20E HËNË 26 PRILL 2010 @

III. Kuptimi i ekuacionit dhe inekuacionit. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme; kuptimi i zgjidhjes. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, thyesorë, trinomë, irracionalë dhe trigonometrikë. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe zgjidhja e sistemeve të inekuacioneve. Shembuj: 1. Inekuacioni 8-x <-3x është i njëvlershëm me: A) x>4 B) x <4 C) x<-4 D) x>5

2. Rrënjë e ekuacionit 2 2 2x� � është:

A) 4 B) 2 C) 1 D) 0,5 3. Të zgjidhet inekuacioni 2x2+5x� 0. 4. Të zgjidhet ekuacioni 3-x= 9 . 5. Të zgjidhet ekuacioni log(x2-4)=log(x+2).

2. Për cilat vlera të x, shprehjet 3x2 -2x dhe x3 marrin vlera të barabarta?

3. Në barazimin 3 96x

� vlera e x është:

A) 1 B) 2 C) 6 D) 9

4. Thjeshtoni thyesën 2 2a b

ma mb��

.

5. Vlera e shprehjes (-2x-2)2 për x = 12

është:

A) 16 B) 32 C) 64 D) 128

6. Thjeshtoni thyesën 2

2

44 4

xx x

�� �

.

7. Shprehja (3-2y)(2y+3) është e njëvlershme me: A) 9-4y2 B) 4y2-9 C) 4y2-4y+1 D) 2y2-9 8. Vlera më e vogël e shprehjes 3cos 1� � është: A) -3 B) -2 C) -1 D) 1 9. Zbërtheni në faktorë: (2x-1)2-(x+3)2; 81a12-16a8; 36x4y6-25x2y4; mm ba 44 � . 10. Vlera e sin(-225o) është:

A) 22

� B) –0,5 C) 0,5 D) 22

11. Vërtetoni që shprehja x2+2x+2 mund të marrë vetëm vlera pozitive.

7. Jepet log35 = b. Vlera e log345 është: A) 3b B) 2b C) 2+b D) 3+b

8. Vlera e shprehjes 3cos cos sin2 2� ��� � është:

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 9. Vlera e shprehjes ln48-4ln2 është:

A) 3 B) 2 C) ln12 D)ln3

10. Vlera e ( ( 3 1)( 3 1)� � është: A) 8 B) 2 C) 3 2� D) 3 1�

11. Vlera e shprehjes 3118. 272

� � është:

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 12. Vlera e shprehjes -3 5 2 5� është: A) -5 B) -1 C) 5 5� D)- 5 13. Pika M e mbarimit të harkut -850o ndodhet në kuadratin: A) I B) II C) III D) IV 14. Në një klasë janë 39 nxënës. 28 prej tyre luajnë basketboll,16 prej tyre luajnë futboll. Nëse 5 nxënës nuk luajnë asnjë nga këto sporte, sa nxënës luajnë të dy llojet e sporteve? II. Shprehjet shkronjore dhe veprimet me to. Gjetja e vlerës së një shprehjeje. Shprehje identike. Zbatimi i formulave kryesore të algjebrës. Kthimi i shprehjeve shkronjore në shprehje identike me to duke shfrytëzuar formulat, kuptimet e fuqisë, logaritmit etj. Shembuj:

1. Jepet 11 4 3sin cos13 13dhe� �� � � .Vlera e tg� është:

A) 113

� B) 334

� C) 11 34

� D) 11 312

�

GJIMNAZI - DREJTIMI SHOQEROR

Nr Linja % I Numri 8% II Shprehjet me ndryshore. 6% III Ekuacionet 16 % IV Funksioni (10+16) 26% V Figurat gjeometrike 20% VI Matjet 14% VII Statistika 4% VIII Kombinatorika e probabiliteti 4% Totali 100%

NJOHURITË BAZË SIPAS LINJAVE DHE SHEMBUJ I .Kuptimi për bashkësitë, paraqitja e bashkësive numerike me ndryshore dhe me gjuhën e intervaleve. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësia R, veprime në të. Kuptimi i fuqive me eksponentë realë dhe veprimet me to. Kuptimi i logaritmit të numrit dhe veprimet me logaritmet. Kuptimi i rrënjës me tregues natyror dhe veprimet me rrënjë. Shembuj: 1. Vlera e (3-1)-2 është: A) 3 B) 6 C) 9 D) 3-3 2. Vlera e shprehjes 12 3� është: A) 9 B) 2 3 C) 3 D) 3 3. Vlera e shprehjes (3-1)2.9 është:

A) 13

B) 1 C) 3 D) 34

4. Jepen bashkësitë B =� / 2 5x N x � � � dhe B =� 2;0;5� . A B është:

A) A B) B C) � 0;5 D) � 2;0;1;2;3;4;5�

5. Gjeni vlerën e shprehjes log25 +log245

-1.

6. Vlera e 1

38�

është: A) -2 B) 2 C) 0,5 D) 1,5

3. Gjeni n, në barazimin (n-1)P3=2n.P2. 4. Zgjidhni ekuacionin 5Cx

3=Cx+23.

5. Në një detyrë kontrolli, 40 nxënësit e klasës u vlerësuan me nota si më poshtë: 6 5 8 8 6 8 4 8 7 9 5 8 7 6 10 10 6 7 8 6 5 5 4 6 7 7 6 5 8 6 4 8 7 9 8 9 8 8 9 7

a) I sistemoni këto të dhëna në tabelë. b) Gjeni modën, mesoren dhe mesataren. c) Gjeni dispersionin dhe shmangien mesatare katrore.

VIII. Kuptimi për probabilitetin. Hapësira e rezultateve dhe ngjarjet. Llogaritja e probabilitetit në situata të thjeshta. Shembuj: 1. Në një kuti ndodhen 7 sfera të kuqe, 6 sfera të zeza dhe 3 sfera të bardha. Nga kutia nxirren rastësisht 3 sfera njëherësh. Sa është probabiliteti që sferat e nxjerra të jenë dy të zeza dhe një e bardhë? 2. Merren të gjitha radhitjet pa përsëritje të shkronjave A; P; O; R; E; U. Sa është probabiliteti i ngjarjes që të formohet fjala EUROPA? 3. Jepet bashkësia A =� 2;5;7;8 . Zgjidhen rastësisht dy nga këta numra. Sa është probabiliteti që shuma e tyre të jetë çift?

