principio

d’equivalenza per i cicli chiusi:

0LQ

Macchina 1:

040175200LQQ 21

Macchina 2:

0400200500LQQ 21

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


394

Macchina 3:

0400200600LQQ 21

Macchina 4:

01090100LQQ 21

In conclusione:

La macchina n. 1 viola la prima legge della termodinamica ed è irrealizzabile.

La macchina n. 2 viola la prima e la seconda legge ed è irrealizzabile.

La macchina n. 3 viola la seconda legge ed è irrealizzabile.

La macchina n. 4 non viola né il primo né il secondo principio ed è quindi realizzabile.

ESERCIZIO N. 36

Un motore d’automobile libera 8,2 kJ di lavoro ad ogni ciclo di funzionamento.

Prima di una messa a punto, il rendimento è del 25 %. Determinare, per ogni ciclo, il calore

assorbito dalla combustione del carburante ed il calore scaricato nell’atmosfera.

Dopo una messa a punto, il rendimento è del 31 %.

Quali saranno i nuovi valori delle quantità calcolate in precedenza se il lavoro svolto rimane

immutato?

Soluzione:

Prima della messa a punto:

1Q

L25,0

J800.3225,0

J200.8

25,0

LQ 1

Calore assorbito

J600.24200.8800.32Q 2 Calore immesso nell’atmosfera

Dopo la messa a punto:

1Q

L31,0

J451.2631,0

J200.8

31,0

LQ 1

Calore assorbito

J251.18200.8451.26Q 2 Calore immesso nell’atmosfera

ESERCIZIO N. 37

In un ipotetico reattore a fusione nucleare, il combustibile è un gas di deuterio ad una temperatura

1T di circa K1078

.

Se questo gas potesse essere utilizzato per far funzionare una macchina termica ideale con una

temperatura del refrigerante pari a 100 °C, quale sarebbe il suo rendimento?

Soluzione:

999999467,0

K107

K3731

8

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


395

ESERCIZIO N. 38

Ad una mole di gas ideale monoatomico viene fatto percorrere il ciclo mostrato nella figura

successiva.

Il processo BC è un’espansione adiabatica con i seguenti parametri:

bar10p B

33

B m101V

BC V8V

Determinare il calore fornito al gas, il calore restituito dal gas, il lavoro totale compiuto dal gas ed il

rendimento del ciclo.

Soluzione:

V (m )3

2

m

CA

B

p ( )N

Con i dati dello stato B e l’equazione dei gas perfetti:

BBB TRnVp

K120

Kmole

mN314,8mole1

m10

m

N101

Rn

VpT

33

2

6

BBB

Con l’equazione di Poisson per l’adiabatica:

CCBB VpVp

2

4

67,1

3

3

2

6

C

BBC

m

N101,3

108

10

m

N10

V

Vpp

Ancora con l’equazione di stato:

CCC TRnVp

BBB TRnVp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


396

K30

V

m

N10

V8

m

N101,3

K120Vp

VPTT

B2

6

B2

4

BB

CCBC

Ancora con l’equazione di stato si determina la temperatura dello stato A:

K72,3

Kmole

J314,8mole1

m10

m

N101,3

Rn

VpT

33

2

4

BCA

Il calore fornito al durante la trasformazione a volume costante è dato da:

J443.1K3,11667,0

Kmole

J314,8

mole1T1

RnTTCnQ ABV

Il lavoro compiuto dal gas sull’ambiente esterno durante l’espansione adiabatica si ricave dal primo

principio tenendo conto che il calore scambiato è nullo:

LdUQ

J116.1K9067,0

Kmole

J314,8

mole1T1

RnTTCndUL CBV

Il lavoro effettuato dall’ambiente sul gas durante l’isobara è dato da:

J217m10108

m

N101,3VpL

333

2

4

C

Il rendimento del ciclo è quindi:

623,0443.1

217116.1

Q

L T

ESERCIZIO N. 39

Una mole di gas ideale monoatomico inizialmente ad un volume di 10 litri e a una temperatura di

300 K, è riscaldato a volume costante fino ad una temperatura di 600 K, è poi fatto espandere

isotermicamente fino alla pressione iniziale, e, alla fine è compresso isobaricamente fino al volume,

alla pressione e alla temperatura iniziale.

Determinare il calore fornito durante il ciclo, il lavoro totale e il rendimento del ciclo.

Soluzione:

Con l’equazione di stato si determina la temperatura iniziale:

2

5

33A

AA

m

N1049,2

m1010

K300Kmole

mN314,8mole1

V

TRnp

Il calore fornito per la trasformazione a volume costante si determina con:

J7,722.3K3006001

Rmole1TTCnQ ABV.Isoc

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


397

Si determina poi il volume finale della trasformazione isotermica con l’equazione di stato:

32

2

5A

BC m102

m

N1049,2

K600Kmole

mN314,8mole1

p

TRnV

Si determina poi il calore fornito durante l’espansione isotermica il cui valore, per la prima legge

della termodinamica applicata all’isoterma, corrisponde al lavoro effettuato dal gas:

2

2

B

C

B.Isot.Isot

101

102logK600

Kmole

J314,8mole1

V

VlogTRnLQ

J7,457.3LQ .Isot.Isot

Per cui è possibile determinare il calore fornito complessivamente al gas:

J4,180.77,457.37,722.3QQQ .Isot.Isoc1

L’ultima trasformazione – un’isobara – richiede fornitura di lavoro dall’esterno che si determina

con:

J490.2m10102

m

N1049,2VpL

322

2

5

ACA.Isob

Il lavoro complessivamente eseguito dal gas è quindi dato da:

J7,967490.27,457.3LLL .Isob.IsotT

Il rendimento:

134,0

J4,180.7

J7,967

Q

L

1

T

ESERCIZIO N. 40

Una macchina termica ideale ha una potenza di 500 W. Essa lavora tra sorgenti di calore a 100 °C e

60 °C. Determinare la quantità di calore di alimentazione per unità di tempo e la quantità di calore

liberato in uscita.

Soluzione:

Il rendimento della macchina ideale è:

107,0373

3331

T

T1

1

2

La quantità di calore assorbita è data da:

111

21

Q

tP

Q

L

Q

QQ

J673.4107,0

s1s

J500

tPQ 1

La quantità di calore ceduta:

LQQ 21

J4173500673.4LQQ 12

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


398

LA SCALA TERMODINAMICA DELLE TEMPERATURE In base alle leggi della termodinamica e con riferimento al teorema di Carnot relativamente alla

definizione di rendimento di una macchina termica ideale esteso successivamente a quanto

affermato dal Secondo Principio, risulta possibile una nuova definizione operativa della grandezza

temperatura o livello termico.

Supponiamo di avere disponibili due sorgenti termiche di capacità infinita rispettivamente alle

temperature 1T e 1NT ed un numero di macchine termiche ideali reversibili pari a N interposte tra

le due sorgenti.

Sia 1T la temperatura più elevata.

Supponiamo che ognuna delle macchine, tranne la prima e l’ultima, operi un ciclo di Carnot

prelevando il calore ceduto dalla macchina precedente e cedendo calore alla macchina successiva.

La prima macchina 1N della serie sia collegata e in grado di prelevare calore dalla sorgente a

temperatura 1T mentre l’ultima N collegata alla sorgente a temperatura 1NT che funziona così

da refrigerante.

Supponiamo inoltre che ognuna delle N macchine ideali produca la stessa quantità di lavoro L .

T1

N + 1T

m

m

m

m

L

L

L

L

1Q

Q 2

3Q

Q N

N + 1Q

2T( )

T 1( )

T 3( )

N)( T

N + 1T( )

1

2

3

N

Figura 38 – SCALA TERMODINAMICA DELLE TEMPERATURE

La prima macchina 1

m riceve la quantità di calore 1

Q alla temperatura 1

T , produce la quantità di

lavoro L e cede alla macchina 2

m la quantità di calore 2

Q alla temperatura 2

T .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


399

La quantità di lavoro L prodotto dalla prima macchina è dunque determinato, in base al secondo

principio, dalla seguente relazione:

1

21211

Q

Q1QQQL

La quantità racchiusa tra le parentesi, altro non è che il rendimento della macchina ideale di Carnot

che, a sua volta, è anche esprimibile in funzione delle temperature estreme del ciclo relativamente

alla prima macchina:

1

2C

1

2

T

T1

Q

Q1

Per cui la relazione precedente assume la forma:

21

1

1

1

211

1

21211 TT

T

Q

T

TTQ

T

T1QQQL

In modo perfettamente analogo si può esprimere il lavoro prodotto dalla seconda macchina e di tutte

le macchine successive:

32

2

2

2

322

2

32322 TT

T

Q

T

TTQ

T

T1QQQL

…..

…..

1NN

N

N

N

1NNN

N

1NN1NNN TT

T

Q

T

TTQ

T

T1QQQL

Tenendo poi in considerazione l’ipotesi di partenza, ammettendo cioè che tutte le N macchine

producano la stessa quantità di lavoro, si deduce:

N321 L........LLL

1NN

N

N43

3

332

2

221

1

1TT

T

Q.......TT

T

QTT

T

QTT

T

Q

1

Tornando poi alla definizione di rendimento della macchina ideale di Carnot in base al secondo

principio e in funzione delle temperature estreme del ciclo reversibile, si ottiene, relativamente alla

prima macchina, la relazione già utilizzata da Clausius:

1

2

1

21.C

T

T1

Q

Q1

1

2

1

2

T

T

Q

Q

2

2

1

1

T

Q

T

Q

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


400

Lo stesso vale per la seconda macchina e per tutte le successive:

2

3

2

32.C

T

T1

Q

Q1

2

3

2

3

T

T

Q

Q

3

3

2

2

T

Q

T

Q

N

1N

N

1NN.C

T

T1

Q

Q1

N

1N

N

1N

T

T

Q

Q

1N

1N

N

N

T

Q

T

Q

Da cui risulta immediatamente:

N

N

3

3

2

2

1

1

T

Q.............

T

Q

T

Q

T

Q 2

Quindi la relazione 1 , tenendo conto della relazione 2 , diventa la seguente:

1NN433221

TT.......TTTTTT

3

In altre parole si può dire quanto segue:

Sulla scala termodinamica dei livelli termici, gli intervalli di temperatura sono

uguali, quando le macchine ideali reversibili che operano ognuna in detti

intervalli e riceventi ciascuna il calore ceduto da quella operante

nell’intervallo di temperatura superiore, producono lo stesso lavoro

meccanico.

DEFINIZIONE DELLA TEMPERATURA CORRISPONDENTE ALLO ZERO ASSOLUTO

In base ai risultati ottenuti dalla dimostrazione precedente è possibile una definizione

termodinamica della temperatura minima raggiungibile teoricamente cioè lo ZERO ASSOLUTO

della scala Kelvin:

Se il numero di macchine ideali reversibili è aumentato e se la temperatura

della sorgente fredda è abbassata sino a raggiungere la condizione limite per

cui l’ultima macchina non è più in grado di cedere calore, allora la

temperatura della sorgente fredda rappresenta il valore “ZERO” nella scala

termodinamica assoluta.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


401

LA SCALA TERMODINAMICA DELLA TEMPERATURA.

La nuova definizione di scala di temperature, basata sui concetti specifici della termodinamica, è

completamente svincolata dalle leggi di dilatazione dei liquidi, dei solidi e dei gas già utilizzate in

modo analogico e con varie modalità per definire i livelli e gli intervalli termici.

Se la sorgente calda alla temperatura 1T è vapor d’acqua alla pressione atmosferica normale e la

sorgente fredda alla temperatura 2T è ghiaccio fondente e se si immagina di collegare in serie 100

macchine termiche ideali reversibili tra queste due capacità termiche opportunamente regolate in

modo da produrre, ognuna, la stessa quantità di lavoro, allora ognuna delle macchine opera entro un

intervallo di temperatura che è l’unità di misura della scala termodinamica Kelvin.

T

m 2

m 1

m 3

L

L

L

L

1Q

Q 2

3Q

Q N

N + 1Q

2T( )

1( )

T 3( )

N)( T

N + 1T( )

(V A P O R D 'A C Q U A 1 B A R )1

1 0 1

1 0 0m

(G H IA C C IO F O N D E N T E 1 B A R )

T

T

T = 1 (K )

T = 1 (K )

T = 1 (K )

T = 1 (K )

T = 1 (K )

Figura 39 – DEFINIZIONE DELL’UNITA’ DI MISURA TEMPERATURA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


402

ESPERIENZE

DI LABORATORIO

LEGGI DEI GAS

TERMOMETRIA

CALORIMETRIA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


403

1 Legge di Gay-Lussac per l’isobara

Determinazione del coefficiente di dilatazione dei gas a pressione costante 1

2 Legge di Gay-Lussac per l’isocora

Determinazione del coefficiente di dilatazione dei gas a volume costante 6

3 Esperienza di Clement e Desormes

Determinazione del coefficiente

V

P

C

C

Rapporto tra capacità termica molare a pressione costante e capacità

Termica molare a volume costante per i gas 11

4 Dilatazione dei liquidi

Temperatura e variazione del volume di un liquido

Coefficiente di dilatazione volumica 24


Esperienza di Dulong e Petit

Temperatura e variazione del volume di un liquido 31

6 Compressioni ed espansioni adiabatiche

Variazione di temperatura nel gas per effetto di trasformazione

Adiabatica 36

7 Relazione tra quantità di calore, massa e temperatura 39

8 Unità di misura della quantità di calore

Calore specifico e capacità termica 43

9 Calorimetro delle mescolanze o calorimetro di Regnault

Equivalente in acqua del calorimetro 48


Misura calorimetrica delle temperature 54

11 Equivalente meccanico della caloria

Tubo di Whiting 56

12 Equivalente elettrico della caloria

Misura amperometrica della potenza elettrica 60

13 Rendimento termico di una fiamma a gas 63

14 Rendimento termico di un bollitore ad immersione 66

15 Punto di fusione – Calore di fusione 69

16 Calore di fusione del ghiaccio

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


404

Calorimetro delle mescolanze 73

17 Evaporazione

Tempi d’evaporazione 76

18 Tensione di vapore di un liquido 78

19 Misura della sovrapressione generata dall’evaporazione 81

20 Misura della tensione di vapore non saturo e vapore saturo dell’acqua 83

21 Misura della tensione di vapore saturo dell’acqua a diverse temperature 88

22 Il calorimetro di BUNSEN – (calorimetro a ghiaccio) 92

23 Bomba di MAHLER – Determinazione del potere calorico dei

combustibili solidi – La bomba calorimetrica di Mahler abbinata ad un

calorimetro delle mescolanze 96

24 Calorimetro JUNKERS

Determinazione del potere calorifico dei combustibili gassosi 100

25 Temperatura e densità dei liquidi 103

26 Coefficiente di dilatazione volumica

Temperatura e volume dei liquidi

Temperatura e volume dei solidi 108

27 Coefficiente di dilatazione lineare

Temperatura e lunghezza dei solidi filiformi 112

28 Legge di Boyle-Mariotte

Trasformazione isoterma 116

29 Liquefazione dei gas – Effetto Joule-Thomson

Macchina di Linde – Macchina di Claude

Ciclo di Linde-Hampson

Ciclo di Claude 121

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


405

ESPERIENZE

DI LABORATORIO

LEGGI DEI GAS

TERMOMETRIA

CALORIMETRIA

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


406

1 Legge di Gay-Lussac per l’isobara

Determinazione del coefficiente di dilatazione dei gas a pressione costante 1

2 Legge di Gay-Lussac per l’isocora

Determinazione del coefficiente di dilatazione dei gas a volume costante 6

3 Esperienza di Clement e Desormes

Determinazione del coefficiente

V

P

C

C

Rapporto tra capacità termica molare a pressione costante e capacità

Termica molare a volume costante per i gas 11


Temperatura e variazione del volume di un liquido

Coefficiente di dilatazione volumica 24


Esperienza di Dulong e Petit

Temperatura e variazione del volume di un liquido 31

6 Compressioni ed espansioni adiabatiche

Variazione di temperatura nel gas per effetto di trasformazione

Adiabatica 36

7 Relazione tra quantità di calore, massa e temperatura 39

8 Unità di misura della quantità di calore

Calore specifico e capacità termica 43


Equivalente in acqua del calorimetro 48


Misura calorimetrica delle temperature 54

11 Equivalente meccanico della caloria

Tubo di Whiting 56

12 Equivalente elettrico della caloria

Misura amperometrica della potenza elettrica 60

13 Rendimento termico di una fiamma a gas 63

14 Rendimento termico di un bollitore ad immersione 66

15 Punto di fusione – Calore di fusione 69

16 Calore di fusione del ghiaccio

Calorimetro delle mescolanze 73

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


407

17 Evaporazione

Tempi d’evaporazione 76

18 Tensione di vapore di un liquido 78

19 Misura della sovrapressione generata dall’evaporazione 81

20 Misura della tensione di vapore non saturo e vapore saturo dell’acqua 83

21 Misura della tensione di vapore saturo dell’acqua a diverse temperature 88

22 Il calorimetro di BUNSEN – (calorimetro a ghiaccio) 92

23 Bomba di MAHLER – Determinazione del potere calorico dei

combustibili solidi – La bomba calorimetrica di Mahler abbinata ad un

calorimetro delle mescolanze 96

24 Calorimetro JUNKERS

Determinazione del potere calorifico dei combustibili gassosi 100

25 Temperatura e densità dei liquidi 103

26 Coefficiente di dilatazione volumica

Temperatura e volume dei liquidi

Temperatura e volume dei solidi 108

27 Coefficiente di dilatazione lineare

Temperatura e lunghezza dei solidi filiformi 112

28 Legge di Boyle-Mariotte

Trasformazione isoterma 116

29 Liquefazione dei gas – Effetto Joule-Thomson

Macchina di Linde – Macchina di Claude

Ciclo di Linde-Hampson

Ciclo di Claude 121

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


408

ESPERIENZA N. 1 – LEGGI DEI GAS

LEGGE DI GAY-LUSSAC PER L’ISOBARA

DETERMINAZIONE DEL COEFFICIENTE DI DILATAZIONE

DEI GAS A PRESSIONE COSTANTE

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la determinazione sperimentale del coefficiente di dilatazione del gas

contenuto in un sistema termodinamico, mentre la pressione si mantiene costante durante una

trasformazione ISOBARA.

Nei limiti della sperimentazione a scopi didattici è utilizzata l’aria come gas ideale assimilandola a

gas biatomico.

La determinazione sperimentale del coefficiente ci permetterà poi di confrontarne il valore con

quello teorico contenuto all’interno della prima Legge di Gay-Lussac.

LEGGI DI RIFERIMENTO:

La trasformazione isobara – a pressione costante – segue la prima legge di Gay-Lussac espressa sia

in funzione della temperatura in gradi Celsius che della temperatura assoluta in Kelvin.

Il coefficiente di dilatazione compare in modo esplicito nella formulazione della legge di Gay-

Lussac espressa in gradi Celsius:

101 t1VV

Con:

1V Volume alla temperatura 1t

0

V Volume alla temperatura C0t 0

131

K106608,3K0036608,0K16,273

1 Coefficiente di dilatazione

Nella formulazione con la temperatura assoluta in Kelvin – più semplice e consigliabile il suo

utilizzo rispetto alla precedente – il coefficiente non compare in modo esplicito:

10

0

1

0

01 TV

T

1T

T

VV

Con:

0

V Volume alla temperatura K16,273T 0 corrispondente a 0 °C

1V Volume alla temperatura KT1

K16,273

1

T

1

0

Stesso valore precedente

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


409

MATERIALI OCCORRENTI:

Matraccio a collo lungo

Provetta 180x80

Tappo di gomma forato con inserto per chiusura foro

Porta provette in legno

Treppiede con reticella amianto e bruciatore gas con alimentazione

Pinza

Matita per scrittura su vetro

Struttura di sostegno per provetta

Termometro

Cilindro graduato

Pesa elettronica

Recipiente cilindrico in vetro a larga base

Acqua distillata o acqua normale

DESCRIZIONE DELLE FASI ESECUTIVE E CORRELAZIONI ALLE BASI TEORICHE:

Fase 1:

Nel matraccio è inserita una certa quantità d’acqua che, con utilizzo del treppiede e del fornello a

gas, si riscalda sino all’ebollizione.

La provetta, vuota e perfettamente asciutta, è chiusa con il tappo di gomma forato e, utilizzando la

pinza di legno, inserita all’interno del matraccio con l’acqua in ebollizione.

L’estremità con il tappo di gomma è rivolta verso l’alto, mentre l’estremità chiusa e tutta la provetta

deve essere mantenuta, senza immergerla nell’acqua bollente, a contatto con il vapore per un tempo

di almeno un minuto.

Alla fine, l’aria contenuta nella provetta sarà verosimilmente ad una temperatura pari a quella del

vapore d’acqua, cioè 100 °C.

La pressione finale dell’aria nella provetta risulterà pari alla pressione atmosferica normale in

quanto il foro nel tappo di gomma non impedisce la comunicazione con l’ambiente esterno.

Il volume d’aria alla temperatura di 100 °C sarà pari al volume interno della provetta depurato dal

volume occupato dal tappo di gomma.

Alla fine della prima fase il sistema termodinamico costituito dal gas interno alla provetta (aria

calda) sarà caratterizzato dai seguenti parametri di stato:

Pa300.101atm1p 1

1V Volume interno provetta depurato dal volume occupato dal tappo di gomma

K373C100t1

Per la misura del volume occupato dall’aria si può utilizzare un metodo diretto oppure un metodo

indiretto.

Con il metodo indiretto si può procedere utilizzando la pesa elettronica:

La provetta vuota già dotata di tappo di gomma e relativa chiusura è pesata annotandone la

misura (peso netto)

La stessa provetta è poi riempita d’acqua distillata sino a colmare il volume sino al tappo di

gomma, il foro nel tappo è poi richiuso come in precedenza.

La provetta piena è poi pesata con la stessa pesa elettronica ottenendo il peso lordo

La differenza tra il peso lordo e il peso netto è pari al peso di acqua contenuto nella provetta.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


410

Il volume d’acqua – pari evidentemente al volume della provetta e al volume d’aria – si

ricava poi tenendo conto del peso specifico dell’acqua distillata pari a

3O2H

cm

g1

Quindi:

1O2H1 VP

3

3O2H

11 cm

cm

g

gPV

Lo stesso volume 1V misurato in 3m per uniformare le unità di misura ai calcoli successivi

avrà un valore pari a:

36

1

3

36

3

13

1 m10V

m

cm10

cmVmV

Il metodo diretto prevede la misura del volume d’aria utilizzando un cilindro graduato.

L’acqua contenuta nella provetta è versato nel cilindro graduato che ci permetterà di visualizzare

immediatamente il valore del volume.

Fase 2:

Mentre la provetta è ancora immersa nel vapor d’acqua che si sprigiona dall’acqua in ebollizione

nel matraccio, si provvede a richiudere il foro nel tappo di gomma.

La provetta è poi estratta dal matraccio, capovolta, immersa velocemente nell’acqua contenuta in un

largo recipiente cilindrico e collegata all’apposito sostegno rigido.

In questo modo il tappo di gomma con relativa chiusura sono immersi nell’acqua del recipiente.

Si provvede immediatamente ad eliminare il dispositivo di chiusura del tappo di gomma cosicché

l’aria calda della provetta risulta comunicante con l’acqua del recipiente.

Mano a mano che l’aria ritorna alla temperatura dell’ambiente circostante raffreddandosi, l’acqua

affluisce dal foro del tappo andando ad occupare parzialmente il volume disponibile della provetta.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


411

Muovendo verticalmente la provetta si provvede a mantenere uguali i livelli dell’acqua contenuta

nel recipiente e di quella che entra nella stessa.

In questo modo si è prodotta sicuramente una trasformazione isobara:

Il volume dell’aria si è ridotto a causa del raffreddamento, mentre la pressione

interna si è mantenuta costantemente pari alla pressione atmosferica originale.

Se così non fosse i livelli d’acqua all’esterno e all’interno della provetta sarebbero tra

loro diversi.

Alla fine della 2° fase l’aria contenuta nella provetta sarà caratterizzata dai seguenti parametri di

stato:

Pa300.101atm1p 2

2V Volume occupato dall’aria al termine del raffreddamento

C20ambienteatemperaturt1 (temperatura da misurarsi con termometro)

Al termine della seconda fase e prima di estrarre la provetta dal recipiente è necessario segnare con

una matita o altri metodi il livello raggiunto dall’acqua all’interno della provetta per la successiva

misurazione del volume occupato dall’aria raffreddata.

Il volume 2V può essere misurato con gli stessi procedimenti illustrati relativamente alla prima fase

riempiendo d’acqua la provetta sino al tratto segnato.

2O2H2 VP

3

3O2H

22 cm

cm

g

gPV

Lo stesso volume 2V misurato in 3

m per uniformare le unità di misura ai calcoli successivi

avrà un valore pari a:

36

2

3

36

3

23

2 m10V

m

cm10

cmVmV

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


412

CALCOLI E RISULTATI FINALI:

Con i risultati ottenuti dalla 1° e 2° fase applicati mediante la legge di Gay-Lussac, si determina

infine il valore della costante di dilatazione .

Dalle due equazioni dell’isobara relative, rispettivamente alle temperature come descritte:

101 t1VV

202 t1VV

Si ricava (dividendo la prima per la seconda e semplificando il fattore comune 0

V ):

2

1

2

1

t1

t1

V

V

1221 t1Vt1V

122211 tVVtVV

212112 VVtVtV

212112 VVtVtV

2112

21

.SpertVtV

VV

Si tenga presente che:

C100t1

C24/19t2

Temperatura ambiente da misurare

Il valore di ricavato dall’esperienza dovrebbe essere approssimativamente uguale al valore

teorico:

teorico

131

K106608,3K0036608,0K16,273

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


413


LEGGE DI GAY-LUSSAC PER L’ISOCORA

DETERMINAZIONE DEL COEFFICIENTE DI DILATAZIONE

DEI GAS A VOLUME COSTANTE

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la determinazione sperimentale del coefficiente di dilatazione del gas

contenuto in un sistema termodinamico, mentre il volume si mantiene costante durante una

trasformazione ISOCORA.


gas biatomico.


quello teorico contenuto all’interno della prima Legge di Gay-Lussac.


