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Matemáticas IPrimer semestre

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5ª ediciónAgosto de 2014

Impreso en México

Dirección y realización del proyecto�� !� Planeación y coordinación��"��#$��%��&'�� Metodología y estrategia didáctica(��(��&��)�*��+��'��,��$��%��&'�� Agradecimientos a:(��-��.��-��-��-��(��/��0��-��/!�1��

ISBN: 978-607-8378-91-3

Matemáticas IPrimer semestre

3

Matemáticas I

(%��23-%�45��%(��(%��6�%�475�-��4%�,6��43

La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser aten-�� a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propuestos. Es im-portante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama general �� los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta manera lograr entre todos reglas claras de operación. Es importante para el desarro-llo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho conocimiento una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.

Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estruc- �� población a la que atiende ( jóvenes entre los 15 y 21 años aproximadamente) adqui-riera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfac-toria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más general, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos, y como tales deben reunir, en adición a los conocimientos y habilidades � �� impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto.

Es en este contexto que las autoridades educativas del país han propuesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consis-ten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos que permitan articular los diferentes actores en un Sistema Nacional de Bachillerato dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior, tránsito de estudiantes, ��

Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y exten-didas) y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que, por consiguiente, los hace dis-tintos. Lo anterior muestra cómo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país.

��6�$�� 0��Competencias Genéricas

Competencias Disciplinares BásicasCompetencias Disciplinares extendidas dfsfsd

Competencias Profesionales Básicas Competencias Profesionales BásicasCompetencias Profesionales Extendidas Competencias Profesionales

Extendidas

4

Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y acti- �� programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, �� !�� "��#�� $%��

Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato �� $&&��'��en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesio-nales básicas.

Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar ��*��+�� # ��en él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus vidas y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así como parti-��'��!�� "��/�� %��4��<��"��=�� las once competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes:

,��'��8

1) Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2) Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3) Elige y practica estilos de vida saludables.

,��=+��'��

4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

��8��?�=$�'��

5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6) Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia gene-�� #��

%+��*��'��0��'�

7) Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

��.� ��*��'��.��$�

8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

��+��+��.��

9) Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

5

Matemáticas I

Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimien-tos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo �� '��contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas.

Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la '�� /�� de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, conteni-dos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), Ciencias Sociales y Humanidades (Historia, Sociología, Política, Economía, Administración, Lógica, Ética, Filsofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Expresión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática).

Para la asignatura Matemáticas I se tienen las siguientes competencias dis-ciplinares básicas:

1) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2) Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos ma-temáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4) Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéri-�� -temático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5) Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6) & ��-nitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7) Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un pro-ceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8) >��-��

��+0��

La guía didáctica para Matemáticas I permitirá al estudiante utilizar distintos proce-dimientos algebraicos para representar relaciones entre magnitudes constantes y va-riables, y resolver problemas, por ejemplo, de variación proporcional como la deter-minación de tiempos de trabajo en equipos de producción en línea, durabilidad de raciones alimenticias en una población, ventajas comparativas de ofertas de productos en almacenes; o bien, resolver problemas concernientes al uso óptimo de palancas para mover objetos pesados, mezclas de productos para obtener otro con un precio intermedio; obtención de costos unitarios de dos o tres mercancías; comparación del ritmo de producción de artículos; obtención de valores mínimos o máximos en rela-ción con la producción, el costo o la ganancia por la venta de algún producto, etcétera.

6

��!��

Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.

%�� #�� -tende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesio-nes de aprendizaje.

La estrategia consta de siete pasos o etapas, mismas que deberán cono-cerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de las mismas. Los pasos se listan y describen a continuación:

F� Dinamización y motivación.

F� Contextualización.

F� Problematización.

F� Desarrollo de criterios: conocimientos, habilidades, actitudes y valores.

F� Síntesis de resultados de aprendizaje.

F� Realimentación.

F� Evaluación de la competencia

��'��0��'��$��0�

En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador tener evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido, y considerar que es a partir de los mismos que se desarrollarán los nuevos.

��=��0�

En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es ��/�� -tudiantes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio.

��.��'��0�

�� ?>�$%�� -do primordial al acercarnos a él a través de su aplicación en la vida cotidiana. Por tanto, la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula.

��G��'��H��.��H��$��

Etapa en la cual el facilitador, a partir de la Base Orientadora de la Acción (BOA), faci-lita el quehacer del estudiante en la adquisición de competencias. En esta etapa de la estrategia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asimilación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato.

Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experi-menta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación, que debe fomen-

7

Matemáticas I

tarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no está motivado, difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la formación de la BOA, esta incluye la forma que el facilitador utiliza para que el alumno desa-rrolle una competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método o forma de ��*��

La BOA puede llevarse a cabo de varias formas, cubriendo tres aspectos importantes: la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos: completa, en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido; e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto impor-tante en la constitución del BOA; esta puede ser concreta o generalizada, es decir, el docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abar-car el mismo contenido pero por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el concepto que se expone al alumno.

El modo de obtención es el último de los aspectos que incluye la BOA. Este se presenta de dos formas: pre-elaborada e independiente. En la primera, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador; y en la segunda, los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.

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Actividad que permite integrar los aprendizajes del estudiante a través de evidencias de conocimiento, desempeño, producto y actitud, de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estudiante en procesos de coevaluación.

��'��0�

Al término de cada bloque en los que se organizan las unidades de competencia en cada asignatura, el facilitador y los estudiantes, ante la evidencia recopilada en la etapa anterior, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de claridad �� los estudiantes.

�$��0��'+��

Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los pro-gramas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.

8

�,'.��8��'+��8�

1. Dinamización y motivación

2. Contextualización

3. Problematización

4. Desarrollo de criterios

5. Síntesis

6. Realimentación

7. Evaluación de la competencia

9

Matemáticas I

Bloque I. Resuelves problemas aritméticos y algebraicos 12

,��0��%��Los números reales 15Los reales positivos 15Los números naturales (N) 16Los números enteros (Ζ) 16Los números racionales o fraccionarios (Q+) 17&�� los números reales 21

,��0��El orden de las operaciones 26Jerarquía de las operaciones 26

,��0��Valores numéricos en una expresión algebraica 32

Lenguaje algebraico 34

Bloque II. Utiliza magnitudes y números reales 46

,��0��%��Comparación entre números reales 49

Razón y tasa 49,��0��Las proporciones y sus clases 54

Proporciones 54,��0��Proporcionalidad directa e inversa 60

Bloque III. Realiza sumas y sucesiones de números 68

,��0��%� Sucesiones y series aritméticas 71Sucesión aritmética 72Serie aritmética 75

,��0�� Sucesiones y series geométricas 81Sucesión geométrica 81&�� sucesión geométrica 82Serie geométrica 83

Contenido

10Bloque IV. Realizas transformaciones algebraicas I 92

,��0��%. Operaciones de polinomios con una variable 95

&�� expresiones algebraicas 96Leyes de los exponentes 97Operaciones con polinomios de una variable 98Suma 98Resta 99Multiplicación 100Multiplicación de polinomios por polinomios 102

,��0�� Productos notables 108Binomio al cuadrado 108Binomios conjugados 110Producto de binomios con un término común 112

,��0�� Factorización de expresiones algebraicas 116

Factor común 116Factor común por agrupación de términos 118Trinomio cuadrado perfecto 119Diferencia de cuadrados perfectos 120

Bloque V. Realizas transformaciones algebraicas II 128

,��0��%��Factorización de trinomios 131Trinomio de la forma x2+bx+c 131Trinomio de la forma ax2+bx+c 133

,��0�� Fracciones algebraicas simples 139División de polinomios 140

Bloque VI. Resuelves ecuaciones lineales I 148

,��0��%� Ecuaciones lineales 151!�� WXWClases de ecuaciones 153Resolución de una ecuación 153Problemas de aplicación de ecuaciones lineales 156

,��0�� Relación entre la función y la ecuación lineal 162

Despeje de variables 163,��0�� Y��' �� WZ[

Y��' �� WZ[

11

Matemáticas IBloque VII. Resuelves ecuaciones lineales II 180

,��0��%��Ecuación lineal de dos incógnitas 182,��0�� Resolución de un sistema lineal 2×2 por determinantes 196,��0�� Interpretación �� de ecuaciones lineales 201

Bloque VIII. Resuelves ecuaciones lineales III 214

,��0��%� Sistemas de ecuaciones de 3×3 216,��0��Resolución de un sistema lineal 3×3 por determinantes 222,��0�� Aplicación de los sistemas de 3×3 228

Bloque IX. Resuelves ecuaciones cuadráticas I 238

,��0��%� Ecuaciones cuadráticas incompletas 240

Ecuación cuadrática con una incógnita 241Ecuación cuadrática incompleta 241Raíces de una ecuación cuadrática 242Formas de resolver una ecuación cuadrática 244Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas 244

,��0�� Ecuaciones cuadráticas completas 249

Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas completas 249Resolución de problemas de aplicación 253

,��0��Raíces reales y complejas en las ecuaciones cuadráticas 258

Raíces real y compleja 258Cantidades reales 258Cantidades imaginarias 259

Bloque X. Resuelves ecuaciones cuadráticas II 268

,��0��%� La función cuadrática 270!��' �� ]^WLa función cuadrática de la forma estándar y=a(x-h)2+k 275

,��0�� Interpretación �� de una ecuación cuadrática 280

�.��*8� 296

BI

��'+�I��.��1��G

F� >�� '�� '�� -sentar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes) y de los demás números reales.

F� Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.

F� Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.

F� Calcula porcentajes, descuentos e intere-ses en diversas situaciones.

F� Emplea la calculadora como instrumento ��

F� Representa relaciones numéricas y alge-braicas entre los elementos de diversas situaciones.

F� Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

��$��+��.��'��'&��.��

12

��'+��&��G4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos con-

textos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, ��

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

��'+��+��G�F� Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplica-

ción de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

F� Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

13

14 Matemáticas I

Dinamización y motivaciónEs importante determinar qué tanto has aprendido a lo largo de tu formación como estudiante en tu paso por la primaria y la secundaria.

A continuació�� -vios sobre conceptos numéricos y operaciones básicas. Resuelve correctamente lo que se indica.

1. Localiza en la recta numérica los puntos asociados a los siguientes números:

� � � �

2. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

� � �

�K� F es la quinta parte de H: __________________________

.K

� :_______________________________________

3. Expresa en decimal y como porcentaje las siguientes fracciones:

�K

�

.K

�

�K

�

4. Determina el resultado de efectuar la siguiente operación:

5. Resuelve el siguiente problema matemático:

Un contratista ocupa a 28 personas entre albañiles y electricistas para la construcción de: tres salones, un baño y un audiovisual en una escuela. De los cuales 9 ganan $150 por día, 12 de ellos $230 por día y los demás $285, en función al tipo de trabajo a realizar. ¿Qué cantidad de dinero requiere el contratista para pagarles 12 días de trabajo a todos los empleados?

De acuerdo con los resultados obtenidos en la actividad desarrollada, estás en condiciones de establecer los objetivos y metas a alcanzar, de acuerdo a la unidad de competencia establecida.

Es muy importante trabajar en equipo cuando así sea requerido, socializando los resultados obtenidos en las actividades desarrolladas. Deberás entregar los productos solici-tados en cada una de las actividades sugeridas. Algo muy valioso e importante es el respeto a la participación de los compañeros y al tiempo establecido para las sesiones.

15 BIResuelves problemas aritméticos y algebraicos

ContextualizaciónDía con día nos enfrentamos a situaciones en que es necesario recurrir al uso de números: por la mañana escuchamos en los noticieros el reporte del clima, donde nos informamos de la temperatura y de las condiciones del tiempo, lo cual está asociado a una escala numérica. Tú mismo tienes que llevar el control del dinero que te dan tus padres para trasladarte a la escuela o para comprar algo que comer durante el descanso. En todos los casos se encuentran presentes los números y las operaciones que con ellos se pueden realizar.

="�� |��}�� '��de representación de los números, de acuerdo a las siguientes preguntas:

�K� ¿Qué tipo de números usamos cuando vamos a comprar a la tienda?

.K� En nuestra vida diaria, ¿dónde usamos números fraccionarios?

�K� ¿Qué tipo de números usamos al señalar nuestra edad?

�K� Menciona otros ejemplos donde utilices números positivos.

,��0��%��Los números reales

Los reales positivosProblematización En una distribuidora de productos para panadería, el cliente calculó el total de la compra y le agregó el 16 % del IVA, pero hizo esto multiplicando el total por 1.16. Al empleado no le pareció correcta esta forma de cálculo y obtuvo el 16 % de la venta y lo sumó al total. ¿Quién calculó correctamente lo que se tenía que pagar? ¿Por qué?

Desarrollo de criteriosLa aritmética nació en la época prehistórica gracias a que nuestros antepasados pasaron de ser nóma-das a sedentarios. El hombre, al ir evolucionando, tuvo la necesidad de contar sus animales, frutos, pertenencias y hasta a sus propios habitantes. Al principio utilizaba piedras, dibujos en sus cavernas, palitos, nudos en cuerdas, marcas en los árboles, etc. Posteriormente fue inventando aparatos para realizar sus mediciones, por ejemplo el del tiempo, y así organizar las actividades que realizaba a lo largo de un día (25 000-5 000 A.C).

�� '�� -temáticos se dieron a la tarea de crear una serie de números bien establecidos para poder usarlos en nuestra vida cotidiana. Dichos números son los números naturales, los cuales surgen ante la nece-sidad natural de contar. De ahí proviene el nombre ��

16 Matemáticas I

Los números naturales (�)Los números naturales son los que aprendimos desde niños. Con ellos indicamos nuestra edad, cuántos dulces o juguetes teníamos y, a medida que fuimos creciendo, las asociaciones que hacemos se van haciendo más profundas, por ejemplo:

�K� ¿Cuántas materias tiene el primer semestre de bachillerato que cursas?

.K� ¿De cuántas personas se integra tu grupo?

�K� ¿Cuántos aciertos y errores tienes en una evaluación o en el número de tareas que realizas?

Una característica de los números naturales es el orden que existe entre ellos: el pri-�� '��W�� ]��resultado de sumar 1+1), después el 3 (1+1+1 o 2+1) y así sucesivamente. Con ello entende-�� que el sucesor. En este punto se introducen nuevos símbolos (> mayor que) y (< menor que), los cuales sirven para representar esta diferencia entre dos números naturales.

Ejemplo

1<2<3<4<5

El 2 mayor que 1, el 3 mayor que 2, el 4 mayor que 3 y el 5 mayor que 4.

Si asociamos los números naturales con puntos indicados en una línea recta, ten-dríamos que todo número natural situado a la derecha de otro siempre será mayor que el número anterior:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

=��

Números naturales: son aquellos que utilizamos de forma ordinaria para contar. Se les conoce también como números enteros positivos y se representan con la letra �, describiéndose de la siguiente forma: �={1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Los números enteros (�)Continuamos la historia…

¿Cómo crees que representaban en la Antigüedad a los animales o personas que se perdían y no los encontraban, o que eran exterminados por alguna enfermedad?

Ante esta necesidad de simbolizar lo perdido, nació una nueva representación de números.

%�� /��tendría que ser considerada. De esta manera surgió el 0 (cero). En este caso, la cultura maya fue la primera en emplearlo.

>�� negativos, los cuales se representan de la siguiente manera:

Z+u{o} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}

Si se incorpora el cero a la recta numérica, ésta se amplía y surge una observación que debes tomar muy en cuenta:


�={..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Este grupo de números enteros queda representado en la recta numérica de la siguiente manera:

10 2 3 4 5 6 7 8-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

NOTA: Recordemos que tanto los enteros positivos como los enteros negativos son ��

1 2 3 4 5 6 7 8 90

N

{ }Z+u o

�� '��negativos. Para cada número siempre habrá uno mayor a la derecha, y en ambos casos se � ��

Otro tipo de números enteros que aparecen en muchas situaciones de nuestra vida cotidiana son los números negativos, que nos permiten contar nuevos tipos de cantidades, como, por ejemplo, los niveles por debajo del mar, las temperaturas por debajo de 0 grados, nuestros �� *��

Dichos números enteros negativos, unidos a los naturales y al cero, forman una � ��

=��

Números enteros estos números se componen de los números naturales, el cero y los números enteros negativos. Este conjunto se presenta con la letra�� y se describe como:

Los números racionales o fraccionarios (�+)Cuando contamos personas u objetos, los números enteros nos facilitan esta tarea; sin embargo, ¿qué sucede cuando tenemos que dividir objetos en partes, por ejemplo, al repartir un pastel �� dividir un terreno en partes iguales para heredar o vender? Cuando esta situación se presenta, aparecen en escena los números racionales, también conocidos como fraccionarios. El nombre de número racional deriva de ración o parte de un todo.

Los números fraccionarios son aquéllos que se pueden representar como el cociente de dos números enteros, y los elementos que lo integran reciben el nombre de:

�

a y b son números enteros y b es diferente de cero.

18 Matemáticas I

Una fracción puede representar la parte de un total o conjunto de elementos, por ejemplo:

Un terreno de forma rectangular tiene 10 metros de frente por 25 metros de fondo. Hay una construcción que ocupa todo el frente y 15 metros de fondo, el resto forma parte del ��%��

25 m

10 m

La parte que ocupa la construcción sería 1525

35

o

Es decir, 15 metros de 25 o 3 de 5 partes del terreno.

��'��

F� 2��0��+��+�. Son las fracciones cuyo numerador es menor que el denominador.

F� 2��0��'+��+�. Es aquella fracción cuyo denominador es menor que el numerador.

F� 2��0��. Es aquélla cuyo resultado es la unidad, por lo que tanto el nu-merador como el denominador son iguales.

F� 2��0��1�$��. Son números fraccionarios que, al dividirse, tienen el mismo re-sultado aunque los numeradores y denominadores sean distintos entre ellos.

25

1435

y

38

1540

y

��'�� '�� multiplicando o dividiendo sus términos por y entre el mismo número, respectivamente.

Los números racionales o fraccionarios, que incluyen a los enteros y éstos a los na-turales, generan, al dividirse, otra forma de representarlos, la cual se conoce como números decimales, los cuales pueden ser números decimales exactos, números decimales periódicos puros o números decimales periódicos mixtos.

5��: Si observas bien la tercera y cuarta frac-ción del ejemplo, te darás cuenta de que, al dividir estos números, lo que se obtiene son números enteros. Los números enteros per-tenecen al conjunto de los números racionales.


Para convertir un número fraccionario a decimal, basta con dividir los números enteros que aparecen en el numerador y el denominador.

5L'��'��=�� '��

Ejemplo de números decimales exactos:

25

0 4 34

0 75 12

0 5 85

1 6= = = =. ,

Si deseamos convertir un número decimal exacto a fracción, basta con tomar la parte entera con su correspondiente parte decimal multiplicado por 100 como numerador, y ��W��

5L'��'��+��0��+��

Ejemplo de números decimales periódicos puros:

13

0 3333 0 3 2399

0 232323 0 23. ... . , . ... . = = = =

Para convertir este tipo de números a fracciones, siempre y cuando la parte entera sea igual a cero, se toma la parte decimal periódica como numerador y el denominador será tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica. Ejemplo:

� �

0 23 2399

. =

En caso de que la parte entera sea diferente de cero, se suma la parte entera a la fracción que se forme siguiendo el procedimiento anterior. Ejemplo:

5L'��'��+��0��'=��. La parte decimal contiene dígitos al principio del número que no se repiten, y otra parte decimal que sí se repite. Para hacer la conversión de este número a una fracción, la parte entera se suma a una fracción, cuyo numerador estará

20 Matemáticas I

formado por la parte decimal periódica mixta menos la parte no periódica, y el denominador será una cifra que tendrá tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica y tantos ceros como dígitos tenga la parte no periódica. Ejemplo:

6 94444 6 94 6 94 990

6 1718

12518

. ... .= = = =+ +-

15 82323 15 823 15 823 8990

15 815990

3133198

. ... .= = + -+= =

0 1

1

2 3 4

72

42

54

0.52.3

0

34

12

14

18

116

Tanto los números decimales como las fracciones, positivos, pueden representarse en la recta numérica. Dichos números están localizados entre dos números enteros y se ubican en la recta numérica de la siguiente manera:

Recordemos que los números racionales son también llamados fracciones y que éstas, se representan como números decimales. Todos estos tipos de números tienen sus co-rrespondientes números negativos y juntos forman el grupo de números racionales.

�=��

Números racionales. Un número racional es un número que se expresa en la forma p/q donde p y q son enteros y q es distinto de cero.

Un número racional también puede ser expresado en forma de porcentajes, ��|Z��|Z��W�� dividido, es decir, representa una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de 100.

Es posible convertir números fraccionarios a decimales y determinar el porcentaje que representa de un entero.


Ejemplo: Con ayuda de la calculadora, encuentra de manera individual el 35 % de 459.

Solución:

Otra forma de encontrar el porcentaje es buscar su decimal y luego multiplicarlo por la cantidad dada.

Otro conjunto de números que veremos a continuación es del de los números irra-��

4�� Este conjunto surge de aquellos números que no se pueden expresar como división de ��=�� /��periódicos.

A continuación te presentamos algunos ejemplos de números irracionales:

��

�e e��

Donde �=3.1415926535897932384626433832795...

e=2.7182818284590452353602874713527...

Nota: No todas las raíces son números irracionales, por ejemplo

� �

Nota: e es el llamado número de Euler.

&��Retomando todos los grupos de números vistos en esta sesión y uniendo tanto positivos como negativos y el cero, formamos el conjunto de los números reales, los cuales abarcan toda la recta numérica.

10 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

Negativos

Enteros

Naturales

Racionales

Irracionales

9/4

3/2e= 2.7182

��–��

��–��

Positivos

22 Matemáticas I

=��

Números reales. Estos números se obtienen al añadir a los números racionales los números irracionales. Este conjunto de números reales se representa con la letra �.

El esquema siguiente resume el sistema de los números reales:

Números reales

Números racionales

Números enteros

Números naturalesCeroNúmeros enteros negativos

Cocientes no enteros

Números irracionales PositivosNegativos

PositivosNegativos

Otra forma de representarlo es a través de un diagrama:

Q´

N

Z

Q

Números reales

Como podrás observar, el conjunto de los números reales contiene a los irracionales y a los racionales, y estos últimos contienen a su vez a los enteros y los enteros a los naturales.

Actividad de aprendizaje 1Organizados en equipos de 3 o 4 alumnos, resuelvan correctamente el siguiente ejercicio, con ��

1. En la recta numérica localiza los puntos asociados a los números siguientes:

5 3 7 23

0 3 12

45

2. En los paréntesis señala con una V si se trata de proposiciones verdaderas o con una F si son falsas:

%K� Todos los enteros son racionales. ( )

�K� Existen números menores de cero. ( )

0


�K� Todos los números reales son irracionales. ( )

D) Cero es un número positivo. ( )

�K� Todos los racionales son enteros. ( )

2K� Todos los números irracionales son reales. ( )

3. Expresa en su forma decimal cada uno de los siguientes números racionales. Asimismo, señala si la cantidad es periódica o no periódica.

5L'�� '��

Síntesis1) Ubica los siguientes números en sus conjuntos correspondientes:

2 5 34

4 123

0 2 3 14 133

7 0. , ..07

N =

Z =

Q =

��

R =

2) Un grupo de excursionistas realizará un viaje a un sitio que se encuentra aproxi-madamente a 400 kilómetros de distancia del lugar de partida. Luego de revisar mapas y analizar el recorrido, concluyen que harán 2/5 del total por una autopista de cuota, 3/8 por carreteras federales y el resto por caminos de terracería. ¿Cuán-tos kilómetros recorrerán en cada tipo de carretera?

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

24 Matemáticas I

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas6%� -��'!��4 ,�'�� '��

#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��

1. Se autodetermina y

cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí

mismo y aborda problemas y

retos teniendo en cuenta los objetivos que

persigue.

1.1 Enfrenta las �� se le presentan y es consciente de sus valores,

fortalezas y debilidades.

Realiza preguntas sobre las dudas

que se le presentan.

Retroalimenta sus procesos de

aprendizaje.

2. Se expresa y comunica.

4. Escucha, interpreta y

emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas

apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos

mediante representaciones

lingüísticas, matemáticas o

��

Se expresa de manera lógica y

creativa.

Representa relaciones

entre diversos conceptos .

Observaciones:


Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares

6��&'�� -��'!��4

��1��4 ��$��+��.��'��'&��.��'+��

��+��!��'��'!�� '+�I�� 4��

5$��

�� =��

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación

de procedimientos aritméticos, algebraicos,

geométricos y variacionales, para la

comprensión y análisis de situaciones reales,

hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos,

aplicando diferentes enfoques.

>��'��diferentes de representar

números positivos, decimales en

distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de

los demás números reales.

>��'��de representación de números positivos.

>��decimales en distintas

formas (enteros, fracciones, porcentajes).

Escribe números decimales en forma de enteros,

fracciones y porcentajes.

>��'��de representación de

números reales.

Soluciona problemas

aritméticos y algebraicos.

Utiliza los sistemas, reglas y principios medulares que

subyacen a una serie de fenómenos relacionados con los números reales.

Emplea la calculadora como instrumento de exploración y ��

resultados.

Utiliza la calculadora como herramienta de exploración

de resultados.

Observaciones:

26 Matemáticas I

,��0��El orden de las operacionesProblematización Un ingeniero contrata a un albañil por $250.00 por día. Con el propósito de que permanezca hasta que acabe la obra, le dará $100.00 al día si por causa de la lluvia no puede trabajar. Des-pués de 23 días el albañil recibe $4 550.00. ¿Cuántos días trabajó y cuántos días no trabajó?

Desarrollo de criteriosNos estamos adentrando en el uso de los números para realizar operaciones que resultan muy prácticas en nuestra vida cotidiana. En ocasiones efectuamos cálculos de manera escrita e inclusive utilizando la calculadora, pero resulta que las operaciones no son correctas, ¿te has preguntado por qué pasa esto? A manera de ejemplo vamos a efectuar una serie de opera-ciones, tanto de manera escrita como con la calculadora. Anotaremos nuestra respuesta en la libreta y la daremos a conocer al grupo uno por uno, mientras que el facilitador escribirá los �� '�� dar la respuesta correcta.

Jerarquía de las operacionesCuando se realizan operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división, en las que no hay signos de agrupación, el procedimiento que se emplea es el siguiente:

1) Se efectúan las operaciones de multiplicación y división. Cuando hay dos operado-res (+, -, �,��) de la misma jerarquía, se procede de izquierda a derecha. Ejemplo:

2) A continuación se efectúa la suma y la resta de izquierda a derecha:

Cuando en una operación intervienen signos de agrupación, el procedimiento se puede resumir de la siguiente forma:

1o Se deben eliminar los signos de agrupación a través de las operaciones indicadas, comenzando por los que se ubican más hacia el interior de la expresión.

2o Se efectúan las operaciones de multiplicación y división en el orden que aparezcan (de izquierda a derecha).

3o Finalmente se llevan a cabo las sumas y las restas en el orden en el que se presenten (de izquierda a derecha).


Como ejemplo te presentamos la siguiente operación:

Actividad de aprendizaje 21) Efectúa las siguientes operaciones en tu libreta sin utilizar la calculadora y anota

tus respuestas en el siguiente cuadro:

3+��0� ��+�� +��

�K� 2 3 25 5 8´ + ¸ - =

.K� 4+8×10�2=

2) Efectúa las siguientes operaciones utilizando la calculadora, anota tus respuestas en la siguiente tabla:

3+��0� ��+�� +��

�K� 8×5+4-3×2+6�3

.K� 50+15�5×3-9�3×4+6×4�6

3) Una vez que tu maestro anote los resultados y la frecuencia de los mismos en la pizarra, contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:

�K� ¿Todos los resultados son iguales?

.K� ¿Cuántos resultados se obtuvieron en la primera y segunda operación realizada?

�K� ¿Por qué?

A continuación, te proponemos una serie de ejercicios que te permitirá llevar a cabo operaciones aritméticas siguiendo un orden jerárquico de ejecución.

Actividad de aprendizaje 3Resuelve las siguientes expresiones:

�K� (20�2) + 3=

.K� (30�3) + (8×2)=

c) (25×2) (12�3)=

d) (10+5)×(3×2)=

e) (20�5)+(8�2)=

f) (7×2)+(10+6)�(5-3)=

28 Matemáticas I

El orden de las operaciones está señalado por los signos de agrupación, los cuales ya conoces, pero vale la pena recordarlos:

F� Paréntesis ( )

F� Corchetes [ ]

F� Llaves { }

Los signos de agrupación se usan de la siguiente manera:

F� Para indicar que una expresión funciona como número único. Ejemplo: 4(10�5), donde (10�5) es un número único, toda vez que puede ser sustituido por el número 2, que es el valor de su operación.

F� Para sustituir el signo de multiplicación. Por ejemplo: 4(5) = (4)5 = (4)(5)= 4x5.

F� Para señalar cuál es el orden que debe seguirse para resolver una operación. Cuando una expresión se encuentra entre paréntesis, indica que las operaciones que están dentro de ellos deben realizarse primero. Si en una expresión se utiliza más de un paréntesis se deberá proceder primero con los que se encuentren más hacia el centro de la expresión.

