En matemáticas, los números reales (designados por  ) incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a losnúmeros irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera

fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como:  .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Número racional

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en Blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotienten varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre .

Número enteroLos números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemánZahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:−783 y 154 son números enteros45,23 y −34/95 no son números enterosAl igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).Introducción

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:

Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer

caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.

Números con signo

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3,

etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3,

etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,...

precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros

con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por

la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :

La recta numérica

Artículo principal: Recta numérica.

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es el número natural que

resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0.

Se representa por dos barras verticales «| |».

Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

El orden de los números enteros puede resumirse en:

El orden de los números enteros se define como:

Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo

es menor que el positivo: −b < +a.

Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos

números es:

El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».

El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».

El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los

negativos.

Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

Operaciones con números enteros

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

Suma

En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor

absoluto del resultado del siguiente modo:

Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo

del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos

de los sumandos.

Si ambos sumandos tienen distinto signo:

El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor

absoluto.

El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor

valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos

sumandos.

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las

sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las

sumas a + b y b + a son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados

al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)

(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2. Propiedad conmutativa:

(+9) + (−17) = −8

(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe

otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

[editar]Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se

realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

[editar]Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor

absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los

factores.

El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son

distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos

(+) × (+)=(+) Más por más igual a

más.

(+) × (−)=(−) Más por menos igual a

menos.

(−) × (+)=(−) Menos por más igual a

menos.

(−) × (−)=(+) Menos por menos igual

a más.

Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes

propiedades:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los

productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los

productos a × b y b × a son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados

al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140

(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

2. Propiedad conmutativa:

(−6) × (+9) = −54

(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el

producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son

idénticos.

Ejemplo.

(−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21[editar]Propiedades algebraicas

Artículo principal: Propiedades de los números enteros.

El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de suma y producto, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo.

Más allá de su estructura algebraica, el conjunto de los números enteros tiene una relación de orden.

Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.

Número natural

Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas,

tres manzanas, …).

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los

elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que

utilizó el ser humano para la enumeración

Convenios de notación

Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del autor, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

Definición sin el

cero:

Definición con el

cero:

donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".

Ambas presentaciones son utilizadas en distintas áreas de las matemáticas. Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la invasión musulmana de la Península Ibérica,1 pero no se consideraba un número natural.2

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,3 y otras, como la teoría de la computación.4 En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.4 Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven.5

Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, incluyendo el cero en los naturales, a los números naturales sin el cero, o enteros positivos se les denota como:

 6

Número primo

Este artículo trata sobre primos en los números enteros. Para la generalización

a anillos, véase elemento primo y elemento irreducible.

La distribución de los números primos (línea azul) hasta el 400

En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene

únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se

contraponen asía los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor

natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni

primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los

siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,61, 67, 71, 7

3, 79, 83, 89 y 97.1

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número

primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es

el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números

primos por  .

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números,

la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números enteros.

Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales

como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los

números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si

se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos

aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes

bien definidas.

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así,

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.

Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

Otras propiedades

En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima con la base.

De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.

Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b.

Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible por p.

Si p es primo distinto de 2 y 5,   siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1 o un divisor de p − 1. Esto se puede

deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat.   expresado en base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.

Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n. Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible porn.

La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo. Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayor

potencia de p que divide el orden de G. Entonces, existe un subgrupo de G de orden pn.

Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G contiene un elemento de orden p.

La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números primos en el sistema decimal, es un número irracional.

El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuación meromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números

primos se puede calcular, obteniéndose diversos valores, algunos de ellos

importantes en teoría de números. Los dos primeros son:

 (Correspondiente a la serie armónica, relacionado con

la infinitud de números primos).

 (Correspondiente al problema de Basilea).

En general   es un número racional cuando n es un número entero

positivo par.

El anillo   es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.

Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre   si y sólo si p es primo.

Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la

primera especie Tn(x), dividido entre x, es irreducible en  . Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es primo.Números primos y funciones aritméticas

Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene

.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enteros positivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada nasocian respectivamente el número de divisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es

,

,

.

Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número naturaln de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primos que dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular

.Características del conjunto de los números primos

Infinitud de los números primos

Véase también: Infinitud de los números primos.

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos16 Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno,  . Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia  , pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.

Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos,

entonces  , donde pn# es lo que se llama primorial de pn. Un número primo de la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puede elaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primos menos uno, el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primo primorial a un número primo de la forma pn# ± 1.

No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todos los factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509

Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas de las matemáticas tales como al álgebra conmutativa y la topología.17Algunas de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea unabiyección entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.

Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por

ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que

la serie   esdivergente. Uno de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que

18

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores de C y n0 no están especificados.19

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión

aritmética an = a + n·q, donde los

enteros positivos a, q ≥ 1 son primos

entre sí, existen infinitos términos que

son primos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3,

entonces siempre existe un número

primo p tal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en unaprogresión geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.

Frecuencia de los números primos

Esta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.

Una vez demostrado la infinitud de los números primos, cabe preguntarse cómo se distribuyen los primos entre los números naturales, es decir, cuán frecuentes son y dónde se espera encontrar el n-ésimo número primo. Este estudio lo iniciaron Gauss yLegendre de forma independiente a finales del siglo XVIII, para el cual introdujeron la función enumerativa de los números primosπ(n), y conjeturaron que su valor fuese aproximadamente

.20

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 porChebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dos constantes A y B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1.

Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usando métodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por Bernhard Riemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para

encontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente, se conoce el teorema como teorema de los números primos.

El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:

.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete

aproximando   de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años. Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación, más precisa:21

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bien aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que este valor.

Diferencia entre dos primos consecutivos

Artículo principal: Diferencia entre dos números primos consecutivos.

Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primos consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).

Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural n, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Los números

(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1

son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión, que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores corresponden a:

6!+2=722=2·361

6!+3=723=3·241

6!+4=724=4·181

6!+5=725=5·145

6!+6=726=6·121

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.22 De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n es generalmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados de ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.

La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos23 ha sido profusamente estudiada en matemáticas, y alrededor de este concepto se han establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.

Fracción

Para otros usos de este término, véase Fracción (desambiguación).

En matemáticas, una fracción, o número fraccionario, o quebrado (del

vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)1 es la expresión de una

cantidad dividida entre otra; es decir que representa un cociente no efectuado de

números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción

vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es

el conjunto de los números racionales, denotado  .

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente

cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

Numerador y denominador

Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre

ambos (barra horizontal u oblícua). En una fracción común   el denominador b representa la cantidad de partes en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es la cantidad de estas consideradas.

Representación gráfica y analítica

Como se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4.

Suelen utilizarse círculos o rectángulos (los cuales representan la unidad) divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten) tantas de estas partes como indique el numerador.

Notación y convenciones:

en una fracción común, el denominador se lee como

número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres

quintos»);

una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción

(ejemplos: -1/4 o  , pero no 3/-4);

una fracción genérica a/b representa el producto de a por

el recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que  ; si

tanto a comob son números negativos  , el producto es positivo,

por lo que se escribe: a/b;

toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre

de «fracción».

La expresión genérica   representa una división algebraica, por lo que el divisor

debe ser distinto de cero (b  ); el cociente de esta división admite un desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) que puede ser finito o infinito peródico (ver Número periódico).

Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, su expansión decimal será infinita no-periódica.

Una fracción común representa un número racional, por lo que las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.

Ejemplos

; 3/4 ; 3/4 ; (¾) ; fracción tres cuartos:

numerador 3 y denominador 4, representa al

número decimal 0.75, en porcentaje: 75%;

; fracción: numerador x² y

denominador (x+3)(x-3), el valor decimal

dependerá del valor de la variable x.Clasificación de fracciones

Según la relación entre el numerador y el denominador:

Número mixto : suma abreviada de un entero y una

fracción propia:  ¼ ,  ½ , 

Fracción propia: fracción en que el

denominador es mayor que el

numerador: 

Fracción impropia: fracción en donde el

numerador es mayor que el denominador: 

Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el

denominador no son primos entre sí y puede ser

simplificada: 

