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Exercícios de Cálculo II

1 Equações diferenciais

ordinárias

1.1 Separáveis e homogé-

neas

1. Resolva as equações diferenciais abaixo.

(a) dydx

= y2x;

Resp: y2 = Cx;

(b) dydx

= 3y−1x

;

(c) dydx

= x2

y2.

Resp: x3 − y3 = C;

(d) dydx

= x2y2;

(e) dydx

= x2

y3.

Resp: y4

4= x3

3+ C

(f) dydx

= x2y3;

(g) dydx

= 2y.

Resp: y = Cex2

2 ;

(h) dydx

= ey sinx;

(i) dydx

= 1− y2.

Resp: y = Ce2x−1Ce2x+1

(j) dydx

= 1 + y2;

(k) dydx

= 2 + ey.

Resp: y = − log(Ce−2x − 12);

(l) dydx

= y2(1− y);

(m) dydx

= sinx cos2 y.

Resp: y = tan−1(C − cosx) + nπ;

(n) x dydx

= y log x;

(o) dydx

= x+yx−y .

Resp: 2 tan−1( yx) = log(x2 + y2) +

C;

(p) dydx

= xyx2+2y2

;

(q) dydx

= x2+xy+y2

x2 .

Resp: tan−1( yx) = log |x|+ C;

(r) dydx

= x3+3xy2

3x2y+y3;

(s) x dydx

= y + x cos2(xy).

Resp: y = x tan−1(log |Cx|);(t) dy

dx= y

x− e− y

x .

2. Mostre que a curva x2 − y2 = c, paraqualquer valor de c, satifaz a equaçãodiferencial dx

dy= x

yem todos os seus pon-

tos (note que a curva é uma curva denível).

3. Ache uma equação da curva do planoxy que passa pelo ponto (2, 3) e tem,em cada ponto (x, y), inclinação igual a

2x1+y2

.

Resp: y3 + 3y − 3x2 = 24.

4. Repita o exercício anterior para o ponto(1, 3) e inclinação 1 + 2y

x.

5. Mostre que a mudança de variáveis ξ =x−x0 e η = y−y0 transforma a equação

dy

dx=ax+ by + c

ex+ fy + g

1

1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2

na equação homogénea

dη

dξ=aξ + bη

eξ + fη

sabendo que (x0, y0) é a solução do sis-tema {

ax+ by + c = 0ex+ fy + g = 0.

6. Use a técnica do exercício anterior pararesolver a equação dy

dx= x+2y−4

2x−y−3.

1.2 Equações diferenciais

lineares de primeira ordem

7. Resolva as seguintes equações diferen-ciais:

(a) dydx− 2y

x= x2.

Resp: y = x3 + cx2;

(b) dydx

+ 2yx

= 1x2 ;

(c) dydx− 2y = 3.

Resp: y = 32

+ Ce−2x;

(d) dydx

+ y = ex;

(e) dydx

+ y = x.

Resp: y = x− 1 + Ce−x;

(f) dydx

+ 2exy = ex.

8. Resolva os seguintes problemas de valorinicial:

(a)

{dydx

+ 10y = 1y( 1

10) = 2

10

Resp: y = 1+e(1−10t)

10;

(b)

{dydx

+ 3x2y = x2

y(0) = 1

(c)

{dydx

+ (cosx)y = 2xe− sinx

y(π) = 0

Resp: y = (x2 − π2)e− sinx;

(d)

{x2 dy

dx+ y = x2e

1x

y(1) = 3e

(e)

{dydt− y = 2te2t

y(0) = 1

(f)

{dydt

+ 2ty = cos t

t2

y(π) = 0

(g)

{tdydt

+ (1 + t)y = ty(ln 2) = 1

9. Para quais valores de y0 a solução doproblema de valor inicial{

y′ − y = 1 + 3 sin ty(0) = y0

é �nita quando t→ +∞?

10. Encontre as coordenadas do menormáximo local da solução do problemainicial {

dydx

+ 12y = 2 cos xy(0) = 1

11. Descreve o comportamente asintóticoquando t → +∞ das soluções daequação diferencial y′+ay = be−λt paratodos a > 0, λ > 0 e b ∈ R.

12. Resolve e descreve o comportamento as-intótico quando t → ∞ da solução aoproblema inicial{

dydt

+ y4

= 3 + 2 cos 2ty(0) = 0.

Para qual t > 0 a solução vale pelaprimeira vez 12?

2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 3

1.3 Equações exatas. Fa-

tores integrantes

13. Mostre que as equações diferenciaisabaixo são exatas e resolva-as.

(a) (xy2 + y)dx+ (x2y + x)dy = 0;

Resp: 2xy + x2y2 = C;

(b) (ex sin y + 2x)dx + (ex cos y +2y)dy = 0;

(c) exy(1 + xy)dx+ x2exydy = 0.

Resp: xexy = C;

(d) (2x+ 1− y2

x2 )dx+ 2yxdy = 0.

14. Mostre que as equações diferenciaisabaixo admitem fatores integrantes de-pendentes somente de x e depoisresolva-as.

(a) (x2 + 2y)dx− xdy = 0.

Resp: log |x| − yx2 = C;

(b) (xex+x log y+y)dx+(x2

y+x log x+

x sin y)dy = 0.

15. Que condições devem satisfazer os coe-�cientes M(x, y) e N(x, y) se a equaçãoMdx+Ndy = 0 tem um fator integrantena forma µ(y), e que equação diferencialeste fator integrante deve satisfazer ?

16. Ache um fator integrante na forma µ(y)para a equação

2y2(x+ y2)dx+ xy(x+ 6y2)dy = 0.

e depois resolva-a.

17. Ache um fator integrante na forma µ(y)para a equação

ydx− (2x+ y3ey)dy = 0.

e depois resolva-a.

Resp: x− y2ey = Cy2.

2 Função de uma variá-

vel real a valores em R2 e

R3

2.1 Propriedades dos es-

paços R2 e R3

18. Determine a equação da reta que passapelo ponto (1, 2) e que é perpendicularà direção do vetor ~n = (−1, 3). Resp:−x+ 3y − 5 = 0.

19. Determine a equação, na forma vetorial,da reta que passa pelo ponto (3,−1) e éperpendicular à reta 2x−3y = 7. Resp:(x, y) = (3,−1) + t(2,−3).

20. Determine a equação da reta que passapelo ponto (1, 2) e que seja paralela àdireção do vetor ~v = (−1, 1). Resp:(x, y) = (1, 2) + t(−1, 1).

21. Determine um vetor cuja direção sejaparalela à reta 3x + 2y = 2. Resp:(−2, 3).

22. Determine a equação, na forma vetorial,da reta que passa pelo ponto (1

2, 1) e

é paralela à reta 3x + 2y = 2. Resp:(x, y) = (1

2, 1) + t(−2, 3).

23. Determine equações para as seguintesretas:

(a) que passa pelos pontos (1, 1, 0) e(0, 0, 1);

(b) que passa pelos pontos (2, 0, 0) e(0, 1, 0);

(c) que passa pelos pontos (−1,−1, 0)e (1, 8,−4);

(d) que passa pelo ponto (1, 1, 0) e tem

direção −~ı− ~+ ~k;


(e) que passa pelo ponto (0, 1, 2) e tem

direção ~ı+ ~+ ~k.

24. Em que ponto a última reta do exercícioanterior intersecta o plano xy?

25. Será que as retas dadas por R1 = (t, 3t−1, 4t) e R2 = (3t, 5, 1 − t), t ∈ R, seintersectam?

26. Determine o único valor de c ∈ R parao qual as retas R1 = (t,−6t+ c, 2t− 8)e R2 = (3t+ 1, 2t, 0) se intersectam.

27. Determine a equação do plano que passapelo ponto dado e que seja perpendicu-lar à direção do vetor ~n dado.

(a) (1, 1, 1), ~n = (2, 1, 3); Resp: 2x +y + 3z = 6;

(b) (2, 1,−1), ~n = (−2, 1, 2); Resp:2x− y − 2z = 5.

