losas1d

LOSAS EN UNA DIRECCIÓN ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1 __________________________________________________________________________________________________________

ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA.2003

4 DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCION 4.1 GENERALIDADES La aplicación mas inmediata de la teoría del diseño a flexión del hormigón armado es cuando se presentan problemas de vigas soportadas por varios apoyos y sistemas de losa que trabajan en una dirección, figura 4.1. Estos tipos de estructuras son únicas en el hormigón armado ya que a diferencia de otros materiales los ensambles son monolíticos, es decir no requieren conectores entre elementos y la transferencia de tensiones se realiza por continuidad estructural. P1 P2 P3 P4 Pi Pn L1 L2 Li Ln

Figura 4.1.a. Viga continua y modelo de análisis estructural N! L1 Li LN

Figura 4.1.b. Losa en una dirección apoyada en vigas o muros cargueros.

N1 N2



A diferencia del diseño de secciones, en donde solo se consideraba un determinado momento, en estos casos se debe conocer la variación del momento flector que producen las cargas externas en toda la longitud del elemento. El momento flector varia considerablemente desde el centro de la luz hasta los apoyos donde cambia de signo, es decir la tracción es en la parte superior de la sección. Igualmente cambia con la presencia de las cargas vivas, situación que se debe considerar en el diseño para tener en cuenta las combinaciones mas desfavorables que puedan actuar en la estructura. La variación del momento en la longitud de los elementos se puede determinar usando el método aproximado de los coeficientes del ACI para revisiones o diseños preliminares de estructuras o mediante el uso de algoritmos matemáticos mas o menos complejos que requieren por lo general la ayuda de una calculadora programable o un computador. Todos estos procedimientos utilizan por lo general el análisis estructural elástico o de primer orden. En la practica existen procedimientos disponibles de análisis plástico que consideran la fisuracion de las secciones y la redistribución inelástica de tensiones pero estos no se van a considerar en este texto. 4.2 PATRON DE COLOCACIÓN DE LAS CARGAS El primer problema a resolver es la determinación y colocación de las cargas que se van a considerar en el diseño. La carga muerta se estima con base en el peso propio de la estructura y en los elementos que siempre permanecerán sobre ella, esta carga es constante y no varia en posición. La carga viva por el contrario se estima con bases estadísticas y su valor debe estar de acuerdo al uso y ocupación de la estructura, varia continuamente de posición y el ingeniero debe considerar una disposición acertada de esta variación en la estructura. Con el fin de obtener las envolventes de los momentos y las cortantes se recomienda al lector estudiar el tema de las líneas de influencia tratadas en los cursos básicos del análisis estructural. Un método simple es colocar la carga viva de tal forma que se obtengan los valores mas desfavorables de momento flector en las mitades de la luces y en los apoyos. Para las mitades de las luces la carga viva se debe colocar en forma alternada, similar a un tablero de ajedrez, con esto se logran los mayores momentos positivos, figura 4.2.a y b. Los mayores momentos negativos en cada apoyo se logran colocando la carga viva en sus dos tramos adyacentes y alternándola en el resto de la estructura, figura 4.2.c. El diseño se realiza para las condiciones mas exigentes de los momentos negativos y positivos encontrados anteriormente. 4.3 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA CARGA VERTICAL Cuando se requieran realizar comprobaciones rápidas y dimensionamientos preliminares de los elementos estructurales antes de proceder a utilizar métodos complejos, es practico y sencillo utilizar los coeficientes de momento recomendados por el ACI los cuales fueron obtenidos por comprobaciones elásticas considerando entre otros aspectos la aplicación alterna de cargas, indicada en el numeral anterior para lograr los máximos momentos positivos y negativos en la estructura. La expresión general para hallar los momentos tiene la forma de M = coef. q L2 donde q es la carga uniformemente distribuida y “ L ” la luz libre. El método permite hallar igualmente las fuerzas cortantes en cada tramo de la estructura continua con la expresión V = coef. q L / 2.



Para la aplicación adecuada de estos coeficientes se deben cumplir las siguientes limitaciones geométricas y de carga en la estructura. Cuando no se cumple alguno de estos requisitos se debe utilizar un método de análisis hiperestatico como el de rigidez, matricial, solución de ecuaciones simultaneas.

• Se tengan mínimo dos luces • Las luces sean aproximadamente iguales y la mayor de dos luces adyacentes no

debe exceder a la menor en mas del 20%. • Las cargas sean uniformemente distribuidas • La carga viva no exceda en mas de tres veces la carga muerta • Las secciones sean prismáticas.

qm : Carga muerta qv : Carga viva A B C D E F

a) Patrón de carga viva con máximos momentos positivos en AB, CD y EF.

b) Patrón de carga viva con máximos momentos positivos en BC y DE.

c) Patrón de carga viva con el máximo momento negativo en B. Figura 4.2 Patrón de colocación de las cargas muertas y vivas en vigas continuas Comprobaciones realizadas con otros métodos de análisis indican que los valores de momento hallados por los coeficientes del ACI son conservadores mientras se mantenga el cumplimiento de las restricciones indicadas anteriormente. Es importante mencionar que los coeficientes propuestos tienen en cuenta la redistribución de momentos por efectos inelásticos y el ancho de los apoyos. Para el diseño cada coeficiente entrega dos diagramas de momento para cada luz, uno para los máximos momentos negativos y otro para los máximos positivos. Sin embargo el método no permite entregar para una



determinada luz los máximos momentos negativos que se presentan simultáneamente bajo la acción de las cargas. Tabla 4.1 Coeficientes ACI para el diseño de vigas continuas y losas en una dirección Momento positivo Luces de borde Si el borde es discontinuo sin restricción 11

2nu lq ×

Si el borde es discontinuo e integral con el apoyo 14

2nu lq ×

Luces interiores 16

2nu lq ×

Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior Cuando se tienen dos luces 9

2nu lq ×

Para mas de dos luces 10

2nu lq ×

Momento negativo en las otras caras de los apoyos interiores

11

2nu lq ×

Momento negativo en la cara de todos los apoyos para a) losas con luces que no excedan de 3.0 m y b) Vigas en donde la relación de suma de las rigidezes de columnas a suma de rigidezes de vigas no exceda de ocho en cada extremo de la luz.

11

2nu lq ×

Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores para aquellos elementos vaciados monolíticamente con sus apoyos

Cuando el apoyo es una viga de borde o de respaldo 24

2nu lq ×

Cuando el apoyo es una columna 16

2nu lq ×

Cortante en al cara interna del primer apoyo interior 2

15.1 nu lq ××

Cortante en las otras caras de los apoyos 2

nu lq ×

ln para momento positivo es la luz libre entre apoyos y para momento negativo es el promedio de las dos luces adyacentes. qu es la carga mayorada que actúa sobre la estructura. El valor de la fuerza cortante para luces continuas se toma igual al obtenido en luces simplemente apoyadas a excepción de la cara exterior del primer apoyo interior en donde el valor se incrementa en un 15% debido al efecto del balance de los momentos



Sin restricciónè 0 111

Viga de bordeè 241

141

101

111

161

111

111

Columnaè 161

141

a) Vigas con mas de dos luces

Sin restricciónè 0 111

111

0

Viga de bordeè 241

141

91

91

141

241

Columnaè 161

141

141

161

b) Vigas con dos luces

121

141

121

121

161

121

121

c) Losas con luces menores de 3.0 m

Columnaè 121

141

121

121

161

121

121

d) Vigas en donde S Rigidez de columnas > 8 x S Rigidez de vigas en el nudo

Figura 4.3 Coeficientes de momento en vigas continuas y losas en una dirección



en vigas continuas ( 2

15.1 nu lq ×× ). La cortante en el apoyo exterior por lo general da

ligeramente inferior a la obtenida por análisis elástico pero el método

conservadoramente asume el valor indicado para luces simplemente apoyadas (2

nu lq ×).

