los embalajes y la matemática

c

MatemáticaSerie 2 para estudiantes de SecundariaMis actividades MatemáticasFascículo 10: LOS EMBALAJES Y LA MATEMÁTICA

Ministerio de EducaciónVan de Velde 160, San Borja

Primera edición, 2007Tiraje: 28 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en laBiblioteca Nacional del PerúNro. 2007-00306

Coordinación y supervisión general MED

Antonieta Cubas MejíaSupervisión pedagógica MED

Sonia María Escalante HuamaníVerificación de estilo MED

Miguel Humberto Fuentes Huerta

Autoría

Ediciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubén Hildebrando Gálvez ParedesElaboración pedagógica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacón NietoDaniel José Arroyo Guzmán Colaboración especial

Luis Bustamante DonayreMaría Amparo Vega AguilarRevisión pedagógica

Hno. Marino La Torre MariñoRevisión académica

Armando Zenteno RuizDiseño y diagramación

Virginia Rosalía Artadi León.

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Román GonzálezFotografía

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramírez

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Z_Creditos Ser2 Est. 01-10.indd 10Z_Creditos Ser2 Est. 01-10.indd 10 5/28/07 3:55:21 PM5/28/07 3:55:21 PM

En este fascículo presentaremos la aplicación de la Matemática a los embalajes, es decir, explicaremos cómo se diseñan las dimensiones de las cajas o empaques que han de contener productos u objetos diversos para ser transportados.

El uso del embalaje tiene como fi nalidad principal prevenir el deterioro del contenido y facilitar su transporte, asegurando así el consumo del producto.

El cuidado en la construcción de embalajes es importante porque si estos presentaran defectos, podrían inutilizar el producto que contienen y esto sería una pérdida lamentable.

En la actualidad, hay millones de personas involucradas directa o indirectamente en la industria del envase y del embalaje moderno. La relación de la producción de embalajes y la exportación es bastante evidente, y habida cuenta de que la exportación de productos es una necesidad económica para el Perú y para los países de América Latina, esto implica promover la industria del embalaje.

En la industria del empacado o envasado existe una serie de factores de importancia vital que son: el costo inicial de la instalación y de su funcionamiento, la capacidad de producción con máquinas estándar y la elección de sistemas que permitan la mayor producción al más bajo costo.

Otro aspecto que no debemos olvidar es que el empaque nos permite agregar impresiones u otro tipo de decoración en el exterior, que a su vez sirve para publicitar el producto o informar al usuario sobre las ventajas o precauciones que debe tomar.

Complementamos el fascículo con la propuesta de logros de aprendizaje, recuperación de saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, problema para investigar, bibliografía y enlaces web.

Z_Fasc10-Mate-ESTUDIANTE.indd 1Z_Fasc10-Mate-ESTUDIANTE.indd 1 5/30/07 1:16:54 AM5/30/07 1:16:54 AM

Presentación ........................................................................................................................... 1Índice ...................................................................................................................................... 2Organizador visual de contenidos .......................................................................................... 3Motivación ............................................................................................................................. 4Logros de aprendizaje ............................................................................................................ 4Recuperación de saberes previos ........................................................................................... 4

1. LOS EMBALAJES Y SU HISTORIA ........................................................................................ 5 1.1 Defi nición de embalaje ............................................................................................ 5 1.2 Historia del embalaje ............................................................................................... 5 1.3 Tipos de material ...................................................................................................... 6 1.4 Aspectos a considerar cuando se diseña un embalaje............................................... 8

Actividad 1 ....................................................................................................................... 8

2. CONTEO Y MÉTRICA EN CONTENIDOS DE EMBALAJES .......................................................... 102.1 Peso Bruto, Peso Neto y Tara. ................................................................................. 142.2 Contenidos Continuos .............................................................................................. 152.3 Contenidos Discretos. ............................................................................................... 16Actividad 2 ....................................................................................................................... 19

3. COSTOS ............................................................................................................................. 20 3.1 Cálculo de costos de elaboración ............................................................................. 20 3.2 Cálculo de fl etes ....................................................................................................... 22

Actividad 3 ....................................................................................................................... 24

4. OPTIMIZACIÓN ................................................................................................................. 25 4.1 Diseño de contenedores con un mínimo de material ................................................ 25 4.2 Diseño de formas diversas con aplicación de funciones .......................................... 25

Actividad 4 ....................................................................................................................... 27

5. EVALUACIÓN .................................................................................................................... 296. METACOGNICIÓN .............................................................................................................. 30

Bibliografía comentada ......................................................................................................... 31Enlaces web ........................................................................................................................... 32

ÍNDICE


3

Fascículo 10 / LOS EMBALAJES Y LA MATEMÁTICA

para

est

udia

ntes

de

5to

. de

secu

ndar

ia

com

pren

de la

Defi

nic

ión

Apl

icac

ión

mat

emát

ica

LO

S EM

BA

LA

JES Y

LA

MAT

EM

ÁT

ICA

para

los

His

toria

Dis

eño

Em

bala

jes

Tara

Peso

bru

toD

iscr

etos

Con

tinuo

sFl

etes

Elab

orac

ión

Mat

eria

l util

izad

o

calc

ulan

do c

osto

s de

Late

ral

Tota

l

trata

ndo

los

sean

a tra

vés d

e la

en e

l dis

eño

de

a tra

vés d

e la

med

iant

e lo

s co

ncep

tos d

e

y su

con

un

mín

imo

de

Form

as d

iver

sas

con

de

trata

ndo

su

de

sea

y su

utili

zand

o la

sD

efi n

icio

nes

Volu

men

Cál

culo

Áre

a

Cál

culo

Peso

net

o

Opt

imiz

ació

n Apl

icac

ión

Func

ione

s

Con

tene

dore

s

Mat

eria

l

Con

teni

dos

Res

oluc

ión

de p

robl

emas

Cap

acid

ad


4

Serie 2 / MIS ACTIVIDADES MATEMÁTICAS

LOGROS DE APRENDIZAJE

Identifi ca la naturaleza y función de los embala-jes como recurso para la conservación y trans-porte de contenidos, manifestando capacidad crítica y creativa.

Relaciona las situaciones de embalaje con mode-los aritméticos y geométricos, aplicándolos a la resolución de problemas relacionados con áreas y volúmenes de los embalajes, mostrando res-ponsabilidad y dedicación.

Analiza situaciones problemáticas sobre determinación de costos y fl etes y aplica los procedimientos presentados a la solu-ción de problemas, manifestando respon-sabilidad y perseverancia.

Analiza situaciones problemáticas sobre op-timización de embalajes y aplica los procedi-mientos presentados a la solución de proble-mas, mostrando capacidad crítica y creativa.

MotivaciónDesde que hace miles de años usara vasijas de arcilla, el hombre ha entendido la importancia de los embalajes para la conservación y transporte de los productos. El hombre prehistórico tomó como modelo para ello a la naturaleza que lo rodeaba, pues en ella vio envases naturales que, por ejemplo, protegían a las frutas. En el año 800 a. C. ya usaba hierbas entrelazadas para proteger sus alimentos. Y así, andando el tiempo, tanto griegos como romanos emplearon botas de tela, barriles de madera, botellas, para conservación de líquidos.¿Sabías además que desde 1700, el año en que se inventó el champán, este solo puede ser conservado en fuertes botellas y usando corchos?, ¿que en 1800 se vende la primera mermelada en tarro de boca ancha?, ¿que en 1890 aparece la primera botella de leche?Esta serie de cambios nos demuestra que los embalajes son de tal importancia en nuestra vida que la tecnología siempre ha buscado perfeccionarlos para que cumplan su principal función, que es la conservación de los productos que transportan.En la actualidad, nadie duda de que un buen o mal embalaje puede hacer que el cliente compre o no un producto, pues nadie quiere que los líquidos o alimentos que compra se deterioren o se pierdan por estar mal protegidos.

Lee atentamente las preguntas y responde en una hoja aparte.

¿Qué objetos observas a tu alrededor que puedan servir para transportar o guardar cosas?

¿Qué utilizarías para transportar objetos muy delicados para que no se rompan?

¿Qué sólidos geométricos han sido adaptados para confeccionar los envases de los diversos artículos que se venden en las tiendas?

¿Por qué crees que para transportar objetos, algunos cuesten más caro que otros?

¿Por qué crees que los envases tienen diferentes formas?

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

LOS EMBALAJES LA MATEMÁTICAy

Recipientes de vidrio.

Barriles de madera.


