matematika_kezikonyv

Alkotószerkesztő: Csatár Katalin

KÉZIKÖNYVa MATEMATIKA

a középiskolák 11. évfolyama számára

I. kötetéhez

Celldömölk

TEX 2012. február 20. – (1. lap/1. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (CIMK11-I)

C M Y K

Szerzők

KORNAI JÚLIA, KOVÁCS ELŐD, LÖVEY ÉVA,PÁLOVICSNÉ TUSNÁDY KATALIN, SCHUBERT MIHÁLY

Illusztrálta

FRIED KATALIN

Alkotószerkesztő

CSATÁR KATALIN

Szerkesztette

ACKERMANN RITA

AP–110831

ISBN 978-963-328-049-2

c© Kornai Júlia, Kovács Előd, Lövey Éva, Pálovicsné Tusnády Katalin, Schubert Mihály, 2011

1. kiadás, 2012

Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft.9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18.

Telefon: 95/525-000, fax: 95/525-014E-mail: [email protected]

Internet: www.apaczai.huFelelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítésKönyv Művek Bt.

Terjedelem: 15,97 A/5 ív


C M Y K

Előszó

Kedves Kollégák!

Középiskolás tankönyvsorozatunk az általános iskolás tankönyvcsalád szerves folytatása, de természetesen attólfüggetlenül is jól használható. A könyv anyagának kialakításakor azt tartottuk szem előtt, hogy a tanulók gondol-kodva, a problémák felismerésével és azok megoldásával jussanak el a kompetenciaalapú tudáshoz, és az ehhezvezető úton ne adják fel a „küzdelmet”. A hatékonyabb tudás megszerzését igyekeztünk érdekes, a mindennapiéletből vett szöveges feladatokkal, más tantárgyakhoz is kapcsolódó ismeretekkel összekötni.

Nagy hangsúlyt fektettünk a matematikai fogalmak pontos kialakítására, a szövegértelmezésre. A kimondottdefiníciók, tételek precízek, a korosztály nyelvén íródtak.

Matematikatörténeti, kultúrtörténeti érdekességekre is felhívjuk a tanulók figyelmét. Bíztassuk őket ezek kiegé-szítésére, kiselőadások tartására, poszterek készítésére!

Könyvünk szerkezetéről

A tankönyv felépítése az Apáczai Kiadó akkreditált kerettantervéhez igazodik, mely megtalálható a tanári kézi-könyvben. Minden fejezet 1–3 órás kis egységekből áll, melyekben a kidolgozott példák után elméleti összefog-laló és bőséges feladatanyag található. A feladatsorok végén összetettebb feladatok és korábbi matematikaverse-nyek vagy érettségi vizsgák feladatai találhatók a differenciált óravezetés segítésére.

Az emelt szintű érettségi vizsgára készülő és a matematika iránt fogékonyabb tanulók számára a tételek bizo-nyításai is megtalálhatók a tankönyvben.

A feladatgyűjtemény szerkezetéről

A tankönyv egyes fejezeteivel megegyező címrendszerrel a kötetek második felében feladatgyűjtemény található.Minden évfolyamhoz két-két tankönyv tartozik.

A bőséges feladatanyaggal azt szeretnénk biztosítani, hogy a legegyszerűbb gyakorlófeladatokra szoruló, és amatematikai iránt fogékonyabb tanulók is találjanak tudásszintjüknek megfelelő problémákat.

Természetesen az összes feladatot nem lehet, és nem is kell egy-egy tanulónak megoldania.

A kézikönyv szerkezetéről

A kézikönyvvel kollégáink munkáját szeretnénk megkönnyíteni. A kézikönyv szerkezetében követi a tankönyvet.Reméljük, hogy a benne található órabeosztás, didaktikai útmutató, valamint a feladatok megoldásai hasznosaklesznek az órákra való felkészüléskor, segítségükkel időt takarítanak meg.

Minden fejezet elején jelezzük a tanulók korábbi ismereteit, és azt, hogy az adott fejezetben meddig jutunk el.

Feltüntettük a fejezethez kapcsolódó továbbhaladás, valamint a közép- és emelt szintű érettségi vizsgák követel-ményeit is.

Kiegészítő segédletekA tankönyvcsaládhoz elkészült a tanmenet is, amely tartalmazza a nem szakrendszerű oktatás órabeosztását. Ezletölthető a kiadó honlapjáról: www.apaczai.hu.

Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, azt jutassa el az Apáczai Kiadónak!

Eredményes munkát kívánnak:az Alkotószerkesztő és a Szerzők


C M Y K

3

KERETTANTERVBevezető

A matematika kerettanterv az Oktatási és Kulturális Minisztérium által kiadott hivatalos Nemzeti Alaptanterv(NAT) 2007 alapelvei szerint készült.

A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet a felzárkóztatásra, amely hoz-zájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez. Továbbá a kerettanterv lehetőséget biztosít a tehetséggondozásrais mind a négy évfolyamon, különös tekintettel a 11–12. évfolyamon a fakultáció lehetőségével.

Ez a kerettanterv olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatás minőségét és hatékonyságát fontosnak tart-ják. A tanterv nem kötődik speciálisan egyik tankönyvcsaládhoz sem, azaz bármilyen középiskolás tankönyv-család mellett alkalmazható.

Az óraszámok az Oktatási Törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak.

Évfolyam 9. 10. 11. 12.Heti óraszám 4 3�5 3 3

Éves óraszám 148 129�5 111 96

Évfolyam 9. 10. 11. 12.Heti óraszám 4 3�5 3 3

Éves óraszám 148 129�5 111 96

Célok és feladatok

Az általános iskolai matematikaoktatás megismertette a tanulókat az őket körülvevő világ konkrét mennyiségi éstérbeli viszonyaival, az életkoruknak megfelelő szinten biztosította a többi tantárgy tanulásához szükséges ma-tematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás és az absztrakció képességének folyamatostovábbfejlesztése. A kompetenciák fejlesztését szem előtt tartva tartalmazza a kerettanterv a tananyagrendszert.

A matematika a gondolkodás területeinek fejlesztésével emeli a gondolkodás általános kultúráját. Ezért a külön-böző témakörök szerves összeépülésével feltárja a matematika különböző területeit és a különböző gondolkodásistruktúrákat. A fogalmakat és összefüggéseket hagyjuk érlelődni, a témaköröket spirális felépítésben dolgozzukfel az életkori és egyéni fejlődési szinteket figyelembe véve.

Ez a tanterv a NAT 2007-ben megfogalmazott fejlesztési feladatokhoz kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazzaa fejlesztés-központúságot szem előtt tartva. A fejlesztő munkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kellbeépíteni. A középiskolás korosztálynál is nagyon fontos, hogy a fogalomalkotást változatos munkaformákkalvezessük be, például játékokkal, méréssel, modellezéssel. Ezeket kiegészítik a tananyag feldolgozásában megje-lenő munkaformák: a pár-, illetve csoportmunka, a projektfeladatok. Természetesen az önálló feladatmegoldást,a differenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk.

A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel a zsebszámológép biztos alkal-mazására, az elektronikus eszközökre, azon belül az oktatási célú weblapokra az interneten.

Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szóban és írásban.Mások gondolatainak megértése, vitákban érvek és ellenérvek logikus használata.

A 9–12. évfolyamokon nagy szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése, a problémamegoldás mellett a fel-vetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése. Tizenhat éves kor körül a tanulók jelentős része eljut akonkrét gondolkodástól az absztrahálásig. A bizonyítási igény kialakítása fontos cél a középiskolai korosztálynál,érezzék a példa és ellenpélda szerepét a döntések igazolása során.

Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő matematikai modellt,azokat helyesen tudják alkalmazni, és ellenőrzés után dönteni tudjanak a kapott eredmény helyességéről. A tanu-lók képesek legyenek megkülönböztetni a biztos, lehetséges és lehetetlen eseményeket, fejlődjön valószínűségiés statisztikai szemléletük. Nagy hangsúlyt kell fektetni a szövegértő, elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is elkell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulók alkalmazni tudják más műveltségi területeken is.

Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerének alkalmazását.

A középiskolai matematikaoktatás egyik alapvető célja, hogy a tanulók középszinten sikeres érettségi tegyenek.


C M Y K

4

A középiskolai érettségi követelmények bevezetője szerint: „Középszinten a mai társadalomban tájékozódni ésalkotni tudó ember matematikai ismereteit kell megkövetelni, ami elsősorban a matematikai fogalmak, tételekgyakorlati helyzetekben való ismeretét és alkalmazását jelenti”.

A fejlesztési célok és kompetenciák megjelenésének formái a matematika műveltségterületen1. Tájékozódás:

• tájékozódás a térben,

• tájékozódás az időben,

• tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban.

2. Megismerés

• tapasztalatszerzés,

• képzelet,

• emlékezés,

• gondolkodás,

• ismeretek rendszerezése,

• ismerethordozók használata.

3. Ismeretek alkalmazása

4. Problémakezelés és -megoldás

5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően;átstrukturálás

6. Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek

• Kommunikáció

• Együttműködés

• Motiváltság

• Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás

7. A matematika épülésének elvei

• A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése:

– számlálás, számolás

– mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés

– becslés, mérés

– problémamegoldás, metakogníció

– rendszerezés, kombinativitás

– deduktív és induktív következtetés

• A tanulók értelmi képességeinek – logikai készségének, problémamegoldó, helyzetfelismerő képességei-nek – folyamatos fejlesztése

• A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése

• A tanulók önellenőrzésének fejlesztése

• A gyors és helyes döntés képességének kialakítása

• A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása

• A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése

• A kreatív gondolkodás fejlesztése

• A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása

• A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben


C M Y K

5

A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása

A tanulók

– végezzenek becsléseket a számítások, mérések előtt;

– készítsenek megoldási tervet a feladatok megoldása előtt;

– ellenőrizzék a feladatmegoldások helyességét;

– készítsenek vázlatrajzot a geometriai szerkesztések végrehajtása előtt;

– értelmezzék pontosan a szöveget a szöveges feladatok megoldásánál; a választ, valamint az ellenőrzést pedigszabatosan írják le.

A tanulók

– pontosan, életkoruknak megfelelően, a szaknyelv használatával tudják elmondani gondolataikat;

– használják a zsebszámológépet;

– szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat;

– tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében;

– ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket.

A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló és diszkussziós készsé-gét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erre irányul a matematikaoktatásbana sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés, a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldásokvizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, és a tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertanimegoldás. Az utóbbi években kiemelt cél a kompetenciák fejlesztése, amelynek módszerei például a csoport-,illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka során ki kell alakítani a tanulókközötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni és a közösségi felelősségvállalást, valamint azegyéni és a csoportteljesítmény reális értékelésére való képességet. A közös eredmény érdekében előtérbe ke-rül egymás tiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatbanfejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben kialakul az intenzív érdeklődés és a kíváncsiság, amielősegíti a hatékony tanulást.

11. évfolyamÉves óraszám: 111

Heti óraszám: 3A szabadon hagyott órák száma: 12

A táblázatban megadott óraszámok csak a tananyag feldolgozására javasolt óraszámok, az értékelésre szánt órákata szabadon hagyott órakeret tartalmazza.

Témakör Témakör feldolgozásárajavasolt óraszám

1. Gondolkodási módszerek 8

2. Algebra 35 = 8 + 8 + 10 + 9

3. Geometria 35 = 8 + 9 + 9 + 9

4. Összefüggések, függvények, sorozatok 12 = 4 + 8

5. Valószínűség, statisztika 9

Témakör Témakör feldolgozásárajavasolt óraszám

1. Gondolkodási módszerek 8

2. Algebra 35 = 8 + 8 + 10 + 9

3. Geometria 35 = 8 + 9 + 9 + 9

4. Összefüggések, függvények, sorozatok 12 = 4 + 8

5. Valószínűség, statisztika 9


C M Y K

6

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK

Fejlesztési célok TananyagAjánlott tevékenységformák

Módszertani javaslatokA továbbhaladás feltételeiFejlesztési célok Tananyag

Ajánlott tevékenységformák

Módszertani javaslatokA továbbhaladás feltételei

Számolás, számlálás fejlesz-tése halmazok elemeinek kü-lönböző tulajdonságok alapjánvaló tudatos, tervszerű össze-számlálása révén.Az induktív és deduktív gon-dolkodás fejlesztése (konkrétesetek összeszámlálása alapjánáltalánosítással, illetve álta-lános összefüggések konkrétfeladatban való alkalmazásá-val).A kombinatorikus gondolko-dás fejlesztése.Együttműködésre nevelés egy-más munkájának ellenőrzéseés az eredmények e bemuta-tása révén.A pontos szövegértésre neve-lés.

Kombinatorika.Permutáció ismétlés nél-kül és ismétléssel.Kombináció ismétlésnélkül.Variáció ismétlés nélkülés ismétléssel.

Tapasztalatszerzés csoport-munkában kis elemszámú hal-mazok elemeinek sorba ren-dezése és különböző feltéte-leknek megfelelő kiválasztásaalapján.Az ismétléses és az ismétlésnélküli esetek különbségénekfelfedezése páros munkábanpermutációra és variációra ve-zető feladatokban.Viták kezdeményezése. Érvekés ellenérvek megfogalma-zása.

Tudjon egyszerű sorba rendezési, ki-választási és egyéb kombinatorikaifeladatokat megoldani.Tudja kiszámolni a binomiálisegyütthatókat.

Számolás, számlálás fejlesz-tése halmazok elemeinek kü-lönböző tulajdonságok alapjánvaló tudatos, tervszerű össze-számlálása révén.Az induktív és deduktív gon-dolkodás fejlesztése (konkrétesetek összeszámlálása alapjánáltalánosítással, illetve álta-lános összefüggések konkrétfeladatban való alkalmazásá-val).A kombinatorikus gondolko-dás fejlesztése.Együttműködésre nevelés egy-más munkájának ellenőrzéseés az eredmények e bemuta-tása révén.A pontos szövegértésre neve-lés.

Kombinatorika.Permutáció ismétlés nél-kül és ismétléssel.Kombináció ismétlésnélkül.Variáció ismétlés nélkülés ismétléssel.

Tapasztalatszerzés csoport-munkában kis elemszámú hal-mazok elemeinek sorba ren-dezése és különböző feltéte-leknek megfelelő kiválasztásaalapján.Az ismétléses és az ismétlésnélküli esetek különbségénekfelfedezése páros munkábanpermutációra és variációra ve-zető feladatokban.Viták kezdeményezése. Érvekés ellenérvek megfogalma-zása.

Tudjon egyszerű sorba rendezési, ki-választási és egyéb kombinatorikaifeladatokat megoldani.Tudja kiszámolni a binomiálisegyütthatókat.

2. ALGEBRA





A számfogalom továbbfejlesz-tése bővülő számkörben.Sejtések megfogalmazása; di-vergens gondolkodás. Megér-tett probléma „eredményének”elképzelése, előrevetítése; asejtés megfogalmazása, le-jegyzése, az ellenőrzés, önel-lenőrzés igényének alakítása.Zsebszámológép használata.Önellenőrzésre nevelés.

Hatványozás kiterjesz-tése.Hatványozás egész kite-vőre és négyzetgyökvo-nás (ismétlés).Gyökvonás.Hatványozás törtkitevőesetén.A hatványozás azonos-ságai.

Azonosságok párosítása domi-nóval páros munkában.Az azonosságok és a műve-letek gyakorlása feladatlapokkitöltésével, ellenőrzés zseb-számológéppel.A hatványértékek növekedésiütemének bemutatása érdekespéldákon keresztül, kutatásszakirodalomban és az inter-neten.

A hatványozás értelmezése racioná-lis kitevő esetén.Ismerje és használja a hatványozásazonosságait.Definiálja és használja az n

√a fogal-

mát.Ismerje és alkalmazza a négyzet-gyökvonás azonosságait.

A számfogalom továbbfejlesz-tése bővülő számkörben.Sejtések megfogalmazása; di-vergens gondolkodás. Megér-tett probléma „eredményének”elképzelése, előrevetítése; asejtés megfogalmazása, le-jegyzése, az ellenőrzés, önel-lenőrzés igényének alakítása.Zsebszámológép használata.Önellenőrzésre nevelés.

Hatványozás kiterjesz-tése.Hatványozás egész kite-vőre és négyzetgyökvo-nás (ismétlés).Gyökvonás.Hatványozás törtkitevőesetén.A hatványozás azonos-ságai.

Azonosságok párosítása domi-nóval páros munkában.Az azonosságok és a műve-letek gyakorlása feladatlapokkitöltésével, ellenőrzés zseb-számológéppel.A hatványértékek növekedésiütemének bemutatása érdekespéldákon keresztül, kutatásszakirodalomban és az inter-neten.

A hatványozás értelmezése racioná-lis kitevő esetén.Ismerje és használja a hatványozásazonosságait.Definiálja és használja az n

√a fogal-

mát.Ismerje és alkalmazza a négyzet-gyökvonás azonosságait.

A műveletfogalom mélyítéseés kiterjesztése a kétféle mó-don értelmezett inverz kapcso-lat vizsgálata során. Algorit-musok alkalmazásának képes-ségét fejlesztjük az egyenletekmegoldásakor.A koncentráló képesség fej-lesztése: az értelmezési tar-tományra vonatkozó feltétel-rendszer és a megoldás össze-vetése.Matematikatörténeti érde-kességek megismerése irántiigény felkeltése.

Logaritmus.A logaritmus fogalma.A logaritmus azonos-ságai.Logaritmusos egyenle-tek.

Az azonosságok felfedezéseszámolási feladatok segítségé-vel.Memóriajátékok, dominók al-kalmazása az azonosságokgyakoroltatására.Önellenőrzésre alkalmas fela-datlapok kitöltése.Matematikatörténeti adatok,érdekességek gyűjtése.

Definiálja és használja feladatokmegoldásában a logaritmus fogal-mát, valamint a logaritmus azonos-ságait. Tudjon áttérni más alapú lo-garitmusra.

A műveletfogalom mélyítéseés kiterjesztése a kétféle mó-don értelmezett inverz kapcso-lat vizsgálata során. Algorit-musok alkalmazásának képes-ségét fejlesztjük az egyenletekmegoldásakor.A koncentráló képesség fej-lesztése: az értelmezési tar-tományra vonatkozó feltétel-rendszer és a megoldás össze-vetése.Matematikatörténeti érde-kességek megismerése irántiigény felkeltése.

Logaritmus.A logaritmus fogalma.A logaritmus azonos-ságai.Logaritmusos egyenle-tek.

Az azonosságok felfedezéseszámolási feladatok segítségé-vel.Memóriajátékok, dominók al-kalmazása az azonosságokgyakoroltatására.Önellenőrzésre alkalmas fela-datlapok kitöltése.Matematikatörténeti adatok,érdekességek gyűjtése.

Definiálja és használja feladatokmegoldásában a logaritmus fogal-mát, valamint a logaritmus azonos-ságait. Tudjon áttérni más alapú lo-garitmusra.

TEX 2012. február 20. – (7. lap/7. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (CIMK11-I)C M Y K

7





Pontos munkavégzés tovább-fejlesztése.A matematika különböző rész-területein megismert összefüg-gések szintézisére való képes-ség fejlesztése.Önellenőrzésre nevelés.

Exponenciális és loga-ritmikus egyenletek.

Differenciált egyéni munkaönellenőrzésre alkalmas fela-datlapok kitöltésével.

Definíciók és azonosságok közvet-len alkalmazását igénylő feladatokmegoldása.

Pontos munkavégzés tovább-fejlesztése.A matematika különböző rész-területein megismert összefüg-gések szintézisére való képes-ség fejlesztése.Önellenőrzésre nevelés.

Exponenciális és loga-ritmikus egyenletek.


Definíciók és azonosságok közvet-len alkalmazását igénylő feladatokmegoldása.

A rendszerezett munkára valónevelés, ismeretek felhaszná-lásának tudatosítása.A matematika különböző te-rületeihez tartozó ismeretekszintézise.

Trigonometrikusegyenletek.Egyenlet végtelen sokmegoldással – ellenőr-zés a megoldások végessok csoportba rendezé-sével. Szögfüggvényekazonosságai: egységsu-garú kör és a függvény-grafikon összekapcso-lása.


Tudjon definíciók és azonosságokközvetlen alkalmazását igénylő fela-datokat megoldani.

A rendszerezett munkára valónevelés, ismeretek felhaszná-lásának tudatosítása.A matematika különböző te-rületeihez tartozó ismeretekszintézise.

Trigonometrikusegyenletek.Egyenlet végtelen sokmegoldással – ellenőr-zés a megoldások végessok csoportba rendezé-sével. Szögfüggvényekazonosságai: egységsu-garú kör és a függvény-grafikon összekapcso-lása.


Tudjon definíciók és azonosságokközvetlen alkalmazását igénylő fela-datokat megoldani.

3. GEOMETRIA





A függvényszemlélet tovább-fejlesztése rendezett számpá-rok alkalmazásán keresztül.Az önellenőrző képesség to-vábbfejlesztése a számolássalkapott eredmény és a koordi-nátarendszerben ábrázolt rajzösszevetésével.Az analógiás gondolkodásfejlesztése az elemi geomet-riai ismeretek koordináta-geometriában történő alkal-mazásával.

Vektorok.Műveletek vektorokkal.Vektorok a koordináta-síkon.Vektorműveletek koor-dinátákkal.Skaláris szorzás.Két vektor hajlásszöge.Szakasz osztópontja.Háromszög súlypontja.

Koordinátákkal adott fela-datok esetén az eredményekellenőrzése a koordináta-rendszerben.Triminók kirakása. A vekto-rok végpontjai, ennek megfe-lelő helyvektorok és a vektorabszolútértékére.

Ismerje és alkalmazza feladatokbana következő definíciókat, tételeket:vektor fogalma, abszolút értéke,nullvektor, ellentett vektor, vektorokösszege, különbsége, vektor skalár-szorosa, vektorműveletek azonossá-gai, vektor felbontása összetevőkre.Skaláris szorzat definíciója, tulaj-donságai.A következő definíciók, tételek is-merete és alkalmazása feladatokban:vektor koordinátái, a vektor 90◦-oselforgatottjának koordinátái, vekto-rok összegének, különbségének, ska-lárral való szorzatának koordinátái,skalárszorzat kiszámítása koordiná-tákból.−→AB vektor koordinátáinak ismereteés abszolútértékének kiszámítása avégpontok koordinátáiból.Két pont távolságának, szakasz fele-zőpontjának, harmadoló pontjainakés a háromszög súlypontjának felí-rása, alkalmazása feladatokban.

A függvényszemlélet tovább-fejlesztése rendezett számpá-rok alkalmazásán keresztül.Az önellenőrző képesség to-vábbfejlesztése a számolássalkapott eredmény és a koordi-nátarendszerben ábrázolt rajzösszevetésével.Az analógiás gondolkodásfejlesztése az elemi geomet-riai ismeretek koordináta-geometriában történő alkal-mazásával.

Vektorok.Műveletek vektorokkal.Vektorok a koordináta-síkon.Vektorműveletek koor-dinátákkal.Skaláris szorzás.Két vektor hajlásszöge.Szakasz osztópontja.Háromszög súlypontja.

Koordinátákkal adott fela-datok esetén az eredményekellenőrzése a koordináta-rendszerben.Triminók kirakása. A vekto-rok végpontjai, ennek megfe-lelő helyvektorok és a vektorabszolútértékére.

Ismerje és alkalmazza feladatokbana következő definíciókat, tételeket:vektor fogalma, abszolút értéke,nullvektor, ellentett vektor, vektorokösszege, különbsége, vektor skalár-szorosa, vektorműveletek azonossá-gai, vektor felbontása összetevőkre.Skaláris szorzat definíciója, tulaj-donságai.A következő definíciók, tételek is-merete és alkalmazása feladatokban:vektor koordinátái, a vektor 90◦-oselforgatottjának koordinátái, vekto-rok összegének, különbségének, ska-lárral való szorzatának koordinátái,skalárszorzat kiszámítása koordiná-tákból.−→AB vektor koordinátáinak ismereteés abszolútértékének kiszámítása avégpontok koordinátáiból.Két pont távolságának, szakasz fele-zőpontjának, harmadoló pontjainakés a háromszög súlypontjának felí-rása, alkalmazása feladatokban.

TEX 2012. február 20. – (8. lap/8. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (CIMK11-I)C M Y K

8





Geometriai információk leol-vasási képességének fejlesz-tése alakzatok egyenletéből.Algoritmikus gondolkodás fej-lesztése geometriai feladatokmegoldása során: értelmezés,adatgyűjtés, tervkészítés, pon-tos kivitelezés, az eredményösszevetése a feladat szövegé-vel.A geometriai feladatok algeb-rai eszközökkel történő meg-oldási képességének fejlesz-tése.Az analógiás gondolkodásfejlesztése az elemi geomet-riai ismeretek koordináta-geometriában történő alkal-mazásával.Geometriai fogalmak segítsé-gével az absztrakciós képességfejlesztése.Zsebszámológép tudatos hasz-nálatának fejlesztése a kere-kítés pontosságának célszerűmegválasztásával.

Koordinátageometria– az egyenes.Az egyenes pontjai.Az egyenes egyenletei.Egyenesek kölcsönöshelyzete.Pont és egyenes távol-sága.Egyenesek távolsága,hajlásszöge.

Párhuzamos és merőlegesegyenesek kiválasztása kár-tyákon megadott egyenletekalapján csoportmunkában.Triminók kirakása az egyenestjellemző adatok alapján.Koordinátákkal adott felada-tok esetén az eredmények el-lenőrzése a koordinátarend-szerben.Egy-egy feladat többféle meg-közelítése csoportmunkábanKutatómunka:matematikatörténeti érdekes-ségek az analitikus geometriakialakulásáról.Előadás, vetítés, interaktívprogramok az internetről.

Tudja felírni különböző adatokkalmeghatározott egyenesek egyenletét.Egyenesek metszéspontjának számí-tása.Ismerje egyenesek párhuzamosságá-nak és merőlegességének koordiná-tageometriai feltételeit.Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása ko-ordinátageometriai eszközökkel.

Geometriai információk leol-vasási képességének fejlesz-tése alakzatok egyenletéből.Algoritmikus gondolkodás fej-lesztése geometriai feladatokmegoldása során: értelmezés,adatgyűjtés, tervkészítés, pon-tos kivitelezés, az eredményösszevetése a feladat szövegé-vel.A geometriai feladatok algeb-rai eszközökkel történő meg-oldási képességének fejlesz-tése.Az analógiás gondolkodásfejlesztése az elemi geomet-riai ismeretek koordináta-geometriában történő alkal-mazásával.Geometriai fogalmak segítsé-gével az absztrakciós képességfejlesztése.Zsebszámológép tudatos hasz-nálatának fejlesztése a kere-kítés pontosságának célszerűmegválasztásával.

Koordinátageometria– az egyenes.Az egyenes pontjai.Az egyenes egyenletei.Egyenesek kölcsönöshelyzete.Pont és egyenes távol-sága.Egyenesek távolsága,hajlásszöge.

Párhuzamos és merőlegesegyenesek kiválasztása kár-tyákon megadott egyenletekalapján csoportmunkában.Triminók kirakása az egyenestjellemző adatok alapján.Koordinátákkal adott felada-tok esetén az eredmények el-lenőrzése a koordinátarend-szerben.Egy-egy feladat többféle meg-közelítése csoportmunkábanKutatómunka:matematikatörténeti érdekes-ségek az analitikus geometriakialakulásáról.Előadás, vetítés, interaktívprogramok az internetről.

Tudja felírni különböző adatokkalmeghatározott egyenesek egyenletét.Egyenesek metszéspontjának számí-tása.Ismerje egyenesek párhuzamosságá-nak és merőlegességének koordiná-tageometriai feltételeit.Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása ko-ordinátageometriai eszközökkel.

Koordinátageometria– a kör.A kör egyenlete.A kör egyenletének ek-vivalens alakjai.A kör és az egyeneskapcsolata.A kör érintője.

A kör középponti egyenleté-nek és kifejtett alakban felírtegyenletének párosítása domi-nókkal.Koordinátákkal adott fela-datok esetén az eredményekellenőrzése a koordináta-rendszerben.Egy-egy feladat többféle meg-közelítése csoportmunkában.Kutatómunka:matematikatörténeti érdekes-ségek az analitikus geometriakialakulásáról.Előadás, vetítés, interaktívprogramok az internetről.

Adott középpontú és sugarú körökegyenletének felírása.Kétismeretlenes másodfokú egyen-letből a kör középpontjának és suga-rának meghatározása.Kör és egyenes metszéspontjánakmeghatározása.A kör adott pontjában húzott érintőegyenletének felírása.Alkalmazza ismereteit feladatokban.

Koordinátageometria– a kör.A kör egyenlete.A kör egyenletének ek-vivalens alakjai.A kör és az egyeneskapcsolata.A kör érintője.

A kör középponti egyenleté-nek és kifejtett alakban felírtegyenletének párosítása domi-nókkal.Koordinátákkal adott fela-datok esetén az eredményekellenőrzése a koordináta-rendszerben.Egy-egy feladat többféle meg-közelítése csoportmunkában.Kutatómunka:matematikatörténeti érdekes-ségek az analitikus geometriakialakulásáról.Előadás, vetítés, interaktívprogramok az internetről.

Adott középpontú és sugarú körökegyenletének felírása.Kétismeretlenes másodfokú egyen-letből a kör középpontjának és suga-rának meghatározása.Kör és egyenes metszéspontjánakmeghatározása.A kör adott pontjában húzott érintőegyenletének felírása.Alkalmazza ismereteit feladatokban.

A bizonyítási igény felkeltése.A lényeges és a lényegtelenadatok megkülönböztetése.Szövegértelmezés továbbfej-lesztése, a lényegkiemelő ké-pesség fejlesztése.A modellalkotás képességénekfejlesztése.Logikai gondolkodás fejlesz-tése.Zsebszámológép tudatos hasz-nálata.

Szinusztétel, koszi-nusztétel.A szinusztétel.A koszinusztétel.A valóság tárgyai ésazok geometriai modell-jei.A geometriai felada-tok algebrai megoldásasorán keletkező hamisgyökök kiválasztása.A kerekítés pontossága– zsebszámológép tuda-tos használata.

Térbeli feladatok megoldásaelőtt modellek készítése, tá-volságok és szögek kiszámí-tása.Egy-egy feladat többféle meg-közelítése csoportmunkában.Zsebszámológépek megfelelőhasználata.

Tudja és használja a szinusz- és akoszinusztételt.Tudjon számolásokat végezni általá-nos háromszögben.

A bizonyítási igény felkeltése.A lényeges és a lényegtelenadatok megkülönböztetése.Szövegértelmezés továbbfej-lesztése, a lényegkiemelő ké-pesség fejlesztése.A modellalkotás képességénekfejlesztése.Logikai gondolkodás fejlesz-tése.Zsebszámológép tudatos hasz-nálata.

Szinusztétel, koszi-nusztétel.A szinusztétel.A koszinusztétel.A valóság tárgyai ésazok geometriai modell-jei.A geometriai felada-tok algebrai megoldásasorán keletkező hamisgyökök kiválasztása.A kerekítés pontossága– zsebszámológép tuda-tos használata.

Térbeli feladatok megoldásaelőtt modellek készítése, tá-volságok és szögek kiszámí-tása.Egy-egy feladat többféle meg-közelítése csoportmunkában.Zsebszámológépek megfelelőhasználata.

Tudja és használja a szinusz- és akoszinusztételt.Tudjon számolásokat végezni általá-nos háromszögben.


C M Y K

9

4. ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK





A számolási készség fejlesz-tése az adott helyhez tartozófüggvényértékek kiszámításá-val.A következtetési képesség fej-lesztése a függvények tulaj-donságainak grafikonról valóleolvasásakor.Összefüggések felismerése.A számfogalom mélyítése afolytonos és a diszkrét válto-zások elemzése során.Az induktív és a deduktívkövetkeztetések gyakorlása:konkrét számokkal és össze-függésekkel megadott függ-vényekről átlépés az általá-nos képletekkel megadottakra,illetve az általánosítás utánazok konkrét alkalmazása.A mindennapi élet problémái-nak, összefüggéseinek leírásaa matematika nyelvén.

Hatványfüggvények,gyökfüggvények.Az inverz függvénykap-csolat.Hatványfüggvények.Gyökfüggvények.

Értéktáblázat készítése zseb-számológéppel.Grafikonok készítése értéktáb-lázat alapján.Poszter készítése csoportmun-kában a hatványfüggvények,illetve a gyökfüggvények gra-fikonjairól a koordinátasík ki-töltésének vizsgálatára.Függvényrajzoló programokhasználata (internet, grafikuskalkulátor).

Az inverz függvény fogalmánakszemléletes értelmezése.Az alábbi hozzárendelésekkel meg-adott függvények ábrázolása és jel-lemzése:x �→ x

2; x �→ x3; x �→

√x

A számolási készség fejlesz-tése az adott helyhez tartozófüggvényértékek kiszámításá-val.A következtetési képesség fej-lesztése a függvények tulaj-donságainak grafikonról valóleolvasásakor.Összefüggések felismerése.A számfogalom mélyítése afolytonos és a diszkrét válto-zások elemzése során.Az induktív és a deduktívkövetkeztetések gyakorlása:konkrét számokkal és össze-függésekkel megadott függ-vényekről átlépés az általá-nos képletekkel megadottakra,illetve az általánosítás utánazok konkrét alkalmazása.A mindennapi élet problémái-nak, összefüggéseinek leírásaa matematika nyelvén.

Hatványfüggvények,gyökfüggvények.Az inverz függvénykap-csolat.Hatványfüggvények.Gyökfüggvények.

Értéktáblázat készítése zseb-számológéppel.Grafikonok készítése értéktáb-lázat alapján.Poszter készítése csoportmun-kában a hatványfüggvények,illetve a gyökfüggvények gra-fikonjairól a koordinátasík ki-töltésének vizsgálatára.Függvényrajzoló programokhasználata (internet, grafikuskalkulátor).

Az inverz függvény fogalmánakszemléletes értelmezése.Az alábbi hozzárendelésekkel meg-adott függvények ábrázolása és jel-lemzése:x �→ x

2; x �→ x3; x �→

√x

Exponenciális és loga-ritmusfüggvények:Az inverz függvénykap-csolat.Exponenciális függvé-nyek.Logaritmusfüggvények.

Értéktáblázat készítése zseb-számológéppel.Grafikonok készítése értéktáb-lázat alapján.Adatok, összefüggések kere-sése a szakirodalomban és azinterneten a természetben ta-lálható jelenségek, folyamatokexponenciális, illetve loga-ritmikus függvényekkel valóleírására.Függvényrajzoló programokhasználata (internet, grafikuskalkulátor).

Az inverz függvény fogalmánakszemléletes értelmezése.Az alábbi hozzárendelésekkel meg-adott függvények ábrázolása és jel-lemzése:x �→ a

x ; x �→ logax .

Exponenciális és loga-ritmusfüggvények:Az inverz függvénykap-csolat.Exponenciális függvé-nyek.Logaritmusfüggvények.

Értéktáblázat készítése zseb-számológéppel.Grafikonok készítése értéktáb-lázat alapján.Adatok, összefüggések kere-sése a szakirodalomban és azinterneten a természetben ta-lálható jelenségek, folyamatokexponenciális, illetve loga-ritmikus függvényekkel valóleírására.Függvényrajzoló programokhasználata (internet, grafikuskalkulátor).

Az inverz függvény fogalmánakszemléletes értelmezése.Az alábbi hozzárendelésekkel meg-adott függvények ábrázolása és jel-lemzése:x �→ a

x ; x �→ logax .

5. VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA





Valószínűségi és statisztikaiszemlélet fejlesztése.Kommunikációs készség, vita-kultúra fejlesztése állítások éscáfolatok megfogalmazásával.Becslési képesség és a döntésiképesség fejlesztése szeren-csejátékok szabályainak vizs-gálata során.A számolási készség fejlesz-tése.

Valószínűségszámítás.Kombinatorikus valószí-nűség.Binomiális eloszlás.Klasszikus valószínű-ségi modell.Valószínűség és statisz-tika.

Visszatevéses és visszatevésnélküli mintavétel összehason-lítása csoportmunkában vég-zett kísérletekkel.Egyszerű szabályrendszerűszerencsejátékok nyerési esé-lyének elemzése csoportmun-kában, beszámoló az osztályelőtt.

A klasszikus (Laplace-) modell is-merete.Szemléletes kapcsolat a relatív gya-koriság és a valószínűség között.Valószínűségek kiszámítása vissza-tevéses mintavétel esetén, binomiáliseloszlás.

Valószínűségi és statisztikaiszemlélet fejlesztése.Kommunikációs készség, vita-kultúra fejlesztése állítások éscáfolatok megfogalmazásával.Becslési képesség és a döntésiképesség fejlesztése szeren-csejátékok szabályainak vizs-gálata során.A számolási készség fejlesz-tése.

Valószínűségszámítás.Kombinatorikus valószí-nűség.Binomiális eloszlás.Klasszikus valószínű-ségi modell.Valószínűség és statisz-tika.

Visszatevéses és visszatevésnélküli mintavétel összehason-lítása csoportmunkában vég-zett kísérletekkel.Egyszerű szabályrendszerűszerencsejátékok nyerési esé-lyének elemzése csoportmun-kában, beszámoló az osztályelőtt.

A klasszikus (Laplace-) modell is-merete.Szemléletes kapcsolat a relatív gya-koriság és a valószínűség között.Valószínűségek kiszámítása vissza-tevéses mintavétel esetén, binomiáliseloszlás.


C M Y K

10

AJÁNLOTT SZEMPONTOK A TANULÓI TELJESÍTMÉNYEKÉRTÉKELÉSÉHEZ

A matematikában az értékelésnek különösen fontos szerepe van. A diagnosztizáló felmérők segítségével felmér-hető, hogy a tanulók eljutottak-e arra a szintre, ahonnan tanulmányaikat továbbfolytathatják. A mérés elvégzéseután célszerű az adott anyagrészben a továbbiakban differenciáltan foglalkozni a tanulókkal.

Az ellenőrzés, értékelés típusa függ az értékelni kívánt anyagrész tartalmától és nagyságától. Kisebb anyagré-szek lezárásakor célszerű röpdolgozatot íratni, amelyet nem kell feltétlenül osztályozni. Visszacsatolást adhat atanárnak és a diákoknak egyaránt a hiányosságok meglétéről, azok pótlása vagy folyamatosan végezhető, vagya nehéznek tűnő anyagrésszel való foglalkozást „pihentetve” később lehet visszatérni arra.

A jelentősebb fejezetek lezárásakor témazáró felmérő íratása javasolt. Az egyes feladatok megoldását pontozássaljavasolt értékelni, ügyelve a helyes részeredmények pozitív értékelésére is. Így az osztályzatot egyértelműen, agyerekek, a szülők számára is érthető százalékos eredmények határozzák meg. A felmérő a továbbhaladáshozszükséges ismereteket kérje számon.

Az érettségire való felkészülés során a tanulók írjanak 45 + 135 perces felmérőket korábbi évek érettségi fela-datsorai alapján, hogy ezzel a vizsgaformával ne az érettségin találkozzanak először.

Szóbeli megnyilvánulás az egyéni feleleten kívül a projektmunkák bemutatása, amelyek a tanári gyakorlatnakmegfelelően értékelhetők, jó ponttal vagy hagyományos osztályzattal. Fontos, hogy a csoport minden tagja ké-pességei szerint dolgozzon, és ugyanazt az osztályzatot kapja.

A 11. évfolyamos tananyag beosztása

Éves óraszám: 111

Heti óraszám: 3

A szabadon hagyott órák száma: 12

Kombinatorika (8 óra)

A hatványozás kiterjesztése, hatvány-, gyök- ésexponenciális függvények (15 óra)

Vektorok, szinusz- és koszinusztétel (17 óra)

Koordinátageometria (18 óra)

A logaritmus fogalma, a logaritmusfüggény (13 óra)

Egyenletek: exponenciális, logaritmikus,trigonometrikus (19 óra)

Valószínűségszámítás (9 óra)

Taneszközjavaslatok

A tanterv alkalmazható bármilyen középiskolai tankönyvcsalád mellett, de elsősorban az Apáczai Kiadó általmegjelentetett Matematika a 11. évfolyam számára című tankönyv igazodik hozzá, melynek alkotószerkesztőjeCsatár Katalin, szerzői: Kornai Júlia, Kovács Előd, Lövey Éva, Pálovicsné Tusnády Katalin, Schubert Mihály.

A könyvsorozat minden tanévre két kötetből áll. A kötetek külön-külön egy félév tananyagát és az ahhoz csatla-kozó feladatgyűjteményt tartalmazzák. Ezeken kívül az egyes kötetekhez tanári kézikönyv is tartozik, melybenaz Apáczai Kiadó kompetenciaalapú akkreditált kerettanterve, valamint a tanmenetjavaslat található meg. A kézi-könyv változatos didaktikai ötleteket, részletes feladatmegoldásokat tartalmaz, továbbá játék- és eszközleírások,projekt feladatokra vonatkozó javaslatok is szerepelnek benne.

Rendszeresen használható eszközök:

– írásvetítő,

– mágnestábla,

– négyzethálós tábla,


C M Y K

11

– szerkesztőeszközök,

– zsebszámológép,

– számítógép, projektor (oktatóprogramokkal, a matematika oktatását segítő szoftverekkel, internet adta lehe-tőségekkel)

– aktív tábla.

Témánként ajánlott eszközök

Algebra

Négyjegyű függvénytáblázat

Zsebszámológép

Függvények

Milliméterpapír

Színes ceruzák

Geometria

Fóliák

Milliméterpapír

Szerkesztőeszközök

Színes ceruza

Kombinatorika, valószínűség-számítás

Dobókockák, dobótestek

Pénzérmék

Magyar kártya

Urna, számkártyák, számozott golyók


C M Y K

12

Kombinatorika1–2. óra: Ismétlés nélküli permutáció

3. óra: Ismétléses permutáció

4. óra: Ismétlés nélküli variáció

5. óra: Ismétléses variáció

6. óra: Ismétlés nélküli kombináció

7–8. óra: Vegyes feladatok

A kombinatorika témakör hat alfejezetére (Ismétlés nélküli permutáció, Ismétléses permutáció, Ismétlés nélkü-li variáció, Ismétléses variáció, Ismétlés nélküli kombináció, Vegyes feladatok) 8 tanóra áll rendelkezésre azApáczai Kiadó kerettanterve szerint. Mivel a Vegyes feladatok fejezetben a tanult ismeretek nagy része szere-pel, mindenképpen javasolt két tanórát szánni rá. A fennmaradó egy tanórát talán érdemes az ismétlés nélkülipermutációkra fordítani azért, hogy a fejezet elején ne legyen túl gyors a tempó.

Mire építünk?

9. évfolyamon szerepelt már a kombinatorika témakör (akkor szintén 8 óra állt rendelkezésünkre), melyneksorán a tapasztalatszerzés állt a középpontban, csupán nagyon egyszerű képleteket alkottunk a tapasztalatokból.Könnyebb sorba rendezési feladatokkal ismerkedtünk, ismétlődő elemek esetén egyszerű példákat oldottunk meg.Emellett kiválasztási feladatokkal foglalkoztunk, de csak két vagy három elem kiválasztásáról esett szó.

10. évfolyamon nem foglalkoztunk kombinatorikával, de a valószínűség-számítás tanulásakor oldottunk megkombinatorikai feladatokat, például a klasszikus valószínűségi modell alkalmazásakor.

Meddig jutunk el?A binomiális tétel kivételével az érettségi követelményekben megfogalmazott témák mindegyikét tárgyalja afejezet.

Érettségi követelmények

Középszinten

• Meg tudjon oldani egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat.

• Ki tudja számolni a binomiális együtthatókat.

Emelt szinten

Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a permutációk, variációk (ismétlés nélkül és ismétléssel), kombinációk (ismét-lés nélkül) kiszámítására vonatkozó képleteket.

Ismerje és alkalmazza a binomiális tételt.

A fejezet fejlesztési céljai

Számolás, számlálás fejlesztése halmazok elemeinek különböző tulajdonságok alapján való tudatos, tervsze-rű összeszámlálása révén. Az induktív és deduktív gondolkodás fejlesztése (konkrét esetek összeszámlálásaalapján általánosítással, illetve általános összefüggések konkrét feladatban való alkalmazásával). A kombina-torikus gondolkodás fejlesztése. Együttműködésre nevelés egymás munkájának ellenőrzése és az eredményekbemutatása révén. A pontos szövegértésre nevelés.

„Legyen jártas alapvető kombinatorikus gondolatmenetek alkalmazásában, s legyen képes ennek segítségévelgyakorlati sorbarendezési és kiválasztási feladatok megoldására.”

(Részletes érettségivizsga-követelmény, kompetenciák)

Kombinatorika

TEX 2012. február 20. – (1. lap/13. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (K01KOMB)

C M Y K

13

Ajánlott tevékenységi formák és módszertani javaslatokTapasztalatszerzés csoportmunkában kis elemszámú halmazok elemeinek sorba rendezése és különböző fel-tételeknek megfelelő kiválasztása alapján. Az ismétléses és az ismétlés nélküli esetek különbségének fel-fedezése páros munkában permutációra és variációra vezető feladatokban. Viták kezdeményezése. Érvek ésellenérvek megfogalmazása. Játék. A feladatok megoldása előtt érdemes becslést kérni a tanulóktól a várhatóeredményre. Ekkor fognak igazán rádöbbeni a szorzattal, hatványozással kapott óriási számokra.

1–2. óra: Ismétlés nélküli permutáció

Tk.: 5–12. oldal, 1–11. feladatFgy. 1–12. feladat

A feladatok nagy részéhez csak Pn = n! ismeretére van csak szükség. Néhány esetben arra kell figyelni, hogy0-val nem kezdődhet természetes szám (ez alól csak maga a 0 a kivétel). Azoknál a feladatoknál, ahol köralakba rendezzük az elemeket, eltérőnek tekintünk két sorrendet, ha legalább egy dolog legalább egy jobboldali vagy bal oldali szomszédja eltérő. Eszerint A, B és C kétféleképpen rakható körbe annak ellenére,hogy a két körberendezés esetén mindenkinek ugyanazok a szomszédjai.

Bár 9. évfolyamon már volt róla szó, ismételten felhívhatjuk a tanulók figyelmét arra, hogy óriási számokkaldolgozunk. A tanulók általában megdöbbennek azon, hogy már 8! is 40 20, és gyakran 50! vagy 100! szerepela feladatokban. Szánjunk egy kis időt arra, hogy megbeszéljük, hogy a legtöbb számológép miért „akad ki”már a 70! értékénél is. (Később is találkozhatnak a tanulók hasonló helyzetekkel, például amikor kiderül,hogy binomiális eloszlás esetén hiába ismerünk egy valószínűséget pontosan, nem tudjuk kiszámolni.)

Mindenképpen tudatosítsuk, hogy 0! definíció szerint 1, mert ez később problémát okozhat (például egyestanulók azt gondolhatják, hogy 0-val is lehet osztani).

Feladatok

1. Számold ki az alábbi kifejezések számértékét!a) 6! = 720 b) 0! = 1

c) 6! − 5! = 5! · (6 − 1) = 5! · 5 = 600 d)6!5!

=5! · 6

5!= 6

e)(

65

)! Nem értelmeztük. A feladat azért szerepel, hogy újra felhívjuk a figyelmet az n! definíciójára. Ugyanak-

kor létezik a Γ-függény (gamma-függvény), melyet a faktoriális általánosításának tekinthetünk, de csak egye-temen találkozhatnak vele a tanulók.

f) 6! · 6! = 518 400

g) (62)! = 36! Óriási szám. Hozzávetőlegesen 3�72 · 1041. Megemlíthetjük, hogy a Föld atomjainak száma hoz-závetőlegesen 1051.

h)21!19!

= 20 · 21 = 420 i)32!29!

= 30 · 31 · 32 = 29 760.

2. Hozd egyszerűbb alakra!

a)(n + 2)!n!

= (n + 1) · (n + 2) b)(n − 1)!(n − 2)!

= n − 1 c)1!

(n + 1)!− 1n!

= − n

(n + 1)!

Megemlíthetjük, hogy n mindenhol olyan természetes számot jelöl, hogy az adott kifejezés értelmezve legyen.

3. Hány olyan nyolcjegyű számot írhatunk fel a

a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 8! = 40 320

Kombinatorika


C M Y K

14

b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek felhasználásával, amelyben minden számjegy csak egyszer fordulelő? Ezek közül hány osztható 5-tel? Az összes esetből levonjuk azoknak a sorrendeknek számát, ahol 0állna az első helyen: 8! − 7! = 35 280. (Úgy is gondolkodhatunk, hogy az első helyen csak 7-féle számjegylehet, utána tetszőleges a sorrend: 7 · 7! = 35 280.)

Ezek közül azok oszthatók 5-tel, amelyek 5-re vagy 0-ra végződnek. 5-re végződőből 6 · 6! = 4320 darab van(vagy másképp gondolkodva: 7! − 6! = 4320), 0-ra végződőből 7! = 5040. Összesen tehát 9360.

4. Hét lexikon közül kettő egykötetes, három kétkötetes, újabb kettő háromkötetes.

Hányféleképpen helyezhetjük el a 14 kötetet a könyvespolcon, ha azt akarjuk, hogy az összetartozókötetek egymás mellé kerüljenek? A lexikonok sorrendje 7! lehet, az egyes köteteket 2, 2, 2, 3!, 3!-féleképpencserélgethetjük. Az összes lehetőség tehát: 7! ·2 ·2 ·2 ·3! ·3! = 5040 ·8 ·36 = 1 451 520, döbbenetesen sok elrendezéslétezik.

A 4. feladatnál érdemes először a tanulókkal megbecsültetni a várható eredményt.

5. a) Hány olyan tízjegyű szám van, amelyben minden számjegy előfordul? 9 · 9! = 3 265 920

b) Ezek közül hány páros, és hány páratlan? Páratlant kapunk, ha az utolsó számjegy 1, 3, 5, 7 vagy 9.Minden egyes esetben 9! − 8! = 8 · 8! lehetőségünk van, hiszen a 0 nem kerülhet az első helyre. Összesen5 · 8 · 8! = 40 · 8! = 1 612 800 páratlan szám van.

A párosak száma 9 · 9! − 40 · 8! = 9 · 9 · 8! − 40 · 8! = 41 · 8! = 1 653 120, azaz a tízjegyű számok nagyobbrésze páros szám, és nem a fele páros és a másik fele páratlan, ahogy a legtöbb tanuló gondolná.

c) Ha egyet véletlenszerűen kiválasztunk közülük, párost vagy páratlant kapunk nagyobb eséllyel? Mek-

kora ez az esély? Páros számot kapunk41 · 8!9 · 9!

=41 · 8!9 · 9 · 8

=4181

eséllyel, páratlant 1 − 4181

=4081

eséllyel.

Kicsit nagyobb eséllyel kapunk páros számot.

6. 10 különböző gyöngyből hányféleképpen készíthető két fülbevaló, ha legalább 9 gyöngyöt felhasználunk?9 vagy 10 gyöngyöt használunk fel. Két fülbevalót kell készíteni, ezért nem tekintjük fülbevalópárnak azt az esetet,amikor az egyik fülbevaló 0 gyöngyből áll. 9 gyöngyöt 9!-féleképpen fűzhetünk fel, majd elvághatjuk az 1., 2., 3.,4. gyöngynél. Minden esetben 9! fülbevalópárhoz jutunk: összesen 4 · 9! = 1 451 520 eset van. (Az 5., 6., 7., 8.gyöngy utáni szétvágás nem ad új párt.)

Ha 10 gyöngyöt használunk fel, 10! párt ad az 1., 2., 3., 4. gyöngy után való szétvágás. Az 5. gyöngynél való

szétvágás viszont csak ennek a felét:10!2

esetet (a „szimmetria” miatt). Így 10 gyönggyel 4�5 ·10! = 16 329 600 pár

készíthető. Összesen 1 451 520 + 16 329 600 = 17 781 120 lehetőségünk van.

7. Annának kedden 5 órája van, mégpedig matematika (M), német (N), testnevelés (T), angol (A) és biológia(B). Tudjuk, hogy a matematikaórát testnevelés követi, és az utolsó óra német.

Írja le Anna keddi órarendjének összes lehetőségét! A megkötések miatt vigyáznunk kell. Az N-et az utolsóhelyre rögzítjük, és az MT párt „összeragasztjuk” ebben a sorrendben. Így 3! = 6 lehetőséget kell felsorolnunk.A lehetőségek: MTABN, MTBAN, AMTBN, BMTAN, ABMTN, BAMTN.

(Matematika középszintű érettségi feladat, 2010)

8. Egy iskolának mind az öt érettségiző osztálya egy-egy táncot mutat be a szalagavató bálon. Az A osztálypalotást táncol, ezzel indul a műsor. A többi tánc sorrendjét sorsolással döntik el.

Hányféle sorrend alakulhat ki? Válaszát indokolja! 4 táncot sorsolnak ki, 4! = 24 lehetőség van.(Matematika középszintű érettségi feladat, 2005)

9. Egy zenekar 9 koncertből álló turnét szervez. A helyszíneket és időpontokat már kiválasztották, de mégnem döntöttek arról, hogy mikor hol játszanak.

Hányféle lehetőségük van, ha

a) nincs semmi megkötés; 9! = 362 880

Kombinatorika


C M Y K

15

b) eldöntötték már, hogy melyik négy városban lesz az első négy koncert, de azoknak a sorrendjérőlmég nem született döntés; Az első 4 koncert sorrendje 4!, az utolsó öté 5! lehet. A lehetőségek száma:4! · 5! = 24 · 120 = 2880.

c) az 5. koncert és a záró koncert helyszíne már biztos? 7 koncert esetén lehetséges még döntés: 7! = 5040lehetőség van.

10. Hányféleképpen ültethető le 12 ember egy

a) egyenes asztal egyik oldalára; P12 = 12! = 479 001 600

b) kör alakú asztalhoz, ha csak az a fontos, hogy az egyes embereknek ki a bal oldali és a jobb oldaliszomszédjuk? P12�c = 11! = 39 916 800

11. Hányféleképpen lehet egymás mellé sorba rakni

a) 8 fehér és a 8 fekete gyalogot, ha egymás után különböző színű bábukat kell letenni, és csak a színük-re vagyunk tekintettel? Az elsőnek fehéret és feketét is választhatunk, utána már nincs döntési lehetőségünk:2 eset van.

b) 8 fehér és a 8 fekete gyalogot, ha egymás után különböző színű bábukat kell letenni, és az egyesbábukat meg tudjuk különböztetni? Az a) feladat szerint sorba rakjuk a bábukat, utána a fehéreket is és afeketéket is 8!-féleképpen megcserélhetjük. 2 · 8! · 8! = 3 51 04 00 lehetőség van.

c) a magyar kártya 8 piros és 8 zöld lapját, ha egymás után különböző színű lapokat kell tenni (a meg-egyező színű kártyák minden lapja különböző)? Az első lap piros és zöld is lehet. Minden második piros,minden második zöld. 8! sorrendje lehet a pirosaknak és a zöldeknek is. Összesen 2 · 8! · 8! = 3 251 404 800lehetőség van.

3. óra: Ismétléses permutáció

Tk.: 12–16. oldal, 1–7. feladatFgy.: 13–21. feladat

Ismétlődő elemek sorba rendezésével már 9. évfolyamon is foglalkoztunk. A fejezetben újdonság, hogy el-

jutunk a P (k1� mk2� �� kr )n =

n!k1! · k2! · � � � · kr !

képlethez, majd használjuk is.

Figyeljünk arra, hogy a feladatok megoldása során lehetőleg ne a képletet „húzzák rá” a tanulók a feladatra,hanem gondolják végig a szövegben rejlő információkat.

Feladatok

1. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a hajnalhasadás szó betűit? A hajnalhasadás 13 betűs szó, 4 a betű,

2 h, 2 s található benne, a többi betű egyszer szerepel. Az ismétléses permutációk száma: P (4� 2� 2)13 =

13!4! · 2! · 2!

=

= 64 864 800.

2. Négy darab 2-esből és három darab 9-esből hány különböző

a) hétjegyű; P (4� 3)7 =

7!4! · 3!

= 35

b) hétjegyű páros; Az utolsó helyre 2-es kerül, a maradék 6 számjegy (2, 2, 2, 9, 9, 9) sorrendje: P (3� 3)6 =

=6!

3! · 3!= 20.

Kombinatorika


C M Y K

16

c) hatjegyű szám rakható ki? Ha egy 2-est hagyunk el, P (3� 3)6 =

6!3! · 3!

= 20 lehetőség van, ha egy 9-est, akkor

P(4� 2)6 =

6!4! · 2!

= 15. Összesen 20 + 15 = 35 különböző hatjegyű szám rakható ki.

3. a) Hány nyolcjegyű szám alkotható az 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3 számjegyekből? P(3� 4)8 =

8!3! · 4!

= 280

b) Ezek közül hány páratlan? A párosak száma (amikor 2 van az utolsó helyen, a többi számjegy helyzete

tetszőleges): P (3� 4)7 =

7!3! · 4!

= 35. Így a páratlanok száma: 280 − 35 = 245.

4. a) Hány nyolcjegyű szám alkotható a 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3 számjegyekből? Az összes sorrend számából

levonjuk a 0-val kezdődők számát: P (2� 3� 2)8 − P

(2� 3)7 =

8!2! · 3! · 2!

