antologia de ecuaciones les y logaritmicas

Programa Nacional de Formación y Capacitación Permanente 2011

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Introducción:

Desde el punto de vista de la matemática de un hecho o fenómeno del mundo real, las ecuaciones exponenciales se usan desde el tamaño de la población hasta fenómenos físicos como la aceleración, velocidad y densidad. El objetivo del modelo es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

Se usan igual para dar el crecimiento de cosas como: el crecimiento de una población determinada, el crecimiento de personas infectadas con el VIH (sida, inundaciones de tiendas agrícolas, vida media de una sustancia radioactiva, desintegración atomiza, etc.

Las ecuación exponenciales se definen como: f(x) = ax

Ha sido utilizada para obtener el área, el volumen, de cuerpos geométricos, además se usa en el dimensionamiento de envases para productos líquidos (leche, agua) y productos granulados como (arroz, detergente, leche en polvo) etc. Y resuelven problemas de desarrollo y descomposición

Las funciones inversas de las exponenciales se denominan logarítmicas. El término logaritmo proviene de las raíces griegas logos y arithmos, y viene a significar «números para calcular». Durante siglos fueron instrumento esencial a la hora de realizar cálculos complicados. La regla de cálculo, hoy desplazada por las calculadoras electrónicas. Los logaritmos varían muy lentamente, lo que les hace ser escala numérica adecuada para medir fenómenos naturales que implican números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, la de los movimientos sísmicos, restos arqueológicos, etc.

Esta unidad da a conocer los modelos funcionales que se rigen por las funciones exponenciales, la importancia que tiene éstos en la vida cotidiana y si observamos la función logarítmica como inversa de la función exponencial, comparar los modelos inversos que conllevan. Se hace necesario, para ello, conocer su definición.

Esta unidad introduce la construcción de las funciones exponenciales de una forma dinámica, así como el reconocimiento de las funciones logarítmicas, a partir de las funciones exponenciales.

Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales: Aplicación química Se sabe que la masa de cierto material radioactivo disminuye en función del tiempo (t) según la función m(t)= 60 . 2-5.testando “m” en gramos y “t” en horas. ¿Después de cuánto tiempo la masa del material es de 30 gramos?

Aplicación en economía


Se calcula que el monto del capital, en millones de soles, que tiene depositado una persona en el banco, en cualquier momento (t) meses puede ser calculado mediante la función: f(t) = 7,5 .1,02t. Aplicaciones en la vida Investigaciones policiales:

Una persona es encontrada Muerta en su Departamento, la Brigada de Homicidios llego a las 10 de la noche, los datos recogidos por los Detectives fueron temperatura de la habitación 21ºC (A), la temperatura del cadáver al ser encontrado fue de 29ºC y una hora después era 28ºC Considerando la función: T(t) = A + (B – A ) e –kt

Calcular el valor de K si t = 1 Con el dato anterior Determina la hora en que fue encontrado el cuerpo Inerte si este tenía una temperatura de 37ºC cuando estaba vivo.

Aplicaciones en la vida diaria Caso heroico:

Un joven muy valiente arriesga su vida por salvar a un niño. La radio informa después de una hora el 25% de la población escucha la noticia, Si el porcentaje de personas que escucha sigue el modelo exponencial: F(t) = N ( 1 – 10-kt ), k se expresa en porcentaje, t en segundos Determina cuánto tiempo trascurre para que el 90% de la población sepa la noticia Aplicaciones en Medicina

El contenido en gramos de un medicamento en el organismo humano, después de” t” horas de ingerido, se modela de acuerdo a la ecuación: y = 100x5-0,5t , t ≥ 0 ¿Después de cuántas horas de ingerido el medicamento quedan 20 miligramos en él organismo? Las funciones exponenciales son las que tienen más presencia en los fenómenos observables, por lo que existen diversidad de situaciones cuyo estudio implica el planteamiento de ecuaciones exponenciales o logarítmicas.

Ejemplo de ello es la escala Rither. En ella se define la magnitud “M” de un terremoto en función de la amplitud A de sus ondas superficiales así: M=log A+C donde:

C =3,3+1,66 logD – logT es una constante que depende del periodo T de las ondas registradas en el sismógrafo y de la distancia D de éste al epicentro, en grados angulares. Si quisiésemos saber la amplitud (intensidad) de la onda sísmica tendríamos que resolver una ecuación logarítmica.

ECUACIONES EXPONENCIALES

DEFINICION.- Se denomina ecuación exponencial a toda ecuación cuya característica es tener la incógnita en el exponente de una potencia, pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Las ecuaciones exponenciales corresponden al grupo de ecuaciones trascendentes a diferencia de las ecuaciones algebraicas.

