le leggi dei gas perfetti
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Le leggi dei gas perfetti
La legge dei gas perfetti (in versi)
Se in un gas è grande la confusione
la situazione è davvero eccellente:
tra le molecole nessuna interazione
a meno che si urtino elasticamente.
È un gas proprio ideale, un’astrazione,
in cui il prodotto tra volume e pressione
è uguale alla temperatura assoluta
per i fattori n e k di entità conosciuta.
I gas perfetti
• I gas perfetti, detti anche ideali, sono gas piuttosto rarefatti e lontani dal loro punto di liquefazione.
• Per lo studio dei gas perfetti si introduce il ‘’ modello cinetico dei gas ‘’, caratterizzato da un certo numero di ipotesi, si suppone che
• vi siano un enorme numero di particelle indistinguibili;
• Il volume delle singole particelle è trascurabile rispetto al recipiente;
• Ogni direzione è ugualmente probabile;
• Ogni particella si muove di moto rettilineo uniforme;
• Gli urti sono elastici, quindi si conserva la quantità di moto e l’energia cinetica.
Le trasformazioni di un gas
• Lo stato fisico di un gas può essere descritto da quattro grandezze:
• Dalla sua massa, che possiamo misurare con una bilancia digitale;
• Dal suo volume , che calcoliamo in modo indiretto conoscendo la superficie di base del recipiente che lo contiene e l’altezza h a cui si trova il pistone;
• Dalla sua temperatura, che misuriamo con un termometro;
• Dalla sua pressione, che possiamo misurare con un manometro.
• Supponendo di non far mai variare la massa del gas, possiamo far variare le altre grandezze. Ad esempio, mantenendo costante la temperatura, posso far variare la pressione aggiungendo del peso sul pistone, in questo modo il gas ha subito una trasformazione isoterma, se invece pongo il recipiente su una sorgente di calore e non aggiungo né tolgo pesi dal pistone, diremo che il gas ha subito una trasformazione isobara, se invece, continuando ad avere il recipiente contenente il gas sulla sorgente di calore e aggiungiamo pesi sul pistone, man mano che esso tende ad espandersi, in modo da tenere il volume costante, diremo che esso subisce una trasformazione isocora.
La legge di BoyleLegge di Boyle-Mariotte
Rappresentazione isoterma della legge di Boyle
La legge di Boyle e Mariotte afferma che in condizioni di temperatura costante la pressione di un gas
perfetto è inversamente proporzionale al suo volume, ovvero che il prodotto della pressione del gas per il
volume da esso occupato è costante:
oppure
Tale costante è funzione (crescente) della temperatura assoluta, della natura del gas e del numero di moli.
La legge può essere scritta anche con la seguente notazione più completa:
nella quale viene indicato che la legge vale a temperatura costante, ovvero che la costante varia con la
temperatura.
Cenni storici
La legge di Boyle-Mariotte fu enunciata per la prima volta da Robert Boyle (1627-1691) che nel 1662
pubblicò "A Defence of the Doctrine Touching the Spring And Weight of the Air". Questa legge venne
riformulata in modo più preciso da Edme Mariotte (1620-1684) nel 1676, che confermando i dati di Boyle
specificò che la legge vale soltanto se la temperatura del gas è costante.
Al gas, che spontaneamente tende ad espandersi, viene applicata una forza peso che lo mantiene
compresso.
Il grafico qui sotto riporta i dati dell'esperimento originale di Boyle;[3] sull'asse delle x è riportato il volume
espresso nelle unità del tempo in pollici cubi, mentre l'asse delle y riporta l'altezza della colonna di
mercurio in pollici, che per la legge di Stevin è proporzionale alla pressione a cui è sottoposto il gas. In
questi dati il prodotto della pressione per il volume è effettivamente costante con un errore percentuale
dell'1,4%.
Prima legge di Gay-Lussac
La prima legge di Gay-Lussac, nota all'estero come legge di Charles e chiamata anche legge di
Volta Gay-Lussac, afferma che in una trasformazione isobarica, ovvero in condizioni di pressione
costante, il volume di un gas ideale è direttamente proporzionale alla temperatura.
La legge prende in lingua italiana il nome dal chimico-fisico francese Joseph Louis Gay-Lussac,
che la formulò nel 1802. Il nome di legge di Charles deriva invece da Charles che scoprì la legge
una quindicina d'anni prima, senza tuttavia pubblicare i risultati delle sue ricerche. Nel 1791 il fisico
italiano Alessandro Volta compì analoghe ricerche sulla dilatazione dei gas anticipando
nuovamente i risultati di Gay-Lussac. Per questo la legge sull'espansione dei gas ideali è anche detta
legge di Volta Gay-Lussac.
Formulazione matematica e conseguenze fisiche
Rappresentazione grafica della Legge di Volta Gay-Lussac
Indicando con V0 e con V(T) le densità alle temperature assolute rispettivamente T0 e T, la legge è
espressa matematicamente dalla relazione:[1]
Se si utilizza una scala assoluta di temperatura (per esempio la scala kelvin o la scala rankine),
allora la prima legge di Gay Lussac prende la forma più semplice
Il parametro α è detto coefficiente di dilatazione termica ha le dimensioni dell'inverso della
temperatura perché il prodotto α T deve essere adimensionale. Un gas quindi va incontro a una
rarefazione[2]
quando si scalda e a un addensamento quando si raffredda.
La seconda legge di Gay-Lussac o seconda legge di Volta e Gay-Lussac è una legge costitutiva
che descrive come, in una trasformazione isocora in condizioni di volume costante, la pressione di
un gas sia direttamente proporzionale alla sua temperatura.
