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Mecânica de materiais 2010/2011 P. AreiasAvaliação:
Duas frequências durante o semestreExame no final do semestreAssiduidade, trabalhos de casa e interesse demonstradoMini-teste surpresaDúvidas (P. Areias):Quintas e Sextas, fora do horário de aulasSábados de manhãUrgências: contacto telefónico (URL: http://home.uevora.pt/~pmaa/)Bibliografia:“Vector Mechanics for Engineers, Statics”, F.P. Beer, E.R. Johnston Jr., E.R. Einsberg, Seventh Edition, McGraw-Hill“Engineering Mechanics, Statics”, J.L. Meriam, L.G. Kraige, Fifth Edition, John Wiley and Sons“Mechanics of Materials”, F.P. Beer, E.R. Johnston Jr., J. DeWolf, Fourh Edition McGraw-Hill
ProgramaIntrodução à estática
• Vectores, forças e momentos
• Estática e relações de equivalência
• Diagramas de corpo livre, equilíbrio na forma vectorial e escalar
• Diagramas de esforços
• Centros de massa e momentos de segunda ordem
Introdução à mecânica dos materiais elementar
Introdução aos corpos deformáveis, lei de Hooke elementar, efeito de Poisson
Esforço axial
Torção de barras circulares, torção de barras com perfil aberto e fechado
Introdução a depósitos e tubagens
Ligações rebitadas e aparafusadas
Flexão pura, flexão combinada
Teoria da elasticidade: deformações, compatibilidade, tensões e equilíbrio
Motivação
YZ
X
YX
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Z
YX
Z
E = 200 ! 109
! = 0.3H = 0.03"y = 300 + 600#p
#u = 0.1 #u = 121396 Elements
2
v = 0.125 m
v = 0.374 m
v = 0.995 m
v = 0.666 m
v = 0.374 m
v = 0.339 m
v = 0.948 m
v = 0.251 m
b
a
b
a
a: u = w = 0
b: v = w = 0
Uniform, deformation-dependent pressure
Figure 18: Fracture process of a simply-supported plate with elasto-plastic behavior. Two cases are shown:!u = 0.1 and !u = 1. Extrusion along the directors was performed.
23
Y
XZ
Y
XZ
Y
XZ
Y
XZ
v = 0 mm v = 6.3 mm
v = 7.5 mm
Crack path detail
Elasticidade, inelasticidade,
fractura
Ocorrências:
Recordações de trigonometria elementarVariações do teorema de Pitágoras:
sin2�A
2
�=
1− cos(A)
2
cos2�A
2
�=
1 + cos(A)
2
Fórmulas de meios ângulos:sin2(A) + cos2(B) = 1
tan2(A) + 1 = sec2(A)
1 + cot2(A) = csc2(A)
sin(2A) = 2 sin(A) cos(A)
cos(2A) = cos2(A)− sin2(A)
Fórmulas de ângulos duplos: Fórmulas de soma/subtracção de ângulos:sin(A±B) = sin(A) cos(B)± cos(A) sin(B)
cos(A±B) = cos(A) cos(B)∓ sin(A) sin(B)
Lei dos senos:a
sin(A)=
b
sin(B)=
c
sin(C)
Lei dos cossenos:c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)
Fórmula de EulereiA = cis(A)
Lei das tangentes:a− b
a+ b=
tan�12 (A−B)
�
tan�12 (A+B)
�
Trigonometria, cont’d
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(cos(x),sin(x))
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5C7
Relações de simetria
Trigonometria, cont’dRelações de translação
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5C7
Prova da lei dos cossenosc = a cos(B) + b cos(A)
c2 = ac cos(B) + bc cos(A) (eq.1)
a2 = ac cos(B) + ab cos(C) (eq.2)
b2 = bc cos(A) + ab cos(C) (eq.3)
a2 + b2 = ...(eq.2 + eq.3)
a2 + b2 − c2 = 2ab cos(C)
Alguns valores úteis:
