FACULTAD DE INGENIERIA CIVILMODELOS MATEMATICOSDOCENTE: Jos del Carmen Arbulu RamosALUMNO: Liza Vallejos Gerardo Hernndez Becerra Thala CURSO: Hidrologa CICLO 2015-1

2015

MODELOS MATEMATICOS EN HIDROLOGIA1.1. TIPOS DE MODELOS MATEMTICOS

Los modelos matemticos representan el sistema hidrolgico en forma abstracta, mediante un conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de entrada y de salida. Estas variables pueden ser funciones del espacio y del tiempo, y tambin pueden ser variables probabilsticas o aleatorias que no tienen un valor fijo en un punto particular del espacio y del tiempo. Estas variables estn descritas a travs de distribuciones de probabilidad. Por ejemplo la cantidad de lluvia que caer maana en un lugar particular no puede pronosticarse con exactitud, pero s puede calcularse la probabilidad de que llueva dicha cantidad. La representacin general de tales variables es el campo aleatorio, una regin del espacio y del tiempo dentro de la cual el valor de la variable en cada punto est definido por una distribucin de probabilidad. Por ejemplo, la intensidad de precipitacin de una tormenta vara rpidamente en el tiempo y de un lugar a otro, por lo cual no puede pronosticarse en forma exacta y es razonable representarla a travs de un campo aleatorio. Los modelos matemticos en Hidrologa se pueden clasificar como: a) Modelos estocsticosb) Los modelos deterministasUn modelo estocstico es dependiente del tiempo, mientras que el modelo probabilstico es independiente del tiempo. En los modelos determinsticos una entrada dada produce siempre una misma salida. En cambio en los modelos estocsticos tienen salidas que son por lo menos parcialmente aleatorias. Podra decirse que los modelos determinsticos hacen pronsticos, mientras que los modelos estocsticos hacen predicciones. A pesar que todos los fenmenos hidrolgicos implican algn grado de aleatoriedad, la variabilidad resultante en la salida puede ser pequea cuando se le compara con la variabilidad de otros factores conocidos En los modelos determinsticos, la posibilidad de aparicin de las variables involucradas se ignora y el modelo considera seguir una ley definida de certeza, pero no cualquier ley de la probabilidad. Por ejemplo, la formulacin matemtica de la teora unidad-hidrograma es un modelo determinstico. Tanto los modelos estocsticos y determinsticos se pueden sub-clasificar como:(i) Los modelos conceptuales(ii) modelos empricosEn los modelos conceptuales, una funcin matemtica es concebida en base a la consideracin del proceso fsico, que cuando se somete a las variables de entrada, produce las variables de salida. Por ejemplo, un modelo de captacin conceptual de la relacin lluvia-escorrenta puede ser descrita por [i (t)] = Q (t)Donde i(t) = entrada, es decir, las precipitaciones Q (t) = salida, es decir, la escorrenta = operador del sistema, es decir, que representa la operacin realizada por el sistema para proporcionar la salida para la entrada dada.Modelos empricos se basan en relaciones empricas o frmulas como Dickens, Ryves, Inglis, etc., donde un coeficiente compuesto tiene en cuenta todas las variables que afectan a los posibles picos de inundacin en una cuenca; todas las complejas leyes fsicas involucradas no pueden ser consideradas aqu. Optimizacin de modelo y la eficiencia de modelo.La optimizacin est sujeto a los requisitos de los criterios de diseo o limitaciones que se imponen. Las restricciones pueden ser tcnica, presupuestaria, social o poltica y los beneficios pueden ser reales o implcita. Cuando un objetivo se traduce en un criterio de diseo, se puede escribir en la forma de una expresin matemtica conocida como la funcin objetivo. Para el modelo matemtico, la funcin objetivo que debe ser optimizado es dado por la ecuacin F = Donde Q'i = valor observado real Qi = valor predicho por el modeloEl objetivo del procedimiento de optimizacin es la obtencin de tales conjuntos de valores de los parmetros, que reducen el objetivo de mnimos cuadrados la funcin de F a cero. Para la prueba de la importancia y la fiabilidad de los valores de los parmetros optimizados, las pruebas estadsticas, anlisis predictivos y pruebas de sensibilidad son a menudo empleados. Nash, et al (1970) han sugerido el uso de eficiencia del modelo (R2) para evaluar el rendimiento del modelo.

