liber mesuesi matematika 8.pdf

8/18/2019 liber mesuesi matematika 8.pdf

1/184

LIBËR PËR MËSUESINMATEMATIKA 8

BOTIME

Edmond LULJANeritan BABAMUSTA


2/184

BOTIME

Të gjitha të drejtat janë të rezervuara © Pegi 2012

Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese“Pegi” sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër

qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi.

Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 [email protected] i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73

Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 [email protected]


3/184

I. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI 5I. 1. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve 7I. 2. Tri nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorivekryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) 8I. 3. Ndarja e lëndës në njësi mësimore 9I. 4. Objektivat sipas krerëve në tre nivele

II. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE 31

II.1. Matematika si lëndë shkollore 31

II.2. Qëllimi, synimet dhe objektivat e përgjithshme të kurrikulit aktualtë matematikës në arsimin e detyruar 32

II.3. Rubrikat e programeve të matematikës 34

II.4. Programi i matematikës së klasës së tetë 38II.5. Parimet e përgjithshme të mësimdhënies së matematikës 50

II.6. Metodat e mësimdhënies 59II. 7. Plani kimi i mësimit 63

II. 8. Mbi vlerësimin formues në matematikë në klasën 8 69II.9. Mbi organizimin e punës në klasë 73

II.10. Problemat në matematikë 75

PËRMBAJTJA


4/184

II. 11. Testet e arritjeve të nxënësve për kapituj të veçantë në lëndëne matematikës 86

II.12. Qëndrimi ndaj matematikës 94

III. UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E MËSIMEVE 98

IV. HORIZONTI I MËSUESIT 168

II.12. Metodika e trajtimit të koncepteve matematike 168


5/184

5MATEMATIKA 8

I. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI

Përpara se të plani kojë punën vjetore në lëndën Matematika 8 është e domosdoshmeqë secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse . Në këtë plani kim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime.

Së pari, programet e matematikës duke lluar nga klasa e parë llore janë tanimë tëuni kuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për tëgjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti

që ju keni përzgjedhur i autorëve Edmond Lulja, Neritan Babamusta është i ndarë në 15kapituj. Në të, e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre është realizuarme synimine konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një ngakërkesat themelore të programeve të matematikës.

Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të tëgjitha teoremave apo pohimeve.Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema apo fjali, ndërsa disa

të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës vetë mësuesi duhet të vendosëse cilat teorema të vërtetojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë nëasnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet!

Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtëkuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend apo përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, dukee shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, llimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet

zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt.

Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë speci ka e saj ka një avantazh në krahasimme lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, kunxënësi “zbulon”në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë.Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemeve, llimisht

si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrëtë veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e tëgjithë nxënësve në mësim.Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime.


6/184

LIBËR PËR MËSUESIN6

Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimii saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që mëe rëndësishme nuk është numri i problemeve të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme tëzgjidhjes së tyre. Parimi i njohur “më mirë të zgjidhet një problem në tri mënyra se sa tëzgjidhen tri probleme të ndryshëm”tashmë e ka tuar të drejtën e qytetarisë në shkolla.

Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivate programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në niveletë ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnëobjektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të plani kojnë detyra të niveleve tëndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim.

Së gjashti, për të lehtësuar plani kimin vjetor të mësuesit, materiali i ri në tekst është indarë pikërisht në 120 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët sipas linjave).Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje tëUdhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për “Lirinë emësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor”, ka të drejtë ta zhvillojënjë kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore,kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuartotalin e orëve mësimore që programi për cakton për lëndën.

Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesiështë i lirë të plani kojë apo realizojë vetëm disa prej tyre apo edhe të tjerë.Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e plani kuar për një testim në varësi të mundësive konkreteedhe mund edhe të zgjatet.

Së teti, objektivat e linjave i përmban programi.Për të lehtësuar plani kimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipaskrerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelinmë të ulët.

Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithënxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinëqë ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përku zojnë konceptet, rregullatdhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme;riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimidhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim tëmëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin.

Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, dukekombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësishtmaterialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identi kojnë problemet, duke bërë


7/184

7MATEMATIKA 8

dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorinnjohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse.E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetëkonkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhetë bashkëveprimit.

Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to.Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnërrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet ngakëndvështrime të ndryshme.

I.1. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve

Komponenti Përshkrimi i komponentit Niveli I-rë iarritjeve

Niveli i II-të iarritjeve

Niveli i III-të iarritjeve

Njohuritëmatematike

Terminologjia dhesimbolika.Përku zimet e koncepteve.Faktet matematike

(aksioma, teorema, formula,rregulla).Metodat matematike(të zgjidhjes, njehsimit,ndërtimit, vërtetimit).

Zotërim injohurive bazënë shkallënminimale;

zotërim i pjesshëm injohurive,ilustrim me1-2 shembuj

Zotërim solidi njohurive,ilustruar meshembuj të

shumtë.

Zotërimnjohurish tëgjëra, të plota,ilustruar me

shembuj tëlarmishëm ngakontekste tëndryshme.

Aftësitëmatematike

Për identi kim, përshkrim,shpjegim, zbatim, analizë,sintezë, vlerësim, formulimhipoteze, vërtetim.

Shfaqje eku zuar eaftësive.

Shfaqjeaftësish tëzhvilluaranë situata tënjohura.

Shfaqje tëaftësive tëzhvilluara nësituata të reja,në mënyrë të pavarur.

Zotësitë,shkathtësitë,shprehitëmatematike

Për të kryer: Njehsime, matje, ndërtime,skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve tëinformacionit, përdorimtë teknologjisë, leximtë modeleve numerikee hapësinore, krijim të

modeleve numerikë dhehapësinorë.

Shfaqje tëku zuara.

Shfaqje solide. Shfaqje tëavancuara.


8/184


Qëndrimet dhevlerat

Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim edhënie ndihme, veri kim,respektim i mendimittë të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale,vëmendje, demonstrimvullneti, respektim irregullave, përmbushje edetyrave.

Tentativa përtë mbajturqëndrimetë caktuara;zotërimminimal ivlerave.

Arritje përtë mbajturqëndrimetë caktuara;zotërimi vleravekryesore.

Mbajtjeqëndrimesh të pavarura; marrjae përgjegjësivembi vete;zotërim i tërësisësë vlerave.

I. 2. Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre

kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore,komunikimi matematik)

Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit;

- me anën e një numri të ku zuar metodash;- me gabime ose me mangësi të shumta.

Nxënësi përdor arsyetime matematike:- me ndihmën e mësuesit- që janë nga më të thjeshtat- me gabime ose mangësi

Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- me ndihmën e mësuesit;- me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë;- duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshmematematike.

Niveli IINxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të ku zuar të mësuesit;

- me anën e një numri jo të madh strategjish bazale;- me gabime ose me mangësi të pjesshme.

Nxënësi përdor arsyetime matematike:- me një ndihmë të ku zuar të mësuesit;- të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve;- me disa gabime ose mangësi të vogla.

Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- në mënyrë të pavarur;- me një farë qartësie e saktësie në terminologji;- duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshmematematike.


9/184

9MATEMATIKA 8

Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur;

- duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë tëreja për të;- zakonisht me saktësi.

Nxënësi përdor arsyetime matematike:- në mënyrë të pavarur;- të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje dukeshpjeguar zgjidhjen që jep vetë.

Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- në mënyrë të pavarur;- qartë dhe saktë;- duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike.

I.3 Ndarja e lëndës në njësi mësimore

Kreu I. Thyesat dhe numrat dhjetorë1.1.Thyesat dhe numrat dhjetorë.1.2. Numra dhjetorë periodikë.1.3. Përqindja.1.4. Ushtrime.1.5. Interesi bankar.

Kreu II. Bashkësitë2.1. Kuptimi i bashkësisë.2.2. Bashkësia dhe ndryshorja.2.3. Prerja e bashkësive.2.4. Bashkimi i bashkësive.2.5. Bashkësitë numerike.2.6. Boshti numerik.2.7. Ushtrime.Test për krerët I dhe II.

Kreu III. Hyrje në gjeometri3.1. Pika, drejtëza, segmenti.3.2. Gjysmëdrejtëza, gjysmëplani, këndi.3.3. Kongruenca e segmenteve dhe e këndeve.3.4. Matja e segmenteve. (Gjatësia e segmentit).3.5. Matja e këndeve. Këndet shtuese.


10/184


3.6. Përku zimi. Aksioma. Teorema.3.7. Kënde të kundërt në kulm. Drejtëza pingule.

Kreu IV. Fuqitë

4.1. Fuqia e numrit.4.2. Fuqia me eksponent zero. Fuqia me eksponent të plotë negativ.4.3. Veprime me fuqitë.4.4. Shkrimi shkencor i numrit.4.5. Ushtrime.4.6. Rrënja katrore.4.7. Makina llogaritëse.4.8. Makina llogaritëse(vazhdim).Test për kreun IV

Kreu V. Kongruenca e trekëndëshave5.1. Rasti I i kongruencës së trekëndëshave.5.2. Veti të trekëndëshit dybrinjënjëshëm.5.3. Rasti II i kongruencës së trekëndëshave.5.4. Teorema e anasjellë.5.5. Rasti III i kongruencës së trekëndëshave.5.6. Ushtrime.Test për kreun V

Kreu VI. Shprehje me ndryshore6.1. Shprehjet numerike.6.2. Shprehja me ndryshore. Programi i saj.6.3. Shprehje identike. Shndërrime identike të shprehjeve.6.4. Shndërrime të thjeshta identike të shprehjeve.6.5. Monomi. Reduktimi i monomeve të ngjashëm.6.6. Polinomi. Shuma dhe ndryshesa e polinomeve.6.7. Shumëzimi i monomit me një polinom. Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët.6.8. Shumëzimi i dy polinomeve.6.9. Faktorizimi me grupim.6.10. Ushtrime.Test për kreun VI

Kreu VII. Njohuri të tjera gjeometrike7.1. Kriteret e paralelizmit të dy drejtëzave.7.2. Veti të drejtëzave paralele.7.3. Shuma e këndeve të trekëndëshit.7.4. Krahasimi i brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit.7.5. Veti të trekëndëshit kënddrejtë.7.6. Kongruenca e trekëndëshave kënddrejtë.


