Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

p q p qB B S S

B S B S

B S S S

LOGIKA MATEMATIKA

1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya. Pernyataan dibedakan menjadi:1. Pernyataan Tunggal, yaitu penrnyataan yang mengandung satu gagasan.2. Pernyataan Majemuk, yaitu pernyataan yang mengandung dua gagasan atau

lebih. Dapat pula dikatakan bahwa pernyataan majemuk adalah gabungan dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata gabungan logika.

2. Pernyataan Berkuantor

2.1 Pernyataan Berkuantor Universal (umum)Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang memuat kata semua atau setiap.Notasi: p dibaca semua/setiap.

Contoh:1) Semua siswa ingin lulus ujian2) Setiap bilangan genap habis dibagi 2

2.2 Pernyataan Berkuantor Eksistensial (Khusus)Pernyataan berkontur eksistensial adalah pernyataan yang memuat kata ada atau beberapa.Notasi: p

Contoh:

dibaca ada /beberapa p.

(1). Ada ikan bernafas dengan paru-paru(2). Beberapa siswa hari ini tidak hadir

3. Pernyataan Majemuk

3.1 KonjungsiKonjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p dan q” yang dibaca“p dan q”Tabel kebenaran Konjungsi:

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa p q bernilai benar apabila p benar, q benar. Selain dari itu p q bernilai salah.

p q p qB B S S

B S B S

B B B S

p q p qB B S S

B S B S

B S B B

p q p qB B S S

B S B S

B S SB

3.2 DisjungsiDisjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p q ” yang dibaca “p atau q ”.

Tabel Kebenaran Disjungsi:

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p q bernilai benar apabila salah satu pernyataan tunggalnya benar. Selain dari itu p q bernilai salah.

3.3 Implikasi (Pernyataan Bersyarat)Implikasi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p q” yang dibaca:1) jika p maka q 3) p syarat cukup bagi q2) q hanya jika p 4) q syarat perlu bagi p

Tabel Kebenaran Implikasi:

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p q bernilai benar untuk semua keadaan, kecuali apabila p benar dan q salah.

3.4 Ekivalensi (Biimplikasi)Ekivalensi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p q” yang dibaca:1) p jika dan hanya jika q2) p syarat cukup dan perlu dibagi q3) q syarat cukup dan perlu dibagi p

p q ( p q) (q p)

Tabel Kebenaran Ekivalensi:

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p q bernilai benar apabila nilai kebenaran pernyataan tunggalnya sama selain dari itu salah.

4. Negasi

4.1 Negasi dari Pernyataan TunggalNegasi dari pernyataan p ditulis ~p dan dibaca:

1) Tidak p2) Bukan p3) Tidak benar p

Tabel kebenaran:

p ~pB S

S B

4.2 Negasi dari Pernyataan Berkuantorp : semua x adalah y p : ada x adalah y~p : ada x tidak y ~p : semua x tidak y

Contoh:1)

2)

3)

4)

p : Semua siswa hadir di kelas ini~p : Ada siswa tidak hadir di kelas inip : Semua bilangan prima adalah ganjil~p : Ada bilangan prima yang tidak ganjil p : Ada bilangan prima yang negatif~p : Semua bilangan prima tidak negatif p : Ada harga x sehingga x < 7~p : semua x berlaku x 7

4.3 Negasi dari Pernyataan Majemuk

4.3.1 Negasi dari Konjugasi~(p q) ~p ~q

4.3.2 Negasi dari Diskonjugasi~(p q) ~p ~q

4.3.3 Negasi dai Implikasi~(p q) p ~q

4.3.4 Negasi dari Ekivalensi~(p q) ~[(p q) (q p)] ~(p q) (q p) p ~q q ~p

5. Variasi Pernyataan Bersyarat

Dari implikasi p q dapat dibuat tiga buah pernyataan bersyarat lainnya yaitu invers, konvers, dan kontraposisi.Implikasi : p q Konvers : q p

p ~p

p ~pB S

S B

S S

Invers : ~ p ~q Kontraposisi : ~q ~p

Tabel kebenaran

p q ~p ~q p q ~p ~q q p ~q ~pB B S S

B S B S

S S B B

S B S B

B S B B

B B S B

B B S B

B S B B

Dari tabel terlihat bahwa:1) Implikasi ekivalen dengan kontraposisi:

p q ~q ~p2) Invers ekivalen dengan konvers

~p ~q q p

Contoh:Implikasi : Jika kamu rajin belajar, maka kamu sukses Invers : Jika kamu tidak rajin, maka kamu tidak sukses Konvers : Jika kamu sukses, maka kamu rajinKontraposisi: Jika kamu tidak sukses, maka kamu tidak rajin

6. Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan yang selalu benarContoh : p ~p

Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu salahContoh : p ~p

p ~p p ~pB S

S B

B B

7. Sifat operasi Logika

7.1 Sifat Idempoten (1). p p p (2). p p p

7.2 Sifat Komutatif(1). p q q p(2). p q q p

7.3 Sifat Assosiatif(1). p (q r) (p q) r(2). p (q r) (p q) r

7.4 Sifat Distributif(1). p (q r) (p q) r(2). p (q r) (p q) r

7.5 Sifat Identitas(1). p t t (3). p t p(2). p k p

t : tautologik : kontradiksi

(4). p k k

7.6 Sifat Komplemen(1). p ~p t (4). ~t = k(2). p ~p k(3). ~(~p) p

7.7 Sifat Idempoten(1). p~(p q) ~p ~q(2). ~(p q) ~p ~q

7.8 Sifat Implikasip q ~q p p q

(5). ~k = t

8. Penarikan Kesimpulan

8.1 Modus Ponensp q … premis 1p ... premis 2

q ... kesimpulan

8.2 Modus Tollensp q … premis 1~ q ... premis 2

~ p ... kesimpulan

8.3 Silogismep q … premis 1q r ... premis 2p r ... kesimpulan