Distribuição dos alunos pelas 2 turmas práticas
Datas de frequências e exames
Primeira Frequência:17 de Outubro de
2011Segunda Frequência:13 de Dezembro de
2011Exame:
28 de Janeiro de 2011
Número Turma Número Turma
13751 B 25964 A
24405 A 25829 A
24517 A 25839 A
24647 A 25893 A
24694 B 25963 A
24747 A 26016 A
24906 A 26024 A
24967 B 26027 A
24676 A 26181 B
25017 A 26290 B
25219 A 26341 A
25249 B 26397 B
25308 A 26431 A
25325 A 26511 A
25407 B 26645 B
25424 A 26695 A
25706 B 26741 B
25824 A 26804 A
25828 A 26943 A
Recurso:4 de Fevereiro de
2011
Princípios fundamentais• Lei do paralelogramo para adição de forças
• Princípio de transmissibilidade
• Primeira lei: Se a força resultante, actuando numa partícula for zero, esta permanecerá em repouso ou mover-se-á em linha recta com velocidade constante, se estava em movimento originalmente
• Segunda lei:
• Terceira lei: forças de acção e reacção possuem a mesma magnitude, mesma linha de acção e sentido oposto
• Lei de gravitação de Newton:
F = mu
F = GmM
R2
G = 6.674× 10−11Nm2Kg−2
RTerra ≈ 6371kmMTerra ≈ 5.9742× 1024 Kg
Sistemas de unidades
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Utilizam-se [g] e [mm]ou [Kg] e [m]
As unidades de força do S.I. [N] são derivadas: [F]=[MLT-2]
Atenção:
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Conversão de unidades
8 lnlroduction the submultiples of the unit of area areI d m 2 : ( 1 d m ) 2 : ( 1 0 - 1 m ) 2 : 1 0 - 2 m 2I c m 2 : ( 1 c m ) 2 : ( 1 0 - 2 m ) 2 : 1 0 - a m 2
I mm2 : (1 mm)2 : ( I0 -3 m)2 : 10-6 m2and the submultiples of the unit of volume are
I d m 3 : ( 1 d m ) 3 : ( 1 0 - 1 m ) 3 : l 0 - 3 m 3I c m 3 : ( 1 c m ) 3 : ( 1 0 - 2 m ) 3 : l 0 - o m 3
I mm3 : (1 mm)3 : (10-3 m)3 : 10-e m3It should be noted that when the volume of a liquid is being measured,the cubic decimeter (dm3) is usually referred to as a tlter (f).
Other derived SI units used to measure the moment of a force,the work of a force, etc., are shown in Table 1.2. While these units willbe introduced in later chapters as they are needed, we should note animportant rule at this time: When a derived unit is obtained by divid-inf a base unit by another base unit, a prefix may be used in thenumerator of the derived unit but not in its denominator. For example,the constant k of a spring which stretches 20 mm under a load of100 N will be expressed as
* : #H :# :5oooN /mb u t n e v e r a s k : 5 N / m m .
TABLE 1.2 Principol 5l Units Used in lYlechqnicsQuontity Symbol Formulo
o r k : l k N / m
UnitAccelerationAngleAngular accelerationAngular velocityAreaDensityEnergluForceFrequencyImpulseLenghMassMoment of a forcePowerPressureStressTimeVelocityVolume
SolidsLiquids
Work
Meter per second squaredRadianRadian per second squaredRadian per secondSquare meterKilogram per cubic meter]ouleNewtonHertzNewton-secondMeterKilogramNervton-meterWattPascalPascalSecondMeter per second
Cubic meterLiterjoule
;I
rtt/s2trad/s2rad./s*'kgm"N . mkg' m/s2s - rkg' m/s++*+N ' mI/tN/m2N/m2+m/s
3m-10-3m3N ' m
lSupplementary unit (1 revolution : 2zr rad : 360').tBase unit.