11/184

11MATEMATIKA 8

7.7. Rrethi.7.8. Tangjentja ndaj rrethit. Veti të saj.7.9. Ushtrime.Test për kreun VII

Kreu VIII. Formula të rëndësishme8.1. Katrori i binomit.8.2. Faktorizime me anë të formulës së katrorit të binomit.8.3. Diferenca e katrorëve. Faktorizime.8.4. Shndërrime identike duke përdorur vetitë e thyesave.8.5. Ushtrime për përdorimin e mënyrave të ndryshme të faktorizimit.8.6. Ushtrime.Test për kreun VIII

Kreu IX. Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore9.1. Ekuacione të njëvlershëm me një ndryshore.9.2. Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore.9.3. Ekuacione me ndryshore në emërues.9.4. Problema.9.5. Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore.9.6. Ushtrime.9.7. Veçimi i një shkronje në një formulë.9.8. Inekuacione me një ndryshore. Inekuacione të njëvlershëm.9.9. Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore.Test për kreun IX

Kreu X. Matjet10.1. Gabimet në matjet.10.2. Kuptimi për sipërfaqen. Sipërfaqja e drejtkëndëshit.10.3. Sipërfaqja e trekëndëshit.10.4. Teorema e Pitagorës.10.5. Zbatime.10.6. Gjatësia e harkut të rrethit.10.7.Sipërfaqja e sektorit qarkor.10.8. Ushtrime.Test për kreun X

Kreu XI. Funksioni11.1. Kuptimi i funksionit.11.2. Gra ku i funksionit.11.3. Funksioni linear.11.4. Raste të veçanta të funksionit linear.11.5. Studimi i funksionit linear.11.6. Ushtrime.


12/184


11.7. Funksioni përpjesëtimor i zhdrejtë y= ( 0)a a x

≠ .11.8. Funksioni y= x2.11.9. Funksioni y=ax2.

Kreu XII. Shndërrimet gjeometrike12.1. Koordinatat e pikës në plan.12.2. Ushtrime.12.3. Vektori dhe zhvendosja paralele.12.4. Shuma e vektorëve.12.5. Simetria qendrore.12.6. Simetria boshtore.12.7. Zbatime.12.8. Rrotullimi.12.9. Zgjerimi i gurave.12.10. Ushtrime.

Kreu XIII. Ekuacione dhe sisteme me dy ndryshore13.1. Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore.13.2. Sistemi i dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Zgjidhja gra ke e tij.13.3. Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e zëvendësimit.13.4. Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e mbledhjes.13.5. Ushtrime.13.6. Problema.Test për kreun XIII

Kreu XIV. Gjeometria në hapësirë14.1. Trupat gjeometrikë.14.2. Sipërfaqet e gurave gjeometrike.14.3. Vëllimi i prizmit.14.4. Vëllimi i piramidës.14.5. Vëllimi i cilindrit.14.6. Ushtrime.14.7. Plani dhe drejtëza.14.8. Gjendja e ndërsjellët e dy drejtëzave dhe dy planeve në hapësirë.14.9. Drejtëza pingule me planin.14.10. Ushtrime.Test për kreun XIV

Kreu XV. Statistikë dhe probabilitet15.1. Statistika.15.2. Paraqitja gra ke 1.15.3. Paraqitja gra ke 2.


13/184

13MATEMATIKA 8

15.4. Mesataret.15.5. Ushtrime.15.6. Ushtrime.15.7. Probabiliteti.15.8. Ushtrime.15.9. Probabiliteti statistikor.15.10. Ushtrime.

I.4 Objektivat sipas krerëve në tre nivele

Kreu I: Thyesat dhe numrat dhjetorë

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të shprehin sasi me anë të numrave dhjetorë e thyesave të zakonshme.• Të krahasojnë dy thyesa të thjeshta, duke i kthyer në emërues të përbashkët.• Të krahasojnë një thyesë të thjeshtë me një numër dhjetor.• Nëse është e mundur, të kthejnë thyesat e zakonshme në numra dhjetorë.• Kur thyesa e zakonshme kthehet në numër dhjetor periodik, të tregojnë periodën dhe paraperiodën.• Të shkruajnë një thyesë të zakonshme, të thjeshtë apo numër dhjetor, si përqindje eanasjellas.• Të zbatojnë algoritmet e veprimeve me thyesa të zakonshme, të thjeshta e numradhjetorë.• Të gjejnë përqindjen e një numri të dhënë; të gjejnë numrin, kur njihet përqindja e tij.• Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë me një kllapë, me thyesa apo me numradhjetorë.• Të njehsojnë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehje numerike pa kllapa, me numradhjetorë.• Të zbatojnë njohuritë për thyesat e zakonshme, numrat dhjetorë e përqindjet, përzgjidhjen e problemave të thjeshta me 1-2 veprime, përfshirë edhe problema mbiinteresin bankar.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të kthejnë një numër dhjetor periodik në thyesë të zakonshme.• Të njehsojnë, me makinë llogaritëse vlerën e një shprehje numerike me disa veprime,me 1-2 kllapa me numra dhjetorë.• Të zbatojnë përqindjen në situata praktike.• Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit, në situata të thjeshta.• Të përdorin mënyra të thjeshta për:


14/184


a) parashikimin e rrumbullakosur të përfundimit; b) kontrollin e përfundimit.• Të zbatojnë njohuritë për thyesat, numrat dhjetorë e përqindjet, për zgjidhjen e problemave të thjeshta.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të kryejnë saktë e me lehtësi algoritmet e veprimeve me thyesa e me numra dhjetorë,me disa mënyra, duke dhënë shpjegime të plota.• Të zgjidhin situata të reja me thyesa të zakonshme, numra dhjetorë e përqindje, me tëdhëna të plota, të tepërta apo të mangëta.• Të përdorin trajtat e njëvlershme për kthimin e numrit në situata problemore.• Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit në situata praktike.

Kreu II: Bashkësitë

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nëse, një grumbull objektesh formon bashkësi.• Të tregojnë përkatësinë e elementeve, për një bashkësi të dhënë, duke përdorur simbolet∈; ∉.• Të japin nënbashkësi të një bashkësie të fundme, të dhënë.• Të paraqesin me diagram të Venit, një bashkësi të fundme.• Të japin me emërtim një bashkësi të fundme, dhënë me veti karakteristike.• Të dallojnë nëse dy bashkësi të fundme, dhënë me emërtim janë apo jo të barabarta.• Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive të fundme, dhënë me emërtim.• Të përdorin saktë simbolet N, Z, Q.• Të paraqesin përfshirjet për to me diagram të Venit.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë, në raste të thjeshta, vetinë karakteristike të bashkësive të fundme, dhënë meemërtim.• Të përshkruajnë kuptimin e ndryshores.• Të lexojnë shënime të trajtës { }5/


15/184

15MATEMATIKA 8

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të shkruajnë në trajtën x E x A /{ ∈= gëzon vetinë p(x)}, bashkësi të dhëna me

mënyra të tjera.• Të përdorin kuptimin e marrëdhënieve ndërmjet bashkësive (barazimi, përfshirja, prerja, bashkimi), në situata problemore, praktike apo të simuluara.

Kreu III: Hyrje në gjeometri

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përfytyrojnë gurat si bashkësi pikash.• Të shprehin me fjalë vetitë themelore të drejtëzës.• Të dallojnë radhitjen e tri pikave në drejtëz.• Të përdorin saktë shënimin [AB] për segmentin.• Të dallojnë gjysmëdrejtëza plotësuese në një drejtëz.• Të lexojnë e të shënojnë në mënyra të ndryshme një kënd.• Të dallojnë, në një situatë të dhënë, llojet e këndeve (afërndenjës, të bashkëmbështetur,të shtrirë, të drejtë, të kundërt në kulm).• Të dallojnë në një bashkësi të dhënë gurash të thjeshta, gura kongruente (në veçanti,segmente dhe kënde).• Të ndërtojnë segment kongruent me një segment të dhënë.• Të ndërtojnë kënd kongruent me një kënd të dhënë.• Të matin me përafërsi të dhënë, gjatësinë e një segmenti.

• Të përdorin saktë shënimin∧

AOB ose∠AOB, për masën e këndit.• Të gjejnë masën e këndit me raportor.• Të dallojnë që pika, drejtëza, plani janë kuptime që nuk përku zohen.• Të dallojnë që aksiomat nuk vërtetohen.• Të formulojnë disa aksioma të thjeshta; të formulojnë disa teorema të thjeshta.• Në teoremat e formuluara në trajtën standarde “në qoftë se p, atëherë q”, të dallojnëkushtin dhe përfundimin.• Të përdorin teoremën për masat e këndeve të kundërt në kulm, në raste shumë tëthjeshta.• Të ndërtojnë me mjete dy drejtëza pingule.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të formulojnë vetitë themelore të gurave më të thjeshta gjeometrike dhe t’i përdorinato në situata problemore të thjeshta.• Të vizatojnë me vegla, gurat më të thjeshta gjeometrike, kur janë dhënë elemente


16/184


përcaktuese të tyre.• Të japin kuptimin e masës së segmentit dhe të tregojnë vetitë themelore të saj.• Të japin kuptimin e masës së këndit dhe të tregojnë vetitë themelore të saj.• Të përshkruajnë kuptimin e aksiomës dhe atë të teoremës.• Të riprodhojnë vërtetimin për disa teorema të thjeshta. (si ajo për këndet e kundërt nëkulm).• Të japin disa përku zime kuptimesh të thjeshta.• Ndër fjalitë e shqyrtuara matematike, të dallojnë aksiomat nga teoremat.• Të formulojnë veti të thjeshta të drejtëzave pingule dhe t’i përdorin në raste të thjeshta.• Të zbulojnë fjali matematike me anë matjesh direkte dhe t’i vërtetojnë ato.


• Të zbulojnë veti për gurat më të thjeshta gjeometrike dhe t’i vërtetojnë ato, në bazëtë vetive të njohura.• Të përdorin vetitë e njohura të gurave të thjeshta gjeometrike për zgjidhjen e problemave, me njehsim apo me vërtetim.• Të sjellin teoremat me formulime të ndryshme në trajtën standard “në qoftë se p,atëherëq”.

Kreu IV: Fuqitë

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin saktë termat fuqi, bazë, eksponent në shkrimin dhe leximin e një fuqie.• Të gjejnë fuqinë me eksponent natyror e të plotë të një numri racional të thjeshtë, tëdhënë.• Të përcaktojnë shenjën e fuqive me eksponent natyrorë të numrave negativë.• Të përdorin lirisht marrëveshjet për 0a dhe na − në njehsime.• Të zbatojnë pesë vetitë e fuqive me eksponent të plotë, në njehsime konkrete të

drejtpërdrejta.• Të shkruajnë numrat dhjetorë në trajtën standarde dhe anasjellas.• Të njehsojnë vlerën e shprehjeve numerike të thjeshta, me dy-tre veprime, që përmbajnëfuqi, duke respektuar radhën e veprimeve.• Të gjejnë me afërsi rrënjën katrore të numrave natyrorë apo dhjetorë, me anë të makinësllogaritëse.• Të përdorin lirisht makinën llogaritëse për njehsimin e vlerës së shprehjes numerike tëthjeshtë, me deri në një kllapë, me katër veprimet aritmetike dhe me fuqi.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të shprehin me fjalë e shkronja vetitë e fuqive me eksponentë të plotë.


