matematicas 3
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123456TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
E.A.P. INGENIERÍA CIVIL
MATEMÁTICA
DOCENTE: CHUPA ALMANZA SERGIO MARTÍN
DICENTE: CONDORI FERREYROS WENDY MABEL
GRUPO: “B”
2014
1
MATEMÁTICA
Números Reales
N = { 0,1,2,3,4…}
Z = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Q = { mn , , n ≠ 0 , m, n, Є Z } = { … −12 , 0 , 3
4 … }
J = { √2 , √3 , π , e }
Intervalos
[ a , b ] →
A B
[ a , b [ →
A B
] a , b ] →
A B
] a , b [ →
A B
2
Ejercicios:
A : 2<x≤5¿¿
B: [ 1 , 6 ]
Hallar: A ∩ B , A ᴜ B , A – B
a)
A ∩ B = ] 2 , 5 ]
A ᴜ B = [ 1 , 6 [
A – B = ф
Ó
B – A : [ 1 , 2 [ ᴜ [ 5 , 6 [
b) U = R
C = { X , Є , R , 2 < X ≤ 5 }
D = { X , Є , R , -2 ≤ X < 10 }
U = R
C = ] 2 , 5 ]
D = [ -2 , 10 [
3
i) C – D = ф
D – C = [ -2 , 2 [ ᴜ [ 5 , 10 [
u) D῾ – C
* D῾ = ]−∞ , −¿2 ] ᴜ [ 10 , ∞ [
* C = ] 2 , 5 ]
→ D῾ – C = < −∞ , −2 [ ᴜ [ 10 , ∞ >
Radicales
Índice
n√A Radial
Radicando
4
Observamos:
√−25 = Ɇ
2√−8 = -2
a) √−25 = Ɇb) 3√−8 = -2c) 3√27 = 3d)√100 = 10
Ejercicios : Reducir
a)5√255√3
=5√ 253
b)5√16√2
=2.5√162
2.5√25=
10√162
10√25=10√ 162
32=10√8
c)4√729
√3=
2.4√7292
2.4√34=
8√7292
8√81
d) √ab3√ab
e)√18+√100−√2−√83√2+10−√2−2√2Rpta :10
f) 3√24√8
Racionalización
Existen 3 tipos
5
i)1
√B ii) 1
√A−√B iii) 1
n√Am
Primer Caso : 1
√A
Ejercicios :
1) 2√3
x √3√3
⟹ 2√3¿¿
2) −5√2√7
x √7√7
3) 23√2
x √2√2
⟹ 2√23¿¿
4) 8√5
x √5√5
⟹ 8√5¿¿
Segundo Caso : 1
√A−√B
- Por diferencia de cuadrados (a+b ) (a−b )=a2−b2
PRIMERA PRACTICA CALIFICADA
1.- RESOLVER:
6
a) 27√2a2b2 (
7√26a5b3
7√26a2b3 )=2.277 . a
57 . b
37
2ab=2
67 . a
−27 .b
−47
b) 53√2−1 (
3√22+3√2+1
3√22+3√2+1 ) 5(
3√22+3√22+1)
3√22+13=5
3√22+53√22+5
1=5.2
23+5.2
13+5
c) 13√a− 3√b (
3√a2+3√a . 3√b+ 3√b2
3√a2+3√a . 3√b+ 3√b2 )= 1
(3√a3−
3√b3)=
3√a2+ 3√ab+ 3√b2
a−b
d) √18+√50+√2−√8⇒√9.2+√25.2+√2−√4.2
⇒3√2+5√2+√2−2√2=7 √2
3√24√8⇒
3√2. 234=
3√274⇒ 2
712
Sean U = R
A={xx ∊ R−S≤ X<0} B={xx ∊ R ,−1≤x ≤3 }C={xx ∊ R ,X<−2˅7>2} D={x
x∊ R ,−4<x<2 }
1 ) ( A∪B )−D⇒ [−5,3 ]−¿ 4,2>⇒ [−5,4 ]∪ [2,3]
2¿A−(B∩C )¿⇒5 ;0 [−¿2,3 ]⇒ ¿−5 ;0¿
3) A∩ (C−(D∆ B ) )⇒ (D−B )∪ (B−D )⇒¿−4 ;−1¿
A∩ (C−(D∆ B ) )⇒ ( [−∞ ;−2 ]∪ [2 ;∞ ] )−(]−4 ;−1¿
C−(D∆ B )=[−∞ ;−4 ]
A∩ (C−(D∆ B ) )⇒ [−5 ;0 ]∩ [∞;−4 ]
A∩ (C−(D∆ B ) )⇒ [−5 ;−4 ]
4) A’∩ (C∪B )⇒ [−∞ ;−2 ]∪ [−1 ;∞ ]
7
A’=[−∞ ;−5 ]∪ [0 ;∞ ]
A’∩ (C∪B )=( [−∞ ;−5 ]∪ [0 ;∞ ] )∩ ( [−∞;−2 ]∪ [−1 ;∞ ] )
A’∩ (C∪B )=[−∞;−5 ]∪ [−1; ∞ ]
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Son igualdades que nos relacionan dos cantidades. Son conocidas también Ecuaciones Liniales, además tiene una sola solución ó Raíz.
EJERCICIOS
X-1 _ X-3 = -1 6 2 X – 1 – 3X – 9 = -1 6- 2X =6(9)
X = - 64/2
X = -32
2(2X – 3) = 6 + X- 4X – 6 = 6 + X 3X = 12 → X = 12/3 → X = 4
4(X – 10) = 6(2 – X) – 6X 4X – 40 = 12 – 6X – 6X 16X = 40 + 12X = 52/16X = 13/4
8
SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICA
I. RESOLVER :
a.2−[2 ( x+1 )− x−32
]=2 x3−5 x−3
12+3 x
Solución:
2−[(2 )(2 )
(2 x+2)− x+32
]=44( 2 x
3)−5x−3
12+(3 x) 12
12
2−[ 4 x+42
− x+32
]=( 8x12
)−5 x−312
+ 36 x12
22(2)−3 x−1
2=39x+3
12
−3x−32
=39 x+312
−3x−32
=39 x+312
−3 x−3=39 x+36
6 (−3 x−3)=39 x+3
18−3=39 x+18x
x=1557
b.
3x+17
=2−4 x3
=−5 x−414
+7 x6
9
Solución:
(3 )(3 )
3x+17
=77
2−4 x3
=22−5 x−4
14+7 x
688
9 x+3−14+18x21
=−10 x−8+56 x48
37 x−1121
=46 x−848
1776 x−966 x=−168+528→x=2015
c. 3(x−5)2−27=0
Solución:
3(x¿¿2−10x+25)−27=0¿
3 x2−30 x+48=0
x❑−8=0
3 x❑−6=0
(x−8)(x−6)=0
x=8
x=2
d.Dse.(x−5)2−( y+5)2=52
Solución:
y2−10 x+25− y2−10 x+25=25❑
−20 x❑=−25→❑x=54
f. (x−1)2+2=0
10
Solución:
x2−2 x+1+2=0
x❑3=0
x❑−1=0
(x+3)(x−1)=0
x=−3
x=1
II. DESARROLLAR:
a.−X +3Y −ZX +4 Y ¿
−6Y ¿+2Z ¿¿ 4 ¿=¿5 ¿=¿3 ¿
Solución:
−1 3 −11 4 02 −6 2
−1 31 42 −6
(6 )−(6)=0
b.−3 x −Y −Z5 X −2Y + z−X +Y +3 Z
¿ −4 ¿=¿6 ¿=¿0 ¿
Solución:
−3 −1 −15 −2 1−1 −1 3
−3 −15 −2−1 1
(−22 )− (−20 )=−2
c.
5 x+3 y=10
x+4 y=−2
Solución:
11
}[ ]
}][
5 x+3 y=10
5 x=10−3 y
x=10−3 y5
x=−2+4 y
Igualando:
10−3 y5
=−2+4 y
10−3 y=10+20 y
0=17 y
y=0
x+4 (0)=−2
x=−2
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son conocidas como ecuaciones cuadráticas y donde sus soluciones son DOS siempre, ó DOS raíces.
Para resolver se usan 2 métodos:
1)Por factorización.2)Por fórmula.
1)POR FACTORIZACION
Al resolver ecuación de segundo grado se procede a factorizar, puede ser en Aspa ó Factor común.
X² - X – 12 = 0
12
X 3
X - 4
(X + 3) (X – 4) = 0
X + 3 = 0 X – 4 = 0X = - 3 X = 4
2) POR FORMULA
Para comprobar reemplace
EJERCICIOS
x=−b±√b2−4ac2a
x=−(−3)±√(−3)2−4 (1)(−1)
2(1)
x=3±√9+42
x=3+❑√132
x=3−❑√132
EJERCICIOS
X² - 5X = 0 SOLUCION
Por formula Por factorización
x=−(−5 )±√(−5 )2−4 (1 ) (0 )
2 (1 ) X² - 5X = 0
13
x=5±√252
X(X –
5) = 0 X = 0 X = 5
SISTEMA DE ECUACIONES
1) Por reducción.2)Por sustitución.3)Por igualación.4)Por gráfico.
POR REDUCCION
(- 2) X – 3Y = 5 X – 3Y = 5 2X + Y = 10 X – 3 (0) = 5 X = 5-2X + 6Y = - 10 2X + Y = 10 7Y = 0 Y = 0 POR SUSTITUCIONX - 3y = 5…………… I2x + y = 10…………..II
X = 3y + 5……………..IIIX – 3Y = 5
14
III en II X – 3(0) = 52(3Y + 5) + Y = 10 X = 5 6Y + 10 + Y = 10 7Y = 0 Y = 0
IGUALACION igualando I y II III en I X – 3Y = 5 3y + 5 = 10 - Y/2 X = 3Y + 52X + Y = 10 6Y + 10 = 10 – Y X = 5 Y =O………..IIIX = 3Y + 5………....I X = 10 – Y/2……….II
GRAFICAY = 0 X = 5
MÉTODO DE DETERMININACION
1 - 3
15
A = 2 1 = (1)(1) - (-3)(2) = 7 X = Ax Y = Ay
A A 5 -3 Ax = 10 1 = (5)(1) - (- 3)(10) = 35
1 5 Ay = 2 10 = (1)(10) - (5)(2) = 0
DE TRES VARIABLES
-2X – Y + 5Z = 162X + 7Y + 9Z = 03X – 4Y + 2Z = 6
-2 1 5 -2 1 A = 2 7 9 2 7 = ((-2).7.2 + 1.9.(-4) +5.2.2) – (3.7.5 + (-4).9(-2) + 2.2.1) =
3 -4 2 -4 2 = -268 16 -1 5 16 -1 Ax = 0 7 9 0 7 = -146 6 -4 2 6 -4
-2 16 5 -2 16 Ay = 2 0 9 2 0 = 448
16
3 6 2 3 2
-2 -1 16 -2 -1 Az = 2 7 0 2 7 = (3.7.16 + (-4).0.(-2) + 6.2(-1))-((-2).7.6+ (-1).O.3 + 16.2(-4) 3 -4 6 3 -4 =268X = Ax Y = Ay Z = Az A A A X = - 146/-268 Y = 448/-268 Z = 1
2° PRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICA
1: Resolver
A: 2-[2(x+1)-x-3/2] = 2x/3-5x-3/12+3x
Solucion
2-[2x+2-x-3/2]
8x-5x+3+36x/12
2-(4x+4-x+3)/2
39x+3/12
17
-8x+2y-13y=7
X=--7/19
B: 3x+1/7-2-4x/3 = -5x-4/14+7x/6
Solucion
18x+6-28+56x = -15x-12+49x
18x+56x+15x-49x = -12+22
X = ¼
C: 3(x-5)²-27 = 0
Solucion
3(x²-10x+25)-27 = 0
3x²-30x+75-27 = 0
(3x-6)(x-8) = 0
X = 2 x = 8
D: (x-3)²-(2x+5)² = -16
Solucion
x²-6x+9-(4x²+20x+25) = -16
x²-6x+9-4x²-20x-25 = -16
-x(3x+26) = 0 x = 0 x = -26/3
D: (y-5)²-(y+5)² = 5²
Solucion
18
-20y = 25
Y = -5/4
E: (x-1)²+2 = 0
Solucion
x²-2x+1+2 = 0
-2+-√2²-4(1)(3)/2
X = 2+√-8/2 X = 2-√-8/2
II) Desarrollar
-x+3y-z = 4
X+4y = 5
2x-6y+2z = 3
Solucion
A: ∆ = │-1 3 -1
1 4 0
2 -6 2│ = (-8+0+6) – (-8+0+6) = 0
B: -3x+y-z = -4 5x-2y+z = 6 -x+y+3z = 0
Solucion∆ = │-3 1 -1 5 -2 1
19
-1 1 3│ = ∆ = 2 ∆x = │-4 1 -1 6 -2 1 0 1 3│ = ∆x = 4
∆y = │-3 4 -1 5 6 1 -1 0 3│ = ∆y = 4
∆z = │-3 1 -4 5 -2 6 -1 1 0│ = ∆z = 0
X = ∆x/∆ = 4/2 = 2
y = ∆y/∆ = 4/2 = 2
z = ∆z/∆ = 0/2 = 0
C: 5x+3y = 10 x-4y = -2
Solucion 4)5x+3y = 10 3)x-4y = -2
20x+12y = 403x-12y=-6
20
X = 34/23
170 + 69y = 23069y = 60Y = 20/23
PRACTICA CALIFICADA NUMERO 3
RESOLVER:
1)2(x+ 12 )+3(x+ 1
3 )>4(x 14)
( x+1 )+( x+1 )> ( x+1 )x+1>0x>−1
2)2 x−3−4 (x2−5 )>20+5 x−4 x2
21
2 x+3>5x5 x<2x−3
3 x←3x<−1
3)7 x (2 x+5 )−5 x (2x+3 )<2 x+4¿2
14 x2+35 x−10 x2−15x<4 x2+16 x+16
20 x<16 x+16
4 x<16
x<4
4) (4 x+2 ) ( 4 x+9 )≤¿
16 x2+36 x+8x+18≤16x2+36+48 x48 x+36≥18+44 x
4 x≥−18
x≥−92
5)√3 x−√3≥ √33
√3 ( x−1 )≥ √33
x−1≥13
3 x−3≥13 x≥4
x≥43
II Calcular
a) (2 x+1 ) ( x+1 )≥ ( x+5 ) x
2 x2+2 x+x+1≥ x2+5 x
x2−2 x+1≥0¿
x ∊ R
22
b) (3 x+2 ) ( x+1 )≤ ( x+2 )(x−4)
3 x2+3 x+2 x+2≤ x2−4 x+2 x−8
3 x2+5 x+2≤x2−2 x−8
2 x2+7 x+10≤02 x5x2
a=2b=7c=10
x=−b±√b2−4ac2a
x=−(7 )±√72−4 (2 ) (10 )
2 (2 )x=−7±√49−80
4x=−7±√−31
4
x1=−7+√31
4x2=
−7−−√314
c) 4 x2−4 x+1≤0¿2 x−1≤0x≤12
d)7 x2+15x+2≥07 x1x2(7 x+1 ) (x+2 )≥0x1=−17
x2=−2
x≤−2˅ x≥−17
e) 3 x2+10 x+3≤03 x1x2
(3 x+1 ) ( x+2 )≤0x1=¿
ACTIVIDADES EN CLASE:
a) x²-5x+6≤0
x -3
x -2
x-3=-3
x= 3
x-2=0
23
x=2
x€[2,3]
2≤x≤3
b) 3x²-10x≥0
X(3x-10)≥0
X=0
X=10/3
x€<-∞,0]u[10/3,+∞>
c)3(x+1)(x-5)≤5-x
3(x²-5x-x+5)≤5-x
3(x²-6x+5)≤5-x
3x²-18x+15≤5-x
3x²-17x+10≤0
3x -2
X -5
24
2 3
+ - +
0 10/3
+ - +
(x-5)(3x-2)≤0
X=5
X=2/3
x€[-2/3,5]
d) 5x²+18x+9>0
5x -3
X -3
5x-3=0
X=3/5
x-3=0
x=3
3/5>x>3
xЄ<-∞,3/5[u]3,+∞>
e) 2x²-7x-4>0
2x 1
25
2/3 5
+ - +
3/5 3
+ - +
X -4
2x+1=0
X=-1/2
x-4=0
x=4
xЄ<-∞,1/2[u]4,+∞>
f) 3x²+10x+3≤0
3x 1
X 3
3x-1=0
X=1/3
x-3=0
x=3
xЄ[1/3,3]
1/3≤x≤3
26
-1/2
4
+ - +
1/3 3
+ - +
g) 7x²+15x+2≥0
7x 1
X -2
7x+1=0
X=-1/7
X+2=0
X=-2
xЄ<-∞,1/7[U]3,+∞>
1/7≥x≥2
h) (2x+1)(x+1)≥(x+5)x
2x²+2x+x+1≥x²+5x
2x²+3x+1≥x²+5x
x²2x+1≥0
x -1
x -1
x-1=0
27
-1/7
-2
+ - +
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Se procede a resolver como una inecuación cualquiera
Se subdivide en 2 tipos:
1: Con variable.
EJERCICIOS
1: 2x+1≥5x
x-5>x/2
2x+1≥5x
2x-5x≥-1
-3x≥-1
3x≤1
x≤1/3
x-5>x/2
x-x/2>5
x>10
C.S.={}
2: 2x+3>1
28
1/3
10
-x+2≥-1
2x+3≥1
2x≥-2
x≥-1
-x+2≥-1
-x≥-3
x≤3
xЄ[-1,3]
3: 2x+3<1
-x+6<3
2x+3<1
2x<-2
x<-1
-x+6<3
-x<-3
x>3
29
-1 3
4: 10(x+10)+x≤6(2x+1)
4(x-10)<-6(2-x)-6x
10(x+10)+x≤6(2x+1)
10x+100+x≤12x+6
11x+100≤12x+6
11x-12x≤6-100
-1x≤-94
x≥94
4x-40≤-12+6x-6x
4x≤-12+40
4x≤28
x≤7
C.S.={}
5: 3(2-5x)≥18-2x
x-2≤2x+10
30
-1 3
7 94
6-15x≥18-2x
-15x+2x≥18-6
-13x≥12
13x≤12
x≤12/13
x-2≤2x+10
-x≤10+2
-x≤12
x≥12
2: Con 2 variables.(2 dimensiones/R²/plano).
Ejercicios.
1: 2x+y≤3
X+y≥1
2x+y=3
x y0 33/2 0
31
12/13
12
y=3 {2.0+ y=30+ y=3
x=3 /2 {2.x+0=32 x=3
X+y=1
x y0 11 0
y≤3-x
y≥1-x
C.S ={6X,y}ЄR²/2x+y≤3 o x+y≤1}
2: x≥4
y≥2
32
3
2
1 1 2 3 4 5 6
x=4
y=2
C.S.={(x,y)ЄR²/x≥4 ^y≥2}
3: x+y≥0
2x-y≥0
x≤6
x+y≥0
x y1 -10 0
33
3
2
1 1 2 3 4 5 6
Solucion
X=4
Y=2
2x-y≥0
x y1 20 0
y≥-x y≥-x
2x≥y y≤2x
y≥-x
y≤2x
x≤6
34
4 3
2
1 1 2 3 4 5 6
Solucion
-1
-1
C.S.={(x,y)ЄR²/x+y≥0^2x-y≥0^x≤6}
4: x+y≥0
x-y≤0
y≥-x
x≤y_____y≥x
35
4 3
2
1
1 2 3 4 5 6
Solucion
C.S.{(x,y)ЄR²/x+y≥0^x-y≤0}
SISTEMA DE INECUACIONES CUADRATICAS O 2° GRADO.
