0.1 Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas1. La expresin exponencial 7x+ 7x1= 8xes igual a:a) x = 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x = - 17x+ 7x1= 8x 7x+ 7x71= 8x 7x(1 + 71) = 8x 7x(1 + 17) = 8x 7x(7+17) = 8x 7x(87) = 8x 87 = 8x7x87 = (87)x 1 = x Porque la funcin exponencial es biunvoca.2. Sea el sistema de ecuaciones:_ ax+ ay= 4axay= 2Si en el sistema anterior, a = 3, entonces x + y es igual a:a) 0 b) - 1 c) 2 d) 1Si a = 3 entonces_ 3x+ 3y= 43x3y= 2Eliminando 3xnos resulta_3x+ 3y= 43x+ 3y= 22 (3y) = 23y= 1log 3y= log 1y log 3 = log 1y =log 1log 3y = 01Page 1 of 18 Page 1 of 18 Page 1 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 1 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovSustituyendo y en una de las ecuaciones originales tenemos3x3y= 23x30= 23x1 = 23x= 2 + 13x= 3x = 1Luego hacemos la suma x + y = 1 + 0 = 13. En la ecuacin exponencial2x+2+ 2x+3+ 2x+4+ 2x+5+ 2x+6= 31la solucin es:a)12b)13c) 2 d)152x+2+ 2x+3+ 2x+4+ 2x+5+ 2x+6= 312x22+ 2x23+ 2x24+ 2x25+ 2x26= 312x(22+ 23+ 24+ 25+ 26) = 312x(4 + 8 + 16 + 32 + 64) = 312x(124) = 312x=31124log 2x= log 14xlog 2 = log 14x =log 14log 2x = 22Page 2 of 18 Page 2 of 18 Page 2 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 2 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov4. Si en la expresin 2x= P, entonces 41es igual a:a) 2p b) p2c) p4d) 4p2x= P1 2 = PPorque la funcin exponencial es biunvoca, lo que implica que para nmerosreales x1 y x2:1) Si x1 ,= x2, entonces ax1,=ax22) Si ax1=ax2, entonces x1 = x2_41_ = (2)2= P25. El valor de x en la expresiny = 10x10x2est dado por:a) log(y2+ 1) b) 10_y2 + 1c) log(y +_y2 + 1) d) sen2(y_y2)y =10x10x22y = 10x110x2y =10x10x110x(2y) 10x= (10x)21(10x)210x2y 1 = 0 (+)Haciendo la sustitucin u = 10xen + se tiene:u22yu 1 = 0Resolviendo utilizando la frmula cuadrtica haciendo: a = 1; b = 2y; c =13Page 3 of 18 Page 3 of 18 Page 3 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 3 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasovu1;2=(b) _b2 4ac2au1;2=(2y) _(2y)2 4(1)(1)2(1)u1;2=2y _4y2 + 42u1;2=2y _4y2 + 42u1;2=2y _4(y2 + 1)2u1;2=2y 2_y2 + 12u1;2=2(y _y2 + 1)2u1;2= y _y2 + 1Sustituyendo u = 10xen la ltima ecuacin, se tiene:10x= y _y2 + 1log 10x= log(y _y2 + 1)xlog 10 = log(y _y2 + 1)x = log(y _y2 + 1)6. Si f(x) = ex+ex2entoces f(ln2) es:a) 0 b) 5 c)54d)34f(x) =ex+ ex2f(ln2) =eln 2+ eln 22f(ln2) =2 + 1224Page 4 of 18 Page 4 of 18 Page 4 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 4 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasovpor propiedad: eln x= xf(ln2) =522f(ln2) =547. El valor de x en la ecuacin:a(3x+1)(2x2)= a2x2+5a4x2+4a) x = 2 b) x = 2 c) x = 114d) x = 1a(3x+1)(2x2)= a2x2+5a4x2+4a6x24x2= a6x2+96x24x 2 = 6x2+ 9ya que las bases son iguales6x24x 2 = 6x2+ 94x 2 = 94x = 11x = 1148. Si 3325= 46m, entonces m2es:a) 3 b) 9 c) 3d) 63325= 4 6m332522= 6m3323= (3x2)m(3 2)3= (3 2)mcomo las bases son iguales, entonces: 3 = m; de donde 9 = m25Page 5 of 18 Page 5 of 18 Page 5 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 5 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov9. La respuesta al resolver la ecuacin 4x+1+ 2x+3= 320 es:a) x = 2 b) x = 3 c) x = 3 d) x = 24x+1+ 2x+3= 320(22)x+1+ 2x23= 32022x22+ 2x8 = 3204(2x)2+ 