A) (0;1) B) (3,2) C) (1;1) D) (5,3)

6. Vektorët 2ka a dhe a� janë të barabartë . Vlera e k është: A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 7. Syprina e një katrori është 25cm2. Diagonalja e tij (në cm) është: A) 5 B) 5 2 C) 10 D) 10 2 8. Jepet trekëndëshi barabrinjës ABC me brinjë 10cm. Në kulmin A të tij ndërtohet pingulja me

planin e trekëndëshit dhe në të merret pika M e tillë që AM = 5cm. Të gjendet largesa e pikës M nga brinja BC. 9. Një paralelogram dhe një drejtkëndësh kanë brinjët me gjatësi të barabarta. Gjeni këndin e ngushtë të paralelogramit, nëse sipërfaqja e tij është sa gjysma e sipërfaqes së

drejtkëndëshit. 10. Baza e kuboidit ka përmasat 3cm; 4cm, ndërsa brinja anësore është 10cm. Të gjenden: a) Sipërfaqja anësore e kuboidit. b) Sipërfaqja e përgjithshme e kuboidit. 11. Brinja e bazës e një piramide katërkëndëshe të rregullt është 8cm dhe lartësia e saj është 7cm. Të gjendet brinja anësore e piramidës. VII. Sistemimi i të dhënave në tabelë. Gjetja e mesatares, modës, kuartileve dhe karakteristikave të shpërhapjes në një varg të dhënash. Përkëmbimet dhe kombinacionet. Rregulli themelor njehsues. Llogaritja e numrit të përkëmbimeve dhe të kombinacioneve. Shembuj: 1. Në një eksperiment u mat gjatësia e disa insekteve. Të dhënat tregohen në tabelë:

Gjatësia(në cm) 30 34 36 38

Numri i insekteve 7 5 5 10 Gjeni përqindjen e insekteve që e kanë gjatësinë më të vogël se gjatësia mesatare. 2. Klasa me 30 nxënës e ka notën mesatare 7.8. Klasa ka 20 vajza dhe 10 djem. Nota mesatare e vajzave është 8. Gjeni notën mesatare të djemve.

11. Drejtkëndëshat ABCD dhe ABMN kanë brinjën AB të përbashkët, por ndodhen në plane të

ndryshme. Të vërtetohet se MNDC është drejtkëndësh. 12. Simetrikja e drejtëzës ax+4y-1 = 0 në lidhje me drejtëzën y = x kalon nga pika A (-2, 3). Të gjendet a. 13. Në brinjët AB dhe CD të paralelogramit ABCD merren segmentet e barabarta AE dhe CG. Po

kështu, në brinjët AD dhe CB merren segmentet e barabarta AH dhe CF. Të vërtetohet se:

a) EH = FG b) EF = HG c) EFGH – paralelogram

VI. Gjetja e syprinave të figurave plane. Prodhimi numerik i vektorëve. Gjetja e syprinave e vëllimeve të trupave gjeometrikë. Shembuj: 1. Jepet A (-1; 2) dhe B (3; 4)Gjeni koordinatat e vektorit AB . a) Gjeni një vektor pingul dhe një paralel me vektorin AB . b) Gjeni koordinatat e mesit M të AB. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB). d) Gjeni ekuacionin e përmesores së segmentit [AB]. e) Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga C (0; 3), paralel me(AB). 2. Për trekëndëshin kënddrejtë me hipotenuzë 6 dhe një kënd 60o, gjeni katetet dhe syprinën e tij. 3. Në një trekëndësh ABC jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC. c) Syprinën e trekëndëshit. d) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e jashtëshkruar trekëndëshit. 4. Në trapezin ABCD (AB║CD), nga mesi E i brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit AEM duke ditur që koordinatat e kulmeve të trapezit janë A(1, 2) B(3, 4) C(5, 5) D(6, 6) 5. Në drejtëzën x-2y+1 = 0 nuk ndodhet pika:

trupave gjeometrikë (prizmit, konit, cilindrit, piramidës, etj.). Drejtëza dhe plane paralele a pingule. Teorema e tri pinguleve. Shembuj: 1. Elipsi me vatra 1 2( 3;0) (3;0)F dhe F� është tangjent me drejtëzën y = -x+5. Shkruani ekuacionin e elipsit. 2. Rombi me një kënd 30 dhe brinjë 6cm e ka syprinën: A) 36cm2 B) 24cm2 C) 20cm2 D) 18cm2 3. Jepet rrethi me qendër O. Në të është brendashkruar trapezi ABCD, ku AB është diametri i

rrethit. Jepen DC = 3cm dhe AD = BC = 2cm. Gjeni sipërfaqen e trapezit 4. Jepen pikat A (2; 3) dhe B ( -2; 5).

a) Gjeni koordinatat e vektorit AB . b) Gjeni koordinatat e mesit të segmentit [AB]. 5. Jepen pikat A (3; 5) dhe B (-2; 4).Të gjendet pika M (x; y) e tillë që të ketë vend barazimi 2 0AM MB� � .

6. Gjatësia e vektorit 4x

a �� � ��� �

është 5. Vlera absolute e x është:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 7. Jepet piramida e rregullt trekëndore me brinjë anësore 4m dhe kënd të faqes anësore të drejtë. Gjeni vëllimin e piramidës.

8. Jepet elipsi 11625

22

��yx .

Gjeni: a) vatrat e tij b) kulmet c) ekuacionin e tangjentes së hequr ndaj elipsit, pingule me drejtëzën me ekuacion y = x+6

9. Drejtëza y = kx+t kalon nga origjina e koordinatave dhe pika (1, 1). Të gjendet k + t. 10. ABCD është paralelogram. Jepen tri kulme të tij A (2, -1); B (4, 3) dhe D (-2, 5). a) Të shkruhen ekuacionet e brinjëve të tij. b) Të gjenden koordinatat e kulmit C.

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 13. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në � �1;5� .

14 . Jepet funksioni f: y = 32x

x �.Gjeni ( )f x� .

15. Ndërtoni grafikun e funksionit

a) xx

y � b) y = x+|x| c) y=x.|x|

16. Gjeni limitet:2 23 2 2 1) lim b) lim2 5 3 1x x

x x x x xax x��� ���

� � � � �� �

.

17.

a) Ndërtoni grafikun e funksionit y = x2+6x-5, xR duke gjetur kulmin dhe pikat prerjes me boshtet koordinatave.

b) Cila është bashkësia e vlerave të funksionit? 18. Vërtetoni që, nëse vargu a, b, c është progresion aritmetik, atëherë edhe vargu a2-bc, b2-ac, c2-ab është progresion aritmetik.

