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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ
EN EL ESTADO DE CAMPECHE
INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
MATEMÁTICAS PARA COMPUTADORA
1. LÓGICA MATEMÁTICA
ISC. YAQUELINE PECH HUH
PRESENTACIÓN
Podemos pensar a la lógica como el estudio del razonamiento correcto. El
razonamiento es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o
hechos. El razonamiento correcto es el razonamiento en el que las conclusiones
se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos.
Este trabajo trata sobre Lógica Matemática y Enseñanza, especialmente
sobre algunos elementos del análisis de tipo lógico que es necesario hacer para
comprender el lenguaje de la matemática y la estructura lógica de sus
demostraciones, a las que consideramos razonamientos correctos.
Una inquietud muy natural en un alumno interesado en un curso de lógica
matemática, es la de "aprender a demostrar en matemáticas". Esta inquietud
proviene del hecho de que el alumno no tiene claro qué es demostrar, ni por qué
hay que demostrar, ni tiene claro el concepto de verdad en matemáticas. Sólo
tiene preparación regular en la manipulación mecánica de algunos conceptos
matemáticos, pero carece de espíritu analítico. Confunde los desarrollos
formalistas mecanicistas y la memorización con el razonamiento correcto. Es
precisamente esa falta de espíritu analítico lo que provoca un rechazo al análisis
de conceptos, principios y métodos básicos de la matemática, como por ejemplo,
el concepto de límite, el principio de inducción matemática y el método de
reducción al absurdo.
Lo primero que hay que aclarar ante esta inquietud, es que no es posible
“enseñar a demostrar en matemáticas”, ya que no hay "recetas" para ello. Sin
embargo, se pueden dar elementos suficientes para que uno mismo vaya
aprendiéndolo.
Con el objeto de subsanar todas las deficiencias antes mencionadas, lo
cual no se hace en ningún curso regular, sino que se efectúa de modo autodidacta
a base de aclarar confusiones y rectificar errores, proponemos un curso básico
que se puede llamar "Análisis Lógico" o "Introducción a la Lógica Básica". Este
curso podría ser un curso propedéutico para licenciaturas relacionadas con
matemáticas, como computación, física, actuaría e ingeniería. No es un curso de
Lógica Matemática propiamente dicho, pero pretende resolver este problema que
tiene el alumno al enfrentarse al lenguaje y técnicas lógico deductivas de la
matemática, antes de poder enfrentarse a la matemática misma.
ÍNDICE DE CONTENIDO 1. PORTADA
2. PRESENTACIÓN
3. OBJETIVOS GENERALES
4. UNIDAD TEMÁTICA
1. LÓGICA MATEMÁTICA
1.1 Argumentos y Tipos de Proposiciones
1.1.1 Concepto de Argumento
1.1.2 Proposiciones Simples y Compuestas
1.2 Conexiones Lógicas y Jerárquicas
1.2.1 Conjunción
1.2.2 Disyunción
1.2.3 Condicional
1.2.4 Bicondicional
1.2.5 Negación
1.3 Cálculo de Predicados
1.3.1 Definición
1.3.2 Variables
1.3.3 Cuantificadores
1.3.4 Diagramas de Venn
1.4 Algebra declarativa
1.4.1 Conceptos
1.4.2 Tablas de Verdad
1.5 Inducción Matemática
1.5.1 Inducción Matemática (Conceptos)
1.5.2 Pasos de la Inducción Matemática
1.5.3
1.6 Inferencia y evaluación de expresiones
1.6.1 Reglas de Inferencia
1.6.2 Evaluación de Expresiones
1.7 Tautología y Contradicciones
1.7.1 Equivalencias Lógicas
1.7.2 Demostración condicional
1.7.3 Demostración por contradicción
5. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
6. EVALUACIÓN
7. BIBLIOGRAFÍA
OBJETIVOS GENERALES
El alumno
o conocerá los conceptos básicos de la lógica matemática
o Identificará Argumentos dentro de un texto.
o Identificará los diferentes tipos de proposiciones y establecerá
vínculos con programación.
o Utilizará las conexiones lógicas para establecer proposiciones
compuestas, igualmente establecerá su simbología y tablas de
verdad para cada una.
o Utilizará tablas de verdad para decidir si los argumentos son
verdaderos o falsos.
o Utilizará los diagramas de Venn como herramienta para comprobar
si la conclusión es consecuencia lógica de las hipótesis.
o Utilizará la Inducción Matemática como herramienta para
comprobar o determinar si una fórmula se puede utilizar para
cualquier termino incluyendo el n+1
o Conocerá y aplicará las reglas de Inferencia para establecer la
conclusión adecuada para las hipótesis.
o Conocerá las reglas para la evaluación de expresiones y
determinará prioridades.
o Utilizará la demostración directa o condicional y la demostración
por contradicción para probar que los Argumentos son correctos
Utilizando los teoremas, axiomas, términos y términos no definidos.
o Conocerá el concepto de Tautología y Contradicción
1.1. Argumentos y Tipos de Proposiciones
Objetivos Específicos:
Conocerá los conceptos básicos de la lógica Matemática
Identificará el argumento como parte de un enunciado
Conocerá el concepto de Proposición
Aplicará los conceptos para distinguir los enunciados que son
proposiciones Simples o compuestas.
Instrucciones Específicas:
Lee Cuidadosamente el material que se presenta
Realiza los ejercicios correspondientes a cada subtema
EL azul indica el concepto del subtema
Los conceptos más importantes están resaltados con negritas
Verifica los Ejemplos como parte de tus prácticas
Toma en cuenta las NOTAS para agilizar tu comprensión.
Antecedentes:
LÓGICA MATEMÁTICA
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por
medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es
ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la
filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase
puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el
significado correcto. En la computación para revisar programas. En general la
lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un
procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama
de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha
tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento
lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la
parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que
ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de
izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la
aplicación de la lógica.
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de
razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para
determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea
en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para
verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales,
para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida
cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma
constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
1.1.1 Concepto de Argumento
Un argumento es un conjunto finito y ordenado de afirmaciones de las cuales se
dice que la última, llamada conclusión, se sigue de las anteriores, llamadas
premisas. Un argumento es correcto si y sólo si la conclusión es consecuencia
lógica de las premisas; esto quiere decir que para cada interpretación del lenguaje
respecto a la cual todas las premisas son verdaderas, la conclusión será
necesariamente verdadera.
Un argumento es correcto o incorrecto, independientemente de sus
interpretaciones. Dicho de otra manera, es correcto si no hay interpretación alguna
para la cual las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa. Una
proposición es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la
vez. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no
válidas Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos
y la proposición propiamente dicha.
NOTA:
p: La tierra es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero;
por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición
valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las
variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta
perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que
esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y
w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de
ellos es un saludo y el otro es una orden.
Ejercicio:
Completa el siguiente enunciado y forma un Argumento
Jalil dice que todos los griegos Mienten
Jail miente si dice la verdad
________________________
jemplo: E
1.1.2 Proposiciones Simples y Proposiciones Compuestas
Una Proposición Simple es una afirmación como
1 + 1 = 3
La cual es verdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez. Se usan letras
minúsculas, como p, q o r para denotar las proposiciones.
p : 1 +1 = 3 para definir que p es la proposición.
p : Hay un premio Gramy Latino para los Artistas
q : Los Ovnis provienen de Marte
r : Terminado tu tarea te tienes que bañar
p y q son proposiciones, p es falsa y q es verdadera o falsa pero no
ambas a la vez, pero nadie lo sabe hasta el momento: r no es una
proposición por que r es un mandato no es verdadera ni falsa.
Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones
compuestas (formadas por varias proposiciones).
Una Proposición Compuesta es aquella que esta formada por dos o más
proposiciones simples.
E jemplo:
NOTA:
Sea: p: La materia es muy Teórica
q: El examen está fácil
r: el sol está fuerte
La proposición compuesta es: La materia es muy teórica o el examen está fácil.
Ejercicio:
I.- De las siguientes sentencias Identifica cuales son proposiciones y cuales no
1.- Hace calor
2.- Mañana no hay clases
3.- Es tarde
4.- Cuantos años tienes?
5.- Ayer hubo fiesta.
II.- Tomando como base las proposiciones del ejemplo anterior p, q, r escríbelas
como proposiciones compuestas siguiendo las condiciones.