28. Determine um vetor não nulo que sejaortogonal aos vetores ~u e ~v dados.

(a) ~u = (1, 2,−1), ~v = (2, 1, 2). Resp:(5,−4,−3);

(b) ~u = (3, 2,−1), ~v = (−1, 2, 1).Resp: (4,−2, 8).

29. Determine a equação vetorial da retaque passa pelo ponto dado e que sejaperpendicular ao plano dado.

(a) (0, 1,−1), x + 2y − z = 3; Resp:(x, y, z) = (0, 1,−1) + t(1, 2,−1);

(b) (2, 1,−1), 2x + y + 3z = 1; Resp:(x, y, z) = (2, 1,−1) + t(2, 1, 3);

30. Determine a equação vetorial da retaque passa pelo ponto (1, 2,−1) e queseja perpendicular à direção dos vetores~u = (1, 1, 1) e ~v = (1,−2, 1). Resp:(x, y, z) = (1, 2,−1) + t(3, 0,−3);

31. Determine a equação do plano que passapelo ponto dado e que seja paralelo aosvetores ~u e ~v dados.

(a) (1, 2, 1), ~u = (−1, 1, 2), ~v =(2, 1,−1). Resp: x− y + z = 0;

(b) (0, 1, 2), ~u = (2,−1, 3), ~v =(1, 1, 1). Resp: −4x+ y + 3z = 7.

32. Calcule o ângulo entre os vetores 3~ı+4~e 3~+ 4~k.

33. Calcule a norma do vetor dado.

(a) ~u = (1, 2). Resp:√

5;

(b) ~u = (2, 1, 3). Resp:√

14;

(c) ~u = (0, 1, 2). Resp:√

5;

(d) ~u = (12, 1

3). Resp:

√136.

34. Sejam ~u e ~v vetores em R3. Prove:

~u ⊥ ~v ⇔ ||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2.

35. Apresente um vetor unitário no planoxy que seja ortogonal a 2~ı− ~.

36. Determine o ângulo entre a diagonaldum cubo e uma das arestas que a in-tersecta.

37. Determine a distância do ponto(2, 8,−1) à reta que passa por (1, 1, 1)

e tem direção 1√13

(~ı+ ~+ ~k).

38. Determine a distância do ponto(1, 1,−1) à reta que passa por (2,−1, 2)

na direção de ~k.

39. Calcule a distância de (1, 1, 2) à retax = 3t+ 2, y = −t− 1, z = t− 1.

40. Calcule a distância do ponto (1, 1, 0) àreta que passa por (1, 0,−1) e (2, 3, 1).


41. Determine uma equação para cada umdos seguintes planos:

(a) que passa pela origem e é ortogonal

a ~ı+ ~+ ~k;

(b) que passa por (1, 0, 0) e é ortogonal

a ~ı+ ~+ ~k;

(c) que passa pela origem e é ortogonala ~ı;

(d) que contém o ponto (a, b, c) e tem

a~ı+ b~+ c~k como vetor normal;

(e) que passa pelos pontos (1, 0, 0),(0, 2, 0) e (0, 0, 3).

42. Determine um vetor unitário normal aosseguintes planos:

(a) dado por 2x+ 3y + z = 0;

(b) dado por 8x− y − 2z + 10 = 0;

(c) que contém a origem e passa pelospontos (1, 1, 1) e (1, 1,−1);

(d) que contém a reta (1 + t, 1− t, t) eo ponto (1, 1, 1).

43. Os planos 3x+4y+5z = 6 e x−y+z =4 intersectam-se numa reta. Determineuma equação dessa reta.

44. Determine a reta em que os planos x+y = z e y + z = x se intersectam, in-dicando um ponto da reta e um vetor-direção dela.

45. Calcule a distância entre o ponto(1, 1, 1) e o plano x− y − z + 10 = 0.

46. Determine a distância entre o ponto(2,−1, 2) ao plano 2x− y + z = 5.

47. Determine a distância da origemao plano que passa pelos pontos(1, 2, 3), (−1, 2, 3) e (0, 0, 1).

48. Calcule a distância do ponto (4, 2, 0) aoplano que passa por (0, 0, 0), (1, 1, 1) e(1, 1, 2).

2.2 Função de uma variável

real a valores em R2

49. Seja F a função dada por F (t) = (t, 2t).Calcule F (0) e F (1) e desenhe a imagemde F .

50. Desenhe a imagem da função F dadapor F (t) = (t, t2).

51. Desenhe a imagem da função F dadapor F (t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].

52. Desenhe a imagem da função F dadapor F (t) = (2 cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].

53. Desenhe a imagem de:

(a) F (t) = (1, t);

(b) F (t) = (t, t+ 1);

(c) F (t) = (2t− 1, t+ 2);

(d) F (t) = (t, t3);

(e) F (t) = (t2, t);

(f) F (t) = (t2, t4);

(g) F (t) = (cos t, 2 sin t);

(h) F (t) = (sin t, sin t).

2.3 Função de uma variável

real a valores em R3

54. Desenhe a imagem de:

(a) F (t) = (t, t, t);

(b) F (t) = (cos t, sin t, 1);

(c) F (t) = (cos t, sin t, bt), b > 0 e t ≥0;


(d) F (t) = (1, t, 1);

(e) F (t) = (1, 1, t);

(f) F (t) = (t, t, 1);

(g) F (t) = (1, 0, t);

(h) F (t) = (t, t, 1 + sin t);

(i) F (t) = (t, cos t, sin t).

55. Seja F dada por F (t) =(log t, t,

√1− t2, t2). Determine o

domínio de F . Resp: 0 < t ≤ 1

56. Determine o domínio de

F (t) = (t,

√t− 2

t+ 1, log(5− t2), e−t).

Resp: −√

5 < t < −1 ou 2 ≤ t <√

5

2.4 Operações com funções

de uma variável real a valores

em R3

57. Sejam ~F (t) = (t, sin t, 2) e ~G(t) =(3, t, t2). Calcule:

(a) ~F (t) · ~G(t). Resp: 3t+ t sin t+ 2t2;

(b) e−t ~F (t). Resp:(e−t, e−t sin t, 2e−t);

(c) ~F (t)− 2~G(t). Resp: (t− 6, sin t−2t, 2− 2t2);

(d) ~F (t)∧ ~G(t). Resp: (t2 sin t−2t, 6−t3, t2 − 3 sin t).

58. Calcule ~r(t)∧~x(t), onde ~r(t) = t~i+2~j+

t2~k e ~x(t) = t~i−~j+~k. Resp: (2 + t2)~i+

(t3 − t)~j − 3t~k.

59. Calcule ~u(t) · ~v(t), onde ~u(t) = sin t~i +

cos t~j + t~k e ~v(t) = sin t~i + cos t~j + ~k.Resp: 1 + t.

60. Sejam ~F , ~G, ~H três funções de�nidas emA ∈ R e a valores em R3. Veri�que que:

(a) ~F ∧ ~G = −~G ∧ ~F ;

(b) ~F · (~G+ ~H) = ~F · ~G+ ~F · ~H;

(c) ~F ∧ (~G+ ~H) = ~F ∧ ~G+ ~F ∧ ~H;

2.5 Limite de uma função


em R3

61. Calcule:

(a) limt→1~F (t), onde ~F (t) =

(√t−1t−1

, t2, t−1t

). Resp: (12, 1, 0);

(b) limt→0~F (t), onde ~F (t) =

( tan 3tt, e

2t−1t, t3). Resp: (3, 2, 0).

