moadelat-difransiel
DESCRIPTION
Differential Equation Lecture in PersianTRANSCRIPT
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١
جزوه معادالت دیفرانسيل اسماعيلی : مدرس
٠٩١۴٩٢٣٨٨٢۶:شماره تماس [email protected]
بهروز اکرمی : تهيه کننده
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com
:منابع معادالت ديفرانسيل دانشگاه پيام نور
معادالت ديفرانسيل دآتر مسعود نيكوآار :نمره پاياني درس
) نمره١٠(نمره پايان ترم ) نمره۵(نمره ميان ترم
تمرينات به {) نمره۵(حل تمرينات و فعاليت آالسي شود آه دانشجو صورت متناوب در هر جلسه ارائه مي
} تا جلسه آينده مهلت تحويل دارد
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣
سرفصلهاي معادالت ديفرانسيل
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤
ماهيت معادالت ديفرانسيل و طبقه بندي آنها-١ معادله ديفرانسيل جدا شدني و تبديل به آن -٢ معادله ديفرانسيل همگن و تبديل به آن -٣ دسته منحني ها و دسته منحني هاي متعامد -۴ معادله ديفرانسيل آامل -۵ عامل انتگرال ساز -۶ معادله ديفرانسيل مرتبه اول خطي و تبديل به آن -٧
معادله ديفرانسيل مرتبه اول: فصل اول
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥
yيا x معادله ديفرانسيل مرتبه دوم حالت خاص فاقد -١
معادله ديفرانسيل مرتبه دوم -٢
ام n معادله ديفرانسيل مرتبه -٣
اويلر - معادالت ديفرانسيل کشي -۴
معادالت ديفرانسيل : فصل دوممرتبه دوم و باالتر
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦
دستگاه معادالت ديفرانسيل: فصل سوم
تبديل الپالس-١ خواص تبديل الپالس-٢ معکوس تبديل الپالس-٣ حل معادله ديفرانسيل به روش الپالس-۴
تبديالت الپالس : فصل چهارم
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧
سري تواني -١ نقاط معمولي ومنفرد وجواب هاي سري معادالت ديفرانسيل -٢ نقاط منفرد منظم معادالت ديفرانسيل خطي مرتبه دوم -٣ حالتي آه معادله شاخص داراي ريشه هاي برابر است-۴
حل معادله ديفرانسيل به روش سري ها : فصل پنجم
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨
معادله ديفرانسيل مرتبه اول: فصل اول
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩
ساوي باشد، : مقدمه ه درآن ت با مفهوم معادله يعني رابطه اي ک
رين . آشنا هستيم ولي مي باشد، آن، ساده ت ه يک مجه ه معادل ک
. مي دهيم نشان بانماد
معادله يک مجهولي درجه اول
معادله يک مجهولي درجه دوم
ولي درجه سوم ه يک مجه معادل
الي آخرو
( ) 0=xf0=+bax
02 =++ cbxax023 =+++ dcxbxax
ماهيت معادله ديفرانسيل وطبقه بندي آن
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠
نشان مي دهيم معادله دو مجهولي که بانماد
معادله دو مجهولي درجه اول
معادله دو مجهولي درجه دوم
الي آخرو
( ) 0, =yxf
0=++ cbyax
022 =+++++ feydxcybxyax
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١
:درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح مي باشد
جواب يا جفت f(x)=0جواب معادلهx0 آيا-أ
؟مي باشدمعادله پيدا کنيد؟ را يا f(x)=0 جواب معادله-ب
( )00 , yx
( ) 0, =yxf( ) 0, =yxf
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢
ا جايگذاري اولجواب دادن به سوال را ب ساده مي باشد زي
رد شخص ک وان م ي ت وال .م ه س واب دادن ب ي ج دوم ول
رده و . مشکل مي باشد دي ک ادالت را دسته بن د مع دا باي ابت
وع روش خاصي را ر ن راي ه ر ب ارت ديگ ه داده بعب ارائ
:براي حل معادله بايد دو مرحله را مشخص کنيم
مرحله شناخت) 1
)روش حل(مرحله حل) ٢
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣
ه ر درمعادل ال اگ ر ح وان را x متغي بعن
را بعنوان متغير وابسته درنظر بگيريم را y مستقل و متغير
اه ابعي از x آن گ دy ت ي باش شتق م ورد م وان درم ي ت و م
:تابع صحبت کرد يعني
( ) 0, =yxf
( ) ( )n
nn
dxydyy
dxydy
dxdyy ===′′=′ ,...,, 2
2
2
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤
ه شامل :تعريف ه اي ک اتي از معادل ستقل (xترکيب ر م yو )متغي
سته ( ر واب شتقات آن و )متغي اميم و ، باشد م سيل ن ه ديفران ا را معادل ب
.نشان مي دهيمنماد
:درمورد معادله ديفرانسيل نيز مي توان دو سوال طرح کرد
جواب معادله ديفرانسيل مي باشد؟آيا تابع ) الف
جواب هاي معادله ديفرانسيل را پيدا کنيد؟) ب
( )( ) 0,...,,,, =′′′ nyyyyxf
( ) 0, =yxf
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥
xey 2=065 =+′−′′ yyy
اده است ) جواب دادن به سوال الف باز ا جايگذاري (س ثال ) ب م
جواب معادله يا تابع آ
ميباشد؟
وال ب ه س واب دادن ب د و ) ج ي باش شکل م وع م ه ن ستگي ب ب
دي آن دارد ه بن ه وطبق ه و . معادل اتعريف مرتب ه ب ه معادل درج
.مي رويم) ديفرانسيل به سراغ سوال ب
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦
( ) 543 xyy =+′
xdx
yddx
yd=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
2
2
2
3
3
( ) ( ) 432 yyy =+
ه را :تعريف شترين تکرار مشتق در هر معادل ه بي آن ومرتب. ديفرانسيل ناميمدرجه معادلهتوان بيشترين تکرار مشتق را
:المث.مي باشدمرتبه اول، درجه سوم معادله
مرتبه سوم ، درجه اول معادله ) ٢.مي باشد
مرتبه سوم ، درجه اول مي معادله) ٣.باشد
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧
ه و مشابه معادله معمولي با ه توجه به تعريف مرتب درجه معادل
رد دي ک ه بن ا راطبق اده . ديفرانسيل مي توان آنه ابراين س رين بن ت
ه اول بصورت سيل مرتب ه ديفران معادل
وان ه اگر ت ر مي باشد ک ا براب اه ب ه يک باشد آنگ معادل
مي باشد مرتبه اول درجه اولديفرانسيل
. زير نيز نشان داده مي شودبصورت کليکه
( ) 0,, =′yyxf
y′
( )( ) ),(
,, yxFyxgyxfy ==′
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨
معادله ديفرانسيل مرتبه اول درجه اول به صورت :تعريف
اميم معادله جدا شدني را ه شناخت ( ن ه ). مرحل ه مرتب هر معادله جداشدني صارا معادل جدايي (اول درجه اول جداشدني را اخت
هر معادله جدا شدني را مي توان بصورت کلي . ناميم)پذير
.تبديل کرد
( )( )ygxfy =′
( ) ( ) 0=+ dyyNdxxM
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩
دني سيل جداش ه ديفران ل معادل ا انتگرال :ح ري ب ه گي از معادلرا جداشدني وان جواب آن مي ت
.محاسبه کرد
ذکر ومي : ت واب عم به ج سيل محاس ه ديفران ل معادل دف از ح هد ي باش سيل م ه ديفران وابي را . معادل ومي ج واب عم اميم ج ن
ه هرگاه تعداد پارامترها به تعداد مرتبه معادله ديفرانسيل باشد ک.بعدا آنرا دقيقا تعريف خواهيم کرد
( ) ( ) 0=+ dyyNdxxM
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠
. را حل مي کنيم معادله :مثال
آنگاه داريم :حل
.معادله است )عمومي (جواب عبارت آخر درنتيجه
yyxxy
−+
=′ 2
2
⇐−+
=⇐yyxx
dxdy
2
2
( ) ( ) 022 =−++ dyyydxxx
( ) ( ) 022 ∫∫∫ =−++ dyyydxxx
cyyxx =−++ 3223
31
21
21
31
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١
ا جرمش متالشي مي شود : مثال ا آهنگي متناسب ب راديم در هر لحظه بر ه ١٠٠اگ رن ب ک ق س از ي رم پ ي گ ود ٩٨ ميل ديل ش رم تب ي گ ميل
: قرن٣مطلوبسيم باقي مانده پس از
:قرن باشد داريم t مقدار راديم باقي مانده پس از Q(t)فرض کنيم : حل
0.02
ln
(0) 100 100( ) .
(1) 98 0.02
( ) 100
cc kt
t
dQ dQ dQQ kQ kdtdt dt QdQ kdt Q kt cQ
Q eQ t e e
Q k
Q t e −
∝ ⇒ = ⇒ = ⇒
= ⇒ = + ⇒
⎧ = → == ⇒ ⎨
= → = −⎩=
∫ ∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٢
اهر ه ظ ه اول ممکن است ب ه اول درج سيل مرتب ه ديفران معادلوان مي تغيير متغيريا عباراتيتقسيم برجداشدني نباشد ولي با ت
.آن را تبديل به جدا شدني نمود
معادله : مثال
به ظاهر جدا شدني نيست، ولي با تقسيم برحاصلضرب عبارات : داريم اضافي
: داريم گيري که جدا شدني است پس با انتگرال
.جواب معادله است
( )( ) ( )( ) 01111 22 =+++++ dyyxdxxy
( )( )11 ++ yx011
11 22
=++
+++ dy
yydx
xx
( ) ( ) cyyyxxx =++−+++− 1ln2211ln2
21 22
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٣
: مطلوبست حل معادله زير
cu
tcut
udu
tdt
udu
tdt
dutudtdtydxxdytxy
duydyxdxuyx
ydyxdxxyydxxdyyx
=⇒+=
=⇒=−
=−⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+⇒=⇒
=+⇒=+
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=+−++
∫∫
)23
ln(ln23ln
)23(0)
23(
0)21(3
)(2
0)(3))((
22
22
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٤
مطلوبست حل معادالت زير و يافتن جواب عمومي و :تمرين: و خصوصي در صورت وجود شرايط اوليه
21) 1 1 02) 2 ( 1) 0 (0) 2
3)
4) cos 1 sin 0
x y dx x dyx y dx ydy y
dy xdx y
x y dx x y dy
− − − =
+ − = = −
= −
+ + =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٥
معادله ديفرانسيل همگن
معادله مرتبه اول درجه اول بصورتميدانيم
ي يا به صورت و م.باشد
( )( )yxg
yxfy,,
=′
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٦
مثال معادالت
معادالت مرتبه اول درجه اول مي باشند که هيچکدام جدا شدني ه ه معادل د ک ي باش يتي م ي داراي خاص ه اول ي معادل ستند ول ني
درمعادله ديفرانسيل اول تمام جمالت توابع . دومي نيست
ين نيست ه دومي چن ن . از توان يکسان دو مي باشد ولي معادل اي.مفهوم رابانماد رياضي تعريف مي کنيم
2 2 2
21) 2) ,x y x yy yxy y x+ +′ ′= =
+
),(,),( yxfzyxgz ==
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٧
ابع تابع دو متغيره:تعريف ن از را ت همگ
:ناميم هرگاه درشرط زير صدق کند n درجه
ه دو تابع ن ازدرج ابع همگ ت
.باشد مي
ک تابع ه ي ن از درج ابع همگ ت
.باشد مي
),( yxfz =
( ) ( )yxfttytxf n ,, =
( ) 22, yxyxyxf ++=
( )xyyxeyxf x
y
sin, +=( )xyyxeyxf x
y
sin, +=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٨
معادله ديفرانسيل : تعريف
ن را ه همگ ره معادل ع دو متغي اه تواب ر گ اميم ه ع g و f ن تواببعبارت ديگر معادله ديفرانسيل. همگن از درجه يکسان باشند
ره ع دو متغي اه تواب ر گ اميم ه ن ن ه همگ N و Mرا معادل.توابع همگن از درجه يکسان باشند
( )( )yxg
yxfy,,
=′
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٩
:حل معادله ديفرانسيل همگن
ا . همگن باشد فرض کنيم معادله ر ب فرض تغيي
داريم متغير
آن گاه با جايگذاري درمعادله نتيجه مي شود که
دا ه روش ج را ب وان آن ي ت دني است م دا ش ر ج ه اخي ه معادل ک
ه شدني حل کرد وبا جايگذاري واب معادل ج
.ديفرانسيل اوليه بدست مي آيد
( )( )yxg
yxfy,,
=′
xyv =y vx y x v OR dy vdx xdvν′ ′= ⇒ = + = +
( )( )
( )( ) ( ) ( )
1, 1,1, 1,
f v f vdv dv dxv x v x v f vg v dx g v f v x
′ = − ⇒ = − = ⇒ =
xyv =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٠
معادله ديفرانسيل همگن :مثال
و را حل مي کنيم باجايگذاري
: داريم
با تقسيم برحاصلضرب عبارات اضافي
: داريم
xdvvdxdy += vxy =
( )221 vx +
021 2 ∫∫∫ =
++ dv
vv
xdx
( ) 022 =++ xydydxyx
( ) ( )( )( )
( ) 021021
00
2
322
322222
222
=++
=++
=+++
=+++
xvdvdxvvdvxdxvx
vdvxdxxvxvxxdvvdxxvxdxxvx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣١
ذکر ه جاي ب: ت ردن ب اده ک والcراي س ln معم c وان را بعن.پارامتر ثابت اختيار مي کنيم
.جواب معادله ديفرانسيل مي باشد
21ln ln(1 2 ) ln4
x v c+ + =
12 244
24
2
ln (1 2 ) ln (1 2 )
2(1 )
x v c x v c
yx cx
+ = ⇒ + = ⇒
+ =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٢
مطلوبست حل معادله ديفرانسيل زير؟: تمرين
2 2
( )1)4
2)
dy x ydx x y
x y ydydx x
− −=
−
− +=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٣
:معادالت با ضرايب خطي
معادالت به صورت
. معادالت با ضرايب خطي گويند
: حل معادالت با ضرايب خطي
متقاطع باشند با تغيير (h,k)اگر دو خط در نقطه : حالت اول معادله به معادله همگن تبديل y=Y+k و x= X+hمتغير . ميشود
اگر اين دو خط موازي باشند با تغيير متغير : حالت دوم
a1x + b1y=z معادله به معادله جداشدني تبديل مي شود
0)()( 222111 =+++++ dycybxadxcybxa
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٤
:مطلوبست حل معادالت ذير
0)()122()20)()1()1=++−+
=−+−+dyyxdxyx
dyyxdxyx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٥
دسته منحني هاي متعامد دسته منحني ها وه اول سيل مرتب مالحظه شد که جواب عمومي هر معادله ديفران
وقتي . معموال شامل يک ثابت اختياري موسوم به پارامتر است سبت داده مي شود، يک دسته ارامتر ن ن پ مقادير مختلفي به ايا يک جواب ي ه ن منحن د هر يک از اي منحني به دست مي آي
سيل مفروض است و ه ديفران م خصوصي معادل ا ه ا ب ه آنه همبنابراين معادله. جواب عمومي آن را تشکيل مي دهند