− 7!3! · 2!

= 1680 − 420 = 1260 nyolcjegyű

szám képezhető.

b) Hány nyolcjegyű páratlan? Páratlant kapunk, ha az utolsó jegy 1-es vagy 3-as. Ha az utolsó számjegy 1-es,

a megmaradó 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3 számjegyekből P (2� 2� 2)7 − P

(2� 2)6 =

7!2! · 2! · 2!

− 6!2! · 2!

= 630 − 180 = 450

szabályos (nem 0-val kezdődő) szám készíthető. Ha az utolsó számjegy 3-as, a megmaradó 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3

számjegyekből P (2� 3)7 − P

(3)6 =

7!2! · 3!

− 6!2! · 2!

= 420 − 120 = 300 természetes szám rakható ki. Az összes

lehetséges páratlan szám száma: 450 + 300 = 750.

5. Három pakli magyar kártyából kivettük a királyokat. Hányféleképpen rakhatók ezek sorrendbe? (Egypakliban egy-egy zöld, piros, tök és makk király van.) 12 lapunk van, közülük 3–3–3–3 egyforma. A permu-

tációk száma: P (3� 3� 3� 3)12 =

12!3! · 3! · 3! · 3!

= 369 600.

6. a) Hányféleképpen tölthetjük ki a totó 13 + 1 meccsét, ha hat 1-es, öt X és három 2-es tippet akarunk

tenni? P(6� 5� 3)14 =

14!6! · 5! · 3!

= 168 168

b) Hány lehetőségünk van, ha az utolsó, (13 + 1)-edik meccsre 2-est teszünk? Ha az utolsó meccs 2-es,

akkor P (6� 5� 2)13 =

13!6! · 5! · 2!

= 36 036 a lehetséges kitöltések száma.

7. Hányféleképpen lehet felmenni egy kilenc fokú lépcsőn, ha háromszor egyet és háromszor kettőt lépünk?

Másképp fogalmazva: hányféle lehet 3 darab egyes és 3 darab kettes sorrendje? P(3� 3)6 =

6!3! · 3!

= 20

4. óra: Ismétlés nélküli variáció


A fejezetben zömmel a Vkn =

n!(n − k )!

képletet használjuk. Találkozhatnak a tanulók100!90!

-hoz hasonló

képletekkel, amelyeket a számológép nem tud kiszámolni, mert a számláló és a nevező is nagyon nagy. Hív-juk fel a figyelmüket, hogy egyszerűsítés után néhány megmaradó tényező összeszorzásával megkaphatjuka végeredményt. Ebben a fejezetben is kerüljük a képlet használatát, ha lehet, akkor inkább gondolkodvaoldjuk meg a feladatokat.

Feladatok

1. Hány olyan háromjegyű szám képezhető az

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6 · 5 · 4 = 120

Kombinatorika


C M Y K

17

b) 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, melynek minden jegye különböző? 5 · 5 · 4 = 100 vagy más gondolatme-nettel: 6 · 5 · 4 − 5 · 4 = 100

2. Hányféle díjazás valósulhat meg egy 100 fős futóversenyen, ha az első 10-et jutalmazzák, és a díjak

eltérőek? V 10100 =

100!(100 − 10)!

=100!90!

= 6�28 · 1019

3. Hányféle díjazás valósulhat meg egy versenyen, ha korcsoportonként három-három különböző díjat osz-tanak ki, és 10 éven alul 15-en, a 11–14 éves korosztályban 20-an, a 15–18 éves korosztályban 17-en

vannak, és mindenki legfeljebb egy díjat nyerhet? V 315 · V 3

20 · V 317 =

15!12!

· 20!17!

· 17!14!

=15 · 20!

12!≈ 7�62 · 1010

Felhívhatjuk a tanulók figyelmét az egyszerűsítés lehetőségére.

4. Minden történelemóra 3 tanuló feleltetésével kezdődik.

a) Hányféleképpen történhet ez, ha az osztálylétszám 26? V 326 =

26!23!

= 26 · 25 · 24 = 15 600

b) Hányszor nagyobb Zsolti felelési esélye, ha két hiányzó van a töriórás napon? Ha 26-an vannak, annak

esélye, hogy Zsolti nem felel:25 · 24 · 2326 · 25 · 24

=2326

, annak az esélye, hogy Zsolti felel: 1 − 2326

=3

26. Ha két

hiányzó van, akkor ez az esély 1 − 23 · 22 · 2124 · 23 · 22 =3

24. Az esély

2624

-szeresére nő, vagyis mindössze

8�3%-kal nő (azaz nem változik számottevően).

A megoldás során a klasszikus valószínűségi modellt alkalmaztuk. Tudjuk, hogy a gyakorlatban (és perszeaz adott feladatban is ez a helyzet) ez nem feltétlenül tehető meg.

5. 10 pár száll fel a buszra. Hányféle lehet az első 8 ember sorrendje, ha

a) nincs semmilyen megkötés; V 820 =

20!(20 − 8)!

=20!12!

= 5 079 110 400

b) a párok egymás után jönnek, és mindig a nő száll fel először? 10 nő van, közülük az első négy sorrendjét

kell csak nézni: V 410 =

10!6!

= 5040.

6. Egy tizenegyespárbaj során 5 játékos rúg büntetőt. Az edző kijelöli a játékosokat és a sorrendet is.

a) Hányféleképpen teheti ezt meg, ha abból a 11 játékosból kell választania, aki a lefújáskor a pályán

volt? V 410 =

10!6!

= 55 440

b) Hány lehetősége van, ha a kapus nem rúg büntetőt? V 510 =

10!5!

= 30 240

c) Hány lehetősége van, ha már előre eldöntötte, hogy ki rúgja az első tizenegyest? 10 játékos közül fog

4 lőni, és a sorrend is számít: V 410 =

106!

= 5040.

7. a) A 3, 4, 5, 6, 7 számjegyekből hány négyjegyű szám készíthető, ha egy számjegyet legfeljebb egyszerhasználunk fel? V 4

5 = 5! = 120.

b) Ezek között hány olyan van, amely nagyobb 5000-nél, illetve amely 4-gyel osztható? Az első számjegy5, 6 vagy 7 lehet. Bármelyiket választottuk is, 4 · 3 · 2 = 24-féleképpen választhatjuk meg a többi számjegyet.Így összesen 3 · 4 · 3 · 2 = 72 000-nél nagyobb szám van. A számnak 76-ra, 64-re, 56-ra vagy 36-ra kellvégződnie. Mindegyik esetben 3 · 2 = 6-féleképpen választható meg az első két számjegy. Tehát 4 · 6 = 24darab 4-gyel osztható szám képezhető.

Kombinatorika


C M Y K

18

5. óra: Ismétléses variáció


Érdemes a totó játékszabályait elmondani a tanulóknak. Arra is érdemes időt fordítani, hogy megbeszéljük,számológéppel hogyan tudunk hatványozni.

Feladatok

1. Hány hétjegyű szám írható fel

a) az 1, 2, 3, 4; V 7(i)4 = 47 = 16 384

b) a 0, 1, 2, 3 számjegyek felhasználásával? 3 · V 6(i)4 = 3 · 46 = 12 288, mert az első számjegy nem lehet 0.

2. Hányféleképpen lehet kiosztani 7 különböző labdát 11 játékosnak, ha egy játékos több labdát is kaphat?

Mindegyik labdát 11 játékos kaphatja: V (7(i)11 = 117 = 19 487 171.

3. A 4, 5 számjegyekből hány olyan hatjegyű szám írható fel, amelyben

a) van 5-ös; Mivel mindegyik számjegy 2-féle lehet, ezért 26 = 64 kétjegyű szám alkotható. Ezek közül egyolyan van, amelyben nincs 5-ös (a 444 444), tehát 63 számban van.

b) van 4-es is, és 5-ös is? Két olyan van, amelyben nincs 4-es és 5-ös is: a 444 444 és az 555 555. Így tehát64 − 2 = 62 számban mindkettő szerepel.

4. A 4, 5, 6 számjegyekből hány olyan hatjegyű szám írható fel, amelyben

a) van 5-ös? 36 = 729 hatjegyű szám írható fel a 4, 5, 6 számjegyekkel. 26 = 64 olyan van, amely csak 4-esbőlés 6-osból áll. 729 − 64 = 665 számban van tehát 5-ös.

b) van 4-es is, és 5-ös is? (Idézd fel, mit tanultál a „logikai szitáról”!)

1. megoldás: Legyen A a 4-est, B az ötöst tartalmazó számok halmaza! |A∪B | = |A| + |B | − |A∩B |. Innen|A∩B |-t kell kiszámolnunk. |A∪B | = 729 − 1 = 728, mert csak 1 olyan szám van (a 666 666), amely egyiketsem tartalmazza. Az a) feladat értelmében |A| = |B | = 66. Innen |A ∩ B | = 665 + 665 − 728 = 602 számtartalmaz 4-est és 5-öst is.

2. megoldás: Az a szám rossz számunkra, amelyikben nincs 4-es vagy nincs 5-ös; |A ∪ B | = |A| + |B | −− |A ∩ B | = 26 + 26 − 1 = 127. Vagyis 729 − 127 = 602 darab hatjegyű szám (az összes számából a rosszakszáma) lesz jó számunkra.

5. Hány olyan tippsorozat van a totón, amelyben van egyes? 14 meccset tekintünk. Az összes kitöltési lehető-

ség: V 14(i)3 = 314. Rossz, amikor minden tipp 2 vagy X (azaz 2-féle): 214 ilyen van. A jó tippsorozatok száma:

314 − 214 = 4 782 969 − 16 384 = 4 766 585.

6. a) Hány hétjegyű természetes szám van? 9 · 106, mert az első számjegy nem lehet 0.

b) Hány osztható közülük 5-tel? 9 · 105 · 2, mert az első számjegy nem lehet 0, az utolsó két számjegy pedigvagy 0, vagy 5.

c) Hány páros közülük? 9 · 105 · 5, mert az utolsó jegy páros.

d) Hány tartalmaz közülük 3-ast? 9 · 106 − 8 · 96 = 4 748 472, mert az összes lehetőségből elhagyjuk a 3-t nemtartalmazókat.

e) Hány nagyobb közülük 5 milliónál? 5 ·106 olyan hétjegyű szám van, amely legalább 5 milliós, mert az első

számjegy 5, 6, 7, 8, 9 lehet (azaz 5-féle), a többi bármi. 5 · 106 − 1 olyan van, amely nagyobb, mint 5 millió.

Másképp is gondolkodhatunk: 9 999 999 − 5 000 000 = 4 999 999.

Kombinatorika


C M Y K

19

7. Hány különböző háromjegyű szám képezhető az ötös számrendszerben? Az 5-ös számrendszerben a szám-

jegyek: 0, 1, 2, 3, 4 (5-féle). A legnagyobb helyi értéken 0 nem szerepelhet, ezért 4 · 52 = 100 háromjegyű számképezhető.

8. Egy matematika-tesztversenyen 30 feladat van. Arról kell döntenie a versenyzőnek, hogy a megadott A,B , C , D , E válaszok közül melyiket tartja helyesnek. Mindenhol egy választ kell bejelölnie.

Hányféleképpen töltheti ki a válaszlapot? Minden válasz 5-féle lehet. V (30(i)5 = 530 ≈ 9�31 · 1020 – Hívjuk fel

a tanulók figyelmét, milyen hihetetlenül nagy szám az eredmény!

6. óra: Ismétlés nélküli kombináció


9. évfolyamon találkoztunk olyan feladatokkal, amelyekben két vagy három elemet kiválasztottunk úgy, hogynem számított a kiválasztás sorrendje. Képleteket is alkottunk ezekre az esetekre. Ebben a fejezetben ezeketáltalánosítjuk.

Érdemes a lottó szabályait felfrissíteni, a tanulók között biztosan van, aki többféle lottót is ismer. Ennekkapcsán hangsúlyozhatjuk, hogy eddig mindig fontos volt a sorrend (nem mindegy például, hogy kié azaranyérem, és kié az ezüst), most viszont nem az. (Illetve előfordul, hogy nem is beszélhetünk sorrendről,mert egyszerre választunk ki dolgokat.) Megemlíthetjük, hogy – a permutációhoz és a variációhoz hasonlóan– itt is van ismétléses eset, de azzal nem foglalkozunk.

Érdemes pár percet szánni a számológépen az nCr funkció megismerésére, rendkívül sok időt spórolhatnaka tanulók a használatával.

Feladatok

1. Egy 16 fős csoportban 5 egyforma ajándékot sorsolnak ki. Hányféle eredmény születhet, ha mindenkicsak egy ajándékot kaphat? Mivel egyformák az ajándékok, mindegy, hogy milyen sorrendben választjuk ki a

csoporttagokat. A lehetőségek száma:(

165

)= 4368.

2. Egy 16 fős csoportban 9 fiú van, és 5 egyforma ajándékot sorsolnak ki köztük.

Hányféleképpen történhet ez meg, ha mindenki csak egy ajándékot kaphat, és a fiúk

a) pontosan három; A 7 lány közül 2 kap ajándékot, őket

(72

)= 21-féleképpen, a 9 fiú közül 3-at pedig

(93

)= 84-féleképpen választhatunk ki. A lehetőségek száma: 21 · 84 = 1764.

b) legalább három ajándékot kapnak? A fiúk 3 vagy 4 vagy 5, ennek megfelelően a lányok 2, 1 vagy 0ajándékot kapnak.(

93

)·(

72

)+

(94

)·(

71

)+

(95

)·(

70

)= 84 · 21 + 126 · 7 + 126 · 1 = 1764 + 882 + 126 = 2772.

3. a) Hány különböző konvex 7-szöget határoznak meg a szabályos 12-szög csúcsai? Bármelyik hét csúcs

meghatároz egy, és csakis egy konvex 7-szöget. Összesen(

127

)= 792 konvex 7-szöget határoznak meg a

csúcsok.

Kombinatorika


C M Y K

20

b) Hány különböző konvex 712-szöget határoznak meg a szabályos 1123-szög csúcsai? Bármelyik 712

csúcs meghatároz egy konvex 712-szöget, és csak egyet. Összesen

(1123712

)konvex 712-szöget határoznak

meg a csúcsok. Bár a pontos értéket a binomiális együtthatóval megadtuk, olyan óriási számról van szó, hogynem tudjuk számológéppel kiszámolni.

4. a) Feldobunk egy szabályos érmét 10-szer, és a kapott eredményt (fej vagy írás) lejegyezzük. Hány

olyan jelsorozat van, amelyben 0, 1, 2, 3, � � � , 9, 10 fej van?(

100

),

(101

),

(102

),

(103

), � � � ,

(109

),

(1010

)azaz 1; 10; 45; 120; 210; 252; 210; 120; 45; 10; 1 a jelsorozatok száma, hiszen ennyiféleképpen tudjuk

kiválasztani a 10 hely közül azt, ahová fej kerül. Megjegyzés: észrevehetjük, hogy minden esetben két vá-lasztási lehetőség van, ezért az összes eset 210 = 1024, ezt az egyes esetek összegzése után fedeztessük fel a

tanulókkal. Rövidebben: k darab fej(

10k

)jelsorozat esetén lesz (k = 0� 1� 2� � � � � 9� 10).

b) Hány fej bekövetkezésére fogadnál? Ha k = 0, 1, 2, � � � , 9, 10 lehet, akkor(

10k

)a legnagyobb értékét

k = 5-nél veszi fel. Vagyis öt fej bekövetkezésére érdemes fogadni.

5. A számegyenesen a 0-ra rakunk egy bábut. Egy szabályos pénzérmével 10-szer dobunk, és fej eseténegyet jobbra, írás esetén egyet balra lépünk.

a) Mely számokra juthatunk el? Hányféle úton?

b) Mi a köze ennek a feladatnak a 4. feladathoz?

c) Melyik számon állunk majd a legnagyobb eséllyel 10 lépés után?

A fej és az írás dobások száma az F + I = 10 miatt csak azonos paritású lehet, így csak a páros mezőkön állhat, a

10. lépés után a −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 mezőn állhatunk.(

100

),(

101

),(

102

),(

103

), � � � ,

(109

),(

1010

)út visz ezekbe a mezőkbe. A feladat szoros kapcsolatban van a 4. feladattal, például ott

(103

)jelsorozat

tartalmazott 3 darab fejet, ez egyúttal 7 írást is jelent, azaz a −4 pontba ennyi út visz. Mivel a feladatban szereplő

binomiális együtthatók közül

(105

)a legnagyobb, ezért a 0-ba kerülünk legnagyobb eséllyel.

A tanulópároknak érdemes lejátszani a 4. és az 5. feladatot. A párok fogadjanak, hogy mi lesz a legesélyesebbaz egyes kérdésekre.

6. A magyar kártyában 32 lap van, kiválasztunk közülük 8 lapot. A kiválasztás sorrendje nem számít.

a) Hányféleképpen tehetjük ezt meg?(

328

)= 10 518 300 lehetőség van.

b) Hányféleképpen fordulhat elő, hogy

A) nincs piros a lapok között; Az összes nem piros lap, azaz 24 lap közül kell nyolcat választani: ez(248

)= 735 471-féleképpen tehető meg.

B) van piros a lapok között;(

328

)−

(248

)= 10 518 300 − 735 471 = 9 782 829 lehetőség van.

C) az összes király a 8 lap között van? Előre kivesszük a 4 királyt, és ezekhez még 4 lapot kell választa-

nunk 28 közül:(

284

)= 20 475 lehetőség van.

Kombinatorika


C M Y K

21

7. A derékszögű koordináta-rendszer origójából egy bábuval többször egymás után jobbra vagy felfelé lé-pünk egyet-egyet.

Hány út vezet

a) az (5; 5), Írjunk J jelet a jobbra lépés és F jelet a felfelé lépés esetén! Így 10 jelünk van, ebből 5 darab J (és

5 darab F). 10 hely közül azt az ötöt, ahova J kerül

(105

)= 252-féleléppen választhatjuk ki, ekkor már az

F-ek helye egyértelmű, ezért 252 a lehetőségek száma.

b) a (7; 3), A 7 J jel 10 helyre

(107

)= 120-féleléppen helyezhető el, ennyi lehetőségünk van. A feladat mind-

három része ismétléses permutációval is megoldható. Most például a JJJJJJJFFF összes lehetséges sorrendje:10!

7! · 3!= 120.

c) a (143; 34) pontba? 177 helyre kell 143 J betűt letenni (a maradék helyekre automatikusan F kerül).(

177143

)≈

≈ 3� 078 · 1036



A fejezetben a tanulóknak az eddig tanultakat kell alkalmazniuk, egy feladaton belül többféle ismeretre isszükségük lehet. Feltétlenül szánjunk időt a kicsit összetettebb feladatok megoldására. A tanmenet 2 órátjavasol, ezt használjuk is ki.

Feladatok

1. Hány pontosan két J betűt tartalmazó ötbetűs szó képezhető a

a) H, J betűkből; Az öt betűhely közül kiválasztjuk azt a kettőt, ahová J kerül: erre(

52

)= 10 lehetőség van. A

megmaradó helyekre H-t teszünk (itt már nincs döntési lehetőségünk).

b) H, J, K betűkből? Lehelyezzük a két J-t, ezt(

52

)= 10-féleképpen tehetjük meg, a fennmaradó 3 hely

mindegyikére 2-2 betű kerülhet. Az összes szó száma: 10 · 2 · 2 · 2 = 80.

2. Hány olyan négyjegyű szám van, amelyben minden számjegy páratlan, és

a) két számjegy megegyezik, a többi ezektől és egymástól különböző; A megegyező két számjegy az 1,

3, 5, 7, 9 közül bármelyik lehet, azaz 5-féle. A megegyezőket(

42

)= 6-féleképpen tehetjük le. A maradék két

helyre 4 · 3 = 12-féleképpen választhatjuk ki a számokat. A lehetőségek száma tehát: 5 · 6 · 12 = 360.

b) két-két számjegy megegyezik?(

52

)= 10-féleképpen választhatjuk ki a két számjegyet, amely ismétlődik.

A négy helyre két-két egyenlő számjegyet(

42

)= 6-féleképpen helyezhetünk el. Összesen tehát 10 · 6 = 60

ilyen szám van.

c) Tegyél fel hasonló kérdéseket! Például: Hány olyan négyjegyű szám van, melynek három megegyező párosés egy páratlan számjegye van?

Kombinatorika


C M Y K

22

3. Mekk mester nyolc egymás mellett lévő ablakot szeretne kifesteni.

Hányféleképpen teheti meg, ha az egymás melletti ablakok nem lehetnek azonos színűek, és 5 különbözőszínű festék áll rendelkezésére? (A festékekből új szín nem keverhető ki.) Az első ablak 5-féle lehet, akövetkezők mindegyike 4-féle (az előzőtől eltérő). Így 5 · 47 = 81 920 lehetősége van a mesternek.

4. A totón minden meccsre 3 tippet (1, 2, X) adhatunk. Az összes lehetséges módon kitöltjük a szelvényeket.a) Hány olyan szelvény lesz, ahol legalább 12 eredményt eltalálunk? 12 vagy 13 vagy 14 meccset találunk

el. 14 meccset egyféleképpen találhatunk el. 13 meccset 13 · 2 = 26-féleképpen, mert 1 meccs eredményét

ronthatjuk el, mégpedig 2-féleképpen. 12 meccs esetén(

142

)· 2 · 2 = 91 · 4 = 364-féleképpen választhatjuk

ki, hogy melyek legyenek az elrontott meccsek, és mindegyik rossz tipp 2-féle lehet. Összesen tehát: 1 + 26 ++ 364 = 391 lehetőség van.

b) Hány 12 találatosunk lesz, ha a totónak azt a szabályát is figyelembe vesszük, hogy a + 1-es mecstalálatát csak akkor fogadják el, ha előtte minden tippünk jó? Az első 13 meccsből 12-t eltaláltunk ésegyet nem. Ezt 13 · 2 = 26-féleképpen tehetjük meg (1 meccs eredményét ronthatjuk el, mégpedig kétféle-képpen, a helyes tippek egyfélék lehetnek). A + 1-es meccsre bármilyen tippet adhatunk, úgysem számít. Azösszes 12-es tippsorozat száma tehát: 26 · 3 = 78.

5. Hány olyan hétjegyű szám van, ahol

a) nincs egymás mellett két megegyező számjegy; Írjuk le a számjegyeket egymás után! Az első jegy 9-félelehet. Minden újabb számjegynek csak az előzőtől kell eltérnie, azaz szintén 9-féle lehet. A lehetőségek száma:97 = 4 782 969.

b) van egymás mellett két megegyező számjegy? Az összes hétjegyű számból elhagyjuk azokat, ahol nincs

egymás mellett két megegyező számjegy, a lehetőségek száma: 9 · 106 − 97 = 4 217 031.

7. Egy szabályos dobókockával ötször dobunk. Hány olyan dobássorozat van, amelyben

a) van 2 egyforma, a többi ezektől és egymástól is különböző; A két egyforma szám 6-féle lehet, és(52

)-féleképpen helyezhető el. A többi szám 5-féle, 4-féle és 3-féle lehet, hiszen nem lehetnek egyformák.

(52

)· 6 · 5 · 4 · 3 = 3600 dobássorozat van.

b) van 3 egyforma, a többi ezektől és egymástól is különböző?(

53

)· 6 · 5 · 4 = 1200 szám van az a) rész

gondolatmenete alapján.

8. Egy szabályos dobókockával ötször dobunk. Hány olyan dobássorozat van, amelyben

a) pontosan három hatos van; A hatosokat

(53

)-féleképpen helyezhetjük le, a másik két dobás ötféle lehet.

(53

)· 5 · 5 = 250 lehetőség van.

b) van három hatos? 3 vagy 4 vagy 5 hatos lehet. Az utóbbiból csak egy dobássorozat van. 4 hatos

(54

)·5 = 25

dobássorozat esetén van. Összesen 250 + 25 + 1 = 276 lehetséges dobássorozat létezik.

9. Egy szabályos dobókockával ötször dobunk, és a kapott számokat leírjuk egymás után.

Hány olyan ötjegyű szám jöhet ki, amelyben páratlan számú hatos van? 1, 3 vagy 5 hatos lehet. Ha 1

hatos van, az 5 helyre kerülhet, a többi szám pedig 5-5-féle lehet (hatos kivételével bármi), így összesen 5 · 54 =

= 3125 lehetőség van. 3 darab hatos esetén

(53

)= 10-féleképpen „helyezhetjük el” a hatosokat. A maradék 2

helyre 52 = 25-féle szám kerülhet. Összesen tehát 10 · 25 = 250 ilyen lehetőség van. Végül 5 darab hatos csak egydobássorozatban jöhet ki. Összesen 3125 + 250 + 1 = 3376 ilyen ötjegyű szám lehetséges.

Kombinatorika


C M Y K

23

10. A szóbeli érettségi vizsgán az osztály 22 tanulója közül az első csoportba öten kerülnek.

a) Hányféleképpen lehet a 22 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba tartozókat?(225

)= 26 334-féleképpen.

Először mindenki történelemből felel.

b) Hányféle sorrendben felelhet történelemből az 5 kiválasztott diák? 5! = 120-féle felelési sorrend lehet-séges.


11. Egy szellemi vetélkedő döntőjébe 20 versenyzőt hívnak be. A zsűri az első három helyezettet és kéttovábbi különdíjast fog rangsorolni. A rangsorolt versenyzők oklevelet és jutalmat kapnak.

a) Az öt rangsorolt versenyző mindegyike ugyanarra a színházi előadásra kap egy-egy jutalomjegyet.

Hányféle kimenetele lehet ekkor a versenyen a jutalmazásnak?(

205

)= 15 504 kimenetele lehet a jutal-

mazásnak.

b) A dobogósok három különböző értékű könyvutalványt, a különdíjasok egyike egy színházjegyet, amásik egy hangversenyjegyet kap. Hányféle módon alakulhat ekkor a jutalmazás? 20 · 19 · 18 · 17 ·

· 16 =20!15!

= 1 860 480-féle jutalmazási sorrend lehetséges.

c) Ha már eldőlt, kik a rangsorolt versenyzők, hányféle módon oszthatnak ki nekik jutalmul öt külön-böző verseskötetet? 5! = 120-féleképpen.

(Matematika középszintű érettségi feladat, részlet, 2006)

12. Októberben az iskolában hat osztály nevezett be a focibajnokságra egy-egy csapattal.

Hány mérkőzést kell lejátszani, ha mindenki mindenkivel játszik, és szerveznek visszavágókat is?6 · 5 = 30 meccset játszanak le összesen.


13. A piacon az egyik zöldségespultnál hétféle gyümölcs kapható. Kati ezekből háromfélét vesz, mindegyik-ből egy-egy kilót.

Hányféle összeállításban választhat Kati? Mivel egyenlő mennyiséget vett, egyik választása sincs kitüntetve,

így

(73

)= 35 összeállítás közül választhat Kati.


14. Hányféleképpen osztható ki egy pakli magyar kártya (32 különböző lap) négy játékosnak, ha mindenki8 lapot kap, és csak az számít, hogy kinek milyen lap van a kezében?

1. megoldás:(

328

)= 10 518 300,

(248

)= 735 471,

(168

)= 12 870 és

(88

)= 1 a lehetőségek száma az egyes

játékosok esetén, az összes lehetőség ezek szorzata ≈ 9�956 · 1016.

2. megoldás: A 32 lapnak összesen 32! sorrendje lehet. Ebből minden játékosnál 8-8 lap van, amelyek sorrendje

nem számít. Az összes lehetőség tehát:32!

(8!)4≈ 9�956 · 1016.

15. Hányféle kiolvasása van az adott szavaknak, ha csak balra és felfelé haladhatunk?

a) Minden lépésnél 2 irányba mehetünk, és 5-ször kell döntenünk, ezért 25 = 32 út van. M

M I

M I A

M I A M

M I A M L

M I A M L Á

M

M I

M I A

M I A M

M I A M L

M I A M L Á

Kombinatorika


C M Y K

24

b) 1. megoldás: A piros I betűkbe 1,(

41

)= 4,

(43

)= 4, illetve 1 út visz. Mindegyik

M

M I

M I A

M I A M

M I A M L

M I A M L Á

M

M I

M I A

M I A M

M I A M L

M I A M L Á

I-ből 2-2 út visz M betűbe. Így a lehetőségek száma (1 + 4 + 4 + 1) · 2 = 20.

2. megoldás: Az üres mezőbe

(42

)= 6 út visz, itt még 2 lehetőség közül választ-

hatnánk. Azaz 6 · 2 = 12 utat veszítettünk el a 32 közül, így 20 maradt.

c) 9 lépésből kiválasztjuk azt a 3-at, amely felfelé visz, a többit balra kell lépni. Y N Á V R Á V

N Á V R Á V I

Á V R Á V I Z

V R Á V I Z S

Y N Á V R Á V

N Á V R Á V I

Á V R Á V I Z

V R Á V I Z S

A lehetőségek száma:

(93

)= 82. Megoldhatjuk a feladatot úgy is, hogy a F,

F, F, B, B, B, B, B, B jeleket permutáljuk. Az ismétléses permutációk száma:

P(3� 6)9 =

9!3! · 6!

= 84, minden jelsorozatnak pontosan egy út felel meg, így az

utak száma is ennyi.

d) A három piros V valamelyikét biztosan érinteni fogjuk. Y N Á V R Á V

N Á V R Á V I

Á V R Á V I Z

V R Á V I Z S

Y N Á V R Á V

N Á V R Á V I

Á V R Á V I Z

V R Á V I Z S

Balra egy út visz a V-be (és így az utolsó mezőbe is). A „második” V betűbe6 lépésben juthatunk, ebből egyet kell felfelé lépnünk, azaz 6 lehetőség kö-zül választhatunk. Innen még 3 út visz az Y-ba. A lehetőségek száma tehát

6 · 3 = 18. A legfelső V-be(

63

)= 20 út visz, hiszen a 6 lépésből 3-at kell

felfelé tenni. Innen már nincs döntési lehetőségünk. Összesen tehát 1 + 18 + 20 = 39 út közül választhatunk.

Tudáspróba

1. a) Hányszorosára nő azoknak a lehetőségeknek a száma, ahogyan egymás után a terembe léphetnekegy 31 fős osztály tanulói, ha két új osztálytárs érkezik? 31 tanuló esetén 31!, míg 33 tanuló esetén 33!

a lehetőségek száma. A sorrendek száma33!31!

= 32 · 33 = 1056-szorosára nő.

b) Hogyan változna a sorrendek száma, ha két tanuló más iskolába menne? 29! lenne a sorrendek száma.(29!31!

)=

130 · 31

=1

930. A lehetőségek száma a korábbi 930-ad részére csökkenne.

2. A 3, 3, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8 számjegyekből hány különböző

a) kilencjegyű szám; P (2� 4� 3)9 =

9!2! · 4! · 3!

= 1260

b) kilencjegyű páros szám készíthető? Az utolsó számjegy csak 8-as lehet. A megmaradó számjegyek (3, 3,

7, 7, 7, 7, 8, 8) sorrendjeinek száma: P (2� 4� 2)8 =

8!2! · 4! · 2!

= 420.

c) Hány olyan kilencjegyű szám készíthető belőlük, melynek az első három jegye különböző? Az elsőhárom számjegy egy 3-as, egy 7-es és egy 8-as. Ezeknek 3! = 6-féle sorrendjük van. A megmaradó számjegyek

(3, 7, 7, 7, 8, 8) sorrendjeinek száma P(3� 2)6 =

6!3! · 2!

= 60. Összesen tehát 6 · 60 = 360 ilyen szám van.

3. Egy 20 fős csoportban 5 különböző ajándékot osztanak szét.

a) Hányféleképpen tehetik ezt meg, ha egy ember legfeljebb egy ajándékot kaphat? 20 · 19 · 18 · 17 · 16 =

= V 520 =

20!(20 − 5)!

=20!15!

= 1 860 480

Kombinatorika


C M Y K

25

b) Mennyi a lehetőségek száma, ha a társaságban 8 nő van, közülük 2 kap ajándékot, és egy-egy emberlegfeljebb egy ajándékot kaphat? Kiderült, hogy a 12 férfi közül 3 kap ajándékot. Az ajándékokat sorbarakjuk.

1. megoldás: A két nő

(82

)= 28-féleképpen, a három férfi

(123

)= 220-féleképpen választható ki. Ha már

megvan az 5 ember, ők 5!-féleképpen állíthatók sorba a kikészített 5 különböző ajándékhoz. Az ajándékokat28 · 220 · 120 = 739 200-féleképpen lehet kiosztani.

2. megoldás: Először a nemek sorrendjét döntjük el: az N, N, F, F, F jeleknek P(2� 3)5 =

5!2! · 3!

= 10-féle

sorrendje lehet. Utána kiválasztjuk az első és a második hölgyet (8 · 7 = 56 lehetőség van), majd az első, amásodik és a harmadik férfit (12 · 11 · 10 = 1320 lehetőség). Az összes lehetőségek száma: 10 · 56 · 1320 == 739 200.

Megjegyzés: Egy tipikus hibás megoldás: 8 · 7 · 12 · 11 · 10 = 73 920, ekkor viszont feltételezzük, hogy az első kétajándékot nőknek adják (és az utolsó hármat férfiaknak), vagyis nem az összes esetet kapjuk meg.

4. Egy 20 fős csoportban 5 különböző ajándékot osztanak szét.

a) Hányféleképpen tehetik ezt meg, ha egy-egy ember több ajándékot is kaphat? V5(i)20 = 205 = 3 200 000

b) Mennyi a lehetőségek száma, ha a társaságban 8 nő van, közülük 2 kap ajándékot, és egy-egy embertöbb ajándékot is kaphat? Sorba rakjuk az ajándékokat. Először a nemek sorrendjét döntjük el, az N, N, F,

F, F jeleknek P5(2� 3) =5!

2! · 3!= 10-féle sorrendje lehet. Az első és második nyertes nő 8-8-féle lehet (azaz

8 ·8 = 64 lehetőség van), a megajándékozott férfiakat 12 ·12 ·12 = 1728-féleképpen választhatjuk ki. Az összeslehetőség: 10 · 8 · 8 · 12 · 12 · 12 = 10 · 64 · 1728 = 1 105 920.

Megjegyzés: Egy tipikus hibás megoldás: 8 · 8 · 12 · 12 · 12 = 110 592, ekkor viszont feltételezzük, hogy az elsőkét ajándékot nőknek adják (és az utolsó hármat férfiaknak), vagyis nem az összes esetet kapjuk meg.

5. A magyar kártyában 32 lap van, köztük 4 király. Kiválasztunk 5 lapot. A sorrend nem számít.

a) Hányféleképpen tehetjük ezt meg?(

325

)= 210 376-féleképpen.

b) Hányféleképpen fordulhat elő, hogy

A) nincs a lapok között király; Ekkor mind az öt lapot a 28 nem-király közül választjuk ki.(

285

)= 98 280-

féleképpen fordulhat ez elő.

B) van király a lapok között; Az összes eset számából kivonjuk a kedvezőtlenek számát:(

325

)−

(285

)=

= 201 376 − 98 280 = 103 096 lehetőség van.C) a piros király a lapok között van?

1. megoldás: Az összes eset számából kivonjuk a kedvezőtlenek számát:

(325

)−

(285

)= 201 376 −

− 169 911 = 31 465 eset van.

2. megoldás: Kiválasztjuk a piros királyt, és a megmaradó 31 lap közül négyet:

(314

)= 31 465.

6. Feldobunk egy szabályos dobókockát 10-szer, és a kapott számokat leírjuk.

a) Hányféle tízjegyű szám jöhet ki? V10(i)6 = 610 = 60 466 176

b) Hány olyan tízjegyű szám jöhet ki, amelyben pontosan 4 darab 1-es van? Az egyesek helyét

(104

)=

= 210-féleképpen választhatjuk ki. A többi számjegy mindegyike 5-féle lehet (1-es kivételével bármi), ígyezek leírására 56 = 15 625 lehetőség van. Összesen 210 · 15 625 = 3 281 250 ilyen szám van.

c) Hány olyan tízjegyű szám jöhet ki, amelyben a számjegyek szorzata páros? A számjegyek szorzata

akkor páratlan, ha minden számjegy páratlan. Összesen V10(i)3 = 310 = 59 049 ilyen szám van. Az összes

többi esetén páros lesz a számjegyek szorzata, azaz 60 466 176 − 59 049 = 60 407 127 ilyen tulajdonságú számjöhet ki.

Kombinatorika


C M Y K

26

A hatványozás kiterjesztése1. óra: Hatványozás egész kitevőre (ismétlés)

2–3. óra: Hatványfüggvények

4–5. óra: Gyökvonás

6–7. óra: Gyökfüggvények

8–10. óra: A gyökvonás azonosságai

11–12. óra: A hatványozás kiterjesztése

13–15. óra: Exponenciális függvények

Mire építünk?A diákok már általános iskolában tanultak az egész kitevős hatványokról és a négyzetgyökvonásról. Ezeket aműveleteket a 9. és 10. évfolyamon részletesebben tárgyaltuk.

Ebben a fejezetben szükségünk lesz a hatványozás definíciójára, azonosságaira és azok alkalmazására. A gyök-vonással kapcsolatos részek feldolgozását nagyban elősegíti a négyzetgyökvonás fogalmának, azonosságainak ésazok alkalmazásainak alapos ismerete.

A korábbi évfolyamokon megtanulták a tanulók a függvény definícióját, bizonyos függvények (lineáris, abszolútérték, másodfokú, trigonometrikus) grafikonjának és azok egyszerűbb transzformációinak elkészítését. Megis-mertek néhány elemi függvénytulajdonságot is (zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás).

Meddig jutunk el?A permanencia elvének segítségével kiterjesztjük a hatványozást racionális kitevőre. Kitekintünk az irracionáliskitevő szemléletes jelentésére.

Kimondjuk a hatványozás azonosságait (valós kitevőre is) és feladatokban alkalmazzuk azokat.

Definiáljuk a 2n . és 2n + 1. gyök fogalmát. Kimondjuk és feladatokban alkalmazzuk a gyökvonás azonosságait.

Elmélyítjük az eddig megismert függvénytulajdonságokkal kapcsolatos ismereteinket. A folytonosság szemléle-tes fogalma elősegíti a hatványozás kiterjesztését. Megismerjük az x �→ x n függvényeket pozitív egész kitevőkre,kiemelve a függvények közös tulajdonságait páros és páratlan kitevők esetén. Elmélyítjük az inverz függvényfogalmát, amikor az x �→ n

√x függvényekkel foglalkozunk. A hatványozás kiterjesztése lehetővé teszi az ex-

ponenciális függvények bevezetését, tulajdonságaik megismerését és grafikonjaik elkészítését. Ennek kapcsánelőkészítjük a logaritmus fogalmát is.


Középszinten

• A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén.

• Ismerje és használja a hatványozás azonosságait.

• Definiálja és használja az n√a fogalmát.

• Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait.

• Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál.

• Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése (pl. az exponenciális és a logaritmusfüggvény vagya geometriai transzformációk).

• Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket, például

x �→ x 2, x �→ x 3, x �→√x , x �→ ax .

• Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról.

• Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni[f (x ) + c; f (x + c); c · f (x ); f (cx )].

A hatv�nyoz�s kiterjeszt�se

TEX 2012. február 20. – (1. lap/27. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (K02HATV)

C M Y K

27

• Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték,periodicitás, paritás szempontjából.

• Függvények jellemzése korlátosság szempontjából.

• A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg.

Emelt szinten

• Permanenciaelv ismerete.

• Irracionális kitevőjű hatvány értelmezése szemléletesen.

• Bizonyítsa a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén.

• Bizonyítsa a négyzetgyökvonás azonosságait.

• Ismerje és tudja ábrázolni az x �→ x n n ∈ N függvényt.

• Tudjon a középszinten felsorolt függvényekből összetett függvényeket képezni.

• Tudja ábrázolni az alapvető függvények transzformáltjainak grafikonját (c · f (ax + b) + d).

• Tudja a függvényeket jellemezni korlátosság szempontjából.

• A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg.

• Használja a konvex és konkáv fogalmakat a függvények jellemzésére.

• Meg tudjon oldani egyszerűbb, másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatokat.

1. óra: Hatványozás egész kitevőre (ismétlés)


Ezen az órán átismételjük a hatványozásról tanultakat (hatványozás egész kitevőre, azonosságok). A felada-tok közül a csoport és a tanulók egyéni felkészültsége szerint válogathatunk.

Feladatok

1. Számológép használata nélkül állapítsd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!

a) 27 = 128 b) 1230 = 1 c) 34 = 81 d)(

23

)2

=49

e) 4−1 =14

= 0�25 f) 11980 = 1 g) 5−3 =1

125= 0�008 h) 1�13 = 1�331

i) (−1)8 = 1 j) (−2�5)−2 = 0�16

2. Írj fel 3 olyan hatványt, amelynek értéke 1! Törekedj arra, hogy a hatványok alapja különböző legyen!1k , (−1)2k és a0 (k egész szám, az a 0-tól különböző valós szám)

3. Keress minél több 64 értékű hatványt! 641, 26, (−2)6, 43, 82, (−8)2,

(1

64

)−1

,

(12

)−6

,

(−1

2

)−6

,

(14

)−3

,

(18

)−2

,

(−1

8

)−2

4. Számológép használata nélkül állapítsd meg, hogy melyik nagyobb! Tedd ki a megfelelő relációs jelet(�, �, =)!

a) (−11)5 (−12)4 negatív �pozitív b)(

23

)−3

1�63 1�63 �1�63



C M Y K

28

c)(

23)5

26 · 28 215 �214 d) (3 · 7)4 33 · 75 3 · 33 · 74 �4 · 33 · 74

e)36

56

46

76

(2135

)6

�

(2035

)6

f) 8−6 4−9 2−18 = 2−18

5. Pótold a hiányzó kitevőt!

a) a · a · a · a · a · a = a� � = 6 b) b4 · b5 = b� � = 9 c)c3

c7 = c� � = −4

d)(d3

)−4= d� � = −12 e)

e7 · e−2

e5 = e� � = 0 f)

(f −2

)3· f 5

f −7 · f 2 = f � � = 6

6. Számológép használata nélkül számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét!

a)25 · 42

0�53 · 84 = 1 b)245 · 67

1210 · 182 =19

c)29 · 57 + 27 · 59

108 =27 · 57 · (4 + 25)

27 · 55 · 10= 2�9

7. Végezd el az alábbi műveleteket (x , y , z �= 0)!

a)(xy)5

xy5 = x 4 b)

(x 2

)4· y6

(xy2

)3 · x−5y = y c)(x 3y2z )3

xy−2z 3 :x 2y3z−5

xy= x 7y6z 5

8. Mely x valós számok teszik igazzá az alábbi egyenlőségeket?

a) 2x = 512 x = 9 b) x 5 = −243 x = −3 c) 73 = x x = 343

d) 4x =1

16x = −2 e) x 4 =

181

x1 = −13

és x2 =13

f)(

1100

)−2

= x x = 10 000

A 8. feladat előkészíti az n-edik gyök, illetve a logaritmus fogalmát. Hasonló feladat a fgy. 60. feladata.

9. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak!

a) Racionális szám egész kitevős hatványa racionális szám. Igaz.

b) Irracionális szám egész kitevős hatványa irracionális szám. Hamis, például√

32

= 3.

c) Pozitív szám egész kitevős hatványa pozitív. Igaz.

d) Negatív szám egész kitevős hatványa negatív. Hamis, például (−1)2 = 1.

e) 1-nél nagyobb szám egész kitevős hatványa nagyobb 1-nél. Hamis, például (−2)3 = −8.

2–3. óra: Hatványfüggvények


2. óra: Átismételjük a függvényekről tanultakat, különös tekintettel a páros és páratlan függvény fogalmára.Az ismétléshez az 1–3. feladatokat javasoljuk (ezek csoportmunkára is alkalmasak).

Az 1–2. kidolgozott példákban megismerkednek a tanulók a hatványfüggvényekkel. Csoportosítjuk azokat a

kitevő paritása szerint, és külön vizsgáljuk az x �→ x 2k és x �→ x 2k+1 (k ∈ N +) típusú hatványfüggvényektulajdonságait.

A 4. feladat a megfelelő alaphalmaz megválasztásán kívül a szövegértést is segíti, ezért önálló munka utánmegbeszélésre javasoljuk. Ezen az órán javasoljuk a 6. feladat megoldását is.

3. óra: A hatványfüggvények transzformáltjaival foglalkozunk. Ide tartoznak az 5., 7–12. feladatok.



C M Y K

29

Érdeklődőbb, ügyes diákoknak javasoljuk a 3. és 4. kidolgozott példákkal való foglalkozást, valamint a 12.és 13. feladat megoldását. A 14. feladat a gyökfüggvények későbbi megértését segíti elő.

Feladatok

A tanári kézikönyvben az egyszerűbb grafikonok elkészítésétől eltekintünk.

Az alábbi feladatok csoportmunkára is alkalmasak.

1. Válaszd ki a függvények közül a páros, illetve a páratlan függvényeket!(Segíthet a grafikonok megrajzolása. Vigyázat! Lehet a hozzárendelések között olyan is, amely egyikcsoportba sem tartozik!)

a: x �→ −|x | b: x �→ 2x

c: x �→ 12x 2 d: x �→ |x + 1|

e: x �→ cos x f : x �→ |x | − 1g : x �→ −x + 3 h: x �→ |2x − 3|Páros függvények: a, c, e, f ; páratlan függvény: b.

2. Rajzold meg a valós számokon értelmezett függvények grafikonját! Olvasd le a grafikonokról a függvé-nyek zérushelyét is!

Van-e páros, illetve páratlan függvény a felsoroltak között?

a) f (x ) =34x − 6 b) g(x ) =

∣∣∣∣34x − 6

∣∣∣∣c) h(x ) = −2x − 3 d) i(x ) = | − 2x − 3|

A felsorolt függvényeknek nincs paritása. Zérushelyek: a) x = 8, b) x = 8, c) x = −32

, d) x = −32

.

Vetessük észre és indokoltassuk meg a tanulókkal, hogy az abszolút érték alkalmazása az egész hozzárende-lési utasításra nem befolyásolja a zérushelyeket.

3. Add meg annak a függvénynek a hozzárendelési utasítását, amelynek grafikonjáról ezt tudod:

a) Grafikonja egyenes, amely az x tengelyt 5-nél, és az y tengelyt is 5-nél metszi. x �→ −x + 5

b) Grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes, amely az y tengelyt (−1)-nél metszi. x �→ −1

c) Grafikonját úgy kapjuk meg, hogy az x �→ |x | − 1 függvény grafikonját tükrözzük az x tengelyre.x �→ −

(|x | − 1

)= −|x | + 1

d) Grafikonját úgy kapjuk meg, hogy az x �→ |x | − 1 függvény grafikonját tükrözzük az y tengelyre.x �→ | − x | − 1 = |x | − 1, mert páros függvény.

e) Az x �→ x 2 függvény grafikonját 2-szeresére nyújtjuk az y tengely irányában. x �→ 2x 2

Az 1–3. ismétlő feladatokhoz hasonlók a fgy. 61–63. feladatai.

4. Add meg képlettel, milyen hozzárendelést adtunk meg! Add meg a kapott függvények értelmezési tarto-mányát is!

a) Minden számhoz hozzárendeljük azt a számot, amely a nála 2-vel nagyobb szám köbe. x �→ (x + 2)3,ÉT: R

b) Minden kocka élének hosszához hozzárendeljük a kocka felszínét. a �→ 6a2, ÉT: R+

c) Minden kocka élének hosszához hozzárendeljük a kocka térfogatát. a �→ a3, ÉT: R+

d) Minden számhoz hozzárendeljük azt a számot, amely a köbénél eggyel nagyobb. x �→ x 3 + 1, ÉT: R



C M Y K

30

e)

x

r

T

O

√2

2 x

12x

r

T A

O

Minden gömb sugarának hosszához hozzárendeljük annak a kockának a térfogatát, melynek mindencsúcsa ezen a gömbön van.Felírjuk az OTA derékszögű háromszögre

a Pitagorasz-tételt: r2 =3x 2

4, majd ebből ki-

fejezzük a kocka élét: r �→ x =2√3r segítsé-

gével r �→(

2√3r

)3

=8

3√

3r3.

ÉT: ]0; ∞]

A 4. feladathoz hasonló a fgy. 64. feladata.

5. Rajzold meg a 4. feladatban megadott függvények grafikonját! (Ügyelj az értelmezési tartományra!)

a)

x

y

−4 −2

12345678

−8−7−6−5−4−3−2

0

(x + 2)3

b)

a

A

1 2 3

12345678

0

6a2

c)

a

V

1 2 3

12345678

0

a3

d)

x

y

1 2 3−2

12345678

−8−7−6−5−4−3−2

0

x3 + 1

e)

r

V

1 2 3

12345678

0

83√

3r3

6. Ábrázold a függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! (Ügyelj arra, hogy mind a grafikonmegrajzolásánál, mind a jellemzésnél figyelembe vedd az alaphalmazt!)

a) f : [−2; 2] → R x �→ x 3 ÉT: [−2; 2], ÉK: [−8; 8], zérushely: x = 0. A függvény szigorúan monotonnő. Minimumhely: x = −2, minimumérték: −8. Maximumhely: x = 2, maximumérték: 8. Korlátos, páratlanfüggvény.

b) g : ]−2; 1] → R x �→ x 4 ÉT: ]−2; 1], ÉK: [0; 16[, zérushely: x = 0. A függvény szigorúan monotoncsökken, ha −2 �x �0, és szigorúan monoton nő, ha 0 ≤ x ≤ 1. Minimumhely: x = 0, minimumérték: 0.Maximumhely nincs, lokális maximumhelye: 1, -értéke: 1. Korlátos függvény. Nem páros függvény, mivel azértelmezési tartománya nem szimmetrikus 0-ra.

c) h: [1; 2] → R x �→ x 4 ÉT: [1; 2], ÉK: [1; 16], zérushely nincs. A függvény szigorúan monoton nő.Minimumhely: x = 1, minimumérték: 1. Maximumhely: x = 2, maximumérték: 16. Korlátos függvény. Nempáros függvény, mivel az értelmezési tartománya nem szimmetrikus 0-ra.

d) f : [−2; 0[ → R x �→ x 3 ÉT: [−2; 0[, ÉK: [−8; 0[, zérushely nincs. A függvény szigorúan monoton nő.Minimumhely: −2, minimumérték: −8. Maximumhely nincs. Nem páratlan függvény, mivel az értelmezésitartománya nem szimmetrikus 0-ra.

(A grafikonok megrajzolásától eltekintünk.)

7. Ábrázold a valós számokon értelmezett függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

a) f : x �→ x 3 − 1 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = 1. A függvény szigorúan monoton nő, paritása nincs.



C M Y K

31

b) g : x �→ (−x )3 −1 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = −1. A függvény szigorúan monoton csökken, paritása nincs.

c) h: x �→ −x 3 − 1 Azonos a b) részben szereplő függvénnyel.


8. Készítsd el a a valós számokon értelmezett függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

a) a(x ) = x 3 − 1 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = 1. A függvény szigorúan monoton nő, paritása nincs.

b) b(x ) = |x 3| ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, zérushely: x = 0. A függvény szigorúan monoton csökken, ha x �0, afüggvény szigorúan monoton nő, ha x ≥ 0. Minimumhely: 0, minimumérték: 0. Páros függvény.

c) c(x ) = −x 4 ÉK: ]−∞; 0], zérushely: x = 0. A függvény szigorúan monoton nő, ha x �0, a függvényszigorúan monoton csökken, ha x ≥ 0. Maximumhely: 0, maximumérték: 0. Páros függvény.

d) d(x ) =18

· x 6 ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, zérushely: x = 0. A függvény szigorúan monoton csökken, ha x �0, a

függvény szigorúan monoton nő, ha x ≥ 0. Minimumhely: 0, minimumérték: 0. Páros függvény.

e) e(x ) = (−x )4 ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, zérushely: x = 0. A függvény szigorúan monoton csökken, ha x �0,a függvény szigorúan monoton nő, ha x ≥ 0. Minimumhely: 0, minimumérték: 0. Páros függvény.


9. A valós számokon értelmezett függvények grafikonjának ábrázolása után add meg a függvények érték-készletét és zérushelyét!

a) a(x ) = x 4 − 1 ÉT: R, ÉK: [−1; ∞[, zérushely: x1 = −1 és x2 = 1. A függvény szigorúan monoton csökken,ha x �0, a függvény szigorúan monoton nő, ha x ≥ 0. Minimumhely: 0, minimumérték: −1. Páros függvény.

b) b(x ) = (−x )4 − 1 Megegyezik az a) részben szereplő függvénnyel.

c) c(x ) = −x 4 − 1 ÉT: R, ÉK: ]−∞; −1], zérushely nincs. A függvény szigorúan monoton nő, ha x �0,a függvény szigorúan monoton csökken, ha x ≥ 0. Maximumhely: 0, maximumérték: −1. Páros függvény.


10. Készítsd el a valós számokon értelmezett függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

a) a(x ) = (x + 2)3 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = −2. A függvény szigorúan monoton nő. Szélsőérték, paritásnincs.

b) b(x ) =14

(x − 1)4 ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, zérushely: x = 1. A függvény szigorúan monoton csökken, ha x �1,

a függvény szigorúan monoton nő, ha x ≥ 1. Minimumhely: 1, minimumérték: 0.

c) c(x ) = −(x + 1)5 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = −1. A függvény szigorúan monoton csökken. Szélsőérték,paritás nincs.


11. A valós számokon értelmezett függvény grafikonjának elkészítése után írd

x

y

−5 −4 −3 −2 −1

1

2

3

4

5

−3

−2

0

(x+3)3+1

−(x+3)3+1le a függvény tulajdonságait!

a) a(x ) = (x + 3)3 + 1 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = −4. A függvény szigorúanmonoton nő. Szélsőérték, paritás nincs.

b) b(x ) = −(x+3)3+1 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = −2. A függvény szigorúanmonoton csökken. Szélsőérték, paritás nincs.

A 11. feladathoz hasonlók a fgy. 67–71. feladatai.

12. Egy kisiparosnak megrendelést adtak 50 darab kocka formájú, műanyaggyöngyökkel töltött, vászonborítású ülőke elkészítésére. Az anyagot megkell hozzá vásárolni, de sajnos a megrendelő csak délben tudja megmon-dani, pontosan mekkorák is legyenek a kockák, amelyből aztán kiszámítható, hogy hány négyzetméteranyag kell a beborításukhoz, és hány kilogramm gyöngyre van szükség a megtöltésükhöz.



C M Y K

32

A vállalkozó azt szeretné, ha alkalmazottai a távollétében is meg tudnák rendelni a szükséges hozzá-valókat, ezért grafikonokat készít, melyekről le lehet olvasni a szükséges anyagmennyiséget tetszőlegesélhosszúságú kocka esetén.

Tudjuk, hogy 0�4 m3 gyöngy körülbelül 5 kg. Azt is, hogy a kockák beborításához (a varrások miatt) afelszínükhöz szükséges anyagnál körülbelül 5%-kal többet kell venni.

Az ülőkék élhosszúsága 30 cm és 70 cm között változhat.

a) Add meg azt a függvényt, amely minden szóba jö-

kockák éle (dm)

szükséges gyöngy (kg)

1 2 3 4 5 6 7

102030405060708090

100110120130140150160170180190200210220230240

hető élhosszúság esetén megadja, hogy hány kilo-gramm gyöngy kell!

Ábrázold ennek a függvénynek a grafikonját! A víz-szintes tengelyen a kocka éle szerepeljen decimé-terben, a függőlegesen pedig a vásárolandó gyöngytömege kilogrammban megadva!

Tudjuk, hogy 0�4 m3 gyöngy 5 kg, így 1 dm3 gyöngy0�0125 kg. A kocka élének hossza: a ∈ [3; 7], így azezen a halmazon értelmezett V (a) = 50a3 függvény azösszes térfogatot, m(a) = 0�0125 · 50 · a3 = 0�625a3

függvény pedig a szükséges gyöngy mennyiségét adjameg kg-ban. A keresett grafikon tehát:

b) Add meg azt a függvényt, amelynek grafikonjáról

kockák éle (dm)

szükséges vászon (m2)

1 2 3 4 5 6 7

102030405060708090

100110120130140150160

leolvasható, hogy adott élhosszúság esetén mennyivásznat kell vásárolni!Készítsd el ezt a grafikont!

Az 50 kocka felszíne 50 · 6a2, de a varrások miatt en-nek 1�05-szorosát kell megvásárolni. Ha most is dm-benadjuk meg a kocka élét, a szükséges anyagmennyiségetdm2-ben kapnánk, ami nem túl szerencsés, tehát váltsukát m2-be! Az a függvény, amely megadja a vásárolandóanyag mennyiségét m2-ben: A(a) = 0�01 ·50 ·6a2 = 3a2.

A 12. feladatot azoknak javasoljuk, akik foglalkoztak a tankönyv kidolgozott 3. és 4. példáival.