2.6 Derivada de uma função


em R3

62. Calcule d~Fdt

e d2 ~Fdt2

(a) ~F (t) = (3t2, e−t, log(t2 +1)). Resp:(6t,−e−t, 2t

1+t2) e (6, e−t, 2−2t2

(1+t2)2);

(b) ~F (t) = (√

3t2, cos t2, 3t).Resp: ( 2

3√

3t,−2t sin t2, 3) e

( −29t√

3t,−(2 sin t2 + 4t2 cos t2), 0;

(c) ~F (t) = (sin 5t, cos 4t,−e−2t).Resp: (5 cos 5t,−4 sin 4t, 2e−2t) e(−25 sin 5t,−16 cos 4t,−4e−2t).

63. Determine a equação da reta tangenteà trajetória da função dada, no pontodado.


(a) ~F (t) = (cos t, sin t, t) e ~F (π3).

Resp: (x, y, z) = (12,√

32, π

3) +

t(−√

32, 1

2, 1), t ∈ R;

(b) ~F (t) = (t2, t) e ~F (1). Resp:(x, y) = (1, 1) + t(2, 1), t ∈ R;

(c) ~F (t) = (1t, 1t, t2) e ~F (2).

Resp: (x, y, z) = (12, 1

2, 4) +

t(−14,−1

4, 4), t ∈ R;

(d) ~F (t) = (t, t2, t, t2) e ~F (1).Resp: (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) +t(1, 2, 1, 2), t ∈ R.

64. Seja ~F : I → R3, I intervalo, derivávelaté a segunda ordem em I. Suponhaque existe um real λ tal que, para todo

o t ∈ I, d2 ~Fdt2

(t) = λ~F (t). Prove que~F (t) ∧ d~F

dt(t) é constante em I.

65. Suponha que ~F : R→ R3 seja derivávelaté a segunda ordem e que, para todo ot ≥ 0, ||~F (t)|| =

√t.

(a) Prove que d~Fdt

(t) · d~Fdt

(t) = −~F ·d2 ~Fdt2

(t) em [0,+∞];

(b) Seja θ o ângulo entre ~F e d2 ~Fdt2

(t).Conclua que π

2≤ θ ≤ π.

66. Suponha ||~v(t)|| 6= 0 para todo o t. Faça~T (t) = ~v(t)

||~v(t)|| . Prove que ~T e d~Tdt

(t) sãoortogonais.

67. Seja ~r(t) = (a coswt, b sinwt), ondea, b, w são constantes não nulas. Mostreque

d2~r

dt2(t) = −w2~r.

2.7 Integral de uma função


em R3

68. Mostre que:

(a)∫ 1

0(t, et)dt = (1

2, (e− 1));

(b)∫ 1

−1(sin 3t, 1

1+t2, 1)dt = (0, π

2, 2);

(c)∫ 2

1(3, 2, 1)dt = (3, 2, 1).

69. Sejam ~T (t) = (t, 1, et) e ~G(t) = (1, 1, 1).Mostre que:

(a)∫ 1

0(~T (t)∧ ~G(t)) = (2−e, e− 3

2,−1

2);

(b)∫ 1

0(~T (t) · ~G(t)) = 1

2+ e.

70. Seja ~F (t) uma força, dependente dotempo t, que actua sobre uma partículaentre os instantes t1 e t2. Supondo ~F (t)integrável em [t1, t2], o vetor

~I =

∫ t2

t1

~F (t)dt

denomina-se impulso de ~F no intervalode tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de~F no intervalo de tempo dado.

(a) ~F (t) = (t, 1, t2); t1 = 0, t2 = 2.Resp: (2, 2, 8

3)

(b) ~F (t) = ( 1t+1, t2, 1); t1 = 0, t2 = 1.

Resp: (2, 13, 1).

71. Suponha que ~F (t) é a força resultanteque actua, no instante t, sobre umapartícula de massa m que se move noespaço. Mostre que o impulso de ~F nointervalo de tempo [t1, t2] é igual à vari-

ação da quantidade de movimrento, istoé, ∫ t2

t1

~F (t)dt = m~v2 −m~v1,

3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 8

onde ~v2 e ~v1 são, respectivamente, as ve-locidades nos instantes t2 e t1. (Sug-

estão: pela Lei de Newton ~F (t) = m~a.)

3 Funções de várias

variáveis a valores reais

72. Represente gra�camente o domínio dafunção f dada por

f(x, y) =√y − x+

√1− y.

73. Represente gra�camente o domínio dafunção w = f(u, v) dada por

u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0.

74. Represente gra�camente o domínio dafunção z = f(x, y) dada por

z =√y − x2.

75. Diga qual o domínio das seguintesfunções:

(a) f(x, y) = y/x;

(b) f(x, y) = x+yx−y ;

(c) f(x, y) = x+yx2+y2−1

;

(d) f(x, y) = 2xyx2+y2

;

(e) f(x, y, z) = 2x+y−zx2+y2+z2−1

;

(f) f(x, y, z) = zx2−4y2−1

;

(g) f(x, y) = x2+y2

x2−y2 ;

(h) f(x, y) = 2x−sin(y)1+cos(x)

;

(i) f(x, y) = ex−ey

1+sin(x);

(j) f(x, y) = sin(xy)√x2+y2−1

.

76. Seja f(x, y) = 3x+ 2y. Mostre que:

(a) f(1,−1) = 1;

(b) f(a, x) = 3a+ 2x;

(c) f(x+h,y)−f(x,y)h

= 3;

(d) f(x,y+k)−f(x,y)k

= 2;

77. Seja f(x, y) = x−yx+2y

.

(a) Determine o domínio. Resp:{(x, y) ∈ R2 : x 6= −2y};

(b) Calcule f(2u+ v, v − u). Resp: uv.

78. Represente gra�camente o domínio dafunção z = f(x, y) dada por:

(a) x+ y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0.

(b) f(x, y) = x−y√1−x2−y2

.

(c) z =√y − x2 +

√2x− y.

(d) z = log(2x2 + y2 − 1).

(e) z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0.

(f) z =√|x| − |y|.

79. Seja f : R2 → R uma função linear.Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3,calcule f(x, y). Resp: f(x, y) = 2x+3y.

80. Veri�que se a função é homogénea. Emcaso a�rmativo, determine o grau de ho-mogeneidade.

(a) f(x, y) = x3+2xy2

x3−y3 . Resp: ho-mogénea de grau 0;

(b) f(x, y) =√x4 + y4. Resp: ho-

mogénea de grau 2;

(c) f(x, y) = 5x3y+x4 + 3. Resp: nãoé homogénea;

(d) f(x, y) = 2x2+y2

. Resp: homogéneade grau -2.

81. Suponha f : R2 → R homogénea degrau 2 e f(a, b) = a para todos os pares(a, b), com a2 + b2 = 1. Mostre que:


(a) f(4√

3, 4) = 32√

3;

(b) f(0, 3) = 0;

(c) f(x, y), (x, y) 6= (0, 0).

82. Suponha f : R2 → R homogénea esuponha que f(a, b) = 0 para todo o(a, b) com a2 + b2 = 1. Mostre quef(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).

83. Seja g : [0, 2π[→ R uma função dada.Prove que existe uma única função f :R2 → R, homogénea de grau λ 6=0, tal que, para todo o α ∈ [0, 2π[,f(cosα, sinα) = g(α). (NOTA: esteexercício nos diz que uma função ho-mogénea �ca completamente determi-nada quando se conhecem os valores queela assume nos pontos de uma circunfe-rência de centro na origem).