1) p o q entonces r
2) r y p entonces q
E jemplo:
3) no p entonces q o r
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
1.- El enunciado ¿lava el coche por favor? es un ejemplo de: a) Un enunciado que no es proposición
b) una proposición
c) Axioma
d) Premisa
e) Conclusión
2.- Encuentra la respuesta al siguiente argumento: Jalil dice que todos los griegos mienten Jalil miente si dice la verdad Entonces:_______________ a) Jalil dice la verdad cuando miente.
b) Jalil miente y los griegos mienten c) Todos los griegos mienten d) no es cierto lo que dice jalil e) Jalil miente todo el tiempo y los griegos no 3.- Determina cual es la expresión simbólica que se aplica para la condición del código: j: = 1; i:=1; while (i<2 and j<5) or i + j = 5 do begin i:= i +2; j:=j +1; End. a) (p Λ q) V r
b) (p V r) V q
c) p → (p Λ q)
d) p V q V r
e) p Λ q Λ r
1.2. Conexiones Lógicas y Jerárquicas
Objetivos Específicos:
Conocerá el concepto de Conjunción, así como su simbología.
Establecerá los criterios de verdad para la conjunción.
Identificará aplicaciones de la conjunción dentro del esquema de
programación.
Conocerá el concepto de Disyunción, así como su simbología.
Establecerá los criterios de verdad para la Disyunción.
Identificará aplicaciones de la Disyunción dentro del esquema de
programación.
Aplicará los conceptos para formar proposiciones compuestas utilizando los
criterios de conjunción y disyunción establecidos.
Conocerá el concepto de proposición condicional, así como su simbología.
Establecerá los criterios de verdad para la proposición condicional
Identificará aplicaciones de la proposición condicional dentro del esquema
de programación.
Aplicará los conceptos para formar proposiciones compuestas utilizando la
proposición condicional.
Conocerá el concepto de proposición Bicondicional, así como su
simbología.
Establecerá los criterios de verdad para la proposición Bicondicional
Identificará aplicaciones de la proposición Bicondicional dentro del esquema
de programación.
Aplicará los conceptos para formar proposiciones compuestas utilizando la
proposición Bicondicional.
Conocerá el concepto de negación, así como su simbología.
Establecerá los criterios de verdad para la negación
Identificará aplicaciones de la negación dentro del esquema de
programación.
Aplicará los conceptos para formar proposiciones compuestas utilizando los
conectores jerárquicos mencionados.
Instrucciones Específicas:
Lee Cuidadosamente el material que se presenta
Realiza los ejercicios correspondientes a cada subtema
EL azul indica el concepto del subtema
Los conceptos más importantes están resaltados con negritas
Verifica los Ejemplos como parte de tus prácticas
Toma en cuenta las NOTAS para agilizar tu comprensión.
1.2.1 Conjunción
Operador and (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que
se pueda obtener un resultado verdadero.
Se llama conjunción a la proposición p y q y se simboliza p Λ q
Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque
y tiene corriente la batería"
Sean:
p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología
lógica es como sigue:
p = q Λ r
Los valores de verdad para la proposición compuesta p Λ q se
representan en la siguiente tabla:
E jemplo:
Donde.
T = verdadero
F = falso
En la Conjunción el resultado solo es verdadero cuando las
proposiciones que las componen ambas son verdaderas, en los
casos restantes el resultado es falso
Utilizando la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina,
r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q r=1 significa que el coche
puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no
tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.
p q p Λ q
T T T
T F F
F T F
F F F
Q R p = q r
T T T
T F F
F T F
F F F
E
NOTA:
jemplo:
Ejercicio:
Suponga que p= T, q= F, y r = F determina si las siguientes proposiciones
compuestas son verdaderas o falsas.
1.- Λ
2.- Λ ( Λ )
3.-
p
q
p
r
(p Λ q)
( p Λ r )
1.2.2 Disyunción
Operador Or (o)
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las
proposiciones es verdadera.
Se llama Disyunción a la proposición p o q y se simboliza p V q
Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque
o tiene corriente la batería"
Sean: p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra su boleto
u obtiene un pase".
Donde. p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.
E jemplo:
De tal manera que la representación de los enunciado anteriores usando
simbología lógica es como sigue:
p = q V r
Los valores de verdad para la proposición compuesta p V q se
representan en la siguiente tabla:
Donde.
T = verdadero
F = falso
En la Disyunción el resultado solo es Falso cuando las
proposiciones que las componen ambas son falsas en los casos
restantes el resultado es Verdadero
Utilizando la tabla anterior el valor de q=F significa que el no compra su boleto r=T
significa que Obtiene su pase y p = q V r= T significa que el puede entrar al cine.
p Q p V q
T T T
T F T
F T T
F F F
E
NOTA:
jemplo:
Ejercicio:
Suponga que p= T, q= F, y r = F determina si las siguientes proposiciones
compuestas son verdaderas o falsas.
1.- V
2.- V ( V )
3.- p V
p
q
p
r
(p V q)
( p V r )
1.2.3 Condicional
Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones
simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
p q Se lee "Si p entonces q"
El candidato del PRI dice "Si salgo electo presidente de la República recibirán un
50% de aumento en su sueldo el próximo año". Una declaración como esta se
conoce como condicional.
Sean
p: Salió electo Presidente de la República.
q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.
p q
Quedando:
Salió electo Presidente de la República entonces Recibirán un 50% de aumento
en su sueldo el próximo año
E jemplo:
La proposición p se denomina hipótesis (o antecedente) y la proposición q,
conclusión o consecuente.
Los valores de verdad para la proposición condicional p q se representan en
la siguiente tabla:
Donde.
T = verdadero
F = falso
Si la hipótesis p es verdadera y la conclusión q es falsa entonces
la proposición condicional es falsa. (NO se debe deducir una
conclusión falsa de una hipótesis verdadera)
La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la
afirmación del enunciado anterior. Cuando p=T; significa que salió electo, q=T y
p Q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
E
NOTA:
jemplo:
recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p q =T; significa que el
candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=T y q=F significa que p q
=F; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.
Cuando p=F y q=T significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50%
en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto;
tampoco mintió de tal forma que p q =T.
Ejercicio:
Expresa de nuevo cada proposición en forma de proposición condicional.
1.- Luis será buen estudiante si estudia mucho
2.- Ana puede cursar Matemáticas para computadora si ha pasado el examen de
concimientos generales o ha ingresado al Itescam
3.- Cuando Patricia canta me duelen los oídos
4.- Una condición necesaria para que el triángulo t sea equilátero es que t tenga
iguales sus tres lados iguales.
Para resolver los ejercicios debes saber que: Una condición
necesaria es otro nombre para la conclusión; Una condición
suficiente es otro nombre para la hipótesis.
NOTA:
1.2.4 Bicondicional
Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición
bicondicinal de la siguiente manera:
p q Se lee "p si solo si q"
Sea:
p: Es buen estudiante.
q: Tiene promedio de diez.
El enunciado siguiente es una proposición bicondicional
"Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez" quedando expresado en
forma simbólica de la siguiente manera
p q
Los valores de verdad para la proposición condicional p q se representan en
la siguiente tabla:
E jemplo:
Donde.
T = verdadero
F = falso
La proposición compuesta p q será verdadera cuando ambas
proposiciones p y q sean iguales en sus valores de verdad, es decir
cuando ambas sean verdaderas o ambas falsas.
Ejercicio:
Expresa de nuevo la proposición en forma de proposición bicondicional.
1.- Un triángulo es un triángulo rectángulo cuando a2 + b2 = c2
2.- Encuentra en un periódico ejemplos de proposiciones bicondicionales
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
NOTA:
1.2.5 Negación
Operador Not (no)
Si p es un proposición la negación de p se obtiene invirtiendo simplemente
los valores de verdad de p. Se simboliza de la siguiente manera.
Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición
es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o
negación (falso).
p: Nicole Kitman Protagonizó la película los Otros
:Nicole Kitman Protagonizó la película los Otros
Los valores de verdad para la proposición condicional p q se representan en
la siguiente tabla:
P
T F
F T
E
p
p
jemplo:
p
ANEXOS
Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo
funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado
es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas son
verdad el resultado es falso.
En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más
complejos. Ejemplo
Sean las proposiciones:
p: Hoy es domingo.
q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.
r: Aprobaré el curso.
El enunciado: "Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no
aprobaré el curso". Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:
p q r
Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los
operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor
(combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).
A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier
enunciado con conectores lógicos.
Sea el siguiente enunciado "Si no pago la luz, entonces me cortarán la
corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré
prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la
deuda, si solo si soy desorganizado"
Donde:
p: Pago la luz.
q: Me cortarán la corriente eléctrica.
r: Me quedaré sin dinero.
s: Pediré prestado.
t: Pagar la deuda.
w: soy desorganizado.
E jemplo:
Ejercicio:
Expresa en forma de negación los siguientes enunciados
1.- Todos los cuadrados son rectángulos
2.- Ningún par de rectas paralelas se interfecta
3.- Algunos grafos son árboles
4.- algunos lenguajes libres de contexto no son lenguajes regulares.