2


Ejemplo:

2x = 4 se verifica para x = 2 3x+1 = 81 se verifica para x = 3

7x-1 =

1343 36 =

( 16 )x−7

se verifica para x = 5

RESOLUCION DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALESLa resolución de las ecuaciones exponenciales puede resultar tan complicada que no siempre será posible hallar su solución.

No existe un método general para la resolución de ecuaciones exponenciales.

En este tema, trataremos solo de algunos tipos de ecuaciones cuya solución es posible hallar con los conocimientos alcanzados hasta este momento. Sobre todo con el afán de brindar al lector los criterios suficientes para resolver las ecuaciones de este tipo que son bastante frecuentes.Podemos distinguir dos tipos de ecuaciones exponenciales:

PRINCIPALES METODOS DE RESOLUCION:

1. ECUACIONES DE BASES IGUALES: Para resolver las ecuaciones reductibles a estas formas se trata de conseguir, utilizando las

propiedades de la potenciación.

Am=An→m=nDonde: A≠0, 1

1) Ejemplo Ilustrativo:

a) Resuelve la ecuación exponencial

25x+3 = 5 x + 13

Solución: Escribiendo las potencias con bases iguales:

(52)x+3 = 5 x +13

Efectuando operaciones 52(x+3) = 5 x+13

52x + 6 = 5 x+13

Igualando exponentes:

2x+6 = x+13 x = 7

b) Resuelve la ecuación exponencial:

3


32x-1 = 22x + 3

SoluciónDescomponiendo 32 en base 2, así:

(25)x-1 = 22x+3

25(x-1) = 22x+3

25x-5 = 32x+3

Igualando los exponentes:

5x-1 = 2x+3 x= 8/3

2. ECUACIONES CON ADICION DE TERMINOS EXPONENCIALES DE BASE CONSTANTE:

Llamaremos término exponencial a los términos que contienen variables en los exponentes.Aquí veremos las ecuaciones exponenciales en cuyos miembros aparece adición de términos exponenciales.

Ejemplo Ilustrativo:


2x-1 + 2x + 2 x+1 = 7

Solución

Escribiendo como base de 2

2x.2-1 + 2x + 2x. 21 = 7

Factorizando: 2x

2x( 2-1 + 1 + 2 ) = 72x ( 7/2) = 7 Se verifica para x = 1

3. ECUACIONES CON TERMINOS DE BASE NO CONSTANTE:

Son ecuaciones que en sus miembros presentan términos que contienen variables tanto en los exponentes como en las bases.

xa= ya→ x= y ; Donde a ≠ 0

Ejemplo ilustrativo:

a) Resuelva la ecuación exponencial:

X3 = 27

Solución

4


Tenemos lo siguiente: x3 =33

Igualando bases: x = 3

En este tema no se tomaran en cuenta aquellas soluciones (raíces), que se obtengan fuera del conjunto de los números reales.

b) Resuelva la ecuación exponencial:

y7 = 128

SoluciónDescomponiendo 128 en base 2; así:

y7 = 27 y = 2

4. IGUALDAD DE BASE Y EXPONENTE

xx=aa→ x=a Donde a ≠ 0;1



xx = 256

SoluciónTenemos lo siguiente: xx = 44

por comparación: x = 4

METODOS ADICIONALES:

1. POR ANALOGIA DE TERMINOS:Se presentan de diversas formas y se resuelven construyendo la forma buscada con el fin de identificar términos semejantes, los más conocidos son:

xx+n=aa+n

xx−n=aa−n

xxx+ n+n=aa

a+ n+n

5


xxx−n−n=aa

a−n−n


Resuelve la ecuación exponencial

x x-1 = √2 Solución

En este caso, es necesario transformar ambos miembros a expresiones de las formas, de tal manera que se pueda establecer una correspondencia directa entre sus respectivos elementos.

xx−1=212→ xx−1=( 12 )

−12

xx−1=( 12 )12−1

Luego por comparación: x = ½

NOTA: Se debe tener en presente que para resolver este tipo de ejercicios es necesario tener bastante práctica, ya que se necesitan una serie de artificios que solo se consiguen con la práctica continua.

2. POR CAMBIO DE VARIABLE

Son aquellos que mediante un adecuado cambio de variable se transforma en una ecuación de primer grado, segundo o grado superior.