3.1 Grá�co e curvas de nível

84. Faça um esboço das curvas de nível dasfunções seguintes com o valor indicado.

(a) f(x, y) = 1 − x − y com valor 1 evalor −1;

(b) f(x, y) = 2xyx2+y2

com valores −1, 0e 1. Descreva em geral as curvasde nível desta função. (Sugestão:use coordenadas polares.)

(c) f(x, y) = x+yx−y com valores 1 e 0.

Descreva as curvas de nível destafunção em geral.

(d) f(x, y) = x2+y2

x2−y2 com valores −1, 0e 1. Descreva também as curvasde nível para qualquer valor α ∈R. (Sugestão: use coordenadas po-lares.)

85. Esboce as curvas de nível da funçãof(x, y) = 3−1/(x2+y2) com valores 1/e,1, 0 e 4.

(a) Como são as curvas de nível paraα ∈ R? (Sugestão: coordenadaspolares!)

(b) Como é a secção do grá�co peloplano y = 0, i.e, a intersecçãodo grá�co de f com o plano xz?Faria diferença se tomasse outroplano vertical que passasse pelaorigem? (Sugestão: novamente co-ordenadas polares...)

(c) Esboce o grá�co de f .

86. Seja f a função dada por z = 1x2+y2

.

(a) Determine o domínio e a imagem;

(b) Desenhe as curvas de nível;

(c) Esboce o grá�co.

87. Seja f a função dada por z = yx−1

.


(b) Desenhe as curvas de nível.

88. Seja f(x, y) = 2xy2

x2+y4, (x, y) 6= (0, 0).


(b) Desenhe as curvas de nível.

89. Desenhe as curvas de nível e esboce ográ�co:

(a) f(x, y) = 1− x2 − y2;

(b) f(x, y) = x+ 3y;

(c) z = 4x2 + y2;

(d) f(x, y) = 1 + x2 + y2;

(e) z = x+ y + 1;

(f) f(x, y) =√

1− x2 − y2;

90. Desenhe as curvas de nível e determinea imagem.

(a) f(x, y) = x − 2y. Resp: Im(f) =R;


(b) f(x, y) = yx−2

. Resp: Im(f) = R;

(c) z = x−yx+y

. Resp: Im(f) = R;

(d) f(x, y) = xy−1

. Resp: Im(f) = R;

(e) z = xy. Resp: Im(f) = R;

(f) f(x, y) = x2 − y2. Resp: Im(f) =R;

(g) z = 4x2 + y2. Resp: Im(f) =[0,+∞[;

(h) z = 3x2−4xy+y2. Resp: Im(f) =R;

91. Seja f(x, y) = x2

x2+y2. Desenhe a imagem

da curva γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), ondexR cos t, y = R sin t e z = f(x(t), y(t)),R > 0. Como é o grá�co de f?

92. Suponha T (x, y) = 2x + y(oC) repre-sente uma distribuição de temperaturano plano xy.

(a) Desenhe as isotermas corre-spondentes às temperaturas:0oC, 3oC,−1oC.

93. Esboce as seguintes superfícies no es-paço tridimensional.

(a) z = x2 + 2;

(b) z = |y|;(c) z2 + x2 = 4;

(d) x2 + y = 2;

(e) x = −8z2 + x;

(f) z =√x2 + y2;

(g) z = max{|x|, |y|};(h) z = sin(x);

(i) y = 1− x2 − z2.

94. Escreva uma expressão em coordenadascilíndricas e em coordenas esféricas paraa superfície dada por z = x2 − y2 emcoordenadas cartesianas.

95. Escreva uma expressão em coordenadasesféricas para a superfície dada porxz = 1 em coordenadas cartesianas.

96. Dê uma expressão para z = x2 + y2 emcoordenadas esféricas.

97. Descreva a superfície dada em coorde-nadas esféricas por ρ = φ.

3.2 Derivadas parciais

98. Determine as derivadas parciais:

(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4.

Resp: ∂f∂x

= 20x3y2 + y3

∂f∂y

= 10x4y + 3xy2;

(b) z = cosxy.

Resp: ∂z∂x

= −y sinxy∂z∂y

= −x sinxy;

(c) z = x3+y2

x2+y2.

Resp: ∂z∂x

= x4+3x2y2−2xy2

(x2+y2)2

∂z∂y

= 2x2y(1−x)(x2+y2)2

;

(d) f(x, y) = e−x2−y2 .

Resp: ∂f∂x

= −2xe−x2−y2

∂f∂y

= −2ye−x−y2;

(e) z = x2 log(1 + x2 + y2).

(f) z = xyexy.

Resp: ∂z∂x

= yexy(1 + xy)∂z∂y

= xexy(1 + xy);

(g) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y.

Resp: ∂f∂x

= 12y(4xy−3y3)2 +10xy∂f∂y

= 3(4xy−3y3)2(4x−9y2)+5x2;

(h) z = arctan xy;

Resp: ∂z∂x

= yx2+y2

∂z∂y

= −xx2+y2

;


(i) f(x, y) = xy.

Resp: ∂f∂x

= yxy−1

∂f∂y

= xy log x;

(j) z = (x2 + y2) log(x2 + y2).

Resp: ∂z∂x

= 2x[1 + log(x2 + y2)]∂z∂y

= 2y[1 + log(x2 + y2)];

(k) f(x, y) =√

3x3 + y2 + 3.∂f∂x

= x2√

3(x3+y2+3)2

∂f∂y

= 2y

3√

3(x3+y2+3)2.

99. Considere a função z = xy2

x2+y2. Veri�que

que x ∂z∂x

+ y ∂z∂y

= z.

100. Seja φ : R → R uma função de umavariável real, diferenciável e tal queφ′(1) = 4. Seja z(x, y) = φ(x

y). Cal-

cule ∂z∂x

(1, 1) e ∂z∂y

(1, 1).

Resp: 4 e −4.

101. Seja z(x, y) a função do exercício ante-rior. Veri�que que:

x∂z

∂x(x, y) + y

∂z

∂y(x.y) = 0

para todo o (x, y) ∈ R2, com y 6= 0.

102. Novamente, seja φ : R→ R uma funçãode uma variável real, diferenciável, e de-�na z = φ(x− y)/y. Veri�que que

z + y∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 0,

para todo o x ∈ R e todo o y 6= 0.

103. Considere a função dada por z =x sin x

y. Veri�que que

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z.

104. A função p = p(V, T ) é dada implicita-mente pela equação pV = nRT , onde ne R são constantes não nulas. Calcule∂p∂V

e ∂p∂T

.

Resp: ∂p∂V

= −nRTV 2 e ∂p

∂T= nR

V.

105. Seja z = eyφ(x − y), onde φ é umafunção diferenciável de uma variávelreal. Mostre que

∂z

∂x+∂z

∂y= z.

106. Seja φ : R → R uma função difer-enciável de uma variável real e sejaf(x, y) = (x2 + y2)φ(x

y). Mostre que

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y= 2f.

107. Sejam z = ex2+y2 , x = ρ cos θ e y =

ρ sin θ. Veri�que que:

∂z

∂ρ= ex

2+y2(2x cos θ + 2y sin θ).

Conclua que:

∂z

∂ρ=∂z

∂xcos θ +

∂z

∂ysin θ.

108. Suponha que a função z = z(x, y) ad-mita derivadas parciais em todos ospontos do seu domínio e que seja dadaimplicitamente pela equação xyz+z3 =x. Expresse ∂z

∂xe ∂z∂y

em termos de x, ye z.

Resp: ∂z∂x

= 1−yzxy+3z2

e ∂z∂y

= −xzxy+3z2

.

109. Seja z = f(x+at), onde f é uma funçãodiferenciável de uma variável real e auma constante. Veri�que que

∂z

∂t= a

∂z

∂x.