17/184

17MATEMATIKA 8

• T’i përdorin këto veti për shndërrime të thjeshta të shprehjeve dhe për njehsime.• Të njehsojnë vlerën e shprehjeve numerike me 1-2 kllapa dhe me fuqi, duke respektuarradhën e veprimeve.• Të kryejnë veprime aritmetike me numra, të dhënë në trajtën standard .

• Të përdorin makinën llogaritëse për llogaritjen e vlerës së shprehjeve numerike tëthjeshta, me një deri dy kllapa, me veprime aritmetike dhe të ngritjes në fuqi.• Të shkruajnë masa të madhësive zike konkrete, në trajtën standard .• Të përdorin kuptimin e fuqisë dhe të rrënjës katrore për zgjidhjen e problemave tëthjeshta.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të vërtetojnë disa nga vetitë e fuqive me eksponentë negativë.• Të kryejnë veprime me fuqitë në situata problemore, duke zbatuar vetitë.• Të përdorin vetitë e fuqive me eksponent të plotë, për vërtetime identitetesh shkronjorë.

Kreu V: Kongruenca e trekëndëshave


• Të formulojnë me fjalë tre rastet e kongruencës së trekëndëshave.• Në dy trekëndësha, që janë kongruentë (sipas ndonjë rasti), të shkruajnë barazimin eelementeve kongruente.• Të zbulojnë kongruencën e dy trekëndëshave, me anë të matjeve të drejtpërdrejta.• Të përdorin në raste të drejtpërdrejta faktin që, në trekëndësha kongruentë përballë brinjëve kongruente ndodhen kënde kongruentë e anasjellas.• Të ndërtojnë trekëndëshin në rastin BKB, KBK, BBB.• Të bëjnë zbatime të drejtpërdrejta të teoremave të shqyrtuara, në raste shumë të thjeshtë,kur plotësohen kushtet e tyre.

• Të formulojnë, për trekëndëshin dybrinjënjëshëm, vetinë për këndet e bazës dhe vetinë për mesoren e bazës.• T’i përdorin këto dy veti në raste të drejtpërdrejta.• Të formulojnë fjalinë e anasjellë të fjalisë së dhënë, në trajtën standard “në qoftë se p,atëherëq”.• Të japin shembuj fjalish të anasjella, që nuk janë teorema.• Të tregojnë, me anë të një kundërshembulli, fjali që nuk janë teorema.

Niveli II

Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave, për tre rastet e kongruencës së trekëndëshave.• Të vërtetojnë dy vetitë për trekëndëshin dybrinjënjëshëm.


18/184


• Për teoremat e shqyrtuara, të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella.• T’i përdorin tre rastet e kongruencës së trekëndëshave në problema të thjeshta njehsimie vërtetimi.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të zbatojnë teoremat për tre rastet e kongruencës së trekëndëshave, në situata të reja, praktike apo të simuluara.• Të zbulojnë veti për brinjët e këndet në gura, që përbëhen nga trekëndësha.• T’i vërtetojnë këto veti, në bazë të rasteve të kongruencës së trekëndëshave.• Të shqyrtojnë kongruencën e trekëndëshave, që kanë nga dy brinjë e një kënd përkatësisht kongruentë.• Të nxjerrin raste të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë.

Kreu VI: Shprehje me ndryshore

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë vlerën e një shprehje numerike të thjeshtë, me 1-2 kllapa, me numra racionalëtë thjeshtë, duke respektuar radhën e veprimeve.• Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë (raport monomesh apo polinomesh tërregullt), me një ndryshore, për vlera të thjeshta të ndryshores.• Të kontrollojnë nëse një vlerë e caktuar e ndryshores është e palejuar, në një shprehjetë tillë.• Të japin shembuj shprehjesh identike dhe shprehjesh jo identike në Q.• Të përdorin vetinë e përdasimit, për të shndërruar shprehje të trajtës .• Të faktorizojnë shprehje të trajtës .• Të përdorin vetitë e fuqive për të sjellë monomin në trajtë të rregullt.• Të dallojnë nëse dy monome janë të ngjashëm.• Të bëjnë reduktimet në një shumë algjebrike, me 1-2 lloje monomesh të ngjashëm.

• Të gjejnë shumën dhe ndryshesën e dy trinomeve, me 1-2 ndryshore të trajtës së rregullt.• Të kryejnë shumëzimin e monomit me një polinom të trajtës së rregullt.• Të faktorizojnë, me nxjerrje në dukje, shumën dhe ndryshesën e dy monomeve tëthjeshtë.• Të kryejnë shumëzimin e dy binomeve apo të një binomi me një trinom të trajtës sërregullt, me një apo dy ndryshore.• Të bëjnë faktorizim me grupim, në raste shumë të thjeshta, si p.sh. 3 x+3 y+ax+ay .

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin ndryshoren dhe shprehjen me ndryshore, për të modeluar marrëdhënienumerike, në situata të thjeshta.


19/184

19MATEMATIKA 8

• Të gjejnë vlerën e palejuar të ndryshores në shprehje të trajtës , ku P ( x) është polinom i rregullt.• Të formulojnë përku zimin e dy shprehjeve identike në E.

• Të japin me shkronja vetitë e veprimeve dhe të argumentojnë, në bazë të tyre, shndërrimetë thjeshta identike në Q.• Të reduktojnë një shumë algjebrike, me dy deri tri lloje monomesh të ngjashëm tëtrajtës së rregullt.• Të bëjnë reduktimin e polinomit me një apo dy ndryshore, duke e kthyer atë më parënë trajtë të rregullt.• Të gjejnë shumën apo ndryshesën e dy polinomeve me dy ndryshore.• Të formulojnë rregullën për gjetjen e faktorit të përbashkët që nxirret në dukje.• Ta përdorin atë për të faktorizuar, me nxjerrje në dukje, një polinom të rregullt, me një

deri dy ndryshore.• Të kryejnë shumëzimin e një binomi me një trinom (me një deri dy ndryshore), duke bërë edhe reduktimin e ku zave të ngjashme.• Të bëjnë faktorizim me grupim në raste të thjeshta, kur ka edhe fuqi.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të bëjnë shumëzimin e dy polinomeve çfarëdo, me një deri dy ndryshore, duke bërëedhe reduktimin e ku zave të ngjashme.

• Të përdorin faktorizimin me grupim, në raste komplekse, duke bërë shndërrime të përshtatshme të polinomit llestar.• Të vërtetojnë identitete të thjeshta polinomesh me një deri dy ndryshore.

Kreu VII: Njohuri të tjera gjeometrike


• Të përdorin në raste të drejtpërdrejta, teoremën mbi barazimin e dy këndeve përgjegjës(apo ndërrues të brendshëm), të formuar nga prerja e dy drejtëzave paralele me një tëtretë.• Kur dy drejtëza paralele priten me një të tretë, të gjejnë masat e këndeve, duke njohurnjërin prej tyre.• Të dallojnë paralelizmin (ose jo) të dy drejtëzave paralele, duke krahasuar dy kënde, tëformuar nga prerja e tyre me një drejtëz të tretë.• Të formulojnë aksiomën e paraleleve.• Të ndërtojnë drejtëza paralele, duke përdorur vizoren dhe trekëndëshin e vizatimit.

• Të përdorin në raste shumë të thjeshta, teoremën mbi shumën e masave të këndeve tëtrekëndëshit.


20/184


• Të krahasojnë dy brinjë (dy kënde) të trekëndëshit, kur njihen masat e dy këndeve (dy brinjëve) përballë tyre.• Të dallojnë llojet e trekëndëshave sipas brinjëve (sipas këndeve) dhe të listojnë veti tëthjeshta të tyre.• Të listojnë e të përdorin, në raste të thjeshta veti të trekëndëshit kënddrejtë.• Të kontrollojnë nëse, tri segmente me masa të dhëna mund të formojnë trekëndësh.• Të zbatojnë në raste të drejtpërdrejta kongruencën e trekëndëshave kënddrejtë.• Të tregojnë në një rreth korda, diametra, tangjente.• Të ndërtojnë, me mjete, tangjenten ndaj rrethit në një pikë të tij.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin në raste të thjeshta, kushtet e mjaftueshme për paralelizmin e dy drejtëzave,

prerë nga një e tretë.• Të ndërtojnë, nga një pikë jashtë drejtëzës, paralelen me të.• Të riprodhojnë vërtetimin mbi barazimin e dy këndeve përgjegjës (apo ndërrues të brendshëm), të dy drejtëzave paralele, prerë nga një e tretë.• T’i përdorin këto teorema në problema të thjeshta njehsimi.• Të vërtetojnë teoremën mbi shumën e masave të këndeve të trekëndëshit dhe ta përdorinnë problema të thjeshta.• Të bëjnë krahasimin e këndeve (apo brinjëve) të trekëndëshit, në raste të thjeshta, por jo të drejtpërdrejta.

• Të përdorin në raste të thjeshta veti të trekëndëshit kënddrejtë.• Të riprodhojnë teoremën për katetin përballë këndit 300 dhe ta përdorin në problematë thjeshta.• Të formulojnë, me fjalë e shkronja, mosbarazimin e trekëndëshit dhe ta përdorin atë nëraste të thjeshta.• Të zbatojnë në problema të thjeshta kongruencën e trekëndëshave kënddrejtë.• Të vërtetojnë vetinë e drejtëzës që kalon nga qendra e rrethit, pingule me një kordë, eta përdorin në problema të thjeshta.• Të vërtetojnë teoremën mbi segmentet e tangjenteve, të hequra ndaj rrethit nga një pikë jashtë tij dhe ta përdorin në problema të thjeshta.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të vërtetojnë teorema të anasjella të disa teoremave të shqyrtuara (p.sh. për rastin kurkateti është sa gjysma e hipotenuzës).• Të vërtetojnë teoremat, për rastet e kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë.• Të zbulojnë veti të reja për brinjët dhe këndet, në trekëndësha dhe në gura, që ndahennë trekëndësha dhe t’i vërtetojnë ato në bazë të vetive të njohura.

• Të përdorin vetitë e njohura të gurave gjeometrike, për zgjidhjen e problemave menjehsim apo vërtetim, në situata të reja.