13. a) Add meg az alábbi polinomfüggvények fokszámát! Az f függvény másodfokú, a g harmadfokú, a hötödfokú.

b) Határozd meg azt is, hány különböző zérushelye van az alábbi függvényeknek! Az f függvény zérus-helyei: x = −1 és x = 5. A g függvény zérushelyei: x = 2 és x = 0. A h függvény zérushelye: x = 4.

c) Állapítsd meg, hol vesznek fel ezek a függvények pozitív értékeket!

f (x ) = (x + 1) · (x − 5) g(x ) = (x − 2) · x 2 h(x ) = (x − 4)5

f (x ) �0, ha x �−1 vagy ha x �5 g(x ) �0, ha x �2 h(x ) �0, ha x �4

14. Válaszd ki az alábbi függvények közül azokat, amelyek invertálhatók, és add meg az inverz függvényértelmezési tartományát és hozzárendelési utasítását is!

a) f : [−2; 0] → R x �→ x 4 Az f függvény invertálható, inverze f −1: [0; 16] → R, x �→ − 4√x .

b) g : ]−1; 4] → R x �→ x 3 A g függvény invertálható, inverze: g−1(x ): ] − 1; 64] → R, x �→ 3√x .

c) h: [2; 7] → R x �→ x 6 A h függvény invertálható, inverze: h−1: [64; 117 649] → R, x �→ 6√x .



C M Y K

33

d) i : [−1; 1] → R x �→ x 4 Az i függvény nem invertálható, mivel a hozzárendelési utasítás nem kölcsö-nösen egyértelmű. Például i(−1) = i(1) = 1.

4–5. óra: Gyökvonás


Ezeken az órákon átismételjük a négyzetgyökvonás definícióját, és bevezetjük az n . gyök fogalmát.

A matematika iránt kevésbé fogékony csoportoknál a gyökvonás fogalmának kialakítására, a zsebszámoló-géppel való gyökvonás begyakoroltatására helyezzük a hangsúlyt. Ezekben a csoportokban a bonyolultabb, agyökvonás azonosságait gyakoroltató feladatok megoldása helyett (8–10. óra) érdemes erre a fejezetre többidőt szánni.

Az 1. kidolgozott példában egy térgeometriai feladat kapcsán felidézzük a négyzetgyökvonást és bevezetjüka köbgyök fogalmát.

A 2. kidolgozott példa előkészíti az n . gyök definícióját.

A feladat rávezet, hogy:

• páros kitevőjű hatvány értéke nem lehet negatív (ezért nem értelmezzük negatív számok 2n . gyökét);

• egy szám és ellentettjének páros kitevőjű hatványa egyenlő (ezért a gyökvonás műveletének egyértelmű-ségéhez szükséges az a megkötés a definícióban, hogy a 2n . gyök az ellentettpár tagjai közül a nemnegatívszám legyen);

• páratlan kitevő esetén a fenti problémák nem állnak fenn (ezért minden valós számnak egyértelműenmeghatározható a 2n + 1. gyöke).

A 3. kidolgozott példában konkrét számpéldákon keresztül mutatjuk be az n . gyök fogalmát.

Feladatok

1. Egy téglatest éleinek aránya 3 : 5 : 7. Térfogata 13 125 cm3. Mekkora a téglatest felszíne? Jelölje xa legrövidebb él harmadát! Ekkor az élek hossza rendre 3x , 5x , 7x . A téglatest térfogatának ismeretében így

3x · 5x · 7x = 13 125. Innen 105x 3 = 13 125, azaz x 3 = 125. Így x = 3√125 = 5. A téglatest élei tehát 15 cm,25 cm, illetve 35 cm, felszíne pedig 3550 cm2.

2. Gondoltam egy számra. A szám tizedik hatványa 1024, hetedik hatványa pedig negatív. Melyik számragondoltam? Az 1024 két számnak a tizedik hatványa: a 2-nek és a −2-nek. Mivel a szám hetedik hatványa negatív,ezért a gondolt szám is negatív, tehát a −2.

3. Oldd meg az alábbi egyenleteket és szöveges feladatokat a valós számok halmazán!

a)(

14x

)2

= 49 x1 = 28, x2 = −28

b) Egy négyzet területe 49 m2. Mekkora a kerülete? 28 m a kerülete.

c) y3 = 512 y = 8

d) 512 egybevágó játékkockából egy nagyobb kockát építettünk. Hány kis kocka van a nagyobb kockaegy éle mentén? 8 kiskocából áll egy éle a nagykockának.

e) z 4 = 10 000 z1 = 10, z2 = −10

f) Egy pozitív szám négyzetét négyzetre emelve 10 000-et kapunk. Melyik ez a szám? 10



C M Y K

34

Az 1–3. feladatokat bevezető feladatnak javasoljuk.

4. Számológép használata nélkül határozd meg az alábbi műveletek pontos végeredményét!

a)√

121 11 b) 3√

0�064 0�4 c) 4

√1

62515

d) 5√

−243 −3 e) 6√

−123456 Nem értelmezzük. f) 7√0 0

A 4. feladatot a definíció megértésének ellenőrzésére, egyéni munkára javasoljuk. Hasonló feladat a fgy.74. feladata.

5. Határozd meg az alábbi műveletek eredményét számológép segítségével, két tizedesjegy pontossággal!

a)√

2000 44�72 b) 3√

−100 −4�64 c) 4

√1582

0�65

d) 5√

31�13 1�99 e) 6√

−23 Nem értelmezzük. f) 7√

−10 1�39

6. Bizonyítsd be, hogy a 3√2 irracionális szám! Tegyük fel, hogy racionális! Ekkor előállp

qalakban, ahol p,

q ∈ Z és (p; q) = 1.

Ha 3√2 =p

q, akkor 2 =

p3

q3, azaz 2q3 = p3. A p3 prímtényezős felbontásában a 2 csak 3-mal osztható kitevőn

szerepelhet, míg 2q3 prímtényezős felbontásában pedig 3-mal osztva 1 maradékot adó kitevőn. Ez ellentmondás.

Így 3√2nem lehet racionális szám, tehát irracionális.


a)(√

3)2

3 b)(

3√

−5)6

25 c)4

√(− 1

11

)4 111

d) 5√

−0�35 −0�3

e)6√

−76 Nincs értelmezve a valós számok halmazán. f)7

√(√2)14

2

8. Határozd meg az alábbi kifejezések értelmezési tartományát!

a)√

4 − x x ≤ 4 b) 3

√1

x + 3x �−3 c)

4√x 2 − 7x x ≤ 0 vagy 7 ≤ x

d)5√x 7 x ∈ R e) 6

√1 −

√x 0 ≤ x ≤ 1

9. Állapítsd meg az egyenlet értelmezési tartományát, majd döntsd el, hogy azonosság-e!

a)(

3√a)3

= a a ∈ R b)(

4√b)4

= b b ≥ 0 c)(

5√c)10

= c2 c ∈ R

d)(

6√d)18

= d3 d ≥ 0 e)(

8√e)4

=√e e ≥ 0

Mindegyik egyenlet azonosság az értelmezési tartományán.

10. Állapítsd meg az egyenlet értelmezési tartományát, majd döntsd el, hogy azonosság-e!

a)3√a3 = a a ∈ R b)

4√b4 = b b ∈ R c)

5√c10 = c2 c ∈ R

d)6√d18 = d3 d ∈ R e)

(8√e4

)=

√e e ≥ 0

Az a), c) és e) egyenlet azonosság.



C M Y K

35

6–7. óra: Gyökfüggvények


Az 1–2. kidolgozott példában az invertálhatóság fogalmának ismeretére támaszkodunk, valamint a gyökvo-nás elvégezhetőségének ismeretére a gyökkitevő paritásától függően. Bevezetjük a különböző gyökkitevőjűgyökfüggvényeket, megismerjük a grafikonjaikat és legfontosabb tulajdonságaikat.

A 3. kidolgozott példában a hangsúly nem a grafikus megoldáson van, hanem azon, hogy a tanulók vegyékészre, egymáshoz képest hogyan haladnak az egyes gyökfüggvények grafikonjai.

Feladatok

Az 1–3. feladatokat páros munka után megbeszélésre javasoljuk. Hasonló feladat a fgy. 83. feladata.

1. Az értelmezési tartomány megállapítása után ábrázold a függvények grafikonját, és add meg azokat azintervallumokat, amelyeken növekednek, illetve csökkennek!

Add meg az értékkészletüket is!a) f (x ) = − 3

√x ÉT: R, ÉK: R, szigorúan monoton csökken.

x

y

1 2 3 4 5 6−6 −4 −2

12

−2

0

b) g(x ) =∣∣∣ 3√x∣∣∣ ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, ha x �0, szigorúan

monoton csökken, ha x ≥ 0, szigorúan monoton nő.

x

y

1 2 3 4 5 6−6 −4 −2

12

−2

0

c) h(x ) = 3√

−x ÉT: R, ÉK: R, szigorúan monoton csökken.

x

y

1 2 3 4 5 6−6 −4 −2

12

−2

0

d) i(x ) = 3√

−|x | ÉT: R, ÉK: ] − ∞; 0], ha x �0, szigorúan

monoton nő, ha x ≥ 0, szigorúan monoton csökken.

x

y

1 2 3 4 5 6−6 −4 −2

12

−2

0

2. Az értelmezési tartomány megállapítása után ábrázold a függvények grafikonját, és állapítsd meg a pari-tásukat! Add meg az értékkészletüket is!

a) f (x ) = 5√

−x ÉT: R, ÉK: R, páratlan függvény. b) g(x ) =∣∣∣ 5√x∣∣∣ ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, páros függvény.

x

y

1 2 3 4 5 6 7−6 −4 −2

12

−2

0 x

y

1 2 3 4 5 6 7−6 −4 −2

12

−2

0



C M Y K

36

c) h(x ) = − 4√x ÉT: [0; ∞[, ÉK: ] − ∞; 0], nincs paritása.

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

−2

0

d) i(x ) = 4√

−x ÉT: ] − ∞; 0], ÉK: [0; ∞[, nincs paritása.

x

y

−9 −7 −5 −3

12

−2

0

3. Hol értelmezhetők az alábbi gyökfüggvények?

a) a: x �→ 3√x − 3 és b: x �→ 6√

x − 3 a függvény: R, b függvény: [3; ∞[

b) a: x �→ 4√2 − x és b: x �→ 5√2 − x a függvény: ] − ∞; 2], b függvény: R

4. Hol értelmezhetők az alábbi gyökfüggvények?

f : x �→√x 2 − 4x + 4 és g : x �→ 4

√x 2 − 4x + 4

Mivel x 2 − 4x + 4 = (x − 2)2 ≥ 0 minden x esetén, így az értelmezési tartomány mindkét függvény esetén azösszes valós szám.

Az ügyesebb diákoknak feladhatjuk a függvények grafikonjának megrajzolását is: f : x �→√x 2 − 4x + 4 =

=√

(x − 2)2 = |x − 2| és g : x �→ 4√x 2 − 4x + 4 = 4

√(x − 2)2 =

√|x − 2|.

5. Az értelmezési tartomány megállapítása után ábrázold a függvények grafikonját, és add meg a zérushe-lyüket!

a) f (x ) = 3√x − 1 ÉT: R, zérushely: x = 1. b) g(x ) = 1 − 3

√x ÉT: R, zérushely: 1.


6. Az értelmezési tartomány megállapítása után ábrázold a függvények grafikonját, és add meg a zérushe-lyüket!

a) f (x ) =12

· 4√x − 1 ÉT: [0; ∞[, zérushely: x = 16. b) g(x ) = 4√

x + 1 ÉT: [−1; ∞[, zésushely: x = −1.


7. Ábrázold a következő függvények grafikonját!

a) f : x �→ 3√x + 3

√−x Mivel 3√−x = − 3√x , ez a függvény a konstans 0, azaz az x �→ 0 függvény grafikonját

kell megrajzolni.

b) g : x �→ 4√x + 4

√−x A függvény értelmezési tartományában egyetlen szám, a 0 van, ezért a függvény grafi-

konja egyetlen pont: a (0; 0) pont.

8. Ábrázold a következő függvények grafikonját!

a) f : x �→ 3√x 3 b) g : x �→

(3√x)3

a) és b) Mindkét függvény értelmezési tartománya az összes valós szám, és3√x 3 = x , valamint

(3√x

)3= x , tehát

mindkét függvény grafikonja megegyezik a valós számok halmazán értelmezett x �→ x függvény grafikonjával.

c) h: x �→ 4√x 4 ÉT: R és

4√x 4 = |x |.

d) i : x �→(

4√x)4

ÉT: [0; ∞[ és( 4√x

)4= x .



C M Y K

37

9. Oldd meg grafikusan az egyenleteket! Ellenőrizd a megoldásokat!

a) x = x 3 b) x 3 = 3 − x c) x 3 = 5√x d) 3

√x = x 4

x

y

1 2 3

−3 −11

2

3

−3

−2

−10

xx3

x

y

1 2 3

−3 −11

2

3

−3

−2

−10

3 − x

x3

x

y

1 2 3

−3 −11

2

3

−3

−2

−10

x 3

5√x

x

y

1 2 3

−3 −11

2

3

−3

−2

−10

x4

4√x

x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 x ≈ 1�2 x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 x1 = 0 és x2 = 1

10. Egy kisfiú átlagos testmagasságát méterben születésétől 5 éves koráig jól leírja az x �→ 0�26√x + 0�5

függvény, ahol x a gyermek életkora években. Rajzold meg ennek a függvénynek a grafikonját! A vála-szokat a grafikonról olvasd le!

a) Mekkora lesz egy átlagos 6 hónapos gyermek testmagassága? 0�67 m

b) Mikor éri el egy átlagos kisfiú az 1 méteres magasságot? 3 és34

éves korában.

c) Melyik életkorban jó egy kisgyereknek a 72-es rugdalózó? (Ez 72 cm-es testmagasságot jelent.)Körülbelül 8 hónapos korban.

11. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!

a) x 3 ≤ x 4 b) x 4 �x 2 c)√x − 1 + 1 �(x − 1)3 + 1

x

y

1 2

−21

2

3

0x3

x4

x

y

1 2

−21

2

3

0

x2

x4

x

y

1 2 3 4

1

2

3

0

(x − 1)3 + 1

√x − 1 + 1

x ≤ 0 vagy x ≥ 1 −1 �x �1, de x �0 x �2

8–10. óra: A gyökvonás azonosságai


Ezeken az órákon a gyökvonás azonosságaival foglalkozunk. A tankönyvben az azonosságokat csak olyanesetekre mondjuk ki, amikor a gyökjel alatt nemnegatív szám szerepel. Az órán beszélhetünk arról, hogybizonyos feltételek mellett az azonosságok kiterjeszthetők negatív számokra is.

A matematika iránt kevésbé fogékony csoportoknál a gyökvonás fogalmának kialakítására, a zsebszámoló-géppel való gyökvonás begyakoroltatására helyezzük a hangsúlyt. Ezekben a csoportokban a bonyolultabb,a gyökvonás azonosságait gyakoroltató feladatok megoldása helyett érdemes inkább a Gyökvonás című feje-zetre (4–5. óra) több időt szánni.

Az 1. kidolgozott példában két számpélda segítségével mutatjuk be az azonos gyökkitevőjű gyökök szorzatáraés hányadosára vonatkozó (I–II.) azonosságok bizonyításának gondolatmenetét.



C M Y K

38

A 2. kidolgozott példában egy szöveges feladat segítségével mutatjuk be az ismételt gyökvonásokra vonat-kozó (III.) azonosságot.

A 3. kidolgozott példában gyökös kifejezéseket állítunk növekvő sorrendbe, ennek során „felfedezzük” ahatványozás és a gyökvonás kapcsolatára vonatkozó (IV–V.) azonosságokat.

A 4–6. kidolgozott példában a gyökvonás azonosságainak három fontos alkalmazását mutatjuk be konkrétpéldákon:

• a 4. példában a gyökjel alá való bevitel módszerét;

• az 5. példában a gyökjel alól való kiemelés módszerét;

• a 6. példában pedig a tört nevezőjének gyöktelenítését.

A gyökvonás azonosságai

Feladatok


a) 3

√12

· 3

√14

=12

b)4√

4054√

5= 3

c) 5√

−9 · 5√27 = −3 d)13√

2 · 13√

3 · 13√

513√

30= 1

e)3√

4 · 3√

843√

18 · 3√

63=

23

f)4√

3 · 4√

4 · 4√

5 · 4√

6 · 4√

7 · 4√

8 · 4√

94√

2 · 4√

70= 6


a)(√

7 −√

3) (√

7 +√

3)

=(√

7)2

−(√

3)2

= 4

b)(√

48 −√

3)2

=(√

48)2

− 2 ·√

48 ·√

3 +(√

3)2

= 48 − 2 ·√

144︸︷︷︸24

+3 = 27

c)(

3√3 − 3√2) (

3√9 + 3√6 + 3√4)

=(

3√3)3

−(

3√2)3

= 1

d)(

3√5 + 3√7) (

3√25 − 3√35 + 3√49)

=(

3√5)3

+(

3√7)3

= 12

e)(

3√16 − 3√2)3

=(

3√16)3

︸︷︷︸16

− 3 ·(

3√16)2

· 3√2︸︷︷︸24

+ 3 · 3√16 ·(

3√2)2

︸︷︷︸12

−(

3√2)3

︸︷︷︸2

= 2

f)(√

5 +√

2) (

4√5 − 4√2) (

4√5 + 4√2)

=(√

5 +√

2)((

4√5)2

−(

4√2)2

)︸︷︷︸

√5−

√2

=(√

5)2

−(√

2)2

= 3

Az 1–2. feladatot egyéni munkára vagy házi feladatnak javasoljuk. Hasonló a fgy. 92–93. feladata.

3. Melyik nagyobb?

a)3√

4√10 vagy6√√

10 b)(

4√2)5

vagy(

4√5)2

c) 3√5 vagy√

3

12√10 = 12√104√

25 �4√

52 6√

52 �6√

33

A 3. feladatot bevezető feladatnak javasoljuk (III–V. azonosság). Hasonló feladat a fgy. 94. feladata.



C M Y K

39

4. Számológép használata nélkül válaszd ki az alábbi kifejezések közül a legnagyobbat!√

2 3√3 4√4 5√5√

2 = 4√4, 5√5 = 10√25 �10√32 =√

2 és√

2 = 6√8 �6√9 = 3√3. Tehát a 3√3 a legnagyobb.

5. Számológép használata nélkül rakd növekvő sorrendbe az alábbi kifejezéseket! Ha jól dolgoztál, akkor akifejezések betűjelét összeolvasva egy értelmes szót kapsz!

A = 310√

310 A =(

5√3)2 10

√34 K =

√3

10√

35

M =(

10√33

)2 10√

36 S =20√

32 10√3 Z =5√√

33 10√

33

A szó: SZAKMA.

6. Pótold a hiányzó gyök-, illetve hatványkitevőket úgy, hogy igaz állítást kapj!

8 = 23 =√

26 =5√

215 =(

3√2)9

=√√

212 =

⎛⎝

√14

⎞⎠

−3

=

√(3√2

)18

7. Számológép használata nélkül keresd meg a kifejezések közül a legnagyobb értékűt!

a) 2√

15, 3√

7, 5√

2√

60,√

63,√

50 b) 3 3√10, 4 3√4, 5 3√2 3√270, 3√256, 3√250

c) 2 4√31, 3 4√6, 4 4√2 4√496, 4√486, 4√512

A 7. feladatot egyéni munkára, házi feladatnak javasoljuk. Hasonló a fgy. 98. feladata.

8. Hozd egyszerűbb alakra az alábbi gyökös kifejezéseket (a �0)!

a) 3√

4√a 12√a b)

√a 3√a

3√a2 c)

√a

3√a

6√a

d) 3√a · 5√

a2 15√a11 e)

√a

3√a 4√a

24√a17 f)

(4√a)3 · a

√a

3√a5

12√a7


a)√

20 +√

125 −√

180 =√

5 ·√

4 +√

5 ·√

25 −√

5 ·√

36 =√

5 · (2 + 5 − 6) =√

5

b) 3√3 − 3√24 − 3√81 + 3√192 = 3√3 − 3√3 · 3√8 − 3√3 · 3√27 + 3√3 · 3√64 = 3√3 · (1 − 2 − 3 + 4) = 0

c) 4√2 + 4√32 + 4√162 − 4√1250 = 4√2 + 4√2 · 4√16 + 4√2 · 4√81 − 4√2 · 4√625 = 4√2 · (1 + 2 + 3 − 5) = 4√2


10. A kifejezés értelmezési tartományának vizsgálata után emelj ki a gyökjel alól! (Törekedj rá, hogy a lehetőlegkisebb fokszámú kifejezések maradjanak a gyökjel alatt!)

a)√a7 a ≥ 0, a3√a b)

3√a4b8 a� b ∈ R, ab2 3

√ab2

c)4√a6 a ∈ R, |a| 4

√a2 d)

4√a10b5 a ∈ R, b ≥ 0, a2b

4√a2b

e)5

√a7

b14 a ∈ R, b �= 0,a

b25

√a2

b4f)

6

√a22b26

c23 a� b ∈ R, c�0,

∣∣a3∣∣ b4

c36

√a4b2

c5

11. Gyöktelenítsd az alábbi törtek nevezőjét! Ha lehetséges, emelj ki a gyökjel alól!

a)2√7

=2√

77

b)15√50

=3√

22

c)4

3√

3=

4 3√93

d)1

2 3√

121=

3√1122

e)3

4√

27= 4√3 f)

65√

64=

3 5√162



C M Y K

40

12. Gyöktelenítsd az alábbi törtek nevezőjét!

a)1

3 − 2√

2= 3 + 2

√2 b)

4√5 +

√7

= 2√

7 − 2√

5

c)

√3√

3 −√

2= 3 +

√6 d)

√2√

11 + 3=

√22 − 3

√2

2

e)3√

53√

3 + 3√

2=

3√53√3 + 3√2

·

(3√3

)2− 3√3 · 3√2 +

(3√2

)2

(3√3

)2− 3√3 · 3√2 +

(3√2

)2=

3√45 − 3√30 + 3√205

f)1

4√2 − 1=

14√2 − 1

·4√2 + 14√2 + 1

=4√2 + 1√2 − 1

·√

2 + 1√2 + 1

= 4√8 + 4√4 + 4√2 + 1

A 11–12. feladatot egyéni munkára, házi feladatnak javasoljuk. Hasonló a fgy. 102–103. feladata.

11–12. óra: A hatványozás kiterjesztése


Ezeken az órákon a permanencia elvét alkalmazva kiterjesztjük a hatványozás műveletét racionális kitevőreés említést teszünk az irracionális kitevőjű hatványokról is.

Az 1. kidolgozott példában egy szöveges feladat megoldása során 212 értékét keressük.

A 2. kidolgozott példában konkrét számpéldák segítségével mutatjuk meg, hogyan lehet értelmezni racioná-lis kitevőjű hatványokat a permanencia elvének alkalmazásával (a hatványozás azonosságainak megtartásamellett).

A 3. kidolgozott példában bemutatjuk, hogyan igazolhatóak a korábban csak egész kitevőjű hatványokrabizonyított azonosságok racionális kitevőjű hatványok esetében.

Feladatok

1. Számológép használata nélkül számítsd ki az alábbi racionális kitevőjű hatványok értékét!

a) 3215 = 2 b) 32

25 = 4 c) (−32)

15 Nem értelmezzük.

d) −3215 = −2 e) 32− 1

5 =12

f) 32− 25 =

14


a) 4912 = 7 b) 16

34 = 8 c) 2�25

32 = 3�375 d)

(1

25

)− 12

= 5

e) (−1)47 Nem értelmezzük. f) 100001�25 = 100 000 g) −8− 2

3 = −14

h)(

2764

) 53

=243

1024

Az 1–2. feladatot a definíció megértésének ellenőrzésére, egyéni munkára javasoljuk. Hasonló a fgy. 104.feladata.

3. Becsüld meg, majd számológép segítségével (két tizedesjegyre kerekítve) állapítsd meg a hatványokértékét! Hány százalékot tévedtél?

a)√

23�7

= 3�61 b) �23 = 2�15 c)

√3

−1�9= 0�35



C M Y K

41

d) 0�5√

0�5 = 0�61 e)(

1√5

)−√

2

= 3�12 f) �− 1� = 0�69

A 3. feladatnál tippelési versenyt rendezhetünk: mindenki összeadja, hogy összesen hány százalékot tévedett,és az nyer, akinek ez az összeg a legkisebb.

4. Írd fel az alábbi kifejezéseket racionális kitevőjű hatványként (a �0)!

a) 3√a = a

13 b)

4√a7 = a

74 c)

(5√a)3

= a35

d)

√3√a5 = a

56 e) a 4

√a = a

54 f) 3

√a · 4

√a = a

712


5. Számológép használata nélkül határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!

a) 413 · 4

53 = 16 b)

2712

2716

= 3 c)(

2523

) 34

= 5

d) 232 · 18

32 = 216 e)

37523

323

= 25

A fenti kifejezések pontos értéke könnyen megkapható a racionális kitevőjű hatvány definíciójának alkal-mazásával, a korábban tanult (egész kitevőjű hatványra, gyökvonásra vonatkozó) azonosságok segítségével.Így a feladat tárgyalása megelőzheti a racionális kitevőjű hatványokra vonatkozó azonosságok kimondását.Ha a feladatot az azonosságok tárgyalása után tűzzük ki, akkor egyéni munkára, házi feladatnak javasoljuk.Hasonló a fgy. 107. feladata.


a)(

512 + 5

32

)2

=(

512

)2+ 2 · 5

12 · 5

32 +

(5

32

)2= 5 + 2 · 52 + 53 = 180

b)(

352 − 2

52

) (3

52 + 2

52

)=

(3

52

)2−

(2

52

)2= 35 − 25 = 211

c)(

1613 − 2

13

)3

=

(16

13

)3

︸︷︷︸16

− 3 ·(

1613

)2

· 213

︸︷︷︸24

+ 3 · 1613 ·

(2

13

)2

︸︷︷︸12

−(

213

)3

︸︷︷︸2

= 2

Másik megoldás: 1613 = 2 · 2

13 , ezért összevonás után a zárójelben

(2

13

)3

= 2.

d)5

115 − 5

65

515

=5

115

515

− 565

515

= 52 − 5 = 20 e)16

23 + 54

23

223

=16

23

223

− 5423

223

= 823 + 27

23 = 4 + 9 = 13

f)48

54 − 16

54

354 − 1

=16

54 ·

(3

54 − 1

)

354 − 1

= 1654 = 32

7. Pótold a hiányzó kitevőt (a , b, c, d, e és f �0)!

a) a12 · a 2

3 = a� � =76

b)b

34

b12

= b� � =14

c)(c0�2

) 53 = c� � =

13

d)(d

43 · d− 5

6

) 47

= d� � =27



C M Y K

42

e)e−1�5 ·

(e

23

) 95

e15

= e� � = −12

f)

⎛⎝ f

56 · ff

32

⎞⎠

72

:f

23

f −1 · f76

= f � � =23

9. Számológép használata nélkül állapítsd meg, hogy melyik nagyobb!

a)4√

73 vagy 743 7

34 �7 �7

43 b) 5−1 vagy 5

13

15�1 �3√5

c) 3 · 325 vagy

33

31�6 375 = 31�4 d)

((12

)1�2) 1

3

vagy 0�50�5(

12

)0�4

�

(12

)0�5

e) 627 vagy 2

17 · 3

17 6

27 �6

17 f) 4

76 vagy 8

58 2

73 �22 �2

158

10. Állítsd párba az alábbi kifejezéseket!

A: 320�2 B: 423 · 32

13 C:

4√16−3 D: 0�251�5

E: 6412 F:

(18

)−2

G:(

14

)− 12

H: 321�2

A = G = 2, B = E = 8, C = D =18

, F = H = 64

11. Számológép használata nélkül állítsd növekvő sorrendbe az alábbi kifejezéseket! Ha jól dolgoztál, akkora kifejezések betűjelének összeolvasásával egy értelmes szót kapsz!

E =8√

57 578 I =

√5 5

12 K =

(51�5

) 27

537

Ő =(

15

)−1�1

51110 T = 5

13 · 5

12 5

56 V =

51�4

513

51615

A szó: KITEVŐ.

A 11. feladat kapcsán szó eshet arról, hogy az f (x ) = 5x függvény szigorúan monoton nő. Hasonló a fgy.111. feladata.

12. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán!

a) 11x =5√

112 x =25

b) 5x = 7

√1

125x = −3

7c) 9 x = 27 x =

32

d) 49 x = 3√7 x =16

e) 81x =13x = −1

4f)

(14

)x

= 32 x = −52

A 12. feladat a logaritmus fogalmát készíti elő. Hasonló a fgy. 112. feladata.

13–15. óra: Exponenciális függvények


13. óra: Az 1–3. kidolgozott példák kapcsán definiáljuk az exponenciális függvényeket, és megismerjük főtulajdonságaikat. Ide javasoljuk az 1–9. feladatokat, melyek közül az 1–4. ismétlő feladatok a hatványozásés gyökvonás kapcsolatára vonatkozóan.

Hasonló feladatok a témakörben a fgy. 114–120. feladatai.



C M Y K

43

14. óra: Egy javaslat az exponenciális függvények transzformációjának feldolgozására abban az esetben, harendelkezésünkre áll projektor vagy aktív tábla: a GeoGebra ingyenesen letölthető szoftver színesebbé tehetiaz órát úgy, hogy adott idő alatt sokkal több függvény grafikonját tudjuk megrajzolni. A program lehetőségetad, hogy a „csúszka” segítségével beállítsuk egy tetszőleges exponenciális függvény paramétereit. A diákoka következőket látják a kivetítőn:

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9−9 −7 −5 −3 −1

123456789

−9−8−7−6−5−4−3−2

0

f

A B

C

D

a = 1•b = 0•c = 0•

A feladat szövege a következő: Add meg a , b és c értékét úgy, hogy az f (x ) = a · 2x+b + c függvénygrafikonja fedésbe kerüljön az A grafikonnnal! A diákok először páros munkában megpróbálhatják kitalálnia megoldást, majd a „csúszka” megfelelő beállításával ellenőrizhetjük azt.

A 4–5. kidolgozott példák függvénytranszformáció segítségével ábrázolható grafikonok megrajzolása. Idejavasoljuk a 10–18. feladatokat.


15. óra: a 6–7. kidolgozott példákban egyszerű – a definíció, illetve a függvények grafikonjának ismere-tében megoldható – exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek szerepelnek. A tankönyv II. köteténekEgyenletek témakörében még visszatérünk erre a témára. Ide javasoljuk a 19–23. feladatokat.


Feladatok

1. Számítsd ki a kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül!

a) 2−1 =12

; 412 = 2; 33 = 27; 4

32 = 8;

(12

)−1

= 2; 823 = 4

b)(

14

)−0�5

= 2;(

14

)− 32

= 8; 0�5−2 = 4; 3−1 =13

;(

13

)−2

= 9; 0�2−1 = 5

c) 0�2−2 = 25; 343− 13 =

17

; 70 = 1; (−9)12 Nincs értelmezve.; 30�5 =

√3; 21�5 = 2

√2 =

√8

d) 9−1�5 =1

27; 27− 2

3 =19

; 1−18 = 1; 10�2 = 1; (−1)13 Nem értelmezzük.; 0

15 = 0



C M Y K

44

2. Hasonlítsd össze a három függvény értelmezési tartományát és értékkészletét!

Rajzold meg a függvények grafikonját!

a) f (x ) = 3√x g(x ) = x

13 h(x ) =

6√x 2

x

y

1

1

0

f

x

y

1

1

0

g

x

y

1

1

0

h

ÉTf : R, ÉKf : R ÉTg : ]0; ∞[, ÉKg : ]0; ∞[ ÉTh : R, ÉKh : [0; ∞[

b) f (x ) = 4√x g(x ) = x

14 h(x ) =

8√x 2

x

y

1

1

0

f

x

y

1

1

0

g

x

y

1

1

0

h

ÉTf : [0; ∞[, ÉKf : [0; ∞[ ÉTg : ]0; ∞[, ÉKg : ]0; ∞[ ÉTh : R, ÉKh : [0; ∞[

3. Közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk néhány függvény grafikonját.

x

y

1 2

1

2

0

E

C

ABDAdd meg, melyik betűjelű görbe melyik függvényhez tartozhat!

f (x ) = x 0�2 = Eg(x ) = x 0�6 = Ah(x ) = x 0�9 = Di(x ) = x 1�2 = Cj (x ) = x 3�8 = B

4. Add meg azokat az összefüggő tartományokat a koordináta-rendszerben,

x

y

1 2 3 4−4 −2

1234

−4−3−2−1

0

ahol nem haladhat az f : ]0; ∞[ → R, x �→ x a (1 �a) függvény grafikonja!A piros tartományokban nem haladhat.

A 4. feladatot szorgalmi feladatnak célszerű kitűzni. Azt könnyen kitalálják atanulók, hogy a 2., 3. és 4. síknegyed pontjain nem haladnak át a függvény-

grafikonok. Többnyire az x �→ x 2 grafikonját tekintik határnak, nem gondolva

például az x �→ x 1�5 függvényre.

5. Közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk néhány

x

y

1 2

1

2

0

CE

AD

B

függvény grafikonját.Add meg, melyik betűjelű görbe melyik függvényheztartozik!

f (x ) =(

13

)x

= C g(x ) =(

12

)x

= E

h(x ) =(

23

)x

= A i(x ) =(

34

)x

= D

j (x ) =(

910

)x

= B



C M Y K

45

6. A grafikonok megrajzolása nélkül döntsd el, hogy az alábbi függvények közül melyik szigorúan monotonnövekvő, és melyik szigorúan monoton csökkenő!

a(x ) = 2�3x b(x ) = 0�8x c(x ) = 7�2x d(x ) = �x e(x ) =(

1516

)x

Monoton nő: a, c, d, csökken: b, e.

7. Határozd meg a pontok hiányzó koordinátáit számológép segítségével úgy, hogy illeszkedjenek az x �→3x függvény grafikonjára!

a) A(−3;

127

)A (−3; 0�037) b) B

(−1�5;

1

3√

3

)B (−1�5; 0�192)

c) C(

23

; 3√9

)C

(23

; 2�080)

d) D(√

5; 3√

5)D

(√5; 11�665

)

8. Mi lehet az x �→ ax „exponenciális” függvény a alapja, ha a grafikonja áthalad aza) A (2; 9) a2 = 9 ⇒ a = 3 b) B (2; 2) a2 = 2 ⇒ a =

√2

c) C (1; 1) a1 = 1 ⇒ a = 1 d) D (−3; 0�001) a−3 = 0� 001 ⇒ a = 10

e) E(

12

;14

)ponton? a

12 =

14

⇒ a =1

16

9. Ábrázold a függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

a) x �→ 3x ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, szigorúan monoton nő. Zérushelye, szélsőértéke, paritása nincs. Alulról korlátos.Legnagyobb alsó korlát: 0.

b) x �→ −3x ÉT: R, ÉK: ]−∞; 0], szigorúan monoton csökken. Zérushelye, szélsőértéke, paritása nincs. Felülrőlkorlátos. Legkisebb felső korlát: 0.

c) x �→(

12

)x

ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, szigorúan monoton csökken. Zérushelye, szélsőértéke, paritása nincs. Alulról

korlátos. Legnagyobb alsó korlát: 0.

d) x �→ 3 ·(

12

)x

ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, szigorúan monoton csökken. Zérushelye, szélsőértéke, paritása nincs.

Alulról korlátos. Legnagyobb alsó korlát: 0.


10. Rajzold meg a függvények grafikonját! Vizsgáld a függvényeket korlátosság szempontjából, és add mega legnagyobb alsó, illetve a legkisebb felső korlátot, és határozd meg a zérushelyet!

a) a(x ) = 4x − 2 ÉT: R, ÉK: ]−2; ∞[, szigorúan monoton nő. Zérushelye: x =12

. Szélsőértéke, paritása nincs.

Alulról korlátos. Legnagyobb alsó korlát: −2.

b) b(x ) =(

12

)x

−1 ÉT: R, ÉK: ]−1; ∞[, szigorúan monoton csökken. Zérushelye: x = 0. Szélsőértéke, paritása

nincs. Alulról korlátos. Legnagyobb alsó korlát: −1.

c) c(x ) = −2x + 2 ÉT: R, ÉK: ]−∞; 2], szigorúan monoton csökken. Zérushelye: x = 1. Szélsőértéke, paritásanincs. Felülről korlátos. Legkisebb felső korlát: 2.


11. Rajzold meg közös koordináta-rendszerben az f és g függvények grafikonját! Mit vettél észre? Keressmagyarázatot!

a) f (x ) = 2 · 2x , g(x ) = 2x+1 b) f (x ) = 3 ·(

13

)x

, g(x ) =(

13

)x−1

A függvények grafikonja megegyezik, mivel a hatványozás azonosságait alkalmazva ugyanazt a hozzárendelésiutasítást kaphatjuk.



C M Y K

46

A 11. feladatnál rámutathatunk, milyen érdekes geometriai tulajdonsággal rendelkezik az exponenciális függ-vény görbéje: két teljesen különböző geometriai transzformáció után ugyanazt a görbét kapjuk. Például azx tengelyre vonatkozó � = 2 arányú merőleges affinitás a görbe eltoltját, azaz az eredetivel egybevágó görbéteredményez. A geometria iránt érdeklődő tanulóknak feltehetjük a kérdést: ismernek-e még ilyen alakzatot?Jó és szemléletes példa a triviális ponton kívül az egyenes, mely önmagával egybevágó marad, de csak azx tengellyel párhuzamos egyenest tekinthetjük az eredeti egyenes eltoltjának és �-szorosának is.

12. Ábrázold a függvények grafikonját, és jellemezd a függ-

x

y

1 2 3 4 5−5 −4 −3 −2 −1

1

2

3

4

5

−5

−4

−3

−2

−10

f

g

h

ivényeket!

a) f (x ) = 3x+1 ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, zérushelye, szélsőérté-ke, paritása nincs. Szigorúan monoton nő. Alulról korlá-tos, legnagyobb alsó korlát: 0.

b) g(x ) =(

12

)x+1

ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, zérushelye, szélső-

értéke, paritása nincs. Szigorúan monoton csökken. Alul-ról korlátos, legnagyobb alsó korlát: 0.

c) h(x ) = −3x−1 ÉT: R, ÉK: ]−∞; 0], zérushelye, szélső-értéke, paritása nincs. Szigorúan monoton csökken. Fe-lülről korlátos. Legkisebb felső korlát: 0.

d) i(x ) = 3 · 2x−1 ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, zérushelye, szél-sőértéke, paritása nincs. Szigorúan monoton nő. Alulrólkorlátos, legnagyobb alsó korlát: 0.

13. Készítsd el az f (x ) = |2x | és g(x ) = 2|x | függvények grafikonját, és hasonlítsd össze azokat!

x

y

1 2 3−3−2−1

1

2

3

4

5

0

f

x

y

1 2 3−3−2−1

1

2

3

4

5

0

g

Add meg mindkét függvény értékkészletét és monotonitási tulajdonságát!

Mindkét függvény ÉT-a R, ÉK-ük különböző:az f függvényé: ]0; ∞[ a g függvényé: [1; ∞[.

Az f függvénynek nics paritása, a g függvény páros.Az f függvény szigorúan monoton nő. A g függvényszigorúan monoton csökken, ha x �0, és szigorúanmonoton nő, ha x ≥ 0. Mindkét függvény alulról kor-látos. A g-nek abszolút minimumhelye is van x = 0-ban, a minimum értéke: 1.

14. Add meg az alábbi függvények hozzárendelési utasítását! Rajzold meg a függvények grafikonját is!

a) A függvény hozzárendelési utasítása f (x ) = ax típusú, és f (5) = 32. a5 = 32 ⇒ a = 2 ⇒ f (x ) = 2x

b) A függvény hozzárendelési utasítása f (x ) = ax típusú, és f (3) =1

27. a3 =

127

⇒ a =13

⇒ f (x ) =(

13

)x

c) Olyan függvény, melynek hozzárendelési utasítása f (x ) = ax + b típusú, legnagyobb alsó korlátja

−2, és zérushelye −1. Az alsó korlát −2 ⇒ b = −2, tehát a zérushelyre felírható: a−1 − 2 = 0 ⇒ a =

=12

⇒ f (x ) =

(12

)x

− 2.

d) A függvény szigorúan monoton nő, hozzárendelési utasítása f (x ) = ax + b típusú, az y tengelyt

−0�5-nél, az x tengelyt pedig 1-nél metszi. f (0) = −0�5, tehát a0 + b = −0�5 ⇒ b = −1�5; f (1) = 0, tehát

a1 − 1�5 = 0 ⇒ a = 1�5, a függvény hozzárendelési utasítása: f (x ) = 1�5x − 1�5.



C M Y K

47


x

y

1 2 3 4−5−4−3−2−1

1

2

3

4

5

−5

−4

−3

−2

−10

a

b

a) x �→ −14

·(

12

)x

+12

ÉT: R, ÉK: ]−∞; 0�5]. A függvény szigorúan

monoton nő. Zérushely: x = −1. Szélsőérték, paritás nincs. Felülrőlkorlátos, legkisebb felső korlát: 0�5.

b) x �→ 3x+1 − 3 ÉT: R, ÉK: ] − 3; ∞[. A függvény szigorúan mono-ton nő. Zérushely: x = 0. Szélsőérték, paritás nincs. Alulról korlátos,legnagyobb alsó korlát: −3.

16. Rajzold meg az alábbi függvények grafikonját! A grafikonok meg-rajzolásától eltekintünk. Algebrai átalakítások után a következő hozzáren-delési utasításokhoz jutunk:

a) x �→ 6x

2xx �→ 6x

2x= 3x

b) x �→ 0�25x · 8x x �→ 0�25x · 8x = 2−2x · 23x = 2x

c) x �→ 4x+1 · 0�5x+2 x �→ 4x+1 · 0�5x+2 = 22x+2 · 2−x−2 = 2x

17.

x

y

1 2−5−4−3−2−1

1

2

3

4

5

−10

fg

Ábrázold a függvények grafikonját, és hasonlítsd össze azokat! Jellemezd a függvényeket!

f (x ) =9x − 13x + 1

Az f függvény értelmezési tartománya R, mivel 3x + 1 �= 0

egyetlen x esetén sem. f (x ) =9x − 13x + 1

=(3x )2 − 12

3x + 1= 3x−1, tehát ÉK: ] − 1; ∞[.

Zérushelye: x = 0. A függvény szigorúan monoton nő. Szélsőértéke, paritásanincs. Alulról korlátos, legnagyobb alsó korlátja: −1.

g(x ) =9x − 13x − 1

A g függvény értelmezési tartománya R \ {0}, mert a nevező

x = 0-nál lenne 0. Ha x �= 0, a függvény hozzárendelési utasítása a következő:

g(x ) =9x − 13x − 1

=(3x )2 − 12

3x − 1= 3x + 1.

Az értékkészlet tehát ]1; ∞[\{2}. Zérushelye, szélsőértéke, paritása nincs. A függvény szigorúan monoton nő.Alulról korlátos, legnagyobb alsó korlátja: 1.

18. Ábrázold a függvény grafikonját, és jellemezd a függvényt!

x

y

1 2 3−5−4−3−2−1

1

2

3

4

5

0

f

f (x ) =√

4x − 2x+1 + 1 =√

(2x − 1)2 = |2x − 1|. Az átalakítás nem befo-

lyásolta a függvény értelmezési tartományát. ÉT: R, ÉK: [0; ∞[. Zérushely:x = 0. Ha x �0, a függvény szigorúan monoton csökken, ha x ≥ 0, a függ-vény szigorúan monoton nő. A függvény alulról korlátos. Legnagyobb alsókorlátja: 0. Abszolút minimum helye a 0, értéke: 0.

19. Oldd meg a valós számok halmazán

x

y

1 2 3−3 −2 −113579

111315171921232527

0 x

y

1 2 3−3 −2 −113579

111315171921232527

0

az alábbi exponenciális egyenleteketés egyenlőtlenségeket!I. a) 3x = 9 x = 2

b) 3x = 27 x = 3c) 9 ≤ 3x ≤ 27 2 ≤ x ≤ 3

II. a)(

13

)x

= 9 x = −2

b)(

13

)x

= 27 x = −3

c) 9 ≤(

13

)x

≤ 27 −3 ≤ x ≤ −2



C M Y K

48

20. Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi exponenciális egyenleteket és egyenlőtlenségeket!

I. a)(√

2)x

= 4 x = 4 b)(√

2)x

= 32 x = 10 c) 4 ≤(√

2)x�32 4 ≤ x �10

II. a)

(√2

2

)x

= 4 x = −4 b)

(√2

2

)x

= 32 x = −10 c) 4 ≤(√

22

)x

�32 −10 �x ≤ −4

21. Határozd meg, melyik két egész érték közé esnek az egyenlet gyökei!

a) 3x = 13 2 �x �3 b) 5x = 75 2 �x �3 c)(√

3)x

= 15 4 �x �5

d)(

12

)x

= 5 −3 �x �−2 e) 0�3x = 10 −2 �x �−1 f)

(√6

6

)x

= 35 −4 �x �−3


Érdemes megmutatni a feladat szövegének megfelelő grafikus megoldást is a 19–21. feladatoknál, így köny-nyebben rögzül a tanulóknál a kétféle típusú exponenciális függvény grafikonja, és vele együtt a függvényekmonotonitása. Fontos feladattípus, ne hagyjuk ki!

22. Newton „lehűlési szabálya” szerint, ha egy B hőmérsékletű tárgyat egy A hőmérsékletű környezetbehelyezünk, akkor t perc múlva a hőmérséklete T lesz a

T (t) = A + (B −A) · e−kt

képletnek megfelelően, ahol k az anyagtól függő konstans.

a) Egy kémcsőben levő 80 ◦C-os víz szobahőmérsékleten (22 ◦C) 30 percet áll. Mennyi lesz a hőmér-séklete, ha k = 0�01?

T (30) = 22 + (80 − 22) · e−0�01·30 ≈ 65, tehát a víz 65 ◦C-os lesz.

b) A frissen sült almás süteményt kivesszük a 250 ◦C-os sütőből, és várunk egy órát, amíg 40 ◦C-osralehűl a 22 ◦C-os konyhában. Mekkora k értéke az almás süteményre nézve?

T (60) = 22 + (250 − 22) · e−k ·60 = 40. Az egyenletet átrendezve az e−60k = 0�078947 egyenlethez jutunk.Ha az egyenlet mindkét oldalának a 60. gyökét vesszük, azaz 1�60-adik hatványra emeljük, akkor az e−k == 0�958 566 6 egyenlethez jutunk, melynek megoldása majdnem 0, k közelítő értéke 0�0423.

23. Egy radioaktív izotóp bomlásánál az izotópok számát az alábbi exponenciális függvény írja le: N (t) =

= N0 · e−�t , ahol � a bomlási állandó.Grafikonunk az izotópok számát mutatja egy anyagban az idő függvényében.

t (óra)

N (t)

1

1023

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32



C M Y K

49

a) Olvasd le a grafikonról, mekkora volt az izotópok száma a 0. időpillanatban! 5 · 1023

Felezési időnek nevezzük azt az időtartamot, amely alatt az izotópok száma a felére csökken.

b) Olvasd le a grafikonról, mekkora a felezési ideje ennek az anyagnak! (A t mennyiséget órában adjukmeg.) Derítsd ki, mi lehet ez az anyag! Azt keressük, mikor lesz 2�5 · 1023 darab izotóp. Ez a 15. órábankövetkezik be, tehát az anyag felezési ideje 15 óra. Ez az anyag a nátrium izotópja.

Tudáspróba


a) (−5)3 = −125 b) 0�4−2 = 6�25 c) 3√

0�008 = 0�2

d) 4√

−81 Nem értelmezzük. e) 21613 = 6 f) (−121)1�5 Nem értelmezzük.

g)(

49

) 32

=8

27h) 16−0�75 = 0�125

2. Az ábrán az alábbi függvények grafikonját láthatod:

x

y

0�5 1 1�5

0�51

1�5

0

G

F

H

I

a(x ) = x 3 b(x ) = x 7 c(x ) =√x d(x ) = 3

√x

a) Párosítsd a grafikonok betűjelét a függvények hozzárendelési uta-sításával! a–G , b–F , c–H , d–I

b) Jellemezd a d függvényt! ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = 0. A függvényszigorúan monoton nő. Szélsőérték nincs. Páratlan függvény.

3. Számológép használata nélkül döntsd el, hogy melyik nagyobb!

a) 3√19 vagy√

7 6√361 �6√343 b) 4√9 · 4√27 vagy 354

4√

35 = 354

c) 2�537 vagy 2�5

73

7√

2�53 = 21√

2�59 �21√

2�549 = 3√

2�57 d) 2�90�7 vagy 3�10�7 10√

2�97 �10√

3�17

e)(

29

) 45

vagy(

29

)− 45

(29

) 45�1 �

(92

) 45

f) 3√32 + 4 vagy4√

2 − 13√32 + 4 �

√32 + 4

4. Írd fel az alábbi kifejezéseket a , illetve b egyetlen racionális kitevős hatványaként! (a , b�0)

a)3√a2 · 4√

a3

6√a5

= a712 b)

√b3 · 3√

b2 = b116

5. Ábrázold közös koordináta-rendszerben az f (x ) = 2x és a

x

y

0 1 2−3 −2 −1

1

2

3

4

f

g

g(x ) = x+2 függvények grafikonját, és keresd meg azokataz egész x értékeket, melyekre teljesül, hogy 2x ≤ x + 2!x ∈ {−1; 0; 1; 2}

6. Számológép használata nélkül határozd meg az alábbi ki-fejezések pontos értékét!

a) 4√405 + 4√243 − 4√80 − 4√48 − 4√5 − 4√3 =

= 3 4√5 + 3 4√3 − 2 4√5 − 2 4√3 − 4√5 − 4√3 = 0

b)2

32 ·

(80�25

) 23

413 · 0�5− 7

3

=2

32 · 2

12

223 · 2

73

=22

23=

12



C M Y K

50

Vektorok1–2. óra: Ismétlés. Vektorok felbontása összetevőkre

3–4. óra: Helyvektor, osztópont helyvektora

5–6. óra: Vektorok skaláris szorzata

7–9. óra: Koszinusztétel

10–12. óra: Szinusztétel

13–14. óra: További összefüggések a háromszög adatai között, a koszinusz- és a szinusztételtovábbi alkalmazásai


17. óra: Összefoglalás

Mire építünk?

9. évfolyamon bevezettük a vektor fogalmát, és definiáltuk a vektorok összeadását, kivonását, számmal valószorzását. Az egybevágósági transzformációk tárgyalásánál az eltolás kapcsán alkalmaztuk a vektorok fogalmát.10. évfolyamon a szögfüggvények általánosítása előtt utaltunk a vektorok felbontásának tételére.

A fejezet a tetszőleges szög szögfüggvényét meghatározó definíció ismeretére és ezzel kapcsolatban a zsebszá-mológép biztos használatára támaszkodik. A szinusztétel kimondásakor szükség lesz a háromszög területénekkét oldala és az általuk bezárt szög segítségével felírt összefüggésre, amelyet további feladatok megoldásában isfel kell majd használnunk.

Meddig jutunk el?

A vektorokról tanultak ismétlése után precízen kimondjuk és bizonyítjuk a vektorok felbontására vonatkozó té-telt. Definiáljuk a helyvektor fogalmát, és kimondjuk az osztópont helyvektorára vonatkozó tételt. Ezt az össze-függést középszinten elsősorban a felezőponttal és a harmadolóponttal kapcsolatban igyekszünk elmélyíteni, ez-zel együtt célunk a helyvektor fogalmának elmélyítése is. Kimondjuk a háromszög súlypontjának helyvektoráravonatkozó összefüggést.

A vektorok témakörét két vektor skaláris szorzatának definiálása, majd a művelet tulajdonságainak feltárásazárja. Cél, hogy a tanulók a fentieket biztonságosan tudják kezelni, mert erre a koordinátageometriában nagyszükségük lesz. A vektorműveletek koordinátákkal való kiszámolására itt most nem térünk ki, mert még 11.évfolyamon, a koordinátageometria témakörében sor kerül erre.

A fejezetben ezek után a koszinusztételt tárgyaljuk, hiszen ez a skaláris szorzás segítségével könnyen áttekint-hető. Természetesen ezek után a szinusztétel kimondása és bizonyítása következik, majd a fejezetet a szinusz-és koszinusztétel további alkalmazásaival zárjuk.

Fontos, hogy a tanulók a síkbeli és térbeli feladatok megoldása előtt képesek legyenek modellek készítésére,távolságok és szögek kiszámítására.


Középszinten

A tanuló ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket:

• vektor fogalma, abszolút értéke;

• nullvektor, ellentett vektor;

• vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa;

• vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok;

• vektor felbontása összetevőkre;

• szakasz felezőpontja, harmadolópontja helyvektorának felírása és alkalmazása feladatokban;

Vektorok

TEX 2012. február 20. – (1. lap/51. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (K03VEKT)

C M Y K

51

• háromszög súlypontja helyvektorának kifejezése és alkalmazása feladatokban.

• a skaláris szorzat definíciója, tulajdonságainak alkalmazása feladatokban;

Tudja a vektorokat alkalmazni feladatokban.

Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben.

Tudja és használja a szinusz- és a koszinusztételt.

Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben.

Emelt szinten

A tanuló bizonyítsa a szinusz- és a koszinusztételt.

1–2. óra: Ismétlés. Vektorok felbontása összetevőkre


A vektorokról még 9. évfolyamon tanultak a diákok, ezért előfordulhat, hogy az akkor tanultakra kevésbéemlékeznek. Fontos tehát, hogy a fejezet elején a vektorokról eddig tanultakat ismételjük, a feladatgyűjte-mény 133–136. feladatai az ismétlést szolgálják. A vektorok felbontásáról szóló tételnél még a matematikairánt kevésbé fogékony tanulók számára is hangsúlyozzuk, hogy az egyértelműség kimondása a fontos. A bi-zonyítást csak az emelt szinten készülőktől követeljük meg.

A kidolgozott példák mindegyikét ajánljuk, ezek közül a 2. és 3. példát azért tartjuk fontosnak, mert avektorok felhasználásával a tanulók fizikaórán gyakran találkoznak.

Feladatok

Az 1–5. feladatok gyakorlófeladatok a vektorok felbontására, a 6. és 8. feladatok fizika tantárgyból vettpéldák ugyanerre. A 7. és 9. feladatok modellezése is problémát okozhat, ha van időnk, várjuk meg, amíg atanulók maguk készítik el a megoldáshoz szükséges ábrát, ezután beszéljük meg közösen a megoldást.

1. Bontsd fel az u vektort az a és a b bázisvektorokkal párhuzamos összetevőkre!

a)

a

b

u

a ′

b′ b)

a

b u

c)

a

b

u

d)

a

bu

e)

a

b

u

f)

a b

u

Vektorok


C M Y K

52

2. Az ábrán egy paralelogrammarács látható, amelyen adottak az u és v bázisvektorok.

u

va

bc

de

f

g

h

i

a) Fejezd ki az ábrán látható vektorokat az u és a v bázisvektorok segítségével!

a = 3u + v; b = 3u; c = −5u + 2v; d = −2u − 3v; e = 2v; f = 5u − 2v; g = −u + 2v; h = −7u; i = 3u + 2v

b) Keress ellentett vektorokat! f és c

c) Keress három olyan vektort, amelyek összege 0! a + d + g

3. Az a és b vektorok nem párhuzamosak, és egyikük sem nullvektor. Határozd meg az � és a � értékét,ha teljesülnek az alábbiak!

a) 6 · a + 11 · b = � · a + (3 · � + 2) · b � = 6, � = 3b) (� + 2 · �) · a + (� + �) · b = (6 · � − �) · a + (2 · � + � − 3) · b � = 3, � = 5

4. Adottak az a = 2 · u + 3 · v, b = 3 · u + 2 · v és c = 2 · u + v vektorok. Bontsd fel az a-t b-vel és c-velpárhuzamos összetevőkre!a = �b + �c; 2u + 3v = �(3u + 2v) + �(2u + v); 2u + 3v = (3� + 2�)u + (2� + �)vA vektorok egyértelmű felbonthatósága miatt ebből a következő egyenletrendszert kapjuk:

3� + 2� = 2

2� + � = 3

}, amelynek megoldásai: � = 4, � = −5.

5. Rajzolj egy ABCD téglalapot! Jelöld az−→AB oldalvektorát a-val, az

−→AC átlóvektorát b-vel!

Fejezd ki a megadott vektorokat a és b segítségével, és add meg az a és b vektorokra vonatkozó koor-dinátáikat!

a)−→BC = b − a, a koordináták: (−1; 1) b)

−→CD = −a, a koordináták: (−1; 0)

c)−→DB = 2a − b, a koordináták: (2; −1) d)

−→DA = a − b, a koordináták: (1; −1)

6. Egy kutyaszánt 6 kutya húz. A kutyákat egyesével kötik megfelelő távolságban a vezetőszálhoz, mindkétoldalára hármat-hármat. Egy kutya 30 N nagyságú erőt fejt ki szánhúzás közben.

Mekkora erőt fejtenek ki a kutyák a szánra összesen, ha a kötelük a vezetőszállal 10◦-os szöget zár be ahúzás során? Bontsuk fel egy kutya által kifejtett erőt vezetőszál irányú (Fx ) és arra merőleges (Fy ) komponensre!A vezetőszálra merőleges komponensek összege 0, így a kutyák által a szánkóra kifejtett erő nagysága 6 · Fx == 6 · 30 · cos 10◦ = 177�3 N.

7. Három farönköt a következő módon helyeztünk el: az R1 és R2 sugarú, hosszában félbevágott két fa-törzset szorosan egymás mellé illesztettük és rögzítettük a talajhoz, majd a harmadik, R3 sugarú egészfatörzset, amelynek súlya 1000 N, rájuk fektettük.