110. Seja z = f(x2 − y2), onde f(u) éuma função diferenciável de uma var-iável real. Veri�que que

y∂z

∂x+ x

∂z

∂y= 0.

111. Considere a função dada por w = xy +z4, onde z = z(x, y). Admita que∂z∂x

(x = 1, y = 1) = 4 e que z = 1 parax = 1 e y = 1. Calcule ∂w

∂x(x = 1, y =

1).

Resp: 17.

112. Seja f(x, y) = e−x2φ(2y − x), onde φ é

uma função diferenciável de uma variá-vel real. Mostre que:

2∂f

∂x+∂f

∂y= −f.

113. Seja f(x, y) =∫ x2+y2

0e−t

2dt. Calcule

∂f∂x

(x, y) e ∂f∂y

(x, y).

Resp: ∂f∂x

(x, y) = 2xe−(x2+y2)2 e∂f∂y

(x, y) = 2ye−(x2+y2)2 .

114. Seja f(x, y) =∫ y2x2 e

−t2dt. Calcule∂f∂x

(x, y) e ∂f∂y

(x, y).

Resp: ∂f∂x

(x, y) = −2xe−x4e ∂f∂y

(x, y) =

2ye−y4.

115. Calcule as derivadas parciais.

(a) f(x, y, z) = xyz.

(b) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2.

(c) f(x, y, z) = xex−y−z.

(d) w = x2 arcsin y2.

(e) w = xyzx+y+z

.

(f) f(x, y, z) = cos(xy3) + e3xyz.

(g) f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2).

(h) f(x, y, z) = xyz.

(i) s = f(x, y, z, w) dada por s =xw log(x2 + y2 + z2 + w2).

116. Seja f(x, y) = 3x2 +2 sin(x/y2)+y3(1−ex). Calcule fx(2, 3), fx(0, 1), fy(1, 1) efy(−1,−1).

117. Calcule

(a) ∂∂sestu

2;

(b) ∂∂r

(13πr2h

);

(c) ∂∂λ

(cos(λµ)

1+λ2+µ2

);

(d) ∂∂a

(bcd).

118. Calcule lim∆y→03+(x+y+∆y)2z−(3+(x+y)2z)

∆y.

119. Seja f(x, y, z) = xx2+y2+z2

. Veri�que que

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y+ z

∂f

∂z= −f.

120. Seja s = f(x, y, z, w) dada por s =e

xy− z

w . Veri�que que

x∂s

∂x+ y

∂s

∂y+ z

∂s

∂z+ w

∂s

∂w= 0.

121. Seja f : R→ R contínua com f(3) = 4.Seja

g(x, y, z) =

∫ x+y2+z4

0

f(t)dt.

Calcule ∂g∂x

(1, 1, 1), ∂g∂y

(1, 1, 1) e∂g∂z

(1, 1, 1).

3.3 Derivadas de ordem su-

perior

122. Ache todas as derivadas parciais segun-das das seguintes funções:


(a) z = 3x2 + 2y2;

(b) z = sin(x2 − 3xy);

(c) z = (2x2+7x2y)3xy

;

(d) z = x2y2e2xy.

123. Seja f(x, y, z) = x2y + xy2 + yz2. Achefxy, fyz, fzx, fxyz.

124. Calcule todas as derivadas segundas dafunção u = u(x, y) e veri�que direta-mente a igualdade das derivadas parci-ais mistas.

(a) u = 2xy(x2+y2)2

;

(b) u = cos(xy2);

(c) u = e−xy2

+ y3x4;

(d) u = 1cos2 x+e−y .

125. Uma função z = f(x, y) com derivadasparciais segundas contínuas e que satis-faz a equação de Laplace

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0

é chamada de função harmónica.Mostre que as funções z(x, y) = x3 −3xy2 e z = f(x, y) = log(x2 + y2) sãoharmónicas.

126. Quais das seguintes funções satisfazema equação de Laplace ?

(a) f(x, y) = x2 − y2;

(b) f(x, y) = x2 + y2;

(c) f(x, y) = xy;

(d) f(x, y) = y3 − 3xy2;

(e) f(x, y) = ex sin y.

127. Sejam f e g funções diferenciáveis deuma variável. Seja z = f(x− t) + g(x−t). Prove que z satisfaz a equação deonda ∂2z

∂t2= ∂2z

∂x2 .

128. Dada w = f(x, y) com x = u + v e y =u− v, mostre que

∂2w

∂u∂v=∂2w

∂x2− ∂2w

∂y2.

129. Seja z = x4y3−x8 + y4. Calcule ∂3z∂y∂x∂x

,∂3z

∂x∂x∂y, ∂3z∂x∂y∂y

e ∂3z∂y∂y∂x

.

130. Veri�que que a função f(x, y, z) =1√

x2+y2+z2satisfaz

fxx + fyy + fzz = 0.

3.4 Funções diferenciáveis

131. Veri�que que a função dada é diferen-ciável.

(a) f(x, y) = ex−y2;

(b) f(x, y) = x4 + y3;

(c) f(x, y) = x2y;

(d) f(x, y) = log(1 + x2 + y2);

(e) f(x, y) = x cos(x2 + y2).

3.5 A Diferencial

132. Calcule a diferencial.

(a) z = x3y2;

(b) z = sinxy;

(c) u = es2−r2 ;

(d) T = log(1 + p2 + v2).

133. Seja z =√x+√

3y.

(a) Calcule a diferencial de z no ponto(1, 8).

Resp: dz = 12dx+ 1

12dy;


(b) Calcule um valor aproximado paraz correspondente a x = 1, 01 e y =7.9.

Resp: 2.9966;

(c) Calcule um valor aproximado paraa variação ∆z em z, quando sepassa de x = 1, y = 8 para x =0.9, y = 8.01.

Resp: ∆z ≈ −0.049166.

134. Calcule um valor aproximado para avariação ∆A na área de um rectânguloquando os lados variam de x = 2m ey = 3m para x = 2, 01 e y = 2.97m.

Resp: ∆A ≈ −0.03.

135. Uma caixa de forma cilíndrica é feitacom um material de espessura 0.03m.As medidas internas são: altura 2m eraio da base 1m. A caixa é sem tampa.Calcule um valor aproximado para ovolume do material utilizado na caixa.

Resp: ∆V ≈ 0.15π.

136. A altura de um cone é h = 20cm e oraio da base r = 12cm. Calcule umvalor aproximado para o volume ∆V novolume quando h aumenta 2mm e r de-cresce 1mm.

137. Calcule aproximadamente

(a) (1, 01)2,03. (Resp: 1,02.)

(b)√

(0, 01)2 + (3, 02)2 + (3, 9)2.(Resp: 4,93.)

(c) (1, 01)2(1−√

1, 98).

(d) (0.99)3 + (2, 01)3 − 6(0, 99)(2, 01).

(e) tan(π+0,01

3,97

).

(f)√

(4, 01)2 + (3, 98)2 + (2, 02)2.

(g) (0, 98) sin(

0,991,03

).

(h) 1,010,97

.

(i) (0, 98)(0, 99)(1, 03).

(j) (1, 01)0,97.

3.6 Regra da cadeia e tan-

gentes a curvas nos grá�cos

138. Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule fy(1, 1),descreva a curva obtida por intersecçãodo grá�co de f com o plano x = 1 e de-termine um vetor tangente a esta curvano ponto (1, 1, f(1, 1)).

139. Repita o exercício anterior paraf(x, y) = exy.

140. Mostre que aplicando a Regra daCadeia a f(x, y) = x

y, supondo que

x = x(t) e y = y(t), se obtém a regrada derivada do quociente para funçõesde uma variável.