21/184

21MATEMATIKA 8

Kreu VIII: Formula të rëndësishme


• Të shkruajnë formulat për ( )2ba ± ; (a-b)(a+b).• T’i zbatojnë ato në raste të thjeshta si:

; ; (ax+by)(ax-by).• Të thjeshtojnë dy thyesa, kur gjymtyrët janë monome të rregullt, me një deri dyndryshore.• Të faktorizojnë shprehje të trajtës: ; a2-b2.• Të faktorizojnë shprehje të trajtës:ax2-ay2; ax2+2ax+a .

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të vërtetojnë formulat për ( )2ba ± ; (a-b)(a+b).• T’i përdorin këto formula për rastin e shumës (ndryshesës) së dy monomeve të rregullt,me një deri dy ndryshore.• Të vërtetojnë identitete të thjeshta, duke përdorur formulat.• Të thjeshtojnë thyesa racionale të thjeshta, duke bërë më parë faktorizime sipas këtyreformulave, në numërues dhe në emërues.• Të faktorizojnë polinome me një deri dy ndryshore, duke bërë nxjerrje në dukje tëfaktorit të përbashkët e pastaj përdorim të këtyre formulave.• Të kryejnë faktorizime të thjeshta me grupim, në raste si:ax3+ax2+ax+a .

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të kryejnë faktorizime me grupim në raste jo standarde, pas shndërrimesh të përshtatshme.• Të kryejnë faktorizime, ku kombinohen: nxjerrja në dukje, formulat e rëndësishme,faktorizimi me grupim.• Të zbërthejnë, kur është e mundur, trinomin e fuqisë së dytë me një ndryshore nëfaktorë linearë.• Të vërtetojnë identitete në situata jo standarde.

Kreu IX: Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore



22/184


• Të dallojnë nëse, një vlerë e thjeshtë e ndryshores është rrënjë për ekuacioninax+b=cx+d; ax2+bx+c=0.• Të formulojnë tri teoremat për njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore në Q.• T’i përdorin këto teorema në raste shumë të thjeshta.

• Të zgjidhin ekuacione të trajtaveax+b=cx+d ; , me numra racionalë tëthjeshtë.• Të zgjidhin ekuacione të trajtaveax 2=b; ( x-a)( x-b)=0;ax2+bx=0, pa përdorur formulën.

• Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues të trajtave , me koe cient

të plotë, duke përjashtuar vlerat e ndryshores që janë të palejuara.• Të njehsojnë dallorin për ekuacioninax2+bx+c=0.

• Të zgjidhin ekuacionin e fuqisë së dytë të trajtës standardax2

+bx+c=0, me koe cienttë plotë dhea>0.• Të veçojnë njërën nga shkronjat në formulatax+by=c; y=ax2 (a>0).• Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, teoremat për shndërrimet e njëvlershme tëinekuacioneve me një ndryshore në Q.• Në veçanti, të ndërrojnë kahun në këta inekuacione, kur ndërrojnë shenjat e të dyjaanëve.• Të zgjidhin inekuacione të trajtaveax+b>cx+d , me koe cientë të plotë.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të japin përku zimin e ekuacioneve të njëvlershëm në E.• Të përdorin teoremat mbi njëvlershmërinë, për të sjellë ekuacionet e thjeshtë, me njëndryshore, në trajtatax=b, ax2+bx+c=0, duke argumentuar shndërrimet.• Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën (ax+b)(cx+d )=0, me shndërrime të thjeshta.

• Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë që sillen në trajtat ;

, kur emëruesi i përbashkët gjendet drejtpërdrejtë.• Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtënax2+bx+c=0, me shndërrime të njëvlershmetë thjeshta.• Të shkruajnë dhe të bëjnë interpretime të thjeshta të formulës, për rrënjët e ekuacionitax2+bx+c=0.• Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë të fuqisë së dytë, me koe cientë shkronjorë(p.sh.3x2-7ax+2a2=0).• Të zgjidhin problema të thjeshta, që çojnë në ekuacione të fuqisë së parë apo të dytë,me një ndryshore.• Të japin përku zimin e zgjidhjes së inekuacioneve me një ndryshore.• Të japin përku zimin e dy inekuacioneve (me një ndryshore) të njëvlershëm në E.


23/184

23MATEMATIKA 8

• Të formulojnë teoremat për njëvlershmërinë e inekuacioneve, me një ndryshore në Q.• T’i përdorin këto teorema për të bërë shndërrime të thjeshta të njëvlershme nëinekuacione, duke argumentuar.• Të zgjidhin inekuacione të thjeshta, që sillen në trajtënax+b>cx+d , me shndërrime tënjëvlershme.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të tregojnë shndërrime, që nuk çojnë në ekuacione të njëvlershëm.• Të tregojnë shndërrime, që nuk çojnë në inekuacione të njëvlershëm.• Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën f ( x)· g ( x)=0, ku f ( x), g ( x) janë binome të fuqisësë parë apo trinome të fuqisë së dytë, me një ndryshore.• Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues, që sillen në ekuacione të fuqisë së

parë apo të dytë, kur për gjetjen e emëruesit të përbashkët duhen bërë faktorizime.• Të zgjidhin problema nga situata të reja apo komplekse, me anë të ekuacioneve tëfuqisë së parë apo të dytë, me një ndryshore.• Të zgjidhin problema të thjeshta që çojnë në inekuacione të trajtësax+b>cx+d .

Kreu X: Matjet

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin skemën, për kalimin nga një njësi matëse e gjatësisë (apo sipërfaqes) nënjë tjetër.• Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrin dhe sipërfaqen e disa gurave tëthjeshta, duke përdorur të dhëna të drejtpërdrejta apo duke i matur ato.• Të përdorin mesataren aritmetike të vlerave të matura, si përafrim për vlerën e saktë tëmadhësisë.• Të shprehin me fjalë e shkronja formulën për sipërfaqen e trekëndëshit dhe ta përdorinatë në problema të thjeshta njehsimi.• Të formulojnë teoremën e Pitagorës; të gjejnë në trekëndëshin kënddrejtë njërën brinjë,kur njihen dy të tjerat.• Të kontrollojnë, me anë të teoremës së anasjellë të Pitagorës, nëse një trekëndësh metri brinjët e dhëna është kënddrejtë.• Të gjejnë diagonalen e katrorit, me brinjë të dhënë e anasjellas.• Të gjejnë lartësinë e trekëndëshit barabrinjës, me brinjë të dhënë e anasjellas.

• Të shkruajnë e të përdorin, në raste direkte, formulën për gjatësinë e harkut180

n Rπ =

dhe atë për sipërfaqen e sektorit qarkor S=360

2

n Rπ .

• Të gjejnë në këto formula vlerën e njërës ndryshore, kur njihen vlerat e dy të tjerave.


24/184


Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrat dhe sipërfaqet e disa gurave, duke indarë në gura të thjeshta.• Të njehsojnë perimetrat dhe sipërfaqet e këtyre gurave, kur të dhënat nuk jepen tëgjitha drejtpërdrejtë.• Të përdorin formulat për perimetrat dhe sipërfaqet e këtyre gurave, për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim.• Të nxjerrin me arsyetim disa nga formulat.• Të japin kuptimin për masën e sipërfaqes.• Të vërtetojnë formulën S=a ·b, për sipërfaqen e drejtkëndëshit, në rastin kura , b janënumra të plotë dhe ta përdorin atë në problema të thjeshta.

• Të nxjerrin formulën S=2

hb ⋅ , për sipërfaqen e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në

problema të thjeshta.• Të shprehin sipërfaqen e trekëndëshit në dy mënyra, për të gjetur lartësitë e tij.• Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës së Pitagorës; ta përdorin këtë teoremë përzgjidhjen e problemave të thjeshta.• Të zgjidhin trekëndëshin kënddrejtë me një kënd 300.• Të vërtetojnë formulat për diagonalen e katrorit dhe për lartësinë e trekëndëshit barabrinjës.

• Të nxjerrin me argumentim, formulat për gjatësinë e harkut dhe për sipërfaqen e sektoritqarkor.• T’i përdorin këto formula për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të përdorin përafrimin gjatë matjeve, në situata të reja problemore.• Të përdorin formulat për perimetrat dhe për sipërfaqet e gurave të thjeshta, në situatatë reja problemore.• Të nxjerrin me vërtetim formula të reja nga ato të njohurat.

Kreu XI: Funksioni

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të dallojnë nëse çiftimi i dy bashkësive të fundme, dhënë me diagram shigjetor, tabelëapo gra k është funksion.• Për një funksion të dhënë me diagram shigjetor, tabelë apo gra k, të shkruajnë të gjithë


25/184

25MATEMATIKA 8

çiftet e renditur (fytyrë; shëmbëllim).• Për një funksion me gra k të dhënë, të gjejnë për çdo vlerë të x, vlerën përgjegjëse të

y dhe anasjellas.• Për funksione linearë apo të fuqisë së dytë, të gjejnë vlerën e tij për një vlerë të thjeshtëtë ndryshores dhe të ndërtojnë pikën përgjegjëse të gra kut.• Të dallojnë, nëse pika me koordinata të dhëna ndodhet në gra kun e funksionit linearapo të fuqisë së dytë.• Të tregojnë trajtën që ka gra ku i funksionit linear dhe ta ndërtojnë atë, duke marrë dy pika.• Të gjejnë pikat, ku gra ku i funksionit y=ax+b pret boshtin O x (boshtin O y).

• Të skicojnë me pika gra kun e funksionit y= xk

.

• Të skicojnë me pika gra kun e funksionit y=ax2.• Të ndërtojnë gra kun e funksionit linear y=ax+b, në rastet e veçanta (kura=0 ose b=0).

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Për një funksion të dhënë gra kisht, të gjejnë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinëe vlerave.• Të japin përku zimin e gra kut të funksionit.

• Për funksionet y=kx, y= x+k , y= x

k , të gjejnë vlerën ek , kur është dhënë tabela osegra ku.• Të paraqesin me mënyra të tjera një funksion linear, të dhënë me fjalë.• Të gjykojnë, sipas shenjës së parametrave, për pozicionin që zë gra ku i funksionit

y=ax+b, y= xk

, y=ax2.

• Të listojnë veti të gra kut të funksionit y= x2, duke i argumentuar ato.• Të zgjidhin problema të thjeshta që modelohen matematikisht, me anë të funksioneve

y=ax+b, y=ax2, y = x

k .

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të japin me formulë funksione lineare apo të trajtës y=ax2, të dhënë me mënyra të reja.

• Të ndërtojnë gra kët e funksioneve y=ax+b, y = xk , y=ax2, kur bashkësia e përcaktimit

është nënbashkësi e Q.• Të listojnë veti të gra kut të funksionit y=ax2, duke i argumentuar ato.