Donde

R2 es anlogo al coeficiente de variacin y es proporcional a la variacin inicial representado por el modelo. La eficiencia de una parte separable del modelo (r2) puede ser juzgada por un cambio en el valor de R2 resultante por la insercin de esa parte o por la proporcin de la varianza residual explicada por su insercin.

El exceso de precipitaciones directa del modelo de escorrenta-Los valores de n y K obtenidos por el mtodo de momentos en un modelo de Nash (1957) * no fueron capaces de simular el pico del hidrograma observado, aunque los valores de las eficiencias del modelo R2 = 83,7% y el 82,3% se obtuvieron para el hidrograma utilizado para obtener los valores de n y K, y el hidrograma de escorrenta directa, respectivamente. El modelo de lluvia de escorrenta se basa en el concepto de la retencin.El concepto de retencin de dividir la precipitacin en volmenes de escorrenta y la no-escorrenta se basa en los procesos fsicos de la retencin de la humedad del suelo. Basado en el concepto de retencin modelo fue utilizado por Seth (1972) para simular el proceso de precipitacin-escorrenta de una pequea captacin Modelo del sistema de lluvia-escorrenta. La precipitacin a la transformacin de escorrenta como un sistema 1.2. MTODOS DE DETERMINACIN IUH

1. Mediante la Curva S del hidrogramaEs decir, la ordenada de la IUH en cualquier tiempo t viene dado simplemente por la pendiente de la curva S en el tiempo t; en otras palabras, la curva S es una curva integral de la IUH. Dado que la curva S derivado de los datos de lluvia-escorrenta observadas no puede ser demasiado exacta, el IUH derivada de la curva S es slo aproximado. El IUH, refleja todas las caractersticas de la cuenca, como la longitud, forma, pendiente, etc., independientemente de la duracin de las lluvias, lo que se elimina una variable en el anlisis del hidrograma. Por lo tanto, es til para las investigaciones tericas sobre las relaciones lluvia-escorrenta de las cuencas de drenaje. La determinacin de la IUH es analticamente ms tedioso que el de UGB pero puede ser simplificado mediante el uso de equipos electrnicos. El t'r-UGO puede obtenerse dividiendo el IUH en intervalos de tiempo t'r-hr, la media de las ordenadas al principio y al final de cada intervalo se representa grficamente en el final del intervalo (Fig. 16.5).

2. Usando una convolucin Integral Mediante el principio de superposicin en la teora lineal de unidad del hidrograma, cuando se aplica una precipitacin neta de la funcin i (t) de duracin t0, cada elemento infinitesimal de Pnet producir un DRO, es decir, Q (t) dada por

El lmite superior t 'dada por t '= t, cuando t t0 t '= t0, cuando t t0Eq. (16.8) se llama la integral de convolucin (o Duhamel integral) en el que u (t - ) es una funcin kernel, i () es la funcin de entrada. La forma de la IUH en la Fig. 16.6 asemeja a un nico hidrograma de pico. Si la precipitacin y la escorrenta en la integral de convolucin se miden en las mismas unidades, las ordenadas de las IUH tienen la dimensin Las propiedades de la IUH estn dadas por0 u (t) un valor pico positivo, para t> 0 Las propiedades de la IUH estn dadas por0 u (t) un valor pico positivo, para t> 0u(t) = 0 para t 0u(t) 0 para t

Donde el tiempo ti = retraso de IUH = intervalo de tiempo entre el centro de gravedad de Pnet y el de la escorrenta directa. 3. Mediante modelos conceptualesSe han propuesto varios modelos conceptuales para desarrollar el IUH. Pueden ser de analoga fsica o simulacin matemtica compuesta de reservorios lineales, canales lineales, y los diagramas de zonas en tiempo.a) Reservorios lineales Una simulacin matemtica de una cuenca de drenaje que consiste en una serie de reservorios lineales como propuesto por JE Nash (1957) se discute a continuacin: Un depsito lineal es un depsito ficticio en el que el almacenamiento es directamente proporcional al flujo de salida, es decir, S = KO. Desde el principio de la continuidad