5


1.1 Definición de embalaje

Cada vez que tenemos la necesidad de transportar algo hacemos uso de cajas, bolsas, sacos, carteras, mochilas, platos, vasos, jarras, etc. Cuando tenemos que guardar alimentos para que se conserven y no se malogren utilizamos bolsas, ya sea de plástico, de papel o de otro material; también los colocamos en bandejas, tazones, tarros, potes, botellas, etc. Si deseamos que nuestras cosas no se ensucien o se mojen, las cubrimos con tela, plástico o papel, o solemos colocarlas dentro de cajas de diferentes materiales, diseños y tamaños. Cuando adquieres un producto en una tienda, siempre está cubierto de alguna manera. Todas estas situaciones nos indican que la necesidad de contar con algo para transportar o proteger las cosas está presente en nuestra vida cotidiana. Este recurso, que va a cubrir nuestra necesidad de protección y transporte de objetos es lo que se llama embalaje, y en cierto modo, signifi ca lo mismo que paquetes, bolsas, envases, etc. Es decir, el embalaje es la caja o envoltura con que se protege las mercancías para su transporte, y es que no solo sirve para proteger un producto, sino además para llevarlo a algún sitio donde alguien lo reciba.

1.2 Historia del embalaje

Hace muchísimo tiempo, nuestros antepasados transportaban lo que consumían en envases que encontraban en la naturaleza, como conchas marinas, hojas, pieles, huesos, etc. Conforme fue pasando el tiempo, aprendieron a llevar su comida en recipientes y produjeron un gran número de vasijas de metal, de barro o de arcilla de diversas formas y tamaños. En muchas culturas antiguas se ha encontrado vestigios de estas vasijas y recipientes.Los griegos y romanos (quienes tuvieron una gran infl uencia en nuestra cultura occidental) utilizaban botas y barriles de madera. El historiador griego Herodoto nos cuenta que los persas suministraban a los egipcios agua y vino en vasijas de arcilla, las cuales eran recolectadas y usadas nuevamente.Pasaron muchos siglos desde los tiempos de los griegos y romanos antes de que la fabricación de papel llegara al Oriente Medio, y de ahí a las regiones de Europa como Italia, Alemania, Francia, España, Gran Bretaña y otros.Tuvimos que esperar hasta el siglo XIX para que aparecieran las cajas de cartón, ya sean con tambores de fi bra, por ejemplo, para quesos, o las cajas atadas con alambre para el embalaje a granel cortadas y dobladas a mano, como también las cajas de cartón impresas.

1.y

SU HISTORIA

Los EMBALAJES

Cerámica artesanal peruana.

Embalaje en la compra de

víveres.


6


Otros materiales, como por ejemplo el vidrio, fueron conocidos desde la antigüedad. En el año 79 d.C. los romanos usaban botellas de vidrio, pero debido a su fragilidad preferían los sacos de cuero para llevar grandes cantidades de líquidos y sólidos. También se fabricaron frascos de perfumes, tarros, urnas y botellas de barro cocido. A partir del siglo XVIII, y sobre todo con el impulso que dio la Revolución Industrial, se avanzó mucho en cuanto a la producción de envases de vidrio y embalajes. Aparecieron las botellas producidas en serie para envasar el champán, el agua mineral, la leche y los frascos de mermelada, además los frascos de perfume se hicieron más creativos. La producción en serie favorece también la fabricación de envases de conserva con hierro estañado y los cartuchos de hojalata para alimentos secos. Poco después se diseña el envase cilíndrico sellado, llamado lata.Así pues, con el objetivo de conservar y proteger el paso del tiempo, de la mano con la evolución de la tecnología, se ha creado envases innovadores teniendo en cuenta a un consumidor más exigente cada día, dándoles diferentes usos, siempre sin olvidar su principal función: conservar y transportar.

1.3 Tipos de material

Los materiales que usualmente se emplean en la industria del embalaje son:

a. Vidrio:Es una sustancia hecha de sílice, carbonato sódico y piedra caliza. Es extraordinariamente resistente; puede soportar presiones de hasta 100 kg/cm2 y resistir altas temperaturas, pero no tiene resistencia al impacto. Es maleable, reutilizable y reciclable. No se oxida, es higiénico y hermético con posibilidad de reabrirse, permitiéndose una larga vida de anaquel.Envases de Vidrio:• Frascos:

Son envases de boca angosta o ancha de capacidad entre pocos mililitros a 100 ml.

• Botellas o garrafas:Son envases de boca angosta y capacidad entre 100 ml y 1 500ml.

• Botellones:Son envases de capacidad entre 1,5 litros a 20 litros.

• Tarros:Son envases del diámetro de la boca igual a la del cuerpo.Si la altura es menor que el diámetro se llaman potes.

• Vasos:Son recipientes de forma cónica truncada e invertida.

b. Papel y Cartón:

El papel es un conglomerado de fi bras de celulosa dispuestas irregularmente, pero fuertemente adheridas entre sí, en una superfi cie plana. En general, el papel se elabora de la celulosa vegetal, la cual puede provenir de la madera, el algodón, el lino u otros.

Frascos de perfumes.

Vaso de vidrio.

Pote de vidrio.

Tarro de vidrio.


7


Se considera papel cuando su gramaje llega hasta 130 g/m2; si su gramaje está entre 130 g/m2 y 240 g/m2 se denomina cartulina , y cuando su gramaje es mayor que 240 g/m2 se denomina cartón.El cartón es una variante del papel y fue creado como una necesidad de hacer papeles más gruesos. Se puede defi nir el cartón como un material rígido o semirrígido formado por hojas superpuestas de pasta de papel que en estado húmedo se adhieren unas a otras por compresión y se secan por evaporación.Envases de Papel:• Bolsas:

Son contenedores no rígidos que soportan un peso máximo de 11,5 kg.• Sacos:

Son contenedores que soportan un peso superior a 11,5 kg. Se usan generalmente en la industria.Las bolsas y sacos se caracterizan por ser relativamente económicos, seguros y herméticos al polvo y pueden tomar la forma del producto. Las bolsas en general no son aptas para productos muy húmedos o de bordes cortantes.

Envases de cartón:• Envolturas:

El cartón puede ser usado para envolver un producto que requiere más protección que la que le daría una envoltura de papel.

• Cajas:Estos recipientes se obtienen ranurando y cortando el cartón según un de-terminado modelo, el que luego es entallado, mediante pegamentos o gra-pas, quedando de esta manera una superfi cie volumétrica, dentro de la cual se coloca el objeto que se ha de empacar.

c. Madera:

La madera es el tejido de sostén y conducción de agua en los tallos y raí-ces y es la parte sólida sin corteza que proviene del tronco y de las ramas de un árbol. La solidez de una caja de madera depende del tipo de madera utilizado.Debe tomarse en cuenta aspectos como las cualidades de las maderas duras y blandas y sus ventajas o desventajas respecto a la resistencia para el transporte y al clavado o desclavado. Asimismo, se toman en cuenta condiciones como los llamados “nudos de la madera” con respecto a la resistencia de la misma.d. Plástico:

Los plásticos salieron a la luz en una exposición en 1862 y en 1870 fue patentado el celuloide, una mezcla de nitrato de celulosa y alcanfor. Las películas de celulosa fueron introducidas en 1924. Los plásticos son ma-teriales que se pueden moldear mediante procesos térmicos, a bajas pre-siones y temperaturas. Son sustancias orgánicas caracterizadas por su es-tructura macromolecular y polimérica.

Saco de papel.

Bolsas de papel.

Caja de cartón.

Cajas de madera en un mercado.

Bolsas de plástico con menestras.


8


Los mejores resultados se obtienen cuando se trabaja en equipo y todos colaboran. Se debe respetar las sugerencias y opiniones de todos, pues cada persona siempre tiene algo valioso que aportar.

Recuerda

Envases metálicos.

e. Metal:Se caracteriza, en general, por ser un material conductor del calor, con un brillo característico y solidez a temperatura ambiente. Los envases metálicos se defi nen como recipientes rígidos que pueden contener productos líquidos o sólidos y que pueden ser herméticos. El material del envase se caracteriza por ser generalmente de hojalata electrónica o también de aluminio. Los tipos de envase son generalmente cilíndricos o redondos, transcónicos, es decir, con un extremo más ancho que la base, rectangulares con esquinas redondeadas, ovalados y trapezoidales.

Actividad 1

1.4 Aspectos a considerar cuando se diseña un embalaje

Para el desarrollo y construcción de los embalajes en el mundo comercial se debe considerar algunos aspectos. Según José Antonio Rodríguez Tarango, Presidente del Instituto Mexicano de Profesionales en Envase y Embalaje S.C. (IMPEE), cuando se diseña un embalaje, un primer aspecto a consi-derar es el tipo de producto a embalar, por lo que se debe tener en claro aspectos como:- Características del producto: peso, forma, volumen y fragilidad.- ¿El embalaje se reutilizará?- Costo del embalaje.- Regulaciones nacionales e internacionales.- Capacidad de carga.- Condiciones climatológicas durante su uso en el transporte y el

almacenamiento.- Presentación: piezas por embalaje.- Forma de envío: en carga unitaria, a granel de un solo producto, a granel con

mezcla de productos o por mensajería (una sola muestra del producto).- Tipo de contenedor utilizado para su transporte y tipo de almacén a utilizar.- Tiempo y ruta del transporte.

