legge_poiseuille
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lo studio della fisiologia cardiacaTRANSCRIPT
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LEGGE di POISEUILLE
modello matematico per il flusso sanguigno
Lucia Pusillo
Dipartimento di Matematica dell Universita` di Genova,via Dodecaneso 35, 16146 Genova
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La legge di Poiseuille e` usata per descrivere un flusso di sangue
in un vaso sanguigno. Consideriamo un modello semplificato con le
seguenti ipotesi:
1) una porzione di arteria o di vena e` un cilindro perfetto di lunghezza
l e con sezione trasversale circolare di raggio R.
2) Il sangue scorre allinterno del vaso spinto da una differenza di
pressione P
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3) Come qualsiasi liquido, il sangue produce un attrito: la viscosita`,
che si oppone allo scorrimento, la indicheremo con e si misura in
poise = cm1gs1 (in onore di Poiseuille).
In questo modello si suppone la viscosita` e la densita` del sangue
costanti allinterno dellarteria o della vena.
Le pareti del vaso sanguigno esercitano una naturale pressione sul
fluido. In particolare la velocita` del sangue e` nulla vicino alle pareti,
mentre raggiunge il massimo al centro, lungo lasse del cilindro.
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4) La velocita` del fluido e` ovunque sufficientemente bassa, in modo
da mantenere il cosidetto flusso laminare, in cui tutte le particelle
si muovono nella stessa direzione, parallelamente allasse, con una
velocita` che diminuisce gradualmente, o in modo regolare, dal centro
verso le pareti della vena.
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Se e` violata lultima ipotesi, cioe` se la velocita` supera un certo valorecritico che dipende dalla viscosita` e dalle altre variabili del problema,il flusso diventa turbolento e il presente modello non vale piu`.Sotto queste ipotesi, Poiseuille provo` sperimentalmente la validita`della seguente relazione quadratica tra la velocita` v di una particelladi fluido e la distanza r dallasse del cilindro:
v(r) =P
4l(R2 r2).
dove r e la variabile indipendente, v e` la variabile dipendente,R, l,P
sono le costanti del modello.
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La funzione quadratica v(r) ha come dominio lintervallo [0, R] e come
immagine lintervallo [0, vmax] con vmax =P.R2
4gl . Che funzione rap-
presenta v?
Descrive bene il modello? cioe` descrive il fatto che la velocita` e` mas-
sima al centro del vaso sanguigno (r = 0) mentre la velocita` e` minima
e uguale a 0 lungo le pareti della vena?
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Studiamo ora un caso realistico: il flusso sanguigno allinterno di unavena di lunghezza l = 1cm. Supponiamo inoltre che R = 2mme P = 90dinecm2. Per quanto riguarda la viscosita`, il sanguearterioso ha una alta concentrazione di ossigeno O2 combinato conlemoglobina e, per questo, a una viscosita molto piu bassa del sanguevenoso, possiamo allora supporre = 0, 03. Lequazione data diventaallora:
v(r) =90
4 0.03 1(4.102 r2) = 30 750r2
Se r = 0.1 dal centro, il sangue scorre con velocita` v(r) = 22.5cms1
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Domande:
quale velocita` ha il sangue al centro dellarteria?
a quale distanza dal centro la velocita ha un valore di 5.7cms1.
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