MODELO MATEMATICO EN LA INDUSTIA

APLICACIN DE UN MODELO MATEMTICO DE TRANSPORTE EN UNA COMPAA FABRICANTE Y DISTRIBUIDORA DE ROPA INDUSTRIAL, USANDO PROGRAMACIN LINEAL ENTERA

MYRNA LUZ VERGARA MARTNEZ

Universidad EAN, Bogot Colombia

RESUMEN

El presente trabajo tiene como propsito ofrecer un modelo de transporte para una compaa fabricante de ropa industrial ubicada en Barrancabermeja Santander (Colombia), donde se encuentra ubicada la refinera de petrleo ms grande de Colombia, usando para este fin la programacin lineal. El proceso general de distribucin se organiza en niveles que se suceden entre la empresa y sus diferentes clientes. En cada nivel se pueden ver claramente unidades de origen-destino, entre un origen y varios destinos, con transporte directo y con variaciones en las fechas de entrega de los pedidos a transportar. La programacin de la distribucin se realiza en cada unidad, utilizando programacin lineal entera, considerando en la formulacin flota limitada e ilimitada de transportes. La programacin global se obtiene como superposicin de las programaciones de todas las unidades origen-destino. Para validar el modelo se utilizaron los datos proporcionados por una empresa del sector industrial Manufacturero (fbrica de Ropa) que cumple las caractersticas requeridas.

Palabras claves: modelos de optimizacin, transporte, distribucin de productos, programacin lineal entera.

APPLICATION OF A MATHEMATICAL MODEL OF TRANSPORT INTO A COMPANY MANUFACTURER AND DISTRIBUTOR OF CLOTHING, USING INTEGER LINEAR PROGRAMMING

ABSTRACT

The present study aims to offer amodeloftransporting for an Industrial clothes factory, placed in Barrancabermeja Santander (Colombia), Where is located the biggest petroleum refinery in Colombia, using for this purpose thelinear programming. The global process of distribution is considered to be divided in successive levels between the company and their clients. In each level units of origin - destination are variations between the origin and several destinations, by direct transport and by roominesss in the delivery dates of the orders to transporting. The programming of the distribution is realized in every unit, using linear entire programming, considering in the formulation limited and unlimited shipping. The global programming obtains as overlapping of the programming of all the units origin - destination. To validate the model there has been in use the information provided by a company of the industrial Manufacturing sector (Clothes factory) that fulfills the required characteristics.

Keywords: optimization modeling, distribution transport, product distribution, integer linear programming

INTRODUCCIN

Para optimizar la asignacin de las tareas a ejecutarse (entrega de pedidos) a los recursos disponibles (vehculos) se emplea la programacin de la distribucin, especficamente en el anlisis de la distribucin fsica de la compaa, esto con el objetivo de optimizar el flujo de productos desde el rea de produccin hasta el usuario final o clientes.

Como punto de partida se toma como referencia a Laporte (1992) quien aplic la programacin matemtica y sustrajo los principales algoritmos exactos y heursticos desarrollados en problemas relacionados con vehculos. Por otra parte, Baita et al (1998) quienes presentaron una clasificacin de los problemas de rutas, considerando tambin los costos de almacenamiento. Hal et al (2001) presentaron el estado del arte de las herramientas existentes y de los paquetes de programas disponibles para el estudio global de la cadena logstica, y apuntan sus limitaciones. En esta misma lnea de investigacin, se pueden encontrar los trabajos de Jayramman y Pirkul (2001).

Se puede observar que las limitaciones de los estudios globales se hacen ms evidentes en el caso de empresas que debido a su estructura hacen que sea necesaria una programacin en un horizonte a corto plazo, y que pueden variar considerablemente de otras programaciones anteriores y futuras.

Actualmente la mayor parte de los estudios realizados en el mbito de la distribucin fsica de una empresa se concentran en el diseo de la estructura general de la distribucin, extendindose en muchos casos a otros procesos logsticos de la empresa.

En este trabajo se presenta la optimizacin de la distribucin, mediante programacin matemtica para empresas que precisen una programacin a corto plazo y que posean las siguientes caractersticas:

1 Flota de vehculos disponibles conocida.2 Distribucin basada en transporte directo origen-destino.3 Distribucin entre un origen y diferentes destinos.4 Disponibilidad de un listado de pedidos a entregar en un cierto horizonte de tiempo, con fechas de entrega mnima y mxima (Variaciones en las fechas de entrega).