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
1.- Evaluar las siguientes proposiciones según los valores de verdad p = F, q = T, r = F y determinar si son verdaderas o falsas.
a) Verdadero, falso, falso
b) falso, falso, falso c) falso, verdadero, falso d) verdadero, verdadero, falso e) verdadero, falso, verdadero. 2.- Tomando como base las proposiciones p:la materia es teórica, q: El examen está difícil, r:El sol está fuerte. La proposición compuesta no p entonces no q o r queda: _____________________
a) La materia es práctica entonces el examen es fácil o el sol esta fuerte
b) La materia no es teórica entonces el examen está fácil o el sol esta fuerte c) La materia es práctica entonces el examen es dificil o el sol esta fuerte d) La materia no es teórica entonces el examen está difícil o el sol no esta fuerte e) No es verdad que la materia es teórica y que el examen esta fácil o el sol está fuerte 3.- Una conclusión suficiente dentro de un argumento es igual a:
a) hipótesis
b) conclusión c) argumento d) axioma e) definición
1.3. Cálculo de Predicados
Objetivos Específicos:
Identificará el predicado como elemento de una expresión.
Empleará la metodología para estructurar las expresiones en la forma
correcta, resaltando el predicado.
Conocerá las variables que se utilizan para el cálculo de predicados
Identificará los cuantificadores en el mundo real.
Utilizará los cuantificadores para sentar las bases de los diagramas de
Venn
Utilizará los diagramas de Venn como herramienta para comprobar si la
conclusión es consecuencia lógica de las hipótesis.
Instrucciones Específicas:
Lee Cuidadosamente el material que se presenta
Realiza los ejercicios correspondientes a cada subtema
EL azul indica el concepto del subtema
Los conceptos más importantes están resaltados con negritas
Verifica los Ejemplos como parte de tus prácticas
Toma en cuenta las NOTAS para agilizar tu comprensión.
Realiza los ejercicios correspondientes
1.3.1 Definición
DEFINICIÓN:
Si P es un símbolo de predicado de n argumentos y t1,t2, ..., tn son términos,
Entonces:
P(t1,t2,...tn) es un término.
Ninguna otra expresión puede ser un término.
En la siguiente lectura trataremos la forma como se convierte formulas del Cálculo
de Predicados a formas sin cuantificadores, las cuales son más fáciles de
manejar. Como veremos, estas formas, llamadas formas normales prenexas
permiten un manejo similar al que se hace con el Cálculo de Proposiciones.
El Cálculo de predicados trata solamente con valores de las
proposiciones y cómo se relacionan y se opera con ellos; pero no
dice nada respecto a la relación que pueda existir en el dominio de
interpretación de la proposición.
NOTA:
jemplo E
Es un tratamiento deductivo puramente sintáctico en las variables
preposicionales y en las expresiones no se refleja si hay o no una relación entre p
y q o entre p y r, etc.
Así estas proposiciones pueden representar igualmente:
a)
Juan está cansado o enfermo
Si Juan está cansado, se queda en casa
No se queda en casa. Luego está enfermo
Donde todas las proposiciones están referidas a un mismo elemento del
dominio de interpretación: "Juan".
b)
En el desierto hay arena o Juan tiene gripe
Si en el desierto hay arena entonces tengo hambre
Yo no tengo hambre
Luego, Juan tiene gripe
Donde no hay, aparentemente, ninguna relación entre las proposiciones; sin
embargo, ambas interpretaciones son correctas y la conclusión es válida.
El Cálculo de Predicados refleja las relaciones que existen entre
los elementos del dominio y si estas relaciones están referidas a
NOTA:
parte del dominio o a todo el dominio.
El Cálculo de predicados, resulta útil para muchas aplicaciones
computacionales, entre las que podemos citar, análisis de circuitos, análisis y
confiabilidad de sistemas mediante árboles lógicos, diversas aplicaciones de
satisfactibilidad a problemas de planeación, etc. Sin embargo, existe una gran
cantidad de aplicaciones donde el Cálculo de predicados no se considera
suficiente, debido a que cuenta con una deductibilidad limitada y en donde es
preferible un tipo especial de lógica conocido como Lógica de Predicados (ó
Cálculo de Predicados). Para explicar esta situación, consideremos el argumento
conformado con las siguientes sentencias del Cálculo Proposicional:
p: Todos los mamíferos son mortales
q: Lassie es un mamífero
r: Lasssie es mortal
Las expresiones p, q, r, son proposiciones, puesto que todas ellas son
enunciados que pueden ser evaluados como V (verdaderos) o F (falsos). Hay que
hacer notar, sin embargo, que mediante la aplicación de reglas de inferencia del
Cálculo Proposicional, no es posible deducir r a partir de las premisas p y q
anteriores, ya que el Cálculo Proposicional no tiene acceso a los elementos
comunes que conforman estas proposiciones, como son mamífero, mortal y
Lassie, e indispensables para llegar a la conclusión r resultante. Sin embargo, esta
misma expresión en Cálculo de Predicados, se podría escribir distinguiendo los
elementos constitutivos de cada proposición. Es decir, el Cálculo de Predicados se
aplica para las mismas proposiciones que pueden ser enunciadas en Cálculo
Proposicional, con la diferencia que en el primero se tiene acceso a los elementos
constitutivos de cada proposición.
Una de las aplicaciones más importantes del Cálculo de Predicados es la
especificación formal, la cual permite describir lo que el usuario desea que un
programa realice. Ésta es una aplicación que ha empezado a ser empleada para
el desarrollo de al menos las partes críticas de un sistema. De esta manera piezas
de código especificadas formalmente, pueden ser verificadas, en principio,
matemáticamente, incrementando la confiabilidad del sistema completo. Existen
varios lenguajes de especificación formal basados en lógica, como Z o VDM, de
los cuales se hablará más adelante en este curso.
En el caso de la especificación y verificación formal de programas, las
piezas de código son acompañadas por pre y post condiciones, las cuales se
escriben como fórmulas del Cálculo de Predicados. Las pre y postcondiciones
deben ser válidas, antes y después de que la pieza de código correspondiente se
ejecute. Es decir, si la pieza de código satisface su especificación, entonces se
dice que el programa es correcto.
Por otra parte, dada una pieza de código y sus pre y postcondiciones, se
dice que un algoritmo tiene la propiedad de correctividad si se es capaz de decir si
dicha pieza de código es o no correcta. El análisis de la correctividad de
algoritmos es una parte fundamental en Ciencias compuationales. Formalmente,
es necesario asegurar una definición precisa de la pre y post condiciones, de
manera que se interprete de ellas un solo significado; ésto es logrado escribiendo
las pre y post condiciones como fórmulas del Cálculo de Predicados. Éste es
particularmente útil para describir la semántica de los lenguajes de programación,
así como para describir el comportamiento funcional de un programa o una parte
de él.
En el Cálculo de Predicados hay otras diferencias básicas respecto al
Cálculo de predicadosl, entre las que podemos citar:
* Se indican postulados sobre objetos individuales:
Juan es alto
Se puede escribir:
ES_ALTO(JUAN)
Donde ES_ALTO es un símbolo de predicado y JUAN es una constante.
Nótese que el predicado anterior puede ser evaluado como V (verdadero) o F
(falso).
* Se indican postulados relacionando varios objetos.
Es posible expresar:
Juan es tío de María
E jemplo:
jemplo E
En la forma:
ES_TIO (JUAN, MARIA)
Donde ES_TIO es un Símbolo de Predicado que tiene como argumentos a
las constantes
JUAN Y MARIA.
Obsérvese que el predicado anterior podrá ser evaluado como F (falso) o V
(verdadero).
* Se utilizan cuantificadores universales y existenciales.
El argumento anterior sobre Lassie se puede escribir:
for_all (x) MAMÍFERO(x) MORTAL (x)
MAMÍFERO (LASSIE)
MORTAL (LASSIE)
Una posible interpretación de este modelo se presenta a continuación:
i) En este argumento tenemos las siguientes premisas:
La primera proposición señala que todos los elementos x son mamiferos
implican que x es mortal.
La segunda expresión indica que es conocido que Lassie es un
mamífero.
ii) La conclusión de este argumento es:
Lassie es mortal
jemplo E
iii) El único conector lógico de esta expresión es el símbolo el cual es
como en el caso del Cálculo Proposicional, el de implicación. No obstante en
Cálculo de Predicados se pueden utilizar todos los conectores lógicos del Cálculo
Proposicional.
Podríamos interpretar este argumento indicando que si las dos premisas
son verdaderas, entonces se puede deducir que Lassie es mortal
1.3.2 Variables
En el Cálculo de Predicados se usan varios tipos de símbolos:
SÍMBOLOS DE FUNCIÓN: Funciones que definen nuevos individuos en
términos de los previamente conocidos
mas(x,y)
padre(x)
SÍMBOLOS DE PREDICADOS: Predicados que describen un conjunto de
individuos que tienen una propiedad o relación
MAYOR(más(x,1),x)
CONSTANTES. Mantienen la propiedad de todo elemento constante.