El desarrollo del embalaje deberá considerar un diseño con una selección adecuada de materiales, resistencias y estructuras adecuados a la forma en que se manipulará la mercancía, ya que el producto será sometido a condiciones severas de manejo durante el transporte y el almacenamiento.Los materiales de embalaje interno pueden ser los siguientes: envoltura de papel, divisiones y separadores de cartón sólido y corrugado; película de burbuja de aire; viruta de madera y aserrín; etc.

Identifi ca la naturaleza y función de los embalajes como recurso para la conservación y transporte de contenidos, manifestando capacidad crítica y creativa.Formen un grupo de cuatro integrantes y observen los empaques de los productos que compran en sus casas, así como los empaques que hay en la tienda más cercana a cada integrante. Observen también los empaques que se presentan en los periódicos y/o revistas, así como los que presentan en la televisión.Anoten en sus cuadernos las características de cada uno de ellos: forma, tamaño, material, resistencia, capaci-


9


Una científi ca del Servicio de Investigación Agrícola (ARS) ha identifi cado cubiertas específi cas de embalaje, llamadas películas, las cuales proveen una vida larga de estante a varios tipos de frutas y vegetales. La tecnóloga alimentaria Yaguang Luo, con el Laboratorio de Calidad y Seguridad de Productos Agrícolas (PQSL por sus siglas en inglés) en Beltsville, Maryland, dirigió el proyecto. La tecnología que ella utilizó se conoce como “embalaje de atmósfera modifi cada”, o MAP por sus siglas en inglés. Frutas y vegetales recién cortados todavía están vivos, y cada uno respira en su propia taza única.

La tecnóloga alimentaria

Yaguang Luo y el patólogo

de plantas James McEvoy

recogen una muestra de

cilantro recién cortado de

una máquina usada para

limpiar productos agrícolas.

Embalaje de alta tecnología ayuda a preservar frutas y vegetales recién cortados.

en grupo...investiga con tus compañeros

Por consiguiente, la permeabilidad de una película y la cantidad de oxígeno que es inicialmente infundido en el embalaje son muy importantes. Fabricantes han producido cientos de diferentes tipos de películas, y cada tipo tiene su propia tasa de transmisión de oxígeno, la cual permite que las frutas y los vegetales cortados sigan respirando por todo el almacenaje y la distribución. Si la tasa de transmisión de oxígeno de la película es demasiado alta para la fruta o el vegetal cubierto, el color del producto dentro cambiará a marrón; si es demasiado baja, el producto se descompondrá antes de tiempo. (Lea más sobre esta investigación en la revista Agricultural Research’ de julio 2006. ARS es la agencia principal de investigaciones científi cas del Departamento de Agricultura de EE.UU).

dad. Reúnanse, compartan sus observaciones y elaboren una tabla clasifi cando estos embalajes por su forma, tamaño, material, utilidad, capacidad, estética; etc. Elaboren un informe en el que se presentará este cuadro. También, la apreciación crítica de cada uno de los integrantes con respecto a los embalajes que han observado, respondiendo a las siguientes preguntas:- ¿Son útiles los embalajes que has observado? - ¿Son higiénicos?- ¿Qué utilidad se le da a la mayoría de ellos? - ¿Son atractivos?- ¿Podrías utilizar estos embalajes para otra cosa? - ¿Cómo podrías mejorarlos?

Contaminación plásticaFormen grupos de cuatro integrantes. Repártanse las páginas web, lean y analicen los artículos o información presentada en ellas e investiguen sobre los efectos del plástico en nuestra ecología. - www.ci.ulsa.mx/areas/natexact/Ecoulsa/pdf/gacetas/17- www.imacmexico.org/file_download.- www.enjoy-patagonia.org/articulos-relacionados/Luego de leer y analizar cada uno de los artículos relacionados con el plástico que se presentan en estas páginas web compartan lo investigado y elaboren un artículo periodístico, de manera creativa, con los siguientes puntos: 1) ¿Qué son los plásticos?, 2) ¿Qué beneficios nos aportan?, 3) ¿Cómo nos perjudican?, 4) ¿Qué podemos hacer para evitar la contaminación plástica?, 5) ¿Qué opinas al respecto de este tema?Presenten su artículo periodístico al profesor y compartan experiencias con sus demás compañeros de aula sobre esta actividad.

Por Rosalie Marion Bliss6 de julio de 2006


10


Cálculo del área:

A = 2(ab+ah+bh) Cálculo de la capacidad:

C = abh

h

ab

Analicemos las siguientes situaciones:

Hoy es cumpleaños de la mamá de Carlos y él piensa mostrarle su agradecimiento, por todo lo que ella hace por él, construyendo un joyero de madera con forma rectangular. Con el dinero que tiene ahorrado ha podido comprar un trozo de madera con el cual logró hacer un joyero cuyas medidas

En este capítulo nos ocuparemos de cómo nos la arreglamos para saber cuánta envoltura o cubierta necesita nuestro envase, o cuánto peso puede llevar un paquete de un cierto tamaño. Para decirlo de otra manera, nos ocuparemos de las medidas sobre extensiones superfi ciales y volumétricas, así como de las relaciones entre las mediciones y conteos en los contenidos de los embalajes.Si queremos resolver algo sobre la extensión de la envoltura o cubierta del paquete, nos estaremos refi riendo esencialmente al área de un embalaje o la medida de toda la extensión superfi cial del recipiente que contiene el producto a envasar o embalar.Si nos queremos ocupar de la cantidad de lo que puede contener un recipiente o envase, estaremos hablando de la capacidad de un embalaje, que mide la posibilidad de contener un volumen.

Área y capacidad de una caja rectangular:Debemos tener en cuenta que la gran mayoría de los recipientes son cajas rectangulares, que tienen la forma geométrica que se conoce como paralelepípedo rectangular, o simplemente ortoedro.

2. CONTEOMÉTRICA EN

CONTENIDOSy

EMBALAJES

Para esto, debemos recordar las fórmulas que se aplican para esta forma geométrica:

Midiendo las dimensiones de una lata.

de


11


Para convertirConsidera las equivalenciasinglesas y métricas siguientes:

1 yarda = 3 pies

1 pie = 12 pulgadas

1 pulgada = 2,54 cm

1 galón = 3,7854 litros

a

b

= =

= =

15 5 2 541

39 37

8 75 2 541

22 23

, , ,

, , ,

in cmin

cm

in cmin

cm

×

×

hh = =6 25 2 541

15 88, , ,

in cmin

cm×

15,88 cm

39,37 cm22,23 cm

Notación para las pulgadas:Ejemplo:10 pulgadas = 10 in = 10´´

Notación para los pies:Ejemplo:10 pies = 10 ft = 10´

exteriores son de 15 cm de largo, 10 cm de ancho y 8 cm de alto. ¿Cuál es el área total del joyero, incluyendo la tapa? ¿Cuál es la capacidad del joyero?

Resolución:Determinemos el área total:A = 2(15 8 + 15 10 + 8 10)A = 700 cm2

Respuesta: El área total del joyero es 700 cm2

Determinemos la capacidad del joyero:C = 15 10 8C = 1 200 cm3

Respuesta: La capacidad del joyero es 1 200 cm3

Problemas:

El caso anterior fue presentado a modo de ejemplo para acercamos un poco al cálculo numérico. A continuación, vamos a ver situaciones que pueden resultar un poco más interesantes.

1. Supongamos ahora que te encuentras en la necesidad de embalar latas de conserva en 100 cajas. Has medido las dimensiones de la caja y resultan ser 15,5” 8,75” de base y 6,25” de altura, pero tú deseas cubrir las caras laterales con papel kraft y, para evitar que el fondo de la caja ceda por el peso del contenido, debes forrar este fondo con una lámina de aluminio. Necesitas, pues, saber cuánto de papel kraft y cuánto de aluminio en cm2 requieres para las 100 cajas.

Resolución: Convertiremos las dimensiones a centímetros:

a. Calculamos el área de papel kraft: En este caso, no consideramos las áreas de las tapas:

A = 2(39,37 15,88 + 22,23 15,88)

A = 1 956,42 cm2 para una caja.