8(2x) = 320Haciendo u = 2x, sustituimos en la ltima ecuacin:4(2x)2+ 8(2x) = 320 4u2+ 8u 320 = 0resolviendo usando la forma cuadrtica con: a = 4; b = 8; c = 320u1;2=8 _64 4(4)(320)2(4)=8 _64 + 51208=8 _51848=8 728As,u1 = 8 + 728= 648= 8 . u2 = 8 728= 808= 10Tomando del valor positivo:2x= 8log 2x= log 8xlog 2 = log 8x =log 8log 2x = 36Page 6 of 18 Page 6 of 18 Page 6 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 6 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov10. La solucin de la ecuacin 5x+ 5x+2+ 5x+4= 651 es:a) x = 1b) x = 2 c) x = 0 d) x = 15x+ 5x+2+ 5x+4= 6515x+ 5x52+ 5x54= 6515x+ 25(5x) + 625(5x) = 6515x(1 + 25 + 625) = 6515x(651) = 6515x=6516515x= 1Aplicando logaritmo:5x= 1log 5x= log 1xlog 5 = log 1x =log 1log 5x = 011. La solucin de 84x89 = 8 es:a) x = 2b) x = 3 c) x = 1 d) x = 284x89 = 884x8= 8 + 984x8= 1Aplicando logaritmo:84x8= 1log 84x8= log 1(4x 8) log 8 = log 14x 8 =log 1log 84x 8 = 07Page 7 of 18 Page 7 of 18 Page 7 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 7 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov4x = 8x =84x = 212. Una expresin equivalente a12(3 loga x 5 loga y 30 loga z)es igual a:a) loga3x5y+30zb) logax3y5+30zc) loga3xy5+30zd) loga_x3y5z3012(3 loga x 5 loga y 30 loga z)12(loga x3loga y5loga z30)12(loga x3y5 loga z30)12(logax3y5z30)loga(x3y5z30)12 loga_x3y5z3013. Sea la expresin ln_abe2 y conociendo los valores delna = 0:6y lnb = 2:4entonces la solucin es:a) e b)1ec) e2d) _eln_abe2 ln (ab)12e ln(ab)12lne 12(lna+lnb)lne 12(0:6+2:4)1 12(3) 1 322 128Page 8 of 18 Page 8 of 18 Page 8 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 8 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov14. El log(a + b)2log(a + b) es igual a:a) log 2 b) log(a + b) c) log a + log b d) log a + 3 log blog(a + b)2log(a + b) = 2 log(a + b) log(a + b)= log(a + b):15. Siendo log m = 13(log x + log y log z) entonces m es igual a:a)13(xy z) b)13 xyzc)3_xyzd) x + y zlog m =13(log x + log y log z)log m =13(log(xy) log z)log m =13(log xyz )log m = log(xyz )13log m = log3_xyzm =3_xyz16. El resultado de realizar logb x logb y2+ logb xy2es igual a:a) x2logb y b) xlogb y2c) logb x2d) xlogb ylogb x logb y2+ logb xy2 logb xy2 + logb xy2 logb xy2xy2 logb x29Page 9 of 18 Page 9 of 18 Page 9 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 9 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov17. Al resolver log(9x 5) = log(x 1) + 1 el valor de x es:a) x = 2 b) x = 4 c) x = 1 d) x = 5log(9x 5) log(x 1) = 1log(9x 5x 1 ) = 19x 5x 1= 10ya que loga x = y x = aylog1010 = 1 10 = 1019x 5 = 10x 109x 10x = 10 + 5x = 5x = 518. El valor de 13log13(8+5)es:a) 26 b) (13)2c) 13 d) (13)13Propiedad: blogb x= x13log13(8+5)= 13log13(13)= 1319. El valor de e1+ln 5es:a) 5e b) 1e c) e1d) ln5Propiedad de logartmos naturales: eln x= xe1+ln 5= eeln 5= e5= 5e10Page 10 of 18 Page 10 of 18 Page 10 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 10 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov20. Al simplicar la expresinlog5 16log5 4se obtiene:a) 5 b) 2c) 4d) log 4Se tienelog5 16 = x 16 = 5y. log5 4 = y 4 = 5y(+)Entonces:log5 16 = x log5 42= x2 log5 4 = x log5 4 = x2x2= y por(+)x = 2yAs:log5 16log5 4= xy = 2yy= 221. La ecuacinlog(3 x2) = log 2 + log xtiene por