4.4 LOSAS EN UNA DIRECCIÓN En las estructuras de hormigón armado la losa es el típico sistema estructural horizontal que permite recibir directamente las cargas verticales, debidas al peso de los elementos y al uso y ocupación de la edificación y llevarlas al sistema vertical de soporte estructural seleccionado para la edificación tal como el pórtico resistente a momentos, los muros estructurales, la mampostería y los sistemas mixtos. La losa puede estar o no apoyada perimetralmente, en el primer caso descansa directamente sobre columnas generando la conocida placa plana y la losa plana las cuales se estudiaran mas adelante como losas bidireccionales. En el segundo caso la losa puede apoyarse en vigas o muros los cuales pueden estar en todo el perímetro o no. Cuando la losa se apoya en dos lados únicamente se tiene la losa unidireccional y las cargas van en sentido perpendicular a las vigas o muros de apoyo, figura 4.4. Viga A Viga B Viga C Dirección Losa Losa Vigas

Figura 4.4 Losa en una dirección apoyada sobre vigas



Cuando se tienen vigas o muros en todos los bordes de la losa la acción estructural es en dos direcciones. Sin embargo en este caso la acción depende de la relación luz larga, lb, a luz corta, la, la cual indica que para relaciones la / lb > 2 la losa bidireccional se puede analizar como unidireccional porque mas del 90% de la carga se dirige a las vigas en la dirección corta de la losa. Las losas de hormigón armado pueden también ser macizas o aligeradas. El sistema de losa maciza es muy utilizado en pavimentos y puentes pero muy poco en edificios por las altas cargas debidas al peso propio y los altos costos en materiales. Las losas aligeradas son bastante utilizadas en la construcción de edificios por las ventajas que genera en ahorro de materiales, disminución del peso y mejora en aislamientos térmicos y acústicos. Los sistemas aligerados en una y dos direcciones se encuentran patentados por el instituto del acero para el hormigón armado de los Estados Unidos ( CRSI) y se les conoce comercialmente como los sistemas nervados ( Joist System) en una y en dos direcciones. Los documentos que respaldan su uso como el CRSI # 42 dan los criterios de diseño para diferentes configuraciones de losa lo mismo que las características de los aligerantes, recubrimientos y detallado del refuerzo. Un sistema típico aligerado en una dirección se indica en la figura 4.5. Nervios o viguetas Viga A Viga B Viga C Losa nervada Vigas

Figura 4.5 Losa nervada en una dirección apoyada sobre vigas Ya que las cargas en las losas unidireccionales van en la dirección corta del modulo o panel de losa, esta se puede analizar estructuralmente como una viga continua de ancho



unitario si es maciza o de ancho igual al ancho de aleta si es nervada. Se puede utilizar el método de los coeficientes del ACI si se cumplen las hipótesis u otro método de análisis elástico. El refuerzo esta constituido en general por dos capas de acero en forma de malla que atienden las solicitaciones externas ( refuerzo principal) y los problemas de retracción y cambios de temperatura (refuerzo secundario). El acero principal va en dirección perpendicular a las vigas de apoyo y el secundario es normal al refuerzo principal. En general las losas de edificios no requieren refuerzo por cortante por las altas áreas de carga que se manejan pero en los sistemas nervados hay casos donde la cortante es critica y se debe atender convenientemente. Los espesores de losa y vigas se pueden seleccionar inicialmente de la tabla 3.4 y los anchos unitarios utilizados para los diseños de losas macizas unidireccionales pueden ser 0.25, 0.50 y 1.00 m. En la practica se prefiere el ancho de 1.0 m y los diseños se refieren por tanto a esta franja típica. 4.5 PROCEDIMIENTO GENERAL DE DISEÑO A FLEXIÓN 4.5.1 Dimensionamiento estructural Con el fin de evitar grandes deflexiones y cumplir los requisitos exigidos para atender la flexión y la cortante se define inicialmente el espesor de la losa y las vigas usando los valores recomendados en la tabla 3.4. Si se trata de una losa maciza de define un ancho de franja unitario b, si es losa aligerada la franja queda definida al seleccionar el ancho del nervio, bw, y las dimensiones del aligerante ( largo, ancho y alto) y si es viga se define un ancho mayor o igual a 250 mm. Ejemplo 4.1 Para la losa unidireccional de la figura 4.6 definir cuales pueden ser las dimensiones estructurales iniciales considerando solo los requisitos geométricos. A A´ A” B B ́ B” C C ́ C” D D ́ D” E 1 8m 2 8m 8. 3 8m 4 3 @ 4.0 m 3 @ 4.5 m 3 @ 4.5 m 3 @ 4.0m

Figura 4.6 Planta típica para el ejemplo 4.1



Solución: La edificación esta compuesta de pórticos viga - columna que conforman el sistema estructural resistente a momento y losas en una dirección que se apoyan en vigas cargueras intermedias. Las vigas principales 1,2 ,3 y 4 reciben además de su propio peso las cargas de las vigas intermedias A ,́ A”, B ,́ B”, C ,́ C”, D ,́ D” y las vigas de amarre espacial A, B, C y D soportan su propio peso. a) Dimensionamiento de la losa maciza. Utilizando la tabla 3.4 para losas macizas en una dirección los espesores mínimos son:

Luz AB è mmh .16724

400=≥ Para el tramo de borde

mmh .14328

400=≥ Para el tramo central

Luz BC è mmh .16128

450=≥ en todos los tramos

Por simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥ 167 mm. El valor se debe redondear al múltiplo de 25 mm mas cercano è Sea h = 150 mm. Se asume una ancho de franja para el análisis estructural y el diseño de b = 500 mm. La sección de franja se muestra en la figura 4.7. Franja típica h =150 mm b

Figura 4.7 Sección de losa maciza y franja típica del ejemplo 4.1 b) Dimensionamiento de la losa aligerada. Inicialmente se definen las características del nervio y el tipo de aligerante de acuerdo al numeral 8.11 del código del ACI. En resumen se debe cumplir que:

• el ancho del nervio debe ser mayor o igual a 100 mm y su altura menor o igual a tres y medio veces el ancho.

• El espaciamiento libre entre nervios debe ser menor o igual a 0.75 m • Cuando se utilicen ladrillos de arcilla o bloques de hormigón huecos como

aligerantes y su resistencia es mayor o igual a la del hormigón de los nervios, el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser mayor o igual a un doceavo de la separación libre entre nervios o 40 mm.

• Si se utilizan otros aligerantes o formaletas removibles el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser igualmente mayor que la doceava parte de la separación de los nervios o 50 mm.