Los sitemas de inecuaciones cuadráticas también se clasifican de igual manera que el de una sola variable.
Tambien hay de una sola variable y de dos variables.
De una variable.
1: x²-5x+4≤0
x²-1>0
x -4
x -1
(x-4)(x-1)≤0
X=3
X=1
x²-1>0
(x-1)(x+1)>0
X=1
x=-1
36
xЄ[1,4]
xЄ<-∞,-1[U]1,+∞>
C.S.=xЄ]1,4]
DE DOS VARIABLES.
NOTA:
1: y=x²
2: y=-x²
Nota1 y=x²
37
+ - +
+ - +
-1 1 4
Parabola.
2: y=|x|
3: y=|x| Funcion absoluta.
38
4: x²+y²=4
(x²+y²)= R²
R=2
Circunferencia.
Ejercicios.
1: x²-y<0
2x-4>0
x²<y…………….y>x²
2x<4…………..x>2
39
C.S.={x,y)ЄR²/x²-y<0^2x-4>0}
2: x²+y²≥81………R=9
x-y<8
x y0 -88 0
x<8+y
y+8>x
y>x-8
C.S.= {(x,y)ЄR²/x²+y²≥81^x-y<8}
40
3: y<|x|………….y=|x|
y>-x²…………..y=-x²
C.S.={(x,y)ЄR²/y<|x|^y>-x²}
INECUACIONES GRACCIONARIAS.
Para resolver las inecuaciones fraccionarias seguiremos el siguiente procedimiento.
Es de la forma P(x)>0 /Q(x)<0
Donde P(x) y Q(x) son polinomios no nulos de los coeficientes reales C.A. [Q(x)]≥1.
Para resolver dicha inecuación hay que tener en cuenta presente que P(x) y Q(x) tiene que ser factorizado Q(x)≠0.
Donde aplicaremos los puntos críticos.
Ejercicios.
¡: Resolver
a) x−3 /x+4≤2
41
x-3/x+4-2≤0
x-3-2(x+4)/x+4≤0
x-3-2x-8/x+4≤0
-x-11/x+4≤0
X+11/x+4≥0
X+11≥0
X+4≠0
X+11=0
X=-11
X+4=0
X= -4
xЄ<-∞,11]U]-4,∞>
x≠0
xЄ<-∞,11]U[-4,∞>
b)x-2/x+4<x/x-2
x-2/x+4 – x/x-2 <0
(x-2)²-x(x+4)/(x+4)(x-2)<0
x²-4x+4-x²-4x/(x+4(x-2)0
42
-11 -4
+ - +
-8x+4/(x+4(x-2)<0 (x-1)
8x-4/(x+4)(x-2)>0
x≠-4,2
8x-4=0 x=1/2
x+4=0 x=-4
x-2=0 x=2
xЄ]-4,1/2[U]2,+∞>
c) 3x+1/2+x≤4+x/5-1
5x+1/2≤x-1/5
5x+1/2-x-1/5≤0
5(5x+1)-2(x-1)/10≤0
25x+5-2x+2/10≤0
23x+7≤0
x≤-7/23
d)X+1/x-3<7
X+1/x-3-7<0
X+1-7(x-3)/x-3<0
43
-4 1/2
- + - +
2
X+1-7x+21/x-3<0
-6x+22/x-3<0 (x-1)
6x-22/x-3<0
x=11/3
x=3
xЄ-∞,3[U]11/3,+∞>
e)2x-3/2>0
2x-3>0x>3/2
f) 3+2x/6-1≤x
3+2x-6/6≤x
2x-3/6≤x
2x-3≤x.6
2x-6x≤3
-4x≤3
4x≥-3
x≥-3/4
g)2(x+1)/3-x≤3x/2
44
3 11/3
+ - +
2(x+1)-3x/3≤3x/2
2x+2-3x/3≤3x/2
-x+2/3≤3x/2
-x+2/3-3x/2≤0
2(-x+2)-3(3x)/6≤0
-2x+4-9x/6≤0
-11x+4≤0
x≤-4/11
h)Expuesto impar
(x-1)(x-5)(x+1)
Exponente par se simplifica.
(x-1)(x-5)/x+1≥0x≠0x=1x=5x=-3
xЄ[-1,1]U[5,+∞>
45
-1 1
- + - +
5
xЄ]-1,1]U[5,+∞>
i) (x²+x+1)( x²-x+2)(x-5)/ (x²+x+2)(x+3)(x-5)≤0
1/(x+2)(x-1)(x+3)≤0
x=-2
x=1
x=-3
xЄ<-∞,-3]U[-2,1]
xЄ<-∞,-3[U]-2,1[
Ecuaciones Exponenciales.
ax=p
Ejercicios.
Resolver:
a) ax+1 = 8−5x
2x+1 = 23 (−5 x)
X+1 = 3(-5x)
X+1 = -15x
16x = -1
x = -1/16
46
-3 -2
- + - +
1
b)73 x−2 = 1
73 x−2 = 7°
3x-2 = 0
3x = 2
X =2/3
c) 2x−1 + 2x + 2x+1 = 7
2x = t
2x.2−1 + 2x + 2x.2 = 7
t/2 + t + 2t = 7
t/2 + 3t = 7
7t/2 = 7
t = 2
2x = t
2x = 21
x = 1
d)22+ x - 21+ x + 2x = ½
22.2x - 2.2x + 2x = ½
22(22 - 2 + 1 ) = ½
2x(3) = ½
2x = 1/6
Log 2x = log (1/6)
47
xlog2 = log (1/6)
x = log (1/6)/log 2
1. Si a > 1
am > an ↔ m > n
2. Si 0 < a < 1
am > an ↔ m < n
Resolver
a) 4√512x−3 > 5√128x+2
29 (x−3
4) > 27¿¿
9(x-3/4) > 7 (x+2/5)
9x-27/4 > 7x +14/5
45x -135 > 28x + 56
45x – 28x > 56 + 135
17x > 191
x> 191 / 17
b)52 x−3 - 25x+2 ≥ 0
2x-3 ≥ 2(x+2)
2x-3 ≥ 2x + 4
-3 ≥ 4
0
48
No tiene solución
c) 5√0.125(x+1) > 3√0.0635(x−2)
125/1000x+1 /5 > 625 /10000x−2/3
¿¿ >¿¿
3x+3/5 < 4x-8/3
9x+9 < 20x-40
-11x <-49
11x > 49
x> 49/11
Ecuaciones irracionales.
Para resolver seguimos el siguiente procedimiento.
n√A = B → A ≥ 0 ^ C.V.A ( Conjunto de valores admirables.)
Ejercicios
1)√ x−3 = 5
x-3 ≥ 0
x≥ 3
(√ x−3 ² = (5)²
x – 3 = 25
x = 28
49
C.S = {28}
2) √ x−16 – √ x+8 = -4
i) x-16 ≥ 0 → x ≥ 16
x+8 ≥ 0 → x ≥ -8
x> 16
ii) (√ x−16)² = (√ x+8 – 4)²
x-16 = (√ x+8)² - 8√ x+8 + 16
x-16 = x+8 - 8√ x+8 + 16
8√ x+8 = 8+16+16
8√ x+8 = 40
( √ x+8)² = (5)²
x = 17
x≥16 ^ {17}
C.S. = {17}
3) √2x+10 = 3x-5
2x+10 ≥ 0 → x≥ -5
50
3 28
-8 16
(√2x+10)² = (3x-5)²
2x+ 10 = 9x²-30x+25
0 = 9x²-32x-15
a= 9 b=-32 c=-15
x=−(−32)±√(−32)2−4 (9 )(−15)
2(9)
3)√x²-3x+2 + √2x²+ 3x-5 = 0
(x-2)(x-1) = 0 (x-1) (2x+5)
x = 2 x= 1
x = 1 x = -5/2
C.S. = {1}
3° PRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICA.
i. Resolverii.
a)2(x+1/2) + 3(x+1/3) > 4(x+1/4)
5x+2 > 4x+1
5x-4x > 1-2
x>-1
51
-1
b)2x-3-4(x²-5) > 20 + 5x – 4x²
2x-3-4x²+20 > 20+5x-4x²
2x-4x²+17 > 20+5x-4x²
17-20 > 5x-2x
-3 > 3x
-3/3 > x
x<-1
c) 7x(2x+5) – 5x(2x+3) < (2x+4)²
14x²+35x-10x²-15x < (2x)²+2.2x.4-(4)²
14x²+35x-10x²-15x < 4x+16x+16
4x²+35x-15x < 4x²+16x+16
20x-16x < 16
4x < 16
x < 16/4
x < 4
d)(4x+2)(4x+9) ≤ (4x+6)²
16x² + 36x + 8x + 18 ≤ (4x)² + 2.4.x.6 + (6)²
18-36 ≤ 48x 44x
-18 ≤ 4x
x ≥ -9/2
e)√3x-√3 ≥ √3/3
52
3(√3x-√3) ≥ √3
3√3x-3√3 ≥ √3
3√3x ≥ √3+3√3
3√3x ≥ 4√3
x≥ 4√3/3√3
II) Calcular
a)(2x+1)(x+1) ≥ (x+5)x
2x²+2x+x+1 ≥ x² + 5x
2x²+3x+1 ≥ x²+5x
x²-x² ≥ 5x-3x
x²+1 ≥ 2x
x²-2x+1≥0
(x-1)(x-1) = 0
x=1
b)(3x+2)(x+1) ≤ (x+2)(x-4)
3x²+3x+2x+2 ≤ x²-4x+2x-8
3x²+5x+2≤x²-2x-8
3x²-x²+2≤-2x-5x-8
2x²+2≤-7x-8
2x²+7x+2+8≤0
2x²+7x+10≤0
53
c) 4x²4x+1≤0
2x-1=0
X=1/2
d)7x²+15x+2≥0
x=−15±√152−4.7.2❑4 .7
x=−15±√225−5614
x=−15±√1692 14
x=−15±13/14
X= -15+13/14 = -1/7
X = -15-13/14 = -2
e)3x²+10x+3≤0
3x+1=0
X=-1/3
X+3=0
X=-3
54
-3
-1/3
xЄ[-3,-1/3]
4° PRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICA
I) Resolver
a) {5x+15 y ≤1506x+8 y ≤120
x≥0y ≥0
5x+15y ≤150
x Y0 1030 0
6x+8y ≤ 120
5x+15y ≤150
x Y0 1520 0
55
25
20
15
10
3025201510
b)2x-y ≥-3
x+y<2
2x-y≥-3
x y0 3-1/5
0
x+y<2
x y0 22 0
c) 3x+1 > 2x+5
2x+1 ≤ x+3
3x+1-2x-5 > 0
56
4
3
2
1 4321
x-4>0
2x+1-x-3≤0
x-2≤0
x>4
x≤2
II) resolver
a)y<|x|
y>-x²
y=|x|
y=-x²
b)x²+y² ≥ 4
x+y<1
57
x y0 11 0
c) x²+y²≤4
y<x²
58
6° PRACTICA CALIFICADA DE MATEMATICA.
I) Resolver:a)3x+1/2 + x ≤ 4+x/5
3x+1+2x/2 ≤ 4+x/5
5x+1/2 ≤ 4x/5
25x+5 ≤ 8+2x
23x≤3
x≤3/23
b)X- -x+2/x+1 >10
(x+1)x-1(-x+2)/x+1>10
(x+1)x+x-2/x+1>10
x²+x+x-2/x+1>10
59
x²+2x-2/x+1>10
x²+2x-2>10(x+1)
x²+2x-2>10x+10
x²-8x+8>0
c) 2x+x-1/x-3≥x+5
(x-3)2xx+x-1/x-3≥x+5
2x-6x+x-1/x-3≥x+5
-3x-1/x-3≥x+5
d) (x²-4)(x+7(x+1)x/(x+3)(x-6)≤0
II) Resolver:
a) 3x+1/3x−1 = 4
t+1/t-3 = 4
(t-1)t+1/t-3= 4
t²-t+1/t-3= 4
b)[(0,2)( x+1) (x−2)¿1/(x−3) > (0,0128)3x−1/83 x−1
2/10( x−1) (x−2)¿1x−3 > (128/10000)/83 x−1
2/10( x−1) (x−2)¿1x−3 > (2/2¿¿3 (3 x−1)
c) √6 x−1 = 3-2x
6x-1 ≥ 0
6x ≥ 1
60
x ≥ 1/6
(√ x−1¿¿² = (3-2x)²
6x-1 = 9-12x+4x²
0 = 9-12x+4x²-6x+1
0 = 10-18x+4x²
x=−(−18)±√(−18)2−4 .4 .10
2.4
x = 18+√164/8
x = 18-√164/8
d)√x²-x-6 ≤ 5
x²-x-6 ≤ 0
5 ≤ 0
x²-x-6 ≤ 5²
x²-x-6 ≥ 0
(x-3)(x+2) ≥ 0
x²-x-31 ≤ 0
e)√x-1/x+2 = 10
(√x-1/x+2)² = 10²
x-1/x+2 = 100
x-1 = 100(x-2)
x-1 = 100x – 200
61
Ejemplos:
1) El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (4): 22 = 42) El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (1): 20 = 1
3)
El resultado (y) es el exponente por el cual debemos elevar la base (1/2) para obtener la potencia (0,25):
, pero en este caso debemos despejar el exponente y:
4)
5)
Cuidado con esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone que ésta es 10:
, el 10 que indica la base, no se coloca, se supone, así:
6)
62
Aquí, otra nota importante, para no olvidar: Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L. La base e está implícita, no se escribe:
7)
Propiedades de los logaritmos
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo de a en base a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
63
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
Cambio de base:
1
2
64
3
4
5
65
1. Resolver la siguiente inecuación: log 4 (log 1/3 (log 2 X)) < ó = 0
Restricciones:
log 2 ----- X > 0log 1/3---- log 2 X > 0 = X > 2º (exp 0) = 1 X >1log 4 -----log 1/3 (log 2 X) > 0 = log 2 X < (1/3)º = 1 = log X < 1 / exp 2 = X < 2` = X < 2
Solución: (X > 0) ^ (X > 1) ^ (X< 2) (0, oo) U (1, oo) U (-oo, 2)
66
= (1,2)
Solución Parcial: log 4 (log 1/3 (log 2X)) < = 0 / exp 4 log 1/3 (log 2 X) < = 4 a la 0 (=1) / exp 1/3 log 2 X > = (1/3) a la 1 / exp 2 X > = 2 a la 1/3 = (3 raiz de 2)
2
3
4
2
Ejercicios propuestos 2
3 1) x2 - 5x + 6 = 04
67
56
7 2) x2 + 10x + 25 = 08
910
11 3) x2 + 2x + 2 = 012
1314
68
15 Por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.
16
17 4) 5x2 - 9x + 4 = 018
1920
21 5) x2 + 3x + 1 = 022
Tema 3
x2 − 6x + 8 > 0
69
x2 − 6x + 8 = 0
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
S = (-∞, 2) (4, ∞)
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0
Todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que cero.
S =
70
Valor Absoluto
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< 2 ó x>2 (−∞, 2 ) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades:
1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
Ejemplo: |5| = |−5| = 5
2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
71
Ejemplo:|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos .
|a + b| ≤ |a| + |b|
Ejemplo: |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números :
d(a, b) = |b − a|
Ejemplo: La distancia entre −5 y 4 es:
d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|
Ejercicio 3 resuelto Ejercicio 1 resuelto
2x + y = 3
x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
72
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3
x + y = 1
x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)
73
x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)
;
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1 No
INECUACIONES FRACCIONARIAS JERCICIOS PROPUESTOS
74
1) -X - 1 +1 < 3x – 1 4 2
Solución -X - 1 +1 < 3x – 1 4 2
-X - 1 + 1.4 < 2(3x – 1)4 4 4-X + 3 < 6x – 2 5 < 5x X >1 x є {1,+∞}
2) x -2 ≥ 0 x ≠ 4 X - 4X ≥ 2 x=4
C.S. ]-∞ , 2] U ]4, +∞ [
3) 4x – 1 - x ≥ 5 3 2Solución 4x – 1 - x ≥ 5 3 2
8x – 2 – 3x ≥ 30 5x ≥ 32 X ≥ 32/5 x є {32/5, +∞}
75
4) x – 5 - x ≥ 1 3 2Solución
x – 5 - x ≥ 1 3 22x – 10 +6x > 6 8x > 16 X > 2 x є {2, +∞}
5) x - 4 ≥ 3 X + 2
x - 4 - 3 ≥ 0 X + 2 x - 4 -3x -6 ≥ 0 X + 2 -2x – 10 ≥ 0 (-1) x≠ -2 X + 2 2x + 10 ≤ 0 X + 2
X = -2 2x + 10 =0 x є [-5, -2[ X= -5
6) x + 4 ≥ x X – 7 x + 1 x + 4 - x ≥ 0
76
X – 7 x + 1
(x + 4 )(x + 1) - x (X - 7) ≥ 0 (X – 7) (x + 1)
x2 + 5x + 4 - x2 – 7x ≥ 0 (X – 7) (x + 1)
12x + 4 ≥ 0 (X – 7) (x + 1)
X=7 x= -1 12x + 4 = 0 x є ]-1, -1/3] U ]7 , +∞[ X = -1/3
7) 2x – 3 ≥ 3 X – 2 2x – 3 – 3x +6 ≥ 0 X – 2 -x + 3 ≥ 0 X – 2 X - 3 ≤ 0 x ≠ 2 X – 2
X – 2
77
X=2 x=3 x є ]2, 3]
ECUACIONES EXPONENCIALES
1) 2x−1√3x−3 = √ 27
3x−3
2 x−1 = 271 /2 27 = 33
3x−3
2 x−1 = 33 /2
X - 3 = 3 2x - 1 2
2x – 6 = 6x – 3 -3 = 4x -3/4 = x
2) (4/10)x−1 = (625 /100)6 x−5
(2/5)x−1 = (25 /4)6x−5
( 25 )
x−1
= ( 25 )
−2( 6x−5)
X – 1 = -12x + 10 13x = 11 X = 11/13
3)10x+2 - 5 = 0log 10x+2 = log5 ¿)log10 = log5 x +2 = log5 x = log5 - 2
4)2x = 4log 22x = log 222
78
x log22❑ = 2 x .1 = 2 x=2
5)2x+1 + 2x + 2x−1 = 282.2x + 2x + (2/2)x = 282x (2 + 1 + ½) = 28 2x(7 /2) = 28 2x = 8 2x = 23 x=3
6) 2 - 3−x + 3x+1 = 02 - 1/3x + 3.3x = 02 – 1/t + 3t = 0 (t)2t – 1 + 3t 2 = 0 3t 2+¿ 2t – 1 = 0
−2±√22−4.3.−12.3
−2± 46
t 1 = -1 t 2 = 1 /3
7)21−x2
= 1/821−x2
= 2−3
1 - x2 = -3
x2 = 4
X = ±√ 4 x = 2 x= -2
INECUACIONES EXPONENCIALES
79
1) 5x−3> 255x−3> 52
x−3 > 2
X > 5
2) (0,5)x2− x > (0,5)2
x2 – x > 2 x2 – x - 2 > 0
(x + 2) ( x -1 )
X= -2 x = 1 x є ]-2, 1 [
ECUACIONES IRRACIONALES
1)√ x−1 = 2 √ x= 3 x=32 x=9
2) 3√10 x−6+4 = 5 3√10 x−6 = 1 10 x−6=13 x=7 /10
3)6+√3 x -2 = √ 12x – 1336 + 12√ 3x -2 + 3x – 2 = 12x – 1348x – 32 = 9x2 – 42x +49
80
9x2 – 10x +81 = 0(x - 9)(x -1)X= 9 x= 1
4)2√ x – 5 = 11 2√ x = 16 √ x = 16/2 √ x = 8 √ x = 8 X = 64
5)√2x−1 - √ x+4 = 0√2x−1 = √ x+4 2x – 1 = x + 4 X = 1
6)√ x2+3−x = 1 √ x2+3 = 1 + x x2+3 = 1 +2x +x2
2 = 2x X = 1
7)3√ x−27 = 0 √ x=27 /3 √ x=9
X = 81
81
INECUACIONES LINEALES
a) 3 x – 2 < 13 x – 2 < 13 x – 2 + 2 < 1 + 231 3 x <31 3x < 1Solución: S = ( - ∞ , 1 )
b) X+12
>4
X+12
>4
x + 1 > 4 . 2x + 1 > 8x > 8 - 1x > 7
Solución: S = ( 7 , + ∞ )
c) -2 x + 1 ≤ x – 3
- 2 x + 1 ≤ x - 3- 2 x - x ≤ - 3 - 1- 3 x ≤ - 4x ≥ - 4 : (- 3)
x>−43
Solución: S = [43 , + ∞)
82
d) −2+4 x−3 x+5>x+3+x4 x−3 x−x−x>2−5+3 −x>0 x<0
0
e) X2−8 x+12≤0x−2 x−6
(x-2) (x-6) x≤2 ; x≤6
2 6f) 4−2 t>t−5
−2 t−t>−5−4
−3 t>−¿9 3 t<9
t< 93
t<3
83
3
g) 2 x−3<4−2x
2 x+2x<4+3 4 x<7
x< 74
74
SISTEMA DE INECUACIONES
a) 7 ( x−1 )+2 ( x−1 )−3 ( x+1 )≤−5 ( x+1 )+11 x
7 x−7+2x−2−3 x−3≤−5 x−5+11 x 7 x+2x−3x−5x−11 x ≤5+3+2+7
0 x≤7
0≤7
0
b)4 x+6≥1
−x+4 ≥−1
4 x+6≥1 4 x≥1−6
84
4 x≥−5
x≥−54
−x+4 ≥−1 −x≥−1−4
−x≥−¿5x≤5
−54
5
c) 3 x+5 y≥30
3(0)+5 y ≥30 5 y ≥30
y ≥305
y=6 x=10
x+ y=8 x=8 y=8
d) 12+ y ≤8
(0 )+ y≤8
Y=8X=16
x+12y≤4
(0 )+ y≤4.2
Y=8
85
(0,8)(0,6)
(8,0)
(10,0)
(0,8)
(4,0)
(16,0)
X=4e) 5 x+2 y ≤20
x=4
Y=10
5 x+ y≥10 x=2 y=10
f) x+4 y≤60
x=60 y=15 3 x+2 y ≥48 x=16 y=24
EJERCICIOS PROPUESTOS
a) 3|x−1|+5|x−1|−2|x−1|=6
6|x−1|=6
|x−1|=1
x=1+1 = 2
86
(4,0)
(60,0)
(0,24)
(16,0)
(0,15)
(10,0)
(0,2) (0,4)
x=−1+1 = 0c.s{2,0}
b) |5 x−2|=3
5 x−2=−3˅5x−2=3 5 x=−3+2˅5 x=3+2 5 x=−1˅5 x=5
X =−15 ˅ x = 5
5
X=1
c.s {-15,1}
c) 2 x−|x−1|≤3
2 x−3≤|x−1||x−1|≥2 x−3 x−1≥2x−3˅x−1≤−2x+3 x−2 x≥−3+1˅ x+2≤3+1 −x≥−2˅3 x≤4
x≤2˅x ≤43
43 2
c.s <-∞; 2]
d) |X2−x|>2 x
X2−x>2x ˅X2−x←2 x X2−3 X>0˅ X2−x←2x
87
X ( x−3 )>0˅ X ( x+1 )<0
0 3
-1 0
c . s=(−∞ 0 )U (3 ,+∞)
ax^2+ (1-2a) x + a≥ 0 ; xєR
(〖1-2a)〗^2-4^2≤0
EJERCICIOS PROPUESTOS
1)ax2+ (1-2a) x + a≥ 0 ; xєR(1−2a¿¿2−42≤0
1-4a+4 a2−4a2≤0
A ≥1/4
aє [1/4;+ᾳ>
2)│5x +4│−│4+3 x ; xє<0; 3> X
88
0<x<3 → 4<5x+4<19 → │5x+4│ = 5x+4
0<x<3 → 4¿4+3 x<13→│4+3x │=4+3 x
A = 5x+4−(4+3 x)x
=2
3) │x−3│≤5↔−5≤ x−3≤5¿
❑
¿
−2≤x ≤8
→4≤ x+6≤141
14≤
1x+16
≤14
1a≤
1x+6
≤1b
A=14 b=4 B= a+1b−1
=5
4) │x│−12−x
≥0
(|x|−1 ) (|x|+1 )¿¿
x2−1x−2
≤0→¿¿
5)
│x2
x−1│=│
x2−16x+4
│
↔│x2
x−1│=│
( x+4 ) ( x−4 )x+4
│; x ≠−4
↔│x2
x−1│=│x−4│
↔x2
x−1=x−4 v
x2
x−1=−x+4
↔x=45 2 x2−5x+4=0
xє { 45}
89
6) ││x−1│−13
│=2
2≤│x−1│−1<33
7≤│x-1│<10│x−1│≥7↔x−1≥7 v x−1≤−7
x≥8 x≤−6
xє<−ᾳ ;−6¿u¿
7)│x+1│2+2│x+2│−3<0
│x+1 3│x+1│ -1
(|x+1|+3 ) (|x+1|−1 )<0
│x+1│<1
−2<x<0
Xє ]2;0[
90
to
Ejercicio 10 resuelto
2° PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICA
III. RESOLVER :
a. 2−[2 ( x+1 )− x−32
]=2 x3−5 x−3
12+3 x
Solución:
2−[(2 )(2 )
(2 x+2)− x+32
]=44( 2 x
3)−5x−3
12+(3 x) 12
12
2−[ 4 x+42
− x+32
]=( 8x12
)−5 x−312
+ 36 x12
22(2)−3 x−1
2=39x+3
12
−3x−32
=39 x+312
−3x−32
=39 x+312
−3 x−3=39 x+36
6 (−3 x−3)=39 x+3
91
18−3=39 x+18x
x=1557
b.
3x+17
=2−4 x3
=−5 x−414
+7 x6
Solución:
(3 )(3 )
3x+17
=77
2−4 x3
=22−5 x−4
14+7 x
688
9 x+3−14+18x21
=−10 x−8+56 x48
37 x−1121
=46 x−848
1776 x−966 x=−168+528→x=2015
c.
3(x−5)2−27=0
Solución:
3(x¿¿2−10x+25)−27=0¿
3 x2−30 x+48=0
x❑−8=0
3 x❑−6=0
(x−8)(x−6)=0
x=8
x=2
d. Dose. (x−5)2−( y+5)2=52
Solución:
92
y2−10 x+25− y2−10 x+25=25❑
−20 x❑=−25→❑x=54
f. (x−1)2+2=0
Solución:
x2−2 x+1+2=0
x❑3=0
x❑−1=0
(x+3)(x−1)=0
x=−3
x=1
IV. DESARROLLAR:
a.−X +3Y −ZX +4 Y ¿
−6Y ¿+2Z ¿¿ 4 ¿=¿5 ¿=¿3 ¿
Solución:
−1 3 −11 4 02 −6 2
−1 31 42 −6
(6 )−(6)=0
b.−3 x −Y −Z5 X −2Y + z−X +Y +3 Z
¿ −4 ¿=¿6 ¿=¿0 ¿
Solución:
−3 −1 −15 −2 1−1 −1 3
−3 −15 −2−1 1
(−22 )− (−20 )=−2
c.
5 x+3 y=10
93
}
}
[ ]
][
x+4 y=−2
Solución:
5 x+3 y=10
5 x=10−3 y
x=10−3 y5
x=−2+4 y
Igualando:
10−3 y5
=−2+4 y
10−3 y=10+20 y
0=17 y
y=0
x+4 (0)=−2
x=−2
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son conocidas como ecuaciones cuadráticas y donde sus soluciones son DOS siempre, ó DOS raíces.
Para resolver se usan 2 métodos:
4) Por factorización.5) Por fórmula.
3) POR FACTORIZACION
Al resolver ecuación de segundo grado se procede a factorizar, puede ser en Aspa o Factor común.
X² - X – 12 = 0
X 3
94
X - 4
(X + 3) (X – 4) = 0
X + 3 = 0 X – 4 = 0X = - 3 X = 4
4) POR FORMULA
Para comprobar reemplace
EJERCICIOS x=−b±√b2−4ac2a
x=−(−3)±√(−3)2−4 (1)(−1)
2(1)
x=3±√9+42
x=3+√132
x=3−√132
EJERCICIOS
X² - 5X = 0 SOLUCION
Por formula Por factorización
x=−(−5 )±√(−5 )2−4 (1 ) (0 )
2 (1 ) X² - 5X = 0
x=5±√252
X(X – 5) = 0
X = 0 X = 5
SISTEMA DE ECUACIONES
5) Por reducción.6) Por sustitución.7) Por igualación.8) Por gráfico.
95
POR REDUCCION
(- 2) X – 3Y = 5 X – 3Y = 5 2X + Y = 10 X – 3 (0) = 5 X = 5-2X + 6Y = - 10 2X + Y = 10 7Y = 0 Y = 0 POR SUSTITUCIONX - 3y = 5…………… I2x + y = 10…………..II
X = 3y + 5……………..IIIX – 3Y = 5
III en II X – 3(0) = 52(3Y + 5) + Y = 10 X = 5 6Y + 10 + Y = 10 7Y = 0 Y = 0
IGUALACION Igualando I y II III en I X – 3Y = 5 3y + 5 = 10 - Y/2 X = 3Y + 52X + Y = 10 6Y + 10 = 10 – Y X = 5 Y =O………..IIIX = 3Y + 5………....I X = 10 – Y/2……….II
GRAFICAY = 0 X = 5
MÉTODO DE DETERMININACION
1 - 3
96
A = 2 1 = (1)(1) - (-3)(2) = 7 X = Ax Y = Ay A A
5 -3 Ax = 10 1 = (5)(1) - (- 3)(10) = 35
23 5 Ay = 2 10 = (1)(10) - (5)(2) = 0
DE TRES VARIABLES
-2X – Y + 5Z = 162X + 7Y + 9Z = 03X – 4Y + 2Z = 6
-2 1 5 -2 1 A = 2 7 9 2 7 = ((-2).7.2 + 1.9.(-4) +5.2.2) – (3.7.5 + (-4).9(-2) + 2.2.1) =
3 -4 2 -4 2 = -268 16 -1 5 16 -1 Ax = 0 7 9 0 7 = -146 6 -4 2 6 -4
-2 16 5 -2 16 Ay = 2 0 9 2 0 = 448 3 6 2 3 2
-2 -1 16 -2 -1 Az = 2 7 0 2 7 = (3.7.16 + (-4).0.(-2) + 6.2(-1))-((-2).7.6+ (-1).O.3 + 16.2(-4) 3 -4 6 3 -4 =268X = Ax Y = Ay Z = Az A A A X = - 146/-268 Y = 448/-268 Z = 1
Ejercicios propuestos:
1) 4 x2−4 x+1≤0¿2 x−1≤0x≤12
97
2) 2 x−3−4 (x2−5 )>20+5 x−4 x2
2 x+3>5x5 x<2x−3
3 x←3 x<−1
3¿3 x2+10 x+3≤0 3 x1 x2
(3 x+1 ) ( x+2 )≤0x1=¿
4 ¿7 x (2 x+5 )−5 x (2 x+3 )<2 x+4¿2
14 x2+35 x−10 x2−15x<4 x2+16 x+16
20 x<16 x+16
4 x<16
x<4
5¿ (4 x+2 ) (4 x+9 )≤ ¿
16 x2+36 x+8x+18≤16x2+36+48 x48 x+36≥18+44 x4 x≥−18
6¿ (3 x+2 ) ( x+1 )≤ ( x+2 )(x−4)
3 x2+3 x+2 x+2≤ x2−4 x+2 x−8
3 x2+5 x+2≤x2−2 x−8
2 x2+7 x+10≤02 x5x2
a=2b=7c=10
x=−b±√b2−4ac2a
x=−(7 )±√72−4 (2 ) (10 )
2 (2 )x=−7±√49−80
4
98
3°PRÁCTICA CALIFICADA NÚMERO
RESOLVER:
6) 2(x+ 12 )+3(x+ 1
3 )>4(x 14)
( x+1 )+( x+1 )> ( x+1 )x+1>0x>−1
7) 2 x−3−4 (x2−5 )>20+5 x−4 x2
2 x+3>5x5 x<2x−3
3 x←3x<−1
8) 7 x (2 x+5 )−5 x (2x+3 )<2 x+4¿2
14 x2+35 x−10 x2−15x<4 x2+16 x+16
20 x<16 x+16
4 x<16
x<4
9) (4 x+2 ) ( 4 x+9 )≤¿16 x2+36 x+8x+18≤16x2+36+48 x
48 x+36≥18+44 x4 x≥−18
x≥−92
10) √3 x−√3≥ √33
√3 ( x−1 )≥ √33
x−1≥13
3 x−3≥13 x≥4
x≥43
II Calcular
f) (2 x+1 ) ( x+1 )≥ ( x+5 ) x
99
2 x2+2 x+x+1≥ x2+5 x
x2−2 x+1≥0¿
x ∊ R
g) (3 x+2 ) ( x+1 )≤ ( x+2 )(x−4)3 x2+3 x+2 x+2≤ x2−4 x+2 x−8
3 x2+5 x+2≤x2−2 x−8
2 x2+7 x+10≤02 x5x2
a=2b=7c=10
x=−b±√b2−4ac2a
x=−(7 )±√72−4 (2 ) (10 )
2 (2 )x=−7±√49−80
4x=−7±√−31
4
x1=−7+√31
4x2=
−7−−√314
h) 4 x2−4 x+1≤0¿2 x−1≤0x≤12
i) 7 x2+15x+2≥07 x1x2(7 x+1 ) (x+2 )≥0x1=−17
x2=−2
x≤−2˅ x≥−17
j) 3 x2+10 x+3≤03 x1x2
(3 x+1 ) ( x+2 )≤0x1=¿
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Para resolver sistema de ecuaciones lineales se procede a resolver como una inecuación cualquiera.
Se divide en dos tipos
a) Con una variable
100
1. {2x+1≥5x} 4. 10(x +10) + x≤6(2x +1)
X -5¿x2
4(x -10)¿ -6(2 –x) -6x
2. {2x +3≥1} 5. 3(2 -6x)≥ 18 -2x-x +2≥ -1 x -2 ≤ 2x +10
3. {2x +3 ¿1}-x +6 ¿3
SOLUCIÓN N° 1
{2x+1≥5x} X -5¿x2
2X -5X ≥ -1 X -X2>5
-3X≥ -1 X2>5
3X≤ 1 X ¿ 10
X≤ 13
13
10
SOLUCION N° 2
101
2x +3≥1 -x +2≥ -1
2X≥ 1 -3 -X≥ -1 -2
2X≥ -2 -X≥ -3
X≥ -1 X≤ 3
-1 3
SOLUCIÓN N° 3
2x +3 ¿1 -x +6 ¿3
2X¿1 -3 -X¿3 -6
2X¿ -2 X¿3
X¿ -1
-1 3
SOLUCIÓN N° 4
10(x +10) + x≤6(2x +1) 4(x -10)¿ -6(2 –x) -6x 10X +100 +X≤ 12X +6 4X -40¿ -12 +6X -6X 11X -12X≤ 6 -100 4X¿ -12 +40 X≥ 94 4X¿ 28 X¿ 7
7 94
102
C.S {-∞; -94,7] + ∞>
SOLUCION N° 5
3(2 -5x)≥ 18 -2x x -2 ≤ 2x +10 6 -15X≥ 18 -2X X -2X≤ 10 +2 -15X +2X≥18 -6 -X≤ 12 13X≥ 12 X≥ -12
X≥ 1213
-12 1213
b) Con dos variables
EJERCIOS
1. 2x +y ≤ 32. X ≥ 4
Y ≥ 23. x +y ≥0
2x –y ≥0x≤6
4. x +y ≥0x –y ≤0
SOLUCIÓN N° 1
2x +y = 3
103
X Y0 332
0
X +Y =1
Y
Solución
X
2x +y = 3 x +y =1
SOLUCIÓN N°2
X = 4
Y =2
104
X Y0 11 0
SOLUCIÓN N° 3
X + y=0
2x –y =0
X=6
105
x y1 -10 0
x y1 20 0
SOL.: graficar rectasa) x + y = 0
Donde:1 + y = 0Y=-12x - 0 = 0
X = 01) 2X - y = 0
Graficar:
106
x y1 -1-1 0
x y1 20 0
x
y
y ≥ -x -y ≥ -2xY ≤ 2xX ≤ 6
Cs = {(x,y)E R2 / x + y ≥ 0 ^ 2x - y ≥ 0 ^ x ≤ 6}
2) x + y ≥ 0X - y ≤ 0
SOL.: graficar rectasa) x + y = 0
2) X - y = 0
Graficar:
x
y
107
Sol.
Sol.
x yo o-1 1
x y0 01 1
14
+-+
-11
+-+
-114
-34
+-+
y ≥ -x y ≥ x
Cs = {(x,y)E R2 / x + y ≥ 0 ^ x - y ≥ 0 }
SISTEMA DE INECUACIONES CUADRATICAS O DE SEGUNDO GRADO
Los sistemas de inecuaciones cuadráticas de segundo grado,también se clasifican de igual manera que el primer grado(de una sola variable y de dos variables)
1. DE UNA VARIABLE a) X2 – 5X + 4 ≤ 0
X2 – 1 > 0SOL.:X2 – 5X + 4 ≤ 0X -4X -1(X – 4)(X - 1)≤0X1 = 4 X E [1,4]X2 = 1
X2 – 1 > 0(X + 1)(X - 1) > 0X1 = 1X2 = -1
X E <-∞, -1[U]1,∞>
Cs.= X E ]1, 4] Rpta.
b) X2 – X - 12 > 0X2 – 4 < 0SOL.:X2 – X – 12 > 0X -4X 3(X – 4)(X + 3)>0X1 = 4 X E <-∞,-3[U]4, ∞>X2 = -3
108
-44
+-+
-4-34
X2 – 4 < 0(X + 4)(X - 4) < 0X1 = 4X2 = -4
X E ]-4,4[
Cs.= X E ]-3,-4] Rpta.
2. DE DOS VARIABLES NOTA:
a. Y = X2 parabola
x
y
b. Y = -X2
x
y
c. Y = IXI
Función absoluta
x
y
d. X2 + y2 = 4R= 2
109
x
y
EJEMPLOS:
I. X2 – Y < 0 X2<Y = Y > X2
2X – 4 < 0 2X > 4 = X > 2
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / X2 – Y < 0 ^ 2X – 4 < 0}
II. X2 – Y2 ≥ 81 = R = 9X – Y < 8 recta
X< 8 + y Y + 8 > xy>x - 8
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / X2 – Y2 ≥ 81^ X – Y < 8}
III. Y < IXI = Y=IXIY > - X2 = Y= - X2
110
SOL.
SOL.
-8
8
x yo -88 0
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / Y < IXI ^ Y > - X2}
IV. Y + X2 < 0 = Y= - X2
X + Y ≥ 0 =
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / Y + X2 < 0^ X + Y ≥ 0 }
4 TA PRACTICA CALIFICADA
I. RESOLVER
a. 5X+15Y ≤ 150 = 15Y≤150 5X≤150Y≤10 X≤30
6X+8Y ≤ 120 = 8Y≤ 120 6X≤120Y≤ 15 X≤20
111
SOL.