Para 100 cajas:

A = 1 956,42 100 cm2

A = 195 642 cm2


12


b

h

= =

=

13 8 0 011

0 138

9 5 0

, , ,

, ,

cm mcm

m

cm

×

× 0011

0 095mmcm

m= ,

a

b

h

= =

= =

=

10 5 101

105

13 8 101

138

9 5 101

,

,

,

cm mmcm

mm

cm mmcm

mm

cm mmc

×

×

×mm

mm= 95

Determinemos la capacidad de la caja:

C = 105 138 95 C = 1 376 550 mm3, lo cual nos indica que sí puede contener 1 200 000 mm3. Para calcular el peso de las cajas, hallaremos el área total de cada caja: Convertiremos primero las dimensiones a metros:

a = =10 5 0 011

0 105, , ,cm mcm

m×

1 m = 100 cm1 cm = 10 mm

Recuerda

El papel kraft es el papel más utilizado en el embalaje para bolsas, sacos y papel para envolturas. De igual manera, se utiliza como papel base de laminaciones con aluminio, plásticos y otros materiales. Con este papel también se puede producir cartones pesados y cartones corrugados.

b. Calculamos el área del aluminio: En este caso, solo consideramos el área de la base:

A = 39,37 22,23

A = 875,20 cm2 para una caja.

Para 100 cajas:

A = 875,20 100 cm2

A = 87 520 cm2

En el caso que sigue, vamos a tratar sobre pesos. En lo que se refi ere a embalajes, el peso del contenedor es importante, pues, como veremos más adelante, interviene en el costo para el transporte. Para esto, se busca siempre un contenedor lo más ligero posible, aunque no por eso debemos desatender su resistencia.

2. Queremos transportar 135 cajas de madera con 10,5 cm 13,8 cm de base y 9,5 cm de altura. Nos interesa saber si cada caja puede contener 1 200 000 mm3, y también saber cuánto pesan las 135 cajas si el peso promedio de la madera de la caja es 44,35 kg/m2 .

Resolución: Convertiremos las dimensiones a milímetros:


13


Luego, el área total es:

A = 2(0,105 0,138 + 0,105 0,095 + 0,138 0,095)

A = 0,07515 m2

Calculamos el peso de cada caja:

Pu = × =44 35 0 07515 3 332

2

, , ,kgm

mcaja

kgcaja

El peso de las 135 cajas es: 135 3 33 450 cajas kgcaja

kg× ≈,

Área y capacidad de un contenedor cilíndrico:Otra forma geométrica que resulta muy frecuente en los recipientes es el cilindro.Esta forma se aplica en muchos casos para contenidos líquidos o en polvo.Para esto, debemos recordar las fórmulas que se aplican para esta forma geométrica:

Cálculo del área lateral:

Cálculo del área total:

Cálculo de la capacidad:

Ejemplos:

1. Ahora, encuentras en tu despensa una lata de conservas y quieres hallar su área total. Es un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio y 8 cm de altura. Ten en cuenta que el área total se relaciona con la cantidad de hojalata o material del que está hecho el recipiente.

Resolución:

h

r

A

A

= +

=

2 2

1 131 2

p p(10) (10)(8)2

cm

2. Para resolver cantidades relacionadas con el contenido potencial de un recipiente, atendemos pues, a su capacidad. Por ejemplo, ahora quieres averiguar sobre la capacidad de un recipiente cilíndrico de 8,5 cm de diámetro y 16,7 cm de altura.

Resolución:

El radio es la mitad del diámetro: r = =8 5

24 25

,,

cmcm

LABORATORIO DE EMBALAJES

AIDIMA (Asociación de Investigación y Desarrollo en la Industria del Mueble

y Afi nes, España)

El Laboratorio de Embalajes (Simulación de la manipulación y el

transporte) de AIDIMA es uno de los más modernos

y completos del mundo en su especialidad. En él

se puede reproducir los riesgos ocurridos durante

la manipulación, transporte y almacenamiento

de cualquier tipo de mercancía,

independientemente del material o materiales que intervengan en el sistema

de embalaje utilizado. Uno de los mayores riesgos

durante la manipulación de productos es el de impacto

por caída libre. En este sentido se puede realizar en

laboratorio cualquier tipo de impacto para comprobar la capacidad de protección de un sistema de embalaje.

Adaptado de http://www.aidima.es/aidima

interesante

Laboratorio de embalajes.

C

C

=

=

p( , ) ( , )

,

4 25 16 7

947 6

2

3 cmLos dos casos anteriores fueron presentados a modo de ejemplo. Seguida-mente, vamos a ver casos donde debemos pensar un poco más.


14


Problemas:1. Digamos que queremos etiquetar 250 latas de conserva con 95 mm de

diámetro y 18,7 mm de altura, y debemos calcular el área total del papel necesario en cm2.

Resolución:

r = =95

247 5

mmmm,

Convertiremos las dimensiones a centímetros:

r

h

= ¥ =

= ¥ =

47 51

104 75

18 71

101 87

, ,

, ,

mmcmmm

cm

mmcmmm

cm

39,37 mm

18,7 mm

Para la etiqueta de una lata, calculamos el área lateral:

A

A

=

=

2 4 75 1 87

55 8 2

p( , )( , )

, cm

El área de papel para las 250 latas es:

Ap = ¥ =55 8 250 13 952 62

2, ,cmlata

latas cm

2.1 Peso Bruto, Peso Neto y Tara

Observarás que cuando cargas una caja o una lata vacía, esta tiene un peso a veces liviano y, otras veces, considerable. Se pretende que el recipiente no pese mucho, porque al usuario casi siempre le interesa cuánto pesa lo que va a consumir, es decir, el contenido, a menos que pague su transporte, porque en ese caso también le interesará el peso del recipiente. Bueno, cuando se quiere saber cuánto pesa sólo el contenido, estamos hablando de Peso Neto (Pn ), y cuando queremos saber el peso total, incluyendo el peso del recipiente, lo llamamos Peso Bruto (Pb ). El peso del recipiente o del contenedor vacío recibe el nombre de Tara (T).Es fácil construir una expresión que relacione estos tres conceptos, ¿no es así? En efecto, esta relación se expresa mediante la fórmula:

Pb = Pn + T Ejemplo: Si una caja que contiene café pesa 2 kg y el café contenido en ella pesa 1,90 kg, el peso bruto es 2 kg, el peso neto es 1,90 kg y la tara es 0,10 kg.

http://www.sommecan.com/

no%20redondo/guialatasnored.

html

http://www.agnamex.com.mx/

agnamex/der4.htm


15


2.2 Contenidos Continuos

En este grupo, que corresponde generalmente a envases, están comprendidos los contenidos líquidos o de grano muy fi no. Para efectos prácticos, se puede considerar como contenido continuo cualquier tipo de granulado.

Problemas:1. Las dimensiones de una caja hermética rectangular de leche fresca son: base

108,5 mm 82,0 mm y 215,5 mm de altura. ¿Estará la caja completamente llena de leche? Por supuesto que no, ya que siempre hay un espacio libre. Te interesa entonces hallar el volumen neto en cm3; el volumen de aire contenido en la caja y la altura del nivel del líquido en cm sabiendo que el volumen de contenido alcanza el 95% de la capacidad en la caja.

Resolución:Convertiremos las dimensiones a centímetros:

a

b

h

= ¥ =

= ¥ =

=

108 51

1010 85

82 01

108 20

, ,

, ,

mmcmmm

cm

mmcmmm

cm

2215 51

1021 55, ,

mmcmmm

cm¥ =

215,5 mm

82,0 mm108,5 mm

x mm

Calculamos la capacidad de la caja:

C = 10,85 × 8,20 × 21,55C = 1917,3 cm3

Calculamos el volumen de contenido:

V = ¥ =95

1001917 3 1821 4 3, , cm

Calculamos el volumen de aire:

Vaire= 1917,3 - 1821,4 = 95,9 cm3

Para calcular la altura del nivel del líquido, dividimos el volumen del contenido entre el área de la base:

xVA

= =¥

=1 821 4

10 85 8 2020 5

,, ,

, cm

Este último resultado se puede también obtener directamente aplicando el porcentaje de 95% sobre la altura de la caja, ¿por qué?:

x = ¥ =95

10021 6 20 5, , cm

http://www.tetrapak.com.mx/

mx3/distribucion/contenedores.

htm


16


siendo Pb el peso bruto del embalaje, n el número de unidades y Pn el peso neto de la unidad.

Problemas:1. Supongamos que ahora queremos embalar una caja de duraznos,

dispuestas éstas en tres niveles por docenas. Si un durazno en promedio pesa 150 gramos, calculemos entonces el peso bruto del embalaje con dimensiones 20” × 15” × 18” sabiendo que la madera pesa 2,5 kg/m2, y sabiendo además que los espacios entre los listones son el 20% del área total que encierra la caja.

2. Pero ahora tú estás interesado en el transporte de estas cajas. Para esto, sabemos que en la caja del problema anterior el cartón del envase tiene un peso por área de 1,20 kg/m2 y la densidad del jugo de naranja es de 1,105 g/cm3. Calcularemos entonces el peso neto, el peso bruto y la tara.