El espesor de la losa aligerada se obtiene de la tabla 3.4:

Luz AB è mmh .2165.18

400=≥ Para el tramo de borde

mmh .19021

400=≥ Para el tramo central

Luz BC è mmh .21421

450=≥ en todos los tramos

Por simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥ 216 mm. El valor se debe redondear al múltiplo de 25 mm mas cercano è Sea h = 200 mm. La selección del aligerante depende de criterios económicos y constructivos disponibles en el sitio de la construcción. El uso de cajas de madera, bloques de poron ( icopor ), bloque prefabricados de hormigón, ladrillos de arcilla y formaletas recuperables en metal, fibra o madera constituyen solo algunos ejemplos de las posibilidades en este campo. En este ejemplo se puede usar como aligerante ladrillos de arcilla de seis huecos con dimensiones 200 x 150 x 400 mm con resistencia a compresión menor que la del hormigón del nervio. La sección de losa dimensionada se indica en la figura 4.8. b = 500 mm 50 mm h = 200 mm 100 mm 400 mm 100 mm Ladrillos de arcilla

Figura 4.8 Sección típica de losa aligerada en una dirección del ejemplo 4.1 El ancho de franja queda definido como b = 400 + 100 = 500 mm. c ) Dimensiones de las vigas principales. Las vigas 1, 2, 3 y 4 tienen luces de 12.0 m y soportan las vigas intermedias que reciben la losa. Utilizando la tabla 3.4:

Para el tramo AB y DE è mmh .6495.18

1200=≥

Para el tramo BC y CD è mmh .64321

1350=≥



La altura se puede asumir como h = 700 mm con el fin de tener alguna reserva de sección para atender la flexión y la cortante. El ancho de la viga por lo general se define con base en las dimensiones de las columnas o muros portantes. En general este ancho debe ser al menos 100 mm menor que el de las columnas (por refuerzo del nudo) o igual al de los muros. Si las columnas se asumen de b = h =500 mm se puede utilizar un ancho de viga de b = 400 mm. Ver sección de vigas principales en figura 4.9.a. d) Dimensiones de las vigas intermedias. Estas vigas tienen luces de 8.0 m y se apoyan en las vigas principales. De la tabla 3.4:

Para los tramos 1-2 y 2-3 è mmh .4325.18

800=≥

Para el tramo 2-3 è mmh .38121

800=≥

Se puede asumir un espesor de h = 500 mm y un ancho de b = 300 mm. La sección de las vigas intermedias se puede ver en la figura 4.9.b. h=500 mm h = 700 mm b = 300 mm b = 400 mm a) Sección vigas principales b) Sección vigas intermedias

Figura 4.9 Secciones de vigas del ejemplo 4.1 4.5.2 Determinación de las cargas en losa y vigas Las cargas que actúan en la losa se deben al peso propio mas las cargas vivas definidas de acuerdo al tipo de uso y ocupación de la edificación. El peso propio para la losa se determina conociendo sus dimensiones y los valores promedio sugeridos para las divisiones interiores, acabados y las instalaciones. El peso propio de las vigas se determina con las dimensiones iniciales. Las cargas vivas se asumen de acuerdo a los valores establecidos localmente por estudios estadísticos y se presentan en un código o norma de construcción ( NSR-98).



Ejemplo 4.2 Determinar las cargas en losa y vigas para el ejemplo 4.1. Considerar hormigón armado con una densidad de 2.4 Mg /m3. En la losa aligerada usar un peso de ladrillos de 1.0 kN/ m2. En general usar un peso de divisiones de 1.5 kN/ m2 y acabados e instalaciones de 1.2 kN/ m2. Solución: Se determinaran las cargas para el diseño de: a) losa maciza b) la losa aligerada c) las vigas intermedias y d) las vigas principales. a) Cargas de diseño de la losa maciza.

Peso de la losa: 2

, /.5.38.915.04.2 mkNq ppm =××=

Peso de divisiones, acabados e instalaciones: 2

., /7.22.15.1 mkNq adicm =+=

Carga muerta total en losa: 2

.,, /2.67.25.3 mkNqqq adicmppmm =+=+= R / La carga muerta en la losa es de 6.2 kN/ m2. R/ La carga viva es de acuerdo al NSR-98 para vivienda de 1.8 kN/ m2. Para una franja de diseño de 0.50 m la carga muerta es de qm = 6.2 x 0.5 = 3.1 kN/m y la carga viva es de qv = 1.8 x 0.5 = 0.9 kN/m. qm = 3.1 kN/m qv = 0.9 kN/m A A ́ A” B B ́ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

Figura 4.10 Cargas de diseño para la losa maciza del ejemplo 4.2 b) Cargas de diseño de la losa aligerada.

Peso losa de recubrimiento: 2

., /18.18.905.04.2 mkNq recm =××=

Peso nervio: 2., /71.08.94.2

50.015.010.0

mkNq nervm =××

×

=



Peso aligerante: =.,aligmq 1.0 kN/m2

Peso divisiones, acabados e instalaciones: 2

., /7.22.15.1 mkNq adicm =+= R/ Carga muerta total: 2/6.57.20.171.018.1 mkNqm =+++= es decir una disminución del 10% del peso de la losa maciza para las mismas condiciones geométricas. Si se requiere disminuir el peso propio se puede utilizar otro aligerante o una formaleta recuperable. Por ejemplo con cajas de madera común no recuperable de dimensiones 150 x 750 x 1000 mm se tiene:

qm,rec. = 1.18 kN/m2 qm,alig.= 0.15 kN/m2 2

., /7.2 mkNq adicm =

2., /47.08.94.2

75.015.010.0

mkNq nervm =××

×

=

2

, /47.08.94.202.0 mkNq tortam =××= R/ La carga muerta total es de qm = 4.97 kN/m2 que equivale a una disminución del peso propio en 20% respecto a la losa maciza equivalente. Se puede reducir aun mas el peso propio considerando el caseton recuperable. En este ultimo caso la carga por peso propio es de qm = 1.18 + 2.70 + 0.47 = 4.35 kN/m2 con una disminución del 30% del peso propio de la losa maciza. En este ejemplo se va a trabajar con el caseton no recuperable para una carga por peso propio de qm = 4.97 kN/m2. R/ La carga viva es igual al caso de losa maciza: qv = 1.8 kN/m2 Con franjas de ancho 0.75 m è qm = 4.97 x 0.75 = 3.7 kN/m qv = 1.80 x 0.75 = 1.4 kN/m qm = 3.7 kN/m qv = 1.4 kN/m A A ́ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

Figura 4.11 Cargas de diseño para la losa aligerada del ejemplo 4.2



c) Cargas de diseño de las vigas intermedias. Estas vigas reciben como carga las reacciones de la losa mas el peso propio de la viga. Utilizando el método aproximado de los coeficientes del ACI se estimaran las cargas inicialmente para el caso de losa maciza y luego la losa aligerada.