Mekkora erővel nyomja a felső törzs az alsó törzseket, ha

a) a törzsek sugara egyenlő: R1 = R2 = R3 = 3 dm; A felső rönkreF1F2

30◦

mg

O1 O2

O3ható erők eredője 0. Bontsuk fel az F1 és F2 kényszererőket vízszintesés függőleges irányú komponensekre! Az erők eredője vízszintes irány-ban is 0, így a szimmetria miatt F1 = F2. Mivel a függőleges irányú

erők eredője 0, ezért: 2·F1·cos 30◦ = mg ⇒ F1 =mg

2 · cos 30◦ =1000√

3≈

≈ 577�4 N.

Vektorok


C M Y K

53

b) R1 = 3 dm, R2 = 2 dm és R3 = 1 dm?

��

� �

F1

F2

3 2

3

11

2

mg

Q

O1 O2

O3

Készítsünk ábrát! Az a) részben ismertetett kompo-nensekre bontás módszeréhez hasonlóan a b) részis megoldható. Itt egy egyszerűbb megoldást ismer-tetünk. Az O1O2O3 háromszög oldalainak hossza3 dm, 4 dm és 5 dm, amely pitagoraszi szám-hármas, ezért az O1O2O3 háromszög derékszögű.O3PQ� ∼ O2O3O1�, mert szögeik egyenlők, ígymegfelelő oldalaik aránya is egyenlő:

F1

mg=

35

⇒ F1 = 600 N,F2

mg=

45

⇒ F2 = 800 N.

8. Egy siklóernyős, akinek a felszereléssel együtt 900 N a súlya, egy szép nyári napon

K2K1

mg

60◦60◦éppen állandó sebességgel ereszkedik lefelé.

Mekkora az ernyőt tartó zsinórokban ébredő kötélerő, ha azok a beülőhöz való csat-lakozásuknál 60◦-os szöget zárnak be a függőlegessel?

Bontsuk fel a kötélerőket vízszintes és függőleges irányú komponensekre! Az előzőekhez ha-sonlóan K1x = K2x , ezért K1 = K2. Az ábra alapján 2K1 · cos 60 = mg ⇒ K1 = K2 = 900 N.

9. Az OAB háromszög OA oldalának A-hoz közelebbi harmadolópontja D , az AB oldalának A-hoz kö-

zelebbi negyedelőpontja E . OE és BD metszéspontját jelölje P! Fejezd ki az−→OP vektort az

−→OA = a és

az−→OB = b vektorok segítségével!

−→OE =

−→OA +

14−→AB = a +

14

(b − a) =34

a +14

b,−→DB = b − 2

3a

A megoldás a tankönyv kidolgozott 4. c) példának megoldásához hasonló.−→OP ‖ −→

OE , ezért−→OP = � · −→

OE = �(

32

a +14

b)

=3�4

a +�

4b. (1)

−→DP ‖ −→

DB , ezért−→DP = � · −→

DB = �

(b − 2

3a)

= −2�3

a + �b.

Az−→OP vektor az

−→OD és a

−→DP vektorok összege, ezért:

−→OP =

−→OD +

−→DP =

23

a +(

−2�3

a + �b)

=(

23

− 2�3

)a + �b. (2)

A vektorok felbontása egyértelmű, ezért az (1)-gyel és (2)-vel jelölt egyenletekben az a és b együtthatói egyenlők,

tehát:

3�4

=23

− 2�3

�

4= �

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

. Az egyenletrendszer megoldása: � =8

11és � =

211

, így−→OP =

611

a +2

11b.

3–4. óra: Helyvektor, osztópont helyvektora


Ebben a fejezetben bevezetjük a helyvektor fogalmát, majd a szakasz felezőpontja, harmadolópontja hely-vektorának felírásával eljutunk az osztópont helyvektorának általánosításához.

Nagyon fontos, hogy a tanulók a helyvektor fogalmát elsajátítsák, mert később a koordinátageometriábanerre igen nagy szükségük lesz. A 3. példa arra mutat rá, hogy ha két pont helyvektora egyenlő, akkor a kétpont szükségképpen azonos. A feladatok bőséges száma segíti a tanultak elmélyítését.

Vektorok


C M Y K

54

Feladatok

Az 1–4. feladatok gyakorlófeladatok az osztópont helyvektorának, az 5–7. feladatok pedig a háromszög súly-pontja helyvektorának felírására. A 8–10. feladatok már összetettebbek, az osztópont felírásán túl a 4. példamegoldásához hasonló ötletre van szükség. A 11–14. feladatokat a matematika iránt fogékony gyerekeknekajánljuk (ez alól csak a 13. kivétel), a 15–18. feladatok egymásra épülnek, akár szakkörön is feldolgoz-hatóak. Több feladatnál célszerű helyvektorokat bevezetni, melyek kezdőpontjának „ügyes” megválasztásaleegyszerűsíti a feladat megoldását.

1. Fejezd ki az AB szakasz végpontjaiba mutató a és b helyvektorok segítségével az adott arány szerintiosztópontok helyvektorát!

a) A-hoz közelebbi negyedelőpont p =3a + b

4

b) A-hoz közelebbi, 3 : 4 arányban osztó pont p =4a + 3b

7

c) A-tól távolabbi, 3 : 4 arányban osztó pont p =3a + 4b

7

d) B-hez közelebbi, 1 : 7 arányban osztó pont p =a + 7b

8

2. Az OAB háromszögben−→OA = a,

−→OB = b legyen! Jelöld ki az AB egyenesen azt a P pontot, amelyre

igaz, hogyAP

PB= k !

Fejezd ki a-val és b-vel az−→OP = p vektort, ha az alábbiak teljesülnek!

ab

p

O

AB

PKészítsünk ábrát! A felírt arányból és az osztópontra vonatkozó összefüggés-ből következik a megoldás:

a) k =23

p =3a + 2b

5b) k =

45

p =5a + 4b

9

c) k =58

p =8a + 5b

13d) k =

32

p =2a + 3b

5

e) k =43

p =3a + 4b

7f) k =

57

p =7a + 5b

12

3. Az AB szakasz végpontjaiba mutató a és b helyvektorokkal add meg az alábbi pontokba mutató hely-vektorokat! Az AB szakaszt hosszabbítsd meg

a) a B ponton túl az AB szakasz hosszával;

Az AP szakasznak B a felezőpontja, ezért b =a + p

2, amelyet rendezve kapjuk: p = 2b − a.

b) a B ponton túl az AB szakasz hosszának felével;

Az AP szakasznak B egy harmadoló pontja, ezért b =a + 2p

3, amelyet rendezve kapjuk: p =

3b − a2

.

c) az A ponton túl az AB szakasz kétszeresével!

A BP szakasznak A egy harmadoló pontja, ezért a =2b + p

3, amelyet rendezve kapjuk: p = 3a − 2b.

4. A PQRS négyszög oldalvektorai−→PQ = p és

−→SR = s legyenek! A PS oldal felezőpontja legyen A, a QR

oldalé pedig B! Igazold, hogy−→AB =

p + s2

!

Legyen az origó az A pont, jelöljük az−→AS vektort d-vel, így

−→AP = −d. Ekkor

−→AQ = −d + p,

−→AR = d + s. Írjuk fel

a QR szakasz B felezőpontjának helyvektorát, mely azonos−→AB-ral!

−→AB =

−→AQ +

−→AR

2=

−d + p + d + s2

=p + s

2, ezzel az állítást igazoltuk.

Vektorok


C M Y K

55

5. Bizonyítsd be, hogy a háromszög súlypontjából a csúcsokba vezető vektorok összege 0!

Válasszuk origónak az S pontot! Jelölje a csúcspontokba mutató vektorokat a, b és c! A súlypontra vonatkozó tétel

szerint s =a + b + c

3, de esetünkben az S pont helyvektora 0, így

a + b + c3

= 0, amelyből az állítás már következik.

6. Az ABC háromszög oldalait meghosszabbítottuk az ábra sze-

a b

c

a′

b′

c′A B

C

A′

B ′

C ′

O

rint a saját hosszukkal. Igazold, hogy az eredeti és az így kapottA′B ′C ′ háromszögnek közös a súlypontja!Jelöljük az ABC háromszög csúcsainak helyvektorait a, b, c-vel, azA′B ′C ′ háromszög csúcsainak helyvektorait pedig a′, b′, c′-vel! Fejez-zük ki ez utóbbi helyvektorokat a-val, b-vel és c-vel, majd írjuk felA′B ′C ′ háromszög S ′ súlypontjának helyvektorát!

a′ = 2c − b, b′ = 2a − c, c′ = 2b − a,

s′ =a′ + b′ + c′

3=

2c − b + 2a − c + 2b − a3

=a + b + c

3= s

A két háromszög súlypontjának helyvektora egyenlő, így a két pont szükségszerűen azonos.

7. Az ABC háromszög súlypontja legyen S , a PQR háromszögé pedig T ! Az AP , BQ , CR szakaszokfelezőpontjai legyenek X , Y és Z ! Igazold, hogy az XYZ háromszög W súlypontja felezi az STszakaszt!

Jelöljük az ABC háromszög csúcsainak helyvektorait a, b, c-vel, a PQR háromszögét pedig p, q, r-rel! Fejezzükki a két háromszög S , illetve T súlypontjának helyvektorát, majd a feladatban szereplő szakaszok felezőpontjainakhelyvektorait!

s =a + b + c

3, t =

p + q + r3

, x =a + p

2, y =

b + q2

, z =c + r

2

sXYZ =x + y + z

3=

a + b + c + p + q + r6

fst =s + t

2=

a + b + c + p + q + r6

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⇒ a két pont helyvektora egyenlő, így a két pont azonos.

8. Legyenek AB és CD tetszőleges szakaszok, felezőpontjaik pedig P és Q! Igazold, hogy az AC , BD ,PQ szakaszok felezési pontjai egy egyenesen vannak!

Jelöljük az A, B , C és D pontok helyvektorait a, b, c és d-vel, segítségükkel fejezzük ki a P és Q pontok p és qhelyvektorait, majd fejezzük ki a szóban forgó felezőpontok helyvektorait!

p =a + b

2, q =

c + d2

, fAC =a + c

2, fBD =

b + d2

, fPQ =p + q

2=

a + b2

+c + d

22

=fAC + fBD

2A PQ szakasz felezőpontjának helyvektora egyenlő az FAC és FBD pontok felezőpontjának helyvektorával, így eza két pont egybeesik, ami azt jelenti, hogy a szóban forgó három felezőpont egy egyenesre illeszkedik.

9. Az OAMB paralelogramma OA és BM oldalainak A-hoz, illetve B-hez

a

bp

q

O A

MB

C

D

P

Q

közelebbi harmadolópontjai C , illetve D . A CD szakasz harmadolópont-jait jelölje P és Q!

Fejezd ki az−→OP , illetve az

−→OQ vektort az

−→OA = a, illetve

−→OB = b

vektorok segítségével!−→OC =

23

a,−→OD = b +

a3

Az osztópontra vonatkozó összefüggés alapján:

p =2−→OD +

−→OC

3=

2b + 2a3 + 2a

33

=2b + 4a

33

=6b + 4a

9, q =

−→OD + 2

−→OC

3=

b + a3 + 4

3 a

3=

b + 53 a

3=

3b + 5a9

.

Vektorok


C M Y K

56

10. Igazold, hogy bármely négyszög középvonalának felezőpontja egybeesik az átlók felezőpontját összekötőszakasz felezőpontjával!

Jelölje A, B , C és D a négyszög csúcspontjait, a, b, c és d a csúcsok helyvektorait! Jelölje BC felezőpontját P ,AD felezőpontját Q! Fejezzük ki a középvonal felezőpontjának helyvektorát!

fPQ =p + q

2=

b + c2

+a + d

22

=a + b + c + d

4

Az átlók felezőpontjai: fAC =a + c

2és fBD =

b + d2

, az általuk meghatározott szakasz felezőpontja:

f =fAC + fBD

2=

a + c2

+b + d

22

=a + b + c + d

4.

A feladatban szereplő két felezőpont helyvektora egyenlő, így a két pont egybeesik.

11. Az O közös kezdőpontú, nem párhuzamos a és b vektorok végpontjai

ab

p

O

AB

PA és B . Legyenek az � és a � pozitív valós számok!

a) Igazold, hogy az AB szakasz bármely P belső pontjának p hely-vektora előállítható p = � · a + � · b alakban, ahol � + � = 1.

p = a +−→AP ,

−→AP = � · −→

AB = � · (b − a)

p = a +−→AP = a + �(b − a) = (1 − �)a + �b = �a + �b, ahol � = 1 − � ,

így az � + � = 1 teljesül.

b) Igazold az a) állítás megfordítását! Ha p = � · a + � · b, ahol � + � = 1, akkor p az AB szakasz egyP belső pontjának helyvektora.

p = �a + �b = (1 − �)a + �b = a + �(b − a)

Felhasználva, hogy � �1, ebből az állítás következik.

12. Legyen az ABC háromszög AC oldalának felezőpontja D , továbbá messe a C -n és a BD szakasz Ffelezőpontján átmenő egyenes az AB oldalt az E pontban!

Milyen arányban osztja ketté E az AB oldalt?

a

bD

A BE

C

F

Ennek a feladatnak a megoldásához szükség van a 11. feladatban szereplőállítás ismeretére.

Legyen az origó a C pont, ekkor az ábrának megfelelően−→CA = a és

−→Cb = b.

−→CF =

−→CD + b

2=

a2 + b

2=

14

a +12

b

A−→CE vektor a

−→CF vektor számszorosa, ezért

−→CE = �

−→CF =

�

4a +

�

2b. Az előző feladat szerint, ha E az AB

szakasz belső pontja, akkor ebben az előállításban az együtthatók összege 1, ezért felírhatjuk, hogy�

4+�

2= 1.

Az egyenlet megoldása � =43

, így−→CE =

13

a +23

b, amelyből az következik, hogy az E pont az AB szakasz B-hez

közelebbi harmadolópontja.

13. Igazold, hogy a tetraéder súlyvonalai egy pontban metszik egymást, és ez a pont a súlyvonalak laphozlegközelebb eső negyedelőpontja!(Megjegyzés: A tetraéder súlyvonalát a fejezet 2. példáját követő megjegyzésben definiáltuk.)

Jelöljük a tetraéder csúcspontjait A, B , C , D-vel, a csúcsok helyvektorait a, b, c, d-vel! Fejezzük ki az ABCháromszög súlypontja és a D pont által meghatározott szakasz ABC háromszög síkjához legközelebbi negyedelőpontjának helyvektorát!

sABC =a + b + c

3, így n =

3sABC + d4

=a + b + c + d

4.

Hasonló eredményre jutunk, ha pl. a BCD háromszög súlypontja és az A pont által meghatározott szakasz negye-delőpontjának helyvektorát írjuk fel, amelyből az állítás következik.

Vektorok


C M Y K

57

14.

a

� ·a

b

� ·a

S1

S2

A B

CD

M

Egy konvex ABCD négyszög átlóinak metszéspontja M . Bizonyítsd be, hogy ha M rajta van az ABMháromszög súlypontját a CDM háromszög súlypontjával összekötő egyenesen, akkor a négyszög trapéz!

Használjuk az ábra jelöléseit! Legyen az origó az M pont, ekkor a =−−→MA

és b =−−→MB . Az

−−→MC és az

−−→MD vektorok egy egyenesbe esnek a-val, illetve

b-vel, ezért−−→MC = �a és

−−→MD = �b. Az ABM háromszög súlypontjának

helyvektora s1 =a + b + 0

3=

13

a +13

b, az MCD háromszög súlypontja

a feltételek miatt ennek a vektornak a számszorosa: s2 = �s1 =�

3a +

�

3b,

a súlypontra vonatkozó összefüggés alapján s2 =�a + �b + 0

3=�

3a +

�

3b.

Az s2 helyvektorát kétféleképpen állítottuk elő, és a vektorok felbontására vonatkozó tétel miatt a két felbontásbólkövetkezik, hogy � = � .−→CD = �a − �b = �a−�b = � (a − b) = �

−→AB

Az kaptuk, hogy a−→CD vektor az

−→AB számszorosa, tehát AB ‖ CD , ABCD négyszög trapéz.

15. Bizonyítsd be, hogy a háromszög köré írható kör középpontjából a csúcsokba mutató vektorok összegeegyenlő a kör középpontjából a háromszög magasságpontjába mutató vektorral!

(A szokásos jelölésekkel:−→OA +

−→OB +

−→OC =

−−→OM )

Használjuk az ábra jelöléseit! |a| = |b| = |c| = R

a b

c

a+bc

mc O

A B

C

M

F

M ′

a + b ⊥ AB , mc ⊥ AB , ezért az (a + b) + c vektor végpontja az mc valamelypontjába mutat.

Hasonlóképp kapjuk, hogy az a + b + c vektor végpontja az ma valamely pontjábamutat, valamint azt, hogy az a + b + c vektor végpontja az mb valamely pontjábamutat.

A három feltétel egyszerre csak úgy teljesülhet, ha az összegvektor a magasságvo-nalak közös M pontjába, a magasságpontba mutat, így az állítást beláttuk.

16. Az ABC háromszög köré írható kör középpontja O , súlypontja S , magasságpontja M . Igazold, hogy Sharmadolja az OM szakaszt, mégpedig úgy, hogy OS : SM = 1 : 2!(Az O , S és M pontokra illeszkedő egyenest nevezzük a háromszög Euler-egyenesének [ejtsd: ajler].)

Legyen az origó a háromszög köré írható körének O középpontja, ekkor az ABC háromszög csúcsainak helyvektora

a, b és c. Az előző feladat alapján−−→OM = a + b + c, a súlypontra vonatkozó összefüggés alapján

−→OS =

a + b + c3

,

ebből következik, hogy−−→OM = 3

−→OS , tehát O , S és M pontok egy egyenesre illeszkednek, és S az OM szakasz

harmadolópontja.

17. Bizonyítsd be, hogy a háromszög magasságpontjának az egyik oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképea háromszög köré írt körére illeszkedik!

Használjuk a 15. feladathoz készített ábrát! |a| = |b| = |c| = R.−−→OM = a + b + c, és

−→OF =

a + b2

.

Az F pont felezi az MM ′ szakaszt, ezért−→OF =

−−→OM +

−−→OM ′

2⇒

−−→OM ′ = 2

−→OF − −−→

OM = (a + b) − (a + b + c) = −c.∣∣∣−−→OM ′

∣∣∣ = | − c| = R, ezzel az állítást beláttuk.

Megjegyzés: A húrnégyszögek tételénél igazoltuk az állítást, most egy vektoros megoldást adtunk.

18. Az−→OA,

−→OB és

−→OC a sík olyan egységvektorai, amelyekre az O pont az ABC háromszögön kívül van.

Igazold, hogy ekkor |−→OA +

−→OB +

−→OC | �1! Mivel

∣∣∣−→OA

∣∣∣ =∣∣∣−→OB

∣∣∣ =∣∣∣−→OC

∣∣∣, ezért az O a háromszög köré írt

körének középpontja. Az ABC háromszög köré írható körének O középpontja a háromszögön kívül van, ebből

Vektorok


C M Y K

58

következik, hogy a háromszög tompaszögű. Tompaszögű háromszög magasságpontja a köré írt körön kívülre esik,

ezért∣∣∣−−→OM ∣∣∣ �R. Tudjuk, hogy

−−→OM =

−→OA +

−→OB +

−→OC , felhasználva, hogy R = 1, ebből az állítás következik.

5–6. óra: Vektorok skaláris szorzata


Ebben a fejezetben bevezetjük a vektorok skaláris szorzatát, és részletesen kitérünk a műveleti tulajdon-ságokra is. A műveleti tulajdonságok igazolása nem középszintű tananyag, éppen ezért csak érdeklődőbbcsoporttól várjuk el a megtanulását. Fontos azonban, hogy mindenki tudja alkalmazni a merőleges vektorokskaláris szorzatára vonatkozó tételt, valamint ki tudja számolni egy vektor önmagával vett skaláris szorzatát.

A bevezetésben fizikapéldából indulunk ki, hangsúlyozzuk, hogy ez a művelet onnan kapta az elnevezését,hogy két vektormennyiség eredményeként egy skaláris mennyiséget kapunk.

A skaláris szorzást többek között a két vektor által bezárt szög meghatározására használhatjuk fel, erre majda koordinátageometriában is építeni fogunk.

Feladatok

Az 1., a 2. és a 3. feladat a skaláris szorzat definíciójára épülő egyszerű gyakorlófeladatok. A 4–6. felada-tok megoldásához a definíción túl a vektorok műveleti tulajdonságainak ismeretére van szükség. A 7–10.feladatok már összetettebbek, gyakorlásra, órai munkára javasoljuk. A 11–14. feladatokban állításokat kellbizonyítani, ezért ezeket a matematika iránt fogékonyabb tanulóknak ajánljuk a skaláris szorzat sokszínűfelhasználásának bemutatására.

1. Határozd meg a skaláris szorzatok értékét!a) |a| = 2; |b| = 4; � = 30◦ a · b = 2 · 4 · cos 30◦ = 4

√3

b) |a| = 3; |b| = 7�5; � = 140◦ a · b = 3 · 7�5 · cos 140◦ = −17�236c) |a| = 5; |b| = 5; � = 180◦ a · b = 5 · 5 · cos 180◦ = −25

2. Mekkora az a és b vektor hajlásszöge, ha |a| = 4 és |b| = 5, és skaláris szorzatuka) 10; b) −20; c) 25; d) 13�38; e) 0,05; f) 0?

A skaláris szorzat definíciója alapján a keresett szög koszinuszát kifejezzük: cos� =a · b

|a| · |b| . Mivel a cos(x )

függvény 0 és között (0◦–180◦) szigorúan monoton, innen � egyértelműen meghatározható.

a) � = 60◦ b) � = 180◦ c) cos� =2520

�1, nincs megoldás

d) � ≈ 48�01◦ e) � ≈ 89�86◦ f) � = 90◦

3. Az ABCD négyzet oldalhossza 2. Határozd meg az alábbi skaláris szorzatok értékét!

a)−→AB · −→

AC = 2 · 2 ·√

2 · cos 45◦ = 4 b)−→AB · −→

DC = 2 · 2 · cos 0◦ = 4

c)−→DA · −→

BD = 2 · 2 ·√

2 cos 135◦ = −4 d)−→AC · −→

DB = 2 ·√

2 · 2 ·√

2 · cos 90◦ = 0

4. Egy egység sugarú körbe írt szabályos hatszög csúcsai rendre ABCDEF . Legyen−→AB = b és

−→BC = c!

Fejezd ki b és c segítségével a−→CD = d vektort, majd számítsd ki az alábbi skaláris szorzatok értékét!

Jelölje O a szabályos hatszög köré írható körének középpontját! Kihasználva, hogy a szabályos hatszög 6 db sza-

bályos háromszögre bontható:−→OC = b,

−→OD = c, így

−→CD = d = c − b.

a) b · d = 1 · 1 · cos 120◦ = −12

b) b · c = 1 · 1 · cos 60◦ =12

Vektorok


C M Y K

59

c) d · (b − d) = d · b − d2 = −12

− 1 = −32

d) (c + b − d) · (b − d) =[c + b − (c − b)

][b − (c − b)

]= 2b(2b − c) = 4b2 − 2bc = 4 − 2

12

= 3

5. Egy egységnyi élű kocka A csúcsából kiinduló 3 élvektora legyen a, b, c! Számítsd ki az alábbi skalárisszorzatokat!

Kihasználva, hogy a kocka élei páronként merőlegesek egymásra, ezért ezen oldalvektorok skaláris szorzata 0:

a) (a + b + c) · (a + b) = a2 + ab + ac + ab + b2 + cb = a2 + b2 = 2

b) (a + b + c) · (b + c) = c2 + b2 = 2

c) (a + b) · (b + c) = ab + ac + b2 + bc = b2 = 1

6. Az a és b vektor hajlásszöge�

3, továbbá |a| = 3, |b| = 4.

Határozd meg a következő skaláris szorzatok értékét! � = 60◦, |a| = 3, |b| = 4

a) a · b = 3 · 4 · cos 60◦ = 6

b) (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 9 + 16 + 2 · 6 = 25 + 12 = 37

c) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 = 9 − 2 · 6 + 16 = 13

d) (3 · a − 2 · b) · (a + 2 · b) = 3a2 + 4ab − 4b2 = 3 · 9 + 4 · 6 − 4 · 16 = −13

7. Mekkora szöget zárnak be az a és b egységvektorok, ha tudjuk, hogy az 5 · a − 4 · b és az a + 2 · bvektorok merőlegesek egymásra?

Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0.

(5a − 4b(a + 2b) = 0

5a2 + 6ab − 8b2 = 0A disztributivitást felhasználva:

5 + 6 cos� − 8 = 0Tudjuk, hogy a2 = b2 = 1.

cos� =36

cos� = 0�5 ⇒ � = 60◦

8. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának hossza c. Fejezd ki c segítségével az alábbi kifejezés

értékét:−→AB · −→

AC +−→BC · −→

BA +−→CA · −→

CB−→AB ·−→

AC +−→BC ·−→

BA+−→CA ·−→

CB =−→AB ·−→

AC−−→AB ·−→

BC +−→CA ·−→

CB =−→AB(

−→AC−−→

BC )+−→CA ·−→

CB = c ·c ·cos 0◦ +0 = c2,

felhasználtuk, hogy−→AC − −→

BC =−→AB

9. Az a és b vektor hajlásszöge 60◦, továbbá |a| = 3, |b| = 2.Mekkora az (a + b) vektor hossza?

Egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának négyzetével egyenlő, ezért:

|a + b| =√

(a + b)2 =√

a · a + 2a · b + b · b =√a2 + 2ab cos� + b2 =

√32 + 2 · 3 · 2 · 0� 5 + 22 =

√19.

10. Az a és b vektor hajlásszöge 120◦, továbbá |a| = 2, |b| = 5. Határozd meg k értékét, ha a p = 3 · a − bvektor merőleges a q = k · a + 17 · b vektorra!

Ha a p és q vektorok merőlegesek egymásra, akkor a skaláris szorzatuk 0. Így:

� = 120◦, |a| = 2, |b| = 5, p = 3a − b, q = ka + 17b, (3a − b)(ka + 17b) = 0, 3ka2 + 51ab − kab − 17b2 = 0.

Beírva az adatokat: 12k + 51 · 2 · 5 ·(

−12

)− k · 2 · 5 ·

(−1

2

)− 425 = 0, 17k = 680 ⇒ k = 40.

11. Bizonyítsd be, hogy a rombusz átlói merőlegesek egymásra!

Jelölje a rombusz oldalvektorait a és b! Az átlóvektorai e = a + b, f = a − b.Írjuk fel az átlóvektorok skaláris szorzatát! e · f = (a + b)(a − b) = a2 − b2

Mivel |a| = |b|, így az átlóvektorok skaláris szorzata e · f = 0, tehát a két vektor merőleges egymásra.

Vektorok


C M Y K

60

12.

a bsbsa

�

A B

C

Fb Fa

Az ABC háromszög A és B csúcsából induló súlyvonalai merőlegesek egymásra. Igazold, hogy ennek

a háromszögnek a C csúcsánál levő � szögére cos � ≥ 45

teljesül.

Az ábra jelölései alapján sa =b2

− a és sb =a2

− b. Mivel sa és sb egymásra

merőlegesek, így:

sa · sb = 0�(b2

− a)(a

2− b

)= 0�

ab4

+ ab − a2

2− b2

2= 0�

54

ab =a2 + b2

2�

54ab cos � =

a2 + b2

2

Könnyen igazolható az alábbi nevezetes egyenlőtlenség:

a2 + b2

2≥ ab�

54ab cos � ≥ ab�

cos � ≥ 45

13. Az ABCD téglalap csúcsait kösd össze a sík egy tetszőleges P pontjával!

pa b

cd

A B

CD

O

P

Bizonyítsd be, hogy PA2 + PC 2 = PB2 + PD2!Legyen az origó a téglalap átlóinak O metszéspontja, jelölje az A, B , C , D és Ppontok helyvektorait rendre a, b, c, d és p! Ekkor c = −a és d = −b. Fejezzükki a helyvektorok segítségével az egyenlet két oldalán álló kifejezéseket!

−→PA

2+

−→PC

2= (a − p)2 + (c − p)2 = a2 − 2ap + p2 + c2 − 2pc + p2, mivel c = −a:

PA2 + PC 2 =−→PA

2+

−→PC

2= 2a2 + 2p2.

Hasonlóan mutathatjuk meg, hogy PB2 + PD2 =−→PB

2+

−→PD

2= 2b2 + 2p2. Mivel

a = b, ezért állításunkat igazoltuk.

14.

e

b

a

c

�

A

B CD

E

F

G

Az ABC derékszögű háromszög átfogója AC . Az egyik befogóra és az átfogóra négyzeteket rajzolva azACFG és az ABDE négyzeteket kapjuk.

Bizonyítsd be, hogy CE és BG merőlegesek egy-másra!

Készítsünk a feladatnak megfelelő ábrát, használjuk a

jelöléseit!−→EC · −→

BG = (c − e)(g − b) = cg − cb − eg ++ eb = −c · b · cos� − e · g · cos(180◦ − �) = 0

Felhasználtuk, hogy e és b, valamint c és g vektorokegymásra merőlegesek, továbbá e = b, c = g .

Mivel−→EC · −→

BG = 0, ezek merőlegesek egymásra.

Megjegyzés: A feladat elemi geometriai úton is igazol-ható: EAC� ∼= ABG� (két-két oldaluk egyenlőségeés EAC�= BAG�= 90◦ + � miatt). Az A pont körüli90◦-os elforgatással a két háromszög egymásba vihető.

Vektorok


C M Y K

61

7–9. óra: Koszinusztétel


Az általános háromszögben a szinusz- és a koszinusztétel segítségével tudunk ismert adatokból további ada-tokat kiszámítani. Először a koszinusztételt tárgyaljuk, mert igazolása a skaláris szorzás felhasználásávalegyszerű. A tétel alkalmazásánál feltétlenül tudatosítsuk a gyerekekben azt, hogy a koszinusztétellel, a há-romszög oldalainak ismeretében a háromszög szögét is meghatározhatjuk. Amennyiben megválaszthatjuk,hogy a koszinusztétel segítségével a háromszög melyik szögét határozzuk meg, mindig a legnagyobb oldal-lal szemközti szöget válasszuk.

A feladatok megoldásakor ösztönözzük a gyerekeket az önálló értelmezésre és az ábrakészítésre. A model-lezés képességét nagyon fontos fejlesztenünk ebben a témakörben.

Feladatok

A feladatok között szerepelnek klasszikus alapfeladatok, térbeli feladatok és a fizikából ismert erők felbon-tására vonatkozó feladatok, az utolsó feladatok pedig az általános háromszög trigonometriájára épülnek.

Az 1. és a 2. feladat egyszerű gyakorlófeladat, a 3. és 5. fizikai vonatkozású példa. A 4. és 6–10. feladatoksíkgeometriai és térgeometriai számításokat igényelnek. A 11. feladatot mindenképp órai munkára javasoljuk.A 12–15. feladatok megoldását az érettségire emelt szinten készülőknek ajánljuk.

A feladatok megoldása során hívjuk fel a tanulók figyelmét a kerekített értékkel való számolásra.

1. Határozd meg a háromszög hiányzó adatát (adatait), ha a háromszög oldalait és szögeit a szokásos módonjelöljük!

a) a = 5�3 cm, b = 4�7 cm, � = 23�4◦, c = ? c ≈ 2�11 cmb) a = 6�2 cm, b = 51 mm, c = 3�2 cm, � = ? � ≈ 31◦

c) b = 3�4 cm, c = 47 mm, � = 145◦, a = ? a ≈ 7�73 cmd) a = 7�8 cm, b = 5�2 cm, c = 8�45 cm, � , � , � = ? � = 78�28◦, � = 64�67◦, � = 37�05

2. Számítsd ki a háromszög kerületét, ha két oldalának aránya 3 : 4, az oldalak által bezárt szög

a) 60◦, és a harmadik oldal hossza 25�96 cm; a = 3x , b = 4x , � = 60◦, c = 25�96

(3x )2 + (4x )2 − 2 · 12 · x 2 · cos 60◦ = 25�962

9x 2 + 16x 2 − 12x 2 = 25�962

13x 2 = 25�962

x ≈ 7�2 cm

Így a ≈ 21�6 cm, b ≈ 28�8 cm, c = 25�96 cm. A háromszög kerülete tehát: K ≈ 76�36 cm.

b) 120◦, és a harmadik oldal hossza 43�8 cm! Hasonlóan számolhatunk ebben az esetben is, ekkor az x ≈≈ 7�2 cm, a ≈ 21�6 cm, b ≈ 28�8 cm értékeket kapjuk. A háromszög kerülete: K ≈ 94�2 cm.

3. Egy balatoni kikötőből egyszerre indul el két hajó, az egyik 32kmh

, a másik 26kmh

sebességgel.

Az első nyugat-északnyugat, a második északi irányban halad.

Milyen messze lesznek egymástól fél óra múlva?

A hajók fél óra alatt a = 16 km és b = 13 km távolságot tesznek meg, útvonaluk 67�5◦ szöget zár be egymással.Koszinusztétellel kiszámíthatjuk a két hajó távolságát: c2 = a2 + b2 − 2ab cos 45◦ ≈ 130�844, c ≈ 16�4 km.

A két hajó távolsága tehát megközelítőleg 16�4 km.

Vektorok


C M Y K

62

4. Egy dimbes-dombos terepen három magányos fa áll: egy akác (A), egy bükk (B) és egy tölgy (T ). Azakácfa és a bükkfa között egy domb emelkedik, ezért nem tudjuk megmérni a távolságukat. Meg tudjukmérni viszont a tölgy-akác, és a tölgy-bükk távolságot: TA = 192 m, TB = 247 m. Az ATB�= 78�3◦.Milyen távol van az akácfa a bükkfától?Koszinusztétel felhasználásával az akác és a bükkfa távolsága ≈ 280�4 m.

5. Egy pontszerű testre két erő hat: F1 = 13�7 N és F2 = 21�1 N, a két erő által bezárt szög 48◦.Határozd meg az eredő erő nagyságát, és az F2 erővel bezárt szögét! Ábrakészítés után F1, F2 és Feredő általmeghatározott háromszögre felírva a koszinusztételt, |F1|, |F2| és (F1�F2)�= 132◦ adatokkal határozhatjuk megaz eredő erő nagyságát, amely ≈ 31�9 N, az eredő erő F2 erővel bezárt szöge ≈ 18�6◦.

6. Egy paralelogramma oldalai 5 és 7 cm hosszúak, a paralelogramma egyik szöge 50◦. Mekkorák a para-lelogramma átlói, és mekkora a paralelogramma területe? A paralelogramma átlóinak hossza megközelítőleg

5�39 cm és 10�91 cm. A paralelogramma területe 21�81 cm2.

7. Hegyesszögű-e az a háromszög, amelynek oldalai 12 cm, 9 cm és 17 cm hosszúak?Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?Írjuk fel a háromszög leghosszabb oldalára a koszinusztételt, majd fejezzük ki belőle cos �-t!

172 = 122 + 92 − 2 · 12 · 9 · cos � , cos � = − 827

⇒ � ≈ 107�235◦

A háromszög tehát nem hegyesszögű, hanem tompaszögű.

8. Egy nehezen járható terepen három magányos fa áll: egy akác (A), egy bükk (B) és egy tölgy (T ). Azakácfa és a bükkfa között egy szikla áll, ezért nem tudjuk megmérni a távolságukat.Meg tudjuk mérni viszont a tölgy-akác, és a tölgy-bükk távolságot: TA = 90 m, TB = 150 m, továbbáa tölgy-bükk távolság felezőpontjában álló szederbokor (S ) és az akácfa távolságát: AS = 120 m.Milyen távol van az akácfa a bükkfától?

A TSA háromszögben a koszinusztételt felírva: 1202 = 752 + 902 − 2 ·75 ·90 · cos � , cos � = − 120

(� ≈ 92�86◦). Az

ATB háromszögben a koszinusztételt felírva: AB2 = 1502+902−2·150·90·cos � , AB2 = 31 950 ⇒ AB ≈ 178�7 m.

9. Egy háromszög egyik csúcsából kiinduló két oldalának hossza 4 cm, illetve 3 cm, az ebből kiindulósúlyvonal hossza pedig 32�5 mm.

a) Milyen hosszú a háromszög harmadik oldala? A keresett oldal felezőpontjára tükrözve a háromszögetparalelogrammát kapunk. Az a = 3 cm, b = 4 cm és CC ′ = 2sc = 6�5 cm oldalú háromszögben felírvaa koszinusztételt cosACC ′�≈ 0�947. Az AB oldal felére egy újabb koszinusztételt felírva a háromszögharmadik oldala ≈ 2�78 cm.

b) Mekkora a háromszög legnagyobb szöge? A háromszög legnagyobb szöge a leghosszabb oldallal szem-közti szög, amely ≈ 87�5◦.

10. Az ABCD négyszögben AB = 3 cm, BC = CD = 5 cm, DA = 2√

6 cm, a B csúcsnál lévő szög 120◦.Mekkora az AC átló és a D csúcsnál lévő szög? Az ABC háromszögben a koszinusztételből AC = 7 cm, azACD háromszögben a koszinusztételből = 90◦ adódik, vagy észrevesszük, hogy a háromszög oldalai pitagorasziszámhármast alkotnak.

11. Egy hegység 3880 m magas csúcsáról két alacsonyabb

3880

m

1900

m

2600

m

22◦ 18◦81◦

A

B

C

csúcs látható, a csúcsok távolságát 81◦-os szögben látjuk.

Mekkora a két alacsonyabb csúcs távolsága, ha az 1900 mmagas csúcsot 22◦-os, a 2600 m magas csúcsot pedig 18◦-os depressziós szög alatt látjuk fentről?

Jelölje a legmagasabb csúcsot A, a legalacsonyabbat B , a har-madikat pedig C ! Ekkor a B csúcs az A-nál 1980 m-rel van

alacsonyabban, sin 22◦ =1980AB

⇒ AB = 5285�5 m.

A C csúcs 1280 m-rel van alacsonyabban az A-nál, sin 18◦ =1280AC

⇒ AC = 4142�14 m.

A BC távolságot az ABC háromszögből a koszinusztétel segítségével határozhatjuk meg, BC ≈ 6184�5 m.

Vektorok


C M Y K

63

12.

√24

√2

r

r

�

�

�

O

AB

C

Egy r sugarú körbe olyan konvex tizenkétszög írható, melynek hat oldala√

2, másik hat oldala pedig√24 hosszúságú.

a) Mekkora a kör sugara? b) Mekkorák lehetnek a sokszög szögei?

Biztosan van olyan csúcsa a sokszögnek, amelyből két különböző hosszúságúoldal indul. Az ábra egy ilyen részletét mutatja a sokszögnek. Használjuk azábra jelöléseit! 6 ·

(� + �

)= 360◦ ⇒ �+� = 60◦, ebből két dolog következik:

1. A kerületi és középponti szögek tételéből � = 150◦;

2. Az OAC háromszög szabályos, így CA = r .

Írjuk fel az ABC háromszögben a koszinusztételt:

CA2 = (√

24)2 + (√

2)2 − 2 ·√

24 ·√

2 · cos 150◦ = 26 + 12 = 38 ⇒ CA = r =√

38 ≈ 6�16.

Az � és � szöget az OBC , illetve OAB egyenlő szárú háromszögekből határozhatjuk meg:

sin�

2=

CB2r

⇒ sin�

2= 0�3976 ⇒ � = 46�86◦, sin

�

2=

AB2r

⇒ sin�

2= 0�1148 ⇒ � = 13�18◦.

A sokszögnek a 150◦-os szögén kívül kétféle szöge lehet még:

– amelyben két√

2 hosszúságú oldal találkozik, ennek nagysága 180◦ − � ≈ 166�82◦,

– amelyben két√

24 hosszúságú oldal találkozik, ennek nagysága 180◦ − � ≈ 133�14◦.

13.

180◦−��sa

c

ba

A B

C

F

Igazold, hogy bármely háromszögben a súlyvonalak négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegé-nek háromnegyedével!

Használjuk az ábra jelöléseit! Írjuk fel az ABF háromszögben és az AFC három-szögben a koszinusztételt, használjuk ki, hogy cos(180◦−�) = − cos � , majd adjukössze a két egyenletet!

c2 = s2a +

(a2

)2− 2 · sa · a

2· cos �

b2 = s2a +

(a2

)2+ 2 · sa · a

2· cos �

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

⇒c2 + b2 = 2s2a +

a2

2⇒ s2

a =2c2 + 2b2 − a2

4

Hasonlóképpen kaphatjuk, hogy s2b =

2a2 + 2c2 − b2

4és s2

c =2a2 + 2b2 − c2

4. Adjuk össze a három egyenletet:

s2a + s2

b + s2c =

3a2 + 3b2 + 3c2

4=

34

(a2 + b2 + c2). Ezzel az állítást igazoltuk.

14. Egy háromszög oldalai között a következő összefüggés áll fenn:1

a + b+

1b − c

=3

a + b − c. Mekkora a

háromszög b oldallal szemközti szöge?1

a + b+

1b − c

=3

a + b − c

(b − c)(a + b − c) + (a + b)(a + b − c) = 3(a + b)(b − c)

ab + b2 − bc − ca − cb + c2 + a2 + ab − ac + ab + b2 − bc = 3(ab − ac + b2 − bc)

Rendezés után: a2 + c2 + ac = b2. Írjuk fel a b oldalra a koszinusztételt! a2 + c2 − 2ac cos � = b2

Az előző eredménnyel összevetve: 2 cos � = −1, cos � = −12

, � = 120◦.

15. Egy háromszög oldalai a − 1, a és a + 1, ahol a�4, és a egész szám. Igazold, hogy

m

a + 1

a − 1a − x

x

A B

C

Ta) a háromszög hegyesszögű; A háromszög legnagyobb oldala az (a + 1) hosszú-

ságú oldal, írjuk fel erre a koszinusztételt, majd fejezzük ki cos �-t!

(a + 1)2 = (a − 1)2 + a2 − 2(a − 1)a cos � ⇒ cos � =a2 − 4a

2(a − 1)a=

a − 42(a − 1)

A kapott tört értéke a �4 esetén pozitív, ezért � (a háromszög legnagyobbszöge) hegyesszög, így a háromszög hegyesszögű.

Vektorok


C M Y K

64

b) a középső oldalhoz húzott magasság az oldalt olyan részekre osztja, melyeknek különbsége 4!

Használjuk az ábra jelöléseit! Írjuk fel az ATC és az ATB derékszögű háromszögekben a Pitagorasz-tételt,majd vonjuk ki egymásból a két egyenletet!

m2 + x 2 = (a − 1)2

m2 + (a − x )2 = (a + 1)2

}⇒ a2 − 2ax = 4a, innen rendezéssel azt kapjuk, hogy x =

a

2− 2, ekkor a − x =

=a

2+ 2, a két oldal különbsége valóban 4, ezzel az állítást igazoltuk.

10–12. óra: Szinusztétel


A szinusztételt egy példán keresztül vezetjük be. Ismételjük át a háromszög területére tanult T =ab sin �

2összefüggést! A szinusztétel bizonyítását, egyszerűsége miatt, középszinten is megkövetelhetjük.

A tétel alkalmazásakor hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a szinusztétel alkalmazásával nem min-den esetben határozhatjuk meg egyértelműen a háromszög szögeit, a megoldáshoz egyéb meggondolásokrais szükség lehet. A feladatok egy részénél sin� �1 meghatározása után egy hegyes- és egy tompaszögűháromszög is eleget tehet a feladat feltételeinek. Ekkor mindkét megoldással tovább kell dolgozni. (Errea tankönyvben is kitérünk a 113. oldalon.) A feladatok megoldásakor a kerekítés szabályaira ismét felhív-hatjuk a tanulók figyelmét, hiszen a szinusz-, illetve a koszinusztétel alkalmazásakor ritkán kapunk pontosvégeredményt, szükség van a kerekítésre.

A 2. és 3. kidolgozott példát beszéljük meg az órán!

Feladatok

Az 1–5. feladatok egyszerű gyakorlófeladatok a szinusztétel alkalmazására. A feladatokban előfordulnakolyan esetek, amikor az adatokból két háromszög szerkeszthető, vagy esetleg az adatokból nem szerkeszthetőháromszög. A további feladatok középszintűek, ezek közül egyaránt válogathatunk órára és házi feladatnakis. A feladatgyűjtemény feladatait is felhasználhatjuk gyakorlásra.

1. Határozd meg a háromszög kérdéses adatait a szokásos jelölések használatával!

a) a = 11�4 cm, b = 19�8 cm, � = 28◦, � = ?

sin � =19�8 · sin 28◦

11�4⇒ � = 54�6◦ vagy � = 125�4◦ (b�a, ezért � ��)

b) a = 3�9 cm, b = 5 cm, � = 52◦, � = ? Nincs ilyen háromszög.c) a = 5�4 cm, b = 3�2 cm, � = 24◦, � = ?

sin � =3�2 · sin 24◦

5�4⇒ � = 13�9◦ (b�a, ezért � ��)

d) a = 6�4 cm, b = 12�8 cm, � = 30◦, � = ? sin � =12�8 · sin 30◦

6�4⇒ � = 90◦

2. Határozd meg a háromszög szögeit, ha a 8 cm hosszú oldalával szemben 50◦-os szög van, és egy másikoldalának hossza

Jelöljük az egyes részfeladatokban szereplő oldalakkal szemközti szöget �-val, és legyen a b = 8 cm-es oldallalszemközti szög � = 50◦!

a) 5�4 cm; sin� =5�4 · sin 50◦

8, � = 31�1◦, � = 98�9◦ (b�a, ezért � ��)

Vektorok


C M Y K

65

b) 10�3 cm; sin� =10�3 · sin 50◦

8, �1 = 80�5◦ vagy �2 = 99�5◦, ennek megfelelően �1 = 49�5◦ vagy �2 = 30�5◦.

c) 12 cm! sin� =12 · sin 50◦

8�1, nincs ilyen háromszög.

3. Egy parkban egy háromszög alakú virágágyás egyik oldala 10 m, a rajta fekvő két szög pedig 49◦, illetve32◦. Mekkora a virágágyás területe?

A háromszög 10 cm-es oldalával szemközti szöge 99◦, egyik oldala a =10 · sin 49◦

sin 99◦ , (a ≈ 7�64 m).

T =10 · a · sin 32◦

2=

102 · sin 49◦ · sin 32◦

2 · sin 990, T = 20�2 m2

4. Egy háromszög két oldala 2 cm és 5 cm, területe 4 cm2. Mekkorák a háromszög szögei?

4 =2 · 5 · sin�

2⇒ sin� = 0�8, így �1 ≈ 53�1◦, vagy �2 ≈ 126�9◦.

1. eset: �1 ≈ 53�1◦, az oldalra felírva a koszinusztételt: a2 = 4 + 25 − 20 · 0�6 = 17 ⇒ a =√

17 ≈ 4�12 cm.A háromszög leghosszabb oldalára felírva a koszinusztételt: c2 = 4 + 17 − 2 · 4�12 · cos c, innen � ≈ 104◦, ezért� ≈ 22�9◦.

2. eset: �2 ≈ 126�9◦, az előző lépéseket végrehajtva: a ≈ 6�4 cm, a háromszög szögei 38�8◦, illetve 14�3◦. Mindkétháromszög eleget tesz a háromszögekre jellemző feltételeknek.

5. Egy háromszög 75◦-os szögét 16 cm és 20 cm hosszú oldalak fogják közre.

a) Mekkora a háromszög másik két szöge?

Jelöljük az ismeretlen oldalt c-vel, írjuk fel rá a koszinusztételt! c2 = 162 +202−32 ·20 ·cos 75◦ ⇒ c = 22�1 cm

Jelöljük a 20 cm-es oldallal szemközti szöget �-val: sin� =20 · sin 75◦

22�1, � = 61◦, � = 44◦. Mivel c�a, ezért

csak ez az egy háromszög a megoldás.

b) Mekkora a háromszög területe? T =16 · 20 · sin 75◦

2= 160 · sin 75◦ ≈ 154�55 (cm2)

6. Hasonló-e két háromszög, ha az egyiknél az oldalak 7 cm és 3 cm hosszúságúak, és a 7 cm-es oldal-lal szemközti szög 120◦, a másiknál pedig két oldal 10 cm és 6 cm hosszúságú, és a 10 cm-es oldallalszemközti szög 38�2◦?Az első háromszögben a szinusztétel szerint a 3 cm-es oldallal szemközti szög � = 21�8◦, a harmadik szög� = 38�2◦. A másik háromszögben a 6 cm-es oldallal szemközti szög a szinusz tétel szerint = 21�8◦, a szögekmindkét háromszögben egyértelműek. A szögek páronkénti egyenlősége miatt a két háromszög hasonló.

7.

22◦15◦

75◦

68◦A

B

CD

Közvetlenül egy autópálya mellett van egy épület, amelynek két, egymás felett lévő ablaka 4 m-re vanegymástól. Milyen széles az autópálya, ha az ablakokból a pálya túlsó szélét 22◦-os, illetve 15◦-os dep-ressziószög alatt látjuk?Készítsünk ábrát: az épület felső ablaka A, az alsó B , az épü-let talppontja C – ez az autópálya egyik széle, a másik legyenD . A CD távolságot kell meghatározni. Az adott depresszi-ós szögekből az ábra összes szögét kiszámíthatjuk, majd azABD háromszögből szinusztétellel kiszámítjuk a BD oldalt:

BD =4 sin 68◦

sin 7◦ = 30�4 m. A BCD háromszögből szinusz

szögfüggvénnyel kapjuk CD-t: CD = BD ·sin 75◦ ≈ 29�4 m.

8. Az ABC háromszögben AB = 12 cm, az A csúcsnál lévő szög 74◦. A háromszög C csúcsából kiindulósúlyvonala: CD = 7 cm.

a) Mekkorák a háromszög oldalai?Az ACD háromszögből szinusztétellel kiszámítjuk az � = ACD�-et, � ≈ 55�5◦, majd a CA oldalt: CA ≈≈ 5�62 cm. Az ACB háromszögből koszinusztétellel kiszámítjuk a CB oldalt: CB ≈ 11�8 cm.

Vektorok


C M Y K

66

b) Mekkora a háromszög területe? A háromszög területe T =CA · 12 · sin 74◦

2≈ 32�4 cm2.

9. Karácsonykor a Parlament előtt minden évben felállítanak egy fenyőfát, amelynek szépnek és magasnakkell lennie. A zempléni fenyvesekben választottak ki egy fát, de a magasságát a terepviszonyok miattnem tudták közvetlenül megmérni.

32◦ 24◦

8◦

148 ◦

10 m

A

B

C

D T Q

Nem túl messze tőle volt egy alacsonyabb fa is; a talppontjaikat összekötő egyenes egy pontjából a csú-csok közös, 32◦-os emelkedési szögben látszottak. Ettől a ponttól (továbbra is a talppontokat összekötőegyenesen maradva) 10 m-t távolodva a fák csúcsainak emelkedési szögét 21◦-nak, illetve 24◦-nak mér-ték. Milyen magas volt ebben az évben az „országkarácsonyfája”?Használjuk az ábra jelöléseit! Az AQT háromszög szö-gei egyszerűen meghatározhatók: az ATQ�= 148◦ ésa TAQ�= 8◦. A TAQ háromszögből szinusztétellel

kiszámítjuk TA-t: TA =10 · sin 24◦

sin 8◦ = 29�2 m.

A TAB derékszögű háromszögből szinusz szögfügg-vénnyel kiszámítjuk AB-t: AB = 15�5 m.

10. Zalaegerszegtől Bak pontosan 14 km-re déli irányban található. Zalaegerszegtől Zalalövő nyugatra he-lyezkedik el 22 km-re. Rédicsre Zalalövőről és Bakról is közel egyenes út vezet.

Milyen távol van Rédics Zalalövőtől és Baktól, ha Zalalövőről Rédicsre L Z

B

R

a nyugati úttól balra 74◦-os szög alatt, Bakról Rédicsre pedig a déli útróljobbra 73◦ szög alatt vezet egyenes út?Jelölje a térképen megadott pontokat Z (Zalaegerszeg), L (Zalalövő), R (Ré-dics) és B (Bak)! Az LZB derékszögű háromszögnek kiszámítjuk az átfogójáta Pitagorasz-tétellel, majd tangens szögfüggvénnyel a két hegyesszögét: LB ≈≈ 26�1 km, ZLB�≈ 32�5◦, ZBL�≈ 57�5◦. Ezekből a szögekből kiszámít-hatjuk az RLB háromszög szögeit (L�= 73�5◦, B�= 49�5◦, R�= 57◦), majdszinusztétellel az RL és az RB oldalakat. RL ≈ 23�7 km, RB ≈ 29�8 km.

11. Egy háromszög egyik oldalának hossza 6 cm. Az ezen nyugvó két szög 50◦ és 60◦. A háromszög beírtkörének középpontját tükröztük a háromszög oldalaira. E három pont a háromszög csúcsaival együtt egykonvex hatszöget alkot.

Legyen a beírt kör középpontja O , ez a szögfelezők metszéspontja, ezért O-ból az AB oldal 125◦-os, a BC oldal115◦-os, az AC oldal 120◦-os szögben látszik.

a) Mekkorák a hatszög szögei? Legyenek a konvex hatszög csúcsai ARBPCQ , a tükrözés szögtartó, ezértaz A, B , C csúcsokban lévő szögek rendre 100◦, 120◦, 140◦-osak, az R, P , Q csúcsokban pedig 125◦, 115◦,120◦-osak.

b) Számítsa ki a hatszög azon két oldalának hosszát, amely a háromszög 60◦-os szögének csúcsábólindul! A hatszög B csúcsából kiinduló oldalak az OB szakasz tükörképei, ezért OB = BR = BP . Az AOBháromszögből szinusztétellel kiszámítjuk OB-t, OB = 3�1 cm.

c) Hány négyzetcentiméter a hatszög területe? A hatszög területe a tükrözés miatt a háromszög terüle-

tének a kétszerese. A háromszög területe: T =6 · CB · sin 60◦

2, ahol CB =

6 · sin 50◦

sin 70◦ , a hatszög területe:

T6 =36 · sin 50◦ · sin 60◦

sin 70◦ = 25�4 cm2.

A b) és a c) kérdésekben a választ egy tizedes pontossággal adja meg!(Matematika középszintű érettségi feladat, 2006)

Vektorok


C M Y K

67

13–14. óra: További összefüggések a háromszög adatai között,a koszinusz- és a szinusztétel alkalmazásai


Az előző két fejezetben a koszinusztételt és a szinusztételt tárgyaltunk, az ehhez kapcsolódó feladatokat is té-ma szerint csoportosítottuk, ezért a tanulóknak nem nagyon kellett azon gondolkozniuk, hogy a megoldásnálmelyik tételt alkalmazzák.

A fejezetben csak egy tételt emelünk ki, erre a középszinten készülőknek is szükségük van. A további össze-függések többsége a négyjegyű függvénytáblázatban is megtalálható, szoktassuk rá a tanulókat. hogy azösszefüggéseket a táblázat alapján jól használják.

A matematika iránt fokékonyabb tanulóktól elvárhatjuk a képletek, összefüggések felfedezését és levezetésétis. A 4. feladatban tűztük ki a legismertebb összefüggések igazolását. A 3. példa emelt szintű feladat, éppenezért elsősorban matematikafakultációs csoportban ajánljuk órai feldolgozásra.

Feladatok

A feladatok megoldásában alkalmazni kell aza

2R= sin� összefüggést, és itt már a tanulóknak kell eldön-

teni, melyik tételt alkalmazzák a megoldáskor. Célszerű, hogy a megoldásukhoz előzetesen tervet készít-senek, ahelyett, hogy véletlenszerűen számoljanak ki olyan adatokat, amelyek kiszámolhatók, de a feladatmegoldásához nem szükségesek. A 4. feladatban jól ismert összefüggéseket kell igazolni, az emelt szintenfelkészülőknek felhívhatjuk arra a figyelmét, hogy jó, ha ismerik ezeket az összefüggéseket (még ha nem istanulják meg, de tudják, hogy hol találhatók a négyjegyű függvénytáblázatban, és adott esetben alkalmasaklesznek a megfelelő összefüggés használatára).

A feladatok vegyes témakörűek és szintűek, az 1–3. és a 10. feladatot a középszinten készülőknek is ajánljuk,a többi feladat megoldása már egy kicsit nehezebb.

1. Egy 15 cm sugarú körbe írt háromszög két szöge 60◦, illetve 45◦. Mekkorák a háromszög oldalai, ésmekkora a területe?

A háromszög területe: T =152

2(sin 120◦ + sin 90◦ + sin 150◦) =

152

2

(√3 + 32

)cm2(≈ 266�2 cm2).

Aza

2R= sin� összefüggésből a háromszög oldalai kiszámolhatók:

a = 30 · sin 60◦ = 15 ·√

3 cm, b = 30 · sin 45◦ = 15 ·√

2 cm, c = 30 · sin 75◦ ≈ 29 cm.