ارامتر راي پ ف ب ادير مختل ه ازاي مق ي cب ته منحن ک دس ي),,(0 .باشد مي =cyxf
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٦
ر د ب ي هاي متعام ي حال مي خواهيم دسته منحن يک دسته منحنروض را ه مف م ک ت آوري سيل بدس ه ديفران تفاده از معادل بااس
د ي باش سيل م ه ديفران اربردي از معادل دادي . ک ال تع وان مث بعن:در زير رسم مي کنيم دسته منحني را
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٧ [email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٨
اال حال با توجه به مطالب وان و ب ر مي ت د زي تفاده از رون ا اس ب:دسته منحني هاي متعامد بريک دسته منحني ها را پيدا کرد
0),,(01,,1
=⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
−⎯⎯ →⎯ ′−=′
cyxgy
yxfyy
( ) 0,,0),,( =′⇒= yyxfcyxfمعادله دسته منحني ها معادله ديفرانسيل دسته منحني ها
معادله ديفرانسيل دسته معادله منحني هاي متعامد دسته
منحني هاي متعامد
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٣٩
ه :مثال ر ب دسته منحني هاي متعامد بردسته منحني هاي دوايم ي آوري ت م واه رابدس عاع دلخ دا وش ز مب : مرک
⇒=⇒=←دسته منحني هاي متعامد
+=⇒=⇒=
=′⇒′
=⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
−+⎯⎯ →⎯
=′+⇒=′+⇒=+
∫ ∫
′−→′
cxycxy
cxyx
dxy
dyydxdyx
yyxyyx
yyx
yyxyyxcyx
yy
lnln
lnlnln
01
00221
222
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٠
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤١
ي هاي داده شده را برحسب ه دسته منحن اغلب مناسب است ک
تفاده ن موضوع اس مختصات قطبي بيان کنيم دراين حالت از اي
ين شعاع حامل و مي کنيم که اگر ه ب خط مماس باشد زاوي
تفاده بحث ). رياضي عمومي ( آن گاه با اس
راي د باال ب ي هاي متعام افتن دسته منحن سيل درمعادي ه ديفران ل
منفي عکس آن داده شده به جاي عبارت دسته منحني
.را جايگذاري مي کنيم يعني
ϕ
drrdθϕ =tan
drrdθ
θrddr
−
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٢
دسته منحني هاي متعامد بردسته منحني هاي: مثال
ا . را درمختصات قطبي بدست مي آوريم ي ه ه دسته منحن معادل:در مختصات قطبي عبارت است از
: بنابراين
:داريم cجايگذاري مقدار که با
cxyx 222 =+
θcos2cr =θ
θsin2c
ddr
−=
θθθθ
θθ sincossin
cos=−⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−
drrdr
ddr
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٣
: داريم جايبه که با جايگذاري
. معادله دسته منحني هاي متعامد مي باشد
drrdθ
θrddr
−
cos cossin sin
ln ln sin ln 2 ln ln 2 sin
2 sin
dr dr drd rr c r c
r c
θ θ θθ θ θ
θ θ
θ
− = − ⇒ =
= + ⇒ = ⇒
= ←
∫ ∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٤
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٥
معادله ديفرانسيل کامل رياضيات عمومي با ديفرانسيل توابع دو متغيره در
ا آشنا شديم و ه ب ابع را ک سيل کامل ت ه ديفران مالحظه کرديم ک عبارت است از،ان مي دهيم نشdf نماد
صورت و ه اول ب ه اول درج سيل مرتب ه ديفران ين معادل همچن.مي باشد کلي
),( yxfz =
dyyfdx
xfdf
∂∂
+∂∂
=
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٦
معادله ديفرانسيل:تعريف
ناميم هر گاه تابع دو متغيرهمعادله کاملرا
وموجود باشد بطوري که
سيل داده شده ه ديفران ين اينکه معادل اال تعي ه تعريف ب با توجه بره ع دو متغي ام تواب د تم را باي ت زي شکل اس د، م ي باش ل م کام
يم و ستجو کن ابع داراي راج دام ت ب ک ه بترتي يم ک ه کن مالحظع y و x مشتقات جزيي نسبت به ا تواب برابر ب
.دمي باشو
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
),( yxfz =
( )yxMxf ,=∂∂( )yxN
yf ,=∂∂
( )yxMM ,=( )yxNN ,=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٧
ذي ار امکان پ ن ک م اگر اي ل ر ه ين دلي ه هم باشد، مشکل است بابعي را M ،N شرايطي روي بدست مي آوريم که وجود چنين تبا مشتق گيري جزيي از طرفين رابطه هاي . تضمين کند
: داريم y و x نسبت بهبا مشتق گيري
:با توجه به اينکه براي توابع پيوسته داريم
: بنابراين
( )yxMxf ,=∂∂( )yxN
yf ,=∂∂
yM
xf
yxN
yf
x ∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂ ,
xyf
yxf
∂∂∂
=∂∂
∂ 22
xN
yM
∂∂
=∂∂
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٨
معادله ديفرانسيل شرط کامل بودنبنابراين
: عبارت است از
.)مرحله شناخت(
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
xN
yM
∂∂
=∂∂
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٤٩
.را بررسي نماييدمعادالت ديفرانسيل زير کامل بودن : مثال
پس کامل ميباشد
)ب
پس کامل ميباشد
( ) ( ) 032 2 =+++ dyyxdxyx
⎯⎯←=∂∂
==∂∂ 11
xN
yM
( ) ( ) 0332 2223 =++++ dyxyyxdxyxy
1616 22 +=∂∂
=+=∂∂ xy
xNxy
yM
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٠
:حل معادله ديفرانسيل کامل فرض کنيم که معادله ديفرانسيل
کامل باشد بنابر تعريف معادله ديفرانسيل کامل، تابعي مانند :موجود است که
پس بنابر تساوي هاي باال نتيجه مي شود
.جواب معادله ديفرانسيل مي باشد ويا
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
),( yxfz =( )yxM
xf ,=∂∂( )yxN
yf ,=∂∂
0=df
cf =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥١
د f تنها معلومات، مشتقات جزيي تفاده از رون مي باشد که با اس.زير مي توان آنرا محاسبه کرد
تفاده از رابطه دوم ا اس اه ب دار آن گ بدست مق
ميباشد که همان مي آيد که با انتگرال گيري از آن مجهوله f محاسبه مي شود در نتيجه د ک جواب بدست مي آي
.معادله ديفرانسيل است
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )ydxyxmyy
f
ydxyxMfyxMxf
yxNyf
yx
ϕ
ϕ
′+∂∂
=∂∂
→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎯→⎯+=⎯→⎯∫=∂∂
=∂∂
∫
∫ ∂∂
,
,,
,
( )yxNyf ,=∂∂( )yϕ′
cf =( )yϕ
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٢
مالحظه شد که معادله :مثال
: کامل مي باشد پس
. جواب معادله ديفرانسيل است
( ) ( )
( ) ( )
( ) cyyxxyyxxfyy
yyyxyxyxyf
yxyfyyxxfyx
xf
df
yx
=++⎯⎯→⎯++=⇒=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′⇒+=′+⇒+=∂∂
′+=∂∂
⎯→⎯++=⎯→⎯∫+=∂∂
=
∂∂
320323
222
2
333
2
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
( ) ( ) 032 2 =+++ dyyxdxyx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٣
عامل انتگرال سازکامل نمي باشد زيرامعادله ديفرانسيل
:ضرب کنيم داريمولي اگر طرفين معادله باال را در
واين معادله ديفرانسيل جديد کامل مي باشد زيرا
.و مي توان به روش کامل معادله ديفرانسيل جديد را حل کرد
( ) 02 =+− dyxxydx
1,12 =∂∂
−−=∂∂
yMx
xN
2
1x
u =
0112 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− dy
xdx
xy
22
1,1xy
Mxx
N=
∂∂
=∂∂
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٤
ي باضرب سيل کامل نباشد ول ه ديفران بنابراين ممکن است معادل
را عاملي کردن ه آن ابع ک ه عامل انتگرال ساز درت ديل ب وييم تب گ
رد ل ک ونگي . کام از وچگ رال س ل انتگ ود عام رط وج ون ش اکن
.محاسبه آن را بيان مي کنيم
کامل نباشد يعنيفرض کنيم که معادله
ق تعريف وداراي عامل انتگرال ساز اه طب باشد، آنگ
.مي باشدکامل عامل انتگرال ساز معادله جديد
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
xN
yM
∂∂
≠∂∂
),( yxuu =
0=+ uNdyuMdx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٥
با توجه به شرط کامل بودن داريم
به ه محاس ل تحت u ک ين دلي ه هم ست ب ه ممکن ني ن معادل از اي.شرايط خاصي عامل انتگرال ساز را بررسي مي کنيم
xuN
xNu
yuM
yMu
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٦
ابعي از ) لفا ط ت ه عامل انتگرال ساز فق يم ک xفرض مي کن، آن گاه باشد يعني
:که با جايگذاري داريم
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∫=→⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=
⇒∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
dxxpeu
xN
yM
Nxp
xuN
xNu
yuM
yMu
1
)(xuu =, 0u du u
x dx y∂ ∂
= =∂ ∂
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٧
ابعي از ) ب ط ت از فق رال س ل انتگ ه عام يم ک ي کن رض م y فنگاه ، آ باشد يعني
:که با جايگذاري داريم
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∫=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−=
⇒∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
dyyqeu
xN
yM
Myq
xuN
xNu
yuM
yMu
1
)(yuu =, 0u du u
y dy x∂ ∂
= =∂ ∂
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٨
ال ه :مث راي معادل عامل انتگرال سازي ب.را پيدا مي کنيم
ابتدا مقدار مشترک محاسبه مي کنيم :حل
: داريم مقدار به دست آمده M–ر که با تقسيم ب
.عامل انتگرال ساز مي باشدس پ
( ) 01 2 =++ dyxdxxy
xxxxN
yM
−=−=∂∂
−∂∂ 2
( ) ( )1 1 1M Nq y xM y x xy y
⎛ ⎞∂ ∂= − = − =⎜ ⎟− ∂ ∂ −⎝ ⎠
yeeu ydy
y ==∫
= ln1
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٥٩
ذکر را :ت ل انتگ ل داراي عام ر کام سيل غي ه ديفران اهي معادل ل گ
ه درآن ت سازي بصور m ،n است، ک
.ثابتهاي مناسبي هستند
ه صورت افتن عامل انتگرال سازي ب راي ي ب
يم ه را درآن ضرب مي کن ودن کامل واز شرط طرفين معادل ب
.استفاده مي کنيم
( ), n mu x y x y=
( ), n mu x y x y=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٠
روش دسته بندي يا کوتاه:تذکره يکي سيل را ب گاهي با جستجو کردن مي توان معادله ديفران
:از حاالت زير دسته بندي کرد
ادالت ري از طرفين مع ا انتگرال گي که به سادگي مي توان ب .جواب آنها را بدست آورد
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )yxvdyxud
dyyNyxudyxvddxxM
dyyNdxxM
,,,
,
==
==
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦١
: يادآوري
2
12 2
2
1
22
2 2
2
2
2) ( )
5)
3) ( )
6) (tan ( )
1) ( )
4) (tan )
7) (ln( )) 2
(ln )
)1
x ydx xdydy y
x ydx xdydy
y ydx xdydx x
ydx xdy
d xy ydx xdy
y ydx xdydx x y
xdx yd
d xyx y
x
yd x yx y
y
−
−
− +→ =
+→ =
+
−→
→ = +
− +→ =
+
++
→ =
→ =+
=
−
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٢
ا معادله ديفرانسيل :مثال روش دسته را ب.بندي حل مي کنيم
:حل
( ) 02 =−+ xdydxyy
( )
xcxycx
yx
dxyxddx
yxdyydx
dxyxdyydxxdydxyy
−=⇒+−=
⎯→⎯∫−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒−=
−
⇒−=−⇒=−+
2
22 0
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٣
:تمرين
ع -١ ر از منب ه اگ د ک ت بياوري ه دس ري را ب ه مقع کل آين شوازي محور انيم م ه آن بتاب وري ب وراني ن نعکس xن ا م ه
.شود
رض -٢ ه ع تخري ب ريم ١٠ اس ر ميگي ر در نظ سري در . مت په طرف ايقي را از آن سمت استخر ب يک طرف استخر قايق در شيدن ق ين ک سر ح ن پ ر اي ال اگ شد ح ي ک ود م خدود وم ب ا سرعتي معل عرض استخر در طول استخر نيز ب
. ثانيهtمطلوبست مسير قايق بعد از
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٤
مطلوبست حل معادالت زير؟: تمرين2
2
22
2
2 2 3
2 2
1) ( ) 0
2)2
3) ( ) 0
4) 0
5) (1 ) 06) ( ) 3 2 07) (4 9 )(4 9 )
y
y
y dx x y dydy edx xe yy y dx x dyydx xdy y dy
yxy dx x dyx xy y xy y
x dy y dx x y x dx ydy
+ + =
=−+
+ − =−
+ =
+ + =
′+ − + =
− = + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٥
معادله ديفرانسيل مرتبه اول خطي
ه اول بصورت ه مرتب ه معادل مالحظه شد ک
ه ميباشد که اگر توان هاي را معادل ا يک باشد آن ر ب براب
اميم ه خط در (مرتبه اول خطي ن ز يمعادل وان ني ت
x و y وان يکي از ولي ابرابر با يک مي باشد ا گر ت ر آنه ه غي ب
ي مي باشد ه منحن ه ) يک باشد آن گاه معادل ه مرتب ابراين معادل بن
زير مي باشداول خطي به صورت
( ) 0,, =′yyxf
yy ,′
cbyax =+
( )xfyxfyxf 321 )()( =+′
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٦
ر سيم طرفين ب ا تق ي f1 ب ه اول خطي بصورت کل ه مرتب معادل) مرحله شناخت ( زير در مي آيد است
: معادالت زير مرتبه اول خطي هستندبراي مثال
( ) ( )xqyxpy =+′
2
2)3
1)2
1)1 3
x
x
exyy
eyx
y
xyx
y
=−′
=+′
=+′
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٧
رفين براي حل معادله ديفرانسيل ط
ه را در ن معادل از اي رال س ل انتگ ضرب عام
ه ه مي کنيم که با ضرب اين عامل در معادل جواب عمومي معادل
. به شکل زير در مي آيدمرتبه اول خطي
( ) ( )xqyxpy =+′
( )dxxpeu ∫=
( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +∫∫∫=
−cdxxqeey
dxxpdxxp.