-8
8
SOL.
x yo 0-1 1
x yo 1030 0
x yo 1520 0
24
Y≤10-5X
Y≤15 – 6X
x
y
b. 2X-Y ≥-3 = -Y≥-3 2X≥-3Y≤3 X≤-3/2
X+Y < 2 = Y< 2 X<2
Y=3-2XY=2-X
x
y
c. 3X+1>2X+5 = X>42X+1≤X+3 = X≤2
Cs = {} = Ø no hay intersección
II. RESOLVER a. Y < IXI = Y=IXI
112
SOL.
20
15
10
30
SOL.
x yo 3-3/2 0
x yo 22 0
Y > - X2 = Y= - X2
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / Y < IXI ^ Y > - X2}
b. X2 + Y2 ≥ 4 = R = 2X + Y < 1 recta
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / X2 + Y2 ≥ 4 ^ X + Y < 1}
c. X2 + Y2 ≤4 = R = 2Y < X2
113
SOL.
SOL.
SOL.
x yo 11 0
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / X2 + Y2 ≤4 ^ Y < X2}
INECUACIONES FRACIONARIAS
Para resolver inecuaciones fraccionarias seguiremos el siguiente procedimiento.
P(x) > 0Q(x)< 0
Donde P(x) y Q(x) son polinomios no nulos, son coeficientes reales GA [Q(x)]≥1
Para tener dicha inecuación haya que tener presente P(x) y Q(x) tienen que ser fracciones Q(x)≠0 donde apulamos los puntos críticos.
EJERCICIOS:
a)x−3x+4
≤2
=x−3x+4
−21≤0¿
x−3−2(x+4)x+4
≤0
=x−3−2 x−8
x+4≤0 =
−x−11x+4
≤0 = x+11x+4
≥0
=x + 11 = 0 = x= -11=x + 4 =0 = x=-4
+ - +
114
8
-11 -4
X E <-∞,-11]U[-4,∞> X≠-4 => X E <-∞,-11]U]-4,∞>
b)x−2x+4
< xx−2
=x−2x+4
− xx−2
<0 = (x−2)2−X (X+4)(x+4)(x−2)
<0 = x2+4 X+4−x2−4 X(x+4)(x−2)
<0
= −8 X+4
(x+4 )(x−2)<0 =
¿8 X−4(x+4 )(x−2)
>0 X≠-4,2
=8x + 4 = 0 = x= -1/2=x + 4 =0 = x=-4=x - 2 =0 = x=2
- + - + -4 -1/2 2
X E ]-4,-1/2]U]2,∞>
c)3x+1
2+X ≤ 4+x
5 -1
= 3x+1+2 X
2≤
4+x−55 =
5x+12
≤x−1
5 = 5x+1
2− x−1
5≤0
= 25 X+5−2 X∓2
10≤0 =
¿23 X+710
≤0 = X≠10
=23x+ 7 = 0 = x= -7/23 = X E <-∞,-7/23]
d)x+1x−3
<7
= x+1x−3
−7<0 = x+1−7(X−3)x−3
<0 = x+1−7 X+21
x−3<0
= −6 X+22x−3
<0 = 6 X−22x−3
>0 X≠3
115
=6x - 22 = 0 = x= 11/3=x - 3 =0 = x=3
+ - + 3 11/3
X E <-∞,3[U]11/3,∞>
e)2x−3
2>0
X≠2=2x - 3 = 0 = x= 3/2
X E ]3/2,∞>
f)3+2x
6−1≤ X
= 3+2x−6
6≤ X =
3+2x−66
−X ≤0 = 3+2x−6−6 X
6≤0
= −4 X−3
6<0 =
4 X+36
>0 X≠6
=4x + 3 = 0 = x= -3/4= X E [-3/4,∞>
g)2(x+1)
3−X ≤
3 x2
=2 (2 x+1 )−6 X−9 X
6≤0 =4 X+2−15 X
6≤0 =
= −11X+2
6≤0 =
11X−26
≥0
=11x - 2 = 0 = x= 2/11
h)(x−1)7(x−5)3(x+4)6( x+2)4
(x+1)3(x+5)8≥0
116
Exponente impar:
(x−1)7 = (x−1)❑
(x−5)3 = (x−5)❑
(x+1)3 = (x+1)❑
Exponente par se simplifica
= (x−1)❑(x−5)❑
(x+1)❑≥0
=x - 1 = 0 = x= 1=x - 5 =0 = x=5=x +1 =0 = x=-1
+ - +-1 1 5
X E ]-1,1]U[5,∞>
i) (x¿¿2+x+1)( x¿¿2−x+2)(x−5)❑
(x¿¿2+x−2)( x+3 )❑(x−5)≤0¿¿¿
x2+ x+1 no se puede fraccionarx2−x+2 no se puede fraccionarx2+ x−2 = (x+2)(x-1)
¿(x¿¿2+x+1)(x¿¿2−x+2)(x−5)❑
(x+2)❑(x−1)❑(x+3)❑(x−5)≤0¿¿ x≠5
= 1
(x+2)(x−1)( x+3)❑≤0 x≠-2,1,-3
=x +2 = 0 = x= -2=x -1 =0 = x=1=x +3 =0 = x=-3
- + - +-3 -2 1
X E <-∞,-3[U]-2,1[
117
Nota: x2+1 se simplificax2+3 Se simplifica
EJERCICIOS:
NIVEL I.
j)x+1x−3
<7
= x+1x−3
−7<0 = x+1−7(X−3)x−3
<0 = x+1−7 X+21
x−3<0
= −6 X+22x−3
<0 = 6 X−22x−3
>0 X≠3
=6x - 22 = 0 = x= 11/3=x - 3 =0 = x=3
+ - + 3 11/3
X E <-∞,3[U]11/3,∞>
118
ECUACIONES EXPONENCIALES
Exponente
ax= p exponente
ax.a y=ax+ y
EJERCICIOS:
RESOLVER:
Solución N°1
a. 2x+1= 8¿ 5x
2x+1 = (23)−5x❑
2x+1= 2−15 x
X +1= -15x X+15x= -1 16x= -1 = 21 /16
b. 73 x−2=1 73 x−2 =70
3x-2 = 03x=2
X=23
=723
119
c. 2x−1 +2x+ 2x+1= 72 xx−1 (1+2+22)=7
2 xx−1 =1x−1 = 0x=1
d. 22+ x- 21+ x + 2x=12
22.2x-2.2x + 2x= 12
2x(22-2+1)=12
2x(3) = 12
2x= -1
16 aplicando logaritmo
log 2x=log ( 16) log 2 =log ( 1
3) x =
log ( 16)
log2
INECUACIONES FRACIONEALES
Si a¿1
am>¿ an m¿n
Si 0¿a¿1
am>an m<nResolver:4√512x−3>¿ 5√128x+2
¿)❑x−3
4 > (27)❑x+2
5
9 ( x−3 )4
> 7(x+2
5¿
9 x−274
> 7 X+14
5
45X -35 > 28x + 5645x -28x > 56 +135
120
17x > 191
X >19117
Resolver:52 x−3-25x+2 ≥ 0
52 x−3 ≥ 25x+2
52 x−3 ≥ (5¿¿2)❑x+2 ¿2x -3=2x+4-3=4 no hay solución
SOLUCION CALCULAR “X”
a. 5√0.125❑x+1 > 3√¿¿¿ 5√(5¿¿3)❑x+1¿ > 3√(5¿¿4)❑x−2 ¿
[( 510
)❑3]❑x +1
5 > [( 510
)❑4]❑x−2
3
3x+35
< 4 x−8
3
9x+9< 20x -40 11x> -49 11x> 49
x> 4911
b. (0.5)❑9x−3
2 > (0.0625)❑3x−2
5
( 12)❑
4 x−32 > (
116
)❑3x−2
5
( 12)❑
4 x−32 > (
1
24 )❑3x−2
5
( 12)❑
4 x−32 > (
14
24 )❑3x−2
5
( 12)❑
4 x−32 > (
12
)❑4(3 x−2
5)
4 x−3
2 > 4 (
3x−25
)
121
4 x−3
2 >
12x−85
20x−15−24 x+1610
>0
20x -15 -24x +16 >0-4x +1 >0-4x > -14x < 1
X <14
ECUACIONES IRRACIONALES
Para resolver seguimos, el siguiente procedimiento.
n√A =B A≥ 0 y C.V.A (conjunto de variables admisibles)
EJERCIOS
1° SOLUCION
√X−3=5
X-3 ≥0; X≥3
¿
122
X-3=25 3 28
X=25+3
X=28
C.S {28}
2° SOLUCION
√X−16−¿¿ √X+8=−4
≥0 ≥0
{X- 16 ≥0 X≥16
X+8≥0 X≥−8 -8 16
3. √2x+10=3 x−5
2 x+10=9 x−30 x+25
2 x+10=−21 x+25
23 x=25 15/23
x=15 /23 -10/2
√ x2−3 x+2+√2 x2+3 x−5=0
√ x2−3 x+2=0
x2−3 x+2=0
√2x2+3 x−5=0
2 x2+3 x−5=0
123
X=2 x=1
X=1 x=5/2
CS={1 }
5 TA PRACTICA CALIFICADA
III. RESOLVER:
a. 5X+15Y ≤ 150 = 15Y≤150 5X≤150Y≤10 X≤30
6X+8Y ≤ 120 = 8Y≤ 120 6X≤120Y≤ 15 X≤20
Y≤10-5X
Y≤15 – 6X
x
y
b. 2X-Y ≥-3 = -Y≥-3 2X≥-3Y≤3 X≤-3/2
X+Y < 2 = Y< 2 X<2
124
SOL.
20
15
10
30
x yo 1030 0
x yo 1520 0
x yo 3-3/2 0
x yo 22 0
24
Y=3-2XY=2-X
x
y
d. 3X+1>2X+5 = X>42X+1≤X+3 = X≤2
Cs = {} = Ø no hay intersección
IV. RESOLVER: a. Y < IXI = Y=IXI
Y > - X2 = Y= - X2
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / Y < IXI ^ Y > - X2}
b. X2 + Y2 ≥ 4 = R = 2X + Y < 1 recta
125
SOL.
SOL.
x yo 11 0
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / X2 + Y2 ≥ 4 ^ X + Y < 1}
c. X2 + Y2 ≤4 = R = 2Y < X2
x
y
Cs = {(x,y)E R2 / X2 + Y2 ≤4 ^ Y < X2}
PRÁCTICA CALIFICADA N° 6
126
SOL.
SOL.
8
V. RESOLVER:
A. 5X+15Y ≤ 150 = 15Y≤150 5X≤150Y≤10 X≤30
Y≤10-5X
Y≤15 – 6X
B. 2X-Y ≥-3 = -Y≥-3 2X≥-3Y≤3 X≤-3/2
X+Y < 2 SADSA564DAS65D4 = Y< 2 X<2
Y=3-2XY=2-X
E. 3X+1>SADAS542X+5 = X>42X+1≤X+3 = X≤2
CS = {} = Ø NO HAY INTERSECCIÓN
VI. RESOLVER: A. Y < IXI = Y=IXI
Y 654ASD> - X2 = Y= - X2
CS = {(X,Y)E R2 ASDA/ Y < IXI ^ Y > - X2}
B. X2 + Y4652 ≥ 4 = R = 2X + Y < 1 RECTA
127
x yo 63
5165416954
30 0
X Y
O 3-3/2 0
X Y
O 2º2
0
X Y
O 11 0
CS = {(X,Y)E R2 / X2 + Y2 ≥DSFA 4 ^ X + Y < 1}
C. X2 + Y2 ≤4 = R = 2Y < X2
CS = {(X,Y)E R2 / X2 9654697+ Y2 ≤4 ^ Y < X2}
LOGARITMO
log b N= x bx=N
N=nuemrode logaritmo b=base de logaritmo x=logaritmo
Resolver:Ejemplo:
a) log 264 = log 226=6 b) log 100=log 102=2
c) log2 5√2
8 4√8
2 5√2=2. 215=2
25
84√8=8.814=5
54 (23 )❑
54
2154 28
l og2
65
254=2
154
6 x5
= 154
128
x= 258
PROPIEDADES
1) Siendo b> 0, b≠1
2) Siendo además m > 0 ^ n > = 0 b>0 b≠1
3) Siendo además M>0, N>0 b>0 b≠1
4) Siendo N>0 ^ b>0 ^ b≠1; s€ R
5) Siendo N> 0^ b>0 ^ b≠1; s€ R -{o }
6) Siendo N>0^ b>0 ^ b≠1
7) Cambio de base
8) Regla de cadena
129
log a . logNa=logb N
log b1=0
log bM .N=log bM +
log bMN
=logbM−log bN
log bN5=5log bN
log bN=logbsN5
log bN=5√N5√b
logbqN5=5
qlogbN
log bN=logaN
logab
b
Nota: *log e x=ln x
E=2.71 Logaritmo nepriano o natural
* log10 x=logx
logaritmodecimal o vulgar
EJERCICIOS
1) Calcular:
log32+ log2
3−log2 6. log36
log32+ log2
3−{ log22∗3 . log32∗3} log3
2+ log23 –{(log 2
2+ log23 ) ( log2
3+log33 ) }
log32+ log2
3 –{(1+log23 ) ( log2
3+1)}log3
2+ log23 –{(log 2
3+1+ log32 . log2
3+log32 ) }
= -1 -log32 log3
2
= -1 -log 22 = -1 -1 =-2
2) Determinar :
log 120=?
Si log 2=n y log 3=m
log 12 x10=log 4 x 3x 10=log (22¿.3 .10)¿
log 22+log 3+ log10
2log 2+ log3+¿1¿
¿2n+m+1
3) X > 0X – 3 >0 x > 3** log 2 x+ log2 ( x−3 )=2
130
log a . logNa=logb N
log 2 x ( x−3 )=2
22=x ( x−3 )=¿
4=x2−3 x 0=x2-3x-40=(x-4) (x+1)x1=4 x2=−1
VALOR ABSOLUTO
Se define el valor absoluto de un número xeR como el número real no negativo denotando por |x| tal que:
|x|={−x ,∧x<0x ,∧x≥0
Ejemplo:
|6| =6
|−15| = -(-15) = 15
|−7| =-(-7) = 7
Teoremas sobre valor absoluto
Teorema:
|x| ≥ 0
|x|=0⟺x=0
Ejemplo:
131
|−5|≥ 0
|x2−7| ≥ 0
Teorema:
(∀ xϵR ) |x| ≥ 0
|x|=0⟺x=0
TEOREMA:
EJEMPLO:
|−5|≥ 0
|x2−7| ≥ 0
ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO
Para poder resolver ecuaciones con valor absoluto podemos guiarnos de la definición de valor absoluto (*) de los siguientes teoremas:
Teorema:
|x| = a ⟺ a ∧ (x = a ѵ x = - a)
Ejemplo:
Resolver
|x2−4| = x + 2
132
Resolución:
|x2−4| = x + 2 ⟺ x + 2 ≥ 0 ∧ (x2 – 4 = x + 2 ѵ x2 – 4 = -(x + 2)
⟺ x≥ - 2 ∧ (x2 – x -6 = 0 ѵ x2 + x – 2 = 2)
⟺ x≥ - 2 ∧¿(x – 3) (x+ 2) = 0 ѵ (x– 2) (x– 1) = 0)
⟺ x ≥ - 2 ∧ (x= 3 ѵ x=−2ѵ x = - 2 ѵ x = 1)
⟺ x≥ - 2 ∧ (x = 3 ѵ x = -2 ѵ x= 1)
⟺ x = 3 ѵ x = -2 ѵ x = 1
C.S = {-2; 1; 3}
Inecuaciones de valor absoluto
Sean xaϵR; entonces:
1. |x| ≤ a ⟺ (a ≥ 0 ∧ - a ≤ x ≤ a)2. |x|˂ a ⟺ (a ˂ 0 ˄ - a ˂ x ˂ a)3. |x| ≥ a ⟺ (x ≥ a ˅ x ≤ - a)4. |x| ˃ a ⟺ (x ˃ a ˅ x ˂ - a)
Ejemplo:
Resolver:
133
4|x+2| ˂ 2x + 10
Resolución:
Aplicamos la teorema:
4|x+2| ˂ 2x + 10 ⟺ 2x + 10 ˃ 0 ˄ -(2 + 10) ˂ 2x + 10
⟺ 2x ˃ - 10 ˄ - 2x – 10 ˂ 4x + 8 ˄ 4x + 8 ˂ 2x + 10
⟺ x ˃ - 5 ˄ -3 ˂ x ˄ x ˂ 1
MATEMATICA
Números Reales.
Relaciones.
Geometría Analítica.
INTERVALOS DE NUMEROS REALES
Números Naturales. N
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…………………∞.}
Números Enteros. Z
{-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7………………∞.}
Números Racionales. Q
{m/n n≠0 m, n є Z { ¼, ½, ¾, 1…………….∞.}
Números Irracionales. Ι
{ √2 ,√33 ,33√445 ,√56 ,√6 ,√4 ,√7……………….∞ }
INTERVALOS
[a, b]
EJERCICIOS PROPUESTOS
134
1)4
❑√9.❑√9❑√9
=4(❑√9)
9=12
9=4
3
2)4
5❑√5.❑√5❑√5
=4 .❑√55 x 5
=4❑√525
3)2
❑√5−3.❑√5+3❑√5+3
=❑√5+3
❑√52−32
=❑√5+35−9
=−❑√5−3−4
=❑√5−3
4
4)2
❑√9+❑√3.❑√9−❑√3❑√9−❑√3
=2(3−❑√3)
9−❑√32 =6−❑√3
6=−❑√3
5)❑√5
❑√5+❑√3.❑√5−❑√3❑√5−❑√3
=❑√5(❑√5−❑√3)
❑√52−❑√3
2 =5−❑√32
6) 35√x2 y3
.5√ x3 y2
5√ x3 y2=
3( 5√ x3 y2)5√x2 . x3 y2. y3
=3 ( 5√ x3 y2)
5√ x5. y5=
3( 5√ x3 y2)x y
7) 63√9−3√4
.( 3√9
2+ 3√36+ 3√42)
3√92−3√9 .
3√4+ 3√42=
6 ( 3√81❑+ 3√36+ 3√16
❑)3√9
3−3√4
3 =6( 3√81
❑+ 3√36+ 3√16❑)
5
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.X−310
− X−25
=−1 =X−3−2(X−2)
10=−1 = X−3−2 X+4=−10 = −X=−11=X=11
2. 3(4X – 9) = 3 + X = 12 X – 27=3+X = 11X=30 = X= 30/113. 2(X – 5) = 3(2 – X) – 2X 2X-10=6-3X-2X 7X=16 X=16/7
4.3x+1
7−2−4 x
3=2 =
3 (3 x+1 )−7 (2−4 x)21
=2 = 9 x+3−14−28 x21
=2
−19 x=53 = x=−53 /19
5.62
(3 x+2 )=x+12 = 62
.3x+62
.2=x+12 = 6.3x+6=x+12 =18x+6=x+12 17x=6 = x=6/176. 3(X – 4) = 2(3 – X) – 4X = 3X – 12 = 6 – 2X – 4X = 9x=18 = x=27.
