I. AZ EGYENES

1) LEGEGYSZERBB MRTANI ALAKZATOK a) Pont: - brzols

- jells A (nyomtatott nagybet)

b) Egyenes: - brzols d - jells ( nyomtatott kisbet )

Az egyenes vgtelen. Az egyenes meghatrozsa : - Egy ponton keresztl vgtelen egyenes llthat.

- Kt klnbz pont meghatroz egy egyenest . Ha hrom, vagy tbb klnbz pont egy egyenesen van ezeket kollineris pontoknak nevezzk; ha nincsenek ugyanazon az egyenesen, akkor nem kollineris pontok. brzols:

D F | | | A C B

E jellsek: AB egyenes, vagy AC egyenes, vagy BC egyenes.

A, B s C kollineris pontok CAB. A, B s D nem kollineris pontok D AB. A, B s E nem kollineris pontok E AB. A, B s F nem kollineris pontok F AB.

A, C s D nem kollineris pontok D AC. A, C s E nem kollineris pontok E AC. A, C s F nem kollineris pontok F AC.

D s F az AB egyenes ugyanazon oldaln helyezkedik el. D s E, valamint E s F az AB egyenes kt klnbz oldaln helyezkedik el.

c) Sk: - brzols (paralelogramma)

- jells: a grg bc rott nagybeti , , , ,.

A sk vgtelen. 1

2. FLEGYENES, SZAKASZ

a) Flegyenes : Egy egyenesen lev pont az egyenest kt flegyenesre osztja. a | | | B A C

(AB flegyenes vagy [AB flegyenes (AB s (AC ellenttes flegyenesek

(AC flegyenes vagy [AC flegyenes [AB s [AC ellenttes flegyenesek

AB egyenes A B ( (AB nylt flegyenes A B ) (BA nylt flegyenes A B [ [AB zrt flegyenes A B ] [BA zrt flegyenes A B

b) Szakasz: Egy egyenes kt pontja kztti rszt szakasznak nevezzk. AB szakasz A B ( ) (AB) nylt szakasz [ ] [AB] zrt szakasz A B A B

( ] (AB] flig nylt (zrt) szakasz A B

[ ) [AB) flig nylt (zrt) szakasz A B

Kongruens szakaszoknak nevezzk az egyenl hosszsg szakaszokat. Egy szakasz felezpontjnak nevezzk azt a pontot, amely a szakaszt kt kongruens rszre osztja. M felezpont > [AM] [MB] A M B

II. SZGEK

1) A SZGEK RTELMEZSE S OSZTLYOZSA

a) rtelmezs: Kzs pontbl kiindul kt klnbz flegyenes szget alkot. A kt flegyenest a szg szrainak nevezzk, a kzs kiindulpontjukat a szg cscsnak. a) Jellsek: Ha a kt flegyenes [AB s [AC, akkor a szget BAC szgnek CAB

szgnek nevezzk. Mg jellhetjk a kvetkezkppen is BAC vagy CAB .

B bels tartomny A a szg cscsa

A C (AB s (AC a szg szrai kls tartomny

c) Szgek mrse: Mrtkegysg 1 fok 10 A fok trtrszei : 1 perc 1 10 = 60 1 msodperc 1 1 = 60 10 = 60= 3600

d) Nem tulajdonkppeni szgek: 1) nullszg - mrtke 00

| | |

m ( BAC ) = 00 , [AB s [AC azonos flegyenesek A B C

2) nyjtott (egyenes) szg | | | B A C

m ( BAC ) = 1800 , [AB s [AC ellenttes flegyenesek e) A szgek osztlyozsa: 1) hegyesszg 00< m( AOB )

A A

O | B O | B 3

2. EGYMS MELLETTI SZGEK , SZGFELEZ

a) rtelmezs: 1.Kt szget egyms melletti szgnek neveznk, ha egyik szruk kzs s belsejknek nincs kzs pontja.

2. Kzs csccsal s kzs szrral rendelkez kt szget, melyeknek nem kzs szrai a kzs szr kt klnbz oldaln helyezkednek el egyms melletti szgeknek neveznk.

O - kzs cscs A (OB - kzs szr

AOB s BOC egyms melletti szgek

m(AOC ) = m(AOB ) m(BOC )+

O | B

| C b) Sajtos esetek: 1. Ptszgek. Kt egyms melletti szget, melyeknek nem kzs

szraik merlegesek egymsra ptszgeknek neveznk .

A ptszgek mrtknek sszege 900.

A m(AOB ) m(BOC )+ = 900 B |

O | C

2.Kiegszt szgek. Kt egyms melletti szget, melyeknek nem kzs szraik egyms meghosszabbtsban

vannak kiegszt szgeknek neveznk.