Desde la condicin O = 0 cuando t = 0, y que S = KO,

Cuando t = , O = I, es decir, la salida se aproxima a una condicin de equilibrio y es igual al flujo de entrada. Si el flujo de entrada termina en t0 vez desde que comenz la salida, una derivacin similares da la salida en el tiempo t en trminos de flujo de O0 a cabo en t0, como

Para un flujo de entrada instantnea, que llena el depsito de almacenamiento de S en el tiempo t0 = 0, y desde S = KO, O0 = S / K, por lo tanto, la ecuacin. (16.12) Para una entrada de unidad o S = 1, la IUH del depsito lineal est dada por u (t) = Esto est representado por el hidrograma para el flujo de salida desde el primer depsito como en la figura. 16.7. b) Simulacin de canales lineales Un canal lineal es un canal ficticio en el que el tiempo T requerido para traducir un Q de descarga de cualquier magnitud a travs de un canal de alcance de longitud x dada es constante. Por lo tanto, cuando un hidrograma flujo de entrada se enruta a travs del canal, su forma no cambiar. En una seccin dada, la relacin entre el rea A y el agua de descarga Q es lineal (suponiendo que la velocidad sea constante), es decir, A = CQDonde C = f (T) llamado "coeficiente de traslacin", que es constante en una seccin dada. Si un segmento de flujo de entrada de duracin t y el volumen S se enruta a travs de un canal lineal, Fig. 16.8, la salida viene dada por O = S (t, t) Donde t, t) = Para 0 t y t = T + ; es cero en caso contrario, donde es el tiempo medido desde el principio del segmento. Eq. (16.16) es una 'funcin de impulsos ". Cuando t 0, esta ecuacin se convierte en una 'funcin de impulso' (t), conocido como una "funcin de Dirac-delta ', que representa la IUH para el canal lineal.

4. Enrutamiento Tiempo-Espacio Curva de Cuencas Los principios de las inundaciones de enrutamiento pueden ser utilizados para obtener hidrogramas unitarios para una cuenca donde no hay registros completos de lluvia-escorrenta. La captacin se puede dividir en una serie de sub-reas, cada flujo de entrada que contribuye en canales de drenaje (que tienen de almacenamiento) debido a una tormenta relmpago. El IUH se puede dividir en dos partes: la primera entrada que representa de la lluvia, y segunda, la retirada gradual del almacenamiento de captacin, siendo la lnea divisoria el punto de inflexin en la rama de recesin, Fig. 16.9. Suponiendo que la descarga de captacin (O) y el almacenamiento (S) son directamente proporcionalesS = KODonde K = coeficiente de almacenamiento.Desde el principio de continuidad, si I = ingreso resultante de la lluvia instantnea (I O) t = SO

Y Y por lo tanto Donde

que son las mismas que las Ecs. (9.12 a, b, c) con el enfoque de Muskingum, poniendo x = 0. y cuando se utiliza un grfico de distribucin sub-rea o espacio-temporal y I1 = I2, por lo tanto,

Donde De la ecuacin. (16.18),

Usando la condicin O = 0, cuando t = 0, la ecuacin se puede resolver como O= I (1-exp (-t/K) Dado que el flujo de entrada cesa en el punto de inflexin en tiempo ti, el flujo de salida en el tiempo t (en trminos de la OTI flujo de salida en ti) est dada por

Coeficiente de almacenamiento K se puede determinar a partir de un hidrograma observado sealando dos valores de O, unidad de tiempo aparte en el punto de inflexin (Fig. 16.10). El rea sombreada A = = -