19. Kufiza e përgjithshme e një progresioni gjeometrik është 11 24

nny

�� � .

Gjeni shumën e 6 kufizave të para të tij. 20. Gjeni syprinën e figurës së formuar nga bashkësia e pikave M (x; y) që plotësojnë kushtin 2x y x� � .

21. Gjeni0

11 2dxx� �� .

V. Vetitë e figurave plane: trekëndëshi, katrori, drejtkëndëshi, rombi, paralelogrami, rrethi, trapezi. Kuptimi për kongruencën dhe ngjashmërinë e figurave. Simetria qendrore dhe boshtore. Kuptimi për vektorin në plan; veprimet me vektorë. Vijat e fuqisë së dytë në plan (elips, rreth, parabolë, hiperbolë), ekuacionet kanonike të tyre. Lidhja midis a; b; c tek ekuacionet e elipsit dhe hiperbolës. Kushti i tangencës së një drejtëze në një pikë të elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Kuptimi për planin, drejtëzën, pikën. Vetitë kryesore të

Shembuj: 1. Jepet funksioni f: y = log 2(x-1). f(9) është: A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 2. Jepet funksioni y = x2-4x+3.

a) Gjeni pikat ku grafiku i funksionit pret boshtet Ox dhe Oy. b) Gjeni koordinatat e kulmit të parabolës.

c) Skiconi grafikun e funksionit. 3. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit: y = log 1x x� � . 4. Jepet funksioni y = ln(ax-5). Për ç’vlerë të a, tangjentja ndaj grafikut të tij në pikën me abshisë 2

formon me boshtin e abshisave këndin 450? 5. Në progresionin aritmetik jepen y2 = 5 dhe y6 = 17. Gjeni kufizën e parë dhe diferencën e

progresionit. 6. Studioni monotoninë, përkulshmërinë dhe gjeni ekstremumet e funksionit: y=2x3-6x2+5. 7. Jepet funksioni f: y = 6-3x . f-1(-3) (ku f-1 është funksioni i anasjelltë) është: A) -6 B) -3 C) 3 D) 6

8. Për ç’vlerë të a, tangjentja ndaj grafikut të funksionit y = 2x ax� në pikën me abshisë x = 1

formon me boshtin Ox këndin 45o? 9. Gjeni syprinën e kufizuar nga grafiku i funksionit y = -(x+2)2+1 dhe drejtëzat x = 0 y = 0.

10. Jepet funksioni f: y = - cos3x. Vlera e ( )6

f �� është:

A) -3 B) -1 C) 0 D) 3 11. Njehsoni syprinën e figurës që kufizohet nga grafikët e funksioneve: y = x2 y = 2x.

12. Në grafikun e funksionit 2kyx

� ndodhet pika M(1; 2). Vlera e k është:

8. Të zgjidhet sistemi i inekuacioneve: 3 0

5 0xx

� ��� � ��

.

9. Jepet inekuacioni (x+3)(x2-x)<0.

a) A është zgjidhje e tij numri 1? b) Zgjidhni inekuacionin.

10. Jepet ekuacioni x3+mx2-5=0.

a) Për ç’vlerë të m, ekuacioni ka si rrënjë numrin 1? b) Për vlerën e gjetur të m, gjeni dhe rrënjët e tjera të ekuacionit.

11. Gjeni vlerën e m në ekuacionin 2x2-15x-4m-1 = 0 në mënyrë që njëra rrënjë të jetë

sa 23 e rrënjës tjetër.

12. Është dhënë ekuacioni 2x3-3x2+5x-14=0. a) Gjeni me mend një rrënjë të ekuacionit.

b) Zgjidhni ekuacionin. 13. Për ç’vlera të parametrit m, trinomi x2+5x+(m-4) është pozitiv për çdo Rx ? 15. Ekuacioni 3 3 1xx �� � � vërtetohet për vlerën e x: A) -2 B) -1 C) 0 D) 1

16. Të zgjidhet ekuacioni log 1xxx

� .

17. Jepet polinomi P(x) = ax2+bx+c, ku P(1)=0 dhe P(2) = 0. Gjeni ab

.

18. Për ç’vlerë të m, sistemi 2 1

5y x xmx y

� � � ��

� �� ka një zgjidhje të vetme?

IV. Kuptimi i funksionit. Funksioni numerik dhe grafiku i tij. Nxjerrja e karakteristikave të funksionit nëpërmjet leximit të grafikut të tij. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të një

funksioni. Vetitë e funksioneve y = ax + b, y = ax2 + bx + c, y = kx

, y = x , eksponencialë,

logaritmikë, trigonometrikë dhe skicimi i grafikëve të tyre. Formulat kryesore të trigonometrisë. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Derivati i një funksioni në një pikë. Derivimi i funksioneve të mësipërme. Kuptimi për vazhdueshmërinë e funksionit. Studimi i monotonisë dhe përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe gjetja e tangjentit në një pikë të grafikut. Kuptimi për integralin e funksionit dhe gjetja e primitivës së tij; gjetja e syprinave të figurave me ndihmën e integralit të caktuar.

III. Kuptimi i ekuacionit dhe inekuacionit. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme; kuptimi për zgjidhjen. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, në formë thyese, irracionale dhe trigonometrike. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe sistemeve të inekuacioneve. Shembuj: 1. Numri i rrënjëve të ekuacionit 2x � =1 është: A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 2. Të zgjidhet ekuacioni

2 3 2 23 2 .2x x� �� . 3. Të zgjidhet inekuacioni log ( 1) 1a x� � , ku a <1. 4. Që ekuacioni x2-mx+1 = 0 të ketë vetëm një rrënjë reale, vlera e m mjafton të jetë: A) -1 B) 0 C) 2 D) 3

5. Zgjidhje e ekuacionit 3 12x

� � është numri:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 6. Të zgjidhet ekuacioni logx=2log8 –4log2. 7. Të zgjidhet ekuacioni 2sin2x – 1 = 0.

12. Jepet cos 2sinxx

� . Vlera e cottgxgx

është:

A) 2 B) 1 C) 0,5 D) 0,25

13. Vlera e shprehjes 2

2 ln1 ln

ee

��

është:

A) 0,5 B) 32

C) 2 D) 43

II. Shprehjet shkronjore dhe veprimet me to. Gjetja e vlerës së një shprehjeje. Shprehje identike. Zbatimi i formulave kryesore të algjebrës. Kthimi i shprehjeve shkronjore në shprehje identike me to duke shfrytëzuar formulat, kuptimet e fuqisë, logaritmit etj. Shembuj:

1. Jepet sinx=1213

, ku këndi x është i gjerë. Gjeni sin2x.