Resolución:Convertimos las unidades del peso del cartón del envase:

Pc = ¥ ¥ =1 201 000

11

10 0000 122

2

2 2, ,kgm

gkg

mcm

gcm

Calculamos el área del envase en cm2:

A = 2(10,85 × 8,20 + 10,85 × 21,55 + 8,20 × 21,55)A = 999,6 cm2

Calculamos la tara o peso del cartón del envase:

T = ¥ =0 12 999 6 120 022, , ,

gcm

cm g

Conociendo el volumen de contenido, calculamos el peso neto:

Pn = ¥ =1 105 1 821 4 2 012 633, , ,

gcm

cm g

Por último, calculamos el peso bruto:Pb = + =2 012 6 120 0 2 132 6 , , , g

2.3 Contenidos Discretos

En este grupo, que corresponde generalmente a embalajes, están comprendidos los contenidos de un producto en unidades enteras o de envases en una caja de transporte.

Para este caso, el peso neto del embalaje es igual a la suma de los pesos brutos de los envases contenidos en él, y como los envases pesan lo mismo, podemos hablar de un número n de envases con su respectivo peso unitario, fácilmente representados por la fórmula:

Pb = n.Pn + T

1 m2 = (100 cm)2

1 m2 = 10 000 cm2

Recuerda

Caja de duraznos.


17


Amadera = ¥ =80

10012 000 9 600 2 cm

Calculamos entonces la tara o peso de la madera:

T = × × =2 5 110 000

9 600 2 42

2

22, ,kg

mm

cmkg

cm

El peso de una manzana es:

Pn = ¥ =1501

1 0000 15

gkg

gkg,

Para n = 36 (tres docenas), el peso bruto será:

Pb= 36 0,15 + 2,4 = 7,8 kg

2. Tenemos ahora un contenedor de plástico de un solo nivel sin tapa de dimensiones 10” 12” de base y 8” de altura con cierta cantidad de botellas que son embaladas en él. El peso por área del plástico es 3,6 kg/m2, la densidad de líquido contenido en las botellas es 1,05 g/cm3 y cada botella vacía pesa 80 g. La capacidad de la botella es 650 ml y el volumen del líquido llena el 85% de la capacidad de la botella. Si se sabe que el peso bruto del embalaje es 5 056,9 g; ¿cuántas botellas hay en el contenedor?

Resolución:

Calculamos el área del contenedor (sin tapa) en pulgadas cuadradas:

A = 10 12 + 2(10 8 + 12 8)

A = 472 in2

18”

15”20”

A in cmin

cm= × =1860 2 541

12 00022

22( , )

Resolución:Calculamos el área total en pulgadas cuadradas:A = 2(20 × 15 + 20 × 18 + 15 ×18)A = 1860 in2

Convertimos el área hallada a cm2:

El área de la madera será el 100% - 20% = 80% del área total, es decir:

Convertimos a cm2:

A cm= × =472 2 541

3 045 222

22

in cm

in( , ) .

Calculamos la tara del embalaje:

T = ¥ ¥ ¥ =3 61

10 0003 045 2

1 0001

1 096 32

2

22, , ,

kgm

mcm

cmg

kgg

http://static.flickr.

com/26/40447709_0d2b14851d.

jpg


18


Puntualizando que 1 ml = 1 cm3 , calculamos ahora el peso neto (líquido) de cada botella:

pn = ¥ ¥ =85

1001 05 650 580 13

3, ,g

cmcm g

El peso bruto de la botella será:

pb = 580,1 + 80 = 660,1 g

Planteamos la ecuación del peso bruto del embalaje para n botellas:n x pu+ T = Pb

Reemplazando y resolviendo:n x 660,1+ 1 096,3 = 5 056,9n = 6 botellas (six pack)

3. Supongamos que en esta ocasión necesitamos diseñar una caja que contenga una docena de naranjas. Cada naranja tiene un diámetro de 7 cm. Imagínate cómo puede ser su tamaño mínimo: esto nos daría una caja de base 28 cm (4 naranjas) 21 cm (3 naranjas).Pero, como sería de esperar, tú no quieres que las naranjas vengan tan apretadas, esto no es práctico para su conservación y manipulación, y entonces optas por darle un espacio entre cada par de ellas. Supongamos que decides dejar 1 cm entre las naranjas y también en los bordes. ¿Cuáles serían las dimensiones de la caja? Observa que ahora hay 5 espacios adicionales en el largo y 4 adicionales en el ancho de este rectángulo, esto nos da 28 + 5 = 33 cm para el largo y 21 + 4 = 25 cm para el ancho.Respecto a la altura de la caja, podemos considerar como mínimo los mismos espacios para cada nivel en la misma forma como hemos trabajado la base. Si es una caja de un solo nivel, la altura mínima tendrá que ser:7 + 2 = 9 cm.Así, nuestra caja tendría 33 cm 25 cm de base y 9 cm de altura.Dentro de las actividades que presentamos a continuación, aparecerá una actividad propuesta referente a este tema.

Diseño de caja con naranjas.

Diseño de caja con naranjas

separadas entre ellas.


19


Actividad 2

Resuelve los siguientes problemas, reproduciendo sus tamaños y formas proporcionalmente en una hoja de papel.

1. Determinemos el área total en cm2 de un contene-dor rectangular sin tapa con 10,5 mm 12,8 mm de base y 9,25 mm de altura. (No te olvides que no tiene tapa superior, solo fondo).

2. Ahora, te has dedicado al negocio de las cajas y quieres transportar 220 cajas. Sabes que cada caja de cartón tiene por dimensiones 12” 18” de base y 10” de altura. En primer lugar, te inte-resa averiguar la capacidad en mm3 de la caja. Si has calculado que el peso promedio del cartón de la caja es 22 kg/m2, determinemos ahora el peso de las 220 cajas.

3. Eres un fabricante de etiquetas de papel para tarros de leche, y quieres calcular el área de la etiqueta de un tarro de leche cilíndrico de 7 cm de radio y 12 cm de altura.

4. ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel nece-sitas para etiquetar 1 200 tarros de leche del pro-blema anterior, suponiendo que se pierde el 8% en la producción? (Esta pérdida en el proceso se conoce como merma).

5. Determinemos la capacidad de un recipiente ci-líndrico de 10 mm de diámetro y 22,5 mm de altura.

6. Determinemos el volumen neto en mm3 y el vo-lumen de aire contenido en una caja de de leche de cartón rectangular de base 4,5” 3,7” y 12,5” de altura, sabiendo que el volumen de contenido alcanza el 90% de la capacidad en la caja.

7. Si para la caja del problema anterior sabemos que el cartón del envase tiene un peso por área


de 0,80 kg/m2 y la densidad de la leche es de 1,15 g/cm3, calcula el peso neto, el peso bruto y la tara.

8. Se quiere embalar una caja de huevos, dispues-tos estos en grupos de 10 unidades en 5 niveles. Si un huevo en promedio pesa 80 gramos, cal-cula el peso bruto del embalaje con dimensio-nes 12” 8” 10” sabiendo que el cartón del empaque pesa 1,5 kg/m2.

■ De los envases que tienes en casa, elige uno rectangular y otro cilíndrico, calcula sus volú-menes y compara tus cálculos con lo que indica la etiqueta del producto.

■ Elige un envase rectangular o cilíndrico que tenga onzas fluidas y calcula su volumen en centímetros cúbicos, luego, con el dato de la etiqueta, establece la relación de unidades de conversión entre onzas fluidas y centímetros cúbicos y finalmente verifica tu resultado en una tabla de conversión de unidades.

■ Busca un contenedor de botellas y encuentra su peso, luego pesa una botella y calcula el peso total del embalaje.

■ ¿Cuántos tipos de embalaje hay para el trans-porte múltiple de productos? Visita un super-mercado y observa la zona en donde reciben la mercadería al por mayor. ¿Son similares a los embalajes de productos al público?

Elabora un informe detallado con los procedimientos realizados en cada una de las situaciones propuestas y preséntalo a tu profesor.

Relaciona las situaciones de embalaje con modelos aritméticos y geométricos, aplicándolos a la resolución de problemas relacionados con áreas y volúmenes de los embalajes, mostrando responsabilidad y dedicación.


20


Convertimos a metros cuadrados:

A= ¥ ¥ =4882 54

11

10 0000 3152

2

2

2

2incm

inm

cm( , )

,

Calculamos el costo de la madera:

Cm = ¥ =0 315 36 11 3422, ,m

nuevos solesm

nuevos soles.

Calculamos los costos adicionales:

Ca = ¥ =11 348

1000 91, , nuevossoles.

El costo total es:

C = 11,34 + 0,91= 12,25 nuevos soles.

2. Se necesita etiquetar 500 latas de conserva de 12,5 cm de altura y 8 cm de diámetro. Calcular el costo del papel necesario para el etiquetado, el que tiene un costo unitario de S/. 2,80/m2.

