Lekpezsek tulajdonsgai

1. Feladat. Milyen tulajdonsgai vannak az albbi lekpezsnek?

f : R R+ {0} , xf = x2

Megolds:

1. Injektivits

Tegyk fel, hogy x1f = x2f valamilyen x1, x2 R elemekre. Cl: x1 = x2.x1f = x2f

x21 = x22

|x1| = |x2|x1 = x2 vagy x1 = x2Mivel a msodik esetben nem teljesl, hogy x1 = x2, gy a lekpezs nem injektv. Msszval tudunk tallni ellenpldt, erre plda az, hogy 5f = (5)f, de 5 6= 5.2. Szrjektivits

Rgztsnk egy tetszleges y R+ {0} elemet, s keressnk hozz egy olyan x Relemet, melyre xf = y teljesl. Azaz oldjuk meg x-re az xf = y egyenletet.

xf = y

x2 = y

|x| = yx =y vagy x = yMivel a gykjel alatti kifejezs mindig rtelmezve van, gy brmely y R+ {0} esetna keresett x R-nek j lesz a y vlaszts. Teht minden elemnek tallok st, azaz alekpezs szrjektv.

3. Bijektivits

Nem injektv, gy nem is bijektv.

2. Feladat. Milyen tulajdonsgai vannak az albbi lekpezsnek?

f2 : R+ {0} R+ {0} , xf2 = x2

Megolds:

1. Injektivits

Tegyk fel, hogy x1f2 = x2f2 valamilyen x1x2 R+ {0} elemekre. Cl: x1 = x2.x1f2 = x2f2

x21 = x22

x1 = x2

Most azrt hagyhattam el az abszoltrtket, mert az x1 s az x2 nemnegatv szmokvoltak. Kijtt, amit szerettnk volna, teht a lekpezs injektv.

1

2. Szrjektivits

Rgztsnk egy tetszleges y R+{0} elemet, s keressnk hozz egy olyan x R+{0}elemet, melyre xf2 = y teljesl. Azaz oldjuk meg x-re az xf2 = y egyenletet.

xf2 = y

x2 = y

x =y

Mivel a gykjel alatti kifejezs mindig rtelmezve van, gy brmely y R+ {0} esetn akeresett x R+ {0}-nek j lesz a y vlaszts. Teht minden elemnek tallok st, azaza lekpezs szrjektv.

3. Bijektivits

A lekpezs bijektv, mivel injektv s szrjektv.

3. Feladat. Milyen tulajdonsgai vannak az albbi lekpezsnek?

f3 : R+ {0} R, xf3 = x2

Megolds:

1. Injektivits

Tegyk fel, hogy x1f3 = x2f3 valamilyen x1, x2 R+ {0} elemekre. Cl: x1 = x2.

x1f3 = x2f3

x21 = x22

x1 = x2

Most is azrt hagyhattam el az abszoltrtket, mert az x1 s az x2 nemnegatv szmokvoltak. Kijtt, amit szerettnk volna, teht a lekpezs injektv.

2. Szrjektivits

Rgztsnk egy tetszleges y R elemet, s keressnk hozz egy olyan x R+ {0}elemet, melyre xf3 = y teljesl. Azaz oldjuk meg x-re az xf3 = y egyenletet.

xf3 = y

x2 = y

x =y

Azonban most ellentmondsra jutottam, mivel n az y-t tetszleges vals szmnak vlasz-hatom, de akrmilyen vals szmbl nem tudok ngyzetgykt vonni. gy pldul negatv

y-ok esetn soha nem tallok st. Teht a lekpezs nem szrjektv.3. Bijektivits

A lekpezs nem bijektv, mivel nem szrjektv.

A fenti hrom pldval arra akartam rvilgtani, hogy fontos a

lekpezsnek kiindulsi s az rkezsi halmaza is!