Otra observacin que se debe hacer es el rezago de captacin (ti), es decir, el mximo tiempo de viajar a travs de la cuenca. Esto puede ser tomado como el tiempo desde el centro de masa de la lluvia causal (tormenta relmpago o lluvia corta rfaga para minimizar el error) para el punto de inflexin en la rama de recesin. La captacin se subdivide en iscrono tal que la lluvia que cae en cualquiera sub rea tiene el mismo momento del viaje hasta el punto de salida de O, (Fig. 16.11). El grfico de tiempo de la zona (I) tiene ahora la lluvia unidad instantnea aplicada a la misma y se enruta a travs de obtener la salida (O), Eq. (16.21). Esta salida representa el IUH para la captacin y se puede convertir, si es necesario a un hidrograma unitario tr-hr. Este mtodo es simple y la lluvia diseo se puede aplicar directamente a la grfica espacio-temporal, con la variacin de rea y con cualquier intensidad deseada. Una estimacin de K tambin se puede tener de datos sobre las ramas de la recesin de los hidrogramas de cuenca. 1.3. Flujo sinttico de la corrienteLa probabilidad de ocurrencia de inundaciones o sequas son ms severas que la que se observa a partir de los registros de flujo corriente disponibles tiene que ser conocidos. En el supuesto de que el caudal es esencialmente una variable aleatoria, es posible desarrollar un registro de flujo de sntesis por mtodos estadsticos.Se ha encontrado que los altos flujos son propensos a seguir altos flujos y los flujos bajos seguir flujos bajos, es decir, cualquier caso depende de la evento anterior. Esta persistencia se mide por un coeficiente de retraso en serie. El intervalo de retardo puede ser una o varias unidades de tiempo. Un simple retraso Markov ecuacin de generacin de flujos anuales Q es

Donde:

La Ec. (16.25) se obtiene un flujo normal sinttico que conserva la varianza mxima, y el coeficiente de primer orden de correlacin del registro observado. Modelos estadsticos de caudal se supone estacionario, es decir, la media y la varianza de las observaciones (series de tiempo) son sin cambios con el tiempo.Thomas y Fiering (1962) utilizaron el modelo de cadena de Markov para la generacin de flujos mensuales (por correlacin serial de los flujos mensuales) utilizando la siguiente ecuacin recursividad.

Donde:

La Ec. (16.25) se llama 'un retardo solo perodo Markov Modelo de cadena, donde el perodo puede ser das, meses o aos.Para reflejar diferentes medios estacionales o mensuales, se utiliza el modelo de Markov multi-periodo, lo que requiere un subndice doble indexacin como (con Q de flujos anuales)

Donde:Este modelo se ha utilizado ampliamente en el anlisis de flujo de la corriente. Los procedimientos y nica multiperiodo generacin Markov a veces dan lugar a flujos negativos. Estos flujos se deben conservar para generar los prximos flujos en secuencia y entonces pueden ser descartados.El procedimiento supone que las descargas (o su transformar) se distribuyen normalmente.Un registro de flujo sinttico generado como esto puede ser de cualquier longitud deseada y bien puede incluir secuencias de flujo ms importante que cualquier otra en el registro observado disponible. Anlisis estocstico se puede utilizar para generar un nmero de trazas de flujo sinttico de longitud igual a la vida til esperada del proyecto en estudio.Mtodos estocsticos se pueden emplear para generar un registro sinttico de la precipitacin, lo que podra ser transformado al flujo fluvial (haciendo una operacin en particular), que los registros de caudales disponibles se encuentran demasiado corto para una generacin estocstica. El proceso de Markov para generar una secuencia de datos de lluvia est dado por la relacin que expresa la probabilidad condicional de 'transicin' desde el estado i en el periodo t al estado j en (t + 1).

Matalas (1967) utiliza una representacin de matriz simple del problema, similar al modelo de Markov, como

Donde:

Los datos generados por modelos pueden ser utilizados para disear la capacidad del depsito mediante el uso de diagrama de flujo de masas de baja frecuencia y otras tcnicas. Varios cientos de aos de registros se generan para obtener un nmero adecuado de secuencias de alto y bajo flujo.1.4. FLUJO EN SITIOS no aforadas mediante regresin mltipleEn los sitios donde los registros de caudal no estn disponibles, el flujo puede ser estimado mediante una tcnica de regresin mltiple utilizando la cuenca de drenaje y las caractersticas climticas como variables independientes. La constante de regresin y el coeficiente se calculan utilizando datos de caudal de las corrientes calibrados. Al expresar las variables en logaritmos comunes, la ecuacin puede ser transformado a la forma lineal como