2. Egy háromszög egyik oldala 8�8 cm, a rajta fekvő két szög pedig 48◦ és 36◦.

a) Mekkorák a háromszög hiányzó oldalai? a =8�8 sin 36◦

sin 96◦ = 5�2 cm, b =8�8 sin 48◦

sin 96◦ = 6�6 cm

b) Mekkora a háromszög területe és a köré írható kör sugara? T =a · b · sin �

2≈ 17 cm2 és

a

2R= sin�

összefüggésből R =a

2 sin�≈ 4�4 cm.

c) Mekkora a háromszögbe írt kör sugara? A beírt kör sugarával is meghatározható egy háromszög területe:

T =r (a + b + c)

2=r ·K

2. Innen r =

2Ta + b + c

≈ 2 · 175�2 + 6�6 + 8�8

≈ 1�62 cm.

Vektorok


C M Y K

68

3. Az alábbi táblázat egy-egy háromszög adatait tartalmazza. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! (Az ol-dalakat cm-ben, a szögeket fokokban adtuk meg.)

a b c � � �

a) 7 6 5�6 74 55�5 50�5

b) 12 16,3 16�7 42�7 67 70�3

c) 18 12�3 19�3 62 37 71

d) 18 17�5 15 66�8 63�2 50

e) 17 15 17 64 52 64

f) 17 15 28�1 30�5 26�5 123

g) 20 13 16 86�5 40�5 53

a b c � � �

a) 7 6 5�6 74 55�5 50�5

b) 12 16,3 16�7 42�7 67 70�3

c) 18 12�3 19�3 62 37 71

d) 18 17�5 15 66�8 63�2 50

e) 17 15 17 64 52 64

f) 17 15 28�1 30�5 26�5 123

g) 20 13 16 86�5 40�5 53

4. Igazold, hogy ha az ABC� oldalait a , b és c, az oldalakkal szemközti szögeket � , � és � , továbbá aháromszög köré írható kör sugarát R, területét T jelöli, akkor igazak a következő összefüggések!

Használjuk a területképletet, továbbá a sin� =a

2R, sin� =

b2R

, sin� =c

2Rösszefüggéseket!

a) T =a · b · c

4RA T =

bc sin�2

összefüggésbe sin� =a

2Rhelyettesítéssel kapjuk a bizonyítandó összefüggést.

b) T = 2R2 ·sin� ·sin � ·sin � A T =a · b · sin �

2összefüggésbe a és b helyére helyettesítsük be az a = 2R sin�

és b = 2R sin � kifejezéseket, így a bizonyítandó állítást kapjuk.

c) T =a2 · sin � · sin �

2 sin�Fejezzük ki szinusztétel segítségével a b oldalt, b =

a sin �sin�

és helyettesítsük be a

háromszög T =a · b · sin �

2területképletébe! Így a bizonyítandó állítást kapjuk.

5. Az ABC háromszög körülírt körének sugara 26 cm, BAC�= 60◦.

a) Számítsa ki a BC oldal hosszát! BC = 52 sin 60◦ = 26√

3 cm(≈ 45 cm)

b) Hány fokos a háromszög másik két szöge, ha az AC oldal b cm, az AB oldal pedig 3b cm hosszú-

ságú? Írjuk fel a koszinusztételt a 60◦-os szögre, ebből a b oldalra kapjuk, hogy b =26

√3√

7= 17 cm, a �

szögre szinusztétellel kapjuk: � = 19�1◦, � = 100�9◦, a �b, ezért � �� .

A keresett értékeket egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!(Matematika emelt szintű érettségi feladat, 2007)

6. István örömmel mesélte Péter barátjának, hogy egy négyszög alakú telket vett, amire majd házat akarépíteni. Elmondása szerint a négyszög egyik szöge derékszög, és az ezt közrefogó mindkét oldal 20 mhosszú. A telek másik két oldala is egymással egyenlő hosszú, ezek 120◦-os szöget zárnak be.

Készítsünk ábrát, legyen az AC oldal felezőpontja F !

AC =√

2 · 20, ezért AF = 10√

2, AD =AF

sin 60◦ =10

√2

√3

2

= 20

√23

≈ 16�33 m.

a) Hány méter hosszú drót szükséges az üres telek bekerítéséhez? A négyszög kerülete: 2 · 20 + 2 · AD == 72�7 m.

„Mekkora házat szeretnél rá építeni?” – kérdezte Péter.

„Négyzet alapú sarokházat, és körülbelül 100 m2 alapterületűt. Úgy gondoltuk a párommal, hogy a házata derékszögű sarokba építtetjük” – válaszolt István.

„Ha jól képzelem el a telek alakját, akkor az nagyon furcsa alakú lehet. Oda még egy kis faház sem férel” – szólt nevetve Péter.

Vektorok


C M Y K

69

b) Rajzolja le, hogy milyen alakú az István által megvett telek, és milyennek képzelte el Péter! Kétnégyszöget rajzolhatunk, az egyik konvex: az AC átlónak B-vel ellentétes oldalán van D , a másik konkáv, azAC átlónak B-vel azonos oldalán van D , legyen ez D ′!

20

20

A

B C

D

T

F20

20

A

B C

D ′

T ′

F

István elgondolása Péter elgondolása

c) Legfeljebb mekkora alapterületű, négyzet alapú sarokház férne el a telek derékszögű sarkába az

egyik, és mekkora a másik esetben? (Válaszát m2-re kerekítve adja meg!) A négyzet alapú ház átlója

maximum BD , ezért a ház oldala konvex esetben: DCB�= 75◦, így BT = BC−TC = 20−20·√

23

cos 75◦ =

= 15�77, amelyből a terület T ≈ 249 m2.

Konkáv esetben: D ′CB�= 15◦, BT = BC−T ′C = 20−20·√

23

cos 15◦ = 4�23 m, ekkor a terület T ≈ 18 m2.

A Péter által elképzelt telken valóban nagyon kicsi ház férne el.(Matematika emelt szintű érettségi feladat, 2009)

7. Attila egy 9�5 hektár nagyságú, háromszög alakú földterületet vásárolt. A terület két oldala 320 m és610 m hosszú. Mekkora a telek harmadik oldala, és mekkorák a szögei?

1 hektár = 104 m2, így 9�5 · 104 =320 · 610 · sin�

2, amelyből sin� = 0�9734, � = 76�7◦.

A telek harmadik oldala koszinusztétellel: a = 620�2 m. A keresett szögeket szinusztétellel számolhatjuk ki: � == 73�1◦, � = 30�2◦.

sin� = 0�9734-ből �2 ≈ 103�2◦. Ekkor a telek harmadik oldala a koszinusztétel alapján ≈ 7514 m. Szinusztételsegítségével a hiányzó szögek: 52�2◦ és 24�5◦. Ez nem egy szokványos alakú telek.

8. Az ABC háromszögben AB = 2, AC = 1, a BC oldal hossza pedig megegyezik az A csúcsból indulósúlyvonal hosszával. Jelöljük az A csúcsból kiinduló súlyvonal hosszát s-sel, a BC oldal felezőpontját pedigF -fel, továbbá = AFC�.

a) Mekkora a BC oldal hossza? A hossz pontos értékét adja meg! Írjuk fel a koszinusztételt az AFC ésaz AFB háromszögekre, használjuk fel, hogy cos(180◦ − ) = − cos , majd a két egyenletet adjuk össze!

1 = s2 +s2

4− 2s

s

2cos , 4 = s2 +

s2

4+ 2s

s

2cos , 5 =

5s2

2, innen s2 = 2, azaz BC =

√2 egység.

b) Mekkora a háromszög területe? A terület pontos értékét adja meg! Az ABC háromszögre felírjuk a

koszinusztételt: BC 2 = 1 + 4 − 4 cos� ⇒ cos� =34

⇒ sin� =

√7

4⇒ T =

b · c · sin�2

=1 · 2 ·

√7

42

=

√7

4e2.

Megjegyzés: a három oldal ismeretében a háromszög területe a Heron-képlettel is kiszámolható.(Matematika emelt szintű érettségi feladat, 2008)

9. Egy 60 kg tömegű csónak a parttal párhuzamosan 2ms

sebességgel halad, amikor az 50 kg tömegű,

rosszcsont Józsi, nekifutásból a partról 8ms

sebességgel beleugrik a csónakba.

Milyen irányban és mekkora sebességgel halad tovább a csónak, ha Józsi futásának iránya a csónakhaladási irányával 45◦-os szöget zár be?

Vektorok


C M Y K

70

A csónak lendülete: Ics = mcs · vcs = 120 kg · m�s.

Ics

Ij

Ie

45◦ 135◦

A B

CD

Józsi lendülete: IJ = mJ · vJ = 400 kgm�s.

A beugrás után a közös lendületük az előbbi két lendületvektori összege lesz, amelyet az ábrán látható ABC három-szögből koszinusztétellel számíthatunk ki:

I 2e = 1202 + 4002 − 2 · 120 · 400 · cos 135◦ ⇒Ie ≈ 492�22 kg · m�s.

A szöget szinusztétellel határozzuk meg:

sin =sin 135◦ · 400

492�22, amelyből ≈ 35◦. A közös sebes-

ség nagysága: v =I e

mcs + mJ

= 4�5 m�s.

10. Egy vízesés (CC ′) magasságát akarjuk meghatározni. A vízszintes síkban felvett 600 m-es AB alapvonalvégpontjaiból megmérjük a következő szögeket: CAB�= 76◦, CBA�= 68◦, és a CAC ′�= 16◦, aholC ′ a vízesés „talppontja”. Milyen magas a vízesés?

A feladat alapján készítsünk ábrát! CA =600 sin 68◦

sin(180◦ − 76◦ − 68◦)= 946�5 m, CC ′ = CA · sin 16◦ = 261 m

Tudáspróba

1. Nagyítsd az ABC háromszöget az AB oldal F felezőpontjából a kétszeresére, így az A′B ′C ′ háromszö-get kapod. Az ABC háromszög csúcsainak helyvektorai rendre a, b és c.

a) Határozd meg az A′B ′C ′ háromszög csúcsainak helyvektorait!

A az A′B szakaszt 1 : 2 arányban osztja, a =2a ′ + b

3, a ′ =

3a − b

2.

B a B ′A szakaszt 1 : 2 arányban osztja, b =2b′ + a

3, b′ =

3b − a

2.

C a C ′F szakasz felezőpontja, c =c′ + a+b

22

, c′ =4c − a − b

2.

b) Határozd meg az A′B ′C ′ háromszög súlypontjának helyvektorát!

Legyen s′ a súlypont helyvektora, akkor s′ =a′ + b′ + c′

3=

a + b + 4c6

.

2. Az ABC szabályos háromszög oldalhossza 6, BC oldalának felezőpontja F , továbbá a =−→AB , b =

−→AC .

Határozd meg az alábbi skaláris szorzatokat!

a)−→AB · −→

AC = 36 · cos 60◦ = 18 b)−→AC · −→AF = 6 · 3 ·

√3 ·

√4

2= 27

c)−→AF · −→

CB = 0, mert merőleges vektorok. d)−→AC · −→

CB = 36 · cos 120◦ = −18

3. Határozd meg a háromszög hiányzó oldalait, szögeit és területét, ha a szokásos jelöléseket használvaadott:

a) � = 60◦, � = 50◦, c = 8 cm; a = 7�4 cm, b = 6�5 cm, T = 22�6 cm2, � = 70◦

b) a = 6 cm, b = 8 cm, c = 12 cm! � = 117�3◦, � = 36�3◦, � = 26�4◦, T = 21�3 cm2

4. Egy háromszög két oldala 5 cm és 8 cm hosszú, területe 12 cm2.

a) Mekkora a két adott oldal által bezárt szög? 12 =5 · 8 · sin�

2⇒ sin� =

35

, �1 = 36�9◦ vagy �2 ≈ 143�1◦

Vektorok


C M Y K

71

b) Mekkora a háromszög harmadik oldala? 1. eset: cos� =45

, a2 = 25 + 64 − 10 · 8 · 45

= 25 ⇒ a = 5, a

háromszög egyenlő szárú.

2. eset: a2 = 25 + 64 + 2 · 5 · 8 · 0�8 = 153 ⇒ a ≈ 12�37 cm

c) Mekkorák a háromszög hiányzó szögei? 1. eset: az alapon fekvő szögei 36�9◦-osak, a harmadik szögepedig 106�2◦.

2. eset: a szinusztételt felírva a � szögre: sin � =c · cos�

a, innen � ≈ 22�8◦, míg � ≈ 14�05◦.

Mindkét háromszög megfelel a feladat szövegének.

5. Egy háromszög két oldala 6 cm és 9 cm hosszú, a közbezárt szög szögfelezőjének hossza 4�5 cm.

Jelöljük a háromszög csúcsait A, B , C -vel, AB = 6 cm, AC = 9 cm! Az A csúcsból kiinduló szögfelező messe aBC oldalt P-ben! Legyen BP = x , PC = y!

a) Milyen arányban osztja a szögfelező a háromszög harmadik oldalát? A szögfelezőtétel miatt:x

y=

23

.

b) Mekkora a háromszög harmadik oldalának hossza? Írjuk fel a koszinusztételt a BPA, majd a PCAháromszögre! Felhasználjuk, hogy BAP�= PAC�= � és y = 1�5x .

x2 = 56�25 − 54 cos �

2�25x 2 = 101�25 − 81 cos �

}

egyenletrendszerből cos � kiküszöbölésével x ≈ 4�74 cm, így y ≈ 7�12 cm, azaz BC ≈ 11�86 cm.

c) Mekkorák a háromszög szögei? Koszinusztétellel számítsuk ki a legnagyobb oldallal szemközti szöget,majd szinusztétellel egy másikat: � ≈ 102�6◦, � ≈ 47�8◦, � ≈ 29�6◦.

d) Mekkora a háromszög köré írható kör sugara? sin� =a

2R⇒ R =

11�82 · sin 102�6

= 6�07 cm

e) Mekkora a háromszög területe? T =6 · 9 · sin 101�9

2cm2 = 26�3 cm2

f) Mekkora a háromszögbe írható kör sugara? � =T

s=

2Tk

= 1�97 cm ≈ 2 cm

Vektorok


C M Y K

72

FELADATGYŰJTEMÉNY

TEX 2012. február 20. – (1. lap/73. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (KF01KOMB)

C M Y K

Kombinatorika

Ismétlés nélküli permutáció

1. Számold ki az alábbi kifejezések számértékét!

a) 1! = 1 b) 7! = 5040 c) 7! − 5! = 4920 d)7!5!

= 42

e) (2!)! = 2! = 2 f) ((2!)!)! = (2!)! = 2! = 2g) (3!)! = 6! = 720 h) 5! · ((5!)0)! = 5! · 1 = 5! = 120

i) (52)! = 25! ≈ 1�55 · 1025 j)25!24!

= 25

k)122!120!

= 121 · 122 = 14 762 l)(

75

)! Nem értelmezzük.

2. Hozd egyszerűbb alakra!

a)(n + 1)!(n − 1)!

=(n − 1)! · n · (n + 1)

(n − 1)!= n · (n + 1) b)

(n − 2)!(n − 1)!

=(n − 2)!

(n − 2)! · (n − 1)=

1n − 1

c)1

(n − 1)!+

1n!

=n

n!+

1n!

=n + 1n!

Az n mindenhol olyan természetes számot jelöl, amelyekre az adott kifejezések értelmezhetők.

3. 15 férfit és 15 nőt szeretnénk leültetni egy hosszú asztal mellé. Mindenki ugyanarra az oldalra kerül.

a) Hányféle sorrend lehetséges? 30! ≈ 2�65 · 1032

b) Hányféle sorrend lehetséges, ha azonos neműek nem ülhetnek egymás mellett? Minden második embernő és minden második ember férfi. Mindkét csoport 15!-féleképpen ültethető le a másik csoporttól függetlenül.Figyelembe kell venni, hogy férfi és nő is lehet az első. Az összes lehetőség: 2 · 15! · 15! ≈ 2 · 1�71 · 1024 == 3�42 · 1024.

4. 20 férfit és 20 nőt szeretnénk leültetni egy hosszú asztal mellé, az asztal két oldalán. Hányféle sorrendlehetséges, ha az egyik oldalon ülnek a férfiak, és velük szemben (a másik oldalon) a nők? 2-féleképpendönthetünk, hogy melyik oldalra kerülnek a nők. Ezt követően mindkét csoportot 20!-féleképpen ültethetjük le.Az összes lehetőség: 2 · 20! · 20! ≈ 2 · 5�92 · 1036 = 1�184 · 1037.

5. a) 8 különböző színű fakockából hányféleképpen építhető torony, ha az összes kockát felhasználjuk?(Két torony különböző, ha valahol eltér a kockák sorrendje.) 8! = 40 320

b) 8 különböző színű fakockából hányféleképpen építhető két torony, ha az egyik 5, a másik 3 kockáttartalmaz?

1. megoldás: Az a) feladat tornyait az 5. kockánál két részre osztjuk. Így megkapjuk az összes toronypárt. Ittis 40 320 lehetőség van.

2. megoldás: Az első tornyot 8 · 7 · 6 · 5 · 4-féleképpen, a másodikat 3 · 2 · 1-féleképpen építhetjük fel. Így 8!lehetőségünk van összesen.

c) 8 különböző színű fakocka hányféleképpen rakható körbe? (Két körberakás különböző, ha van olyankocka, amelynek más a jobb oldali vagy bal oldali szomszédja.) Ciklikus permutációról van szó: P8� c == 7! = 5040.

6. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számkártyák mindegyikét pontosan egyszer felhasználva hány

a) hatjegyű szám, P6 = 6! = 720

b) 6-tal osztható hatjegyű szám, Mivel a számjegyek összege (21) osztható 3-mal, csak arra kell ügyelni, hogyaz utolsó számjegy páros legyen (3 ilyen számjegy van), a többi 5 számjegy sorrendje tetszőleges. 3 · 5! == 3 · 120 = 360 lehetőség van.

Kombinatorika


C M Y K

74

c) 9-cel osztható hatjegyű szám, Mivel a számjegyek összege (21) nem osztható 9-cel, ezért nincs ilyen szám.

d) 12-vel osztható hatjegyű szám 3-mal és 4-gyel kell oszthatónak lenniük a megfelelő számoknak. Az előbbiminden számra teljesül, az utóbbi akkor, ha a szám 12-re, 16-ra, 24-re, 32-re, 36-ra vagy 64-re végződik.A megmaradó 4 számjegy P4 = 4! = 24-féleképpen rakható sorba. Összesen tehát 6 · 24 = 144 tizenkettővelosztható hatjegyű szám készíthető a fenti számjegyekből.

készíthető?

7. A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számkártyák mindegyikét egyszer felhasználva hány

a) hétjegyű szám, Az első helyre csak 6 számjegy kerülhet, a többi helyen a megmaradó számjegyek sorrendjetetszőleges: 6 · 6! = 4320 hétjegyű szám van.

Másképp gondolkozva: az összes permutáció közül a 0-val kezdődőeket elhagyjuk: 7! − 6! = 4320.

b) 6-tal osztható hétjegyű szám, Mivel a számjegyek összege (21) osztható 3-mal, csak arra kell ügyelni, hogyaz utolsó számjegy páros legyen. Ha az utolsó jegy 2, 4 vagy 6, a megmaradó jegyek sorrendje minden egyesesetben 5·5! = 600. Ha az utolsó jegy 0, a megmaradó jegyek sorrendje 6! = 720. Összesen 3·600+720 = 2520hattal osztható hétjegyű szám képezhető a fenti számjegyekből.

c) 9-cel osztható hétjegyű szám Mivel a számjegyek összege (21) nem osztható 9-cel, ezért nincs ilyen szám.

d) 12-vel osztható hétjegyű szám A számjegyek összege 21, amely 3-mal osztható, így még annak kell tel-jesülnie, hogy az utolsó két jegyből álló kétjegyű szám osztható legyen 4-gyel. Ez a 12, 16, 24, 32, 36 és a64 esetén, valamint a 04, 20, 40, 60 esetén teljesül. Az első hat esetben a megmaradó öt számjegyet 4 · 4! == 96-féleképpen rakhatjuk sorba (figyelembe véve, hogy 0 nem lehet az első számjegy). Az utolsó négy esetmindegyikében 5! = 120 lehetőségünk van. Összesen tehát: 6 · 96 + 4 · 120 = 576 + 480 = 1056 tizenkettővelosztható hétjegyű szám képezhető a fenti számjegyekből.

készíthető?

8. 12 különböző gyöngyből hányféleképpen készíthető

a) 1 fülbevaló, ha minden gyöngyöt felhasználunk; P12 = 12! = 479 001 600

b) 2 fülbevaló 6-6 gyöngyből; Ha a 12 gyöngyből állókat a 6. gyöngy után szétvágjuk, megkapjuk az összes

esetet, de mindegyiket kétszer. Így12!2

= 239 500 800 lehetőség van.

c) 2 fülbevaló 7 és 5 gyöngyből? Ha a 12 gyöngyből állókat a 7. gyöngy után szétvágjuk, megkapjuk az összesesetet. Így 12! = 479 001 600 lehetőség van.

9. Egy internetes újságban hányféleképpen követheti egymást 12 cikk, ha

a) nincs megkötés; P12 = 12! = 479 001 600

b) először három belföldi, utána négy külföldi cikk jön, majd 5 sporthír? A 3 belföldi cikk sorrendje3!-féle, a külföldieké 4!-féle, a sporthíreké 5!-féle lehet. Összesen 3! · 4! · 5! = 17 280 lehetőség van.

10. a) A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával hány olyan hétjegyű számot írhatunk fel, amelybenminden számjegy csak egyszer fordul elő? 6 · 6! = 4320

b) Ezek között hány olyan van, amelyben a 0 a 3. helyen található? A többi számjegy sorrendje tetszőlegeslehet (és az sem fenyeget már, hogy 0-val kezdődik a szám): 6! = 720 ilyen szám van.

c) Ezek között hány olyan 4-gyel osztható van, amelyben a 0 a 3. helyen található? A szám 12-re, 16-ra,24-re, 32-re, 36-ra vagy 64-re végződik. A megmaradó 4 számjegy P4 = 4! = 24-féleképpen rakható sorba.Összesen tehát 6 · 24 = 144 lehetőség van.

Megjegyzés: A 10. c) feladat tulajdonképpen megegyezik a 6. feladat d) részével, bár megfogalmazásuk meglehe-tősen eltérő.

11. Három festő 7, 8, illetve 11 képét állítják ki egy teremben. A képek helyeit már kijelölték.Hányféle sorrend lehetséges, ha egy-egy festő képei egymás mellé kerülnek? A festők sorrendje 3!-féle

lehet, bármilyen sorrend esetén a festményeké 7! · 8! · 11!-féle. Tehát 3! · 7! · 8! · 11! ≈ 4�87 · 1016 sorrend van.

Kombinatorika


C M Y K

75

12. Szabó nagymamának öt unokája van, közülük egy lány és négy fiú. Nem szeret levelet írni, de mindenhéten ír egy-egy unokájának, így öt hét alatt mindegyik unoka kap levelet.

Hányféle sorrendben kaphatják meg az unokák a levelüket az öt hét alatt? 5! = 120-féle sorrendben.(Matematika középszintű érettségi feladat, részlet, 2007)

Ismétléses permutáció

13. Hányféle sorrendben húzhatunk ki egy dobozból 7 fehér és 4 fekete golyót, ha csak azokat a sorrendekettekintjük különbözőeknek, amelyekben a színek más sorrendben következnek? Összesen 11 golyó van,

közülük 7, illetve 4 egyforma. Az ismétléses permutációk száma: P (7� 4)11 =

11!7! · 4!

= 330.

14. Hányféle sorrendben húzhatunk ki egy dobozból 6 fehér, 4 fekete és 3 piros golyót, ha csak azokat asorrendeket tekintjük különbözőeknek, amelyekben a színek más sorrendben következnek? Összesen 13

golyó van, közülük 6, 4, illetve 3 egyforma. Az ismétléses permutációk száma: P (6� 4� 3)13 =

13!6! · 4! · 3!

= 60 060.

15. Egy játékban kezdetben 10 zsetonunk van. Dobókockával dobunk. 1-es, 2-es és 3-as esetén (hívjuk eztA eseménynek) megduplázódik a pénzünk, 4-es, 5-ös esetén (legyen ez B esemény) megfeleződik, 6-osesetén (nevezzük ezt C eseménynek) megháromszorozódik.

Hányféleképpen követhette egymást az A, B és C esemény, ha 9 játék után 720 zsetonunk lett? 72-

szeresére nőtt a pénzünk. Mivel 72 = 23 · 32, a C esemény 2-szer következett be, és 3-mal több A eseményvolt, mint B , azaz A 5-ször, B pedig 2-szer következett be. Az A, A, A, A, A, B, B, C, C jelek összes lehetséges

sorrendjének száma: P (5� 2� 2�)9 =

9!5! · 2! · 2!

= 756.

16. Az 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4 számjegyekből hány különböző

a) tízjegyű; P (4� 2� 3)10 =

10!4! · 2! · 3!

= 12 600

b) tízjegyű páratlan; Az utolsó jegy lehet 1-es és 3-as is. Az első esetben a megmaradó 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4,

4, 4 számjegyeket P (3� 2� 3)9 =

9!3! · 2! · 3!

= 5040-féleképpen, a második esetben a 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4

számjegyeket P (4� 3)9 =

9!4! · 3!

= 2520-féleképpen permutálhatjuk. Az összes lehetőség: 5040 + 2520 = 7560.

c) tízjegyű 4-gyel osztható szám készíthető? A számnak 12-re, 24-re, 32-re vagy 44-re kell végződnie. Ki-számoljuk, hogy az egyes esetekben a megmaradó számjegyeket hányféleképpen permutálhatjuk.

Az 1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 4 számjegyek sorrendjeinek száma: P (3� 2� 3)8 =

8!3! · 2! · 3!

= 560.

Az 1, 1, 1, 1, 3, 3, 4, 4 számjegyek sorrendjeinek száma: P (4� 2� 2�)8 =

8!4! · 2! · 2!

= 420.

Az 1, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 4 számjegyek sorrendjeinek száma: P (4� 3)8 =

8!4! · 3!

= 260.

Végül az 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4 számjegyek sorrendjeinek száma: P (4� 2)8 =

8!4! · 2!

= 840.

Az összes lehetőség tehát: 560 + 420 + 260 + 840 = 2080.

17. A 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3 számjegyekből hány különböző

a) hétjegyű; P (3� 2)7 − P

(2� 2)6 =

7!3! · 2!

− 6!3! · 2!

= 420 − 60 = 360

Kombinatorika


C M Y K

76

b) hétjegyű páratlan; Az utolsó számjegy 1-es vagy 3-as és a 0 nem állhat az első helyen. Ha az utolsó számjegy

1-es, akkor a 0, 1, 1, 2, 3, 3 számjegyek P(2� 2)6 − P

(3� 2)5 =

6!2! · 2!

− 5!2! · 2!

= 180 − 30 = 150-féleképpen

helyezhetők el. Ha az utolsó számjegy 3-as, akkor a 0, 1, 1, 1, 2, 3 számjegyek P(3)6 −P

(3)5 =

6!3!

− 5!3!

= 120 −

− 20 = 100-féleképpen permutálhatók. Így összesen 150 + 100 = 250 hétjegyű páratlan számot képezhetünk afenti számjegyekből.

c) hétjegyű 4-gyel osztható szám készíthető? Az utolsó két jegy 12, 20 vagy 32 lesz. Ha az utolsó két

jegy 20, akkor tetszőlegesen permutálhatjuk a megmaradó 1, 1, 1, 3, 3 számjegyeket, amit5!

3! · 2!= 10-

féleképpen tehetünk meg. 12 és 32 esetén figyelnünk kell arra, hogy 0-val ne kezdjünk számot. A 0, 1, 1, 3, 3

számjegyeknek5!

2! · 2!− 4!

2! · 2!= 30 − 6 = 24-féle, a 0, 1, 1, 1, 3 számjegyeknek

5!3!

− 4!3!

= 20 − 4 = 16-féle

sorrendje van. Összesen tehát 10 + 24 + 16 = 50 lehetőségünk van.

18. Az 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4 számjegyekből hány különböző hétjegyű szám készíthető?

1. megoldás: Ha az összes nyolcjegyű számot tekintjük, és az utolsó számjegyet elhagyjuk mindegyikből, meg-kapjuk az összes hétjegyű számot (és mindegyiket pontosan egyszer). A hétjegyűek száma tehát megegyezik a

nyolcjegyűek számával, azaz P(4� 2)8 =

8!4! · 2!

= 840.

2. megoldás: Elhagyhatunk egy 1-est, a 2-est, egy 3-ast vagy a 4-est. A lehetőségek száma rendre:7!

3! · 2!= 420,

7!4! · 2!

= 105,7!

4! · 2!= 105, összesen tehát 840.

19. Adott 3 piros, 4 fehér és 5 fekete golyó. Egy golyót még hozzáveszünk. Melyik esetben nő meg afelsoroltak közül a legnagyobb arányban a permutációk száma?

Először tippelj, csak utána számolj!

Ha kéket veszünk hozzá, és az eredeti 12 golyónak tekintjük egy tetszőleges permutációját, a lehetőségek száma13-szorosra nő a kék elhelyezésével. A többi esetben viszont lesznek ismétlődések. Azaz a kéknél nő legnagyobbarányban a lehetőségek száma.

Elég azt kiszámolni, hogy mennyi lesz a 13 golyó permutációinak száma az egyes esetekben, hiszen mindegyik

esetben ugyanahhoz az értékhez (P (3� 4� 5)12 =

12!3! · 4! · 5!

= 27 720-hoz) viszonyítunk.

a) Pirosat veszünk hozzá. P (4� 4� 5)13 =

13!4! · 4! · 5!

= 90 090

b) Fehéret veszünk hozzá. P (3� 5� 5)13 =

13!3! · 5! · 5!

= 72 072

c) Feketét veszünk hozzá. P (3� 4� 6)13 =

13!3! · 4! · 6!

= 60 060.

d) Kéket veszünk hozzá. P (3� 4� 5)13 =

13!3! · 4! · 5!

= 360 360.

Valóban a kék esetén nő meg legnagyobb arányban a lehetőségek száma.

20. a) Hány különböző hétjegyű szám készíthető az 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 számjegyek felhasználásával? P (2� 3� 2)7 =

=7!

2! · 3! · 2!= 210

b) Hány különböző palindrom szám, azaz olyan szám lesz közöttük, amely visszafelé olvasva mege-gyezik az eredeti számmal? Egy 2-es biztosan középen (azaz a 4. helyen) lesz. A szimmetria miatt az első 3helyi értékre egy 1-es, egy 2-es és egy 3-as kerül. Ezeknek 3! = 6-féle sorrendjük van, tehát 6 darab hétjegyűpalindrom szám képezhető a fenti jegyekből.

21. a) Hány különböző nyolcjegyű szám készíthető az 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3 számjegyek felhasználásával?

P(2� 4� 2)8 =

8!2! · 4! · 2!

= 420

Kombinatorika


C M Y K

77

b) Hány különböző palindrom szám, azaz olyan szám lesz közöttük, amely visszafelé olvasva meg-egyezik az eredeti számmal? Az első 4 helyi értékre egy 1-es, két 2-es és egy 3-as fog kerülni. Ezeket4!2!

= 12-féleképpen permutálhatjuk, tehát 12 darab nyolcjegyű palindrom szám képezhető a fenti jegyekből.

Ismétlés nélküli variáció

22. Az iskolai népdaléneklési versenyen 28 résztvevő volt, közülük 10 fiú. A zsűri 8 versenyzőt jutalmazott.

a) Hányféle lehet a jutalmazás, ha a díjak különbözőek? V 828 =

28!(28 − 8)!

=28!20!

≈ 1�25 · 1011

b) A díjazottak között 6 lány volt, ők különböző virágcsokrokat, a fiúk pedig különböző könyveketkaptak. Mennyi most a díjkiosztás lehetőségeinek száma? 18 lány közül 6 kapott különböző virágot,

ez V 618 =

18!(18 − 6)!

=18!12!

= 13 366 080-féleképpen tehető meg. A 10 fiú között a két különböző könyv

10 · 9 = 90-féleképpen osztható ki. Az összes lehetőség tehát: 13 366 080 · 90 = 1 202 947 200.

23. a) Hány olyan hétjegyű szám van, amelyben minden számjegy különböző? Az első számjegy 9-féle lehet(mert 0 kivételével bármi), a második szintén (mert az előtte lévő kivételével bármi), a harmadik csak 8-féle,és így tovább. Az összes ilyen hétjegyű szám száma: 9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

b) Ezek közül hány páros, és hány páratlan? Egyszerűbb a páratlan számok számát meghatározni, ezek az 1,3, 5, 7, 9 számjegyek valamelyikére végződnek. A hétjegyű szám első számjegye se 0, se az utolsó számjegynem lehet, azaz 8-féle lehet. A második számjegy ismét 8-féle lehet, a következő már csak 7-féle, és ígytovább. A páratlan számokból tehát 8 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 5 = 268 800 van. A párosak számát megkapjuk, ha azösszes, különböző számjegyeket tartalmazó hétjegyű szám számából levonjuk a páratlanok számát: 275 520.

c) Ha egyet véletlenszerűen kiválasztunk közülük, párost vagy páratlant kapunk nagyobb eséllyel? Mek-

kora ez az esély? P(páratlant választunk) =268 800544 320

= 0�494, míg a páros szám választásának esélye 0�506.

A páros választásának nagyobb az esélye.

24. Hány olyan háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, amelyikben csupa különbözőszámjegyek szerepelnek? 5 · 4 · 3 = 60


25. Péter átfutja egy internetes újság 15 cikkét, majd 6-ot elolvas.

a) Hányféle sorrendben olvashatja el a cikkeket? V 615 =

15!(15 − 6)!

=15!9!

= 3 603 600

Hívjuk fel a tanulók figyelmét, hogy a lehetőségek száma ilyen kevés cikk esetén is 3�5 millió felett van!

b) Hányféle sorrendben olvashatja el a cikkeket, ha a sportrovat 4 cikke közül egyet választott ki? A 11

nem sport témájú cikk olvasási sorrendje V 511 =

11!(11 − 5)!

=11!6!

= 55 440 lehet. A 4 sport témájú cikk közül

bármelyiket választhatta Péter. Ha a kiválasztott nem sportról szóló cikk A, B , C , D és E , akkor bármilyensorrendjük valósul is meg, a sportcikk (jelölje S ) hat helyre kerülhet. Például BACDE esetén SBACDE ,BSACDE , BASCDE , BACSDE , BACDSE , BACDES valósulhat meg. Összesen tehát 4 · 55 440 · 6 == 1 330 560 sorrend van.

26. Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben minden számjegy különböző, ha a

a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyeket; V 57 =

7!(7 − 5)!

=7!2!

= 2520

b) 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyeket használhatjuk fel? 6 ·V 46 = 6 · 6!

(6 − 4)!= 6 · 6!2! = 2160

Kombinatorika


C M Y K

78

27. Hány olyan ötjegyű szám van a

a) nyolcas; A nyolcas számrendszerben a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyeket használhatjuk. Az első számjegy ittsem lehet 0, azaz 7-féle lehet. A második számjegy szintén 7-féle lehet, mert az elsőtől különbözik, a harmadik6-féle, és így tovább. Ezért 7 ·7 ·6 ·5 ·4 = 5880 ötjegyű szám van a nyolcas számrendszerben, amelyben mindenszámjegy különböző.

b) kilences számrendszerben, amelyben minden számjegy különböző? A kilences számrendszerben a 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyeket használhatjuk. Az a) feladat gondolatmenete szerint 8 · 8 · 7 · 6 · 5 = 13 440ötjegyű szám van a kilences számrendszerben, amelyben minden számjegy különböző.

Ismétléses variáció

28. Egy 40 fős csoportban 15 különböző ajándékot osztanak szét. Hányféleképpen tehetik ezt meg, ha egyember több ajándékot is kaphat? Minden ajándékhoz kiválasztunk egy embert, minden választás 40 ember közül

történik. Ezt 15-ször tesszük meg. V 15(i)40 = 4015 ≈ 1�07 · 1024 lehetőség van (amely ismét egy hihetetlenül nagy

szám).

29. Egy ház négy ablakát akarja Mekk mester befesteni. Hány lehetősége van, ha 10 szín áll rendelkezésére,és az ablakok egyforma színűek is lehetnek? Az ablakokhoz választunk színeket, összesen négyszer, minden

esetben 10 közül. V 4(i)10 = 104-féle kifestés lehetséges.

30. a) Hány olyan rendszám van, amelynek az elején 3 betű van, utána 3 számjegy? (Tegyük fel, hogy 22

betű használható.) V 3(i)22 · V 3(i)

10 = 223 · 103 = 10 648 · 10 000 = 10 648 000-féle rendszám van. Hazánkbanlényegében ilyenek a rendszámok, azaz minden lakosra juthatna legalább egy autó.

b) Hány olyan rendszám van, melynek minden betűje megegyezik? Csak az első betűt választhatjuk meg

szabadon, a számok ettől függetlenek: 22 · 103 = 22 000 ilyen rendszám van.

c) Hány olyan rendszám van, amelynek mindhárom számjegye megegyezik? 223 · 10 = 10 648 · 10 == 106 480.

d) Hány olyan rendszám van, amelynek minden betűje és számjegye is megegyezik? Csak az első betűtés az első számjegyet választhatjuk meg, a többi már meghatározott: 22 · 10 = 220.

31. Ha a számjegyeket többször is felhasználhatjuk, az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből hány

a) hétjegyű; V 7(i)5 = 57 = 78 125

b) páros hétjegyű; Az utolsó jegy csak 2 vagy 4 lehet, a többi 5-féle: V 6(i)5 = 2 · 56 = 31 250.

c) 3 milliónál nagyobb és 5-tel osztható hétjegyű szám készíthető? Az első számjegy 3, 4 vagy 5 lehet, az

utolsó biztosan 5-ös lesz, a köztük lévő 5 számjegy 5-féle lehet. A lehetőségek száma: 3 · 55 · 1 = 9375.

32. Melyik számzár biztonságosabb a tolvajok ellen?

a) 4 számjegy áll rendelkezésünkre, és ötjegyű kódot adunk meg. Ötször döntünk, mindig 4 szám közül

választunk. A lehetőségek száma: V 5(i)4 = 45 = 1024.

b) 5 számjegy áll rendelkezésünkre, és négyjegyű kódot adunk meg. Négyszer döntünk, mindig 5 szám

közül választunk. A lehetőségek száma: V 4(i)5 = 54 = 625. Az első zár jóval biztonságosabb.

33. a) Hányféleképpen lehet megszervezni 6 túrát a Hegyestűhöz, a Kis-Balatonhoz, Sajkodra, a Rám-szakadékba és a Fertő-tóhoz ha egy-egy helyet többször is felkereshetünk? Minden döntésünk hatféle

lehet: V 6(i)5 = 56 = 12 625-féle túra van.

b) Hány lehetőségünk van, ha Sajkodra mindenképpen el akarunk menni? Az összes lehetőség V 6(i)5 = 56 =

= 15 625. Olyan terv, amely kihagyja Sajkodot (vagyis mind a hat túra esetén csak 4 cél közül választunk)

V6(i)4 = 46 = 4096 van. Vagyis 56 − 46 = 15 625 − 4096 = 11 529 olyan program van, amely tartalmazza

Sajkodot.

Kombinatorika


C M Y K

79

c) Hány lehetőségünk van, ha a Rám-szakadékkal kezdünk? Az első túránál nincs döntési lehetőségünk, a

többi öt esetén ötféle választásunk van. V 5(i)5 = 55 = 3125-féle program állítható össze.

Ismétlés nélküli kombináció

34. Egy 40 fős csoportban 15 egyforma ajándékot osztanak szét. Hányféleképpen tehetik ezt meg, ha egyember legfeljebb egy ajándékot kaphat? 40 ember közül 15-öt választunk ki, mindenkit legfeljebb egyszer.

Mivel egyformák az ajándékok, nem számít a kiválasztás sorrendje. A lehetőségek száma:(

4015

)≈ 4�02 · 1010.

35. Ha a „klasszikus” lottó szelvényeit (ahol 90 számból 5-öt húznak ki) kitöltenénk az összes lehetségesmódon, akkor hány

a) ötös; Az öt nyerőszámot egyféleképpen találhatjuk el, azaz egy ilyen szelvény lenne.

b) négyes; Az öt nyerőszám közül négyet, a 85 nem nyerő közül egyet kell választanunk.(54

)·(

851

)= 5 · 85 = 425 négyes lenne a szelvények között.

c) hármas; Az öt nyerő szám közül hármat kell eltalálni, a nem nyerő számok közül kettőt.(53

)·(

852

)= 10 · 3570 = 35 700 három találatos lenne a szelvények között.

d) kettes;(

52

)·(

853

)= 10 ·98 770 = 987 700. Nagyon sok kéttalálatos szelvény lenne, ezért a kettesek általában

csak pár száz forintot érnek.

e) egyes;(

51

)·(

854

)= 5 · 2 024 785 = 10 123 925. Ezekért a szelvényekért már nem jár nyeremény.

f) találat nélküli szelvényünk lenne? Azokról a szelvényekről van szó, amelyeknél mind az öt számot a 85

nyeretlen szám közül választottuk ki.

(855

)= 32 801 517 ilyen szelvény lenne.

36. Hány olyan hétjegyű szám van, melyben minden számjegy

a) kisebb; 10 számjegy közül ki kell választanunk 7-et úgy, hogy nem szerepelhetnek a számjegyek között

megegyezők. Ez

(107

)= 120-féleképpen tehető meg. Mivel hét különböző számjegy egyféleképpen rakható

csökkenő sorrendbe, ezért ugyanennyi hétjegyű szám készíthető az adott feltétellel.

b) nagyobb, mint az őt megelőző? Az a) feladatéhoz hasonló a megoldás, csupán arra kell ügyelnünk, hogynem szerepelhet a számjegyek között a 0, hiszen 0-val nem kezdődhet hétjegyű szám. Ezért 9 számjegy közül

kell kiválasztani 7-et. A lehetőségek száma tehát

(97

)= 36.

37. Melyiknek nagyobb az esélye? A „klasszikus” lottón (ahol 90 számból 5-öt húznak ki) a jövő héten

a) a legkisebb húzott szám a 30 lesz; Az első 29 számból egyet se húznak ki, a 30-at kihúzzák, a fennmaradó

hatvan szám közül négyet húznak ki. Ez(

290

)·(

11

)·(

604

)= 1 ·1 ·487 635 = 487 635-féleképpen tehető meg.

b) minden szám páros lesz. 45 páros szám van, ebből ötöt(

455

)= 1 221 759-féleképpen húzhatnak ki. Mi-

vel ebben az esetben a klasszikus valószínűségi mező segítségével számolhatunk valószínűséget (ahol P =

=kedvező esetek száma

összes eset száma), és mindkét esetben ugyanannyi:

(905

)= 43 9494 268 az összes lehetőség száma,

ezért a második esemény valószínűsége nagyobb. (Hozzávetőlegesen 2�5-szeres.)

Kombinatorika


C M Y K

80

38. Hányféleképpen olvasható ki a barátaim szó, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk?

a) Összesen 7-szer lépünk, amíg a B-ről az M-re jutunk. Ha J jelenti a jobbra, B A R Á T A

A R Á T A I

R Á T A I M

B A R Á T A

A R Á T A I

R Á T A I M

L a lefelé lépést, a J, J, J, J, J, L, L jeleket 21-féleképpen tudjuk sorba rendezni.

Egyrészt mondhatjuk azt, hogy ennyi az ismétléses permutációk száma: P (5� 2)7 =

=7!

5! · 2!= 21, másrészt mondhatjuk, hogy 7 hely közül kiválasztjuk azt a 2-t,

ahová L kerül:

(72

)= 21 lehetőség van.

b) Összesen 7-szer lépünk, amíg a B-ről az M-re jutunk. A hét lépés közül három történik

B A R Á T

A R Á T A

R Á T A I

Á T A I M

B A R Á T

A R Á T A

R Á T A I

Á T A I Mlefelé.

(73


39. Az autókereskedés parkolójában 1–25-ig számozott hely van. Minden beérkező autó véletlenszerűen kapparkolóhelyszámot.

Május 10-én az üres parkolóba 25 kocsi érkezik: 12 ezüstszínű ötajtós, 4 piros négyajtós, 2 piros három-ajtós és 7 zöld háromajtós.

Az üres parkolóba már beálltak a négy- és ötajtós autók. Hányféleképpen állhatnak be az üresen maradthelyekre a háromajtósak? (Az azonos színű autókat nem különböztetjük meg egymástól.) A háromajtósak

számára 9 hely maradt. A pirosak

(92

)= 36-féleképpen parkolhatnak, a zöldek ekkor már csak egyféleképpen (a

fennmaradó helyekre beállnak). Tehát 36 lehetőség van.(Matematika középszintű érettségi feladat, részlet, 2008)

Vegyes feladatok

40. Egy 32 fős osztályban 5 jutalmat osztanak ki. Hányféleképpen történhet ez meg, ha

a) a jutalmak egyformák, és egy tanuló legfeljebb egy jutalmat kaphat; Ki kell választanunk 5 tanulót a

32 közül, a sorrend nem számít, az ismétlés nélküli kombinációt használhatjuk:(

325

)= 201 376.

b) a jutalmak különbözőek, és egy tanuló legfeljebb egy jutalmat kaphat;

1. megoldás: Sorba rakjuk a jutalmakat. Az elsőt 32, a másodikat 31, a harmadikat 30, a negyediket 29,az ötödiket 28 tanuló kaphatja meg. A lehetőségek száma 32 · 31 · 30 · 29 · 28 = 24 165 120. Másképp: a

lehetőségek száma: V 532 =

32!(32 − 5)!

=32!27!

= 24 165 120.

2. megoldás: Az a) feladat megoldásából indulunk ki, itt viszont számít a sorrend, vagyis a lehetőségek száma(325

)· 5! = 201 376 · 120 = 24 165 120.

c) a jutalmak különbözőek, és egy tanuló több jutalmat is kaphat? Sorba rakjuk a jutalmakat. Mindegyiket

32 tanuló kaphatja meg. A lehetőségek száma: V 5(i)32 = 325 = 33 554 432.

41. 12 pár száll fel a buszra. Hány lehetőség van, ha az összetartozók közvetlenül egymás után szállnak fel?Ha minden pár esetén először a nők szállnának fel, akkor 12! = 479 001 600 lehetőség lenne. Mivel bármelyik páresetén a nő is és a férfi is lehet elől, ez megduplázza a lehetőségek számát mind a 12 párnál, ezért 212 ·12! = 4096 ·· 479 001 600 ≈ 1�96 · 1012 lehetőség van.

42. Zsuzsinak „nincs egy rongya sem, amit felvegyen”. Hányféleképpen tud felöltözni a hétvégi diszkóba,ha a farmerjét, a fekete nadrágját, a mini- vagy a maxiszoknyáját nézegeti, és hozzá a fekete pulcsiját,a kivágott blúzát vagy a csíkos blúzát venné fel? A nadrágot, illetve a szoknyát 4-féleképpen, a felsőt 3-féleképpen választhatja ki, így 4 · 3 = 12 lehetősége van.

Kombinatorika


C M Y K

81

43. Hány olyan ötjegyű természetes szám van, amelynek minden szomszédos jegye különböző? Az első szám-jegy 9-féle lehet (mert 0-n kívül bármi más lehet), a többi szintén 9-féle (mert csak olyan nem lehet, amilyen amegelőző volt). Ezért 95 = 59 049 a lehetőségek száma.

Megjegyzés: Ha az a kérdés, hogy hány olyan n-jegyű természetes szám van, amelynek minden szomszédos jegyekülönböző, 9n a válasz.

44. Hány olyan hatjegyű szám van, amelyben minden számjegy páratlan, és 3-3 számjegy megegyezik? A

számban kétféle páratlan számjegy van, ezek

(52

)= 10-féleképpen választhatók ki. A 6 számjegyből 3-3 ismétlődik,

ezért a kiválasztott számjegyek lehetséges sorrendjeinek száma:

(63

)= 20. Ezért 10 · 20 = 200 lehetőség van.

45. Egy kockával 10-szer dobunk, és a kapott számokat egymás után leírjuk. Hány olyan tízjegyű számotkaphatunk, amelyben a számjegyek összege

a) 10; Csak úgy lehet 10 az összeg, ha minden dobott szám egyes, tehát összesen egy ilyen dobássorozat (illetvetízjegyű szám) van.

b) 11; A kettes a 10 számjegy bármelyike lehet, azaz 10 helyen állhat, az egyesek helye ezután már meghatáro-zott. Tehát 10 ilyen szám van.

c) 12; Vagy két kettes és nyolc egyes, vagy egy hármas és kilenc egyes szerepel a számjegyek között. Az előbbi

esetben a ketteseket a 10 helyi értékre(

102

)= 45-féleképpen helyezhetjük el (az egyesek helye ekkor már

meghatározott), az utóbbi esetben a hármast a 10 helyi értékre 10-féleképpen tehetjük le. Az összes lehetőségszáma tehát: 45 + 10 = 55.

d) 13; 13 lesz az összeg az alábbi esetekben:

1. Három kettes és hét egyes. A ketteseket

(103

)= 120-féleképpen helyezhetjük el.

2. Egy hármas, egy kettes és nyolc egyes. A hármast 10, a kettest 9 helyre tehetjük, az egyeseknél már nincsdöntési lehetőségünk, így 10 · 9 = 90 lehetőségünk van.

3. Egy négyes és kilenc egyes. A négyes 10 helyre kerülhet.

Összesen tehát 120 + 90 + 10 = 220 olyan tízjegyű szám jöhet ki, ahol a számjegyek összege 13.

e) legalább 13 lesz; Legalább 13 az összeg, ha 13, 14, 15, � � � , 59, 60 a dobások összege. Ez nem teljesül, ha10, 11, 12 a számjegyek összege. Az a), a b) és a c) feladatból tudjuk, hogy 1 + 10 + 55 = 66 ilyen szám van.Mivel az összes lehetőség száma 610 = 60 466 176, ezért 60 466 176 − 66 = 60 466 110 darab, a feltételeknekmegfelelő tízjegyű szám van.

f) 14 lesz? Az alábbi lehetőségek valamelyike valósul meg:1. 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 2. 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13. 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 4. 4, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 15. 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 Az egyes esetekben a lehetőségek száma:

1. A kettesek helyét

(104

)= 210-féleképpen választhatjuk ki, az egyesek esetén ekkor már nincs döntési

lehetőségünk. 210 lehetőség van.

A hármast helyezzük le először, majd a maradék helyekre a ketteseket: 10 ·(

92

)= 10 · 36 = 360 eset van.

(102

)= 45 eset van.

A négyes 10 helyre helyezhető, a kettes már csak 9 helyre: 10 · 9 = 90 lehetőség van.

Az ötös 10 helyre kerülhet: 10 lehetőség van.

Összesen tehát 210 + 360 + 45 + 90 + 10 = 715 szám felel meg a feltételeknek.

Kombinatorika


C M Y K

82

46. Hány olyan nyolcjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyekből, amelyben minden számjegyszerepel? Valamelyik számjegy kétszer szerepel (ezt 7-féleképpen választhatjuk ki), a többi pedig egyszer. A 8

számjegyet kell sorba rendezni, melyek közül 2 azonos. P (2)8 =

8!2!

= 20 160 lehetőség van, bármelyik is az ismétlődő

számjegy. Az összes lehetőség száma tehát: 7 · 20 160 = 141 120.

47. Hány olyan négyjegyű szám van, amelyben a számjegyek szorzata 5-re végződik?

(Segítség: Lehet-e páros a számjegyek között? Milyen számjegynek kell biztosan szerepelnie a számban?)

A számjegyek csak páratlanok lehetnek, és szerepelnie kell (legalább egyszer) az 5-ösnek.

1. megoldás: Csak páratlan számjegyekből álló négyjegyű szám 54 = 625 darab van. Közöttük olyan, amelybennem szerepel 5-ös (azaz csak az 1, 3, 7 és 9 számjegyekből áll) 44 = 256 szám van. Azaz olyan négyjegyű, amelybenvan benne 5-ös, és csak páratlan számjegyekből áll 369 van.

2. megoldás: A számban lehet 1, 2, 3 vagy 4 darab 5-ös, és minden számjegy páratlan.

1. Egy darab 5-ös 4 helyen állhat, bárhol áll is, a többi jegy 43-féleképpen választható meg. 4 · 43 = 256 ilyenlehetőség van.

2. Két darab 5-öst(

42

)= 6-féleképpen helyezhetünk el, a többi számjegyet 42 = 16-féleképpen választhatjuk meg,

tehát 6 · 16 = 96 eset van.

3. 4-féleképpen helyezhetjük el a három darab 5-öst, és a maradék helyre mindig 4 lehetőségünk van. Összesen 16ilyen eset van.

4. Egy olyan négyjegyű szám van, amely csupa 5-ösből áll. Az összes lehetőség tehát: 256 + 96 + 16 + 1 = 369.

48. (Csak azoknak, akik ismerik a sakklépéseket.) Hány olyan sakkparti van, amelyben

a) két lépéspár; Csak a huszárral (lóval) lehet lépni. Világos (fehér) léphet a3-ra, c3-ra, f3-ra és h3-ra. Sötét(fekete) a6-ra, c6-ra, f6-ra és h6-ra. Vagyis 4 · 4 = 16-féleképpen alakulhat az első lépéspár. A másodiklépésben nincs döntési lehetőség: mindkét játékos visszalép a huszárral az alapállásba. 16 ilyen parti van.

b) három lépéspár után az alapállás áll újra elő? (Egy lépéspár: egyet lép fehér és egyet fekete.) (Egylépéspár: egyet lép fehér és egyet fekete.) Három lépésben sem fehér, sem fekete nem tudja az alapállásátelőállítani, így nincs ilyen parti.

49. Hányféleképpen lehet 10 zöld és 3 piros golyót úgy elrendezni, hogy két piros ne kerüljön egymás mellé?Tegyük le először egymás mellé a 10 zöldet! A pirosakat zöld golyók választják el egymástól, ezért az első zöldelé, az első és második zöld közé, � � � , az utolsó zöld mögé rakhatunk egy-egy pirosat. Azaz 11 helyre kell 3 pirosat

elhelyezni, ezért(

113


50. Egy kockával ötször dobunk, és a kapott számokat leírjuk egymás után. Hány olyan ötjegyű szám jöhetki, amelyben páros számú hatos van? Nulla vagy kettő vagy négy darab hatos lehet. Nincs hatos 55 = 3125

dobássorozatban. Két hatos esetén a hatosok helyét

(52

)= 10-féleképpen választhatjuk ki. A megmaradó helyekre

53 = 125-féleképpen választhatunk számokat (hatos kivételével bármit), azaz 10 ·125 = 1250 ilyen szám van. Négyhatos esetén a hatosokat 5-féleképpen helyezhetjük el, a nem hatos pedig minden esetben 5-féle lehet: 5 · 5 = 25ilyen szám van. Összesen: 3125 + 1250 + 25 = 4400 darab szám felel meg a feladat feltételeinek.

51. Egy 15 tagú társaság körtáncot jár. Hányféle kört alkothatnak, ha a két legfiatalabb egymás mellett sze-retne lenni? (Két kört eltérőnek tekintünk, ha legalább egy embernek más a jobb vagy a bal oldali szom-szédja.) Ha a két legfiatalabb A és B , ők AB és BA sorrendben is egymás mellett lehetnek. Az AB esetben(őket egy tagnak tekintve) P14� c = 13! = 6 227 020 800 kör alkotható, BA esetén ugyanennyi. Azaz összesen2 · 6 227 020 800 = 12 454 041 600 lehetőség van.

Kombinatorika


C M Y K

83

52. A számegyenesen az origóból indulva egyet jobbra vagy balra lépve hányféleképpen juthatunk el a

a) + 6 pontba, ha összesen 10-et léphetünk; Nyolcszor léptünk jobbra és kétszer balra:(

108

)=

(102

)= 45

út vezet a + 6-ba.

b) + 5 pontba, ha összesen 10-et léphetünk? Nincs ilyen út. (Vagy 0 ilyen út van.)

Megjegyzés: egyetlen páratlan számhoz se juthatunk el, mert a j +b = 10 és |j −b| = 10 egyenletrendszernek nincsegész megoldása.

53. Hány út visz csak jobbra és lefelé lépve a bal felső mezőből a jobb alsó sarokba?

a) 8 lépésből 3-szor kell lefelé lépnünk:

(83

)= 56 út van.

A × ××

B

A × ××

B

b) Jelöljük ×-szel azt a mezőt, amely nem számít! A pirossal jelölt mezők nem szá-mítanak, mert a felső 3 zsákutca, a B mezőből pedig egyértelmű az út. Elég azt

megnézni, hogy hány út vezet A-ból B-be. 5 lépésből 3 vezet lefelé:(

53

)= 10

lehetőség van, innen egyértelmű út vezet a szürke mezőhöz.

c) 1. megoldás: Olyan út, amely A-ból E -be visz, de B-n nem megy át, annyi van, A

B

C D E

A

B

C D E

mint A-ból C -be:

(53

)= 10 A-ból B-be

(52

)= 10 út visz, B-ből E -be 3, így

A-ból B-n keresztül E -be 30. Összesen 10 + 30 = 40 út vezet A-ból E -be.

2. megoldás: A-ból B-be 10 út visz, A-ból D-be

(63

)= 20. A többi mezőbe

beírjuk az oda vezető utak számát (rekurzívan):

10 10 10

20 30 40

10 10 10

20 30 40

Megjegyzés: Várhatóan az 53. feladatot a tanulók többsége úgy fogja megoldani, hogy beírja az egyes me-zőkbe azokat a számokat, ahányféleképpen oda lehet jutni. Utólag érdemes megmutatni a fenti megoldáso-kat is.