La trasformazione isocora – a volume costante – segue la seconda legge di Gay-Lussac espressa sia

in funzione della temperatura in gradi Celsius che della temperatura assoluta in Kelvin.

Il coefficiente di dilatazione compare in modo esplicito nella formulazione della legge di Gay-

Lussac espressa in gradi Celsius:

101

t1pp

Con:

1

p Pressione alla temperatura 1t

2m

N

0p Pressione alla temperatura C0t 0

2m

N

131

K106608,3K0036608,0K16,273

1 Coefficiente di dilatazione

Nella formulazione con la temperatura assoluta in Kelvin – più semplice e consigliabile il suo

utilizzo rispetto alla precedente – il coefficiente non compare in modo esplicito:

10

0

1

0

01 TP

T

1T

T

PP

Con:

0P Pressione alla temperatura K16,273T 0 corrispondente a 0 °C

1P Pressione alla temperatura KT1

K16,273

1

T

1

0

Stesso valore precedente

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


414


Recipiente in vetro a larga base

Palloncino di vetro con tubo capillare e rubinetto di chiusura

Tuba plastica trasparente mm6

Imbuto di vetro

Mercurio

Listello graduato su asta (in alternativa metro a nastro)

Termometro

Struttura sostegno palloncino e capillare

Struttura sostegno e movimento tubo plastica

Treppiede con reticella amianto e bruciatore gas con alimentazione

Matita per scrittura su vetro

Acqua


Fase 1:

Fase preparatoria a temperatura ambiente.

Il palloncino vuoto e ben asciutto con relativo tubo capillare orizzontale e rubinetto è immerso

completamente nell’acqua contenuta nel recipiente in vetro a larga base.

Per mantenerlo immerso e in posizione occorre fissare il palloncino ad una struttura di sostegno in

grado di sopportare la spinta idrostatica archimedea che tenderebbe altrimenti a riportare il

palloncino in superficie.

Inizialmente la pressione dell’aria – assimilato a gas ideale biatomico – contenuta nel palloncino e

nel capillare è pari alla pressione atmosferica normale, cioè circa 101.300 (Pa).

Dopo un tempo ragionevolmente lungo, il palloncino e l’aria in esso contenuta assumono la stessa

temperatura dell’acqua in è immerso.

La temperatura dell’acqua è misurata mediante un termometro di buona sensibilità.

Il tubo di plastica flessibile e trasparente è poi collegato al capillare per mezzo dell’attacco libero

del rubinetto in vetro posto all’estremità del capillare stesso.

Anche il tubo in plastica deve essere sostenuto da una struttura tale da consentire il movimento in

verticale.

Successivamente, in modo lento e graduale, per mezzo del piccolo imbuto in vetro inserito

all’estremità libera del tubo in plastica, deve essere versata una quantità di mercurio tale da riempire

il tubo in plastica sino ad un livello appena sottostante il rubinetto.

Tale livello deve essere marcato in modo tale da permetterne il controllo durante le fasi successive

dell’esperienza.

COSA AVVIENE DURANTE IL RIEMPIMENTO DEL TUBO CON MERCURIO:

Come già detto, la pressione iniziale del gas (aria) contenuta nel palloncino, in piccola percentuale

nel capillare e nel tubo in plastica, è pari alla pressione atmosferica normale.

Durante il riempimento graduale l’aria è compressa dal menisco di mercurio (che agisce come un

pistone) e dal peso del mercurio stesso.

La pressione dell’aria nel palloncino e nel capillare risulta, in questo modo, maggiore della

pressione atmosferica iniziale e il tubo in plastica svolge la funzione di manometro per la misura

della pressione.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


415

I due menischi di mercurio, alle due estremità del tubo in plastica, sono sottoposti a differenti

pressioni:

Sul menisco rivolto verso l’interno del capillare e del palloncino agisce la pressione del gas

(aria) contenuta nel palloncino stesso, sul menisco libero verso l’atmosfera agisce

naturalmente la pressione atmosferica.

Il valore della pressione che ci interessa per lo svolgimento dell’esperienza è evidentemente

relativo al gas contenuto nel palloncino e è determinato misurando il dislivello tra i due

menischi di mercurio nel tubo monometrico in plastica.

Il valore di pressione alla temperatura pari a quella dell’acqua in cui è immerso il palloncino

di vetro è dato da:

1HgAtm1 hPp

Con:

2.Atm

m

N300.101p

3

5

3

3

3

3

Hg

m

N10333,1

kg

N81,9

m

kg1059,13

m

kg1059,13

1h Dislivello di mercurio (da esprimere in metri) da misurarsi al termine della

prima fase sperimentale.

Al termine della 1° fase l’aria contenuta nel palloncino sarà caratterizzata dai seguenti parametri di

stato:

1p Pressione iniziale – Determinata come al passo precedente

1t Temperatura dell’acqua nel largo recipiente cilindrico.

1V Volume aria corrispondente al volume del palloncino in vetro e del capillare

sino al rubinetto d’arresto

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


416

Fase 2:

Dopo l’ultimazione della fase preparatoria con la rilevazione del dislivello monometrico ed il

calcolo della pressione iniziale dell’aria nel palloncino e della temperatura iniziale dell’acqua, si

inizia con il riscaldamento dell’acqua contenuta nel recipiente cilindrico.

Mano a mano che cresce la temperatura dell’acqua e, di conseguenza dell’aria nel palloncino, la

pressione interna nel palloncino tende ad incrementarsi e a spingere verso il basso il menisco di

mercurio.

Occorre a questo punto versare, tramite l’imbuto e molto lentamente, altro mercurio nel tubo

monometrico in modo da mantenere costante il livello del menisco rivolto verso l’interno del

palloncino al tratto segnato alla fine della 1° fase.

In alternativa si può muovere il tubo monometrico in verticale.

Si procede in questo modo sino al raggiungimento dell’ebollizione dell’acqua cui corrisponde una

temperatura dell’aria pari a C100t 2 .

Se il livello del menisco è mantenuto costante si può concludere che il volume di aria non ha subito

variazioni e che, di conseguenza, la trasformazione è ISOCORA.

Segue la misurazione del nuovo dislivello monometrico e il calcolo della nuova pressione dell’aria

all’interno del palloncino.

Si ottiene:

2HgAtm2 hPp

Con le unità di misura come descritte in precedenza

Al termine della seconda fase l’aria sarà caratterizzata dai seguenti parametri di stato:

2p Pressione finale – Determinata come al passo precedente

C100t 2 Temperatura finale dell’acqua nel largo recipiente cilindrico.

12 VV Volume aria corrispondente al volume del palloncino in vetro e del

capillare sino al rubinetto d’arresto

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


417

CALCOLI E RISULTATI FINALI:

Con i risultati ottenuti dalla 1° e 2° fase applicati mediante la legge di Gay-Lussac, si determina

infine il valore della costante di dilatazione .

Dalle due equazioni dell’isocora relative, rispettivamente alle temperature come descritte:

101 t1pp

202 t1pp

Si ricava (dividendo la prima per la seconda e semplificando il fattore comune 0

V ):

2

1

2

1

t1

t1

p

p

1221 t1pt1p

122211 tpptpp

212112 pptptp

212112 pptptp

2112

21.Sper

tptp

pp

Si tenga presente che:

1t Temperatura iniziale dell’acqua (da misurare)

C100t 2 Temperatura dell’acqua in ebollizione

Il valore di ricavato dall’esperienza dovrebbe essere approssimativamente uguale al valore

teorico:

teorico

131

K106608,3K0036608,0K16,273

1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


418


ESPERIENZA DI CLEMENT E DESORMES

DETERMINAZIONE DEL COEFFICIENTE

V

p

C

C

RAPPORTO TRA CALORE SPECIFICO A PRESSIONE COSTANTE E

CALORE SPECIFICO A VOLUME COSTANTE

SCOPO:

L’esperienza è mirata alla determinazione sperimentale didattica del rapporto tra la capacità

termica molare a pressione costante PC e la capacità termica molare a volume costante VC di un

gas.


gas biatomico.

Il valore del rapporto V

P.Sper

C

C è poi confrontato con i valori di Teorico che compaiono su testi

e tabelle il cui valore è riconosciuto come: 40,1Teorico .


Le leggi cui l’esperienza si riferisce sono quelle relative alle trasformazioni dei gas perfetti e, in

particolare:

La Legge di Poisson che regola le trasformazioni adiabatiche:

11 VpVp

p

p

V

V 1

1

La Legge di Boyle che regola le trasformazioni isoterme:

11 VpVp

p

p

V

V 1

1

La Legge generale di stato dei gas perfetti con la relativa equazione di stato:

TRnVp

La Relazione di Mayer:

RCC VP

La Legge di Gay-Lussac:

2

1

12 T

T

pp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


419


Grossa bottiglia in vetro con volume di almeno 5 litri

Tappo di gomma forato

Pompa per vuoto (in alternativa: grossa siringa oppure tubo Venturi da collegare alla rete

idrica)

Tubo in vetro con rubinetto per collegamento alla pompa per vuoto

Tubo vetro manometrico

Recipiente cilindrico vetro

Liquido manometrico (acqua colorata)

Tubo plastica per collegamenti alla pompa vuoto

Listello graduato su asta (in alternativa: metro a nastro)

Termometro

Struttura sostegno tubo manometrico


Fase 1:

Preparazione:

La grossa bottiglia di vetro – perfettamente asciutta all’interno - è collegata, tramite tubo vetro con

rubinetto inserito in un foro del tappo di gomma e tubo in plastica, alla presa d’aspirazione della

pompa per vuoto.

Nell’altro foro del tappo di gomma è inserito il tubo di vetro di piccolo diametro (non capillare) cui

si farà riferimento per la misurazione della pressione (tubo manometrico).

Il tratto verticale del tubo manometrico dovrà essere inserito nel recipiente cilindrico contenente

acqua colorata (liquido manometrico).

In queste condizioni iniziali, l’aria contenuta nella bottiglia occuperà un volume 1

V pari al volume

della bottiglia più il volume interno del tubo manometrico.

Se il diametro del tubo è piccolo, risulta ininfluente il volume d’aria contenuto nello stesso.

La temperatura iniziale dell’aria 1

T sarà uguale alla temperatura dell’aria ambiente che è misurata

con un termometro.

La pressione dell’aria nella bottiglia è evidentemente uguale alla pressione atmosferica ed il livello

del liquido nel tubo manometrico coincide con il livello del liquido nel recipiente che lo contiene.

L’aria – intesa come miscuglio – sarà assimilata a gas ideale biatomico e la quantità contenuta

inizialmente nella bottiglia potrà essere determinata – anche se il dato non è indispensabile per lo

svolgimento dell’esperienza – con l’equazione di stato:

1

1Atm

TR

Vpn

Il volume occupato dall’aria coincide con il volume interno della bottiglia che può essere misurato

con il metodo diretto o con metodo indiretto misurando il peso netto e il peso lordo della bottiglia

piena d’acqua come per l’esperienza n. 1.

I parametri caratteristici dello stato iniziale dell’aria sono dunque i seguenti:

2.Atm1

m

N300.101pp

1V Volume interno della bottiglia

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


420

1T Temperatura ambiente esterno

1

1Atm

TR

Vpn

Numero moli

0h Dislivello liquido manometrico

Fase 2:

Estrazione aria:

Aprendo il rubinetto ed azionando la pompa per il vuoto, una certa quantità d’aria è aspirata dalla

bottiglia.

Di conseguenza si nota un calo immediato della pressione all’interno della bottiglia, segnalato

dall’innalzamento della colonna d’acqua nel tubo manometrico.

La diminuzione della pressione all’interno della bottiglia – rispetto alla pressione atmosferica -

coinvolge (in virtù della legge di Pascal) anche la superficie del menisco d’acqua contenuto nel tubo

manometrico.

La pressione atmosferica esterna che è esercitata sulla superficie del liquido manometrico contenuto

nel recipiente costringe quindi il liquido a salire di una certa quota all’interno del tubo.

La legge di Stevin ci permette quindi la determinazione della pressione interna:

.Atm2O2H2 php

2O2H.Atm2 hpp

Con:

2.Atm

m

N300.101p

33O2H

m

N810.9

kg

N81,9

m

kg000.1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


421

2h Dislivello manometrico (in metri)

Tenendo presente che, per generare una pressione idrostatica pari alla pressione atmosferica occorre

una colonna d’acqua di altezza pari a circa 10,33 metri, ogni metro di dislivello indica una

diminuzione di circa il 10 % rispetto alla pressione precedente.

Se, ad esempio, il breve azionamento della pompa per vuoto generasse l’innalzamento di 40 cm

della colonna manometrica, la pressione dell’aria contenuta nella bottiglia risulterebbe:

2322

m

N376.97m40,0

m

N810.9

m

N300.101p

Con una diminuzione percentuale del:

%9,3100300.101

376.97300.101100

P

pp

Atm

2.Atm

In alternativa, se non è disponibile la pompa per generare il vuoto o se si ritiene che il suo utilizzo

sia difficilmente controllabile agli effetti della regolazione della pressione finale 2p , è possibile

utilizzare una grossa siringa attraverso cui, chiudendo ed aprendo alternativamente il rubinetto, è

aspirata più lentamente l’aria dalla bottiglia.

Nel caso di utilizzo della siringa l’innalzamento della colonna d’acqua nel tubo manometrico è più

graduale e controllabile.

Se, invece, si decide di utilizzare la pompa per vuoto, è meglio utilizzare del mercurio come liquido

manometrico in quanto la pressione finale può essere abbastanza prossima al valore nullo.

Nel caso si utilizzi mercurio (Hg), la pressione è data da:

2Hg.Atm2 hpp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


422

Con:

2.Atm

m

N300.101p

33O2H

m

N900.135

kg

N81,9

m

kg590.13

2h Dislivello manometrico (in metri di mercurio m76,0 )

Dopo un certo tempo dall’aspirazione dell’aria e dalla chiusura definitiva del rubinetto (controllare

la tenuta stagna dei collegamenti alla bottiglia, alla siringa o pompa e al tubo manometrico),

l’altezza della colonna d’aria si stabilizza al livello finale 2h .

A questo punto i parametri di stato caratteristici del nuovo stato d’equilibrio cui è stata portata

l’aria, sono i seguenti:

2O2H.Atm2 hpp

12 VV Volume bottiglia

12 TT Temperatura aria ambiente

Fase 3:

Compressione adiabatica:

Prima di descrivere la procedura relativa alla fase 3, occorre immaginare che l’aria contenuta nella

bottiglia – alla pressione 2p e al volume 2V (pari a tutto il volume interno della bottiglia) – sia

separata dall’aria esterna da un pistone virtuale di diametro pari al collo della bottiglia disposto

appena al di sotto del tappo in gomma.

Tale pistone – che evidentemente in realtà non è presente – può scorrere senza attrito per tutta la

lunghezza del collo, non permette all’aria esterna di miscelarsi con quella interna, mentre permette

lo scambio di calore tra l’aria esterna e quella interna.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


423

Il pistone virtuale ci permetterà di comprendere meglio il meccanismo di compressione adiabatica

che si andrà a descrivere evitandoci il problema della quantità d’aria in ingresso e del volume finale

del gas.

La fase n. 3 si realizza essenzialmente staccando dal rubinetto i dispositivi utilizzati per generare la

depressione (siringa o pompa vuoto) e procedendo con un rapido movimento di apertura e chiusura

del rubinetto stesso.

La manovra di rapida apertura e chiusura produce l’effetto che può così di seguito essere

virtualmente descritto:

Il rubinetto aperto mette in comunicazione per un breve istante l’ambiente esterno – a

pressione atmosferica – con l’aria contenuta nella bottiglia la cui pressione è inferiore a

quella atmosferica.

La differenza di pressione costringe l’aria esterna ad entrare violentemente nel collo -

virtuale – della bottiglia, spingendo il pistone – anch’esso virtuale – verso il basso.

L’aria contenuta nella bottiglia è violentemente compressa dal pistone in rapido

abbassamento ed è quindi costretta ad occupare un volume minore di quello occupato in

precedenza. Definiamo con 3V il nuovo volume incognito dato dalla differenza tra il

volume iniziale di tutta la bottiglia e il volume sovrastante il pistone virtuale.

E’ chiaro che una simile descrizione – non corrispondente alla realtà – è una notevole

semplificazione di ciò che accade in pratica: una certa quantità d’aria esterna entra nella

bottiglia e si mescola immediatamente con quella già presente. Il numero di moli

complessivo è pari alla somma delle moli dell’aria entrante e di quella presente.

La compressione dell’aria per effetto del pistone virtuale avviene in modo così rapido da

poter essere considerata una “compressione adiabatica” cioè senza scambio di calore con il

sistema esterno.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


424

Il risultato finale di una simile trasformazione sarà il seguente:

La pressione dell’aria subirà un incremento che, al termine della trasformazione,

potrà essere valutato misurando il nuovo dislivello 3h del liquido manometrico.

Il volume ideale 3V , dell’aria sottostante il pistone virtuale, subirà un decremento

rispetto al volume iniziale 2V

La temperatura finale 3T dell’aria, dovrà essere maggiore di quella iniziale –

temperatura ambiente – a causa dell’effetto di compressione adiabatica.

Infatti, durante la rapida trasformazione, l’ambiente esterno – tramite la propria

pressione – fornisce lavoro meccanico al sistema spingendo il pistone virtuale verso

il basso, mentre lo scambio di calore è impedito dalla rapidità della trasformazione.

Il Primo Principio della termodinamica ci permette di formulare il bilancio

energetico della trasformazione nel modo seguente:

0Q

LdUQ

LdU

2323V TT

1

RnTTCndU

Con:

RCC VP

VV

P

C

R1

C

C

1R

C V

1

RC V

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


425

La compressione adiabatica sarà regolata dalla legge di Poisson e dall’equazione

generale di stato che, opportunamente combinate, danno luogo a:

3322 VpVp

2

22

p

TRnV

3

33

p

TRnV

1 3

2

2

3

p

p

V

V

2

3

3

3

2

22

p

TRnp

p

TRnp

3

3

3

2

22

p

Tp

p

Tp

3

1

32

1

2TpTp

2

3

1

3

2

T

T

p

p

2

3

1

3

2

T

Tlog

p

plog

2

3

3

2

T

Tlog

p

plog1

La fase n. 3 è ultimata dopo un tempo brevissimo dall’apertura e chiusura del rubinetto nel

momento in cui la lettura del livello manometrico raggiunge il valore minimo 3h .

Si ritiene allora conclusa la fase di compressione adiabatica che ha quindi determinato il minimo

valore di decompressione ed il valore massimo della temperatura all’interno della bottiglia.

I parametri di stato dell’aria contenuta inizialmente nella bottiglia possono essere quindi riassunti

dal passaggio dallo stato precedente a quello successivo, per cui:

Da:

2O2H.Atm2 hpp

2V Volume della bottiglia

2T Temperatura ambiente

A:

3O2H.Atm3 hpp

23 VV

23 TT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


426

Sul diagramma di Clapeyron (pressione-volume) la compressione adiabatica rappresentativa della

fase n. 2 è rappresentata dalla linea curva che collega i due stati d’equilibrio indicati (la pressione

aumenta oppure, in altri termini, la depressione diminuisce; il volume occupato dall’aria diminuisce

per effetto della discesa del pistone virtuale; la temperatura aumenta):

V

p

C O M P R E S S IO N E A D IA B A T IC A

IS O T E R M E

T2

3T

2T 2p

2V; ;

(A p e r tu ra . e c h iu s u ra ru b in e tto )

V 3;3p;T3

3p

3V

2p

V 2

Fase 4:

Raffreddamento a volume costante (raffreddamento isocoro):

Dopo la fase molto rapida di compressione adiabatica provocata dall’apertura e chiusura del

rubinetto, l’aria contenuta nella bottiglia (si parla sempre della quantità d’aria iniziale) si trova

compressa dal pistone virtuale occupando il volume incognito 3V ed a una temperatura 3T

superiore alla temperatura ambiente.

A questo punto risulta abbastanza ragionevole immaginare che, non agendo più sul rubinetto, la

pressione agente sulla superficie superiore del pistone virtuale non cambi mentre, l’aria contenuta

nella bottiglia e compresa tra la superficie inferiore del pistone, le pareti del recipiente e del tubo

manometrico e la superficie superiore del menisco della colonna manometrica, trovandosi ad una

temperatura superiore a quella esterna cominci a raffreddarsi cedendo calore all’esterno tramite le

pareti conduttrici della bottiglia.

E’ anche ragionevole immaginare che il volume d’aria 3V non subisca apprezzabili variazioni di

volume a condizione che il tubo manometrico sia di piccolo diametro.

Con queste ipotesi si può concludere che la fase n. 4 sia costituita da un raffreddamento isocoro –

cioè a volume costante – accompagnato da un abbassamento di pressione e da una diminuzione di

temperatura sino a ritornare alla temperatura iniziale 2T .

L’abbassamento della pressione interna sarà indicato da un lento risalire del livello manometrico

che si concluderà, quando la temperatura avrà valore pari alla temperatura ambiente: a questo punto

il dislivello manometrico sarà 4h .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


427

Tale trasformazione potrà essere rappresentata sul diagramma di Clapeyron tenendo presente

l’abbassamento di temperatura sino al valore iniziale della temperatura ambiente 2T e il

mantenimento del volume al valore 3V , nel modo seguente:

V

p

C O M P R E S S IO N E A D IA B A T IC A

IS O T E R M E

T2

3T

2T 2p

2V; ;

(A p e r tu ra . e c h iu s u ra ru b in e tto )

V 3;3p;T3

3p

3V

2p

V 2

R A F F R E D D A M E N T O IS O C O R O

(ru b in e tto c h iu s o )

p4

T2 ; p4 ; 3V

F A S E 4

F A S E 3

h 2

h 3

4h

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


428

Il raffreddamento isocoro caratteristico della fase n. 4 è regolato ancora dal Primo Principio anche

considerando nullo il lavoro d’espansione per mancata variazione di volume:

0L

LdUQ

23V TTCndUQ

CONCLUSIONI, CALCOLI E RISULTATO FINALE:

Conclusioni:

In conclusione: il risultato delle varie fasi della sperimentazione è che l’aria inizialmente presente

nella bottiglia al termine della fase n. 1 ha subito una serie di trasformazioni il cui risultato finale ha

mantenuto invariato il valore della temperatura ed ha aumentato il valore della pressione interna.

Quest’ultima è comunque sempre inferiore alla pressione atmosferica iniziale.

I dati annotati al termine delle fasi si riducono essenzialmente alla rilevazione della pressione

iniziale 2p , intermedia 3p e finale 4p oppure, più semplicemente, alla rilevazione del dislivello

manometrico iniziale 2h , intermedio 3h e finale 4h .

Calcoli:

Per quanto riguarda il raffreddamento isocoro si applica la legge di Gay-Lussac nella forma:

3

3

2

4

T

p

T

p

Da cui si ottiene la seguente:

3

3

24 p

T

Tp

Per quanto riguarda la compressione adiabatica si applica la legge di Poisson nella forma

vista in precedenza:

3

3

3

2

22

p

Tp

p

Tp

3

1

32

1

2TpTp

1

2

3

3

2

p

p

T

T

1

2

3

3

2

p

p

T

T

1

2

3

3

2

p

p

T

T

Sostituendo nella prima il risultato della seconda si ottiene:

3

3

24 p

T

Tp

1

2

3

34p

ppp

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


429

Passando ai logaritmi:

1

2

334

p

pplogplog

1

2

3

34p

plogplogplog

2

334

p

plog

1plogplog

2

334

p

plog

1plogplog

2334 plogplog

1plogplog

23

34

plogplo

plogplog1

23

34

plogplog

plogplog1

1

23

3423

plogplog

plogplogplogplog1

23

24

plogplog

plogplog1

24

23

plogplog

plogplog

Dato che solitamente le variazioni delle pressioni sono relativamente piccole se rapportate al valore

della pressione atmosferica (si è visto in precedenza che per una variazione di livello manometrico

di 40 cm d’acqua si ha una riduzione del 3,9% della pressione atmosferica), la relazione precedente

si può anche scrivere:

2

23

2

223

2

323

p

pp1log

p

ppplog

p

plogplogplog

20

2030

hH

hHhH1log

20

2030

hH

hHhH1log

20

32

hH

hh1log

Ricordando che la pressione atmosferica normale equivale ad una colonna d’acqua avente

altezza 0H di circa 1.033 cm mentre i dislivelli manometrici sono dell’ordine di pochi

centimetri di colonna d’acqua, si può concludere che:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


430

20

32

20

32

hH

hh

hH

hh1log

Infatti per valori esemplificativi non ricavati dall’esperienza, si ottiene:

cm033.1H 0

cm40h 2

cm10h 3

cm20h 4

029764,0

40033.1

10401log

hH

hh1log

20

32

030211,040033.1

1040

hH

hh

20

32

La differenza percentuale tra i due risultati è:

%48,1100030211,0

029764,0030211,0

La minima differenza percentuale ci permette di semplificare i calcoli ponendo, alla

fine:

20

32

20

32

hH

hh

hH

hh1log

D’altra parte anche la quantità:

2

24

2

223

2

424

p

pp1log

p

ppplog

p

plogplogplog

Seguendo il medesimo procedimento di prima, può essere scritta come:

20

42

20

42

hH

hh

hH

hh1log

Per cui, alla fine e come risultato finale dell’esperienza, il valore della costante V

P

C

C sarà dato

dalla seguente relazione:

42

32

20

42

20

32

24

23

Sperimhh

hh

hH

hh

hH

hh

plogplog

plogplog

42

32

Sperimhh

hh

Il valore di .Sperim determinato dovrà poi essere confrontato con il Teorico che, per l’aria

considerata come gas biatomico, è assunto pari a 1,40.