A kiegszt szgeknek mrtknek sszege 1800. B | m(AOB ) m(BOC )+ = 1800

| | 4 A O C c) Szgfelez: 1.Egy szg szgfelezje a szg bels flegyenese, amely a szg szraival kongruens szgeket alkot. 2.Szgfeleznek nevezzk azt a flegyenest, amely a szg cscsbl indul ki s a szg szraival kongruens szgeket alkot.

A | | M (OM - szgfelez

m(AOM ) m(BOM )=

O B

3. CSCSSZGEK

rtelmezs: a) Kt egyenes metszsekor cscsszgprok keletkeznek. b) Ha kt szg szrai ellenttes flegyenesek, akkor cscsszgeknek nevezzk ket.

B | | C A cscsszgprok kongruensek.

O AOB COD

| BOC DOA

A | D

III. HROMSZGEK

1. RTELMEZS, OSZTLYOZS

a) rtelmezs: Hrom nem kollineris pont hromszget hatroz meg. A A, B, C - a hromszg cscsai AB, BC, CA - a hromszg oldalai h A, B, C - a hromszg szgei

vagy

B D b C ABC, BCA, CAB - a hromszg szgei BC - a hromszg alapja AD a hromszg magassga

A hromszg szgei mrtknek sszege 1800. 5 A hromszg kerlete egyenl oldalai hossznak sszegvel: K=AB+BC+CA

A hromszg terlete egyenl az alap hossza s a magassg szorzatnak felvel:

2hbS =

b) A hromszgek osztlyozsa:

Szgeik szerint: 1) Hegyesszg hromszg - minden szge hegyesszg A m( A ) < 900 m( B ) < 900 m( C ) < 900

B C

2) Derkszg hromszg - van egy derkszge C m( A ) = 900 m( B ) < 900

m( C ) < 900

A B

3) Tompaszg hromszg - van egy tompaszge: 900 < m ( A ) < 1800 C

A B

Oldalaik szerint: 1) ltalnos hromszg - egyik oldala sem kongruens a msikkal

A [AB] [BC] [AC]

B C 5

2) Egyenl szr hromszg - van kt kongruens oldala [AB] [AC] A [BC] - a hromszg alapja [AB] s [AC] - a hromszg szrai Az egyenl szr hromszg alapjn fekv szgei kongruensek. m ( A ) = m ( B )

B C

3) Egyenl oldal hromszg - oldalai kongruensek [AB] [BC] [AC] A - az egyenl oldal hromszg szgei kongruensek s mrtkk 600 . m ( A ) = m ( B ) = m ( C ) = 600

B C

2. A HROMSZG KLS SZGE a) rtelmezs: A hromszg egyik oldala s a mellette lev oldal meghosszabbtsa ltal

alkotott szget a hromszg kls szgnek nevezzk.

ACD az ABC kls szge A

b) Ttel: A hromszg kls szgnek mrtke Trgy:egyenl a nem mellette lev kt bels szg

mrtknek sszegvel.

m(ACD) = m(ABC) + m(CAB) B C D

3. KONGRUENS (EGYBEVG) HROMSZGEK a) rtelmezs: Kt hromszg kongruens (egybevg), ha megfelel oldalai s megfelel

szgei rendre kongruensek. A D (AB) (DE) (BC) (EF) (CA) (FD)

ABC DEF

B C E F BCD EFD

CAB FDE ABC DEF 6

b) A hromszgek egybevgsgi (kongruencia) esetei:

1) O.Sz.O. Kt hromszg egybevg (kongruens), ha kt-kt megfelel oldaluk s az ltaluk kzrezrt szgek rendre kongruensek.

2) Sz.O.Sz. Kt hromszg egybevg (kongruens), ha egyik oldaluk s a rajta fekv megfelel szgek rendre kongruensek.

3) O.O.O. Kt hromszg egybevg (kongruens), ha megfelel oldalaik pronknt kongruensek.

IV. MERLEGES EGYENESEK

1. MERLEGESEK S FERDK. A PONT TVOLSGA AZ EGYENESTL

a) rtelmezs: Kt metsz egyenes merleges egymsra, ha metszspontjukban derkszgeket zrnak be. b) Ttel: Egy egyeneshez egy kls ponton keresztl csak egy merleges llthat.

Ha kt metsz egyenes nem merleges egymsra, akkor ferdknek nevezzk ket.

c) Egy pont tvolsga az egyenestl: Egy pontnak az egyenestl mrt tvolsga egyenl a pont s a pontbl az egyenesre lltott merleges talppontjnak tvolsgval.