Kombinatorika


C M Y K

84

A hatványozás kiterjesztése

Hatványozás egész kitevőkre (ismétlés)


a) 29 = 512 b) 3210 = 1 c) −33 = −27 d)(

32

)3

=278

e) 11−2 =1

121f) −11980 = −1 g) 2−3 = 0�125 h) 2�22 = 4�84

i) (−1)9 = −1 j) (−0�2)−2 = 25

55. Számológép használata nélkül állapítsd meg, hogy melyik nagyobb! Tedd ki a megfelelő relációs jelet(�, �, =)!

a) 34 43 81 �64 b) 1�2−3(

56

)3 (125216

)3

=(

125216

)3

c)(−113

)5 (−112

)8negatív �pozitív d) (5 · 11)4 54 · 113 · 12 54 · 113 · 11 �54 · 113 · 12

e)9−5

7−5

85

95

(79

)5

�

(89

)5

f) 1005 10003 1010 �109

56. Pótold a hiányzó kitevőt (c, d, e és f �= 0)!

a) a · a · a · a = a� � = 4 b) b11 · b22 = b� � = 33 c)c2

c−3 = c� � = 5

d)(d−2

)−3= d� � = 6 e)

e−4

e−3 · e−2 = e� � = 1 f)

(f 12

)2· f −12

f 19 · f −7 = f � � = 0


a)33 · 9−2

(−1

3

)−3· 27−1

= −13

b)492 · 143

287 · 4−6 = 2 c)36 · 75 + 35 · 76

215 =35 · 75 · (3 + 7)

35 · 75= 10

58. Válaszd ki az egyenlőket (x �= 0)!

A = x 4 B = x C = x−2 D =(x 2

)2E =

x 3x 2

x 4

F =(

1x

)2

G =

(x 2

x

)4

H =1

x 3

x 4

I =

(x 13

)31

(x 31

)13 · x

A = D = G, B = E = H = I, C = F

59. Végezd el az alábbi műveleteket (a , b, c �= 0)!

a)a4b5

a5b4 =b

ab)

a−3(b2

)−2

(a−2

)2b2

b6 = a c)(a2b3c−2)2

a5b−1c−3 :a2bc−3

a4b−5c−1 = abc

60. Oldd meg az alábbi egyenleteket!

a) 5x = 625 x = 4 b) x 5 = 0 x = 0 c) 113 = x x = 1331

d) 9x =1

81x = −2 e) x 4 =

125

x1 = − 1√5

és x2 =1√5

f)(

113

)−3

= x x = 2197


TEX 2012. február 20. – (1. lap/85. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (KF02HATV)

C M Y K

85

Hatványfüggvények

61. Válaszd ki a függvények közül a páros, illetve páratlan függvényeket! (Segíthet a grafikonok megrajzo-lása. Vigyázat! Lehet a hozzárendelések között olyan is, amely egyik csoportba sem tartozik!)

a) a: x �→ |x | + 2 b) b: x �→ −x c) c: x �→ −x 2

d) d: x �→ 12|x | − 4 e) e: x �→ sin x f) f : x �→ (x + 2)2

g) g : x �→ − cos x h) h: x �→ |x + 2|Páros függvények: a, c, d, g ; páratlan függvények: b, e.

62. Rajzold meg a függvények grafikonját! Olvasd le a grafikonokról a függvények zérushelyét is!Van-e páros, illetve páratlan függvény a felsoroltak között?

a) f (x ) = −0�5x + 3 Zérushely: x = 6. b) g(x ) = −(x − 2)2 + 1 Zérushely: x = 1 és 3.

c) h(x ) = sin x − 1 Zérushely: x =�

2+ k · 2� k ∈ Z. d) i(x ) =

∣∣∣−(x − 2)2 + 1∣∣∣ Mint b).

Nincs közöttük sem páros, sem páratlan függvény. (A grafikonok megrajzolásától eltekintünk.)

63. Az ábrán függvények grafikonját látod.

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7−6 −4 −2

1234567

−8−7−6−5−4−3−2

gh

i

f

a) Add meg a függvények hozzárendelési utasítását! f (x ) =

= (x−1)2−4, g(x ) =∣∣∣|x |−1

∣∣∣, h(x ) = −2x+4, i(x ) = −|x−4|

b) Add meg a függvények legbővebb értelmezési tartomá-nyát és értékkészletét! ÉT: R mindegyik függvénynél.ÉKf : [−4; ∞[, ÉKg : [0; ∞[, ÉKh : R, ÉKi : ] − ∞; 0].

c) Írd le a függvények menetét (zérushely, növekedés,csökkenés, paritás)!

f : zérushely: x = −1, x = 3. Ha x �1, szigorúan monotoncsökken, ha x ≥ 1, szigorúan monoton nő, nincs paritása.

g : zérushely: x = −1, x = 1. Ha x �−1 és ha 0 ≤ x �1,szigorúan monoton csökken, ha −1 ≤ x �0 és ha x ≥ 1,szigorúan monoton nő. Nincs paritása.

h: zérushely: x = 2. Szigorúan monoton csökken, nincs paritása.

i : zérushely: x = 4. Ha ha x �4, szigorúan monoton nő, ha x ≥ 4, szigorúan monoton csökken. Nincs paritása.

64. Add meg képlettel az egyes függvények hozzárendelési utasítását! Add meg az értelmezési tartományt is!

a) Minden számhoz hozzárendeljük azt a számot, amely a köbénél 1-gyel nagyobb. x �→ x 3 + 1, ÉT: R

b) Minden négyzet oldalának hosszához hozzárendeljük a rárajzolt kocka térfogatát. a �→ a3, ÉT: ]0; ∞[

c) Minden kocka élének hosszához hozzárendeljük a kocka térfogatát. Lásd b).

d) Minden számhoz hozzárendeljük a nála 2-vel kisebb szám köbét. x �→ (x − 2)3, ÉT: R

e) Minden egész számhoz hozzárendeljük a negyedik hatványát. n �→ n4, ÉT: Z

66. Ábrázold a függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! Ügyelj arra, hogy mind a grafikonmegrajzolásánál, mind a jellemzésnél figyelembe vedd az alaphalmazt!

Egyik függvénynek sincs paritása.

a) f : ]−∞; 1] → R, x �→ x 3 ÉT: ] − ∞; 1], ÉK: ] − ∞; 1], zérushely: x = 0. A függvény szigorúan monontonnő. Maximumhely: x = 1, -érték: 1.

b) g : [0; 2] → R, x �→ x 4 ÉT: [0; 2], ÉK: [0; 16], zérushely: x = 0. A függvény szigorúan mononton nő.Minimumhely: 0, -érték: 0. Maximumhely: 2, -érték: 16.



C M Y K

86

c) h: [−1; 1[ → R, x �→ x 4 ÉT: [−1; 1[, ÉK: [0; 1], zérushely: x = 0. A függvény szigorúan mononton csökken,ha −1 ≤ x �0, és szigorúan mononton nő, ha 0 ≤ x �1. Maximumhely: x = −1, -érték: 1. Minimumhely:x = 0, -érték: 0.

d) f : ]0; 1�5] → R, x �→ x 3 ÉT: ]0; 1�5], ÉK: ]0; 3�375], zérushely: nincs. A függvény szigorúan monoton nő.Minimumhely nincs. Maximumhely: 1�5, maximumérték: 3�375.


67. Készítsd el a függvények grafikonját! Jellemezd a függvényeket!

x

y

1 2 3 4−4−3−2−1

1

2

3

4

−4

−3

−2

−10

a

bc

d

a) a(x ) = x 3 + 1 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = −1. A függvény szigorúanmonoton nő.

b) b(x ) =∣∣∣x 3 + 1

∣∣∣ ÉT: R, ÉK:[0; ∞[, zérushely: x = −1. A függvény

szigorúan monoton csökken, ha x �−1, és szigorúan monoton nő, hax ≥ −1. Minimumhely: x = −1, -érték: 0.

c) c(x ) =14x 4 ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, zérushely: x = 0. A függvény szigo-

rúan monoton csökken, ha x �0, és szigorúan monoton nő, ha x ≥ 0.Minimumhely: x = 0, -érték: 0. Páros függvény.

d) d(x ) = −x 6 ÉT: R, ÉK: ]−∞; 0], zérushely: x = 0. A függvény szigo-rúan monoton nő, ha x �0, és szigorúan monoton csökken, ha x ≥ 0.Maximumhely: 0, maximumérték: 0. Páros függvény.


a) f : x �→ x 4 − 2 ÉT: R, ÉK: [−2; ∞[, zérushelyek: x1 = − 4√2, x2 = 4√2. A függvény szigorúan monotoncsökken, ha x �0, és szigorúan monoton nő, ha x ≥ 0. Minimumhely: 0, érték: −2. Páros függvény.

b) g : x �→ 2 − x 4 ÉT: R, ÉK: ] − ∞; 2[, zérushelyek: x1 = − 4√2, x2 = 4√2. A függvény szigorúan monoton nő,ha x �0, és szigorúan monoton csökken, ha x ≥ 0. Maximumhely: 0, érték: 2. Páros függvény.



x

y

1 2 3 4 5−3−2−1

1

2

3

4

5

−5

−4

−3

−2

−10

a

b

c

a) a(x ) = (x − 3)3 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = 3. A függvény szigorúanmonoton nő.

b) b(x ) = −(x − 1)4 ÉT: R, ÉK: ] − ∞; 0], zérushely: x = 1. A függ-vény szigorúan monoton nő, ha x �1, és szigorúan monoton csökken,ha x ≥ 1. Maximumhely: 1, maximumérték: 0.

c) c(x ) =14

(x + 1)5 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = −1. A függvény szigo-

rúan monoton nő.

70. Rajzold meg közös koordináta-rendszerben az f és g függvények gra-fikonját! Írd le a függvények menetét!

a) f (x ) = (x − 3)4, g(x ) = (3 − x )4 A két hozzárendelési utasítás ugyanazt a függvényt adja meg.ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, zérushely: 3. A függvény szigorúan monoton csökken, ha x �3, és szigorúan monotonnő, ha x ≥ 3. Minimumhely: x = 3, -érték: 0.

b) f (x ) = (x − 3)3, g(x ) = (3 − x )3 A két függvény egymásnak (−1)-szerese. Mindkét függvény esetén:ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = 3. Az f függvény szigorúan monoton nő, a g pedig szigorúan monoton csökken.


71. Írj fel olyan hozzárendelési utasítást, amely a feltételeknek megfelelő polinomfüggvényt eredményez!

a) A függvény harmadfokú, és zérushelyei: x = −2, x = 1 és x = 4. Több megoldás van. Az a paramétertetszőleges 0-tól különböző valós szám. x �→ a · (x + 2)(x − 1)(x − 4), azaz polinomfüggvény alakban felírva:x �→ a · (x 3 − 3x 2 − 6x + 8), a �= 0



C M Y K

87

b) A függvény negyedfokú, és zérushelyei: x = −2, x = 0, x = 1 és x = 4. Több megoldás van. Az aparaméter tetszőleges 0-tól különböző valós szám. x �→ a · (x + 2) · x · (x − 1) · (x − 4), azaz polinomfüggvényalakban felírva: x �→ a · (x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 8x ), a �= 0.

c) A függvény negyedfokú, és zérushelyei: x = −2, x = 1 és x = 4. Több, lényegesen különböző megoldásvan attól függően, hogy melyik gyök lesz kettős gyök. Az a paraméter tetszőleges 0-tól különböző valós szám.

x �→ a · (x + 2)2(x − 1)(x − 4) = a · (x 4 − x 3 − 12x 2 − 4x + 16), a �= 0

x �→ a · (x + 2)(x − 1)2(x − 4) = a · (x 4 − 4x 3 − 3x 2 + 14x − 8), a �= 0

x �→ a · (x + 2)(x − 1)(x − 4)2 = a · (x 4 − 7x 3 + 6x 2 + 32x − 32), a �= 0

d) A függvény harmadfokú, és a ]−∞; −1[ és ]2; 3[ intevallumokon negatív. Több megoldás van. Az a

paraméter tetszőleges pozitív szám. x �→ a · (x + 1)(x − 2)(x − 3) = a · (x 3 − 4x 2 + x + 6), a �0

e) A függvény harmadfokú, és a ]−∞; −1[ és ]2; 3[ intevallumokon pozitív. Több megoldás van. Az a

paraméter tetszőleges negatív szám. x �→ a · (x + 1)(x − 2)(x − 3) = a · (x 3 − 4x 2 + x + 6), a �0

Gyökvonás

72. Mekkora a kocka éle, ha felszínea) 54 cm2; 3 cm b) 540 cm2; 9�49 cm c) 0�54 cm2; 0�3 cm

d) 540 000 cm2; 300 cm e) 0�000 54 cm2? 0�009 49 cm

73. Mekkora a kocka éle, ha térfogata

a) 1000 cm3; 10 cm b) 100 cm3; 4�64 cm c) 0�01 cm3; 0�2154 cm

d) 0�001 cm3; 0�1 cm e) 10 000 cm3? 21�54 cm


a)

√9

169=

313

b) 3√343 = 7 c) 4√−81 Nincs értelmezve a valós számok halmazán.

d) 5√−3125 = −5 e) 6√

0�000064 = 0�2 f) 7√−1 = −1

75. Határozd meg az alábbi gyökvonások eredményét számológép segítségével két tizedesjegy pontossággal!Mit veszel észre?

a)√

2; 3√2; 4√2; 5√2; 6√2; 7√2; 8√2; 9√2; 10√2; 100√21�41; 1�26; 1�15; 1�12; 1�10; 1�09; 1�08; 1�07; 1�01

(Minél nagyobb n, annál közelebb van n

√2 az 1-hez.)

b)√

0�1; 3√

0�1; 4√

0�1; 5√

0�1; 6√

0�1; 7√

0�1; 8√

0�1; 9√

0�1; 10√

0�1; 100√

0�10�32; 0�46; 0�56; 0�63; 0�68; 0�72; 0�75; 0�77; 0�79; 0�80

1

1

√2

1 4√2

(Minél nagyobb n, annál közelebb van n

√0�1 az 1-hez.)

76. Szerkessz 4√2 hosszúságú szakaszt, ha adott az egység! A szerkesztés a magasság-

tétel segítségével történhet, ahol p =√

2 és q = 1. Ekkor m =

√√2 · 1 = 4√2. Lásd az

ábrán.

77. Számológép használata nélkül határozd meg az alábbi műveletek pontos vég-eredményét!

a)

(3

√(−1

9

))3

= −19

b)(√

5)6

= 125 c) 7√

0�17 = 0�1

d) 5√

(−2)5 = −2 e)6

√(−2

3

)6

=23

f) 7√

−1�114 = −1�21



C M Y K

88


a)(√

13)−2

=1

13b)

(3√

−0�5)−6

= 4 c)(

6√

−7)−12

Nem értelmezzük.

d)5√

9−5 =19

e) 8√

(−0�2)−8 = 5 f)9√

−4−18 = − 116


a)√

2x − 5 x ≥ 2�5 b)1√

2x − 5x �2�5 c)

√(2x − 5)2 x ∈ R d)

1√(2x − 5)2

x �2�5


a)√

−x x ≤ 0 b)3√x 2 − 7x + 12 x ∈ R c) 4

√1√x − 5

x �5

d)9√x 3 − 27 x ∈ R e) 12

√x − 1x + 2

x �−2 vagy 1 ≤ x

81. Az értelmezési taromány megállapítása után döntsd el, hogy mivel egyenlő a megadott kifejezés!

a)7√a7 x ∈ R, a b)

8√b8 b ∈ R, |b| c)

√c6 c ∈ R, |c3|

d)3√d12 d ∈ R, d4 e)

(5√e15

)e ∈ R, e3

82. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

a)√x = 17 x = 289 b) x

√2048 = 2 x = 11 c) 3√−3375 = x x = −15

d) 4√x = −7 Nincs megoldás a valós számok halmazán.

e) x√

−1 = −1 x = 2k + 1, ahol k pozitív egész szám.

f) 5√x = −1

2x = − 1

32= −0�031 25

Gyökfüggvények

83. Az értelmezési tartomány megállapítása után ábrázold a függvények grafikonját és add meg azokat azintervallumokat, amelyeken növekednek, illetve csökkennek!

Add meg az értékkészletüket is!

a) f (x ) = 4√

|x | ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, szigorúan monoton csökken, ha x �0, és szigorúan monoton nő, ha x ≥ 0.

b) g(x ) =∣∣∣ 4√x∣∣∣ ÉT: [0; ∞[, ÉK: [0; ∞[, szigorúan monoton nő.

c) h(x ) = − 4√x ÉT: [0; ∞[, ÉK:] − ∞; 0], szigorúan monoton csökken.

d) i(x ) = − 4√

|x | ÉT: R, ÉK: ] − ∞; 0], szigorúan monoton nő, ha x �0, és szigorúan monoton csökken, ha

x ≥ 0.a)

x

y

1

1

0

f

b)

x

y

1

1

0

g

c)

x

y

1

1

0h

d)

x

y

1

1

0i



C M Y K

89

84. Az értelmezési tartomány vizsgálata után ábrázold az

x

y

1 2 3 4 5 6−6−5−4−3−2−1

1

2

3

4

−5

−4

−3

−2

−10

f

g

h

i

alábbi függvények grafikonját!

a) f (x ) = 2 · 3√x ÉT: R

b) g(x ) =∣∣∣ 3√x + 1

∣∣∣ ÉT: R

c) h(x ) = −4 6√x ÉT: [0; ∞[

d) i(x ) =4√x

2ÉT: [0; ∞[

85. Az értelmezési tartomány megállapítása után ábrázold afüggvények grafikonját, és add meg a zérushelyüket is!

a) f (x ) = 3√x + 1 ÉT: R, zérushely: x = −1

b) g(x ) =∣∣∣ 3√x + 1

∣∣∣ ÉT: R, zérushely: x = −1


86. Az értelmezési tartomány megállapítása után ábrázold a függvények grafikonját, és add meg a zérushe-lyüket is!

a) f (x ) = 2 · 4√x − 1 ÉT: [0; ∞[, zérushely: x =

116

b) g(x ) = 4√x − 2 ÉT: [2; ∞[


87. Rajzold meg a függvények grafikonját!

a) x �→ 3√x + 3

√|x | Mivel 3

√|x | =

{ 3√−x = − 3√x � ha x �03√x � ha x ≥ 0

, ezért 3√x + 3√

|x | =

{0� ha x �0

2 3√x � ha x ≥ 0.

b) x �→ 4√x + 4

√|x | ÉT: [0; ∞[, 4√x + 4

√|x | = 2 · 4√x

c) x �→ 3√x +

∣∣∣ 3√x∣∣∣ Mivel

∣∣ 3√x∣∣ =

{− 3√x � ha x �03√x � ha x ≥ 0

, ezért 3√x +∣∣ 3√x

∣∣ =

{0� ha x �0

2 3√x � ha x ≥ 0.

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9−4 −2

12345

0a = c

b

88. Oldd meg grafikusan az egyenleteket! Ellenőrizd a megoldásokat!

a) x = 3√x x1 = −1, x2 = 0 és x3 = 1 b)

13x − 2

3= 3

√x x1 = −1, x2 = 8

x

y

1 2 3

−3−2−11

2

3

−3

−2

−10

x 3√x

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3−2−11

2

3

−3

−2

−10

13x − 2

33√x



C M Y K

90

c) x 5 = 3√x x1 = −1, x2 = 0, és x3 = 1 d) 4

√x = x 2 x1 = 0 x2 = 1

x

y

1 2 3

−3−2−11

2

3

−3

−2

−10

x5

3√x

x

y

1 2 3

−3−2−11

2

3

−3

−2

−10

x2

4√x

89. Egy 2√

3 egység oldalú, négyzet alakú lapra egy olyan kockát helyeztünk el, melynek éle kisebb, mint3 egység. A lap azon részeit, amelyek szabadon maradtak, zöldre festettük.

Mekkora a kocka éle, ha a térfogatának mérőszáma ugyanakkora, mint a

x

y

1 2 3 4−4 −2

123456789

0

f

g

zöldre festett terület nagysága?

Válasszuk a kocka élét x -nek, ahol x ∈ ]0; 3]. A kocka a lapon x 2 területű részttakar le, így a látszó zöld rész: (2

√3)2 − x 2 = 12 − x 2. A kocka térfogata: x 3.

A 12 − x 2 = x 3 egyenletet oldjuk meg grafikusan, azaz közös koordináta-rendszer-ben ábrázoljuk az f (x ) = 12−x 2 és a g(x ) = x 3 függvények grafikonját, és keressüka két görbe metszéspontját. A két grafikon x = 2-nél metszi egymást, tehát a kockaéle 2 egység.

Megjegyzés: A 12−x 2 = x 3 egyenlet felírása után a tanulók kitalálják, hogy x = 2.A grafikon segítségével megmutatható, hogy több megoldása nincs a harmadfokúegyenletnek.

90. Oldd meg grafikusan az egyenlőtlenségeket!

a) x 3 ≥ 3√x [−1; 0] ∪ [1; ∞[ b) 4

√x �2 − x ]0; 1[ c)

14x − 1

4≥ 3√

x − 1 [−7; 1] ∪ [9; ∞[

x

y

1

1

0

3√xx3

x

y

1

1

0

4√x

2 − x

x

y

1

1

0

3√x − 1

x4 − 1

4

91.

x

y

1 2 3 4 5 6−4 −2

1

−2

−10

f

g

Az értelmezési tartomány megállapítása után ábrázold a függvények grafikonját, majd jellemezd is afüggvényeket!

a) f (x ) = − 4√x + 3 + 1 ÉT: [−3; ∞[, ÉK: ] − ∞; 1], zé-

rushely: x = −2. A függvény szigorúan monoton csökken.Maximumhely: x = −3, maximumérték: 1. Nincs paritása.

b) g(x ) =12

3√x − 1 − 1 ÉT: R, ÉK: R, zérushely: x = 9.

A függvény szigorúan monoton nő. Szélsőértéke és pari-tása nincs.



C M Y K

91

A gyökvonás azonosságai


a) 4√

0�2 · 4√5 = 1 b)7√

−3847√

−3= 2 c) 3√16 · 3√4 = 4

d)11√

−3 · 11√

4 · 11√

−511√

−60= −1 e)

5√

12 · 5√

265√

52 · 5√

192=

12

f)6√

10 · 6√

5 · 6√

0 · 6√

4 · 6√

86√

2 · 6√

3 · 6√

4 · 6√

5 · 6√

6= 0


a)(√

76 −√

19) (√

76 +√

19)

=(√

76)2

−(√

19)2

= 57

b)(√

162 −√

2)2

=(√

162)2

− 2 ·√

162√

2 +(√

2)2

= 162 − 2 ·√

324︸︷︷︸36

+2 = 128

c)(

3√10 − 3√5) (

3√100 + 3√50 + 3√25)

=(

3√10)3

−(

3√5)3

= 5

d)(

3√4 + 3√6) (

3√16 − 3√24 + 3√36)

=(

3√4)3

+(

3√6)3

= 10

e)(

3√3 + 3√24)3

=(

3√3)3

︸︷︷︸3

+ 3 ·(

3√3)2

· 3√24︸︷︷︸18

+ 3 · 3√3 ·(

3√24)2

︸︷︷︸36

+(

3√24)3

︸︷︷︸24

= 81

f)(

4√23 − 4√10) (√

23 +√

10) (

4√23 + 4√10)

=

=(√

23 +√

10)

·((

4√23)2

−(

4√10)2

)︸︷︷︸

√23−

√10

=(√

23)2

−(√

10)2

= 13

94. Döntsd el, melyik nagyobb!

a)6√

4√10 vagy3√

8√11 24√10 �24√11 b)(

3√3)4

vagy(

3√9)2 3√81 = 3√81

c) 6√4 vagy 4√6 12√16 �12√216

95. Számológép használata nélkül állítsd csökkenő sorrendbe az alábbi kifejezéseket!√

2 4√4 8√8 16√16 32√32√2 = 4√4 = 8√16 �8√8 = 16√64 �16√16 = 32√256 �32√32

96. Keresd a párját (x �0)!

A: x B:(

4√x 2

)3C:

(√4√x

)8

D:√√

x 2

E:√

4√x 15 F:

10√x 5 G:

(8√x 5

)3H:

√x 3

A–C = x , B–H =√x 3, D–F =

√x

97. Pótold a hiányzó gyök-, illetve hatványkitevőket úgy, hogy igaz állítást kapj!

25 = 52 =√

54 =5√

510 =(

7√5)14

=3√√

512 =

⎛⎝

√1

625

⎞⎠

−1

=(√

5√5)20

98. Számológép használata nélkül keresd meg a kifejezések közül a legkisebb értékűt!

a) 2 3√11, 3 3√3, 4 3√2 3√88, 3√81, 3√128



C M Y K

92

b) 2 4√111, 3 4√22, 4 4√7 4√1776, 4√1782, 4√1792

c) 5√730, 2 5√23, 3 5√3 5√730, 4√736, 4√729

99. Hozd egyszerűbb alakra az alábbi gyökös kifejezéseket (a �0)!

a) 4√

5√a = 20√a b)

√a · 3

√a =

√a c)

3√a√a

= 6

√1a

d) 3√a · 4

√a =

12√a7 e)

3√a4 · 4√

a3 =12√a19 f)

a ·(

3√a)2

4√a2

=12√a14


a)√

48 +√

27 −√

108 =√

3 ·√

16 +√

3 ·√

9 −√

3 ·√

36 =√

3 · (4 + 3 − 6) =√

3

b)3√2 − 3√16 − 3√250 + 3√128 = 3√2 − 3√2 · 3√8 − 3√2 · 3√125 + 3√2 · 3√64 = 8√2(1 − 2 − 5) + 4) = −2 8√2

c) 4√5 − 4√80 + 4√1280 − 4√405 = 4√5 − 4√5 · 4√16 + 4√5 · 4√256 − 4√5 · 4√81 = 4√5 · (1 − 2 + 4 − 3) = 0

101. Emelj ki a gyökjel alól! (Törekedj rá, hogy a lehető legkisebb fokszámú kifejezések maradjanak a gyökjelalatt!) (a , b, c�0)

a)√a11 = a5√a b)

√a7 · b4 = a3b2√a c)

3√a8 = a2 3

√a2

d)3√a10 · b100 = a3b33 3√

ab e)4

√a22

b11 =a5

b24

√a2

b3f)

5

√a1046 · b1205

c1290 =a209b241

c2585√a

102. Gyöktelenítsd az alábbi törtek nevezőjét! Ha lehetséges, emelj ki a gyökjel alól!

a)5√3

=5√

33

b)12√32

=3√

22

c)5

3√

5= 3√25

d)1

3√

100=

3√1010

e)3√

54√

5=

3√5 · 4√1255

f)2

3 5√

16=

5√23

103. Gyöktelenítsd az alábbi törtek nevezőjét!

a)1√

3 +√

2=

√3 −

√2 b)

2√11 −

√9

=√

11 + 3

c)2

3 −√

2=

6 + 2√

27

d)

√5√

5 + 1=

5 −√

54

e)3√

73√

5 + 3√

3=

3√73√5 + 3√3

·

(3√5

)2− 3√5 · 3√3 +

(3√3

)2

(3√5

)2− 3√5 · 3√3 +

(3√3

)2=

3√175 − 3√105 + 3√638

A hatványozás kiterjesztése


a) 12513 = 5 b) 27

23 = 9 c) 0�125

43 = 0�0625

d)(

110 000

) 34

=1

1000e) 4− 5

2 =1

32f) 811�75 = 2187

g) −1− 23 = −1 h)

(32

243

)− 25

=94



C M Y K

93

105. Számítsd ki az alábbi hatványok 2 tizedesjegyre kerekített értékét számológép segítségével!

a) 3�143�14 ≈ 36�34 b)(

711

) 711

≈ 0�75 c) −3�1−3�1 ≈ −0�03

d)√

2√

2≈ 1�63 e) �� ≈ 36�46 f)

(1 −

√3)(

1−√

3)

Nem értelmezzük.

106. Írd fel az alábbi kifejezéseket racionális kitevőjű hatványként (x �0)!

a) 7√x = x

17 b)

5√x 2 = x

25 c)

(√x)5

= x52

d)√

3√a5 = x− 1

3 e) x 2 · 3√x 2 = x

85 f)

√x · 3

√x · 4

√x = x

1312


a) 1123 · 11

43 = 121 b)

2556

2513

= 5 c)(

8149

) 37

= 4

d) 513 · 200

13 = 10 e)

48632

632

= 729


a)(

332 + 3

52

)2

=(

332

)2+ 2 · 3

32 · 3

52 +

(3

52

)2= 53 + 2 · 34 + 35 = 432

b)(

2− 12 − 18− 1

2

)2

=(

2− 12

)2− 2 · 2− 1

2 · 18− 12 +

(18− 1

2

)2= 2−1 − 2 · 36− 1

2 + 18−1 =29

c)(

272 − 5

32

) (2

72 + 5

32

)=

(2

72

)2−

(5

32

)2= 27 − 53 = 3

d)8

73 − 8

23

813

=8

73

813

− 823

813

= 82 − 813 = 62

e)48

34 + 243

34

334

=48

34

334

+243

34

334

= 1634 + 81

34 = 35

109. Pótold a hiányzó kitevőt (a , b, c, d, e és f �0)!

a) a12 · a 1

3 = a� � =56

b)b

53

b16

= b� � =32

c)(c1�3

) 1013 = c� � = 1 d)

(d

611 · d 16

11

) 38

= d� � =34

e)e

43 ·

(e

34

) 12

e112

= e� � =138

f)

⎛⎝ f −2 · f

f13

⎞⎠

32

:f

45

f − 35 · f

25

= f � � = −3

110. Számológép használata nélkül állapítsd meg, hogy melyik nagyobb!

a)5√

26 vagy 275 2

65 �2

75 b) 3

√0�310 vagy 0�33 3

103 �33

c) 423 · 40�2 vagy

42

41715

41315 = 4

1315 d)

(5

34

)− 163

vagy(

15

)3

5−4 �5−3

e) 6− 32 vagy

243

1243

6− 32 �6− 4

3 f) 723 vagy 49

13 7

23 = 7

23



C M Y K

94

111. Számológép használata nélkül állítsd csökkenő sorrendbe az alábbi kifejezéseket!

A: 234 B: 8

25 C: 2− 1

2 D:(

14

) 27

E:6√

25 F:5√

43

F: 265 = B: 2

65 �E: 2

56 �A: 2

34 �C: 2− 1

2 �D: 2− 47

112. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán!

a) 6x =4√

63 x =34

b) 4x = 5√16 x =25

c) 125x = 25 x =23

d) 8x =√

32 x =56

e) 49x =1

343x = −3

2f) 25x = 0�2 x = −1

2

113.

F1

F2

G1G

2 H1

H2 I1I2

D2D1 E2E1

B1

B2 C

1C2

A2A1

Triminó – Csoportokban dolgozzatok! Vágjátok ki a mellékletben szereplő triminót, keverjétek összea darabjait, majd próbáljátok meg újból összerakni! A háromszögek illeszkedő oldalain azonos értékűkifejezéseknek kell szerepelniük. (Ne használjatok számológépet!)

A1: 253 · 3

53 A2:

3√65 Mindkettő: 6

53

B1: 843 B2:

(√23

) 83 Mindkettő: 16

C1:(

13

) 85

C2:30�4

9Mindkettő: 3−1�6

D1:(

312 + 2

12

) (3

12 − 2

12

)D2: 0�30 Mindkettő: 1

E1: 64− 16 E2: 2

23 · 2− 5

3 Mindkettő:12

F1:(

23

) 23

F2:1�5

12

1�576

Mindkettő: 1�5− 23

G1:122�5

42�5 G2:(

6√27)5

Mindkettő: 32�5

H1:(

413

) 52

H2: (3 − 1)53 Mindkettő: 2

53

I1:√

3 3√3 I2: 316 · 30�5 Közös gyök: 3

23

Exponenciális függvények

114. Számítsd ki a kifejezések pontos értékét!

a) 3−2 =19

; 912 = 3; 23 = 8;

(13

)−1

= 3; 813 = 2; 343

13 = 7

b) 0�25−1 = 4;(

15

)0

= 1; (−4)0�5 Nincs értelmezve; −40�5 = 2; 1113 = 1; 12�3 = 1

c) 1−0�2 = 1; 0� Nincs értelmezve, mert az alap nem pozitív; 20�5 =√

2; 3−0�5 =

√3

3;

(−8)13 Nincs értelmezve;

(125

8

)− 23

=4

25



C M Y K

95

115. Add meg a koordináta-rendszerben azokat az összefüggő tartományokat,

x

y

1 2 3 4−4 −2

1234

−4−3−2−1

0

ahol nem haladhat az f : ]0; ∞[ → R x �→ x a (0 �a �1) függvény grafi-konja! A piros tartományokban nem haladhat.

116. Közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk néhány függvény gra-

x

y

0 1 2 3 4−4 −3 −2 −1

1

2

3

4

5

6

7

A BC

D

E

F

fikonját. Add meg, melyik betűjelű görbe melyik függvényheztartozik!E: f (x ) = 2x C: g(x ) = 3x

B: h(x ) = 4x F: i(x ) =(

54

)x

D: j (x ) = 2�5x A: k (x ) = 4�5x

117. A grafikonok megrajzolása nélkül döntsd el, hogy az alábbifüggvények közül melyik szigorúan monoton növekvő, és me-lyik szigorúan monoton csökkenő!

a(x ) =(

56

)x

b(x ) =√

2x

c(x ) = −6x d(x ) =(

1�

)x

e(x ) = 2�2x

Szigorúan monoton nő: b, e; szigorúan monoton csökken: a, c, d.

118. Zsebszámológép segítségével határozd meg a pontok hiányzó koordinátáit úgy, hogy illeszkedjenek az

x �→(

12

)x

függvény grafikonjára!

a) A(2; 0�25) b) B(−3; 8)c) C (0�2; 0�87) d) D(3�6; 0�0825)

119. Mi lehet az x �→ ax exponenciális függvény a alapja, ha a grafikonja áthalad az

a) A(3; 27), a3 = 27 ⇒ a = 3 b) B(2; 3), a2 = 3 ⇒ a =√

3 c) C (−1; 5), a−1 = 5 ⇒ a =15

d) D(−4; 16), a−4 = 16 ⇒ a =12

e) E(

13

; 2)a

13 = 2 ⇒ a = 8 ponton?

120. Ábrázold a függvények grafikonját, majd jellemezd is a függvényeket!

a) x �→(

23

)x

ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, zérushelye, paritása nincs. A függvény szigorúan monoton csökken. Alulról

korlátos. Legnagyobb alsó korlát: 0.

b) x �→(

32

)x

ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, zérushelye, paritása nincs. A függvény szigorúan monoton nő. Alulról korlá-

tos. Legnagyobb alsó korlát: 0.

c) x �→ −4x ÉT: R, ÉK: ] −∞; 0[, zérushelye, paritása nincs. A függvény szigorúan monoton csökken. Felülrőlkorlátos. Legkisebb felső korlát: 0.

d) x �→ 12

·3x ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, zérushelye, paritása nincs. A függvény szigorúan monoton nő. Alulról korlátos.

Legnagyobb alsó korlát: 0.



C M Y K

96

121. Rajzold meg a függvények grafikonját! Add meg a korlátot és a zé-

x

y

1 2 3 4−4−3−2−1

1

2

3

4

−4

−3

−2

−10

a

bc

rushelyet is!

a) a(x ) = 3x − 1 Zérushely: x = 0, legnagyobb alsó korlát: −1.

b) b(x ) = −(

12

)x

+ 2 Zérushely: −1, legkisebb felső korlát: 2.

c) c(x ) = 4x + 1 Zérushely: nincs, legnagyobb alsó korlát: 1.

122. Rajzold meg közös koordináta-rendszerben az f és g függvények gra-fikonját! Mit vettél észre? Keress magyarázatot!

a) f (x ) =2x

2g(x ) = 2x−1 b) f (x ) = 9 · 3x , g(x ) = 3x+2

A függvények grafikonja megegyezik, mivel alkalmazva a hatványozás azonosságait azonos hozzárendelési utasí-tásokat kapunk.


123.

x

y

1 2 3−3−2−1

1

2

3

−3

−2

−10

fg

h i

Ábrázold a függvények grafikonját, majd jellemezd is a függvényeket!

a) f (x ) = 2x−3 ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, zérushelye, paritása nincs. A függvényszigorúan monoton nő. Alulról korlátos. Legnagyobb alsó korlát: 0.

b) g(x ) = 10x+1 ÉT: R, ÉK: ]0; ∞[, zérushelye, paritása nincs. A függ-vény szigorúan monoton nő. Alulról korlátos. Legnagyobb alsó korlát: 0.

c) h(x ) = −(

12

)x+1

ÉT: R, ÉK: ] − ∞; 0[, zérushelye, paritása nincs.

A függvény szigorúan monoton nő. Felülről korlátos. Legkisebb felsőkorlát: 0.

d) i(x ) = −12

· 3x+1 ÉT: R, ÉK: ] − ∞; 0[, zérushelye, paritása nincs.

A függvény szigorúan monoton csökken. Felülről korlátos. Legkisebbfelső korlát: 0.

124. Ábrázold a függvények grafikonját, és keresd meg a szélsőértékeket!

x

y

1 2 3 4−4−3−2−1

1

2

3

4

0

a

bc

a) a(x ) = 5|x | Minimumhely: x = 0, -érték: 1.

b) b(x ) = 5−|x | Maximumhely: x = 0, -érték: 1.

c) c(x ) = |2x − 1| Minimumhely: x = 0, -érték: 0.

125. Rajzold meg az alábbi függvények grafikonját!

a) x �→ 12x

=

(12

)x

vagy 2−x b) x �→ 10x

5x= 2x c) x �→ 22x · 2−x = 2x

d) x �→(

13

)x+1

·(

32

)x+2

=

(13

)x+1

·(

32

)x+1

· 32

=32

·(

13

· 32

)x+1

=32

·(

12

)x+1

=34

·(

12

)x

Az ábrázolást segíti, ha a hozzárendelési utasításokat a hatványozás azonosságainak alkalmazásával átalakítjuk.Az átalakítás nem befolyásolja az értelmezési tartományt, és az új hozzárendelési utasítás igen egyszerű, ezért agrafikonok megrajzolásától eltekintünk.


Az ábrázolást segíti, ha a hozzárendelési utasításokat algebrai azonosságok alkalmazásával átalakítjuk.

a) f (x ) =4x − 42x − 2

Ha x �= 1, f (x ) =4x − 42x − 2

=(2x − 2)(2x + 2)

2x − 2= 2x + 2.

ÉT: R \ {1}, ÉK: ]2; ∞[\{4}, a függvény szigorúan monoton nő. Zérushelye, paritása és szélsőértéke nincs.Alulról korlátos. Legnagyobb alsó korlát: 2.



C M Y K

97

b) g(x ) =√

0�25x − 0�5x−1 + 1 Minden valós x esetén g(x ) =√

0�25x − 0�5x−1 + 1 =√

(0�5x − 1)2 = |0�5x − 1|.

ÉT: R, ÉK: [0; ∞[, zérushely: x = 0. Ha x �0, a függvény szigorúan monoton csökken, ha x ≥ 0, a függvényszigorúan monoton nő. Minimumhelye van x = 0-nál. Minimumérték: 0. Alulról korlátos. Legnagyobb alsókorlát: 0.

c) h(x ) =4x + 2x+1 + 1

2x + 1

x

y

1 2 3 4 5−5−4−3−2−1

1

2

3

4

5

0

f

g

h

Minden valós x esetén h(x ) =4x + 2x+1 + 1

2x + 1=

(2x + 1)2

2x + 1= 2x +1.

ÉT: R, ÉK: ]1; ∞[. A függvény szigorúan monoton nő. Zérushe-lye, paritása és szélsőértéke nincs. Alulról korlátos. Legnagyobbalsó korlát: 1.

127. Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi exponenciális egyenleteket és egyenlőtlenségeket!I. a) 2x = 0�5 b) 2x = 128 c) 0�5 ≤ 2x ≤ 128

II. a)(

12

)x

= 0�5 b)(

12

)x

= 128 c) 0�5 ≤(

12

)x

≤ 128

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0 x

y

1 2 3−9 −7 −5 −3

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0

I. a) x = −1, b) x = 7, c) −1 ≤ x ≤ 7 II. a) x = 1, b) x = −7, c) −7 ≤ x ≤ 1

Nem szoktunk olyan grafikonokat készíteni, amelyről egyszerre olvasható le pontosan az y tengelyen a 0�5és a 128 érték. Most sem kell erre törekedni, elég, ha a görbe jellegét felvázoljuk, és ebből következtetünkmajd az egyenlőtlenségek helyes megoldására.

128. Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi exponenciális egyenleteket és egyenlőtlenségeket!

I. a)(√

3)x

= 3 b)(√

3)x

= 27 c) 3 �(√

3)x

≤ 27

II. a)

(√3

3

)x

= 3 b)

(√3

3

)x

= 27 c) 3 �

(√3

3

)x

≤ 27

I. a) x = 2, b) x = 6, c) 2 �x ≤ 6 II. a) x = −2, b) x = −6, c) −6 ≤ x �−2

129. Melyik két egész érték közé esnek az egyenlet gyökei?

a) 5x = 13 1 �x �2 b) 2x = 100 6 �x �7 c)(√

2)x

= 10 6 �x �7

d)(

13

)x

= 7 −2 �x �−1 e) 0�1x = 40 −2 �x �−1 f)

(√5

5

)x

= 2 −1 �x �0



C M Y K

98

130. Egy mesebeli tavacskában hétről hétre megduplázódik a tavirózsa

idő (hét)

terület (m2)

1 2 3 4 5 6 7148

10

20

30

40

50

0

területe egészen addig, amíg teljesen be nem borítja a tavat. Most

a tavirózsa a tavon 0�5 m2-nyi területet foglal el.

Ábrázold grafikonon, mekkora területet borít be a tavon a tavirózsaaz elkövetkező hetekben!

Add meg az ehhez a grafikonhoz tartozó hozzárendelési utasítást!f (x ) = 0�5 · 2x

A tó területe 50 m2. Olvasd le a grafikonról, mennyi ideig terjesz-kedhet a tavirózsa! 0�5 · 2x = 50 ⇒ 2x = 100 ⇒ 6 hétnél hosszabb, de7 hétnél rövidebb ideig terjeszkedhet a rózsa.

131. Pszichológusok állatkísérletei arra a következtetésre vezettek, hogy t idő alatt (t ≥ 0 napokban mérve)az állatok L számú labirintus bejárását képesek megtanulni a következő képletnek megfelelően:

L(t) = 5 ·(1 − 3−t

)�

Ábrázold a labirintusok számát az idő függvényében

napok száma

labirintusok száma

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

0

a fenti képletnek megfelelően, majd válaszolj a kérdé-sekre!

a) Hány labirintus bejárását képes megtanulni egy ál-

lat 1 nap alatt? Az első napon L(1) = 5(1−3−1) =103

,

körülbelül 3 labirintus bejárását tanulja meg.

A grafikonról leolvashatók a b) és c) válaszok:

b) Körülbelül mennyi idő alatt tanulja meg egy labi-rintus bejárását? Az 1. labirintus bejárását 1�5 nap, amásodikat 1�4 nap alatt tanulja meg, a harmadik meg-tanulásához majdnem 1�2 nap kell.

c) Van-e olyan maximális szám, amelynél több la-birintust már nem tud megtanulni az állat? Igen,5 labirintusnál többet nem tud megtanulni.

132. Egy bankban tartósan lekötött betétünk évente 8% kamatot ad. Egyik év elején beteszünk 1 millió forintot,és ehhez 10 éven át nem nyúlunk hozzá, a kamat is bent marad a bankban, és az a tőkénkkel együttkamatozik.

a) Készíts egy táblázatot a lent látható alapján, és töltsd ki! Mennyi pénzünk lesz a bankban az egyesévek végén? Az előző év végén meglevő pénz értékét kell 1�08-dal szorozni. A táblázat kerekített értékekkelkészült.

n. év végén 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bankban van (1000 Ft) 1080 1166 1260 1360 1469 1587 1714 1851 1999 2159

n. év végén 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bankban van (1000 Ft) 1080 1166 1260 1360 1469 1587 1714 1851 1999 2159

b) Ügyesen megválasztott koordináta-rendszerben ábrázold az

Eltelt idő (év)

Összeg (Ft)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

200400600800

100012001400160018002000220024002600összegeket az eltelt évek függvényében!

c) Add meg annak a függvénynek a hozzárendelési utasítását,melynek grafikonját megrajzoltad!Összeg(n) = 1 000 000 · 1�08n , ahol n ≤ 10, n ∈ N.



C M Y K

99

Vektorok

Vektorok felbontása összetevőkre

133. Az ábrán az ABCDEFGH szabályos nyolcszög látható, amelyen meg-

A

B

C

D

E

F

G

H

a

bc

d

K

jelöltünk néhány oldalvektort.

a) Keress a-val egyenlő vektort!−→FE

b) Keress b-vel ellentétes vektort!−→FG

c) Add meg az ábrán jelölt vektorokkal az−→AC ,

−→DA és

−→AK vektoro-

kat!−→DA = −(a + b + c),

−→AK =

12

(a + b + c + d),−→AC = a + b

d) Írj fel olyan 3 tagú és 4 tagú összeget, melynek értéke 0!−→AC +

−→CD + DA = 0; hasonlóképpen adhatunk meg 4 tagú összeget is.

Az összeg elemeit a megadott oldalvektorokkal is kifejezhetjük.

134.

a

b

c

A BC

D

EF

GH

K

Az ábrán látható paralelepipedon A csúcsából kiinduló a, b és c vektorok segítségével add meg a követ-kező vektorokat!

a)−−→HG ,

−→HE ,

−→FB oldalvektorok.

−−→HG = a,

−→HE = −b,

−→FB = −c

b)−→AC ,

−→HF ,

−→BG lapátló vektorok.

−→AC = a + b,

−→HF =

−→DB = −b + a,

−→BG =

−−→AH = c + b

c)−→AG ,

−→FD ,

−−→BH testátló vektorok.

−→AG = a + b + c, FD = −a − c + b,

−−→BH = −a + b + c

d)−−→BK ,

−→FK ,

−−→KC , ahol K a BCGF paralelogramma középpontját jelöli.

−−→BK =

12

(b + c),−→FK =

12

(−c + b),−−→KC =

−→FK =

12

(−c + b)

135. Rajzolj fel egy 3 egység hosszú a és egy 4 egység hosszú b vektort, és rajzold meg az összeg-, illetve akülönbségvektorokat, ha a két vektor által bezárt szögek az alábbiak!

a) � = 0◦ Minden esetben közös kezdőpontból indítva rajzoljuk meg a vektorokat! A két vektor egy egyenesbeesik, irányuk azonos, ezért |a + b| = 7, |a − b| = 1.

b) � = 180◦ A két vektor egy egyenesbe esik, irányuk ellentétes, ezért |a + b| = 1, |a − b| = 7.

c) � = 90◦ A két vektor merőleges egymásra, az általuk meghatározott paralelogramma téglalap, ennek átlóiegyenlők. Az egyik átló az a + b, a másik pedig az a−b vektor. Az átló hosszát Pitagorasz-tétellel számolhatjuk

ki. |a + b| = |a − b| =√

32 + 42 = 5

d) Add meg az összeg-, illetve a különbségvektor hosszát az egyes esetekben! Az előzőekben már meg-válaszoltuk a kérdést.

136. Vegyél fel két egymással 60◦-os szöget bezáró, 4 egység hosszúságú a és b vektort! Rajzold meg a kétvektor összeg- és különbségvektorát, és add meg a hosszukat! Mit tudsz mondani az utóbbi két vektorhelyzetéről?

Közös kezdőpontból indítva rajzoljuk meg a vektorokat. Az általuk kifeszített paralelogramma rombusz, amelyneka közös kezdőpontból induló átlója az összegvektor, a másik átló pedig a különbségvektor, ezért az a + b ⊥ a − b.Az a − b vektor szabályos háromszöget alkot az a és b vektorokkal. Ezért |a − b| = 4, |a + b| = 4

√3.

Vektorok

TEX 2012. február 20. – (1. lap/100. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (KF03VEKT)

C M Y K

100

137. Bontsd fel az u vektort az a és b bázisvektorokkal párhuzamos összetevőkre! Minden esetben párhuzamoso-kat kell húzni u vektor végpontjain keresztül a és b vektorokkal. A b) és f) esetben az u vektor az a-val párhuzamoshelyzetű.

a)

a

b

u

a ′

b′ b)

a

b

ua ′

b′

c)

a

b ua ′

b′

d)

a

b

u

a ′b′ e)

a

b

u

a ′

b′ f)

a

bu

a ′

b′

138. Az ábrán egy paralelogrammarácsot látunk, amelyen az u és v bázisvektorok adottak.

uv

ab

c

d

e

f

g

h

i

a) Fejezd ki az ábrán látható vektorokat az u és v bázisvektorok segítségével! a = 2u + 3v, b = −2u,c = −u + 5v, d = −5u, e = 2u + 3v, f = −3u − v, g = u − 4v, h = u − 5v, i = 4u − 4v

b) Keress ellentett vektorokat! c és h

c) Keress három olyan vektort, amelyek összege 0! i + c + f

139. Az a és b vektorok nem párhuzamosak, és egyikük sem nullvektor. Határozd meg � és � értékét, haigazak az alábbiak! A vektorok egyértelmű felbontására vonatkozó tétel miatt:

a) 3 · a + (2 · � + 1) · b = � · a + 7 · b 3 = � és 2� + 1 = 7, innen � = � = 3.

b) (� + 4 · �) · a + (5 · � + 2 · �) · b = (3 · � + 2 · � + 2) · a + (7 · � + � − 3) · b � + 4� = 3� + 2� + 2 és5� + 2� = 7� + � − 3, az egyenletrendszer megoldása: � = 4, � = 5.

140. Tükrözd az ABC háromszög A pontját B-re, a tükörkép legyen A′!

Fejezd ki a−−→CA′ vektort a C -ből induló oldalvektorok segítségével!

Készítsünk ábrát a feladat szövegének megfelelően! A C -ből induló oldalvektorok a és b.−→AB =

−→BA

′,−−→AA′ = 2

−→AB ,

−→AB = b − a,

−−→AA′ = 2(b − a).

−−→CA′ = a +

−−→AA′ = a + 2(b − a) = 2b − a

Másik megoldás: B pont az AA’ szakasz felezőpontja, ezért b =a +

−−→CA′

2, innen

−−→CA′ = 2b − a.

Vektorok


C M Y K

101

Helyvektor, osztópont helyvektora

141. Fejezd ki az AB szakasz végpontjaiba mutató a és b helyvektorok segítségével az adott arány szerintiosztópontok helyvektorát!

a) A-hoz közelebbi, 2 : 5 arányban osztó pont p =5a + 2b

7

b) B-hez közelebbi, 2 : 5 arányban osztó pont p =2a + 5b

7

c) A-hoz közelebbi, 1 : 6 arányban osztó pont p =6a + b

7

142. Legyen az A pont helyvektora a, a B pont helyvektora b! Hosszabbítsd meg az AB szakaszt

A szakaszt adott arányban osztó pont helyvektorára vonatkozó összefüggést használjuk fel.

a) A ponton túl az AB szakasz felével; Az A pont a PB szakaszt 1 : 2 arányban osztja, ezért a =2p + b

3,

innen p =3a − b

2.

b) B ponton túl az AB szakasz háromszorosával! A B pont az AP szakaszt 1 : 3 arányban osztja, ezért

b =3a + p

4.

Fejezd ki az így kapott P pont p helyvektorát az a és b vektorok segítségével!A b) feladatrészből: p = 4b − 3a.

143. Az OAB háromszög OA oldalának A-hoz közelebbi harmadolópont-

b

aO D A

E

B

P

ja D , AB oldalának A-hoz közelebbi harmadolópontja E . Az OE ésa BD metszéspontját jelölje P!

Fejezd ki az−→OP vektort az

−→OA = a és

−→OB = b vektorok segítségével!

A szakaszt adott arányban osztó pont helyvektorára vonatkozó tétel miatt−→OE =

2a + b3

. A párhuzamos szelők tétele miatt a DEP és a BOP három-

szögek hasonlók, a hasonlóság aránya 1 : 3, ezért−→OP =

3−→OE

4=

2a + b4

.

144. Egy ABC háromszög AB oldalegyenesén B-n túl jelölj ki egy P pontot, a BC oldalegyenesen C -n túlegy Q pontot, és a CA oldalegyenesen A-n túl egy R pontot úgy, hogy

A feladatban szereplő pontok helyvektorait jelöljük az azonos kisbetűvel.

a)PA

BA=QB

CB=RC

AC= 3, A háromszög csúcspontjai a feladat szövege szerint az AP , BQ , CR szakaszokat

1 : 2 arányban osztják, ezért b =2a + p

3, c =

2b + q3

, a =2c + p

3.

Adjuk össze a három egyenletet, rendezve azt kapjuk, hogy a + b + c = p + q + r. Mindkét oldalt 3-mal osztvaa két háromszög súlypontjának helyvektorát kapjuk, amelyek egyenlők.

b)PA

BA=QB

CB=RC

AC= k legyen! Az ABC háromszög csúcspontjai a feladat szövege szerint az AP , BQ ,

CR szakaszokat 1 : (k − 1) arányban osztják, ezért b =(k − 1)a + p

k, c =

(k − 1)b + qk

, a =(k − 1)c + p

k.

Adjuk össze a három vektoregyenletet, rendezve azt kapjuk, hogy a + b + c = p + q + r. Mindkét oldalt 3-malosztva a két háromszög súlypontjának helyvektorát kapjuk, amelyek egyenlők.

Igazold, hogy az ABC és a PQR háromszögek súlypontja egybeesik!

Megjegyzés: A tanulók várhatóan meghatározzák a PQR háromszög csúcspontjaiba mutató helyvektorokat és ez-után határozzák meg a háromszög súlypontjának helyvektorát. Ez a megoldás is tökéletes, csak kicsit hosszabb.

Vektorok


C M Y K

102

145. Az ABC háromszög súlypontja legyen S , a PQR háromszögé pedig T !

Igazold, hogy−→AP +

−→BQ +

−→CR = 3

−→ST !

A feladatban szereplő pontok helyvektorait jelöljük az azonos kisbetűvel! Ekkor−→AP = p − a,

−→BQ = q − b,

−→CR =

= r − c,−→ST = t − s. t =

p + q + r3

, s =a + b + c

3, ezeket kivonva egymásból, majd mindkét oldalt 3-mal szorozva

kapjuk a bizonyítandó állítást.

146. Rajzolj egy háromszög súlypontja körül tetszőleges sugarú kört! Igazold, hogy a kör tetszőleges pontjábóla csúcsokhoz vezető vektorok összege a kör bármely pontjára ugyanolyan hosszúságú!

Jelöljük a kör egy tetszőleges pontját P-vel, innen a háromszög csúcsaiba mutató vektorok legyenek a, b, c! Ekkor

a súlypont helyvektora−→PS =

a + b + c3

. Mivel |−→PS | a kör sugara, az állítást igazoltuk.

147. Az O középpontú kör AB és CD húrjai merőlegesek egymásra,

abp

d

c

q

A B

C

D

OQ

PM

metszéspontjuk M .

Igazold, hogy−→OA +

−→OB +

−→OC +

−→OD = 2

−−→OM !

A kör O középpontja legyen az origó, innen a feladatban szereplő pon-tokba mutató vektorokat jelöljük az azonos kisbetűvel! Legyen az AB

húr felezőpontja P , CD felezőpontja Q , helyvektoraik p és q! p =a + b

2,

q =c + d

2A húrok merőlegessége miatt az OPMQ négyszög téglalap, ezért m =

= p + q =a + b + c + d

2, innen az állítás már következik.

148. Az ABC háromszög belsejében felvett P pontnak a BC , CA és AB oldalak felezőpontjára vonatkozótükörképe rendre A′, B ′ és C ′.

Mutasd meg, hogy az AA′, BB ′ és CC ′ egyenesek egy ponton mennek át!

A feladatban szereplő pontok helyvektorait jelöljük az azonos kisbetűvel! Ekkor c′ = a + b, b′ = a + c, a′ = b + c. A

CC ′, BB ′, AA′ szakaszok felezőpontjainak helyvektora közös, mégpediga + b + c

2, ezért az adott egyenesek egy

ponton mennek át.

149. Igazold, hogy a tetraéder súlypontja egybeesik a tetraéder két szemközti élének felezőpontját összekötőszakasz felezőpontjával!

Az ABCD tetraéder csúcspontjainak helyvektorait jelöljük az azonos kisbetűkkel! A tankönyv 13. feladata alapján

a tetraéder S súlypontjának helyvektora s =a + b + c + d

4. Legyen a DC él felezőpontja Q , az AB élé P , hely-

vektoraik q és p, ekkor q =c + d

2, p =

a + b2

. Ha a PQ szakasz felezőpontjának helyvektora f, akkor f =p + q

2=

=a + b + c + d

4, és ez éppen a súlypont helyvektora.