5x + 25x = 650

Solución

Descomponiendo 25 en base 5

6


5x + (52)x = 650

Entonces tenemos: 5x + (5x)2 = 650

Haciendo un cambio de variable:

5x = aEntonces tenemos:

a + a2 = 650 ordenando a2 + a – 650 = 0

Factorizando por aspa simple

a2 + 1a - 650 = 0 a +26→ 26 a

a -25→ -25aLuego tenemos:

( a + 26 ) (a – 25) = 0 a1 + 26 = 0 a1 = -26 a2 - 25 = 0 a2 = 25

Volviendo a su variable original

5x = 25 5x = 52

Igualando exponentesx = 2

SISTEMA DE ECUACIONES EXPONENCIALES.

Un sistema de ecuaciones exponenciales consta de dos o más ecuaciones en el que menos uno de ellos es el tipo exponencial. La resolución consiste en hallar el valor de las incógnitas que verifican cada una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo ilustrativo

a) Resolver el sistema:

2x = 5 + 3y …………..1 3y+1 = 2x+1 +17………2

Solución Haciendo que: 2x = a y 3y = b En 1: a = 5 + b ………….3

7


En 2: 3b = 20 + 17……...4

Remplazando 3 en 43b = 2 (5 + b) + 173b = 10 + 2b + 17 b = 27

Restituyendo la variable:

2x = 32 entonces: 2x = 25 x = 5 3y = 27 entonces: 3y = 33 y = 3

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Halla el valor de “x”:

xxx x4

=4

a) 2 b)√2 c) 4 d) √ 12 e) 4√2

2. Halla el valor de “x” en:

110

11x+1=11x

a) 1/2 b) 1 c) 10 d) -10 e) -1

3. Halla: x/y; si se cumple que:

y x=x …………… (1)

x y−1= y x

−1

…………. (2)

a) 1/4 b) 2/3 c) 4/3 d) 9/2 e) 2

4. Resuelva: xx 2x

2

=4 , y dar el valor de: x4 + x2

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 9


8


xx=16√( 12 )(

12 )

a) 2-5 b) 2-3 c) 2-8 d) 2-2 e) 2- 4

6. Halla “x”, si se cumple que:

xx√6=√6

a) 2√6√6 b) 6 c)

6√2 d) 1 e) 2

7. Si: ab = ba y a3 = b2 Halla el valor de: E = a + b

a) 41/2 b) 25/3 c) 45/8 d) 11/3 e) 23/2


4 x−3.2x−40=0

a) - 5 b) - 3 c) 5 d) 3 e) 0

9. Si: aa4=bb

16

=cc48

=√2 , Halla el valor de:

E= a .c+b2

b .c (b+c )

a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5


√3√4√52√3√4 √5

=( 1x )(13 )(

1x )

a) 1 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3

9


LOGARITMOS

DEFINICIÓN.- Se llama logaritmo de un número en una base dada, positiva y distinta de la unidad, el exponente a que debe elevarse la base para obtener una potencia igual al número dado.

Así, el logaritmo del número “N” en base “b” (b > 0 y b 1) es el exponente “x” a que debe elevarse la base “b” (bx) para obtener “N”.

Notación: Número

Log Nb

=x

Base

Se lee “Logaritmo del número N en base b es igual a “x”

Por definición: Si

l ogbN =x ↔ bx=N

Esta relación puede ser en función exponencial o función logarítmica:

1.logbN =x → log

bx = y Funcion Logaritmica .

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2. bx = N → bx = y Funcion expontencial

Ejemplos:

Si log216=4↔24=16 *

Si log5( 125 )=−2↔5−2=( 125 ) Si log28=3↔2

3=8 * Si log2√2=

12↔2

12=√2

COROLARIO DE LA DEFINICION:

Si logbN=x . .. . .. .. . 1

Luego bx=N .. .. .. . .. 2

Remplazando la relación 2 en 1.Asi:

blogbN=N

Ejemplo: 2log2 8=8

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS:

a) El logaritmo de un número “b” en base “b” es igual a 1

Si logb b=1↔b1=b

b) El logaritmo del número “1” en base “b” es igual a cero

Si logb1=0↔b0=1

c) Logaritmo de un producto.- El logaritmo de un producto, en base “b”, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en la misma base.Si logb A .B=logb A+ logbB

d) Logaritmo de un cociente.- El logaritmo de un cociente, en base “b” es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y del divisor en la misma base.

Si logbAB

=logb A−logbB

e) Logaritmo de una potencia.- El logaritmo de base “b” de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo en base “b” de la base de la potencia.

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f) Logaritmo de una raíz.- El logaritmo de una raíz puede reducirse al caso anterior teniendo en cuenta que un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario.