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٨
. را حل مي کنيم معادله مرتبه اول خطي:مثال
. استجواب معادله ديفرانسيل
31 xyx
y =+′
( ) ( )
xcxycxxy
cdxxxeycdxxeey
cdxxeey
xxpxxq
xxx
dxx
dxx
+=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⇒+=⇒+∫=
⇒+∫∫∫=
==
−
−
−
∫−
451
3ln3.lnln
311
3
51
51
].[].[
.[
1
1
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٦٩
حالت خاصي از معادالت مرتبه اول خطي به صورت
ا يک مي باشد x و مي باشد که توان هاي . برابر ب xتوجه به روش حل معادله مرتبه اول خطي با تعويض نقش با وبالعکس نتيجه مي شود که y با
( ) ( )yqxypdydx
=+
dydxx =′
( ) ( ) ( ) ].[ cdyyqeexdyypdyyp
+∫∫∫=−
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٠
مي شود حالت خاصي از معادالت مرتبه اول که تبديل به خطي
ه صورت ه ازاي ب ه ب مي باشد ک
معادله جدا شدني است ،معادله مرتبه اول خطي است
ه ازاي ده مي شود وب ولي نامي ه برن ه . ، معادل معادل
ر ر متغي ا تغيي وان ب ولي را مي ت حل ديفرانسيل برن
. داراي جواب استوکرد
nyxqyxpy )()( =+′0=n
1=n
1,0≠n
nyz −= 1
cdxxqneeyzdxxpndxxpnn +−∫∫== ∫
−−−− )()1.([)()1()()1(1
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧١
. را حل مي کنيم معادله: مثال431 yxy
xy =+′
3
1 1( 3) ( 3)3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 4 3
1( ) ( ) 4 1 3
[ .( 3) ]
[ .( 3 ) ]
[ 3 ]
( 3 )3
dx dxx x
q x x p x n nx
y e e x dx c
y x x x dx c
y x dx c
y x x cy x cx
− − −−
− −
−
−
−
= = = − = −
∫ ∫= − + ⇒
= − + ⇒
= − + ⇒
= − + ⇒
= − +
∫∫∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٢
(Clairaut)کلرومعادله ديفرانسيل
سيل ه ديفران ورت معادل ه ص ام ب ه ن بمي شود بسادگي مالحظه . معروف است(Clairaut)کلرو
اال ه ب وابي از معادل د ج ي باش م ،م ري داري شتق گي ا م به ذاري در ک ا جايگ ه ب واب نتيج ودج ي ش م
ه انک ت هم رو اس ه کل ا . معادل رو ب ه کل واب معادل ابراين ج بن.دست مي آيد بب جايگذاري
)(yfyxy ′+′=
)(cfcxy +=cy =′
)(yfyxy ′+′=
cy =′
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٣
. را حل کنيد معادله:مثال
.استمعادله داراي جواب با جايگذاري: حل
2)( yyxy ′+′=
cy =′
2ccxy +=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٤
ريکاتيمعادله ديفرانسيل
ه اول اتي مرتب سيل ريک ه ديفران ه (Riccati)ريکاتيمعادل با شرط مي باشد صورت ب
د جوابي خاص از ب اال باي ه ب راي پيدا کردن جواب عمومي معادلاال اگر .آن معلوم باشد يک جواب خاص از معادله ب
د ذاري. باش ه را و جايگ معادلبه معادله ديفرانسيل
.تبديل مي کند است، مرتبه اول خطي که
2)()()( yxhyxgxfy ++=′0)( ≠xh
)(1 xyy =
uyy 1
1 +=21 uuyy′
−′=′
)(])(2)([ 1 xhuyxhxgu −=++′
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٥
) با( معادله : مثال: کنيم را حل مي
23 12 yx
yx
xy −+=′21 xy −=
⇒+=
=+=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
=++′⇒=−−++′
−===
∫ ++− ]1[
1)(22)(
1)22(1)]).(1(22[
1)(2)()(
22 ln2)ln2(
2
3
cdxx
eeu
xxqx
xxp
xux
xu
xux
xxu
xxh
xxgxxf
xxxx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٦
2 2
2 2
2 2
2 2
22
2 2
2
2
(2ln ) 2ln
2ln 2ln
2 2
2
2 22 2 2
2
1[ ]
1[ . ]
1[ . ]
[ ]
1 1 22 2 2
22
x x x x
x x x x
x x
x x
xx
x x
x
x
u e e dx cx
u e e e e dx cx
u x e x e dx cx
u x e xe dx c
c e cu x cx ex x e x e
x ey xe c
− + +
− −
− −
− −
− − −
= +
= +
= +
= +
+= + = + =
= − ++
∫
∫
∫
∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٧
مطلوبست حل معادالت زير؟: تمرين2
3
2
1) 2
2) 0
3) ( )
xy xy exy xy yy
y y x y
′ − =
′ + = ≠
′ ′= +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٨
معادالت ديفرانسيل : فصل دوم
مرتبه دوم و باالتر
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٧٩
معادله ديفرانسيل مرتبه دوم ه ه دوم دراين فصل معادل را در مرتب
.حاالت خاص بررسي مي کنيم
به صورت :x مرتبه دوم فاقدمعادله و مثال . مي باشد
به صورت :y مرتبه دوم فاقدمعادله .مي باشد و مثال
0),,,( =′′′ yyyxf
( , , ) 0f y y y′ ′′ =2( ) 0yy y y y′′ ′ ′′= + =
0),,( =′′′ yyxf23xy y xy y x′′ ′ ′′ ′= − =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٠
حل معادلهه با تغيير متغير ه مرتب ه معادل ه را ب وان معادل مي ت
اول تبديل کرد که اگر معادله بدست آمده يکي از معادالت مرتبه .مي توان آنرا حل کرد اول باشد که قبال بحث شده است
:زيرا
.که معادله مرتبه اول مي باشد
( , , ) 0f x y y′ ′′ =py =′
dpy p ydx
′ ′′= ⇒ =
( , , ) 0 ( , , ) 0dpf x y y f x pdx
′ ′′ = ⇒ =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨١
حل معادلهمي توان معادله را به معادله مرتبه با تغيير متغير
اول تبديل کرد که اگر معادله بدست آمده يکي از معادالت .مي توان آنرا حل کرد مرتبه اول باشد که قبال بحث شده است
زيرا
متغير وابسته p متغير مستقل و y معادله مرتبه اول با فرض .مي باشد
py =′
( , , ) 0 ( , , ) 0
dp dp dy dpy p y pdx dy dx dy
dpf y y y f y p pdy
′ ′′= ⇒ = = =
′ ′′ = ⇒ =
( , , ) 0f y y y′ ′′ =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٢
زير؟جواب عمومي معادله ديفرانسيل مطلوبست : مثال
1 1 1
21 1 1 2
ln ln ln ln ln12
dpy p ydx
dp dp dx dp dxx pdx p x p xp x c p c x p c x
dy c x dy c xdx y c x cdx
xy y
′ ′′= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = ⇒ = ⇒
= ⇒ = ⇒ = +
′′ ′=
∫ ∫
∫ ∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٣
زير؟جواب عمومي معادله ديفرانسيل مطلوبست : مثال
1 2 1 2 1
2
1 1
1 1 1 2
2
ln ln ln
ln
.
( )
c x c c x c c x
dp dp dy dpy p y pdx dy dx dy
dpyp p ydp pdydy
dp dy p y c p c yp y
dy dyc y c dx y c x cdx yy e e e y ce
yy y
+
′ ′′= ⇒ = = =
= ⇒ =
⇒ = ⇒ = + ⇒ =
⇒ = ⇒ = ⇒ = +
⇒ = = ⇒ =
=′′ ′
∫ ∫
∫ ∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٤
ع هر :تذکر درحل اين نوع معادالت ديفرانسيل مرتبه دوم، درواقا را معادله مرتبه دوم را به دو معادله مرتبه اول تبديل کرده وآنه
.حل مي کنيم
مطلوبست حل معادالت زير؟:تمرين
1) 02)
y yy y x′′ + =′′ ′+ =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٥
مرتبه دوم خطي ديفرانسيل معادله بصورت کلي
و نرا مرتبه دوم خطي همگن ناميم آ f4(x)=0مي باشد که اگر
نمايش ygجواب آن را جواب عمومي معادله ناميده و با
جواب معادله فوق را جواب f4(x)≠0در حالتيكه . مي دهيم
جواب آلي معادله فوق . نمايش مي دهيم ypخصوصي ناميده و با
مجموع اين دو جواب مي باشد يعني
)()()()( 4321 xfyxfyxfyxf =+′+′′
g py y y= +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٦
ر ا f3 و f1 ،f2اگ ادير آنه ر مق ارت ديگ ند بعب ت باش ع ثاب تواباعداد ثابت باشند آن گاه معادله بصورت
مي باشد که مي توان آنرا بصورت ساده
ا ضرايب ثابت مالحظه کرد که آنرا ، مرتبه دوم خطي همگن ب)مرحله شناخت. ( با ضرايب ثابت ناميم يا اختصارًا
0321 =+′+′′ yayaya
0y ay by′′ ′+ + =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٧
مرتبه دوم خطي همگن با ضرايب ثابت حل معادله
داريم با تعريف نماد
: داريممعادله با جايگذاري در
)يا مفسر (معادله کمکيرا معادله آن را حل مي آنيم سه . يم آه يك معادله درجه دوم مي باشد نام
:حالت رخ مي دهد
dxdD =
2, ( )dy d dyy Dy y D ydx dx dx
′ ′′= = = =
20 ( ) 0y ay by D aD b y′′ ′+ + = ⇒ + + =2( 0)D aD b+ + =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٨
آنگاه باشد) m2 و m1(متمايز حقيقي داراي دو ريشه معادله مفسر ) الف: جواب عمومي معادله ديفرانسيل به صورت زير خواهد بود
آنگاه جواب عمومي معادله باشد ) m(مضاعف حقيقي داراي ريشه ) ب: ديفرانسيل به صورت زير خواهد بود
آنگاه باشد )m1,m2=a±ib( متمايز به صورت ريشه مختلط دو داراي ) ج: جواب عمومي معادله ديفرانسيل به صورت زير خواهد بود
1 21 2
m x m xgy c e c e= +
1 2mx mx
gy c e c xe= +
1 2( cos sin )axgy e c bx c bx= +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٨٩
: مطلوبست حل معادالت زير : مثال
2 2 31 2
2 2 21 2
2
12
1 2
1) 5 6 05 6 0 2,3
2) 4 4 04 4 0 2
3) 0
1 31 02 2
3 3( cos sin )2 2
x xg
x xg
x
g
y y yD D D y c e c e
y y yD D D y c e c xe
y y y
D D D i
y e c x c x
′′ ′− + = ⇒
− + = ⇒ = ⇒ = +
′′ ′− + = ⇒
− + = ⇒ = ⇒ = +
′′ ′− + = ⇒
− + = ⇒ = ± ⇒
= +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٠
نيرونسک g(x)و f(x) براي هر دو تابع :تعريف
(Wronskian) توابع f و g را به صورت زير نمايش و
.تعريف مي آنيم
ن متحد با صفر است اگر وفقط اگر دو يثابت مي شود که رونسک
اند تر دو تابع، وابسته خطي بعبارت ساده. ندشابتابع وابسته خطي
هر گاه يکي مضرب ديگري باشد، درغير اين صورت آنها را
. مستقل خطي مي ناميم
( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )f x g x
w f g f x g x g x f xf x g x
′ ′= = −′ ′
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩١
معادله ديفرانسيل مرتبه دوم خطي غير همگن حل ر ت غي ا ضرايب ثاب ه دوم خطي ب ه مرتب ه معادل د ک ه ش مالحظ
راي مي باشد همگن بصورت ه ب آد جواب عمومي آن را در حالت يم باي ه گفت ان طور آ حل آن همر ت غي راي حال واب خصوصي ب ك ج پس ي رده س دا آ ن پي همگهمگن آن بدست آوريم جواب آلي معادله عبارتست از مجموع دو
:جواب عمومي و خصوصي
ه صوصيهدف از اين قسمت درس پيدا کردن جواب خ پس معادل:ن غير همگ
)(xfbyyay =+′+′′
g py y y= +
)(xfbyyay =+′+′′
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٢
: روش تغيير پارامترفرض آنيم جواب عمومي معادله همگن به
صورت باشد آنگاه جواب خصوصي معادله به
: شود صورت زير محاسبه مي
0=+′+′′ byyay
)(xfbyyay =+′+′′
1 1 2 2( ) ( ) ( )gy x c y x c y x= +
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 11 2
1 2 1 2
( ) ( )
0( )
( ) ( ),( , ) ( , )
py v x y v x y
v y v yv y v y f x
y f x y f xv dx v dxw y y w y y
= +
′ ′+ =⎧⎨ ′ ′ ′ ′+ =⎩
−= =∫ ∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٣
:مطلوبست حل معادله زير
12 2 31 2
1
1 1 2 2
2 31 1 2 2 1 2
2 31 1 2 2 1 2
21 2
2 2 3
5 6 3
25 6 0 5 6 0
3
0 0( ) (2 ) (3 ) 3
33 ,2
33 . . 32
x
x xg
p
x x
x x x
x x
x x x xp
y y y e
Dy y y D D y c e c e
D
y v y v y
v y v y v e v ev y v y f x v e v e e
v e v e
y e e e e
− −
− −
′′ ′− + =
⎧ =⎧⎪ ′′ ′− + = ⇒ − + = ⇒ ⇒ = +⎨ ⎨ =⎪ ⎩⎩= +
′ ′ ′ ′⎧+ = + =⎧ ⎪⇒⎨ ⎨′ ′ ′ ′+ = ′ ′+ =⎪⎩ ⎩−
= =
= − =
2 31 2
3 32 2
32
x x x
x x xg p
e e e
y y y c e c e e
− =
= + = + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٤
2
2 21 2 1 2
211 2
221 2
2
21 2
( 3 2)( 1)( 2)
0
2
(1 )
(1 )
x
x
x x x xg p
x x
xx x x
x x x xp
x x xp g
D D y eD D y e
y c e c e y v e v e
v xv e v ev ev e v e e
y xe e e x e
y y y c e c e x e
−
−
− + =
− − =
= + ⇒ = +
= −′ ′⎧ + = ⎧⎪ ⎪⇒⎨ ⎨= −′ ′+ = ⎪⎪ ⎩⎩
= − − = − +
= + = + − +
مطلوبست حل معادله زير؟ :مثال
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٥
: مطلوبست حل معادالت زير :تمرين1) 5 6 12) 5 63) 64) 3 2 sin( )
x
x
y y y xy y yy y y ey y y e
−
−
′′ ′− + = +′′ ′− +
′′ ′− − =
′′ ′− + =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٦
خطي همگن با ضرايب ثابت امnمرتبه حل معادله
:معادله مفسر را آه در معادله مرتبه دوم داشتيم تعميم مي دهيم
با توجه به ريشه هاي معادله مفسر، جواب عمومي برابر است با
:عبارت هاي زير
( ) ( 1)1 1
11 1
11 1
1 2 3
... 0
( ... ) 0
( ... ) 0
( )( )( )...( ) 0
n nn n
n nn n
n nn n
n
y a y a y a y
D a D a D a y
D a D a D a
D m D m D m D m
−−
−−
−−
′+ + + + = ⇒
+ + + + = ⇒
+ + + + =
− − − − =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٧
خطي همگن با ضرايب ثابت امnمرتبه حل معادله يك عبارت به صورت mk به ازاي هر ريشه حقيقي مانند -١
. به جواب عمومي اضافه مي شود يك عبارت r از مرتبه mk به ازاي هر ريشه حقيقي تكراري -٢
به صورت
. به جواب عمومي اضافه مي شود
km xkc e
11 2 ...k k km x m x m xr
rc e c xe c x e−+ + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٨
خطي همگن با ضرايب ثابت امnمرتبه حل معادله يك عبارت به صورت a±ib با ازاي هر جفت ريشه مختلط -٣
. شود به جواب عمومي اضافه مي ام r از مرتبه a±ib با ازاي هر جفت ريشه مختلط تكراري -۴
يك عبارت به صورت
. به جواب عمومي اضافه مي شود
1 2 3 41
2 1 2
( cos sin ) ( cos sin ) ...