� �'+��

500 - {(6-1)8�4×3+16�(10-2)}-5=

500 - {(5) 8�4×3+16�8�-5�

500 - {40�4×3+2}-5�

500 - {30+2}-5�

500 - 32 - 5�

468 - 5= 463

Actividad de aprendizaje 41) Con base en la jerarquía del orden de ejecución, e incluyendo los signos de agru-

pación, resuelve las siguientes operaciones aritméticas en tu libreta:

�� 2[4+3(2)]+20=

.�� {9-[8�4]+9-6}=

�� 2[8-8(7-3)+2(5)]=

�� [48�6]5-10=

�� 3[30�10]-9=

*�� 4{[15�3]-8-5}�8=

�� 150-[18+(5-3)+(6-2)]=

�� 800+{20-3×4+5[18-(6-1)3+(5-2)4]}=

�� [(9-4)�5+(10-2)�4]+9×6�18+2=

Ahora bien, ¿cómo se traduce este tipo de conocimientos en una aplicación práctica? Como un ejemplo de ello te presentamos la siguiente situación:

Una cadena de restaurantes solicita el suministro de medio millón de folletos pu-blicitarios. En el primer envío le fueron entregados 125 450 folletos; posteriormente le llegaron 3 750 folletos menos que en el primero y, por último, en el tercer envío, recibió 10 350 folletos más que en el segundo. ¿Cuántos folletos le faltaron?


,��0�

Folletos solicitados: 500 000

1er envío: 125 450

2º envío: (125 450 - 3 750)

3er envío: [(125 450 - 3 750) + 10 350]

Para poder determinar cuántos folletos faltan debemos restar a la cantidad de fo-lletos solicitados los que fueron enviados. De tal manera que la expresión nos quede de la siguiente manera:

500000 - {125450 + (125450 - 3750) + [( 125450 - 3750) + 10350]}

Realizando las operaciones indicadas y considerando la jerarquía de las operaciones, tenemos que:

500 000 - {125 450 + (125 450 - 3 750) + [( 125 450 - 3 750) + 10 350]}=500 000 - {125 450 + (121 700) + [(121 700) + 10 350]}=500 000 - {125 450 + (121 700) + [132 050]}=500 000 - {379 200}= 120 800

Por lo tanto, a la cadena de restaurantes le falta por recibir 120 800 folletos publicitarios.

Actividad de aprendizaje 51) Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno:

�� Un hospital adquirió 60 sillas de ruedas a $360.00 cada una. y equivocada-mente vendió 30 de ellas a $280.00. Calcula en cuánto tiene que vender las 30 sillas restantes para recuperar su inversión.

.�� Los ahorros de David equivalen a $298 675.00 y de esa cantidad decide tomar una parte para pagar el enganche de un automóvil, por lo que le quedan $202,300.00 a favor. Posteriormente juega a la lotería y gana $125 630.00, cantidad que incorpora a sus ahorros. Meses más tarde, planea casarse con su novia y compra una casa. Si su saldo actual en el banco es de $799.00, ¿cuánto le costó la casa y cuánto dio de enganche para el automóvil?

�� Isaac compró una propiedad en $450 370.00 y una moto en $26 380.00. Después de un tiempo, decide vender la propiedad en $480 900.00 y la motocicleta en $23 600.00. ¿Cuánto dinero obtuvo? O, en caso contrario, ¿cuánto dinero perdió en dichas transacciones?

�� Un artesano vende una guitarra en $3 690.00. Su hijo le explica que si la hubiera vendido en $200.00 más, habría ganado $1 500.00. ¿Qué cantidad invirtió en la realización de dicha guitarra?

30 Matemáticas I

Síntesis1) Con base en la jerarquía del orden de ejecución e incluyendo los signos de agru-

pación, resuelve las siguientes operaciones en tu libreta:

��

.��

��

��

��


#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��


cuida de sí.




persigue.

1.1 Enfrenta las �� le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas

y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.



Observaciones:



6��&'�� -��'!��4

��1��4 ��$��+��.��'��'&��.��'+��

��+��!��'��'!�� '+�I�� 4��

5$��

�� =��

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación





Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.

Jerarquiza operaciones numéricas al ejecutarlas.

Realiza operaciones aritméticas,

siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.

Realiza operaciones aritméticas, siguiendo una jerarquía en el orden de

ejecución.



Soluciona problemas


Utiliza los sistemas, reglas y principios medulares

que subyacen a una serie de fenómenos relacionados con los

números reales.


resultados.

Utiliza la calculadora como herramienta de

exploración de resultados.

Observaciones:

32 Matemáticas I

,��0��Valores numéricos en una expresión algebraicaProblematización La sociedad de padres de familia, en coordinación con las autoridades educativas, desea construir un andador alrededor de un jardín de 10 por 10 metros que posee la escuela. Para ello, pretende acondicionar terreno alrededor del jardín, pero no más de 96 m2. ¿Qué ancho deberá tener el andador para no rebasar los 96 m2 estipulados?

Desarrollo de criterios=��#�� -cimientos adquiridos con anterioridad. En la secundaria, con toda seguridad, trabajaste algunas fórmulas en Física, Química y Matemáticas, principalmente en Geometría, por ejemplo:

�� "�� círculos, así como la circunferencia, empleaste fórmulas como:

A = l2, A = (b)(h), A =

A = r2

En el caso de la longitud de la circunferencia C =2 r, tenías que considerar datos que te pudieran ayudar a efectuar el cálculo respectivo; si se trataba de un cuadrado necesita-bas el valor de un lado, en el caso del rectángulo el valor de la base y la altura, al igual que en un triángulo; y para el área del círculo y la circunferencia, bastaba con saber el valor del radio.

Ahora bien, no siempre todas las áreas determinadas eran iguales. Esto dependía �� *�� A pesar de ello, las fórmulas son las mismas, pero a los datos, por ser cambiantes, se les ha llamado variables. ¿Te has preguntado el nombre que recibe la acción de cambiar letras por números en una fórmula o cómo se llaman las expresiones matemáticas que se forman con números y letras, en las cuales intervienen operaciones de distinta índole, como son la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación?

Así como una expresión algebraica está compuesta por números y letras, los ope-radores matemáticos (+, -, x, �), sirven para generalizar una regla, por ejemplo: para hallar el área de un rectángulo siempre se multiplicará la longitud de la base por la altura, aunque éstas cambien dependiendo del tamaño del rectángulo. Aquí no ahondaremos más en las expresio-nes algebraicas, ya que en otra sesión abarcaremos con mayor amplitud el tema, pero, N1�&��$��'&��=+��0��.��O

Precisamente al proceso de sustituir los valores asignados para las letras (literales) de una expresión algebraica efectuando las operaciones indicadas y obteniendo un número correspondiente, se le denomina valor numérico de una expresión algebraica.

� �'+��

�K� Determina el área de un triángulo si la base es igual a 5 y la altura igual a 4.

Sustituyendo las literales b y h por sus valores respectivos, tenemos que:

A b h u( )( ) ( )( )2

5 42

202

10 2= = = =

El valor numérico de la expresión es 10 si la b=5 y h=4.


.K� ¿Cuánto vale la expresión 3a2bc3, cuando a=1, b=2 y c=4?

3 3 1 2 4 3 1 2 64 3842 3 2 3a bc ( ) ( )( ) ( )( ) ===

El valor numérico para 3a2bc3 es 384, si a=1, b=2 y c=4.

Sin embargo, si los valores de a, b y c cambian, también cambiará el valor numé-rico de la expresión algebraica.

�K� ¿Cuánto vale la expresión 4 62

x+ cuando x=5?

4 62

4 5 62

20 62

262

13x = = = =+ + +

El valor numérico de la expresión algebraica4 6

2×+

es 13 si x=5.

�K� ¿Cuánto vale la expresión 5xy + 7y cuando x=2 y y=3?

5 7 5 2 3 7 3 30 21 51xy y ( )( ) ( )+ + +

El valor numérico de la expresión algebraica 5xy + 7y es 51 si x=2 y y=3.

�K� ¿Cuánto vale la expresión 5 32

w zw z

-+

cuando w=4.2 y z=3.6?

5 32

5 4 2 3 3 64 2 2 3 6

21+

- -+

-+

= = = =10 8

4 2 7 210 211

w zw z

( . . )( . . )

. ..44

0 89. ...

El valor numérico de la expresión 5 3

2w z

w z-

+ es 0.89 si y sólo si y=4.2 y z=3.6.

Actividad de aprendizaje 61) A continuación te presentamos diversas actividades en las que debes obtener el

valor numérico de distintas expresiones algebraicas. Resuélvelas en tu libreta y comparte con el grupo los resultados obtenidos.

�� 2 2+x a cuando x=6 y a=4

.�� 2 3 42x x- + cuando x=1

�� 3 1+ 2( )x x– cuando x=3

�� 4 2 2xy – –y x cuando x=3 y y=2

�� 7 3 53 2x x x+ – cuando x=5

*�� ab a b2 2– + cuando a=9 y b=1

�� 3 85 15

3xy

––

cuando x=4 y y=3

�� ab

ba

2 2

22

+ cuando a=7 y b=2

34 Matemáticas I

2) !�� valores de las literales dadas en las fórmulas correspondientes.

2�� 20�'�� 8'�� #��

a

P = 6l

A =

l = 3 cm

a = 2 cm

l = 12 cm

a = 8 cm

a

bP = 2a + 2b

A = ah

a = 10 cm

b = 7 cm

h = 3 cm

a = 15 cm

b = 9 cm

h = 7 cm

Lenguaje algebraicoAntes de continuar, tenemos que adentrarnos en la forma de expresar un problema según el lenguaje algebraico. Comenzaremos con situaciones sencillas y, a medida que avancemos en los siguientes bloques, profundizaremos más en este tema.

El perímetro de un rectángulo tiene por fórmula P = 2b + 2h, pero ¿cómo se llega a esta conclusión? Veamos el siguiente esquema:

b

b

h h

%�� "�� tenemos que:

P = b + h + b + h, tomando en cuenta que tenemos dos veces b y dos veces h, la expresión en su forma abreviada sería P = 2b + 2h.

Lo que en el lenguaje normal se traduce como: “el perímetro de un rectángulo es igual al doble de la base más el doble de su altura”.

&�� /��-tacando sus elementos, luego se procedió a formular algebraicamente cómo se representa su �� perímetro (P), es igual (=), suma (+), el doble de la base (2b), el doble de la altura (2h).


Si queremos pasar del lenguaje común al lenguaje algebraico, tenemos que tomar en cuenta las palabras claves que te permitan formar una expresión algebraica. Para ello, debes comprender cómo los valores desconocidos están representados por literales (letras) y que los operadores matemáticos (+, -, �,��) se pueden enunciar de distinta manera. El siguiente cuadro te dará una idea de lo que estamos hablando:

��+��+�� =+��

Valores conocidos a, b, c, d... primeras letras del alfabeto

Valores desconocidos u, v, w, x, y, z, últimas letras del alfabeto

= “es”, “igual a”.

+ Adiciona, suma, gana, aumenta, más, incrementa, crece, etcétera.

- Sustrae, resta, diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etcétera.

� Multiplica, producto, dos veces, el doble, duplo, triple, cuádruplo, etcétera.

� Divide, dividido por, cociente, razón, mitad, entre, tercera parte, cuarta parte, etcétera.

Potencia El cuadrado, el cubo, elevado a, etcétera.

Veamos un ejemplo:

La suma de dos cantidades cualesquiera.

a + b, también x + y

El cociente de la suma de dos cantidades cualesquiera y su diferencia:

a ba b–

+ también puede representarse como x y

x y–+

Un número aumentado en 4:

a + 4, también x + 4

El doble de un número:

2a, también 2x

El cuadrado de la diferencia de dos números:

(a-b)2, también (x-y)2

36 Matemáticas I

No es tan complicado. Con un poco de práctica podrás dominar todas las variantes que se te puedan presentar. Antes de aplicar este conocimiento a situaciones concretas, es necesario que practiques; para ello, te proponemos la siguiente actividad:

Actividad de aprendizaje 71) Escribe los siguientes enunciados en su expresión algebraica:

�� La diferencia de dos números:

.�� El producto de dos números cualesquiera:

�� El cociente de la suma de dos números entre otro número:

�� El triple del cuadrado de un número:

�� El cubo de un número:

*�� La raíz cuadrada del producto de dos números:

�� La tercera parte del cubo de un número:

�� El producto de la suma por la diferencia de dos números:

�� El cuadrado de la suma de dos números:

2) Formen equipos de tres alumnos para que juntos resuelvan los siguientes proble-mas en sus cuadernos:

El ritmo que alcanza un corazón humano durante la práctica de algún deporte depende de la edad de la persona que se ejercita. Considerando que la tasa de pulsos mínima (T.P.M.) esté dada por el cociente obtenido al dividir 72 veces la diferencia de 220 y la edad de la persona entre 100, realiza lo siguiente:

�� Por medio de una expresión algebraica, representa la tasa de pulsos mínima.

.�� Jaime tiene 18 años. Diariamente sale a correr por 40 minutos. ¿Cuál es su tasa de pulsos mínima durante el ejercicio que realiza?

Síntesis 1) Determina cuál es el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

��2 14 1

2

2

aa

ca–+

+ cuando a=4, c=2.

.��xx

x2 293 9

–+

+ cuando x=3.

�� ( )( )c d c dcd

– + cuando c=5, d=2.

��( )a b ab

ca

2 2– cuando a=1, b=2, c=3.

�� r r r2

360.( (+ cuando r=3.


2) Escribe los siguientes enunciados en su expresión algebraica:

�� El producto de tres números disminuido en cinco unidades:

.�� Cinco veces la suma de un número y cuatro unidades:

�� La diferencia del triple de un número y una unidad:

�� La suma de los cuadrados de dos números:

�� La raíz cúbica de la tercera parte de un número:

3) Escribe las siguientes expresiones algebraicas en un lenguaje común:

��

.��x y

2+

�� ( )x y 2 2– +

��

�� x y2 2+4) Luis y Armando van rentar una casa en la playa para pasar sus vacaciones en com-

pañía de su familia durante una semana. La renta tiene un costo de $9 500.00 por toda la semana. La aportación de Luis para el alquiler de la casa es de $2 500.00 menos que el doble de lo que aporta Armando. ¿Cuánto aporta cada uno?

38 Matemáticas I


#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��

1. Se autodetermina y cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.


entre diversos conceptos.

Observaciones:



6��&'�� -��'!��4

��1��4 ��$��+��.��'��'&��.��'+��

��+��!��'��'!��

��'+�I�� 4��5$��

�� =��







numéricas y algebraicas entre los elementos de

diversas situaciones.

Calcula el valor numérico de una expresión

algebraica.

Emplea expresiones numéricas para

representar relaciones.

Emplea expresiones algebraicas, usando

literales, para representar relaciones entre las

magnitudes.

Describe expresiones verbales mediante formas

algebraicas y viceversa.



Soluciona problemas


Utiliza los sistemas, reglas y principios medulares

que subyacen a una serie de fenómenos relacionados con los

números reales.


resultados.

Utiliza la calculadora como herramienta de

exploración de resultados.

Observaciones:

40 Matemáticas I

RealimentaciónResuelve las siguientes situaciones:

1. Localiza en la recta real los puntos asociados a los números siguientes:

� ��

2. En la recta real repinta con color:

�K� Negro, la semirrecta positiva

.K� Rojo, la semirrecta negativa

�K� Azul, el origen

3. Dados los números:

� � �

¿Cuáles son números naturales?________________________________________

¿Cuáles son números enteros?________________________________________

¿Cuáles son números racionales?_______________________________________

¿Cuáles son números irracionales?_______________________________________

4. De los siguientes diagramas, ¿cuál es el que muestra la relación correcta entre los con-juntos considerados?

� � . �

�

5

Q

�

Q

5

�

5

Q

5. ��

�K .K � �K

�K �K

6. ��

�K� .K� �K��


�K� �K�

7. >��

�K�

.K� �

�K�

�K�

�K�

8. Expresa en forma decimal cada uno de los números racionales:

�K� .K� �K� �K� �K�

9. Expresa como cociente de dos enteros cada uno de los siguientes números decimales:

�K� .K� �K� �K� �K�

10. Con base en la jerarquía del orden de ejecución e incluyendo los signos de agrupación, resuelve las siguientes operaciones:

�K�

=

.K� x x x x x

�K�

�K� =

�K� =

42 Matemáticas I

11. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales:

�=+��0��$��.�� =+��0��.��

El cociente de la suma de dos números entre otro número

La suma de dos números divida entre su diferencia

El cuadrado de un número aumentado en tres unidades

El cubo de un número disminuido en seis unidades

El triple del cuadrado de un número

La raíz cuadrada del producto de dos números

12. Las expresiones algebraicas pueden enunciarse empleando el lenguaje común. Es conve-niente ejercitarlo para su correcta traducción.

�=+��0��.�� =+��0��$��.��

�2

3

3 3�

3

13. Un terreno de forma rectangular tiene 20 metros de frente por 50 metros de fondo y se va a bardear. La altura de la barda será de 2 metros. Un albañil cotiza la colocación de bloques o ladrillos a $20.00 el metro cuadrado. Si al frente tendrá un acceso de sólo 5 metros, ¿cuánto costará bardear el resto del terreno?

14. Una microempresa tiene ventas al mes por un monto de $25 200.00. De esa cantidad, el 64 % se destina a diversos gastos. ¿Cuál ha sido la ganancia del mes?

15. De los 620 alumnos de una escuela preparatoria, 403 son mujeres. Determina el porcen-taje de varones que hay.

16. El encargado de pagar la nómina en una tienda solicita al banco efectivo en billetes de dis-tintas denominaciones. El banco le entrega tres sobres con el dinero. El primer y segundo sobre tienen $3 500.00 en total. El segundo y tercer sobre contienen $3 000.00, y el primer y tercer sobre juntos hacen la cantidad de $2 500.00. ¿Cuánto tiene cada sobre?


43

Evaluación de la competencia


#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��


cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.



Observaciones:

44 Matemáticas I

Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares6��&'��

�� -��'!��4

��1��4 ��$��+��.��'��'&��.��'+��

��+��!��'��'!��

��'+�I�� 4��5$��

�� =��

1. Construye e interpreta modelos

matemáticos mediante la

aplicación de procedimientos

aritméticos, algebraicos,

geométricos y variacionales, para la comprensión y

análisis de situaciones reales, hipotéticas o

formales.

>��'��diferentes de

representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de

los demás números reales.

>��'��representación de números

positivos.

>��en distintas formas (enteros,

fracciones, porcentajes).

Escribe números decimales en forma de enteros,

fracciones y porcentajes.

>��'��representación de números

reales.

Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.

Jerarquiza operaciones numéricas al ejecutarlas.

Realiza operaciones aritméticas,

siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.

Realiza operaciones aritméticas, siguiendo una jerarquía en el orden de

ejecución.

Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de

diversas situaciones.

Calcula el valor numérico de una expresión algebraica.

Emplea expresiones numéricas para representar

relaciones.

Emplea expresiones algebraicas, usando literales, para representar relaciones

entre las magnitudes.

Describe expresiones verbales mediante formas

algebraicas y viceversa.


6��&'�� -��'!��4

��1��4 ��$��+��.��'��'&��.��'+��

��+��!��'��'!��

��'+�I�� 4��5$��

�� =��

Formula y resuelve problemas

matemáticos, aplicando diferentes

enfoques.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

Utiliza los sistemas, reglas y principios medulares que

subyacen a una serie de fenómenos relacionados con

los números reales.


resultados.

Utiliza la calculadora como herramienta de exploración

de resultados.

Observaciones:

BII

��'+�I��.��1��G

F� Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos.

F� Combina cálculos de porcentajes, descuen-tos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distin-tas representaciones, operaciones y propie-dades de números reales.

F� Utiliza razones, tasas, proporciones, varia-ciones y modelos de variación proporcio-nal directa e inversa.

F� Construye modelos aritméticos, algebraicos �� los números reales.

6��'�� L'��

46

��'+��&��G�4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en dis-

tintos contextos mediante la utilización de medios, códi-gos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones ��

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a proble-mas a partir de métodos establecidos.


��'+��+��G�1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante

la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análi-sis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

|��>��

47

48 Matemáticas I

4848

Dinamización y motivaciónEn el presente bloque se pretende que ingreses al campo de magnitudes y números reales (razo-nes, proporciones y variación directa e inversa) a través de las unidades de competencia, que se encuentran en la portadilla de este bloque y que tal vez ya leíste. Para que empieces a poner en práctica estas unidades de competencia, planteamos las siguientes situaciones, donde apli-carás los conceptos sobre razones y proporciones que aprendiste desde tu formación básica, y con los que seguramente te habrás ya enfrentado en la escuela, en tu casa o en la calle. Nuestra intención es que no solamente puedas dar con la respuesta correcta (como seguramente consi-gues hacer en la vida cotidiana), sino también explicar la fundamentación de tu razonamiento.

F� ,��0��P. Esteban trabaja en una ferretería. El otro día el encargado le pidió que almacenara 45 litros de pintura roja en botes de ¾ de litro. ¿Cuántos botes de ¾ de litro tuvo que llenar Esteban?

F� ,��0��R. Guadalupe terminó en 15 minutos el platillo que su mamá le sirvió, y durante su consumo comió 6 tortillas. ¿Cada cuánto tiempo consumió una tortilla?

F� ,��0��S. La llave principal de la toma de agua de la casa de Juan se abre com-pletamente para llenar una cubeta de 20 litros, lo cual demora 5 minutos. ¿Cuál es la cantidad de litros de agua que sale de la llave por minuto?

F� ,��0��T�� $��>��-��]��+��WX�� W]�� /��

49 BIIUtilizas magnitudes y números reales

,��0��%��Comparación entre números realesProblematizaciónUna mañana muy temprano, antes de salir rumbo a la escuela, Emmanuel encendió la tele y es-cuchó en el noticiero lo siguiente: En Chihuahua, la lluvia se precipitó durante las 23 horas del sábado. En total cayeron 190 milímetros de agua en tan sólo 5 horas, cantidad récord para esta �� negocios. ¿Cuál crees que fue la tasa de caída del agua?

Desarrollo de criterios

Razón y tasaEn nuestra vida tenemos que hacer comparaciones con diferentes cosas y situaciones para �� "�� '��-�� '��

El concepto de razón es básico en matemáticas; por ejemplo, si alguien te pidiera descifrar cuántas veces es mayor tu papá o tu mamá que tú, tendrías que dividir la edad de tu papá o mamá entre tu edad. Si le damos valores numéricos (39 años a tu papá y 15 a ti), la ��|��WX�]�Z�� %�� ]�Z��*��*�� ver, no resultó nada complicado de descifrar.

Otro ejemplo sería el de un automóvil que recorre una distancia de 160 km en 2 horas. ¿Cuál es la velocidad del automóvil?, ¿cómo la calcularías? Sin duda, debido a tus cursos de Física de la secundaria, ya sabes que la fórmula es v=d/t, por lo que, para saber cuál es la velocidad, sólo tienes que dividir 160 km/2 h , lo que da 80 km/h.

��

Razón: una razón es la comparación entre dos cantidades que tienen las mismas unidades, y que se puede representar mediante un cociente o división.

Existen tres formas de presentar una razón:

�K� Como fracción:

.K� Como dos números separados por la letra a: 23 a 4.

�K� Como dos números separados por dos puntos: 23:4.

50 Matemáticas I

Tasa: cuando se comparan cantidades de distintas unidades o de distinto tipo, se le llama tasa y se puede escribir como fracción.

Por ejemplo:

%�� ]�� }��2, entenderíamos que por cada m2 que pintemos, necesitaríamos cinco litros de pintura, es decir:

�

Después de haber analizado estos conceptos, te proponemos realizar la siguiente actividad para que pongas en práctica tus saberes:

Actividad de aprendizaje 1En parejas resuelve los siguientes ejercicios:

1) En un juego de basquetbol, los Lakers de Los Ángeles acertaron 12 tiros libres de 20 intentos y, los equipos Celtics de Boston, 17 de 23 intentos. Determina qué equipo es más efectivo en los tiros libres.

2) El jamaiquino Usain Bolt es el hombre más rápido del mundo, ya que en 2009, en Berlín, Alemania, corrió los 100 m planos en sólo 9.58 segundos. ¿Cuál es su velocidad en m/s?

SíntesisOrganizados en parejas, resuelvan correctamente los siguientes ejercicios:

1) Catalina va al supermercado con $50.00 y tiene que comprar tortillas ($4.85), hue-vos ($12.50), mantequilla ($5.15), harina ($10.90), frijoles ($7.65) y aceite ($13.75). ¿Cuánto le sobró o le faltó?

2) Una tableta de una medicina pesa de onza. ¿Cuál es el peso de de tableta?

3) Una botella cuya capacidad es litros contiene agua hasta sus partes. ¿Qué

cantidad de agua contiene?


4) Un granjero colocó una cerca alrededor de su parcela para que no entraran los animales a comerse sus verduras. La parcela es de forma cuadrada y cada lado mide 10 m.

Si puso los postes cada de metro, ¿cuántos postes colocó?

5) Un rectángulo tiene de área 7/3 cm2 y sabemos que uno de sus lados mide 2/5 cm. ¿Cuánto medirá el otro lado?

6) La Tierra gira alrededor del Sol a 29.7 kilómetros por segundo. Marte lo hace a 0.81 veces la velocidad de la Tierra. ¿Cuál de los dos planetas gira más rápido? ¿Por qué? ¿A qué velocidad gira Marte?

7) Con base en la siguiente tabla, realiza lo que se te solicita a continuación. Recuer-��'��

�1�+�� .��1��.��

�1�+�� $��.��

%��'�� 17 31%��'�� 28 19

�� 45 50

�� Escribe la razón de alumnas a alumnos en el equipo de basquetbol.

.�� Escribe la razón del número total de personas entre el equipo de basquet-bol y el equipo de voleibol.

52 Matemáticas I


#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��


cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.



Observaciones:



�� -��'!��4

��1��44 6��'��L'��'+��

��+��!��'��'!�� '+�I�� 4��

5$��

�� =��






Formula y resuelve problemas


enfoques.

Interpreta tablas, ��

diagramas y textos con símbolos matemáticos

��

Utiliza razones, tasas, proporciones

y variaciones, modelos de variación proporcional directa e

inversa.

Comprendo el concepto de razón, tasa y proporción.

Utilizo razones y tasas.

Observaciones:

54 Matemáticas I

,��0��Las proporciones y sus clasesProblematización

En el departamento de ropa para caballeros de un centro comercial, los pantalones marca Cimarrón tienen un costo de $150, pero la tienda decide hacer una rebaja del 20 % a estos pantalones. ¿Cuál es el descuento en pesos?


Proporciones ��=�� -ción entre dos cantidades con las mismas unidades y entre distintas unidades, respectivamente. Ahora, en esta sesión aprenderemos el concepto y las propiedades de las proporciones para que tengas el sustento en las aplicaciones.

Al inicio de este bloque te planteamos las siguientes situaciones:

F� �� $��>��]��%��WX�� -��W]�� /��

F� Durante las vacaciones de verano, Flor viaja con sus padres y hermanos a Chetumal. Durante el recorrido pasan por el municipio de Oxkutzcab y se detienen en el mercado municipal a comprar frutas. A ella le gustan las naranjas dulces y su papá le da $15 para que las compre. Si cada montón de naranjas (3 naranjas) cuesta $5 pesos, ¿cuántos montones puede comprar?

¿Recuerdas cómo resolviste estos problemas? Como puedes notar, en este tipo de situaciones se conocen tres valores y uno es desconocido. ¿Recuerdas el nombre del procedi-miento que usabas en la secundaria para resolverlas?

Estamos seguros de que la mayoría lo recuerda, pero para los que no, el procedi-miento se conoce como��. Esta regla es una aplicación del tema que analizaremos en breve, y que se llama +��+��.

En esta sesión aprenderemos el concepto y las propiedades de las proporciones para que tengas el sustento en las aplicaciones de la sesión 3, que trata de variación directa e inversa.��

��+��0�: es la igualdad entre dos razones (o tasas). Una proporción se escribe de la forma:

ab

cd

= o a:b = c:d, y se lee “a es a b como c es a d”.


En cualquiera de las formas enunciadas, las literales a y d son los extremos y, b y c, los medios.

Un ejemplo de proporción sería el siguiente:

x4

63

=

Propiedades de las proporcionesLas siguientes propiedades te ayudarán en la resolución de ejercicios y problemas sobre proporciones:

1) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Sí ab

cd

= =entonces ad bc

2) En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios entre el extremo conocido.

En ab

cd d

o da

= = =entonces a bc bc

3) En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos entre el medio conocido.

En ab

cd

adc

o c adb= = =entonces b

�� entre dos cantidades que tienen las mismas unidades. Debe quedarte claro que una propor-ción es una aplicación del concepto de razón, pero para más de dos cantidades, donde nor-malmente hay una cantidad desconocida.