X−12
− X+16
=4 = 3 (X−1 )−X+16
=4 = 3 x−3−x−1=24 = 2 x=28 = x=14EJERCICIOS PROPUESTOS
1. x2-7x=0 x(x-7)=0 x1=0 x-7=0 x2=7
2. x2-6x-16=0 (x-8)(x+2) x1=8 x2=-2 x -8x 2
3. 16x2-32x+15=0 (4x-3)(4x-5)=0 x1=3/4 x2=5/44x -34x -5
135
4. x2-10x=0 x(x-10)=0 x1=0 x-10=0 x2=10
5. √3 x2 – x =x2+ x = √3 x2−¿ x2– x - x=0 = (√3−1)x2−¿ 2 x❑=0
x (√3−1)(x−2)=0 x1=0 (√3−1)(x−2)=0 x❑=2(√3+1)
√32−12
=¿x2=2(√3+1)
2
6. x2-5x=0 x(x-5)=0 x1=0 x-5=0 x2=5
7. x2-6x-16=0 (x-8)(x+2) x1=8 x2=-2 x -8x 2
EJERCICIOS PROPUESTOS1. X – 6Y = 7 X = 7+6y 4(7+6y)=3-y 28+ 24y=3-y 25y=-25 y=-1
4X + Y = 3 x=3-y/4 x-6=7 x=13 2. X – 3Y = 2 X = 2+3y 2(2+3y)=3-y 4+ 6y=3-y 7y=-1 y=-1/7
2X + Y = 5 x=5-y/2 x-3/7=2 x=17/7 3. X – 6Y = 7 25x=25 x1=1 y=13
4X + Y = 3(6)4. X – 3Y = 2 7x=17 x1=17/7 y=-1/7
2X + Y = 5 (3) 5. X – 3Y = 5 7x=17 x1=17/7 y=-1/7
2X + Y = 4 (3) 7x=17 x1=17/7 y=-1/7 6. X- 3y=5
2x+y=10(3) 7x= 35 x1=5 y=07. X- 2y=3
2x+y=1(2) 5x= 5 x=5 y=-2
EJERCICIOS PROPUESTOS
a) 3 x– 2 < 13 x– 2 < 13 x–2 + 2 < 1 + 231 3 x<31 3x< 1Solución: S = ( - ∞ , 1 )
b) X+1
2>4
136
X+12
>4
x+ 1 > 4 . 2x+ 1 > 8x> 8 - 1x> 7
Solución: S = ( 7 , + ∞ )
c) -2 x+ 1 ≤ x– 3
- 2 x+ 1 ≤ x- 3- 2 x- x≤ - 3 - 1- 3 x≤ - 4x≥ - 4 : (- 3)
x>−43
Solución: S = [43 , + ∞)
d) −2+4 x−3 x+5>x+3+x4 x−3 x−x−x>2−5+3 −x>0 x<0
0
e) X2−8 x+12≤0x−2 x−6 (x-2) (x-6) x≤2 ; x≤6
2 6
137
f) 4−2 t>t−5
−2 t−t>−5−4 −3 t>−¿9 3 t<9
t< 93
t<3
3
g) 2 x−3<4−2x
2 x+2x<4+3 4 x<7
x< 74
74
EJERCICIOS PROPUESTO
a) 7 ( x−1 )+2 ( x−1 )−3 ( x+1 )≤−5 ( x+1 )+11 x7 x−7+2x−2−3 x−3≤−5 x−5+11 x 7 x+2x−3x−5x−11 x ≤5+3+2+7
0 x≤70≤7
0
b) 4 x+6≥1−x+4 ≥−1
138
4 x+6≥1 4 x≥1−6 4 x≥−5
x≥−54
−x+4 ≥−1 −x≥−1−4 −x≥−¿5x≤5
−54
5
c) 3 x+5 y≥303(0)+5 y ≥30 5 y ≥30
y ≥305
y=6 x=10
x+ y=8 x=8 y=8
d)12+ y ≤8
(0 )+ y≤8 Y=8X=16
x+12y≤4
(0 )+ y≤4.2 Y=8X=4
e) 5 x+2 y ≤20x=4 Y=10
5 x+ y≥10 x=2
139
(0,8)
(0,6)
(8,0)
(10,0)
(0,8)
(4,0)
(16,0)
(10,0)
y=10
f) x+4 y≤60x=60 y=15 3 x+2 y ≥48 x=16 y=24
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) -X - 1 +1 < 3x – 1 4 2
Solución -X - 1 +1 < 3x – 1 4 2
-X - 1 + 1.4 < 2(3x – 1)4 4 4-X + 3 < 6x – 2 5 < 5x X >1 x є {1,+∞}
2) x -2 ≥ 0 x ≠ 4 X - 4X ≥ 2 x=4
C.S. ]-∞ , 2] U ]4, +∞ [
140
(60,0)
(0,24)
(16,0)
(0,15)
(0,2) (0,4)
3) 4x – 1 - x ≥ 5 3 2Solución 4x – 1 - x ≥ 5 3 2
8x – 2 – 3x ≥ 30 5x ≥ 32 X ≥ 32/5 x є {32/5, +∞}
4) x – 5 - x ≥ 1 3 2Solución
x – 5 - x ≥ 1 3 22x – 10 +6x > 6 8x > 16 X > 2 x є {2, +∞}
5) x - 4 ≥ 3 X + 2
x - 4 - 3 ≥ 0 X + 2 x - 4 -3x -6 ≥ 0 X + 2 -2x – 10 ≥ 0 (-1) x≠ -2 X + 2 2x + 10 ≤ 0 X + 2
X = -2 2x + 10 =0 x є [-5, -2[ X= -5
6) x + 4 ≥ x X – 7 x + 1
141
x + 4 - x ≥ 0 X – 7 x + 1
(x + 4 )(x + 1) - x (X - 7) ≥ 0 (X – 7) (x + 1)
x2 + 5x + 4 - x2 – 7x ≥ 0 (X – 7) (x + 1)
12x + 4 ≥ 0 (X – 7) (x + 1)
X=7 x= -1 12x + 4 = 0 x є ]-1, -1/3] U ]7 , +∞[ X = -1/3
7) 2x – 3 ≥ 3 X – 2 2x – 3 – 3x +6 ≥ 0 X – 2 -x + 3 ≥ 0 X – 2 X - 3 ≤ 0 x ≠ 2 X – 2
X – 2 X=2 x=3 x є ]2, 3]
EJERCICIOS PROPUESTOS
8) 2x−1√3x−3 = √ 27
3x−3
2 x−1 = 271 /2 27 = 33
3x−3
2 x−1 = 33 /2
X - 3 = 3
142
2x - 1 2
2x – 6 = 6x – 3 -3 = 4x -3/4 = x
9) (4/10)x−1 = (625 /100)6 x−5
(2/5)x−1 = (25 /4)6x−5
( 25 )
x−1
= ( 25 )
−2( 6x−5)
X – 1 = -12x + 10 13x = 11 X = 11/13
10) 10x+2 - 5 = 0log 10x+2 = log5 ¿)log10 = log5 x +2 = log5 x = log5 - 2
11) 2x = 4
log 22x = log 222
x log22❑ = 2 x .1 = 2 x=2
12) 2x+1 + 2x + 2x−1 = 28
2.2x + 2x + (2/2)x = 28
2x (2 + 1 + ½) = 28 2x(7 /2) = 28 2x = 8 2x = 23 x=3
13) 2 - 3−x + 3x+1 = 02 - 1/3x + 3.3x = 02 – 1/t + 3t = 0 (t)2t – 1 + 3t 2 = 0 3t 2+¿ 2t – 1 = 0
−2±√22−4.3.−12.3
143
−2± 46
t 1 = -1 t 2 = 1 /3
14) 21−x2
= 1/8
21−x2
= 2−3
1 - x2 = -3
x2 = 4
X = ±√ 4 x = 2 x= -2
3) 5x−3> 25
5x−3> 52
x−3 > 2
X > 5
4) (0,5)x2− x > (0,5)2
x2 – x > 2 x2 – x - 2 > 0
(x + 2) ( x -1 )
X= -2 x = 1 x є ]-2, 1 [
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) √ x−1 = 2 √ x= 3 x=32 x=9
2) 3√10 x−6+4 = 5 3√10 x−6 = 1 10 x−6=13 x=7 /10
3) 6+√3 x -2 = √ 12x – 1336 + 12√ 3x -2 + 3x – 2 = 12x – 1348x – 32 = 9x2 – 42x +49
144
9x2 – 10x +81 = 0(x - 9)(x -1)X= 9 x= 1
4) 2√ x – 5 = 11 2√ x = 16 √ x = 16/2 √ x = 8 √ x = 8 X = 64
5) √2x−1 - √ x+4 = 0√2x−1 = √ x+4 2x – 1 = x + 4 X = 1
6) √ x2+3−x = 1 √ x2+3 = 1 + x x2+3 = 1 +2x +x2
2 = 2x X = 1
7) 3√ x−27 = 0 √ x=27 /3 √ x=9 X = 81
EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
2)
145
3)
4)
5)
6)
7)
146
8)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1)
2)
3)
4)
147
5)
6)
7)
8)
148
EJERCICIOS PROPUESTOS
e) 3|x−1|+5|x−1|−2|x−1|=6
6|x−1|=6
|x−1|=1 x=1+1 = 2x=−1+1 = 0c.s{2,0}
f) |5 x−2|=3
5 x−2=−3˅5x−2=3 5 x=−3+2˅5 x=3+2 5 x=−1˅5 x=5
X =−15
˅ x = 55
X=1
c.s {-15
,1}
g) 2 x−|x−1|≤32 x−3≤|x−1||x−1|≥2 x−3 x−1≥2x−3˅x−1≤−2x+3 x−2 x≥−3+1˅ x+2≤3+1 −x≥−2˅3 x≤4
x≤2˅x ≤43
43
2
c.s <-∞; 2]
149
h) |X2−x|>2 x
X2−x>2x ˅X2−x←2 x
X2−3 X>0˅ X2−x←2x
X ( x−3 )>0˅ X ( x+1 )<0
0 3
-1 0
c . s=(−∞ 0 )U (3 ,+∞)
ax^2+ (1-2a) x + a≥ 0 ; xєR
(〖1-2a)〗^2-4^2≤0
EJERCICIOS PROPUESTOS
8) ax2+ (1-2a) x + a≥ 0 ; xєR
(1−2a¿¿2−42≤0
1-4a+4 a2−4a2≤0
A ≥1/4
aє [1/4;+ᾳ>
9) │5x +4│−│4+3 x ; xє<0; 3> X
0<x<3 → 4<5x+4<19 → │5x+4│ = 5x+4
0<x<3 → 4¿4+3 x<13→│4+3x │=4+3 x
A = 5x+4−(4+3 x)
x=2
150
10) │x−3│≤5↔−5≤ x−3≤5¿
❑
¿
−2≤x ≤8→4≤ x+6≤141
14≤
1x+16
≤14
1a≤
1x+6
≤1b
A=14 b=4 B=a+1b−1
=5
11)│x│−1
2−x≥0
(|x|−1 ) (|x|+1 )¿¿
x2−1x−2
≤0→¿¿
12)
│x2
x−1│=│
x2−16x+4
│
↔│x2
x−1│=│
( x+4 ) ( x−4 )x+4
│; x ≠−4
↔│x2
x−1│=│x−4│
↔x2
x−1=x−4 v
x2
x−1=−x+4
↔x=45
2 x2−5x+4=0
xє {45}
13) ││x−1│−1
3│=2
2≤│x−1│−1<3
3
7≤│x-1│<10
151
│x−1│≥7↔x−1≥7 v x−1≤−7 x≥8 x≤−6
xє<−ᾳ ;−6¿u¿
14)│x+1│2+2│x+2│−3<0│x+1 3│x+1│ -1
(|x+1|+3 ) (|x+1|−1 )<0
│x+1│<1
−2<x<0
Xє ]2;0[
152
PRODUCTO CARTESIANO
PROCEDIMIENTO.
EJERCICIO MODELO 1:
Con los conjuntos M= {5,6,7 } y N= {3,2,1 }, obtener el producto de MxN
1. Formar los pares ordenados en donde el primer elemento pertenece al primer
conjunto, y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto, este
153
Formar los pares ordenados en donde el primer elemento pertenece al primer conjunto, y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto, este procedimiento se lo realiza con todos los elementos del segundo conjunto.Los dos elementos deben ir colocados dentro de un paréntesis y separados por","
De igual forma se forman los pares ordenados con el segundo elemento del primer conjunto con cada uno de los elementos del
segundo conjunto
Repetir el procedimiento con todos los elementos del primer término, con cada uno de los elementos del segundo conjunto
El resultado obtenido se lo escribe dentro de un paréntesis, con su nomenclatura de producto
procedimiento se lo realiza con todos los elementos del segundo conjunto. Los
dos elementos deben ir colocados dentro de un paréntesis y separados por " ; "
(5,3)
2. De igual manera se forman los pares ordenados con el segundo elemento del
primer conjunto con cada uno de los elementos del segundo conjunto.
(5;2) (5;1)
3. Repetir el procedimiento con todos los elementos del primer término, con cada
uno de los elementos del segundo conjunto
(6;3) (6;2) (6;1)
(7;3) (7;2) (7;1)
Elementos del primer conjunto
M x N= {(5;3 ) (5 ;2 ) (5 ;1 ) (6 ;3 ) (6 ;2 ) (6 ;1 ) (7 ;3 ) (7 ;2 )(7 ;1)}
Nomenclatura Elementos del segundo conjunto
EJERCICIO MODELO 2:
Con los conjuntos M= {5,6,7 } y N= {3,2,1 }, obtener el producto de N.M
154
1. Formar los pares ordenados en donde el primer elemento pertenece al primer
conjunto, y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto, este
procedimiento se lo realiza con todos los elementos del segundo conjunto. Los
dos elementos deben ir colocados dentro de un paréntesis y separados por ", “
(coma) o “;" (punto y coma).
(3;5)
2. De igual forma se debe formar los pares ordenados con el segundo elemento del
primer conjunto con cada uno de los elementos del segundo conjunto.
(3;6) (3;7)
3. Repetir el procedimiento con todos los elementos del primer término, con cada
uno de los elementos del segundo conjunto.
(2;5) (2;6) (2;7)
(1;5) (1;6) (1;7)
4. N xM= {(3;6 ) (3 ;6 ) (3 ;7 ) (2 ;5 ) (2;6 ) (2 ;7 ) (1 ;5 ) (1 ;6 ) (1 ;7 ) }
Comparando los resultados obtenidos se puede observar que el resultado de:
MxN≠ NxM
DEL PROCEDIMIENTO ANTERIOR SE PUEDE CONCLUIR QUE:
1. El producto cartesiano de dos conjuntos, es otro conjunto formado por los pares
ordenados que se obtienen de los dos conjuntos.
155
2. El primer elemento de cada par ordenado siempre pertenece al primer conjunto,
y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto.
3. En el producto cartesiano no se aplica la propiedad conmutativa.
4. El número de pares ordenados del producto cartesiano es igual al producto del
número de elementos del primer conjunto por el número de elementos del
segundo conjunto
Número de elementos del conjunto A POR Número de elementos del conjunto
B
N(AxB) = NAxNB
Número de elementos Producto cartesiano A.B
EJERCICIO MODELO 3:
A={7,8,9 }Y B= {3,1,6 }
1. Para saber cuántos pares ordenados se debe obtener en el producto de AxB
Aplicamos:
Conjunto A = 3 elementos Conjunto B = 3 elementos.
N(AxB) = NAxNB
N(AxB) = (3)(3)
N(AxB) = 9
2. Producto cartesiano A.B = {(7 ;3 ) (7 ;1 ) (7 ;6 ) (8 ;3 ) (8;1 ) (8 ;6 ) (9 ;3 ) (9 ;1 ) (9 ;6 ) }
156
EJERCICIO MODELO 4:
C={4,2,1,0 }Y D= {3,1,5 }
1. Para saber cuántos pares ordenados se debe obtener en el producto de CxD
Se aplica:
Conjunto C = 4 elementos Conjunto D= 3 elementos.
N(CxD) = NCxND
N(CxD) = (4)(3)
N(CxD) = 12
2. Producto cartesiano
CxD = {( 4 ;3 ) (4 ;1 ) (4 ;5 ) (2 ;3 ) (2 ;1 ) (2 ;5 ) (1;3 ) (1 ;1 ) (1 ;5 ) (0 ;3 ) (0 ;1 ) (0 ;5 ) }
EJERCICIO MODELO 5:
E={a , e , i , o }Y F= {m ,n , p }
1. Para saber cuántos pares ordenados se debe obtener en el producto de ExF
Se aplica:
Conjunto E = 4 elementos Conjunto F= 3 elementos.
N(ExF) = NExNF
N(ExF) = (4)(3)
N(ExF) = 12
2. Producto cartesiano:
ExF = {(a;m) (a;n ) (a; p ) (e ;m) (e ; n ) ( e ; p ) (i ;m ) (i ;n ) (i ; p ) (o;m ) (o;n ) (o; p ) }
EJERCICIO MODELO 6:
G= {lunes ,martes , jueves }Y H= {enero , febrero }
Enunciando los conjuntos por comprensión o de forma descriptiva tenemos:
G={ x/x ∈ día de la semana}
157
H={x/x mes }
1. Para saber cuántos pares ordenados se debe obtener en el producto de GxH
Se aplica:
Conjunto G = 3elementos Conjunto H= 2 elementos.
N(GxH) = NGxNH
N(GxH) = (3)(2)
N(GxH) = 6
2. Producto cartesiano:
G.H = {( lunes; enero ) (lunes ; febrero ) (martes; enero ) (martes; febrero ) ( jueves ;enero )( jueves ; febrero ) }
EJERCICIO MODELO 7:
K= {3/11/1820 ,18/10/1920,9/10/1820,10 /08 /1809 }
L= {Cuenca , Portoviejo,Guayaquil ,Ecuador }
3. Para saber cuántos pares ordenados se debe obtener en el producto de KxL
Se aplica:
Conjunto K= 4 elementos Conjunto L= 4 elementos.
N(KxL) = NKxNL
N(KxL) = (4)(4)
N(KxL) = 16
4. Producto cartesiano: KxL=
(3/11/1820;Cuenca)(3/11/1820;Portoviejo)
(3/11/1820;Guayaquil) (3/11/1820;Ecuador)
(18/10/1920,Cuenca)(18/10/1920;Portoviejo)
(18/10/1920;Guayaquil)(18/10/1920;Ecuador)
158
(9/10/1820; Cuenca)(9/10/1820; Portoviejo)
(9/10/1820; Guayaquil)(9/10/1820; Ecuador)
(10/08/1809; Cuenca)(10/08/1809; Portoviejo)
(10/08/1809; Guayaquil)(10/08/1809; Ecuador)
EJERCICIO MODELO 8:
Dado el conjunto producto obtener los conjuntos factores:
(lunes; amarillo) (martes, amarillo)
(miércoles; amarillo) (jueves; amarillo)
(lunes; verde) (martes; verde)
SxT= (miércoles; verde) (jueves; verde)
(lunes; blanco) (martes; blanco)
(miércoles; blanco) (jueves;blanco)
(lunes; rojo) (martes; rojo)
(miércoles; rojo) (jueves; rojo)
En estos casos se puede obtener con facilidad los conjuntos factor.
En primer lugar podemos observar que se indica el producto de SxT, de lo que se
deduce que los conjuntos factor son el conjunto S y el conjunto T.
En segundo lugar de cada uno de los pares ordenado se obtienen los elementos
(a) y (b), sabiendo que los elementos (a) pertenecen al conjunto S y los elementos
(b) pertenecen al conjunto T. Por o tanto los conjuntos resultantes son:
S= {lunes;martes ,miércoles ; jueves ; }
T={amarillo ; verde ;blanco ;rojo}
EJERCICIO MODELO 9 :
159
Dado el número de elementos del conjunto producto y un conjunto factor crear el
otro conjunto factor, que relacione a los guías de curso del colegio Madre
Enriqueta Aymer con sus respectivos paralelos con los que trabaja cada uno.
N(PxQ)= 30
P={Monica ;Mar í adelCarmen; Rosana ;Miriam;Cecilia ;Eulalia }
P={x / x∈guías de curso delcolegioMadre Enriqueta Aymer }
Como el número de elementos de un conjunto producto se calcula por el producto
de número de elementos de los conjuntos factores, se deduce que si el producto
es 30 y uno de los factores es 6 el otro factor es 5, por lo tanto el conjunto Q
debe estar formado por 5 elementos.