Fracción irreducible : fracción en la que el numerador y el

denominador son primos entre sí, y por tanto no puede ser

simplificada: 

Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que

se han invertido el numerador y el denominador:   y    ;   

y    ; 

1/2 un medio

1/3 un tercio

1/4 un cuarto

1/5 un quinto

1/6 un sexto

1/7 un séptimo

1/8 un octavo

1/9 un noveno

1/10 un décimo

1/11 un onceavo

1/12 un doceavo

Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier

número perteneciente al conjunto de los

enteros:   ; 

Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o

los dos) contiene a su vez fracciones. Según la escritura del denominador:

Fracción equivalente : la que tiene el mismo valor que otra

dada: 

Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo

denominador:   y   ;   y   

Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes

denominadores:   y   ;   y  ; 

Fracción decimal : el denominador es una potencia de diez: 1/10,

2/100... En general:  , con a un entero positivo y n un natural.

Fracción continua : es una expresión del

tipo:  . Según la escritura del numerador:

Fracción unitaria : es una fracción común de numerador 1.

Fracción egipcia : sistema de representación de las fracciones en el

Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de

fracciones unitarias.

Fracción

gradual2 :  Otras clasificaciones:

Fracción como porcentaje : Un porcentaje es una forma de

expresar un número como una fracción de 100, utilizando el signo

porcentaje %.

Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres para

la la relación que mantienen un par de números que pueden

provenir de una comparación.

Fracción parcial: véase método de las fracciones parciales para

reducir un cociente de polinomios.

Nota: Una fracción irracional es una término autocontradictorio (dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares). Un número irracional es, por definición, noracional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.

Número positivo

Un número real n es positivo si no es 0 ni un número negativo. El número 0 se

considera un número neutro.

No obstante, a veces se incluye al mismo número 0 como número positivo. En tal

caso, se dice que los números mayores que 0 son estrictamente positivos.

Para distinguir un número positivo de uno negativo, se suele utilizar el signo +

como prefijo de éste, en comparación al signo - que se utiliza para los negativos.

Así, +3 es positivo, y -3 es negativo. Rara vez veremos +0, pero jamás -0, dado

que en ninguna definición el 0 se considerará negativo.

Número negativo

Si la temperatura a la que el agua se congela es 0 °C, las temperaturas más bajas

se representan con números negativos y las más altas con positivos.

Un número negativo es cualquier número cuyo valor es menor que cero y, por

tanto, que los demás números positivos, como 7, 49/22 ó π. Se utilizan para

representar pérdidas, deudas, disminuciones o decrecimientos, entre otras cosas.

Se representan igual que los positivos, pero añadiendo un signo menos «−»

delante de ellos: −4, −2,5, −√8, etc. (estos números se leen: "menos cuatro",

"menos dos coma cinco", etc.) A veces, se añade un signo más «+» a los números

positivos para distinguirlos mejor: +3, +9/12, +4√22, etc. (más tres, más 9

doceavos, etc.)

Uno de los usos de los números negativos es representar pérdidas: si una persona

en un año gana 20 000 pesos pero gasta 25 000, al final del año ha perdido 25

000 − 20 000 = $ 5000; pero también puede decirse que sus ahorros han

aumentado 20 000−25 000 = − $ 5000.

También se utilizan para representar temperaturas y otras magnitudes por debajo

del cero. Cuando la temperatura es de 0 °C (cero grados Celsius)

elagua se congela. Si el ambiente se calienta, la temperatura crece, pero si se

enfría aún más, desciende por debajo de cero: por ejemplo, el mercurio,

un metal líquido, se congela a 39 grados bajo cero, o sea a −39 °C

(aproximadamente).

Número irracional

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser

expresado como una fracción  , donde   y   son enteros, con   diferente de

cero y donde esta fracción esirreducible. Es cualquier número real que no

es racional.

Clasificación

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

1.  (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

2. e (Número "e" 2,7182 ...): 

3.  (Número "áureo" 1,6180 ...): 

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, elnúmero

áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica  , por lo que es un número irracional algebraico.

2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

...

...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.