La stessa esperienza può essere ripetuta utilizzando aria umida inserendo una certa quantità d’acqua

all’interno della bottiglia che è vaporizzata con l’agitazione meccanica della bottiglia stessa.

Si dovrebbe ricavare un valore di .Sperim più basso rispetto a quello determinato con aria secca.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


431

ESPERIENZA N. 4 – DILATAZIONE DEI LIQUIDI

TEMPERATURA E VARIAZIONE

DEL VOLUME DI UN LIQUIDO

COEFFICIENTE DI DILATAZIONE VOLUMICA

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la determinazione sperimentale della variazione di volume di un liquido

in funzione della variazione di temperatura e la relativa determinazione del coefficiente di

dilatazione volumico caratteristico.

Nei limiti della sperimentazione a scopi didattici sono utilizzati i liquidi più comunemente reperibili

come l’acqua, l’alcool, ecc. ecc.


quello teorico relativo al liquido in esame che facilmente è reperibile su tabelle unificate.


La dilatazione termica volumica isobara di un liquido è regolata dalla legge:

t1VV 0t

C

C

11mm

33

Con il seguente significato fisico dei simboli:

tV Volume del liquido alla temperatura t 3m

0V Volume del liquido alla temperatura di 0 °C 3m

Coefficiente di dilatazione volumica

C

1 1

C

t Temperatura del liquido C

Il fenomeno della dilatazione termica volumica è unito al fenomeno di variazione della densità e del

peso specifico che, a sua volta, è regolato dalla legge:

t1

0

t

CC

1

m

kg

m

kg 3

m

3

m


t Densità del liquido alla temperatura t

3

m

m

kg

0 Densità del liquido alla temperatura di 0 °C

3

m

m

kg


C

1 1

C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


432


t1t1

g 00t

CC

1

s

m

m

kg

m

N 23

m

3


t Peso specifico del liquido alla temperatura t

3m

N

0 Densità del liquido alla temperatura di 0 °C

3

m

m

kg


C

1 1

C


Il coefficiente di dilatazione è variabile in funzione del tipo di liquido e anche della temperatura.

Per escursioni di temperatura non troppo elevate all’intorno di quella caratteristica per il liquido in

esame ove è conosciuto il coefficiente, esso si può ritenere costante.

Da notare il comportamento anomalo dell’acqua la quale assume il massimo valore di densità e il

minimo valore del volume specifico ad una temperatura di 4 °C.

Per valori crescenti oltre i 4 °C si ha un aumento di volume specifico e una diminuzione della

densità, per valori di temperatura crescenti a partire da 0 °C sino a 4 °C il volume specifico

diminuisce, mentre si nota l’aumento della densità:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


433



Tappo di gomma con due fori

Termometro ad asta con gambo lungo

Tubo vetro diametro 7 mm – lunghezza circa 50 cm

Bicchiere di vetro di capacità 1 litro

Bollitore ad immersione del tipo a resistenza elettrica

Cilindro graduato piccolo

Cilindro graduato grande

Listello graduato su asta completo di cursori di misurazione

Treppiede per listello

Pesa elettronica

Alcool metilico

Siringa graduata


FASE 1:

TARATURA DEL TUBO MISURATORE

Si tratta di correlare una variazione della grandezza “altezza di liquido contenuto nel tubo di vetro”

con la relativa variazione di volume del liquido stesso.

Si può procedere, ad esempio, nel modo seguente:

E’ misurata la lunghezza del tubo di vetro (conviene utilizzare come unità di misura il

centimetro)

Tappando con un dito una delle estremità del tubo e mantenendolo inclinato verso l’alto, si

utilizza la piccola siringa graduata per riempire d’acqua fino all’estremità opposta il tubo

stesso.

Il volume d’acqua - espresso in 3cm - utilizzato per il completo riempimento del tubo è

misurato direttamente dalla lettura delle tacche sulla siringa ed, eventualmente, dal numero

di volte cui si è utilizzata la siringa completamente piena.

Dividendo il volume per la lunghezza totale del tubo si ottiene la variazione di volume di

liquido relativamente alla variazione di un’unità di misura della lunghezza.

Alla fine la variazione del volume di liquido relativamente ad un certo incremento di

colonna h , sarà dato da:

hL

VV

Tubo

.Tot

cm

cm

cmcm

33

Con:

V Incremento di volume relativo all’aumento di colonna h 3cm

.TotV Volume complessivo contenuto nel tubo completamente pieno 3cm

TuboL Lunghezza totale del tubo di vetro cm

h Variazione in altezza della colonna di liquido nel tubo cm

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


434

FASE 2:

PREPARAZIONE DEL MATRACCIO MISURATORE:

Il termometro misuratore ad asta lunga è inserito, per una lunghezza opportuna in modo che il bulbo

sia immerso in profondità, in uno dei due fori del tappo di gomma che si utilizzerà per chiudere il

matraccio.

Si provvederà poi a riempire il matraccio con il liquido da esaminare (ad esempio alcool metilico)

in modo tale che, una volta richiuso con il tappo di gomma ed il termometro in esso inserito, il

liquido risulti ad un livello leggermente al di sopra dell’estremità inferiore dell’altro foro nel tappo.

Il volume di liquido utilizzato per il riempimento del matraccio deve essere determinato con

precisione.

Si può utilizzare nuovamente la siringa graduata oppure il cilindro graduato piccolo e/o grande.

E’ poi inserito nel secondo foro del tappo di gomma, spingendolo quasi al fondo del matraccio già

pieno di liquido, il tubo misuratore, in modo tale che il liquido risalga nel tubo per alcuni centimetri

dall’estremità superiore del tappo.

A parte si prepara il listello graduato disposto verticalmente sull’apposito supporto e si regola il

cursore inferiore al medesimo livello del menisco di liquido nel tubo misuratore.

Il livello del liquido nel tubo misuratore è poi contrassegnato con nastro o matita per vetro.

FASE 3:

IMMERSIONE DEL MATRACCIO IN ACQUA A TEMPERATURA AMBIENTE

Il matraccio è poi posto nel grosso bicchiere di vetro nel quale si versa acqua a temperatura

ambiente o superiore, sino a sommergere completamente il matraccio pieno del liquido in esame.

Con il liquido inizialmente ad una temperatura inferiore a quella dell’acqua versata si noterà un

lento innalzamento del termometro immerso nel matraccio accompagnato da un graduale

abbassamento della temperatura dell’acqua nel bicchiere e dall’incremento dell’altezza della

colonna di liquido nel tubo misuratore.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


435

La fase n. 2 sarà conclusa nel momento in cui si noterà l’uguaglianza delle temperature segnalate

dai due termometri e la colonna di liquido nel tubo non subisce più cambiamenti.

Riassumendo i dati relativamente alla prima e alla seconda fase:

Il volume di liquido che occupa il matraccio e parte del tubo manometrico inizialmente, è stato

misurato con uso della siringa graduata.

Definiamo V il volume iniziale.

Il volume del liquido, con matraccio immerso in acqua alla temperatura d’equilibrio 1T , si ottiene

sommando al volume iniziale V la quantità contenuta, per effetto della dilatazione termica, nel

tratto di tubo compreso tra il livello iniziale e il livello finale:

1

Tubo

.Tot11 h

L

VVVVV

Con:

1V Volume occupato dal liquido in esame alla temperatura 1t 3cm

V Volume iniziale di liquido in esame (misurato con la siringa graduata) 3cm

V Incremento di volume per effetto della variazione della temperatura

.TotV Vedere fase n. 1 (taratura del tubo indicatore)

TuboL Vedere fase n. 1 (lunghezza tubo indicatore) cm

1h Variazione in altezza della colonna di liquido nel tubo alla temp. 1t cm

1t Temperatura d’equilibrio del liquido in esame e dell’acqua nel bicchiere C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


436

FASE 4:

IMMERSIONE DEL MATRACCIO IN ACQUA CALDA

Il matraccio è poi inserito nello stesso bicchiere riempito però d’acqua calda ad una temperatura

iniziale di 40 °C riscaldata con un fornello a gas, elettrico o con apposito bollitore dotato di

termostato.

All’interno del tubo misuratore si noterà un incremento del livello rispetto a quello precedente sino

a quando la temperatura interna del liquido nel matraccio e la temperatura dell’acqua calda non

raggiungono l’equilibrio termico e il livello nel tubo non subisce altre modificazioni.

E’, a questo punto misurato il dislivello 2h (sempre a partire dal livello iniziale) del liquido nel

tubo.

E’ annotata la temperatura 2t d’equilibrio e il dislivello 2h .

In queste condizioni è ricavato il volume occupato dal liquido alla temperatura 2t come già fatto in

precedenza.

Si otterrà:

2

Tubo

.Tot22 h

L

VVVVV

Con:

2V Volume occupato dal liquido in esame alla temperatura 2t 3cm

V Volume iniziale di liquido in esame (misurato con la siringa graduata) 3cm

V Incremento di volume per effetto della variazione della temperatura

.TotV Vedere fase n. 1 (taratura del tubo indicatore)

TuboL Vedere fase n. 1 (lunghezza tubo indicatore) cm

2h Variazione in altezza della colonna di liquido nel tubo alla temp. 1t cm

2t Temperatura d’equilibrio del liquido in esame e dell’acqua nel bicchiere C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


437


Conclusioni:

In conclusione:

Il risultato delle varie fasi della sperimentazione è che il liquido in esame contenuto all’interno del

matraccio e del tubo misuratore subisce delle variazioni di volume in funzione della temperatura

assunta.

Le variazioni sono rilevabili e determinate misurando la variazione di livello nel tubo indicatore.

Calcoli:

Applicando la legge relativa alla dilatazione volumica dei liquidi, si avranno a disposizione le

seguenti relazioni:

101 t1VV

202 t1VV

Dividendo membro a membro la prima per la seconda si ottiene la semplificazione del valore del

volume alla temperatura di 0°C:

2

1

2

1

t1

t1

V

V

Da cui si ottiene la relazione che permetterà di determinare il valore del coefficiente di dilatazione

volumica relativamente al liquido in esame e per l’intervallo di temperatura considerato:

1221 t1Vt1V

122211 tVVtVV

121221 VVtVtV

121221 VVtVtV

1221

12

tVtV

VV

Il valore del coefficiente di dilatazione termica volumica del liquido in esame è poi paragonato, per

verificare la correttezza e la precisione dell’esperienza, con il valore tabellato relativo allo stesso

liquido e per lo stesso intervallo di temperatura.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


438

ESPERIENZA N. 5 – DILATAZIONE DEI LIQUIDI

ESPERIENZA DI DULONG E PETIT

TEMPERATURA E VARIAZIONE

DEL VOLUME DI UN LIQUIDO


SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza, denominata “METODO di Dulong e Petit”, è ancora la determinazione

sperimentale del coefficiente di dilatazione termica volumica di un liquido entro un certo

intervallo di temperatura.

Contrariamente alla precedente non si prevede la misurazione dei volumi occupati dal liquido ma

esclusivamente delle altezze piezometriche (di colonna verticale).

Si potranno poi confrontare i risultati dell’esperienza con quelli ottenuti con l’esperienza

precedente.


Si utilizzeranno le basi teoriche relative alla Legge di Stevin per la determinazione della pressione

idrostatica di una colonna liquida, il principio dei vasi comunicanti, il concetto di pressione

atmosferica, sfruttando la variazione di densità e peso specifico di un liquido sottoposto a diverse

temperature.

In particolare la legge di Stevin formula la relazione che permette di determinare la pressione

idrostatica i

p :

Colonnat.LiqColonnatLiqi hghp

Con:

ip Pressione idrostatica di una colonna di liquido di altezza h

2m

N Pa

t.Liq Peso specifico liquido alla temperatura t

3m

N

t.Liq Densità liquido alla temperatura t

3

m

m

kg

Ch Altezza della colonna di liquido m

Si ricorda che la pressione atmosferica normale corrisponde alla pressione idrostatica esercitata a

livello del mare e a temperatura di 0°C da una colonna di mercurio avente altezza pari a 760 mm.

Da cui si ricava:

22

2

f3

fHgi.Atm

m

N300.101

m

dm100dm6,7

kg

N81,9

dm

kg59,13PP

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


439


Recipienti cilindrici di vetro, di alta capacità e di elevata altezza, muniti ognuno di un foro

all’estremità inferiore.

N. 2 tappi di gomma forati

N. 2 matracci con tappo di gomma forato

N. 2 tubi di vetro diametro 7 mm per misurazione altezze

N. 4 termometri ad asta lunga

Bollitore ad immersione del tipo a resistenza elettrica

Cilindro graduato piccolo

Cilindro graduato grande

Listello graduato su asta completo di cursori di misurazione

Treppiede per listello

Alcool metilico

Siringa graduata


Fase 1:

PREPARAZIONE

I matracci sono inseriti nei due recipienti in vetro e collegati tra loro per mezzo del tubo capillare

che ha la funzione di permettere la comunicazione del liquido contenuto in ognuno.

Il tubo capillare dovrà essere collegato all’estremità inferiore di ogni matraccio per mezzo del tappo

di gomma forato laterale ed attraversare le pareti laterali dei cilindri anch’esse dotate di foro e tappo

di gomma posto all’estremità inferiore di ogni recipiente.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


440

L’estremità superiore di ogni matraccio sarà dotata di tappo di gomma con due fori attraverso cui

saranno inseriti il termometro ad asta ed il tubo misuratore di livello.

I matracci saranno riempiti del liquido in esame (ad esempio alcool metilico) in modo tale che i

livelli nei due tubi misuratori siano abbondantemente al di sopra dei relativi tappi.

Per il principio dei vasi comunicanti, unitamente al fatto che le due quantità di liquido si trovano

alla stessa temperatura, i livelli h , misurati dal centro del capillare di collegamento, saranno

inizialmente uguali.

Anche i due recipienti saranno dotati di termometro ad asta lunga.

Fase 2:

Si provvederà poi al riempimento dei due recipienti in modo tale da sommergere completamente i

matracci e tutta lunghezza dei tubi misuratori.

Il recipiente di sinistra sarà riempito con acqua alla temperatura normale di spillamento

dall’acquedotto mentre, quello di destra con acqua riscaldata alla temperatura di 50-60 °C.

La differenza di temperatura tra i due liquidi causa la variazione della densità del liquido in esame e

la conseguente variazione di livello nei due tubi misuratori.

Quello di destra si innalza, mentre, il livello di sinistra varierà in funzione del valore della

temperatura iniziale del liquido da raffrontare con la temperatura dell’acqua utilizzata per riempire

il recipiente.

Alla fine, quando saranno raggiunte le temperature d’equilibrio nei due recipienti con i relativi

matracci immersi, i livelli saranno stabili.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


441

In conclusione i dati forniti dall’esperienza saranno i seguenti:

Nel matraccio di destra:

CT .Equil.2

cmh 2

Nel matraccio di sinistra:

CT .Equil.1

cmh 1


Conclusioni:

In conclusione:

Il risultato delle varie fasi della sperimentazione è che il liquido in esame contenuto all’interno dei

matracci e dei relativi tubi di misurazione, sottoposto a temperature differenti tra loro, subisce una

variazione della densità.

Le quote iniziali del liquido contenuto nei vasi comunicanti sono modificate e non appartengono più

al piano orizzontale.

La pressione idrostatica delle due colonne di liquido è però uguale nei punti appartenenti al

capillare di collegamento.

La temperatura del capillare di collegamento non subisce modificazioni e può quindi essere

assimilato ad una zona neutra di separazione.

Calcoli:

La pressione idrostatica a livello del centro del tubo capillare è data da:

Per il matraccio e tubo di destra:

22DX.i hgp m

s

m

m

kg

m

N

23

m

2

Per il matraccio e tubo di sinistra:

11SX.i hgp m

s

m

m

kg

m

N

23

m

2

Uguagliando quindi le pressioni:

SX.iDX.i pp

2211 hghg

2211 hh

1

2

2

1

h

h

D’altra parte, in termini di contenuto in massa dei matracci e dei tubi ad essi collegati, si può dire

che nulla è cambiato rispetto alla situazione iniziale.

In altre parole, pur essendo variata la densità del liquido e, di conseguenza, il volume occupato, la

massa è sempre la stessa, cioè:

2211 VVm

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


442

Da cui:

1

2

2

1

V

V

Ma, ammettendo l’esattezza della relazione tra il volume ad una certa temperatura, il volume alla

temperatura nulla e il coefficiente volumico di dilatazione termica , si può scrivere:

101 t1VV

202 t1VV

Da cui si ottiene:

1

2

1

2

t1

t1

V

V

Quindi, utilizzando le relazioni precedenti:

1

2

2

1

1

2

1

2

h

h

t1

t1

V

V

Da cui:

1

2

1

2

h

h

t1

t1

1221 t1ht1h

122211 thhthh

122112 ththhh

122112 ththhh

Infine il risultato finale:

1221

12

thth

hh

L’esperienza di DULONG e PETIT, condotta secondo canoni più classici, senza utilizzo del

matraccio, con solo la presenza di tubi di lunghezza circa 1 metro collegati da capillare, danno i

seguenti risultati:

Per il mercurio, tra la temperatura di 0 °C (ramo sinistro) e la temperatura di 100 °C (ramo destro),

la differenza tra i due livelli risulta approssimativamente di 1,826 cm per un coefficiente di

dilatazione volumico pari a:

14

1000Hg C10826,1

Per l’olio minerale lubrificante tra le stesse temperature la differenza di livello supera i 3 cm.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


443

ESPERIENZA N. 6

COMPRESSIONI ED ESPANSIONI ADIABATICHE

VARIAZIONI DI TEMPERATURA NEL GAS PER EFFETTO

DI TRASFORMAZIONI ADIABATICHE

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è verificare qualitativamente – cioè senza effettuare vere e proprie

misurazioni – le variazioni di temperatura subite dal gas contenuto in un sistema termodinamico,

mentre è effettuata una rapida trasformazione adiabatica.

Si ricorda che durante una trasformazione adiabatica si deve ritenere nullo lo scambio di calore tra il

gas del sistema e l’ambiente circostante.

La compressione adiabatica dovrebbe provocare un aumento di temperatura mentre, l’espansione

una diminuzione.


Le trasformazioni adiabatiche sono regolate dalla legge di Poisson e da un caso particolare del

Primo Principio della termodinamica.

Proprio esaminando il Primo Principio si comprende che ogni trasformazione adiabatica deve essere

caratterizzata da una variazione, positiva o negativa, della temperatura del gas.

La compressione provoca l’aumento di temperatura accompagnato dalla diminuzione di volume e

dall’aumento della pressione, risultati opposti si ottengono dall’espansione adiabatica.

Le trasformazioni adiabatiche sono rappresentate, sul diagramma di Clapeyron (pressione-volume),

da linee curve iperboliche che intersecano il fascio di isoterme.

Il Primo Principio per l’adiabatica:

LdUQ

Con:

0Q

LdU

Il lavoro meccanico scambiato dal sistema con l’ambiente esterno è pari alla variazione

dell’energia interna del sistema stesso.

T1

RnTCndU V

Rn

1LT

Risulta quindi evidente che il lavoro scambiato è causa della variazione di temperatura.

La legge di Poisson, unitamente all’equazione generale di stato:

2211 VpVp

2

2

2

1

1

1V

V

TRnV

V

TRn

1

22

1

11 VTVT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


444

1

2

112

V

VTT

1

2

1

2

1

11

1

2

11

V

VVT1

V

VTT

Con: V

P

C

C

67,1 Gas monoatomico

40,1 Gas biatomico

30,1 Gas triatomico

2

22

1

11

p

TRnp

p

TRnp

2

1

21

1

1TpTp

1

2

112

p

pTT


Grossa siringa di vetro

Termocoppia

Galvanometro


La termocoppia con tappo è collegata al foro d’uscita della siringa e collegata elettricamente con il

galvanometro con scala da 0-2 mA.

L’aria che si trova nella siringa è quindi compressa con un forte e breve impulso sul pistone

provocando in questo modo una compressione adiabatica.

Durante la compressione rapida è nullo lo scambio di calore con l’esterno e la temperatura del gas

aumenta secondo quanto stabilito dalla legge di Poisson.

La termocoppia rileva l’aumento di temperatura attraverso la brusca deviazione dell’indicatore

galvanometrico (multimetro con scala amperometrica da 0 a 3 milliampere) segnalando il passaggio

di corrente elettrica causata dal riscaldamento del punto di contatto tra i due conduttori costituenti la

termocoppia stessa.

La termocoppia è realizzata mediante unione termosaldata di un tratto di filo di costantana con due

terminali in rame.

Per effetto SEEBEK, il riscaldamento di una delle due saldature ed il mantenimento a temperatura

ambiente dell’altra, provoca la comparsa di una tensione elettrica di intensità variabile in funzione

della differenza di temperatura.

La tensione generata è di tipo “termoelettrico” e dà luogo alla comparsa di una “corrente

termoelettrica” di valore moderato da misurarsi appunto con il multimetro dotato di scala in

milliampere.

La termocoppia da utilizzarsi è adatta per il collegamento sul terminale d’uscita della siringa.

Se la termocoppia è tarata si potrà ricavare direttamente la variazione di temperatura in funzione

della variazione della corrente termoelettrica.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


445

Considerando che l’esperienza è di tipo qualitativo, non occorreranno calcoli, ma sarà bastevole

l’osservazione dell’incremento di temperatura causato dalla compressione adiabatica.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


446

ESPERIENZA N. 7

RELAZIONE TRA QUANTITA’ DI CALORE,

MASSA, TEMPERATURA

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la determinazione di una relazione sperimentale tra le grandezze tipiche

della termologia e calorimetria, la temperatura ed il calore, e la grandezza che caratterizza la

quantità di materia contenuta in un qualsiasi corpo solido, liquido o gassoso.


Trattandosi di una ricerca sperimentale didattica relativa alla legge di interconnessione tra le

grandezze citate, occorrerebbe evitare ogni anticipazione relativa a quanto già visto e studiato.

Considerando però i riferimenti particolari relativi alle grandezze da studiare, l’esperienza in

oggetto diventa soprattutto una verifica.

Ci si riferirà dunque alla legge che ci permette di determinare il calore assorbito o ceduto da un

corpo caratterizzato da una certa massa che subisce una variazione del livello termico.

In particolar modo si farà riferimento a corpi generalmente allo stato liquido.

La legge di riferimento è:

TmKTTmKQ if

Con:

Q Calore scambiato dal corpo J cal

ScK Costante tipica della sostanza (calore specifico)

Kkg

cal

Kkg

J

m Massa del corpo kg

fT Temperatura finale K

iT Temperatura iniziale K

Le relazioni inverse derivanti dalla legge generale sono le seguenti:

Tm

QK

TK

Qm

mK

QT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


447


Recipienti cilindrici vetro

Riscaldatori ad immersione a resistenza elettrica – Potenza 1.000 W

Sostegni per riscaldatori (asta con treppiede e mensile isolate)

Cilindro graduato

Pesa elettronica

Termometri ad asta

Sostegno per termometri

Cronometro

Siringa graduata

Acqua

Altri liquidi (olio, alcool, ecc. ecc)


Nei due recipienti cilindrici è versata differente quantità di liquido in esame (ad esempio acqua). Le

quantità in massa possono essere determinate con metodo diretto o indiretto. Si potrà, ad esempio,

utilizzare il metodo della tara e del peso lordo per mezzo della pesa elettronica, oppure direttamente

utilizzando la siringa o altri recipienti graduati.

A titolo puramente indicativo potremo utilizzare una massa kg75,0g750m 1 nel primo

recipiente e una massa kg5,0g500m 2 nel secondo.

Per tutti e due i recipienti il liquido in esame sarà caratterizzato dalla stessa temperatura – ad

esempio la temperatura della fonte di spillamento.

Nei due recipienti saranno inseriti, completamente immersi nei volumi di liquido senza toccare il

fondo di vetro, due riscaldatori a resistenza elettrica aventi entrambi la stessa potenza (ad esempio

1.000 W) e le stesse caratteristiche, oltre a due termometri ad asta.

Sia i riscaldatori che i termometri saranno sostenuti da appositi sostegni.

Con i riscaldatori collegati alla rete elettrica e dopo aver rilevato la stessa temperatura del liquido

nei due recipienti (oppure due temperature diverse da annotare) è chiuso il circuito elettrico di

alimentazione.

I riscaldatori iniziano contemporaneamente a fornire calore alle masse di liquido nei recipienti e la

temperatura delle stesse inizia ad aumentare, più velocemente nel recipiente con massa di liquido

minore, più lentamente in quello contenente la massa maggiore.

I riscaldatori saranno disattivati dopo un certo periodo di tempo, mentre saranno rilevate ed

annotate le due temperature finali caratteristiche dei liquidi nei due recipienti.

Riepilogando i dati iniziali e finali ricavati dall’esperienza:

1.iT Temperatura iniziale del liquido 1 K

2.iT Temperatura iniziale del liquido 2 K

1m Massa di liquido 1 kg

2m Massa di liquido 2 kg

t Durata periodo di riscaldamento s

RP Potenza nominale riscaldatori W

1.fT Temperatura finale del liquido 1 K

2.fT Temperatura finale del liquido 2 K

1T Salto termico del liquido 1 K

2T Salto termico del liquido 2 K

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


448


Conclusioni:

In conclusione:

I liquidi, della stessa natura ma con masse diverse, pur assorbendo lo stesso calore assumono

temperature diverse.

I queste condizioni è costante il prodotto della massa per il rispettivo salto termico.

Calcoli:

Considerando il fatto che i riscaldatori sono uguali, hanno la stessa potenza e sono stati avviati e

spenti contemporaneamente, è ragionevole pensare che la quantità di calore ceduta alle due masse

di liquido sia uguale.