Donde:Q = anual o mensual de flujo mximo o el volumen de escorrenta con cualquier probabilidad y duracin asignada; la variable dependiente, cumec.a = constante de regresinx = una caracterstica variable independiente de una cuenca de drenaje o su factor climticob = el coeficiente de regresin de xSe requieren veinte o ms conjuntos de datos para obtener valores fiables de la constante de regresin y los coeficientes mediante la resolucin de la ecuacin. (16.28), que normalmente se realiza mediante el uso de un ordenador.1.5. DEPSITO DE MASAS DE CURVASUna curva de masa (o diagrama de Rippl, 1882) es un trazado acumulativo de entrada neta depsito (Fig. 16,14), y se expresa como

Donde:V (t) = volumen de la escorrentaQ (t) = depsito de flujo de entradaAmbos como funciones del tiempo

La tasa instantnea de flujo en cualquier punto de la curva de masa est dada por la pendiente de la tangente en el punto, es decir,

Como ya se ha discutido, la curva de masa tiene muchas aplicaciones tiles en el diseo de un depsito de almacenamiento, tales como la determinacin de la capacidad del depsito, el procedimiento de operaciones y el enrutamiento de inundacin.1.6. RESIDUAL CURVA DE MASASEn lugar de trazar una curva de masas, la salida de la curva de la masa de la normal (AB) puede registrarse en tiempo. En otras palabras, la curva de masa se traza alrededor de un eje horizontal obtenido mediante la rotacin de la lnea media AB pendiente de la curva de la masa, a la horizontal (Fig. 16.14 (c)). Dicha parcela se denomina "curva de masa residual '. Este mtodo de trazado ahorra el espacio adicional necesario para trazar una curva masa creciente de forma continua y para acentuar ms claramente las crestas y valles de los registros de flujo acumulativos.La diferencia entre los valores mximos y mnimos de una curva de masa residual durante un perodo determinado "n" es conocido como el 'rango' para el perodo "n". Si R es el rango de un perodo de "n" aos de la escorrenta anual de registros cuya muestra la desviacin estndar es , entonces segn Hurst (1951, 1956) y Klemes (1974)

Donde k varan de 0.5 a 1 con un valor promedio de 0.73. Aqu R ser el almacenamiento requerido si una descarga constante igual a la media durante un perodo de n aos se va a producir. Tericamente, se puede demostrar que si el registro escorrenta es una serie de tiempo aleatoria distribuida normalmente, entonces

donde p = la desviacin estndar de la poblacin.1.7. SELECCIN DE CAPACIDAD DE EMBALSELa determinacin de la capacidad requerida de un depsito de almacenamiento por lo general se llama un "estudio de la operacin 'usando un registro a largo sinttico. Un estudio de la operacin puede realizarse con intervalos anuales, mensuales o diarios de tiempo; datos mensuales son los ms utilizados.Cuando el anlisis implica datos sintticos largos, se utiliza un ordenador y un algoritmo de pico secuente se utiliza comnmente. Los valores de la suma acumulada de los retiros menos flujo de entrada, teniendo en cuenta la precipitacin, evaporacin, infiltracin, los derechos de agua de los usuarios intermedios, etc., se calculan, (Fig. 16.15). El primer pico y el siguiente pico siguiente, que es mayor que el primer pico, es decir, el secuente, pico, se identifican.

La diferencia mxima entre este pico secuente y el canal ms bajo durante el perodo en estudio se toma como la capacidad de almacenamiento necesaria del depsito.16.8.1 PREDICCIN DE INUNDACIONESCon la operacin de centros de prediccin de inundaciones en la India desde 1969, la prdida de vidas y el sufrimiento de la gente se minimizan en gran medida debido al avance de advertencia. En el pas, existen 8 centros de prediccin con 25 sub-centros y ms de 200 sitios de observacin han sido equipadas con la tecnologa inalmbrica. Adems de esto, los datos de lluvia de 30 estaciones pluviomtricas ordinarias y 50 estaciones pluviomtricas auto-grabacin tambin se recogen para complementar los datos de calibre y de descarga.Tabla 16.2 Estudio de operacin para un depsito de almacenamiento (Ejemplo 16.3)