141. Suponha que um pato está a nadarnuma piscina segundo um movimentorectilíneo dado por x = 3 + 8t, y =3−2t, enquanto a temperatura da águaé dada pela fórmula T = x2 cos y −y2 sinx. Ache dT

dtaplicando a regra da

cadeia e expressando T em termos de te diferenciando.

142. Suponha que o movimento de um patonuma piscina é dado pela curva x =(3 + t)2, y = 2 − t2, enquanto a tem-peratura da água é dada pela fórmulaT = ex(y2 + x2). Ache dT

dtaplicando

a regra da cadeia e expressando T emtermos de t e diferenciando.

143. Calcule dfdt

nos seguintes casos.

(a) f(x, y) = (x2 + y2) log(√x2 + y2)

com (x, y) = (et, e−t);


(b) f(x, y) = xex2+y2 com (x, y) =

(t,−t);(c) f(x, y, z) = x + y2 + z3 com

(x, y, z) = (cos t, sin t, t);

(d) f(x, y, z) = (y2 − x2)ex−z com(x, y, z) = (t, et, t2);

(e) f(x, y, z) = xy

+ yz

+ zx

com

(x, y, z) = (et, et2, et

3);

(f) f(x, y, z) = sin(xy) com (x, y) =(t2 + t, t3).

144. Seja z =√x2 + y2 +2xy2, em que x e y

são funções de u. Ache uma expressãopara dz

du.

145. Se u = sin(a + cos b), em que a e b sãofunções de t, calcule du

dt.

146. Suponha que a temperatura no ponto(x, y, z) do espaço é T (x, y, z) = x2 +y2 + z2. Suponha ainda que umapartícula descreve uma hélice circularσ(t) = cos(t)~ı + sin(t)~ + t~k e seja T (t)a sua temperatura no tempo t. Qualé o valor de T ′(t), para t ∈ R? Cal-cule um valor aproximado para a tem-peratura em t = π

2+ 0, 01.

147. (a) Mediante a função f(x, y) = yx,use a Regra da Cadeia para deter-minar d

dx(xx).

(b) Calcule ddx

(xx) via as regras dederivação usuais.

(c) Qual dos métodos prefere?

3.7 Diferenciação implícita

148. Suponha que y é de�nida implicita-mente em função de x. Ache dy

dx.

(a) x2 + 2y2 = 3;

(b) x2 − y2 = 7;

(c) xy

= 10;

(d) y − sinx3 + x2 − y2 = 1;

(e) x3 − sin y + y4 = 4;

(f) ex+y2 + y3 = 0.

149. Suponha que y é de�nida implicita-mente em função de x. Ache dy

dxno

ponto indicado.

(a) 3x2 + y2 − ex = 0 em (0, 1);

(b) x2 + y4 = 1 em (1, 1);

(c) cos(x+ y) = x+ 12em (0, π

3);

(d) cos(xy) = 12em (1, π

3).

150. Derive uma fórmula para dxdy

quando x

e y estão relacionados por F (x, y) = 0e use-a para achar dx

dynos dois últimos

exercícios.

151. Seja y uma função de x satisfazendoF (x, y, x+y) = 0, onde F (x, y, z) é umafunção dada. Ache uma fórmula paradydx.

3.8 Matrizes derivadas

152. Calcule as matrizes derivadas ∂(x,y)∂(t,s)

e∂(u,v)∂(x,y)

se x = t+ s, y = t− s, u = x2 + y2

e v = x2 − y2. Em seguida, determine∂(u,v)∂(t,s)

.

153. Determine ∂(u,v)∂(t,s)

nos seguintes casos:

(a) x = t2 − s2, y = ts, u = sin(x +y), v = cos(x− y);

(b) x = ts, y = ts, u = x, v = −y;(c) x = t2+s2, y = t2−s2, z = 2ts, u =

xv, v = xz.


154. Seja u = f(x, y, z) em coordenadascartesianas. Se x = r cos θ sinφ, y =r sin θ cosφ , z = r cosφ, exprima ∂u

∂r,

∂u∂θ, ∂u∂φ

em termos de ∂u∂x, ∂u∂y, ∂u∂z.

155. Calcule ∂z∂x

e ∂z∂y

para as seguintesfunções:

(a) z = u2 + y2, u = 2x + 7, v = 3x +y + 7;

(b) z = u2 + 3uv − v2, u = sin x, v =− cosx+ cos y;

(c) z = sinu cos v, u = 3x2 − 2y, v =x− 3y;

(d) z = uv2, u = x+ y, v = xy.

3.9 Gradientes

e Derivadas Direcionais

156. Calcule ~∇f(x, y) sendo f(x, y) =

(a) x2y.

Resp: (2xy, x2);

(b) log√x2 + y2;

(c) xex2+y2 .

(d) ex2−y2 .

Resp: ex2−y2(2x, 2y);

(e) (x2 + y2) log√x2 + y2;

(f) xy.

Resp: ( 1y,− x

y2).

(g) xexy3+3.

157. De�na gradiente de uma função de trêsvariáveis. Calcule ~∇f(x, y, z) sendof(x, y, z) =

(a)√x2 + y2 + z2.

Resp: 1√x2+y2+z2

(x, y, z);

(b) xy2 + yz2 + zx2.

(c) x2 + y2 + z2.

Resp: (2x, 2y, 2z);

(d) xy + yz + xz.

(e) (x2 + y2 + 1)z2.

Resp: (2xz2(x2 + y2 +1)z

2−1, 2yz2(x2 + y2 +1)z

2−1, 2z(x2 + y2 + 1)z2

log(x2 +y2 + 1)).

158. Seja f(x, y) = x2−y2. Represente gra�-

camente o ~∇f(x0, y0) sendo (x0, y0) =

(a) (1, 1);

(b) (−1, 1);

(c) (−1,−1);

(d) (1,−1).

159. Calcule f ′(x, y) sendo f(x, y) =

(a) xy.

Resp: f ′(x, y) = (y, x);

(b) 2x−y;

Resp: f ′(x, y) = 2x−y log 2(1,−1);

(c) x tan xy.

Resp: f ′(x, y) = (tan xy

+xy

sec2 xy,−x2

y2sec2 x

y).

160. Sejam f(x, y) = y − x2 e γ(t) =(sin t, sin2 t).

(a) Veri�que que a imagem de γ estácontida na curva de nível y− x2 =0;

(b) Desenhe a imagem de γ;

(c) Veri�que que, para todo o t, γ′(t) ·~∇f(γ(t)) = 0.

161. Veri�que a regra da cadeia para asfunções e curvas abaixo:


(a) f(x, y, z) = xz + yz + xy; σ(t) =(et, cos t, sin t).

Resp: 2et cos t+ cos2 t− sin2 t;

(b) f(x, y, z) = exyz; σ(t) =(6t, 3t2, t3);

(c) f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2; σ(t) =

(sin t, cos t, t).

Resp: t√1+t2

.

162. Calcule a derivada direcional de cadafunção no ponto dado e na direção dada.

(a) f(x, y) = x2 + y2 − 3xy3; (1, 2);

~v = (12,√

32.

Resp: −11− 16√

3;

(b) f(x, y) = 17xy; (1, 1); ~v =(√

2,√

2).

Resp: 17√2;

(c) f(x, y, z) = x2−2xy+3z2; (1, 1, 2);√3(1, 1,−1).

Resp: − 14√3;

(d) f(x, y, z) = sin(xyz); (1, 1, π4):

( 1√2, 0,− 1√

2).

Resp: π8− 1

2.

163. Determine a direção e o sentido no qualcada uma das funções abaixo crescemais rapidamente no ponto (1, 1), in-dicando um vetor unitário com essa di-reção e esse sentido.

(a) f(x, y) = x2 + 2y2.

Resp: 1√5(1, 2);

(b) g(x, y) = x2 − 2y2;

(c) h(x, y) = ex sin y.