Cioè:

21 QQ

Se si ammette che la potenza nominale sia completamente trasferita al liquido, si potrà scrivere la

seguente relazione:

tPQQ N21 ss

JJ

D’altra parte potremo ammettere che tali quantità di calore siano state completamente assorbite

dalle due masse di liquido che, infatti, hanno aumentato il proprio livello termico.

E’ quindi ragionevole pensare che le quantità di calore siano proporzionali alle quantità in massa e

alle rispettive differenze di temperature tramite un coefficiente caratteristici del liquido in esame.

Ma se ciò è vero allora, considerando che i due liquidi hanno le stesse caratteristiche, si dovrebbe

concludere che tali coefficienti devono necessariamente avere lo stesso valore:

O2H21 KKK

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


449

Quindi:

11O2H1111 TmKTmKQ

22O2H2222 TmKTmKQ

Da cui:

22O2H11O2H TmKTmK

2211 TmTm

In conclusione si può affermare che la quantità di calore è proporzionale al prodotto della massa del

liquido per la differenza di temperatura tra lo stato iniziale e finale:

TmQ

Inoltre è anche possibile affermare che la costante K , che come si vedrà è caratteristica di ogni

sostanza, deve sicuramente essere misurata con le seguenti unità di misura:

TmKQ

KTkgm

JQK

Kkg

JK

La costante K sarà definita “CALORE SPECIFICO” della sostanza.

Supponendo che il calore fornito al liquido possa essere calcolato utilizzando la potenza nominale

del riscaldatore ed il tempo di funzionamento, si può determinare, in prima approssimazione il

valore della costante O2HK :

2

ntoFunzioname

22

N

22

O2HTkg75,0

sts

J000.1

KTkgm

sts

JP

KTkgm

JQK

1

ntoFunzioname

11

N

11

O2HTkg5,0

sts

J000.1

KTkgm

sts

JP

KTkgm

JQK

Oppure, anticipando l’effettivo valore del calore specifico dell’acqua e ricordando il Principio

d’Equivalenza, è possibile determinare il valore della potenza effettivamente utilizzata per

riscaldare l’acqua:

Kkg

J186.4

Kkg

kcal1cK O2HSO2H

Da cui si ricava:

N

111O2H

UtileN Pst

KTkg5,0Kkg

J186.4

t

TmKP

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


450

ESPERIENZA N. 8

UNITA’ DI MISURA DELLA QUANTITA’ DI CALORE

CALORE SPECIFICO E

CAPACITA’ TERMICA

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la dimostrazione sperimentale che la quantità di calore Q necessaria per

far aumentare di 1 K la temperatura di una quantità di massa pari a 1 kg di una determinata

sostanza (si prendono in esame sostanze liquide), dipende dal coefficiente s

c caratteristico di quella

sostanza.

Il coefficiente sarà definito “CALORE SPECIFICO”.

Se invece si vuol far riferimento ad una certa quantità in massa di sostanza, è allora possibile e

consigliabile far riferimento al prodotto del calore specifico caratteristico per la quantità in massa

della sostanza stessa.

Tale prodotto è definito “CAPACITA’ TERMICA” e rappresenta la quantità di calore necessaria ad

aumentare di 1 K la temperatura di una massa m della sostanza.


Si farà riferimento alla legge generale per la determinazione della quantità di calore assorbito o

ceduto da certa sostanza (liquida, solida o aeriforme) avente massa m .

La legge generale, valida per sostanze liquide e solide, presenta poi alcuni casi particolari se è

applicata alle sostanze caratterizzate dallo stato gassoso.

TCTmcTTmcQSiFS

Con:

Q Calore assorbito o ceduto. Sarà da considerarsi assorbito, dunque

positivo, il calore necessario a produrre un incremento di temperatura

(riscaldamento), negativo se necessario per produrre un decremento di

temperatura (raffreddamento). E’ chiaro che il valore della temperatura finale

rispetto a quella iniziale, determina il segno algebrico della quantità iF TT

e, di conseguenza, è bastevole a stabilire se si tratta di calore assorbito o

ceduto.

SC Coefficiente caratteristico della sostanza in esame. E’ definito “CALORE

SPECIFICO” e rappresenta fisicamente la quantità di calore necessaria per

incrementare (decrementare) la temperatura di una massa di sostanza pari a 1

kg di un valore pari a 1 Kelvin.

Corrisponde al coefficiente K dell’esperienza precedente.

Il calore specifico delle sostanze di più comune utilizzo è facilmente

reperibile su apposite tabelle.

m Quantità in massa della sostanza in esame. kg

FT Temperatura finale della sostanza K

IT Temperatura iniziale della sostanza K

T Salto di temperatura K

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


451

C Capacità termica

Per la determinazione delle unità di misura da utilizzare per il valore del calore specifico Sc e della

capacità termica C, occorre prima di tutto stabilire l’unità di misura del calore Q .

L’unità di misura del calore è, per definizione, la quantità di energia termica necessaria per produrre

un incremento di temperatura di 1 Kelvin (da 287,5 a 288,5 K) in una massa di 1 g d’acqua

distillata.

Tale quantità di calore è definita “caloria”.

Molto utilizzato è il multiplo della caloria definito Caloria o Kilocaloria; la Kcal è la quantità di

energia termica necessaria per incrementare di 1 Kelvin la temperatura di 1 kg di acqua distillata.

Tenendo poi presente il Principio d’Equivalenza (applicato in particolare ai cicli chiusi) e

ricordando il Principio di Conservazione dell’energia meccanica, risulta semplice concludere che, in

quanto grandezze dello stesso tipo, l’energia termica e quella meccanica devono poter essere

misurate con la stessa unità di misura.

Dato che è previsto dal S.I. l’utilizzo del Joule mN per l’energia meccanica, si può concludere

che anche l’energia termica, cioè il calore, potrà essere misurato in Joule.

Da Principio d’Equivalenza si trae il fattore di conversione tra energia termica misurata in Kcal ed

energia meccanica misurata in Joule.

Per cui:

Joule186.4Kcal1

Dalla definizione dell’unità di misura del calore ed utilizzando la formula inversa, si trae anche

l’unità di misura del calore specifico:

KTkgm

KcalQc S

Kkg

Kcalc S

KTkgm

JQc S

Kkg

Jc S

In particolare, il calore specifico dell’acqua, visto che è stata utilizzata per definire la Kcal, assume

il valore di riferimento:

Kkg

Kcal1c S

Calore specifico dell’acqua espresso come energia termica

Kkg

J186.4c S

Calore specifico dell’acqua espresso come energia meccanica



Riscaldatori ad immersione a resistenza elettrica – Potenza 1.000 W

Sostegni per riscaldatori (asta con treppiede e mensile isolate)

Cilindro graduato

Pesa elettronica

Termometri ad asta

Sostegno per termometri

Cronometro

Siringa graduata

Acqua

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


452

Altri liquidi (olio, alcool, ecc. ecc)


Nei due recipienti cilindri è versata un’uguale quantità in massa di due sostanze liquide di diversa

natura (ad esempio: acqua e alcool metilico).

Le due quantità saranno misurate con precisione utilizzando, ad esempio il metodo della tara e del

peso lordo con l’impiego della bilancia o pesa elettronica.

Siano:

mmm 21 Masse uguali dei due liquidi

Si seguirà poi l’identica procedura dell’esperienza precedente.

I riscaldatori sono immersi nei due recipienti contenenti i due liquidi in modo tale da non toccare le

pareti e il fondo, accesi contemporaneamente e spenti nello stesso istante dopo un certo periodo di

tempo t .

Prima dell’accensione dei riscaldatori occorre misurare le temperature iniziali dei liquidi ed

annotarne i valori.

Siano:

.in.1T Temperatura iniziale liquido 1 (K)

.in.2T Temperatura iniziale liquido 2 (K)

Si provvederà, appena dopo lo spegnimento, ad estrarre i riscaldatori e uniformare la temperatura

dei liquidi con un breve ed energico rimescolamento.

Le temperature finali assunte dai due liquidi saranno quindi misurate e annotate.

Siano:

.Fin.1T Temperatura finale liquido 1 (K)

.Fin.2T Temperatura finale liquido 2 (K)

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


453


Conclusioni:

In conclusione:

Masse uguali di sostanze liquide diverse, pur assorbendo la stessa quantità di calore, sono soggette a

variazioni termiche diverse tra loro.

Si deduce che, a parità di massa e di calore assorbito, essendo diversa la variazione termica, i due

liquidi devono essere necessariamente caratterizzati da calori specifici diversi.

Calcoli:

Considerando il fatto che i riscaldatori sono uguali, hanno la stessa potenza e sono stati avviati e

spenti contemporaneamente, è ragionevole pensare che la quantità di calore ceduta alle due masse

di liquido sia uguale.

Cioè:

21 QQ

Se si ammette che la potenza nominale sia completamente trasferita al liquido, si potrà scrivere la

seguente relazione:

tPQQ N21 ss

JJ

D’altra parte potremo ammettere che tali quantità di calore siano state completamente assorbite

dalle due masse di liquido che, infatti, hanno aumentato il proprio livello termico.

E’ quindi ragionevole pensare che le quantità di calore siano proporzionali alle quantità in massa e

alle rispettive differenze di temperature tramite un coefficiente caratteristici del liquido in esame.

Ma se ciò è vero allora, considerando che i due liquidi sono diversi tra loro, ma caratterizzati dalla

stessa massa, si dovrebbe concludere che tali coefficienti devono necessariamente essere diversi,

qualora risultino dall’esperienza delle variazioni termiche diverse:

Cioè:

Se per ipotesi:

21 QQ

21 mm

21 TT

Allora e necessariamente risulta che:

21 KK

Quindi:

O2HO2HO2HO2HO2H11 TmKTmKQ

AlcoolAlcoolAlcoolAlcoolAlcool22 TmKTmKQ

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


454

Da cui:

AlcoolAlcoolO2HO2H TKTK

Alcool

02H

O2H

Alcool

T

T

K

K

Alcool

02H

O2HAlcoolT

TKK

Dall’esperienza si ricaverà sicuramente che il salto termico subito dalla massa di alcool è maggiore

di quello relativo alla massa d’acqua.

Si conclude quindi facilmente che il coefficiente relativo all’alcool è minore di quello relativo

all’acqua.

02HAlcoolKK

E, infine, sostituendo i coefficienti con gli equivalenti effettivi – i calori specifici – e ricordando

che, per definizione il calore specifico dell’acqua è stabilito dalla stessa definizione di caloria, si

avrà:

O2H.SAlcool.Scc

Quindi, passando ai valori:

Kkg

Kcal1c

Alcool.S

Oppure:

Kkg

Kcal186.4c

Alcool.S

Dalla formula precedente è poi semplice, se l’esperienza è stata svolta con una certa accuratezza,

determinare il valore del calore specifico dell’alcool.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


455

ESPERIENZA N. 9

CALORIMETRO DELLE MESCOLANZE

O CALORIMETRO DI REGNAULT

EQUIVALENTE IN ACQUA DEL CALORIMETRO

DETERMINAZIONE DI CALORE SPECIFICO INCOGNITO

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è illustrare il funzionamento di una delle apparecchiature più utilizzate per

la determinazione delle quantità di calore scambiate dai corpi che si raffreddano o si riscaldano e

dei relativi valori dei calori specifici o delle capacità termiche.

Il dispositivo è denominato “CALORIMETRO DELLE MESCOLANZE” o “ CALORIMETRO DI

REGNAULT”, dal nome del suo ideatore.

Allo stesso tempo si provvederà, in modo sperimentale didattico, alla determinazione del parametro

caratteristico costruttivo del “calorimetro delle mescolanze” definito “EQUIVALENTE IN

ACQUA DEL CALORIMETRO” la cui conoscenza è determinate per svolgere misurazioni corrette

del calore.


Si farà riferimento alla legge generale per la determinazione della quantità di calore assorbito o

ceduto da certa sostanza, liquida o solida, avente massa m .

La legge generale, valida per sostanze liquide e solide, presenta poi alcuni casi particolari se è

applicata alle sostanze caratterizzate dallo stato gassoso.

TCTmcTTmcQSiFS

Dalla legge generale risulta semplice la determinazione delle variabili in essa contenute:

IF

STTm

Qc

IFS TTc

Qm

mc

QTT

S

IF

mc

QTT

S

IF

Il funzionamento del calorimetro delle mescolanze è inoltre basato su una legge fondamentale della

termodinamica in cui, partendo dalla osservazione dei fenomeni naturali, si afferma che l’energia

termica è trasferita in modo spontaneo da un corpo caldo verso un corpo freddo.

La quantità di calore ceduta dal corpo caldo è uguale, supponendo di ritenere nulle le perdite verso

altri corpi, alla quantità di calore assorbita dal corpo freddo.

Il processo spontaneo di trasferimento del calore si arresta quando le temperature del corpo

inizialmente caldo e di quello inizialmente freddo raggiungono lo stesso valore.

Tale valore sarà definito “temperatura d’equilibrio termico”.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


456

La quantità di calore scambiata dai due corpi, da ritenersi positiva per quello che l’assorbe e

negativa per quello che la cede, dipende dalle masse dei corpi, dalle relative temperature iniziali e

dai calori specifici caratteristici.

L’equazione che regola il processo di scambio è derivata dalla legge generale e dalle osservazioni

descritte:

CA QQ

2F22.S1F11.S TTmcTTmc

2E22.S1E11.S TTmcTTmc

Con:

AQ Calore assorbito dal corpo che si riscalda J

CQ Calore ceduto dal corpo che si raffredda J

2.S1.S cc Calori specifici dei due corpi

Kkg

J

1T Temperatura iniziale corpo 1 K

2T Temperatura iniziale corpo 2 K

ET Temperatura finale d’equilibrio K

21 mm Masse dei due corpi kg

Dall’accurata misura delle temperature iniziali, della temperatura d’equilibrio, delle masse dei due

corpi e tenendo conto che, nel caso del calorimetro delle mescolanze, uno dei due corpi è acqua, si

può ricavare il valore del calore specifico di una qualsiasi sostanza rapportando a quello noto

dell’acqua:

TTm

TTmcc

E

O2HEO2HO2H

S

Con:

Sc Calore specifico incognito

O2Hc Calore specifico acqua

Kkg

kcal1

Kkg

J186.4

O2Hm Massa d’acqua nel calorimetro kg

O2HT Temperatura iniziale acqua nel calorimetro

T Temperatura iniziale corpo immerso

ET Temperatura d’equilibrio (uguale per i due corpi)

Caso 1:

L’acqua contenuta nel calorimetro è più fredda del corpo che è immerso (l’acqua si riscalda ed il

corpo si raffredda):

O2HTT

TT E

O2HE TT

0TT O2HE

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


457

0TT E 0c S

Caso 2:

L’acqua contenuta nel calorimetro è più calda del corpo che è immerso (l’acqua si raffredda ed il

corpo si riscalda):

O2HTT

TT E

OHE TT

0TT O2HE

0TT E 0c S

IL CALORIMETRO DI REGNAULT O CALORIMETRO DELLE MESCOLANZE

Il calorimetro delle mescolanze è essenzialmente costituito da un recipiente, solitamente realizzato

con una sottile lastra di ottone argentato (per diminuire l’energia termica dispersa

dall’irraggiamento) contenuto, su appoggi in sughero, all’interno di recipienti via via più grandi.

Il recipiente è poi inserito in un “vaso Dewar” (thermos) che ha il compito di annullare gli scambi di

calore con l’ambiente esterno.

Il vaso Dewar è essenzialmente costituito da un recipiente a doppia parete, di vetro argentato, entro

cui è generato un vuoto spinto allo scopo di impedire la trasmissione di calore per convezione.

Il calorimetro ed il vaso Dewar che lo contiene, costituiscono, nell’insieme, un recipiente che

possiamo definire “quasi adiabatico”.

Nel recipiente calorimetrico è contenuto un agitatore meccanico manuale (per uniformare la

temperatura del liquido in esso contenuto) e un termometro di precisione per la misurazione della

temperatura iniziale del liquido calorimetrico (di solito acqua) e della temperatura finale

d’equilibrio.

Sia l’agitatore che il termometro sono inseriti nel calorimetro per mezzo di fori isolati realizzati nel

coperchio superiore costruito in materiale isolante.

Sul coperchio sono altresì realizzati fori per l’eventuale inserimento di riscaldatore a resistenza

elettrica.

Solitamente si utilizza acqua alla temperatura ambiente come liquido calorimetrico il cui calore

specifico è noto e ben conosciuto.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


458

FUNZIONAMENTO – DETERMINAZIONE CALORE SPECIFICO INCOGNITO

Una massa di sostanza, liquida o solida, alla temperatura iniziale T (misurata con precisione) è

inserita con una rapida manovra, all’interno del recipiente calorimetrico contenente una quantità

nota d’acqua la cui temperatura iniziale è simile alla temperatura ambiente.

La quantità d’acqua nel calorimetro e la massa della sostanza sono misurate con precisione prima

dell’inizio dell’esperienza.

La massa della sostanza, di calore specifico incognito, e l’acqua del calorimetro si scambiano la

stessa quantità di calore sino al raggiungimento di una temperatura intermedia d’equilibrio alla

quale il processo di scambio termico si arresta.

Durante la fase di scambio termico (solitamente di breve durata) si utilizza l’agitatore meccanico

per uniformare la temperatura del liquido e, alla fine, si misura, annotandolo, il valore della

temperatura d’equilibrio.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


459

DETERMINAZIONE DELLA QUANTITA’ D’ACQUA EQUIVALENTE:

La determinazione del calore specifico caratteristico della sostanza in esame non può

avvenire senza tenere conto del calore scambiato con i materiali costituenti il calorimetro

stesso (pareti, distanziatori, termometro, agitatore meccanico, ecc. ecc.).

Tale quantità di calore è determinata mediante l’artificio del “contenuto d’acqua

equivalente”.

Si tratta, in pratica, di determinare, per mezzo di un’ulteriore esperienza, una quantità

d’acqua “virtuale”, aggiunta alla quantità d’acqua realmente contenuta nel calorimetro, in

grado di scambiare con la sostanza di calore specifico incognito la stessa quantità di calore

assorbita o ceduta dai materiali costituenti il calorimetro stesso alla stessa temperatura

iniziale e d’equilibrio.

Supponendo di aver già determinato la quantità in massa “d’acqua equivalente”, occorre

rivedere la relazione fondamentale del calorimetro nel modo seguente:

2EO2HO2HO2H1ES TTMmcTTmc

Con:

O2HM Massa d’acqua equivalente (equivalente in acqua del calorimetro) kg

L’equivalente in acqua del calorimetro è solitamente fornito, in forma di tabella in funzione

della massa acqua iniziale, dal costruttore dell’apparecchiatura stessa.

In mancanza di tali dati si ricorre al seguente metodo:

Nel calorimetro è versata una quantità d’acqua nota e pari a quella precedentemente

fissata per l’esperienza.

La temperatura iniziale dell’acqua non dovrà essere troppo dissimile dalla

temperatura ambiente e dalla temperatura dello stesso calorimetro.

Occorrerà attendere il tempo necessario a livellare il livello termico dell’acqua e del

calorimetro.

Sarà quindi misurata con precisione la temperatura dell’acqua contenuta

nell’apparecchiatura.

E’ poi versata una quantità d’acqua pari alla massa d’acqua che sarebbe spostata

dall’inserimento della sostanza (solida o liquida) di calore specifico incognito.

La temperatura dell’acqua aggiunta a quella già presente sarà superiore alla

temperatura iniziale già misurata.

Dopo aver brevemente rimescolato con l’agitatore le masse d’acqua, si procede con

una precisa determinazione della temperatura finale d’equilibrio termico e al calcolo

della “massa d’acqua equivalente” o “equivalente in acqua del calorimetro”

applicando la relazione seguente:

1E.EQUIV1O2H2E2O2H

TTMmcTTmc

1E.EQUIV12E2 TTMmTTm

1E.EQUIV1E12E2 TTMTTmTTm

1E

1E12E2.EQUIV

TT

TTmTTmM

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


460

Con:

EQM Equivalente in acqua del calorimetro kg

ET Temperatura d’equilibrio termico K

1T Temperatura iniziale acqua calorimetro K

2T Temperatura iniziale acqua aggiunta K

1m Massa iniziale acqua calorimetro kg

2m Massa acqua aggiunta kg

Solitamente si ricava un valore della massa d’acqua equivalente abbastanza

contenuto, tanto più piccolo quanto più da ritenersi buona la realizzazione

dell’apparecchiatura.

Ritornando poi all’esperienza principale, cioè la misurazione del calore specifico di una sostanza

per la quale esso è sconosciuto, ed inserendo nella relazione del calorimetro il valore determinato

dell’equivalente in acqua, si ricava la seguente:

2EEQO2HO2H1E1S TTMmcTTmc

Da cui il calore specifico incognito:

1E1

2EEQO2HO2H

STTm

TTMmcc

Con:

Sc Calore specifico incognito della sostanza

Kkg

kcal

Kkg

J


Kkg

kcal1

Kkg

J186.4

O2Hm Massa d’acqua reale nel calorimetro kg


1m Massa sostanza inserita nel calorimetro kg

1T Temperatura iniziale sostanza K

2T Temperatura iniziale acqua K

ET Temperatura d’equilibrio K

CONCLUSIONI:

Le quantità d’acqua equivalenti calcolate (si ricorda che si tratta di quantità virtuali in quanto non

presenti effettivamente) dovrebbero risultare sufficientemente piccole se rapportate alle effettive

quantità d’acqua che realmente sono contenute nel calorimetro.

I calori specifici delle sostanze incognite dovranno risultare molto minori del calore specifico

dell’acqua se si tratta di materiali solidi, minori di quello dell’acqua se si tratta di sostanze liquide.

Comparando, alla fine, il calore specifico risultante unitamente al valore della densità o peso

specifico della sostanza ai valori contenuti nelle tabelle riguardanti le caratteristiche fisiche dei

materiali più comuni, sarà relativamente semplice rendersi conto del tipo di sostanza esaminata.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


461

ESPERIENZA N. 10


O CALORIMETRO DI REGNAULT

MISURA CALORIMETRICA DELLE TEMPERATURE

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la misurazione approssimativa, mediante l’utilizzo del calorimetro delle

mescolanze, della temperatura iniziale di una sostanza solida o liquida.


Sono le stesse dell’esperienza precedente.

PREMESSA:

Lo svolgimento dell’esperienza richiede lo svolgimento della precedente esperienza nei riguardi del

calcolo dell’equivalente in acqua del calorimetro e della determinazione del calore specifico della

sostanza per la quale è richiesta la determinazione calorimetrica della temperatura.

Per cui:

EQM Ricavato dall’esperienza precedente

Sc Ricavato dall’esperienza precedente



Calorimetro delle mescolanze o di Regnault

Acqua

Termometri di precisione

Sostanza solida (rame, alluminio, ferro, ecc. ecc.)

Fornello a gas

Bilancia elettronica

Recipienti graduati

Sostegni


E’ misurata con precisione la temperatura 1T di una nota quantità d’acqua 1m inserita in un

calorimetro. Per detto calorimetro si è già provveduto al calcolo dell’equivalente in acqua

caratteristico EQM .

Una sostanza, per la quale è già stato determinato il calore specifico Sc , è pesata allo scopo di

determinare il valore in massa 2m , riscaldata, con utilizzo della fiamma di un fornello a gas, ed

immediatamente inserita nel calorimetro già predisposto.

Dopo un breve periodo, previo rimescolamento dell’acqua, è misurata la temperatura d’equilibrio

ET .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


462

Dalla misura di E121 T;T;m;m e con l’applicazione della formula generale del calorimetro si

ricava il valore della temperatura 2T .


Dalla relazione:

1EEQ1O2H2E2S TTMmcTTmc

Si ricava il valore 2T :

1EEQ1O2H22SE2S TTMmcTmcTmc

2S

1EEQ1O2HE2S

2mc

TTMmcTmcT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


463

ESPERIENZA N. 11

EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA

(TUBO DI WHITING)

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la determinazione approssimativa dell’equivalente meccanico della

caloria senza utilizzare l’apparecchiatura complessa e di difficile interpretazione didattica costituita

dal calorimetro e dal mulinello di Joule.

Si utilizza invece una variante dell’esperienza di Hirn secondo cui è possibile determinare

l’incremento di energia termica di un materiale metallico semi-plastico come il piombo causato

dall’azione esterna di lavoro meccanico operato sullo stesso.


Si utilizza il concetto e la relazione che permette la definizione ed il calcolo del lavoro meccanico

unitamente alla definizione di energia potenziale gravitazionale posseduta da una massa in base alla

sua posizione all’interno di un campo conservativo gravitazionale (quello terrestre).

La legge di conservazione dell’energia meccanica generalizzata ed estesa all’energia dissipata

durante urto tra corpi anelatici, permette di determinare in via approssimata il legame esistente tra le

due unità di misura di solito adottate per le grandezze omogenee: Lavoro meccanico ed energia

termica.

CosSFL Definizione di lavoro meccanico J

hgmhFE P Energia potenziale J

KE M Conservazione energia meccanica

T1M2M EEE Energia termica dissipata kcalJ

Occorrerà tenere presente che l’energia potenziale dissipata durante una caduta a livello, produce

l’incremento di energia termica valutabile con l’incremento d’energia interna e il conseguente

innalzamento della temperatura.

Si utilizzerà la legge fondamentale della calorimetria:

IFS TTmcQ

Inoltre occorrerà immaginare una trasformazione senza ulteriori scambi di calore con l’esterno


Tubo di Whiting (tubo di cartone spesso)

Tappo forato per inserzione termometro di precisione

Tappo di feltro o cartone non forato per chiusura tubo

Pallini piombo

Asta graduata o misuratore a nastro

Sostegno verticale e sostegno girevole orizzontale con pinza per tubo

Recipiente vetro

Pesa elettronica

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


464


Il tubo di Whiting è montato su un sostegno ad asse orizzontale girevole che, a sua volta è sostenuto

da un sostegno verticale fisso. Il tubo è chiuso ad un’estremità da un robusto tappo, mentre, l’altra

estremità sarà chiusa, alternativamente, da un tappo di gomma forato dotato di termometro di

precisione e da un altro tappo senza fori.