A

AB d, Bd = d (A;d) = AB B

2. A DERKSZG HROMSZGEK EGYBEVGSGI ESETEI

a) I.eset: Kt derkszg hromszg egybevg, ha kt-kt megfelel oldala kongruens. B.B. vagy .B.

b) II.eset: Kt derkszg hromszg egybevg, ha egy-egy megfelel oldaluk s egy - egy hegyesszgk kongruens. B.Sz. vagy .Sz.

7

1818

3. A HROMSZGEK NEVEZETES VONALAI

a) A szgfelez rtelmezse : A szg cscsbl kiindul flegyenest, amely szget kt kongruens rszre osztja, szgfeleznek nevezzk.

MOBMOA

Ttel: A szgfelez brmely pontja egyenl tvolsgra van a szg szraitl. A

O M BMAMOBMBOAMA

MOBMOA

1. bra B

1) A HROMSZG SZGFELEZI: A hromszg cscsaibl kiindul flegyeneseket, amelyek a hromszg szgeit kt-kt kongruens rszre osztjk a hromszg szgfelezinek nevezzk A

A hromszg szgfelezi sszefut egyenesek. Tallkozsi pontjuk a hromszgbe rt kr kzppontja (O). B C 2. bra

b) A szakaszfelez merleges rtelmezse: A szakasz felezpontjba lltott merlegest szakaszfelez merlegesnek nevezzk.

M ezszakaszfelMOABMOOBAO

A O B Ttel: A szakaszfelez merleges brmely pontja egyenl tvolsgra van a szakasz vgpontjaitl.

3. bra MBMAABMOOBAO

8

2) A HROMSZG OLDALFELEZ MERLEGESEI: A hromszg oldalainak felez- A pontjba lltott merlegeseket a hromszg oldalfelez

merlegeseinek nevezzk.

A hromszg oldalfelez merlegesei sszefut egyenesek. Tallkozsi pontjuk a hrom szg kr rt kr kzppontja (O). B C

4. bra

3) A HROMSZG MAGASSGAI: A hromszg cscsaibl a szembefekv oldalakra A hzott merlegeseket a hromszg magassgainak nevezzk.

H A hromszg magassgai sszefut egyenesek. Tallkozsi pontjuk a hromszg ortocentruma (H). B C

5. bra

4) A HROMSZG OLDALFELEZ EGYENESEI: A hromszg cscsait a szem- befekv oldalak felezpontjaival sszekt szaka-

szokat a hromszg oldalfelez egyeneseinek nevezzk.

A A hromszg oldalfelez egyenesei sszefut egyenesek. Tallkozsi pontjuk a hromszg slypontja (G). C B A slypont a cscstl

23 rszre s az oldaltl

13 rszre

G helyezkedik el: B A C

6. bra AA32AG = ; BB

32BG = ; CC

32CG = ;

AA31AG = ; BB

31BG = ; CC

31GC = .

9

1818

V. PRHUZAMOS EGYENESEK

1. RTELMEZS. EUKLIDESZ POSZTULTUMA

a) rtelmezs: Kt egyenes prhuzamos ha nincs kzs pontjuk, a

ab; ab = b

b) A prhuzamosok aximja (Euklidsz posztultuma): Egy egyeneshez rajta kvl fekv ponton keresztl egyetlen prhuzamos hzhat.

c) Kt prhuzamos egyenes szelvel val metszsekor keletkez szgek: s ab; s - szel 2 1 a Kongruens bels vltszgek: 64s53 3 4 Kongruens kls vltszgek: 71s82 6 5 b Kongruens megfelel szgek: 62;51 7 8 84;73

d) Prhuzamos szr szgek: rtelmezs: Prhuzamos szr szgeknek nevezzk az olyan szgeket, melyeknek megfelel szrai prhuzamosak egymssal. Ttel: Kt prhuzamos szr szg kongruens szgpr, ha mindkett hegyesszg vagy mindkett tompaszg s

kiegszt szgpr, ha az egyik hegyesszg, a msik meg tompaszg..

=+

0180GXCBOAEYDGXCFYEBOA

YDYFXGOBYEXCOA

e) Prhuzamos egyenesek kztti prhuzamos szakaszok kongruensek.

a A B BDACba

BDAC

C D b 10

f) Kt prhuzamos egyenes kztti tvolsg: Kt prhuzamos egyenes kztti tvolsgot a kt prhuzamos kzs merlegesn mrjk. A a AB a ; AB b d (a;b) = AB b

B g) A hromszg kzpvonala: rtelmezs: A hromszg kt oldalnak felezpontjait

sszekt szakaszt a hromszg kzp- vonalnak nevezzk. Ttel: A hromszg kzpvonala prhuzamos a vele szembenfekv oldallal s egyenl ennek felvel.