Después de haber analizado este importante concepto, te proponemos realizar las siguientes actividades para que pongas en práctica tus conocimientos. Tienes que trabajar en equipos, por lo que te sugerimos que te solidarices con tus compañeros para llegar a la reso-lución correcta de todas las actividades.

Actividad de aprendizaje 2Organizados en equipos de 3 personas, resuelvan los siguientes problemas:

1)

�� x

.�

�x

��

x�

��

xx

�

56 Matemáticas I

2) Una antena proyecta una sombra de 50.4 metros ( ) y, un poste de 2.54 metros ( ) de altura una de 4.21 metros ( ). ¿Cuánto mide la antena ( )?

A B

E

D

C

sombra de la antena sombra del poste

3) La tabla contiene diferentes cantidades de litros de gasolina y sus respectivos pre-cios. Complétenla y realicen lo que se indica posteriormente.

(�� 1 3 9

��+�� 21 42 420

4) Para pintar una barda mezclé 8 litros de pintura amarilla con 18 litros de pintura �� ' �� %��|�� ¿con cuánta pintura azul debo mezclarla para obtener el mismo tono?

5) Para preparar un tipo de chocolate, hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 6 kg de cacao. ¿Cuánto cacao hay que comprar para 2, 5, 10 y 25 kg de azúcar? Es-criban sus respuestas en la siguiente tabla y respondan las preguntas posteriores:

"��L�� "��

2

3 6

5

10

25

F� ¿Existe un número que al multiplicarse por cualquier cantidad de kilogramos de azúcar dé como resultado los kilogramos de cacao correspondientes?¿Cuál es?

F� ¿Cuántos kilogramos de cacao se necesitan por cada kilogramo de azúcar?


F� �� /�� '�� de kilogramos de cacao por cada kilogramo de azúcar?

F� Utilicen el factor constante para calcular los kilogramos de cacao necesarios para 7, 18, 35, 42 y 64 kilogramos de azúcar.

6) Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en la lotería. ¿Cómo deben repar-tirlo si uno de ellos aportó $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00 para comprar el boleto?

7) Cuatro amigos ganaron un premio de $15 000.00 en un sorteo y se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto, que costó $100.00. Al primero le tocaron $2 100.00, al segundo $5 700.00, al tercero $3 300.00 y al cuarto el resto de los $15 000.00. ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto?

SíntesisEn equipos resuelvan el siguiente problema:

1) %�� "�� -�� X��W]�� ¿Cuánto deben medir los demás lados? Utilicen la tabla para anotar las medidas.

9 cm

5 cm

2 cm

11 cm

-��

-�� +��

5 cm 12 cm

2 cm

9 cm

11cm

58 Matemáticas I

2) En un almacén de autos nuevos la razón entre el número de autos y de ruedas es 2:5. Si hay 50 autos, ¿cuántas ruedas hay?

3) En un supermercado la razón entre los plátanos y las sandías es 3:5. Si el total de frutas es 120, ¿cuántos plátanos y cuántas sandías hay?

4) Por tres kilogramos de azúcar se pagan $49.50. ¿Cuánto se pagará por 14 kilo-gramos?

5) Un procedimiento para conocer el tiempo de vida de un árbol es contar las capas internas del tronco. Generalmente un roble tarda 13 años para formar tres capas. Si un tronco tiene 50 capas, ¿Cuál es la edad aproximada del roble en cuestión?


#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��'+�I�

5$�� =��


cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue.


y debilidades.




aprendizaje.


4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en

distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y

herramientas apropiados.




��


creativa.



Observaciones:



�� -��'!��4

��1��44 6��'��L'��'+��+��!��

'��'!��'+�I�� 4��

5$��

�� =��





geométricos y variacionales, para

la comprensión y análisis de

situaciones reales, hipotéticas o

formales.

2. Formula y resuelve problemas


enfoques.

3. Interpreta tablas, ��

diagramas y textos con símbolos

matemáticos y ��

Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de

variación proporcional

directa e inversa.

Comprendo el concepto de proporción.

Interpreto las propiedades de las

proporciones.

Utilizo razones, tasas y proporciones.

Aplico las propiedades fundamentales de las

proporciones.

Observaciones:

60 Matemáticas I

,��0��Proporcionalidad directa e inversaProblematización��[�"�� W]��& ��W[��Z�"��

Desarrollo de criterios¿��"�� resultado de algún problema en particular? Te pondré un ejemplo: vas a la tienda y compras 5 latas de algún refresco y con 35 pesos. Si posteriormente debes volver a ir a comprar 8 latas, ¿cuánto dinero tendrías que llevar?

Por medio de simples multiplicaciones y divisiones puedes realizar el cálculo y hallar la respuesta, es decir, si por 5 latas pagaste 35 pesos, eso quiere decir que cada lata costó 7 pesos. Ahora bien, si cada lata cuesta 7 pesos, ¿cuánto costarían 8 latas? Realizando la multi-�� ^�[�XZ��[��XZ��=�� "�� y +��+��.

Tomemos otro ejemplo. Si un señor se tarda 16 días en sembrar árboles en su patio trasero, ¿cuántos días se tardarían el señor y su esposa en plantar la misma cantidad de árboles? Dado que una persona tarda 16 días, dos personas tardarían la mitad, es decir, 8 días.

�� '��dinero, personas, días, etcétera) más aumenta también otra variable? Como en el primer caso, mientras más refrescos quieras comprar, más dinero costarán. En contraste, en algunas ocasiones conforme más aumente una variable, más disminuye otra. Como en el segundo caso, más ��=�� los diversos tipos de proporciones:

Proporcionalidad directa

Una proporción es directa si cuando aumenta una variable la otra aumenta también, o bien, si al disminuir una variable, la otra disminuye también.

� �'+��P

Si 7 camisas cuestan 28 pesos, ¿cuánto costarán 10 camisas?

Hay que hallar el costo en pesos de 10 camisas. Para abreviar la palabra “costo en pesos de 10 camisas” llamémosle a esta variable simplemente “x”; así en lo sucesivo llamare-mos x, a las variables cuyo valor sea desconocido.


7 camisas28 pesos

1 camisas x pesos

= 0

7 x 1 287x 28

pesos

( )( ) = ( )( )=

=

=

00

2807

40

x

10 camisas costarían 40 pesos.

� �'+��R

Si 30 motocicletas en un taller representan 2/3 del total, ¿cuántas motocicletas representarían 1/3?

Primero representamos la relación, para posteriormente hallar el valor del total de motocicletas:

30 3x2

=

donde x es el total de motocicletas:

3 3 29 2x

00

902

45

( )( ) = ( )( )=

=

=

x

x

x

45 es el total de motocicletas en el taller. Ahora bien, 1/3 de esas motocicletas representaría 15 motocicletas, ya que los 2/3 serían 30 y los 3/3, es decir, un entero correspon-dería a las 45 motocicletas.

En esta relación tenemos que si una variable aumenta, la otra también, y que si una variable disminuye, la otra lo hará de igual forma. Ésta es la proporción directa. ¿Qué otros ejemplos de relaciones directas puedes encontrar?

Proporcionalidad inversaUna proporción es inversa si, cuando aumenta una variable, la otra disminuye; o bien, si al disminuir una variable, la otra aumenta.

En otras palabras, podemos decir que el comportamiento de la segunda variable es inverso al de la primera. Caso contrario es el de las proporciones directas, en donde el comportamiento de las variables es igual.

� �'+��P�

5 muchachos arreglan un local para unos XV años en 4 horas. ¿Cuántos muchachos serían necesarios para poder arreglar el local en una hora suponiendo que todos los chavos trabajasen al mismo ritmo?

Si tenemos que 5 muchachos arreglan el local en 4 horas, se nos pide que hallemos cuántos lo harían en una:

(5 jóvenes)(4 horas) = (x muchachos) (1 hora)

20 = x

20 muchachos arreglarían el local en una sola hora.

Dicha relación es inversa, ya que mientras más muchachos ayuden, menos horas se requerirán para el arreglo del local.

62 Matemáticas I

Actividad de aprendizaje 31) La empleada de una perfumería obtiene el 12 % de cada venta que realiza.

Si logra vender 9 perfumes a $750 cada uno, ¿cuál es su comisión?

2) Un médico examina a un enfermo y encuentra que su corazón late unifor-memente 20 veces en 12 segundos. ¿Cuántos latidos detectará el médico en un minuto?

3) En una fábrica 15 obreros elaboran un pedido de mercancía en 8 días de trabajo. ¿Cuántos obreros tendrán que aumentarse para entregar el pedi-do en tres días?

4) Con de litro de gasolina, una podadora puede segar el pasto de m

en un terreno. ¿Qué cantidad de gasolina se requiere para segar m ?

SíntesisResuelve correctamente los siguientes problemas:

1) Un tanque de agua tarda 90 minutos en llenarse con dos surtidores. ¿Cuántos surtidores se deben emplear para llenarlo en 30 minutos?

2) Eduardo gana $209 700 despues de recibir un aumento. ¿Cuál fue el por-centaje de ese aumento, si el sueldo anterior era de $181 550?

3) Un avión en condiciones normales de vuelo consume 10 toneladas de combustible en un recorrido de 2500 km. ¿Cuántas toneladas consumirá en un viaje de 3200 km en las mismas condiciones de vuelo?

4) Saúl demora 20 días en pintar una casa. ¿Cuánto demorarán Saúl, Gerardo, Alberto y Efraín en pintar la misma casa si todos tienen el mismo ritmo de trabajo?

5) Una compresora tiene capacidad de de caballos de fuerza y tarda

�� #�� & ��

que tarda �� #��



#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��


cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.



Observaciones:

64 Matemáticas I


�� -��'!��4

��1��44 6��'��L'��'+��+��!��

'��'!��'+�I�� 4��

5$��

�� =��








formales.



enfoques.






directa e inversa.

Reconozco variaciones directas e inversas, y

aplico las propiedades de las proporciones a ejercicios y problemas

asociados a la vida cotidiana.

Utilizo variaciones.

Utilizo modelos de variación proporcional

directa e inversa.

Observaciones:


Realimentación En forma individual, resuelve los siguientes ejercicios:

1. Encuentra el valor de x en las siguientes proporciones:

�� x

.�� x

�� x

�� xx

2. En un grupo de 30 alumnos, 4 de ellos tienen playera de color azul, 5 de color verde, 6 de color rojo y el resto de color café.

�� ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen playera de color café y el total de alumnos?

.�� ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen playera de color rojo y de color verde?

3. Una costurera produce 40 camisas del tipo “vestir” por cada 60 unidades del tipo “popu-lar”. ¿Cuál es la razón del número de unidades del tipo “popular” respecto al de “vestir”?

4. La razón entra la edad de Omar y la de su hijo es 5:2. Si Omar tiene 36 años, ¿cuántos años tiene su hijo?

5. Un tráiler recorre cierta distancia en 9 horas a una velocidad de 52 kph. ¿Qué velocidad deberá tomar para hacer el mismo recorrido en 6 horas?

6. La gerente de una cafetería pide 750 platos para postre. ¿Cuál será el costo de la orden si compra al mayoreo 6 tazas por $45?

7. En un internado hay 420 niños y comida para 30 días. ¿Cuánto duraría esa misma comida si fueran 630 niños?

8. Un sastre compró 5m de tela y pagó por ella $125. Si necesita 9 m de la misma tela, ¿cuánto debe pagar?

9. Para efectuar el mantenimiento de los patios de la escuela, que mide 60 m2, se dieron cita 4 padres de familia, quienes realizaron el mantenimiento en 3 horas. Si para limpiar el patio más grande se reunieron 10 padres de familia y trabajaron durante 4 horas, ¿cuál �� "��

10. Nueve operarios le dan servicio a 20 máquinas en 60 días, ¿Cuántas máquinas pueden ser atendidas por 12 operarios en 36 días?

66 Matemáticas I


#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��


cuida de sí.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda

problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que

persigue.

1.1 Enfrenta las �� se le presentan y es consciente de sus valores,

fortalezas y debilidades.

Realiza preguntas sobre las dudas que

se le presentan.


aprendizaje.




mediante la utilización de medios, códigos y

herramientas apropiados.




��


creativa.



Observaciones:




�� -��'!��4

��1��44 6��'��L'��'+��+��!��

'��'!��'+�I�� 4��

5$��

�� =��








formales.



enfoques.






directa e inversa.

Comprendo el concepto de razón, tasa y proporción.

Utilizo razones y tasas.

Comprendo el concepto de proporción.

Interpreto las propiedades de las proporciones.

Utilizo razones, tasas y proporciones.

Aplico las propiedades fundamentales de las

proporciones.

Reconozco variaciones directas e inversas, y aplico

las propiedades de las proporcionesa ejercicios y problemas asociados a la

vida cotidiana.

Utilizo variaciones.

Utilizo modelos de variación proporcional directa e

inversa.

Observaciones:

BIII

��'+�I��.��1��G

F� >��'�� /��así como sus propiedades.

F� &�� /�� /�� geométricas.

F� Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas.

F� &�� sucesiones aritméticas y geométricas.

F� �� los cálculos de obtención de términos de las sucesiones.

F� Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el va-lor de cualquier término en una sucesión aritmética y ��/�� '��-mulas correspondientes.

F� Soluciona problemas aritméticos y algebraicos, usando series y sucesiones aritméticas y geométricas.

��'��L'��

68

��'+��&��G1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos te-

niendo en cuenta los objetivos que persigue.W�W��'��

valores, fortalezas y debilidades.4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herra-mientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüís-��

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.


��'+��+��G�1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la apli-

cación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométri-cos y variacionales, para la comprensión y análisis de situacio-nes reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferen-tes enfoques.

|��>��-��

69

70 Matemáticas I

7070

Dinamización y motivaciónEs importante determinar qué tanto has aprendido a lo largo de tu formación como estudiante, �� -ceptos aritméticos y algebraicos, operaciones básicas, patrones y secuencias numéricas.

En esta sección se te presenta una serie de situaciones que involucran cinco posibles respuestas correctas. Lee con atención y analiza los datos para que elijas la opción acertada.

Juana desea saber el año en que su papá se jubiló. Revisando documentos y con los datos que le dio su mamá, encontró lo siguiente: “El hombre nació en el año 1962, se casó cuando tenía 20 años y 2 años después nació ella. Cuando Juana cumplió los 21 años, su papá se retiró”. ¿En qué año se jubiló?

%K� 2003 �K� 2021 �K� 1982 D) 2005 �K� 2000

Antonio tiene 3 estanques de agua, donde ha colocado cierto número de peces para su reproducción y cultivo. Él hace una comparación de lo sucedido en el primer mes con el tercero, llevando el registro en una tabla. Observa que existe cierta secuencia de sucesos entre los estanques y el número de peces del mes uno al mes tres. ¿Qué número le faltaría colocar a Antonio para completar la secuencia observada?

��1��P ��1��R ��1��S

-��P 20 120 2440

-��S 40 480 ?

%K� 4880 �K� 7320 �K� 9760 D) 19520 �K� 14600

Don Raúl es un asiduo jugador del Melate que cree que, para ganar el sorteo, sus nú-meros tienen que estar siempre en serie o cumplir con un patrón numérico. Escogió la serie 1, 4, 9, 16, ____, ____. ¿Qué números le hacen falta?

%K� 26, 36 �K� 10, 20 �K� 16, 25 D) 25, 36 �K� 18, 24

La mamá de Lucía desea premiarla por el buen desempeño que lleva en sus estudios, y en especial en la materia de Matemáticas, ya que es su favorita. Para ir de acuerdo al gusto de su hija, le plantea un acertijo para que sepa cuánto dinero recibirá. Le entregará $20 pesos el primer día y, los restantes 14 días, $ 25 pesos más que el día anterior, para cerrar la quincena. ¿Cuánto dinero recibió el último día?

%K� 365 �K� 280 �K� 350 D) 300 �K� 370

¿Cuál es el décimo quinto término de la serie: a - x, a, a + x, a + 2x...?

%K� 15a + x �K� a + 15x �K� a + 13x D) 14a + x �K� 15x

71 BIIIRealizas sumas y sucesiones de números

Contextualización"La tiendita "Las 3 hermanas" vende la primera docena de huevos a $20; a $18.50 la segunda; a $17 la tercera, y así sucesivamente. ¿Cuánto pagaríamos por 11 docenas de huevos?"

,��0��%� Sucesiones y series aritméticasProblematizaciónEl Mundial de Futbol se lleva a cabo cada determinado tiempo. La primera Copa del Mundo se celebró en Uruguay en 1930, quien quedó como campeón; la segunda fue en Italia en 1934; la tercera, en Francia en 1938; la cuarta, fue en Brasil en 1950, y las siguientes sedes de la copa fueron: Suiza 1954, Suecia 1958, Chile 1962, Inglaterra 1966, México 1970, Alemania 1974, Ar-gentina 1978, España 1982, México 1986, Italia 1990,Estados Unidos 1994, Francia 1998,Corea-Japón 2002, Alemania 2006, Sudáfrica 2010, Brasil 2014,…

Con base en los datos anteriores, ¿en qué año se celebrará la trigésima Copa del Mundo?

Desarrollo de criteriosTe habrás dado cuenta de lo importantes que son las operaciones aritméticas para la resolución ��"�� resultado de otras. Un ejemplo de ello se da en la ganadería, pues si un ganadero compra una res para engorda con un peso inicial de 200 kg, y mediante una alimentación balanceada éste aumen-ta 1.5 kg al día, ¿cuánto pesará después de los primeros 60 días? Reconocemos entonces que el ganado tiene un peso inicial de 200 kg el primer día, en el segundo 201.5 kg y en el tercero 203 kg, y así sucesivamente hasta el día 60, dando un peso total de 288.5 kg.

Habrá otros compañeros que indiquen que se puede llegar al mismo resultado �� de días, sin contar el primero, pues apenas se le alimentará quedando el peso del ganado quedará de la siguiente manera: 1.5 kg x 59 días = 88.5 kg + 200 kg = 288.5 kg en total durante los primeros 60 días. Si el ganadero desea saber cuánto pesará después de todo un año los cálculos cambian. Al mismo tiempo es necesario realizar conjeturas que te lleven a procesos más cortos sobre la solución del problema en cuestión; en este momento trabajamos con grupos de números que siguen ciertas regularidades.

�� . Un ejemplo de conjunto ordenado son los números naturales, ya que tienen un primer elemento y cada uno de los demás tiene un sucesor inmediato, donde al sumarle uno al anterior se tendrá cuanto número natural posterior se desee.

En esta sesión estudiares a las sucesiones, por lo que a continuación presentaremos � ��

Una ��0� es un conjunto ordenado de números reales:

a1, a2, a3, a4, ..., an, ...

Cada uno de los números reales que conforman la sucesión se llama �&�'�� de la sucesión.

Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, ... es una sucesión donde el número tres es el primer término de la sucesión, el seis es el segundo témrino y así sucesivamente, según la posición que ocupen.

72 Matemáticas I

Sucesión aritméticaUna��0��'&�� es un orden de números en la que cada uno de ellos, a excepción �� '��

Ejemplo: Dada la siguiente sucesión 3, 6, 9, 12, 15, ... encuentra su diferencia y com-pruebe que es una sucesión aritmética.

Solución:

Hallemos la diferencia, restando el segundo término de la sucesión con el primero.

d=6-3=3

&�� /�� -rior más la diferencia:

aaaaa

Por lo tanto, la sucesión es aritmética.

Actividad de aprendizaje 1Aplicando las propiedades de las sucesiones, completa la siguiente tabla, donde d representa la diferencia entre los términos consecutivos:

��0� ,��0� � �U&�'��&�'��

1 4

2 7 4 + (2 - 1)(3)

3 10 4 + (3 - 1)(3)

4

5

6

15

20

50

100

�


Si al primer término de una progresión aritmética le llamamos a1, d a la diferencia o cantidad común de términos consecutivos; n el orden del término considerado y an el término general de la progresión, tenemos que nuestra progresión quedaría del siguiente modo:

��0��Vn) 1 2 3 4 … n

�&�'��nU&�'��V��)

a d1 0+ a d1 1+ a d1 2+ a d1 3+ ... a n d1 1( )–+

Por todo lo anterior podemos concluir que el término n-ésimo de la sucesión aritmética está dado por:

a a n dn 1 1= –+

� �'+��P

En la sucesión aritmética 2, 5, 8, 11, 14…, encuentra el décimo séptimo término.

,��0�

�K� Encontramos la diferencia común d = 8 – 5= 3.

.K� Reconociendo los datos a1 = 2, n = 17 y sustituyendo en la expresión general de la progresión aritmética, tenemos: a = 2 + (17 – 1)3 = 50.

� �'+��R�

¿Cuál es la regla que rige el desarrollo de los términos de la sucesión 1, 4, 7, 10…?

,��0�

Una regla que cumple con los primeros elementos es:

3 2n –Veamos qué sucede:

3(1) – 2 = 3 – 2 = 13(2) – 2 = 6 – 2 = 43(3) – 2 = 9 – 2 = 73(4) – 2 = 12 – 2 = 10

�� -tesiano, en cuyo eje X irán los valores de n que son números naturales y en el eje Y, los valores de la sucesión.

�� W��|��X��^��£��

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

74 Matemáticas I

Actividad de aprendizaje 2Escribe la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones:

�K� 2, 4, 6, 8, 10

Regla:

.K� 5, 10, 15, 20

Regla:

�K� 3, 5, 7, 9, 11

Regla:

�K� 6, 11, 16, 21, 26

Regla:

�K�

Regla:

*K� 0, 3, 8, 15, 24

Regla:

Actividad de aprendizaje 3Escribe los primeros cuatro términos de la sucesión cuyo término n-ésimo se da a continuación:

1) an= 6n � , , ,

2) an = 5n - 1 � , , ,

3) an = 13n– � , , ,

4) an = � , , ,

5) an= 2 1n – � , , ,

6) an = nn2 1–

� , , ,

7) an = n n( )3 1+ � , , ,


Actividad de aprendizaje 4Aplicando las propiedades de las sucesiones aritméticas, calcula el n-ésimo término que ocupa la posición que se pide en la siguiente tabla:

��0� ,��0� �� W��1�X�V��Y�PKV�K

�U&�'��&�'��

��

25 RH�ZH�[H\

a1 =

n =

d =

30 SH�[H�PSH\

a1 =

n =

d =

59 PRH�PSH�PTH\

a1 =

n =

d =

Actividad de aprendizaje 5Resuelve los siguientes problemas utilizando los procesos de progresión aritmética:

1) La biblioteca de la escuela tiene 25 libros en el primer anaquel, 24 en el segundo, 23 en el tercero y así sucesivamente. ¿Cuántos libros tendrá el anaquel número 12?

2) &�� en el primero obtuvo 64 puntos, que fueron aumentado consecutivamente en un orden progresivo de 7 puntos por examen presentado.

3) El presidente de la compañía de autobuses foráneos Centro tiene un sueldo anual de $125 000. En un proceso de regulación salarial, va a recibir un aumento de $3 600 cada año. ¿De cuánto será su sueldo en el año sexto?

4) �� WX�� |�� & ��"��W]�

5) Una pelota que cae desde una terraza recorre 16 m en el primer segundo, 48 m en el siguiente y 80 en el tercer segundo. Si continúa cayendo de esta manera, ¿cuánto habrá caído en el séptimo segundo?

Serie aritméticaUna serie es la suma indicada de los términos de una sucesión. Si la serie se forma de una sucesión aritmética, entonces la ��'&��.

Así, por ejemplo, la serie asociada a la sucesión aritmética 1, 4, 7, 10, 13,… es 1+4+7+10+13+...

Veamos este resultado a partir de una anécdota histórica: “Se cuenta que cuando el matemático Carlos Federico Gauss era un niño de aproximadamente 10 años y estudiaba en su natal ciudad de Brunswick, Alemania, su profesor, viejo mentor que estaba más preocupado

76 Matemáticas I

en reposar y disfrutar de un día sin nada que hacer que en enseñar nuevos conocimientos, le propuso una actividad que consistía en sumar los 100 primeros números naturales. Al poco tiempo Gauss, con la astucia que lo caracterizaba, estaba frente a su profesor mostrándole el resultado correcto. El profesor, incrédulo ante lo sucedido, se preguntaba cómo había podido hacerlo en tan corto tiempo, ya que había que sumar de uno en uno los números”.

Actividad de aprendizaje 6Organizados en equipos de tres personas, Expliquen cuál fue la manera como realizó Gauss la � ��¤ ��

La suma de n términos de una sucesión aritmética (Sn ) se calcula con la fórmula:

S n ( )= +a an n2 1

%�� /��%�� hasta n términos de una sucesión.

Si recordamos que nuestra fórmula del n-ésimo término es an=a1+(n-1)d, tenemos que nuestra fórmula anterior se transforma:

= + +

+

+

=

= =[ ]–

–

� �'+��P

Calculemos la suma de los primeros 30 números naturales.

,��0�

�K� ¥�� /��de la sucesión.

.K� Entonces a1 = 1 y an = 30. La suma de ambos es 31.

�K� >��WX��

S15302

1 30 465= =+( )

� �'+��R

Dada la sucesión 2, 6, 10, 14,…, calcula la suma de los primeros 40 términos.

,��0�

>�� algebraica para el cálculo de esta. Sea a1 = 2, d = 4 y n = 40.

Retomando la expresión algebraica para la suma de términos S n a n dn 2 1= + –[ ] tenemos que:

S

SS

40

40

40

402

2 2 40 1 4

20 4 1563200

( ) ( )=

==

[ ]+ –

+


Actividad de aprendizaje 7Utilizando los valores dados en cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los términos de la serie:

��'�� ,�'��V,�)

1. a d n1 6 4 17, ,= = =

2. a d n115

25

16= = =

3. d a n 21= = =– –

4. a d n1 13 4 89= = =

Actividad de aprendizaje 8Utilizando los valores dados en las fórmulas del n-ésimo término y de la suma de una sucesión aritmética, encuentra la cantidad que se solicita:

��'�� ,��0�

1. a n d1 1 6 4= = = an

2. a a nn1 2 14 7= = = Sn

3. n a Sn n7 2 7= = =

4. S n an 15 01= = = d

5. n d Sn 28= = =–

Actividad de aprendizaje 9Trabajando en parejas, resuelvan los siguientes problemas, que se relacionan con la suma de progresión aritmética:

1) ¿Cuánto ganó en 10 años el ingeniero Carlos si tuvo un sueldo inicial de $50 000 y recibió aumentos anuales de $2600?

2) �� '��]X�� posteriores tiene dos asientos más que lo anterior. ¿Cuántos asientos hay en total �� ]��

3) Un grupo de estudiantes del Colegio de Bachilleres decide formar una pirámide humana, de tal forma que cada nivel tenga un estudiante menos que la anterior. ¿Cuántos alumnos formarán la pirámide si la base comienza con 10 muchachos?

78 Matemáticas I

4) A un estudiante que presenta un examen de 10 preguntas se le informa que cada una después de la primera vale 2 puntos más que la anterior. Si la tercera tiene un valor de 5 puntos, ¿cuál es la puntuación máxima que puede obtener al término de su examen?

5) �� |��WX��W^��segunda, 19 en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuántos asientos hay en todo el auditorio?

SíntesisResuelve cada uno de los siguientes problemas:

1) Encuentra la expresión algebraica para el n-ésimo término de la sucesión, así como la suma de los primeros 10 términos. Puedes emplear la calculadora.

�� 38, 36, 34, 32, 30, ...

.�� 50, 40, 30, 20, …

�� 2, 5, 8, 11, 14, 17, ...

�� 710, 706, 702, 698, 694, 690, ...

�� 8, 8.5, 9, 9.5, 10, 10.5,…

2) ¦�� -nuación:

�& �� |X�

3) ¦��

�& �� Z^�

4) El niño Carlos estuvo ahorrando durante cierto número de semanas y logró jun-tar la cantidad de $12.15. Era tanta su emoción que olvidó exactamente cuántas semanas le llevó ahorrar dicha cantidad. Sólo recuerda que ahorró 25 centavos la primera semana y, en cada una de las siguientes ahorró, 5 centavos más que la anterior. ¿Durante cuántas semanas estuvo ahorrando? Ayudemos a Carlos a resolver su acertijo.

5) Juan y Antonio son asiduos lectores de novelas históricas. Ellos escogieron una novela que se llama México y su historia, la cual consta de 1 100 páginas en total. Juan lee 50 páginas diariariamente y Antonio lee 10 páginas el primer día, 20 el segundo, 30 el tercero y así sucesivamente. ¿Después de cuántos días están en la misma página?



#��'�� -��'��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��


cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.



3. Piensa crítica y �#��

5. Desarrolla innovaciones

y propone soluciones a problemas a partir de métodos

establecidos.

5.2 Ordena información de acuerdo

a categorías, jerarquías y relaciones.

&��información de acuerdo a sus características.

Observaciones:

80 Matemáticas I


�� -��'!��4

��1��444 ��'��L'��'+��+��!��

'��'!��'+�I�� 4��

5$��

�� =��








formales.



enfoques.




>��'��series y sucesiones numéricas y así como sus propiedades.

>�� series aritméticas.

Reconozco términos de sucesiones aritméticas.

Ordeno información de acuerdo con relaciones en series y sucesiones

aritméticas.