( cos sin )
ax ax
r axr r
e c bx c bx xe c bx c bx
x e c bx c bx−−
+ + + + +
+
1 2( cos sin )axe c bx c bx+
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٩٩
مطلوبست حل معادله زير؟ : مثال
هاي حقيقي ريشه
ريشه تكراري از مرتبه دوم
( )( )21 2 0
0,1
2
D D D y
D
D
− − = ⇒
= ⎯⎯→
= ⎯⎯→
0 2 21 2 3 4
2 21 2 3 4
x x x xg
x x x
y c e c e c e c xe
c c e c e c xe
= + + + =
+ + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٠
مطلوبست حل معادالت زير؟ : تمرين
( )( )( )( )
( )( )
2
3 2
2
2 2 2
2 2
1) ( 1) 2 2 0
2) ( 2) 1 3 0
3) ( 3 3 1) 04) ( 2) 2 0
5) ( 9) 4 0
6) ( 2 5) 0
D D D y
D D D y
D D D yD D y
D D y
D D y
− − + =
− + + =
− + − =
− + =
+ − =
− + =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠١
همگن با ضرايب ثابت غير خطي امnمرتبه حل معادله
اين معادله به صورت زير مي باشد
تعميم نيز معادالت اين را مي توان براي پارامترروش تغيير
: داد، يعني اگر
باشد آن گاه با فرض مربوطه جواب عمومي معادله همگن
1 1 2 2 ...g n ny c u c u c u= + + +
1 1 2 2 ...p n ny v u v u v u= + + +
( ) ( 1)1 1... ( )n n
n ny a y a y a y f x−− ′+ + + + =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٢
1 1 2 2
1 1 2 2
( 2) ( 2) ( 2)1 1 2 2
( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2
... 0
... 0
... 0
... ( )
n n
n n
n n nn n
n n nn n
v u v u v uv u v u v u
v u v u v u
v u v u v u f x
− − −
− − −
⎧ ′ ′ ′+ + + =⎪′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + =⎪
⎪⎨⎪ ′ ′ ′+ + + =⎪⎪ ′ ′ ′+ + + =⎩
M
همگن با ضرايب ثابت غير خطي امnمرتبه حل معادله
توان جواب خاص مجهولي زير مي nمعادله n حل دستگاهو : معادله غير همگن را بدست آورد
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٣
3 2 2
2
2 2 21 2 3 1 2 3
21 2 3
21 2 3
2 21 2 3
( 3 4)( 1)( 2)( 1)
0
2 0
4
?
?
x
x
x x x x x xg p
x x x
x x x
x x x x
p
p g
D D y xeD D D y xe
y c e c e c xe y v e v e v e
v e v e v e
v e v e v e
v e v e v e xe
y
y y y
−
−
− − − −
− −
− −
− − −
+ − =
− + + =
= + + ⇒ = + +
′ ′ ′⎧ + + =⎪′ ′ ′− − =⎨
⎪ ′ ′ ′+ + =⎩=
= + =
مطلوبست حل معادله زير؟ :مثال
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٤
اويلر-معادله کشين ي همگ ه دوم خط ه مرتب معادل
.مي ناميماويلر-ثا بت اند معادله کشي اعداد b و a که درآن را
اويلر مي –مثال معادالت ديفرانسيل زير معادله هاي کشي براي
.باشند
) الف
) ب
02 =+′+′′ byyaxyx
0642 =+′−′′ yyxyx
02 =−′+′′ yyxyx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٥
اويلر–حل معادله کشي
ه دوم x=et اين معادله را با تغيير متغير مي توان به معادله مرتب :يب ثابت تبديل کرد زيراابا ضر
ا ضرايب خطي ه دوم همگن ب آه معادله حاصل يك معادله مرتب.است
2
2
2
2
2
( 1)
0
( ,
) 0
)
( 1) 0
&t t t t
x y axy bydt d tx e
D D y aDy b yd y dya b
dx e dt e e
yd
d
dt t
dx x− −
′′ ′+ + =
= = ⇒ = = −
− + + =
+ − + =
⇒
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٦
مطلوبست حل معادله زير :مثال
2
22
2
2 3 2ln 3ln 2 31 2 1 2 1 2
4 6 0
ln2
5 6 0 5 6 03
t
t t x xg
x y xy y
x e t xDd y dy y D D DDdt dt
y c e c e c e c e c x c x
′′ ′− + =
⎧ = ⇒ =⎪
=⎧⎨− + = ⇒ − + = ⇒ ⎨⎪ =⎩⎩
= + = + = +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٧
ذکر شي :ت سيل ک ادالت ديفران راي مع اال را ب ايج ب ر –نت اويل معادله کشي براي مثال براي . مرتبه باال نيز مي توان تعميم داد
:داريم اويلر مرتبه سوم –
: مثال
[ ]
3 2 0( 1)( 2) ( 1) 0
x y ax y bxy cyD D D aD D bD c y
′′′ ′′ ′+ + + =
− − + − + + =
[ ]
3 2
2 4 2 41 2 3 1 2 3
4 8 8 0
ln( 1)( 2) 4 ( 1) 8 8 0 1, 2, 4
t
t t t
x y x y xy y
x e t xD D D D D D y D
y c e c e c e c x c x c x− −
′′′ ′′ ′+ − + =
⎧ = ⇒ =⎪⎨
− − + − − + = ⇒ = −⎪⎩= + + = + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٨
بعد از اويلر غير همگن را نيز مي توان –معادله آشي :تذآرتغيير متغير مناسب تبديل به معادله با ضرايب غير همگن نمود
.پارامتر حل آردوآنرا به روش تغيير
مطلوبست حل معادله زير؟ : تمرينxexyyxyx 22 2−=−′+′′
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٠٩
)ضرايب نامعين(روش ضرايب ثابت
اگر ، مالحظه شد همگن معادله غيردر
f(x) تابعي نمايي باشد آن گاه ypديديم آه قبال . باشد نيز نمايي مي
اگر
از اين مطلب استفاده آرده وروشي را به نام روش ضرايب ثابت
. بيان مي آنيم f(x)حاالت خاص در
)(xfbyyay =+′+′′
3( ) 32
x xpf x e y e= ⇒ =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٠
ريشه a صورتي آه تابع نمايي باشد در f(x)=Aeax اگر) ١
است Beaxنيز بصورت تابع نمايي yp نباشد آنگاهمفسرمعادله
.آيدمي بدست B گيري وجايگذاري درمعادله مقدار آه با مشتق
ريشه a صورتي آه تابع نمايي باشد در f(x)=Aeax اگر) ٢
نيز بصورت yp باشد آنگاه ام rبا تكرار مرتبه مفسرمعادله
گيري وجايگذاري درمعادله است آه با مشتق Bxreaxتابع نمايي
.آيدمي بدست B مقدار
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١١
2مطلوبست حل معادله زير؟ :لمثا
2 2
2 21 2
2 2 22 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 4 34 4 0 ( 2) 0 2,2
2 2
2 4 4 4
2 8 4 4(2 2 )4 3
3 32 32 2
x
x xg
x xpx
p x x x xp
x x x x x
x x
x x xp
y y y eD D D Dy c e c xe
y Bxe Bx ey Bx e
y Be Bxe Bxe Bx e
Be Bxe Bx e Bxe Bx eBx e e
Be e B y x e
y c
′′ ′− + =
− + = ⇒ − = ⇒ =
= +
′⎧ = +⎪= ⇒ ⎨′′ = + + +⎪⎩
+ + − +
+ =
⇒ = ⇒ = ⇒ =
= 2 2 2 21 2
32
x x xe c xe x e+ +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٢
تابع چند جمله اي باشد آن اگر ) ٣
ولي . باشد اي مي گاه جواب خاص نيز تابعي چند جمله
اي است آه صفر درصورتي جواب همگن به صورت چند جمله
آنگاه بايد جواب ،باشد r ريشه معادله آمكي از مرتبه تكرار
يعني. ضرب آنيم xr خاص را در
.جواب خاص معادله غير همگن مي باشد
nn xAxAAxf +++= ...)( 10
0 1( ... )r np ny x B B x B x= + + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٣
مطلوبست حل معادله زير؟ :مثال : حل
پس يكبار ريشه معادله آمكي است صفر چون
2
2
0 11 2 1 2
20 1 2
1 0
2 1 2 1 0
2
2 3
2 31 2
10 ( 0,1)
( )
2 5 11 36 2 0 , 1,3 5
3 13 15 3
3 15 3
x x xg
p
p
x
y y xD D Dy c e c e c c e
y x B B x B x
B BB B B B B
B
y x x x
y c c e x x x
× ×
′′ ′− = +
− = ⇒ = →
= + = +
= + +
− =⎧−⎪ − = ⇒ = − = − =⎨
⎪− =⎩
= − − −
= + − − −
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٤
باشد جواب خاص اگر ) ۴
باشد و آسينوس مي نيز بصورت مثلثاتي سينوس و معادله
از مفسرريشه مختلط محض معادله D=±i درصورتي آه
xjبايد جواب خصوصي را در دراين حالت ام باشد rمرتبه
:يعني .ضرب نمود
xAxAxf αα cossin)( 21 +=
1 2( sin cos )jpy x B x B xα α= +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٥
مطلوبست حل معادله زير؟ :مثال : حل2 ريشه مختلط محض معادله آمكي نيست a=0 چون
1 2
0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
1 2
3sin1 0 1
sin cos
sin cos sin cos 3sin32 3 , 2 0 02
3 sin2
3 sin2
xg
p
p
x x
y y xD Dy c c e
y B x B x
B x B x B x B x x
B B B B
y x
y c x c e x−
′′ − =
− = ⇒ = ± →
= +
= +
− − − − =⎧⎪⎨− = ⇒ − − = ⇒ =⎪⎩
= −
= + −
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٦
اگر ،درمعادله غير همگن )۵
، yi(x)، هرگاه i=1, 2, …, n به ازاي هر باشد آنگاه يك جواب معادله غير همگن
معادله غير همگن، جوابي بصورت در آل، باشد، آنگاه
.دارد
)(...)()()( 21 xfxfxfxf n+++=
)(xfbyyay i=+′+′′
)(...)()( 21 xyxyxyy np +++=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٧
مطلوبست جواب خصوصي معادله زير؟ : المث
پس نيستند مفسرريشه معادله α=3 و α=0 چون
2 3
2
3 20 1 2 3
3 3 20 2 3
30 3
3 2 2 43 2 0 1, 2
73 2 2 32
9 2
x
xp
x xp p
xp
y y y x eD D D
y B e B B x B x
y B e B B x y e x x
y B e B
′′ ′− + = +
− + = ⇒ =
⎧ = + + +⎪⎪ ′ = + + ⇒ = + + +⎨⎪ ′′ = +⎪⎩
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٨
دستگاه معادالت ديفرانسيل: فصل سوم
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١١٩
دستگاه معادالت ديفرانسيل ك در اين فصل با توجه به آاربردهاي دستگاه معادالت ديفرانسيل در فيزي
و مكانيك و ديگر آاربردهاي آن به بررسي و مطالعه اين دستگاه ها مي .پردازيم مجموعه اي بيش از يك معادله ديفرانسيل همزمان را دستگاه :تعريف
.معادالت ديفرانسيل ناميم باشد ساده ترين دستگاه معادالت ديفرانسيل دستگاه دو معادله ديفرانسيل مي
:آه عبارت است از
.آه اين دستگاه قابل با اضافه تر شدن متغيرها قابل تعميم هست
2
2
2
2
( , , , ,..., ) 0
( , , , ,..., ) 0
n
n
m
m
dx d x d xf t xdt dt dtdy d y d yg t ydt dt dt
⎧=⎪⎪
⎨⎪ =⎪⎩
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٠
2 4 1 2
1 2
23
3 23
4
dx dy dxx y xt xdt dt dt
dx dy dyt yt xdt dt dt
dx xdx dtx y
dydt x tdy dty x
dzdt x y tdt
⎧ ⎧− + + = = −⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪− = − = +⎪ ⎪⎩ ⎩