2. Për ç’vlera të m, shprehja m2-3m +1 merr vlera të barabarta me 1? 3. Për cilat vlera të x, shprehjet 2x-3 dhe x+9 marrin vlera të kundërta? 4. Për ç’vlera të x, shprehja log 1

2

(x+1) merr vlera pozitive?

5. Shprehja sin(180o-x) +sin(90o-x) +sin(-x) është identike me: A) sinx B) cosx C) -sinx D) -cosx

6. Thjeshtoni shprehjen 2 4

2aa

��

.

7. Nëse a = 3 2� dhe b = 3 2� , atëherë vlera e 2ab është: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

8. Nëse cos 32

� � , atëherë sin2� është:

A) 1 B) 34

C) 12

D) 14

9. Vërtetoni që vlera e shprehjes nuk varet nga vlera e ndryshores x: (x2-3)2-(x-2)(x2+4)(x+2)-6(5-x2). 10. Faktorizoni shprehjen 32x – 25. 11. Vërtetoni që për çdo vlerë natyrore të n, shprehja (4n+5)2-9 plotpjesëtohet me 4.

GJIMNAZI - DREJTIMI I PËRGJITHSHËM

Nr Linja % I Numri 8% II Shprehjet me ndryshore 8% III Ekuacionet 12 % IV Funksioni (8+16) 26% V Figurat gjeometrike 20% VI Matjet 16% VII Statistika 4% VIII Kombinatorikë e probabilitet 6% Totali 100%

NJOHURITË BAZË SIPAS LINJAVE DHE SHEMBUJ I. Kuptimi për bashkësitë. Paraqitja e bashkësive numerike me ndryshore dhe me gjuhën e intervaleve. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësia R, veprime në të. Kuptimi i fuqive me eksponentë realë dhe veprimet me to. Kuptimi i logaritmit të numrit dhe veprimet me logaritme. Kuptimi i rrënjëve me tregues natyrorë dhe veprimet me to. Kuptimi i numrit kompleks dhe veprimet me të. Shembuj: 1. Numri i elementeve të bashkësisë � / 2 1A x Z x� � � � është:

A) i pafundmë B) 3 C) 2 D) 1

2. Vlera e shprehjes 32

2log 23

� është:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 23

3. Vlera e shprehjes 2log6 – log9 është: A) log4 B) log 2 C) log 3 D) 1 4. Vlera e shprehjes (3-1)2.9 është:

A) 13

B) 1 C) 3 D) 34

8. Në sa mënyra të ndryshme mund të radhiten zanoret e alfabetit tonë? VIII. Kuptimi për probabilitetin. Hapësira e rezultateve dhe ngjarjet. Llogaritja e probabilitetit në situata të thjeshta. Shembuj: 1. Në një kuti ndodhen 7 sfera të kuqe, 6 sfera të zeza dhe 3 sfera të bardha. Nga kutia nxirren rastësisht 3 sfera njëherësh. Sa është probabiliteti që sferat e nxjerra të jenë dy

të zeza dhe një e bardhë? 2. Merren të gjitha radhitjet pa përsëritje të shkronjave A; P; O; R; E; U. Sa është probabiliteti i ngjarjes që të formohet fjala EUROPA? 3. Jepet bashkësia H = � 2;5;7;8 . Zgjidhen rastësisht 2 nga këta numra. Sa është probabiliteti që shuma e tyre të jetë çift? 4. Në një kuti ndodhen pesë sfera të bardha dhe katër sfera të kuqe. Nxjerrim rastësisht dy prej tyre njëherësh. Të gjendet probabiliteti që sferat të jenë të së njëjtës

ngjyrë. 5. Në një klasë të përbërë nga 20 vajza dhe 15 djem zgjidhen dy nxënës. Sa është probabiliteti i ngjarjes që:

A) Të dy nxënësit e zgjedhur janë djem. B) Të dy nxënësit e zgjedhur janë vajza. C) Nxënësit e zgjedhur janë njëri djalë e tjetri vajzë. D) Nxënësit e zgjedhur janë dy djem ose dy vajza.

2020Për më tepër, klikoniwww.shekulli.com.al8 ARSIMARSIMARSIMARSIMARSIM

MATURA / PROGRAMI SHPJEGUES PËR PROVIMIN NË LËNDËN E MATEMATIKËS

MATEMATIKA, MODELI I PROVIMIT

5. Jepen bashkësitë B = � / 2 5x N x � � � dhe B = � 2;0;5� . A B është: A) A B) B C) � 0;5 D) � 2;0;1;2;3;4;5�

6. Vlera e shprehjes 16 12 . 33

��� �� �

� � është:

A) 2 B) 10 C) -2 D) 3

7. Vlera e 538 është:

A) 10 B) 16 C) 24 D) 32 8. Vlera e log335-log552 është: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 9. Një klasë ka 28 nxënës. Nga këta, 18 merren me not, 8 me futboll, kurse 7 nxënës merren me të dy llojet e sporteve. Sa nxënës nuk merren as me futboll, as me not? 10. Në një qytet janë 52 hotele, nga të cilët 40 nuk kanë pishina dhe as fusha tenisi, 10 kanë fusha

tenisi dhe 3 prej këtyre kanë edhe pishina. Gjeni: a) Sa hotele kanë pishina? b) Sa hotele kanë pishina, por jo fusha tenisi. 11. Vërtetoni barazimin: 3 3 312 (9 5) (9 5)� � � �

12. Gjeni vlerën e shprehjes log25 +log245

-1.

E HËNË 26 PRILL 2010 21

6. Vektori 2

1x

a� �

� � ��� � është paralel me boshtin Oy. Vlera e x është:

A) -2 B) 1 C ) 0 D) 2 7. Gjeni ekuacionin e rrethit me qendër në pikën O(3; 2) dhe tangjent me boshtin Ox. 8. Në një trekëndësh kënddrejtë dybrinjënjëshëm brendashkruhet një katror në mënyrë që dy nga kulmet e tij të gjenden në hipotenuzë, ndërsa dy kulmet e tjera në katetet. Gjeni gjatësinë e brinjës së katrorit, nëse hipotenuza ka gjatësi 3 cm. 9. Në brinjët AB dhe CD të paralelogramit ABCD merren segmentet e barabarta AE dhe CG. Po kështu, në brinjët AD dhe CB merren segmentet e barabarta AH dhe CF.