Reconozco la forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones

aritméticasparticulares.

>��relación variacional en la fórmula

del n-ésimo término de sucesiones aritméticas particulares.

Determina patrones de series y sucesiones aritméticas.

Determino regularidades y patrones de las sucesiones y series aritméticas.

Escribo términos de sucesiones aritméticas.

Diseño y aplico modelos sencillos de series y sucesiones aritméticas.

&�� para establecer el

comportamiento de sucesiones aritméticas.

&�� el comportamiento de sucesiones

aritméticasparticulares.

Realiza cálculos obteniendo el n-ésimo término y el

valor de cualquier término en una sucesión aritmética, ��fórmulas correspondientes.

Aplico las fórmulas correspondientes para hallar el modelo del n-ésimo

término que caracteriza a una sucesión aritmética particular.

Aplico las fórmulas correspondientes para hallar el valor de una serie

��/��

Obtengo términos de sucesiones aritméticas utilizando la diferencia o

aplicando las fórmulas.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos

usando series y sucesiones aritméticas.

Emplea la calculadora para �� los cálculos de obtención de términos de las sucesiones.

Utiliza la calculadora como herramienta de exploración de resultados.

Observaciones:


,��0�� Sucesiones y series geométricasProblematizaciónValentina tiene 2 padres (1ª generación atrás), 4 abuelos (2ª generación atrás), 8 bisabuelos y así sucesivamente. ¿Cuántos ancestros tendrá 6 generaciones atrás?


Sucesión geométricaUna��0��'&�� es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante llamada razón ( r ), que puede ser positiva o negativa.

��!�� X��WX��}X��W|X��}�X��£�� sucesión geométrica.

Solución:

Hallemos la razón dividiendo el segundo término de la sucesión entre el primero:

r � �

§�� /�� /��-no para hallar los siguientes:

aaaaa

Por lo tanto, la sucesión es geométrica.

En una sucesión geométrica se puede obtener el valor de un elemento cualquiera mediante la expresión del término general, siendo an el término en cuestión, a1 el primer término y r la razón.

Por lo tanto, el n-ésimo término de la sucesión está dada por:

82 Matemáticas I

&�� sucesión geométricaUna sucesión geométrica puede ser de dos maneras, dependiendo de la razón:

F� Las sucesiones crecientes son aquéllas cuya razón es mayor que la unidad.

F� Las sucesiones decrecientes son aquéllas cuya razón es menor que la unidad.

� �'+��P

¿Cuál es el sexto término de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24, 48…?

,��0�

�K� Encontramos la razón común r 63

2= = .

.K� Reconociendo los datos a1 = 3, n = 6 y sustituyendo en la expresión general de la progresión geométrica, tenemos:

aa

66 1

6

3 296( )=

=

–

� �'+��R

Escribe los primeros 5 elementos de una progresión geométrica cuyo primer ele-mento es a1= -2 y su razón común es 3/2.

,��0�

�K� Reconocemos que el primer elemento es a1= -2 y la r = .

.K� Multiplicamos para obtener los 5 elementos restantes:

-2, -3, -9/2, -27/4, -81/8

Actividad de aprendizaje 10Demuestra que las sucesiones dadas son geométricas y calcula su razón común:

7) 1, 3 3 3 3, ,– –

8) 162, -54, 18, -6

9) 1,

1) 2, -4, 8, -16

2) 300, -30, 3, -0.3

3) 4, -6, 9, -13.5

4) 8, 4, 2, 1

5) 5, 25, 125, 625

6) 4, 1.2, 0.36, 0.108 10) 2,


Actividad de aprendizaje 11Escribe los primeros cinco elementos de una sucesión geométrica, cuyo primer elemento y su razón común están dados a continuación:

1) a r1 5 3,= =

2) a r1 3 2,= =

3) a r112

23

,= – =

4) a r1 81 1133

, == –

5) a r1 8 12

,= = – –

6) a r1 2 2,= =

7) a r1 125 15

, = = –

8) a r11133

3,= =

Actividad de aprendizaje 12Resuelve los siguientes problemas empleando las progresiones geométricas:

1) Obtén el 7º término de la progresión geométrica 3, 6, 12,…

2) Encuentra el 6º término de la progresión geométrica 1, 2/5, 4/25...

3) Halla el séptimo término de la progresión geométrica 8, 4, 2…

4) Sabiendo que la razón es igual a 2, n = 87 y an= 1280, halla el primer término.

5) ¿Qué valores de k hacen que 2k, 5k+2 y 20k-4 sean términos consecutivos de una sucesión geométrica?

6) El papá de Alberto le dio la cantidad de $2 cuando cumplió 15 años y le dijo que le du-plicará el dinero en los años siguientes. ¿Cuánto dinero recibirá cuando cumpla 24 años?

7) En un fraccionamiento hay sólo 8 casas y en cada una hay 8 gatos. Cada gato mata 8 ratones, cada ratón se comería 8 granos de maíz y cada grano de maíz �� [��'��*�� /��

Serie geométricaUna serie geométrica es la suma indicada de los términos de una sucesión geométrica, es decir, si tenemos la sucesión geométrica 1, 2, 4, 8, 16…, la serie geométrica asociada con la sucesión es 1 + 2 + 4 + 8 + 16+...

84 Matemáticas I

La suma de n términos de una sucesión geométrica (Sn) se calcula con la fórmula:

Sa r

rn

n1 1

1 –

–(( )

)= con r��

� �'+��P

Determina la suma de la progresión geométrica cuyo a1 = 3, r = y n = 6.

,��0�

�K� Reconocemos que los elementos son a1 = 3, r = , n = 6.

.K� Utilizamos la fórmula Sa r

rn

n1 1

1

(

(=)

)––

, sustituyendo:

S6

6

3 1 12

1 12

=

–

–

))

(( =

3 1 164

12

–( (=

3 636412

( (=189

325 906.=

� �'+��R

Mauricio desea casarse con su novia Ofelia y para ello comienza a ahorrar, apartando $1 el primer día, $2 el segundo día, $4 el tercer día, $8 el cuarto día y así sucesivamente.

1) Si continúa duplicando la cantidad que aparta cada día, ¿cuánto debe apartar el decimoquinto día?

2) Suponiendo que no se le acaba el dinero, ¿cuál es la cantidad total que ahorra al terminar el día 30?

,��0��P

�K� Reconocemos que los elementos que intervienen son: a r1 1 2,= = y � .

.K� La fórmula a utilizar es: a a rnn–

11= , sustituyendo:

a1515 11 2 16 384,– == ( )

,��0��R

�K� Reconocemos que los elementos que intervienen son: � � y � .

.K� La fórmula a utilizar es Sa r

rn

n1 1

1=

–

–

)

)

(

(, sustituyendo:

S30

301 1 2

1 2

–=

–

(

( )

)=


Actividad de aprendizaje 13Trabajando en equipos de tres integrantes resuelvan los siguientes planteamientos, que se relacionan con progresión y serie geométrica:

1) En la progresión geométrica 1, 2, 4, 8…, hallen el octavo término y la suma de los primeros ocho términos.

2) En la progresión geométrica 1, 10, 100, 1000, 10,000…, hallen el término décimo y la suma de los primeros 10.

3) Encuentren los primeros 5 términos de la progresión geométrica a1 = -9 y r = 1/2.

4) En la progresión geométrica se conoce a1 = 1, an = -32 / 243 y r = - 2 / 3. Halla lo términos Sn y n.

5) El tercer término de una progresión geométrica es 3 y el séptimo término es 3/16. ¿Cuál es la razón y el primer término?

Síntesis Resuelvan en ternas los siguientes problemas, utilizando la metodología apropiada:

1) Encuentra la expresión algebraica para el n-ésimo término, así como la suma de los primeros 10 términos de las siguientes sucesiones. Emplea la calculadora.

�� 14, 70, 350, 1750, 8750, ...

.�� 18, 9, 4.5, 2.25, 1.125, ...

�� 43750, 8750, 1,750, 350, 70, ...

�� 210, 630, 1890, 5670, 17010, …

�� 9, 72, 576, 4608, 36864,...

2) El lado de un triángulo equilá-tero mide 12 cm. Un segundo triángulo equilátero se inscribe uniendo los puntos medios de los lados del primer triángulo. El proceso continúa como se indica �� el perímetro del sexto triángulo equilátero inscrito.

3) El lado de un cuadrado mide 8 cm. Los puntos medios de sus lados se unen para formar un cuadrado inscrito y el proceso se continúa como se muestra en la �� perímetros de los primeros seis cuadrados.

12 cm

8 cm

86 Matemáticas I


#��'�� -��'!��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�

5$��

�� =��


cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.






establecidos.




Observaciones:



�� -��'!��4

��1��444 ��'��L'��

��'+��+��!��

'��'!��'+�I�� 4��

5$��

��

��

��

�

�=��

��

�








formales.



enfoques.




>��'��sucesiones numéricas y así como

sus propiedades.

>�� series geométricas.

Reconozco términos de sucesiones geométricas.


geométricas.

Reconozco la forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones

geométricas particulares.

>��relación variacional en la fórmula

del n-ésimo término de sucesiones geométricas particulares.

Determina patrones de series y sucesiones geométricas.

Determino regularidades y patrones de las sucesiones y series geométricas.

Escribo términos de sucesiones geométricas.

Diseño y aplico modelos sencillos de series y sucesiones geométricas.

&�� establecer el comportamiento de

sucesiones geométricas.


geométricas particulares.

Realiza cálculos obteniendo el n-ésimo término y el valor de cualquier término en una

� ��/��'��

correspondientes.

Aplico las fórmulas correspondientes para hallar el modelo del n-ésimo

término que caracteriza a una sucesión geométricas particular.

Aplico las fórmulas correspondientes para hallar el valor de una serie

��/��convergente.

Obtengo términos de sucesiones geométricas utilizando la diferencia o

aplicando las fórmulas.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y

sucesiones geométricas.

Emplea la calculadora para �� los cálculos de obtención de términos de las sucesiones.

Utiliza la calculadora como herramienta de exploración de

resultados.

Observaciones:

88 Matemáticas I

RealimentaciónResuelve los siguientes problemas relacionados con la vida real. Emplea la calculadora:

1) Un estudiante de primer semestre del COBAY se propone el 1 de septiembre re-pasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio:

�� ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el 15 de septiembre?

.�� ¿Cuántos ejercicios hará en total?

2) �� ^�}�� entre dos pisos consecutivos es de 3.80 metros.

�� ¿A qué altura está el piso 9?

.�� Obtén una fórmula que nos indique la altura a la que se encuentra el piso n.

3) En una urbanización realizaron la instalación de gas natural en 1999. Considera-mos que en ese momento se hizo la primera revisión. Sabiendo que las revisiones sucesivas se realizan cada 3 años, responde:

�� ¿En qué año se realizará la décima revisión?

.�� ¿Cuál es el número de revisión que se realizará en el año 2035?

4) El alquiler de una bicicleta cuesta 5 pesos la primera hora y 2 pesos más cada nueva hora.

�� ¿Cuál es el precio total de alquiler de 7 horas?

.�� Halla una fórmula que nos dé el precio total de alquiler de n horas.

5) La población de un cierto país aumenta por término medio un 1 % anual. Sabien-do que en la actualidad tiene 3 millones de habitantes:

�� ¿Cuántos tendrá dentro de 10 años?

.�� ¿Y dentro de 20 años?

6) Una máquina costó inicialmente 10 480 pesos. Al cabo de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse a la mitad y así sucesivamente.

�� ¿Cuánto le costó la máquina al quinto propietario?

.�� Si el total de propietarios ha sido 7, ¿cuál es la suma total pagada por esa máquina?

7) La maquinaria de una fábrica pierde cada año el 20% de su valor. En el momento de su compra valía 40 000 pesos.

�� ¿Cuánto valía un año después de comprarla? ¿Y dos años después?

.�� ¿En cuánto se valorará 10 años después de haberse adquirido?



#��'�� -��'��

��8� ��'+��&�� %��.�� 4��

��'+�I�5$��

�� =��


cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.






establecidos.




Observaciones:


90 Matemáticas I


�� -��'!��4

��1��444 ��'��L'��

��'+��+��!��

'��'!��'+�I�� 4��

5$��

��

��

��

�

�=��

��

�








formales.



enfoques.




>��'��sucesiones numéricas y así como sus

propiedades.

>�� aritméticas y geométricas.

Reconozco términos de sucesiones aritméticas y geométricas.


aritméticas y geométricas.

Reconozco la forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones aritméticas

y geométricasparticulares.

>��variacional en la fórmula del n-ésimo

término de sucesiones aritméticas y geométricas particulares.

Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas.

Determino regularidades y patrones de las sucesiones y series aritméticas

y geométricas.

Escribo términos de sucesiones aritméticas y geométricas.

Diseño y aplico modelos sencillos de series y sucesiones aritméticas y geométricas.


aritméticas y geométricas.

&�� comportamiento de sucesiones aritméticas

y geométricasparticulares.

Realiza cálculos obteniendo el n-ésimo término y el valor de cualquier

término en una sucesiónaritméticas y ��/��

las fórmulas correspondientes.

Aplico las fórmulas correspondientes para hallar el modelo del n-ésimo término.

que caracteriza a una sucesión aritméticas y geométricas particular.

Aplico las fórmulas correspondientes para hallar el valor de una serie aritméticas y

��/��

Obtengo términos de sucesiones aritméticas y geométricas utilizando la

diferencia o aplicando las fórmulas.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones

aritméticas y geométricas.��

de resultados en los cálculos de obtención de términos de las

sucesiones.

Utiliza la calculadora como herramienta de exploración de resultados.

Observaciones:


Notas

BIV

92

Realizas transformaciones algebraicas I

Desempeños del estudiante al concluir el bloque:

F� >��

F� ��

F� ��

F� &�� '�� /�� '�� '�� +�� '�� '�� '��

F� ¨�� '�� /��-��'��

F� ¥�� '�� '��

Competencias genéricas a desarrollar: }�� "��

�� "��

}�W��

X�� !�� /��

X�]�¦��'��

Competencias disciplinares a desarrollar: W��&��

��/��/�� "��/��'��

]�� >��

93

94 Matemáticas I

!��=�� /�� ?� ��-��

1. �� '��

Término algebraico

Signo del término

��numérico

Parte literal Grado

4x] + 4 ]–5xy] x��y6a]b3c 6

�7

2. ��

��

¥��

��'��

��

��

3. ��

2x 2+3x +39t 2

5xy2 + z

q– 2+q – 5

4. ��

��

¥��

��'��

��

��

5. %�� /��

a) 4xy – 2 x 2 + 5 y x – 3 x 2 =

b) 2.4 y 2 – 4x 2 + 3.2 y 3 + 3.7 x 2 =

c) 10 m 2 – 3 m + 4 + 5 m – 8 – 10 m 2 =

6. �& ��

� �

� ��

95 BIVRealizas transformaciones algebraicas I

&�� *�� ||� ��]�� }��%��|� ��}��Z�� ]��

%�� -� �� *��

a) �� /��

b) �� /��

c) �� /��

�Sesión A��¦�� +�� *��©]��&��"�� ©W^�� '��©W�� "�� ©WX�� Avatar��=�� ©[Z��& ��&��

¥�� ©]��©|}��"�� /�� ©]X��'��"-�� ©[Z �� ?�� ' ��©XX�� -� �� =��álgebra�� /��%�� C�� C = 200 – 34 – 10 – 15 – 86, �� 200 = 34 + 10 + 15 + C + 86.

��¨��©W]�� |�"�� '��"�� "��"�� ©W^�� '��©[�

a. �� ¨��"��-� �� '�� "��

b. �� ¨��"��-� �� '�� "��

c. �� ¨�� /��"�� '�� "��

>�� "�� H��'��R�� ¨��"�� '�� "�� ¨�� /��

Gastos Sobrante

96 Matemáticas I

!��=�� término algebraico�

¥��término algebraico�� /��-��

�� '��

+ 3x7Signo

Coeficiente

Grado del término

Literal

�� /�� '��=��/��[��]�� ^��3��

&��¥�� '�� '-��/��

�� 12

2 82x x +– ��/��

–4 5 2 8 34x z xy

y+ +– ��«««««««««««««««««««/��

Expresión algebraica

Monomio es la expresión algebraicaque tiene un solo término

Los polinomios que tienen dos términos se conocen como binomios

Los polinomios que tienen tres términos se conocen como trinomios

Polinimio es la expresión algebraicaque tiene dos o más términos

xy ; 3abc ; 2a23

3

r5

a -2 ; 3x + 4 x35

3 2

x + 5x - 22


�� /�� '��/��términos semejantes��

��24 2y x ��/��

�� /��

��Ley Interpretación

��

�� -��

�� %�� /��

�� '��%�� /��'��

!��

��

��

��

98 Matemáticas I

¦�� ?��

��

4��

��

4��

% ��'� �� /��

�� '��

Ejemplo 1

�'��

}�3�¬�[��Z�]�¬��4�¬��+��]��¬�}�]�¬�X��3�¬��4+��X�3�]�4��W��|��¬��]

Solución

¦��'��

− + +− + − +− − + +

x 4x 6x 9x 8 x x 4x 2x 52x 5x x 3x

4 3 2

4 2

4 3 2 119

− −

−

−

3

!�� /��

}�4��]�¬�}��Z

Ejemplo 2

�'��

3 2 36 4 58 5

44 11 7

m nn pn

m n pm n

− ++ −

−− −+ −

%��'��


=��W��'��

1. 4m+3n ¬]p+�m ¬]n+5p 2. 5a ¬]b+3c+�¬�|a�]b ¬�}c

3. x ¬]y+z+�¬�|a�]b ¬�}c 4. x ]+x�W+�x ]�¬�]x ¬|

5. 3x]�¬�^x��X+�¬}��|x�¬�Xx] 6. a3��a+�a]��X+�^a]��}a+�¬[a]�¬�Z

7. ¬^m]n� �� }n3+� m3� �� Zmn3� ¬� n3+� ¬m3� ��7m]n��Xn3

8. 3xy�¬�Za��b+�]a�¬�Xb��xy+�}b�¬�^xy��a��X

9. x4�¬�]x3��^x]�¬�X��[x+�¬x3�¬�}x�¬�]x4�¬�7x]��WW

10. �a]�¬�]a�]a3��W+�X�¬�^a��|a3+�a3�¬�a�¬^�¬�Xa]

11. 4x]�¬�]xy��y]�¬�X+�]xy�¬�|y]��]�¬�Xx]+�4xy��y]�¬�Xx]

12. ¬�m��Zmn�¬�}s+�Zs�¬�am�¬�Xmn+�¬]s�¬Xmn��|am

?��

��¬��¬��

�� -�� /��"��

Ejemplo 1

?��}�]��¬�X�]��

Solución

%�� ¬X�]�� }�]��

¬�X�]��¬�}�]��]�

& �� "�� /�� /��

Ejemplo 2

!��}��¬�|��]��X��Z�

Solución

�� /��

}��¬�|��¬��]��X��¬�Z�

%�� /��

}��|��¬�]��¬�X��Z

100 Matemáticas I

?� ��/��

]��¬�|��¬�}��Z

Ejemplo 3

!�W��]�¬�Z�4��¬�W��¬��3��W��4��[�3�¬�^��¬�}��X�]�

¦��'��

− − + + −+ − − + ++ − + + −

6 10 1010 8 5 7 44 9 5 8 6

4 4 2

4 3 2

4 3 2

x x x xx x x xx x x x

%��'��

=��]�'��

1. !�a+b+c,��a – b+c. 2. !�¬X�|��}��]�¬|��X�

3. !�Z�]��|�]�¬�^��}��¬�]��]�]�¬��]�¬�^��[� 4. !��3�¬��]��Z��X�]�¬�}��Z�

5. !� X�3� ¬� ��3� �� Z�]�� ¬� [��]�� W}��]�¬�]W�]��X�3��W[� 6. !��]��]�¬�|��¬�]��|�]�¬�}��

7. !� �� ]�� ¬� |�� ¬� X�� ¬�}��[��¬�X��X��

8. !� X�4� �� 3�� ¬� }��3� �� Z�4�� ^�3��X��3�¬�[�]�]��4�

9. !� �3� ¬� Z�4� �� [�]� ¬� �� WX�� ]X��]X�3�¬�W[�]�¬�WW�5��}Z�

10. !� �6� �� 4n]� ¬� ��]n4� �� W�� W|�3n3��WZ��5�¬�|��]n4�¬�ZW�

$ �� -�� "��

�� factores��

��'�� -�/�� /��

=�� ab�� ba�� abc�� /��bac��acb��®��

��'��

=��

��¯��¯��¯��

��


=��|1) �� ]�� & ��

��

x

x

x

x

x x

1111

=

2) %�� '�� -��

a. �& ��

b. �& ��

�� '��

��]��]�]�

!��

%�� /�� ®��

Ejemplo1

$ ��|�]�¬�Z��^��}��]�

Solución

>�� |�]�¬�Z��^�� }��]�

|�] ¬�Z� 7

}��] �}��]��|�]��W]��4

�}��]��¬Z��]}��3 �}��]��^��][��]

��}��]��|�]�¬�Z��^��W]��}��]}��3��][��]�

Ejemplo 2

$ ��Z�]��]��¬�}��]�4�

Solución

!�� Z�]��]��¬�}�� ]�4�� /��

Z�] ]� -4

]�4

��]�4��Z�]��]��¬�}��

%�� -�� /�� '��

102 Matemáticas I

$ ��%�� /�� /�� /��

Ejemplo 1

$ ��]��¬��|��¬�|��¬�}��

Solución

!�� -�� ]��¬��|�� ¬�|��¬�}�� -��/��/��

]� � |�

� ]�] �� |��

|� Z�� |�] ��

}� [�� }�� W]�]

¦�� /��

912

2

+

+

+–– –

–––

–––

+

++

7 5 3 5 1

2

2

2

2 2

zxy z

xz yz zx xy xz y yz 22 2z

Ejemplo 2

$ ��]�¬�}��¬�]��W��]�¬�]��

Solución

&�� ]�¬�}��¬�]��W�� ]�¬�]�� -��/��/��

��] ¬�}�� ¬�]��W

�]��]��]��

��}��}��]�

]��W��]

��]��|

¬�]�]��]��W�

��]��|[��W

}��W��W�

��}��]

¦�� /��

%��'��

?� �� ]��]��]��]��}


=��}&�� '��

1. X��|��X��} 2. X�]�|��]��]�}

3. ��|��W 4. X��}��X��^

5. �]�3��¬�}�3�4 6. }��]��}��X��X��W

7. �4�¬�|�]n]��^�4��}�3� 8. �4�¬�Z�3��]�]�¬�[��|��3

9. �3�¬�}��]�¬�W��3��W 10. �]�¬�]��]��¬��]��|�]

11. |�5�¬�Z�3��]�]�¬�|��]��4�¬�|�]��}��X 12. ��W��]��]�¬��n+3��]��

%��¦��

1) ��

a. ��

b. ��

c. ��

2) ��[�� n�� -��]��

3) ?��' �� ?��|�°��-��]�°��|�°�� &�� ©W��%��°�� n�� m��

4) �� "�� W]a�¬�W[b. �� '�� '�� W]��¬�W[��

]a�¬�|b W�a�¬�WXb

W]a�W[b 4a�¬�Zb

]a��|b 6a�¬��b

104 Matemáticas I

5) ��

n

mm

m

A = A =

n

n

A =

6) ?��

m m n

mA =

a)

m

m n n n

n

n

A =

b)

m

m mnn

A =

c)

7) ¥��'�� *��'��

a

a

a

1 1

1


a. ?�� '��

a 1

a 1a + 1

a + 1

4 4

2

2

2

2

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

A = A =

A = A =

b. �� /��

c. �%��

d. =�� a�� ]��|��}��

8) !�� '�� /��

m

m m

n

n

n

Figura 1 Figura 2 Figura 3

9) ?� �� 12

4

2x

a. �& ��

b. �& ��

c. �& ��

=��

106 Matemáticas I

10) ?� ��

=�� '��

x

xx

4

Plataforma

!��

a. �& ��"��'��

b. �& �� '��

c. �& �� '��

d. %��x�� X�� '��

?��/��UAC Matemáticas I Semestre Primero

Área de conocimiento Matemáticas

Categoría Competencia genérica Atributos Indicadores de

desempeñoNiveles de logro

Regular Bueno Excelente

W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

?��

� ��

?��

��

]��%��

}�� "��

��

��

��"��

��

}�W��

��

��

��

%��

��

?��

��

¦��


?��

Unidad académica curricular Matemáticas I

Bloque IV Realizas transformaciones algebraicas ICompetencias

disciplinares del área de matemáticas

Desempeños IndicadoresNiveles de logro


&��

��/��

��/��

��

"��/��'��

>��

��

��

>��

��

>��

� ��

��

��

��

��

��

¦��

108 Matemáticas I

Sesión B.�� "��*�� -� �� "�� [��]��'�� Z��]��!��"��

Z��]

��]

�]

��

�� =�/��productos notables�� /��

<�� Ejemplo 1

%�� W��

� W

� �]��

W � W

��

��W�]��]��]��W��W�]

��W�]��]��]��W

±��

±��]

±��W�]�

±��]��]��W


Ejemplo 2

%�� ]��

� ]

� �]�� ]��

] ]� 4

��

��]�]��]��]��]��]�]

��]�]��]��}��}

!��

� �

� ��]��

� �� ]

!��

��

1) �� /��(a)2

$��

2) �� /�� /��2(a)(b)

$��

3) �� /��(b)2

Ejemplo 3

=�� '��

a) �}��X�]�]�

Solución

& ��W��/�� }��]��WZ�]

!��W²��]²�/�� ]��}��X�]��}��]

& ��]²�/�� X�]�]��]X�4

�� }��X�]�]��WZ�]��}��]��]X�4

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& ��W��/�� }�]�]��WZ�4

!��W²��]²�/�� ]��}�]��|�3��]}�]�3

& ��]²�/�� |�3�]��6

�� }�]�¬�|�3�]��WZ�4��]}�]�3��6

±��

±��]

±��]�]�

±��]��}��}

(a + b)2 = (a)2 + 2(a)(b) + (b)2

110 Matemáticas I

=��X�'��

a) �Xa��b�]��

b) �W]x]y��[y]�]��

c) �WXm3n4�¬�]mn]�]��

d) �^|a3b]c��}abc5�]��

e) �W�¬�|]tz3�]��

f) �a ¬�|�]�

g) �}ax ¬�W�]�

h) �}x ]�¬�[ax�]�

i) �|m ¬|n�]�

<�� "�� '��¬��-�� /�� /��¬�4x��X��¬�4x�¬�X��

=��Z��

1)

2)

3)

4)

5)

=��^?�� 4��-��

1) &�� ]��]��

Solución

%��

�

?�� /��

��¬�]��]��


2) &�� |��X��|��X��

Solución

¥��

�

3) &��

Solución

¥��

�

4) �& ��

§�� ¬��]�¬��]

Ejemplo 1

=��

a) �]��|��]��¬�|��

?�� /��

�|��X��|��X��

?�� /��

��¬��

Solución

�]��|��]��¬�|��]��]�¬��|��]�

�]��|��]��¬�|��}�]�¬��]

�� -�� /�� ¬��]�¬��]

b) �X�3�¬�W��7��X�3��W��7�

Solución

�X�3�¬�W��7��X�3��W��7��X�3�]�¬��W��7��]

�X�3�¬�W��7��X�3��W��7��]X�6�¬�W��W}

?� �� -��

��5�]��X��]��W�

112 Matemáticas I

�� /��¦�� binomios que tienen un término en común,�� ]��¬�]��]��[��/��]��

=��/��

1)

2)

3)

4)

5)

&�� -��

�� /��

1) �� /��(x)2

$��

2) �� /�� (a+b) x

$��

3) �� /�� (a)(b)

��(x + a) (x + b) = x2 + (a+b) x + (a)(b).

