WYKAD 13. Grafy planarne

Kady graf moemy narysowa na paszczynie. Wierzchokom przyporzdkowujemy niewielkie keczka a krawdziom uki krzywych czce te keczka, ktre reprezentuj ssiadujce wierzchoki. Keczka s po to, eby odrni wierzchoki od punktw, w ktrych przecinaj si krzywe reprezentujce krawdzie. Taki obrazek nazywamy interpretacj geometryczn grafu.

Definicja. Graf G nazywamy planarnym wtedy i tylko wtedy gdy G posiada tak interpretacj geometryczn, e uki reprezentujce krawdzie nie maj punktw wsplnych (poza kocami reprezentujcymi wierzchoki). Tak interpretacj graficzn grafu nazywamy grafem paskim.

Powyszy rysunek przedstawia dwie interpretacje graficzne grafu K4. W jednej krawdzie si przecinaj, w drugiej nie. Wniosek z tego taki, e K4 jest planarny. A czy istniej grafy nieplanarne? Jasne, e tak. Zaraz zobaczymy dlaczego i poznamy przykady. Ale najpierw twierdzenie (znowu Euler!).

Twierdzenie. (Wzr Eulera) Przypumy, e spjny graf planarny G ma k krawdzi, p wierzchokw i pewna reprezentacja paska grafu G dzieli paszczyzn na f regionw (to znaczy przecicie paszczyzny wzdu krzywych reprezentujcych krawdzie powoduje rozpad na f kawakw). Wwczas f=k-p+2.

Dowd. Indukcja ze wzgldu na f. Jeli f=1 to G nie ma cykli (bo rozcicie paszczyzny wzdu cyklu dzieli j na co najmniej dwie czci), wic, jako graf spjny, G jest drzewem. Poniewa w kadym drzewie mamy k-p=-1 wic rwno jest prawdziwa dla f=1. Przypumy teraz, e twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich spjnych grafw planarnych posiadajcych reprezentacj graficzn o f regionach (f1), i wemy spjny, planarny graf G majcy p wierzchokw, k krawdzi i reprezentacj graficzn o f*=f+1 regionach. Poniewa G ma co najmniej dwa regiony wic pewna krawd e naley do granicy midzy regionami. Graf G-e ma f regionw, k-1 krawdzi i p wierzchokw. Jest z oczywistych powodw planarny i, z nieco mniej oczywistych powodw, spjny. Z zaoenia indukcyjnego mamy wic f = k-1-p+2, a std f* = f+1 = k-p+2. QED

Wniosek 1 Kada reprezentacja paska grafu planarnego ma tyle samo regionw.

Wniosek 2 W kadym spjnym grafie planarnym o f regionach, k krawdziach i p wierzchokach mamy

1. f32 k

2. k3p-6 Dowd

1. Niech ri oznacza liczb krawdzi stanowicych granic i-tego regionu. Granica kadego regionu jest cyklem, kady cykl ma dugo co najmniej 3, wic 3fr1+r2+ ... +rf. Z drugiej strony kada krawd wystpuje w granicy co najwyej dwch regionw, wic r1+r2+ ... +rf2k, co koczy dowd.

2. Ze wzoru Eulera mamy f=k-p+2. Wstawiajc to do nierwnoci 1 otrzymamy k-p+2

32 k. Std 3k-3p+6 2k, czyli k 3p-6.

Wniosek 3. Istniej grafy nieplanarne. Dowd. Z oczywistych powodw istniej grafy nie speniajce warunku k3p-6.

Tu mamy polski akcent. Mianowicie Kazimierz Kuratowski poda w roku 1930 eleganck charakteryzacj grafw planarnych w jzyku zakazanych podgrafw.

Definicja. Podpodziaem grafu G oznacza graf otrzymany z G przez zastpienie pewnych (dowolnie wybranych) krawdzi drogami prostymi. Innymi sowy, na krawdziach dorysowujemy nowe wierzchoki stopnia 2.

Podpodzia grafu K4

Twierdzenie (Kuratowski, 1930) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani podgrafu bdcego podpodziaem grafu K5 ani podgrafu bdcego podpodziaem grafu K3,3. Dowd koniecznoci Wystarczy wykaza, e K5 i K3,3 nie s planarne. W przypadku K5 jest to jasne, bo K5 nie spenia nierwnoci 2 z Wniosku 2, ktra jest warunkiem koniecznym planarnoci. Mianowicie dla K5 mamy p=5 i k=10, i 10 = k > 3p-6 = 9. W przypadku K3,3 nie ma tak dobrze bo k=9, p=6 i 9 = k 3p-6=12. Potrzebna bdzie jaka sztuczka. Zauwamy, e K3,3 jest dwudzielny, wic kady jego cykl, a co za tym idzie granica kadego regionu, skada si z co najmniej 4 krawdzi. Std w dowodzie nierwnoci 1 z wniosku 2 moemy napisa, e 4f r1+r2+ ... +rf 2k, zamiast 3f r1+r2+ ... +rf 2k jak w oryginale. Std dostaniemy f

42 k=

21 k. Wstawiajc do ostatniej nierwnoci f = k-p+2 otrzymujemy 2k-2p+4k, czyli

k2p-4, a tej nierwnoci K3,3 ju nie spenia. Znacznie trudniejszy dowd dostatecznoci pomijamy.

Zauwamy, e przy okazji udowodnilimy nastpujce uoglnienie wniosku 2.

Wniosek 4 Jeli w spjnym grafie planarnym o p wierzchokach, k krawdziach i f regionach kady cykl ma dugo co najmniej d to

1. fd2 k

2. k2

)2(

dpd

Zauwamy, e przypadek K3,3 jest negatywnym rozwizaniem starej amigwki polegajcej na zaprojektowaniu cieek dla trzech skconych ssiadw do kocioa, knajpy i studni tak, eby nie mogli spotka si po drodze, czyli eby cieki si nie przecinay.

atwo udowodni nastpujce twierdzenie

Twierdzenie. Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy mona narysowa go na sferze (bez przecinajcych si krawdzi). Dowd polega na stwierdzeniu, e rzut stereograficzny jest bijekcj sfery bez jednego punktu (bieguna pnocnego) na paszczyzn styczn do niej w punkcie biegun poudniowy.