Questa legge prende il nome dal chimico-fisico francese Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850),
che la formulò nel 1802.
Formulazione matematica e conseguenze fisiche
Indicando con P0 la pressione di un gas alla temperatura di 0 °C e con P(T) la pressione ad una
temperatura T>0, questa legge è espressa matematicamente dalla relazione:[1]
con t in °C.
Rappresentazione grafica che alfa è sempre uguale per qualsiasi trasformazione, sia isocora che
isobara
Il parametro α è detto coefficiente di espansione dei gas e vale per tutti i gas circa 3.663 × 10-3
°C -1
,
pari a circa 1/273 °C -1
. (Le dimensioni di α sono °C -1
perché il prodotto α t deve essere
adimensionale).
α rappresenta quindi l'aumento relativo di pressione subito dal gas quando la sua temperatura
aumenta di 1 °C. Ad esempio, se la temperatura del gas aumenta da 0 a 100 °C, la pressione del gas
a 100 °C è P(100) = P0(1+0.3663) =1.3663 P0; la pressione del gas aumenta cioè del 36% circa.
Se la temperatura viene ridotta a valori inferiori a 0 °C, allora la pressione P(t) viene
proporzionalmente ridotta; l'equazione prevede che essa si annulli in corrispondenza di una
temperatura t=-1/α= -273.15 °C. Tale temperatura è detta zero assoluto. In realtà la maggior parte
dei gas si liquefa prima di giungere a tale temperatura: l'azoto a -196 °C, l'idrogeno a -253 °C.
La seconda legge di Gay-lussac
L'elio tuttavia liquefa solo a -269 °C e segue la legge di Gay-Lussac più o meno fino a quella
temperatura. Se si utilizza la scala assoluta di temperatura (scala kelvin), allora la seconda legge di
Gay Lussac prende la forma più semplice:
con T in K.
La seconda legge di Gay-Lussac è sperimentalmente verificata per pressioni non troppo elevate e
per temperature non troppo prossime alla temperatura di liquefazione del gas, ovvero quando il gas
si comporta come un gas ideale. In tal senso, essa è una "legge limite", essendo rigorosamente vera
solo per condizioni che si avvicinano alla condizione limite di gas ideale (al quale si avvicinano tutti
i gas per pressione molte basse e temperature molto alte).
Per un gas ideale il coefficiente di dilatazione a 0 °C vale circa 3,663 · 10−3
K−1
, pari a circa 1/273
K−1
. Questo valore è sempre utile come riferimento: ad esempio se un gas di comportamento ignoto
viene raffreddato da 100 a 0 °C, in assenza di altre informazioni per avere un'idea dell'entità della
trasformazione l'approssimazione più semplice e opportuna è quella di considerarlo un gas ideale,
per cui si potrebbe prevedere che la densità arrivi a ρ(0) = ρ100(1 + 0,3663) = 1,3663 ρ100; cioè che il
gas si addensi circa del 37%. In presenza di altre informazioni naturalmente il modello può essere
complicato e ci si può avvicinare ulteriormente al comportamento reale, ma il dato di gas ideale
costituisce comunque un riferimento da cui il comportamento reale si discosterà tanto meno quanto
più basso è il salto di temperatura. L'equazione lineare della dilatazione termica prevede per un gas
ideale con di una densità infinita in corrispondenza di una temperatura T=-1/α0= −273,15 °C, detta
zero assoluto. La maggior parte dei gas reali però si liquefa prima di giungere a tale temperatura:
l'azoto a −196 °C, l'idrogeno a −253 °C. L'elio tuttavia liquefa solo a −269 °C e segue la legge di
Gay-Lussac più o meno fino a quella temperatura.
La prima legge di Gay Lussac è sperimentalmente verificata per pressioni non troppo elevate e per
temperature non troppo prossime a quella di liquefazione del gas, ovvero quando il gas si comporta
come un gas ideale. In tal senso, essa è una "legge limite", essendo vera solo per condizioni che si
avvicinano alla condizione (limite) di gas ideale (al quale si avvicinano tutti i gas per pressioni
molto basse e temperature molto alte).
Equazione di stato dei gas perfetti
• Le leggi di Boyle e di Gay-Lussac possono essere sintetizzate in una nuova legge, nota come equazione di stato dei gas perfetti, che mette in relazione la pressione, la temperatura e il volume di un gas.
• Supponiamo di avere una mole di gas alla pressione Po = 1 atm = 1,013∙105
Pa e alla temperatura T0= 273,15 °K = 0°C , a queste condizioni conosciamo anche il volume V0 = 22,4 l = 0,0224 m3.
• Eseguiamo sul gas una trasformazione isobara e portiamo la temperatura del gas ad un valore t ( espresso in gradi centigradi), per la prima legge di Gay-Lussac, avremo V1 = V0 ( 1 +α t).
• Eseguiamo, poi, una seconda trasformazione a temperatura costante, portando il gas ad una pressione P e in modo che occupi un volume V. Per la legge di Boyle, avremo P V = P0 V1 = P0 V0 ( 1 + α t).
• Il fattore ( 1 + α t ) = T α = T / T0, quando la temperatura è espressa in gradi Kelvin
Avremo, quindi P V = P0 V0 T /To ma P0 V0 /α è un rapporto di valori noti ed assume il valore 8,316 J / K mol, che indicheremo con R, per cui si avrà:
P V = R T.Ricordando che a pressione e temperatura fissati, il volume occupato da ungas è direttamente proporzionale al numero di particelle che lo compongono,cioè al numero n di moli , si avrà per n moli di gas, la seguente equazione:
P V = n R Tnota come equazione di stato dei gas perfetti.