=��[�'��

a) �X��W��X��W��

b) �Z�]�5��}��3��Z�]�5��}��3��

c) �W]��4�¬��3n5��W]��4��3n5��

d) �W��]�4�[��WX��5�3��W��]�4�[��WX��5�3��

e) �W|�]n[�¬�W��W|�]n[��W��

f) ��¬��

g) �]��¬W��]��W��

h) �Z��]�¬��Z��]��

i) �|��¬��|��

j) �]��]��¬��


Ejemplo 1

=�� /��'��

a) ��3�¬�W]��3�¬�|��

Solución

=��

1) �� /��(x3)2 = x6

$��

2) �� /�� (¬12 ¬ 3) x3 = ¬15x3

$��

3) �� /�� (¬12)(¬3) = 36

%��

��3�¬�W]��3�¬�|��6�¬�WX�3��|Z

b) �]��[��]��¬�W��

Solución

1) =��

�]��[��]��¬�W��]��]��[�¬�W��]��[��¬W��

2) %��

�]��[��]��¬�W��}�]�¬�}��¬�[��

=��W�

a) �W��3¬��5�]�

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c) ��WW��W��

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e) �^��X�4�]�

f) ³��|��´]�

g) �[��W]��[�W]��

h) x x

?�� /��-��

a) ��¬�W��[��

b) ��]��¬�Z��

c) �|��¬�}��|��

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h) ��¬�X��}��

i) ��]�¬W��]�]��

j) �X��]�¬�Z��X��]�Z��

%��&��

114 Matemáticas I

?��/��UAC Matemáticas I Semestre Primero

Área de conocimiento Matematicas




W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

?��

� ��

?��

��

]��%��

}�� "��

��

��

��"��

��

}�W��

��

��

��

%��

��

?��

��

¦��


?��


Bloque IV Realizas transformaciones algebraicas ICompetencias




&��

��/��

��/��

��

"��/��'��

>��

��

��

��

��

� ��

>��

��

��

��

��

��

¥�� '��

��

��'��

¥�� '��

� ��

��'��

¦��

116 Matemáticas I

Sesión C.�¨��% �� '�� }�"��'�� }�� /�� & ��& ��

4

x2

2x

2x

¨��?� �� '��fac-tores��W��]��}��X��W��]��'��]��

A

B

CD

E

F

�


��Ejemplo 1

��|�� '��

Solución|��]��|��X

Ejemplo 2

��X�� '��

SoluciónX��]��X��X��]��X]

Ejemplo 3

¨��W��]��3�

SoluciónW��]��|��]��X��

Ejemplo 4

µ��X��^X�

Solución

��'��X��^X��

50 = 2x 5 x 5

75 = 3x 5 x 5

!�� $�&�!��X��X��X]��]X�

Ejemplo 5

µ��$�&�!�� /��WX�3�4��¬�}X�5�]�

Solución

��'��/��

15 a b = 3. 5. a. a. a. b b. b. b.

-45a b = -3. 3. 5. a. a. a. a. a. b. b.

3

5 2

4

��$�&�!��|��X��

��$�&�!��WX��3��]��

¥�� /��factor común��/��

&�� factor común��/�� $�&�!��

?� �� /�� ]��|��X��^��

?� ��$�&�!�� '��

118 Matemáticas I

Ejemplo 6

!��'��]��]��

��'��a�� /��/�-��/��'��

�]��]��]�

Ejemplo 7

!��'��Z��3�¬��]�3��W]��3�3�¬�|�]�4�3�

¨��|��3�

Z��3�¬��]�3��W]��3�3�¬�|�]�4�3��|��3��]�¬�|��}��]�¬��]�3�

=��WW�� '��

a) Z�4W��3�|��

b) ]]��|��}}��

a) ]�4�Z�3�W��][��

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c) Z�3n3�|�3n]��]n]�

d) WX�3��]��]�¬�X��

e) �Z�¬�}[��]��W}}�|��

f) XX�]n3��WW��]n3�]�¬�]]��]�3��

g) ��]�¬�W]��WX�3�]�¬�]}��3��

h) |�]��Z��¬�X�3�]��[�]��}��]��

¨�� /��Ejemplo 1

!��

��/��'��x��'��-��y��=�� /�� /�� /��

��

��

��

?� ��

aa

a2

=��

2 2aa = �

�

!��

aa

an

mn m= –


Ejemplo 2

!��]�]�¬�|��¬�}��Z��

��/��'��x��'��2��=�� /�� /�� /�� "��

��]�]�¬�|��¬�}��Z��]�]�¬�|��¬��}��¬�Z��

��]��¬�|��¬�]��]��¬�|��

��]��¬�|��¬�]�

=��W]�� '��

a) �3�]�]�]��}

b) ]��]��

c) ]��Z��|�

d) ��

e) W]�]]�W[��|�

a) |�]�¬�Z��}��¬�[��

b) ��¬��¬��

c) }�3�¬�W�¬��]��}��

d) Z��|��W��]��

e) ]�]��¬�X�]��WX��¬�Z��

�� '��¥�� '�� -�� '��

=��}�]�� '�� ]��

¦��/�� ]��]��]��]��}�]+�� ]��/�� }�]�

��

¥�� '�� -��/�� '��

120 Matemáticas I

Ejemplo 1

�]�¬�}��}�]�� '��

F� ?�� ]��

F� ?�� }�]��]��

F� �� ]��]��}�� ]²�/��

Ejemplo 2

|Z�]�¬�W[��4��}�[�� '��

F� ?�� |Z�]��Z�

F� ?�� }�[��]�4�

F� �� ]�Z��]�4��]}��4�� ]²�/��

=��W|�� '��

a) �]W}��}��

b) �]�Z��]�

c) ��]W[��]�

d) WZ�]XZ��}��]�

e) ]X�]W��]�

f) �]��Z��

g) ��]��|��]X��

h) }��6�¬�^��3n]��]X�]n4��

i) W]W��W�[�6��[W�W]��

j) �]�¬�]}��]�]��W}}�4�4

!�'�� '�� '�� ¬��]�¬��]+�� ]�¬��]��¬��

Ejemplo

!��WZ�]�¬�]X�4�

F� ?�� WZ�]��}��

F� ?�� ]X�4��X�]�

F� $ �� }��X�]�� '�� }�� ¬�X�]��

F� WZ�]�¬�]X�4��}��X�]��}��¬�X�]��


=��W}�� '��

1) �]�¬��]��

2) WZ�]�¬�|Z�]��

3) }��¬��]��

4) ��¬�|�]�¬�WZ�]��

5) 4��]��]X��]��WZ

6) WZ�]��¬�]X�]

7) |Z�]��

¬�}��

8) W��]�¬�]X

9) �WZ�¬�]X

10) W]W�]�¬�W��

%��¨��

a) |�4�W]�]��]+4

b) ��3W[�]�]^�

c) ��]�}��]�}]��

d) Z}�4|Z�4

e) ]X��]W��

f) Z�X��W]��W��

g) WZ�]�]��]��]

h) W[�6�4�3�|��4�3�5

i) �]�[�]

j) �]�|�]��|��

122 Matemáticas I

?��/��

UAC Matemáticas I Semestre Primero Área de

Conocimiento Matemáticas




W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

?��

� ��

?��

��

]��%��

}�� "��

��

��

��"��

��

}�W��

��

��

��

%��

��

?��

��

¦��


?��


Bloque IV Realizas transformaciones algebraicas I

Competencias disciplinares del área

de matemáticasDesempeños Indicadores

Niveles de logro


&��

��/��

��/��

��

"��/��'��

>��

��

��

&��'��/��'��

��'�� +��

��'��

��'�� '��

&��/��

��'��

��

&��/��'��

�� '��

�� '��

¨�� '��

�� /��

'��

¨�� '��

�� /��

'��

��

��

'��

¦��

124 Matemáticas I

?��=��

I. ¦��

��=��3�¬�|��]��Z��<��|�3��W[�¬�X�]��^�

a. =��< ��X�3�¬�WW�]��W^��|�

b. <�¬�= ��]�3�¬��Z�]��W��W]

c. ]=��< ��}�3�¬�W]�]��]��]}

d. ]<�¬�]= ��[�3��[�]��[��¬�}[

II. >��

1) µ��

(3n) cm

(2n + 14 ) cm

P =

2) µ��

(3n - 2) pies

(5n + 6 ) pies

A =

3) µ��

(7x - 2 )

A =

P=

4) µ��

(3x - 9x + 6 ) 2

(2x - 3)

5) %��[��Z��W��}��|��

?��


III. >�� /��

� 1) �|��¬�W�]��]�¬�Z��W

2) �X�3�¬��]��]X�6��W��4��]

3) ��|��]��]�X��Z

4) �X��¬��X��]X�]�¬�[W

5) �|�]��]��]¬W]��}�]�

6) �[�]�¬�̂ ��[�]�^��Z}�4�]�¬�}��]�

7) ��¬�X�3��|�¬�WX�]�^X��¬�W]X

8) �]��|��]��¬�|��}�]�¬��]

9) �|��¬�̂ ��|��W��]�¬�W[��¬�̂

� 10) �}�]��X�3�4�3�Z}�6�3�]}��7�6�|��[��W]X��W]

IV. >�� '��

1) � �]��Z��|

2) � �]�¬�Z��

3) � �]��]X

4) � �WZ��]�[��W

5) � ¬��W��[�5��}�

126 Matemáticas I

?��/��






W��%��

� ��

W��%��

��

��

W�W��'��

'��

?��

��

?��

��

]��%��

}�� "��

��

��

"��

}�W��

��

��

��

%��

��

?��

�� .

¦��

��


?��


Bloque IV Realizas transformaciones algebraicas ICompetencias disciplinares del área de

matemáticasDesempeños Indicadores

Niveles de logro


&��

��

��

��/��

��/��

��

�� "��/��

'��

>��

��

��

>��

>��

��

��

��

��

��

��

��

>��

��

��

��

��

¥�� '��

�� '��

¥�� '��

� ��'��

&��'��/��'��'��

�� +�� '��

�� '�� '��

&��/��'��

��

&��/��'�� '��

�� '��

¨�� '�� /��

��'��

¨�� '��

��/��'��

��

� ��'��

¦��

BV

128

Realizas transformaciones algebraicas II


F� Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x² �bx c y ax² + bx + c con a�·��W�� '��lineales y polinomios que requieren combinar técnicas.

F� Expresa trinomios de la forma x² + bx + c y ax² + bx + c como un producto de factores lineales.

F� >��'�� -� ��

F� Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores.

F� ?��'��factores comunes y la división de polinomios.

F� ¦��'�� '��/��-das y reduce éstos.

F� �� '�� factores comunes y la división de polinomios.

F� Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

Competencias genéricas a desarrollar:

W�� Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

W�W ��'�� '��

4. �� "�� códigos y herramientas apropiados.

}�W� Expresa ideas y conceptos mediante representaciones ��

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a pro-blemas a partir de métodos establecidos.

X�]� ¦�� '�� -quías y relaciones.

Competencias disciplinares a desarrollar: W�� &�� -

��/�� /�� "��-téticas o formales.

129

130 Matemáticas I

Dinamización y motivación!�'��

1) ¨��

a. x x

b. x x

c. x x

d. x x

2) %��

a.

xx x

b.

xx

3) %�� µ��

4) %�� j j� � ��"��

j j� �

Contextualización�� &¦<=¸��]��"��& ��"�� ]}��2?

130

131 BVRealizas transformaciones algebraicas II

Sesión A. Factorización de trinomiosProblematización�� se va a reducir la zona en la que se hace gimnasia rítmica en 8 m en uno �� |�[��2��& ��medía la zona originalmente?


308 8

x-8

x

x

Trinomio de la forma x2+bx+cCaracterísticas de las expresiones de la forma x2+bx+c

a) Son trinomios aquéllos que constan de tres términos.

b) ��/�� W�� /��?� �� /��/��

c) El término de en medio consta de la misma variable de a��W�� negativo o positivo.

d) ��/��"�� pueden ser números irracionales).

¿Cómo se resuelven?

�� "��/�� -��/��?� �� /��-�� 2�� 2�� 2��

Tomando en cuenta que trata de una multiplicación no de monomios sino de poli-��"��/��

��

="�� /�/��*��"��-�� % �� 2 ��|��]�

!��"��

a) �� /��

b) �� -�� /��"��/�� /��

¿Cuáles serían los números en este caso?

132 Matemáticas I

%�� ]��W��

F� �� ]��W��|�F� ��/�� ]��W��]�

� �� '�� 2 �� |�� ]� �� ]��W��

Ejemplo 1

¨��

t2��¬�W]

1) El primer paso es descomponer en factores mediante paréntesis el término cua-��

��

2) �� /��W�� -cando la ley de signos de acuerdo a los signos de dichos números) el término de ��"��/��W]�

¥��/�� -��¬|��}�

=��

��/��|��}��W�� /��"��|��}��W]�� '��2��¬�W]��|��}�� /�� ¬�|��}��}��|��%�� Resuelve el producto notable y observa el resultado ¿Fue el mismo? ¿A qué crees que se deba? ¿Qué conclusión podrías hallar?

Ejemplo 2

Factoriza la siguiente expresión a2�¬�[��W]

1) ��'��/��/�� -��

��

2) ="�� /��[�� -�� "��/��"��/��W]��

Usando la aritmética elemental notamos que ambos números podrían ser – 2 y -6.

Veamos si cumplen las condiciones.

��/��]��Z��[��

Nota��?� �� ]�� Z�� "��

��/��"��]��Z��W]��

Nota�� -��%�� igual a positivo.

��'��2�¬�[��W]��]��[��


Trinomio de la forma ax2+bx+cCaracterísticas de las expresiones de la forma ax +bx+c

a) Son trinomios aquéllos que constan de tres términos.

b) ��/�� '��W��' �� W��'��2 + bx + c).

c) El término de en medio consta de la misma letra que en a) elevada a la potencia W�� ]�� Z�� [��

d) ��/��"�� podrían ser números irracionales).

¿Cómo se resuelven?

�� "��/�� -cación de términos lineales tanto en su exponente como en sus factores. Recuerda que en una � ��/��

Supongamos que la expresión fuese 6x2 + 7x + 2.

�� %��Z�2 éste puede �� ]��|�� ]��|��Z�2.

="�� "�� '�� '��

2x

|�

µ�� %�� '��/�� buen camino.

="��/�� -�� ]��"�� "��¥��/��-�� "��W��]��

§��+��W��]��]��%��

&�� "��'��/�-��"�� "��'��/��

]��W

|��]

?�� ]��|��Z�2�� W��]��]�

µ�� "�� los factores encontrados o el orden de colocación de los números factores es el correcto. Lo �� '�� -�� /��%�� /�� /��'��' ��

2

134 Matemáticas I

§��

+

++

==

++

++

+

Ahora reducimos términos semejantes que resultan de la multiplicación que apli-��

}��|��^�

El término de en medio era 7x. Recordemos que la expresión era 6x2��^��]�� '��/�� ' �� '��'��]��W��|��]��

�]��W��|��]�� '��Z�2 + 7x + 2.

=�� '��?��"��

Supongamos que sea la misma expresión 6x2 + 7x + 2 y que sean los mismos fac-�� '�� /�� /��"��'�� -��

2x +2

|��W

¦�� ]��|��Z�2�� ]��W��]��µ��"�� /�� '��

+

++

==

++

++

+

¦�� /��]��Z��[��

��^��[�� ^��·�[�� ' ��de los factores.

Ejemplo 1

8x2 – 6x – 5

1) El primer paso es descomponer en factores mediante paréntesis el término cua-��[�2.

8x2 �� [��W��W��[��]��}��}��]�� /�� /��'��4�� '�� -� �� /�� '��/��' ��

��}��]��[�2.

��'��'��

4x

2x


2) ="�� '�� /��"��X�

��'��W��X��X��X��W��X+�� '��X��W��&��"��"�� '��+�� '�� /��/�� el término de en medio.

��'��'��

4x -5

]��W

�� '��

++

––

–

==

="�� /��}��¬�W��Z��

Recordemos que la expresión original era 8x2�¬�Z��¬�X�� /��Z�� '��' ��'�� "�� '�� '��8x2�¬�Z��¬�X��}�X��]��W��

4x - 5

2x + 1Tomamos los factores de forma lineal

Ejemplo 2

¨��

6x2�¬�W^��X

1) ��'��/��/�� -��Z¹2.

6x2 �� Z��W��W��Z��]��|��|��]�� /��&�� /��'��4�� '�� -� �� /��"�� '��/��' ��

��]��|��Z�2.

��'��'��

2x

|�

2) Encontremos dos números cuyos factores al multiplicarlos nos den como resultado ��/��"��X�

��'��W��X��X��W��X��X��X��W��X��X��W��X�� '��X��W��&��"-��"�� '��+�puede ser elegido cualquiera siempre y cuando cumpla con la regla de que al multiplicar de forma cruzada y reducir términos semejantes nos dé como resulta-do el término de en medio.

136 Matemáticas I

��'��'��

2x -5

|��W

�� '��

–

––

==

––

–

="�� /��]��¬�WX��W^��

Recordemos que la expresión original era 6x2�¬�W^��X�� /��W^��=�� '��'��fueron los indicados. Tomamos los factores en forma lineal que habíamos busca-�� '��Z�2�¬�W^��X��]�X��|�W��

2x - 5

3x - 1Tomamos los factores de forma lineal

=��W1. ��'�� /��

a. x2��W}��}�

b. x2��W��WZ

c. a2�¬�^��W�

d. m2��]��¬�WX

e. t2 + t – 56

f. 25x2 + 25x + 6

g. W}�2 - x -4

h. 2a2�¬�WX��[

i. 6m2��]|��^

j. t t2

8+ +

72

10

Síntesis1) ¦��

a. x2��|��W�

b. 4x2��W|��|

c. x2��XZ��WX�

d. 2a2 + 5a +4

e. 5x2��WZ��|

f. W]W�2 + 66y +8

g. x2��W]��^

h. 4x2��]}��|Z


2) �� '�� -#��»�� d 2– 2d – [��#��¨��»��!��

3) La posición de un objeto que es lanzado verticalmente hacia arriba con una velo-��W^�� X�]¬�W^��Z��t es el tiempo. Factoriza la expresión.

Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas






W��%�autodetermina y

cuida de sí.

W��%��y valora a sí



persigue.

W�W��'�� le presentan y es consciente de sus ��'��

y debilidades.




aprendizaje.


}�� "��interpreta y



��y herramientas

apropiados.

}�W��y conceptos


��

��


creativa.



|��#��



establecidos.


��jerarquías y relaciones.


¦��

138 Matemáticas I



Bloque V Realizas transformaciones algebraicas IICompetencias disciplinares del área de


Niveles de logro


W��&�� interpreta modelos

��mediante la


��/��

geométricos y ��

la comprensión ��

�� hipotéticas o

formales.


��aplicando diferentes

enfoques.

|��>��


��

Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma

x2 + bx + c, ax2 + bx + c��

con a�·�� producto de factores lineales y polinomios

que requieren combinar técnicas.

��?��que no son cuadrados

perfectos como producto de factores

��la forma x2 + bx + c,

Trinomios de la forma ax2 + bx + c��a�·��

polinomios que requieren combinar técnicas.

Expresa trinomios de la forma

x2 + bx + c, ax2 + bx + c�� producto de factores

lineales.

Expresa trinomios de la forma x2 + bx +c como producto de factores

lineales.

Expresa trinomios de la forma ax2��·��W��

factores lineales.

Utiliza una o varias técnicas de

transformación para descomponer un

polinomio en factores.




Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

Resuelve problemas relacionados con los tipos de trinomios estudiados.

¦��


Sesión B. Fracciones algebraicas simplesProblematización�� Z��*��%��!�� }��*��!��

Desarrollo de criterios!�� /��"�� '��'��

�� '�� Z�|Z��%�� W�Z�� '��

x xx

2

2

5 64

+ +−

�� '��Z�|Z��&��-�� /��

!��"�� '��-�� +�� /��4 �� =�� '��"��'�� "�"�� de clases.

x xx

2

2

5 64

+ +–

En el caso de la fracción anterior se puede observar que el numerador es un trinomio de la forma x2��?� ��'��%�� ]��|��mientras que el denominador es una diferencia de cuadrados perfectos. ¿Recuerdas cómo se '��%��"�� |�� >§�� -� �� ]��]��'��

( ) ( )( ) ( )

( )( )

x xx x

xx

2 32 2

32

+ + +=

––+

140 Matemáticas I

Actividad de aprendizaje 21) ?� ��'�� '��-

��

a. xx x

2

2

93

–+

b. x xx x

3 2

2

36 9

++ +

c. ( )( )( )( )2 5 3 22 3 5 2

2 2

2 2

a b a ab ba ab b a b

++

+–– –

d. x

x x332

++

e. x x

x

2

2

3 41

+

f.

x xx x

2

2

66 9

++ +

–

g. 4 9

4 12 9

2

2

xx +

–+

h. 3 912

2

2

x xx x+

––

División de polinomios��'�� '�� de polinomios.

��

1) ¦��/��potencia o viceversa.

2) !��/��primer término del cociente.

3) Ahora multiplicamos el término del cociente del paso anterior por el divisor y el ��

4) &�� ]��|��"��obtener un residuo igual a cero o una expresión algebraica de menor potencia que el divisor.

5) �� '��

dividendo residuo

divisor= +

divisorcociente


Ejemplo: Divide b b b b .

Solución.

Ordenamos b b b b+ − + −2 4 5 3 23 2

!��

b b b bb b

b bb bb b

b

+ − + −− +

− −

− +

+ +

+ −−

2 4 5 3 24 13 29

4 813 313 26

29 22

3 2

2

3 2

2

2

99 58

60

b −

−

�� b b b

bb b

b

Síntesis�� '��

1.

2.

x xx

3.

a aa a

4.

x xx x� ��

5.

��

6.

��

7. ��

8. x x xx

9.

d d dd

10.

142 Matemáticas I








cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.



��

��


creativa.



|��#��



establecidos.




¦��






Niveles de logro



��mediante la


��/��




formales.



enfoques.

|��>��


��

>��racionales con

factores comunes y no comunes

susceptibles de ser ��

>��racionales con factores comunes y no comunes


Reconoce expresiones racionales en forma ��de factores comunes

y la división de polinomios.

Reconoce expresiones racionales en forma

��factores comunes y la

división de polinomios.

Obtiene factores comunes mediante la factorización y reducción de las

técnicas aprendidas.

Obtiene factores comunes mediante la factorización y

reducción de las técnicas aprendidas.

Ejecuta divisiones entre polinomios.

Escribe expresiones racionales en

'��utilizando factores

comunes y la división de polinomios.

Escribe expresiones racionales en forma

�� factores comunes y la


¦��

144 Matemáticas I

Realimentación &��

1. %��

a) 3 1525

2

2

x y xyx

=+–

b) xx

2

2

93

=+–

c)

d)

a a a aa

e)

x x x xx x

2. %�� -�� /��p y de u, según ��

P + 9p+202

2u + 5u+32

3. Escribe sobre la línea la palabra correcto� �� incorrecto, realizando también la simpli-��

a) 63

2=2a b

aba

b) ( )aa

a24

22

2 =––

+

c) 10 2

210

22x x

xx=

–

d) 4 162 8

2 42

2

2

mm

mm

=––

++


4. ¨��/��








cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje






apropiados.



��

��


creativa.






establecidos.




¦��


a) x x� �

b) y y� �c) x x

d) x x� �

e) x x� �

f) x xg) x x

h) x x� �

i) x x� �

j) x x� �

146 Matemáticas I





Niveles de logro



��mediante la


��/��




formales.



enfoques.

|��>��


��

Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma

x2 + bx + c� ax2 + bx + c��

con a�·�� producto de factores lineales y polinomios

que requieren combinar técnicas.

Reconoce trinomios que no son cuadrados

perfectos como producto de factores lineales.

Trinomios de la forma x2 + bx + c.

Trinomios de la forma ax2 + bx + c��a�·��

Polinomios que requieren combinar técnicas.

Expresa trinomios de la forma x2 + bx + c��

ax2 + bx + c�� producto de factores

lineales.

Expresa trinomios de la forma x2 + bx +c como

producto de factores lineales.

Expresa trinomios de la '��]��·��W��

factores lineales.







>��racionales con

factores comunes y no comunes susceptibles ��

>��racionales con factores comunes y no comunes


Reconoce expresiones racionales en forma ��de factores comunes


Reconoce expresiones racionales en forma

��factores comunes y la


Obtiene factores comunes mediante la factorización y reducción de las

técnicas aprendidas.

Obtiene factores comunes mediante la

factorización y reducción de las técnicasaprendidas.

Ejecuta divisiones entre polinomios.





Niveles de logro



�� factores comunes



�� factores comunes y la


Soluciona problemas aritméticos y

algebraicos usando series y sucesiones

aritméticas.

Resuelve problemas relacionados con los tipos

de trinomios.

¦��

BVI

Resuelves ecuaciones lineales I


F� >�� ' ��

F� ¥��'��/��

F� ?��y��mx��b�� '�� ' ��

F� =��/�� ' ��

F� $�� ' ��

F� ?�� ' ��

F� !�� ' ��+��

F� !�� ' ��

F� ?�� /��

148

Competencias genéricas a desarrollar:W�� %��-

�� .1.1 ��'��

� ��'��}�� "��-

�� "��

}�W� ��

X�� !�� /��

X�]��¦��'��

Competencias disciplinares a desarrollar: W�� &�� -

��/��/��-�� -��"��/��'��

]�� ¨�� '-��'��

|�� -��-��

}�� =�� /�-�� /�� '��

X�� >��-��

149

150 Matemáticas I

Din�� -�� 4 �� -��

1) x2) x x

3) x x

4) x x �

5) x x �

6) �� =<&�� ¼¹½�A

B C

X°

30° 50°

7) �& ��

8) $�� Z��}�� /�� "��®�� -�� }��%��$�� /��

Tramo 1Tramo 2

Tramo 3 Tramo 4

&�� /�� -�� "��

1) =� �� "��À�� /��Â�� "�� À�� *�� "�� W��*��Â�� /��=� �� "��

151 BVIResuelves ecuaciones lineales I

Sesión A.�� !��¤��/�� "�� ]��=� ��!��¤��/��"��

!�� '�� =� �� /��"�� &��"�� "��

¥�� *�� ®�� &��<��"�� "�� ¥��=��" �� ©�}�� "��©|X�X�� *�� ©]]��%�� X��*�� '��

%�� "�� "�� dinero faltante��la beca��el ahorro�� costo total de la carrera�� dinero faltante��©}��©|X�X��©]]��X�� dinero faltante��©WW��¬�©^X�X��©|}�X��Â��dinero faltante�� x, �� x��©}��©|X�X��©]]��X��x��©WW��¬�©^X�X��©34 500�

!�� -'�� %�� =,��'�� ecuación�

=��

Igualdad��%�� -��

� �� Z��/��

152 Matemáticas I

Ecuación�� '��

3x + 1 = 9 + x

Primer miembro

Segundo miembro

Ecuación con una incógnita

&��|��W��

��/�� ]��

2x + 3y = 9y + xEcuación con una incógnita

Primer miembro

Segundo miembro

�� x��y��]��|��/��

1) Identidad��%�� /��-��

a b a b a b2( ( () ))+ = + +

2) Grado de una ecuación��

��

��}�X��}�� x��W�

��/��ecuación lineal��'��

Raíz o solución��%�� - ��

�� X�� Z� �� |�� [� � � �� ^� �� X��^��Z��|�^��[��]��]��


&�� 1) Ecuación numérica�� /��

��

4x - 5 = x + 4

2) Ecuación literal��

6x + 8a = 3b - bx

3) Ecuación entera�� /�� /�� -��'��

3x + 4 = x - 5

4) Ecuación fraccionaria�� /�� /�� '��

x x x x4

75

42

+ –=

?�� !�� +�� -��"�� =�� '��

µ�� "��-�� axiomas��postulados��= ��

�� -��

a) Propiedad idéntica.�%��/��#��

6 + 12 = 6 + 12

b) Propiedad simétrica. &��

3 + 4 = 7 entonces 7 = 4 + 3

c) Propiedad transitiva.�& ��

x + y = z ab = z ⇒ x + y = ab

d) Propiedad uniforme.�� -��

4 + 5 = 9 ⇒ (4 + 5)(2) = 9(2)

e) Propiedad cancelativa.��

�a + y = z + y ⇒ a = z

f) Propiedad distributiva.�!�� -�� /��

7 (2 + 4) = 7 (2) + 7 (4)

154 Matemáticas I

§�� /�� "�� -�� /��'��/��4�� /�� -��

Método 1. Ejemplo 1

7x + 8 = 2x - 7 ��

7x - 2x + 8 = 2x – 2x - 7 %�� '��

5x + 8 = - 7 %��/�� /��

5x + 8 – 8 = -7 - 8 %�� '��

5x = - 15 %��/�� /��

55

155

x=

– %�� '��

x = - 3 %��/�� /��

��Método 2� Ejemplo 1

7x + 8 = 2x - 7 ��

7x - 2x + 8 = - 7 %��

5x + 8 = - 7 %�� /��

5x = -7 - 8 %��

5x = - 15 %�� /��

x 155

= – %��X��

x = - 3 %��/�� /��

�� /��]�� /��W��

�� "��'�� -�� /�-��³�´��"��Ã�Ä��«��

Método 2� Ejemplo 2

?�� |��¬�W��Z�¬�}��]��|��


��|��¬�W��Z�¬�}��]��|� ��

x + 3x – 3 = 6 – 8x – 12� %�� /��

4x – 3 = - 8x – 6 %�� /��

4x + 8x – 3 = - 6 %��

12x – 3 = - 6 %�� /��

12x = - 6 + 3 %��

12x = - 3 %�� /��

x 312

=– %��W]��

��

x 14

=–

%��/��

=��W?� �� /-��

1) 3x + 8 = 16

2) 10 – 4x = 7

3) 2x + 12 = 7x + 2

4) 8x – 8 + x = 4 + 5x

5) 7x + 2 – 9x = 6 + 4x – 3

6) 9 + 2 (2x + 3) = 17

7) 17 + 8 (x – 1) = –7

8) 2 (7x – 8) + 7(2 – x) = 26

9) 6 (2x – 3) = 2 – 7 (3 – x)

10) 13

23

4x x+ =

11) 15

13

12

2x x x+ – =

12) 12

13

12

2x x x+ = –

13) 2.7w+3.4w=1.6w+0.9

14) x 72

6+=

15) 9 45

8 210

x x–=

+

16) x x29

76

52

– – =+

17) 5 8 38

3x x x–– –=

18) 2x – [2(x+2) – 4(x-1)]=3x

19) 3{x - 4[x + 3(x-2) + 8]}=2(x+3)+17

20) x + 2{x + 3(x+1) – 2(2x+1) + 2[2(x+1)+x]} = x + 4

156 Matemáticas I

=��]¦�� -��/��

1) (x + 1)2 – 2(x + 3) + 6x – 1= x2

2) (3x – 4) (4x – 3) = (6x – 4) (2x – 5)

3) 1

3 31

4 41

12 12x x x+

+=– –

=��|��

1) %��}[��

4x - 3

3x - 1

3x + 4

3x + 10

3xx

2) �& �� -��

35 m

15 m x

3) �� '�� "��X�� %�� |�� *�� ]W��

x

�� =��

¥��

Razonamiento Operaciones Conclusión


�� /��

1) Lee cuidadosamente tu problema�"�� -�� & ��

2) 4��.�� %��

3) Anota las cantidades desconocidas��

4) Forma la ecuación � ��

Ejemplo 1

µ�� }[��

Solución

?��

1) ��/��2) >��

La suma de los dos números es 48��uno de los números es cinco veces el otro número.