⎧ =⎪⎧ ⎪= +⎪⎪ ⎪ = +⎨ ⎨⎪ ⎪= +⎪ ⎪⎩ = + +⎪⎩
:هايي از انواع دستگاه معادالت ديفرانسيل مثال
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢١
حل دستگاه معادالت ديفرانسيل به روش روش آلي براي حل دستگاه معادالت، روشي موسوم
. مي باشدD يا اپراتور يا عملگر
، آنگاه با در اين روش فرض مي آنيم آه
جايگذاري عملگر دستگاه را به روش حذفي گوس حل مي
.با يك مثال اين روش را توضيح مي دهيم . آنيم
Ddtd=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٢
مطلوبست حل دستگاه زير؟ :مثال
: و جمع طرفين دستگاه داريم D+4 ومعادله دوم در Dبا ضرب معادله اول در
2
2 2
2 4 1 2 4 1
11
(2 1) ( 4) 1
1
(2 1) ( 4) (1) ( 4)( 1)(2 4 ) 0 ( ) 4 (1
(3 3
) 4
) 4 3
d Ddt
dx dyx y Dx x Dy ydt dt
dx dy Dx Dy ttdt dt
D x D y
Dx Dy t
D D x D Dx D D tD D D D x D t t D
D D x t
=
⎧ − + + =⎪ − + + =⎧⎪ ⎪⎯⎯⎯→ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ − = −⎩⎪ − = −⎩
− + + =⎧⎪⎨⎪ − = −⎩
− + + = + + −
−
+ =
+ = + + − −
−
+
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٣
: مي باشد پس معادله باال معادله ديفرانسيل خطي مرتبه دوم با ضرايب ثابت غيرهمگن 2
1 2
1
21 1
1 1
2
2
2
1 2
3 3 0 3 ( 1) 0 0, 1
( )
2 2
3 3 4 3
2 76 6 3 4 3 ,3 3
2 73 3
2
(3 3
73
) 4 3
3
tg
p
p p p
p p
p
t
D D D D D
x c c e
x t A t A
x A t A t x A t A x A
x x t
A A t A t A A
x t t
x c c
D D x
t t
t
e
−
−
+ = ⇒ + = ⇒ = −
⎧ = +⎪⎨
= +⎪⎩′ ′′= + ⇒ = + ⇒ =
′′ ′+ = −
+ + = − ⇒ = = −
= −
= + + −
+ = −
o
o o o
o o o
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٤
2 2
22 2 3
21 2
22 3
1 1
4 7 1 413 3 3 3
1 4 1 4( )3 3 6 3
2 73 3
1 46 3
t t
t t
t
t
dx dy dy dxt tdt dt dt dtdy dyc e t t c e tdt dt
dy c e t dt y c e t t c
x c c e t t
y c e t t c
− −
− −
−
−
− = − ⇒ = − + ⇒
= − + − − + ⇒ = − + − ⇒
= − + − ⇒ = + − + ⇒
⎧ = + + −⎪⎪⎨⎪ = + − +⎪⎩
∫ ∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٥
براي حل دستگاه دو معادله ديفرانسيل D بعد از جايگذاري عملگر :تذآرتوان به جاي روش حذفي يا روش گوس از روابط زير استفاده نمود مي
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
f D x g D y h t
f D x g D y h t
h t g D h t f Dh t g D h t f D
x yf D g D f D g Df D g D f D g D
+ =⎧⎪⎨⎪ + =⎩
= =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٦
روش بيان شده يك روش آلي براي حل دستگاه معادالت
ديفرانسيل مي باشد ولي هميشه نياز به استفاده از اين روش
توان همانند حل دستگاه معادالت در رياضيات نيست و مي
عمومي، از روش هاي ابتكاري مختلف همانند جمع چند معادله
استفاده نمود براي اين . ..براي حذف پارمترها يا با جايگذاري و
.گردد منظور چند مثال ارائه مي
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٧
مطلوبست حل دستگاه زير؟ : مثال
چنانكه مالحظه مي شود معادله اول معادله جداشدني است
: و اين معادله نيز معادله مرتبه اول خطي است پس
2 2 2
2 2
21
:21 1
2
2
(2 1) (2 1)
ln
2 2
t t c t t c t t
EQ t t t t
dx xt xdtdy yt xdt
dx dxx t t dtdt x
x t t c x e e e x c edy dyyt c e ty c edt dt
− + − −
− −
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩
= − ⇒ = −
⇒ = − + ⇒ = = ⋅ ⇒ =
⎯⎯⎯→ = + ⇒ − =
∫ ∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٨
2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 21 2
1 2
1 2 1 2
1
1 2
tdt tdt t t
t t t t
t t t t
t t
t t t
y e e c e dt c
y e c e e dt c
y e c e dt c y e c e c
x c e
y c e c e
− − − −
− −
− −
−
−
⎡ ⎤∫ ∫= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ +⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⇒ = − + ⇒⎣ ⎦⎣ ⎦
⎧ =⎪⎨
= − +⎪⎩
∫
∫∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٢٩
: مطلوبست حل دستگاه زير :مثال
باشد با مشتق گيري از معادالت دستگاه دو معادله مرتبه اول خطي با ضرايب ثابت مي طي با ضرايب ثابت دستگاه و استفاده از معادله دوم دستگاه آنرا به معادله مرتبه دوم خ
.تبديل مي آنيم آه با حل آن قبًال آشنا شده ايم
2 2dif from EQ1 fromEQ2
2 2
2 2from EQ1
2 2
3
3
3 3 3
3 3( 3 ) 6 8 0
dx x ydtdy y xdt
d x dx dy d x dx y xdt dt dt dt dt
d x dx dx d x dxx x xdt dt dt dt dt
⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩
⎯⎯⎯⎯→ = + ⎯⎯⎯⎯→ = + + ⇒
⎯⎯⎯⎯→ = + − + ⇒ − + = ⇒
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٠
2
2 41 2
2 4 2 41 2 1 2
2 41 2
2 41 2
2 41 2
6 8 0 6 8 0 2, 4
3 2 4 3 3
t t
t t t t
t t
t t
t t
x x x D D Dx c e c e
dxy x c e c e c e c edt
y c e c e
x c e c e
y c e c e
′′ ′− + = ⇒ − + = ⇒ =
= +
= − = + − −
= − +
⎧ = +⎪⎨
= − +⎪⎩
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣١
همانطوري آه در دستگاه معمولي ممكن است دستگاه داراي :تذآرجواب منحصر بفرد و يا بي نهايت جواب و يا جواب نداشته باشند در
مثًال دستگاه . دستگاه معادالت ديفرانسيل نيز چنين مي باشد
.داراي بي نهايت جواب مي باشد
1 2
1 2
22
1 11
2
2 2 2
4 4 4
2& &...25
2 2
Dx Dx tDx Dx t
tx ctx ct tx c x c
− =⎧⎨ − =⎩
⎧⎧ = +⎪= +⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪= = − +⎩ ⎪⎩
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٢
مطلوبست حل دستگاه معادالت ديفرانسيل زير؟ :تمرين
2 2
2 2
26
1) 3 2 2)
4
2 43)
3 0
t
t
dx xdx dydt x e
dy dt dtx tdt d x d y dx dy x y tdz dt dt dt dtx y tdt
dx dy x y edt dt
dx x ydt
⎧ =⎪ ⎧ + + − =⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎨⎪ ⎪ + + − + + =⎪ ⎪⎩= + +⎪⎩
⎧ + − − =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٣
گالن از يك محلول ١٠٠ دو مخزن هرآدام حاوي :تمرين ١٠ آيلوگرم و در مخزن دوم ٢٠در مخزن اول . شيميايي است
آب با t=0در لحظه . آيلوگرم از اين ماده شيميايي موجود است گالن در دقيقه به مخزن اول وارد مي شود و پس از ٢آهنگ
گالن در دقيقه به ٢مخلوط شدن با ماده شيميايي، با آهنگ مخزن دوم وارد شده، در آنجا هم پس از مخلوط شدن با همان آهنگ خارج مي شود، مطلوبست مقدار ماده شيميايي در هر
؟tمخزن در لحظه
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٤
تبديالت الپالس : فصل چهارم
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٥
در اين فصل مالحظه خواهيم آرد چگونه با به آار بردن تبديل
الپالس در مورد يك معادله ديفرانسيل با شرايط اوليه، مي توان
آن را به مسئله ساده تري تبديل آرده بطوري آه با وارون تبديل
الپالس جواب مسئله ابتدائي بدست مي آيد و همچنين مالحظه
خواهد شد آه روش هاي تغيير پارامتر و ضرايب ثابت را در
مورد حل معادالت ديفرانسيل غير همگن آه تابع طرف دوم
ناپيوسته باشد نمي توان بكار برد آه در اين حالت مي توان از
.تبديل الپالس استفاده آرد[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٦
تبديل الپالسرابطه اي آه به هر تبديل مفهوم تعميم يافته تابع مي باشد، يعني
از جمله . ، يك تبديل ناميمتابع ، تابع ديگري را نسبت دهدتبديالت مشهور تبديل مشتق و انتگرال آه معموًال با نماد زير
.بترتيب نشان مي دهيم
تعريف شده باشد تبديل الپالس (∞ ,0] بربازfفرض آنيم تابع f شود را به صورت زير تعريف و نمايش داده مي :
1) ( ( )) ( )
2) ( ) ( )
D f x F x
f x dx F x c
′=
= +∫
[ ]: L ( ) ( ) ( )sxs R f x F s e f x dx∞
−∀ ∈ = = ∫o
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٧
مطلوبست تبديل الپالس تابع زير؟ :مثال
2
( ) 1
1(1) ( ) lim lim
1 1 1lim( ) 0
( )
( ) ( )
1 1 1 1
bbsx sx sx
b b
sb
b
bsx sx
b
sx b sx sx sx
b b
f x
L F s e dx e dx es
e e ss s s
f x x
L x F s e xdx im xe dx
im xe e dx im xe es s s s
∞− − −
→∞ →∞
−
→∞
∞− −
→∞
∞− − − −
→+∞ →+∞
=
⎡ ⎤= = = = − =⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + = ∀ >
=
= = ⋅ = =
⎡ ⎤ ⎡= − + = − −⎢ ⎥ ⎢⎣⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
∫
oo o
o
o o
o
o
l
l l
2 2 2
1 1 1 1 1 0
b
sb sb
bim be e xe e s
s s s s s− −
→+∞
⎤⎥⎦
⎡ ⎤= − − + + = ∀ >⎢ ⎥⎣ ⎦
o
ol
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٨
1
0
1 2
1
( )
( )
1 1 1( ) ( ) ( ) (1)
!( ) 0
n
n sxn sx n sx n
n n
nn
f x x
x e nL x e x dx e x dxs s
n n n n nL x L x Ls s s s s s
nL x ss
∞ ∞∞−− − −
− −
+
=
= ⋅ = − + ⋅
− −= = = = ⋅ ⇒
= ∀ >
∫ ∫o o
L L
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٣٩
1
2 2 2 2
2 2 2 2
1
! 1( ) ( )
(sin ) (sinh )
(cos ) (cosh )
sin 2sinh( ) ( ) ( ) ln( )
1 1( ) ln(1 )
n axn
t
nL x L es s a
a aL ax L axa s s a
s sL ax L axs a s a
kt k kt s kL tg Lt s t s k
eLt s
+
−
−
= =−
= =+ −
= =+ −
+= =
−
−= +
: تبديل الپالس انواع توابع مهم
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٠
خواص تبديل الپالسهر آدام با مثالي از اين خواص مي توان بسياري از تبديل الپالس توابع را پيدا آرد آه
]. گردد ارائه مي ] [ ] [ ][ ] [ ]2 2
2 5
1 1 2 2 1 1
2 6
2
1
2
2
cosh 3 2sin
1) ( ) ( ) ... (
4 cosh 3 2 sin 4 ...
5!cos , ( )( ) ( 2)
( si
) ( ) ...