14”

6”

8”

El costo del embalaje o envase es usualmente mínimo, comparado con el valor del producto que está siendo protegido. Si el envase o embalaje permite que el producto sea distribuido al consumidor en una forma útil y que no se rompa, dañe o inutilice a lo largo del camino, entonces la inversión en el embalaje es dinero bien gastado. Para el cálculo de los costos de los embalajes debemos tener en cuenta los gastos en que intervienen los materiales y manipulaciones que entran en su elaboración, y después de este proceso se debe incluir el paso fi nal que es el transporte, cuyo costo se denomina fl ete.

3.1 Cálculo de costos de elaboración

Para ello se debe tomar en cuenta los costos unitarios de los materiales que se utilizan. Presentaremos algunos ejemplos:

1. Se embala un producto en una caja de madera de 14” 8” de base y 6” de altura. Calcularemos el costo del embalaje sabiendo que el costo unitario de la madera es S/. 36/m2 y los costos adicionales por mano de obra, cla-vos y/o pegamento alcanzan el 8% del costo de la madera.

Resolución:

Calculamos el área de la caja en pulgadas cuadradas:A = 2(14 8 + 14 6 + 8 6)A = 488 in2

3. COSTOS

Lata de metal para conserva.

Almacén de cajas.

Transporte de contenedores.


21



A= ¥ =314 21

10 0000 03142

2

2, ,cmm

cm

Calculamos el costo del papel:

Cm = ¥ ¥ =0 0314 2 80 500 43 9622, , ,m

nuevos solesm

nuevos soles

4 cm

12,5 cm

3. Se embala una docena de naranjas de 7 cm de diámetro en una caja rectangular. Cada naranja cuesta S/. 0,50 y el metro cuadrado de la madera cuesta S/. 10,50. Determinaremos el costo total del material para un embalaje, sabiendo que la misma caja se puede usar para 30 embalajes. (Despreciar clavos o pegamento).

Resolución:

Según ya habíamos calculado en el problema 3 del capítulo anterior, las dimensiones de la caja son 33 cm 25 cm de base y 9 cm de altura, lo que nos da un área total de:

A= 2(33 25 + 33 9 + 25 9)A= 2 694 cm2


A = × =2 694 110 000

0 269422

22cm m

cmm, 9 cm

33 cm25 cm

A

A cm

= ( )( )=

2 4 12 5

314 2 2

π ,

,

Caja de madera.

Resolución:

Para la etiqueta de la lata, calculamos el área lateral del envase cilíndrico:

Calculamos el costo de la madera:

Cm = ¥ =0 2694 18 50 49822, ,m

nuevossolesm

nuevossoles

Este costo corresponde a las 30 veces que se va a usar, y para cada vez que se utilice el costo es:

cm = =49830

0 17, nuevossoles

El costo de las naranjas es:

Cn= 0,50 12 = 6 nuevos soles

Finalmente, si queremos calcular el costo total para cada embalaje, resulta:

Ct = Cn + Cm

Ct = 6 + 0,17 = 6,17 nuevos soles


22


Convertimos a metros cúbicos:

V = ¥ ¥ =4 5002 54

11

1 000 0000 07373

3

3

3

33in

cmin

mcm

m( , )

,

Calculamos ahora el fl ete:

F = max {150 0,0737; 9,2} x 2,65 + (280 – 20) x 0,15F = max {11,05 ; 9,2} x 2,65 + (280 – 20) x 0,15F = 11,05 x 2,65 + 260 · 0,15F = 68,28 solesRespuesta: el fl ete será S/. 68,28

3.2 Cálculo de fletes

Para ello, se utilizan diversos criterios. En primer lugar, el peso es importante, pero también lo es el volumen y la distancia. Un criterio a considerar es que un metro cúbico debe representar al menos 150 kg. Para aplicar este criterio en el cálculo del costo, se obtiene primero el volumen del paquete, multiplicado luego por el factor 150. Este número obtenido debe representar el peso mínimo de la caja en kilogramos. El fl ete se calcula sobre la base de ese peso mínimo calculado o el peso real si este es mayor.

Procuraremos ahora un modelo matemático para el cálculo del fl ete.

Estableceremos, en consecuencia, el criterio de peso base de 150 kg/m3 y una distancia mínima equivalente al radio urbano de 20 km para el caso de transporte terrestre.

Esto quiere decir que si la caja de un metro cúbico tiene un peso bruto menor de 150 kg, se considerará este peso como mínimo para efectos de costo.

Siendo el peso bruto (P) en kilogramos, el volumen del paquete (V) en metros cúbicos y la distancia (D) en kilómetros, el fl ete (F) se calcula como:

F= max{150V; P}xT1+(D – 20)xT2, siendo T1 y T2 las tarifas de fl ete para peso y distancia respectivamente. El término max{150V; P} indica que se debe elegir el valor máximo entre 150V y P.

Ejemplos:

1. Calcular el fl ete por transportar una caja de dimensiones 25” 15” 12” que tiene un peso de 9,2 kg para una distancia de 280 km, sabiendo que las tarifas son S/. 2,65/kg y S/. 0,15/km.

Resolución:

Calculamos el volumen de la caja en pulgadas cúbicas:

C = 25 15 12 in3

C = 4 500 in3

1 m3 = (100 cm)3

1 m3 = 1 000 000 cm3

Recuerda

Transporte de choclos.

2. Calcularemos el peso máximo que debe contener una caja de 210 cm 105 cm 70 cm con 16 kg de tara para que pague el mínimo

posible de fl ete.


23


Resolución: Convirtiendo las dimensiones a metros: 2,10 m 1,05 m 0,70 m, calculamos el volumen de la caja en metros cúbicos:

C = 2,10 1,05 0,70 C = 1,54 m3

Calculamos el peso base del paquete: Pmin = 150 1,54 = 231 kg

El peso neto máximo para efectos de pago mínimo será: Pn = 231– 16 = 215 kg

3. Calcularemos el fl ete por transportar una caja de dimensiones 15” 12” 10”, sabiendo que la caja vacía pesa 3,5 kg y el material que contiene tiene una densidad de 1,85 g/cm3 , que este ocupa el 90% de la capacidad del contenedor, que se debe recorrer una distancia de 160 km y que las tarifas son S/. 1,85/kg y S/. 0,36 km.

Resolución:

Calculamos el volumen de la caja en pulgadas cúbicas: C = 15 12 10 C = 1 800 in3

Convertimos a metros cúbicos:

V = ¥ ¥ =1 8002 54

11

1 000 0000 029503

3

3

3

33in

cmin

mcm

m( , )

,

Calculamos el volumen neto, es decir, el 90% del contenido:

Vn =¥

=0 02950 90

1000 02655 3,, m

Conociendo la densidad y el volumen neto, calculamos el peso neto:

Pn = ¥ ¥ ¥ =0 026551 85 1 000 000

11

1 00049 123

3

3

3,,

,mg

cmcm

mkg

gkg

Calculamos ahora el peso bruto:

Pb = Pn +TPb = 49,12 + 3,5 = 52,62 kg

Calculamos ahora el fl ete:

F = max {150 0,02950; 52,62} 1,85 + (160 – 20) 0,36F = max {4,42; 52,62} 1,85 + (160 – 20) 0,36F = 52,62 1,85+ 140 0,36F = 97,35 + 50,4F = 147,75

Respuesta: el fl ete es de S/. 147,75.


24


Actividad 3

Analiza situaciones problemáticas sobre determinación de costos y fl etes y aplica los procedimientos presentados a la solución de problemas, manifestando responsabilidad y perseverancia.Resuelve los siguientes problemas, reproduciendo sus tamaños y formas proporcionalmente en una hoja de papel:1. Se embala un producto en una caja de madera de 10” 6” de base y 8” de altura. Calcula el costo del

embalaje sabiendo que el costo unitario de la madera es S/. 32/m2 , lo que incluye costos adicionales por mano de obra y otros.

2. Calcula el flete por transportar una caja de dimensiones 20” 18” 10” que tiene un peso de 14,8 kg para una distancia de 170 km, sabiendo que las tarifas son S/. 3,85/kg y S/. 0,12/km.

3. Si a una caja de 96 cm 45 cm 65 cm se le extrajera una cierta cantidad de mercadería, estaría pagando el mínimo posible para su peso. ¿Cuál es el peso bruto de la caja si el peso de mercadería extraída es la mitad del peso bruto de la caja?

4. Como ya hemos visto, hemos deducido una fórmula para un paquete que se envía más allá del radio urba-no, que hemos considerado de 20 km. Plantea tú ahora una fórmula de flete correspondiente para envíos que se hagan dentro del radio urbano, esto es, para menos de 20 km. Siendo así, calcula ahora el flete por transportar una caja de dimensiones 15” 12” 8” que tiene un peso de 16,4 kg para una distancia de 12 km, sabiendo que la tarifa es S/. 1,85/kg.