3) =��

¥��x

��Xx.

4) ¨��

La suma de los 2 números es 48,��X��}[�

¦��

?��

x + 5x = 486x = 48

x 486

=

x = 8Conclusión

¥�� = [

��X� = }��

158 Matemáticas I

Ejemplo 2

µ��W��*��$��|�� ?�� /��$��?��

Solución

?��

1) ��/��

2) >��

��hace 10 años la edad de María era 3 veces que la de Rosalinda�

��actualmente la edad de María es el doble que la edad de Rosalinda�

3) =��

��?��"��

��$��"��]�

��?��W�

��$��]��W�

4) ¨��

Hace 10 años la edad de María era tres veces que la de Rosalinda�� ]��¬�W��|��¬�]��

¦��

?��

2x – 10 = 3 (x – 10)

2x – 10 = 3x – 30

2x – 3x = –30 + 10

0– = –X = 20

Conclusión

��?��20

��$��40

=��}�� /��

1) %�� "��¤��/��%�� %�� W��*�� ¤��/��*�� /��"��

2) ¥��*��}�� X�� *�� W]�� *��%��||Z��

3) ��$��'��*��¤ �� ©W^}��-��©X�� ©]�� & ��¤ ��

4) !�*��$��©]}�� "��?��!�� ?�� !��


5) �� W[�]�� ' ��"��]�� WZ�� µ��

=��X¦��

1) ! ��"�� -��"��^�"��|[��°��}�"�� /�� %��' ��]X�°��"�� -�� 4��V d

t= �

2) �� *��<��"�� ©]�X��°��+��©|�X��% ��-��©|�]��°��& ��°�� ©]�X��°��W}��°�� ©|�X��°�� -��

3) �� ]�� "�� µ��!�� /�� |X��-� ��%�� |�� ]��°��"�� /��

4) �& ��'/��©X��Z��©}�� 4�� ©}�}��

5) !�� &� ��$/��]�� *�� "��"��Z��=�� /��

%��µ��

1) � x x

2) n�

3) x �

4) x x x �

5) y y y �

6) ¤��/�� ¤��/�� °�� ¤��/��=�� WX�°�� ©��[��°��& ��

7) �� &¦<=¸�� /�� X��+�� +��}�� W^�X�°��%�� °�� °��

160 Matemáticas I

?��/��






W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

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� ��

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��

X�]�¦��'��

��

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Unidad académica curricular Matemáticas IBloque VI Resuelves ecuaciones lineales I

Competencias disciplinares del área de matemáticas Desempeños Indicadores

Niveles de logro


W��&��

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��/��

�� "��/��

'��

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��

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¨��

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��

¦��

162 Matemáticas I

Sesión B.�?��' �� ¥�� ©]]�� [[��*�� %�� *�� *�� ' �� X��*��

!��

�� +�� '�� '��

=�� ' ��' ��

=��Z�� #�"�� ' ��¥��'�� "��' ��

1) �� ' �� '��

2) �=�� ¥��'��

& �� ' �� ' �� '�� ' ��

��' �� "��=�� variable dependiente��función, ��'��'��f(x); � �� x.

!��' ��

Equipos Uniformes

Azul

Naranja

Rojo

Amarillo

Verde

León

América

Toluca

Cruz Azul

Jaguares

%��' �� x��-�� y ��


�� ' �� +�� '��-��'��À�� '�� Â�

!�� ' ��

& �� =��<��&�� =��<��&��=��<�� ' �� -

�� '��yAB

x CB

= – – ��'��

f x mx b( )= + ��m AB

= – ��b CB

–= �

Ejemplo

�� 3 2 5 0x y– + = ��' ��

Solución

a) �� 3 2 5 0x y– + = ��y

b) A��

3) &��y f x( )= �� ' ��

f x x( ) 32

52

= +

��'�� ' �� *�� '��

=��^��' ��

1) 3x + y = 0

2) –4x + 8y – 7 = 0

3) –4x – 5y + 4 = 0

4) 45

56

8 0x y+ + =

5) 2 4 5 12

9 0x y( )– – =+ +( )!��µ�� ]�� *��

3

– =

=

= +

+

– –––

– –

252

164 Matemáticas I

� �� *�� /�� ¨�� '�� "��

aV V

tf i=–

��

1) �� /��

2) �&�� "�� /��

3) �� /��

?��"��

Solución

a. &�� t ��

at V Vf i= – �

b. ?�� V V ati f= – �

4��4��

=��[!��'��

Fórmula Variable a despejar Resultado del despeje

F ma= �

T Fd= d

P Fdt

= F

h Vt gti12

2= + �

FGm m

d1 22=

��&e�'�¬�i� ti

�

�


Fórmula Variable a despejar Resultado del despeje

V r43

3= �

=��>�� ' ��

1) �� ^��

2) %�� "��' ��^��¦�/��' �� /��' ��

3) ¥�� W�|}��%�� |�� /��

4) %�� W�½&�� X�½�¨�� Z�½�&�� W}�½� �̈�� /�� ½&��½¨�

5) %�� ©�^�X�� /�' �� "��"��

%��?� ��

1) >�� }��[�Z��

2) %��]��|��' ��

3) ��

!�� 1 ] 3 4 5

=� �� 4 ^ W� 13 WZ

!��' �� "��d ��a��

4) ��' ��

a. �

b. �

166 Matemáticas I

c. �

d.

�

5) !�� '��

a. � ��"�

b. � ��

c.

�

�

��

?��/��



Categoría Competencia genérica Atributos Indicadores de desempeño

Niveles de logroRegular Bueno Excelente

W��%��

� ��

W��%��

W�W��'�� '��

��

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� ��

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��

]��%��

}�� "��

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X��!�� /��

X�]�¦��'��

��

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Bloque VI Realizas ecuaciones lineales ICompetencias

disciplinares del área de matemáticas Desempeños Indicadores

Niveles de logro


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��/��

��

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��

��

��

}��=�� /��

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>�� ' ��

��

>��' ��

� ��

?��

��y = mx + b��'��

' ��

$��

' ��

?��

�� ' ��

��

��

' ��

��

¦��

168 Matemáticas I

Sesión C. Y��' ��% �� '�� /��"��

Tiempo (s) Distancia (m)

1 2

2 4

3 6

4 8

?��"��x��

!�� ' �� /��/�� ]��/��

1. La tabulación�� -��]�� =��

2. Pendiente¬ordenada��/��-��

Y��' �� Ejemplo 1

&�� ' �� |��]��]��

a) §�� /��'��' ��

b) �� -�� ]��W�


E�� ' ��-��

��

x Punto ,

�2 y

1 y

?��

�W�X�

�]�}�

��¬¦��Ejemplo 2

&�� ' �� –�}��W��-��

Solucióna) §�� /��'��' ��

� ��b) >�� ' ��

%�� –}��W��–�}��W+�� -��

%��

== =

=– ++

–

170 Matemáticas I

="��

Å��W

Å��}

1

1

y

(1,00; -3,00)

Δx

Δy


=��W�?�� ' �� /�� -��

1) y x3 3= +

y

1

1

2) y x= – –

y

1

1

3) y x 93–

=y

1

1

4) y x43

6= +��

y

1

1

172 Matemáticas I

5) y x23

5–=y

1

1

=��WW=�� =�� -�� "��?��/��

��

�� y x13

2–= es:

1)

�� y x3 2= – es:

2)


��

�� y x1

23–=

.

3) �

4) ��

%��?� ��

1) ¥�� ©[�� ©W��*��

a. �& �� ' �� *��

b. �& �� Z��*��

[��

^��

Z��

X��

}��

|��

]��

W��

1

�

1

1

] 3 4 5 Z

1�

1

]

3

!��

°�

4

5

Z

] 3

2) ¥�� '��+��°�� °��°��

a. �& �� ' ��

174 Matemáticas I

3) =� �� X�� -�]�� ²&��

a. �& �� -��W]��

5�

]�

}�

Z�

[�

W��

W� 15

?��/��






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W��%��

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Bloque VI Resuelves ecuaciones lineales ICompetencias




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��

4. =��

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=��'��/��' ��

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=��/��

��' ��

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��

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�� ' ��

¥��

�� ' ��

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176 Matemáticas I

?��1) ?� ��

a. �

b. t �

c.

n n n�

d. y y y y

�

e. x x

�

f. �

g.

a a a�

2) >��

a. �� |��

b. �� X��¦�/��' �� /�� ' ��

c. ¥�� ]��W]X��

3) Y��

a. �

b. �

c.

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d. �

e. �


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178 Matemáticas I

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Bloque VI Resuelves ecuaciones lineales ICompetencias




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$�� ' ��

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�� ' ��

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=��'��/��' ��

?��/��' ��

=��/��' ��

!�� ' ��

>��

�� ' ��

¥��

�� ' ��

¦��


4��

BVII

180

Resuelves ecuaciones lineales II


F� Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

F� Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos:

» Numérico: determinantes

» Algebraicos: eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución

» Y��

F� Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuacio-nes con dos incógnitas.

F� >��

F� Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico, utili-��/�� /��

F� �� -ciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

181

Competencias genéricas a desarrollar: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos con-

textos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, ��

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a par-tir de métodos establecidos.


Competencias disciplinares a desarrollar: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante

la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando dife-rentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante pro-cedimientos matemáticos y los contrasta con modelos esta-blecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con méto-�� /��el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. >��

��

182 Matemáticas I

Dinamización y motivación1) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por cualquier método:

a.

b.

2) Resuelve los siguientes problemas:

a. La suma de dos números es 30. Uno de los números es 4 unidades mayor que el otro. Encuentra los números.

b. Calcula la edad de un padre y la de su hijo si la razón de las edades es 4 y la suma de ambas dentro de 10 años será de 65 años.

Contextualización�� ¹§��*�� -sión, por lo que decide tomar de sus ahorros e ir a comprar a una tienda importante. Estando ahí, le gustan un vestido y una chamarra de piel. De $10 000 que traía, le sobran sólo $1 900.

Sabiendo que del costo de la chamarra equivale a $100 más que del costo del vestido,

¿cuánto pagó Paty por cada prenda?

Sesión A. Ecuación lineal de dos incógnitas ProblematizaciónJuan y Pedro salen de su casa al mismo tiempo y caminan describiendo como trayectorias las siguientes ecuaciones:

Trayectoria de Juan: 3x+2y– 8=0.

Trayectoria de Pedro: –3x+2y– 8=0.

En un determinado momento, Juan y Pedro se cruzan en el camino. Si caminaran sobre un sistema de coordenadas, ¿en qué punto se encuentran los dos amigos?

Desarrollo de criteriosUna ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma: ax+by=c,

donde a, b y c son números cualesquiera y x y y representan las incógnitas.

183 BVIIResuelves ecuaciones lineales II

Cuando en una situación o en un problema surgen dos ecuaciones con las mismas incógnitas pero con diferentes números, se dice que se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2×2).

La solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas son los valores de estas incógnitas que cumplen con las condiciones dadas, es decir, que satisfacen a cada ecua-ción. De esta manera, un sistema puede tener únicamente una solución, ��-ciones o no tener solución.

Existen varios métodos algebraicos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.

Los métodos de eliminación son:

1º. Por adición o sustracción (reducción)

2º. Por igualación

3º. Por sustitución

Cualquiera de los métodos anteriores te llevará a la misma solución.

1º. Eliminación por adición o sustracción

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eli-minación por suma o resta, cumpliremos los siguientes pasos:

1) Elegir la incógnita a eliminar.

2) Eliminar la incógnita seleccionada.

3) >��

4) >��

5) &��

6) $ ��

7) Sumar las ecuaciones.

8) Resolver la ecuación resultante.

9) Hallar el valor de la otra incógnita.

10) Sustituir el valor hallado en cualquiera de las dos ecuaciones.


Ejemplo 1

Utilizando eliminación por adición o sustracción, encuentra la solución del siguien-te sistema de ecuaciones:

3p + 6m=33

4p + 2m=20

Paso 1. Selecciona la incógnita a eliminar.

Si queremos eliminar p:Paso 2. Elimina p.

Los números que acompañan a p en las ecuaciones son:Primera ecuación: 3Segunda ecuación: 4

Si queremos eliminar m:Paso 2. Elimina m.

Los números que acompañan a m en las ecuaciones son:Primera ecuación: 6Segunda ecuación: 2

184 Matemáticas I

Si intercambiamos los números, tenemos:

4 3 6 333 4 2 20

p mp m

++

==

Como ambos números tienen el mismo signo, es necesario cambiárselo a uno de ellos. Cam-biémoselo a 4; entonces tenemos:

=++–

Multiplicando ambas ecuaciones, tenemos:

− − = −+ =

12 24m 13212 6 60

pp m

Sumando, tenemos:

12 24 13212 6 60

18 72

p

m

–

––

–+

– m ===

Paso 3. Resuelve la ecuación: -18m =-72.

Resolviendo, tenemos:

m=-72/-18

m=4

Paso 4. Hallar el valor de p.

Para halla el valor de p, sustituyamos el va-lor que hallamos (m=4) en la ecuación 3p+6m=33:

3p+6(4)=33

Resolvamos la ecuación 3p+6(4)=33:

3p+24=33

3p=33–24

3p=9

p=9/3

p=3

Solución del sistema:

m=4 y p=3


2 3 6 336 4 2 20

p mp m+ =+ =

Como ambos números tienen el mismo signo es necesario cambiárselo a uno de ellos. Cam-biémoselo a 6; entonces tenemos:

2 3 6 336 4 2 20

p mp m+ =+ =-

Multiplicando ambas ecuaciones, tenemos:

6 12 6624 12 120p m

p m– –+

–==

Sumando, tenemos:

6 12 6624 12 12018 54

p mp mp

–– –––

+ ===

Paso 3. Resuelve la ecuación: -18p =-54.

Resolviendo, tenemos:

p=-54/-18

p=3

Paso 4. Hallar el valor de m.

Para halla el valor de m, sustituyamos el valor que hallamos (p=3) en la ecuación 3p+6m=33:

3p+6m=33

Resolvamos la ecuación 3(3)+6m=33:

9+6m=33

6m=33–9

6m=24

m=24/6

m=4


p=3 y m=4


Ejemplo 2

Utilizando eliminación por adición o sustracción, encuentra la solución del siguien-te sistema de ecuaciones:

4r + 3w = 2

5r – 3w = 16

Paso 1. Selecciona la incógnita a eliminar.

Si queremos eliminar

Paso 2: Elimina

Los números que acompañan a en las ecuaciones son:

Primera ecuación:

Segunda ecuación:


4 3 25 3 16r wr w

==

+–

Como ambos números tienen el mismo signo, es necesario cambiárselo a uno de ellos. Cambiémoselo a , entonces tenemos:

4 3 25 3 16r wr w

==

+–

Multiplicando ambas ecuaciones tenemos:

Sumando o restando tenemos:

Paso 3. Resolver la ecuación:

Resolviendo tenemos:

Paso 4. Halla el valor de

Para halla el valor de , sustituyamos el valor que hallamos

en la ecuación .

Resolvamos la ecuación


r = y w =

186 Matemáticas I

Actividad de aprendizaje 1Encuentra la solución de los siguientes sistemas con el método de eliminación por suma o resta.

x yx y

2 202 30

==

+–{

2 13 11a ba b

––

==+{

3 7 153 2 15

x yx y

–+ =

={x yx y

2 1610

– =={

3 5 437

x yy x

++

=={

2º Eliminación por igualación

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eli-minación por igualación, cumpliremos: los siguientes pasos:

1) Elegir la incógnita a despejar.

2) Despejar la incógnita seleccionada en cada una de las ecuaciones.

3) Igualar las expresiones resultantes.



6) Sustituir el valor hallado en cualquiera de las dos ecuaciones.


Ejemplo 1

Utilizando eliminación por igualación, encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

x + 2y=22

4x - y =7

Paso 1. Selecciona la incógnita a despejar.

Si queremos despejar x:

Paso 2. Despeja x en cada ecuación:

x + 2y=22 despejando x=22-2y

4x - y=7 despejando x= (7+y)/4

Si queremos despejar y:

Paso 2. Despeja y en cada ecuación:

x + 2y=22 despejando y=(22-x)/2

4x - y=7 despejando y= 4x-7


Paso 3. Iguala 22-2y con (7+y)/4,

de donde: 22-2y =(7+y)/4.

Paso 4. Resuelve la ecuación: 22-2y =(7+y)/4

4(22-2y)=7+y

88 – 8y=7+y

-8y – y =7 – 88

- 9y = - 81

y = - 81/- 9

y= 9

Paso 5. Halla el valor de x.

Para hallar el valor de x, sustituyamos el va-lor de y=9 en x + 2y=22,

de donde:

x + 2(9)=22

x+18=22

x=22- 18

x=4

Solución del sistema: y=9 y x=4

Paso 3. Iguala (22-x)/2 con 4x-7,

de donde: (22-x)/2 = 4x-7.

Paso 4. Resuelve la ecuación: (22-x)/2=4x-7

22 – x = 2(4x -7)

22 – x =8x – 14

22 – x -8x = -14

-9x = -14 – 22

- 9x= - 36

x = - 36/ - 9

x=4

Paso 5. Halla el valor de y.

Para hallar el valor de y, sustituyamos el valor de x=4 en x + 2y=22,

de donde:

(4)+2y=22

2y=22 – 4

2y=18

y=18/2

y=9

Solución del sistema: x=4 y y=9

Ejemplo 2


3x + 7y= -14

2x - 3y = 6


Si queremos despejar

Paso 2. Despeja en cada ecuación, con lo que se tiene:

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Paso 3. Iguala con

de donde:

188 Matemáticas I

Paso 4. Resuelve la ecuación:

Paso 5. Hallar el valor de

Para hallar el valor de , sustituyamos el valor de

en ,

de donde:

Solución del sistema: x = , y =

Ejemplo 3


5x + 2y= 3

2x - 5y =7


Si queremos despejar

Paso 2. Despeja en cada ecuación, se tiene:

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Paso 3. Iguala con ,

de donde:


Paso 5. Halla el valor de


Para hallar el valor de , sustituyamos el valor de

en ,

de donde:

Solución del sistema: x = , y =

Actividad de aprendizaje 2Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de igualación.

a) 25x + 16 = 91

16x + 16y = 64

b) 3x + 2y = 13

3x + 4y = 19

c) 6x – 3y = –3

x + 4y = 24

d) x = 2y – 5

2x + 3y = 18

e) y = 4x

x + 2y = 64

3º Eliminación por sustitución

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eli-minación por igualación, cumpliremos los siguientes pasos:

1) Elegir una ecuación.

2) Elegir la incógnita a despejar.

3) Despejar la incógnita seleccionada en la ecuación.

4) Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación.



7) Sustituir el valor hallado en la incógnita despejada.


190 Matemáticas I

Ejemplo 1

Utilizando la eliminación por sustitución, encuentra la solución del siguiente siste-ma de ecuaciones:

2x + 5y= - 24

8x - 3y =19

Paso 1. Selecciona una ecuación.

Si seleccionamos 2x + 5y= - 24:

Paso 2. Selecciona una incógnita.

Si seleccionamos x:

Paso 3. Despeja x:

x= (- 24 – 5y)/2

Paso 4. Sustituye x=(-24–5y)/2 en 8x-3y=19:

8[(- 24 – 5y)/2] – 3y = 19


Si seleccionamos y:

Paso 3. Despeja y:

y= (- 24 – 2x)/5

Paso 4. Sustituye y=(-24–2x)/5 en 8x-3y =19

8x – 3[(- 24 – 2x)/5] = 19Paso 4. Resuelve la ecuación:

8[(- 24 – 5y)/2] – 3y = 19

4(- 24 – 5y) – 3y = 19

- 96 -20y -3y = 19

- 23y = 19 + 96

- 23y = 115

y = 115/ -23

y = - 5

Paso 5. Halla el valor de x.

Sustituyendo y = - 5 en:

x= (- 24 – 5y)/2

x= [- 24 – 5(-5)]/2

x =[-24+25]/2

x = 1/2

Solución del sistema

y = -5 y x = 1/2


8x – 3[(- 24 – 2x)/5] = 19

[40x–3(- 24 –2x)]/5 = 19

[40x–3(- 24 –2x)] = 95

40x + 72 +6x=95

46x =95 – 72

46x= 23

x= 23/46 = 1/2

Paso 5. Halla el valor de y.

Sustituyendo x = 1/2 en:

y= (- 24 – 2x)/5

y= [- 24 – 2(1/2)]/5

y= (- 24 – 1)/5

y = -25/5 = - 5

Solución del sistema

x = 1/2 y y = -5


Si seleccionamos 8x - 3y =19


Si seleccionamos x:

Paso 3. Despeja x:

x= (19 + 3y)/8

Paso 4. Sustituye x=(19+3y)/8 en 2x+5y=-24:

2[(19 + 3y)/8] + 5y = -24


2[(19 + 3y)/8] + 5y = -24

[2(19 + 3y)+ 40y]/8 = -24

[2(19 + 3y)+ 40y] =-192

38+6y+40y = -192

46y=-192-38

46y= -230

y = - 230/46 = - 5

Paso 6 Halla el valor de x.

Sustituyendo y = - 5 en:

x= (19 + 3y)/8

x= [19 + 3(-5)]/8

x= (19 - 15)/8

x= 4/8 = 1/2


y = -5 y x = 1/2


Si seleccionamos y:

Paso 3. Despeja y:

y= (8x -19)/3

Paso 4: Sustituye y=(8x-19)/3 en 2x+5y=-24:

2x+ 5[(8x -19)/3] = - 24


2x+ 5[(8x -19)/3] = - 24

[6x+ 5(8x -19)]/3 = - 24

[6x+ 5(8x -19)] = - 72

6x+40x – 95 = -72

46x= - 72 + 95

46x = 23

x =23/46 = 1/2

x= 23/46 = 1/2

Paso 6: Halla el valor de y.

Sustituyendo x = 1/2 en:

y= (8x -19)/3

y= [8(1/2) -19]/3

y=(4-19)/3 =-15/3 = - 5


x = 1/2 y y = -5

Ejemplo 2

Utilizando eliminación por sustitución, encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

5x + 2y= 3

2x - 5y =7

Paso 1. Selecciona una ecuación.

Si seleccionamos la ecuación:


Si seleccionamos

Paso 3. Despeja en la ecuación seleccionada, con lo que se obtiene:

192 Matemáticas I

Paso 4. Sustituyendo la ecuación despejada en la otra ecuación, se tiene:

Paso 5. Resuelve la ecuación.

Paso 6. Halla el valor de .

Sustituyendo en la ecuación:


¹�� , y =

Actividad de aprendizaje 3Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando el método de eli-minación por sustitución:

1) 3x – 2y = 4

2x + 3y = 7

2) 7a – 5b = 11

3a + b = 11

3) 2x + y = 6

4x + 6y = 8

4) x + 5 = y

2x + 3y = 50

5) x + y = 8

4x – 3y = –10

Síntesis1) Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de

suma o resta:

a.

b.

c.

d.


e.

2) Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:

a.

b.

c.

d.

e.

3) Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

a.

b.

c.

d.

e.

194 Matemáticas I








cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.






establecidos.




Observaciones:



Unidad académica curricular Matemáticas IBloque VII Resuelves ecuaciones lineales II



1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos

aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales,

para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o

formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando

diferentes enfoques.

Reconoce el modelo algebraico de un sistema

de ecuaciones con dos incógnitas.

Reconoce la solución de un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas

(2x2) mediante:

Métodos de reducción algebraica

(suma y resta, sustitución e igualación).

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos

establecidos o situaciones reales.

Resuelve e interpreta sistemas mediante el método algebraico:

eliminación por Suma o resta, Igualación y

sustitución.

Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas

2x2.

Resuelve sistemas de ecuaciones 2x2

empleando métodos de reducción algebraica.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con �/�� /��

analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las

tecnologías de la información y la comunicación.

X��>��mapas, diagramas y textos

con símbolos matemáticos y ��

Expresa y soluciona situaciones utilizando

sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico para resolver

situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones

con dos incógnitas.

Construye ideas y argumentos relativos a la

solución y aplicación de sistemas de

ecuaciones.

Observaciones:

196 Matemáticas I

Sesión B. Resolución de un sistema lineal 2�2 por determinantesProblematización=��X�!§!��Smallville��}�!§!��Harry Potter en $390. Si su "��¦��}�!§!��Smallville��]�!§!��Harry Potter por $240, �� !§!��

Desarrollo de criteriosEl método de resolución de un sistema de ecuaciones lineales mediante determinantes se llama regla de Cramer.

El determinante de segundo orden es un arreglo de cuatro números colocados en un � �� '��

�� la primera columna por el número diagonalmente opuesto; a continuación se resta el produc-to de los números de la otra diagonal:

(–) (+)

&��#�"�� +��#�"�� "��'�� producto debe restarse del otro.

Ejemplos: Calcula el valor de los determinantes.

Para resolver con determinantes un sistema lineal con dos incógnitas, procedemos de la siguiente forma:

Escribimos la ecuación de tal manera que cada incógnita de una ecuación esté justo debajo de la misma incógnita de la otra; los términos constantes deben formar los segundos miembros del sistema.

�� '��-cientes de la incógnita por los términos constantes.

��'��


��

El valor de x��

Y el valor de y��

Ejemplo 1:

��

x

y

198 Matemáticas I

Actividad de aprendizaje 4 Encuentra la solución de los siguientes sistemas utilizando determinantes:

1)

5 2 113 7 18

+–

==

x yx y{ –

2)

x 3+ =

={3)

3 3 8x yy x

+=={

4)

x yx y

2 53 20=

=+–{

SíntesisResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de determinantes.

1)

2)

3)

4)

5)









cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.






establecidos.




Observaciones:

200 Matemáticas I



Bloque VII Resuelves ecuaciones lineales IICompetencias









2. Formula y resuelve problemas matemáticos,


Resuelve e interpreta sistemas mediante

el método numérico: Determinantes.

Reconoce la solución de un sistema de

dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2)

mediante:

Métodos numéricos por determinantes.

3.Explica e interpreta los resultados obtenidos

mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones

reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos

� �/��analíticos o variacionales,

mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la

comunicación.


y textos con símbolos ��

Resuelve problemas que se plantean en lenguaje

algebraico utilizando métodos numéricos.


empleando métodos numéricos.

Observaciones:


Sesión C. Interpretación �� de ecuaciones linealesProblematización�� }�� !��"��^��%��W�punto y cada error le resta 2 puntos, ¿cuál es la representación algebraica de la situación plan-��& ��

Desarrollo de criterios ��/�� consiste en trazar las dos rectas en el mismo plano cartesiano, con lo que se determina su intersección (punto donde se cruzan), que es la solución del sistema.

Recordando el principio de Euclides que dice: “Por dos puntos puede trazarse una y sólo una línea recta”, sabemos que, entonces para trazar una recta sólo necesitamos �� /�� &�� §>�

& �� se tienen tres casos de solución:

1. %�� única solución.

2. Cuando las dos rectas coinciden, es decir, una está encima de la otra, existen una ��-dad de soluciones para el sistema de ecuaciones.

3. Si las rectas son paralelas, es decir, no hay intersección en ellas, el sistemas de ecuaciones no tiene solución.

Ejemplo 1:

Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

� ��

1. Primero expresemos las ecuaciones en forma de función:

202 Matemáticas I

2. Ahora tabulemos, escogiendo 2 valores cualesquiera de x para cada función:

x Punto (x, y)

-1 y (-1, 5)

2 y (2, -1)

x Punto (x, y)

-1 y (-1, 5)

2 y (2, 0)

3. Por último tracemos los puntos encontrados en el mismo plano cartesiano, y obtendre-��

Conclusión: el sistema de ecuaciones tiene una única solución.

Ejemplo 2:

Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones:


Solución:



x Punto (x, y)

-2 (-2, -4)

2 (2, -2)

x Punto (x, y)

-2 (-2, -4)

2 (2, -2)


204 Matemáticas I

Conclusión: el sistema de ecuaciones tiene una ��.