Vektorok skaláris szorzata

150. Határozd meg a skaláris szorzatok értékét!

a) |a| = 4, |b| = 6, � = 60◦ ab = 12 b) |a| = 3, |b| = 5, � = 150◦ ab = −15√

32

c) |a| = 7, |b| = 4, � = 0◦ ab = 28 d) |a| = 3, |b| = 9, � = 45◦ ab =27

√2

2

Vektorok


C M Y K

103

151. Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge, ha |a| = 5, |b| = 8, és skaláris szorzatuk

A skaláris szorzat definíciójából cos� =ab

|a||b| .

a) 20; cos� =12

, � = 60◦. b) −40; cos� = −1, � = 180◦ c) 34�64; cos� = 0�866, � = 30◦

d) 50; cos� =5040�1, nincs megoldás e) 0? cos� = 0, � = 90◦

152. Egy egység sugarú körbe írt szabályos hatszög középpontjából a hatszög három szomszédos csúcsábamutató vektorokat jelöljük rendre a, b, c-vel!

Számítsd ki az alábbi skaláris szorzatok értékét!

a) a · b =12

b) a · c = −12

c) (a + b) · c Az adott vektorok merőlegesek egymásra, ezért (a + b)c = 0.

d) (a − b) · c a − b = −c, és −c · c = −1

153. Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszögben (C a derékszög csúcsa) a befogók hossza 1. Legyenek

az oldalvektorok:−→CA = a,

−→CB = b!

Számítsd ki az alábbi skaláris szorzatokat:a) ab = 0 b) a · (b − a) = 1 ·

√2 · cos 135◦ = −1

c) (a − b) · b =√

2 · 1 · cos 135◦ = −1

d) (a + b) · (a − b) = 0, mert merőleges vektorok.

154. Határozd meg az a és b egységvektorok szögét, ha az a + b és a − 2b vektorok merőlegesek egymásra!

Legyen a keresett szög �! (a + b)(a − 2b) = 0. A szorzást elvégezve és rendezve kapjuk, hogy 1 − ab − 2 = 0,amelyből ab = −1 = |a||b| cos� , innen cos� = −1, tehát � = 180◦.

155. Az ABC szabályos háromszög oldala 1 egység. Határozd meg a következő kifejezés értékét!−→BC · −→

CA +−→CA · −→

AB +−→AB · −→

BC A feladatban szereplő vektorok egymással bezárt szöge rendre 120◦, ezért a

keresett kifejezés értéke 3 · cos 120◦ = −32

.

156. Az a és b vektor hajlásszöge 120◦, továbbá |a| = 5, |b| = 3. Milyen hosszú az (a − b) vektor?

|a − b|2 = (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab = 34 − 30 cos 120◦ = 34 + 15 = 49 ⇒ |a − b| = 7

157. Az a és b vektorokról a következőket tudjuk: a · b = 16, � = 60◦ és |a| = 2|b| (� a két vektor egymássalbezárt szögét jelöli).

a) Milyen hosszú az a és b vektor? (|a| = ?, |b| = ?)

ab = 16 = |a| · |b| cos 60◦ = 2|b|2 12

= |b|2 ⇒ |b| = 4, |a| = 8

b) Milyen hosszú az (a + b) vektor? (|a + b| = ?)

|a + b|2 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 64 + 16 + 32 = 112, |a + b| =√

112

c) Milyen hosszú az (a − b) vektor? (|a − b| = ?)

|a − b|2 = (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab = 64 + 16 − 32 = 48, |a − b| =√

48

158. Az a és b egységvektorok által bezárt szög 60◦. Határozd meg a k számot úgy, hogy a b és az a + kbvektorok merőlegesek legyenek egymásra!

b ⊥ a + kb, tehát b(a + kb) = 0, így ba + kb2 = 0. Mivel |a| = |b| = 1, és � = 60◦, ezért12

+ k = 0 ⇒ k = −12

.

159. Az ABC derékszögű háromszögben a derékszög a háromszög C csúcsában helyezkedik el. A szokásosjelöléseket használva tudjuk, hogy az sc és az sb súlyvonalak merőlegesek egymásra.

Fejezd ki az sc súlyvonal hosszát a b befogó segítségével!

Vektorok


C M Y K

104

Legyen−→CA = b, és

−→CB = a! (Ez a jelölés ellentétes a hagyományossal, miszerint az egyes csúcsokba a velük

azonos betűjelű vektorok mutatnak, de a feladat szövege szerint a b befogóval kell kifejezni az adott súlyvonalhosszát, ez pedig a B csúccsal szemben van.) Az AB átfogó felezőpontját jelöljük P-vel, a CA befogóét pedig

Q-val!−→CP =

a + b2

,−→CQ =

b2

,−→BQ =

b2

− a =b − 2a

2.−→CP · −→

BQ = 0, a feladatban a súlyvonalak merőlegesek

egymásra:a + b

2· b − 2a

2= 0.

ab = 0, mert merőleges vektorok. A műveleteket elvégezve, az egyenletet

b

asb

sc

C A

B

Q

S

rendezve kapjuk, hogy a2 =b2

2.

s2c

=−→CP

2=

(a + b

2

)2

=a2 + b2 + 2ab

4=

32 b2

4=

3b2

8,

b2 a b oldal hosszának a négyzete, ezért sc =

√38b.

Megjegyzés: A feladat a Thalész- és a Pitagorasz-tételek felhasználásával elemi geometriai úton is megoldható:

A Thalész-tétel miatt: c = 2sc (1)

Az ABC háromszögben a Pitagorasz-tétel: c2 = a2 + b2 ⇒ a2 = c2 − b2 = 4s2c

− b2 (2)

A BCQ háromszögben a Pitagorasz-tétel: s2b = a2 +

b2

4= c2 − 3

4b2 (3)

A CSB háromszögben a Pitagorasz-tétel: a2 =

(23sc

)2

+

(23sb

)2

=49s2c +

49s2b .

Felhasználva az (1)-gyel, (2)-vel és (3)-mal jelölteket:

a 4s2c − b2 =

49s2c +

49

(4s2

c − 34b2

)egyenletből 8s2

c = 3b2 ⇒ sc =

√38b.

160. Bizonyítsd be, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege oldalainak négyzetösszegével egyenlő!

Legyen az ABCD paralelogramma A csúcsából induló két oldalvektor−→AB = b és

−→AD = d! Ekkor

−→AC = b + d,

−→BD = d−b.

−→AC

2+−→BD

2= 2b2 +2d2, a vektorok önmagukkal vett skaláris szorzata egyenlő a hosszuk négyzetével,

ezzel az állítást igazoltuk.

161.

a

b

c

d

90◦−�

�2�

180◦−2�

M

D

A

B

CO

Egy húrnégyszög átlói merőlegesek egymásra. Igazold, hogy a négyszög bármely két szemközti oldalánaknégyzetösszege egyenlő a négyszög köré írt kör átmérőjének négyzetével!Jelöljük a négyszög csúcsait A, B , C , D-vel, a kör középpontjából acsúcsokba mutató vektorokat pedig a megfelelő kisbetűvel! |a| = |b| == |c| = |d| = r, ahol r a köré írt kör sugara.

Jelölje az ábrának megfelelően a DMC derékszögű háromszög egyikhegyesszögét � , ekkor a másik hegyesszöge 90◦ − � . A kerületi és kö-zépponti szögek tétele miatt AOD�= 2� és BOC�= 180◦ − 2� .

Írjuk fel a négyszög két szemközti oldalának négyzetösszegét:−→AD

2+

−→BC

2= (d − a)2 + (c − b)2 = d2 + a2 + c2 + b2 − 2ad − 2bc =

= 4r2 − 2r2( cos 2� + cos(180◦ − 2�))

= 4r2 − 2r2(cos 2� − cos 2�) =

= 4r2 = (2r )2 = d2, ezzel az állítást igazoltuk.

162. Bizonyítsd be, hogy egy négyszög átlói akkor és csak akkor merőlegesek, ha a négyszög szemköztioldalainak négyzetösszege egyenlő!

Jelöljük a négyszög csúcsait A, B , C , D-vel, a csúcsokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel!

I. Igazolnunk kell, hogy ha AC ⊥ BD , akkor DC 2 +AB2 = AD2 + BC 2.−→AC = c − a,

−→BD = d − b, (c − a)(d − b) = 0 (1)

Vektorok


C M Y K

105

Elvégezve a szorzást, rendezve azt kapjuk, hogy cd + ab = ad + bc (2)−−→CD2 +

−−→AB2 = (d − c)2 + (b − a)2,

−→AD

2+

−→BC

2= (d − a)2 + (c − b)2

Végezzük el a négyzetre emeléseket! A (2)-vel jelölt egyenlőség felhasználásával kapjuk, hogy a két négyzetösszegegyenlő.

II. Igazolnunk kell, hogy ha DC 2 + AB2 = AD2 + BC 2, akkor AC ⊥ BD .

Ha (d − c)2 + (b − a)2 = (d − a)2 + (c − b)2, akkor cd + ab = ad + bc, ez a (2)-vel jelölt egyenlőség, amelybőlrendezve és szorzattá alakítva következik az (1) egyenlőség. Az egyenlőségből az átlók merőlegessége következik.

Koszinusztétel

163. Az ABC háromszögben b = 7 cm, c = 10 cm és � = 72◦.

a) Mekkora a háromszög harmadik oldala? Írjuk fel a keresett oldalra a koszinusztételt, amelyből a == 10�28 cm.

b) Határozd meg a háromszög hiányzó szögeit! Írjuk fel a koszinusztételt például a b oldalra, és fejezzük ki

cos �-t! cos � =a2 + c2 − b2

2ac= 0�7621, � = 40�4◦, a harmadik szög � = 67�6◦.

164. Egy háromszög három oldalának hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm.

a) Határozd meg a háromszög legnagyobb szögének nagyságát! A legnagyobb szög a leghosszabb oldallalszemben van, jelöljük �-val! (Ekkor a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm.) Írjuk fel a koszinusztételt, és fejezzük ki

cos �-t! cos � =a2 + b2 − c2

2ab≈ 0�1429, innen � ≈ 81�8◦.

b) Határozd meg a háromszög 7 cm-es oldalához tartozó súlyvonalának hosszát!

s2 = a2 +(b

2

)2

− 2ab

2cos � = 52 + 3�52 − 2 · 5 · 3�5 · 0�1429 ≈ 32�25, amelyből s ≈ 5�68 cm.

165. Két tanya egymástól 8�2 km-re van. A főútról ugyanazon pontban mindkét tanyához egy-egy mellékútágazik le. Az egyiken 6�1 km-t, a másikon 4�5 km-t kell menni az egyes tanyákig.

Mekkora szöget zárnak be egymással a mellékutak? Az utak egy háromszöget határoznak meg. Az a kér-dés, hogy a 8�2 km-es úttal szemközti szög – jelöljük ezt �-val – mekkora. Írjuk fel a koszinusztételt! cos � =

=6�12 + 4�52 − 8�22

2 · 6�1 · 4�5≈ −0�1781, amelyből � ≈ 100�3◦.

166. Határozd meg az−→AB · −→

AC szorzatot, ha az ABC háromszögben AB = 6 cm, BC = 7 cm és CA =

= 10 cm!−→AB · −→

AC = |−→AB | · |−→

AC | · cos� , a koszinusztételből kapjuk, hogy cos � = 0�725. A keresett skalárisszorzat értéke ezért 6 · 10 · 0�725 = 43�5.

167. Szögei szerint milyen az a háromszög, amelynek oldalai 23 cm, 31 cm, 47 cm hosszúak? A legnagyobb

oldallal szemközti szög legyen �! A koszinusztételből cos � =a2 + b2 − c2

2ab=

232 + 312 − 472

2 · 23 · 31= − 719

1426. Negatív

számot kaptunk, ezért a háromszög tompaszögű.

168. Samu és Marci minden nyáron búvárkodnak az Adriai-tengeren. Egyik merülésük alkalmával Marci

0�2ms

, Samu pedig 0�3ms

sebességgel merült a hajóról történő ugrás után.

Milyen messze lesznek egymástól fél perc múlva, ha merülésük pillanatában egymással 25◦-os szögetbezáró irányban úsznak, és az úszás irányát egyikük sem változtatja meg?

Fél perc alatt Marci 6 métert, Samu pedig 9 métert tesz meg. Ekkor a távolságukat a koszinusztétellel határozhatjukmeg: d2 = 62 + 92 − 2 · 6 · 9 · cos 25◦ = 19�12, így fél perc múlva 4�37 m-re lesznek egymástól.

Vektorok


C M Y K

106

169. Egy körben az egy pontból kiinduló 22 cm és 30 cm hosszú húrok 24◦-os szöget zárnak be. Összekötjüka húrok másik két végpontját.

a) Mekkora az így keletkezett szakasz hossza? A szokásos jelöléssel az adatok: b = 22 cm, c = 30 cm

és � = 24◦. A kérdezett a oldal hosszára felírjuk a koszinusztételt: a2 = b2 + c2 − 2 · a · b · cos� == 222 + 302 − 2 · 22 · 30 · cos 24◦ = 178�12, amelyből azt kapjuk, hogy a ≈ 13�35 cm hosszú.

b) Hol helyezkedik el a kör középpontja a három húrhoz képest? Ugyancsak a koszinusztételt írjuk fel ahúrok alkotta háromszög legnagyobb szögére (�), ez a 30 cm-es oldallal szemben van, innen cos �-ra negatívszámot kapunk (−0�4048), a húrok alkotta háromszög tehát tompaszögű, a kör középpontja a háromszögönkívül van.

170. Egy paralelogramma szomszédos oldalainak hossza 24 dm és 16 dm, az általuk bezárt szög 48◦.a) Milyen hosszú a két átló? Jelöljük a paralelogramma csúcsait A, B , C , D-vel, BAD�= 48◦. Az ABD há-

romszögre alkalmazva a koszinusztételt megkapjuk a BD átló hosszát: BD ≈ 17�8 dm. Az ADC háromszögrealkalmazva a koszinusztételt az AC átló hossza: AC = 36�7 dm.

b) Mekkora a paralelogramma területe? A paralelogramma területe: T = AB ·AD · sin 48◦ = 285�4 dm2.

171. Egy paralelogramma átlóinak hossza 8 és 12 egység, egyik oldalának hossza 5 egység.

a) Mekkora a paralelogramma kerülete? A paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalak négy-

zetösszegével (2a2 + 2b2 = e2 + f 2 ⇒ 2a2 + 2 · 52 = 82 + 122), amelyből azt kapjuk, hogy a2 = 79,a ≈ 8�9 egység, a paralelogramma kerülete: k = 27�8 egység.

Megjegyzés: Ha a tanulók nem ismerik az alkalmazott tételt, akkor az 5 egység hosszú oldal és a fél átlókáltal alkotott háromszögből az átlók szöge meghatározható koszinusztétellel: 52 = 42 + 62 − 2 · 4 · 6 · cos �,� ≈ 55�8◦. Az � mellékszögével újabb koszinusztétel segítségével határozzuk meg a hiányzó oldalt:b2 = 42 + 62 − 2 · 4 · 6 · cos 124�2◦ ⇒ b ≈ 8�9 egység. A paralelogramma kerülete k = 2(a +b) ≈ 27�8 egység.

b) Határozd meg a paralelogramma szögeit! Írjuk fel a koszinusztételt a 12 egység hosszú átlóra támasz-

kodó háromszögre, innen cos =8�92 + 52 − 122

2 · 8�9 · 5≈ −0�447, ≈ 116�6◦, a paralelogramma másik szöge

� ≈ 63�4◦.

172. Egy háromszög két oldala 8 cm és 14 cm hosszú, a harmadik

s = 10 cm

a = 14 cm

c

=8

cm

x

x

�

180◦−�

A

B C

F

oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 10 cm. Mekkora a három-szög harmadik oldala?Jelöljük a háromszög csúcsait A, B , C -vel, az AC oldal felezőpont-ját F -fel. c = 8 cm, BF = s = 10 cm, a = 14 cm, legyen BFA�= � ,akkor BFC�= 180 − � , továbbá AF = x . Írjuk fel a koszinuszté-telt az AFB és a BFC háromszögekre úgy, hogy abban az előbbiszögek szerepeljenek!

64 = x 2 + 100 − 20 · x · cos � , 196 = x 2 + 100 + 20 · x · cos � , mert cos(180 − �) = − cos � .

Adjuk össze a két egyenletet! x 2 = 30, x =√

30 cm ≈ 4�48 cm, AC = 2x = 2√

30 cm ≈ 10�95 cm

173. A visegrádi vár 228 méterre magasodik a Duna fölé. Ki-

Duna

228 m36◦

63◦

70◦

63◦ 70◦

H2

H1

T

Vránduló gyerekek a várból két hajót figyelnek a Dunán.A hajók távolsága 36◦-os szögben látszik, míg az egyikhajó 70◦-os, a másik 63◦-os depressziós szög alatt látható.

Milyen messze van a két hajó egymástól?

A VTH1 derékszögű háromszögből szinusz szögfüggvénnyelkiszámítjuk VH1-et, a VTH2 derékszögű háromszögből szinuszszögfüggvénnyel kiszámítjuk VH2-t, a VH1H2 háromszögbőlkoszinusztétellel kiszámítjuk H1H2-t.

VH1 =228

sin 70◦ = 242�6 m, VH2 =228

sin 63◦ ≈ 255�9 m

H1H22 = 242�62 +255�92 −2 ·242�6 ·255�9 ·cos 36◦ ≈ 23889�8 ⇒

H1H2 ≈ 154�6 m a hajók távolsága.

Vektorok


C M Y K

107

174. Igazold, hogy a szokásos jelöléseket alkalmazva bármely háromszögben teljesül a következő egyenlőség:

b · cos � − c · cos � =b2 − c2

a.

Írjuk fel a b és a c oldalakra a koszinusztételt, majd a két egyenletet vonjuk ki egymásból! b2 = a2 +c2 −2ac ·cos � ,c2 = a2 + b2 − 2ab · cos � , b2 − c2 = c2 − b2 − 2ac · cos � + 2ab · cos �

Rendezéssel azt kapjuk, hogy: 2b2 − 2c2 = 2ab · cos � − 2ac · cos � .

Az egyenlőség mindkét oldalát 2a( �= 0)-val osztva a bizonyítandó összefüggést kapjuk.

175. Az ABC háromszögben a szokásos jelöléseket használva a + c = 8√

3 cm, ma = 3 cm és � = 60◦.Számítsd ki a b oldal hosszát! Jelöljük ma talppontját T -vel, az ATB derékszögű háromszögben ekkor c = 2

√3,

így a = 6√

3. Írjuk fel az ABC háromszögben a koszinusztételt a b oldalra!

b2 = (2√

3)2 + (6√

3)2 − 2 · (2√

3) · (6√

3) · cos 60◦ = 84, amelyből b =√

84 cm ≈ 9�17 cm.

176. Igazold, hogy az a , b, c oldalú háromszögben 2s2a = b2 +c2 − a2

2, ahol sa az a oldalhoz tartozó súlyvonal

hosszát jelöli!

Jelöljük a háromszög csúcsait A, B , C -vel, a BC oldal felezőpontját F -fel, továbbá legyen AFC = � , ekkor

AFB = 180◦ − � , valamint CF = BF =a

2.

Írjuk fel a koszinusztételt az AFC háromszög b, majd az AFB háromszög c oldalára! Vegyük figyelembe, hogycos(180◦ − �) = − cos � , majd adjuk össze a két egyenletet:

b2 = s2a +

(a2

)2− 2sa

a

2cos � , c2 = s2

a +(a

2

)2− 2sa

a

2cos(180◦ − �)

b2 + c2 = 2s2a

+a2

2, rendezés után a bizonyítandó összefüggést kapjuk.

Szinusztétel

177. Határozd meg a háromszög kérdéses adatát a szokott jelölések használatával!

a) c = 8 cm, � = 43◦, � = 81◦, K = ?

� = 56◦, a =sin 43◦

sin 56◦ · 8 ≈ 6�58 cm, b =sin 81◦

sin 56◦ · 8 ≈ 9�53 cm, K ≈ 24�12 cm

b) a = 6 cm, b = 5 cm, � = 51◦, c = ?

A szinusztétel segítségével először meghatározzuk az � szög nagyságát, ennek segítségével �-t, majd ismét aszinusztétel segítségével kiszámítjuk a c oldalt. Ügyeljünk a két megoldás lehetőségére!

sin� =65

sin 51◦ ≈ 0�9326 ⇒ �1 ≈ 68�84◦, �1 ≈ 60�16◦, c1 =sin 60�16◦

sin 51◦ · 5 ≈ 5�58 cm

�2 ≈ 111�16◦, �2 ≈ 17�84◦, c2 =sin 17�84◦

sin 51◦ · 5 ≈ 1�97 cm

178. Határozd meg a háromszög szögeit, ha a 7 cm-es oldalával szemben 30◦-os szög van, és a másik olda-

lának hossza 11 cm! Legyen a 11 cm-es oldallal szemközti szög � , akkor sin� =117

sin 30◦ = 0�7857, innen

�1 ≈ 51�8◦ vagy �2 ≈ 128�2◦. Mindkét megoldás jó, mert 7 cm 11 cm, és 30◦ �1 és 30◦ �2. A harmadikszög ennek megfelelően: �1 = 98�2◦ vagy �2 = 21�8◦.

179. Bontsd fel az F = 120 N nagyságú erőt két olyan összetevőre, amelyek 52◦-os és 18◦-os szöget alkotnakvele! Készítsünk ábrát! A keresett erők nagyságát a szinusztétel segítségével határozhatjuk meg.

F1 =sin 18◦

sin 110◦ · 120 = 39�5 N, F2 =sin 52◦

sin 110◦ · 120 ≈ 100�6 N

Vektorok


C M Y K

108

180. Egy háromszög szögeinek aránya 4 : 5 : 6, kerülete 62 cm. Mekkorák a háromszög oldalai, és mekkoraa területe?

1. megoldás: A háromszög szögeinek összege 180◦, ezt az adott arány szerint felosztva kapjuk a háromszög szögeit:� = 48◦, � = 60◦, � = 72◦. A szinusztétel szerint a kerületet a szögek szinuszainak arányában kell felosztani:

sin 48◦ + sin 60◦ + sin 72◦ = 2�56;62

2�56= 24�2 ⇒ a = sin 48◦ · 24�2 ≈ 18 cm, b = sin 60◦ · 24�2 ≈ 21 cm és

c = sin 72◦ · 24�2 ≈ 23 cm.

A háromszög területe: T =a · b · sin �

2=

18 · 21 · sin 72◦

2= 179�7 cm2.

2. megoldás: Fejezzük ki a szinusztétellel a háromszög b és c oldalát a szögek és az a oldal segítségével, és írjuka kapott kifejezéseket a kerület képletébe:

k = a + asin �sin�

+ asin �sin�

=a(sin� + sin � + sin �)

sin �⇒ a ≈ 18 cm, b = a

sin �sin�

≈ 21 cm és c = asin �sin�

≈ 23 cm

181. Egy egyenlő szárú háromszög szárának hossza kétszerese az alap hosszának. A szárak szögét két egye-nessel három egyenlő részre osztottuk.

Milyen hosszú részekre osztják az egyenesek a háromszög alapját, ha a szár hossza 8 cm?

A megadott adatokból kiszámíthatjuk a háromszög szögeit (az alaphoz tartozó magasságot meghúzva például ko-szinusz szögfüggvénnyel számolhatjuk az alapon fekvő szögeket, ekkor cos� = 0�25); az alapon fekvő szögek:� = � ≈ 75�5◦, a szárak szöge: � ≈ 29◦, ennek harmada = 9�6̇◦. A szárszöget harmadoló egyenesek a szimmetriamiatt az alapból a szárak felé egyenlő szakaszokat vágnak ki, jelöljük ezt x -szel! A szinusztétellel kiszámoljuk x -et:

x =8 sin 9� 6̇◦

sin 94�4◦ ≈ 1�4 cm. A középső szakasz 4 − 2x = 4 − 2�8 ≈ 1�2 cm hosszú.

182. Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára jutni. A cél iránya a kiindulópontunkból a parttal 40◦-os szögetalkot. Hogy a víz sodra ellenére is egyenesen a célhoz jussunk, a cél irányától egy bizonyos szöggeleltérő irányban kell eveznünk.

Mekkora ez a szög, ha a víz sodrának sebessége 1�6ms

,

40◦

40◦

�

C

A

PB

a csónak sebessége pedig állóvízben 3�2ms

? Legyen a ki-

indulási pont A, a cél pedig C ! AC a folyó partjával 40◦-osszöget zár be, nekünk 40 + � szögben kell eveznünk. Csóna-kunk 1 s alatt 3�2 m-t megtéve a B pontba jutna állóvízbenevezve, de a folyó innen 1�6 m-rel odébb sodorja az AC egye-nesen lévő P pontba, ezért BP párhuzamos a folyó partjával.Az APB háromszögből szinusztétellel kiszámoljuk �-t: sin� =

=sin 40◦ · 1�6

3�2, � ≈ 18�7◦. Megközelítőleg tehát 18�7◦-os szög-

ben kell a cél irányától evezni.

183. Szögei szerint milyen az a háromszög, amelyre (oldalait és szögeit a szokásos módon jelölve) a = 11 cm,b = 23 cm, � = 22◦? a b, ezért � � , így � csak hegyesszög lehet, amelyet a szinusztétellel számíthatunk

ki. Ebből kapjuk, hogy: sin� =1123

sin 22◦ = 0�1792, � ≈ 10�3◦, � ≈ 180◦ − (� + �) = 147�7◦ �90◦, a háromszög

tehát tompaszögű.

184. Egy általános trapézból ismerjük az alapot: 20 cm, az ez-

�

�

��d

=8

cm

A P B

CDzel szomszédos szárat: 8 cm, az általuk bezárt szöget:54◦36′, valamint az alapon fekvő másik szöget: 38�5◦.

Mekkorák a trapéz ismeretlen oldalai?

Jelöljük a trapéz csúcsait A, B , C , D-vel. (AB = 20 cm, AD == 8 cm, DAB = 54◦36′ = 54�6◦, CBA = 38�5◦.) Húzzunkpárhuzamost D-n át CB-vel, ez AB-t P-ben metszi. Az ADPháromszögből szinusztétellel kiszámoljuk DP-t és AP-t:

Vektorok


C M Y K

109

DP =sin�sin �

·AD =sin 54�6◦

sin 38�5◦ · 8 ≈ 10�5 cm, AP =sin �sin �

·AD =sin 86�9◦

sin 38�5◦ · 8 ≈ 12�8 cm

A trapéz ismeretlen oldalai: DC = AB −AP ≈ 7�2 cm, BC = DP ≈ 10�5 cm.

185.

10◦

20◦

10◦

20◦

60◦

DA

B

C

Sík terepen A és B megközelíthetetlen tereppontok távolságát kell meghatároznunk. Ezért kitűzünk egyC pontot, ahonnan a keresett távolságot 60◦-os szög alatt látjuk.

A 60◦-os szög felezőegyenesén 50 m-t megtéve, az AB szakasztól távolodvaa D pontba jutunk. Innen az A pontbamutató irány 20◦-os szöget, a B pontbamutató irány 10◦-os szöget alkot az ál-talunk megtett útszakasszal.Mekkora az AB távolság?

Készítsünk a feladat szövegének megfelelőábrát! ACD és BCD háromszögek szögeitkiszámítottuk, és beírtuk az ábrába. A meg-oldás menete:

1. Az ACD háromszögből szinusztétellel kiszámítjuk AC -t: AC =sin 20◦

sin 10◦ · 50 ≈ 98�5 m.

2. A BCD háromszögből szinusztétellel kiszámítjuk BC -t: BC =sin 10◦

sin 20◦ · 50 ≈ 25�4 m.

3. Az ACB háromszögből koszinusztétellel kiszámítjuk AB-t: AB2 = 98�52 + 25�42 − 2 · 98�5 · 25�4 · cos 60◦ == 7845�51, amelyből AB ≈ 88�6 m.

A keresett távolság tehát AB ≈ 88�6 m.

További összefüggések a háromszög adatai között, a koszinusz- és aszinusztétel alkalmazásai

186. Egy víztározó víztükrének alakját az ábrán látható módon az ABCD paralelogrammával közelítjük. Aparalelogrammának az 1 : 30 000 méretarányú térképen mért adatai:

AB = 4�70 cm, AD = 3�80 cm és BD = 3�30 cm.

a) A helyi önkormányzat olyan kerékpárút építését tervezi, amelyen az egész víztározót körbe lehetkerekezni. Hány km hosszúságú lesz ez az út, ha hossza kb. 25%-kal több a paralelogramma ke-rületénél? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! A térkép szerint a paralelogramma kerülete17 cm, a méretarány szerinti valódi kerülete 17 cm · 30 000 = 510 000 cm = 5�1 km. A kerékpárút hossza:s = 5�1 · 1�25 ≈ 6�4 km.

b) Mekkora az a legnagyobb távolság, amelyet motorcsónakkal, irányváltoztatás nélkül megtehetünk avíztározó víztükrén? Válaszát km-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! A legnagyobb távolságaz AC átló, szükségünk van egy szögre: számítsuk ki az ADB�-et az ADB háromszögből koszinusztétellel:cos ≈ 0�1292, így ≈ 82�6◦. Legyen az átlók felezőpontja F , az ADF háromszögből koszinusztétellelkiszámíthatjuk AF -et, ennek kétszerese AC = 2 · 3�9424 = 7�8848 cm, akkor a valódi távolság 7�8848cm ·· 30 000 ≈ 2�4 km (egy tizedes jegyre kerekített érték).

c) Körülbelül hány m3-rel lesz több víz a víztározóban, ha a vízszintet 15 cm-rel megemelik? Válaszát

ezer m3-re kerekítve adja meg! A tározó alapterülete AD ·DB · sin = 3�8 · 3�3 · 0�9971 = 12�5036 cm2, a

valódi mérete: 12�560 36 · 30 0002 cm2. Ha vízszint emelkedése 15 cm, akkor a térfogat12�4359 · 30 0002 · 15 cm3 = 1�687 99 · 1011 cm3 = 1�687 99 · 105 m3 ≈ 168 ezer m3.


187. Egy háromszög két oldala 13 cm és 14 cm, a közbezárt szög 72◦. Egy másik háromszög oldalainakhossza 15�9 cm és 13 cm, az ez utóbbival szemközti szög 49◦.

Vektorok


C M Y K

110

Egybevágó-e a két háromszög?

Az első háromszögből koszinusztétellel kiszámoljuk a harmadik oldalt, ez 15�9 cm, majd kiszámoljuk szinusztétellela 14 cm-es oldallal szemben fekvő szöget: � = 56�9◦. A két háromszög nem egybevágó, mert egy oldaluk és azezen fekvő szögeik nem egyeznek meg.

Megjegyzés: A szögeket számíthatjuk a másik háromszögből is szinusztétellel.

188. Egy tompaszögű háromszög területe 600 cm2, két oldala pedig 32 cm, illetve 48 cm.

Mekkorák a szögei és a harmadik oldal?

Használjuk a következő jelölést: a = 32 cm, b = 48 cm, az általuk bezárt szög �!

Tudjuk, hogy a háromszög területe T =a · b · sin �

2, azaz 600 =

32 · 48 · sin �2

, amelyből sin � = 0�7813, így

� ≈ 51�4◦ vagy � ≈ 128�6◦.

1. eset: � = 51�4. Határozzuk meg a háromszög �-val szemközti c oldalát koszinusztétellel!c2 = 322 +482−2 ·32 ·48 ·cos 51�4◦ ⇒ c = 37�6 cm. Ekkor a háromszög leghosszabb oldala b, ezért a b oldalra felírt

koszinusztétel segítségével meghatározzuk � szöget. cos � =322 + 37�62 − 482

2 · 32 · 37�6=

133�762406�4

�0, így a háromszög

legnagyobb szöge, � hegyesszög, ebben az esetben tehát nem kaphatunk tompaszögű háromszöget.

2. eset � = 128�6◦. Ekkor a háromszög tompaszögű, harmadik oldala a koszinusztételből c = 72�4 cm, szögei:� = 128�6◦, � ≈ 20�2◦, � ≈ 31�2◦.

189. Egy háromszög két oldala 8 cm és 1,5 dm hosszú, területe 48 cm2.

Mekkora a háromszög harmadik oldala? A megadott adatokból a területképlet segítségével kiszámolható a há-romszög egyik szögének szinusza: sin � = 0�8, így cos � = 0�6 vagy cos � = −0�6. A koszinusztétel alapján a há-romszög harmadik oldala vagy 12 cm, vagy 20�8 cm.

190. Egy általános háromszögben az a = 68 cm; a hozzá tartozó súlyvonal sa = 36�4 cm, a � = 32◦24′.

Mekkorák a háromszög oldalai és szögei?

sa

�

�

��

�

b

a

cA B

C

F

Használjuk az ábra jelöléseit!

� = 32◦24′ = 32�4◦, FB =a

2= 34 cm.

1. Az ABF háromszögben FB rövidebb sa-nál, ezért az FBoldallal szemközti � szög bizosan hegyesszög, egyértelműenmeghatározhatjuk szinusztétellel:sin � ≈ 0�5, így � = 30◦, � = 180◦ − (� + �) = 117�6◦.

2. Az ABF háromszögben meghatározzuk a c oldalt a koszi-nusztétel segítségével:c2 = 36�42 + 342 − 2 · 36�4 · 34 · cos 117�6◦ ⇒ c = 60�2 cm.

3. Az ABC háromszögben kiszámítjuk a b oldalt a koszinusztétel segítségével:b2 = 60�22 + 682 − 2 · 60�2 · 68 · cos 32�4◦ ⇒ b = 36�5 cm.

4. Az ABC háromszögben c a, ezért � � , így szinusztétellel a � szöget számolhatjuk ki egyértelműen:

sin � =60�236�5

· sin 32�4◦, � = 62�1◦, amelyből � = 85�5◦.

Tehát a háromszög oldalai és szögei: a = 68 cm, b = 36�5 cm, c = 60�2 cm; � = 85�5◦, � = 32�4◦, � = 62�1◦.

191. Egy építmény magasságát kell meghatározni, ámde az építmény megközelíthetetlen, ezért a vízszintessíkban felvesszük az AB = 20 m hosszú alaptávolságot, melynek végpontjaiból lemérjük a C ′AB�== 62◦, C ′BA�= 68◦ szögeket, valamint a CAC ′�= 48◦ emelkedési szöget.

Mekkora az építmény (CC ′) magassága? (C az építmény legmagasabb pontja, C ′ pedig ennek a vízszin-tes síkra eső merőleges vetülete.) Készítsünk a szövegnek megfelelő ábrát!

Az AC ′B háromszögből szinusztétellel kiszámítjuk AC ′-t: AC ′ =sin 68◦

sin 50◦ · 20 ≈ 24�2 m.

Az ACC ′ derékszögű háromszögből a tangens szögfüggvénnyel kiszámítjuk CC ′-t: CC ′ = tg 48◦ · 24�2 ≈ 26�9 m.

Vektorok


C M Y K

111

192. Egy háromszög területe 64 cm2, két oldalának különbsége 4 cm, az általuk bezárt szög 36◦.

Mekkorák a háromszög oldalai és szögei?

Legyen a − b = 4, ekkor 64 =ab sin 360

2, ez az a-ra és b-re vonatkozó kétismeretlenes egyenletrendszer b-re

rendezve a b2 + 4b − 217�77 = 0 egyenletre vezet, amelyet megoldva kapjuk, hogy: a ≈ 16�9 cm, b ≈ 12�9 cm.

A háromszög harmadik oldalát a koszinusztétellel számíthatjuk ki: c ≈ 9�95 cm, elfogadhatjuk eredménynek aza = 17 cm, b = 13 cm, c = 10 cm eredményt is.

A háromszög legnagyobb szögét (�-t) a koszinusztétellel határozzuk meg:

cos� =12�92 + 9�962 − 16�92

2 · 12�9 · 9�96⇒ � = 94�5◦, � = 49�5◦.

193. Egy 4500 m2 területű trapéz alakú telket az egyik átlós útja egy szabályos és egy általános háromszögalakú részre oszt. A két rész területének aránya 5 : 4.

Határozd meg a telek oldalait és szögeit!

Készítsünk ábrát, a trapéz csúcsai legyenek A, B , C , D , ahol az ABD háromszög szabályos, oldalát jelöljük a-val!A feladat szövegéből következően TABD = 2500 m2, TBCD = 2000 m2.

a2√

34

= 2500 ⇒ a = 76 m

A BDC háromszögben BDC�= 60◦, írjuk fel a területképletet: 2000 =76 ·DC · sin 60◦

2⇒ DC = 60�77 ≈ 61 m.

A BC oldalt koszinusztétellel számíthatjuk ki: BC = 69�7 m ≈ 70 m. A BDC háromszögben a legnagyobb oldallalszemközti szöget koszinusztétellel számíthatjuk ki egyértelműen: � = 70�5◦.

A telek oldalai: AB = AD = 76 m, BC = 70 m, CD = 61 m; szögei pedig az ABCD körüljárás szerint haladva:60◦, 109�5◦, 70�5◦ és 120◦.

194. Egy egyenlő szárú háromszög egyik szöge 100◦-os. A háromszög köré írt körének sugara 12 egység.

Mekkora a háromszög területe és kerülete?

Legyen a háromszög alapja AC , szárai AB és CB (ABC�= 100◦). Tudjuk, hogy bármely háromszögben azoldal és a köré írt kör átmérőjének aránya egyenlő az oldallal szemközti szög szinuszával, ezért AC = 2r · sin � == 24 · sin 100◦ ≈ 23�6 e; BC = 2r · sin� = 24 · sin 40◦ = 15�4 e.

A háromszög területe a területképletből kiszámítható: T =a2 · sin �

2= 117�2 e2, kerülete pedig K = 54�4 e.

Vektorok


C M Y K

112

TA

NM

EN

ET

JAV

AS

LA

TH

eti

3ór

aes

etén

,37

taní

tási

hétr

eös

szes

en11

1ór

aál

lre

ndel

kezé

sre.

Ata

nmen

etbe

nbe

oszt

ott

órák

szám

a98

.A

fenn

mar

adó

órák

atsz

ámon

kéré

sre

ésa

tanu

lócs

opor

tig

ényé

nek

meg

fele

lőgy

akor

lásr

a,il

letv

ete

hets

éggo

ndoz

ásra

lehe

tfo

rdít

ani.

TÉ

MA

KÖ

RT

ÉM

AK

ÖR

FE

LD

OL

GO

ZÁ

SÁR

A

JAV

ASO

LT

ÓR

ASZ

ÁM

I.G

ondo

lkod

ási

mód

szer

ek8

IIA

lgeb

ra37

=8

+10

+19

III.

Geo

met

ria

35=

8+

9+

9+

9IV

.Ö

ssze

függ

ések

,füg

gvén

yek,

soro

zato

k9

=4

+3

+2

V.

Val

ószí

nűsé

g,st

atis

ztik

a9

TÉ

MA

KÖ

RT

ÉM

AK

ÖR

FE

LD

OL

GO

ZÁ

SÁR

A

JAV

ASO

LT

ÓR

ASZ

ÁM

I.G

ondo

lkod

ási

mód

szer

ek8

IIA

lgeb

ra37

=8

+10

+19

III.

Geo

met

ria

35=

8+

9+

9+

9IV

.Ö

ssze

függ

ések

,füg

gvén

yek,

soro

zato

k9

=4

+3

+2

V.

Val

ószí

nűsé

g,st

atis

ztik

a9

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

KO

MB

INA

TO

RIK

A8

Ism

étlé

sné

lkül

ipe

r-m

utác

ió1–

2.S

orba

rend

ezés

kipr

óbál

ása

néhá

nyta

nuló

vale

gyso

rban

,il

letv

ekö

rben

állv

a.E

lem

ekso

rbar

ende

zése

digi

táli

stá

b-lá

n.

Adö

ntés

iké

pess

égfe

jles

z-té

se.M

odel

lezé

s,az

össz

efüg

-gé

sek

meg

jele

níté

se.A

lgeb

rai

kife

jezé

sek,

azon

ossá

gok

al-

kalm

azás

ának

tová

bbfe

jles

z-té

se.

Szá

mká

rtyá

k,gy

öngy

ök,s

ík-

idom

ok,m

agya

rká

rtya

,dig

i-tá

lis

tábl

aT

k.:

11–1

2.o.

1–11

.fel

adat

Fgy

.:1–

12.f

elad

at

Ism

étlé

ses

perm

utác

ió3.

Fela

dato

km

egol

dása

csop

ort-

mun

kába

n,az

ism

étlő

dőel

e-m

eksz

ámba

véte

léne

kfe

lfed

e-zé

sére

.

Sor

bare

ndez

ésié

sre

ndsz

ere-

zési

képe

sség

tuda

tos

fejl

esz-

tése

.

Dob

ókoc

kák,

szám

kárt

yák,

mag

yar

kárt

ya,s

zíne

sgo

lyók

Tk.

:16

.o.1

–7.f

elad

atF

gy.:

13–2

1.fe

lada

t

Ism

étlé

sné

lkül

iva

ri-

áció

4.A

naló

giák

kere

sése

azis

mét

-lé

sné

lkül

ipe

rmut

áció

val.

Ajá

ndék

oszt

ás:n

fős

tanu

-ló

csop

ortb

an

k

aján

dék

kios

z-tá

sa(a

szük

sége

sfe

ltét

elle

l).

Ele

mek

kivá

lasz

tása

digi

táli

stá

blán

.

Ana

lizá

ciós

ésa

disz

kuss

ziós

képe

sség

fejl

eszt

ése.

Akü

lön-

böző

alap

úsz

ámre

ndsz

erek

szer

keze

téne

ktu

dato

sítá

sa.

Apr

ótá

rgya

kaz

aján

déko

zás-

hoz,

szám

kárt

yák,

digi

táli

stá

bla

Tk.

:19

.o.1

–7.f

elad

atF

gy.:

22–2

7.fe

lada

t

KO

MB

INA

TO

RIK

A8

Ism

étlé

sné

lkül

ipe

r-m

utác

ió1–

2.S

orba

rend

ezés

kipr

óbál

ása

néhá

nyta

nuló

vale

gyso

rban

,il

letv

ekö

rben

állv

a.E

lem

ekso

rbar

ende

zése

digi

táli

stá

b-lá

n.

Adö

ntés

iké

pess

égfe

jles

z-té

se.M

odel

lezé

s,az

össz

efüg

-gé

sek

meg

jele

níté

se.A

lgeb

rai

kife

jezé

sek,

azon

ossá

gok

al-

kalm

azás

ának

tová

bbfe

jles

z-té

se.

Szá

mká

rtyá

k,gy

öngy

ök,s

ík-

idom

ok,m

agya

rká

rtya

,dig

i-tá

lis

tábl

aT

k.:

11–1

2.o.

1–11

.fel

adat

Fgy

.:1–

12.f

elad

at

Ism

étlé

ses

perm

utác

ió3.

Fela

dato

km

egol

dása

csop

ort-

mun

kába

n,az

ism

étlő

dőel

e-m

eksz

ámba

véte

léne

kfe

lfed

e-zé

sére

.

Sor

bare

ndez

ésié

sre

ndsz

ere-

zési

képe

sség

tuda

tos

fejl

esz-

tése

.

Dob

ókoc

kák,

szám

kárt

yák,

mag

yar

kárt

ya,s

zíne

sgo

lyók

Tk.

:16

.o.1

–7.f

elad

atF

gy.:

13–2

1.fe

lada

t

Ism

étlé

sné

lkül

iva

ri-

áció

4.A

naló

giák

kere

sése

azis

mét

-lé

sné

lkül

ipe

rmut

áció

val.

Ajá

ndék

oszt

ás:n

fős

tanu

-ló

csop

ortb

an

k

aján

dék

kios

z-tá

sa(a

szük

sége

sfe

ltét

elle

l).

Ele

mek

kivá

lasz

tása

digi

táli

stá

blán

.

Ana

lizá

ciós

ésa

disz

kuss

ziós

képe

sség

fejl

eszt

ése.

Akü

lön-

böző

alap

úsz

ámre

ndsz

erek

szer

keze

téne

ktu

dato

sítá

sa.

Apr

ótá

rgya

kaz

aján

déko

zás-

hoz,

szám

kárt

yák,

digi

táli

stá

bla

Tk.

:19

.o.1

–7.f

elad

atF

gy.:

22–2

7.fe

lada

t

TEX 2012. február 20. – (1. lap/113. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (KTANMN11)

C M Y K

113

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Ism

étlé

ses

vari

áció

5.5

kérd

éses

,2vá

lasz

osto

tóki

tölt

ése

azös

szes

lehe

tség

esm

ódon

,cso

port

mun

kába

n.A

jánd

ékos

ztás

:

n

fős

tanu

ló-

csop

ortb

an

k

aján

dék

kios

z-tá

sa(a

szük

sége

sfe

ltét

elle

l).

Ele

mek

kivá

lasz

tása

digi

táli

stá

blán

.

Aha

lmaz

elem

szám

ának

meg

hatá

rozá

sa,ö

ssze

függ

ések

felf

edez

ése

aha

lmaz

elm

élet

-te

l.

Tot

ó,te

sztl

apok

,szá

mko

mbi

-ná

ciós

laka

t,di

gitá

lis

tábl

aT

k.:

22–2

3.o.

1–8.

fela

dat

Fgy

.:28

–33.

fela

dat

Ism

étlé

sné

lkül

iko

m-

biná

ció

6.A

naló

giák

kere

sése

azis

-m

étlé

ses

perm

utác

ióva

l.A

zel

emek

sorr

end

nélk

üli

kivá

-la

sztá

sa,k

onkr

étfe

lada

tokk

al.

Asz

ámeg

yene

sre

vona

tkoz

ófe

lada

tok

lejá

tszá

sapá

rban

.E

lem

ekki

vála

sztá

sadi

gitá

lis

tábl

án.

Az

indu

kció

sgo

ndol

kodá

sfe

jles

ztés

e.P

énzé

rme,

mag

yar

kárt

ya,

lott

óT

k.:

28–2

9.o.

1–7.

fela

dat

Fgy

.:34

–39.

fela

dat

Veg

yes

fela

dato

k7–

8.A

kom

bina

tori

kus

gond

olko

-dá

sfe

jles

ztés

eve

gyes

tém

ájú,

össz

etet

tfel

adat

okon

kere

sz-

tül.

Ata

nult

ism

eret

eksz

inte

tizá

-lá

sa.A

kom

bina

tív

gond

ol-

kodá

sfe

jles

ztés

eös

szet

ett,

több

irán

yba

isny

itot

tvég

űpr

oblé

ma

meg

oldá

saso

rán.

Szá

mká

rtyá

k,do

bóko

cka,

sakk

-kés

zlet

Tk.

:33

–35.

o.1–

15.f

elad

at,

Tud

áspr

óba

Fgy

.:40

–53.

fela

dat

Kis

előa

dás:

ako

mbi

nato

-ri

kaal

kalm

azás

aa

min

den-

napi

élet

ben

ésa

mat

ema-

tika

más

tém

akör

eibe

n(h

al-

maz

elm

élet

,grá

felm

élet

,va

lósz

ínűs

ég-s

zám

ítás

).

Ism

étlé

ses

vari

áció

5.5

kérd

éses

,2vá

lasz

osto

tóki

tölt

ése

azös

szes

lehe

tség

esm

ódon

,cso

port

mun

kába

n.A

jánd

ékos

ztás

:

n

fős

tanu

ló-

csop

ortb

an

k

aján

dék

kios

z-tá

sa(a

szük

sége

sfe

ltét

elle

l).

Ele

mek

kivá

lasz

tása

digi

táli

stá

blán

.

Aha

lmaz

elem

szám

ának

meg

hatá

rozá

sa,ö

ssze

függ

ések

felf

edez

ése

aha

lmaz

elm

élet

-te

l.

Tot

ó,te

sztl

apok

,szá

mko

mbi

-ná

ciós

laka

t,di

gitá

lis

tábl

aT

k.:

22–2

3.o.

1–8.

fela

dat

Fgy

.:28

–33.

fela

dat

Ism

étlé

sné

lkül

iko

m-

biná

ció

6.A

naló

giák

kere

sése

azis

-m

étlé

ses

perm

utác

ióva

l.A

zel

emek

sorr

end

nélk

üli

kivá

-la

sztá

sa,k

onkr

étfe

lada

tokk

al.

Asz

ámeg

yene

sre

vona

tkoz

ófe

lada

tok

lejá

tszá

sapá

rban

.E

lem

ekki

vála

sztá

sadi

gitá

lis

tábl

án.

Az

indu

kció

sgo

ndol

kodá

sfe

jles

ztés

e.P

énzé

rme,

mag

yar

kárt

ya,

lott

óT

k.:

28–2

9.o.

1–7.

fela

dat

Fgy

.:34

–39.

fela

dat

Veg

yes

fela

dato

k7–

8.A

kom

bina

tori

kus

gond

olko

-dá

sfe

jles

ztés

eve

gyes

tém

ájú,

össz

etet

tfel

adat

okon

kere

sz-

tül.

Ata

nult

ism

eret

eksz

inte

tizá

-lá

sa.A

kom

bina

tív

gond

ol-

kodá

sfe

jles

ztés

eös

szet

ett,

több

irán

yba

isny

itot

tvég

űpr

oblé

ma

meg

oldá

saso

rán.

Szá

mká

rtyá

k,do

bóko

cka,

sakk

-kés

zlet

Tk.

:33

–35.

o.1–

15.f

elad

at,

Tud

áspr

óba

Fgy

.:40

–53.

fela

dat

Kis

előa

dás:

ako

mbi

nato

-ri

kaal

kalm

azás

aa

min

den-

napi

élet

ben

ésa

mat

ema-

tika

más

tém

akör

eibe

n(h

al-

maz

elm

élet

,grá

felm

élet

,va

lósz

ínűs

ég-s

zám

ítás

).

AH

AT

VÁ

NY

OZ

ÁS

KIT

ER

JESZ

TÉ

SE15

Hat

vány

ozás

egés

zki

tevő

re(i

smét

lés)

9.A

perm

anen

ciae

lvfe

lele

ve-

níté

sea

null

aés

ane

gatí

vki

tevő

ism

étlé

séve

l.A

zono

sér

tékű

hatv

ányo

kpá

rosí

tása

dom

inóv

al,i

llet

vedi

gitá

lis

tábl

án

Azo

noss

ágok

konk

rét

szá-

mok

tól

azál

talá

nos

eset

meg

-fo

galm

azás

áig

(ind

uktí

vgo

n-do

lkod

ásfe

jles

ztés

e).A

zo-

noss

ágok

alka

lmaz

ása

konk

rét

eset

ekbe

n(d

eduk

tív

gond

ol-

kodá

sfe

jles

ztés

e).

Dom

inó

azaz

onos

hatv

á-ny

érté

kek

meg

kere

sésé

re,

digi

táli

stá

bla.

Tk.

:37

–38.

o.1–

9.fe

lada

tF

gy.:

54–6

0.fe

lada

t

AH

AT

VÁ

NY

OZ

ÁS

KIT

ER

JESZ

TÉ

SE15

Hat

vány

ozás

egés

zki

tevő

re(i

smét

lés)

9.A

perm

anen

ciae

lvfe

lele

ve-

níté

sea

null

aés

ane

gatí

vki

tevő

ism

étlé

séve

l.A

zono

sér

tékű

hatv

ányo

kpá

rosí

tása

dom

inóv

al,i

llet

vedi

gitá

lis

tábl

án

Azo

noss

ágok

konk

rét

szá-

mok

tól

azál

talá

nos

eset

meg

-fo

galm

azás

áig

(ind

uktí

vgo

n-do

lkod

ásfe

jles

ztés

e).A

zo-

noss

ágok

alka

lmaz

ása

konk

rét

eset

ekbe

n(d

eduk

tív

gond

ol-

kodá

sfe

jles

ztés

e).

Dom

inó

azaz

onos

hatv

á-ny

érté

kek

meg

kere

sésé

re,

digi

táli

stá

bla.

Tk.

:37

–38.

o.1–

9.fe

lada

tF

gy.:

54–6

0.fe

lada

t


C M Y K

114

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Hat

vány

függ

vény

ek10

–11.

Afü

ggvé

nyek

ről

tanu

ltak

is-

mét

lése

fela

datl

appa

l,cs

o-po

rtm

unká

val.

Aha

tván

yér-

téke

kna

gysá

gren

djén

ekre

nd-

szer

ezés

eaz

alap

okvá

ltoz

ása

szer

int.

Ako

rább

anta

nult

függ

vény

-tu

lajd

onsá

gok

beép

ítés

eaz

újha

tván

yfüg

gvén

yekn

él.A

zin

dukt

ívgo

ndol

kodá

sfe

jles

z-té

se.S

zöve

gért

ésik

ompe

ten-

cia

fejl

eszt

ése.

Mil

lim

éter

papí

r,fü

ggvé

ny-

grafi

kono

kfó

lián

,füg

gvé-

nyáb

rázo

lópr

ogra

mok

(Geo

-G

ebra

,Gra

phst

b.)

Tk.

:44

–47.

o.1–

14.f

elad

atF

gy.:

61–7

1.fe

lada

t

Posz

terk

észí

tés

Gyö

kvon

ás12

–13.

Akö

zelí

tőér

téke

kkel

való

szám

olás

zseb

szám

ológ

éppe

l.A

becs

lési

képe

sség

tová

bb-

fejl

eszt

ése.

Aka

pott

ered

mé-

nyek

real

itás

ának

eldö

ntés

e.

Zse

bszá

mol

ógép

Tk.

:50

–52.

o.1–

10.f

elad

atF

gy.:

72–8

2.fe

lada

t

Tov

ábbi

info

rmác

iók

kere

-sé

seaz

inte

rnet

ena

délo

szi

prob

lém

áról

.

Gyö

kfüg

gvén

yek

14–1

5.A

függ

vény

érte

lmez

ésit

arto

-m

ányá

nak

ésér

tékk

észl

etén

ekm

egha

táro

zása

.Agy

ökfü

gg-

vény

ekbe

veze

tése

,tul

ajdo

n-sá

gaik

meg

ism

erte

tése

fron

tá-

lisa

n.

Az

inve

rzvi

szon

yel

mél

yí-

tése

ané

gyze

tre

emel

ésés

agy

ökvo

nás

műv

elet

eka

pcsá

n.A

zér

telm

ezés

itar

tom

ány

ésaz

érté

kkés

zlet

font

ossá

gána

kel

mél

yíté

se.

Mil

lim

éter

papí

r,zs

ebsz

ámo-

lógé

p,fü

ggvé

nygr

afiko

nok

fóli

án,f

üggv

ényá

bráz

oló

prog

ram

okT

k.:

55–5

6.o.

1–11

.fel

adat

Fgy

.:83

–91.

fela

dat

Agy

ökvo

nás

azon

os-

sága

i16

–18.

Az

azon

ossá

gok

alka

lmaz

ása

fela

dato

km

egol

dása

kor,

pá-

ros

mun

kába

n.S

zöve

ggel

meg

foga

lmaz

ottá

llít

ások

éské

plet

ekpá

rosí

tása

,kár

tyák

-ka

lva

gydi

gitá

lis

tábl

án.

Biz

onyí

tási

igén

yal

akít

ása,

fejl

eszt

ése.

Ana

lógi

ákfe

lfed

e-zé

sea

hatv

ányo

zás

ésa

gyök

-vo

nás

azon

ossá

gaik

özöt

t.

Kár

tyák

papí

ron

vagy

digi

tá-

lis

tábl

ánT

k.:

61–6

2.o.

1–12

.fel

adat

Fgy

.:92

–103

.fel

adat

Aha

tván

yozá

ski

ter-

jesz

tése

19–2

0.A

tanu

ltaz

onos

ságo

kal

kal-

maz

ása

tört

kite

vők

eset

én.

Az

újde

finí

ció

beve

zeté

sea

perm

anen

ciae

lval

apjá

n.Ir

ra-

cion

ális

ésra

cion

ális

szám

okis

mét

lése

,köz

elít

őér

téke

kha

szná

lata

.

Dis

zkus

szió

ské

pess

égfe

j-le

szté

se,a

hatv

ánya

lap

vizs

-gá

lata

kor

raci

onál

iski

tevő

eset

én.A

becs

lési

képe

sség

tová

bbfe

jles

ztés

e.A

kapo

tter

edm

énye

kre

alit

ásán

akel

-dö

ntés

e.

Tri

min

ó,zs

ebsz

ámol

ógép

Tk.

:67

–69.

o.1–

12.f

elad

atF

gy.:

104–

113.

fela

dat

Exp

onen

ciál

isfü

gg-

vény

ek21

–23.

Az

újfü

ggvé

nytu

lajd

onsá

-ga

inak

meg

ism

erés

e.A

hat-

vány

ozás

alap

jána

kki

emel

tsz

erep

e.

Afo

lyto

noss

ágés

am

onot

o-ni

tás

foga

lmán

akel

mél

yíté

se.

Mil

lim

éter

papí

r,zs

ebsz

ámo-

lógé

p,fü

ggvé

nygr

afiko

nok

fóli

án,f

üggv

ényá

bráz

oló

prog

ram

okT

k.:

77–8

1.o.

1–23

.fel

adat

,T

udás

prób

aF

gy.:

114–

132.

fela

dat

Kut

atóm

unka

:ex

pone

nciá

lis

foly

amat

oka

term

észe

tben

ésa

tudo

mán

yokb

an.

Hat

vány

függ

vény

ek10

–11.

Afü

ggvé

nyek

ről

tanu

ltak

is-

mét

lése

fela

datl

appa

l,cs

o-po

rtm

unká

val.

Aha

tván

yér-

téke

kna

gysá

gren

djén

ekre

nd-

szer

ezés

eaz

alap

okvá

ltoz

ása

szer

int.