En este caso como el conjunto P está formado por los nombres de las guías de
curso, se podría formar el conjunto Q con los paralelos del Colegio.
Q={octavo ;noveno; dé cimo; primerodebac hillerato ;segundo debac hillerato }
EJERCICIO MODELO 10 :
A Juan se le conoce en su barrio por cambiar de corbata todos los días que va al
trabajo, Ayúdalo a ser ordenado.
W={lunes ,martes,miércoles , jueves , viernes }
R={corbata amarilla , corbata azul , corbata verde }
( lunes , corbata amarilla ) , (lunes ,corbata azul ) , ( lunes , corbata verde )
(martes , corbata amarilla ) , (martes ,corbata azul ) , (martes , corbata verde )
WxR= (mié rcoles, corbata amarilla ) , (mié rcoles, corbata azul )
(miércoles , corbata verde ) , ( jueves , corbataamarilla ) , ( jueves , corbata azul ) ,
160
( jueves , corbata verde ) (viernes , corbata amarilla ) , ( viernes , corbata azul ) ,
( viernes , corbata verde )
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:1. DIAGRAMA SAGITAL. También se denomina gráfico de Venn.
EJERCICIO MODELO 11
Con los conjuntos M= {5,6,7 } y N= {3,2,1 }
M x N= {(5;3 ) (5 ;2 ) (5 ;1 ) (6 ;3 ) (6 ;2 ) (6 ;1 ) (7 ;3 ) (7 ;2 )(7 ;1)}
Para representar gráficamente este producto de forma Sagital, aplicamos el
procedimiento:
161
PROCEDIMIENTO
Representar en un círculo u óvalo los elementos de cada uno de los conjuntos
En una figura igual a la anterior se anotan todos los pares ordenados que resulten del producto cartesiano.
Se debe anotar fuera de la figura geométrica la nomenclatura del conjunto al cual representa.
"El verdadero buscador crece y aprende, y descubre que siempre es el principal responsable de lo que sucede"
Jorge Bucay
321
M N M x N
X
=
TABLA DE DOBLE ENTRADA:PROCEDIMIENTO:
EJERCICIO MODELO 12 M= {1,2,3,4 , } y N= {9,10 }
Producto cartesiano: M .N={(1,9 ) (1,10 ) (2,9 ) (2,10 ) (3,9 ) (3,10 ) (4,9 ) ( 4,10 ) }
162
Dibuje una tabla
El número de filas debe ser uno más que el número de elementos del segundo conjunto.
El número de columnas debe ser uno más que el número de elementos del primer conjunto
En la primera columna se colocan los elementos del primer conjuntoEn la primera columna se colocan los elementos del segundo conjunto.
Colocar los pares ordenados del producto en los casilleros que resultan de la prolongaciones de los casilleros de la primera fila con la primera
columna
Los elemenos de cada par ordenadio quedan definidos por los casilleros que se prolongan.
1 2
43
55 6
7 8
N
M
9 10
1
2 (2,10)
3
4
Claramente se puede observar que el casillero es la intersección del
segundo elemento del primer conjunto con el segundo elemento del segundo
conjunto.
Como el segundo elemento del primer conjunto es = 2, este pasa a ser el primer
elemento del par ordenado.
Como el segundo elemento del segundo conjunto es = 10, este pasa a ser el
segundo elemento del par ordenado.
Repitiendo el procedimiento obtenemos la siguiente tabla:
N
M
9 10
1 (1,9) (1,10)
2 (2,9) (2,10)
3 (3,9) (3,10)
163
4
4 (4,9) (4,10)
EJERCICIO MODELO 13
Representar en la tabla de doble entrada el producto SxT
(lunes; amarillo) (martes, amarillo) (miércoles; amarillo) (jueves; amarillo)
(lunes; verde) (martes; verde) (miércoles; verde) (jueves; verde)
(lunes; blanco) (martes; blanco) (miércoles; blanco)
(jueves;blanco)(lunes; rojo) (martes; rojo) (miércoles; rojo) (jueves;rojo)
T
S
amarillo verde blanco rojo
lunes (lunes; amarillo) (lunes; verde) (lunes; blanco) (lunes; rojo)
martes (martes, amarillo) (martes; verde) (martes; blanco) (martes; rojo)
miércoles (miércoles;amarillo) (miércoles;verde
)
(miércoles; blanco) (miércoles;rojo)
jueves (jueves; amarillo) (jueves; verde) (jueves;blanco) (jueves; rojo)
DIAGRAMA DE ÁRBOL:PROCEDIMIENTO
164
S xT =
EJERCICIO MODELO 14
M= {1,2,3,4 , } y N= {9,10 }
Producto cartesiano: M .N={(1,9 ) (1,10 ) (2,9 ) (2,10 ) (3,9 ) (3,10 ) (4,9 ) ( 4,10 ) }
En el vértice inicial se coloca la denominación de la operación, y de éste salen un
número de ramas igual al número de elementos del primer conjunto.
MxN
Al extremo de cada una de las ramas colocamos los elementos del primer
conjunto
1
2
MxN 3
165
En el vértice inicial se coloca la denominación de la operación, y de éste salen un número de ramas igual al número de elementos del primer conjunto.
Al extremo de cada una de las ramas se colocan los elementos del primer conjunto.
De cada uno de los elementos del paso anterior salen un número de ramas igual al número de elementos del segundo conjunto, en cuyos extremos se anotan los elementos de dicho conjunto.
De cada uno de los elementos del paso anterior sale una rama y en sus extremo se coloca el par ordenado resultante.
4
1
9
10
9
2 10
9
10
3
9
De cada uno de los elementos del paso anterior salen un número de ramas igual
al número de elementos del segundo conjunto, en cuyos extremos se anotan
los elementos de dicho conjunto.
MxN
De cada uno de los elementos del paso anterior sale una rama y en sus extremo
se coloca el par ordenado resultante.
9 (1,9 )
1 10 (1,10 )
9 (2,9 )
2 10 (2,10 )
9 (3,9 )
MxN 3 10 (3,10 )
166
4 10
9 (4,9 )
4 10 (4,10 )
EJERCICIO MODELO 15
Representar gráficamente los productos cartesianos obtenidos en los ejercicios
modelo 4,7
En el ejercicio modelo número 4 se obtuvo:
C.D = {( 4 ;3 ) (4 ;1 ) (4 ;5 ) (2 ;3 ) (2 ;1 ) (2 ;5 ) (1;3 ) (1 ;1 ) (1 ;5 ) (0 ;3 ) (0 ;1 ) (0 ;5 ) }
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: DIAGRAMA DE ÁRBOL:
3 (4 ;3 )
4 1 (4 ;1 )
5 (4 ;5 )
3 (2,3 )
2 1 (2,1 )
5 (2,5 )
CxD 3 (1 ;3 )
167
1 1 (1,1)
5 (1,5)
3 (0 ;3 )
0 1 (0,5)
5 (0,5)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: De forma sagital
C={4,2,1,0 }Y D= {3,1,5 }
CxD
C D
X =
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: En la tabla de doble entrada.
C
D
3 1 5
4 (4 ;3 ) (4 ;1 ) (4 ;5 )
2 (2 ;3 ) (2 ;1 ) (2 ;5 )
168
1 (1 ;3 ) (1 ;1 ) (1 ;5 )
0 (0 ;3 ) (0 ;1 ) (0 ;5 )
EJERCICIO MODELO 16
En el ejercicio modelo número 5
E={a , e , i , o }Y F= {m ,n , p }
Se obtuvo:
ExF = {(a;m) (a;n ) (a; p ) (e ;m) (e ; n ) ( e ; p ) (i ;m ) (i ;n ) (i ; p ) (o;m ) (o;n ) (o; p ) }
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: En la tabla de doble entrada:
E F
m p
a (a;m ) (a;n ) (a; p )
e (e ;m ) (e ;n ) (e ; p )
i ( i ; m) ( i ; n ) ( i ; p )
o (o;m) (o; n ) (o; p )
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Diagrama de árbol:
m (a;m )
a n (a;n )
p (a; p )
m (e ;m )
e n (e ;n )
169
p (e ; p )
ExF m (i ; m¿
i n ( i ; n )
p ( i ; p )
m (o;m)
o n (o; n )
p (o; p )
EVALUACIÓN:
1. Ilustre lo que representa el producto cartesiano
2. ¿Cómo puede obtener el número de pares ordenados resultantes de un producto
cartesiano?
3. Con un ejemplo demuestre que en el producto cartesiano no se aplica la
propiedad conmutativa.
4. El primer elemento de cada par ordenado de un producto cartesiano: Conteste v
si es verdadero o f si es falso.
a) Pertenece al segundo conjunto ( )
b) Pertenece al primer conjunto ( )
c) Puede pertenecer a cualquiera de los dos conjuntos ( )
170
5. ¿Qué denotación utiliza para indicar el producto cartesiano de dos conjuntos P
y R?
6. ¿De cuántas maneras puede representar gráficamente el producto cartesiano?
7. Realice el producto cartesiano de:P= {15,16,19 } y Q= {3,4,5,6 }
8. Si T . S= {(7,9 ) (7,10 ) ( 8,9 ) (8,10 ) (3,9 ) (3,10 ) ( 4,9 ) ( 4,10 ) }, Hallar los conjuntos T y S.
9. ¿Cuántas pares ordenadas tendría el producto cartesiano de F = ( 8,9,7,5) y G=
(1,2,3,4,5)
10. Represente gráficamente el producto cartesiano ” f “ y “ j “ del literal anterior,
utilice el diagrama (árbol)
11. Si UxV = (a,m)(a,n)(a,o) (b,m)(b,n)(b,o) (c,m)(c,n)(c,o) (d,m)(d,n)
(d,o).hallar los conjuntos U y V
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Hallar el producto cartesiano con los siguientes pares de conjuntos.
a) M= {1,9,18 } y N= {4,8,12,16 }b)P= {0,2,4 } yQ={3,6,9 }
c) R={m,n ,o , p }Y S={q , r , s }
d) T={mesa , silla , cosina } yU={cuadro , espejo }
e) V= {blanco,amarillo , verde } yW= {azul ,rojo }
2. Represente gráficamente los productos cartesianos anteriores,
a) y b) tabla de doble entrada
171
c) y d) diagrama de árbol
e) Forma sagital
3. ¿De cuántos pares ordenados estaría formado los productos cartesianos de los
siguientes conjuntos? Anote la respuesta sin realizar la operación.
a) A ={lunes ,martes ,mi é rcoles , jueves , viernes }B= {a , e , i , o , u }
b) C={x / x∈avocales } y D= {x / x∈mesesdel a ño }
4. Con los dos primeros conjuntos del literal 1 demuestre que en el producto
cartesiano no se aplica la propiedad conmutativa.
5. Obtenga los conjuntos, dado su producto:
(lunes, blanco)(lunes, verde)(lunes, rojo)
PxQ = (martes, blanco)(martes, verde)(martes, rojo)
(miércoles, blanco)(miércoles, verde)(miércoles, rojo)
6. ¿Cuántos pares ordenados tendría el producto cartesiano de FxG sí
F= 8, 9,7,5 y G = 1,2,3,4,5
7. Represente gráficamente el producto cartesiano F y G del literal anterior, utilice el
diagrama (árbol).
8. Hallar el producto cartesiano de M= (20,21,22) N= (23,24).
9. Represente gráficamente el producto cartesiano M por N del literal
anterior .Utilice la tabla de doble entrada.
10. Hallar el producto cartesiano de S por T, sí S = (5,10,15) T= (20,25).
172
11. Represente gráficamente el producto cartesiano de S por T del literal
anterior .Utilice la tabla de doble entrada y el diagrama de árbol.
12. Complete:
A
B
amarillo verde rojo
Naranja (naranja,verde
)
manzana
pera
RELACIONES:Consideremos:
P= {3,4,6,7 } y R={3,4,5,7,8,9,11}
(3,3)(3,4)(3,5)(3,7)(3,8)(3,9)(3,11)
PxQ = (4,3)(4,4)(4,5)(4,7)(4,8)(4,9)(4,11)
(6,3)(6,4)(6,5)(6,7)(6,8)(6,9)(6,11)
173
"No es sabio el que sabe muchas cosas, sino el que sabe cosas útiles" (Esquilo)
(7,3)(7,4)(7,5)(7,7)(7,8)(7,9)(7,11)
Anotar una condición que debe cumplir " y". Por ejemplo:
Y= 2x-3 Cuando se conoce la condición se debe ver qué par ordenado cumpla esta
condición: Reemplazando el valor de x (x= cada uno de los elementos de P),
obtenemos el valor de y.
Elementos
del primer
conjunto
X
Aplicación de la condición
y = 2x - 3
Valor de
y
Par ordenado
que cumple
3
4
6
7
y = 2(3)-3 → y= 6-3
y = 2(4)-3 → y= 8-3
y = 2(6)-3 → y= 12-3
y = 2(7)-3 → y= 14-3
y= 3
y= 5
y= 9
y= 11
(3,3)
(4,5)
(6,9)
(7,11)
174
RECUERDA: En el producto AxB, los elementos son ( x,y), es decir x = primer elemento
Y= segundo elemento
RELACIÓN:
Una relación es un subconjunto del producto cartesiano.
Como podemos observar los pares ordenados (3,3) (4,5) (6,9) (7,11), cumplen la
condición dada, este conjunto de pares ordenados forman el conjunto relación
entre el conjunto P y Q. Se representa de la siguiente manera:
R: P Q ={(3,3 ) ( 4,5 ) (6,9 ) (7,11 ) }
EJERCICIO MODELO 17:
M= {3,7,8,9 } y N= {2,4,5,6,8,10,11,12 }
1. Se establece la condición y = x+3
2. Aplicación de la condición, con cada uno de los elementos del primer conjunto
Elementos del
primer conjunto X
Aplicación de la condición
y = x + 3
Valor
de y
Par ordenado
que cumple
175
DEFINICIÓN:
Se denomina RELACIÓN BINARIA, de dos conjuntos al conjunto de pares ordenados
que cumpla una condición determinada.
Como al obtener el producto cartesiano se obtienen todos los pares ordenados posibles, el conjunto relación siempre estará incluido en el conjunto
solución del producto.
PROCEDIMIENTO
Se establece la condición
Aplicación de la condición, con cada uno de los elementos del
primer conjunto
Formación de conjunto relación, con los pares ordenados
formados el elememto por x y el elemento y que cumplió la condición y que pertenece al
segundo conjunto
3
7
8
9
y = (3) + 3
y = (7) +3
y = (8) +3
y = (9) +3
y= 6
y= 10
y= 11
y= 1
(3,6)
(7,10)
(8,11)
(9,12)
3. Formación de conjunto relación, con los pares ordenados formados el elemento
“x” y el elemento “y” que cumplió la condición y que pertenece al segundo
conjunto.
R: M N={(3,6 ) (7,10 ) (8,11 ) (9,12 ) }
176
En el ejemplo anterior tenemos:
Conjunto de partida Conjunto de llegada
M= {3,7,8,9 } y N= {2,4,5,6,8,10,11,12 }
Del conjunto relación R: M N ={(3,6 ) (7,10 ) (8,11 ) (9,12 ) }
Preimagen
(3,6 ) (7,10 ) (8,11 ) (9,12 )
Imagen
177
RANGO O RECORRIDO
El rango está formado por elementos del conjunto de llegada que se relacionan con
los elementos del dominio. se representa por rg R , también por R(R)
A cada uno de los segundos elementos de los pares ordenados del conjunto relación se les denomina IMAGEN
El conjunto los elementos conocidos como imagen se le denomina RANGO
O RECORRIDO
DOMINIO
El dominio está formado por los elementos del conjunto de partida que
establecen correspondencia.se representa por don R,también por D(R)
A cada uno de los primeros elementos de los pares ordenados del conjunto relación se les denomina PREIMAGEN El conjunto los elementos conocidos como preimagen
se le denomina DOMINIO,
EN LAS RELACIONES BINARIAS
Al primer conjunto se le denomina CONJUNTO DE PARTIDA
Al segundo conjunto se le denomina CONJUNTO DE LLEGADA
DOMINIO RANGO
6 imagen de 3 D(R)={3,7,8,9 } R(R) ={6,10,11,12 }
10 imagen de 7 donR={3,7,8,9 } rgR¿ {6,10,11,12 }
11 imagen de 8
12 imagen de 9
EJERCICIO MODELO 18:
A={5,10,15 } yC= {0,2,4,6,8,10 }
1. Se establece la condición y = x - 5
2. Aplicación de la condición, con cada uno de los elementos del primer conjunto
Elementos del
primer conjunto
X
Aplicación de la
condición
y = X - 5
Valor de
y
Par ordenado
que
cumple
5
10
15
Y=5 – 5
Y=10 – 5
Y=15 – 5
Y=0
Y=5
Y=10
0∈al conjuntoC (5,0)
5 ∈al conjuntoC
10∈al conjuntoC (15,10)
3. Formación de conjunto relación, con los pares ordenados formados con el
elemento "x" y el elemento "y" que cumplió la condición y que pertenece al
segundo conjunto.
R: A C ={(5,0 ) (15,10 ) }D(R)={5,15 }Significa que el conjunto de partida incluye al dominio pero no es igual.
178
rg={0,10 } Significa que el rango o recorrido no coincide con el conjunto de llegada.
EJERCICIO MODELO 19:
S= {2,4,5,7,8 } yT= {1,2,4,6,8,11 }
Condición: y = 3x - 4
Elementos del
primer conjunto
X
Aplicación de la
condición
y = 3x - 4
Valor
de
y
Par ordenado
que
cumple
2
4
5
7
8
y = 3(2) - 4
y = 3(4) - 4
y = 3(5) - 4
y = 3(7) - 4
y = 3(8) - 4
Y=2
Y=8
Y=11
Y=17
Y=20
2∈al conjuntoT (2,2)
8∈al conjuntoC (4,8)
11∈al conjuntoC (5,11)
17∈al conjuntoC
20∈al conjuntoC
R: S T={(2,2 ) (4,8 ) (5,11 ) }D(R)={2,4,5 }
rg={2,8,11 }
EJERCICIO MODELO 20:
L= {Cuenca , Portoviejo,Guayaquil ,Ecuador ,Colombia }
K= {3/11/1820 ,18/10/1920,9/10/1820,10 /08 /1809,03/02/2000 }
Condición: fecha de independencia
Como se sabe cada ciudad y país tiene una fecha de independencia, por lo que se
debe ver si una fecha del conjunto K corresponde a una ciudad o país del
conjunto L.
179
A =
Cuenca fecha de independencia 3/11 /1820 (Cuenca;3/11 /1820¿
Portoviejo fecha de independencia18/10 /1920 (Portoviejo;18/10 /1920)
Guayaquil fecha de independencia9 /10 /1820 (Guayaquil;9 /10 /1820)
Ecuador fecha de independencia10/08 /1809 (Ecuador;10/08 /1809)
Colombia fecha de independencia03 /02/2000 no cumple.
R:
L K={(Cuenca ,3/11 /1820 ) (Portoviejo ,18 /10 /1920 ) (Guayaquil ,9/10 /1820 ) (Ecuador ;10/08/1809 ) }D(R)={Cuenca ,Portoviejo ,Guayaquil ,Ecuador }
rg={3/11 /1820 ;18 /10 /1920,9/10/1820,10/08/1809 }
EJERCICIO MODELO 21:
Hallar el conjunto relación de:
A={x /x∈ fotosde animales } B= {x / x∈ fotos de personas } Condición: parecido físico1
1 Personas parecidas a sus perros! - Humor Gratis,http://www.tipete.com/userpost/humor/ personas-parecidas-sus-perros-humor-gratis.