Ejemplo 3:

��

Solución:



x Punto (x, y)

-2 (-2, -3)

2 (2, -1)

x Punto (x, y)

-3 (-3, -3)

3 (3, 0)



Conclusión: el sistema de ecuaciones no tiene solución.

Síntesis�� /��

1)

2)

3)

4)

5)

206 Matemáticas I








cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.






establecidos.




Observaciones:




Bloque VII Resuelves ecuaciones lineales IICompetencias


Niveles de logro


1. Construye e interpreta modelos matemáticos

mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,

algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,







comunicación.

Resuelve e interpreta sistemas mediante el

�/��

Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas (2x2)mediante las

��' ��lineales.




reales.

>��un sistema de ecuaciones

simultáneo tiene una, ��

soluciones.

>�� sistema 2×2 posee

una, ninguna o ��


empleando métodos ��



Elabora e interpreta ��para resolver situaciones diversas que conllevan al uso de sistemas de ecuaciones con dos

incógnitas.

Elabora e interpreta ��

para resolver sistemas de

ecuaciones con dos incógnitas.

Observaciones:

208 Matemáticas I

Realimentación I. Organizados en equipos de tres personas, resuelve los siguientes ejercicios.

1) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por alguno de los métodos vistos en el bloque. No puedes repetir el método.

a.

b.

c.

d.

e.

2) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que mejor te acomode:

a. Una persona compro arroz a $1.50 el kg y frijol a $2.30 el kg. Si pagó un total de $50.10 por su compra, ¿cuánto compró de arroz y cuánto de frijol?

b. Un comerciante compró mercancía por 12 000 unidades de dinero y, al venderlas obtuvo una ganancia de 4 900 unidades de dinero. Si con una parte de la mercancía ganó el 35 % y el 45% con el resto, determina la cantidad original sobre la que obtuvo cada utilidad.

c. En Cinemex, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $677, y 17 de niño y 15 de adulto, $1 131. Halla el precio de una entrada de niño y una de adulto.

d. Pepe y Toño tienen una cierta cantidad de dinero cada uno. Pepe dijo a Toño: “Si me das $40, lo que tendré será igual a 28 veces lo que te quede”. Toño repuso: “Dame $95 y tendremos igual cantidad los dos”. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

e. Hace dos años la edad de Karol era de la de su padre, y dentro de

cuatro años será de la de su papá. ¿Cuál es la edad actual del padre?


3) Determina el tipo de solución que presentan los siguientes sistemas de ecuacio-nes y propón las ecuaciones que representan las rectas:

a)

b)

c)

4) Dada la siguiente representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas:

210 Matemáticas I

a. �& �� ¤ ��

5) Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

¿Es posible que este sistema tenga solución única?

Si la respuesta es “sí”:

» ¿Cuál es la solución?

» Y�� /��

%�� À��Â��








cuida de sí.


teniendo en cuenta los objetivos que

persigue.


y debilidades.




aprendizaje


4. Escucha, interpreta y emite mensajes

pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de medios, códigos

y herramientas apropiados.




��


creativa.




5. Desarrolla innovaciones y

propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.




Observaciones:





Bloque VII Resuelves ecuaciones lineales IICompetencias disciplinares del área de


Niveles de logro









formales.



enfoques.

3.Explica e interpreta los resultados

obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos

establecidos o situaciones reales.


de ecuaciones con dos incógnitas.


dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2)

mediante:

Métodos de reducción algebraica

(suma y resta, sustitución e igualación).


eliminación por Suma o resta, Igualación y

sustitución.


2x2.


empleando métodos de reducción algebraica.

212 Matemáticas I




Niveles de logro



sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.



con dos incógnitas.

Construye ideas y argumentos relativos a la

solución y aplicación de sistemas

deecuaciones.




dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2

mediante:

Métodos numéricos por determinantes.




empleando métodos numéricos.

Resuelve e interpreta sistemas mediante el

�/��

Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas (2x2)mediante las

��' ��lineales.





Niveles de logro


4. Argumenta la solución obtenida

de un problema, con métodos numéricos, ��

o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático

y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.




>��un sistema de ecuaciones

simultáneo tiene una, ��

soluciones.

�>�� sistema 2×2 posee

una, ninguna o ��


empleando métodos ��

Elabora e interpreta ��para resolver situaciones diversas que conllevan al uso de sistemas de ecuaciones con dos

incógnitas.

Elabora e interpreta ��

para resolver sistemas de

ecuaciones con dos incógnitas.

Observaciones:

BVIII

Resuelves ecuaciones lineales III


F� Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.

F� Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante métodos:

» Numérico: determinantes

» Algebraicos: eliminación, reducción (suma y resta) y sustitución

» Y��

F� Expresa y soluciona situaciones utilizando sis-temas de ecuaciones con tres incógnitas.

F� Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico, utilizando métodos algebraicos, nu-�/��

F� ��resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

214

Competencias genéricas a desarrollar:1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo

en cuenta los objetivos que persigue.W�W� ��'��

valores, fortalezas y debilidades.4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

��5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir

de métodos establecidos. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Competencias disciplinares a desarrollar: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplica-

ción de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones rea-les, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedi-mientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos � �/��-guaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la infor-mación y la comunicación.

5. >��-��

215

216 Matemáticas I

Dinamización y motivación Resuelve correctamente los siguientes sistemas:

a. 5 3 1

4 6 12 3 4 9

x y zx y zx y z

− − =+ − =−+ + =

{b.

3 2 15 3 4 2

1

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ − =

{c. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de $1560 por 24 l de

leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche, y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

d. Se juntan 30 personas, entre hombres, mujeres y niños y se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican el número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantea un sistema de ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resuelve el sistema de ecuaciones planteado y comenta el resultado.

Contextualización Juan, Pedro y Luis fueron al cine y cada uno compró un paquete diferente, que puede incluir palomitas, nachos y un refresco. El paquete que compró Juan incluye palomitas, nachos y un refresco, y pagó $50; el paquete que compró Pedro incluye dos palomitas y dos refrescos, y pagó $60; el paquete que compró Luis tiene nachos, dos palomitas y dos refrescos, y pagó $80. ¿Cuál es el costo de las palomitas, los nachos y cada refresco?

Sesión A. Sistemas de ecuaciones de 3×3Problematización Tres productos químicos se combinan para formar tres tipos de detergente. Una unidad de detergente de grado uno requiere de 10 kg de producto A, 30 del B y 60 del C. Una unidad de detergente de grado 2 requiere 20 kg de tipo A, 30 de B y 50 de C. Una unidad de detergente de grado tipo 3 requiere de 50 kg de tipos A y B y 50 de C. Si se dispone de 1 600kg de A, 1 200 kg de B y 3 200 kg de C, ¿cuántas unidades de los tres tipos se pueden producir si se emplean todas las unidades de productos químicos?

Desarrollo de saberesHasta ahora las ecuaciones con las que has trabajado han sido numéricas con dos variables de primer grado, y te han servido para resolver ejercicios y problemas mediante los métodos establecidos en el bloque anterior. Pero eso no es todo, ya que existen situaciones donde en-contrarás ecuaciones numéricas de primer grado, pero con tres incógnitas.

217 BVIIIResuelves ecuaciones lineales III

Resuelve el siguiente sistema:

2x y z 43x 3y z 8x 2y 3z 7

− =+ + =

+ − =

-

Paso 1. Se eligen dos de las tres ecuaciones y se elimina una de las variables, con lo que se obtiene así una ecuación de dos variables.

Si tomamos las dos primeras ecuaciones y queremos eliminar entre ellas la incóg-nita x, entonces primero multiplicamos ambos miembros de la ecuación 2x - y - z = 4 por -3, así como ambos miembros de 3x + 3y + z = 8 por 2, con lo que se obtiene:

Realizando las operaciones Se obtiene

-3(2x - y - z) = -3(4) -6x + 3y +3z = –12

2(3x + 3y + z) = 2(8) 6x + 6y + 2z =16

9y + 5z = 4

De esta forma se obtiene la primera ecuación lineal con dos incógnitas.

Paso 2. Repitiendo esta operación con la segunda y la tercera ecuación, resolvemos el sistema, eliminando x también.

Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación 3x + 3y + z = 8 por -1, así como ambos miembros de x + 2y – 3z = 7 por 3, se obtiene:


-1(3x + 3y + z) = -1(8) –3x – 3y – z = –8

3(x + 2y – 3z) = 3(7) 3x + 6y – 9z = 21

3y – 10z = 13

De esta forma se obtiene la primera ecuación lineal con dos incógnitas.

Paso 3. Como resultado de seguir los pasos anteriores, quedará un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, el cual puede resolverse por el método elegido y así hallar los valores de esas dos incógnitas:

9y 5z 43y 1 z 13

+ ==-

Recuerda que los métodos que conoces son: igualación, sustitución, suma y resta. Continuaremos con el método de suma y resta. Te dejamos de tarea que lo resuelvas por los otros dos métodos.


-3(9y + 5z = 4) –27y – 15z = –12

9(3y – 10z = 13) 27y – 90z = 117

-105z = 105

218 Matemáticas I

De esta forma podemos despejar el valor de z:

z 105105

1–

–==

Este valor de z lo podemos sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, por ejemplo en 9y + 5z = 4:

9y + 5(-1) = 4

9y – 5 = 4

9y = 5 +4

9y = 9

y 99

1= =

Paso 4. Por último se sustituyen los valores obtenidos de las dos incógnitas en una de las ecuaciones originales (puede ser cualquier ecuación, siempre que contenga la incógnita faltante), y se obtendrá así el valor de la tercera incógnita. Por ejemplo, en x + 2y – 3z = 7:

x + 2(1) – 3(-1) = 7

x + 2 + 3 = 7

x = 7 - 2 - 3

x = 2

De lo anterior podemos decir que:

De la misma manera que se puede resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método de suma y resta, se puede resolver un sistema de tres ecua-ciones lineales.

Recuerda: Un sistema de ecuaciones puede ser consistente-determinado �� -tas) e inconsistente (no tiene solución).

Actividad de aprendizaje 1Existen problemas de aplicación sobre ecuaciones de primer grado con tres incógnitas donde puedes poner en práctica lo aprendido en el método de suma y resta. Veamos un ejemplo:

La mamá de Luis fue a comprar a la tiendita El ChiquiSuper 6 kg de frijol, 3 kg de azúcar y 2 kg de arroz. Pagó por ello $110. Más tarde, en el supermercado La mamá luchadora, compró 2 kilogramos de frijol, 4 kg de azúcar y 3 kg de arroz de la misma marca, y pagó por todo $77. Después, en la tienda El vaquero elegante compró 1 kg de arroz, 1 kg de frijol y 1 kg ��©]^��=�� °��'��de arroz y de azúcar. Ayuda a la señora a saber cuánto pagó por cada kilo de lo que compró, suponiendo que los tres establecimientos tienen los mismos precios.


Como puedes observar existen tres cantidades involucradas en esta situación (va-��

F� ��°��'��

F� y = Es el costo de los kg de azúcar.

F� z = Es el costo de los kg de arroz.

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma:

6x 3y 2z 112x 4y 3z 77 x y z 27

+ + =+ + =+ + =

0

Resuelve en tu libreta el sistema aplicando el método de suma y resta.

SíntesisResuelve en tu cuaderno los siguientes sistemas utilizando el método de suma y resta:

a) 2x + 8y – 2z = 12

14x + 10y – 14z = –18

6x – 4y + 2z = 4

b) 2a + 2b + 2c = 4

2a + 2b + 2c = 8

4a + 4b – 2c = 12

c) x + y – 2z = 8

2x – y + z = 3

3x + y + 2z = 6

d) 3x + 2y – 4z = 1

7x – 2y + 4z = 9

x + y + z = 3

e) 4x – 2y – 3z = 8

5x + 3y – 4z = 4

6x – 4y + 16z = 12

f)

1 1 1 5

3 1 2 12

1 2 1 99

x y z

x y z

x y z

=–

–

+

+

+ +

=

=

g)

x yy z

x z

2

2 7+

–

–

===

h)

2 3 5 47 6 7

7 2 9 6

x y zx y zx y z

++–

––

––=

==

i)

3 2 15

2 5

x yz yz x

–––

===

i)

4 3 152 2

2 2 4

z b ca b ca b c

––

+ +

++

===

220 Matemáticas I








cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.






establecidos.




Observaciones:




Bloque VIII Resuelves ecuaciones lineales III










de ecuaciones con tres incógnitas.

Comprende los métodos para

resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas: método algebraico

de sustitución.


mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o

situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

��variacionales, mediante el

lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías

de la información y la comunicación.

X��>��mapas, diagramas y textos

con símbolos matemáticos y ��


eliminación por Suma o resta y sustitución.


3x3.

Utiliza el método de sustitución para resolver un sistema

3 x 3.

Observaciones:

222 Matemáticas I

Sesión B. Resolución de un sistema lineal 3×3 por determinantes ProblematizaciónPara la temporada otoño-invierno, Liverpool compra un lote de ropa que incluye coordinados, vestidos y sacos por un total de $160 000. Los artículos cuestan $2 000, $2 400 y $2 800 por unidad, respectivamente, y se venden a $3 200, $4 000 y $4 400. La ganancia total en la ven-ta, que contenía 65 artículos, es de $96 000. ¿Cuántos artículos de cada tipo se compraron? ¿Cómo lo resolverías aplicando determinantes?

Desarrollo de saberesEjemplo:

Calcula el valor del siguiente determinante:

��

��'�� ¦��que el determinante continúa limitado por rectas verticales a cada lado.

��

��

�

&��#�"�� #-chas que van del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho indican que estos productos deben sumarse.

El signo –��#�"�� "��'�� indica que sus productos deben restarse de los que se sumaron.


Desarrollo:

=(20)+(�12)+(1) �(2��15)=36�22=14

Para resolver un sistema lineal de tres incógnitas, se procede en forma semejante que con el de dos incógnitas.

El uso del determinante es aplicable cuando las ecuaciones son compatibles, no así cuando las ecuaciones son incompatibles o equivalentes.

Ejemplo:

Resuelve por determinantes el siguiente sistema:

x y z

x y z

x y z

+ + = ( )− + = ( )+ − =− ( )

7 1

3 3 2

2 4 12 3{Ordenemos las ecuaciones para poder usar determinantes:

x y zx y zx y z

+ + =+ − =+ + =

73 32 4 12{

x

7+(�12)+(12) � (12) � (� 28)�(3)(1)+(� 2)+(12) � (2) � (� 4) � (� 3)

=

=

x � 2

224 Matemáticas I

y =

y �1

z �

Z=4

Comprobación en (1):


Actividad de aprendizaje 2Calcula en tu libreta los valores de los siguientes determinantes:

33 2 5

1 0 2

–

–

3 2 76 0 46 2 1

––

–

2 3 44 6 81 2 1– –

SíntesisResuelve con un compañero los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de determinantes:

1)

2 43 3 8

2 3 7

x y zx y z

x y z

− − =+ + =+ − =

{2)

x y zx y zx y z

+ − =−− + =

− + − =

2 3 62 2 2

0{3)

8 10 8 402 3 2 20

2 4 50

x y zx y z

x y z

− − =− + =

− + − ={4)

9 12 13 82 4 5 1

8 6 1

x y zx y z

x y z

+ − =− − + =−− + − =

{5)

15 12 23 6021 15 12 75

5

x y zx y z

x y z

+ − =− − + =−+ − ={

226 Matemáticas I








cuida de sí.




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.






apropiados.




��


creativa.






establecidos.




Observaciones:




Bloque VIII Resuelves ecuaciones lineales IIICompetencias












Comprende los métodos para

resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas: método numérico por determinantes.



situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

��variacionales, mediante el

lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías

de la información y la comunicación.

X��>��mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos

��



Aplica el método numérico por

determinantes para resolver

sistemas 3 x 3.

Observaciones:

228 Matemáticas I

Sesión C. Aplicación de los sistemas de 3×3ProblematizaciónResuelve el siguiente problema:

En una compra, por un par de zapatos de vestir marca F, un par de sandalias marca T y un par de tenis marca N, pagué $620. Mi padre compró 2 pares de zapatos de vestir de la marca F y tres pares de sandalias de la marca T, y pagó $1 020. Asimismo, a mi hermanita le compró 2 pares de tenis de la marca N y un par de sandalias de la marca T, y pagó $420.

$�� ©Z]�� /��toda mi compra de calzado en general, él me devolvería el importe de mis tenis. ¿Cuál es el precio entonces de un par de tenis en la tienda donde se realizó la compra?

Desarrollo de saberes�� |¯|��el método de suma y resta, así como solucionar un determinante de 3×3. En el bloque ante-rior aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones de 3×3 aplicando la Regla de Cramer, la cual, como recordarás, consiste en copiar las primeras dos columnas y multiplicar de forma cruzada los factores de la matriz (aplicando la ley de signos). Primero dicho procedimiento se hace de izquierda a derecha, del primero al último factor, luego de derecha a izquierda, del último al primero, de igual manera de forma cruzada, pero antecedidos por el signo menos.

Ahora bien, seguramente habrás de preguntarte: ¿Esto para qué me puede servir? ¿Dónde lo puedo aplicar? Pues bien, déjame decirte que (como bien habrás aprendido ante-riormente) una ecuación puede ser utilizada para conocer una variable que se desconoce, y la aplicación más común se encuentra en los problemas de planteo. Asimismo existen problemas de planteo que se resuelven con ecuaciones de primer grado con una incógnita, con ecuacio-nes de segundo grado con una incógnita y con sistemas de ecuaciones de 2×2, mientras que otros pueden ser resueltos mediante sistemas de ecuaciones de 3×3.

Ejemplo 1:

La suma de tres números es igual a 18, y se sabe que el triple del primero, menos el doble del segundo, más el cuádruplo del tercero, dan como resultado 31. También se sabe que si le restamos el primer número al tercer número y le sumamos el segundo número, nos da como resultado 8. ¿Cuáles serían esos tres números?

Ahora bien, como habrás aprendido en bloques o sesiones anteriores, en un pro-blema de planteo matemático hay que convertir todos los datos a ecuaciones algebraicas, en donde las constantes serán los números o valores que son conocidos, y las variables o incógnitas serán aquellos valores que habremos de buscar, los cuales se representan por medio de letras. Comencemos:

a) Nos piden la suma de tres números, pero, dado que desconozco cuáles son estos �� /��segundo y y al tercero z (cabe señalar que no siempre tienen que ser esas letras las que se utilicen en los problemas de planteo, pues las variables pueden adoptar cualquier letra para trabajarse en las ecuaciones).

1er número = x 2do número = y 3er número = z

b) Nos dicen que la suma de esos tres números es igual a 18. Este dato, convirtién-dolo a una ecuación algebraica, nos quedaría de la siguiente forma: x+y+z=18.


Ya tenemos la primera ecuación.

c) Más adelante en el problema, se nos menciona lo siguiente: “se sabe que el triple del primero, menos el doble del segundo, más el cuádruplo del tercero, dan como resultado 31”. Si a estos datos los representamos como expresiones algebraicas, tendríamos que:

El triple del primero =3x

El doble del segundo =2y

El cuádruplo del tercero =4z

Ahora debemos unir todas las expresiones en una sola expresión.

El triple del primero menos el doble del segundo más el cuádruplo del tercero:

3x – 2y + 4z

Por último, para volver una expresión algebraica en una ecuación, debemos asignarle una igualdad. En el problema se menciona que el triple del primero, menos el doble del segundo, más el cuádruplo del tercero, dan como resultado 31, lo que quiere decir que la ecuación quedaría de la siguiente forma: 3X – 2Y + 4Z = 31.

Ya tenemos la segunda ecuación:

d) Si seguimos leyendo el problema nos encontramos con la siguiente oración: “También se sabe que si le restamos el primer número al tercer número y le suma-mos el segundo número, nos da como resultado 8”.

Si esos datos los representamos como una expresión algebraica, tendríamos que:

-x +z +y

(le restamos el primer número (al tercer número) (le sumamos el segundo número)

Para transformarlo en ecuación algebraica, le asignamos la igualdad que el texto nos indica: da como resultado 8, esto es, -x+z+y=8.

Ahora bien, si acomodamos las variables en forma alfabética para que se siga un orden establecido, la ecuación nos quedaría: -x+y+z=8.

Ya tenemos la tercera ecuación.

e) Una vez establecido el sistema de ecuaciones, podemos proceder a su solución mediante la regla de Cramer, o bien, mediante el método de suma y resta, es decir, con cualquiera de los dos, siempre y cuando el método elegido sea desarrollado de manera correcta.

f) Para comprobar que los resultados hallados sean correctos, sustituyamos cada una de las incógnitas en el sistema de ecuaciones y comprobemos que se cumpla la igualdad para cada ecuación.

El sistema de ecuaciones es:

x + y + z = 18

3x – 2y + 4z = 31

-x + y + z = 8

Y los valores de las incógnitas son x=5, y=6, z=7. Si sustituimos las incógnitas, tenemos:

5 + 6 + 7 = 18

3(5) – 2 (6) + 4 (7) = 31

-5 + 6 + 7 = 8

230 Matemáticas I

Reduciendo valores, tenemos:

18 = 18

15 – 12 + 28 = 31

8 = 8

Ahora reducimos los términos de la segunda ecuación, producto de la multiplicación:

18 = 18

31 = 31

8 = 8

Como comprobamos que las tres ecuaciones cumplen con su igualdad, entonces los valores hallados para las incógnitas son correctos. Posteriormente, procedemos a responder e interpretar el problema planteado anteriormente:

Los tres números serían el 5, el 6 y el 7.

Ejemplo de resolución

Realicemos una vez más la solución de otro problema de planteo mediante ecua-ciones de 3×3.

Se tienen 3 bolsas con contenidos y, en consecuencia, pesos diferentes: la primera y la segunda pesan juntas 5 kilos; la segunda y la tercera pesan juntas 4 kilos; y la primera con la tercera pesan 3 kilos. ¿Cuánto pesa cada bolsa?

Como bien mencionamos anteriormente, primero procedemos a expresar algebrai-camente el problema.

Como desconozco el contenido de cada bolsa, al peso de la primera le llamaré x, al de la segunda y y al de la tercera, z.

Peso de la primera bolsa = x

Peso de la segunda bolsa = y

Peso de la tercera bolsa = z

La primera más la segunda pesan 5 kilos, lo que algebraicamente es: x + y = 5.

La segunda más la tercera pesan 4 kilos, lo que algebraicamente es: y + z = 4.

La primera más la tercera pesan 3 kilos, lo que algebraicamente es: x + z = 3.

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones:

x + y = 5

y + z = 4

x + z = 3

Anteriormente se mencionó que los sistemas de 3×3 pueden ser resueltos ya sea por la regla de Cramer, o bien, mediante el método de suma y resta. Como el anterior fue resuelto por Cramer, resolvamos ahora por suma y resta.

Tomemos la primera y la segunda ecuación:

x + y = 5

y + z = 4

Eliminamos una de las variables, en este caso, la y.


Para eliminar la y, multiplicamos por -1 alguna de las ecuaciones:

− − =+ =

x yy z

-54

– ++

==

x y 54

– – ==+

–

x y 5–

–+

– –

– +

=

==

La ecuación resultante fue – x + z = -1. Ahora tomemos la tercera ecuación, ya que contiene a x y a la variable z, y la sumamos a la ecuación resultante anterior.

-x + z = -1

x + z = 3

Como los factores de las variables de x son, en una ecuación, -1 y, en la otra, 1, se cancelan automáticamente y reducimos términos semejantes de z y de las constantes.

– –+ ==+

z = 2/2 = 1

Ya contamos con el primer valor z = 1, ahora procedemos a sustituir dicho valor en alguna de las ecuaciones que contenga a z. Por ejemplo:

x + z = 3 pero z = 1, entonces:

x + 1 = 3 Despejamos x:

x = 3 -1

x = 2

Una vez que obtuvimos el valor de x = 2, lo sustituimos en alguna de las ecuaciones que contenga a la variable y, de la siguiente forma:

x +y = 5 Pero x =2, entonces:

2 +y = 5 Despejamos y:

y = 5 -2

y = 3

Ya hemos obtenido el valor de y = 3. Tenemos entonces el valor de las 3 incógni-tas: x =2, y =3, z= 1. Procedemos a sustituir dichos valores de las incógnitas en el sistema de � �� |�� resultados son correctos.

El sistema de ecuaciones es:

x + y = 5

y + z = 4

x + z = 3

Los valores de las incógnitas son x =2, y =3, z= 1, si los sustituimos en la ecuación, tenemos que:

2 + 3 = 5

3 + 1 = 4

2 + 1 = 3

232 Matemáticas I

Realizamos las operaciones correspondientes en el lado izquierdo de la igualdad, y tenemos que:

5 = 54 = 43 = 3Hemos comprobado que se cumple la igualdad en las 3 ecuaciones del sistema, por

lo cual, los valores de las incógnitas x =2, y =3, z= 1 son los correctos.

SíntesisResuelve los siguientes problemas:

1) La compañía de muebles DICO puede producir tres tipos de librero, cada uno de los cuales debe pasar por tres tipos de talleres: carpintería, pintura y sellado. El li-brero tipo 1 pasa 4 horas en carpintería, 5 en pintura y 6 en sellado; el de tipo 2, 2, 5 y 7 horas, respectivamente; y el de tipo 3, 6, 7,y 7, respectivamente. Si se dispone de 80 horas de trabajo semanales en carpintería, 100 en el taller de pintura y 120 en el de sellado, ¿cuántos libreros de cada tipo se pueden producir?

2) Los lados de un terreno triangular satisfacen las siguientes condiciones: la hipote-nusa menos la suma de los catetos es igual a -2, la suma de los catetos más 3 cm es igual al doble de la hipotenusa y el doble de la diferencia de los catetos más dos centímetros es igual a cero. Encuentra las dimensiones del terreno.




Categoría Competencia genérica Atributos Indicadores de desempeño



cuida de sí.


teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

1.1 Enfrenta las �� le presentan y es consciente de sus

valores, fortalezas y debilidades.




aprendizaje.


4. Escucha, interpreta y emite mensajes

pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios,

códigos y herramientas apropiados.

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante

representaciones lingüísticas,

matemáticas o ��


creativa.Representa relaciones



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas

a partir de métodos establecidos.

5.2 Ordena información de

acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.


Observaciones:




Bloque VIII Resuelves ecuaciones lineales IIICompetencias














reales.




comunicación.




sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Obtengo la solución de sistemas de

ecuaciones lineales 3 x 3.



con tres incógnitas.

.

Ejecuto instrucciones y procedimientos

��#��comprendiendo

cómo cada uno de sus pasos contribuye

al alcance de la solución de una

ecuación de 3 x 3.

Observaciones:

234 Matemáticas I

Realimentación 1) Resuelve correctamente los siguientes ejercicios de sistemas de 3x3:

a.

4 6 10 166 4 2 68 2 12 8

r s tr s tr s t

− + =−+ − =−+ + =

{b.

2 8 2 1214 10 14 18

6 4 2 4

x y zx y z

x y z

+ − =+ − =−− + =

{c.

7 5 4 34 3 33 2 12

h i jh i jh i j

− − =−+ + =

− + − = −{d.

2 2 2 42 2 2 84 4 2 12

a b ca b ca b c

+ + =+ + =+ − ={

e.

d e fd e f

d e f

+ − =− + =+ + =

2 82 3

3 2 6{2) Resuelve los siguientes problemas:

a. Tengo 3 bolsas con contenidos y, en consecuencia, pesos diferentes: la pri-mera más la segunda pesan 5 kilos, la segunda más la tercera pesan 4 kilos y la primer con la tercera pesan 3 kilos ¿Cuánto pesa cada una?

b. Por un libro, un cuaderno y una carpeta se pagan $56. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del libro y que el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20 % del precio del libro. Calcula los precios que marca cada una de las cosas, sabiendo que sobre ellos se ha hecho un 10 % de descuento.

c. En la Michoacana se compran semanalmente 220 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate, y fresa. El presupuesto destinado para esta compra es de $1 080 pesos y el precio de cada helado es de 8 pesos el de vainilla, 10 pesos el de chocolate y 12 pesos el de fresa. Conocidos los gustos de los clientes, se sabe que van a comprar 20 % más helados de chocolate y de fresa que de vainilla. Calcula cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.

d. Óscar ha pagado en el supermercado un total de $1 560 pesos por 240 litros de leche, 60 kg de azúcar y 120 litros de aceite. Calcula el precio de cada artículo sabiendo que 10 litros de aceite cuestan el tripe que 10 litros de leche, y que 10 kg de azúcar cuestan lo mismo que 40 litros de aceite más 40 litros de aceite.


e. Cierto hotel de la Rivera Maya está especializado en tres tipos de comidas: árabe, francesa y mexicana. Se sabe que:

» El 60 % de los platillos árabes más el 50 % de los platillos franceses repre-sentan el 30 % del total de los platillos que se ofrecen.

» El 20 % de los platillos árabes más el 60 % de los platillos franceses más el 60 % de los mexicanos representan la mitad del total de los platillos que ofertan.