Ako

rább

anta

nult

függ

vény

-tu

lajd

onsá

gok

beép

ítés

eaz

újha

tván

yfüg

gvén

yekn

él.A

zin

dukt

ívgo

ndol

kodá

sfe

jles

z-té

se.S

zöve

gért

ésik

ompe

ten-

cia

fejl

eszt

ése.

Mil

lim

éter

papí

r,fü

ggvé

ny-

grafi

kono

kfó

lián

,füg

gvé-

nyáb

rázo

lópr

ogra

mok

(Geo

-G

ebra

,Gra

phst

b.)

Tk.

:44

–47.

o.1–

14.f

elad

atF

gy.:

61–7

1.fe

lada

t

Posz

terk

észí

tés

Gyö

kvon

ás12

–13.

Akö

zelí

tőér

téke

kkel

való

szám

olás

zseb

szám

ológ

éppe

l.A

becs

lési

képe

sség

tová

bb-

fejl

eszt

ése.

Aka

pott

ered

mé-

nyek

real

itás

ának

eldö

ntés

e.

Zse

bszá

mol

ógép

Tk.

:50

–52.

o.1–

10.f

elad

atF

gy.:

72–8

2.fe

lada

t

Tov

ábbi

info

rmác

iók

kere

-sé

seaz

inte

rnet

ena

délo

szi

prob

lém

áról

.

Gyö

kfüg

gvén

yek

14–1

5.A

függ

vény

érte

lmez

ésit

arto

-m

ányá

nak

ésér

tékk

észl

etén

ekm

egha

táro

zása

.Agy

ökfü

gg-

vény

ekbe

veze

tése

,tul

ajdo

n-sá

gaik

meg

ism

erte

tése

fron

tá-

lisa

n.

Az

inve

rzvi

szon

yel

mél

yí-

tése

ané

gyze

tre

emel

ésés

agy

ökvo

nás

műv

elet

eka

pcsá

n.A

zér

telm

ezés

itar

tom

ány

ésaz

érté

kkés

zlet

font

ossá

gána

kel

mél

yíté

se.

Mil

lim

éter

papí

r,zs

ebsz

ámo-

lógé

p,fü

ggvé

nygr

afiko

nok

fóli

án,f

üggv

ényá

bráz

oló

prog

ram

okT

k.:

55–5

6.o.

1–11

.fel

adat

Fgy

.:83

–91.

fela

dat

Agy

ökvo

nás

azon

os-

sága

i16

–18.

Az

azon

ossá

gok

alka

lmaz

ása

fela

dato

km

egol

dása

kor,

pá-

ros

mun

kába

n.S

zöve

ggel

meg

foga

lmaz

ottá

llít

ások

éské

plet

ekpá

rosí

tása

,kár

tyák

-ka

lva

gydi

gitá

lis

tábl

án.

Biz

onyí

tási

igén

yal

akít

ása,

fejl

eszt

ése.

Ana

lógi

ákfe

lfed

e-zé

sea

hatv

ányo

zás

ésa

gyök

-vo

nás

azon

ossá

gaik

özöt

t.

Kár

tyák

papí

ron

vagy

digi

tá-

lis

tábl

ánT

k.:

61–6

2.o.

1–12

.fel

adat

Fgy

.:92

–103

.fel

adat

Aha

tván

yozá

ski

ter-

jesz

tése

19–2

0.A

tanu

ltaz

onos

ságo

kal

kal-

maz

ása

tört

kite

vők

eset

én.

Az

újde

finí

ció

beve

zeté

sea

perm

anen

ciae

lval

apjá

n.Ir

ra-

cion

ális

ésra

cion

ális

szám

okis

mét

lése

,köz

elít

őér

téke

kha

szná

lata

.

Dis

zkus

szió

ské

pess

égfe

j-le

szté

se,a

hatv

ánya

lap

vizs

-gá

lata

kor

raci

onál

iski

tevő

eset

én.A

becs

lési

képe

sség

tová

bbfe

jles

ztés

e.A

kapo

tter

edm

énye

kre

alit

ásán

akel

-dö

ntés

e.

Tri

min

ó,zs

ebsz

ámol

ógép

Tk.

:67

–69.

o.1–

12.f

elad

atF

gy.:

104–

113.

fela

dat

Exp

onen

ciál

isfü

gg-

vény

ek21

–23.

Az

újfü

ggvé

nytu

lajd

onsá

-ga

inak

meg

ism

erés

e.A

hat-

vány

ozás

alap

jána

kki

emel

tsz

erep

e.

Afo

lyto

noss

ágés

am

onot

o-ni

tás

foga

lmán

akel

mél

yíté

se.

Mil

lim

éter

papí

r,zs

ebsz

ámo-

lógé

p,fü

ggvé

nygr

afiko

nok

fóli

án,f

üggv

ényá

bráz

oló

prog

ram

okT

k.:

77–8

1.o.

1–23

.fel

adat

,T

udás

prób

aF

gy.:

114–

132.

fela

dat

Kut

atóm

unka

:ex

pone

nciá

lis

foly

amat

oka

term

észe

tben

ésa

tudo

mán

yokb

an.


C M Y K

115

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

VE

KT

OR

OK

17

Ism

étlé

s.V

ekto

rok

felb

ontá

saös

szet

e-vő

kre

24–2

5.A

vekt

orok

egye

nlős

égén

ek,

alap

műv

elet

eine

kés

felb

ont-

ható

ságá

nak

gyak

orlá

safe

la-

datl

apok

on.

Am

inde

nnap

iél

etbő

lvet

tfe

lada

tok

mod

elle

zése

vekt

o-ro

kkal

.Ave

ktor

felb

ontá

sam

egfe

lelő

kom

pone

nsek

re.

Ave

ktor

foga

lmát

ésa

mű-

vele

teke

tsze

mlé

ltet

őábr

ákdi

gitá

lis

tábl

ánis

.T

k.:

90–9

1.o.

1–9.

fela

dat

Fgy

.:13

3–14

0.fe

lada

t

Hel

yvek

tor,

oszt

ópon

the

lyve

ktor

a26

–27.

Az

oszt

ópon

tra

vona

tkoz

óös

szef

üggé

sek

felf

edez

ése,

ase

jtés

ekig

azol

ása.

Así

kgeo

met

riáb

anés

ave

k-to

rgeo

met

riáb

anta

nult

aksz

in-

tézi

se.

Élv

ázas

tetr

aéde

r.T

k.:

95–9

7.o.

1–18

.fel

adat

Fgy

.:14

1–14

9.fe

lada

t

Vek

toro

ksk

alár

issz

orza

ta28

–29.

Ask

alár

issz

orzá

sbe

veze

tése

afiz

ikáb

ólve

ttfe

lada

tok

kap-

csán

.Az

újm

űvel

etal

kalm

a-zá

sako

rább

anta

nult

téte

lek

bizo

nyít

ásár

a(p

l.T

halé

sz-

téte

l).

Ask

alár

issz

orza

tműv

elet

itu

lajd

onsá

gain

akel

emzé

se,

ésaz

okös

szeh

ason

lítá

saa

korá

bban

tanu

ltm

űvel

etit

u-la

jdon

ságo

kkal

.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:10

4–10

5.o.

1–14

.fel

a-da

tF

gy.:

150–

162.

fela

dat

Kos

zinu

szté

tel

30–3

2.A

háro

msz

ögol

dala

iés

szö-

gei

közö

tti

kapc

sola

tok

fel-

elev

enít

ése

abr

ains

torm

ing

mód

szer

ével

páro

sm

unká

ban.

Así

kbel

iés

térb

elif

elad

a-to

km

egol

dása

előt

tm

odel

lek

alko

tása

.Váz

lat

elké

szít

ése,

mel

yben

alé

nyeg

esés

alé

-ny

egte

len

adat

okel

külö

nül-

nek.

Egy

-egy

fela

dat

több

féle

meg

köze

líté

secs

opor

tmun

-ká

ban.

Abi

zony

ítás

okho

zsz

üksé

ges

ötle

tek

logi

kai

rend

ezés

e,he

-ly

eski

vite

lezé

se.S

zöve

gért

el-

mez

ésto

vább

fejl

eszt

ése

alé

-ny

egki

emel

őké

pess

égfe

jles

z-té

se.A

kere

kíté

spo

ntos

ságá

-na

kcé

lsze

rűm

egvá

lasz

tása

.A

geom

etri

aife

lada

tok

alge

b-ra

im

egol

dása

sorá

nke

letk

ező

ham

isgy

ökök

kivá

lasz

tási

képe

sség

ének

fejl

eszt

ése.

Zse

bszá

mol

ógép

,fel

adat

la-

pok.

Tk.

:11

0–11

1.o.

1–15

.fel

a-da

tF

gy.:

163–

176.

fela

dat

Ako

szin

uszt

étel

ésa

Pit

agor

asz-

téte

lkap

csol

ata.

Ako

szin

uszt

étel

igaz

olás

aP

itag

oras

z-té

tels

egít

ségé

vel

(szo

rgal

mif

elad

at).

Szi

nusz

téte

l33

–35.

Zse

bszá

mol

ógép

,fel

adat

la-

pok.

Tk.

:11

5–11

7.o.

1–11

.fel

a-da

tF

gy.:

177–

185.

fela

dat

VE

KT

OR

OK

17

Ism

étlé

s.V

ekto

rok

felb

ontá

saös

szet

e-vő

kre

24–2

5.A

vekt

orok

egye

nlős

égén

ek,

alap

műv

elet

eine

kés

felb

ont-

ható

ságá

nak

gyak

orlá

safe

la-

datl

apok

on.

Am

inde

nnap

iél

etbő

lvet

tfe

lada

tok

mod

elle

zése

vekt

o-ro

kkal

.Ave

ktor

felb

ontá

sam

egfe

lelő

kom

pone

nsek

re.

Ave

ktor

foga

lmát

ésa

mű-

vele

teke

tsze

mlé

ltet

őábr

ákdi

gitá

lis

tábl

ánis

.T

k.:

90–9

1.o.

1–9.

fela

dat

Fgy

.:13

3–14

0.fe

lada

t

Hel

yvek

tor,

oszt

ópon

the

lyve

ktor

a26

–27.

Az

oszt

ópon

tra

vona

tkoz

óös

szef

üggé

sek

felf

edez

ése,

ase

jtés

ekig

azol

ása.

Así

kgeo

met

riáb

anés

ave

k-to

rgeo

met

riáb

anta

nult

aksz

in-

tézi

se.

Élv

ázas

tetr

aéde

r.T

k.:

95–9

7.o.

1–18

.fel

adat

Fgy

.:14

1–14

9.fe

lada

t

Vek

toro

ksk

alár

issz

orza

ta28

–29.

Ask

alár

issz

orzá

sbe

veze

tése

afiz

ikáb

ólve

ttfe

lada

tok

kap-

csán

.Az

újm

űvel

etal

kalm

a-zá

sako

rább

anta

nult

téte

lek

bizo

nyít

ásár

a(p

l.T

halé

sz-

téte

l).

Ask

alár

issz

orza

tműv

elet

itu

lajd

onsá

gain

akel

emzé

se,

ésaz

okös

szeh

ason

lítá

saa

korá

bban

tanu

ltm

űvel

etit

u-la

jdon

ságo

kkal

.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:10

4–10

5.o.

1–14

.fel

a-da

tF

gy.:

150–

162.

fela

dat

Kos

zinu

szté

tel

30–3

2.A

háro

msz

ögol

dala

iés

szö-

gei

közö

tti

kapc

sola

tok

fel-

elev

enít

ése

abr

ains

torm

ing

mód

szer

ével

páro

sm

unká

ban.

Así

kbel

iés

térb

elif

elad

a-to

km

egol

dása

előt

tm

odel

lek

alko

tása

.Váz

lat

elké

szít

ése,

mel

yben

alé

nyeg

esés

alé

-ny

egte

len

adat

okel

külö

nül-

nek.

Egy

-egy

fela

dat

több

féle

meg

köze

líté

secs

opor

tmun

-ká

ban.

Abi

zony

ítás

okho

zsz

üksé

ges

ötle

tek

logi

kai

rend

ezés

e,he

-ly

eski

vite

lezé

se.S

zöve

gért

el-

mez

ésto

vább

fejl

eszt

ése

alé

-ny

egki

emel

őké

pess

égfe

jles

z-té

se.A

kere

kíté

spo

ntos

ságá

-na

kcé

lsze

rűm

egvá

lasz

tása

.A

geom

etri

aife

lada

tok

alge

b-ra

im

egol

dása

sorá

nke

letk

ező

ham

isgy

ökök

kivá

lasz

tási

képe

sség

ének

fejl

eszt

ése.

Zse

bszá

mol

ógép

,fel

adat

la-

pok.

Tk.

:11

0–11

1.o.

1–15

.fel

a-da

tF

gy.:

163–

176.

fela

dat

Ako

szin

uszt

étel

ésa

Pit

agor

asz-

téte

lkap

csol

ata.

Ako

szin

uszt

étel

igaz

olás

aP

itag

oras

z-té

tels

egít

ségé

vel

(szo

rgal

mif

elad

at).

Szi

nusz

téte

l33

–35.

Zse

bszá

mol

ógép

,fel

adat

la-

pok.

Tk.

:11

5–11

7.o.

1–11

.fel

a-da

tF

gy.:

177–

185.

fela

dat


C M Y K

116

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tov

ábbi

össz

efüg

-gé

sek

ahá

rom

szög

adat

aikö

zött

,ako

szin

usz-

ésa

szi-

nusz

téte

lalk

alm

azá-

sai

36–3

7.Ö

ssze

függ

ések

,kép

lete

kfe

l-fe

dezé

segy

akor

lati

tapa

szta

-la

tból

kiin

dulv

a,az

okál

talá

-no

sítá

saés

alka

lmaz

ása

más

eset

ekbe

n.

Afe

lada

tok

várh

ató

ered

mé-

nyén

ekbe

cslé

se,a

szöv

eges

fela

dato

kes

etén

.Val

óság

ból

vett

mér

tér

tékű

fela

dato

km

a-te

mat

ikai

átfo

galm

azás

a,az

okm

egol

dása

,és

azer

edm

énye

kvi

ssza

hely

ezés

eés

érte

lme-

zése

ava

lós

prob

lém

ába.

Mod

elle

zőáb

rák

adi

gitá

lis

tábl

án,a

négy

jegy

űfü

gg-

vény

tábl

ázat

képl

ettá

ra.

Tk.

:12

1–12

3.o.

1–10

.fel

a-da

t,T

udás

prób

aF

gy.:

186–

194.

fela

dat

Veg

yes

fela

dato

k38

–39.

Öss

zefo

glal

ás40

.

LO

GA

RIT

MU

S12

Alo

gari

tmus

foga

lma

41–4

3.A

zex

pone

nciá

lis

ésa

loga

rit-

mik

uski

feje

zése

kka

pcso

la-

tána

kfe

lfed

ezés

eká

rtya

játé

k-ka

l.

Az

inve

rzm

űvel

etfo

galm

á-na

kel

mél

yíté

se.

Kár

tyák

(egy

enlő

érté

kűex

-po

nenc

iáli

sés

loga

ritm

ikus

kife

jezé

sekk

el),

trim

inó.

Tk.

:7–

10.o

.1–1

8.fe

lada

tF

gy.:

195–

209.

fela

dat

Alo

gari

tmus

függ

-vé

ny44

–45.

Alo

gari

tmus

függ

vény

tula

j-do

nság

aina

kfe

lfed

ezés

eaz

alap

nagy

ságá

tól

függ

ően.

Az

inve

rzfü

ggvé

nyfo

galm

á-na

kel

mél

yíté

se.A

zér

telm

e-zé

sita

rtom

ány

pont

osm

egha

-tá

rozá

sána

ksz

üksé

gess

ége.

Füg

gvén

yábr

ázol

ópr

ogra

m,

vagy

fóli

ákír

ásve

títő

vel,

mil

-li

mét

erpa

pír.

Tk.

:14

–16.

o.1–

9.fe

lada

tF

gy.:

210–

219.

fela

dat

Pos

zter

kész

ítés

függ

vény

ésin

verz

ének

grafi

konj

airó

l.

Alo

gari

tmus

azon

os-

sága

i46

–48.

Az

azon

ossá

gok

alka

lmaz

ása

fela

dato

km

egol

dása

kor,

pá-

ros

mun

kába

n,ká

rtyá

kkal

vagy

digi

táli

stá

blán

.

Biz

onyí

tási

igén

yal

akít

ása,

fejl

eszt

ése.

Ana

lógi

ákfe

lfed

e-zé

sea

hatv

ányo

zás

ésa

loga

-ri

tmus

azon

ossá

gai

közö

tt.

Kár

tyák

papí

ron

vagy

digi

tá-

lis

tábl

án.

Tk.

:19

–22.

o.1–

16.f

elad

atF

gy.:

220–

232.

fela

dat

Átt

érés

más

alap

úlo

gari

tmus

ra49

–50.

Az

azon

ossá

gok

alka

lmaz

á-sá

nak

kész

ségs

zint

reem

elés

efe

lada

toko

nke

resz

tül.

Avá

rhat

óer

edm

ény

becs

lése

,és

aka

pott

érté

kel

lenő

rzés

e.Z

sebs

zám

ológ

épha

szná

lata

.T

k.:

23–2

4.o.

1–8.

fela

dat

Fgy

.:23

3–23

8.fe

lada

t

Alo

gari

tmus

alka

l-m

azás

a51

–52.

Érd

ekes

fela

dato

kbe

mut

atás

a.A

képl

etek

beva

lóbe

hely

et-

tesí

tés

kész

ségs

zint

űal

kalm

a-zá

sa.

Akö

zelí

tőér

téke

kkel

való

szám

olás

,val

amin

tazs

ebsz

á-m

ológ

épál

land

óha

szná

lata

.

Tk.

:26

–27.

o.1–

5.fe

lada

tT

udás

prób

aF

gy.:

239–

243.

fela

dat

Kut

atóm

unka

:a

loga

ritm

usal

kalm

azás

aeg

yéb

tudo

-m

ányt

erül

etek

en.

Tov

ábbi

össz

efüg

-gé

sek

ahá

rom

szög

adat

aikö

zött

,ako

szin

usz-

ésa

szi-

nusz

téte

lalk

alm

azá-

sai

36–3

7.Ö

ssze

függ

ések

,kép

lete

kfe

l-fe

dezé

segy

akor

lati

tapa

szta

-la

tból

kiin

dulv

a,az

okál

talá

-no

sítá

saés

alka

lmaz

ása

más

eset

ekbe

n.

Afe

lada

tok

várh

ató

ered

mé-

nyén

ekbe

cslé

se,a

szöv

eges

fela

dato

kes

etén

.Val

óság

ból

vett

mér

tér

tékű

fela

dato

km

a-te

mat

ikai

átfo

galm

azás

a,az

okm

egol

dása

,és

azer

edm

énye

kvi

ssza

hely

ezés

eés

érte

lme-

zése

ava

lós

prob

lém

ába.

Mod

elle

zőáb

rák

adi

gitá

lis

tábl

án,a

négy

jegy

űfü

gg-

vény

tábl

ázat

képl

ettá

ra.

Tk.

:12

1–12

3.o.

1–10

.fel

a-da

t,T

udás

prób

aF

gy.:

186–

194.

fela

dat

Veg

yes

fela

dato

k38

–39.

Öss

zefo

glal

ás40

.

LO

GA

RIT

MU

S12

Alo

gari

tmus

foga

lma

41–4

3.A

zex

pone

nciá

lis

ésa

loga

rit-

mik

uski

feje

zése

kka

pcso

la-

tána

kfe

lfed

ezés

eká

rtya

játé

k-ka

l.

Az

inve

rzm

űvel

etfo

galm

á-na

kel

mél

yíté

se.

Kár

tyák

(egy

enlő

érté

kűex

-po

nenc

iáli

sés

loga

ritm

ikus

kife

jezé

sekk

el),

trim

inó.

Tk.

:7–

10.o

.1–1

8.fe

lada

tF

gy.:

195–

209.

fela

dat

Alo

gari

tmus

függ

-vé

ny44

–45.

Alo

gari

tmus

függ

vény

tula

j-do

nság

aina

kfe

lfed

ezés

eaz

alap

nagy

ságá

tól

függ

ően.

Az

inve

rzfü

ggvé

nyfo

galm

á-na

kel

mél

yíté

se.A

zér

telm

e-zé

sita

rtom

ány

pont

osm

egha

-tá

rozá

sána

ksz

üksé

gess

ége.

Füg

gvén

yábr

ázol

ópr

ogra

m,

vagy

fóli

ákír

ásve

títő

vel,

mil

-li

mét

erpa

pír.

Tk.

:14

–16.

o.1–

9.fe

lada

tF

gy.:

210–

219.

fela

dat

Pos

zter

kész

ítés

függ

vény

ésin

verz

ének

grafi

konj

airó

l.

Alo

gari

tmus

azon

os-

sága

i46

–48.

Az

azon

ossá

gok

alka

lmaz

ása

fela

dato

km

egol

dása

kor,

pá-

ros

mun

kába

n,ká

rtyá

kkal

vagy

digi

táli

stá

blán

.

Biz

onyí

tási

igén

yal

akít

ása,

fejl

eszt

ése.

Ana

lógi

ákfe

lfed

e-zé

sea

hatv

ányo

zás

ésa

loga

-ri

tmus

azon

ossá

gai

közö

tt.

Kár

tyák

papí

ron

vagy

digi

tá-

lis

tábl

án.

Tk.

:19

–22.

o.1–

16.f

elad

atF

gy.:

220–

232.

fela

dat

Átt

érés

más

alap

úlo

gari

tmus

ra49

–50.

Az

azon

ossá

gok

alka

lmaz

á-sá

nak

kész

ségs

zint

reem

elés

efe

lada

toko

nke

resz

tül.

Avá

rhat

óer

edm

ény

becs

lése

,és

aka

pott

érté

kel

lenő

rzés

e.Z

sebs

zám

ológ

épha

szná

lata

.T

k.:

23–2

4.o.

1–8.

fela

dat

Fgy

.:23

3–23

8.fe

lada

t

Alo

gari

tmus

alka

l-m

azás

a51

–52.

Érd

ekes

fela

dato

kbe

mut

atás

a.A

képl

etek

beva

lóbe

hely

et-

tesí

tés

kész

ségs

zint

űal

kalm

a-zá

sa.

Akö

zelí

tőér

téke

kkel

való

szám

olás

,val

amin

tazs

ebsz

á-m

ológ

épál

land

óha

szná

lata

.

Tk.

:26

–27.

o.1–

5.fe

lada

tT

udás

prób

aF

gy.:

239–

243.

fela

dat

Kut

atóm

unka

:a

loga

ritm

usal

kalm

azás

aeg

yéb

tudo

-m

ányt

erül

etek

en.


C M Y K

117

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

KO

OR

DIN

ÁT

A-

GE

OM

ET

RIA

18

Pon

tés

vekt

ora

ko-

ordi

náta

síko

n53

.T

rim

inók

kira

kása

ave

ktor

okvé

gpon

tjai

ésen

nek

meg

fe-

lelő

hely

vekt

orok

,val

amin

ta

vekt

orab

szol

útér

téké

revo

nat-

kozó

an.

Ahe

lyve

ktor

ésa

szab

adve

k-to

rkö

zött

ika

pcso

lat

alka

lma-

zási

képe

sség

ének

fejl

eszt

ése.

Tri

min

ó,sz

emlé

ltet

őábr

ákG

eoG

ebra

prog

ram

mal

.T

k.:

34–3

5.o.

1–14

.fel

adat

Fgy

.:24

4–25

9.fe

lada

t

Osz

tópo

nt,s

úlyp

ont,

távo

lság

meg

hatá

rozá

s54

–55.

Ave

ktor

okka

lvé

gzet

tm

űve-

lete

khe

lyes

végr

ehaj

tása

(are

ndez

etts

zám

pár

szer

epén

ektu

dato

sal

kalm

azás

a).

Ata

nuló

kbi

ztos

elig

azod

ásá-

nak

fejl

eszt

ése

ako

ordi

náta

sí-

kon.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:40

–42.

o.1–

15.f

elad

atF

gy.:

260–

271.

fela

dat

Két

vekt

orsk

alár

issz

orza

ta56

.A

korá

bban

tanu

ltde

finí

ció

koor

diná

tage

omet

riáb

anva

lóal

kalm

azás

a.

Abi

zony

ítás

ikés

zség

fejl

esz-

tése

.Sz

emlé

ltet

őábr

ákG

eoG

ebra

prog

ram

mal

.T

k.:

44–4

5.o.

1–9.

fela

dat

Fgy

.:27

2–27

7.fe

lada

t

Az

egye

nes

egye

nle-

tei

57–5

9.A

zeg

yene

stm

egha

táro

zóad

atok

össz

egyű

jtés

ebr

ains

-to

rmin

gm

ódsz

erre

l,pá

ros

mun

kába

n.T

rim

inók

kira

-ká

sa.

Age

omet

riai

fela

dato

kal

-ge

brai

eszk

özök

kel

tört

énő

meg

oldá

sána

kké

pess

ége.

Tri

min

ó,sz

emlé

ltet

őábr

ákG

eoG

ebra

prog

ram

mal

.T

k.:

55–5

7.o.

1–14

.fel

adat

Fgy

.:27

8–28

9.fe

lada

t

Egy

enes

ekm

etsz

és-

pont

ja,k

éteg

yene

spá

rhuz

amos

ságá

nak

ésm

eről

eges

ségé

nek

felt

étel

e,az

egye

nes

tová

bbi

egye

nlet

ei

60–6

1.A

geom

etri

aife

lada

tok

meg

-ol

dási

képe

sség

ének

fejl

esz-

tése

:ter

vkés

zíté

s,po

ntos

kivi

-te

lezé

s,az

ered

mén

yös

szev

e-té

sea

fela

dat

szöv

egév

el.

Az

önel

lenő

rző

képe

sség

tová

bbfe

jles

ztés

ea

szám

o-lá

ssal

kapo

tter

edm

ény

ésa

koor

diná

ta-r

ends

zerb

enáb

rá-

zolt

rajz

össz

evet

ésév

el.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:69

–71.

o.1–

15.f

elad

atF

gy.:

290–

294.

fela

dat

KO

OR

DIN

ÁT

A-

GE

OM

ET

RIA

18

Pon

tés

vekt

ora

ko-

ordi

náta

síko

n53

.T

rim

inók

kira

kása

ave

ktor

okvé

gpon

tjai

ésen

nek

meg

fe-

lelő

hely

vekt

orok

,val

amin

ta

vekt

orab

szol

útér

téké

revo

nat-

kozó

an.

Ahe

lyve

ktor

ésa

szab

adve

k-to

rkö

zött

ika

pcso

lat

alka

lma-

zási

képe

sség

ének

fejl

eszt

ése.

Tri

min

ó,sz

emlé

ltet

őábr

ákG

eoG

ebra

prog

ram

mal

.T

k.:

34–3

5.o.

1–14

.fel

adat

Fgy

.:24

4–25

9.fe

lada

t

Osz

tópo

nt,s

úlyp

ont,

távo

lság

meg

hatá

rozá

s54

–55.

Ave

ktor

okka

lvé

gzet

tm

űve-

lete

khe

lyes

végr

ehaj

tása

(are

ndez

etts

zám

pár

szer

epén

ektu

dato

sal

kalm

azás

a).

Ata

nuló

kbi

ztos

elig

azod

ásá-

nak

fejl

eszt

ése

ako

ordi

náta

sí-

kon.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:40

–42.

o.1–

15.f

elad

atF

gy.:

260–

271.

fela

dat

Két

vekt

orsk

alár

issz

orza

ta56

.A

korá

bban

tanu

ltde

finí

ció

koor

diná

tage

omet

riáb

anva

lóal

kalm

azás

a.

Abi

zony

ítás

ikés

zség

fejl

esz-

tése

.Sz

emlé

ltet

őábr

ákG

eoG

ebra

prog

ram

mal

.T

k.:

44–4

5.o.

1–9.

fela

dat

Fgy

.:27

2–27

7.fe

lada

t

Az

egye

nes

egye

nle-

tei

57–5

9.A

zeg

yene

stm

egha

táro

zóad

atok

össz

egyű

jtés

ebr

ains

-to

rmin

gm

ódsz

erre

l,pá

ros

mun

kába

n.T

rim

inók

kira

-ká

sa.

Age

omet

riai

fela

dato

kal

-ge

brai

eszk

özök

kel

tört

énő

meg

oldá

sána

kké

pess

ége.

Tri

min

ó,sz

emlé

ltet

őábr

ákG

eoG

ebra

prog

ram

mal

.T

k.:

55–5

7.o.

1–14

.fel

adat

Fgy

.:27

8–28

9.fe

lada

t

Egy

enes

ekm

etsz

és-

pont

ja,k

éteg

yene

spá

rhuz

amos

ságá

nak

ésm

eről

eges

ségé

nek

felt

étel

e,az

egye

nes

tová

bbi

egye

nlet

ei

60–6

1.A

geom

etri

aife

lada

tok

meg

-ol

dási

képe

sség

ének

fejl

esz-

tése

:ter

vkés

zíté

s,po

ntos

kivi

-te

lezé

s,az

ered

mén

yös

szev

e-té

sea

fela

dat

szöv

egév

el.

Az

önel

lenő

rző

képe

sség

tová

bbfe

jles

ztés

ea

szám

o-lá

ssal

kapo

tter

edm

ény

ésa

koor

diná

ta-r

ends

zerb

enáb

rá-

zolt

rajz

össz

evet

ésév

el.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:69

–71.

o.1–

15.f

elad

atF

gy.:

290–

294.

fela

dat


C M Y K

118

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Mer

őleg

esés

párh

u-za

mos

egye

nese

k62

.A

lakz

atpo

ntja

inak

koor

diná

-tá

ikö

zött

ika

pcso

lato

kki

szá-

mol

ása.

Geo

met

riai

info

rmác

iók

leol

-va

sási

képe

sség

ének

fejl

esz-

tése

alak

zato

keg

yenl

etéb

ől.

Egy

enes

ekm

etsz

és-

pont

ja,k

éteg

yene

spá

rhuz

amos

ságá

nak

ésm

eről

eges

ségé

nek

felt

étel

e,az

egye

nes

tová

bbi

egye

nlet

eiV

egye

sfe

lada

tok

63–6

4.A

háro

msz

ögne

veze

tes

vo-

nala

inak

fele

leve

níté

seés

alka

lmaz

ása

fela

dato

km

eg-

oldá

sako

r.

Geo

met

riai

foga

lmak

segí

tsé-

géve

laz

absz

trak

ciós

képe

s-sé

gfe

jles

ztés

e.

Akö

r65

.A

zel

emi

geom

etri

aiis

mer

e-te

kal

kalm

azás

aa

koor

diná

-ta

geom

etri

ában

azan

alóg

iás

gond

olko

dás

segí

tség

ével

.

Ava

lósá

gtá

rgya

inak

geom

et-

riai

mod

elle

zésé

hez

szük

sége

ské

pess

égek

tová

bbfe

jles

ztés

e.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al,s

zerk

eszt

őesz

-kö

zök

Tk.

:76

–77.

o.1–

16.f

elad

atF

gy.:

295–

301.

fela

dat

Kis

előa

dás:

akö

rés

aké

t-is

mer

etle

nes

más

odfo

kúeg

yenl

etka

pcso

lata

.

Kör

ökés

egye

nese

kkö

lcsö

nös

hely

zete

66.

Ism

erta

dato

kból

logi

kus

rend

szer

inti

smer

etle

nad

atok

meg

hatá

rozá

sa.J

óvá

zlat

el-

kész

ítés

e,az

ism

erta

dato

ksz

ínes

selv

aló

kiem

elés

e.

Age

omet

riai

fela

dato

kal

-ge

brai

eszk

özök

kel

tört

énő

meg

oldá

siké

pess

égén

ekfe

j-le

szté

se.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

alT

k.:

86–8

8.o.

1–21

.fel

adat

,T

udás

prób

aF

gy.:

302–

314.

fela

dat

Kut

atóm

unka

:M

atem

ati-

katö

rtén

etié

rdek

essé

gek

azan

alit

ikus

geom

etri

aki

alak

u-lá

sáró

l.E

lőad

ás,p

reze

ntác

ió.

Két

kör

kölc

sönö

she

lyze

te67

.A

geom

etri

aife

lado

kal

gebr

aim

egol

dása

sorá

nke

letk

ező

ham

isgy

ökök

kivá

lasz

tásá

nak

képe

sség

e.

Veg

yes

fela

dato

k68

–69.

Öss

zefo

glal

ás70

Mer

őleg

esés

párh

u-za

mos

egye

nese

k62

.A

lakz

atpo

ntja

inak

koor

diná

-tá

ikö

zött

ika

pcso

lato

kki

szá-

mol

ása.

Geo

met

riai

info

rmác

iók

leol

-va

sási

képe

sség

ének

fejl

esz-

tése

alak

zato

keg

yenl

etéb

ől.

Egy

enes

ekm

etsz

és-

pont

ja,k

éteg

yene

spá

rhuz

amos

ságá

nak

ésm

eről

eges

ségé

nek

felt

étel

e,az

egye

nes

tová

bbi

egye

nlet

eiV

egye

sfe

lada

tok

63–6

4.A

háro

msz

ögne

veze

tes

vo-

nala

inak

fele

leve

níté

seés

alka

lmaz

ása

fela

dato

km

eg-

oldá

sako

r.

Geo

met

riai

foga

lmak

segí

tsé-

géve

laz

absz

trak

ciós

képe

s-sé

gfe

jles

ztés

e.

Akö

r65

.A

zel

emi

geom

etri

aiis

mer

e-te

kal

kalm

azás

aa

koor

diná

-ta

geom

etri

ában

azan

alóg

iás

gond

olko

dás

segí

tség

ével

.

Ava

lósá

gtá

rgya

inak

geom

et-

riai

mod

elle

zésé

hez

szük

sége

ské

pess

égek

tová

bbfe

jles

ztés

e.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al,s

zerk

eszt

őesz

-kö

zök

Tk.

:76

–77.

o.1–

16.f

elad

atF

gy.:

295–

301.

fela

dat

Kis

előa

dás:

akö

rés

aké

t-is

mer

etle

nes

más

odfo

kúeg

yenl

etka

pcso

lata

.

Kör

ökés

egye

nese

kkö

lcsö

nös

hely

zete

66.

Ism

erta

dato

kból

logi

kus

rend

szer

inti

smer

etle

nad

atok

meg

hatá

rozá

sa.J

óvá

zlat

el-

kész

ítés

e,az

ism

erta

dato

ksz

ínes

selv

aló

kiem

elés

e.

Age

omet

riai

fela

dato

kal

-ge

brai

eszk

özök

kel

tört

énő

meg

oldá

siké

pess

égén

ekfe

j-le

szté

se.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

alT

k.:

86–8

8.o.

1–21

.fel

adat

,T

udás

prób

aF

gy.:

302–

314.

fela

dat

Kut

atóm

unka

:M

atem

ati-

katö

rtén

etié

rdek

essé

gek

azan

alit

ikus

geom

etri

aki

alak

u-lá

sáró

l.E

lőad

ás,p

reze

ntác

ió.

Két

kör

kölc

sönö

she

lyze

te67

.A

geom

etri

aife

lado

kal

gebr

aim

egol

dása

sorá

nke

letk

ező

ham

isgy

ökök

kivá

lasz

tásá

nak

képe

sség

e.

Veg

yes

fela

dato

k68

–69.

Öss

zefo

glal

ás70


C M Y K

119

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

EG

YE

NL

ET

EK

ÉS

EG

YE

NL

ŐT

LE

N-

SÉG

EK

19=

=9

+10

Tri

gono

met

riku

seg

yenl

etek

éseg

yen-

lőtl

ensé

gek

9

Szö

gfüg

gvén

yek

(is-

mét

lés)

71.

Az

egys

égsu

garú

körr

elva

lósz

emlé

ltet

és,a

szög

függ

vé-

nyek

peri

odic

itás

ának

ism

ét-

lése

.Cso

port

mun

ka:k

árty

ákki

raká

sa.

Asz

ögkü

lönb

öző

mér

ték-

egys

égei

nek

kész

ségs

zint

űal

kalm

azás

a.A

zeg

yenl

etek

való

ssz

ámha

lmaz

ontö

rtén

őm

egol

dása

eset

éna

gyök

öket

radi

ánba

nad

juk

meg

.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

alva

gyír

ásve

títő

fóli

ákka

l,ká

rtyá

ktr

igon

o-m

etri

kus

kife

jezé

sekk

el.

Tk.

:10

5–10

6.o.

1–5.

fela

dat

Fgy

.:31

5–31

6.fe

lada

t

Asi

n

x

=

a

,cos

x

==

a

,ill

etve

tg

x

=

a

típu

súeg

ysze

rűés

össz

etet

tebb

fela

dato

k

72–7

3.A

zeg

yenl

etek

azon

osgy

öke-

inek

feli

smer

ése,

gyak

orló

-fe

lada

toko

nke

resz

tül.

Ann

aktu

dato

sítá

sa,h

ogy

haeg

yeg

yenl

etne

kvé

gtel

enso

km

egol

dása

van,

akko

rm

egfe

-le

lőcs

opor

tosí

táss

alki

kell

vála

szta

niaz

ta

vége

sso

kes

etet

,am

elye

tel

lenő

rizn

ike

ll.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:10

7.o.

6–10

.fel

adat

Fgy

.:31

7–32

4.fe

lada

t

Tri

gono

met

riku

seg

yenl

őtle

nség

ek74

–75.

Atr

igon

omet

riku

sfü

ggvé

-ny

ekgr

afiko

nján

akis

mét

lése

.E

kviv

alen

sát

alak

ítás

okal

-ka

lmaz

ása

azeg

yenl

őtle

nség

meg

oldá

sako

r.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:10

7–10

8.o.

11–1

5.fe

la-

dat

Fgy

.:32

5–32

9.fe

lada

t

Más

odfo

kúeg

yen-

letr

eve

zető

trig

ono-

met

riku

seg

yenl

etek

76.

Atr

igon

omet

riku

sP

itag

oras

z-té

telé

sa

meg

oldó

képl

etis

-m

étlé

se,a

lkal

maz

ása.

Aha

mis

gyök

ökki

szűr

ése

elle

nőrz

ésse

l.T

k.:

108.

o.16

–19.

fela

dat

Fgy

.:33

0–33

1.fe

lada

t

Asi

n

�

=si

n

�

,co

s�

=co

s�

,tg

�

==

tg

�

típu

súeg

yenl

e-te

km

egol

dása

77–7

8.A

neve

zete

str

igon

omet

riai

azon

ossá

gok

ism

étlé

se.

Az

indu

ktív

gond

olko

dás

fej-

lesz

tése

.T

k.:

108–

109.

o.20

–24.

fela

-da

t,T

udás

prób

aF

gy.:

332–

336.

fela

dat

Pre

zent

áció

kész

ítés

ea

rez-

gőm

ozgá

sról

.

Két

ism

eret

lene

str

i-go

nom

etri

kus

egye

n-le

tren

dsze

rek

79.

Csa

ka

mat

emat

ika

irán

tfo

-gé

kony

csop

orto

knak

aján

lott

tana

nyag

.

Are

ndsz

erez

ettm

unká

rava

lóne

velé

s.T

k.:

109–

110.

o.25

–27.

fela

-da

tF

gy.:

337–

339.

fela

dat

EG

YE

NL

ET

EK

ÉS

EG

YE

NL

ŐT

LE

N-

SÉG

EK

19=

=9

+10

Tri

gono

met

riku

seg

yenl

etek

éseg

yen-

lőtl

ensé

gek

9

Szö

gfüg

gvén

yek

(is-

mét

lés)

71.

Az

egys

égsu

garú

körr

elva

lósz

emlé

ltet

és,a

szög

függ

vé-

nyek

peri

odic

itás

ának

ism

ét-

lése

.Cso

port

mun

ka:k

árty

ákki

raká

sa.

Asz

ögkü

lönb

öző

mér

ték-

egys

égei

nek

kész

ségs

zint

űal

kalm

azás

a.A

zeg

yenl

etek

való

ssz

ámha

lmaz

ontö

rtén

őm

egol

dása

eset

éna

gyök

öket

radi

ánba

nad

juk

meg

.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

alva

gyír

ásve

títő

fóli

ákka

l,ká

rtyá

ktr

igon

o-m

etri

kus

kife

jezé

sekk

el.

Tk.

:10

5–10

6.o.

1–5.

fela

dat

Fgy

.:31

5–31

6.fe

lada

t

Asi

n

x

=

a

,cos

x

==

a

,ill

etve

tg

x

=

a

típu

súeg

ysze

rűés

össz

etet

tebb

fela

dato

k

72–7

3.A

zeg

yenl

etek

azon

osgy

öke-

inek

feli

smer

ése,

gyak

orló

-fe

lada

toko

nke

resz

tül.

Ann

aktu

dato

sítá

sa,h

ogy

haeg

yeg

yenl

etne

kvé

gtel

enso

km

egol

dása

van,

akko

rm

egfe

-le

lőcs

opor

tosí

táss

alki

kell

vála

szta

niaz

ta

vége

sso

kes

etet

,am

elye

tel

lenő

rizn

ike

ll.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:10

7.o.

6–10

.fel

adat

Fgy

.:31

7–32

4.fe

lada

t

Tri

gono

met

riku

seg

yenl

őtle

nség

ek74

–75.

Atr

igon

omet

riku

sfü

ggvé

-ny

ekgr

afiko

nján

akis

mét

lése

.E

kviv

alen

sát

alak

ítás

okal

-ka

lmaz

ása

azeg

yenl

őtle

nség

meg

oldá

sako

r.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:10

7–10

8.o.

11–1

5.fe

la-

dat

Fgy

.:32

5–32

9.fe

lada

t

Más

odfo

kúeg

yen-

letr

eve

zető

trig

ono-

met

riku

seg

yenl

etek

76.

Atr

igon

omet

riku

sP

itag

oras

z-té

telé

sa

meg

oldó

képl

etis

-m

étlé

se,a

lkal

maz

ása.

Aha

mis

gyök

ökki

szűr

ése

elle

nőrz

ésse

l.T

k.:

108.

o.16

–19.

fela

dat

Fgy

.:33

0–33

1.fe

lada

t

Asi

n

�

=si

n

�

,co

s�

=co

s�

,tg

�

==

tg

�

típu

súeg

yenl

e-te

km

egol

dása

77–7

8.A

neve

zete

str

igon

omet

riai

azon

ossá

gok

ism

étlé

se.

Az

indu

ktív

gond

olko

dás

fej-

lesz

tése

.T

k.:

108–

109.

o.20

–24.

fela

-da

t,T

udás

prób

aF

gy.:

332–

336.

fela

dat

Pre

zent

áció

kész

ítés

ea

rez-

gőm

ozgá

sról

.

Két

ism

eret

lene

str

i-go

nom

etri

kus

egye

n-le

tren

dsze

rek

79.

Csa

ka

mat

emat

ika

irán

tfo

-gé

kony

csop

orto

knak

aján

lott

tana

nyag

.

Are

ndsz

erez

ettm

unká

rava

lóne

velé

s.T

k.:

109–

110.

o.25

–27.

fela

-da

tF

gy.:

337–

339.

fela

dat


C M Y K

120

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Exp

onen

ciál

isés

tri-

gono

met

riku

seg

yenl

etek

10

Exp

onen

ciál

iseg

yen-

lete

kés

egye

nlőt

len-

sége

k

80–8

2.A

hatv

ányo

zás

azon

ossá

gai-

nak

ésaz

expo

nenc

iáli

sfü

gg-

vény

ekgr

afiko

nján

akis

mét

-lé

se.

Defi

níci

ókés

azon

ossá

gok

közv

etle

nal

kalm

azás

a.A

zin

verz

visz

ony

tová

bbi

elm

é-ly

ítés

eaz

expo

nenc

iáli

sés

lo-

gari

tmus

függ

vény

ekka

pcsá

n.A

dönt

ési

kész

ség

fejl

eszt

ése.

Az

ekvi

vale

nsés

nem

ekvi

-va

lens

átal

akít

ások

tuda

tos

alka

lmaz

ása.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:11

4–11

6.o.

1–15

.fel

a-da

tF

gy.:

340–

353.

fela

dat

Log

arit

mik

useg

yen-

lete

kés

egye

nlőt

len-

sége

k

83–8

7.A

zér

telm

ezés

itar

tom

ány

vizs

gála

ta,v

agy

aka

pott

gyö-

kök

elle

nőrz

ése

azeg

yenl

e-te

knél

.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:12

1–12

4.o.

1–20

.fel

a-da

tF

gy.:

354–

372.

fela

dat

Log

arit

mik

usés

ex-

pone

nciá

lis

egye

nlet

-re

ndsz

erek

88–8

9.A

korá

bban

tanu

lteg

yenl

etre

ndsz

er-m

egol

dási

mód

szer

ekal

kalm

azás

akü

-lö

nböz

őtí

pusú

fela

dato

km

egol

dása

kor.

Tk.

:12

7–12

9.o.

1–10

.fel

a-da

tT

udás

prób

aF

gy.:

373–

381.

fela

dat

VA

LÓ

SZÍN

ŰSÉ

G-

SZÁ

MÍT

ÁS

9

Ism

étlé

s90

–91.

Ako

mbi

nato

rika

iism

eret

ekfe

lele

vení

tése

fela

dato

kon

ke-

resz

tül.

Ako

mbi

nato

rika

ism

étlé

se-

kor

are

ndsz

erez

éskü

lönb

öző

mód

jain

akvé

greh

ajtá

sa.

Tk.

:13

5–13

6.o.

1–10

.fel

a-da

tF

gy.:

382–

392.

fela

dat

Az

A

·B

,A

−

B

,A

+

B

esem

énye

kva

lósz

ínű-

ségé

nek

kisz

ámít

ása

92.

Aha

lmaz

elm

élet

iműv

elet

ekis

mét

lése

.H

alm

azel

mél

etés

azes

e-m

ényt

éraz

onos

sága

inak

ana-

lógi

ája.

Tk.

:13

9–14

0.o.

1–4.

fela

dat

Fgy

.:39

3–39

5.fe

lada

t

Felt

étel

esva

lósz

í-nű

ség,

függ

etle

nség

(kie

gész

ítő

anya

g)va

gygy

akor

lás

93.

Az

egys

zerű

felt

étel

esva

-ló

szín

űség

ifel

adat

okm

eg-

oldá

sako

ra

logi

kai

útés

aké

plet

beva

lóbe

hely

ette

síté

sös

szev

etés

e.

Az

esem

énye

kva

lósz

ínűs

égé-

nek

becs

lése

.T

k.:

145–

146.

o.1–

8.fe

lada

tF

gy.:

396–

403.

fela

dat

Mod

ella

lkot

ás,v

a-ló

szín

űség

ivál

tozó

k(k

iegé

szít

őan

yag)

94.

Kís

érle

tek

elvé

gzés

e,és

avá

r-ha

tóny

erem

ény

becs

lése

.A

mod

ella

lkot

ásfe

jles

ztés

ea

szer

encs

eját

ékok

elem

zése

kor.

Koc

ka,k

árty

a.T

k.:

150.

o.1–

4.fe

lada

tF

gy.:

404–

407.

fela

dat

Elő

adás

aM

agya

rors

zágo

nta

lálh

ató

szer

encs

eját

ékok

ról.

Exp

onen

ciál

isés

tri-

gono

met

riku

seg

yenl

etek

10

Exp

onen

ciál

iseg

yen-

lete

kés

egye

nlőt

len-

sége

k

80–8

2.A

hatv

ányo

zás

azon

ossá

gai-

nak

ésaz

expo

nenc

iáli

sfü

gg-

vény

ekgr

afiko

nján

akis

mét

-lé

se.

Defi

níci

ókés

azon

ossá

gok

közv

etle

nal

kalm

azás

a.A

zin

verz

visz

ony

tová

bbi

elm

é-ly

ítés

eaz

expo

nenc

iáli

sés

lo-

gari

tmus

függ

vény

ekka

pcsá

n.A

dönt

ési

kész

ség

fejl

eszt

ése.

Az

ekvi

vale

nsés

nem

ekvi

-va

lens

átal

akít

ások

tuda

tos

alka

lmaz

ása.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:11

4–11

6.o.

1–15

.fel

a-da

tF

gy.:

340–

353.

fela

dat

Log

arit

mik

useg

yen-

lete

kés

egye

nlőt

len-

sége

k

83–8

7.A

zér

telm

ezés

itar

tom

ány

vizs

gála

ta,v

agy

aka

pott

gyö-

kök

elle

nőrz

ése

azeg

yenl

e-te

knél

.

Szem

lélt

etőá

brák

Geo

Geb

rapr

ogra

mm

al.

Tk.

:12

1–12

4.o.

1–20

.fel

a-da

tF

gy.:

354–

372.

fela

dat

Log

arit

mik

usés

ex-

pone

nciá

lis

egye

nlet

-re

ndsz

erek

88–8

9.A

korá

bban

tanu

lteg

yenl

etre

ndsz

er-m

egol

dási

mód

szer

ekal

kalm

azás

akü

-lö

nböz

őtí

pusú

fela

dato

km

egol

dása

kor.

Tk.

:12

7–12

9.o.

1–10

.fel

a-da

tT

udás

prób

aF

gy.:

373–

381.

fela

dat

VA

LÓ

SZÍN

ŰSÉ

G-

SZÁ

MÍT

ÁS

9

Ism

étlé

s90

–91.

Ako

mbi

nato

rika

iism

eret

ekfe

lele

vení

tése

fela

dato

kon

ke-

resz

tül.

Ako

mbi

nato

rika

ism

étlé

se-

kor

are

ndsz

erez

éskü

lönb

öző

mód

jain

akvé

greh

ajtá

sa.

Tk.

:13

5–13

6.o.

1–10

.fel

a-da

tF

gy.:

382–

392.

fela

dat

Az

A

·B

,A

−

B

,A

+

B

esem

énye

kva

lósz

ínű-

ségé

nek

kisz

ámít

ása

92.

Aha

lmaz

elm

élet

iműv

elet

ekis

mét

lése

.H

alm

azel

mél

etés

azes

e-m

ényt

éraz

onos

sága

inak

ana-

lógi

ája.

Tk.

:13

9–14

0.o.

1–4.

fela

dat

Fgy

.:39

3–39

5.fe

lada

t

Felt

étel

esva

lósz

í-nű

ség,

függ

etle

nség

(kie

gész

ítő

anya

g)va

gygy

akor

lás

93.

Az

egys

zerű

felt

étel

esva

-ló

szín

űség

ifel

adat

okm

eg-

oldá

sako

ra

logi

kai

útés

aké

plet

beva

lóbe

hely

ette

síté

sös

szev

etés

e.

Az

esem

énye

kva

lósz

ínűs

égé-

nek

becs

lése

.T

k.:

145–

146.

o.1–

8.fe

lada

tF

gy.:

396–

403.

fela

dat

Mod

ella

lkot

ás,v

a-ló

szín

űség

ivál

tozó

k(k

iegé

szít

őan

yag)

94.

Kís

érle

tek

elvé

gzés

e,és

avá

r-ha

tóny

erem

ény

becs

lése

.A

mod

ella

lkot

ásfe

jles

ztés

ea

szer

encs

eját

ékok

elem

zése

kor.

Koc

ka,k

árty

a.T

k.:

150.

o.1–

4.fe

lada

tF

gy.:

404–

407.

fela

dat

Elő

adás

aM

agya

rors

zágo

nta

lálh

ató

szer

encs

eját

ékok

ról.


C M Y K

121

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Tém

a,ta

nany

agÓ

raA

jánl

ott

tevé

keny

ségf

orm

ák,

mód

szer

tani

java

slat

ok

Kom

pete

nciá

k(k

észs

égek

,kép

essé

gek)

Java

solt

tane

szkö

zök

ésfe

lada

tok

Egy

ébja

vasl

atok

até

mak

örhö

z(p

roje

kt,j

áték

,ku

tató

mun

ka)

Vis

szat

evés

esm

in-

tavé

tel,

bino

miá

lis

elos

zlás

95–9

6.A

zes

emén

yés

ako

mpl

emen

-te

res

emén

yva

lósz

ínűs

égé-

nek

kapc

sola

ta.K

ísér

lete

kel

végz

ése.

Ava

lósá

gból

vett

prob

lém

ákm

odel

lezé

se.

Vég

esso

kki

men

etel

eset

éna

szim

met

ria

alka

lmaz

ása

ava

-ló

szín

űség

meg

hatá

rozá

sáná

l,eg

ysze

rűbb

fela

dato

kban

.

Koc

ka,k

árty

a,pé

nzér

mék

,go

lyók

.T

k.:

155–

156.

o.1–

9.fe

lada

tF

gy.:

408–

414.

fela

dat

Pro

jekt

fela

dat:

Gal

ton-

desz

kabe

mut

atás

a

Vis

szat

evés

nélk

üli

min

tavé

tel,

hipe

rgeo

-m

etri

kus

elos

zlás

(ki-

egés

zítő

anya

g)va

gygy

akor

lás

97.

Am

inde

nnap

iél

etbe

nle

ját-

szód

ófo

lyam

atok

való

szín

ű-sé

ge.

Tk.

:15

9–16

0.o.

1–4.

fela

dat

Tud

áspr

óba

Fgy

.:41

5–41

8.fe

lada

t

Stat

iszt

ika

ésva

lósz

í-nű

ség

98.

Ast

atis

ztik

aés

ava

lósz

ínű-

ség

kapc

sola

taa

min

denn

api

élet

ben.

Stat

iszt

ikai

való

szín

űség

ésa

rela

tív

gyak

oris

ágka

pcso

la-

tána

kel

mél

yíté

se,a

zin

dukt

ívgo

ndol

kodá

sfe

jles

ztés

e.

Fgy

.:41

9–42

1.fe

lada

t

Vis

szat

evés

esm

in-

tavé

tel,

bino

miá

lis

elos

zlás

95–9

6.A

zes

emén

yés

ako

mpl

emen

-te

res

emén

yva

lósz

ínűs

égé-

nek

kapc

sola

ta.K

ísér

lete

kel

végz

ése.

Ava

lósá

gból

vett

prob

lém

ákm

odel

lezé

se.

Vég

esso

kki

men

etel

eset

éna

szim

met

ria

alka

lmaz

ása

ava

-ló

szín

űség

meg

hatá

rozá

sáná

l,eg

ysze

rűbb

fela

dato

kban

.

Koc

ka,k

árty

a,pé

nzér

mék

,go

lyók

.T

k.:

155–

156.

o.1–

9.fe

lada

tF

gy.:

408–

414.

fela

dat

Pro

jekt

fela

dat:

Gal

ton-

desz

kabe

mut

atás

a

Vis

szat

evés

nélk

üli

min

tavé

tel,

hipe

rgeo

-m

etri

kus

elos

zlás

(ki-

egés

zítő

anya

g)va

gygy

akor

lás

97.

Am

inde

nnap

iél

etbe

nle

ját-

szód

ófo

lyam

atok

való

szín

ű-sé

ge.

Tk.

:15

9–16

0.o.

1–4.

fela

dat

Tud

áspr

óba

Fgy

.:41

5–41

8.fe

lada

t

Stat

iszt

ika

ésva

lósz

í-nű

ség

98.

Ast

atis

ztik

aés

ava

lósz

ínű-

ség

kapc

sola

taa

min

denn

api

élet

ben.

Stat

iszt

ikai

való

szín

űség

ésa

rela

tív

gyak

oris

ágka

pcso

la-

tána

kel

mél

yíté

se,a

zin

dukt

ívgo

ndol

kodá

sfe

jles

ztés

e.

Fgy

.:41

9–42

1.fe

lada

t


C M Y K

122

Tartalom

TK. FGY.

ELŐSZÓ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3

KERETTANTERV � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4

KOMBINATORIKA � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 13 74

1–2. óra: Ismétlés nélküli permutáció � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 14 74

3. óra: Ismétléses permutáció � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 16 76

4. óra: Ismétlés nélküli variáció � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 17 78

5. óra: Ismétléses variáció � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 19 79

6. óra: Ismétlés nélküli kombináció � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 20 80

7–8. óra: Vegyes feladatok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 22 81

Tudáspróba � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 25

A HATVÁNYOZÁS KITERJESZTÉSE � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 27 85

1. óra: Hatványozás egész kitevőre (ismétlés) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 28 85

2–3. óra: Hatványfüggvények � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 29 86

4–5. óra: Gyökvonás � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 34 88

6–7. óra: Gyökfüggvények � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 35 89

8–10. óra: A gyökvonás azonosságai � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38 92

11–12. óra: A hatványozás kiterjesztése � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 41 93

13–15. óra: Exponenciális függvények � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 43 95

Tudáspróba � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 50

VEKTOROK � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 51 100

1–2. óra: Ismétlés. Vektorok felbontása összetevőkre � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 52 100

3–4. óra: Helyvektor, osztópont helyvektora � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 54 102

5–6. óra: Vektorok skaláris szorzata � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 59 103

7–9. óra: Koszinusztétel � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 62 106

10–12. óra: Szinusztétel � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 65 108

13–14. óra: További összefüggések a háromszög adatai között,

a koszinusz- és a szinusztétel alkalmazásai � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 68 110

Tudáspróba � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 71

FELADATGYŰJTEMÉNY � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 73

TANMENETJAVASLAT � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 113

TEX 2012. február 20. – (1. lap/123. old.) ∗ Matematika 9. ∗ (KTRT11-1)

C M Y K

123

matematika_kezikonyv

Documents