Vigas A y E : mkNqm /9.155.34.128.94.25.03.05.020.41.3

=+=×××+××

=

mkNqv /6.35.020.49.0

=××

=

Vigas A ́y D” : mkNqm /2.308.94.25.03.05.020.41.3

5.020.41.3

15.1 =×××+××

+××

×=

mkNqv /7.75.020.49.0

5.020.49.0

15.1 =××

+××

×=

Vigas A” y D ́: mkNqm /3.288.94.25.03.05.020.41.3

2 =×××+××

×=

mkNqv /2.75.020.49.0

2 =××

×=

Viga B : mkNqm /9.398.94.25.03.05.025.41.3

5.020.41.3

=×××+××

+××

=

mkNqv /7.75.025.49.0

5.020.49.0

=××

+××

=

Viga B ́y C” : mkNqm /4.318.94.25.03.05.025.41.3

2 =×××+××

×=

mkNqv /1.85.025.49.0

2 =××

×=

Por simetría ya se tienen las otras cargas de las vigas. La tabla 4.2 presenta el resumen.

Tabla 4.2 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2. Losa maciza método coeficientes ACI

Carga (kN/m)

A A ́ A” B B ́ B” C

qm 15.9 30.2 28.3 39.9 31.4 31.4 31.4

qv 3.6 7.7 7.2 7.7 8.1 8.1 8.1

qt 19.5 37.9 35.5 47.6 39.5 39.5 39.5



qm = (15.9 => 39.9 ) kN/m qv = (3.6 => 8.1) kN/m 1 2 3 4 8.0 m 8.0 m 8.0 m

Figura 4.12 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2

Tabla 4.3 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2. Losa aligerada VIGA

Carga (kN/m)

A A ́ A” B B ́ B” C

qm 13.4 24.7 23.3 24.5 25.7 25.7 25.7

qv 3.7 8.0 7.5 7.9 8.4 8.4 8.4

qt 17.1 32.7 30.8 32.4 34.1 34.1 34.1

d) Cargas en las vigas principales. La carga de estas vigas esta conformada por el peso propio mas las reacciones de las vigas intermedias. Las vigas principales llevan la carga a las columnas o muros respectivos. Utilizando el método de los coeficientes del ACI: Vigas 1 y 4: mkNqm /6.68.94.24.07.0 =×××=

kNp Am 8.1202

0.82.30´, =

×= kNp Am 2.113

20.83.28

", =×

=

kNp Av 8.302

0.87.7´, =

×= kNp Av 8.28

20.82.7

", =×

=

kNp Bm 6.1252

0.84.31´, =

×= kNp Bm 6.125

20.84.31

", =×

=

kNp Bv 4.322

0.81.8´, =

×= kNp Bv 4.32

20.81.8

", =×

=

Las otras cargas se obtienen por simetría:



121 kN 113 kN 126 kN 126 kN 126 kN 126 kN 113 kN 121 kN 31 kN 29 kN 32 kN 32 kN 32 kN 32 kN 29 kN 31 kN qm = 6.6 kN/ m A B C D E 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.13 Cargas de diseño en viga principal # 1 del ejemplo 4.2

121 kN 113 kN 126 kN 126 kN 126 kN 126 kN 31 kN 29 kN 32 kN 32 kN 32 kN 32 kN qm = 6.6 kN/ m A B C D 12 m 12 m 12 m

Figura 4.14 Cargas de diseño en viga principal # 4 del ejemplo 4.2 Vigas 2 y 3: mkNqm /6.68.94.24.07.0 =×××=

kNp Am 2602

0.82.3015.2´, =

××= kNp Am 243

20.83.28

15.2", =×

×=

kNp Av 662

0.87.715.2´, =

××= kNp Av 62

20.82.7

15.2", =×

×=

kNp Bm 2702

0.84.3115.2´, =

××= kNp Bm 270

20.84.31

15.2", =×

×=



kNp Bv 702

0.81.815.2´, =

××= kNp Bv 70

20.81.8

15.2", =×

×=

Las otras cargas se obtienen por simetría: 260 kN 243 kN 270 kN 270 kN 270 kN 270 kN 243 kN 260 kN 66 kN 62 kN 70 kN 70 kN 70 kN 70 kN 62kN 66 kN qm = 6.6 kN/ m A B C D E 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.14 Cargas de diseño en viga principal # 2 del ejemplo 4.2 260 kN 243 kN 270 kN 270 kN 270 kN 270 kN 113 kN 121 kN 66 kN 62 kN 70 kN 70 kN 70 kN 70 kN 29kN 31 kN qm = 6.6 kN/ m A B C D E 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.15 Cargas de diseño en viga principal # 4 del ejemplo 4.2 4.5.3 Momentos y cortantes en losa y vigas La determinación de los momentos flectores que generan las cargas en las diferentes secciones criticas de la estructura se realiza utilizando el análisis estructural elástico. Si se cumplen las hipótesis, el método de los coeficientes del ACI es una excelente herramienta para iniciar el proceso de calculo. Si se dispone de un procedimiento de análisis estructural mas elaborado es conveniente utilizarlo en lugar del método



aproximado. Es importante comparar algunos resultados obtenidos con ambos métodos para juzgar la bondad del procedimiento aproximado. a) Losa. La planta de la losa dispone de una serie de franjas típicas o nervios, con geometría similar, los cuales se deben analizar combinando adecuadamente las cargas muertas y vivas de tal forma que se obtengan los máximos momentos positivos y negativos en las diferentes secciones de la estructura. b) Vigas. Se utiliza igualmente el procedimiento de análisis disponible y combinando adecuadamente las cargas se obtienen los máximos momentos y cortantes en la estructura. Ejemplo 4.3 Para la losa del ejemplo 4.1 determinar los momentos flectores y las fuerzas cortantes para el diseño de la losa y las vigas. Solución: La losa solo tiene una franja típica la cual se analizara por el método de rigidez y por el método de los coeficientes del ACI. Aprovechando la simetría solo se dan los resultados de momento para la mitad de la franja típica de losa. a) Momentos y cortantes en la losa. Considerando las posibles combinaciones de carga viva y muerta se obtienen para la mitad de la franja de losa ocho estados. Los dos primeros para obtener los máximos momentos positivos en cada tramo de franja y los seis restantes para lograr los máximos momentos negativos, figura 4.16. En la tabla 4.4 se resumen los valores obtenidos para las combinaciones de carga propuestas. Igualmente la tabla 4.5 presenta los momentos utilizando el método aproximado de los coeficientes del ACI. Se puede notar como la diferencia entre ambos procedimientos varia entre el 0.5% y 33% que en muchos casos prácticos es aceptable dada la variabilidad en la estimación de las cargas y en el cumplimiento en obra de la resistencia del hormigón y del acero.

Tabla 4.4 Momentos de diseño losa maciza del ejemplo 4.3. Método de rigidez

Momentos en kNx m / (ancho de franja) Comb.

# MA M1/2 MA´ M1/2 MA” M1/2 MB M1/2 MB´ M1/2 MB” M1/2 MC

1 0.00 6.89 7.53 0.00 5.37 4.37 6.53 2.28 7.75 5.47 7.42 1.95 7.52

2 0.00 4.11 7.58 3.94 5.19 1.25 7.19 5.68 7.57 1.90 7.47 5.57 7.52

3 0.00 6.26 9.12 3.39 4.78 1.40 7.29 5.64 7.55 1.91 7.47 5.57 7.51

4 0.00 4.29 7.12 3.25 7.01 3.76 6.11 2.43 7.86 5.43 7.39 1.96 7.52

5 0.00 6.83 7.68 1.21 4.78 3.56 8.75 5.11 7.16 2.05 7.58 5.53 7.49

6 0.00 4.13 7.54 3.88 5.35 1.47 6.59 4.92 9.68 4.77 6.91 2.14 7.65

7 0.00 6.89 7.54 1.01 5.32 4.31 6.69 2.48 7.19 4.71 9.52 4.82 6.97

8 0.00 4.11 7.57 3.93 5.20 1.27 7.15 5.63 7.72 2.10 6.91 4.80 9.61

Los valores en negrilla y sombreados son los máximos obtenidos en todas las combinaciones de carga y son los que controlan el diseño.