• Të zgjidhin situata të reja problemore, që modelohen matematikisht me anë të


26/184


funksioneve y=ax+b, y=ax2, y= xk .

Kreu XII: Shndërrimet gjeometrike

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë koordinatat e një pike në planin xO y; të ndërtojnë pikën në planin xO y, kurnjihen koordinatat e saj (numra të thjeshtë).• Të lexojnë e të shkruajnë drejt koordinatat e vektorit.• Të gjejnë koordinatat e shumës së dy vektorëve.• Të japin koordinatat e shëmbëllimit të një pike; të gjejnë koordinatat e fytyrës, kurnjihen ato të shëmbëllimit:a) në një zhvendosje paralele me vektor të dhënë

→

a ; b) në një zgjerim (O,k ) të dhënë;c) në simetrinë ndaj origjinës O.d) në simetrinë me bosht O x (O y).

e) në rrotullimin( )α ,0 .• Të gjejnë shëmbëllimin e një segmenti në shndërrimet e sipërpërmendura.• Të dallojnë qendra simetrie (bosht simetrie) në gura shumë të thjeshta.• Të vizatojnë gura që kanë (apo nuk kanë) qendër simetrie (bosht simetrie).• Të japin përku zimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe të përdorin vetinë e saj nëraste direkte.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të japin kuptimin e vektorit dhe të koordinatave të tij.• Të ndërtojnë shëmbëllimin e një shumëkëndëshi:

a) në zhvendosjen paralele të dhënë me vektor→

a ; b) në zgjerimin e dhënë (0,k ).c) në simetrinë ndaj origjinës O;d) në simetrinë me bosht O x (O y);

e) në rrotullimin e dhënë( )α ,0 .• Kur njohin fytyrën dhe shëmbëllimin e saj, sipas llojit të shndërrimit të kryer, të gjejnë:

a) vektorin→

a të zhvendosjes paralele; b) qendrën e simetrisë;c) boshtin e simetrisë.• Të plotësojnë gurën që ka bosht simetrie (qendër simetrie), kur njohin gjysmën e saj.


27/184

27MATEMATIKA 8

• Të vërtetojnë që pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie për paralelogramin.• Të vërtetojnë që lartësia e trekëndëshit dybrinjënjishëm është bosht simetrie për të.• Të vërtetojnë teoremat mbi shëmbëllimet e një segmenti:

a) në zhvendosjen paralele me një vektor→

a ; b) në simetrinë me qendër O;c) në zgjerimin (O,k ) (k >0);• Të vërtetojnë teoremën mbi vijën e mesme të trekëndëshit.• Ta përdorin këtë teoremë për zgjidhjen e problemave të thjeshta, me njehsim.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të tregojnë veti të gurave të thjeshta gjeometrike, që ruhen gjatë zhvendosjes paralele,simetrisë qendrore, simetrisë boshtore, rrotullimit (O,k ).• Të vërtetojnë teoremën mbi shëmbëllimin e një segmenti:a) në simetrinë me boshtd ; b) në rrotullimin (O,k ).• Të shqyrtojnë zgjerime me koe cientë negativë; të vërtetojnë e të zbatojnë veti të tyre.• Të përdorin vetitë e shndërrimeve gjeometrike të studiuara, në situata problemore.• Të përdorin vetinë e vijës së mesme të trekëndëshit në problema me vërtetim apo nësituata të reja.

Kreu XIII: Ekuacione dhe sisteme me dy ndryshore

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë vlerën e binomitax+by, për vlera të thjeshta të ndryshores.• Të dallojnë nëse, një çift i radhitur numrash të thjeshtë është zgjidhje për ekuacioninax+by=c.• Të dallojnë nëse, një çift i radhitur numrash të thjeshtë është zgjidhje për një sistem dyekuacionesh, të fuqisë së parë, me dy ndryshore.• Të japin disa zgjidhje për ekuacioninax+by=c.• Të përdorin faktin që gra ku i ekuacionitax+by=c është drejtëz dhe ta ndërtojnë atëme dy pika.• Të ndërtojnë drejtëzat me ekuacione të trajtës x=a ( y=b).• Të zgjidhin një sistem dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me dy ndryshore, në qoftë se;a) Njëri nga ekuacionet ka trajtën y=ax+b ( x=cy+d ). b) Koe cientët pranë x (pranë y), në ekuacionet e sistemit janë numra të kundërt.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:


28/184


• Të japin përku zimin e zgjidhjes së një ekuacioni me dy ndryshore.• Të japin përku zimin e zgjidhjes së një sistemi dy ekuacionesh të tillë.• Të zgjidhin sistemin e dy ekuacioneve të thjeshtë, të dy ekuacioneve të fuqisë së parëme dy ndryshore, me mënyrën gra ke.• Të zgjidhin një sistem të tillë me mënyrën e zëvendësimit.• Të zgjidhin një sistem të tillë me mënyrën e mbledhjes.• Të përdorin barazimet me dy ndryshore, për të modeluar marrëdhënie numerike, nësituata të thjeshta.• Të zgjidhin problema të thjeshta, me anë të sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë, me dy ndryshore.


• Të zgjidhin sisteme, që kthehen në sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë, mezëvendësim të ndryshoreve.• Të zgjidhin gra kisht inekuacione të trajtës x>a ( y


29/184

29MATEMATIKA 8

a) plane paralelë; b) dy drejtëza të kithëta;c) drejtëza pingule me një plan.Niveli II

Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të japin përku zimin e planeve paralelë.• Të japin përku zimin e drejtëzës pingule me planin.• Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që drejtëza pingule me dy drejtëza prerëse të planit është pingule me planin.• Të përdorin vetitë e njohura të kuboidit, prizmit, piramidës, cilindrit, konit në raste tëthjeshta njehsimesh e krahasimesh.• Të japin kuptimin e vëllimit të një trupi, duke treguar vetitë e tij.• Të njehsojnë vëllimin e prizmit, piramidës, cilindrit në raste të thjeshta, kur të dhënatnuk jepen direkt.• Të njehsojnë vëllimin e trupave të thjeshtë, duke i ndarë ata në trupa të tillë.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të zbulojnë dhe të vërtetojnë veti të reja, nga vetitë e njohura të trupave të thjeshtë tëshqyrtuar.• Të përdorin formulat për vëllimin e prizmit, piramidës, cilindrit në situata të reja problemore.

• Të gjejnë sipërfaqen e anshme të piramidës, në situata problemore.

Kreu XV: Statistikë dhe probabilitet


• Të mbledhin të dhëna sipas një qëllimi të përcaktuar dhe t’i paraqesin ato në tabela tëefektivave e diagrame me shtylla.• Të dallojnë, për një popullim të thjeshtë, tipare diskrete dhe tipare të vazhdueshme.• Nga tabela e efektivave të gjejnë dendurinë për çdo vlerë të tiparit dhe të ndërtojnëtabelën e dendurive dhe atë të dendurive relative.• Të bëjnë paraqitjen gra ke të efektivave dhe të ndërtojnë shumëkëndëshin statistikor përkatës.• Të gjejnë, për një varg të fundmë vlerash tipari sasior diskret, mesataren aritmetike,mesoren, modën.

• Të lexojnë dhe të interpretojnë informacionin e dhënë me tabela, të dendurive relativedhe me gra kë.• Të dallojnë nëse, rezultatet e mundshme të një prove (eksperimenti) të thjeshtë janë


30/184


njëlloj të mundshëm.

• Të përdorin përcaktimin klasik të probabilitetit)()(

)( H n An

A P = , në raste shumë tëthjeshta.• Të gjejnë probabilitetin statistikor, nëpërmjet dendurisë relative në eksperimente shumëtë thjeshtë, me të dhëna të plota.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të gjejnë, prej tabelës së efektivave, efektivat e grumbulluar dhe denduritë egrumbulluara.• Të bëjnë paraqitjen gra ke të efektivave të grumbulluar dhe të ndërtojnë shumëkëndëshinstatistikor përkatës.• Të klasi kojnë, duke paraqitur me diagram rrethor, një bashkësi sipas një kriteri qëlidhet me një cilësi të elementeve të saj.• Të ndërtojnë diagramin me shtylla për efektivat, dhe efektivat e grumbulluar për njëtipar të vazhdueshëm dhe një ndarje të dhënë me klasa.• Të japin përcaktimin klasik të probabilitetit dhe ta përdorin atë për ngjarje të thjeshta,në prova (eksperimente) të thjeshta me rezultate njëlloj të mundshëm.• Të përdorin përcaktimin statistikor të probabilitetit nëpërmjet dendurisë relative dhe ta përdorin atë në raste të thjeshta, me eksperimente që i organizojnë vetë.• Të dallojnë ngjarjen e kundërt të një ngjarje të dhënë dhe të gjejnë probabilitetin e saj,

në raste të thjeshta.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:• Të grumbullojnë, përpunojnë dhe interpretojnë të dhëna statistikore në situata të reja,të simuluara apo reale.• Për tiparin e vazhdueshëm, të realizojnë një ndarje të përshtatshme në klasa dhe të punojnë me diagrame rrethore.• Të përdorin përcaktimin klasik të probabilitetit, për të gjetur probabilitetin e një ngjarje,

apo të ngjarjes së kundërt të saj në situata të reja, të simuluara apo reale.