CASA, MARÍA
SÍMBOLOS DE VARIABLES. Individuos que pertenecen a un dominio no
vacío o conjunto
x,y
jemplo E
jemplo E
jemplo E
jemplo E
En Cálculo de Predicados, nos referimos a términos cuando hablamos de
constantes, variables o símbolos de función, cuyos elementos sabemos de
antemano que son términos. Así, por ejemplo, la variable x y la constante 1 son
términos. Dado el símbolo de función más de dos argumentos, las siguientes
expresiones también son términos:
más (x,1)
más (más(x,1),1)
El primero de ellos se refiere a la suma x +1, mientras que el segundo a la
suma de los términos correspondientes a x+1 con el término 1.
Como para el caso del Cálculo de Proposiciones, se usan también átomos
en el Cálculo de Predicados, los cuales son enunciados simples (es decir
predicados), que están conformados con símbolos de predicados, con varios
términos como argumentos y que pueden ser evaluados como V (verdaderos) o F
(falsos), de manera que no pueden ser descompuestos en proposiciones más
simples. De esta manera las siguientes expresiones son átomos:
MAMÍFERO(x)
MORTAL (LASSIE)
ES_TIO(JUAN, JOSE)
ES_NIETO(PANCHO_VILLA, PEDRO_CASISTRANINI)
Es decir, se puede definir término de la siguiente manera:
Además se trata con formas proposicionales, estructuras que aparecen como
sentencias declarativas, pero que no tienen valores definidos de verdad a causa
de las variables individuales.
Ejemplo:
2+3=4 Es una proposición
x+3=4 Es una forma proposicional, ya que será proposición cuando x
tome algún valor del dominio
Recibe el nombre de Cálculo de Predicados de Primer Orden por tener
cuantificadores sólo sobre el dominio de individuos.
El cálculo de predicado está formado por un conjunto de
predicados concatenados a través de operaciones lógicas.
Igualmente dentro del cálculo de Predicados se utilizan las siguientes simbologías:
Е Existe: : Para todo
Sea el enunciado:
Todos los mamíferos son de sangre caliente.
Expresado usando la simbología del predicado se tiene:
Mamíferos ( X ) Sangre caliente ( X )
NOTA:
jemplo E
Ejercicio:
Traduce en forma simbólica los siguientes enunciados.
1.- Todos los romanos eran leales a Cesar o lo odiaban
2.- Cesar fue un Rey
3.- Todos los pompeyanos fueron Romanos
4.- Marco Trata de asesinar a Cesar
1.3.3 Cuantificadores y restricciones
Existen dos tipos de cantificadores:
Una cuantificación existencial es verdadera respecto a la interpretación dada, si
hay al menos un individuo en el universo de esa interpretación, tal que q es
verdadera respecto a esa interpretación y respecto a ese individuo.
El cuantificador universal utiliza el descriptor todo o nada, es decir se
refiere a todas las acciones que engloban al universo;
Todos los miembros del equipo los Cafés de Calkiní son jugadores de Baseball
Ningún hecho violento merece ser visto
Una cuantificación universal es verdadera respecto a la interpretación dada, si
para todos los individuos en el universo de esa interpretación, q es
verdadera respecto a esa interpretación y respecto a cada uno de ellos.
El cuantificador existencial utiliza el descriptor algún c1 esta en C2, o
algún C1 no esta en C2, es decir se refiere a que algunos elementos
pueden pertenecer o no al conjunto.
NOTA:
NOTA:
jemplo E
Algunos jugadores de béisbol no están en el equipo Cachorros
Algunos números reales no son perfectos
jemplo E
1.3.4 Diagramas de Venn
Es una representación de las clases o conjuntos mediante círculos que se
intersecan.
Sean las clases:
C1: los profesores
C2: los humanos
C3: los buenos docentes
Para poder representar un diagrama de Venn se necesita de un razonamiento de
la siguiente forma (tomando como base las clases):
Todo C1 es C2
Todo C3 es C2
Todo C1 es C3
Los diagramas sirven, en ocasiones, para visualizar las operaciones que se
pueden realizar con conjuntos a si el universo se representa mediante rectángulos
y los conjuntos que se extraen mediante curvas cerradas.
Conjunto o Clase
jemplo E
UNIVERSALES EXISTENCIALES
Todo C1 es C2 Algunos C1 están en C2
Ningún C1 está en C2 Algunos C1 no están en C2
Los diagramas de Venn son útiles para determinar la validez de
razonamientos relacionados con proposiciones categóricas.
Sean los siguientes argumentos
Todos los profesores son humanos
Todos los buenos docentes son humanos
Todos los profesores son buenos docentes
Podemos presentar el razonamiento en la forma:
NOTA:
jemplo E
Todo C1 es C2
Todo C3 es C2
Todo C1 es C3
El diagrama de Venn Que representa la hipótesis se representa:
Considere la región que tiene la marca palomeada, como esta región no esta
sombreada, no es vacía necesariamente, es decir pueden haber elementos de C1
que no estén en C3. Por lo tanto la conclusión no es correcta por lo que Ele
razonamiento es falso.
Ejercicio:
Utiliza diagramas de Venn para determinar si los siguientes razonamientos son
válidos:
1.- Algunos votantes no son Mexicanos
Algunas personas no son votantes
Algunas personas no son Mexicanos
2.- Todos los árboles son grafos
Algunas estructuras no son grafos
Algunas estructuras no son árboles
3.- Todos los perros tienen dos patas
Todos los animales de dos patas son carnívoros
Todos los animales de dos patas son carnívoros
4.- Algunos enteros no son números perfectos
Todos los enteros son números reales
Algunos números reales no son números perfectos
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
1.- Expresa en forma de predicado el enunciado: Juan es tio de Maria
a) Es tio (Juan, Maria)
b) Es tio (Juan)
c) Es tio (Maria)
d) Es tio (Maria, Juan)
e) Es tio (x)
2.- Es la traducción en forma simbólica del enunciado: Existen personas que toman clase de manejo con luis o sacan su licencia
a) E personas(x) → clases de manejo(x, luis) V licencia(x)
b) E clase de manejo(x) V licencia (x)
c) E personas(x) ↔ clases de manejo(x, Luis) V licencia(x, Luis)
d) E clase de manejo(x, Luis) V licencia (x. Luis)
e) E personas(x) → clases de manejo(x, luis) V licencia(x, Luis)
3.- Identifica el razonamiento que representa el diagrama de Venn
a) ningun c2 es c1
b) algún c1 es c2
c) todo c1 es c2
d) todo c2 es c1
e) algún c1 no es c2
1.4. Algebra Declarativa
Objetivos Específicos:
Utilizará los conocimientos previos para realizar tablas de verdad de
proposiciones compuestas.
Utilizará las tablas de verdad para decidir si los argumentos son verdaderos
o falsos
Conocerá los conceptos de Axiomas, términos, términos no definidos.
Identificara dentro de un párrafo los Axiomas, términos, términos no
definidos.
Instrucciones Específicas:
Lee Cuidadosamente el material que se presenta
Realiza los ejercicios correspondientes a cada subtema
EL azul indica el concepto del subtema
Los conceptos más importantes están resaltados con negritas
Verifica los Ejemplos como parte de tus prácticas
Toma en cuenta las NOTAS para agilizar tu comprensión.
Realiza los ejercicios correspondientes
1.5.1 Conceptos
Un sistema matemático está formado por: Axiomas, Términos y Términos no
definidos.
Axiomas: Se suponen ciertos.
Definiciones o Términos: Se usan para crear nuevos conceptos en términos de
otros ya existentes.
Términos no definidos: No están definidos explícitamente pero si lo están
implícitamente por los axiomas.
Los números reales constituyen un sistema matemático donde los axiomas son:
Para todo conjunto X y Y, X.Y = Y.X
Existe un subconjunto P de números reales que satisface:
a) si X y Y están en P entonces X + Y y X.Y están en P (Término)
b) Si X es un número real entonces exactamente una de las proposiciones es
verdadera: X está en P, X = 0, -X está en P (Términos no definidos)
Deducción: La deducción lógico matemática consiste en lo siguiente: A partir de
una serie de fórmulas admitidas como ciertas, y denominadas axiomas, hipótesis o
premisas, se obtiene otra fórmula llamada conclusión o tesis, mediante la
aplicación de reglas lógicas precisas. El proceso mediante el cual se pasa de las
hipótesis (premisas) a la tesis, recibe el nombre de demostración.