solucin:a) x = 1b) x = 2 c) x = 3 d) x1 = 2log(3 x2) = log 2 + log xlog(3 x2) = log 2x3 x2= 2xx2+ 2x 3 = 0(x + 3)(x 1) = 0 x + 3 = 0 . x 1 = 0x = 3; x = 1Tomamos el valor positivo.11Page 11 of 18 Page 11 of 18 Page 11 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 11 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov22. En la expresin(log x)2= 35 2 log xel valor de x es:a) x = 105b) x = 107c) x1 = 105d) x = 107(log x)2= 35 2 log x(log x)2+ 2 log x 35 = 0Haciendou = log x u2+ 2u 35 = 0(u + 7)(u 5) = 0u + 7 = 0 . u 5 = 0u = 7; u = 5Tomado u = 5 log x = 5 105= x ya que log x = y 10y= x23. Si se aplica logartmo a la ecuacin2x+15x= 9el resultado es:a) log(92) b) log(29) c) log(23) d) log(53)(2x+15x) = 92x2 5x= 92x2 5x= 92x5x=92(2 5)x=9210x=92log 10x= log 92xlog 10 = log 92x = log 9212Page 12 of 18 Page 12 of 18 Page 12 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 12 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov24. Al despejar "t" en L = Mat=NP;obtenemos:a) t = N loga L+PMb) t = N loga M+PLc) t = N loga L+MPd)t = loga(LMM)L = Mat=NPL + P = Mat=NL + PM= at=Nloga(L + PM) =tNprop: loga x = y ay= xN loga(L + PM) = t25. La forma logartmica de la expresine2t= 3 xes:a) log(3x) = 2t b) ln (3x)2= t c) 2 log(3x) = t d) ln(3x) =2te2t= 3 xlne2t= ln(3 x)2t = ln(3 x)t =ln(3 x)2aclaracin t = ln(3 x)2,= t = ln 3 x2La respuesta correcta es d)13Page 13 of 18 Page 13 of 18 Page 13 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 13 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov26. El conjunto solucin de la ecuacin3(3x) + 9(3x) = 28es:a) 1; 2 b) 1; 0 c) 0; 1 d) 23(3x) + 9(3x) = 283(3x) +93x= 28Hacemos u = 3xEntonces:3u + 9u= 283u2+ 9u= 283u2+ 9 = 28u3u228u + 9 = 0u1;2 = (28) _(28)2 4(3)(9)2(3)= 28 _784 1086= 28 _6766= 28 266u1 = 28 + 266. u2 = 28 266= 546= 26= 9 = 133x= 9 3x= 1314Page 14 of 18 Page 14 of 18 Page 14 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. 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LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov28. Al resolver la ecuacinlog(x3) = (log x)3se obtiene que el conjunto solucin es:a) _1; 10p3_b) _ 3_10_c)_332_d) _103_log(x3) = (log x)3 (log x)33 log x = 0Haciendo u = log xu33u = 0u(u23) = 0u = 0 . u23 = 0log x = 0 u2= 3 u = _3 log x = _3x = 100x = 10

p3x = 1 x = 10p3. x = 10

p3Sol = _1; 10p3_29. Qu valor de x verica quelog(x29)log(x + 3)= 1a) 4 b) 3 c) 3 d) 4log(x29)log(x + 3)= 1log(x29) = log(x + 3)x29 = x + 3x2x 12 = 016Page 16 of 18 Page 16 of 18 Page 16 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 16 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov(x 4)(x + 3) = 0 x 4 = 0 . x + 3 = 0x = 4; x = 3Tomamos entonces x = 430. Al expresar "x" en trminos de "y" en la expresiny = ex+ exex exobtenemos:a) 12ey+1y1b) ln_y+1y1c) ln(y1)e1yd) y+1y1y =ex+ exex exy =ex+1exex 1exy =e2x+1exe2x1exy =e2x+ 1e2x 1ye2xy = e2x+ 1ye2xe2x= y + 1e2x(y 1) = y + 1e2x=y + 1y 1lne2x= ln(y + 1y 1)2x = ln(y + 1y 1)x =12 ln(y + 1y 1)x = ln_(y + 1y 1)17Page 17 of 18 Page 17 of 18 Page 17 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovPage 17 of 17Elaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los KaramasovElaborado por: Jos A. Siles R y Jolman E. LpezGrupo Matagalpino de matemticas: Los Karamasov