Të vërtetohet: a) EH = FG b) EF = HG c) EFGH – paralelogram

10. Pikat A(4a-3,b) dhe B(-a-3,-5) janë simetrike sipas origjinës së koordinatave. Të gjendet (a+b). VI. Gjetja e syprinave të figurave plane. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Gjetja e syprinave dhe vëllimeve të trupave gjeometrikë. Shembuj: 1. Jepet hiperbola me ekuacion 2045 22 �� yx .

a) Të gjenden vatrat, kulmet dhe ekuacionet e asimtotave. b) Të gjendet ekuacioni i tangjentes së hequr ndaj hiperbolës, e cila është paralele me

drejtëzën 3x - 2y + 7 = 0 2. Jepet koni i drejtë rrethor me përftuese 6m, e cila formon me planin e bazës këndin 300. Gjeni vëllimin e konit. 3. Jepet A(-1; 2) dhe B(3; 4)Gjeni koordinatat e vektorit AB . a) Gjeni një vektor pingul dhe një paralel me vektorin AB . b) Gjeni koordinatat e mesit M të segmentit [AB]. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB). d) Gjeni ekuacionin e përmesores së segmentit [AB]. e) Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga C(0; 3),paralele me (AB).

18. Vlera e 3

2

0

( 2 )x x dx�� është:

A) -3 B) 0 C) 3 D) 9 V. Vetitë e figurave plane: trekëndëshi, katrori, drejtkëndëshi, rombi, paralelogrami, rrethi, trapezi. Kuptimi për kongruencën dhe ngjashmërinë e figurave. Simetria qendrore dhe boshtore. Kuptimi për vektorin në plan;veprimet me vektorë. Vijat e fuqisë së dytë në plan (elips, rreth, parabolë, hiperbolë); ekuacionet kanonike të tyre . Lidhja midis a; b; c tek ekuacionet e elipsit dhe hiperbolës. Kushti i tangencës së një drejtëze në një pikë të elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Kuptimi për planin, drejtëzën, pikën. Vetitë kryesore të trupave gjeometrikë (prizmit, konit, cilindrit, piramidës). Drejtëza dhe plane paralele a pingule. Teorema e tri pinguleve. Shembuj: 1. Lartësia mbi bazë e një trekëndëshi dybrinjënjëshëm me brinjë anësore 6cm dhe kënd në kulm 120 është (në cm): A) 3 B) 2 3 C) 6 D) 12 2. Në trapezin dybrinjënjëshëm vija e mesme dhe brinja anësore janë nga 6cm. Perimetri i trapezit është: A) 48 B) 36 C) 24 D) 12 3. Brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë janë x; x ; 2 2 .

a) Gjeni këndet e trekëndëshit. b) Gjeni syprinën e trekëndëshit. 4. Jepen pikat A(2; 3) dhe B( -2; 5).

a) Gjeni koordinatat e vektorit AB . b) Gjeni koordinatat e mesit të segmentit [AB]. 5. Drejtëza 2x – 3y =4 pret boshtin Ox në pikën me abshisë:

A) -2 B) 1 C) 2 D) 3

7. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit: y= log 1x x� � . 8. Në progresionin aritmetik jepen y1 = 5; d=4 dhe yn = 17. Gjeni n.

9. Skiconi grafikun e funksionit 2

2

00

x për xx për x

� ���� ���

.

10. Të studiohet monotonia dhe të gjenden pikat e ekstremumit dhe të infleksionit për funksionin y=x3-12x+2. 11. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në � �1;5� .

12. Vlera e 2

0

cos xdx

�

� është:

A) 1 B) 0 C) -1 D) -2 13. Jepet funksioni y=x2-8x.

a) Studioni monotoninë e funksionit. b) Shkruani ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut, e cila është paralele me drejtëzën y=10x+2.

14. Derivati i funksionit y = cos2x – x2 për x = 0 është: A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 15. Jepet f(x)=sin x� dhe g(x)=log2x. Vlera fog(4) është: A) -1 B) 0 C) 2 D) 3 16. Në progresionin gjeometrik jepen y2=8 dhe y5=64. Gjeni kufizën e parë dhe herësin.

17. Jepet funksioni f(x) = 0

0

x për x

x për x

� ����

���

a) Gjeni f(4) + f(-2).

b) Skiconi grafikun e funksionit.

4. Për trekëndëshin kënddrejtë me hipotenuzë 6 dhe një kënd 60o, gjeni katetet dhe syprinën e tij. 5. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në � �1;5� . 6. Në një trekëndësh ABC jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC c) Syprinën e trekëndëshit. d) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e jashtëshkruar trekëndëshit. 7. Në trapezin ABCD (AB║CD), në mesin E të brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit AEM duke ditur që koordinatat e kulmeve të trapezit janë A(1, 2) B(3, 4) C(5, 5) D(6, 6) 8. Në drejtëzën x-2y+1 = 0 nuk ndodhet pika:

A) (0; 1) B) (3; 2) C) (1; 1) D)(5,3) 9. Vektorët 2ka a dhe a� janë të barabartë . Vlera e k është:

A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 10. Syprina e një katrori është 25cm2. Diagonalja e tij është:

A) 5 B) 5 2 C) 10 D) 10 2 11. Jepet trekëndëshi ABC, ku AB = 10cm. Gjeni lartësinë e hequr mbi AB, nëse këndet në kulmet A dhe B janë 45o dhe 60o. 12. Jepet trekëndëshi me brinjë 5; 7; 8.

a) Gjeni kosinusin e këndit më të madh të trekëndëshit. b) Gjeni gjatësinë e mesores më të madhe. 13. Baza e kuboidit ka përmasat 3 cm; 4 cm, ndërsa brinja anësore është 10 cm. Të gjenden:

a) Sipërfaqja anësore e kuboidit. b) Sipërfaqja e përgjithshme e kuboidit.

7. Jepet shprehja P(x)=x3-x2+x-1.

a) Zbërtheni në faktorë shprehjen. b) Zgjidhni ekuacionin P(x) = 0. 8. Të zgjidhet ekuacioni log(x2+2)=log3+logx. 9. Për ç’vlera të a, ekuacioni 2 ( 1) 1x a x� � � = 0 ka vetëm një rrënjë?

10. Të zgjidhet sistemi i inekuacioneve 3 0

5 0xx

� ��� � ��

.

11. Të zgjidhet ekuacioni (x2 -4)(x+1)=0.

12. Të zgjidhet ekuacioni 2x-3= 14

.