Un teorema es una fórmula que figura dentro de una demostración. Es decir, un
jemplo E
teorema es una fórmula que es o bien un axioma, o bien, una consecuencia de
éste.
Una fórmula se dice que es falsa si su negación es un teorema.
Una teoría es contradictoria cuando se tiene una fórmula r que es verdadera y
falsa a la vez. Esto es: r y son teoremas de la teoría.
Para demostrar que una fórmula C es un teorema se desarrolla el siguiente
proceso:
Se enuncian los axiomas de la teoría. Para la lógica proposicional se
establecen cuatro axiomas (A) que son :
A1. Axioma de idempotencia. Sea P una fórmula, entonces, la fórmula:
P V P P
es un axioma
A2. Axioma de adjunción. Sean P Y Q fórmulas, entonces, la fórmula:
P V Q
es un axioma.
A3. Axioma de conmutatividad. Sean P, Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:
P V Q V P
es un axioma.
A4. Axioma de adición. Sean P , Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:
(P Q) (R V P V Q)
r
es un axioma.
Se fijan las "reglas lógicas" que permiten deducir dicha fórmula a partir de
los axiomas. Estas reglas son llamadas reglas de validez (RV) y son las
siguientes:
RV1: Dadas las fórmulas R y S; si R S y R son verdaderas, entecos S es
verdadera.
RV2: Si R y S son fórmulas equivalentes, se puede sustituirla una por la otra en
cualquier parte del proceso demostrativo.
Se hace una demostración de la fórmula C, que consiste en obtener a C
como última fórmula de la lista, por aplicación reiterada de RV1 y RV2.
Ejercicio:
Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los
símbolos correspondientes a cada término de enlace. Indicar las proposiciones
simples sustituidas por cada letra mayúscula.
1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.
2. Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original.
3. O Jaime no es puntual o Tomas llega tarde.
4. Ni Antonio ni Ana estudian en la universidad.
5. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.
6. Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el
cuadro rojo.
7. A la vez, si este cuadro es negro, entonces, aquel cuadro es rojo y su rey está
sobre el cuadro rojo.
8. Patinaremos sí y sólo si el hielo no es demasiado delgado.
1.4.2 Tablas de verdad
Los valores de verdad o veracidad de una proposición compuesta pueden
describirse por una tabla de verdad.
La tabla de verdad de una proposición compuesta P = P(p1, p2, p3,… ,pn)
enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para p1, p2,
…,pn.
En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de
verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición
[(p q) ( r) (r q).
p Q r p q ( r ) (p q) ( r) r q [(p q) ( r) (r q)
F F F T T F T T T
F F T T T T T F F
F T F F T F T T T
F T T F T F T T T
T F F T F F F T F
T F T T F T T F F
T T F F T F T T T
T T T F T F T T T
q
jemplo E
q
q
q
q
El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables
de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.
No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas.
Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del
material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se
esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los
ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes,
deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores
lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de
proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que
el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el
estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber
perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el
conocimiento deberá ser significativo.
Ejercicio:
Realiza la tabla de verdad para las siguientes proposiciones.
1.- p Λ q
2.- V ( Λ q )
3.- p V
p
r
(p V q)
( p V r )
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
1.- Son los que se suponen ciertos.
a) Axiomas
b) Definiciones
c) Términos
d) Argumentos
e) Predicado
2.- El enunciado: dados 2 puntos distintos, existe una recta única que los contiene. Es : _______________
a) Axioma
b) Teorema c) Postulado d) Término no definido e) Lema 3.- Identifica la proposición compuesta que da por resultado la tabla:
a) (p → q) Λ (q → r) b) p → (q V r) c) (p ↔ q) Λ (q → r) d) (p → q) V (q → r) e) (p → q) Λ (q V r)
1.5. Inducción Matemática
Objetivos Específicos:
Utilizará inducción matemática para realizar demostraciones
Empleará los pasos del método inductivo para determinar fórmulas así
como sus demostraciones.
Conocerá el término de recursividad.
Enlazará los conceptos con la Materia de Programación y de lenguajes y
Autómatas como elementos previos para la construcción de cadenas.
Instrucciones Específicas:
Lee Cuidadosamente el material que se presenta
Realiza los ejercicios correspondientes a cada subtema
EL azul indica el concepto del subtema
Los conceptos más importantes están resaltados con negritas
Verifica los Ejemplos como parte de tus prácticas
Toma en cuenta las NOTAS para agilizar tu comprensión.
Realiza los ejercicios correspondientes
1.5.1 Principio de Inducción Matemática
Es un método de demostración que se utiliza cuando se trata de establecer
la veracidad de una lista infinita de proposiciones.
El método puede usarse en una variedad de situaciones en la ciencia de la
computación. Se utiliza frecuentemente para demostrar que un programa de
computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera.
Primer principio de inducción matemática.
Consideremos una lista de proposiciones p (1), p (2), p (3), con índices en los
enteros positivos todas las proposiciones p (n) son verdaderas a condición que
(ß) p(1) sea verdadera
(I) p (n + 1) es verdadera siempre que p (n) lo sea nos referimos a (ß), es decir
al hecho de p(1) es verdadera, como la base de la inducción . Nos referimos a
(I) como el paso inductivo en la notación del calculo proposicional (I) equivale
decir que:
p (n)
n+1 (3R-2) = 1/2(3n2-n) Z
La n-ésima proposición p(n) es verdadera
n (3R-2) = 1/2(3n2-n)
(ß) p(1) = 1 = 1/2[3(1)2-1)] de aqui que 1=1.
(I) p(n+1) n+1 (3R-2) = 1/2[3 (n+1)2-(n+1)]
Utilizando p (n) tenemos que
n+1 (3k-2) = n (3k-2)+[3(k+1)-2]
= n (3k-k)+[3(k+1)]
1/2(3k2-k)+(3k+1) = 1/2 [3(n+1)2-(n+1)]
1/2 3k2 - 1/2 k + 3k + 1
1/2 3k2 + 5/2 k + 1
3k2 + 5 k + 2
(3k-2)(k + 1)
[3(k + 1) - 1](k + 1)
3(k + 1)2 - (k + 1)
1/2[3(k + 1)2 - (k + 1)] ..... Lo que queda demostrado
jemplo E
Ejercicio:
Menciona tres áreas las que consideres que se puede aplicar los conceptos de
Inducción
Encuentra ejemplos de aplicaciones de inducción.
1.5.2 Pasos de la Inducción Matemática
Supóngase que se tiene una proposición s(n) para cada entero positivo (n) la cual
es verdadera o falsa. Se tiene dos pasos que conducen el método inductivo:
Paso Básico:
S (1) es verdadera.
Paso Inductivo.
Si S(i) es verdadera para todo i< n+1,
S(n+1) es verdadera. De modo que s(n) es verdadera para todo entero positivo n.
………….
1 2 3 4 n n+1
Sea s(n) la suma de los n primeros números enteros positivos: s(n) =
1+2+3+4+…+n se afirma que sn = n(n+1) verificar si se cumple el principio para
todos los casos. 2
jemplo E
Paso Básico:
S(1) = 1(1+1) /2 = 1
S(1) = 1
Paso Inductivo:
S(n+1) = (n+1) (n+1+1) /2 = (n+1) (n+2) /2
Comprobación
S(n+1) = (n(n+1) /2 )+ (n+1) s(n+1) = (n (n-1) + 2 (n+1)) / 2
S(n+1) = (n2 +n + 2n + 2 ) / 2 = (n2 + 3n + 2) / 2 = ((n+1) (n+2) ) /2
Ejercicio:
1.- Empleese inducción para probar que el factorial cumple n! > 2n+1 para n=
1+2+3+…+n;
2.- Verifique usando inducción que se cumple la siguiente ecuación 1+ 3 + 5 + … + 2n-1 = n2
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
1.- Es la verificación de la expresión 1 + 3 + 5 + … + 2n -1 = n² (Aplicando la inducción matemática).
a) Paso básico: 1 = 1² Paso inductivo: Supóngase verdadera para n. 1 + . . . + (2n – 1 ) + ( 2n + 1 ) = n² + 2n + 1 = ( n + 1 )²
b) Paso básico: 3 = n²+1 Paso inductivo: supóngase que es verdadera para n + 1 1+ … + n²+ (n + 1)²= 2 n² c) Paso básico: 1 = 1² Paso inductivo: supóngase que es verdadera para n + 1 1+ … + n² + (n + 1)²= 2 n² d) Paso básico: 1 + 3 + 5 = 9 Paso inductivo: Supóngase verdadera para n. 1 + . . . + (2n – 1 ) + ( 2n + 1 ) = n² + 2n + 1 = ( n + 1 )² e) Paso básico: 2n -1 = n² Paso inductivo: Supóngase verdadera para n. 1 + . . . + (2n – 1 ) + ( 2n + 1 ) = n² + 2n + 1 = ( n + 1 )² 2.- Usando inducción determina cual es el número que sigue en la serie: 2,6, 9, 27, 30, ..
a) 90
b) 39 c) 45 d) 60 e) 33 3.- Supóngase que se tiene una proposición S (n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Es llamado paso inductivo de la inducción matemática a la siguiente expresión:
a) Se considera que: si S (i) es verdadera para todo i < n+1 , entonces s( n + 1 ) es verdadera.
b) S (n) es verdadera para todo entero positivo n. c) Se considera que S (1) es verdadera. d) S (n) es verdadera para cualquier número positivo o negativo. e) Se considera que S (n) es verdadera.