Nel tappo con foro è inserito un termometro di precisione in modo tale che il bulbo dello stesso sia

sporgente circa 5-6 cm dalla parte interna del tubo.

Si procede quindi all’inserimento, dall’estremità ancora aperta del tubo, di una quantità di 1 kg di

pallini di piombo di piccolo diametro e alla chiusura dell’estremità con il tappo di gomma e il

termometro inserito.

Si capovolge quindi lentamente il tubo provocando così la discesa dei pallini di piombo sino a che il

bulbo del termometro sia completamente ricoperto e avvolto dagli stessi.

Si misura quindi la temperatura della massa di pallini annotandone il valore, si capovolge

nuovamente il tubo portando i pallini all’altra estremità, si toglie il tappo con il termometro e si

inserisce il tappo senza foro.

Precedentemente, dopo l’inserimento di pallini, si è provveduto a misurare, con il metro a nastro, lo

spazio compreso tra l’estremità inferiore del tappo di gomma e il baricentro della massa di pallini.

Tale distanza, da annotare, sarà definita h e costituisce l’altezza di caduta.

Riepilogando i dati:

m Massa dei pallini di piombo kg1

h Altezza di caduta m

1T Temperatura iniziale dei pallini K

Sc Calore specifico piombo (da tabella)

Kkg

kcal031,0

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


465

Partendo con il tubo verticale ed i pallini all’estremità inferiore si ruota velocemente

l’apparecchiatura di 180 ° provocando così la caduta dei pallini verso il basso.

Occorre evitare che l’impatto causi la fuoriuscita del tappo mantenendolo bloccato con la pressione

delle mani.

Il ribaltamento e la caduta dei pallini, con l’operazione precedentemente descritta, deve essere

ripetuta per 50 volte.

Infine, con i pallini in basso, è tolto il tappo di gomma e reinserito il tappo con il termometro, i

pallini sono riportati lentamente in basso ed è misurata la temperatura finale 2T della massa di

piombo.


La caduta della massa di pallini di piombo dall’altezza h ed il conseguente urto ed arresto della

massa stessa trasforma l’energia meccanica in energia termica provocando un piccolo incremento di

temperatura e di energia interna.

L’aumento di energia interna è quantificabile utilizzando la legge generale della calorimetria:

kcal.............KTTkg1Kkg

kcal031,0TTmcQ 1212S

Con:

Q Calore trasferito al piombo dalla conversione dell’energia potenziale.

Da intendersi misurato in kcal secondo il classico sistema di misura della

calorimetria.

Sc Calore specifico del piombo (valore di tabella)

Kkg

kcal031,0

m Massa dei pallini di piombo kg1

1T Temperatura iniziale piombo K

2T Temperatura finale piombo K

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


466

La quantità di energia potenziale convertita in energia termica interna risulta pari alla somma

dell’energia potenziale trasformata per ogni evento di caduta:

J............mh

s

m81,9kg1hgmE

2mM

J...........mh

s

m81,9kg150E50E

2MTM

Con:

ME Energia meccanica convertita per ogni evento J

TME Energia meccanica totale convertita J

50 Numero totale eventi di caduta

M Massa pallini mkg

G Accelerazione gravitazionale terrestre 9,81

2s

m

h Altezza di caduta m

Il rapporto tra la quantità totale di energia potenziale TME convertita in energia termica, da

misurarsi i Joule, e la quantità di calore trasferita alla massa di piombo Q , rappresenta, nei limiti

di una semplice sperimentazione didattica, il valore del coefficiente di equivalenza calore/lavoro

meccanico cioè, in altre parole, l’EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA:

kcalQ

JEJ

TM

Le misurazioni della temperatura iniziale e finale e i successivi calcoli dovrebbero condurre

ad un risultato non troppo dissimile da quello classico della letteratura scientifica:

kcal

J186.4

kcalQ

JEJ

TM

Si raccomanda di eseguire l’esperienza nei tempi più brevi possibili allo scopo di limitare al

massimo gli scambi di calore con l’ambiente esterno e con l’aria contenuta nel tubo di

Whiting.

E’ altresì consigliabile provocare, prima dell’inserimento dei pallini nel tubo, un lieve

abbassamento della temperatura della massa di piombo.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


467

ESPERIENZA N. 12

EQUIVALENTE ELETTRICO DELLA CALORIA

MISURA AMPEROMETRICA DELLA POTENZA ELETTRICA

SCOPO:

Con la presente esperienza s’intende dimostrare l’equivalente elettrico della caloria cioè, in altre

parole, il valore del coefficiente di conversione dell’energia elettrica in energia termica.

Dato per scontato che la quantità d’energia elettrica sia misurato con l’unità di misura

convenzionale del Sistema Internazionale – il Joule – , che sia conosciuta la relazione intercorrente

tra il tempo, l’intensità e la differenza di potenziale della corrente elettrica da una parte e l’energia

dall’altra, e misurando l’incremento di energia interna con l’unità di misura convenzionale della

calorimetria (ancora in uso nonostante l’adozione del Sistema Internazionale anche per la

calorimetria), si condurrà l’esperienza allo scopo di verificare la quantità d’energia elettrica

occorrente per produrre un incremento d’energia termica pari ad una chilocaloria.

L’esperienza è analoga alla precedente per cui il risultato dovrà potersi confrontare con quello già

ricavato.


Ancora il riferimento all’equazione generale della calorimetria ed ancora sono utilizzate le unità di

misura del Sistema Tecnico proprio per porre in risalto il fattore di conversione energia elettrica in

energia termica:

KTkgmKkg

kcalcTTmcQ SIFS

kcal

Saranno utilizzate le relazioni intercorrenti tra le grandezze tipiche dell’elettrodinamica e quelle

caratteristiche della meccanica:

Elettrodinamica e meccanica

:

t

WP

s

J Watt

tPW J sWatt

t

qi Ampere A

q

FE

E

i

VR Ohm

A

V

ti

W

q

WV

Volt

sA

J

tiVW J sAV

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


468


Resistenza per riscaldamento con accessori

Bicchiere di vetro

Termometro

Cronometro

Trasformatore con regolazione di tensione

Interruttori

Amperometro

Voltmetro

Cavi di collegamento

Pesa elettronica

Sostegno verticale con aste a snodo orizzontali


Nel bicchiere di vetro è versata una massa d’acqua di valore noto m . Per determinare la massa

d’acqua si può utilizzare la pesa elettronica o i recipienti graduati.

Nel bicchiere è poi posizionato, senza toccare il fondo o le pareti del recipiente, il riscaldatore a

resistenza elettrica sostenuto dall’apparecchiatura rigida.

Il riscaldatore è quindi collegato all’alimentatore elettrico mediante un circuito formato dai cavetti

in dotazione in cui è inserito, in serie, il misuratore amperometrico e l’interruttore di accensione e

spegnimento.

Sui morsetti esterni al riscaldatore è quindi collegato, in parallelo, il misuratore volumetrico che

permetterà la lettura della tensione ai capi della resistenza.

La prima parte dell’esperienza è la fase preparatoria che consiste nel chiudere brevemente

l’interruttore e regolare l’alimentatore in modo tale da misurare una corrente elettrica in transito con

valore A3i .

L’interruttore è quindi aperto, l’acqua rimescolata ed è misurata la temperatura iniziale 1T

dell’acqua contenuta nel bicchiere.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


469

La fase sperimentale successiva consiste nella chiusura dell’interruttore con conseguente

circolazione di corrente elettrica nel circuito e nel riscaldatore.

Continuando il rimescolamento dell’acqua, si annotano le letture precise sia dell’intensità di

corrente i che della tensione V ai capi del riscaldatore.

Esse potranno variare leggermente in funzione dell’aumento di temperatura dell’acqua e della

resistenza ma, in questo caso, agendo sul regolatore si riportano i valori iniziali.

La corrente è mantenuta per un tempo di circa 3 minuti dopodiché si interrompe il circuito e si

misura la nuova temperatura 2T dell’acqua.

Riepilogando i dati:

m Massa d’acqua kg60,0

1T Temperatura iniziale

2T Temperatura finale

Sc Calore specifico acqua

Kkg

kcal1

V Differenza di potenziale ai capi della resistenza V

i Intensità di corrente A3

t Tempo di funzionamento impianto min3


Conclusioni:

Il passaggio di corrente elettrica nella resistenza del riscaldatore è causa dell’aumento di

temperatura dell’acqua.

L’aumento di temperatura è direttamente proporzionale all’intensità di corrente e alla durata di

alimentazione, inversamente proporzionale alla massa d’acqua.

Qualora si utilizzi liquidi diversi dall’acqua è inversamente proporzionale al valore del calore

specifico caratteristico.

Calcoli:

La quantità di calore ceduta dalla resistenza all’acqua si determina immediatamente con la legge

fondamentale della calorimetria:

KTkgmKkg

kcal1TTmcQ 12S

kcal

La quantità di energia elettrica erogata dal riscaldatore è invece determinata dalla relazione:

stAisA

JVstAiVoltVtiVW

J

Il valore del coefficiente di conversione o equivalente elettrico della caloria è determinato da.

kcal

J

Tmc

tiV

Q

WJ

S

kcal

sW

Il risultato non dovrebbe essere molto dissimile da:

kcal

J186.4J

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


470

ESPERIENZA N. 13

RENDIMENTO TERMICO DI UNA FIAMMA A GAS

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la determinazione del rendimento termico di una fiamma a gas. In altre

parole si tratta di un’esperienza mirata a determinare la quantità di calore ceduta ad una certa

quantità d’acqua per ogni istante cioè, in pratica, la potenza termica ceduta ad una massa d’acqua

dalla fiamma alimentata da gas combustibile.

In questo senso risulta accettabile definire il rendimento, anche se, in teoria si dovrebbe considerare

come rendimento la quantità di calore ceduta all’acqua rapportandola all’effettiva cessione di calore

complessiva.

Non è in pratica possibile determinare il rendimento reale per effettive difficoltà nella misurazione

della percentuale di calore dispersa e non utilizzata allo scopo.



misura del Sistema Tecnico convertendole poi in unità di misura internazionali:

KTkgmKkg

kcalcTTmcQ SIFS

kcal

Il rapporto tra la quantità di calore caduta ed il tempo necessario per la cessione, rappresenta

quantitativamente la potenza termica:

t

QPT

s

kcal W

s

J


Bicchiere di vetro

Termometro

Cronometro

Pesa elettronica


Treppiede con accessori

Fornello a gas


Si riscalda, utilizzando il fornello a gas e l’apposito treppiede, una nota quantità d’acqua posta in un

bicchiere di vetro annotando, in funzione del tempo, l’incremento di temperatura dell’acqua.

E’ necessario iniziare le misurazioni della temperatura e dei tempi trascorsi non prima che l’acqua

raggiunga una temperatura di circa 30 °C in modo tale che le apparecchiature di contorno

(treppiede, reticella rompifiamma) abbiano raggiunto una temperatura stazionaria.

Durante il riscaldamento conviene rimescolare in modo continuo la massa d’acqua evitando così

l’errata misurazione delle temperature causata dai moti convettivi interni.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


471

Occorre, in pratica, annotare i tempi necessari ad incrementare la temperatura della massa d’acqua

nota m di un intervallo stabilito, ad esempio, K5T , determinare poi la quantità di calore

ceduta in detti intervalli di tempo e rapportare tale quantità al tempo stesso.

Si otterranno, per ogni intervallo di tempo, le relative potenze termiche la cui media rappresenterà

la potenza ceduta all’acqua cioè, nel senso indicato precedentemente, il rendimento della fiamma in

esame.

Riepilogando i risultati su apposita tabella:

Temperatura

(°C) KT st kgm

Kkg

kcalc S

kcalQ

s

kcal

t

QPT

s

J

t

QPT

30-35 5 1

35-40 5 1

40-45 5 1

45-50 5 1

50-55 5 1

55-60 5 1

60-65 5 1

65-70 5 1

70-75 5 1

75-80 5 1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


472


Conclusioni:

Il rendimento di una fiamma alimentata a gas – ovvero la potenza termica trasmessa alla quantità

d’acqua in esame – dovrebbe essere indipendente dall’intervallo di temperatura entro cui si opera.

E’ anche possibile rapportare la potenza termica ad una massa unitaria d’acqua dividendo le potenze

ottenute dai calcoli per la massa d’acqua complessiva.

Calcoli:

La quantità di calore ceduta dalla fiamma all’acqua, entro un determinato intervallo, si determina

immediatamente con la legge fondamentale della calorimetria:

KTkgmKkg

kcal1TTmcQ 12S

kcal

KTkgmKkg

J186.4TTmcQ 12S

J

La potenza termica trasmessa all’acqua dalla fiamma risulta evidentemente:

t

QPT

W

s

J

s

kcal

La potenza termica media si ottiene dalla media aritmetica delle potenze determinate:

n

PP

T

MT

La potenza media riferita ad una quantità unitaria di acqua contenuta nel bicchiere è determinata da:

kgs

kcal

kg

W

m

PP

MT

M

L’esperienza può essere ripetuta utilizzando un altro liquido al posto dell’acqua.

La potenza media non dovrebbe modificarsi in quanto per una variazione della temperatura (rispetto

alle variazioni determinate per l’acqua) entro gli stessi intervalli di tempo considerati occorre

considerare la variazione del calore specifico caratteristico del liquido in esame.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


473

ESPERIENZA N. 14

RENDIMENTO TERMICO DI UN BOLLITORE AD

IMMERSIONE

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è la determinazione del rendimento termico di bollitore ad immersione. In

altre parole si tratta di un’esperienza mirata a determinare la quantità di calore ceduta ad una certa

quantità d’acqua per ogni istante cioè, in pratica, la potenza termica ceduta ad una massa d’acqua

dalla resistenza elettrica del bollitore quando percorsa da una certa corrente.

E’ possibile, in questo caso e contrariamente a quanto visto nell’esperienza precedente, definire il

rendimento reale del bollitore se si determina la potenza, ad esempio con l’indagine e misura volt-

amperometrica, erogata complessivamente dalla resistenza.

Infatti, si ritiene ragionevole supporre che parte della potenza erogata sia assorbita dall’acqua,

mentre, un’altra parte possa disperdersi nell’atmosfera e utilizzata per riscaldare le apparecchiature

utilizzate per l’esperienza (bicchiere, treppiede, ecc. ecc.)



misura del Sistema Tecnico convertendole poi in unità di misura internazionali:

KTkgmKkg

kcalcTTmcQ SIFS

kcal

Il rapporto tra la quantità di calore caduta ed il tempo necessario per la cessione, rappresenta

quantitativamente la potenza termica assorbita dall’acqua:

t

QPT

s

kcal W

s

J

La potenza reale del bollitore a resistenza può invece essere determinata misurando la tensione e

l’intensità di corrente cui è sottoposta la resistenza elettrica:

WAsA

JAViVP R


Bicchiere di vetro

Termometro

Cronometro

Pesa elettronica



Bollitore ad immersione

Cavi e morsetti di collegamento

Alimentatore con regolatore

Amperometro

Voltmetro

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


474


Si riscalda, utilizzando il bollitore a resistenza elettrica, una nota quantità d’acqua posta in un

bicchiere di vetro annotando, in funzione del tempo, l’incremento di temperatura dell’acqua.

Allo scopo di confrontare i risultati con l’esperienza precedente, è consigliabile ma non

obbligatorio, cominciare le rilevazioni della temperatura e dei tempi a partire da una temperatura

minima di 30 °C.

Durante il riscaldamento conviene rimescolare in modo continuo la massa d’acqua evitando così

l’errata misurazione delle temperature causata dai moti convettivi interni.

Occorre, in pratica, annotare i tempi necessari ad incrementare la temperatura della massa d’acqua

nota m di un intervallo stabilito, ad esempio, K5T , determinare poi la quantità di calore

ceduta in detti intervalli di tempo e rapportare tale quantità al tempo stesso.

Si otterranno, per ogni intervallo di tempo, le relative potenze termiche la cui media rappresenterà

la potenza ceduta all’acqua cioè, nel senso indicato precedentemente, il rendimento della fiamma in

esame.

Riepilogando i risultati su apposita tabella:

Temp. (°C) KT st kgm

Kkg

kcal

Sc kcalQ

s

kcal

t

Q

TP

s

J

t

Q

TP V i RP

30-35 5 1

35-40 5 1

40-45 5 1

45-50 5 1

50-55 5 1

55-60 5 1

60-65 5 1

65-70 5 1

70-75 5 1

75-80 5 1

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


475


Conclusioni:

Il rendimento di un bollitore a resistenza elettrica – ovvero la potenza termica trasmessa alla

quantità d’acqua in esame – dovrebbe essere indipendente dall’intervallo di temperatura entro cui si

opera.

E’ anche possibile rapportare la potenza termica ad una massa unitaria d’acqua dividendo le potenze

ottenute dai calcoli per la massa d’acqua complessiva.

Calcoli:

La quantità di calore ceduta dalla fiamma all’acqua, entro un determinato intervallo, si determina

immediatamente con la legge fondamentale della calorimetria:

KTkgmKkg

kcal1TTmcQ 12S

kcal

KTkgmKkg

J186.4TTmcQ 12S

J

La potenza termica trasmessa all’acqua dalla resistenza risulta evidentemente:

t

QPT

W

s

J

s

kcal

La potenza termica media si ottiene dalla media aritmetica delle potenze determinate:

n

PP

T

MT

La potenza media riferita ad una quantità unitaria di acqua contenuta nel bicchiere è determinata da:

kgs

kcal

kg

W

m

PP

MT

M

La potenza elettrica realmente erogata dalla resistenza dovrebbe risultare costante ed è determinata

dal prodotto:

WAisA

JVP R

Il rendimento di del bollitore, riferito al riscaldamento dell’acqua e alla potenza reale, è dato da

100P

P

R

M

L’esperienza può essere ripetuta utilizzando un altro liquido al posto dell’acqua.

La potenza media non dovrebbe modificarsi in quanto per una variazione della temperatura (rispetto

alle variazioni determinate per l’acqua) entro gli stessi intervalli di tempo considerati occorre

considerare la variazione del calore specifico caratteristico del liquido in esame.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


476

ESPERIENZA N. 15

PUNTO DI FUSIONE – CALORE DI FUSIONE

SCOPO:

Ci si propone, con la presente esperienza, di verificare sperimentalmente che il passaggio dallo stato

solido allo stato liquido (fusione) avviene senza che la temperatura, caratteristica della sostanza in

esame e detta “temperatura di fusione”, subisca variazioni.

Il calore necessario per il cambiamento di stato di una certa massa di sostanza è definito “calore di

fusione o solidificazione”, mentre, la quantità di calore necessaria al cambiamento di stato

dell’unità di massa della sostanza è definito “calore latente di fusione o solidificazione”

Si cercherà quindi di misurare sperimentalmente il calore di fusione e il calore latente.



misura del Sistema Tecnico convertendole poi in unità di misura internazionali.

L’equazione generale è applicabile ad un qualsiasi corpo solido o liquido, mentre, per sostanze allo

stato gassoso deve essere modificata in relazione al tipo di trasformazione.

KTkgmKkg

kcalcTTmcQ SIFS

kcal

Con ovvio significato della simbologia.

E’ utilizzata anche la legge della calorimetria riguardante, in special modo, gli scambi di calore

relativi al cambiamento di stato e, in particolare, alla fusione o solidificazione.

In questo caso:

kgmkg

kcalcmcQ LL

Con:

Lc Calore latente di fusione-solidificazione

kg

J

kg

kcal


Bicchiere di vetro

Provetta

Tappo di gomma forato

Termometri

Cronometro

Pesa elettronica



Bollitore ad immersione

Cavi e morsetti di collegamento

Alimentatore con regolatore

Acqua

Sodio tiosolfato (iposolfito)

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


477


Nel bicchiere di vetro è versata una quantità d’acqua pari a circa 1 litro, il bollitore ad immersione

collegato elettricamente all’alimentatore e un termometro.

L’acqua è riscaldata quindi sino ad una temperatura di circa 55 °C raggiunta la quale si estrae il

bollitore provvedendo altresì ad aprire il circuito di alimentazione.

In una provetta è introdotta una quantità di tiosolfato sodico (iposolfito), triturato in modo

grossolano in un mortaio, e, immerso circa a metà del tiosolfato, il bulbo di un termometro di

precisione passante nel foro di un tappo di gomma di chiusura.

La provetta contenente il tiosolfato, chiusa con il tappo e dotata di termometro, è quindi immersa

completamente nell’acqua preventivamente riscaldata.

La temperatura iniziale del tiosolfato, segnalata dal termometro e approssimativamente uguale a

quella dell’ambiente esterno, comincerà a salire per effetto dell’assorbimento di calore, dall’acqua a

temperatura più elevata.

Sino a quando la temperatura del tiosolfato continua ad incrementarsi è possibile determinare la

quantità di calore assorbito con la relazione generale della calorimetria:

TiosolfatoTiosolfatoTiosolfatoS1 TmcQ

Tale quantità di calore corrisponde a quella ceduta dall’acqua che, nel contempo, ovviamente si

raffredda:

O2HO2HO2HS1 TmcQ

Mentre la quantità di calore assorbita dal tiosolfato è facilmente determinata conoscendo la massa

della sostanza, l’equivalente in acqua della provetta, il calore specifico del tiosolfato e la differenza

di temperatura tra l’istante iniziale ed un istante intermedio; la quantità ceduta dall’acqua alla

provetta è difficilmente determinata in quanto la misurazione della temperatura iniziale ed

intermedia dell’acqua in raffreddamento ed il calcolo del calore ci restituisce una quantità

comprensiva anche di quello ceduto all’ambiente esterno.

Per questo motivo il calcolo del calore assorbito dalla provetta contenente tiosolfato deve essere

eseguito con il solo utilizzo dei dati relativi alle misurazioni effettuate sul tiosolfato stesso oppure,

in alternativa, l’esperienza deve essere condotta inserendo la provetta in un calorimetro delle

mescolanze eliminando cioè le dispersioni di calore verso l’esterno.

La temperatura interna della provetta continuerà ad aumentare in modo piuttosto rapido sino al

raggiungimento di una temperatura approssimativa di 48 °C alla quale corrisponde l’inizio della

fusione del tiosolfato sodico.

La temperatura del tiosolfato non subirà ulteriori variazioni sino alla fusione di tutta la massa di

sostanza, anche se l’acqua, nel frattempo, continua a cedere calore.

La quantità di calore occorrente per la completa fusione del tiosolfato è determinata da:

mcQ LF

In questo caso il valore FQ si calcola solo conoscendo il valore del calore latente in quanto la

variazione di temperatura dell’acqua non è da ritenersi attendibile a causa delle dispersioni.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


478

Qualora si intenda misurare in modo approssimativo il calore specifico e il calore latente del

tiosolfato, si può procedere nel modo seguente:

Determinare la massa d’acqua 1m nel recipiente

Determinare la massa di tiosolfato 2m nella provetta

Riscaldare l’acqua nel recipiente sino ad una temperatura C55t1

Determinare, utilizzando il cronometro ed il termometro inserito nell’acqua, la variazione

della temperatura 1t (in fase di diminuzione) per effetto dello scambio di calore con

l’ambiente esterno. A questo scopo occorre rilevare la temperatura dell’acqua ad intervalli di

tempo prefissati. Si potrà così ricavare un grafico tempo-temperatura rappresentato

approssimativamente da una retta inclinata verso il basso.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


479

Dalla rilevazione delle temperature e dal grafico conseguente si potrà ricavare, tenendo

presente la massa d’acqua e il suo calore specifico, la quantità di calore ceduta all’ambiente

esterno in un dato intervallo di tempo, nel caso in cui l’acqua si raffreddi in modo naturale

senza scambiare altro calore.

Riportare la temperatura al valore iniziale C55t1 inserendo ancora il bollitore

Inserire la provetta con la sostanza in esame, quindi, con i due termometri ed il cronometro,

ripetere la misurazione della variazione della temperatura dell’acqua in funzione del tempo

oltre che la variazione della temperatura del tiosolfato per il tempo necessario al

raggiungimento della temperatura di fusione e per l’intervallo di tempo occorrente alla

completa fusione della sostanza.

Dai dati rilevati risulteranno i grafici tempo-temperatura e le relative quantità di calore

cedute dall’acqua o assorbite dalla sostanza nella provetta.

Comparando i risultati con quelli ottenuti dal raffreddamento naturale dell’acqua, risulterà

possibile, in modo del tutto approssimato, determinare sia il calore specifico che il calore

latente del tiosolfato.


Conclusioni:

La temperatura di fusione della sostanza in esame (tiosolfato sodico) risulta approssimativamente di

48°C.

Tale temperatura si mantiene costante durante il completo cambiamento di stato

Calcoli:

Le variazioni di temperatura, da rilevarsi in base a quanto esposto nella seconda parte

dell’esperienza, daranno luogo a grafici paragonabili ai seguenti:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


480

ESPERIENZA N. 16


CALORE DI FUSIONE DEL GHIACCIO

SCOPO:

Determinazione, con l’uso del calorimetro delle mescolanze, del calore latente di fusione del

ghiaccio.



misura del Sistema Tecnico convertendole poi in unità di misura internazionali.

L’equazione generale è applicabile ad un qualsiasi corpo solido o liquido, mentre, per sostanze allo

stato gassoso deve essere modificata in relazione al tipo di trasformazione.

KTkgmKkg

kcalcTTmcQ SIFS

kcal

Con ovvio significato della simbologia.

E’ utilizzata anche la legge della calorimetria riguardante, in special modo, gli scambi di calore

relativi al cambiamento di stato e, in particolare, alla fusione o solidificazione.