A

kzpvonalMNNCANMBAM

;

M N MN BC ; 2

BCMN = .

B C

VI. A HROMSZGEK TULAJDONSGAI

1. AZ EGYENL OLDAL HROMSZG TULAJDONSGAI a) Az egyenl oldal hromszg szgei kongruensek, mrtkk 600. b) Az egyenl oldal hromszg nevezetes vonalai egybeesnek.

A

AA BC AC C B BAA CAA

BB AC AB B C ACC BCC

CC AB BA A C ABB CBB

B A C 1.bra m (ABC) = m (BCA) = m (CAB) = 600

c) Az egyenl oldal hromszg nevezetes vonalai egyben szimmetria tengelyek is. 11

1818

2. AZ EGYENL SZR HROMSZG TULAJDONSGAI

a) Az egyenl szr hromszg alapon fekv szgei kongruensek.: ABAC CB b) Az egyenl szr hromszg alappal szembefekv szgnek szgfelezje egyben oldalfelez egyenes, oldalfelez merleges s magassg is..

A ACAABA A B A CAA BC

c) Az egyenl szr hromszg alappal szembefekv magassga egyben szimmetria tengely is. B A` C

2. bra

3. A DERKSZG HROMSZG TULAJDONSGAI

a) Brmely derkszg hromszgben az tfoghoz tartoz oldalfelez egyenes hossza egyenl az tfog felvel.

C

D 0

BC m(CAB) = 90 AD =2

CD DB

A B 3. bra

b) Ha egy derkszg hromszgnek van egy 300 - os szge, akkor a 300 - os szggel szembefekv befog egyenl az tfog felvel.

C

0

0

m(CAB) = 90 BCAC = 2

m(B) = 30

A 300 B 4. bra 12

c) Az egyenl szr derkszg hromszg hegyesszgeinek mrtke 450 .

C

0m(CAB) = 90

m(B) = m(C) = 45 AB AC

A B 5. bra

VII. NGYSZGEK

1. RTELMEZS, OSZTLYOZS a) rtelmezs: Ngy, hrmanknt nem kollineris pont ngyszget hatroz meg. C

b) Egy konvex ngyszg szgei mrtknek sszege 3600. D

c) Kerlet: A ngyszg kerlete egyenl oldalai hossznak sszegvel: K = AB+BC+CD+DA A

1. bra B 2. PARALELOGRAMMA

a) rtelmezs: Paralelogrammnak nevezzk azt a konvex ngyszget, melynek szembefekv oldalai prhuzamosak.

D C

ABCDBCADCDAB

paralelogramma

A B 2. bra

b) Tulajdonsgok: 1) A paralelogramma szembefekv oldalai kongruensek. [AB] [CD] s [BC] [AD] 2) A paralelogramma szembefekv szgei kongruensek. DBsCA 3) A paralelogramma egyms melletti szgei kiegszt szgek. m ( A ) + m ( B ) =180 0 ; m ( B ) + m ( C ) =180 0 m ( C ) + m ( D ) =180 0 ; m ( D ) + m ( A ) =180 0

4) A paralelogramma tli felezik egymst. [AO] [OC] s [BO] [OD]

13

1818

c) Kerlet s terlet: D C b - alap

h h - magassg A B - az alapra nem merleges oldal hossza b K - kerlet 3 bra S - terlet

K = 2 ( b + ) S = b h

SAJTOS PARALELOGRAMMK:

1). TGLALAP a) rtelmezs: Tglalapnak nevezzk azt a paralelogrammt, melynek van egy derkszge.

D C D C O

A 4. bra B A 5. bra B b) Tulajdonsgok: 1) A tglalap minden szge derkszg.

m ( A ) = m ( B ) = m (C ) = m ( D ) =90 0 2) A tglalap tli kongruensek. (AC) (BD) 3) A tglalapnak van kt szimmetria tengelye. (5.bra)

b) Kerlet s terlet: D C - hosszsg (alap - b )

6. bra - szlessg (magassg - h) K - kerlet

A D S - terlet

Kerlet = 2 ( hosszsg + szlessg ) K = 2 ( + ) vagy

Kerlet = 2 ( hosszsg + szlessg ) K = 2 (b + h )

Terlet = hosszsg X szlessg S = vagy Terlet = alap X magassg S = b h

14

2) ROMBUSZ rtelmezs: Rombusznak nevezzk azt a paralelogrammt, melynek egyms melletti

oldalai kongruensek. Tulajdonsgok: 1) oldalai kongruensek: [AB] [BC] [CD] [DA]

