10 febrero 2015

Actividad 1. Límite de funciones

Propósitos: Ejecutar cálculos de límites de funciones y aplicar el concepto de límite a situaciones reales.

Instrucciones: Realiza lo que se pide en cada uno de los siguientes ejercicios, incluyendo todos los procedimientos (si es el caso), que te permitan llegar a la solución.

1. Determina los límites que se indican a continuación:

Nota 1: Para cualquier función f(x), se tiene que el límite de la función cuando 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎, el límite es el número constante que resulta de sustituir el valor de “a” en la función.

𝑎𝑎) lim𝑥𝑥→2

3𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 + 10

lim𝑥𝑥→2 3(2)2 − 11(2) + 10 = 12 − 22 + 10 = 𝟎𝟎

𝑏𝑏) lim𝑥𝑥→−1

7𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥 − 4

lim𝑥𝑥→−1 7(−1)3 + 5(−1) − 4 = − 7 − 5 − 4 = −𝟏𝟏𝟏𝟏

𝑐𝑐) lim𝑥𝑥→0

4 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2 − 1

lim𝑥𝑥→0

4 − 0(0)2 − 1

=4−1

= −𝟒𝟒

𝑑𝑑) lim𝑥𝑥→1

2𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥4𝑥𝑥2 + 5

lim𝑥𝑥→1

2(1)4 − 3(1)4(1)2 + 5

=2 − 34 + 5

= −19

= −𝟏𝟏𝟗𝟗

Nota 2: Para evaluar el límite de una función racional en el infinito primero es necesario dividir a toda la función entre la mayor potencia, en este caso x2:

𝑒𝑒) lim𝑥𝑥→∞

7𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 4

lim𝑥𝑥→∞

�7𝑥𝑥2

𝑥𝑥2−

7𝑥𝑥𝑥𝑥2

+4𝑥𝑥2�

lim𝑥𝑥→∞

�7 −7𝑥𝑥

+4𝑥𝑥2�

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Sustituyendo tenemos:

lim𝑥𝑥→∞

�7 −7∞

+4∞2� = 7 − 0 + 0 = 𝟕𝟕

𝑓𝑓) lim𝑥𝑥→∞

6𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 43 − 2𝑥𝑥2

lim𝑥𝑥→∞

�6𝑥𝑥2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥2

3𝑥𝑥2 −

2𝑥𝑥2𝑥𝑥2

�

lim𝑥𝑥→∞

�6 − 5

𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥2

3𝑥𝑥2 − 2

�

Sustituyendo tenemos:

lim𝑥𝑥→∞

�6 − 5

∞ + 4∞2

3∞2 − 2

� = 6 − 0 + 0

0 − 2=

6−2

= −𝟑𝟑

2. Calcula ¿Cuál será el costo promedio si la producción aumenta de manera

indefinida, cuando se sabe que el costo unitario es de $55 y el costo fijo es de $5,000?

𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 55𝑥𝑥 + 5000

𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) =𝐶𝐶(𝑥𝑥)𝑥𝑥

𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 55 +5000𝑥𝑥

lim𝑥𝑥→∞

𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐶𝐶𝑥𝑥→∞

�55 +5000𝑥𝑥

�

Sustituyendo tenemos:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝐶𝐶𝑥𝑥→∞

�55 +5000∞

� = 55 + 0 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑. Nota 3: En este caso, la mayor potencia es x, por lo que al ser igual a 1, no es necesario dividir a toda la función, ya que el resultado sería el mismo.

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3. Calcula, si La población de determinada comunidad en función del tiempo 𝑡𝑡 (en años), es 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 20,000 − 10,000

(𝑡𝑡+2)2. ¿Cuál será la población dentro de una cantidad ilimitada de años?

𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 20,000 −10,000

(𝑡𝑡 + 2)2

Resolviendo el binomio (t+2)2, tenemos:

(a-b)² = a² + 2ab + b2

t2+2(t)(2)+(2)2 = t2+4t+4, sustituyendo:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝐶𝐶𝑥𝑥→∞

𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐶𝐶𝑥𝑥→∞

�20,000 −10,000

𝑡𝑡2 + 4𝑡𝑡 + 4�

Dividiendo a toda la función entre la mayor potencia, en este caso t2:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝐶𝐶𝑥𝑥→∞

�20,000𝑡𝑡21𝑡𝑡2

−10,000𝑡𝑡2

𝑡𝑡2𝑡𝑡2 + 4𝑡𝑡

𝑡𝑡2 + 4𝑡𝑡2�

𝑙𝑙𝑙𝑙𝐶𝐶𝑥𝑥→∞

�20000 −10,000𝑡𝑡2

4𝑡𝑡 + 4

𝑡𝑡2�

Sustituyendo tenemos:

𝑙𝑙𝑙𝑙𝐶𝐶𝑥𝑥→∞

�20000 −10,000∞2

4∞ + 4

∞2

� = 20000 −0

0 + 0= 𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑.

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