Factores que regulan la previsin se pueden dividir en dos grupos inicial y final. Los factores iniciales rigen las condiciones existentes en el momento en que se hace el pronstico y se puede estimar sobre la base de observaciones hidrometeorolgicas actuales. Los factores finales incluirn las futuras condiciones climticas y tiene que ser tenido en cuenta en las previsiones hidrolgicas, si una previsin meteorolgica precisa. En la prctica, las previsiones a corto plazo de los elementos meteorolgicos estn siendo utilizados en la compilacin de predicciones y avisos hidrolgicos.Los elementos de pronsticos incluyen pronostican de cresta etapas, la descarga y el tiempo de ocurrencia, etc. En algunos casos, los otros elementos del rgimen bsico de agua a ser conocidos son:(I) el volumen de la escorrenta en relacin con diversos perodos de tiempo(Ii) la distribucin del flujo(Iii) MWL en el depsito y los datos de ocurrenciaLos datos necesarios para hacer una previsin exacta son:(A) el escenario y la descarga de aguas arriba de la estacin base(B) el escenario y la descarga de la estacin de previsin(C) cambio de escenario y descarga de estas estaciones(D) el escenario y descarga de cualquier afluente unirse a la corriente principal entre la estacin base y el sitio de la previsin(E) la intensidad, la duracin y distribucin de la precipitacin en el principal, interceptado o sub-cuenca(F) la topografa, la naturaleza de la vegetacin, tipo de suelo, uso del suelo, la densidad de poblacin, la profundidad de GWT, etc., de la cuenca principal o interceptado(G) las condiciones atmosfricas y climticas.Los factores (a) a (d) son los parmetros bsicos usados en el desarrollo de curvas de correlacin o modelos matemticos; los factores (d) se puede descuidar si su contribucin no es apreciable, y los factores (e) y (f) se tienen en cuenta para la introduccin de las precipitaciones y el ndice de precipitacin antecedente como parmetros adicionales; Sin embargo, (g) se erige como un factor de futuro.Los mtodos forecasing utilizados actualmente en el pas son:(A) sobre la base de las leyes que rigen el movimiento del agua en el canal, es decir, utilizando los mtodos hidrodinmicos para determinar el movimiento y la transformacin de las ondas de inundacin(B) a partir del anlisis de los datos hidrometeorolgicos de la cuenca del ro, es decir, estudios de balance de agua teniendo en cuenta la precipitacin, el equivalente en agua de la capa de nieve, la humedad del suelo, aguas subterrneas y otros factores, y la estimacin de la escorrenta, lo que requiere el uso de un computadora.Para las pequeas cuencas, los clculos aproximados de movimiento de las inundaciones y la transformacin se pueden hacer a travs de:(I) de correlacin mltiple entre las observaciones de la etapa y de descarga(Ii) de enrutamiento de caudales en tramos fluviales(Iii) modelo matemticoCorrelacin mltiple tiene la ventaja de utilizar parmetros como la lluvia o el ndice de precipitacin antecedente. Mtodo de enrutamiento de caudales incluye el efecto del almacenamiento de canal de la forma y el movimiento de la onda de crecida; Mtodo de Muskingum se utiliza generalmente. Por ejemplo, la ecuacin de enrutamiento desarrollado entre Sikanderpur y Rossera en Burhi Gandak (Bihar) es

Donde:

16.8.2 MODELO MATEMTICOUn depsito lineal atena el pico de un hidrograma de entrada y un canal lineal traduce hidrograma de entrada en el tiempo, que son representativos de la accin fsica realizada por la captacin. Por lo tanto, un modelo de un depsito lineal conectado en serie con un canal lineal se puede seleccionar en este estudio. Un canal lineal se define por el tiempo de retardo o el tiempo de desplazamiento de la onda de crecida y se determina aproximadamente con la ayuda de tiempo para picos de eventos de inundacin en las estaciones aguas arriba y aguas abajo de un tramo de ro. Ecuacin de Muskingum define el reservorio lineal por su relacin de almacenamiento de descarga como