Formen equipos de cuatro integrantes y desarrollen las siguientes situaciones planteadas. Recuerden que siem-pre deben trabajar con mucha seriedad, respeto y responsabilidad. El logro del equipo es el logro de todos.■ El costo de flete en nuestra localidad.

- Organícense para recopilar información relativa a los costos de flete en su localidad.- Cada integrante deberá averiguar de una fuente diferente. Preguntarán el costo de flete desde la localidad

en que se encuentren a otras localidades, con diferentes pesos, volúmenes, artículos, distancias, tipo de transporte.

- Con la información que cada uno tenga, elaboren una tabla como la siguiente:

Distancia Tipo de transporte

Artículo a transportar

Peso del artículo

Volumen del artículo Costo del fl ete

Respondan las siguientes preguntas:a. ¿Existe diferencia del costo de fl ete entre los diferentes tipos de transporte?b. ¿Qué criterios se utilizan para el cálculo del fl ete?- Escribe un informe en la que presenten la tabla elaborada y las respuestas a las preguntas anteriores.

■ Nuestra empresa de transporte.- Ahora, imagínense que ustedes han abierto una empresa de transporte de artículos.- Elaboren una tabla con las características del paquete (peso bruto, volumen, distancia). - Calculen el fl ete para este paquete utilizando la fórmula de presentada en la página 22.- Construyan una tabla con los fl etes para distintos paquetes y las respectivas variantes según el costo

del contenedor en el que se transporta y el medio que se utiliza.- Respondan:a. ¿Qué medio resulta más económico?b. Si tienes un vehículo, ¿te resulta más económico que un taxi? ¿Por qué?

- Redacta un informe en el cual se presente la tabla de fl etes y las respuestas a las preguntas anteriores.

N O E S C R I B I RC


25


4.1 Diseño de contenedores con un mínimo de material

Una parte importante de las aplicaciones matemáticas es la optimización, que consiste en encontrar valores óptimos para ciertos fi nes. Por ejemplo, podemos procurar que el área sea mínima y así ahorramos el material superfi cial del empaque obteniéndose un mínimo costo, y a este tipo de optimización se le llama minimización. Por otro lado, si queremos buscar, por ejemplo, un máximo benefi cio, un máximo peso o un máximo volumen de transporte, estamos en un caso de maximización.Ilustraremos ahora varios casos de optimización relacionados con embalajes:1. Se pretende encontrar las dimensiones de una caja rectangular de modo que,

para una altura dada, esta caja tenga la máxima capacidad. Resolución: Suponiendo que la base de la caja tiene perímetro 4a, entonces sus

dimensiones pueden ser a + x , a – x , para algún x ≥ 0. Calculamos el área de la base:

A = (a + x ) x (a – x )A = a2 – x2

Este valor de A será máximo cuando x = 0. Esto signifi ca que, para un área máxima, las dimensiones son iguales al

valor a y, por lo tanto, la base de máxima área es cuadrada. Esto nos daría, en consecuencia, un máximo volumen para una altura

determinada. La fi gura de una caja de máxima capacidad para una altura y perímetro de la base dados, podría tener la forma del siguiente dibujo:

2. Veamos ahora un caso similar, aunque no menos interesante: ¿Qué forma debe tener una caja rectangular con una cierta altura que debe

contener un volumen ya dado, de modo que la superfi cie lateral, que debe ser forrada con un papel especial, sea de área mínima?

Resolución: Si el volumen y la altura ya están dados, podemos decir que el área de

la base es un valor fi jo y que necesitamos que el perímetro de la base sea mínimo. Tenemos entonces que el área de la base es S = ab , y su perímetro es P = 2a +2b, el cual será menor si a + b tiene el menor valor. Si el producto es ab constante, la suma es la menor si a =b. Por lo tanto, la base debe ser cuadrada.

4. OPTIMIZACIÓN

h

a a

a + xa – x

h

4.2. Diseño de formas diversas con aplicación de funciones

1. Supongamos que tenemos una cierta cantidad de latón, con el cual queremos fabricar un recipiente cilíndrico. Debemos calcular el radio del


26


Fig. a

Fig. b

Para C = 1 000 cm3 , construimos una función matemática A, con la siguiente ecuación:

A r rr

( )= +22 0002p

Con esta función, podemos llevar los distintos valores de r y A a una tabla y a un gráfi co y observar su comportamiento:

r (cm) A (cm2) 1 2 006,2 2 1 025,1 3 723,2 4 600,5 5 557,1 6 559,5 7 593,6 8 652,1 9 731,210 828,3

A(cm2)

1 000

5 10

r (cm)

r = 5,4 cmA = 554 cm2

Resolución: Para un volumen fi jo de 1 litro = 1 000 cm3 , tenemos que diseñar un radio

de cilindro adecuado.

Sabemos que el área total es: A r rh= +2 22p p

Además, tenemos que la capacidad es: C r h= p 2

Como la capacidad C es constante, podemos despejar h:h

Cr

=p 2 y reemplazarlo en la ecuación del área total:

A r rCr

= +2 222p p

p lo que resulta:

Como tú observarás, para valores pequeños de r (un recipiente alto y estrecho,

como un tubo), el término 2Cr

domina y A es grande. (Fig. a). Para valores

grandes de r (un recipiente chato, como una charola de pizza), el término

2 2pr domina y A es otra vez grande. (Fig. b).

r

h

Diseño de cilindro de latón.

Cilindro.

cilindro que consuma la menor cantidad de latón para producir un litro de capacidad.


27


2. Ahora queremos construir una caja y disponemos de una hoja cuadrada de cartón de 12 cm de lado. Para ello debemos cortar cuadrados iguales en las esquinas y doblar los lados. Hallaremos la longitud del cuadrado que se debe cortar para que el volumen sea máximo.

Resolución:

Con ayuda de la tabla y el gráfi co, observamos que el radio del cilindro alcanza un valor de 5,4 cm para un área mínima de 554 cm2 de hojalata. De este modo, podremos obtener el envase más económico para una capacidad de 1 000 cm3.

Si en las cuatro esquinas del cuadrado de 12 cm de lado, cortamos un cuadrado de x cm, obtendremos una caja de una base cuadrada de 12 – 2x cm de lado y de x cm de altura. Así, el volumen obtenido es:V x x= − ⋅( )12 2 2 , es decir:V x x x= − +4 48 1443 2 , con un valor de x comprendido en el intervalo 0 6< <x Con esta función, podemos llevar los distintos valores de x y V a una tabla y a un gráfi co y observar su comportamiento:

x (cm) V (cm3)1 1002 1283 1084 645 206 0

Con ayuda de la tabla y el gráfi co, observamos que la longitud del cua-drado que se debe cortar alcanza un valor de 2 cm para una capacidad máxima de 128 cm3.

12 – 2x

12 – 2x

xx

Diseño de una caja de cartón.

V (cm3)

150

r cm

x = 2,0 cmV = 128 cm3

100

50

21 43 65

Actividad 4I. Desarrolla cada una de las siguientes actividades. Comparte con tus compañeros los procedimientos que

has utilizado y verifica tus resultados con los de ellos.

4. Un recipiente de almacenamiento debe tener 10 m3 de capacidad. La longitud de su base es el doble de la de su ancho, y cuesta S/. 35/m2, mientras que el material lateral cuesta S/. 25/m2. Calcula el costo mínimo del material de este recipiente para el caso de que no tenga tapa. Calcula también el costo mínimo del material para el caso de que tenga tapa, si el costo del material de la tapa es el mismo que el de los lados.

1. Resuelve el problema No 4 para el mismo recipiente cilíndrico, pero sin tapa.

2. Una caja con base cuadrada debe contener un volumen de 32 000 cm3. Calcula las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material empleado. ¿Cómo sería tu diseño para una caja sin tapa?

3. Si dispones de 1 200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y sin tapa, calcula la máxima capacidad posible de esa caja.


28


II. A partir de la lectura del siguiente artículo, re-dacta un informe respondiendo a las siguientes preguntas y entrégaselo al profesor. Comparte tus respuestas con tus demás compañeros.1. ¿Qué opinas sobre el tema del ecoembalaje?2. Qué hechos nos indican que aún no hemos de-

sarrollado una conciencia de ecoembalaje?3. ¿Cómo podríamos mejorar esta situación? ENVASES Y EMBALAJES: CÓMO ASEGU-RAR UN FUTURO SOSTENIBLE.