31/184

31MATEMATIKA 8

II. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE

II.1. Matematika si lëndë shkollore

Mësimi i matematikës në shkollë ka të bëjë me njohjen, të kuptuarit dhe të zbatuarit eshprehive matematikore. Kurrikuli i matematikës shkollore është një nga faktorët kyç në përgatitjen e nxënësve sipas kërkesave të shoqërisë së sotme.Gjatë mësimit të matematikës ushtrohen mënyrat speci ke të të menduarit si dheinterpretimet speci ke të botës. Interpretimet, e përftuara gjatë mësimit të matematikës,dallohen nga një universalitet dhe stabilitet i dukshëm, tipar i rëndësishëm për qytetarine një bote që ndryshon shpejt.Detyra e matematikës si lëndë shkollore është t’u transmetojë nxënësve, krahas njohurivekonkrete matematikore dhe mënyrave të punës, edhe pikëpamje më të përgjithshme për proceset e të menduarit dhe marrjes së vendimeve, të cilat janë me rëndësi për një bashkëorganizim aktiv dhe të përgjegjshëm të shoqërisë. Një nga detyrat e çdo lënde shkollore është t’u mësojë nxënësve se si të mendojnëdhe se si të ndjejnë përgjegjësi për ato që mendojnë apo thonë. Matematika e ka më tëlehtë se sa fushat e tjera kurrikulare realizimin e kësaj detyre, sepse kur nxënësi zgjidhnjë problem matematik, ai është i bindur në korrektësinë e zgjidhjes jo sepse thjeshtashtu i thotë mësuesi, por sepse logjika e brendshme funksionon fare qartë. Nëpërmjetkurrikulit të matematikës nxënësit përfshihen mendërisht në ngjizjen e koncepteve dhemarrëdhënieve të tyre për të krijuar ide të reja dhe për të përmirësuar të mëparshmet.Matematika është një element kyç i kurrikulit. Kur nxënësit mësojnë matematikë, nukkemi të bëjmë thjesht me zotërimin e shprehive bazë, por edhe me përftimin e njëmjeti konciz dhe të fuqishëm komunikimi. Zotërimi i gjuhës matematike, strukturavedhe operacioneve të saj, të ndihmon të arsyetosh, të argumentosh konkluzionet dhe tëshprehësh idetë qartë.Matematika është, gjithashtu, një mjet i fuqishëm të nxëni. Nxënësi identi konmarrëdhëniet ndërmjet koncepteve matematike dhe situatave të përditshme dhe bën lidhjendërmjet matematikës dhe lëndëve të tjera, ai ton aftësi për të përdorur matematikëndhe për të aplikuar njohuritë edhe në fushat e tjera kurrikulare.Mënyra se si jepet mësimi ka ndikim të fuqishëm në atë çka ndodh me matematikën nëklasë. Por faktori më i rëndësishëm është përmbajtja që duhet mësuar. Në përzgjedhjen e përmbajtjes së matematikës ndikojnë mjaft faktorë, për llja e të cilëve jo vetëm ndihmon nëreagimin e përshtatshëm ndaj ndryshimeve që ndodhin brenda e jashtë arsimit, por madjeedhe in uencon në këto ndryshime.

Për hartimin e kurrikulit të matematikës, e rëndësishme është të përcaktohet çfarëmatematike duhet t’u mësohet nxënësve, si do tua mësojmë atë dhe si duhet tuamundësojmë dhe lehtësojmë të nxënit.


32/184


Natyra e vërtetë e shoqërisë në të cilën jetojmë, e dominuar nga informacioni dheshërbimet ka një ndikim real në përmbajtjen e shkollës. Një shoqëri e tillë kërkon një përqindje gjithnjë e më të vogël të punës së pakuali kuar dhe një numër në rritje të personelit të mirë kuali kuar. Nga ana tjetër, ndryshimet e shpejta të sjella nga teknologjia e bëjnë të vështirë trajnimine njerëzve për ato punë që mund të ndryshojnë apo të mos ekzistojnë dhjetë vjet mëvonë. Madje edhe ato punë që nuk kanë lidhje drejtpërdrejtë me fushat e shkencës, janë të ndikuara nga ndryshimet teknologjike, sepse kërkojnë që punëtorët të mësojnëtë adaptohen ndaj situatave të reja, të perceptojnë modele e të zgjidhin probleme jotradicionale.Pikërisht këto speci ka asin për rëndësinë e matematikës shkollore të ditëve të sotme.Ajo që është e rëndësishme ka të bëjë me faktin se si duhet t’i mësojmë nxënësit të përshtatin të menduarit ndaj situatave. Tendenca e sotme është theksimi në rritje nëkurrikulin e matematikës i arsyetimit logjik, zgjidhjes së problemave dhe arsyetimitgjeometrik, sepse këto janë shprehi gjeneruese që mund të përdoren në një gamë të gjerësituatash të nevojshme në një shoqëri teknologjike dhe informative, që ndryshon.Arsimi i detyruar ka si detyrë të pajisë nxënësit me njohuri matematike të nevojshme për t’i bërë ata të aftë të marrin vendime të mirëgjetura; të interpretojnë dhe të përdorin

uksin në rritje të informacionit, e të marrin pjesë në procese vendimmarrëse në shoqëri.Lënda e matematikës duhet të sigurojë një bazë të mjaftueshme për të studiuar lëndë tëtjera, për arsimim të mëtejshëm dhe për gjatë gjithë jetës.Mësimi i matematikës duhet të zhvillojë te nxënësit interesin për matematikën, si dhetë krijojë mundësi për të komunikuar në gjuhën dhe shprehjet matematike. Lëndaduhet t’u japë nxënësve mundësinë për të aplikuar matematikën dhe për të komunikuarmatematikisht në situata të jetës së përditshme.

II.2. Qëllimi, synimet dhe objektivat e përgjithshme të kurrikulitaktual të matematikës në arsimin e detyruar

Në kurrikulin e arsimit të detyruar 9-vjeçar matematika qëndron si fushë kurrikularemë vete.(“lënda e matematikës”dhe “fusha e matematikës”përfaqësojnë të njëjtën gjë).Kurrikuli zyrtar i matematikës përfshin planin mësimor, standardet e përmbajtjes dhetë arritjes dhe programet vjetore. Gjithashtu, janë hartuar në trajtën e draftit, kornizakurrikulare për arsimin e detyruar si dhe vizioni kurrikular i matematikës 1-9. Çdo produkt tjetër, që ka lidhje me mësimin e matematikës, duke lluar që nga tekstet enxënësit, tekstet e mësuesit, materialet e tjera ndihmëse, etj. nuk bën pjesë në kurrikulinzyrtar por bën pjesë në atë që quhet kurrikul i zbatuar.Qëllimi kryesor i kurrikulit të matematikës shkollore është të përgatisë njerëz, të cilët

janë të pajisur me aftësi matematike të domosdoshme; që veprojnë me kompetencë nësituata që kërkojnë përdorimin e njohurive matematike, e kuptojnë matematikën dhevlerësojnë rolin e saj në shoqëri.


33/184

33MATEMATIKA 8

Kurrikuli synon që nxënësit të kenë atë përgatitje matematike që i bën të aftë:- Të funksionojnë në shoqëri si konsumatorë dhe si prodhues d. m. th., të kenë ato shprehidhe njohuri konceptuale të nevojshme për nevojat e një prodhuesi dhe konsumatoritë nivelit mesatar. Kjo gjë mund të arrihet nëse vendoset një lidhje e qartë ndërmjetzgjidhjes së problemeve të jetës reale dhe matematikës të mësuar në shkollë.- Të funksionojnë në shoqëri si qytetarë të përgjegjshëm, d.m.th., të kenë aftësi për tëanalizuar dhe interpretuar informacionin sasior.- Të mendojnë në mënyrë logjike, të punojnë në mënyrë efektive dhe të çmojnëmatematikën.- Të zgjidhin problema, me dëshirë, besim dhe aftësi.- Të komunikojnë matematikisht.- Të ndjekin studimet e mëtejshme në matematikë dhe në fushat e tjera që lidhen mematematikën.

Synimet e mësipërme mund të speci kohen në objektiva të përgjithshme si vijon:- Nxënësit duhet të jenë të aftë të kujtojnë faktet bazë. Kjo do të thotë që ata duhet tëkenë informacion bazë të tillë që mund ta përdorin në çdo moment. Ky lloj informacioninuk është qëllim në vetvete por një mbështetje e fuqishme e proceseve të të kuptuaritdhe të zbatuarit.- Nxënësit duhet të zotërojnë aftësitë e nevojshme për të kryer veprimtari matematikore.Kjo do të thotë që ata duhet të jenë të aftë p.sh., të kryejnë algoritmet rutinë që përfshihennë gjetjen e një shume, duhet të jenë të aftë të përdorin vegla të përshtatshme si p. sh.,makinat llogaritëse apo veglat gjeometrike dhe gjithashtu, duhet të jenë të qartë se kurduhet t’i përdorin.- Nxënësit duhet të kenë një përfytyrim për matematikën si një sistem i tërë logjik nëtë cilin të kuptuarit e një koncepti të veçantë lidhet dhe integrohet me konceptet e tjera,duke formuar një të tërë.- Nxënësit duhet të jenë të aftë t’i zbatojnë njohuritë e tyre matematikore në mënyrë që tëkuptojnë dhe të shohin fuqinë e saj zbatuese në shumë fusha të dijes e të jetës.- Nxënësit duhet të jenë në gjendje të analizojnë informacionin e dhënë, përfshirë edheinformacionin e dhënë në kontekst me të cilat nxënësi nuk është i familjarizuar. Kjoaftësi përbën bazën për të zgjidhur problema jostandarde.- Nxënësit duhet të jenë të aftë të “krijojnë”matematikë për veten e tyre. Sigurisht nuk pretendohet që nxënësit të zbulojnë gjëra të reja ose të bëjnë shpikje. Por ata mund të bëjnë hamendësime dhe pastaj të debatojnë rreth hipotezave të parashtruara nga vetë ata.- Nxënësit duhet të jenë të aftë të komunikojnë matematikisht, me gojë dhe me shkrim. Kjodo të thotë që ata të jenë në gjendje të përshkruajnë atë që kanë bërë, të argumentojnë mefjalët e tyre dhe të jenë në gjendje të paraqesin me shkrim arsyetimin dhe argumentimine tyre.- Nxënësit duhet ta çmojnë matematikën.- Nxënësit duhet të ndërgjegjësohen për historinë e matematikës si shkencë që kaevolucionin e saj.


34/184


II.3. Rubrikat e programeve të matematikës

Programet e reja të matematikës paraprihen nga disa dokumente kurrikulare dhe janëhartuar duke qenë në koherencë me to. Këtu mund të përmendim planin mësimor tëarsimit të detyruar, në të cilin përcaktohen orët totale vjetore dhe orët javore të mësimittë matematikës për çdo klasë; synimet dhe objektivat e përgjithshme të lëndës sëmatematikës në arsimin e detyruar, etj.Konceptimi i programeve të reja mundëson e stimulon politikën e re për tekstet shkollore. Në ndryshim nga programet e mëparshme, të cilat ishin hartuar duke pasur parasyshvetëm një tekst nxënësi dhe një tekst mësuesi, të lidhur ngushtë me të, programet e reja janë eksibël në kuptimin, që duke u mbështetur në to, mund të hartohen disa tekstenxënësi.Konceptimi i programeve krijon kushte dhe nxit zhvillimin e kurrikulit në bazë rajoni eshkolle. Në programet e reja parashikohet edhe kohë në dispozicion të mësuesit, i cili mund tambushë atë me risi interesante në dobi të nevojave të nxënësve.Struktura, në krahasim me atë të programeve të mëparshme, jo vetëm është pasuruarme rubrika të reja, si p.sh., me objektiva, por ka ndryshuar edhe konceptimi i rubrikave. Nëpërmjet objektivave theksi i të mësuarit të matematikës vihet te rezultatet.Programet do të jenë mjet pune për mësuesin gjatë gjithë vitit shkollor. Programi lëndorështë pikënisja nga e cila çdo mësues plani kon punën e tij afatshkurtër dhe afatgjatë.Rezultatet e pritshme të paraqitura kryesisht nëpërmjet objektivave të programitudhëheqin vazhdimisht punën e mësuesit, kur bën planin mësimor, kur vendos objektivate kapitullit, kur zgjedh materiale ndihmëse, kur realizon mjete mësimore, kur vlerësonnxënësit dhe kur raporton te prindërit rezultatet e fëmijëve.Është zgjeruar vendi i arsyetimit deduktiv dhe janë thjeshtuar algoritmet.Është synuar rritja e aftësisë për të përdorur matematikën në jetën e përditshme.