Vectores e operações• Definição
V =3�
i=1
Viei com ei vectores da base
Base canónica (i,j,k)e1 = i = {1, 0, 0}e2 = j = {0, 1, 0}e3 = k = {0, 0, 1}
Na base canónica
V =
V1
V2
V3
V ·W =3�
i=1
ViWi
V ×W =
V2W3 − V3W2
W1V3 −W3V1
V1W2 − V2W1
Produto interno e norma
Produto vectorial
U · (V ×W ) Produto triplo
V = �V � =√V · V
Isaac Newton fa lava de forças. Para o corpo rígido também são necessários momentos
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No caso de um binário (duas forças paralelas não colineares e com a mesma norma mas sentidos opostos), ao escrever a condição de equilíbrio estático no sentido de Newton, surge a necessidade de mais uma quantidade, o momento.
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Equivalência
Forças no plano Forças não coplanares
Momentos de uma força Resultantes
Q
P1
P2 P3
P4F 1
F 2
F 3
F 4
M1M2
MRQ =
Nf�
i=1
−−→QPi × F i +
Nm�
i=1
M i
R =
Nf�
i=1
F i
Invariante escalar ≡ R ·MRQ
Invariante vectorial ≡ R
F
Q
P
r
MQ(F P ) = r × F
r =−−→QP = P −Q =
−−→OP −−−→
OQ
Z
�d
MZd(F P ) = MZ(F P ) · �dMZd(F P ) = MZd(F P )�d
1125 N
Determine o momento da t e n s ã o n o t r o ç o B H relativamente aos eixos AD e AG
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Ponto para o qual a força resultante é paralela ao momento resultante (wrench)
R
MRQ
Q
P
MRP
−−→OP =
−−→OQ+
R×MRQ
R2
Chave de fendas
R
MRP =
�MR
Q ·RR2
�R
MRQ = MR
P +−−→QP ×R
*
* demonstre geometricamente
Alternativa para a determinação do ponto P
MRP =
�MR
Q ·RR2
�R
aX + bY + cZ = dCasos em que MR
P = 0
•Forças coplanares•Forças concorrentes•Forças paralelasCasos em que R = 0
MRQ = MR
P
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Determine o wrench usando a análise anterior e o wrench usando os planos x-y e y-z
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Interpretação
R = 0, MR �= 0
R �= 0, MR = 0
R �= 0, MR �= 0
Casos possíveis
Equivalência e equipolênciaDois sistemas de forças actuando no mesmo corpo rígido são equivalentessse a soma das forças e a soma dos momentos das forças dos dois sistemas num ponto dado A forem respectivamente iguais. Dois sistemas de forças actuando num conjunto de pontos são equipolentes sse a soma das forças e a soma dos momentos das forças dos dois sistemas num ponto dado A forem respectivamente iguais.
Num corpo rígido sistemas equipolentes são equivalentes
Equilíbrio, parte I
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Ligações 2D Ligações 2D, cont’d
Equilíbrio, parte I, cont’d
Sistemas com 2 e 3 forças
F 1
F 2
F 1
F 2
F 3
•2 Forças: colineares, norma igual e sentidos opostos•3 Forças: concorrentes OU paralelas (neste caso, pense-se numa balança)
Fx = 0, Fy = 0, MA = 0
Fx = 0, MA = 0, MB = 0
MA = 0, MB = 0, MC = 0
Alternativas (no plano)
Universal
Condicional (neste caso, linha AB não vertical)
Condicional (A, B e C não colineares)
Frequentemente, pode simplificar-se a análise
Equilíbrio, parte II Ligações 3D
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Análise das restrições
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As equações de equilíbrio são necessárias e suficientes para estabelecer o equilíbrio de um corpo. Porém,podem não providenciar toda a informação para calcular as forças incógnitas actuantes num corpo em equilíbrio.
Um corpo ou combinação de elementos que possua mais ligações ao exterior do que as n e c e s s á r i a s p a r a o e q u i l í b r i o é d i t o estaticamente indeterminado.Apoios que possam ser removidos sem destruir o equilíbrio são ditos redundantes.Grau de indeterminação estática: número de forças exteriores incógnitas menos o número de equações independentes de equilíbrio.