13. Për ç’vlerë të m, sistemi 2 1

5y x xmx y

� � � ��

� �� ka një zgjidhje të vetme?

14. Për ç’vlerë të x, shprehja x2-3x-3 është më e madhe se 5? 15. Të zgjidhet ekuacioni 12 2 4x�� . 16. Zgjidhni në bashkësinë Q ekuacionin: a) 2x=25 b) 2x= 2 17. Të zgjidhet ekuacioni 2(3 6) 9 0x x� � � . 18. Duke bërë zbërthimin e trinomeve të fuqisë së dytë, zgjidhni ekuacionin.

54

182 �� xx

-43

142 �� xx

=2092 �� xx

x .

10. Shprehja (1-sinx)(1+sinx) është e njëvlershme me: A) 1+sin2x B) cosx C) cos2x D) –cosx 11. Jepet log35=b. Vlera e log345 është: A) 3b B) 2b C) 2+b D) 3+b 12. Polinomi P(x)=x4-3x3+2x2+mx-3 plotpjesëtohet me x-2. Gjeni m.

13. Dihet se për disa vlera të x dhe y, shprehja 1x-y

është e barabartë me 5.

Gjeni y-x. III . Kuptimi i ekuacionit dhe inekuacionit. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme dhe kuptimi për zgjidhjen. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, në formë thyese, irracionale dhe trigonometrike. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe sistemeve të inekuacioneve. Shembuj: 1. Të zgjidhet inekuacioni x-4� -2(1-x). 2. Zgjidhni inekuacionin –x2+6x-8� 0 për xZ.

3. Zgjidhje e ekuacionit 32 1xx

� � është numri:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

4. Të zgjidhet inekuacioni 2 2 113 2x x x� �

� � � .

5. Trinomi f(x)= 2ax bx c� � merr vetëm vlera negative kur: A) D>0 B) D<0 C) D>0 dhe a<0 D) D<0 dhe a<0 6. Për ç’vlerë të x, shprehja x2-3x-3 është më e vogël se 5?

II. Shprehjet shkronjore dhe veprimet me to. Gjetja e vlerës së një shprehjeje. Shprehje identike. Zbatimi i formulave kryesore të algjebrës. Kthimi i shprehjeve shkronjore në shprehje identike me to duke shfrytëzuar formulat, kuptimet e fuqisë, logaritmit etj. Shembuj:

1. Jepet sinx = 35

. Gjeni cosx për x ;32��� � !" #

.

2. Vlera e shprehjes 23cc �

� për c= -1 është:

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 3. Shprehja x2-x(x-2) është identike me : A) 0 B) 2 C) 2x D) 2x2 4. Për cilat vlera të x shprehjet 2x-3 dhe x+9 marrin vlera të kundërta?

5. Thjeshtoni thyesën 2 2x yay ax

��

.

6. Vlera e log3x për x = 9-1 është: A) -3 B) -2 C) 2 D) 3

7. Vlera e shprehjes (-2x-2)2 për x = 12

është:

A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 8. Nëse 2x-1=5, atëherë vlera e 4x është:

A) 10 B) 20 C) 80 D) 100

9. Shprehja 2 4

2xx

��

është e njëvlershme me:

A) x+2 B) x-2 C) x+4 D) x-4

IV. Kuptimi i funksionit. Funksioni numerik dhe grafiku i tij. Nxjerrja e karakteristikave të funksionit nëpërmjet leximit të grafikut të tij. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të një

funksioni. Vetitë e funksioneve y = ax + b, y = ax2 + bx + c, y = kx

, y = x eksponencialë,

logaritmikë, trigonometrikë dhe skicimi i grafikëve të tyre. Formulat kryesore të trigonometrisë. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Derivati i një funksioni në një pikë. Derivimi i funksioneve të mësipërme. Kuptimi për vazhdueshmërinë e funksionit. Studimi i monotonisë dhe përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe gjetja e tangjentes në një pikë të grafikut. Kuptimi për integralin e funksionit dhe gjetja e primitivës së tij; gjetja e syprinave të figurave me ndihmën e integralit të caktuar. Shembuj:

1. Kufiza e përgjithshme e një progresioni gjeometrik është 11 24

nny

�� � .

Gjeni shumën e 6 kufizave të para të tij. 2. Në grafikun e funksionit y = 1x� � ndodhet pika M(x; 1). Vlera e abshisës së pikës M është: A) x = 0 B) x = 1 C) x = -1 D) x = 2

3. Jepet f(x)= 2 sin2x. Vlera e f / (4� ) është:

A) -1 B) 22

C) 1 D) 2

4. Jepet funksioni y=4-x2. a) Gjeni pikat ku grafiku pret boshtin Ox. b) Gjeni ekuacionin e tangjentes së hequr ndaj grafikut në pikën me abshisë x=-1. c) Gjeni syprinën e figurës që kufizohet nga grafiku dhe gjysmëboshti x’x (y>0). 5. Grafiku i funksionit y= x2-3x+2 pret boshtin OY në pikën me ordinatë: A) -3 B) -2 C) 2 D) 3

6. Vlera e 2

3

1

(4 2 )x x dx�� është:

A) 4 B) 8 C) 10 D) 12

4. Në një kuti ndodhen 5 sfera të kuqe, 4 sfera të bardha dhe 6 sfera të zeza. Në sa mënyra mund të nxirren nga kutia: a) Tri sfera të çfarëdoshme? b) Tri sfera të kuqe? c) Tri sfera të bardha? d) Tri sfera të zeza? VIII. Kuptimi për probabilitetin. Hapësira e rezultateve dhe ngjarjet. Llogaritja e probabilitetit në situata të thjeshta. Shembuj: 1. Në një kuti janë 10 sfera të njëjta të shënuara me numrat 0; 1; 2;………9. Nxirret rastësisht një sferë. Gjeni probabilitetin që sfera e nxjerrë të ketë të shënuar një numër tek. 2. Hidhet një zar kubik. Të gjendet probabiliteti i ngjarjeve:

a) bie numri 5; b) bie numër tek; c) bie numër i thjeshtë; d) bie numër më i madh se 4; e) bie numër natyror; f) bie numri 8.

3. Në një kuti ndodhen tri sfera të kuqe dhe katër sfera të bardha. Tërheqim rastësisht dy prej tyre njëherësh. Të gjendet probabiliteti i ngjarjes:

a) Të dy sferat janë të kuqe. b) Të dy sferat janë të bardha.

c) Njëra nga sferat është e kuqe dhe tjetra është e bardhë.