1.2 qm + 1.6 qv = 5.16 kN / m 1.2 qm = 3.72 kN/m A A ́ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

a) Combinación # 1 : Máximos momentos positivos en luces 1,3 y 5. 5.16 kN/m 3.72 kN/m A A´ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

b) Combinación # 2 : Máximos momentos positivos en luces 2,4 y 6. 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A´ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

c) Combinación # 3 : Máximo momento negativo en A ́ 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A ́ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

d) Combinación # 4 : Máximo momento negativo en A”

Figura 4.16 Combinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.3



5.16 kN / m 3.72 kN/m A A ́ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

e) Combinación # 5 : Máximo momento negativo en B 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A´ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

f) Combinación # 6 : Máximo momento negativo en B ́ 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A´ A” B B´ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

g) Combinación # 7 : Máximo momento negativo en B” 5.16 kN / m 3.72 kN/m A A ́ A” B B ́ B” C 4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m

h) Combinación # 8 : Máximo momento negativo en C

Figura 4.16 Combinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.3. Continuación



Tabla 4.5 Momentos de diseño losa maciza del ejemplo 4.3. Método coeficientes ACI Momentos en kNx m / ( ancho de franja) Comb. MA M1/2 MA´ MA´ M1/2 MA” MA” M1/2 MB MB M1/2 MB´

Unica 3.44 5.90 8.25 7.51 5.16 7.51 7.51 5.16 7.51 9.50 6.53 9.50

Momentos en kNx m / (ancho de franja)

Comb. MB´ M1/2 MB” MB” M1/2 MC

Unica 9.50 6.53 9.50 9.50 6.53 9.50

Tabla 4.6 Comparación de los momentos de diseño en losa maciza del ejemplo 4.3 Momentos en kNx m / ( ancho de nervio) Metodo MA M1/2 MA´ M1/2 MA” M1/2 MB M1/2 MB´ M1/2 MB” M1/2 MC

Rigidez 0.00 6.89 9.12 3.94 7.01 4.37 8.75 5.68 9.68 5.47 9.52 5.57 9.61

Aprox. 3.44 5.90 7.88 5.16 7.51 5.16 8.51 6.53 9.50 6.53 9.50 6.53 9.50

Dif. % --- 14 13 31 7 18 3 15 2 19 0.2 17 1.0

Por simetría no se colocan los valores para las otras luces. El momento MA no se puede comparar por la diferencia de hipótesis en cada método. b) Momentos y cortantes en vigas intermedias. En la tabla 4.2 y la figura 4.12 se indicaron las cargas muertas y vivas que soportan las vigas intermedias utilizando los coeficientes del ACI (si se dispone de métodos mas elaborados se pueden precisar mas estos valores, utilizando por ejemplo el método de rigidez). Para este ejemplo se continuara utilizando los coeficientes del ACI indicado en la figura 4.3 caso a) cuando existe viga de borde. La tabla 4.6 entrega los valores obtenidos de los momentos de diseño para las vigas intermedias. 1.2 qm + 1.6 qv 1 2 3 4 8.0 m 8.0 m 8.0 m

Figura 4.17 Caso único carga de diseño en vigas intermedias, ejemplo 4.3



Tabla 4.7 Momentos Mayorados en vigas intermedias. Método coeficientes del ACI

Momentos en kN x m Viga M1 M1-2 M2 M2 M2-3 M3 M3 M3-4 M4

A 66 114 159 145 99 145 159 114 66 A´ 129 222 311 283 194 283 311 222 129 A” 121 208 291 265 182 265 291 208 121 B 161 275 385 350 241 350 385 275 161 B´, B”, C, C´, C” 135 231 324 295 203 295 324 231 135 D 161 275 385 350 241 350 206 147 86 D´ 121 208 323 323 208 121 ---- ---- ---- D” 129 222 345 345 222 129 ---- ---- ---- E 66 114 177 177 114 66 ---- ---- ----

Tabla 4.8 Cortantes Mayoradas en vigas intermedias. Método coeficientes del ACI Cortantes en kN

Viga V1-2 V2-1 V2-3 V3-2 V3-4 V4-3 A 99 114 99 99 114 99 A´ 194 223 194 194 223 194 A” 182 209 182 182 209 182 B 241 277 241 241 277 241 B´, B” , C, C´, C” 203 233 203 203 233 203 D 241 277 241 241 148 129 D´ 182 209 209 182 ----- ----- D” 194 223 223 194 ----- ----- E 99 114 114 99 ----- ----- c) Momentos y cortantes en vigas principales. Estas vigas soportan, además de su peso, las cargas que le transmiten las vigas intermedias representadas por las cortantes de la tabla 4.8. Los momentos y cortantes se deben obtener con un método hiperestatico de análisis estructural. En este ejemplo ya no se puede utilizar el método de los coeficientes del ACI por la presencia de cargas concentradas en las luces. 99 kN 182 kN 203 kN 203 kN 203 kN 182 kN 99 kN 194 kN 241 kN 203 kN 203 kN 241 kN 194 kN qm = 7.9 kN/ m A B C D E 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.18 Cargas Mayoradas en viga principal # 1 del ejemplo 4.2



Para resolver el ejemplo se considera una estructura de un solo piso con altura de 3.5 m y columnas de b = h = 500 mm. Las vigas son de 400 x 700 mm. El análisis estructural se realiza solo para carga vertical utilizando el método matricial de rigidez y los resultados de los momentos y cortantes de diseño se muestran en las tablas 4.9 y 4.10 para todos los pórticos de la edificación. Además el ejemplo se resuelve para las cargas indicadas en la figura 4.19 sin realizar ninguna combinación ya que el efecto de las vigas intermedias es fijo en las posiciones indicadas y solo varia la magnitud por efectos de la presencia o no de la carga viva. Como la relación qv / qm es baja ( < 0.30) se puede indicar que el efecto de la carga viva, en este caso, es leve en la alteración de los esfuerzos internos de vigas y columnas. Port.1 99 194 182 241 203 203 203 203 203 241 182 194 99 Port.2 213 417 391 518 436 436 436 436 436 518 418 446 228 Port.3 213 417 391 518 436 436 436 436 436 369 182 194 99 Port.4 99 194 182 241 203 203 203 203 203 129 ----- ----- ---- A B C D E 3.5 m qm = 7.9 kN / m 12 m 12 m 12 m 12 m

Figura 4.19 Cargas en Pórticos del ejemplo 4.3. Método de rigidez

Tabla 4.9 Momentos en los pórticos del ejemplo 4.3. Método matricial de rigidez Momentos en kN x m Pórtico MA MAB MB MB MBC MC MC MCD MD MD MDE ME

1 358 400 696 655 313 627 628 313 655 696 400 358 2 704 792 1369 1294 621 1236 1233 615 1315 1436 849 754 3 693 797 1375 1273 611 1276 1303 693 1111 858 364 311 4 363 409 688 643 301 662 729 433 386 ---- ---- ----