2

4. Feladat. Milyen tulajdonsgai vannak az albbi lekpezsnek?

g : Z2 Z, (x, y) 7 xyMegolds:

1. Injektivits:

Tegyk fel, hogy x1g = x2g valamilyen x1, x2 Z2 elemekre. Cl: x1 = x2. Mivel akiindulsi halmaz a Z2, gy most specilisan x1 = (a, b) s x = (c, d), ahol a, b, c sd egsz szmok, s azt kell ellenrizni, hogy (a, b) = (c, d) teljesl-e. Nyilvn knnyentallunk ellenpldt, pldul (2, 3)g = (1, 6)g, de (2, 3) 6= (1, 6). Teht a lekpezs neminjektv.

2. Szrjektivits:

Rgztsnk egy tetszleges y Z elemet, s keressnk hozz egy olyan x = (a, b) Z2elemet, melyre xg = y teljesl. Azaz oldjuk meg x-re az xg = y egyenletet.

xg = y

ab = y

Mivel y egsz szm, gy az x = (a, b) = (1, y) neknk megfelel vlaszts, ugyanis (1, y)g =y teljesl brmely y Z esetn.3. Mivel a lekpezs nem injektv, ezrt nem is bijektv.

5. Feladat. Milyen tulajdonsgai vannak az albbi lekpezsnek?

h : N N, n 7 n pozitv osztinak szmaMegolds:

1. Injektivits:

Kplettel dolgozni most nem nagyon lehet, de knnyen tallunk olyan ellenpldt, ami

meglvi a lekpezs injektv voltt. Pldul minden prmszm kpe a 2-es, azaz klnbzrtkek mellett ugyanazt az rtket veszi fel a lekpezs, ami pont azt jelenti, hogy nem

injektv.

2. Szrjektivits:

A krds most az, hogy brhogy rgztnk egy tetszleges m N termszetes szmot,tudok-e olyan n termszetes szmot megadni, melynek pontosan m darab pozitv osztjavan. A vlasz az, hogy igen. Ha m = 1, akkor n = 1. Ha m > 1, akkor n = 2m1 jvlaszts. Ez nem trivilis, de azrt egy kis gondolkodssal r lehet jnni.

3. Mivel a lekpezs nem injektv, ezrt nem is bijektv.

6. Feladat. Milyen tulajdonsgai vannak az albbi lekpezsnek?

k : Z Z2, xk = (x+ 1, 1)Megolds:

1. Injektivits:

Tegyk fel, hogy x1k = x2k valamilyen x1, x2 Z elemekre. Cl: x1 = x2.x1k = x2k

(x1 + 1, 1) = (x2 + 1, 1)

x1 + 1 = x2 + 1 s 1 = 1

x1 = x2 s 1 = 1

Azt kaptam, hogy x1k = x2k esetn az x1 = x2 mindig teljesl, teht injektv a lekpezs.

3

2. Szrjektivits:

Azt kell beltni, hogy brmely y = (a, b) Z2 elemhez ltezik olyan x egsz szm, melyrexk = (a, b) teljesl. Ha b 6= 1, akkor ilyen x-et biztos nem tallok, mivel x-tl fggetlenl ak(x) msodik komponense mindig 1. gy pldul az (1, 2)-nek nincs se, teht a lekpezsnem szrjektv.

3. Mivel a lekpezs nem szrjektv, ezrt nem is bijektv.

7. Feladat. Milyen tulajdonsgai vannak az albbi lekpezsnek?

l : R \ {0} R \ {0} , xl = 15x

Megolds:

1. Injektivits:

Tegyk fel, hogy x1l = x2l valamilyen x1, x2 R \ {0} elemekre. Cl: x1 = x2.

x1l = x2l1

5x1=

1

5x25x1 = 5x2

x1 = x2

Azt kaptam, hogy x1k = x2k esetn az x1 = x2 mindig teljesl, teht injektv a lekpezs.2. Szrjektivits:

Azt kell beltni, hogy brmely y R \ {0} elemhez ltezik olyan x nemnulla vals szm,melyre xl = y teljesl. Teht az xl = y egyenletben fejezzk ki x-et y fggvnyeknt.

xl = y1

5x= y

1

y= 5x

1

5y= x

Minden NEMNULLA y esetn tallok egy olyan x-et melyre xl = y. Teht a lekpezsszrjektv.

3. Mivel a lekpezs injektv s szrjektv is, ezrt bijektv.

4