1.6. Inferencia y Evaluación de Expresiones
Objetivos Específicos:
Utilizará las reglas de inferencia como herramienta para determinar el
resultado de un argumento.
Evaluará expresiones determinando prioridades
Establecerá las bases para la prioridad de expresiones.
Conocerá las reglas de inferencia y sus utilidad.
Instrucciones Específicas:
Lee Cuidadosamente el material que se presenta
Realiza los ejercicios correspondientes a cada subtema
EL azul indica el concepto del subtema
Los conceptos más importantes están resaltados con negritas
Verifica los Ejemplos como parte de tus prácticas
Toma en cuenta las NOTAS para agilizar tu comprensión.
Realiza los ejercicios correspondientes
1.6.1 Reglas de Inferencia
INFERENCIA: De premisas verdaderas se obtienen sólo conclusiones verdaderas.
Cada regla de inferencia tiene su origen en una implicación lógica. En
algunos casos la implicación lógica se establece sin demostración.
Regla Nombre
p
p q
q
Modus Ponens
p q
q r
p r
Ley del silogismo
pq
Modus Tollens
p
q
p Λ q
Regla de la Conjunción
p V q
q
Regla del silogismo
Disyuntivo
F
p
Regla de la contradicción
p Λ q
p
Regla de la simplificación
Conjuntiva
p
p V q
Regla de la simplificación
Disyuntiva
p Λ q
p (q r) r
Regla de la demostración
Condicional
NOTA:
q
p
p
p
p r
q r
( p V q ) r
Regla de la demostración
por casos
p q
r s
p V r
q V s
Regla del dilema
constructivo
p q
r s
__V___
V
Regla del dilema destructivo
1. REGLA DEL MODUS PONENDO PONENS
Es una regla de inferencia que permite demostrar q a partir de p q y p.
PREMISA 1) Si Pedro está en el partido de Fútbol, entonces Pedro
está en el estadio.
PREMISA 2) Pedro está en el partido de Fútbol.
___________________________________________________
CONCLUSIÓN: Pedro Está en el estadio.
jemplos E
r
p
r
q
Simbólicamente tenemos lo siguiente:
p: Pedro está en el partido de fútbol
q: Pedro está en el estadio
Entonces:
PREMISA 1) p q
PREMISA 2) p
__________
CONCLUSIÓN: q
Esta regla permite pasar de dos premisas a la conclusión, se dice que la
conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, es decir siempre que las
premisas son ciertas, la conclusión es también verdadera.
La misma regla se aplica tanto si el antecedente y el consecuente son
proposiciones atómicas o moleculares.
a) r s b) p c) p q r d) p q r
r p p q p ________________ __________________ ________________ ________________
s r q r
Cuando el MODUS PONENDO PONENS o cualquier otra regla se aplica para
sacar una conclusión de dos o más proposiciones, el orden de las proposiciones
es indiferente.
La abreviatura para esta regla es MP.
jemplo E
q
q
2) DOBLE NEGACIÓN.
Es una regla que permite pasar de una premisa única a la conclusión. Un
ejemplo simple es el de una negación de la negación que se denomina << Doble
negación >>.
Sea la proposición:
No ocurre que Ana no es un estudiante.
De donde se puede sacar la conclusión: Ana es estudiante.
La regla también actúa en sentido contrario. Por ejemplo: de la proposición se
puede concluir la negación de su negación:
Juan toma el autobús par ir a la escuela.
__________________________________________
No ocurre que Juan no toma el autobús para ir a la escuela
Así esta regla tiene dos formas simbólicas:
( p ) y ( p )
( p ) ( p )
La abreviatura para esta regla es DN.
3) MODUS TOLLENDO TOLLENS
La regla de Inferencia que se aplica también a las proposiciones condicionales,
pero en este caso, negando ( tollendo ) el consecuente, se puede negar (tollens )
el antecedente de la condicional.
La deducción siguiente es un ejemplo del uso de esta regla:
PREMISA 1) Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella .
PREMISA 2) El astro no es una estrella.
Conclusión: Por lo tanto no tiene luz propia.
Simbolizando: p : Tiene luz propia q : El astro es una estrella.
PREMISA 1) p q PREMISA 2) _______________________ Conclusión: Cuando se trata de proposiciones moleculares puede usarse el paréntesis para
mayor claridad.
La abreviatura para esta regla es TT.
jemplo E
q
p
4) Regla de ADJUNCION Y SIMPLIFICACIÓN. Se suponen dadas dos proposiciones como premisas. La primera es
Jorge es adulto
La segunda es:
María es adolescente.
Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces se podrían juntar en una
proposición molecular utilizando el término de enlace << y >> y se tendría una
proposición verdadera que se leería:
Jorge es adulto y maría es adolescente.
La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusión se denomina regla
de ADJUNCION.
La abreviatura para esta regla es A. De manera simbólica se puede ilustrar la regla así : PREMISA 1) p PREMISA 2) q _____________________
Conclusión 1) p q
Conclusión 2) q p El orden de las premisas es indiferente. Ahora veamos la REGLA DE SIMPLIFICACIÓN Si se tiene una premisa que dice: El cumpleaños de María es el lunes y el mío es el sábado. De esta premisa se pueden concluir:
El cumpleaños de María es el viernes. La otra conclusión: El mío es el sábado. Si la premisa es cierta, cada una de las conclusiones es también cierta. Esta regla se abrevia por S.
En forma simbólica la regla de simplificación es: p q
De la premisa p q _______________ Se concluye: p O se concluye: q 5) REGLA DE MODUS TOLLENDO PONENS
Esta regla dice que negando (tollendo) un miembro de una disyunción, se afirma
(Ponens) el otro miembro.
Simbólicamente tenemos:
De la premisa p v q Y de la premisa _______________ se concluye q O también De la premisa p v q Y de la premisa ________________ se puede concluir p La abreviatura para esta regla es : TP.
p
q
Los argumentos basados en tautologías representan métodos de
razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la
forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las
variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las
reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una
demostración.
Ejemplo 1
¿Es valido el siguiente argumento?.
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.
Si se hace usted rico, entonces será feliz.
____________________________________________________
Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.
Sea:
p: Usted invierte en el mercado de valores.
q: Se hará rico.
r: Será feliz
De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica
de la siguiente manera:
p q
q r
______
p r
Ejemplo 2.
¿Es valido el siguiente argumento?.
Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso
El ingreso se eleva.
_________________________________________
Los impuestos bajan
Solución:
Sea
p: Los impuestos bajan.
q: El ingreso se eleva.
p q
q
_____
p
El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá
poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.
En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen
reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte
en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla
aplicar para resolver un determinado problema
Ejercicio:
Determina de los siguiente argumentos cuales reglas de inferencia se aplican y
cual es el resultado del argumento.
1.- Ligia gana 10 millones de dólares en la lotería.
Si lidia gana 10 millones de dólares en la lotería entonces José renunciará a su
trabajo.
Por lo tanto: ____________________________________
2.- Si el entero 35, 244 es divisible entre 396, entonces el entero 35,244 es
divisible entre 66
Si el entero 35, 244 es divisible entre 66, entonces el entero 35, 244 es divisible
entre 3
Por lo tanto: __________________________________________
3.- Si Alejandra se va de paseo a París entonces tendrá que ganarse una beca
Alejandra se va de paseo a París.
Por lo tanto: _________________________________________
4.- Rita esta horneando un pastel
Si Rita esta horneando un pastel, entonces no está practicando la flauta.
Si Rita no está practicando la flauta, entonces su padre no pagará el seguro.
Por lo tanto: _________________________________________
5.- Si Juan juega Basket entonces será un gran deportista
Si Juan trabaja entonces ahorrará para ir de vacaciones.
Juan juega básquet o estudia Inglés
Por lo tanto: __________________________________________
1.6.2 Evaluación de expresiones
Las expresiones son secuencias de constantes y/o variables separadas por
operadores válidos.
Se puede construir una expresión válida por medio de :
1. Una sola constante o variable, la cual puede estar precedida por un signo +
ó - .