2D 3D
Restrições impróprias:Em 2D: quando as linhas de acção das reacções são concorrentes ou paralelas
Em 3D: quando as linhas de acção das reacções intersectam um eixo comum
Exemplos de problemas impropriamente restringidos
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Trace os diagramas de corpo livre
Metodologia:•Isolar o corpo do exterior•Incluir o peso e outras forças volúmicas•Incluir reacções sempre q u e o m o v i m e n t o é impedido ou limitado (e.g. por uma mola)•Incluir todas as forças e momentos actuantes sobre o corpo
19
Convenção de sinais
Como no caso 2D os vectores do binário são ortogonais ao plano, a sua direcção é sempre conhecida, apenas a magnitude pode variar.
Os cálculos envolvendo momentos de forças e binários podem ser executados apenas utilizando as suas magnitudes, desde que seja admitida uma convenção de sinais.
• No diagrama de corpo livre, as forças e binários de reacção não têm de ser marcados com o sentido correcto, embora a direcção tenha de ser a correcta.
• É admitido um sentido, no final dos cálculos, o aparecimento de um valor negativo indica que o sentido admitido é o contrário do real.
• O cálculo do momento resultante deve ser efectuado em relação a um ponto que permita simplificar os cálculos.
• Em geral o ponto escolhido deve ser aquele em relação ao qual existe o maior número de forças produzindo um momento nulo.
Exercícios
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1) Determine as resultantes no ponto O
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2) Determine as resultantes no ponto A
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3) Determine a intersecção de R com x e y
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4) Determine as componentes da força no cabo CD
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5) 6)
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7)
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8) Determine as resultantes nos pontos A e B
9)
10)
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11) Determine T
1 2 ) D e t e r m i n e a f o r ç a necessária a aplicar pelo homem representado de forma a que a balança leia 500lb (227 Kg)
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13)
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14)
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15)
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16)
17)
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18) A barra uniforme AB tem u m a m a s s a d e 2 0 0 K g . Determine as reacções das paredes e do soalho
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19) Determine a massa m que pode ser suportada e as reacções nas chumaceiras
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20) Determine as reacções
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21) Determine as reacções
22)
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23)
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24)
Introdução às estruturas • Treliças (1)
• Estruturas reticuladas (2)
• Mecanismos (3)
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(2)
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Biforça
Multiforça
(3) *
* pode exigir a separação de membros
Treliças: método dos nós
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m+ 3 = 2j
Condição necessária d e d e t e r m i n a ç ã o estática interna 2D
Estrutura simples: obtida por ligação de triângulos satisfaz automaticamente
Casos especiais:
j : juntas
m : membros
Peso: normalmente distribuído pelas juntasjuntas podem denominar-se nós
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Determine as forças em todos os membros
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1)
2)3)
1
4)
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5)
6)
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7)
F1F2F3
• Traçar o diagrama de corpo livre da estrutura e determinar as reacções
• Usar um dos nós de ligação ao exterior para o método dos nós
• Localizar um nó que una apenas dois membros desconhecidos e usar o método dos nós• Uso dos comprimentos:
F4
ab c
d
efF2
F3
F1 + F2a
c+ F3
d
f= 0
F2−b
c+ F3
e
f= 0
• Marcar as forças sobre os membros
• Em 3D
1) 2) 3)
Forças em todos os membros
Alternativa: método das secções (usado quando não se pretende conhecer as forças em todos os membros).
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3 membros cortados e 3 equações
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Determine a força no membro DJ
Exercícios para o método das secções
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1)
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2)
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3)
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4)
Membros multi-força e mecanismos
Marwan and Waseem Al-Iraqi www.gigapedia.comDiagramas de corpo livre do conjunto e dos membros separados
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Problemas
1)
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2)
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3)
Diagramas de esforços• Vigas
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i) Reacções
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Forças e momentos internos
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Convenção de sinais
w = −dV
dx
V =dM
dx
Exercícios elementares
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1)
2)
Exercícios elementares, cont’d
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3)
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4)
5)
6)