In questo caso:

kgmkg

kcalcmcQ LL

Con:

Lc Calore latente di fusione-solidificazione

kg

J

kg

kcal

Il calore latente di fusione-solidificazione da determinare è quello caratteristico del ghiaccio

fondente o dell’acqua in solidificazione.

Sono inoltre da considerare le relazioni caratteristiche relative agli scambi di calore tra la quantità

in massa dell’acqua contenuta nel calorimetro e la quantità in massa della sostanza immessa nel

calorimetro in un secondo tempo.

Le relazioni caratteristiche, nel presente caso, sono da considerarsi modificate per tenere conto del

calore latente di fusione e dell’equivalente in acqua del calorimetro – già determinato in una delle

precedenti esperienze:

ACQIFEQACQS.GHIFGHSGHL TTMmcTTmcmc

Con:

Lc Calore latente di fusione del ghiaccio

kg

J

kg

kcal

Sc Calore specifico acqua

Kkg

J

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


481

GHm Massa ghiaccio kg

ACQm Massa acqua nel calorimetro kg


ACQIT Temperatura iniziale acqua K

FT Temperatura finale acqua e contenuto K

273T GHI Temperatura iniziale ghiaccio K

La parte sinistra della relazione rappresenta la quantità di calore assorbita dalla massa di ghiaccio

per la completa fusione e per aumentare la temperatura dell’acqua derivante dalla fusione dal valore

nullo al valore della temperatura finale dell’acqua nel calorimetro.

La parte destra rappresenta la quantità di calore ceduto dall’acqua contenuta nel calorimetro e dalla

massa d’acqua equivalente dapprima per fondere il ghiaccio poi per farne aumentare la temperatura

al valore finale.

Dalla relazione si può determinare il calore latente del ghiaccio:

ACQIFEQACQS.GHIFGHSGHL TTMmcTTmcmc

GH

GHIFGHACQIFEQACQS

Lm

TTmTTMmcc


Calorimetro delle mescolanze o di Regnault

Termometri

Pesa elettronica

Acqua

Ghiaccio

Recipiente graduato


Una quantità d’acqua pari a ACQm (approssimativamente circa 300 grammi – comunque

determinata per mezzo di pesa elettronica) è inserita nel calorimetro di Regnault dotato di

termometro e agitatore meccanico.

Per lo stesso calorimetro è già stata determinata (esp. 9) la massa d’acqua equivalente EQM .

E’ misurata ed annotata la temperatura iniziale ACQIT dell’acqua nel calorimetro.

In un secondo tempo sono inseriti alcuni pezzi di ghiaccio provenienti da un congelatore regolato

per un funzionamento ad una temperatura prossima a 0 °C.

Il ghiaccio in cubetti sarà caratterizzato verosimilmente dalla stessa temperatura GHIT segnalata

dal display del congelatore.

Tale temperatura sarà da ritenersi uguale (in Kelvin) a 273 (K).

Agendo in modo continuo con l’agitatore meccanico e verificando l’abbassamento di temperatura

dell’acqua nel calorimetro, si attende che il ghiaccio sia completamente fuso e che l’acqua di

fusione, miscelata con quella iniziale del calorimetro, raggiunga il valore di temperatura finale.

In una prima fase si noterà una forte diminuzione di temperatura seguita da una seconda fase in cui

la variazione di temperatura sarà meno accentuata sino al completo annullamento.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


482

Il valore stazionario di temperatura è la temperatura finale FT , da misurare ed annotare.


Conclusioni:

La temperatura di fusione della sostanza in esame (ghiaccio) risulta approssimativamente di 0 °C.

Tale temperatura si mantiene costante durante il completo cambiamento di stato.

L’acqua derivante dalla fusione del ghiaccio è riscaldata dallo scambio termico sino al valore finale.

Calcoli:

La determinazione del calore latente di fusione sarà effettuata con la formula:

GH

GHIFGHACQIFEQACQS

Lm

TTmTTMmcc

Con il significato dei simboli visto precedentemente e sostituendo i valore misurati.

Approssimativamente, nei limiti delle sperimentazioni didattiche, il valore del calore latente

specifico del ghiaccio ad una temperatura di 0 °C, dovrebbe essere paragonabile con il valore

contenuto nelle tabelle dei testi scientifici:

kg

kJ2,333

kcal

J186.4

kg

kcal6,79

kg

kcal6,79c L

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


483

ESPERIENZA N. 17

EVAPORAZIONE

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è dimostrare che il fenomeno d’evaporazione di un liquido dipende dalla

temperatura, dalla superficie esposta, dalla pressione esterna e dalla temperatura d’ebollizione.

Si ricorda che un liquido subisce il fenomeno dell’evaporazione per temperature inferiori a quella

caratteristica d’ebollizione.

L’esperienza è solo dimostrativa della variazione dei tempi d’avaporazione.


In particolare la quantità di liquido evaporato dipende da:

Temperatura d’esercizio:

La quantità di liquido evaporato è direttamente proporzionalmente al valore della

temperatura del liquido stesso.

A parità di superficie esposta, di pressione e di temperatura d’ebollizione, il tempo

impiegato per l’evaporazione di una certa quantità di liquido è minore se la sua temperatura

è maggiore.

Superficie esposta:

La quantità di liquido evaporato aumenta, quando una stessa quantità di liquido è esposto

all’atmosfera su di una superficie maggiore.

A parità di pressione, di temperatura e di temperatura d’ebollizione, il tempo impiegato per

l’evaporazione di una certa quantità di liquido è minore se la superficie esposta all’atmosfera

è maggiore.

Pressione esterna:

Una minor pressione esterna causa una maggior evaporazione del liquido. Dunque la

quantità di liquido evaporato è inversamente proporzionale al valore della pressione.

Ad una minor pressione corrisponde un tempo d’evaporazione più breve.

Temperatura d’ebollizione:

Due sostanze liquide alla stessa temperatura producono una quantità di vapore che dipende,

a parità delle altre condizioni, dalla temperatura d’ebollizione caratteristica.

Il liquido con temperatura d’ebollizione minore produce, nello stesso tempo, una quantità di

vapore maggiore.


Bilancia di precisione idrostatica

Vetrino concavo

Masse tarate

Pipetta graduata

Cronometro

Resistenza elettrica

Etere etilico

Alcool etilico

Pompa per vuoto

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


484


Sui due piatti della bilancia sono disposti i vetrini concavi e la bilancia è eventualmente riportata in

equilibrio utilizzando pallini di piombo o alcuni pesetti tarati.

In uno dei due vetrini si versa, utilizzando la pipetta graduata, una quantità paria a 3cm5,0 di

etere etilico. Si noterà l’immediato squilibrio dell’indice della bilancia.

Con il cronometro è valutato il tempo 1t necessario a far sì che, per evaporazione dell’etere

etilico, sia raggiunto nuovamente l’equilibrio.

Sui vetrini sono collocati due filtri. Il primo sarà utilizzato come assorbente per l’etere

etilico, mentre, il secondo, serve unicamente come contrappeso. Anche in questo caso si

riporta eventualmente in equilibrio la bilancia con i pesetti.

Su uno dei due è versata la stessa quantità di etere etilico utilizzata in precedenza 3cm5,0 ,

quindi è misurato il tempo 2t impiegato dalla bilancia per ritornare in equilibrio.

Confrontando i tempi si noterà che il tempo 2t è minore del tempo 1t misurato in

precedenza.

Si conclude quindi che, se le quantità di liquido sono uguali, l’evaporazione avviene più

velocemente nel caso in cui il liquido sia esposto all’atmosfera su una superficie maggiore.

Il filtro assorbente ha proprio la funzione di estendere zona di contatto liquido-atmosfera.

Il tempo si riduce ulteriormente se il filtro è pieghettato.

Uno dei vetrini è riscaldato leggermente prima di versare la quantità prefissata di etere

etilico.

Il tempo 3t necessario per il ripristino dell’equilibrio è nettamente inferiore al tempo 1t .

Si conclude che una maggiore temperatura incrementa la quantità di liquido evaporato,

ovvero riduce i tempi d’evaporazione.

Uno dei vetrini è disposto, con la stessa quantità di etere etilico, all’interno di una campana

collegata alla pompa per vuoto.

Con la pompa in funzione è misurato il tempo 4t impiegato per la completa evaporazione

dell’etere.

L’esperienza dovrà svolgersi molto rapidamente.

Si noterà che il tempo 4t si riduce ulteriormente se confrontato con 1t .

L’abbassamento di pressione diminuisce i tempi d’evaporazione, ovvero aumenta la quantità

di liquido evaporato.

Ripetendo le stesse esperienze con l’alcool etilico saranno misurati tempi più elevati.

Si potrà concludere che la temperatura d’ebollizione caratteristica del liquido in esame

influisce in modo inversamente proporzionale sulla durata del fenomeno d’evaporazione.

La temperatura d’ebollizione dell’alcool etilico è di circa 78, 3 ° C, mentre, l’etere etilico

bolle a circa 35 °C.

Le temperature tipiche dell’esperienza sono quindi molto più prossime alla temperatura

d’ebollizione dell’etere etilico

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


485

ESPERIENZA N. 18

TENSIONE DI VAPORE DI UN LIQUIDO

SCOPO:

Ogni liquido, come visto nella precedente esperienza, passa allo stato aeriforme, anche se la sua

temperatura è inferiore alla temperatura d’ebollizione.

Il fenomeno è definito “evaporazione” ed è tanto più evidente quanto più la temperatura

caratteristica d’ebollizione è bassa.

Lo scopo dell’esperienza è la constatazione che il fenomeno d’evaporazione a temperatura ambiente

provoca, in un recipiente chiuso, un incremento di pressione.

Tale incremento di pressione è definito “tensione di vapore” del liquido ed ha un valore

caratteristico della temperatura entro cui si opera.

La pressione caratteristica, ad una determinata temperatura e di un determinato liquido, alla quale si

blocca il processo d’evaporazione è definita “tensione di vapore saturo”.



Tappo gomma a due fori

Bicchiere vetro

Asta di sostegno con piede d’appoggio

Supporti orizzontali

Tubetto vetro

N. 3 rubinetto vetro

Tubi di collegamento in plastica

Imbuto piccolo

Tubetto vetro piegato ad angolo retto

Siringa graduata o pipetta graduata

Etere etilico

DESCRIZIONE DELLE FASI ESECUTIVE:

S’introduce nel matraccio, parzialmente riempito d’acqua, utilizzando uno dei fori, un tubetto di

vetro piegato ad angolo retto che, da un lato è immerso nell’acqua del matraccio e, dall’altro è

chiuso da un rubinetto di vetro.

Sull’altra estremità del rubinetto è inserito un corto tubetto di plastica sfociante nel recipiente di

vetro posto nelle vicinanze del matraccio.

Nell’altro foro del tappo di gomma è inserito un tubetto di vetro mantenuto verticale.

Su detto tubetto sono collegati, uno dopo l’altro e separati da un corto tubetto di plastica, altri due

rubinetti di vetri.

Sul rubinetto posto all’estremità superiore dell’apparecchiatura, mantenuta verticale e fissa

dall’apposito sostegno metallico, è inserito un corto tubo di plastica recante il piccolo imbuto di

vetro.

Terminato il montaggio dell’apparecchiatura, così come descritto, mantenendo chiuso il rubinetto

superiore (quello sotto l’imbuto) si apre e si richiude il rubinetto sul tubo piegato ad angolo retto.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


486

Una quantità di etere etilico (temperatura d’ebollizione circa 35 °C) pari a 3cm43 , prelevata dal

proprio contenitore con una pipetta graduata, è versata nel piccolo imbuto superiore e, con gli altri

due rubinetti completamente chiusi, è fatta passare, aprendo il rubinetto superiore, all’interno del

tubicino verticale.

L’etere è così contenuto nel tratto di tubo compreso tra il rubinetto 2 e 3.

Quindi, con il rubinetto 3 chiuso, è aperto il rubinetto 2 in modo tale da far passare tutto l’etere

all’interno del matraccio.

L’etere giunto così nel matraccio, evapora rapidamente, cosicché il volume occupato dal liquido

risulta uguale a quello occupato in precedenza.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


487

I vapori di etere, trattenuti dai rubinetti 1 e 2 chiusi, provocano un piccolo aumento di pressione

all’interno del matraccio (prima dell’evaporazione dell’etere la pressione era pari alla pressione

atmosferica) e, per la legge di Pascal, anche sulla superficie libera dell’acqua.

Aprendo il rubinetto 1, la differenza di pressione tra l’interno del matraccio e l’atmosfera esterna,

spinge il liquido verso l’alto sino a farlo fuoriuscire dal tratto di tubo orizzontale sino al bicchiere.

La variazione di pressione, rispetto alla pressione atmosferica, è la “tensione del vapore” di etere

etilico caratteristico della temperatura alla quale si è svolta l’esperienza, cioè, in pratica, la

temperatura ambiente a condizione di aver utilizzato acqua alla stessa temperatura.

LA TENSIONE DI VAPORE SATURO ALLA PRESIONE ATMOSFERICA:

Se si continua ad inserire all’interno del matraccio altro etere etilico, quest’ultimo continua ad

evaporare passando completamente dalla fase liquida a quella aeriforme e producendo aumenti di

pressione sempre superiori.

Le ulteriori quantità di etere potranno essere inserite nel matraccio utilizzando anche un sistema

diverso dal precedente: con una siringa graduata munito di sottile ago, è aspirata la quantità

necessaria a riempire completamente l’ago e il volume di siringa sino all’estremità del pistone,

quindi, approfittando del fatto che il tappo è di gomma, l’etere è inoculato direttamente nel

matraccio.

Nel momento in cui un ulteriore aggiunta di etere continua a rimanere in fase liquida, la

sovrapressione raggiunta è definita “tensione di vapore a quella determinata temperatura, alla

pressione atmosferica e per il dato volume”.

CONCLUSIONI:

L’esperienza dimostra l’aumento di pressione per effetto dell’evaporazione di un liquido il cui

punto d’ebollizione è sufficiente basso.

Possono essere utilizzati altri liquidi e può essere variata la temperatura.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


488

ESPERIENZA N. 19

MISURA DELLA SOVRAPRESSIONE GENERATA

DALL’EVAPORAZIONE DI UN LIQUIDO

SCOPO:

L’esperienza precedente è stata condotta allo scopo di verificare la sovrapressione prodotta

dall’evaporazione di un liquido ad una certa temperatura.

La conclusione non ha prodotto dati numerici, ma la sola constatazione che, effettivamente,

l’evaporazione genera una sovrapressione.

Ci si prefigge ora di determinare il valore numerico di tale sovrapressione rispetto alla pressione

atmosferica normale esistente nel luogo in cui si opera.


La legge di Stevin permetterà di determinare la sovrapressione attraverso il calcolo della variazione

della pressione idrostatica di una colonna di liquido di altezza variabile.

mh

m

Np

3i

Pa

m

N

2

Se utilizzata con le unità di misura indicate, le variazioni di pressione saranno espresse

direttamente in Pascal.



Tappo gomma a un foro



Tubo vetro lunghezza circa 1 metro

Asta metrica graduata, metro a nastro o riga da disegno

Siringa graduata o pipetta graduata

Etere etilico

Altri liquidi con bassa temperatura d’ebollizione (cloroformio)


Nel matraccio a collo lungo è inserito il tappo di gomma recante il lungo tubo di vetro. L’estremità

inferiore del tubo, mantenuto fermo e verticale da appositi sostegni, è immersa nell’acqua contenuta

nel matraccio.

La temperatura dell’acqua sia misurata da un termometro di inserito nel secondo foro del tappo.

Il tappo, il tubo e il termometro chiuderanno ermeticamente il collo del matraccio.

Con una siringa dotata di ago sottile si provvederà ad immettere una quantità d’aria bastevole ad

incrementare la pressione in modo tale da provocare l’innalzamento della colonna d’acqua nel tubo

verticale sino a farla sporgere oltre al limite superiore del tappo.

La variazione d’altezza della colonna d’acqua provocata dall’immissione dell’aria ci permetterà di

calcolare il valore della sovrapressione all’interno del matraccio.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


489

23O2H

m

N..............mh

kg

N81,9

m

kg000.1hp

Se, ad esempio, il livello raggiunto dalla colonna d’acqua, fosse pari 10 cm, la sovrapressione

all’interno del matraccio corrisponderebbe a circa all’uno per cento della pressione atmosferica

normale:

23O2H

m

N981m1,0

kg

N81,9

m

kg000.1hp

%97,0100300.101

981

p

p

Atm

Si può ora procedere cominciando ad immettere, per mezzo della siringa graduata con ago sottile,

piccoli quantitativi di etere etilico.

L’etere immesso nel matraccio evapora in breve tempo passando completamente allo stato

aeriforme.

Di conseguenza ad ogni quantitativo di etere immesso, dovrebbe risultare un aumento della

sovrapressione, segnalato dall’incremento in altezza della colonna d’acqua.

Se .ecc.ecc,h,h,h 321 sono gli incrementi rilevati (rispetto all’incremento iniziale )h ,

allora le relative sovrapressioni del vapore d’etere saranno:

2131O2H1

m

N..............mh

kg

N81,9

m

kg000.1hp

Continuando ad immettere etere sino al momento in cui cessa il fenomeno d’evaporazione e

misurando l’ultimo dislivello di colonna d’acqua, è possibile determinare la pressione di vapore

saturo alla temperatura data e alla pressione atmosferica.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


490

ESPERIENZA N. 20

MISURA DELLA TENSIONE DI VAPORE NON SATURO

E VAPORE SATURO DELL’ACQUA

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è quello di misurare le tensioni di vapore non saturo e di vapore saturo

caratteristiche dell’acqua ad una determinata temperatura.

Si cercherà inoltre di dimostrare che la pressione o tensione del vapore saturo è indipendente dal

volume occupato dal vapore stesso nel recipiente che lo contiene.


La legge di Stevin permetterà di determinare le tensioni di vapore attraverso il calcolo della

variazione della pressione idrostatica di una colonna di liquido di altezza variabile.

mh

m

Np

3i

Pa

m

N

2

Se utilizzata con le unità di misura indicate, le variazioni di pressione saranno espresse



Tubo piezometrico per l’esperienza di Torricelli relativa alla determinazione della pressione

atmosferica

Imbuto piccolo vetro

Largo recipiente ceramico

Mercurio



Asta metrica graduata, metro a nastro o riga da disegno

Siringa graduata con ago flessibile

Acqua

Altri liquidi a discrezione


Gli operatori dovranno togliere tutti gli oggetti d’oro per evitare inconvenienti per eventuale

contatto con il mercurio.

Il tubo piezometrico di Torricelli è gradualmente riempito sino all’estremità aperta superiore

mantenendolo leggermente inclinato allo scopo di favorire l’eliminazione dell’aria.

Sarà utilizzato l’imbuto di vetro piccolo.

Ultimata l’operazione si procede eliminando le eventuali bolle d’aria residue con leggeri colpi al

fondo del tubo su un supporto non rigido (ad esempio un libro).

Tenendo chiusa con un dito l’estremità aperta, il tubo di Torricelli, pieno di mercurio, è capovolto e

immerso verticalmente nel mercurio contenuto nel recipiente ceramico.

Si provvede quindi a fissare il tubo in verticale ad un apposito sostegno rigido.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


491

Il dislivello di mercurio nel tubo, misurato dalla superficie del mercurio nel recipiente, scenderà

stabilizzandosi quasi subito ad un’altezza di circa 760 mm (corrispondente alla pressione di 1

atmosfera).

Operando in questo modo si genera automaticamente il vuoto assoluto nella zona interna del tubo

compresa tra il menisco superiore del mercurio e l’estremità superiore chiusa del tubo stesso.

Dovrà essere annotato il livello massimo raggiunto dal mercurio nel tubo.

Quindi, con la siringa munita di ago flessibile o ricurvo, è aspirata una certa quantità d’acqua a

temperatura nota prelevandola da un recipiente più grande.

Occorre che la siringa non contenga altro che acqua per cui, se occorre, mantenendo la siringa

verticale, si espelle l’aria agendo sul pistone sino alla fuoriuscita di una goccia d’acqua.

L’ago ricurvo è inserito nel foro aperto del tubo immerso nel mercurio e si immette lentamente

l’acqua della siringa nel tubo.

L’acqua, più leggera del mercurio, è costretta dalla spinta Archimedea a salire nel tubo sino a

giungere nello spazio in cui è generato il vuoto ove evapora immediatamente.

L’evaporazione produce vapore e genera una pressione che costringe il menisco di mercurio a

scendere verso il basso.

La pressione generata è la tensione di vapor d’acqua non saturo ed è determinato dalla legge di

Stevin, per questo motivo occorre misurare ed annotare l’abbassamento del menisco.

Si procedo poi in questo modo sino a quando l’acqua immessa continua ad evaporare

completamente scoprendo del tutto il menisco di mercurio e arrestando il procedimento appena si

nota che l’acqua non evapora più e si deposita sul menisco.

Le misure dei dislivelli intermedi ci permetterà di determinare le tensioni di vapor d’acqua non

saturo intermedie caratteristiche della temperatura in esame, mentre, l’ultima lettura determina la

tensione di vapor saturo.

Il dislivello finale, operando ad una temperatura di 20 °C , non dovrà essere troppo dissimile dal

valore tabellato di 17,39 mm cui corrisponde la tensione massima del vapore d’acqua saturo a

quella temperatura.

L’esperienza può essere eseguita con lo stesso procedimento sia modificando la temperatura

dell’acqua che utilizzando un altro liquido.

123

t= 2 0 ° C t= 2 0 ° C t= 2 0 ° C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


492

Allo scopo di verificare che la pressione del vapore saturo aumenta con l’aumentare della

temperatura si può modificare la temperatura dell’acqua depositata sulla superficie del menisco di

mercurio, quando è stata raggiunta la massima pressione di saturazione alla temperatura ordinaria

dell’esperienza.

Per far ciò basta avvicinare per breve tempo una fiamma all’acqua sul menisco di mercurio per

notare l’ulteriore evaporazione e un conseguente aumento della pressione interna segnalata da un

nuovo abbassamento della colonna di mercurio.

In conclusione:

La pressione o tensione del vapore saturo aumenta con l’aumentare della temperatura.

t= 2 0 ° C

1 2

t > 2 0 ° C

Si può inoltre dimostrare che la pressione di saturazione ad una determinata temperatura è

indipendente dal volume occupato dallo stato aeriforme del vapore ed, in questo senso, il vapore

non segue la legge di Boyle-Mariotte.

Basta, a questo scopo, ripetere l’esperienza utilizzando un recipiente del mercurio più alto e stretto,

procedere immettendo acqua sino a giungere alla saturazione, annotare il dislivello di mercurio e

quindi muovere in verticale verso il basso il tubo di Torricelli affondandolo ancor di più nel

mercurio del recipiente.

Si noterà che il dislivello di mercurio nel tubo non cambia, mentre il volume occupato dal vapore

diminuisce (ciò è chiaramente in contrasto con la legge di Boyle che richiederebbe un aumento di

pressione).

Però, contrariamente a quanto succede per un gas, si noterà che, per il vapore saturo, la diminuzione

di volume è immediatamente seguita dalla condensazione e dal ritorno allo stato liquido.

In questo senso si può dire che la quantità di molecole di vapore saturo, contrariamente ad un gas,

diminuisce se è diminuito il volume, mentre la pressione di saturazione a quella temperatura si

mantiene costante.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


493

t= 2 0 ° C

1 2

t= 2 0 ° C


Conclusioni:

La pressione generata dal vapor d’acqua all’interno dello spazio vuoto nel tubo di Torricelli dipende

dalla temperatura cui si opera.

Detta pressione è detta Tensione di vapore non saturo sino a quando l’acqua immessa continua ad

evaporare mentre è detta Tensione di vapore saturo al cessare dell’evaporazione.

Calcoli:

Le varie tensioni di vapore non saturo e saturo si determinano con la legge di Stevin e i dislivelli

rilevati, con la formula:

mhkg

N81,9

m

kg590.13hp

3Hg

Se si usano le unità di misura indicate il valore delle tensioni di vapore acqueo sono espresse


Dalle tabelle è possibile ricavare, a titolo esemplificativo, le tensioni di vapor d’acqua saturo

corrispondenti a diverse temperature.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


494

Le tensioni sono espresse direttamente in mmHg (millimetri di mercurio):

C0t mmHg6,4p .SAT

C10t mmHg185,9p .SAT








C100t mmHg760p .SAT

C120t mmHg491.1p .SAT

C140t mmHg63,716.2p .SAT

C180t mmHg39,546.7p .SAT

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


495

ESPERIENZA N. 21

MISURA DELLA TENSIONE DI VAPORE SATURO

DELL’ACQUA SCOPO:

L’esperienza, simile alla precedente, è realizzata con diversa modalità ed è mirata alla misurazione

delle tensioni di vapore saturo dell’acqua in funzione della temperatura.


Anche in questo caso si farà ricorso alla legge di Stevin per il calcolo della pressione idrostatica:

mh

m

Np

3i

Pa

m

N

2

Inoltre vale la legge di Dalton per ciò che riguarda il miscuglio dell’aria con la fase aeriforme

dell’acqua (vapore):

La pressione esercitata da un miscuglio di gas e vapore è uguale alla somma delle pressioni

che ciascun componente eserciterebbe se occupasse da solo tutto il volume del recipiente:

i.Tot pp

Nel caso in esame, la pressione del miscuglio, composto da aria e vapore d’acqua saturo e

contenuto in un recipiente, è la somma della pressione atmosferica e della tensione di vapore

saturo caratteristico di quella temperatura.

Se, ad esempio, una certa quantità d’acqua contenuta in un recipiente nel quale è fatto il

vuoto e dotato di un coperchio a tenuta stagna scorrevole verso il basso o verso l’alto, fosse

riscaldato alla temperatura di 100 °C senza far subire movimenti al coperchio, la pressione

del vapore risulterebbe pari alla pressione atmosferica normale cioè spingerebbe verso il

basso di un dislivello pari a circa 760 mm una colonna di mercurio con l’altra estremità

libera all’atmosfera (come illustrato al n. 4 della figura).