2. Una secuencia de términos (constantes, variables, funciones) separados
por operadores.
Además debe considerarse que:
Toda variable utilizada en una expresión debe tener un valor almacenado
para que la expresión, al ser evaluada, dé como resultado un valor.
Cualquier constante o variable puede ser reemplazada por una llamada a
una función.
Como en las expresiones matemáticas, una expresión en Pascal se evalúa
de acuerdo a la precedencia de operadores. La siguiente tabla muestra la
precedencia de los operadores:
Precedencia de operadores
5 - (Menos unario)
4 Not
3 * / div mod and shl shr
2 + - or xor
1 = <> > < >= <=
Las reglas de evaluación para las expresiones son:
1. Si todos los operadores en una expresión tienen la misma precedencia, la
evaluación de las operaciones se realiza de izquierda a derecha.
2. Cuando los operadores sean de diferentes precedencias, se evalúan
primero las operaciones de más alta precedencia (en una base de izquierda
a derecha ), luego se evalúan las de precedencia siguiente, y así
sucesivamente.
3. Las reglas 1) y 2) pueden ser anuladas por la inclusión de paréntesis en
una expresión.
1. 3 + 2*5 {*,+}
4 + 10 =14
2. 20*4 div 5
{Igual prioridad de izquierda a derecha: *,div}
3. 80 div 5 = 16
3 - 5 * (20+(6/2))
3 - 5 * (20+(6/2)) = 3 - 5 * (20 + 3)
{paréntesis más interno}
= 3 - 5 * 23 {segundo paréntesis}
= 3 - 115 {Multiplicación}
= -112 {resta}
Jerarquía de operadores
El orden general de evaluación de los operadores de una expresión va de
izquierda a derecha, con la excepción de las asignaciones que lo hacen de
derecha a izquierda.
jemplo E
Podemos seguir las siguientes tres reglas de evaluación de expresiones:
(Regla 1) En todas las expresiones se evalúan primero las expresiones de
los paréntesis más anidados (interiores unos a otros); y éstos modifican la
prioridad según la cantidad de éstos, los cuales tienen que estar balanceados ( el
mismo número de paréntesis que abren debe ser igual al número de los
paréntesis que cierran).
(Regla 2) Todas las expresiones se evalúan tomando en cuenta la jerarquía
de los operadores.
(Regla 3) Todas las expresiones se evalúan de izquierda a derecha.
La tabla que se muestra abajo, da el orden de precedencia del operador en
Java según el nivel que indica la primera columna de la izquierda. Los operadores
agrupados en bloques comparten la misma jerarquía. Los operadores que se
muestran a en lo alto de la tabla tienen mayor precedencia que los del fondo y, por
tanto, serán evaluados antes que los de precedencia más baja.
Nivel Operador Descripción Ejemplo Tipo de
operador
1 []
Subíndice de
array a[i] Sufijo
.
Utilizado para
acceder a
métodos y
variables
a.b
(paréntesis)
Utilizado para
agrupar
expresiones
(a+b)
expr++ Pos-incremento a++
expr-- Pos-decremento a--
2 ++expr Pre-incremento ++a Unitario
--expr Pre-decremento --a
+expr Unitario mas +a
-expr Negación -a
~ Cortesía ~a
! NOT !a
3 New Creación
new
Clasname() Creación
(parén)exp. Casta (Classname)a Forma
4 * Multiplicación a*b Multiplicador
/ División a/b
% Modulo a%b
5 + Adición a+b Aditivo
- Substracción a-b
6 <<
Desplazamiento
a la izquierda a<<b Desplazamiento
>> Desplazamiento
a la derecha a>>b
<<<
Desplazamiento
con relleno de
ceros a la
derecha
a<<<b
7 < Menor que a<b Relacional
> Mayor que a>b
<= Menor o igual
que a<=b
>= Mayor o igual a>=b
que
instanceof
Comprueba si
una variable
es una instancia
de la clase
especificada
o cualquier
subclase de
aquella clase
instanceof
Classname
8 == Igual a==b Igualdad
!= No igual a!=b
9 & AND bit a bit a&b AND bit a bit
10 ^
XOR exclusivo
bit a bit a^b
XOR exclusivo
bit a bit
11 |
OR inclusivo bit
a bit a|b
OR inclusivo bit
a bit
12 && AND lógico a&&b AND lógico
13 || OR lógico a||b OR lógico
14
?:
Forma
taquigráfica de
una sentencia if
a?b:c Condicional
15 =
Asignación
simple a=b Asignación
*= Multiplicar y
asignar a*=b
/= Dividir y asignar a/=b
%= Módulo y
asignar a%=b
+= Sumar y asignar a+=b
-= Substraer y
asignar a-=b
&= AND y asignar a&=b
|= OR y asignar a|=b
^= XOR y asignar a^=b
<<=
Desplazar a la
izquierda y
asignar
a<<=b
>>=
Desplazar a la
derecha y
asignar
a>>=b
>>>=
Desplazar a la
derecha
rellenando
con ceros y
asignar
a>>>=b
Ejercicio:
1.- Evalúa si el resultado de las siguientes expresiones es correcto. Si es
incorrecta escribe de nuevo la expresión de manera que concuerde con el
resultado.
a) (1* 3) +5 /4 = 2
b) 3 + (5*8) /2 + (3-2) = 24
c) 4 * (2/3) + 6 = 32 / 3
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
1.- Es una regla que se aplica en la evaluación de expresiones:
a) Si todos los operadores en una expresión tienen la misma precedencia, la evaluación de las operaciones se realiza de izquierda a derecha
b) Si todos los operadores en una expresión tienen la misma precedencia, no se puede realizar la evaluación
c) Los paréntesis no influyen en la evaluación de expresiones
d) Los paréntesis se utilizan solo cuando es una división.
e) Cuando los operadores sean de diferente procedencia se evalúan como sea.
2.- Si todos los operadores en una expresión tienen la misma precedencia, la evaluación de las operaciones se realiza de _______________________
a) izquierda a derecha.
b) derecha a izquierda
c) primero las sumas
d) primero las multiplicaciones
e) Primero las restas
3.- Es el resultado de la siguiente operación (((4-1)+(2*1))*(10))
a) 50
b) 5
c) 60
d) 15
e) 27
1.7. Tautología y Contradicciones
Objetivos Específicos:
Utilizará la demostración directa o condicional y la demostración por
contradicción para probar que los Argumentos son correctos Utilizando los
teoremas, axiomas, términos y términos no definidos.
Conocerá el concepto de Tautología y Contradicción
Identificará si una expresión tiene tautología o contradicción
Instrucciones Específicas:
Lee Cuidadosamente el material que se presenta
Realiza los ejercicios correspondientes a cada subtema
EL azul indica el concepto del subtema
Los conceptos más importantes están resaltados con negritas
Verifica los Ejemplos como parte de tus prácticas
Toma en cuenta las NOTAS para agilizar tu comprensión.
Realiza los ejercicios correspondientes
Introducción
Tautología y contradicción.
Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los
valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya
tabla de verdad se indica a continuación.
p Q
p q (p q)
F F T T T T T
F T T F T T T
T F F T F F T
T T F F T T T
Se debe tomar en cuenta para estos ejemplos que el símbolo ‘
implica negación o not.
Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de
la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica
matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para
realizar demostraciones.
A continuación se cita una lista de las tautologías más conocidas y reglas
de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales:
1.- Doble negación.
a). p''p
NOTA:
2.- Leyes conmutativas.
a). (pq)(qp)
b). (pq)(qp)
c). (pq)(qp)
3.- Leyes asociativas.
a). [(pq)r][p(qr)]
b. [(pq)r][p(qr)]
4.- Leyes distributivas.
a). [p(qr)][(pq)(pr)]
b. [p(qr)][(pq)(pr)]
5.- Leyes de idempotencia.
a). (pp)p
b). (pp)p
6.- Leyes de Morgan
a). (pq)'(p'q')
b). (pq)'(p'q')
c). (pq)(p'q')'
b). (pq)(p'q')'
7.- Contrapositiva.
a). (pq)(q'p')
8.- Implicación.
a). (pq)(p'q)
b). (pq)(pq')'
c). (pq)(p'q)
d). (pq)(pq')'
e). [(pr)(qr)][(pq)r]
f). [(pq)(pr)][p(qr)]
9.- Equivalencia
a). (pq)[(pq)(qp)]
10.- Adición.
a). p(pq)
11.- Simplificación.
a). (pq)p
12.- Absurdo
a). (p0)p'
13.- Modus ponens.
a). [p(pq)]q
14.- Modus tollens.
a). [(pq)q']p'
15.- Transitividad del
a). [(pq)(qr)](pr)
16.- Transitividad del
a). [(pq)(qr)](pr)
17.- Mas implicaciones lógicas.
a). (pq)[(pr)(qs)]
b). (pq)[(pr)(qs)]
c). (pq)[(qr)(pr)]
18.- Dilemas constructivos.
a). [(pq)(rs)][(pr)(qs)]
b). [(pq)(rs)][(pr)(qs)]
Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los
valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p p’ . Como lo
muestra su correspondiente tabla de verdad.
p
F T F
T F F
Si en el ejemplo anterior
p: La puerta es verde.
