..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.

......

MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2)บทที่ 3 สมการเชิงเสนอันดับสอง (ชุดที่ 2)

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย

ภาควิชาคณิตศาสตรและสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

เทอม 2/2557

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 1 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

สมการเชิงเสนอันดับสองไมเอกพันธ.บทนิยาม 3.4..

......

สมการเชิงเสนอันดับสองไมเอกพันธ คือ สมการที่อยูในรูป

a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = g(x) −−− (1)

เมื่อ a(x),b(x), c(x) และ g(x) เปนฟงกชันตอเนื่องสำหรับบางชวงเปด I ที่ g(x) ̸= 0

และจะมีสมการอนุพันธเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลองคือ

a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = 0 −−− (2)

ตัวอยางของสมการเชิงเสนอันดับสองไมเอกพันธ

2y′′ + 18y = 6 tan(6x)(1 + x2)y′′ + 4y′ + 5xy = ln x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 2 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ทฤษฎีบท 3.4..

......

ถา a(x),b(x), c(x) และ g(x) เปนฟงกชันตอเนื่องสำหรับบางชวงเปด I โดยมีy1(x), y2(x) เปนผลเฉลยของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง (2) และW(y1, y2) ̸= 0 ทุกๆ x ∈ I แลวผลเฉลยทั่วไปของสมการ (1) คือ

y(x) = yc(x) + yp(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + yp(x)

โดยที่ yc(x) เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลองกับ (2) และyp(x) เปนคำตอบเฉพาะหรือคำตอบเติมเต็ม (complementary solution) ของสมการ (1)

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 3 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะการหาคำตอบของสมการเชิงเสนไมเอกพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่กอน นั่นคือสมการ

ay′′ + by′ + cy = g(x)

ซึ่งสรุปเปนขั้นตอนไดดังนี้(i) หา yc(x) จากสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง คือสมการ

ay′′ + by′ + cy = 0

(ii) หา yp(x) ซึ่งเปนคำตอบเฉพาะของสมการ ay′′ + by′ + cy = g(x) โดยมีวิธีหา2 วิธี กลาวคือ 1. วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ และ 2. วิธีแปรผันพารามิเตอร

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 4 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

1. วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ (Undertermined Coefficients)

การจะใชวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์นั้นตองอยูภายใตเงื่อนไข 2 ขอ กลาวคือ(i) สัมประสิทธิ์ของสมการเอกพันธที่สอดคลองนั้นตองเปนคาคงที่(ii) เทอมของ g(x) ตองอยูในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งตอไปนี้ กลาวคือ

g(x) = P(x)eαx cos(βx)หรือ g(x) = L(x)eαx sin(βx)

โดยที่ P(x), L(x) เปนฟงกชันพหุนามฟงกชัน g(x) อาจจะอยูในรูปแบบขางตนหรืออยูในรูปแบบผลรวมของฟงกชันในรูปแบบขางตนก็ได

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 5 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

ถา g(x) เขียนอยูในรูปแบบผลรวมของฟงกชันในรูปแบบขางตน นั่นคือ

g(x) = g1(x) + g2(x) + ...+ gm(x)

โดยที่ gi(x) สอดคลองกับรูปแบบในเงื่อนไขของวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ เราสามารถหาคำตอบเฉพาะโดยการเขียนสมการออกมาเปน m สมการ ดังนี้

ay′′ + by′ + cy = g1(x)ay′′ + by′ + cy = g2(x)

...ay′′ + by′ + cy = gm(x)

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 6 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

จากนั้นก็ทำการแกสมการเพื่อหาคำตอบเฉพาะของแตละสมการขางตนสมมติคำตอบเฉพาะของแตละสมการขางตนเปน yp1(x), yp2(x), ..., ypm(x)ดังนั้น คำตอบเฉพาะของสมการ

ay′′ + by′ + cy = g(x)

คือyp(x) = yp1(x) + yp2(x) + ...+ ypm(x)

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 7 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.14..

......

จงหาคำตอบเฉพาะ yp ของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ − 3y′ − 4y = 3e2t

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 8 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 9 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 10 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.15..

......

จงหาคำตอบเฉพาะ yp ของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ − 3y′ − 4y = 4 sin 2x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 11 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 12 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 13 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.16..

......

จงหาคำตอบเฉพาะ yp ของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ − 3y′ − 4y = 4x2

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 14 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 15 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 16 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.17..

......

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ − 5y′ + 6y = 3e2x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 17 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 18 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 19 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 20 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.18..

......

จงหาคำตอบเฉพาะ yp ของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x + 2 sin x− 8e−x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 21 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 22 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 23 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 24 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.19..

......

จงหาคำตอบของปญหาคาเริ่มตนของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ − 4y′ − 12y = 3e5x; y(0) = 18

7, y′(0) = −1

7

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 25 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 26 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 27 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 28 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.20..

......

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ − 3y′ − 4y = 4x2 + 4 sin 2x+ 3e2x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 29 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 30 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 31 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 32 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหัด..

......

จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) y′′ − 10y′ + 25y = 30x+ 3

(ii) y′′ − 4y′ − 12y = sin 2x(iii) y′′ + 4y′ + 5y = 2ex(iv) y′′ + 4y = xex + 4 sin 2x(v) 3y′′ + 2y = 5e2x + 2x3

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 33 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

2. วิธีแปรผันพารามิเตอร (Variation of Parameters)

วิธีแปรผันพารามิเตอรเปนวิธีที่แพรหลายกวาวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ เพราะวาสามารถใชไดกับสมการเชิงเสนไมเอกพันธในรูปแบบทั่วๆ ไป คือ สัมประสิทธิ์ไมจำเปนตองเปนคาคงที่

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 34 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ทฤษฎีบท 3.5..

......

สำหรับสมการเชิงเสนอันดับสองที่อยูในรูป

y′′ + p(x)y′ + q(x) = r(x)

สมมติวา y1(x), y2(x) ประกอบกันเปนเซตคำตอบมูลฐานของสมการเชิงเสนที่สมนัย

y′′ + p(x)y′ + q(x) = 0

แลวผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงเสนไมเอกพันธจะหาไดจากสูตร

yp(x) = y1(x)∫ y2(x)r(x)

W(y1, y2)dx+ y2(x)∫ y1(x)r(x)

W(y1, y2)dx

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 35 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.21..

......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ + y = cosec x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 36 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 37 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 38 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 39 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.21..

......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

2y′′ + 18y = 6 tan 3x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 40 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 41 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 42 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 43 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.22..

......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ − y = xex

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 44 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 45 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 46 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 47 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.ตัวอยาง 3.23..

......

กำหนดให y1(x) = x+ 1 เปนคำตอบหนึ่งของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลองของสมการ

(x+ 1)2y′′ − 2(x+ 1)y′ + 2y = 1

จงหาคำตอบของสมการนี้

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 48 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 49 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 50 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 51 / 52

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

.แบบฝกหัด..

......

จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) y′′ − 2y′ + y = e2x

(1+ex)2

(ii) xy′′ − (2x2 + 1)y′ = x5ex2(iii) 4y′′ + y = 2 sec( x2)(iv) y′′ − 4y′ + 4y = (x+ 1)e2x(v) x2y′′ − 2xy′ + 2y = x ln x

อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 52 / 52