Si logbn√A=logb A

1n=1nlogb A=

logb A

n

g) En todo sistema de logaritmos, si se eleva a la base y al número a una potencia “n” o a una raíz “n” el resultado no varía.

Si logb A=logbnAn=logn√b

n√ACAMBIO DE BASE: El logaritmo de un numero A en base “n”, es igual a una fracción cuyo numerador es el logaritmo de A en una base “n” y cuyo denominador es el logaritmo de “b” en la misma base “n”. Así:

logbA→lo llevamos a base “n”

Luego: log bA=

logn A

lognb

REGLA DE LA CADENA:

logba . loga c . logcd . logd e=logb e

log bA= 1

logA b

log bA=logb10 . log10 A

Ejemplo:

Efectúa: log94 . log5 3. log7 25. log249

COLOGARITMO.- El cologaritmo de un número en una base “b”, es el logaritmo de la inversa del número en la misma base. También es equivalente al logaritmo del número en la base, precedido del signo menos.

co logbN=logb ( 1N )=logbN−1=−logbN

Ejemplo: co log525= log5( 125 )=log55−2=−2 log55=−2

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ANTILOGARITMO.- Se denomina antilogaritmo en una base “b” al número que dio origen al logaritmo.

anti logbN=bN

Por definición también se obtiene:

anti logb log bN=N

Ejemplo: anti log34=34=81

EJERCICIOS


log25125=x


log x

3√16=2

3. Halla el logaritmo de 32 en base 1/8

4. Halla el logaritmo de: 83√4 en base

5√2

5. Halla la menor solución de la ecuación: log 6 (x2−5 x )=2

ECUACION LOGARITMICA.- Es aquella donde una incógnita (o más) está afectada del operador logarítmico.

Son ejemplos de ecuaciones logarítmicas:

log (x+4) = 3

log x 8 = 2

log (x+7) = x

log x(x2 + 1) = log x (2x2 – 8 )

No son ecuaciones logarítmicas:

x + log25 = 3

Para la resolución de una ecuación logarítmica, se debe tener en cuenta: (logaN) ∃R ↔ N>0 Λ a >0 Λ a ≠ 1

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Ejemplo ilustrativo

a) Resolver la ecuación logarítmica:

logx(x – 1) = logx(7 – x )

Solución

Utilizando la relación I x-1 > 0 Λ x > 0 Λ x ≠ 7 – x>0 x > 1 Λ x>0 Λ x ≠ 1 Λ x<7

Intersectando tenemos: 1< x < 7 ……….γAhora resolvemos:Logx(x – 1) = log x(7 – x )

De aquí debe cumplir:x – 1 = 7 – x → x = 4

Este valor verifica en γ, Por lo tanto: C.S. = { 4 }

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas:

log ( x+1 )−log √x−1=log ( x−2 )

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Resuelva:

( logx2 ) (log x16 2)=log x64

2

a)1 b) 2 c) 8 d) 10 e) 11

3. Resuelva el sistema de ecuaciones logarítmicas:

log 5√ x−log x2=9

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a) 10 - 3 b) 10 - 1 c) 10-2 d) 10- 5 e) 10 - 4

4. Resuelva la siguiente ecuación logarítmica y calcula la suma de ambos resultados:

x log x−(103x )4=0a) 102 b) 10-3 c) 104 d) 10-4 e) 10-2

5. En la siguiente ecuación logarítmica halla: √ x

si:

log x( 8−log5 xlog5 x )log3 x

=1

a) 25 b) 3 c) 9 d) 8 e) 5

6. Halla el valor de:

E =

log16 log 49

log√8 log√22

a) 1/3 b) -1/4 c) 2/5 d) -3/7 e) 1/5

7. Halla el valor de “x” si:

anti logxanti log4√2anti log23=81

a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 6

8. Si:

log3 x=k log6 xlog23=B

El valor de “k” es:

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a)1+B

b)

B1+B

c)

1+BB

d)

11+B

e)

B2


log (x2+11 )2

=log x+log 6−log 5

a) - 5 b) 3 c) 9 d) 5 e) 15


log (16−x2 )log (3 x−4 )

=2

a) 5 b) 12/5 c) 0 d) 4 e) 2

ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Usted debe resolver las siguientes actividades, luego digitalizarlos en formato Word para que pueda subirlo a esta plataforma virtual.

Las actividades para resolver son los siguientes:

1. Resuelva los 10 ejercicios propuestos de Ecuaciones Exponenciales.

2. Resuelva los 10 ejercicios propuestos de Ecuaciones Logarítmicas.

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antologia de ecuaciones les y logaritmicas

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