Sqarimi i rubrikave të programitTë kuptuarit e programit nënkupton jo vetëm një konceptim të saktë global rrethndërtimit të tij, por edhe të secilës prej rubrikave. Më poshtë po ndalemi në sqarimine secilës rubrikë herë-herë edhe me shembuj sqarues. Programet e reja të lëndëssë matematikës për arsimin e detyruar 9-vjeçar kanë pothuajse të njëjtën strukturë. Ndryshime dhe përmirësime të vogla, përfshirë edhe ato terminologjike janë bërë në programet e hartuara së fundmi. Rubrikat e programeve janë :

• Të përgjithshme;• Synimi;• Linjat e nën linjat e përmbajtjes;• Objektivat, konceptet (njohuritë), shprehitë (aftësitë) sipas linjave e nënlinjave;• Shpërndarja e orëve (përmbajtja analitike);


35/184

35MATEMATIKA 8

• Metodologjia e zbatimit të programit;• Vlerësimi.

Po i trajtojmë ato shkurtimisht.

a) Të përgjithshmeQëllimi i rubrikës është të japë një kuadër të përgjithshëm për vendin që zë programinë planin mësimor për arsimin e detyruar 9-vjeçar, të evidentojë risitë kryesore që sjell(orët eksibël) dhe të sigurojë përdoruesin si për koherencën me programet paraardhëseashtu edhe përshtatshmërinë me tendencat bashkëkohore.

b) SynimiPërcaktimi i synimit të mësimit të matematikës për një klasë të caktuar, ka të bëjë mevazhdimësinë e synimit të lëndës së matematikës përgjatë viteve shkollore dhe aftësitëmatematike që duhen përvetësuar nga nxënësit e klasës në fjalë.

c) Linjat e nënlinjat kryesoreLënda e matematikës në arsimin e detyruar, uniformitetin nga njëri vit në tjetrin esiguron edhe nëpërmjet linjave të përmbajtjes, të cilat janë boshtet kryesore rreth tëcilave sendërtohen trajtimet konceptuale matematikore në çdo vit shkollor. I quajmë të përmbajtjes sepse përcaktojnë pikat kryesore të përmbajtjes konceptuale të lëndësGjithsej janë pesë linja:1) Numri.2) Matja.3) Gjeometria.4) Algjebra dhe funksioni.5) Mbledhja, organizimi dhe përpunimi i të dhënave; probabiliteti.Zgjidhja e problemave nuk trajtohet si një linjë e veçantë, por ajo luan një rol integral nëtë nxënit e nxënësve në secilën nga linjat.Të gjitha linjat e përmbajtjes kërkojnë që nxënësit të përfshihen në zgjidhje problemash.Qëndrimet, strategjitë dhe proceset për të re ektuar në të menduarit e tyre, kanë nevojë për zgjidhje efektive të problemave dhe duhet të jenë pjesë e të gjitha aspekteve tëkurrikulit të matematikës.Linjat ndahen në nën linja, numri i të cilave mund të ndryshojë nga njëra linjë në tjetrën.Megjithëse objektivat janë hartuar për secilën linjë e nën linjë, në tekste dhe gjatëmësimit në klasë i gjejmë të integruara.Vlen të theksohet që linjat e nën linjat nuk janë kapituj të vendosur në mënyrë lineare siata që jemi mësuar të gjejmë në programet e mëparshme.

d) Objektivat, konceptet e shprehitë kryesore sipas linjave e nën

linjaveËshtë ndër pjesët më të rëndësishme dhe më të përdorshme të programit. Pothuajse për


36/184


çdo nën linjë janë hartuar një sërë objektivash të matshme, të detyrueshme, konkrete,që tregojnë se çfarë pritet të dijë nxënësi si rezultat i trajtimeve konceptuale brendanën linjës. E detyrueshme është ajo që kërkohet në objektiv; çdo tejkalim i kërkesës sëobjektivit ose çdo material që ka të bëjë me objektiva tej atyre të listuara në program, bie ndesh me kërkesat zyrtare të lëndës. Nëse konsiderohet e vlefshme dhënia e ndonjëinformacioni shtesë, atëherë ka karakter obsional, jo të detyrueshëm dhe nuk mund të jetë objekt vlerësimi për nxënësit. Dhe, në të kundërt, nëse teksti i përzgjedhur nuksiguron realizimin e kërkesës së objektivit ose të objektivave në tërësi, mësuesi duhet ta plotësojë me materiale të tjera.Objektivat e udhëheqin punën e mësuesit edhe në përzgjedhjen e materialeve ndihmëse.Edhe kriteret që kanë lidhje me procesin e të nxënit duhen respektuar. Një tekst mësuesiose tekst me ushtrime që del në tregun e lirë të botimeve dhe bie në kundërshtim me parimet e parashtruara në program, nuk e ndihmon mësuesin, dhe si i tillë nuk mund të përdoret prej tij. Në këtë këndvështrim sa herë mësuesi ndodhet para procesit përzgjedhëstë librave, bazë ose ndihmës, që do të përdorë në mësimin e matematikës, është më sei domosdoshëm referimi në objektivat e programit për t’u siguruar që gjërat nuk bienndesh me njëra tjetrën.Objektivat duhet mbajtur parasysh edhe në realizimin e orëve të lira.

Shembuj objektivash.“Të vizatojnë gura të thjeshta gjeometrike në rrjet katror”. Nxënësit duhet të vizatojnë katrorin, trekëndëshin, drejtkëndëshin në rrjet katrorësh.Vizatimi jashtë rrjetit të katrorëve mund t’u jepet nxënësve opsional, d.m.th., pa ekonsideruar objekt vlerësimi.Kërkesat e programit lidhur me përmbajtjen e lëndës i gjejmë edhe tek paragrafët metitull “Konceptet dhe shprehitë kryesore”.

e) Shpërndarja e orëve (programi analitik)U theksua edhe më lart që linjat e nën linjat nuk janë kapituj linearë si ata që jemi mësuartë gjejmë në programet e mëparshme. Renditja në tabelën e shpërndarjes së orëve nuk ështëlineare. Gjatë zbatimit në klasë nuk do të thotë, p. sh. që duhet të zhvillohet numri tërësisht pastaj të llojë matja, e kështu me radhë. Përkundrazi, konceptet matematike ndërthuren(p.sh., pas disa orëve me veprime me numra mund të bëhet gjeometri, algjebër ose interpretimtë dhënash). Edhe brenda një teme mësimore konceptet ndërthuren dhe janë në funksiontë konceptit kryesor, i cili ka të bëjë me qëllimin e temës. Në fund të vitit shkollor, orëtmësimore të zhvilluara për secilën nga linjat e nën linjat, duke i gjetur ku janë zhvilluar eduke i mbledhur, duhet të jenë sa ato të parashikuara në program. Sigurisht shpërndarja enjohurive mendohet me kujdes që në llim të vitit. Në plani kimin e llim vitit, mësuesi bazohet tek teksti i nxënësit. Një tekst nxënësi, që i përgjigjet me korrektësi programit, elehtëson mjaft punën e mësuesit. Mësuesi duhet t’i studiojë me vëmendje kapitujt e tekstit,dhe nëse e konsideron të arsyeshme, në bashkëpunim me kolegët mund të bëjë ndryshimenë ndarjet e orëve në tekst, për tua përshtatur më mirë materialin mësimor objektivave të


37/184

37MATEMATIKA 8

programit dhe nevojave të nxënësve.Programi i lëndës, teksti i nxënësit, teksti i mësuesit, materialet ndihmëse, konsiderohensi një unitet brenda të cilit realizohet me sukses mësimdhënia dhe mësimnxënia e lëndës.Po ndalemi në qëllimin dhe konceptimin nga mësuesi të orëve të lira.Rreth 15% e orëve nga sasia totale e orëve janë lënë të lira për t’u përdorur nga mësuesi.Statusi i tyre është sa i detyrueshëm aq edhe opsional. Është i detyrueshëm sepse duhenzhvilluar deri në fund të vitit shkollor. Është eksibël e opsional, sepse shpërndarja përgjatë vitit dhe mbushja me material mësimor, është lënë në dorë të mësuesit në bashkëpunim me drejtoritë arsimore, drejtorinë e shkollës dhe me mësuesit e tjerë tëshkollës.Qëllimi i orëve të lira është që t’i lërë hapësirat e nevojshme iniciativës dhe krijimtarisësë shkollës, për të përmbushur sa më mirë nevojat dhe interesat e nxënësve, në përputhjeme objektivat e programit zyrtar të miratuar nga Ministria e Arsimit dhe Shkencës.Për mbushjen e tyre me material mësimor mund të përdoren burime të ndryshme.Grumbullimi i fakteve, shifrave, e të dhënave të ndryshme historike, gjeogra ke,demogra ke, kulturore, industriale, bujqësore, mund të kthehen në një burim të vlefshëm për të organizuar orë mësimore interesante.Organizimi i ekskursioneve në natyrë, të shoqëruara me veprimtari praktike, organizimii vizitave në qendra të ndryshme prodhimi, të shoqëruara me vrojtime dhe të pasuara medetyra, në ekonomi private në shërbim të një objektivi të caktuar të programit, organizimii konkurseve brenda klasës edhe për një kapitull, lojëra të ndryshme zbavitëse meelemente që zhvillojnë të menduarin kritik e logjik, përforcimi i njohurive, i shoqëruarme metoda e strategji që fuqizojnë si të nxënit ashtu edhe mësimdhënien, janë disaveprimtari rekomanduese për rubrikën e orëve të lira.Për mbushjen e kase të një pjese të orëve të lira mund të bëhet një plani kim ndërlëndorduke hartuar një plan disa orësh, që shfrytëzon lidhjet konceptuale ndërlëndore. Nxënësveu jepet një detyrë (një ose më shumë orësh) e cila përfshin njohuri ndërlëndore dhe ushërben arritjes së objektivave të programeve të disa lëndëve.Matematika mund të lidhet me të gjitha lëndët. Sa herë nxënësve ju duhet të numërojnë,të përdorin konceptin e thyesës, raportit, përqindjes, të klasi kojnë sipas një cilësie, tëzbulojnë një ligjësi, të organizojnë në një tabelë apo diagram disa të dhëna, të interpretojnëtabela, diagrame etj., atyre ju duhet të përdorin njohuritë dhe aftësitë matematike.Shpërndarja dhe larmia e veprimtarive, duke ju gjetur vendin e duhur përgjatë vititmësimor, është një element i rëndësishëm i zbatimit me sukses të rubrikës së orëve tëlira.Kujdes duhet bërë që orët e lira të mos shpërdorohen duke i shfrytëzuar për qëllimerutinë, të cilat nuk sjellin risi në kurrikulin shkollor.