Tabla 4.10 Cortantes en los pórticos del ejemplo 4.3. Método matricial de rigidez Cortantes en kN

Pórtico VA-B VB-A VB-C VC-B VC-D VD-C VD-E VE-D 1 209 262 253 248 248 253 262 209 2 400 502 488 479 476 490 531 427

3 399 504 483 484 499 467 279 192 4 210 260 249 252 279 221 ---- ----

4.5.4 Determinación y selección del refuerzo a flexión en losa y vigas La determinación del refuerzo a flexión tanto en la losa como en las vigas se inicia colocando en cada elemento el refuerzo mínimo necesario para cada sección y comprobando si con este refuerzo se cumple la exigencia de momento solicitada por las cargas externas. En caso afirmativo se coloca este refuerzo mínimo en caso negativo se debe determinar una cantidad de refuerzo mayor por alguno de los procedimientos explicados en la teoría del diseño a flexión del hormigón armado. En todos los casos se debe comprobar con el acero colocado el cumplimiento de F.Mn = Mu . a) Refuerzo en la losa. El refuerzo mínimo a flexión en losas se define como el equivalente al de retracción y temperatura el cual depende de la resistencia a fluencia del acero utilizado. Si fy = 280 MPa o 350 MPa è ?min = 0.0020 Si fy = 420 MPa o malla electrosoldada è ?min = 0.0018 Si fy > 420 MPa è ?min = (0.0018 x 420 ) / fy En ningún caso la cantidad de refuerzo en losas debe ser menor que 0.0014 ( b x h ). Este refuerzo no debe separarse mas de tres veces el espesor de la losa ni 450 mm. En general el refuerzo practico de losas lo constituyen las barras # 3 , 4 y # 5. Ejemplo 4.4 Determinar el refuerzo de la losa maciza del ejemplo 4.1 considerando un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Usar un d´= 25 mm Solución: El refuerzo mínimo para esta losa es:

2min, 1351505000018.0 mmAs =××=

Es decir se deben colocar 135 mm2 de acero en cada franja de b = 500 mm. Si se asume acero # 4 ( As = 129 mm2) la separación de barras es de 129 / 135 x 500 = 478 mm. Sin embargo como la separación máxima es de 450 mm la cantidad de acero # 4 que se podría colocar como refuerzo mínimo en la losa es: barras # 4 cada 450 mm que equivalen a 129 / 0.45 = 287 mm2 / m ( 287 x 0.5 = 143.5 mm2 / franja). La cuantía de refuerzo ? = 287 / ( 1000 x 125) =0.0023 (? = 143.5 / ( 500 x 125) = 0.0023 ). Para esta cuantía ( ? = 0.0023 ) la capacidad en flexión de la losa es:



mmNM n .102.1321

4200023.059.0112510004200023.090.0 62 ×=

×

×−×××××=φ

El resultado indica que con barras # 4 cada 0.45 m la capacidad supera a la requerida por las cargas externas ( tabla 4.5 ). Si se usan barras de menor diámetro por ejemplo la # 3 (As = 71 mm2) è la separación de barras es (71 / 135) x 500 = 263 mm è Si se colocan # 3 @ 0.30 m la cuantía es ? = (71 / 0.30) / ( 1000 x 125) = 0.0019 y el valor del momento es: Φ Mn = 11.0 kN.m que aun es alto en esta losa. Los códigos ACI y NSR recomiendan colocar en cualquier caso una cantidad de refuerzo siempre mayor que 0.0014 x b x h = 210 mm2 / m ( ó # 3 @ 0.35 ). La tabla 4.11 resume las cantidades de refuerzo por flexión que se deben colocar en la losa.

Tabla 4.11 Momentos y refuerzo en la losa maciza del ejemplo 4.4

Nudo A Centro A´ Centro A” Centro B

Mu (kN.m) 3.44 5.90 7.88 5.16 7.51 5.16 8.51

As # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35

Φ.Mn (kN.m) 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4

Nudo B Centro B ́ Centro B” Centro C

Mu (kN.m) 8.51 6.53 9.50 6.53 9.50 6.53 9.50

As # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30

Φ.Mn (kN.m) 9.4 9.4 10.93 9.4 10.93 9.4 10.93

Perpendicular al refuerzo de flexión se debe colocar el acero de retracción y temperatura que equivale a # 3 @ 0.40 m. La figura 4.20 ilustra la disposición en planta y en corte de la colocación del refuerzo en la losa. Un valor importante para comparar la economía en el diseño estructural de una losa es la cantidad de refuerzo por metro cuadrado. Este índice o factor por lo general varia entre 5 kg y 10 kg en losas típicas de edificios comerciales y de vivienda. Para este ejemplo el valor se obtiene así:

2/4.6/560.0/).35.00.1

235.00.1

35.00.1

( mkgmkgmbarrasFr =××++=

R/ La cantidad de refuerzo por metro cuadrado de losa es de 6.4 kg.



A A´ A” B 1 2 # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.30 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m

Figura 4.20 Detalle del refuerzo en el panel de losa AB12 del ejemplo 4.4

Ejemplo 4.5 Determinar el refuerzo de la losa aligerada del ejemplo 4.1 considerando un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Usar un d´= 250 mm Solución: En la figura 4.11 se indicaron las cargas de diseño para analizar los nervios de la losa aligerada, falta por determinar los momentos y el refuerzo. En la tabla 4.12 se muestran los momentos (método de los coeficientes) y el refuerzo requerido en cada nervio utilizando la metodología del diseño de secciones no rectangulares. La figura 4.22 muestra así mismo el detallado del refuerzo en la losa. La sección de cada nervio y los datos requeridos para determinar la capacidad a flexión de la sección se indican en la figura 4.21. El refuerzo mínimo para cada nervio es 0.0018 x 500 x 200 = 180 mm2 que se puede cubrir con una barra # 5 ( As = 200 mm2). Con este refuerzo la capacidad en flexión en la mitad de la luz es de φ Mn (+) = 12.9 kN.m y en el apoyo es de φ Mn (-) = 11.4 kN.m. Con otras barras la capacidad es:

• As = 2 # 4 (As = 258 mm2) è φ Mn (+) = 16.5 kN.m è φ Mn (-) = 14.1 kN.m • As = 1 # 6 (As = 284 mm2) è φ Mn (+) = 18.1 kN.m è φ Mn (-) = 15.2 kN.m • As = 2 # 5 (As = 400 mm2) è φ Mn (+) = 25.0 kN.m è φ Mn (-) = 19.3 kN.m

As flexión # 3 @ 0.35 m Arriba # 3 @ 0.35 m Abajo

As retracc.

y Temp. # 3 @ 0.35 m



b = 500 mm c εc hf = 50 mm h = 200 mm As d = 175 mm εs = ε t bw = 100 mm

Figura 4.21 Sección típica de los nervios de la losa aligerada

Tabla 4.12 Momentos y refuerzo en losa aligerada del ejemplo 4.5.