Desde el principio de la continuidad

El perodo de enrutamiento t (intervalo de tiempo entre O1 y O2) debe ser igual o menor que el tiempo de viaje a travs de la alcance.Eq. (16,37) para los intervalos de tiempo sucesivos se puede escribir como

Suponiendo que la etapa (altura manomtrica) curvas aprobacin de la gestinParlamento como una lnea recta (como primera aproximacin), si las pendientes de la curva de aguas arriba y aguas abajo son 1 / a y 1 / b, Fig. 16.18 (a) entonces

a. Etapa - curvas de gasto de descarga asumido lineal

b. Curvas de nivel-caudal dividen en tres partes linealesFig. 16.18 curvas Etapa-descarga-calificacin SupongaSustituyendo esto en la ecuacin. (16.40)

Del mismo modo, la sustitucin en la ecuacin. (16.41) da

Ecuaciones. (16.42) y (16.43) se puede escribir como

Por lo tanto, un nmero de ecuaciones se puede obtener a partir de los datos observados y resuelve para x1, x2 y x3 por la tcnica de mnimos cuadrados. Dado que el nmero de tales ecuaciones son muy grandes, de grandes conjuntos de datos, un ordenador puede ser utilizado. Por ejemplo, las ecuaciones desarrolladas para un alcance recta entre Muzaffarpur y Rossera en Burhi-Gandak sonEl aumento de la etapa:

La cada de la etapa:

Como un refinamiento adicional de las curvas de descarga de la etapa pueden ser divididos en partes lineales, dicen tres, y las pistas indican de acuerdo con los rangos lineales en los que las etapas se encuentran, como se muestra en la Fig. 16,18 (b), y las ecuaciones que resuelve usando la tcnica de regresin mltiple.Contribucin debido a un afluente importante entre la estacin base y la estacin de prediccin tiene que ser tomado en cuenta.Los resultados de enrutamiento de inundacin entre Sikanderpur (Muzaffarpur) y Rossera por diferentes mtodos durante las 1975 inundaciones se dan en la Tabla 16.3 para la comparacin. Se puede observar que el mtodo Muskingum ha dado resultados ms consistentes. Una imagen clara del pronstico y la comparacin con los valores anteriores han encontrado que es posible slo en la correlacin grfica y pequeo ajuste basado en la experiencia se puede hacer en el valor predicho. Estos no son posibles en el modelo matemtico y tambin el modelo no puede dar mejores resultados en los ros que tienen las fluctuaciones a gran escala debido a la existencia de estructuras de control, su funcionamiento o la naturaleza llamativo de la corriente.Contribucin debido al TributariaContribucin debido a un afluente importante entre la estacin base y la estacin de prediccin tiene que ser tomado en cuenta. Por ejemplo, los tres principales afluentes del Ganges afectan el manmetro aguas abajo en Patna, distintas de las propias (Fig. 16.19).Tabla 16.3 Comparacin de los resultados del pronstico de inundacin

* La gran variacin en la ltima observacin se debe al nmero de infracciones en el terrapln entre Muzaffarpur y Rossera.En tal caso, la ecuacin de Muskingum modificado puede ser escrito como

Del mismo modo, O3 se puede escribir y O3 - O2 se puede evaluar. Aproximacin, su etapa (altura manomtrica) - curva de descarga, a una lnea recta, la ecuacin final ser de la forma (escritura G3 - G2 como G3.2 y as sucesivamente)

Nmero de ecuaciones se han formado como esto de los datos observados y resuelto por las constantes mediante la tcnica de mnimos cuadrados utilizando un ordenador. Las constantes obtenidos para el sitio de pronstico en Patna para las 1975 inundaciones se dan en la Tabla 16.4, y los niveles alcanzados en la Tabla 16.5 (en comparacin con los valores obtenidos por la correlacin grfica, que ha dado mejores resultados).Tabla 16.4 Constantes para sitio de previsin a Patna

Tabla 16.5 Inundacin pronostica resultados en Patna durante 1975