f) Rubrikat “Metodologjia e zbatimit të programit”; “Metoda emësimdhënies”; “Komponentë kryesorë të mësimit të matematikës”.Metodologjia e zbatimit të programit është një nga rubrikat që nuk duhet anashkaluarnga përdoruesit e programit. Nëpërmjet shtjellimeve parashtrohen kritere që kanë të


38/184


bëjnë me mënyrën dhe shkallën e trajtimit të koncepteve në tekst, apo në materiale tëtjera ndihmëse. Në dy rubrikat e tjera përvijohen veçoritë e mësimit të matematikës përklasën përkatëse dhe parime të cilat duhet të merren parasysh nga mësuesi në plani kimine punës afatshkurtër dhe afatgjatë. Komponentët kryesorë të mësimit të matematikësi gjejmë edhe tek standardet e përmbajtjes. Për çdo program janë hartuar duke marrë parasysh speci kat përkatëse. Shembull:Konceptet e shprehitë të ngrihen mbi përvojën reale të nxënësve dhe përmes situatavereale. Zhvillimi i koncepteve t’i drejtohet mjedisit të nxënësit, përvojës së tyre të përditshme, duke përfshirë edhe lojën si element didaktik të përshtatshëm për nxënësite klasës së tetë.Kjo kërkon që si teksti, ashtu edhe materiale të tjera që mund të përdorë mësuesi nëmësimin e matematikës, të jenë të pasura me informacion nga jeta reale dhe mjedisi

rrethues.

g) Vlerësimi Në rubrikën e vlerësimit jepen kritere të përgjithshme për organizimin e vlerësimit nëklasën përkatëse. Informacion më të hollësishëm për vlerësimin, përdoruesi i programitdo ta gjejë më pas në këtë udhëzues, si dhe në materiale të tjera të botuara posaçërisht për këtë qëllim.

II.4. Programi i matematikës së klasës së tetë

4.1 Të përgjithshme

Programi i matematikës për klasën e tetë dhe zbatimi i tij janë një nga hallkat qëmundësojnë realizimin e mësimit të matematikës në ciklin e mesëm të ulët (6-9).Programi është konceptuar në vazhdim të programit të klasës së gjashtë e të shtatë lidhurme koherencën konceptuale vertikale e duke respektuar parimin spiral të dhënies sënjohurive.

Njohuritë e shprehitë matematike që transmeton programi i klasës së tetë për arsimin9-vjeçar janë vazhdim i atyre të programeve matematike të klasave paraardhëse. Programii klasës së tetë për arsimin 9-vjeçar nuk realizon mbylljen e njohurive matematike përarsimin e detyruar duke ja lënë këtë veçori programit për klasën e nëntë. Një kujdes i posaçëm i është kushtuar grupit të koncepteve e shprehive matematikeqë i duhen individit për të funksionuar në jetën e përditshme, në shtëpi, në shkollë/ punë, në komunitet. Njerëz të ndryshëm kanë nevoja të ndryshme në varësi të venditku jetojnë dhe moshës. Në programin e klasës së tetë është vënë theksi në formimin


39/184

39MATEMATIKA 8

e nevojshëm matematik të nxënësit të klasës së tetë, të cilin ai mund ta përdorë mee kasitet në situata të ndryshme të jetës së përditshme (p.sh. strategji për llogaritjetme mend, parashikimet e rezultateve, gjuha matematike, intepretimi dhe organizimi iinformacionit, përdorimi i mjeteve matëse etj.) me synim pasurimin dhe zhvillimin emëtejshëm në klasat pasardhëse.

Mësimi i matematikës në klasën e tetë të arsimit 9-vjeçar do të zhvillohet në 35 javëmësimore me 4 orë/javë. Gjithsej: 35 javë x 4 orë/javë= 140 orë vjetore

Mësimi i matematikës në arsimin 9-vjeçar dhe në veçanti edhe në klasën e tetë,kompozohet rrethkomponentëve kryesorë të tij: zgjidhja e problemave, komunikimi,arsyetimi dhe lidhjet konceptuale.

Zgjidhja e problemaveZgjidhja e problemave është në qendër të mësimit të matematikës. Është procesinëpërmjet të cilit nxënësit kuptojnë dhe ndjejnë fuqinë e matematikës në botën që irrethon. Në klasën e tetë nxënësit arrijnë të zgjidhin problema duke përdorur strategji tëndryshme dhe larmi mënyrash zgjidhjeje. Zgjidhja e problemave është pjesë konsistentee secilës nga linjat. Në klasën e tetë nxënësit duhet të jenë në gjendje për të zgjidhur problema jorutinë, të përshkruajnë zgjidhjen, të re ektojnë rreth zgjidhjes duke përdorurterminologji matematike.

Komunikimi matematikMatematika është një gjuhë, e cila merr kuptim te nxënësit në qoftë se ata llojnë tëkomunikojnë (me shkrim ose me gojë) konceptet matematike dhe të zbatojnë njohuritëmatematike në mënyrë të frytshme. Në klasën e tetë simbolika e komunikimit matematik vjen duke u pasuruar për t’iu përshtatur kërkesave të programit. Përdorimi i saktë i simboleve matematike tregon përvetësimin e gjuhës së komunikimit matematik. Nxitja e nxënësve për të përshkruarsituata, zgjidhje, vrojtime, hulumtime, për të plotësuar ose interpretuar tabela, diagrame,ndikon pozitivisht në zhvillimin e shprehive komunikuese.Zhvillimi i aftësisë për të arsyetuar në mënyrë abstrakte shoqërohet me zhvillimin eaftësisë për të komunikuar matematikisht.

ArsyetimiArsyetimi është themelor në mësimin e matematikës. Pavarësia e çdo individi zhvillohetnëpërmjet ndërgjegjësimit të tij për të arsyetuar në mënyrë logjike dhe për të argumentuarmendimin e tij.Gjatë zgjidhjes problemave, nxënësit aftësohen për të parashtruar argumente bindëse, e për të vlerësuar argumentet e paraqitura nga të tjerët. Në klasën e tetë arsyetimi bëhetgjithnjë e më i organizuar. Klasi kimi, argumentimi logjik, të menduarit induktiv dhe


40/184


analogjia janë pjesë e rëndësishme e zbatimit të programit të klasës së tetë.Zhvillimi i aftësisë për të gjykuar në mënyrë logjike është i lidhur me zhvilliminintelektual dhe verbal të nxënësit.

Lidhjet konceptualeGjatë mësimit të matematikës nxënësit kanë nevojë të kuptojnë që konceptet matematikelidhen me njëri-tjetrin, me lëndët e tjera dhe me situata të jetës së përditshme.Për këtë qëllim, linjat e përmbajtjes nuk duhen trajtuar të izoluara, por të ndërthururame njëra-tjetrën për të dhënë idenë e matematikës si një e tërë. Tërësia e matematikëska të bëjë me përdorimin e koncepteve të njërës linjë për të dhënë koncepte të linjave tëtjera si dhe në përdorimin e shprehive të ndërsjella (p.sh. të shprehive algjebrike për tëzgjidhur problema gjeometrike).Përdorimi bindës i matematikës në shtjellimet brenda lëndës dhe në ato të lëndëve të

tjera dhe anasjellas, si dhe marrja e zbatimeve nga situata reale i ndihmon nxënësit tëzbulojnë rolin e matematikës në një kontekst më të gjerë, ta konsiderojnë matematikën sinjë mjet të fuqishëm e të larmishëm për të kuptuar e për të ndikuar në botën që i rrethon.

4.2. SynimetProgrami synon që nxënësve t’u jepet mundësia të tojnë njohuri e shprehi matematikeqë përdoren jo vetëm gjatë periudhës shkollore aktuale dhe në vazhdimësi, por edhenë situata të ndryshme të jetës së përditshme. Nëpërmjet programit të matematikës përklasën e tetë, nxënësit do të zgjerojnë njohuritë për konceptin e numrit dhe do ta përdorinatë në kontekste të ndryshme, do të aplikojnë njohuri gjeometrike në situata matematikedhe jomatematike; do të mësojnë të mbledhin të dhëna dhe të përdorin teknika analizuese për të shpjeguar e zgjidhur situata; do të kuptojnë dhe interpretojnë informacionin edhënë në forma të ndryshme; do të organizojnë informacionin e mbledhur; do të përdorin konceptin e matjes dhe mjetet për të parashikuar dhe kryer matje; do të zbatojnëkonceptet algjebrike, funksionet, marrëdhëniet për të zgjidhur problema; do të bëjnëvlerësime paraprake për arritjen e një rezultati. Bosht i programit janë linjat dhe nënlinjate përmbajtjes, të cilat përshkojnë të gjithë kursin e matematikës në arsimin e detyruar.

4.3. Linjat e nënlinjat kryesoreProgrami i paraqitur në vijim është i konceptuar sipas linjave dhe nënlinjave të përmbajtjes:

Numri.1. Kuptimi i numrit2. Veprime me numra

Matja.1. Kuptimi i matjes2. Njehsimi i gjatësisë, perimetrit, sipërfaqes dhe vëllimit


41/184

41MATEMATIKA 8

Gjeometria.1. Gjeometria në plan2. Gjeometria në hapësirë3. Shndërrimet gjeometrike

Algjebra dhe funksioni.1. Kuptimi i shprehjeve shkronjore2. Shndërrime të shprehjeve shkronjore3. Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve4. Funksioni. Mbledhja, organizimi dhe përpunimi i të dhënave; probabiliteti.1. Statistikë

2. Probabilitet.

4.4. Objektivat, njohuritë e aftësitë sipas linjave e nënlinjaveSynimi i programit të matematikës për klasën e tetë detajohet në objektiva për secilënlinjë e nënlinjë. Në përputhje me objektivat përcaktohen edhe konceptet e aftësitë përkatëse.

Linja 1 Numri

Kuptimi i numrit

Objektiva

liber mesuesi matematika 8.pdf

Documents