2) ( ) ( )
3) ( ( )) ( 1) ( ( ))
n )
ax
nn n
n
x x
bx x
L c f x c f x c L f x c L f x
L e f x F s a
dL x f x L f xd
L x x e L x L x L e
s bL e ax L e xs b a s
L x x
s
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − = − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤ = =⎣ ⎦
+ + = + +
⎡ ⎤ = −⎣ ⎦
= −
− + +
= 2 2 2 2 2
2 2 22 2
2 2 2 2 3
1 2 2( )1 ( 1) ( 1)
1 6 2( sin ) ( 1) ( ( )) ( )1 ( 1)
d s sds s s s
d d sL x x L f xds ds s s
−− = − =
+ + +
−= − = =
+ +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤١
[ ]
( ) 1 2 ( 2) ( 1)
2
2
2
1 1 1 1 1( ) ( ) ln(1 ) l
14) ( ) ( )
5) ( ) ( ) (0) (0) (0) (0)( ) ( ) (0)( ) (
n(1 )/
(sin ) :( ) sin ( ) 2s
) (0) (0)
in cos sin 2
n n n n n
at
n
sL f ax Fa a
L
e s aL Fat a a a s a a s
L xf x x f x x x x
y s L y s y s y sy yL y sL y yL y s L y
L
y sy
− − − −
−
=
′= − − − − −′ = −
′′ ′= − −
−= = + = +
′= ⇒ = =
L
[ ] 2 2 22
22
2( ) (sin ) sin (0) (sin )4
2(sin )( 4)
f x sL x sL xs
L xs s
′ = − ⇒ = ⇒+
=+
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٢
2 2
7 3
2 5
1) (5 12) 2) (3 3 ) 3) ( )
4) (sin ) 5) (cos ) 6) (sinh )
7) (cosh ) 8) ( sin 5 ) 9) ( cos 4 )
10) ( ) 11) ( cos )
x i x
x x
x
L x L e x L e
L x L x L x
L x L e x L e x
L e x L x x
α
α α
α
−
+ +
مطلوبست تبديل الپالس توابع زير؟ :تمرين
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٣
2 23 3
2 22 2
2 2 2 2 2 2
2! 1 10 121) (5 12) 5 ( ) 12 (1) 5 12
1 1 3 32) (3 3 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 32 2
1 13, 4,5) ( )
( ) (cos sin ) (cos ) (sin )
(si
x x
i x
i x
L x L x Ls s s s
L e x L e L xs s s s
s i s i sL e is i s i s i s s s
L e L x i x L x iL x
L
α
α
α α αα α α α α αα α α α
+ = + = × + × = +
+ = + = × + × = +− −
+ += = × = = +
− − + + + += + = +
2 2 2 2
2 2 2 2
n ) , (cos )
1 1 1 16) (sinh ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 ( )2
x xx x
sx L xs s
e eL x L L e L es s
s ss s
α αα α
αα αα α
α αα α α
α α
−−
= =+ +− ⎡ ⎤= = − = −⎣ ⎦ − +
+ − += =
− −
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٤
2 2 2 2
7 32 2
2 56
2 2 2
2 2 2 2
1 1 17) (cosh ) ( ) ( ( ) ( )) ( )2 2
1 ( )2
5 38) ( sin 5 ) 9) ( cos 4 )( 7) 25 ( 3) 165!10) ( )
( 2)1 2 111) ( cos ) ( )
1 ( 1) ( 1)
x xx
x x
x
e eL x L L e L es s
s s ss s
sL e x L e xs s
L e xs
d s s s sL x xds s s s
α αα αα
α αα α
α α
−−
−
−= = + = +
− ++ + −
= =− −
−= =
− + − +
=+
+ − −= − = − =
+ + + 2
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٥
معكوس تبديل الپالس در اين . وجود داشته باشد f(x)فرض آنيم تبديل الپالس تابع
وجود F(s)صورت واضح است آه تابع منحصر بفردي مانند F(s)= L[f(x)]دارد آه
فرض آنيد تابعي . اينك عكس اين حالت را در نظر مي گيريم به f(x)آيا تابع منحصر بفردي مانند . داده شده باشدF(s)مانند
F(s)= L[f(x)]: گونه اي وجود دارد آه داشته باشيم : اگر پاسخ سؤال مثبت باشد مي نويسيم
f(x)=L-1(F(s)) f(x) تابع معكوس تبديل الپالس يا وارون را F(s)ناميم .
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٦
خواص معكوس تبديل الپالس 1 1 1
1 1 2 2
1 1
1 1 1 23 2 3 2
1 1 12 4 2
1 1 2 2
12
1
1
5 1( )
1) ( ( ) (
5 ( ) 5 1 5
4 6
) ...) ( ( )) ( (
2! 2( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 3sin 24 4
2 1 1( ) ? ( ) ? ( ) ?3
1( ) (4
)) ...
2) ( ( )) ( )
5
a x
L Ls s
L L L x xs s s
L c F s c F s c L F s c L F s
L F s a
s
L L Ls s s s
e f
L
xs
Ls s
− −
− − −
− − −
−
−
−
−
− −
= = × =
+ =
+ + = + +
+ =+ +
= = =+ + +
=+ +
− =
22 2
1 1 14 2
1 ) sin( 2) 1
6 12 3( ) ? ( ) ? ( ) ?( 2) 9 ( 3) 2 5
xe xs
sL L Ls s s s
− − −
= ⋅− +
+= = =
+ + + + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٧
: مطلوبست معكوس تبديل الپالس توابع زير :تمرين
1 12
1 14 2
1 14 2
2 11) ( ) 2) ( )3
1 63) ( ) 4) ( )( 2) 9
12 35) ( ) 6) ( )( 3) 2 5
L Ls s s
L Ls s s
sL Ls s s
− −
− −
− −
+ +
+ + +
++ + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٨
1 1 3
1 1 1 1 12
1 1 1 1 14 2 2 2 2 2 2 2
1 12 2
2 11) ( ) 2 ( ) 23 ( 3)
1 1 1 1 1 12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( 1) 1 ( 1)
1 1 1 1 1 13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1) 1 1)
sin
6 34) ( ) 2 (( 2) 9 ( 2) 3
x
x
L L es s
L L L L L es s s s s s s s
L L L L Ls s s s s s s s
x x
L Ls s
− − −
− − − − − −
− − − − −
− −
= =+ − −
−= = + = − = −
+ + + − −
−= = + = −
+ + + += −
=+ + + +
2
1 1 3 34 4
1 1 1 12 2 2 2 2 2 2
) 2 sin 3
12 3!5) ( ) 2 ( ) 2( 3) ( 3)
3 1 2 1 26) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2
cos 2 sin 2
x
x
x x
e x
L L e xs s
s s sL L L Ls s s s s
e x e x
−
− − −
− − − −
− −
= ⋅
= = ⋅+ +
+ + + += = + =
+ + − + + + + +
= +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٤٩
حل معادله ديفرانسيل به روش الپالساينك آماده هستيم نشان دهيم آه چگونه مي توان جواب يك مسئله با مقدار اوليه دشوار را به آمك تبديالت الپالس، به مسئله ديگري با شرايط ساده تر تبديل آرده و سپس با استفاده از
. وارون تبديل الپالس جواب معادله ديفرانسيل را بدست آورد روش آار را با چند مثال در مورد حل معادالت ديفرانسيل
. توضيح مي دهيم
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٠
مطلوبست حل معادله زير؟ :مثال
1 1
1 1
(0) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1( ) (0) ( ) ( ) ( ) 1 ( )1
1 1 1( 1) ( ) 1 ( )1 1 1 ( 1)( 1)
1 12 2( ) ( )
( 1)( 1) 1 11 1 1 1 1( ) ( )2 1 2 1 2
x
x x
x
x
y y e yL y y L e L y L y L e
sL y y L y L e sL y L ys
s s ss L y L ys s s s s
sy L Ls s s s
y L L y es s
− −
− −
′ + = =
′ ′+ = ⇒ + = ⇒
− + = ⇒ − + = ⇒−
+ −+ = + = = ⇒ =
− − − − +
⇒ = = + ⇒− + − +
= + ⇒ =− +
1 cosh2
xe x−+ =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥١
مطلوبست حل معادله زير؟ :مثال
22
2 22 2
2 2 2 2
12 2 2
4 4 (0) 1, (0) 5( 4 ) (4 ) ( ) 4 ( ) 4 ( )
4( ) (0) (0) 4 ( )
4 4( ) 5 4 ( ) ( 4) ( ) 5
5 1 1( )4 4 4
4 1( ) cos 2 2sin 24 4
y y x y yL y y L x L y L y L x
s L y sy y L ys
s L y s L y s L y ss s
sL ys s s s
sy L x x xs s s
−
′′ ′+ = = =′′ ′′+ = ⇒ + = ⇒
′− − + = ⇒
− − + = ⇒ + = + +
⇒ = + + − ⇒+ + +
⇒ = + + = + ++ +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٢
مطلوبست حل معادالت زير؟:تمرين
1) 2 (0) 2
2) 2 5 3 sin (0) 0 , (0) 3
3) 2 3 (0) 4 , (0) 2
x
x
x
y y e y
y y y e x y y
y y y xe y y
−
−
−
′ + = =
′′ ′ ′+ + = = =
′′ ′ ′+ + = = =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٣
1
1 1 1 2
1) 2 (0) 2( 2 ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
1 2 3( ) (0) 2 ( ) ( ) ( 2) ( ) 21 1
2 3 2 3( ) ( )( 1)( 2) ( 1)( 2)
1 1 1 1( ) ( ) ( )1 2 1 2
x
x x
x
x x
y y e yL y y L e L y L y L e
ssL y y L y L e s L ys s
s sL y y Ls s s s
y L y L L y e es s s s
−
− −
−
−
− − − − −
′ + = =
′ ′+ = ⇒ + = ⇒
+− + = ⇒ + = + =
+ +
+ +⇒ = ⇒ = ⇒
+ + + +
= + ⇒ = + ⇒ = ++ + + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٤
[ ]2
2
22
2
2 2
2) 2 5 3 sin (0) 0 , (0) 3( 2 5 ) (3 sin )( ) 2 ( ) 5 ( ) 3 ( sin )
( ) (0) (0) 2 ( ) (0) 5 ( )3
(1 ) 13( 2 5) ( ) 3
(1 ) 13( 2 3)( )
((1 ) 1) ((1 )
x
x
x
y y y e x y yL y y y L e xL y L y L y L e xs L y sy y sL y y L y
s
s s L ys
s sL ys s
−
−
−
′′ ′ ′+ + = = =
′′ ′+ + = ⇒
′′ ′+ + = ⇒
′− − + − +
= ⇒+ +
+ + − = ⇒+ +
+ +=
+ + + + +
2 2
4)1 2( ) sin 2 sin 2
((1 ) 1) ((1 ) 4)x xL y e x e x
s s− −
⇒
⇒ = + = ++ + + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٥
[ ]22
22
22
3) 2 3 (0) 4 , (0) 2( 2 5 ) (3 ) ( ) 2 ( ) 5 ( )
3 ( sin )3( ) (0) (0) 2 ( ) (0) ( )
(1 )3( ) 4 2 2 ( ) 8 ( )
(1 )3(1 2 1) ( ) 4 10 (1 ) (
(1 )
x
x
x
y y y xe y yL y y y L xe L y L y L y
L e x
s L y sy y sL y y L ys
s L y s sL y L ys
s L y s s L ys
−
−
−
′′ ′ ′+ + = = =
′′ ′ ′′ ′+ + = ⇒ + +
= ⇒
′− − + − + = ⇒+
− − + − + = ⇒+
+ + = + + ⇒ ++ 2
4 2 4 2
34 2
3) 4 10(1 )
3 4 10 3 4(1 ) 6( )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
3 4 6 1 6 4(1 ) (1 ) (1 ) 2
x x x
ss
s sL ys s s s
y x e xe es s s
− − −
= + ++
+ + += + = +
+ + + +
= + + ⇒ = + ++ + +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٦
و هر دو به G(s)=L[g(x)] و F(s)=L[f(x)]اگر :قضيه موجود باشد آنگاه s>0ازاي
H(x)= F(s)G(s)= L[h(x)]
که در آن
معروف است و آن را با gوfکنولوسيون توابع بهhتابع
h=f * g نشان مي دهيم.
: مي توان نشان داد
h=f * g = g * f
0( ) ( ) ( )
xh x f x u g u du= − ←⎯⎯∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٧
دا با بکار بردن :مثال ر را پي ابع زي ديل معکوس ت کنولوسيون تبمي کنيم؟
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
2
( )( )
1( ) ( )
1( ) , (sin )
( ) ( ) ( ) sin
sin( )
x
aH ss s a
aF s G s H F Gs s a
aL x L axs s a
h x f g x x u audu
ax axh xa
=+
= = ⇒ = ×+
= = ⇒+
= ∗ = − ⇒
−=
∫
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٨
: اين تابع را به صورت زير تعريف و نمايش مي دهيم:تابع گاما
. همگراستn>0آه انتگرال فوق به ازاء
: اين تابع داراي خواص زير مي باشد
1
0( ) n xn x e dx
∞ − −Γ = ∫
1
( 1) ( ) ( 1) ! ; 0,1, 2,...1(1) 1 ( )2
( 1)( )nn
n n n n n n
nL ts
π
+
Γ + = Γ Γ + = =
Γ = Γ =
Γ +=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٥٩
مطلوبست تبديل الپالس زير؟ :مثال
مطلوبست تبديل الپالس زير؟ :تمرين
1/ 23/ 2 3/ 2 3/ 2
4 3/ 2
(3/ 2) 1 (1/ 2) 1( )2 2 2
( 2 6)??