1 2 3

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


496

4 5 6

(R A F F R E D D .)

Se poi, sempre alla temperatura di 100°C, si riduce lo spazio disponibile per il vapore saturo

abbassando il coperchio mobile a tenuta, si noterà che la pressione interna si mantiene

uguale alla pressione atmosferica esterna, mentre, una certa quantità di vapore passa

immediatamente alla fase liquida.

Ciò dimostra che il vapore saturo non si comporta come un gas perfetto – seguendo la legge

di Boyle – ma riduce il numero di molecole allo stato gassoso per mantenere la pressione

uguale alla tensione di vapore a quella temperatura.

Lo stesso fenomeno avviene se, mantenendo bloccato il coperchio, si attende

l’abbassamento della temperatura sino al valore dell’aria ambiente.

Per mantenere la pressione di saturazione al valore corrispondente ad una certa temperatura

senza variare il volume, occorre che una certa quantità di vapore passi allo stato liquido.

Quindi, mano a mano che la temperatura si abbassa, il ramo di mercurio collegato al

recipiente ricomincia a salire sino a riportarsi alla condizione n. 3 quando la temperatura del

liquido è pari alla temperatura ambiente di partenza.


Tubo di vetro piegato ad U

Matraccio con collo lungo

Tappo di gomma con due fori

Termometro

Asta di sostegno con supporti

Fornello a gas

Recipiente vetro

Mercurio

Acqua


APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


497


In un matraccio a collo lungo è versata una certa quantità d’acqua ed è poi chiusa l’imboccatura con

il tappo di gomma recante il termometro (con bulbo immerso nel matraccio) e il lato corto di un

tubo di vetro piegato ad U.

Il lato lungo del tubo avrà una lunghezza di circa 1 metro.

L’acqua sarà quindi riscaldata ad una temperatura di 100 °C e mantenuta per circa 2 minuti in

ebollizione in modo da notare la fuoriuscita di vapore dall’estremità aperta del tubo ad U.

Mantenendo ancora l’ebollizione e con il matraccio sul proprio sostegno, l’estremità del tubo è

inserita nel mercurio contenuto in apposito recipiente in modo da notare ancora la fuoriuscita del

vapore dalla superficie del mercurio accompagnata da gocce d’acqua.

Con il tubo inserito nel mercurio è il bruciatore a gas.

Inizialmente si osserva che il livello di mercurio nel tubo è uguale al livello della superficie libera

esterna (quindi la pressione interna al matraccio è uguale a quella atmosferica) ma, con il lento

raffreddamento che segue, il mercurio comincia a risalire nel tubo segnalando il calo di pressione

nel matraccio.

Misurando con il termometro la temperatura del vapore e la relativa altezza raggiunta dal mercurio

nel tubo (rispetto al livello esterno nel recipiente) ed applicando la legge di Stevin alla colonna di

mercurio, si riesce a determinare le pressioni o tensioni del vapore alle diverse temperature.


Conclusioni:

La pressione generata dal vapor d’acqua saturo alle diverse temperature decresce dal valore

massimo misurato alla temperatura a quello nullo misurato alla temperatura ambiente.

Le pressioni determinate corrispondono alle tensioni del vapor d’acqua saturo a quella determinata

temperatura.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


498

Calcoli:

Le varie tensioni di vapore saturo si determinano con la legge di Stevin e i dislivelli rilevati, con la

formula:

mhkg

N81,9

m

kg590.13hp

3Hg

Se si usano le unità di misura indicate il valore delle tensioni di vapore acqueo sono espresse


Altrimenti le pressioni sono misurate in mmHg dallo stesso dislivello misurato

sperimentalmente.

Si dovrebbe ancora rilevare valori approssimativamente uguali a quelli elencati in

precedenza nell’esperienza n. 20

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


499

ESPERIENZA N. 22

IL CALORIMETRO BUNSEN

(CALORIMETRO A GHIACCIO)

SCOPO:

Illustrare i dettagli costruttivi ed i principi teorici sui quali è basato il funzionamento del calorimetro

“a ghiaccio” o “calorimetro di BUNSEN”.

L’apparecchiatura, utilizzata per la determinazione del calore scambiato da corpi che sono

raffreddati ad una temperatura di 0°C, risulta più complessa rispetto al classico “calorimetro delle

mescolanze o di Regnault”.

SCHEMA FUNZIONALE:

C o p e rc h io is o la n te

Im b u to

R u b in e tto

C a p il la re g ra d u a to

V a s o D e w a r

R e c ip ie n te is o la to

G H IA C C IO

V u o to

D is ta n z ia to r i

P R O V E T T A

T a p p o p ro v e tta

G H IA C C IO R A F F R E D D A M E N T O

A c q u a

M E R C U R IO

G H IA C C IO

R e c ip ie n te a c q u a -g h ia c c io

S c a r ic o a c q u a d i fu s io n e

R

C

P

S

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


500

FUNZIONAMENTO ED UTILIZZO:

FASE DI PREPARAZIONE E TARATURA DEL CALORIMETRO

Nel vaso Dewar contenuto nel recipiente isolato esterno è inserito del ghiaccio triturato alla

temperatura di fusione C0t che ha la funzione mantenere costante la temperatura di

tutte le sostanze contenute nel calorimetro.

Il valore di temperatura di 0°C è assicurato dal fatto che, dallo scarico posto sul fondo del

recipiente, fuoriesce di continuo una piccola quantità d’acqua.

E’ poi riempito d’acqua distillata il recipiente S , entro cui è inserita una provetta P di vetro

sottile, e, attraverso l’imbuto superiore è versato mercurio privo di impurità in modo tale da

riempire il tubo verticale all’interno del calorimetro, il tratto orizzontale, il tratto di

collegamento al recipiente S , una piccola parte del fondo del recipiente S e un tratto del

tubo capillare graduato C .

Il tubo capillare ha una sezione sensibilmente costante.

Il calorimetro è preparato per le misurazioni facendo in modo di produrre un leggero strato

di ghiaccio sulla parete della provetta P interna al recipiente S .

Parte dell’acqua distillata, inizialmente liquida, contenuta in S , si trasforma in

ghiaccio aumentando di volume.

Come è risaputo il volume del ghiaccio è maggiore di quello dell’acqua.

L’aumento di volume causato dalla formazione dello strato di ghiaccio costringe il mercurio

contenuto nella tubazione sino all’imboccatura del recipiente S a scendere verso il basso.

Il mercurio è così costretto ad occupare un po’ di spazio libero all’interno del tubo capillare

graduato.

La formazione di ghiaccio sulle pareti della provetta P è quindi segnalato dall’avanzamento

del mercurio nel tubo capillare.

Occorre che la formazione di ghiaccio continui sino a portare lentamente il mercurio quasi al

fondo della scala graduata.

P

S S

P

H O2H O2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


501

Dopo aver portato al valore massimo della scala graduata il mercurio nel capillare, si

introduce velocemente nella provetta una quantità 1

m d’acqua alla temperatura 1

T .

La massa e la temperatura dell’acqua inserita devono essere determinate con assoluta

precisione (ad esempio utilizzando la pesa elettronica al centesimo di grammo ed un

termometro tipo Beckmann con precisione di 1/100 di grado).

L’acqua così inserita, separata dal ghiaccio esterno dalla sottile parete della provetta, si

raffredda sino alla temperatura di fusione del ghiaccio apportando una certa quantità calore

al ghiaccio che, a questo punto, si ritrasforma parzialmente in acqua, riducendosi il volume.

Il mercurio si ritrae nel capillare scoprendo un certo numero 0

n di linee graduate e

permettendo così la taratura del calorimetro da utilizzare per le successive misurazioni.

La taratura del calorimetro si ottiene utilizzando la quantità di calore Q ceduta al ghiaccio,

sulla parete interna della provetta, dal campione di acqua inserita e il numero di graduazioni

0n :

0

1

0

011S1

0n

TmKkg

J186.4

n

TTmcm

n

Qk

tacca

J

0

11

n

tmKkg

J186.4

k

tacca

J

Con:

1

m Massa dell’acqua campione kg

S

c Calore specifico acqua

Kkg

J186.4

1

T Temperatura iniziale acqua campione K

0

T Temperatura finale acqua campione K16,273

T Salto termico acqua campione K

1

t Temperatura iniziale acqua campione C

Dopo tali operazioni preparatorie si è ottenuta la taratura del calorimetro.

FASE DI UTILIZZO

Si riporta l’indice di mercurio sul fondo scala del capillare graduato mediante formazione

dello strato di ghiaccio sulla superficie della parete della provetta a contatto con l’acqua

distillata del recipiente S .

E’ annotata la posizione iniziale del mercurio sulla scala.

E’ poi inserito, all’interno della provetta, la massa m di sostanza alla temperatura T per la

quale si vuole determinare il calore specifico incognito S

c .

I valori della massa e della temperatura devono essere misurati con precisione.

Il raffreddamento della sostanza scioglie un po’ di ghiaccio e causa l’arretramento

dell’indice di mercurio.

Sono quindi contate le tacche e ne è annotato il numero n .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


502

La quantità di calore ceduta al ghiaccio risulta dall’equazione generale della calorimetria:

tmcQS

Ma, nello stesso tempo, è anche determinata utilizzando il coefficiente di taratura del

calorimetro calcolato in precedenza:

nkQ

tacchentacca

JkQ

J

Si determina quindi il calore specifico incognito uguagliando le due relazioni:

nktmcS

Da cui si ottiene:

tm

nkc

S

Kkg

tacchetacca

J

Con:

k Coefficiente di taratura del calorimetro

tacca

J

n Numero lettura tacche tacche

m Massa sostanza kg

t Temperatura iniziale o salto termico KC

Uso del calorimetro di BUNSEN per la determinazione dell’equivalente meccanico della caloria

Inserendo nella provetta del calorimetro un leggero mulinello rotativo a palette, azionato dalla

diminuzione di energia potenziale di masse note applicate ad un meccanismo esterno per

trasformare il moto rettilineo uniforme di caduta in moto circolare uniforme dell’albero del

mulinello, è possibile determinare, sempre contando il numero di tacche dell’indice di mercurio,

l’EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA.

Tale esperienza, inventata e portata a termine da Joule, è detta appunto Esperienza di JOULE ed il

meccanismo utilizzato è il Mulinello di Joule.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


503

ESPERIENZA N. 23

BOMBA DI MAHLER

DETERMINAZIONE DEL POTERE CALORIFICO DI

COMBUSTIBILI SOLIDI

LA BOMBA CALORIMETRICA DI MAHLER ABBINATA

AL CALORIMETRO DELLE MESCOLANZE

SCOPO:

La determinazione del potere calorifico dei combustibili solidi e l’illustrazione dell’apparecchiatura

di Mahler (bomba calorimetrica di Mahler) abbinata ad un calorimetro delle mescolanze di

Regnault.


Le relazioni fondamentali del calorimetro ad acqua basate sulla legge generale della calorimetria e

la relazione che permette di terminare le quantità di calore cedute dalla combustione completa di

una certa quantità di combustibile solido qualsiasi.

Le proprietà dei combustibili e la fisica della combustione.

Le relazioni fondamentali del calorimetro ad acqua.

Per la determinazione della massa d’acqua equivalente o equivalente in acqua:

1E.EQUIV1O2H2E2O2H

TTMmcTTmc

1E.EQUIV12E2 TTMmTTm

1E.EQUIV1E12E2 TTMTTmTTm

1E

1E12E2.EQUIV

TT

TTmTTmM

Con:


ET Temperatura d’equilibrio termico K

1T Temperatura iniziale acqua calorimetro K

2T Temperatura iniziale acqua aggiunta K

1m Massa iniziale acqua calorimetro kg

2m Massa acqua aggiunta kg

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


504

Per la determinazione del calore specifico incognito:

2EEQO2HO2H1E1S TTMmcTTmc

Da cui il calore specifico incognito:

1E1

2EEQO2HO2H

STTm

TTMmcc

Con:

Sc Calore specifico incognito della sostanza

Kkg

kcal

Kkg

J


Kkg

kcal1

Kkg

J186.4

O2Hm Massa d’acqua reale nel calorimetro kg


1m Massa sostanza inserita nel calorimetro kg

1T Temperatura iniziale sostanza K

2T Temperatura iniziale acqua K

ET Temperatura d’equilibrio K

Per la determinazione calorimetrica della temperatura:

1EEQ1O2H2E2S TTMmcTTmc

Si ricava il valore 2T :

1EEQ1O2H22SE2S TTMmcTmcTmc

2S

1EEQ1O2HE2S

2mc

TTMmcTmcT

Le relazioni relative al calore sviluppato dal combustibile:

mpQ C

Con:

Cp Potere calorifico del combustibile

kg

J

m Massa del combustibile kg

Il potere calorifico è poi classificato in base allo stato dei prodotti della combustione:

CSp Potere calorifico superiore. Se i prodotti della combustione sono allo

stato liquido.

CIp Potere calorifico inferiore. Se i prodotti della combustione sono allo

stato gassoso.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


505

Il potere calorifico superiore è maggiore di quello inferiore in quanto è recuperato calore di

combustione dalla liquefazione dei fumi che, altrimenti, sarebbero espulsi ad una

temperatura compresa tra i 150/180 °C disperdendo una certa quantità di calore utile.

In genere si utilizza, per i calcoli, il calore specifico inferiore in quanto, la liquefazione dei

fumi con conseguente recupero di calore comporta la formazione di prodotti liquidi acidi

corrosivi per i materiali che costituiscono i generatori di calore.

Con l’adozione di tecniche nuove e nuovi materiali è possibile espellere residui liquidi a

bassa temperatura (generatori a condensazione) con conseguente notevole aumento dei

rendimenti.

La differenza tra i due valori è data dalla relazione:

2500Mpp O2HCICS

kg

kJ

Mentre per la determinazione del potere calorifico superiore si può adottare il valore

ricavato dalla seguente relazione sperimentale:

S4,108

OH144C8,33p CS

kg

kJ

Con:

C Quantità di carbonio

H Quantità d’idrogeno

O Quantità di ossigeno

S Quantità di zolfo

SCHEMA FUNZIONALE DELLA “BOMBA DI MAHLER”:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


506

La “bomba calorimetrica di Mahler” è essenzialmente costituita da un robusto contenitore a tenuta

di acciaio inox nel quale è inserito il provino di combustibile solido.

L’accensione del combustibile è provocata da una resistenza elettrica alimentata dall’esterno,

mentre la combustione è assicurata dall’afflusso di una quantità di ossigeno strettamente necessaria

attraverso la valvola dosatrice.

La bomba calorimetrica è inserita in calorimetro ad acqua, completo di agitatore meccanico e

termometro, attraverso cui è possibile determinare la quantità di calore sviluppata dalla

combustione completa del provino.

IFEQO2HO2HCC TTMmcmp

C

IFEQO2H

Cm

TTMmKkg

J186.4

P

ALCUNI VALORI DEL POTERE CALORIFICO DI COMBUSTIBILI SOLIDI COMUNI

In base alle tabelle di uso comune, di seguito alcuni valori del potere calorifico di combustibili

solidi di uso comune:

Combustibile Composizione ponderale Densità POTERE CALORIFICO ARIA

TEORICA

kg/kg C

2H S 2NO Superiore

kg/kJ

Inferiore

kg/kJ

petrolio 85 13 1,5 0-3 0,8 44.000 40.000 14,5

Benzina 85,5 14,4 0,1 0,74 47.200 43.950 14,81

Cherosene 86,3 13,6 0,1 0,79 46.500 43.500 14,8

Gasolio 86,3 12,7 0,3 0,5 0,88 45.800 42.800 14,3

Olio comb. 86,2 12,3 1 0,5 0,89 44.700 41.850 14,2

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


507

ESPERIENZA N. 24

CALORIMETRO JUNKERS

DETERMINAZIONE DEL POTERE CALORIFICO DI

COMBUSTIBILI GASSOSI

SCOPO:

Illustrare lo schema e i principi di funzionamento del calorimetro di JUNKERS per la

determinazione del potere calorifico dei combustibili gassosi.

Tabella delle caratteristiche caloriche di alcuni gas di uso comune.


Le stesse dell’esperienza precedente.

In questo caso la quantità d’acqua nel calorimetro è variabile ma, con la misurazione del volume

finale, è riconducibile ad una quantità fissa.

SCHEMA FUNZIONALE:

C Contatore gas combustibile Ss Serbatoio scarico acqua

S Stabilizzatore di pressione Sc Serbatoio di carico acqua

B Bruciatore gas F Fascio tubiero

V Recipiente graduato raccolta Uf Uscita fumi

Ti Termometro ingresso circuito acqua F Fascio tubiero

Tu Termometro uscita circuito acqua R Camera combustione

Tf Termometro fumi scarico

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


508

FUNZIONAMENTO:

Il gas combustibile affluisce al bruciatore B passando dal contatore volumetrico C e dallo

stabilizzatore di pressione S.

Al bruciatore B è immessa anche la quantità d’aria necessaria alla combustione del gas.

Nella camera R avviene la combustione controllata del gas ed il riscaldamento dell’acqua passante

nel fascio tubiero F dotato di collettori in ingresso ed uscita.

I prodotti della combustione – gas di scarico – fuoriescono dall’uscita fumi Us ove è collocato un

termometro Tf che ne rileva la temperatura.

L’acqua di raffreddamento, proveniente dal serbatoio Sc dotato di controllo di livello, affluisce nel

collettore in ingresso ove è rilevata la temperatura Ti, passa nel fascio tubiero F, esce dal collettore

superiore ove è misurata la temperatura Tu ed è quindi inviata al serbatoio di scarico Ss.

Lo scolmatore, interno al serbatoio, provvede a mantenere costante il livello dell’acqua e a

scaricarla nel serbatoio graduato V ove è misurata la quantità d’acqua passata nel fascio tubiero in

un intervallo di tempo t.

CALCOLI E RISULTATO FINALE:

Sfruttando le misure rilevate del volume d’acqua complessivo e delle temperature d’ingresso e

d’uscita dell’acqua di raffreddamento nonché il volume di gas combustibile, si determina il potere

calorifico del gas:

IUO2HO2HO2HGASC TTdVcVp

3

GAS

IU3O2H

3

O2HO2H

C

mV

KTT

m

kgdmV

Kkg

Jc

p

3m

J

Oppure, conoscendo la densità volumica del gas:

IUO2HO2HO2HGASC TTdVcmp

3GAS

3

GAS

IU3O2H

3

O2HO2H

C

m

kgdmV

KTT

m

kgdmV

Kkg

Jc

p

kg

J

ALCUNI VALORI DEL POTERE CALORIFICO DI COMBUSTIBILI GASSOSI COMUNI

In base alle tabelle di uso comune, di seguito alcuni valori del potere calorifico di combustibili

GASSOSI di uso comune:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


509

Combustibile Composizione ponderale Densità

3m

kg

POTERE

CALORIFICO

POTERE

CALORIFICO

ARIA

TEORICA

kg/kg 2H CO

2CO 2N 4CH OH 2 2O ALTRI Superiore

kg/kJ

Inferiore

kg/kJ

Superiore

3m/kJ

Inferiore

3m/kJ

Idrogeno 100 0,090 144.000 121.500 12.770 10.760 34.34

Ossido carb. 100 1,25 10.100 10.100 12.640 12.640 2,47

Metano 100 0,717 51.350 50.050 39.850 35.780 17,27

Acetilene 100 1,171 50.200 48.500 58.200 56.800

Propano 100 2,019 50.400 46.350 101.800 93.500 15,7

Butano 100 2,7 49.600 45.800 133.900 123.450 15,49

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


510

ESPERIENZA N. 25

TEMPERATURA E DENSITA’ DEI LIQUIDI

SCOPO:

Lo scopo dell’esperienza è quello di verificare sperimentalmente che la densità di un liquido è

variabile in funzione della temperatura.

Tralasciando il caso dell’acqua tra i valori di temperatura compresi tra 0 °C e 4 °C, per i liquidi

l’aumento di temperatura è causa della diminuzione di densità specifica.


Si utilizzerà la legge di Archimede e la definizione di spinta Archimedea applicata, nel caso

particolare, ai corpi galleggianti.

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta diretta dal basso verso l’alto di intensità pari al

peso del fluido spostato.

Si intende, per fluido, sia la componente liquida che gassosa della materia.

In altre parole, la spinta archimedea è ricevuta da un corpo immerso sia in un liquido che in un gas.

Dalla definizione di spinta archimedea si ricava poi la condizione particolare cui sono sottoposti i

corpi che galleggiano:

La spinta di Archimede deve essere uguale al peso del corpo o, in altri termini, il peso specifico del

corpo deve essere minore del peso specifico caratteristico del fluido in cui sono immersi.

.Spost.FlFluido.Spost.FlFluidoA VgdVS

Con:

AS Spinta archimedea N

Fluido Peso specifico fluido

3m

N

.Spost.FlV Volume di fluido spostato 3m

Fluidod Densità specifica fluido

3

m

m

kg

g Accelerazione gravitazionale

2s

m

La condizione generale per il galleggiamento di un corpo di volume CV e peso specifico

C immerso in un fluido di peso specifico F :

PS A CONDIZIONE GENERALE DI GALLEGGIAMENTO

Con:

AS Spinta archimedea N

P Peso del corpo N

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


511

In base alla condizione generale per il galleggiamento si riconoscono poi i casi particolari in cui il

peso specifico del corpo è minore o maggiore del peso specifico del fluido nel quale è immerso:

1. Peso specifico C del corpo minore del peso specifico F del fluido.

Il corpo galleggia sicuramente ed è, per una parte sommerso, per l’altra emerso.

(caso del galleggiamento del ghiaccio nell’acqua, di alcuni metalli nel mercurio, delle

essenze legnose o materiali leggeri nell’acqua)

FC

CCIm.CF VV

F

C

C

Im.C

V

V

F

CCIm.C VV

C

Im.CFC

V

V

Im.C

CCF

V

V

2. Peso specifico C del corpo maggiore del peso specifico F del fluido.

In questo caso il galleggiamento si ottiene in virtù della forma del corpo. Conviene fare

affidamento al volume di fluido spostato per far posto alla quota immersa del volume

complessivo, vuoto per pieno, del corpo di peso P.

In generale sono presi in esame corpi galleggianti cavi internamente per i quali occorre

introdurre il concetto di peso specifico apparente come rapporto tra il peso complessivo ed

il volume occupato dalle superfici esterne:

*

C

iCC

*

C

*

C

V

NV

V

P

Con: *

C Peso specifico apparente N

P Peso complessivo corpo N

C Peso specifico reale del corpo (nel caso di unico materiale)

3m

N

*

CV Volume esterno del corpo cavo

CV Volume effettivamente occupato dalla materia costituente il corpo

iN Somma dei pesi contenuti nel volume interno del corpo cavo

Anche in questo caso si ottiene galleggiamento se il peso specifico apparente risulta

minore del peso specifico del fluido spostato (galleggiamento delle navi).

C

*

C VV

F

*

C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


512

La parte immersa del volume esterno del corpo cavo è così determinata dalla relazione:

iCC

*

C

*

C

*

IMM.CF NVVV

FF

iCC

F

*

C

*

C*

IMM.C

PNVVV

Il peso specifico del liquido risulta determinato dalla relazione inversa:

*

IMM.C

F

V

P

E la densità:

3*

IMM.C

FF

mV

NPgd

3

m

3*

IM.C2

F

m

kg

mV

s

mg

NPd


Bicchiere di vetro (grande a base stretta)

Acqua distillata

Acqua


Pallini piombo

Provette

Pallone di vetro a collo lungo

Pesa elettronica

Fornello gas

Treppiede


Un bicchiere di vetro è inserito in un bicchiere graduato più grande ed è riempito d’acqua normale

sino all’orlo.

Nel bicchiere è poi gradualmente inserito il pallone a collo lungo in modo tale da immergere

completamente il recipiente sferico e una parte di alcuni centimetri del collo sino al livello

precedentemente contrassegnato con un pennarello o una striscia di nastro adesivo.

L’acqua spostata dall’immersione del pallone e del collo del recipiente fuoriesce dal bicchiere

piccolo e si raccoglie nel bicchiere più grande.

E’ quindi misurato con accuratezza il volume 1V di acqua spostata (utilizzando la stessa

graduazione del bicchiere oppure aspirandola completamente con una siringa graduata).

La stessa operazione è poi ripetuta immergendo il pallone sino all’estremità superiore del collo ed

effettuando una nuova ed accurata misurazione del volume 2V di acqua spostata.

La differenza 12 VV ci permetterà di tarare con una graduazione di riferimento il tratto di collo

compreso tra la prima e la seconda graduazione.

La sensibilità delle misurazioni successive dipende evidentemente dal numero di tratti segnati sulla

scala graduata.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


513

Nel pallone di vetro così preparato e dotato della scala graduata è poi inserita una quantità di pallini

di piombo tale da produrre un affondamento, nell’acqua del bicchiere, sino alla prima tacca della

graduazione.

L’acqua versata del bicchiere è acqua normale prelevata dal rubinetto del laboratorio.

Nel contempo è misurata la temperatura T dell’acqua.

Il peso complessivo del pallone e dei pallini di piombo in esso contenuti è poi determinato con

accuratezza utilizzando la pesa elettronica.

Sia P il peso complessivo espresso in grammi.

Ora, mantenendo il pallone immerso senza variare la quantità di pallini, è riscaldata, con il fornello

a gas ed il treppiede consueto, l’acqua del bicchiere.

Misurando le temperature ad intervalli regolari di 5-10 °C (dopo opportuna agitazione meccanica) e

rilevando il relativo affondamento dal numero di tacche sulla graduazione è quindi possibile

determinare una tabella e un relativo grafico del valore di volume immerso in funzione della

temperatura.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


514

L’esperienza può quindi essere ripetuta utilizzando acqua distillata ed altri liquidi a discrezione

rilevando via via le temperature, le percentuali e i volumi d’affondamento e costruendo, per ogni

liquido utilizzato le tabelle e i grafici.