180
B =
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
En cada uno de los ejercicios que están a continuación, determine:
a) Conjunto Relación.
b) Dominio
c) Rango
d) Complete los casilleros.
1) A=¿
A={x /x∈unade las 7maravillas delmundo }
B= {, , ,China , , , }
B= {y / y∈ubicaciónde las7marabillas delmundo }
181
Condición R = está ubicada en2)C={2,3,4,5,6 , } y D={5,6,7,8,9,11 } Condición y = x +43)E={10,13,15,18,20 } y F= {6,10,11,12,15 } Condición y = x - 34)G= {0,1,3,5 } y H= {1,7,23 } Condición y=x2−2
5) I={1,3,6,7 } y J= {1,9,72,94 } Condición y=¿ x3
36)K= {5,6,7,8 } y L= {10,15,21 }7)M= {Quito , tena, Riobamba, Portoviejo ,Babahoyo , Azogues ,Cuenca }
N= {Azuay ,Cañar , Los Ríos, Manabi ,Chimborazo ,Napo , Pichincha }Condición R = Capital de:8)O= {RafaelCorrea ,Lenin Moreno ,MarxCarrasco ,FernanadoCordero }
P={Presidente de la República , Director Nacional del SRI ,Vicepresidente dela República , Presidente de la asambleaconstituyente }Condición R = Cargo gubernamental que desempeña.9)Q={Walter Auquilla , Rosario Tobar ,EulalaiaOrtega ,Wiliam Sarmiento ,
Marcela Serrano }R={Secretaria ,Vicerrectora , Docente ,Orientador , Rector }
Condición R = Cargo que desempeña en la Unidad Educativa Madre Enriqueta
Aymer .
10) Proponga dos conjuntos, con los que pueda formar el conjunto relación,
dominio y rango.
11) Con las siguientes fotos forme dos conjuntos y anote una condición para
hallar el conjunto relación2
2 Parecidos divertidos entre personas, animales o cosas http://latrola.net/blok/parecidos
182
EVALUACIÓN
1. Explique por medio de un ejemplo lo que entiende por relación binaria
2. Anote la diferencia entre producto cartesiano y conjunto relación
3. Proponga 2 conjuntos , con los que pueda formar el conjunto relación que
sea función, cuyo dominio y rango esté en el campo de los números reales.
4. Proponga 2 conjuntos , con los que pueda formar el conjunto relación que
no sea función, cuyo dominio y rango no esté en el campo de los números reales.
FUNCIÓN.Consideremos el conjunto relación de los siguientes conjuntos, cuya condición es:
y=x3−2x2+1
-divertidos-entre-personas-animales-o-cosas.183
Si hoy la vida está vacía, llénala de todo lo que encuentres.
Échale ilusiones, sueños, proyectos, esperanzas.
Échale amigos, pasión, ternura, alegría, belleza.
Échale todo lo que desees, no te preocupes del peso de la carga.
Cuánto más llena este la vida, menos te pesará.
P= {1,3,4,5 } y T={0,10,33,76 }
Elementos
del primer
conjunto
X
Aplicación de la
condición.
y = x3−2 x2+1
Valor de
Y
Par ordenado
que
cumple
1
3
4
5
y=13−2×12+1
y=33−2×32+1
y=43−2×42+1 y=53−2×52+1
y=0
y=10
y=33
y=76
0∈al conjuntoT (1,0)10∈al conjuntoT (3,10)33∈al conjuntoT (4,33)76 ∈al conjuntoT (5,76)
R ={(1,0 ) (3,10 ) (4,33 ) (5,76 ) }Dominio don= {1,3,4,5 }
Rango rg={0,10,33,76 }
Como se puede observar a cada uno de los elementos "x" del conjunto de partida le
pertenece un y solo un elemento " y" del conjunto de llegada, en este caso el
conjunto relación se le denomina FUNCIÓN.
En una función no pueden existir dos elementos del conjunto de llegada, que se
relacionan con el mismo elemento del dominio o lo que es lo mismo ningún
elemento del dominio puede estar relacionado con dos elementos diferentes del
conjunto de llegada.
Representación: Para representar una función se utilizan las letras g, h….. se
expresa de la siguiente manera: y = f(x), se lee y es igual a la función de x.
Ejemplos:
184
Definición: Se conoce como función a la relación en la que a cada uno de los
elementos "x" del conjunto de partida le pertenece un y solo un elemento " y"
del conjunto de llegada.
1. y = 3x - 42. y = x3−2 x2+13. y = x - 5x representa la variable independiente, es decir su valor no depende de nada
y representa la variable dependiente, es decir su valor depende del valor de la
variable x.
EJERCICIO MODELO 22:En la función f ( x )=x3−2x2+1 , Dominio ¿ {1,3,4,5 }
X y=x3−2x2+1 Y Par ordenado
1
3
4
5
y=¿
y=(3)3−2×(3)2+1
y=¿
y=¿
0
10
33
76
(1,0)
(3,10)
(4,33)
(5,76)
Como se puede apreciar después de sustituir la variable " x" por cada uno de los
valores dados obtenemos un valor para la variable " y", por esta razón " y" se le
conoce con el nombre de variable dependiente.
EJERCICIO MODELO 23:
185
23456
abcde
y = 3x - 4 Dominio ¿ {2,4,5 }
X y = 3x - 4 Y Par ordenado
2
4
5
y = 3(2) - 4
y = 3(4) - 4
y = 3(5) - 4
2
8
11
(2,2)
(4,8)
(5,11)
EJERCICIO MODELO 24 :
y = x - 5 Dominio ¿ {5,10,15 }
X y = X - 5 Y
5
10
15
Y=5 – 5
Y=10 – 5
Y=15 – 5
0
5
10
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:EJERCICIO MODELO 25: Dados los conjuntos U={2,3,4,5,6 } ,V={a ,b , c , d ,e }
Y R: U V = {(2 , a ) (3 , b ) (4 , c ) (5 , d ) (6 , e ) }
Como se puede observar a cada elemento del conjunto de partida le corresponde
un elemento del conjunto de llegada, por lo tanto es una función.
Al representar gráficamente de FORMA SAGITAL tenemos:
R
U V
186
Una función se puede representar gráficamente en el plano cartesiano de la
siguiente manera:
EJERCICIO MODELO 26:
Represente gráficamente la función resultante de :
L={Nancy , Malena , Anita ,Wiliam,WilsonJenny, Juan ,Daniela }
P= {Matemática ,Química ,Ciencias Naturales , Inglés }
Condición R = Profesor de la asignatura de:
Comunica.InglésCiencias Nat
QuímicaMatemática
Nancy
Malena
Anita
William
Wilson
Jenny Juan Dany
Representación en la tabla de doble entrada:
R:L P Matemática Química CCNN Inglés Comunicación
Nancy (Nancy,Mat)
187
x
y
Malena (Malena,Quí)
Anita (Anita,Mat)
William (William,Mat)
Wilson (Wilson,CCNN)
Jenny (Jenny, Com)
Juan (Juan, Com)
Dany (Dany,Inglés)
EJERCICIO MODELO 27: Representación gráfica de R:A→B
188
EJERCICIO MODELO 28:
y=4 x
1. Tabla de valores: Trazamos una tabla con dos filas y dos columnas.
189
Se unen los puntos que representan los pares ordenados
los pares ordenados formados en la tabla, se colocan en el plano cartesiano.
los valores de la variable independiente "x" se colocan en la primera columna y en la segunda columna se colocan los valores de la variable dependiente "y" que se obtienen
a partir de la variable "x"
Tabla de valores: Trazamos una tabla con dos filas y dos columnas.
PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR FUNCIONES CUYO DOMINIO SON LOS NUMEROS REALES.
2. los valores de la variable independiente "x" se colocan en la primera columna y
en la segunda columna se colocan los valores de la variable dependiente "y" que
se obtienen a partir de la variable "x"
TABLA 1 TABLA 2
190
LOS VALORES QUE SE ASIGNAN A LA VARIABLE INDEPENDIENTE (X) SON ARBITRARIOS, SE ACOSTUMBRA DAR VALORES PEQUEÑOS POR SU FÁCIL REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO
X y=4 x
X y=4 x
0
1
2
3
-1
-2
y=4 (0 ) y=0
y=4 (1 ) y=4
y=4 (2 ) y=8
y=4 (3 ) y=12
y=4 (−1 ) y=−4
y=4 (−2 ) y=−8
X y=4 x
0
1
2
3
-1
-2
0
4
8
12
−4
−8
En este ejemplo hemos colocado 2 tablas para realizar la explicación, en la tabla
uno se encuentra el procedimiento con el cual se obtiene el valor de la variable
“y” a partir de la variable “x”.
Este procedimiento también se lo puede realizar fuera de la tabla y únicamente
anotar los resultados obtenidos en la segunda columna de la tabla, tal como lo
indica la tabla 2.
3. los pares ordenados formados en la tabla (valor de “x” y su correspondiente
valor de “y”) se colocan en el plano cartesiano.
191
Pares ordenados
(0,0)
(1;4)
(2;8)
(3;12)
(-1;-4)
(-2;-8)
4. Se unen los puntos que representan los pares ordenados, y como resultado
obtenemos la figura que representa la función.
192
EJERCICIO MODELO 29:
La siguiente función corresponde a un ejemplo en el que el conjunto de partida,
conjunto de llegada y el conjunto producto son los números reales, es decir, que el
dominio es:D(−∝ ,+∝ ), y el rango: R(4 )
y=4
En este caso no existe la variable independiente x porque la variable "y" toma un
solo valor que es 4, por lo que para representar esta función únicamente
trazamos el eje cartesiano y por el valor de y=4 , trazamos una recta, la misma
que sería paralela la eje "x", tal como lo indica el gráfico.
193
Consideremos la función . En este caso se denomina función constante porque la variable y es igual a una constante cualquiera
EJERCICIO MODELO 30:
y=−3
En este caso no existe la variable independiente x por lo que la variable "y" toma
un solo valor que es -3, para representar esta función únicamente trazamos el eje
cartesiano y por el valor de y=−3 , trazamos una recta, la misma que sería
paralela la eje "x", tal como lo indica el gráfico.
Esta función también corresponde a un ejemplo en el que el conjunto de partida,
conjunto de llegada y el conjunto producto son los números reales, es decir que el
dominio es:D(−∝ ,+∝ ), y el rango: R(−3 )
194
4: Relaciones: Tipos de relaciones.
Dados dos conjuntos no vacios A y B, a n conjunto R de pares ordenados se le denomina RELACION DE A EN B si es que que R es un subconjunto cualquiera de A x B. También se le llama RELACION BINARIA.
Se llama RELACION BINARIA entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es, una relación binaria R consiste en lo siguiente:
195
R es una Relacion de en B si y solo si R A x B⊂
a)Un conjunto A (conjunto de partida).b)Un conjunto B (conjunto de llegada).c)Un enunciado abierto p(x,y) tal que p(a,b) es verdadero o falso para todo par ordenado.d)Formalmente:
Si (a,b) Є A x B, tal que (a,b)ЄR, la proposición p(a,b) es verdadera y se escribe a R b, se lee: a esta relacionado con b. Si para p(a,b) es falso, se escribe a R b y se lee: a no esta relacionado con b.
Ejemplo:
1: Si R es una relación en S= {2,3,4} tal que R={(x,y)/y+1≤x²} entonces:
R = {(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}, pues para (x,y) Є A x A, con x Є A ^ y Є A:
X = 2 : y+1≤2² → y Є {2,3} → (2,2),(2,3) Є R.
X= 3: y+1≤3² → y Є {2,3,4} → (3,2),(3,3),(3,4) Є R.
X= 4: y+1≤4² → y Є {2,3,4} → (4,2),(4,3),(4,4) Є R.
4.1: Relacion Reflexiva.
Es una relación refleja en un conjunto A no vacío si cada elemento de él está relacionado consigo mismo: a ð A ð a R aEjemplo:
A= {1, 2, 3}
196
R = {(x,y)ЄAxB│p(x,y) } AxB⊂R: A→B ↔ R AxB⊂
R= {(1,1) (1,3) (2,2) (3,2) (3,3)}
Una relación se llama reflexiva si todo elemento esta relacionado con sigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.
Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.
Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:
Si una relación es reflexiva, todos los elementos en el sistema se relacionan con sí mismos. Por ejemplo, las relaciones “no son mayor que” y “es igual a” son reflexivo sobre el sistema de todos los números verdaderos. Puesto que no hay número verdadero mayor que sí mismo, si usted compara cualquier número a sí mismo, usted encontrará “no es mayor que” ser verdad. Puesto que cada número verdadero es igual a sí mismo, si usted compara cualquier número a sí mismo, usted encontrará “es igual a” ser verdad.
Ejercicios desarrollados.
Ejercicio 1:
Sea A = {1, 3, 5}.
R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.
R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.
jercicio 2:
197
A es reflexiva en A cualquiera sea A 0.
Ejercicio 3:
A2 es reflexiva en A cualquiera sea A 0.
Ejercicio 4:
Dado el conjunto A={2,3,4} y las relaciones A:
R1={(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}; R2= {(2,2),(2,4),(3,3),(4,3)}
Establecer si son o no son reflexivas.
En R1, se observa que x Є A → (x,) Є R, esto es:
2 Є A → (2,2) Є R, 3 Є A → (3,3) Є R, 4 Є A → (4,4) Є R; es decir, D(A) ⊂ R.
Por lo tanto, R1 es reflexiva.
En R2 se observa que 4 Є A, sin embargo (4,4) R2, luego R2 no es reflexiva.
Ejercicio 5:
La relación de inclusión es reflexiva, toda vez que: AA, A.
Ejercicio 6:
En geometría, la congruencia de figuras permite tener un ejemplo de relación reflexiva en el sentido de que “toda figura es congruente a si misma”.
Ejercicio 7:
Sean A = {1,2,3,4} y las relaciones en a:
198
R1 = {(1,2),(3,3),(3,4)(4,4),(4,1),(2,2)(1,1)}
R2 = {(1,1),(2,2),(3,4),(4,3)(4,4)}
Entonces R1 es reflexiva en A porque (a,a) Є R1 Єademas de otros puntos, en cambio R2 falta (3,2) para serlo.
Ejercicios propuestos.
1) Sea A = {2, 5, 9, 5}. Indicar su relacion reflexiva.
2) Dado el conjunto A={7,3,4} y las relaciones A:
R1={(7,7),(7,3),(3,3),(4,4)}; R2= {(7,7),(7,4),(3,3),(4,3)}
Establecer si son o no son reflexivas.
3) Sea A = {1, 9, 6}. Indicar su relacion reflexiva.
4) Dado el conjunto A={2,5,9} y las relaciones A:
R1={(2,2),(2,5),(5,5),(9,9)}; R2= {(2,2),(2,9),(5,5),(9,5)}
Establecer si son o no son reflexivas.
5) Sea A = {6, 7, 8}. Indicar su relacion reflexiva.
6) Dado el conjunto A={3,7,4} y las relaciones A:
R1={(3,3),(3,7),(7,7),(4,4)}; R2= {(3,3),(3,4),(7,7),(4,7)}
Establecer si son o no son reflexivas.
7) Sea A = {2, 6, 4}. Indicar su relacion reflexiva.
4.2) Relacion simetrica.
199
Una relación binaria R sobre un conjunto A, es simétrica cuando se da que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro también está relacionado con el primero.
Es decir,
R es simétrica en A R A x A ( x)( y) ( x R y y R x).
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetría.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A,R).
Ejercicios desarrollados:
Ejercicio 1:
Sea A = {3, 4, 2} entonces:
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A.
Ejercicio 2:
La relación T = {(x, y) / x N, y Nx y} donde la expresión "x y" significa x dividea y no es simétrica en N puesto que si x y no necesariamente y x.
Ejercicio 3:
Dado el conjunto A={1,2,3,4,5} y las relaciones en A:
200
R1={(1,1),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}, R2={(1,2),(2,1),(3,3),(4,5),(5,5)},
R3= {(x,y) /x+y=6}. Establecer si son o no simetricas.
En R1 vemos que: (1,2) Є R1 y (2,1) Є R1, también (3,4) Є R1 (4,3) Є R1. Entonces, R1 es simetrica.
En R2: (4,5) Є R, pero (5,4) R, entonces, R2 no es simetrica.
R3 es simetrica, pues: (x,y) Є R3 → x+y = 6, ya que por la conmutatividad de la adicion: x+y = y+x.
Ejercicio 4:
La congruencia de triangulos es una relación simetrica pues si un triangulo X es congruente con un triangulo Y, entonces Y es congrunte con X.
Ejercicio 5:
La perpendicularidad entre rectas de un plano es una reacion simetrica porque si L3 es perpendicular a L2 → L2 es perpendicular a L3.
Ejercicio 6:
La relación definida por “x es hermano de y” es simetrica, porque si x es hermano de y, entonces, y es hermano de x.
Ejercicio 7:
Dados A={1,2,3,4} y las relaciones en A:
R1 = {(1,2),(2,3),(4,2),(3,2),(2,1),(2,4)}
R2= {(1,1),(2,2),(3,3)}
201
R3= {(1,1),(3,3),(4,1),(2,3),(1,14)}.
Vemos que R1 y R2 son simetricas, pero que R3 no lo es, pues le falta el elemento (3,2) pera serlo.
Ejercicios prupuestos.
1) Sea A = {1, 4, 5} indicar si es simetrica.
2) Sea A = {5, 3, 7, 6} indicar si es simetrica.
3) Dados A={1,2,7,4} y las relaciones en A:R1 = {(1,2),(2,7),(4,2),(7,2),(2,1),(2,4)}R2= {(1,1),(2,2),( 7,7)}R3= {(1,1),(7,7),(4,1),(27),(1,14)}.
4) Dados A={1,9,3,4} y las relaciones en A:R1 = {(1,9),(9,3),(4,9),(3,9),(9,1),(9,4)}R2= {(1,1),(9,9),(3,3)}R3= {(1,1),(3,3),(4,1),(2,3),(1,14)}.
5) Sea A = {5, 3, 7, 6} indicar si es simetrica.
6) Sea A = {5, 3, 7, 6} indicar si es simetrica.
7) Sea A = {5, 3, 7, 6} indicar si es simetrica.
4.3: Relacion transitiva,
Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:
202
Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: aRb y bRc se cumple aRc.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.
Ejemplos
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:
Así, puesto que:
En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:
Ejercicios desarrollados.
Ejercicio 1:
Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en
A.
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.
203
Ejercicio 2:
La relación T = {(x, y) / x N, y N x y} es transitiva en N.
Ejercicio 3:
Dado el conjunto A={1,2,3,4)} y las relaciones:
R1= {(1,1),(1,2),(2,2),(3,1),(4,1),(4,2),(4,3)}
R2={(1,1),(2,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)}, R3={(1,1).(2,2),(3,4)}
Establecer si son o no transmitivas.
En R1 se tiene: (1,1) Є R1^ (1,2) Є R1 → (1,2) Є R1
(1,2) Є R1^ (2,2) Є R1 → (1,2) Є R1
(3,1) Є R1^ (1,1) Є R1 → (3,1) Є R1
(4,3) Є R1^ (3,1) Є R1 → (4,1) Є R1
(4,2) Є R1^ (2,2) Є R1 → (4,2) Є R1
Entonces R1, es transitiva.
En R2: (2,1) Є R2 ^ (1,3) Є R2, pero (2,3) R2; luego R2 no es trnasitiva.
R3 es transitiva.
Ejercicio 4:
La inclusión de conjuntos es una relación transitiva, pues si:
A ^B C → A C.