Resp: (sin 1, cos 1).

(d) p(x, y) = ex sin y − e−x cos y.

164. O capitão Asteróide está a deriva noespaço perto do lado de Mercúrio vi-rado para o Sol e repara que o cascoda sua nave começa a derreter! A tem-peratura nas vizinhanças é dada porT = e−x + e−zy+ e3z. Se a nave está naposição (1, 1, 1), em que direção deve eleapontar a nave para que arrefeça maisrapidamente?

165. Suponha que f e g são funções comderivadas parciais contínuas. Mostreque:

(a) ~∇f = ~0 se f é constante;

(b) ~∇(f + g) = ~∇f + ~∇g;

(c) ~∇(cf) = c~∇f se c é uma con-stante;

(d) ~∇(fg) = f ~∇g + g~∇f ;

(e) ~∇(fg) = g~∇f−f ~∇g

g2sempre que g 6=

0.

166. (a) Em que direção é a derivada dire-

cional de f(x, y) = x2−y2x2+y2

no ponto

(1, 1) igual a zero (sendo a direçãodada por um vetor unitário)?

(b) A mesma pergunta, mas para umponto (x, y) no primeiro quadrante(i.e., x > 0 e y > 0).

(c) Descreva as curvas de nível de fusando a última alínea.

167. O capitão Asteróide está outra vez emapuros perto de Mercúrio... Está naposição (1, 1, 1) e a temperatura docasco da nave é dada por T (x, y, z) =e−x

2−2y2−3z2 .

(a) Em que direção deve apontar anave para que a temperatura desçamais rapidamente?


(b) Se a nave viaja a uma velocidadeescalar de e8, a que velocidade atemperatura desce se ele seguir nadireção determinada na alínea an-terior?

(c) Infelizmente, o metal do cascopode-se estilhaçar se a tem-peratura descer a uma veloci-dade/taxa superior a

√14e2. Diga

em que direção o capitão Asteróidepode seguir em segurança.

3.10 Plano tangente e reta

normal

168. Determine as equações do plano tan-gente e da reta normal ao grá�co dafunção dada, no ponto dado.

(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).

Resp: z = 4x+ 2y− 4 e (x, y, z) =(1, 1, 2) + t(4, 2,−1);

(b) f(x, y) = x3 + y3 − 6xy em(1, 2, f(1, 2));

(c) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).

Resp: z = 2y − 1 e (x, y, z) =(0, 1, 1) + t(0, 2,−1);

(d) f(x, y) = cosx cos y em(0, π/2, f(0, π/2));

(e) f(x, y) = 3x2y − xy em(1,−1, f(1,−1)).

Resp: z = −8x+2y+8 e (x, y, z) =(1,−1,−2) + t(−8, 2,−1);

(f) f(x, y) = cosx sin y em(0, π/2, f(0, π/2));

(g) f(x, y) = xex2−y2 em (2, 2, f(2, 2)).

Resp: z = 9x − 8y e (x, y, z) =(2, 2, 2) + t(9,−8,−1);

(h) f(x, y) = 1/(xy) em (1, 1, f(1, 1)).

169. Determine o plano que passa pelos pon-tos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tan-gente ao grá�co de f(x, y) = xy.

Resp: x+ 6y − 2z = 3.

170. Determine o plano que seja paralelo aoplano z = 2x + y e tangente ao grá�code f(x, y) = x2 + y2.

Resp: z = 2x+ y − 54.

171. z = 2x+y é a equação do plano tangenteao grá�co de f(x, y) no ponto (1, 1, 3).

(a) Calcule ∂f∂x

(1, 1) e ∂f∂y

(1, 1);

Resp: −23e −1

3

(b) Determine a equação da reta nor-mal no ponto (1, 1, 1).

Resp: (x, y, z) = (1, 1, 1) +t(2, 1, 3).

172. Considere a função f(x, y) = x3

x2+y2.

Mostre que os planos tangentes ao grá-�co de f passam pela origem.

173. A função z = z(x, y) é diferenciável edada implicitamente pela equação x2

a2 +y2

b2+ z2

c2= 1. Mostre que x0x

a2 + y0yb2

+z0zc2

= 1 é a equação do plano tangenteno ponto (x0, y0, z0), z0 6= 0.

174. Calcule um vetor normal unitário a cadauma das superfícies seguintes no pontoindicado.

(a) xyz = 8, (1, 1, 8);

(b) x2y2 + y − z + 1 = 0, (0, 0, 1);

(c) cos(xy) = ez − 2, (1, π, 0);

(d) exyz = e, (1, 1, 1).

175. Manuel Perverso inventou nova lei dagravitação. Nesta teoria, a força ex-ercida numa massa m em (x, y, z) por

outra massa M na origem é ~F =

4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 19

−P mMr5~r, em que ~r = x~ı + y~ + z~k,

r =√x2 + y2 + z2 e P é a constante

perversa. Calcule V tal que ~F = −~∇Ve veri�que que ~F é ortogonal às super-fícies de nível de V .

176. Determine uma equação do plano tan-gente a cada uma das superfíciesseguintes nos pontos indicados.

(a) x2 + 2y2 + 3z2 = 10, (1,√

3, 1);

(b) xyz2 = 1, (1, 1, 1);

(c) x2 + 2y2 + 3xz = 10, (1, 2, 1/3);

(d) y2 − x2 = 3, (1, 2, 8);

(e) xyz = 1, (1, 1, 1);

(f) xyz

= 1, (1, 1, 1).

177. Determine uma equação para a reta tan-gente a cada uma das seguintes curvasnos pontos indicados.

(a) x2 + 2y2 = 3, (1, 1);

(b) xy = 17, (x0, 17/x0);

(c) cos(x+ y) = 1/2, x = π/2, y = 0;

(d) exy = 2, (1, log 2).

178. Determine uma equação para a reta nor-mal a cada uma das seguintes superfí-cies nos pontos indicados.

(a) e−(x2+y2+z2) = e−3, (1, 1, 1);

(b) 2x2 + 3y2 + z2 = 9, (1, 1, 2);

(c) xyz

= 1, (1, 1, 1);

(d) xyz2 = 4, (1, 1, 1).

179. Suponha que uma partícula é ejectadada superfície x2 + y2 + z2 = 1 do ponto(1, 1,

√3), na direção normal à super-

fície, no tempo t = 0, com veloci-dade escalar 10 (unidades por segundo).Quando e onde intersecta a partícula oplano xy?

180. Considere as duas superfícies S1 : x2 +y2 + z2 = 6 e S2 : 2x2 + 3y2 + z2 = 9.

(a) Determine os vetores normais e osplanos tangentes a S1 e S2 em(1, 1, 2);

(b) Determine o ângulo entre os doisplanos;

(c) Determine uma expressão para areta tangente em (1, 1, 2) à curvade intersecção das superfícies S1 eS2. [Sugestão: esta reta deve estarem ambos os planos tangentes.]

181. Refaça o exercício anterior com as su-perfícies x2 − y2 + z2 = 1 e 2x2 − y2 +5z2 = 6 no ponto (1, 1,−1).

4 Máximos e mínimos

182. Seleccione os candidatos a extremanteslocais, sendo f(x, y) =

(a) 2x2 + y2 − 2xy + x− y;(b) x2 − y2 + 3xy − x+ y;

(c) x3 − y2 + xy + 5;

(d) x3 + y3 − xy;(e) x4 + y4 + 4x+ 4y;

(f) x5 + y5 − 5x− 5y.