B 2) tli merlegesek egymsra: AC BD 3) tli szgfelezk is: m (ABD) = m (CBD) : m (ADB) = m (CDB);

m (BAC) = m (DAC) ; m (BCA) = m (DCA). 4) tli szimmetria tengelyek is

A d1 O C - Jellsek: - az oldal hossza. d1 - a nagy tl hossza d2 d2 - a nagy tl hossza

B - Kerlet s terlet:

7. bra K = 4 2ddS 21 =

3) NGYZET rtelmezs: Ngyzetnek nevezzk azt a paralelogrammt, amely egyben tglalap is s rombusz is. m ( A ) = m ( B ) = m (C ) = m ( D ) =90 0 D C D C - a ngyzet oldalhossza A ngyzetnek 4 szimmetria tengelye van. Kerlet s terlet:

A B A B K = 4 S = 2 8. bra 9. bra

3. TRAPZ a) rtelmezs: Trapznak nevezzk azt a konvex ngyszget, melynek kt szembefekv oldala prhuzamos, a msik kett pedig nem prhuzamos. ABCD s AD BC

D b C - a trapz oldalai : AB - nagy alap ( - a nagy alap hosszsga ) CD - kis alap ( b -a kis alap hosszsga )

1 h 2 AD s BC - nem prhuzamos oldalak 1 s 2 - a nem prhuzamos oldalak hossza)

A E B CE - magassg ( h - a magassg hossza ) 10. bra

b) Kerlet s terlet: K = 1 + + 2 + b ( )2Shl +

=

15

1818

c) Osztlyozs : 1. ltalnos trapz : 2 .Derkszg trapz: 3. Egyenl szr trapz:

D C D C D C

A B A B A B 11. bra 13. bra 14. bra

ADBC m() < 900 Egy trapz derkszg, Egy trapz egyenl szr m ( )B < 900 ha a nem prhuzamos ha a nem prhuzamos oldalak egyike merle- oldalai kongruensek. ges az alapokra. AD BC ; m() = 900

d) A trapz tulajdonsgai: 1) A trapz nem prhuzamos oldalain lev szgei kiegszt szgek.

0 m(A) + m(D) = 180 ; 0m(B) + m(C) = 180 . C D 2) A derkszg trapznak kt derkszge van.; A B 090)A(m =

090)D(m = .

3) Az egyenl szr trapz tli kongruensek. ACBD. 15.bra 4) Az egyenl szr trapznak van egy szimmetria tengelye.

e) A trapz kzpvonala: 1) rtelmezs: A trapz nem prhuzamos oldalainak felez- pontjait sszekt szakaszt a trapz kzp-

D C vonalnak nevezzk.

M N kzpvonalMNNCBNMDAM

A B 2) Ttel: A trapz kzpvonalnak hossza egyenl az alpok

16. bra hossznak szmtani kzparnyosval.

2CDABMN +=

16

VIII. A KR

B A JELLSEK : O a kr kzppontja M OA a kr sugara BC a kr tmrje N C MN hr

MN krv r a kr sugarnak hossza N d a kr tmrjnek hossza C

RTELMEZS: a) Krnek nevezzk azt a skbeli zrt grbe vonalat, melynek minden pontja egyenl tvolsgra van egy rgztett ponttl, a kr kzppontjtl.

b) A kr a sk egy adott rgztett pontjtl egyenl tvolsgra lev pontok mrtani helye.

A KR KERLETE: K = 2 r vagy K = d (A KRVONAL HOSSZA)

A KR TERLETE: S = r2

A KRV HOSSZA: L = nr180

ahol n0 a krv mrtke.

A KRCIKK TERLETE: S = nr180

ahol n0 a krcikknek megfelel krv

mrtke

KZPPONTI SZG: Kzpponti szgnek nevezzk azt a szget, melynek cscsa a kr kzppontjban van, szrai pedig sugarak. A kzpponti szg mrtke egyenl a szrai es krv mrtkvel.

D m ( )AOB = ( )m AB C ( ) ( )m COD m CD=

Ttel: Ugyanabban a krben, vagy kt egyenl A B sugar krben egyenl krveknek egyenl kzpponti szgek felelnek meg s fordtva.

17

1818

KERLETI SZG: Kerleti szgnek nevezzk azt a szget, melynek cscsa a krvonalon

van , szrai pedig hurok.

A kerleti szg mrtke egyenl a szrai es krv mrtknek felvel.

B ( )( )m AC

m ABC2

=

C

A