Ejercicio 5:
204
La implicación en lógica es también una relación transitiva: (p→q) ^ ( q→r) → (p→r)
Ejercicio 6:
La relación “x<y” es también transitiva. En efecto, si: a<b ^ b<c → a<c-
Ejercicio 7:
Dado A= {1,2,3,4}, la relación en A:
R1 = { (1,2),(2,3),(1,3),(3,1),(1,1)}, no es transitiva, pues si bien se cumplen las implicaiones:
(1,2) Є R1 ^ (2,3) Є R1 → (1,3) Є R1
(1,3) Є R1 ^ (3,1) Є R1 → (1,1) Є R1
En cambio falta en: (2,3) Є R1 ^ (3,1) Є R1 → (2,1) Є R1, pues falta en (2,3) Є R1.
En cambio R2 = R1 = { (1,2),(2,1),(2,2),(1,1)} si es transitiva.
R3 = R1 = { (1,4),(4,1),(2,4),(3,4),(4,3)} no es transitiva, pues le faltan 7 elementos para serlo.
Respuesta: Son (1,1),(2,1),(3,1),(1,3),(2,3),(3,3), y (,4).
Ejercicios propuestos.
1) Sea = {2, 6, 3, 9} , indicar su relación transitiva.
2) Sea = {9, 1, 4, 2} , indicar su relación transitiva.
3) Sea = {4, 5, 6, 3} , indicar su relación transitiva.
4) Dado el conjunto A={1,2,3,7)} y las relaciones: R1= {(1,1),(1,2),(2,2),(3,1),(7,1),(7,2),(7,3)}
205
R2={(1,1),(2,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)}, R3={(1,1).(2,2),(3,7)}Establecer si son o no transmitivas.
5) Sea = {1, 11, 9, 2} , indicar su relación transitiva.
6) Dado el conjunto A={1,5,8,7)} y las relaciones: R1= {(1,1),(1,5),(5,5),(8,1),(7,1),(7,5),(7,8)}R2={(1,1),(5,1),(5,5),(8,8),(1,5),(1,8)}, R3={(1,1).(5,5),(8,7)}Establecer si son o no transmitivas.
7) Sea = {10, 11, 12, 13} , indicar su relación transitiva.
4.4: Relacion de equivalencia.
En teoría de conjuntos y álgebra la noción de relación de
equivalencia sobre un conjunto, permite establecer una relación
entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica
o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de
equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto
posibilita la construcción de nuevos conjuntos «añadiendo» todos
los elementos de una misma clase como un solo elemento que los
representará y que define la noción de conjunto cociente.
Sea A un conjunto no vacío y R una relación en A. R es una relación
deequivalencia en A, si R es reflexiva, simétrica y transitiva en A.
Reflexividad : Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir,
.
206
Simetría : Si un elemento de está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,
.
Transitividad : Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
.
Ejercicios desarrollados.
Ejercicio 1:
Sean a y b enteros y n un número fijo positivo. En Z (conjunto de los enteros) se define una relación de la siguiente manera:
Se dice que a es congruente con b módulo n y se escribe, a b (mod n) sí y sólo sí n (a b), es decir,
a b = kn con k Z .
Ejericicio 2:
La relación de paralelismo definida entre la rectas del plano euclideo, es una relación de equivalencia, pero no lo es la relación de perpendicularidad. Ejericicio 3.
Estudiar si la relación definida en Z = {enteros} por aRb ⇔a + b múltiplo de 2, es de equivalencia y determinar el conjunto cociente en caso de que lo sea.
207
Solucion:
Para comprobar que la relación dada en el enunciado es de equivalencia hacemos :Propiedad reflexiva
ya que a+a = 2 a que es múltiplo de 2.
Propiedad simétrica : Si aRb entonces a+b es múltiplo de 2, pero a+b = b+a y, por lo tanto b+a es múltiplo de 2, esto es bRa.
Propiedad transitiva : Si aRb y bRc entonces a+b es múltiplo de 2 y b+c es múltiplo de 2. De ahí a+b+b+c = a + 2b + c es múltiplo de 2 y trivialmente a+c es múltiplo de 2 puesto que 2b siempre es múltiplo de 2. Por todo ello, aRc. La relación así definida si es de equivalencia y el conjunto cociente es Z/R = {pares , impares}
Ejercicio 4:
Comprobar que la relación definida en RxR de la forma (a,b)R(c,d) ⇔ a² + b² = c² + d² es de equivalencia y representar gráficamente el conjunto cociente RxR/R.
Solucion.
Comprobamos que la relación dada en el enunciado es de equivalencia :Propiedad reflexiva :
Propiedad simétrica : Si (a,b)R(c,d) entonces (c,d)R(a,b) puesto que :
208
Propiedad transitiva : Si (a,b)R(c,d) y (c,d)R(e,f) entonces (a,b)R(e,f) puesto que :
La relación definida de ese modo en RxR es de equivalencia y el conjunto cociente RxR/R será el formado por las circunferencias del plano con centro en el origen.
Ejericicio 5:
Probar que la relación R reflexiva y circular definida sobre E es simétrica y transitiva. En una relación circular, si aRb y bRc entonces cRa.
Solucion.
Para demostrar lo dicho en el enunciado, tenemos que demostrar las siguientes propiedades
Propiedad reflexiva, se cumple por hipótesisPropiedad simétrica, si aRb entonces bRa por ser R reflexiva (aRa y bRb) y circular (aRb y bRb) y entonces bRaPropiedad transitiva, debe cumplirse que si aRb y bRc entonces aRc y tenemos que, por ser R circular, aRb y bRc da cRa y, por ser R simétrica (demostrado) si cRa entonces aRc.
Por todo lo visto, la relación estudiada es de equivalencia.
Ejericicio 6:
209
En el conjunto de los números naturales, N, se define la relación :
Probar que es de orden, orden total, buena ordenación. Si la misma relación está definida en los enteros, probar que dota a este conjunto de estructura de orden total pero no buena ordenación.
Solucion.
Comprobamos que la relación dada en el enunciado es relación de orden.
Propiedad reflexiva,
Propiedad antisimétrica. Si aRb y bRa entonces a = b . Tenemos
Propiedad transitiva. Si aRb y bRc entonces aRc. Tenemos :
La relación así definida es de orden total porque en la relación de orden usual se cumple :
La relación así definida posee también buena ordenación, porque N admite primer elemento :
haciendo las mismas consideraciones para el conjunto Z de los enteros, tenemos que la relación definida es de orden porque N está incluido en Z. La relación es de orden total porque , por la relación de orden usual, y, por tanto, .
La relación no tiene buena ordenación porque no tiene mínimo, ya que
210
Ejercicio 7:
Sea Z el conjunto de los enteros. Definimos en dicho conjunto una relación R como sigue :
Probar que es relación de equivalencia y hallar el conjunto cociente
Solucion.
Para probar lo que se dice en el enunciado, tenemos que demostrar las siguientes propiedades
Propiedad reflexiva, puesto que
Propiedad simétrica , y entonces bRa ya que pertenece a Z.
Propiedad transitiva , si aRb y bRc, entonces, respectivamente, , con lo cual y, de ahí aRc puesto que m.n
es un elemento de Z y además es múltiplo de m. El conjunto cociente será:
Las clases del conjunto cociente son las llamadas clases de restos módulo m, representadas mediante :
Ejercicios propuestos.
Ejercicio 1:
Siendo A y B subconjuntos de U, probar que los subconjuntos constituyen una partición de U
Ejercicio 2:
211
Sean los conjuntos A y B y definida en ellos una correspondencia tal que a cada elemento x de A la correspondencia le asocia el elemento y de B tal que y = x² Decir en cual de los siguientes casos la ley es aplicación y clasificarla.
1º) A = N , B = N ; 2º) A = Z* , B = N ; 3º) A = N , B = {y en N / y = cuadrado perfecto} ;
4º) A = Z , B = N ; 5º) A = R+ , B = R+ ; 6º) A = R , B = R+ ; 7º) A = R , B = R- ;
8º) A = R- , B = R+.Ejercicio 3:
Sea A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, probar que admite alguna relación de orden y hallar los elementos distinguidos respecto a cada una de las partes S1 = {8, 12, 16} ; S2 = {2, 4, 6, 8} ; S3 = {12, 16, 24, 48}. Determinar si A es un retículo y, en caso positivo, expresar mediante un diagrama el retículo A, de forma que se vea el supremo e ínfimo de dos elementos cualesquiera.
Ejercicio 4:
Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es ……….. en
A.
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} ………. transitiva en
A.
Ejercicio 5:
212
La relación T = {(x, y) / x N, y N x y} es transitiva en N.
Ejercicio 6:
En el conjunto N de los números naturales, considérese la relación de divisibilidad x/y en la forma :
a) Ver que tipo de ordenación es b) Ver que cualquier parte no vacía y finita de N tiene extremo superior e inferior.c) Deducir del punto anterior si N, ordenado por la relación de divisibilidad, es un retículo. d) Determinar en N – {1} los elementos mínimo, minimales, máximo y maximales, si los hubiera.
Ejercicio 7:
Sea = {2, 4, 6, 3} Indicar su relación de equivalencia:
4.5 Relacion antisimétrica.
Una relación binaria sobre un conjunto es antisimétrica cuando se da que si dos elementos de se relacionan entre sí mediante , entonces estos elementos son iguales.
Es decir,
Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.
En tal caso, decimos que cumple con la propiedad de antisimetría.
213
La aplicación de cualquier relación sobre un conjunto , se representa con el par ordenado .
Ejercicios desarrollados.
Ejercicio 1:
La relación de inclusión de conjuntos es una relación antisimetrica, ya que si: A⊂ B ^ B ⊂ A → A = B
Ejercicio 2:
Dado el conjunto A = {a,b,c} y las relaciones en A
R ={(a,a),(a,b),(b,c),(b,b)} ; S ={(a.b),(c,c),(a,c),(b,a)}
Determinar si son o no antisimetricas.
En R aplicamos la segunda definición: R*={(a,a),(b,a),(c,b),(b,b)}
Entonce: R ∩ R* = {(a,a),(b,b)} ⊂ D(A). Luego, R es antisimetrica.
En S: (a,b) Є S y (b,a)) Є S, pero a es diferente de b; luego, S no es antisimetrica.
Ejercicio 3:
La relación “x≤y” es antisimetrica, pues si: a≤b ^ b≤a → a= b
Ejercicio 4:
La relación “x divide a y” es antisimetrica, pues si c divide a d y d divide a c→c=d.
Ejercicio 5:
214
La relación sobre A dada por {(1,2), (2,1), (2,3)} no es simétrica pues (3,2) y tampoco es antisimetrica, ya que (1,2) y (2,1) pertenecen a pero 1 2. La relación {(1,1) (2,2)} es a la vez simétrica y antisimetrica.
Ejercicio 6:
Dado el conjunto A = {1,5,9} y las relaciones en A
R ={(1,1),(1,5),(5,9),(5,5)} ; S ={(1.5),(9,9),(1,9),(5,9)}
Determinar si son o no antisimetricas.
Ejercicio 7:
Dado el conjunto A = {2,4,6} y las relaciones en A
R ={(2,2),(2,4),(4,6),(4,4)} ; S ={(2.4),(6,6),(2,6),(4,2)}
Determinar si son o no antisimetricas.
Relacion de orden.
Dado un conjunto A, para el cual se define una relacion R en A , se dice que eR es una relacion de orden, si y solo si, se verifican las siguientes propiedades:
a) (x,x) Є R, para todo x pertenece A, R es reflexiva.
b) Si (x,y) Є R ^ (y,x) Є R → x = y; R es antisimetrica.
c) Si (x,y) Є R ^ (y,z) Є R → (x,z) Є R, R es transitiva.
Observaciones:
1) La relacion R toma el nombre de relacion de orden y
orden parcial.
215
2) Al conjunto A, en el cual se ha definido una relacion de
orden R, se denomina conjunto ordenado o parcialmente
ordenado por la relacion R.
3) Para designar las relaciones de orden se usan
especialmente los signos: ≥,≤,>,<.
4) En general, dar un conjunto A provisto de una relacion
cualquiera R, significa considerar un nuevo conjunto
{A,R} cuyos elementos son el conjunto A y la relacion R
(conjunto oredenado).
5: Relaciones inversas:
Toda RELACION R de A en B tiene una RELACION INVERSA de B en A, denotada por R−1, y definida por:
R−1= {(b,a)/(a,b) Є R}
Asi, los elementos de R−1, son aquellos pares ordenados obtenidos al intercambiar las componentes entre si de cada uno de los pares ordenados de la relacion directa R.
Sea R : A → B una relaci´on dada. Se define R−1 : B → A como:R−1 = {(x, y) ∈ B × A : (y, x) ∈ R}N´otese que Dom R−1 = Rec R y Rec R−1 = Dom RTambi´en que si: (x, y) ∈ (R−1)−1 ⇔ (y, x) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ R por tanto
(R−1)−1 = R
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES INVERSAS:
216
Dada una relación R de A en B y su relación inversa R−1 de B en A:
DOMINIO de R−1 = RANGO de R
RANGO de R−1 = DOMINIO de R
EJERCICIOS DESARROLLADAS
Ejercicio 1:
Sean A, B y C conjuntos no vac´ıos. Demostrar quea) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)b) (A − B) × C = (A × C) − (B × C)Demostraci´ona) Sea (x, y) ∈ [(A ∩ B) × C] ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ y ∈ C⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ y ∈ C⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ (x ∈ B ∧ y ∈ C)⇔ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) ∈ (B × C)⇔ (x, y) ∈ [(A × C) ∩ (B × C)]luego (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)b)i) Sea (x, y) ∈ [(A − B) × C] ⇔ x ∈ (A ∩ Bc) ∧ y ∈ C⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∧ y ∈ C⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ x /∈ B⇒ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) /∈ (B × C)⇒ (x, y) ∈ [(A × C) − (B × C)]Luego se demostr´o que (A − B) × C ⇒ (A × C) − (B × C) (1)ii)(x, y) ∈ (A × C) − (B × C) ⇔ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) /∈ (B × C)⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ (x /∈ B ∨ y /∈ C)⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ y /∈ C)⇒ (x ∈ (A − B) ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ A ∧ F)⇒ (x, y) ∈ [(A − B) × C] (2)
217
Luego por (1) y (2) se tiene que: (A − B) × C = (A × C) − (B × C)
EJERCICIO 2:
Sean S, T relaciones de X → Y , pruebe que:a) (S−1)−1 = Sb) (S ∩ T)−1 = S−1 ∩ T−1Luis Zegarra Relaciones y funciones 38Pruebaa) (x, y) ∈ (S−1)−1 ⇔ (y, x) ∈ S−1 ⇔ (x, y) ∈ Sb) (x, y) ∈ (S ∩ T)−1 ⇔ (y, x) ∈ (S ∩ T)⇔ (y, x) ∈ S ∧ (y, x) ∈ T⇔ (x, y) ∈ S−1 ∧ (x, y) ∈ T−1 ⇔ (x, y) ∈ (S−1 ∩ T−1)Luego (S ∩ T)−1 = S−1 ∩ T−1
EJERCICIO 3:
Si A = {1,2,3} , B = {4,5} y la relación R de A en B:
R = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)}
R−1 = {(4,1),(5,1),(4,2),(5,2)}
EJERCICIO 4:
Dado V = {1,2,3,4} y la rlacion en V:
R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R−1 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
En este caso vemos que R = R−1
EJERCICIO 5:
Si A = {1,9,8} , B = {4,5} y la relación R de A en B:
218
R = {(1,4),(1,5),(9,4),(9,5)}
R−1 = {(4,1),(5,1),(4,9),(5,9)}
EJERCICIO 6:
Si A = {1,12,7} , B = {4,9} y la relación R de A en B:
R = {(1,4),(1,9),(12,4),(12,9)}
R−1 = {(4,1),(9,1),(4,12),(9,12)}
EJERCICIO 7:
Si A = {1,2,3} , B = {7,10} y la relación R de A en B:
R = {(1,7),(1,10),(2,7),(2,10)}
R−1 = {(7,1),(10,1),(7,2),(10,2)}
EJERC ICIOS PROPUESTOS:
1: Si A = {1,7,9} , B = {3,5} . Señalar su relación inversa.
2: Si A = {1,34,2} , B = {93,5} . Señalar su relación inversa.
3: Si A = {11,22,44} , B = {3,9} . Señalar su relación inversa.
4: Si A = {15,71,1} , B = {2,3,8} . Señalar su relación inversa.
5: Si A = {1,7,9.4,2} , B = {3,5,9,19} . Señalar su relación inversa.
6: Si A = {15,7,21.4,23} , B = {3,52,91,19} . Señalar su relación inversa.
7: Si A = {1,27,9.42,24} , B = {32,6,27,19} . Señalar su relación inversa.
219
GRAFICAS DE RELACIONES.
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla
R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:
EJERCICIOS DESARROLLADOS
Ejercicio 1:
220
Dada la relación y = 1 − x 2 , determine si el punto (2,-3) pertenece a la relación.
Solucion.
Paso 1:Sustituirx=2yy=-3enlarelación.-3= 1-22
Paso 2:Simplificar.− 3 = 1 − 4 − 3 = 3
Paso 3:Determinarsilaexpresiónresultanteescierta.
Sí.
Conclusión:Elpunto(2,-3)pertenecealagráficadelarelación.
EJERCICIO 2:
Dada la relación y- 3x-5=0, determine si el punto (3,-2) pertenece a su gráfica.
Paso 1: Sustituirx=3yy=-2enlarelación.-2-3 3-5=0
Paso 2:Simplificar.-16 =0
Paso 3:Determinarsilaexpresiónresultanteescierta.
NO.
Conclusión:Elpunto(3,-2)nopertenecealagraficadelarelación.
EJERCICIO 3:
El punto (4, 46) pertenece a la parábola
221
y=4x2−3x–6
Paso 1: Sustituir x=4 y y=46 en la parábola y comparar:46=4(4)2−3(4)−6⇒46=46
Paso 2: El punto (4, 46) si pertence a la parábola y = 4x2 − 3x – 6.
Ejercicio 4:
Encontrar el valor de y del punto (0,y) que pertenece a la recta 8x−4y=4 La respuesta correcta es -1.
Paso 1: Sustituir x=0 en la ecuación 8(0)−4y=4:8(0)−4y=4Paso 2: Despejar y de la ecuación anterior:8(0)−4y=4⇒y=-1
Paso 3: El valor de y es -1
EJERCICIO 5:
Encontrar el valor de x del punto (x, 32) que pertenece a la ecuación
y=8x
Paso 1: Sustituir y=32 en la ecuación y=8x32=8xPaso 2: Despejar x de la ecuación anterior:32=8x⇒x=16
Paso 3: El valor de x es 16.
222
EJERCICIO 6:
El punto (-4,-9.6) pertenece a la recta 5x − 5y = 3
Paso 1: Sustituir x=-4 y y=-9.6 en la recta y comparar:5(-4)−5(-9.6)=3⇒28=3 (FALSO)
Paso 2: El punto (-4, -9.6) no pertence a la recta 5x−5y=3
EJERCICIO7:
El punto (-5,5) pertenece a la recta 7x+4y=5.Indicarsiesfalsooverdadero.
Paso 1: Sustituir x=-5 y y=5 en la recta y comparar:7(-5)+4(5)=5⇒-15=5 (FALSO)
Paso 2: El punto (-5, 5) no pertence a la recta 7x+4y=5
EJERCICIOSPROPUESTOS:
1:El punto (36, 42) pertenece a la ecuación y = 6x√
2: Encontrar el valor de y del punto (64, y) que pertenece a la ecuación y = 2x
3: Encontrar el valor de y del punto (-8, y) que pertenece a la parábola y = 5x2 − 3x + 7
4: El punto (25, 42) pertenece a la ecuación y = 6x
223
5: El punto (8,-31) pertenece a la recta 6x + 2y = 2
6: Encontrar el valor de x del punto (x,8.875) que pertenece a la recta 8x + 8y = 7
7: Encontrar el valor de x del punto (x,4.2) que pertenece a la recta 2x + 5y = 9
224
225