Forum de Comercio Internacional - No. 2/2001El sector de los envases y embalajes – vital para casi todas las economías – es un gran consumidor de recursos. Dado que estos materiales suelen te-ner una vida útil limitada, algunos sectores consi-deran que en su fabricación se derrochan recursos y energía, y, en consecuencia, reclaman insisten-temente que se reduzcan los volúmenes de emba-lajes y que estos sean reutilizados o por lo menos reciclados. Existe un consenso creciente sobre la necesidad de planificar un futuro sostenible, lo que anuncia grandes cambios en esta industria.En realidad, el embalaje contribuye a conservar los recursos mundiales al evitar la descomposi-ción y el consiguiente derroche de los productos, que son protegidos hasta que cumplen la función a que están destinados. Sin embargo, para evitar nuevos daños al medio ambiente y armonizar las normas en materia de contacto con los alimentos, es cada vez más indispensable que los embalajes usados en los países exportadores sean compati-bles con el medio ambiente y con las exigencias de los clientes y los países importadores. De ahí que sea necesario mantenerse informados sobre los cientos de nuevas leyes, reglamentos y otras iniciativas relacionadas con los embalajes.Para ayudar a las PYME (Pequeña y Mediana Empresa) de los países en desarrollo y en transi-ción, el CCI (Centro de Comercio Internacional) llevó a cabo un programa de estudio y desarrollo con el fin de introducir los conceptos, principios y prácticas del ecoembalaje. Este proceso puso de manifiesto siete problemas comunes:Siete enseñanzas:1. Los países en desarrollo no cuentan en gene-

ral con organismos de coordinación en mate-ria de embalajes.


2. Hay muy pocas fuentes de información de fácil consulta sobre esta materia.

3. No se comprende satisfactoriamente el pa-pel del embalaje en el comercio, ni tampoco su tecnología.

4. Existe una gran preocupación por las condi-ciones higiénicas de los embalajes y la elimi-nación de plásticos, embalajes y desechos.

5. La recolección y eliminación de desechos son casi siempre ineficaces e irregulares. Las infraestructuras de recolección y reciclaje de embalajes usados son escasas o inexistentes.

6. También es motivo de inquietud la carencia de leyes adecuadas.

7. Aunque hay conciencia sobre los problemas ambientales, entre estos no se incluye a los embalajes.

(Artículo adaptado de:http://www.forumdecomercio.org/news/fullstory.php/aid/235/Envases_y_embalajes:_C%F3mo_asegurar_un_futuro_sostenible.html).

Uso adecuado de recursos en los embalajesForma un grupo de cuatro personas con tus com-pañeros. Observen los distintos envases que hay en sus casas, anoten sus observaciones en sus cua-dernos y respondan: –¿Los envases que has observado han sido elabo-rados utilizando la menor cantidad de material po-sible?–¿Crees que en el diseño de las latas de conservas se ahorra la mayor cantidad posible de papel para las etiquetas?–¿Qué cambios le harías a algunos envases para minimizar el costo de material de manera que ob-tengas el máximo beneficio?Reúnete con tus compañeros de equipo y compartan sus respuestas y lleguen a un consenso para elabo-rar un papelógrafo que será expuesto a tus compa-ñeros de clase. Recuerda que el trabajo en equipo te prepara para la vida, debes trabajar de manera responsable y respetar siempre las ideas de tus com-pañeros.


29


5. EVALUACIÓNDesarrolla cada una de las siguientes situaciones planteadas. Comparte con tus compañeros los procedimientos que has utilizado y verifi ca tus resultados con los de ellos.

1. ¿Qué es un embalaje y cuáles son las funciones principales y secundarias que cumple? Explica.

2. ¿Cómo podrías clasifi car los embalajes según la resistencia e impermeabilidad de los materiales?

3. ¿Cuál es la diferencia entre el papel, la cartulina y el cartón?

4. Si dispones de un recipiente que tiene un área 16 pulgadas cuadradas, ¿puedes convertirla a milímetros cuadrados?

5. En la maletera de un vehículo están llevando una galonera de gasolina con una capacidad de 12 galones. ¿Puedes convertir la capacidad de la galonera a litros?

6. Calcula el área total en cm2 de una caja con 18” 13” de base y 8” de altura. Si se desea pintar las caras laterales de color verde y el fondo de color blanco, determinar las áreas en cm2 de color verde y de color blanco.

7. En tu taller hay una caja de plástico, en donde guardas tus herramientas. Sus dimensiones son 12,5 cm 13,5 cm de base y 8,8 cm de altura. Determina la capacidad de la caja en pulgadas cúbicas. Si el peso promedio del material de la caja es 24,8 kg/m2, ¿cuál será el peso de 240 cajas?

8. Calcula el área total en cm2 de un pote cilíndrico de 5.4” de diámetro y 3,7” de altura. Si deseas etiquetar el pote, determina el área de papel necesario, sabiendo que la etiqueta cubre el 65% del área lateral del recipiente.

9. Determina el volumen neto en cm3 y el volumen de aire contenido en una caja de leche hermética rectangular de base 92,5 mm 72,0 mm y 184,5 mm de altura, sabiendo que el volumen de contenido alcanza el 96% de la capacidad en la caja. Calcula además la altura del nivel del líquido en cm.

10. Se tiene un embalaje de madera que contiene naranjas, dispuestas estas en tres niveles por docenas. Si una naranja en promedio pesa 185 gramos, calcula el peso bruto del embalaje con dimensiones 11,8 cm 15,0 cm 14 cm sabiendo que la madera pesa 1,85,0 kg/m2.

11. Calcula el fl ete por transportar una caja de dimensiones 20” 14” 15” que tiene un peso de 11,25 kg para una distancia de 130 km, sabiendo que las tarifas son S/.1,85 / kg y S/. 0,25 / km. Si el peso fuera el doble, ¿eso duplicaría el fl ete? ¿Por qué?


30


Responde en una hoja aparte:

1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este fascículo?

6. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Defi ciente

¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus compañeros? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R


31


1. Dajes Castro, José. Sistema internacional de unidades de medida. Lima. Fondo Edito-rial del Congreso del Perú, 1999.

Este libro contiene un desarrollo exhaustivo de las unidades de medida, sus conversiones y sus correspondientes relaciones entre ellas.

2. Jacobo Martínez, Jorge. Envase y embalaje. México. Universidad Autónoma Metropoli-tana, 1991.

Este libro trata sobre la realización de diseños de embalajes, formas de producción, así como formas de construir los diversos tipos de embalajes para una mejor producción de ellos.

3. Ministerio de Comercio. Técnicas de embalaje y envase en madera, cartón, papel y vidrio. Lima. Banco Popular del Perú, 1980.

Este libro contiene un conjunto de reglas y descripciones, así como indicaciones prácticas sobre la forma de construir los diversos tipos de embalajes y el empleo de los materiales más adecuados.

4. Pathak, Haresh. Structural Package Design. Amsterdam. Editorial The Pepin Press, 1999.

Este libro sirve como referencia para la realización de diseños de estructuras de embalajes, seleccionados en razón de su aceptabilidad y relevancia funcional, presentando mode-los que defi nen categorías de productos como bombones, leche, joyas y perfumes, entre otros.

5. Sociedad Nacional de Industrias. Guía de la industria de envases y embalajes. Lima. Instituto Peruano de Envase y Embalaje, 2002.

Un libro especializado en el tema de los envases y embalajes.

6. Sonsino, Steven. Packaging. Barcelona. Ed. Gustavo Gili, 1990.

Este libro trata sobre la realización de diseños de embalajes, selección de materiales y clasifi cación la tecnología que se requiere para una mejor producción de embalajes y em-paques.

7. Vidales Giovannetti, Ma. Dolores. El mundo del envase. México. Ed. Gili S.A., 1995.

Este libro contempla características, formas de producción y optimización de los diferen-tes materiales empleados en la fabricación de envases y embalajes.

BIBLIOGRAFÍAcomentada


32


1. http://www.arqhys.com/arquitectura/embalaje-historia.html

Página del investigador español Matías S. Pérez, referente a la historia y al diseño de los embalajes. Realiza una descripción detallada sobre las distintas etapas del uso de los embalajes y la infl uencia de la tecnología.

2. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fi sica/unidades/unidades/unidades.htm

Página referente a las unidades de medida, sus conversiones y sus correspondientes relaciones con los distintos sistemas existentes.

3. http://es.wikipedia.org/wiki/Embalaje

Página de la enciclopedia en línea Wikipedia, donde se describe la naturaleza de los embalajes, sus funciones, requisitos y composiciones.

4. http://www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718-07642005000300008&script=sci_arttext

En este artículo se analiza un método para evaluar y optimizar la calidad ambiental de productos y procesos durante la etapa de diseño, aprovechando sus características particulares para interesantes posibilidades de mejora ambiental.

5. http://www.bne.es/esp/actividades/vidanumeros7.htm

Interesante sitio web sobre la Aritmética y el cálculo mercantil, y su relación con el comercio y la Aritmética a partir de los árabes y de la Europa del siglo XIII.

ENLACESweb


los embalajes y la matemática

Documents