9. Jepet katërkëndëshi me kulme A(-2, -1); B(0, 3); C(6, 5) dhe D(4, 1). a) Të vërtetohet se ai është paralelogram. b) Të gjendet largesa ndërmjet brinjëve AB dhe CD. c) Të gjendet sipërfaqja e tij. 10. Në boshtin e abshisave të gjendet pika që ndodhet një njësi larg drejtëzës x+y-1=0. 11. Diagonalja e një kuboidi formon me planin e bazës këndin 450. Brinjët e bazës janë 15cm e

8cm. Të gjendet lartësia e kuboidit. 12. Baza e kuboidit ka përmasat 3cm; 4cm, ndërsa brinja anësore është 10 cm. Të gjenden:

a) Sipërfaqja anësore e kuboidit. b) Sipërfaqja e përgjithshme e kuboidit. 13. Në një trekëndësh kënddrejtë dybrinjënjëshëm brendashkruhet një katror në mënyrë që dy nga kulmet e tij të gjenden në hipotenuzë, ndërsa dy kulmet e tjera në katete. Gjeni gjatësinë e brinjës së katrorit, nëse hipotenuza ka gjatësi 3cm. VII. Sistemimi i të dhënave në tabelë. Gjetja e mesatares, modës, kuartileve dhe karakteristikave të shpërhapjes në një varg të dhënash. Përkëmbimet dhe kombinacionet. Rregulli themelor njehsues. Llogaritja e numrit të përkëmbimeve dhe kombinacioneve. Shembuj: 1. Klasa me 30 nxënës e ka notën mesatare 7.8. Klasa ka 20 vajza dhe 10 djem. Nota mesatare e vajzave është 8. Gjeni notën mesatare të djemve. 2. Për një tipar u morën të dhënat e mëposhtme:

x 1 2 3 4 5 f(x) 3 5 4 6 2 a) Të gjendet mesatarja dhe shmangia mesatare katrore. b) Sa për qind e vlerave ndodhen në [m-$, m+$] ?

3. Jepen shifrat 2, 3, 5, 6, 8.

a) Sa numra dyshifrorë (pa përsëritjen e shifrave) formohen me to? b) Sa numra treshifrorë (pa përsëritjen e shifrave) formohen me to? c) Sa prej numrave treshifrorë janë tek? d) Sa numra treshifrorë që plotpjesëtohen me 5, formohen me to?

VI. Gjetja e syprinave të figurave plane. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Gjetja e syprinave dhe vëllimeve të trupave gjeometrikë. Shembuj: 1. Jepet A(-1; 2) dhe B(3; 4).Gjeni koordinatat e vektorit AB . a) Gjeni një vektor pingul dhe një paralel me vektorin AB . b) Gjeni koordinatat e mesit M të [AB]. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB). d) Gjeni ekuacionin e përmesores së segmentit [AB]. e) Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga C(0;3),paralele me drejtëzën (AB). 2. Për trekëndëshin kënddrejtë me hipotenuzë 6 dhe një kënd 60o, gjeni katetet dhe syprinën e tij. 3. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në � �1;5� . 4. Në një trekëndësh ABC jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC. c) Syprinën e trekëndëshit. d)) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e jashtëshkruar trekëndëshit. 5. Në trapezin ABCD (AB║CD). Në mesin E të brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni gjatësitë e bazave të trapezit, kur dimë: AM = 5dm, MB = 25dm. 6. Në drejtëzën x-2y+1 = 0 nuk ndodhet pika: A) (0; 1) B) (3; 2) C) (1; 1) D) (5, 3) 7. Vektorët 2ka a dhe a� janë të barabartë. Vlera e k është: A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 8. Syprina e një katrori është 25cm2. Diagonalja e tij (në cm) është: A) 5 B) 5 2 C) 10 D) 10 2

11. Jepet trekëndëshi me kulme ).3C(2, dhe )3B(-4,3 A(1,0); a) Të kontrollohet nëse ABC është trekëndësh kënddrejtë. b) Të gjenden këndet që drejtëzat CA dhe CB formojnë me boshtin e abshisave. 12. ABCD është paralelogram. Jepen tri kulme të tij A(2, -1); B(4, 3) dhe D(-2, 5). a) Të shkruhen ekuacionet e brinjëve të tij. b) Të gjenden koordinatat e kulmit C.

13. Drejtëza d kalon nga mesi i segmentit [AB] dhe është paralel me vektorin ���

����

��

�31

v .

Të shkruhet ekuacioni i saj, në qoftë se jepen A(0, 2) dhe B(-2, 4). 14. Për ç’vlerë të m, drejtëzat mx+9y-5 = 0 dhe mx-4y+1 = 0 janë pingule?

5. Vlera më e vogël e shprehjes 3cos 1� � është: A) -3 B) -2 C) -1 D) 1

6. Vlera e 31logx

për x=9 është:

A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 7. Vlera e 3 8 9� � është: A) -1 B) 1 C) 2 D) 0 8. Vlera e shprehjes ln48-4ln2 është: A) 3 B) 2 C) ln12 D) ln3 9. Vlera e ( ( 3 1)( 3 1)� � është: A) 8 B) 2 C) 3 2� D) 3 1�

9. Vlera e shprehjes 252( 8)2

� është:

A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 10. Jepet bashkësia A = {a, b, c, d}. Sa është numri i nënbashkësive të A-së që përmbajnë elementin d? 11. Shkruani shprehjen numerike që vijon si shprehje pa rrënjë në emërues:

a) 3 114

3 1

�

��

12. Jepet x = 16n

. Tregoni bashkësinë e vlerave të n që x N .

13. Shprehja 4 1 23 .(3 )

9

�

është e barabartë me:

A) 1 B) 3 C) 9 D) 27

5. Jepet parabola y2-x = 0.

a) Skiconi grafikun e saj. b) Gjeni syprinën e kufizuar nga vija dhe drejtëza x = 4.

6. Jepen vektorët 5 12 2

a dhe b � �� �� � � ��� � � �

. Gjeni gjatësinë e vektorit a b� .

7. Që drejtëzat 2x-3y+1 = 0 dhe mx+2y = 3 të jenë pingule, vlera e m duhet të jetë: A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 8. Shkruani ekuacionin e hiperbolës me njërën vatër (-6; 0) dhe boshtin 2a = 16. 9. Të gjendet pika simetrike e pikës M(3, -2) në lidhje me drejtëzën që kalon nga pikat A(1, 3) dhe B(-1, 5). 10. Në brinjët AB dhe CD të paralelogramit ABCD merren segmente te barabarta AE dhe CG. Po kështu, në brinjët AD dhe CB merren segmentet e barabarta AH dhe CF.