L ts s s s s
L t t
π πΓ Γ= = ⋅ = =
− +
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٠
حل معادله ديفرانسيل : فصل پنجم
به روش سري ها
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦١
حل معادله ديفرانسيل به روش هاي سريها درفصل قبل با حل معادالت ديفرانسيل خطي مرتبه دوم با ضرايب ثابت، درچند حالت خاص با ضرايب متغير آشنا
دراين فصل با يكي از موثرترين روش حل براي . شديم، يعني، از )وباالتر(معادالت ديفرانسيل خطي مرتبه دوم
دردرس رياضيات . سريهاي تواني استفاده مي آنيم براي اينكه مطالب . عمومي با مفهوم سري آشنا شده ايم
اين فصل رابهتر درك آنيم، بحث را با مرور مختصري . برسريهاي تواني شروع مي آنيم
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٢
سري توانيسري به صورت
آه درآن يا
متغير است را سري تواني به مرآز اعداد ثابتي بوده و .ناميم
...)(...)()( 02
02010 +−++−+−+ nn xxaxxaxxaa
∑∞
=
−0
0 )(n
nn xxa,...,...,,,, 2100 naaaax
x0x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٣
سري تواني ممكن است آه دريكي از سه حالت زير صدق :آند.همگرا باشد تنها به ازاي -١مطلقا همگرا باشد، دريك همسايگي به ازاي هر -٢
واگر همگرا وبراي يعني براي . را شعاع همگرايي سري ناميم باشد عدد
.مطلقا همگرا باشد به ازاي هر -٣را آه سري تواني همگرا است، بازه مجموعه مقادير
. همگرايي سري مي ناميم)فاصله(
0xx =x0x
Rxx <− 0Rxx >− 0
Rxx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٤
همگرا باشد آنگاه اگر سري به ازاي :تذآربرابر است با بازه همگرايي
دردرس رياضي عمومي با پيدا آردن بازه همگرايي سري تواني آشنا شده ايم آه شعاع همگرايي عبارت است از
. حد باال نامتناهي باشد آنگاه ممكن است
Rxx ±= 0
∞=R
RxxRx +≤≤− 00
1
lim n
nn
aRa→∞
+
=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٥
بازه همگرايي سري تواني :مثال. را پيدا آنيد
چون
. همگرا است بنابراين ، سري تنها به ازاي
∑∞
=0
!n
nxn
01
1lim)!1(
!lim =+
=+
=∞→∞→ nn
nRnn
0=x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٦
بازه همگرايي سري تواني :مثال
.را پيدا آنيدچون
جا مهپس سري روي مجموعه اعداد حقيقي، يعني در ه
.همگرا است
∑∞
=
−
0 !)1(2
n
nn
nx
+∞=+
=
+
=∞→
+∞→ 21
)!1(2
!2
lim lim1
n
n
nRn
n
n
n
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٧
بازه همگرايي سري تواني :مثال
. را پيدا آنيدچون
هايي آه پس، سري روي مجموعه
. همگرا است
∑∞
=
−+1
)2(1n
nxn
n
1)1)(1(
)2(
211lim lim =
+++
=
+++=
∞→∞→ nnnn
nnn
n
Rnn
x12 <−x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٨
آه درآن اگر سري تواني بربازه :قضيهيك عدد ثابت مثبت است همگرا باشد، آنگاه سري تواني
را تعريف مي آند آه به ازاي هر تابعي مانند . دربازه پيوسته است
به طور طبيعي اين سوال مطرح مي شود آه به آدام :تذآر. تابع پيوسته همگرا است
. پاسخ دادن به اين سوال درحالت آلي آسان نيست
Rxx <− 0R
)(xfx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٦٩
به صورت زير توسط يك سري تواني تعريف اگر :قضيهشده باشد،
آنگاه مي توان از سري باال جمله به جمله مشتق گيري آرد
: وهمين طور انتگرال گرفت يعني
آه
)(xf
∑∞
=
−=0
0 )()(n
nn xxaxf Rxx <− 0
∑∞
=
−−=′1
10 )()(
n
nn xxnaxf
∑∫∞
=
+−+
=0
10 )(
1)(
n
nnb
a
xxnadxxf ),(, 00 RxRxba +−∈
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٠
: فرض آنيم :قضيه
آن گاه : داريمبه ازاي هر عدد حقيقي ) الف
)ب
) ج:آه درآن
∑∞
=
−=0
0 )()(n
nn xxaxf ∑
∞
=
−=0
0 )()(n
nn xxbxg
∑∞
=
−=0
0 )()(n
nn xxcaxcf
c
∑∞
=
−+=+0
0 ))(()()(n
nnn xxbaxgxf
∑∞
=
−=0
0 )()().(n
nn xxcxgxf
∑ ∑= =
−−− ==+++=n
k
n
kkknKnKnnnn bababababac
0 00110 ...
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧١
:با انتقال انديس مي توان نشان داد آه :تذآر
واحد از انديس جمع سري بعبارت ديگر، با آم آردن هاي داخل عالمت واحد به همه واضافه آردن
.سري، دو سري مساوي به دست مي آيد درآار آردن با سريهاي تواني با مرآزبسط -١٢٫١٫٣: تذآر
مخالف با صفر، غالبا به آار بردن تغيير متغير : يعني . مفيد است
∑ ∑∞
=
∞
=+
− −=−kn n
nkn
knn xxaxxa
000 )()(
kkn∑
0x0xxz −=
∑ ∑∞
=
∞
=
=−0 0
0 )(n n
nn
nn zaxxa
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٢
فرض آنيم سري : قضيه
باشد، همگرا به تابع با براي بسادگي نشان داده مي شود آه
آنگاهودرحالت خاص اگر
∑∞
=
−0
0 )(n
nn xxa
Rxx <− 00>R)(xf
,...2,1,0,!
)( 0)(
== nn
xfan
n
00 =x
,...2,1,0,!
)0()(
== nn
fan
n
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٣
سري را : تعريف
وسري را ، حول نقطه ر لبسط سري تي
. حول نقطه صفر مي ناميم بسط ماك لورن
∑∞
=
−=0
00
)(
)(!
)()(n
nn
xxn
xfxf
)(xf0x
∑∞
=
=0
)(
)(!
)0()(n
nn
xn
fxf
)(xf
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٤
اگر سري : تعريف
به دربازه به ازاي هر
درنقطه همگرا باشد مي گوييم
. تحليلي است
∑∞
=
−0
00
)(
)(!
)(n
nn
xxn
xf
x),( 00 RxRx +−)(xf
f0x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٥
: بسط سري ماك لورن برخي توابع عبارت است از :مثال
آه ) الف
آه ) ب
آه ) ج
∑∞
∞=
=n
nx
nxe
!∞<x
∞<x
∞<x
∑∞
=
−=
0
2
)!2()1(cos
n
nn
nxx
∑∞
=
+
+−
=0
12
)!12()1(sin
n
nn
nxx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٦
آه ) د
آه ) ه
آه ) و
1x <
∞<x
∞<x
0
11
n
nx
x
∞
=
=− ∑
∑∞
=
+
+=
0
12
)!12(sinh
n
n
nxx
∑∞
=
=0
2
)!2(cosh
n
n
nxx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٧
نقاط معمولي ومنفرد
براي معادله ) عادي(را يك نقطه معمولي نقطه : تعريفام ديفرانسيل خطي مرتبه
. تحليلي باشند در و مي گويم هرگاه ضرايب
معادله )غير عادي(نقطه اي را آه معمولي نباشد نقطه منفرد . مي ناميم
0xn
)()()(...)( 01)1(
1)( xgyxfyxfyxfy n
nn =+′+++ −
−
( )if x)(xg0x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٨
نقاط منفرد معادله ديفرانسيل:مثال
. را پيدا آنيدبصورت ضريب معادله را با تقسيم بر : حل
:مشتق باال ترين برابر يك مي آنيم يعني
بديهي است آه همه ضرايب اين معادله درهمه نقاط به جز پس . تحليلي مي باشند و و نقاط . نقاط منفرد وهمه نقاط ديگر نقاط معمولي معادله هستندآنها
0)1()1()1( 23 =−+′++′′− yxyxxyxx
)1( 23 −xx
0)1(
1)1(
132 =
++′
−+′′ y
xxy
xxy
0=x1=x1−=x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٧٩
اگر هريك از توابع : قضيه
تحليلي باشند، آن گاه يك جواب منحصر به فرد درنقطه شرط تحليلي است ودر وجود دارد آه در مانند اوليه
توسط سري ديفرانسيل يعني هر جواب معادله . صدق مي آند
.بيان مي شود هزدربا تيلر خود درنقطه
011 ,,...,, fffg n−
0x)(xy0xn
10)1(
1000 )(,...,)(,)( −− ==′= n
n axyaxyaxy
0xI
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٠
دريك (جواب هاي سري معادالت ديفرانسيل)نقطه معمولي
را با پيدا آردن معادله ديفرانسيل مرتبه اول :مثال . جواب بصورت سري مك لورن حل مي آنيم
فرض : حل
آه
:پس بايد چون
yy =′
∑∞
=
++++==0
10 .......n
nn
nn xaxaaxay
RxR <> ,01 1
1 21
2 ... ...n nn n
ny na x a a x na x
∞− −
=
′ = = + + + +∑
yy =′∑ ∑∞
=
∞
=
− =1 0
1
n n
nn
nn xaxna
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨١
وبا حل آردن دستگاه از باال به پايين :آهنتيجه مي شود
ويارابطه بازگشتي
آه به دست مي آوريم،
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
===
=
+
M
M
nn aan
aaaaaa
aa
1
34
23
12
01
)1(
432
0 0 01 0 2 3, , ,..., ,...
2! 3! !na a aa a a a a
n= = = =
11 +=+ n
aa nn
!0
naan =
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٢
حال با جايگذاري ضرايب باال در
: داريم
پارامتر مي باشد دقت آنيم آه جواب باال همان آه جوابي است آه از روش هاي قبلي بدست مي آيد يعني
. جواب معادله جداشدني باال است
∑∞
=
=0n
nn xay
∑ ∑∞
=
∞
=
==0 0
00
!!n n
nn
nxax
nay
0a
xeay 0=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٣
بسط تيلر جواب هاي معادله :مثال
.پيدا آنيدرا درنقطه معمولي استفاده مي آنيم براي سادگي از تغيير متغير : حل
:مي باشد وداريم با دراين صورت متناظر
بنابراين با جايگذاري ، معادله ديفرانسيل تبديل به معادله
مي شود چون همه ضرايب چند جمله اي هستند
0)1(4)1( 2 =−−′−+′′ yxyxy1=x
1−= xt1=x0=t
2
2
2
2
)()(dt
yddxdt
dtdy
dtd
dtdy
dxd
dxyd
dtdy
dxdt
dtdy
dxdy
===
==
0422
2
=−+ tydtdyt
dtyd
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٤
، پس بازه همگرايي سريهاي جواب معادله برابر با است، بازه همگرايي سريهاي جواب
سري . است معادله اصلي نيز برابر باتواني جواب را بصورت سري ماك لورن
: پس. درنظر مي گيريم
: با قرار دادن سريهاي باال درمعادله ديفرانسيل ثانويه داريم
+∞<<∞− t+∞<<∞− x
n
nn
nn tatatataay ∑
∞
=
=+++++=0
2210 ......
1
1
121 ......2 −
∞
=
− ∑=++++= n
nn
nn tnatnataa
dtdy
2
2
222
2
)1(...)1(...2 −∞
=
− ∑ −=+−++= n
nn
nn tanntanna
dtyd
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٥
∑ ∑∑∞
=
∞
=
++−∞
=
=−+−1 0
112
204)1(
n n
nn
nn
n
nn tatnatann
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−−+−
=−+×=−+×=−+×
=−+×=−×
=
−−
M
M
04)3()1(
044670435604245
04340423
02
33
447
336
225
114
03
2
nnn aanann
aaaaaaaaa
aaaaa
a
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٦
: درنتيجه
چنانکه مالحظه مي شود همه ستون هاي سوم وستون دوم بغير اولين جمله بقيه صفراند تنها ستون اول ناصفرمي
: است بنابراينباشدوبرحسب
234,
343,0 0
31
42 ×=
×==
aaaaa
23564,0,0 0
675 ×××===
aaaa
23568942,0,0 0
9108 ××××××
===aaaa
2356891112245,0,0 0
121311 ×××××××××
===aaaa
0a
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٧
33333 )13(3)73(
)13(3)433(
−− −−−
=−−−−
= nn annna
nnna
03 2)...43)(13()3)...(33(34)1(258)...103)(73( a
nnnnnna
n
n ×−−×−−××××−−
=α
3
3
2 5 8 ... (3 10)(3 7) ( 1) 43 ( ( 1)( 2).... (2 1)2 5 ... (3 4) (3 1)
( 1) 43 . ! (3 4)(3 1)
n
n n
n
n n
n nan n n n n
an n n
× × × × − − × − ×=
− − × × × × × − × −
− ×=
× − −
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٨
2 3 4 5 60 1 0 1 0
7 8 9 10 110
110
4 3 40 03 2 4 3 6 5 3 22 40 0 0 0
9 8 6 5 3 22 5 4 ...