L’aumento di temperatura causa la diminuzione della densità del liquido. Essendo costante il peso

complessivo del corpo galleggiante e valida la legge di Archimede, ad ogni diminuzione di densità e

del peso specifico relativo occorre, per mantenere il galleggiamento, un aumento del volume

immerso.

Per questo motivo l’aumento della temperatura produce un progressivo aumento del volume

immerso.

Naturalmente, utilizzando liquidi con densità minore e a parità di temperatura, il volume immerso è

maggiore.

Calcoli:

La densità ed il peso specifico dell’acqua alle varie temperature iT si ottiene dalla relazione:

PVgd ii

3

i2

i

cmV

s

mg

NPd

3

m

cm

kg

3

i

i

cmV

NP

Se il peso è espresso in grammi ed il volume in centimetri cubi, il valore della densità e del peso

specifico coincidono, mentre, le unità di misura sono da interpretare come grammi-massa per la

densità e grammi-peso per il peso specifico.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


515

ESPERIENZA N. 26


TEMPERATURA E VOLUME DEI LIQUIDI

TEMPERATURA E VOLUME DEI SOLIDI

SCOPO:

La verifica sperimentale della legge di dilatazione volumica per variazione di temperatura delle

sostanze solide e liquide.

Il coefficiente di dilatazione volumica caratteristico delle sostanze solide è minore di quello

caratteristico delle sostanze liquide.

Inoltre il coefficiente di dilatazione volumica per un solido è pari a circa tre volte il coefficiente di

dilatazione lineare per lo stesso solido.


La legge di dilatazione lineare, relativa a materiali solidi caratterizzati da una piccola sezione

raffrontata alla lunghezza (sbarra, tubo, ecc. ecce), costituisce un importante riferimento per lo

studio della dilatazione volumica:

101 t1LL

Con:

1L Lunghezza sbarra alla temperatura 1t m

0L Lunghezza sbarra alla temperatura C0t 0 m

Coefficiente di dilatazione lineare

C

1

1t Temperatura finale o variazione di temperatura

rispetto alla temperatura iniziale di riferimento di 0 °C C

Il coefficiente di dilatazione lineare rappresenta il valore, solitamente espresso in metri, della

variazione di lunghezza relativamente ad una sbarra, di lunghezza unitaria e di un determinato

materiale, per una variazione di temperatura pari a 1 grado centigrado o 1 Kelvin.

Alcuni valori del coefficiente relativi ai materiali più comuni:

Alluminio 6

1023

1C

Diamante 6

103,1

1C

Ferro 6

1012

1C

Piombo 6

1029

1C

Rame 6

1017

1C

Vetro 6

109

1C

Zinco 6

1030

1C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


516

Per quanto riguarda la variazione volumica risulta possibile fare riferimento ad una legge

sperimentale approssimata nella quale si utilizza il coefficiente di dilatazione lineare nel modo

seguente:

Prendendo in esame un parallelepipedo di spigoli aventi lunghezza rispettivamente

o00 c,b,a alla temperatura C0t 0 e supponendo di incrementare la temperatura sino

ad un valore 1t , si può immaginare una variazione della lunghezza di ogni spigolo, legata al

coefficiente di dilatazione lineare :

101 t1aa

101 t1bb

101 t1cc

Il volume iniziale 0000 cbaV s’incrementa al volume finale:

3

10000

3

11 t1Vcbat1V

3

1

32

1

2

101 tt3t31VV

Considerando poi che il quadrato e il cubo del coefficiente lineare sono valori estremamente

piccoli, la formula è approssimata dalla seguente:

101 t31VV

101 t1VV

Con definito coefficiente di dilatazione volumica di valore pari a tre volte il

coefficiente di dilatazione lineare:

3

Per quanto riguarda i liquidi è sperimentalmente osservato che i coefficienti di dilatazione volumica

sono notevolmente più elevati rispetto a quelli relativi ai solidi.


Matraccio collo lungo

Treppiede

Fornello gas

Bicchiere vetro

Tappo gomma

Tubetto di vetro, graduato

Termometro

Tetracloruro di carbonio


APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


517


Il matraccio è riempito d’acqua preventivamente disperata per ebollizione ed è poi inserito il tappo

di gomma munito di termometro e di tubo graduato. L’acqua deve risalire di 5-10 cm all’interno del

tubo di vetro.

Partendo dalla temperatura iniziale, che è rilevata con il termometro ed annotata, si comincia a

riscaldare il matraccio e l’acqua in esso contenuta.

All’inizio si noterà che il livello dell’acqua nel tubo subisce un abbassamento, poi, continuando a

riscaldare, ricomincia gradualmente a salire.

L’abbassamento del livello è dovuto al fatto che la prima quantità di calore fornita al sistema è

assorbita quasi intermente dal vetro del contenitore il quale, riscaldandosi ed essendo un materiale

solido, subisce una dilatazione in base al proprio coefficiente volumico Vetro .

Dopodiché anche l’acqua comincia a riscaldarsi con l’ulteriore apporto di calore e, dal fatto che essa

ricomincia a salire nel tubo, si deduce che, nell’intervallo di temperatura considerato, essa si dilata

in proporzione maggiore di quanto faccia il recipiente di vetro.

Quest’ultimo, inoltre, si comporta come se fosse costituito da vetro pieno, quindi caratterizzato

dallo stesso volume d’acqua.

Quest’ultima osservazione ci permette di paragonare i due coefficienti volumici caratteristici del

vetro e dell’acqua potendo così concludere che quello dell’acqua è maggiore di quello del vetro.

Le variazioni volumetriche dell’acqua con l’aumento di temperatura (a condizione di essere

sufficientemente distanti dalla temperatura di 4 °C), rilevate dalla lettura della graduazione del tubo

ed unite alle contemporanee misurazioni della temperatura, permettono di ricavare il valore del

coefficiente di dilatazione .

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


518


A parità dell’intervallo di temperatura ed escludendo la fase transitoria iniziale durante la quale il

vetro ha una temperatura maggiore dell’acqua, la sostanza liquida si dilata maggiormente della

sostanza solida.

202 t1VV

101 t1VV

1

2

1

2

t1

t1

V

V

2112 t1Vt1V

121221 VVtVtV

1111211221 tVtV

V

tVVtV

V

tVtV

V

Con:

V Differenza di volume letta sul tubo graduato

1V Volume iniziale d’acqua

t Differenza di temperatura

1t Temperatura iniziale

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


519

ESPERIENZA N. 27

COEFFICIENTE DI DILATAZIONE LINEARE

TEMPERATURA E LUNGHEZZA DEI SOLIDI

SCOPO:

Determinare il valore approssimato del coefficiente di dilatazione termica lineare di un corpo

filiforme soggetto ad una variazione di temperatura.


La legge di dilatazione lineare relativa a materiali solidi caratterizzati da una piccola sezione

raffrontata alla lunghezza (sbarra, tubo, filo, ecc. ecce):

101 t1LL

Con:

1L Lunghezza sbarra alla temperatura 1t m

0L Lunghezza sbarra alla temperatura C0t 0 m

Coefficiente di dilatazione lineare

C

1

1t Temperatura finale o variazione di temperatura

rispetto alla temperatura iniziale di riferimento di 0 °C C

Il coefficiente di dilatazione lineare rappresenta il valore, solitamente espresso in metri, della

variazione di lunghezza relativamente ad una sbarra, di lunghezza unitaria e di un determinato

materiale, per una variazione di temperatura pari a 1 grado centigrado o 1 Kelvin.

Alcuni valori del coefficiente relativi ai materiali più comuni:

Alluminio 6

1023

1C

Diamante 6

103,1

1C

Ferro 6

1012

1C

Piombo 6

1029

1C

Rame 6

1017

1C

Vetro 6

109

1C

Zinco 6

1030

1C

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


520


Fili metallici (ferro, rame, zinco, costantana, ecc. ecc)

Tubo vetro di lunghezza 1,5 metri circa con attacco per tubo plastica

Sostegno metallico

Matraccio grande

Tappo gomma

Tubetto vetro

Tubo plastica per collegamenti

Bicchiere vetro piccolo

Bicchiere vetro grande

Vaschetta raccolta

Siringa graduata

Calibro

Pesa elettronica

Fornello gas

Treppiede

Sostegno metallico tubo vetro e attacco superiore filo

Termometro


Sull’estremità superiore del lungo sostegno metallico è fissato rigidamente il lembo di un filo

metallico di zinco o rame avente lunghezza complessiva di circa 1,5 metri.

Il filo è poi inserito completamente all’interno di un tubo di vetro di piccolo diametro che sarà

quindi fissato e mantenuto verticale dal sostegno metallico.

Il lembo inferiore del filo sarà quindi collegato, mediante legatura centrale, al bicchiere di vetro

piccolo, mantenuto verticale e riempito d’acqua.

Il bicchiere pieno d’acqua ha il compito di mantenere teso il filo e, nello stesso tempo, di permettere

la misurazione dell’allungamento del filo stesso.

Anche l’altro bicchiere, di diametro maggiore al primo, sarà riempito d’acqua sino all’orlo e

collocato esattamente sulla verticale determinata dal bicchiere piccolo.

Il fondo del bicchiere piccolo e il livello dell’acqua nel bicchiere grande saranno posti a contatto in

modo da far fuoriuscire una piccola quantità d’acqua.

L’acqua sarà raccolta in un recipiente più grande posto sotto al bicchiere ed eliminata

completamente prima d’iniziare la sperimentazione.

Occorrerà determinare con accuratezza, utilizzando il calibro centesimale, il diametro esterno del

bicchiere piccolo.

Nel contempo di provvede a collegare l’attacco inferiore del tubo, per mezzo di un corto tubo di

plastica, ad un matraccio grande, contenente acqua e chiuso da un tappo di gomma dal quale

fuoriesce un corto tubo di vetro.

Il matraccio è sistemato sul treppiede con sottostante il fornello a gas.

Si misura quindi con molta accuratezza la lunghezza iniziale del filo e la temperatura dell’ambiente

esterno.

L’acqua nel matraccio è riscaldata sino all’ebollizione che è mantenuta per un certo tempo.

Il vapore, costretto a passare all’interno del tubo di vetro, riscalda quindi il filo in esso contenuto

alla temperatura di 100 °C causandone la dilatazione lineare.

Il bicchiere piccolo, collegato al filo, si abbassa nell’acqua contenuta nel bicchiere grande

provocando la fuoriuscita di una quantità pari al volume d’immersione del bicchiere piccolo.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


521

Misurando con una siringa graduata il volume d’acqua travasato nel recipiente di raccolta e

considerando il diametro esterno del bicchiere piccolo, è possibile determinare il valore dell’altezza

d’immersione e, di conseguenza, il valore uguale dell’allungamento del filo portato alla temperatura

di 100 °C.


All’aumentare della temperatura il filo si allunga causando l’ulteriore affondamento del bicchiere

misuratore nel bicchiere contenitore.

Dalla misura del volume d’acqua fuoriuscito si ricava l’allungamento del filo e quindi,

successivamente, un valore approssimato del coefficiente di dilatazione lineare caratteristico del

materiale con cui è realizzato il filo.

Calcoli:

Dai dati iniziali e dalle misure effettuate si ricava:

1L Valore lunghezza iniziale filo alla temperatura 1t ambiente mm

1t Temperatura ambiente C

V Volume d’acqua fuoriuscito 3mm

C100t 2 Temperatura vapore

Diametro esterno bicchiere piccolo mm

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


522

V4

L

2

22

3

mm

mmV4hL

mm

202

t1LL

101

t1LL

1

2

1

2

t1

t1

L

L

2112

t1Lt1L

1221212

tLtLV4

LLL

11211221tLLtL

L

tLtL

L

1121tLttL

L

1

C

L’esperienza può essere ripetuta in modo analogo utilizzando fili di altro materiale.

I valori ottenuti sono quindi confrontati con i valori di riferimento contenuti nelle tabelle.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


523

ESPERIENZA N. 28


TRASFORMAZIONE ISOTERMA

SCOPO:

La verifica della legge di Boyle-Mariotte relativa alla trasformazione isoterma di un gas.


La legge di Boyle-Mariotte:

1122VpVp

2

1

12V

Vpp

2

1

12p

pVV

La legge di Stevin per il calcolo della pressione idrostatica con particolare riguardo alla pressione

generata da una colonna di mercurio.

hpHgi


Tubo vetro graduato con rubinetto di chiusura

Tubo plastica

Tubo vetro di lunghezza 1,5 metri

Mercurio

Supporto

Strumenti di misura lunghezze

Imbuto di vetro


Il tubo graduato con rubinetto è collegato, mediante tubo in plastica, al tubo di vetro di lunghezza

almeno 1 metro.

Entrambi sono mantenuti verticali dall’apposito sostegno.

Utilizzando l’apposito imbuto di vetro si versa mercurio dall’estremità aperta del tubo lungo mentre

il rubinetto superiore sul tubo graduato è aperto.

Il livello di mercurio si stabilizza su un piano orizzontale in entrambi i tubi.

La quantità di mercurio è regolata in modo tale che il menisco di mercurio lambisca l’inizio

inferiore della scala graduata.

A questo punto è chiuso il rubinetto.

Nel tubo graduato è contenuta una quantità d’aria rilevabile dalla lettura diretta della scala graduata,

mentre, la pressione è evidentemente la pressione atmosferica.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


524

I dati iniziali sono dunque:

Pa300.101p1

1V Lettura della scala graduata

Occorre ora versare altro mercurio dall’estremità del tubo – mantenendo chiuso il rubinetto –

rilevando di volta in volta i volumi di aria contenuta tra il menisco ed il rubinetto e i dislivelli tra le

due colonne di mercurio.

Risulta particolarmente agevole ridurre percentualmente il volume dalla lettura diretta della scala

graduata.

Ad esempio si potrebbe ridurre il volume in modo graduale del 10% rispetto al volume iniziale sino

a quando la lunghezza del tubo lo consente.

Per cui:

12V9,0V

2h

13V8,0V

3h

14V7,0V

4h

15V6,0V

5h

15V6,0V

6h

Ad ogni riduzione di volume corrisponde un aumento della colonna di mercurio e, di conseguenza,

della pressione.

Come si vedrà ad ogni riduzione del 10 % del volume iniziale dovrebbe corrispondere un

incremento di colonna pari a circa 6,21 cm

a r ia a r ia a r ia

H g H g H g

a tmp a tmp p a tm

p a tm

V1 V = 0 ,9 x V2 1

2p

V = 0 ,8 x V3 1

p 3h

h 2

3

Ultimata la prima parte dell’esperienza con la continua riduzione del volume iniziale e la

constatazione del relativo aumento di pressione, riportiamo la situazione allo stato iniziale

eliminando il mercurio in eccesso ed aprendo il rubinetto.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


525

Si tratta ora di ripetere l’esperienza in modo tale da provocare un aumento di volume e per far

questo occorre procedere modificando l’apparecchiatura originale.

V1

a r ia

H g

p a tm

h

p a tm

a tmp

H g

a r ia2p

a tm

a tmp

p

V = 1 ,1 x V2 1

p = - H g

h

h 2

a tm= pH g

+h( )-H g

h 2

1

2

Al tubo precedente è collegato un'altra tubazione manometrica dotata di rubinetto con relativo tappo

in gomma di chiusura.

Inizialmente si dovrà provvedere al riempimento del secondo ramo manometrico con altro mercurio

mentre i due rubinetti sono aperti e permettono quindi la comunicazione dei manometri con

l’ambiente esterno a pressione atmosferica.

Si supponga che i quattro menischi siano inizialmente collocati sulla stessa linea orizzontale.

Il menisco destro del primo ramo segnali lo stesso volume iniziale 1

V .

Con il rubinetto 1 chiuso, il rubinetto 2 aperto ed una siringa inserita nel tappo di gomma del

rubinetto 2, si inizia lentamente ad estrarre aria dal volume compreso tra i due menischi centrali.

Ogni aspirazione sarà seguita dalla chiusura del rubinetto 2, dall’espulsione dell’aria dalla siringa

estratta, dal nuovo inserimento della siringa e da una nuova estrazione.

Il procedimento è quindi ripetuto secondo le necessità.

Ad ogni ciclo d’estrazione, la pressione dell’aria compresa tra i due menischi centrali diminuisce.

La pressione atmosferica – sempre costante nel ramo sinistro aperto verso l’esterno – costringe il

mercurio a salire nel manometro di sinistra.

Il dislivello tra i due menischi h permetterà il calcolo della pressione – minore di quella

atmosferica – nel tratto di tubo compreso tra i due menischi centrali.

Nel manometro di destra – per la diminuzione di pressione del tratto centrale – sarà quindi generato

un nuovo dislivello 2

h dalla cui misura sarà possibile risalire alla pressione 2

p nel tratto in cui il

volume aumenta percentualmente del valore desiderato (ad esempio del 10%).

Alla fine, aspirando con la siringa in modo da provocare aumenti di volume del 10% rispetto al

volume iniziale, misurando in successione i dislivelli manometrici ed applicando la legge di Stevin,

giungeremo alla seguente serie di risultati:

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


526

12V1,1V h p

2h

2p

13V2,1V h p

3h

3p

14V3,1V h p

4h

4p

15V4,1V h p

5h

5p

16V5,1V h p

6h

6p


Ad ogni variazione del volume iniziale corrisponde una relativa variazione della pressione iniziale.

Ad una diminuzione di volume corrisponde un aumento di pressione e viceversa.

Comunque il prodotto del volume per la relativa pressione continua a mantenersi costantemente

uguale al prodotto del volume iniziale per la pressione iniziale a condizione che resti costante la

temperatura.

Questa relazione di corrispondenza costituisce la legge di Boyle-Mariotte relativamente ad una

trasformazione isoterma.

Calcoli:

E’ sempre utilizzata la legge di Stevin:

iHghp

Per la prima parte dell’esperienza con riduzione del volume iniziale i relativi valori della

pressione saranno calcolati:

21

m

N300.101p

1V Volume iniziale a lettura diretta sul tubo graduato 3

m

12

2Hg2

V9,0V

h300.101p

12

3Hg3

V8,0V

h300.101p

12

4Hg3

V7,0V

h300.101p

Per la seconda parte dell’esperienza con aumento del volume iniziale i relativi valori della

pressione saranno calcolati:

11

1

VV

Pa300.101p

12

2HgHg2

V1,1V

h)h300.101(p

13

3Hg

*

Hg3

V2,1V

h)h300.101(p

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


527

14

4Hg

**

Hg4

V3,1V

h)h300.101(p

La conclusione dell’esperienza è la verifica della costanza del prodotto Vp .

Occorrerà quindi procedere moltiplicando i valori della pressione calcolata e del relativo volume

rilevato.

Per tutte e due le parti dell’esperienza il risultato delle moltiplicazione dovrebbe essere

approssimativamente uguale:

KVp.......VpVp.......VpVp*

n

*

n

*

2

*

2

*

1

*

12211

Ove con l’asterisco sono indicati i risultati della seconda parte dell’esperienza.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


528

ESPERIENZA N. 29

LA LIQUEFAZIONE DEI GAS

EFFETTO JOULE-THOMSON

MACCHINA DI LINDE – MACCHINA DI CLAUDE

CICLO DI LINDE/HAMPSON

CICLO CLAUDE

SCOPO:

Illustrare il ciclo di funzionamento in base al quale, operando trasformazioni di stato

termodinamico, si ottiene la liquefazione dell’aria.

Lo stesso processo è utilizzato anche per separare, sempre allo stato liquido, i gas che compongono

l’aria e, nello stesso tempo, per ottenere capacità termiche criogeniche, cioè a bassissima

temperatura.

E’ da ritenersi come temperatura limite tra il raffreddamento e la criogenia, il valore approssimativo

di – 150 °C, corrispondente ad una temperatura assoluta di circa 123 K.

I valori delle temperature di liquefazione di alcuni gas, tra i quali anche i componenti dell’aria, sono

orientativamente:

Xeno K1,166

Kripto K3,120

Metano K7,111

Ossigeno K2,90

Argo K5,87

Fluoro K1,85

Azoto K5,77

Neo K6,27

Idrogeno K2,20

Elio K3,4

Essendo ideati per la liquefazione dell’aria ed essendo variabile la temperatura di liquefazione dei

vari componenti, il ciclo Linde e quello di Claude sono anche impiegati per la separazione dei gas

contenuti nella miscela.


Le leggi della termodinamica e le leggi relative alle trasformazioni di stato dei gas, con particolare

riguardo alla trasformazione adiabatica senza scambio di calore ma con scambio di lavoro esterno e

alla trasformazione adiabatica senza scambio di lavoro esterno,ad entalpia costante.

Quest’ultima trasformazione è regolata dall’effetto Joule-W.Thomson (Lord Kelvin) in cui la

temperatura di un gas reale, in certe condizioni, diminuisce durante una fase d’espansione dalla

quale non è estratto lavoro.

Quando un gas reale (contrariamente a quanto avviene per un gas perfetto) si espande liberamente

ad entalpia costante, la temperatura aumenta o diminuisce a seconda delle condizioni iniziali di

pressione e temperatura.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


529

Se l’espansione avviene ad una certa pressione e ad una temperatura superiore alla temperatura

d’inversione Joule-Thomson, allora il gas si riscalda, mentre, se la temperatura è minore di quella

d’inversione il gas si raffredda ulteriormente.

Per la maggior parte dei gas a pressione atmosferica la temperatura d’inversione è abbastanza

elevati quindi essi si raffreddano per effetto dell’espansione ad entalpia costante.

L’effetto Joule-Thomson è sfruttato quindi per ridurre ulteriormente le temperature del gas reale.

Il meccanismo fisico che è causa della variazione di temperatura è sinteticamente il seguente:

L’energia interna posseduta da un gas è la somma dell’energia potenziale e dell’energia cinetica

delle molecole in esso contenute.

Per un gas ideale si pensato di ritenere nulla l’energia potenziale in virtù del fatto che, essendo

rarefatto, le distanze molecolari sono enormemente grandi. Di conseguenza l’energia interna per un

gas ideale è in pratica quantificata dall’energia cinetica dalla quale dipende la temperatura del gas

stesso.

Questo non succede nel caso di gas reali per i quali non si può ritenere nulla l’energia potenziale.

Durante l’espansione di un gas reale si ha solitamente un notevole aumento di volume con un

conseguente aumento delle distanze molecolari che comporta l’immediato aumento dell’energia

potenziale, mentre l’energia interna non cambia.

Ciò significa che deve diminuire l’energia cinetica allo scopo di mantenere inalterata l’energia

interna.

Ma la diminuzione d’energia cinetica provoca un immediato calo di temperatura e il conseguente

raffreddamento.

FUNZIONAMENTO:

Il compressore aspira aria secca e depurata alla pressione atmosferica e temperatura ambiente e

provvede all’aumento della pressione sino a circa 200 atm.

L’aria subisce quindi una forte compressione adiabatica con fornitura di lavoro esterno, alla fine

della quale è riscaldata e portata alla pressione di circa 200 atmosfere.

Al termine della compressione l’aria defluisce in uno scambiatore di calore (condensatore o

refrigeratore) ove subisce un processo isobaro di raffreddamento nel quale il liquido refrigerante è

acqua.

L’aria in uscita è ancora alla pressione di circa 200 atmosfere, ma la temperatura è notevolmente

più bassa rispetto a quella d’uscita dal compressore.

Nel successivo passaggio attraverso un secondo scambiatore in controcorrente (sottoraffreddatore)

si provvede a mantenere inalterata la pressione e a ridurre ancora la temperatura.

Il fluido refrigerante è la stessa aria proveniente dal cambiamento di stato successivo.

Il passaggio successivo è l’espansione adiabatica ad entalpia costante che l’aria subisce nel

passaggio attraverso la valvola di laminazione (riduttore di pressione).

L’aria, già fredda, è fatta espandere nel serbatoio di raccolta e separazione (serbatoio di

liquefazione) in modo violento ed irreversibile dalla pressione di 200 atmosfere alla pressione finale

di circa 1 atmosfera.

La brusca espansione non produce lavoro esterno ma è causa di una notevole riduzione della

temperatura (effetto Joule-Thomson) causata dall’improvvisa perdita d’energia cinetica e da un

conseguente aumento dell’energia potenziale.

L’energia interna rimane inalterata, ma l’abbassamento di temperatura, dopo alcuni cicli, provoca la

liquefazione frazionata dei componenti gassosi dell’aria che si raccolgono nel serbatoio fortemente

isolato contro le perdite di calore.

La parte di aria rimanente, a temperatura molto bassa, è quindi inviata al sottoraffreddatore

provvedendo così al raffreddamento dell’aria in arrivo dal condensatore, e reimmessa nel ciclo

produttivo miscelandosi all’aspirazione del compressore.

APPUNTI DI FISICA

TERMODINAMICA


530

C O N D E N S A T O R E

(R E F R IG E R A T O R E IS O B A R O A D A C Q U A )

In g re s s o a c q u a f re d d a

U s c ita a c q u a c a ld a

C O M P R E S S O R E

V A L V O L A L A M IN A Z IO N E

(R ID U T T O R E D I P R E S S IO N E )

2 0 0 a tm

1 a tm

G A S F R E D D O

G A S L IQ U ID O

R A C C O L T A G A S L IQ U E F A T T O

S E R B A T O IO IS O L A T O T E R M IC .

S O T T O R A F F R E D D A T O R E

C O N T R O C O R R E N T E

(R A F F R . A G A S )

(A L T A P R E S S IO N E )

E N T R A T A G A S S U R R IS C A L D A T O

(A L T A P R E S S IO N E )

U S C IT A G A S F R E D D O

(B . P R E S S )E S P A N S IO N E IR R E V E R S IB IL E

(E F F E T T O J O U L E -T H O M S O N )

R A F F R E D D A M E N T O L IQ U E F .

G A S F R E D D O

G A S R IS C A L D .

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