Të vërtetohet që: a) EH = FG

b) EF = HG c) EFGH është paralelogram

15. Jepet funksioni y = - cos3x. Vlera e ( )6

f �� është:

A) -3 B) -1 C) 0 D) 3 16. Provoni që vargu (x-1)2 ; x2+1; (x+1)2 është progresion aritmetik. 17. Jepet funksioni y = x2-8x.

a) Studioni monotoninë e funksionit. b) Shkruani ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut, e cila është paralele me drejtëzën y=10x+2.

18. Vlera e 2

0

cos xdx

�

� është:

A) 1 B) 0 C) -1 D) -2 V. Vetitë e figurave plane: trekëndëshi, katrori, drejtkëndëshi, rombi, paralelogrami, rrethi, trapezi. Kuptimi për kongruencën dhe ngjashmërinë e figurave. Simetria qendrore dhe boshtore. Kuptimi për vektorin në plan;veprimet me vektorë. Vijat e fuqisë së dytë në plan (elips, rreth, parabolë, hiperbolë); ekuacionet kanonike të tyre. Lidhja midis a; b; c tek ekuacionet e elipsit dhe hiperbolës. Kushti i tangjencës së një drejtëze në një pikë të elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Kuptimi për planin, drejtëzën, pikën. Vetitë kryesore të trupave gjeometrikë (prizmit, konit, cilindrit, piramidës). Drejtëza dhe plane paralele a pingule. Teorema e tri pinguleve. Shembuj: 1. Lartësia mbi bazën e një trekëndëshi dybrinjënjëshëm me brinjë anësore 6cm dhe kënd në kulm 120 është9 (në cm): A) 3 B) 2 3 C) 6 D) 12 2. Për ç’vlera të k, rrethi 2 2 2 4 0x y x y k� � � � � e ka rrezen 3 njësi? 3. Brinjët e një drejtkëndëshi ndryshojnë me 5cm, kurse syprina fillestare e tij është 36cm2. Gjeni brinjët e drejtkëndëshit. 4. Për piramidën e rregullt katërkëndore me brinjë të bazës 4cm dhe lartësi 3cm, gjeni brinjën anësore dhe vëllimin e saj.

4. Jepet f(x) = sin2x. Vlera e f / (4� ) është:

A) -1 B) 0 C) 22

D) 1

5. Funksioni y = -2x2+8x-7 arrin vlerën më të madhe për: A) x=0 B) x=1 C) x=2 D) x=3 6. Jepen vijat y = x2+2 dhe x+y = 4.

a) Gjeni pikat e prerjes së dy vijave. b) Gjeni syprinën e figurës që kufizohet nga dy vijat.

7. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y = 32xx

��

8. Në progresionin aritmetik jepen y1 = 5; d = 4 dhe yn = 17. Gjeni n.

9. Vlera e 2

1

3lim2x

xx�

��

është:

A) -1 B) -2 C) 1 D) 2 10. Jepet funksioni y=x3-3x+2.

a) Gjeni koeficientin këndor të tangjentes së hequr ndaj grafikut në pikën me abshisë x=1. b) Cili është pozicioni i kësaj tangjenteje në lidhje me boshtin Ox?

11. Vlera e 3

2

0

( 2 )x x dx�� është:

A) -3 B) 0 C) 3 D) 9 12. Gjeni derivatin e funksionit y = (x-e)(lnx-2) në pikën x. 13. Jepet funksioni y = x3-6x2+4.

a) Studioni përkulshmërinë e grafikut. b) Gjeni ekuacionin e tangjentes së hequr në pikën me abshisë x=1. 14. Njehsoni syprinën e figurës që kufizohet nga grafikët e funksioneve: y = x2 dhe y = 2x.

12. Jepet ekuacioni x2+(b-2)x +b = 0 dhe 1 2

1 1x x

� =3. Gjeni vlerën e b.

13. Shuma e rrënjëve të ekuacionit 7 12x� � është: A) -16 B) -14 C) -10 D) -8 14. Jepet ekuacioni x3-x2-2x+2=0.

a) Zbërtheni anën e majtë në faktorë. b) Zgjidhni ekuacionin. 15. Zgjidhni ekuacionin (x2+x-3)(x2+x+2) = -4.

16. Për ç’vlerë të m, sistemi 2 1

5y x xmx y

� � � ��

� �� ka një zgjidhje të vetme?

IV. Kuptimi i funksionit. Funksioni numerik dhe grafiku i tij. Nxjerrja e karakteristikave të funksionit nëpërmjet leximit të grafikut të tij. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të një

funksioni. Vetitë e funksioneve y = ax + b, y = ax2 + bx + c, y= kx

, y= x , eksponencialë,

logaritmikë, trigonometrikë dhe skicimi i grafikëve të tyre. Formulat kryesore të trigonometrisë. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Derivati i një funksioni në një pikë. Derivimi i funksioneve të mësipërme. Kuptimi për vazhdueshmërinë e funksionit. Studimi i monotonisë dhe përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe gjetja e tangjentes në një pikë të grafikut. Kuptimi për integralin e funksionit dhe gjetja e primitivës së tij; gjetja e syprinave të figurave me ndihmën e integralit të caktuar. Shembuj:

1. Pika M( 1;9

x ) ndodhet në grafikun e funksionit 3xy � . Gjeni abshisën e pikës M .

2. Jepet funksionet f: y = 2x dhe g: y = x2. Vlera e gof(1) është: A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 3. Grafiku i funksionit y = x2-3x+2 pret boshtin Oy në pikën me ordinatë: A) -3 B) -2 C) 2 D) 3

6. Të zgjidhet inekuacioni 513x x�

� % .

7. Për ç’vlera të a, ekuacioni 2 ( 1) 1x a x� � � = 0 ka vetëm një rrënjë? 8. Të zgjidhet inekuacioni -2x2+7x-6� 0 për xZ.

9. Nëse ekuacioni 2mx-1 = 0 ka si rrënjë numrin 14

, atëherë vlera e m është:

A) -2 B) -1 C) 1 D) 2

10. Të zgjidhet inekuacioni 2 2 113 2x x x� �

� � � .

11. Prodhimi i rrënjëve të ekuacionit 2 3 5x x� � është: A) -5 B) -3 C) 3 D) 5

ARSIMARSIMARSIMARSIMARSIM 20209

VIJON NESËR