» Hay 100 platillos más que platillos de cada tipo.

» Halla el número de platillos de cada tipo.

3) Dada la siguiente representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

a. �& �� ¤ ��

b. ¿Cuál es la representación geométrica del conjunto solución?

236 Matemáticas I








cuida de sí




persigue.


y debilidades.




aprendizaje.

2. Se expresa y comunica





apropiados.




��


creativa.






establecidos.




Observaciones:





Bloque VIII Realizas ecuaciones lineales III

Competencias disciplinares del área de


Niveles de logro

Regu

lar

Buen

o

Exce

lent

e







Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones

con tres incógnitas.

Comprende los métodos para resolver sistemas de tres

ecuaciones con tres incógnitas: método algebraico de sustitución.

Resuelve e interpreta sistemas mediante el método algebraico: eliminación por Suma o resta y

sustitución.

Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 3x3.

Utiliza el método de sustitución para resolver un sistema 3 x 3.

Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de

ecuaciones con tres incógnitas.

Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico

para resolver situaciones diversas que conllevan el uso

de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Obtengo la solución de sistemas de ecuaciones lineales 3 x 3.

Ejecuto instrucciones y procedimientos de manera �#��

cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de la

solución de una ecuación de 3 x 3.



situaciones reales.




comunicación.



Resuelve e interpreta sistemas mediante el método numérico:

Determinantes.

Comprende los métodos para resolver sistemas de tres

ecuaciones con tres incógnitas: método numérico por

determinantes.

Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos numéricos.

Aplica el método numérico por determinantes para resolver

sistemas 3 x 3.

��tablas y mapas, para resolver

situaciones diversas que conllevan al uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

��tablas, para resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Observaciones:

BIX


F� >��

» &��ax²+bx+c��·��W��x²bx+c=0

» >��ax²+bx��·��W��x²bx+c=0

F� &��/��

F� ?� �� /��

» ��'��'��

» ��'�� '��'��

F� >��

F� >��

F� ?� �� '��

F� >�� -��

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

238

Competencias genéricas a desarrollar:1. %��

�� .W�W� ��'��

�� '��4. �� "��

�� "��-��

4.1 ��-��

5. !�� /��

X�]� ¦�� '��

Competencias disciplinares a desarrollar: 1. &��

��/��/��-�� "��/��'��

2. ¨�� -'��'��

3. �� -��

4. =�� /�� /�� '��

5. >��

239

240 Matemáticas I

!�� -��

�� "�� "�� "�� =��

1) ?� ��

a. �]�–X��Z��Z��–�W[

b. |��]��–�W[��

c. ��}�]��WZ2) ?� ��

a. ¥�� ]��W]��%��[}��]�

�� "��

3) ��"��?�� |�X�� &�� -�� W}��3��& ��

Sesión A. �� ? �/��-��'�� À�� ]X�� [WZÂ�� /��

241 BIXResuelves ecuaciones cuadráticas I

!��&��"�� -�� "��% � �� "��

¥�� ¤ �� W]��]�� '�� "�� ¤ �� /��

&��'�� -�� dimensiones del rectángulo � área�� |�� "�� W�]��]��'�� |��W]��?�� |�]�W]��

x2 12003

400= =

��

�� x 400 20= = �� -�� Z��]��"��

&�� -��'�� -�� '�� "�� '��

�� ="��-�� ]��

%� �� /�� !��]��·��

F� |�]�X��W]��

F� }�]�^��–�]��

��

�� '�� '��]��

242 Matemáticas I

��

|�]�–�Z��–�]��

�� ]��

��

�]�–�}��

}�]�–�|Z��

�� ]�� -��

��

^�]�–��

X�]�|��

?�� %�� '�� '�� "��

Ejemplo

�� }�]�–WZ��

Solución

4 16 04 16

164

4

4 2

2

2

2

2

xx

x

x

x

==

=

== =−+ −+

−

�

�� ]��–]��'��

��

xx

x

2

2

25 025

25

+

+

−−−

==

=


%�� "�� i=Ç–W �� '��

25 −+−+−+−+ − −( () ) −= = = =

x i5−+=��/��'��

� ��

�� 2x2 +24 = 0.

Solución

2 24 02 24

242

12

12 12

2

2

2

2

xx

x

x

x i

==

=

== =+

+

− +−

−

−

−−

=��W�� &��-��$��

No. Ecuaciones cuadráticas

(��0�

W x2+3x+4=0

] 3x2=48

3 5x2–9=46

} 3x2–12x=0

5 34

95

2x x=

Z 2x2–3x=6

7 x2=4–2x

[ 5x2+8=0

244 Matemáticas I

¨�� /��

Métodosde

solución

IncompletasPuras. Despejede la variable

Mixta.Factorización

1) Factorización

2) Completar eltrinomio cuadradoperfecto

3) Fórmula general

Completas

$/�� &�� "�� x��

�� ]�]�–W]��

Solución

2 12 02 12

1226

2

2

2

xx

x

x

− ==

=

=−+


�� x 6= ��x 6−= �&��

��x��È��

x ca1 2, −= −+

=��]1) ¦��

��'��

a. ]�]�–W[��

b. }�]�|Z

c. ^�]�–W}��

d. ��]�[W��

e. X�]–��}Z

f. W]�]–^��|�]�–WX

g. �]�Z��]��

h. }��W��–|�}��–W�

2) ¦��

a. 2 3 12

72

x xx

– ––+ = −

b. 3 =–

34 1

22x=

�� &�� '��

Ejemplo

?� �� ]�}��

Solución

¨��x��

��}�� '��

�W=0

��}��

�]=–�}

246 Matemáticas I

=��|?� ��

1) �]�|�

2) |�]�Z��

3) }�]�–W]��

4) ��–|�]–��]��X�]��–WZ

5) X�]�]��

6) ^�]�]W��

7) �]�–|��|�]�–�}�

8) ��–|�]�–�]��X�]=–WZ

%��!��&��"�� "�� '��'�� !�� &�� &��}�� /��!��

Daniel

x

Carlos

&��

Ecuación Ecuación igualada a cero

Ecuación factorizada

Raíces de la ecuación

1. �]��WZ�

2. �]��–�X�

3. Z��–��]

4. ��–�Z�]��–|�]

5.

3=

2 4

2x x


?��/��






W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

?��

� ��

?��

��

]��%��

}�� "��

��

��

��"��

��

}�W��

��

��

��

%��

��

?��

��

|��#��

X��!��

�� /��

��

X�]�¦��'��

��

&��'��

¦��

248 Matemáticas I

?��


Bloque IX Resuelves ecuaciones cuadraticas ICompetencias disciplinares

del área de matemáticas Desempeños IndicadoresNiveles de logro


W��&��

��/��

��/��

�� "��/��

��'��

]��¨��

��'��'��

>��

� �� ax]��bx��a ·��

ax]��c��

>��

��

&��/��

� ��

&��/��

��

��

��'��

��!��

|��

��

��

}��=�� /�� /��

��

��

��'��

X��>��

��

?� ��

��/��

'��'��

¦��

� ��

=��/��

��'��

��

?� ��

��

��

��

¥��

��

��

¦��


Sesión B.�� ¥��"��"�� "�� %�� h��h��̂ �t�–5t]�� ]��

!��

$/�� /��

$/��'��/�� "��'��-��="��

��'��

1) %� �� '��]��]��

2) %�'�� '��

3) %�� '�� '��

4) %�� "��x�

Ejemplo 1

?� �� x2 + 5x – 24 = 0��/��'��

Solución

x2 + 5x – 24 = 0 1. >� ��

x2 + 5x – 24 = 0

(x + 8) + (x – 3)

2. ¨��

xx

8 03 0–

+==

3. >� �� '��

250 Matemáticas I

xxxx

8 08

3 03

1

2

+

–

–=

==

=

4. ?��

Ejemplo 2

?� �� ]��]]^��W}��/��'��

Solución

]��]�]^�W}�� 1. >� ��

]��]�]^�W}��

�X��]��}�^�2. ¨��

X��]��

}�^��3. >� �� '��

5 2 05 2

25

04 7

74

1

2

xx

x

xx

x

––

–

==

=

==

=

+

4. ?��

=��}?� �� /��'��

1) ]�]��X��]��

2) Z�]��X��}��

3) |�]��W�

4) W��]�¬��]W��

5) }�]��}��W��

6) �]�¬��Z��

7) �]��^��W[

8) [��ZX��]

9) ��W��X��]��]

=��X¦��

1) 4 12 3

2 16 5

xx

xx+ +

+–= 2) x x2( )+ –

–=

332


&�� '��µ�� "�� "�� '�� '��'�� /-��

¥��/�� '�� '��

1) �� /��

2) �� /��

3) &�� '�� /��

4) ="�� '��'��

5) %�� '��

Ejemplo

?� �� ]�WZ�|Z��/��-�� '��

Solución

�x2 + 16x – 36 = 0 1. 4��/�-��

x2 + 16x = 36 2. �� /��

x x2 16 36+ =162

8 8 642= =

x x2 16 64 36 64+ + +=

3. &�� '��

x 8 1002+ =( ) 4. ��

��'��

xxxx

xx

8 1000

8 1010

010 8

1

1

2

2

===

=

== =

=

–– ––

–

–+

–++++

+

5. !�� '��

252 Matemáticas I

=��Z1) ?� �� /��-

�� '��

a. �]��Z��}�

b. �]�¬�]}��W}}

c. Z�]�¬�}��¬�Z��

d. }�]�¬�WZ��|Z

e. ]��]��}��

2) ¦�� -��/�� '��

a. 1

41–

+=

+ 61

1x x

b. xx

xx

45

23

=–++

++

124

¨�� ¦��'�� '�� ' �� /�� ]��

Fórmula general Discriminante

x b b aca1 2

2 42

––= –+

, b2 - 4ac

��

1) >� ��

2) >��

3) % �� '��

4) ?��

Ejemplo

=�� '�� 3x2 – 7x +2 = 0.


Solución

3x2 – 7x +2 = 0 1. >� ��

abc

37

2–

===

2. >�� -��'��

x1 2

27 7 4 3 22 3,

( ) ( ) ( )( )( )

– –+––=

– 3. % �� '��

x

x

x

x

1 2

1 2

1

2

7 49 246

7 256

7 56

7 56

2

7 56

26

13

,

,

–

–= = =

= =

=

=

=

–+

–+ +–

+ 4. ��

=��^1) ?� �� '��

a. |�]�¬�X��]��

b. }�]��|��¬�]]��

c. �]��WZ��¬�Z|

d. |]�]��W[��¬�W^��

e. �]Z��2) ¦��

��'��

a. + ++ – – =( ) ( ) ( )

b. 5 4 3 5 2 1 20 2 272x x x x x( ( ( () ) ) )=– – – –+ +

?�� "��/��

254 Matemáticas I

Base

Altu

ra

� ��

1) ?��

a. Lee cuidadosamente tu problema�"�� %��

b. 4��.�� %�� -��

c. Anota las cantidades desconocidas� ��

d. Forma la ecuación � ��

2) ¦��

3) &��

Ejemplo

�� '�� -� ��

Solución

1) ?��

a. �� "��

b. >��

��

c. =��

<��X�

=� ��

d. ��

��]��]X�

2) ¦��

�� x 2= ]Xx.��

�]��]X��

��]X��

��]X

3) &��

�� -�� ]X�

Base = 5(25) = 125

Altura = 25


=��[=�� -��

1) �� '�� [�� " ��!��

2) ¥��"�� "��W]�� "��|[��]��µ��" ��

3) ¥�� ]��°��"�� ^]��°��Z�"�� /��µ��

4) �� |��]��"��X��

5) ¥�� X��W��"�� [�}��]��& ��

%��1) �� *�� ' �� -

�� /�� *�� [}��]��& ��

x

50 m

2) ?� ��

a) � 6x2 + 5x = 0 b) � 5a2 – 36 = 0c) � 14y2 – 4y - 10 = 0 d) � 4x – 2x2 – 6 = 0e) � –9a2 = a f) � 5 = x2 g) � y2 = 8 h) � 6 – x = 4x – 3x2 + 6i) � x – 5 = 4x2 j) �

23

2x x=

256 Matemáticas I

?��/��






W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

?��

� ��

?��

��

]��%��

}�� "��

��

��

��"��

��

}�W��

��

��

��

%��

��

?��

�� .

3. ��#��

X��!��

�� /��

��

X�]�¦��'��

��

&��'��

¦��


?��


Bloque IX Resuelves ecuaciones cuadraticas I



W��&��

��/��

��/��

"��/��'��

]��¨��

��'��'��

>��

� ��

ax]��bx��c��a ·��W��

��x]��bx��c��

&��/��

� ��

&��/��

¨��

��'��

¨��

!��

'�� '��

��

��

|��

��

��

?� ��

��/��'�� '��

'��

¥��/��

'�� '��

��

��

}��=�� /�� /��

��

��

��'��

X��>��

��

?� ��'��

� ��

¦��

258 Matemáticas I

Sesión C.�?�� Determina la naturaleza de las raíces de la siguiente ecuación: x2�–��– !�"�#$

!��

?��]�–�}ac��'�� "�� '�� '��

a) %��b ac2 4– �¼��

b) %��b ac2 4– ��

c) %��b ac2 4– Ê��'��

&��W�� $�� cantidad real�� -��%�� 4�� /�� /��

Ejemplo 1

!�� ]��]��-��

Solución

�� W��W��]�

% ��

1 4 1 2 1 8 92 ( )( ) ( ) =– – = +

&��]}��Ê�� '��"�� -� ��/��


x1 2

21 1 4 1 22 1,

( ) ( ) ( )( )( )

–=

– ––+

x

x

x

x

1 2

1 2

1

2

1 1 82

1 92

1 32

1 32

1

1 32

42

2

,

,–

–

– – – –

+

+––

–+

–+

=

=

=

= = =

=

=

+

Ejemplo 2

%��]��–}��]��

Solución

>��

��W��–}��]�

¥��]�–}��

b acb acb ac

2 2

2

2

4 4 4 1 204 16 804 64

( )( )––– –

–– –=

==

�

&��]}��¼��

�&��

&��4��&�� '��

��

i 1–=

��

–

–

–

–

–+ + +

==

=

=

=

=

=

=

& �� '�� '��-��

260 Matemáticas I

&��

Número imaginario Parte real Parte imaginaria

��

�?�� ]��

x1 2

24 4 4 1 202 1,

( ) ( ) ( )( )( )

– – ––= –+

�

x

x i

x i ii

1 2

1 2

1

4 16 802

4 642

4 82

4 82

4 1 22

2 1 2 2

,

,

( ) 44

4 82

4 1 22

2 1 2 2 42

i

x i i i i( )

–+

–+–+

–

–

– – – –

+++

=

=

=

= = = =

===

=

+

=��1) %��

��

a. ]�]�–��W��

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c. Z�]�–�}��–�Z��

d. |�]�–�X��–�[��

e. �]�Z��X��

f. X�]+3=0

g. [�]�–�}��

h. |�]�^��–�W��

i. X��–��]=0

j. �]�–�[W��

2) ¥��"��©}[��%��" ��©W��" ��WZ�� & ��

%��En forma individual, determina la naturaleza de las raíces de cada ecuación:

1) �]�]��W��

2) �]��–��}��[��

3) �]�–|��–]��

4) �]�}��}��

5) �]�–�]��]��


?��/��






W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

?��

� ��

?��

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]��%��

}�� "��

��

��

��"��

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}�W��

��

��

��

%��

��

?��

��

|��#��

X��!��

�� /��

��

X�]�¦��'��

��

&��'��

¦��

262 Matemáticas I

?��

Unidad académica curricular Matemáticas IBloque IX Resuelves ecuaciones cuadráticas I



W��&��

��/��/��

��

"��/��'��

]��¨��

��'��'��

>��

��

>��

��

¥��

��

|��

��

>��

� ��

>��

��

}��=�� /�� /��

��

��'��

X��>��

��

¦��


?��1) &��

�� *��

Ecuación Tipo de raíz Primera raíz Segunda raíz

a.� �]��WX��X��

b.� ]�]��WZ��X��–|]

c.� ]�]��]��]��

d.� �]��[��WZ��

e.� |�]�–�Z��–�W��

2) ?� �� /��

a. x2–36= –9 –2x2

b. x2–7x= –12

c. x2 – 5x+6 = 6 x – 18

d. x2+4x+4=0

e. x2– 2x+2=0

264 Matemáticas I

?��/��






W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

?��

� ��

?��

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]��%��

}�� "��

��

��

��"��

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}�W��

��

��

��

%��

��

?��

��

|��#��

X��!��

�� /��

��

X�]�¦��'��

��

&��'��

¦��

��


?��


Bloque IX Resuelves ecuaciones cuadráticas ICompetencias disciplinares del área de


Niveles de logro


W��&��

��

��

��/��

��/��

��

�� "��/��

'��

]��¨��

��'��

�'��

|��

��

��

��

��

>��

� �� ax]��bx��a ·��

ax]��c��

>��

��

&��/��

� ��

&��/��

��

��

��'��

��!��

?� ��

��/��

'��'��

¦��

� ��

=��/��

��'��

��

?� ��

��

266 Matemáticas I




Niveles de logro


}��=��

�� /�� /��

��

�� '��

>��

��

¥��

��

��

>��

� ��

ax]��bx��c��a ·��W��

��x]��c��

&��/��

� ��

&��/��

��

¨��

&��

� ��'��

¨��

!��'��

�� '��

��

��





Niveles de logro


X��>��

��

��

?� ��

��/��'�� '��

'��

?� ��'��

� ��

¥��/��'��

�� '��

��

��

>��

��

>��

��

¥��

��

>��

� ��

>��

��

¦��

BX

Resuelves ecuaciones cuadráticas II


F� >�� ' ��

F� ?�� y��axÈ��bx ��c�� ' ��

F� >�� ' �� "��"��

F� ��'��' �� y��axÈ��bx��c��'��y��a(x��È��k�� §�"��°��

F� >�� ¹�� b ac2 4– ��

F� §�� Ë��Ë��' �� "��/��

F� ��

F� >��

268

Competencias genéricas a desarrollar:1. %��

�� .W�W� ��'��

��'��4. �� "��

�� "��4.1 ��

��5. !��

�/��X�]�¦��'��

Competencias disciplinares a desarrollar: 1. &��

�� /�� /�� "��/��'��

2. ¨�� '��'��

3. ��

4. =�� /�� /�� '��

5. >��

269

270 Matemáticas I

!��1) Y��

¹�� /��

a. f(x��x ]�– ]x – |�

b. f(x��– ]�x ]�}

c. f(x��x ]�– x– ]�

d. f(x��x ]– 8

e. f(x��x ]�Zx– 1

2) ?� ��

�� %�� y = – 2x 2+12 x+24, �� &�� ]��

&�� ¤ �� '�� ' �� "��/��'��

y= 112 x2 – 5x + 45

��

Sesión A.��' �� '�� '��]�W��

�& �� & ��

!�� §>�� '�� ' �� ]��–��}��/�� '�� ' ��–�]��}��' ��

!��'�� ' ��

��]�–�]��–�[�� ecuación condicional��x�� y��'�� función��x��

� �� ¨ ��

� �]�–�]��– 8 = 0� � ��]�–�]��–�[

271 BXResuelves ecuaciones cuadráticas II

=��W1) �� ¨��

�� ' ��

a. ��]��

b. �]�¬�|��¬�}��

c. ]�]��Z��

d. ]�]��[��

e. �]�¬��

f. ��}�]�¬�}��W��

2) !�� '��' ��

a. ��]�¬�|��¬�}��

b. �]�¬�X��}��

c. �]�¬��

d. |��]�¬�]��

e. �]��WZ��

!��' �� ¥��' �� '��]��·��

?��' �� ' �� x�� ' �� y��

Ejemplo 1

Y��' �� ]��]��¬�[�

Solución:

=�� x� �� "��' ��

� �]��]��¬�[ � ��

X �X�]��]�X��[ 7 �X��^�

} �}�]��]�}��[ � �}��

| �|�]��]�|��[ X �|�X�

] �]�]��]�]��[ [ �]�[�

W �W�]��]�W��[ � �W��

� ��]��]��[ [ ��[�

1 �W�]��]�W��[ X �W��X�

] �]�]��]�]��[ � �]��

3 �|�]��]�|��[ 7 ��|��^�

(-4,0)

(-1,-9)

(2,0))

272 Matemáticas I

Ejemplo 2

Y��' ��]�]�

Solución:

=�� x� �� "��' ��

� �]�] � ��

} �}�]��] W[ �}�W[�

| �|�]��] WW �|�WW�

] �]�]��] Z �]�Z�

W �W�]��] | �W�|�

� ��]��] ] ��]�

1 �W�]��] | �W��|�

] �]�]��] Z �]��Z�

3 �|�]��] WW �|��WW�

} �}�]��] W[ �}�W[�

��' �� ]��parábola��

¥�� '��U � �� "��"��cóncava hacia arriba��cóncava hacia abajo. �� máximo��mínimo��vértice.

Parábola cóncava hacia arriba

Vértice

Puntos deinterseccióncon el eje x

Parábola cóncava hacia abajo

Vértice

Puntos deinterseccióncon el eje x

=��]�� ' ��

F� �� x

F� �� /��

F� %��"��"��

(1,-3) (-1,-3)

(0,-2)


1. ��]�]�¬�[

x 2x2 - 8 y (x,y)

|

]

W

�

1

]

3

a. � ��

b. §/��

c. ��

2. ��]��}��}

x -x2 +4x -4 y (x,y)

W

�

1

]

3

}

5

a. � ��

b. §/��

c. ��

274 Matemáticas I

3. ��]�]��}

x 2x2 + 4 y (x,y)

|

]

W

�

1

]

3

a. � ��

b. §/��

c. ��

=��|�=��

1) %��}�]�¬�[��"��

2) %��]��|��"��

3) %��]�]�|��/��

4) %��X�]��/��

5) %��]�� "��a��

6) %��]�� "��a��

<��

a. %��a��¼��"��/��

b. %��a��Ê�� "��/��


Vértice

Vértice

��' �� '��"�]�°�� >>>� �� ' ��

��' ��

��

�� '�� ' �� /�� '��y = a(x-h)2 + k� �� función cuadrática de la forma estándar��4�� '��

=��}¦�� ' ��

1) ��]�

2) �1��]�]

3) �]��]�}

4) �3��¬�|�]

5) �}��]�]

a. �&��'��]�� ' ��1� �� /��' ��

b. �&��'��}�� ' ��]�� /��' ��

c. %��y = a(x-h)2 + k� ��'��k�� /��' ��

d. �&��'��|��' ��3� �� /��' ��

e. �&��'��]�� ' ��}� �� /��' ��

f. %��y = a(x-h)2 + k� ��'��h�� /��' ��

g. �& ��/��' ��]��}�]��|�

h. �& ��/��' ��}��]�]��W�

276 Matemáticas I

&�� }��' �� '��"�]��°�� /�� "��°��

a) %��°Ê��]��°� ��"��+��°¼��°� ��"��

y= x2 - 4

y= x2

y= x2 + 3

b) %��"Ê��]��"� ��"�� +��"¼��"� ��"��

y=(x - 3)2

y= x2

y= (x + 5)2


=��X1) ¦�� ' �

��

a. y ��x]�]�� b. y��x|�]��W

c. y��x�}�]�X� � � d. y��xW�]��}

%��1) µ�� ' ��

a. y =x 2 – 4x +5

b. y =x 2– 4x – 3

c. y =x 2 – 2

d. y =x 2 – 4

e. y = –x2 – 4x – 5

f. y = –x 2

g. y = – y 2 – 5x

h. y = – 2x 2 + 4

i. y = x2 + 2x + 4

j. y=– 1

2 x

278 Matemáticas I

?��/��






W��%��

� ��

W��%��

��

��

��

W�W��'�� '��

��

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X��!��

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X�]�¦��'��

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Bloque IX Resuelves ecuaciones cuadráticas IICompetencias


Niveles de logro


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��

��

��

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��

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>�� ' ��

� ��

>��' ��

� ��

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��y = ax]��bx��c��

' ��

?�� y = ax]��bx��c

��'��' ��

�� ' ��

��

>�� ' �� "��

"��

&��'��"��

��'��' ��

y = ax]��bx��c��' ��

y = a(x��h�]��k��

��/��§�"��°��

��

!��' �� '��

y = a(x��h�]��k ��

��

��#��

��

¦��

280 Matemáticas I

Sesión B.�>�� µ��' ��]��¬Z��

!��-&��!��+��$��0��!��

�� >¹� ��'��/�� ¦��/��

?� �� ' �� ' ��]]�[��]]�[��

��' ��

=��Z=�� ' ��

1) ]�]�¬�[��

Solución de la ecuaciónFunción:

x y


2) �]�¬�Z��

Solución de la ecuaciónFunción:

x y

3) �& �� ' ��y��]x]�¬�[�

4) �� /�� ]x]�¬�[��

5) �& �� ' ��y��x]�¬�Zx��

6) �� /�� x]�¬�Zx��' ��x]�¬�Zx��

7) Y��

&�� ¹��' ��

Ejemplo 1

?� �� x]�xZ��/��

282 Matemáticas I

Solución:

�� ' �� x]�xZ�� y�x]�x¬Z�

=��x�� "��' ��

x x2 + x – 6 y (x, y)

X �X�]��X��Z W} �X��W}�

} �}�]��}��Z Z �}��Z�

| �|�]��|��Z � �|��

] �]�]��]��Z } �]�}�

W �W�]��W��Z Z �W�Z�

� ��]��Z Z ��Z�

1 �W�]��W��Z } �W��}�

] �]�]��]��Z � �]��

3 �|�]��|��Z Z ��|��^�

} �}�]��}��Z W} �X��W}�

�� X��' ��]��¬Z��|��]�� x = -3��x = 2�

Ejemplo 2

?� �� ][��WZ��/��

Solución:

�� ' �� ][��WZ�� ]��][��WZ�

=��x�� "��' ��

x x2 - 8x + 16 y (x, y)

1 �W�]��[�W��WZ � �W��

] �]�]��[�]��WZ } �]��}�

3 �|�]��[�|��WZ 1 �|��W�

} �}�]��[�}��WZ � �}��

5 �X�]��[�X��WZ 1 �X��W�

Z �Z�]��[�Z��WZ } �Z��}�

7 �^�]��[�^��WZ � �^��

�� /�� ¹�� x=4�

(3,0) (2,0)

(4,0)


Ejemplo 3

?� �� ]��W��/��

Solución:

��' �� ]�W�� ]�W�

=��x�� "��' ��

x x2 + 1 y (x, y)

} �}�]��W 17 �}�W^�

| �|�]��W W� �|�W��

] �]�]��W 3 �]��|�

W �W�]��W ] �W��]�

� ��]��W 1 ��W�

1 �W�]��W ] ��W��]�

] �]�]��W 3 �]��|�

3 �|�]��W W� ��|�W��

} �}�]��W 17 �X�W^�

�� /�� no tiene soluciones reales�

� &�� ' �� y��x]��x�� ' �� x�

La función interseca en dos puntosal eje x cuando 4ac>0.

.

.b2- La función interseca en un punto

al eje x cuando b2-4ac=0

La función interseca en un puntoal eje x cuando b2-4ac<0

284 Matemáticas I

%��&�� 4�� &��

a) b)

� � �

c)

� � � �� d) e)

� � � �


?��/��






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��

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%��

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|��#��

X��!��

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��

X�]�¦��'��

��

&��'��

¦��

286 Matemáticas I

?��


Bloque X Resuelves ecuaciones cuadráticas IICompetencias disciplinares

del área de matemáticas Desempeños IndicadoresNiveles de logro


W��&��

��/��

��/��

"��/��'��

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��'��'��

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}��=�� /�� /��

��

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��b]��}ac ��

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��' �� "��/��

��

>��

��

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��

?� ��

�/�� /��

¦��


?��!�'�� ' �� ¥��

a. y =2x 2+8

b. y =x 2+2x +1

c. y =– x 2– 2x–1

d. y =x 2– 3x

e. y =3x 2

?��/��






W��%��

� ��

W��%��

��

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��

W�W��'�� '��

��

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X��!��

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��

X�]�¦��'��

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��

288 Matemáticas I

?��


Bloque X Resuelves ecuaciones cuadráticas IICompetencias




W��&��

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��

"��/��'��

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X��>��

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>�� ' ��

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>��' ��

�?�� ' ��

?�� y = ax2 + bx + c��

' ��

?�� y = ax2 + bx + c��

'��' ��

�� ' ��

��

>�� ' ��

� �� "��"��

&��'��"��

��

��'��' �� y = ax2 + bx + c��' ��y = a(x - h�] + k��

��/��§�"��°��

!��' �� '��y = a(x - h�] + k

��

��

� �� #��

��

>�� À�Â��

� ��

b]��}ac ��

§��

' �� "��/��

��

>��

��

��

��

?� �� /�� /��

¦��


4��

290 Matemáticas I

4��


4��

292 Matemáticas I

4��


4��

294 Matemáticas I

4��


4��

296 Matemáticas I

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F� <��=��W��|��Álgebra��$/�� & � ��

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