Nudo A Centro A´ Centro A” Centro B

Mu (kN.m) 4.45 7.63 10.20 6.68 9.72 6.68 11.01

As 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5

Φ.Mn (kN.m) 11.4 12.9 11.4 12.9 11.4 12.9 11.4

Nudo B Centro B ́ Centro B” Centro C

Mu (kN.m) 11.01 8.45 12.30 8.45 12.30 8.45 12.30

As 1 # 5 1 # 5 2 # 4 1 # 5 2 # 4 1 # 5 2 # 4

Φ.Mn (kN.m) 11.4 12.9 14.1 12.9 14.1 12.9 14.1

El refuerzo por retracción y temperatura, que va perpenticular al de flexión, y esta localizado a 25 mm del borde superior de la losa, tiene una cuantía de 0.0018 x 1000 x 50 = 90 mm2 que equivalen a una barra # 3 @ 71 / 90 = 0.79 m. Como el espaciamiento de este refuerzo debe ser menor o igual a 5 x hf = 5 x 50 = 250 mm => se debe colocar una barra # 3 @ 0.25 m para un Asrt = 71 / 0.25 = 284 mm2 y cuantía ? = 0.0057. b) Refuerzo en vigas . Ya que las vigas son vaciadas monolíticamente con la losa ellas deben analizarse como secciones T y L para momento positivo y como sección rectangular para momento negativo ( si se analizan para cualquier momento como rectangulares es porque no hay transferencia de tensiones entre la losa y la viga efecto que produce una disminución en la capacidad en flexión de la sección ).



A A´ A” B 1 Fr = 6.3 kg 2 # 3 @ 0.25 m 1 # 5 1 # 5 Aligerante

Figura 4.22 Detalle del refuerzo en el panel de losa AB12 del ejemplo 4.5

Ejemplo 4.6 Diseñar a flexión las vigas intermedias del ejemplo 4.1. è Con una capa de refuerzo a tracción la cuantía de refuerzo mínimo es 0.0033 x 300 x 435 = 431 mm2 la cual se puede cubrir con 2 barras # 6 ( As = 2 x 284 = 568 mm2). Con este refuerzo la cuantía es de ρ = 0.0043 y la sección se analiza así: Ancho efectivo de aleta. Para vigas T paralelas se tiene:

mmbbluz

b .20004

80004

≤⇒≤⇒≤

( )

mmbbhbb

fw .110030050168

2≤⇒+×≤⇒×≤

−

( )

mmbbblblbb

wnnw .4000300370022

≤∴+≤⇒+≤⇒≤−

El valor de diseño es b = 1100 mm. Considerando la viga B que es la mas solicitada => Sea c = hf = 50 mm => c / dt =0.115 < 0.300 y a = 42.5 mm



26

.1758

25.42

43542090.0

..10275mm

mmNAs =

−××

×= ó 2 # 8 + 2 # 7 = 1794 mm2

( )0037.0

43511001794

=×

=ρ

mma .382185.0

4354200037.0=

×××

= è mmc .4585.0

38==

Se comprueba que la hipótesis inicial es correcta y que el eje neutro esta en la aleta por lo tanto la sección es rectangular. Se pueden perfeccionar mas los cálculos y asumir una relación ( c / dt ) = 45 / 435 = 0.103 =>

c = 0.103 x 435 = 45 mm y a =38 mm

2.1777420

3811002185.0mmAs =

×××= ó As = 2 # 8 + 2 # 7 = 1794 mm2

mma .3811002185.0

4201794=

×××

= mmc .4585.0

38==

!005.00260.045

45435003.0 Cumplet ⇒>=

−

×=ε

mkNmmNM n ..279.102792

384353811002185.090.0. 6 =×=

−×××××=φ

El requerimiento es Mu = 275 kN.m el cual se cumple satisfactoriamente. Para momento negativo la sección es rectangular y el mayor momento se encuentra en la viga B apoyo # 2 con un valor de ( 385 + 350) / 2 = 368 kN.m. Sea c / dt = 0.300 => c = 0.300 x 435 = 130.5 mm y a = 130.5 x 0.85 = 111 mm.

22 .14077#18#2.1415420

1113002185.0mmAmmA ss =+=⇔=

×××=

mma .1103002185.0

4201407=

×××

= mmc .12985.0

110==

!005.00071.0129

129435003.0 cumplet ⇒>=

−×=ε



mkNmmNM n ..201..102012

1104351103002185.090.0. 6 =×=

−×××××=φ

Se concluye que la capacidad mecánica de la viga es un 55% de la exigida por las cargas externas, y se debe modificar la sección. Una primera alternativa es considerar el refuerzo a compresión y aumentar al máximo admisible la relación c / dt => Sea c / dt = 0.375 => c = 163 mm y a = 139 mm

21 .1772

4201393002185.0

mmAs =×××

=

mmNM n ..102722

1394354201772 6

1 ×=

−××=

El Mu = 368 kN.m > 0.90 x 272 = 245 kN.m => sección con A´s: Sea d´= 65 mm

mkNM ..123245368. 2 =−=φ

yss ff =⇒>=

−

×= ´´ 0020.00045.065

65163003.0ε

( )2

6´ .879

6543542090.010123

mmAs =−××

×= ó Usar 2 # 8 = 1020 mm2

2.26518791772 mmAs =+= ó Usar 2 # 11 + 1 # 9 = 2685 mm2

Sin embargo en el apoyo la viga recibe parte del refuerzo positivo de la mitad de la luz constituido por 2 # 8 + 2 # 7 que se puede utilizar como refuerzo a compresión en la zona de momento negativo. En este caso las dos barras # 8 se deben llevar hasta el apoyo para garantizar el trabajo del doble refuerzo. Revisando la sección doblemente reforzada se tiene: 0033.0.min =ρ

0206.0435300

2685=

×=ρ 0078.0

4353001020´ =

×=ρ

( ) ( ) 0128.00078.00206.0´ =−=− ρρ

( )0172.0

420612612

435420652185.085.0

=−

××

×××

Se cumple que ( ) ys ff <⇒<− ´´ 0172.0ρρ

MPaMPaf s 420.3544354200128.0

652185.085.01612´ <=

×××××

−×=



mma .1433002185.0

35410204202685=

×××−×

= mmc .16885.0

143==

( )

0050.00048.0168

168435003.0 ≅=

−×=tε

( ) ( ) mmNM n .104126543535410202

14343535410204202685 6×=−××+

−××−×=

La capacidad de la sección es 0.90 x 412 = 371 kN.m > 368 kN.m => Se acepta. Revisando los momentos producidos por las cargas externas mayoradas , tabla 4.6, se puede concluir que las dimensiones de 300 x 500 son adecuadas para las vigas intermedias ya que las cantidades de refuerzo permiten obtener un comportamiento dúctil de la estructura. Procediendo de igual manera a la anterior en la tabla 4.13 se presentan las cantidades de acero requeridas en todas las vigas intermedias indicadas.