12 11 9 8 6 5 3 2
y a a t t a t a t t a t
t t a t t t
a t
= + + + + + +× × × × ××
+ + + + + +× × × × ×
× ×+
× × × × × × ×
4 3 61 0
9 12
3
1 2 4( ) (14 3 6 5 3 2
2 4 2 5 4 ...9 8 6 5 3 2 12 11 9 8 6 5 3 2
( 1) .4 ...3 . !(3 4)(3 1)
nn
n
y a t t a t t
t t
tn n n
= + + + + +× × ×
× × ×+ +
× × × × × × × × × × × ×−
+ +− −
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٨٩
ويا
: داريم با قرار دادن
جواب عمومي معادله ديفرانسيل داده شده به ازاي هر . مي باشد
))13)(43(!.3
4)1(1()41(
1
30
41 ∑
∞
= −−×−
+++=n
nn
n
tnnn
attay
1−= xt
∑∞
=
−−−
×−++−−−=
1
30
41 ))1(
)13)(43(!.34)1(1())1(
41)1(()(
n
nn
n
xnnn
axxaxy
x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٠
ممکن است رابطه بازگشتي بر حسب جمله عمومي :تذکريا بسادگي نتوان پيدا کرد در چنين حالتي امکان پذير نباشد
. پيدا نمي کنيم"جمله عمومي را معموال معادله ديفرانسيل خطي مرتبه دوم
لژاندر عدد ثابتي است به معادله ديفرانسيل که در آن
يک نقطه مالحظه مي شود که نقطه .موسوم است : معمولي معادله است بنابراين داراي جوابي بصورت
.همگراست است که حداقل براي
2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy p p y′′ ′− − + + =p
00 =x
∑∞
=
−=1
1
n
nnxay
1|| <x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩١
: که با جايگذاري در معادله داريم
: با تغيير انديس داريم
∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
−− =++−−−2 1 0
122 0)1(2)1()1(n n n
nn
nn
nn xappxnaxxannx
∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
−− =++−−−2 1 0
122 0)1(2)1()1(n n n
nn
nn
nn xappxnaxxannx
∑∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=+ =++−−−++
00 002 0)1(2)1()2)(1(
n
nn
n n
nnnn
n
nn xappxxaxannxann
[ ]∑∞
=+ =++−−−++
02 0)1(2)1()1)(2(
n
nnnnn xappnaannann
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٢
2
2 2
2 2
( 1) 2 ( 1)( 2)( 1)
2( 2)( 1)
( 2)( 1)( )( 1) , 0
( 2)( 1)
n n
n
n
n
n n n p pa an n
n n n p p an n
n p n p an np n n p a n
n n
+
− + − +=
+ −
− + − −=
+ +
− + −=
+ +− + +
= − ≥+ +
:ورابطه بازگشتي
:نتيجه مي شود که
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٣
157
046
135
024
13
02
!7)6)(4)(2)(5)(3)(1(
76)6)(5(
!6)5)(3)(1)(4)(2(
65)5)(4(
!5)4)(2)(3)(1(
54)4)(3(
!4)3)(1)(1(
43)3)(2(
!3)2)(1(
!2)1(
appppppappa
appppppappa
appppappa
appppappa
appa
appa
+++−−−−=
×+−
−=
+++−−−=
×+−
−=
++−−=
×+−
−=
++−=
×+−
−=
+−−=
+−= : که با جايگذاري در معادله داريم
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٤
: با قرار دادن اين ضرايب در سري داريم
عدد صحيح نباشد همگراست واگر آه براي شعاع همگرايي هر دو سري داخل پرانتز برابر با يک
توابع تعريف شده در جواب سري مشهور به توابع .است در حالت خاص .لژاندر مي باشد که توابع متعالي هستند
.جواب سري ها ممکن است متناهي باشد
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++−−−−
++−−+
+−−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++−−−
++−+
+−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−++=
L
L
L
7531
6420
40
31
2010
!7)6)(4)(2)(5)(3)(1(
!5)4)(2)(3)(1(
!2)2)(1(
!6)5)(3)(1)(4)(2(
!4)3)(1)(2(
!2)1(1
!4)3)(1)(2(
!3)2)(1(
!2)1(
xppppppxppppxppxa
xppppppxppppxppay
xappppxappxappxaay
1|| <x
p
p
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٥
نقاط منفردمنظم معادالت ديفرانسيل خطي مرتبه دوم يك نقطه منفرد معادله آه نقطه فرض کنيم
ديفرانسيل خطي همگن
درصورتي آه اگر معادله را بصورت باشد
را نقطه ،تحليلي باشنددر وبنويسيمد را نتحليلي نباش ناميم واگر منفرد منظمنقطه . منفرد غير منظم مي گوييم نقطه
0x0)()( 01 =+′+′′ yxfyxfy
0)()()()( 02
0 =+′−+′′− yxqyxpxxyxx
)(),( xpxq0x)(),( xpxq
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٦
نوع نقاط منفرد معادله ديفرانسيل :مثال
.را پيدا آنيد، معادله باال به با تقسيم دو طرف معادله در : حل
صورت
: در مي آيد مشاهده مي آنيم آه نقاط منفرد عبارت است از :داريم با ضرب معادله باال در
پس
021)1( =−′+′′− yyx
yx
1−x0
12
)1(1
=−
−′−
+′′ yx
yxx
y
0,1 == xx2x0
12
11 2
2 =−
−′−
+′′ yx
xyx
xyx
11)(,
12)(
2
−=
−−
=x
xpx
xxq
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٧
يك نقطه منفرد پس . تحليلي اندآه هر دو در ضرب درراحال اگر طرفين معادله . منظم است: آنيم داريم
درآه ، هردو
تحليلي اند.يك نقطه منفرد منظم استپس
0=x0=x2)1( −x
01
)1(21)1( 2 =−
−′−
+′′− yxyx
xyx
xxpxxq 1)(),1(2)( =−−=1=x
1=x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٨
١٩٨
معادله لژاندر :مثال
. را به صورت زير مي نويسيم
نقاط منفرد معادله اند آه و روشن است آه
: ضرب مي آنيم داريم را دراگر طرفين معادله
0)1(2)1( 2 =++′−′′− yppyxyx
01
)1(1
222 =
−+
+′−
−′′ yx
ppyxxy
1=x1−=x2)1( −x
01
)1)(1()1(
)1(2)1( 2 =+
−+−′
+−
+′′− yx
xppyx
xxyx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com١٩٩
: آنگاههردو در و
. يك نقطه منفرد منظم معادله است تحليلي اند پس : ضرب آنيم داريم حال اگر طرفين معادله را در
هردو در و آه
يك نقطه منفرد منظم معادله تحليلي اند پس . است
)1()1(2)(
+−
=x
xxxp1
)1)(1()(+
−+−=
xxppxq1=x
1=x2)1( +x
01
)1)(1()1(
)1(2)1( 2 =−
++−′
−+
+′′+ yx
xppyx
xxyx
)1()1(2)(
−+
=x
xxxp1
)1)(1()(−
++−=
xxppxq
1−=x 1−=x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٠
معادله ديفرانسيل خطي :مثال
معروف است از مرتبه ) Bessel( را که به معادله بسلعدد ثابت نا صفر در نظر مي گيريم در اين معادله که مي باشد با نوشتن معادله بصورت
نقطه منفرد معادله مي باشد وبا مالحظه مي شود که درنقطه که توجه به توابع
نقطه منفرد ومنظم تحليلي اند پس . معادله است
0)( 222 =−+′+′′ ypxyxyxp
p
012
22
=−
+′+′′ yx
pxyx
y
0=x
0=x22)(,1)( pxxqxp −==
0=x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠١
سري بصورت :تعريف
عددي حقيقي ويا مختلط است به سري که در آن
. مشهور است ) frobenius( فروبنيوس
0 00
00
( ) ( )
( )
s nn
n
n sn
n
y x x a x x
a x x
∞
=
∞+
=
= − −
= −
∑
∑s
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٢
يک نقطه منفرد منظم معادله مرتبه دوم اگر:تذکر
خطي باشد ثابت مي شود که معادله داراي يک وگاهي دو
. استجواب بصورت سري فروبنيوس با
عددي حقيقي است در اينجا
. اين روش را با ارائه چند مثال توضيح مي دهيم
0xx =
00 ≠a
s
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٣
معادله ديفرانسيل :مثال
نقطه منفرد منظم را در نظر مي گيريم واضح است که معادله است جواب سري فروبنيوس
:را در نظر مي گيريم بنابراين
: با جايگذاري در معادله ديفرانسيل نتيجه مي شود
0)12(2 2 =−′++′′ yyxxyx00 =x
∑∑∞
=
+∞
=
==00 n
snn
n
nn
s xaxaxy
∑∑∞
=
−+∞
=
−+ −++=′′⇒+=′0
2
0
1 )1)(()(n
snn
n
snn xasnsnyxasny
∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
+−+−+ =−+++−++0 0 0
122 0)()12()1)()2n n n
snn
snn
snn xaxasnxxxasnsnx
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٤
: و يا
: با تغيير انديس داريم
∑ ∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+++++ =−++++−++0 0 0 0
1 0)()(2)1)((2n n n n
snn
snn
snn
snn xaxasnxasnxasnsn
∑ ∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+++−
+ =−++−++−++0 0 0 0
11 0)()1(2)1)((2
n n n n
snn
snn
snn
snn xaxasnxasnxasnsn
s
n n
snn
snn
s xsaxasnxasnsnxass 01 1
110 )1(2)1)((2)1)((2 +−++−+++− ∑ ∑∞
=
∞
=
+−
+−
∑ ∑∞
=
+∞
=
+ =−−++1 1
0 0)(n
sn
nn
ssnn xaxaxasn
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٥
: و يا
: پس چون فرض بر آن است که
اين معادله را معادله شاخص و ريشه هاي آن را توان شاخص
توان هاي پس. معادله ديفرانسيل در نقطه منفرد منظم ناميم
شاخص معادله ديفرانسيل در نقطه منفرد منظم هستند
( ) [ ]∑ =−++−++−+++−+− +− 0)1(21)()1)((21)1(2 10
snnn
s xasnasnsnsnxasss
00 ≠a
012012201)1(2
2
2
=−−
=−+−
=−+−
ssssssss
1,21
=−= ss
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٦
ها در ضرايب حال به ازاي هر کدام از مقادير : رابطه بازگشتي
: و يا
. صدق مي کند
sna
( ) 1)1(21)1)((2 −−+−=−++−++ nn asnasnsnsn
1,1)1)((2
)1(21 ≥
−++−++−+−
= − nasnsnsn
sna nn
1,122
2)122)(1(
)1(211 ≥
++−
=++−+
−+−= −− na
sna
snsnsn
nn
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٧
:رابطه باال نتيجه مي دهد که اگر ) الف
1=s
0
023
012
01
1
)32(975)2(
975)2)(2)(2(
92
75)2)(2(
72
52
1,32
2
an
a
aaa
aaa
aa
nan
a
n
n
nn
+××××−
=
××−−−
=−
=
×−−
=−
=
−=
≥+
−= −
L
M
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٨
: آنگاه اگر ) ب
با
:پس
21
−=s
1111
22
1)21(22
2−−−
−=
−=
+−+
−= nnnn a
na
na
na 1≥n
01
023
012
001
!)1(1
32)1)(1)(1(
31
2)1)(1(
21
11
an
an
a
aaa
aaa
aaa
n
nn−
=−=
×−−−
=−=
−−=−=
−=−
=
−
M
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢٠٩
: در نتيجه دو جواب سري فروبينوس عبارت است از
در بازه بدليل و دو تابع : مستقل خطي وهمگرا هستند پس
. جواب عمومي معادله ديفرانسيل است
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+×××−
++××
−+
×−
+−
+= LL
L nn
xn
xxxxy)32(75
)2(975
)2(75)2(
521 3
32
2
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−++
−+
−+−=
−LL n
n
xn
xxxxy!)1(
!3)1(
!2)1(1 3
32
221
2
12 , yy21
−x( )∞+,0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+×××
−= ∑∑
∞
=
−∞
= 0
21
20
1 !)1(
)32(75)2(
n
nn
n
nn
xn
xcxn
xcyL
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١٠
.حالتي آه معادله شاخص داراي ريشه هاي برابر است درادامه بحث خود معادالتي را مورد بررسي قرار مي : تذکر
در اين حالت .استدهيم که داراي يک نقطه منفرد در معادله به صورت
تحليلي دردر مي آيد،که در آن همچنانکه قبال مشاهده کرديم،اين محدوديت از کليت .هستند
نقطه زيرابا تغيير متغير بحث نمي کاهد، .را به صفر تبديل مي کندمنفردمنظم
0=x0)()(2 =+′+′′ yxqyxxpyx
)(),( xpxq0=x
0xxt −=0x
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١١
حالت کليبررسي -ديفرانسيل مرتبه دوم معادله
در نقطه منفردمنظم باشد فرض . را در نظرمي گيريم
تحليلي هستند،در نتيجه به اين صورت در:، داريم ازاي
:تابعي بصورتو
0)()(2 =+′+′′ yxqyxxpyx0=x
)(),( xpxqRx <
n
nn xqxq ∑
∞
=
=0
)(n
nn xpxp ∑
∞
=
=0
)(
y
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١٢
: باشد، آنگاه
:ديفرانسيل داريمبا قرار دادن مقادير باال در معادله
sn
nn
n
nn
s xaxaxxy +∂∞
=
∞
=∑∑ ==
00)(
1
0)()( −+
∞
=
+=′ ∑ sn
nn xsnaxy
2
0
)1)(()( −+∞
=
−++=′′ ∑ sn
nn xsnsnaxy
snkn
n
kk
nn
nn
n
nn
s xpaskxpxasnxxyxxp +−
=
∞
=
∞
=
∞
=∑∑∑∑ +=+=′ ))(())()(()()(
0000
snkn
n
kk
nn
nn
n
nn
s xqaxqxaxxyxq +−
=
∞
=
∞
=
∞
=∑∑∑∑ == )())(()()(
0000
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١٣
در نتيجه
:داريم که با فرض ضريب کوچکترين توان
پسچون ويا
توان هاي شاخص مي باشد و ريشه هاي آن را معادله شاخص. معادله ديفرانسيل در نقطه منفرد منظم ناميده مي شود
0)())(()1)((0 0000
=+++−++ +−
∞
= =
+−
=
∞
=
+∞
=∑ ∑∑∑∑ sn
knn
n
kk
snkn
n
kk
n
snn
n
xqaxpaskxasnsn
0}])[()1)({(00
=+++−++ +−−
=
∞
=∑∑ sn
kknkn
n
kn
n
xaqpskasnsn
xn ),0( =0)()1( 0000 =++− aqspass
00 ≠a00)1()( qspsssf +−=
002 )1()( qspssf +−+=
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١٤
مالحظه مي شودکه سه حالت زير مي تواند در مورد معادله :شاخص رخ دهد
.عدد غير صحيح وغيرصفر باشد اگر ) الف. عدد صحيح ومثبت باشد اگر ) ب.صفر باشداگر ) ج
ديفرانسيل داراي دو جواب مستقل به معادله ) در حالت الفصورت
و
.قبال مثالهايي در اين مورد مالحظه شد . دارد
21 ss −
21 ss −21 ss −
n
nn
s xaxxy ∑∞
=
=0
11)(n
nn
s xbxxy ∑∞
=
=0
22)(
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١٥
فقط يک جواب به صورت ) و ج ) در حالت ب
جواب مستقل ديگر نشان داده مي شود براي پيدا کردن . داردکه جواب به صورت
معادله در است که مي توان با مشتق گيري وجايگذاري پيدا کردکه ممکن را ها وديفرانسيل ضرايب
به برابرصفر باشد که در اين صورت است مقدار.شکل يک سري فروبينوس مي با شد
n
nn
s xaxxy ∑∞
=
=0
11)(
n
nn
s xcxxxAyy ∑∞
=
+=0
122log)(
ncAA)(2 xy
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١٦
در فيزيک و رياضيات محض،اغلب بررسي جواب :تذکرديفرانسيلمعادله
با به . بينهايت باشد،مورد نظر استوقتي متغير مستقل
با مقادير بزرگ کار بردن تغيير متغير
. متناظر خواهند بودمقاديرکوچک
0)()(2 =+′+′′ yxqyxxpyxx
tx 1=x
t
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١٧
ديفرانسيل جديد جوابهايي از معادله به جاي با جايگذاري را بدست
مي آوريم که اگر معادله جديد داراي يک نقطه معمولي در ديفرانسيل داراي يک نقطه معادله باشد، گوييم
اگر معادله جديد به همين نحو، . بينهايت استمعمولي درمعادله باشد، گوييم داراي يک نقطه منفرد منظم در
.بينهايت است ديفرانسيل داراي يک نقطه منفرد منظم در
x t
0=t
0=t
[email protected] http://www.ieiso.blogfa.com٢١٨
پايان
موفق باشيد