4.1 Condição su�ciente

para um ponto crítico ser

extremante local

183. Determine os máximos e mínimos locaispara cada função f(x, y) seguinte, us-ando o teste para funções quadráticas.

(a) x2 + 3xy + 4y2 − 6x+ 2y;


(b) x2 + y3 + xy − 3x− 4y + 5;

(c) x3 + 2xy + y2 − 5x;

(d) −x2 + y2 + 2xy + 4x− 2y;

(e) x2 − 4xy + 4y2 − x+ 3y + 1;

(f) x2 + xy + y2;

(g) y2;

(h) 3 + 2x2 − xy + y2;

(i) x2 − xy + y2 + 1.

184. Determine o ponto do plano x + 2y −z = 4 que se encontra mais próximo daorigem.

185. Analise o comportamento de z = x5y +xy5 + xy nos seus pontos críticos.

186. Determine os pontos extremos de z =log(x2 + y2 + 1) e de z = e1+x2+y2 .

187. Analise o ponto crítico (0, 0) para z =x3 + y3. Esboce.

188. Mostre que z = x3−3x1+y2

tem apenas ummáximo e um mínimo local.

189. Ache o ponto (u, t) que maximiza afunção R(u, t) = u2(1 − u)t2e−t para0 ≤ u ≤ 1 e t ≥ 0.

190. A Lei de Plank relaciona a energia Eemitida pelo corpo negro (corpo quentepadrão) à frequência λ e à temper-atura T da seguinte maneira: T (λ, T ) =2πk5T 5

h4c4x5

ex−1em que x = hc

λkT, h é a con-

stante de Plank, k é a constante deBoltzmann e c é a velocidade da luz novácuo. Mostre que, �xado T , a curvaE = E(λ, T ) (a curva de Plank) temum máximo em λmax dado por λmax =hc

kTx0em que 5− x0 − 5e−x0 = 0. Esta é

a lei de deslocamento de Wien.

191. Determine os máximos e mínimos locaispara f(x, y) = (x2 + 3y2)e1−x2−y2 .

192. Determine o ponto do espaço que mini-miza a soma dos quadrados das distân-cias aos pontos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)e (0, 0, 1).

193. Seja f(x, y, z) de classe C2 e seja(x0, y0, z0) um ponto interior de Df .Suponha que (x0, y0, z0) seja pontocrítico de f . Sejam H(x, y, z) eH1(x, y, z) dadas por:

H =

∣∣∣∣∣∣∣∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂x∂z

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

∂2f∂y∂z

∂2f∂x∂z

∂2f∂y∂z

∂2f∂z2

∣∣∣∣∣∣∣ e H1 =

∣∣∣∣∣ ∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

∣∣∣∣∣Sabe-se que:

i. se ∂2f∂x2 (x0, y0, z0) > 0,

H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) >0, então (x0, y0, z0) será ponto demínimo local;

ii. se ∂2f∂x2 (x0, y0, z0) < 0,

H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) <0, então (x0, y0, z0) será ponto demáximo local;

Determine os máximos e mínimos locaispara cada uma das seguintes funções:

(a) x2+5y2+2z2+4xy−2x−4y−8z+2;

(b) x3 + y3 + z3 − 3x− 3y − 3z + 2;

(c) x3 + 2xy + y2 + z2 − 5x− 4z;

(d) x2−y2 +4z2 +2xz−4yz−2x−6z.

4.2 Método dos mínimos

quadrados

194. Mostre que, se y = mx + b fora reta de regressão para os pontos


(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), então m eb satisfazem ambas as equações

mn∑i=1

xi + nb =n∑i=1

yi e

m

n∑i=1

x2i + b

n∑i=1

xi =n∑i=1

xiyi.

195. Mostre que se apenas dois pontos dis-tintos (x1, y1) e (x2, y2) forem dados, ométodo dos mínimos quadrados forneceprecisamente a reta que passa por estesdois pontos.

196. Para cada conjunto de pontos seguinte,determine a reta dos mínimos quadra-

dos que minimiza a distância aos pontosdados.

(a) (1, 1), (2, 3), (4, 3);

(b) (0, 0), (1, 2), (2, 3);

(c) (0, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 5).

197. Se y = mx + b for a reta

de regressão para os pontos(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), entãoa soma dos desvios anula-se, isto é

n∑i=1

(yi −mxi − b) = 0.

4.3 Multiplicadores de La-

grange

198. Estude com relação a máximos e mí-nimos a função dada com as restriçõesdadas.

(a) f(x, y) = 3x+ y e x2 + 2y2 = 1;

(b) f(x, y) = 3x+ y e x2 + 2y2 ≤ 1;

(c) f(x, y) = x2 + 2y2 e 3x+ 2y = 1;

(d) f(x, y) = x2 + 4y2 e xy = 1, x >0, y > 0;

(e) f(x, y) = xy e x2 + 4y2 = 8;

(f) f(x, y) = x2+2xy+y2 e x+2y−1 =0;

(g) f(x, y) = x2 + 2xy+ y2 e x2 + y2 =1;

(h) f(x, y) = 3x+ 2y e 2x2 + 3y2 ≤ 3;

(i) f(x, y) = xy e 2x + 3y ≤ 10, x ≥0, y ≥ 0;

(j) f(x, y) = x+ y e x2 + y2 = 1;

(k) f(x, y) = x− y e x2 − y2 = 2;

(l) f(x, y) = xy e x+ y = 1;

(m) f(x, y) = cos2 x+ cos2 y e x+ y =π/4.

199. Determine a curva de nível de f(x, y) =x2 + 16y2 que seja tangente à curvaxy = 1, x > 0, y > 0. Qual o pontode tangência ?

Resp: x2 +16y2 = 8; o ponto de tangên-cia é (2, 1

2).

200. Determine o ponto da reta x + 2y = 1cujo produto das coordenadas seja má-ximo.

Resp: (12, 1

4).

201. Determine o ponto da parábola y = x2

mais próximo de (14, 1).

Resp: (2, 4).

202. Ache o valor máximo e o valor mínimoda função f(x, y, z) = x + 2y + z comrestrição x2 + 2y2 + z2 = 4.

Resp: Valor máximo é 4, sendo atingidoem (1, 1, 1). O valor mínimo é−4, sendoatingido em (−1,−1,−1).


203. Determine o ponto do plano x + 2y −3z = 4 mais próximo da origem.

Resp: (27, 4

7,−6

7).

204. A temperatura T na superfície esféricax2+y2+z2 = 1 satisfaz T (x, y, z) = xz+yz. Determine todos os pontos quentes.

205. Determine o ponto da superfície xyz =1, x > 0, y > 0 que se encontra maispróximo da origem.

Resp: (1, 1, 1).

206. Determine o valor máximo e mínimode f(x, y) = 200x + xy/8 na região{(x, y) ∈ R2 : x2 + 2y2 ≤ 30000}.

207. Veri�que que ( c3)3 é o valor máximo de

xyz, x ≤ 0, y ≤ 0 e z ≤ 0, com a restri-ção x+ y + z = c (c > 0).

208. Deseja-se construir um paralelepípedo-rectângulo com área total de 100cm2.Determine as dimensões para o volumeser máximo.

Resp: Cubo de aresta 5√

2√3.

209. Os livros de Termodinâmica usam a re-lação (

∂y

∂x

)(∂z

∂y

)(∂x

∂z

)= −1.

Suponha que F (x, y, z) = 0 de-�ne implicitamente x = f(y, z), y =g(x, z), z = h(x, y) e prove esta relação.

210. Suponha que z = f(x, y) está de�nida,tem derivadas parciais de segunda or-dem contínuas e é harmónica: fxx +fyy = 0. Suponha também que numponto (x0, y0) se tem fxx(x0, y0) 6= 0 emostre que f não pode ter máximo nemmínimo local em (x0, y0).

211. Mostre que se f é harmónica na regiãox2 + y2 ≤ 1 e é zero para x2 + y2 = 1,então f é zero em todo o disco unitário.

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