La proposición p p’ equivale a decir que "La puerta es verde y la puerta no es
verde". Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.
Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla
de verdad, dan como resultado T y F se le llama contingente.
1.7.1 Equivalencias lógicas y utilizaciones
Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o
simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismos valores de
verdad. Se indican como p q.
Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la
tautología en donde se puede observar que las columnas de (p q) y
para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que
La proposición compuesta P = (p1,p2,p3, …., pn) y Q = (q1, q2, q3, …. qn)
son lógicamente equivalentes siempre que dados cuales quiera valores de verdad
a P y Q son ambas verdaderas o ambas falsas y se simboliza por:
La primera Ley de Morgan:
p q
=
T T F F F F
T F F T F F
F T T F F F
F F T T T T
jemplo E
Implicación Tautológica
Es una proposición compuesta en la que permite unir dos proposiciones
usando una condición si antecedente entonces consecuente.
Por ejemplo: Si tengo Dinero entonces podré comprar una paleta.
La proposición P =P( p1,p2,p3, …,pn) implica lógicamente la proposición
compuesta Q = Q (q1, q2, q3, …., qn), en símbolos P Q siempre que dados
cualesquiera valores de verdad p1,p2,p3,….,pn si P es verdadera Q también lo
es.
Hay que mencionar que esto se cumple precisamente cuando es
una tautología.
Ejercicio:
Elige utilizando tablas de verdad la correspondencia que existe entre las
proposiciones compuestas.
1.- P = p; Q = p Vq
2.-
3.-
4.-
NOTA:
1.7.2 Demostración condicional y directa
Una demostración directa se realiza suponiendo que p es verdadera y después
usando p, axiomas, definiciones y teoremas establecidos con anterioridad, prueba
directamente que q es verdadera.
Demuestra empleando una prueba directa que si x es un número
real, entonces X * 0 = 0, suponga los siguientes teoremas verificados con
anterioridad.
Si a,b,c son R, entonces b+0 = b y a(b+c) = ab + ac.
Si a + b = b + a entonces b = c
Solución
X (0 + 0) = X * 0 + X * 0 entonces X * 0 = 0
Supóngase que p q es una tautología, en donde p y q pueden ser
proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables
propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una
implicación de la forma.
(p1 p2 ....... pn) q
Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los
valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q
se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe.
p1
p2
jemplo E
pn
___
q
Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una
demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es
verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que
q es verdadera.
Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por
implicaciones de este tipo.
(p1 p2 ....... pn) q
Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión.
"Demostrar el teorema", es demostrar que la implicación es una tautología. Note
que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino
solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.
Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las
tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.
A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso
tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.
Sean
p: Trabajo.
q: Ahorro.
r: Compraré una casa.
s: Podré guardar el coche en mi casa.
Analizar el siguiente argumento:
"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces
podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el
coche en mi casa, entonces no ahorro".
El enunciado anterior se puede representar como:
p q r; y r s; entonces s' q'
Equivale también a probar el siguiente teorema:
[(p q) r] [r s] [s' q']
Como se trata de probar un teorema de la forma general:
p1 p2 ...... pn q
Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados
válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus
pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.
El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.
El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada
como sea necesario y el método debe funcionar.
Ejercicio:
Presenta una prueba directa para los siguientes enunciados.
1.- Sean números reales d, d1, d2 y x demostrar que se cumple que:
si d = min { d1, d2} y x < d entonces x < d1 y x < d2
Utilizando los teoremas siguientes:
Para toda tríada de números reales x, y, z se cumple que si x<y y y<z entonces x<z.
1.7.3 Demostración por contradicción y por inducción
Una demostración por contradicción se realiza suponiendo que p es
verdadera y q es falsa y empleando p y q, axiomas, definiciones y teoremas
establecidos previamente, se deduce una contradicción.
La única diferencia entre la hipótesis en la demostración directa y
la demostración por contradicción es la negación de la
contradicción.
Pruebe presentado una prueba por contradicción que si X * Y = 0, entonces X= 0 o
bien Y = 0. Suponga que si a, b y c son números reales con a * b = a * c y a ≠ o,
entonces b = c;
Resolución
XY = 0 entonces x ≠ 0 o bien Y ≠ 0;
Con X ≠ 0 entonces XY = X*0 = 0
Siendo a = X, b = Y, C = 0 ab= ac entonces XY = X * 0 con x ≠ 0 entonces
concluimos que Y = 0.
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se
realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha
NOTA:
jemplo E
demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la
demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo
de la demostración es llegar a una contradicción.
La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se
indica
p (p r) (q s) t (p s) t
La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la
manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula
en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un
problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos
conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el
camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno
distinto pero que ambos llegan al resultado.
Ejercicio:
Ofrece una prueba por contradicción para el siguiente ejercicio.
Verifique, ofreciendo una prueba por contradicción, que si 100 pelotas se colocan
en 9 cajas, alguna de estas contiene por lo menos nueve pelotas.
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
1.- La tabla de verdad para la proposición que se presenta es una ____________________
a) Contradicción b) Equivalencia lógica c) Tautología d) Conjunción e) Disyunción 2.- Cuales son los elementos de los que se vale la prueba directa para demostrar que es verdadera
a) Axiomas, teoremas b) Libros y matemáticas
c) Algebra y de los Teoremas
d) Axiomas y de las matemáticas
e) cololarios y razonamientos
3.- Considerando la expresión si p entonces q. Una ________________ supone que es p verdadera y q falsa; empleando p y q, axiomas, definiciones y teoremas establecidos con anterioridad se deduce una contradicción.
a) demostración por contradicción b) proposición bicondicional
c) Demostración directa
d) proposición condicional
e) implicación lógica.
EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE
1.- p: Hay un premio Nobel de ciencias de Ciencias de la computación. Es un ejemplo de:
a) Proposición simple
b) Disyunción c) Tautología d) Proposición compuesta e) Negación 2.- Determina cual es el resultado de la siguiente expresión Algunos mamíferos son animales herbívoros Ningún animal herbívoro come carne
Luego__________
a) Algunos animales mamíferos no comen carne
b) ningún animal mamífero come carne
c) Algunos animales mamíferos no son herbívoros
d) todo animal que come carne es mamífero
e) los animales herbívoros no son mamíferos
3.- ______________ permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración
a) reglas de inferencia
b) inducción matemática
c) predicado
d) Variable
e) proposición
4.- Es el nombre que recibe la siguiente regla de inferencia:
a) Ley del silogismo
b) modus ponens
c) modus tollens
d) Regla de la conjunción
e) Regla de la disyunción
5.- Es el nombre que recibe la siguiente regla de inferencia:
a) regla de la conjunción
b) regla de la disyunción
c) ley del silogismo
d) modus ponens
e) modus tollens
6.- La siguiente tabla define los valores de verdad de _______________.
a) proposición bicondicional
b) disyunción
c) conjunción
d) proposición condicional
e) contrarrecíproca
7.- se utilizan para representar gráficamente una proposición, representa las clases mediante círculos que se intersecan.
a) diagramas de Venn
b) diagramas Grant
c) digrafos
d) árboles
e) diagramas de Hasse
8.- Tipo de cuantificador que se tiene si afirman algo que se refiere a Todos los elementos en el universo.
a) Cuantificador universal
b) Cuantificador universal c) cuantificador nominal d) cuantificador existencial e) cuantificador no global 9.- En _____________________ las operaciones se hacen de derecha a izquierda
a) Asignación
b) Comparación c) Sumas d) Restas e) Multiplicación 10.- Dos proposiciones son _______________ cuando todos los valores de una son exactamente igual a los valores de la otra.
a) Equivalentes
b) Contradicción
c) Conjunción
d) Tautología
e) Inducción
BIBLIOGRAFIA.
http://mitecnologico.com/Main/ConceptoDeArgumentoYTiposDeProposicionesLogicas
http://www.cnice.mecd.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/01concbasicos/122idargum.html
http://html.rincondelvago.com/induccion-matematica.html
http://www.math.cl/
http://personales.ya.com/casanchi/mat/induccion01.htm
http://www.fcnym.unlp.edu.ar/catedras/logica/programa.pdf
Richard Johnsonbaugh
Mat emáticas dicretas
Grupo Editorial Iberoamérica