Tabla 4.13 Refuerzo a flexión en vigas intermedias. f´c = 21 MPa

Viga

Apoyo1 Centro

1-2 Apoyo2 Centro

2-3 Apoyo3 Centro

3-4 Apoyo4

A 2 # 6 3 # 6

4 # 6 2 # 6

4 # 6 3 # 6

2 # 6

A ́y A” 2 # 8 3 # 8

4 # 8 2 # 8

3 # 8

4 # 8 2 # 8

3 # 8

2 # 8

B

2 # 8 + 1 # 6

4 # 8

2 # 10 + 1 # 11 3 # 8

3 # 8

2 # 10 + 1 # 11 3 # 8

4 # 8

2 # 8 + 1 # 6

B´, B”, C, C´, C” 2 # 8 3 # 8

3 # 10 3 # 8

3 # 8

3 # 10 3 # 8

3 # 8

2 # 8

D 2 # 8 4 # 8

3 # 10 3 # 8

4 # 8

3 # 8 4 # 6

2 # 6

D´ 2 # 8 3 # 8

3 # 10 3 # 8

3 # 8

2 # 6 ---- ----

D” 2 # 8 3 # 8

3 # 10 3 # 8

3 # 8

2 # 6 ---- ----

E 2 # 6 3 # 6

4 # 8 3 # 6

3 # 6

2 # 6 ---- ----



1.9 m 5.0 m A 2 # 6 4 # 6 4 # 6 2 # 6 3 # 6 2 # 6 3 # 6 1 8.0 m 2 A ́ 3 8.0 m 4 4 # 6 450 mm Losa 3 3 # 6 Sección A-A ́ 300 mm

Figura 4.23.a Refuerzo para la viga intermedia A A 2 # 8 4 # 8 4 # 8 2 # 8 3 # 8 3 # 8 3 # 8 1 2 A ́ 3 4 4 # 8 450 mm Losa 3 3 # 8 Sección A-A ́ 300 mm

Figura 4.23.b Refuerzo para las vigas intermedias A ,́ A”



A 2 # 8 + 1 # 6 2 # 10 + 1 # 11 2 # 10 + 1 # 11 2 # 8 + 1 # 6 4 # 8 3 # 8 4 # 8 1 3 # 8 2 A ́ 3 4 3 # 8 Losa 2 # 10 + 1 # 11 450 mm 3 4 # 8 Sección A-A ́ 300 mm

Figura 4.23.c Refuerzo para la viga intermedia B A 2 # 8 3 # 10 3 # 10 2 # 8 4 # 8 3 # 8 4 # 8 1 3 # 8 2 A ́ 3 4 3 # 8 3 # 10 450 mm Losa 3 3 # 8 Sección A-A ́ 300 mm

Figura 4.23.d Refuerzo para las vigas intermedias B ,́ B”, C, C ́y C”.



Ejemplo 4.7 Diseñar a flexión las vigas principales del ejemplo 4.1. Utilizar un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Solución: La sección de estas vigas es de b = 400 mm y h = 700 mm con una altura efectiva d = 635 mm para refuerzo en una capa y d ́ = 65 mm para el refuerzo a compresión. Las cantidades de refuerzo limite son:

• As min. = 0.0033 x 400 x 635 = 838 mm2 ó 2 # 8 => ΦMn = 233 kN.m Para una relación c / dt = 0.300 => As = 2752 mm2 ó 4 # 10 => ΦMn = 667 kN.m Se puede apreciar en la tabla 4.9 que las vigas 1 y 4 quedan cubiertas por las estas cantidades de acero pero las vigas 2 y 3 requieren cantidades muy superiores. Si se utiliza el doble refuerzo solo se logra aumentar hasta un 30% la capacidad en flexión por lo que es necesario aumentar las dimensiones de la sección. Sea b = 500 mm y h = 800 mm =>

• As min. = 0.0033 x 500 x 735 = 1213 mm2 ó3 # 8 => ΦMn = 404 kN.m Para una relación c / dt = 0.300 => As = 3983 mm2 ó 8 # 8 => ΦMn = 985 kN.m En el limite admisible cuando c / dt = 0.370 y et = 0.0051 ΦMn = 1150 kN.m para sección simplemente reforzada. Se concluye que la sección 500 x 800 mm para las vigas 2 y 3 es adecuada para absorber los momentos producidos por las cargas externas. A pesar de que al modificar las dimensiones de la sección varia la carga muerta por el aumento del peso propio, es necesario revisar los cálculos anteriores para hacer las modificaciones respectivas. En este ejercicio se continuara el diseño sin esta revisión con el fin de mostrar como es el procedimiento general hasta lograr el diseño adecuado. La tabla 4.14 ilustra el refuerzo de las vigas principales y la figura 4.24 muestra la posición y el detallado para cada una.

Tabla 4.14 Refuerzo en las vigas principales del ejemplo 4.1

Viga A A-B B B-C C C-D D D-E E

1 ( 400 x 700 )

4 # 8

4 # 8

4 # 10

3 # 8

6 # 8

3 # 8

4 # 10

4 # 8

4 # 8

2 ( 500 x 800 )

3# 11

4 # 11

5 # 10 + 3 # 11

4 # 10

5 # 10 + 3 # 11

4 # 10

5 # 10 + 3 # 11

4 # 11

3 # 11

3 ( 500 x 800 )

3 # 11

4 # 11

5 # 10 + 3 # 11

4 # 10

5 # 10 + 3 # 11

4 # 10

6 # 11

2 # 11

2 # 11

4 ( 400 x 700 )

4 # 8

4 # 8

4 # 10

3 # 8

6 # 8

4 # 8

4 # 8 ----

----



3 m 8 m 8 m 8 m 3 m 4 # 8 4 # 10 6 # 8 4 # 10 4 # 8 4 # 8 3 # 8 3 # 8 4 # 8 12 m 12 m 12 m 12 m A B C D E 4 # 10 ( 4 # 8 ) 700 mm Amarres transversales # 3 ( Cortante + Torsión ) 4 # 8 ( 3 # 8 ) 400 mm

Figura 4.24 Refuerzo requerido en las vigas 1 y 4 del ejemplo 4.1

3 m 8 m 8 m 8 m 3 m 3 # 11 6 # 11 5 # 11 6# 11 3 # 11 4 # 10 3 # 10 3 # 10 4 # 10 12 m 12 m 12 m 12 m A B C D E



6 # 11 ( 3 # 11) 800 mm Amarres transversales # 3 ( Cortante + Torsión ) 4 # 10 500 mm

Figura 4.25 Refuerzo requerido en las vigas 2 y 3 del ejemplo 4.1 4.5.5 Planos y detalles del sistema estructural diseñado Los esquemas del detallado del refuerzo, colocación, recubrimientos, ganchos, anclajes y conexiones de los diferentes elementos del sistema estructural se deben presentar en formatos adecuados a las oficinas de planeación locales para su legalización y oficialización ante las autoridades competentes. Los esquemas junto con las memorias de calculo deben estar firmadas por el ingeniero estructural quien es el responsable de la estabilidad y confiabilidad de la estructura. Igualmente deben estar convenientemente revisadas por un perito antes de someter a la aprobación de la oficina estatal. Los dibujos, planos e instructivos de campo deben realizarse en hojas de papel Albanene de tamaño 700 x 500 mm ( media hoja de plano) o de 1000 x 1400 ( hoja completa). En general en una hoja se acomodan la planta y sección típica de losa, los nervios o viguetas y las vigas. En otra hoja se pueden acomodar las columnas, muros, escaleras y detalles especiales de nudos y por lo general la fundación, vigas de amarre y muros de contención van en una hoja aparte. Como ilustración se presenta en la figura 4.26 los planos de una edificación en donde se puede apreciar la forma general como estos se pueden distribuir en cada una de la hojas. Es importante anotar que cada plano debe contener recomendaciones generales sobre materiales, procesos constructivos, cargas y características de obra.

losas1d

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