Esta caracterizacin tiene presente algunos aspectos no contemplados generalmente en la programacin de la distribucin, como son las variaciones en las fechas de entrega de los pedidos. Se debe tener presente este margen que existe, sobretodo en el transporte entre bodegas, ya que puede reducir significativamente los costos de transporte, permitiendo de paso realizar menos despachos con los transportes aprovechando al mximo su capacidad de carga.

Teniendo presente lo anterior, se ha empleado una analoga entre la programacin de la distribucin y la programacin y la secuenciacin de prendas a los diferentes vehculos. La analoga se establece entre los vehculos y las mquinas, y entre viajes y prendas. Con ello se han aplicado los procedimientos de sanciones de tiempo de retraso en las entregas empleados en la programacin y secuenciacin de prendas a los vehculos, tomando como referencia a Backer y Scudder (1990), y aplicando la programacin lineal entera. (Verma y Dessouky, 1998)

El proceso general de distribucin se encuentra dividido en sucesivos niveles entre la empresa de referencia y sus distintos clientes; por ejemplo, entre sus puntos de fbrica o bodegas y las empresas compradoras, entre las bodegas o puntos de fbrica y grandes clientes finales como Ecopetrol en sus distintas ubicaciones dentro de la zona urbana y rural. En cada nivel se distinguen unidades origen-destinos (UOD), constituidas por un centro origen que transporta productos a distintos destinos, siempre con transporte directo.

La programacin de la distribucin para cada UOD se hace independientemente y por separado, y la programacin de todo el proceso de distribucin considera la unin de las programaciones de las UOD.

Con el modelo presentado se busca minimizar el nmero de viajes que se deban realizar. En relacin con la flota de vehculos disponibles, se estudian dos posibilidades distintas: flota limitada, que restringe en nmero de Vehculos que se pueden utilizar en una misma unidad de tiempo, y flota ilimitada. Si la flota es limitada, se hace necesario programar la distribucin a todos los destinos al mismo tiempo; pero si es ilimitada, la programacin global puede simplificarse en sub-problemas que programen independientemente la distribucin a cada destino (Azizoglu y Webster 2001).

A partir de los datos obtenidos de la empresa del sector Textil fabricante de dotaciones industriales se procede con la evaluacin del modelo de programacin de la distribucin, en la que las variaciones en las fechas de entrega es un factor importante, que se adapta a la caracterizacin definida.

METODOLOGA Y HERRAMIENTAS EMPLEADAS

Como herramienta principal de apoyo se emplea el paquete computacional LINDO for Windows que ejecuta el programa Linear and Integer Programming en un Computador porttil Lenovo Z40 con procesador Intel Core I5 4200 a 1.60 GHz y 2.30 GHz y con 6Gb de RAM. La experimentacin se basa en mltiples grupos de ejemplares generados de forma aleatoria a partir de los datos proporcionados por la empresa en referencia.

Como ya se haba mencionado, la empresa referencia para la toma de datos de este trabajo, se dedica a la fabricacin y distribucin de ropa Industrial especialmente dentro de la regin del magdalena medio y gran parte del territorio Colombiano, en ciertas regiones de los llanos orientales, putumayo y costa atlntica en donde el sector petrolero viene ganado terreno, Sin embargo, en el presente trabajo se acota el alcance del anlisis para incrementar los esfuerzos del estudio en detalles ms especficos (se enfoca en una sola ciudad especficamente en Barrancabermeja-Santander). Los clientes se sitan en cuatro comunas distintas (urbanas y Rurales), y las caractersticas de la ciudad de hacen que se encuentren concentrados en zonas relativamente pequeas.

La empresa despacha pedidos a sus clientes principales, una vez al mes. La distancia entre los clientes de una zona, en comparacin con la distancia a las bodegas o centros de despacho y la frecuencia de entregas, brinda la posibilidad de considerar el transporte como directo origen-destino, tal como se plantea en el modelo, es importante tambin considerar que los tiempos en las entregas pueden ser variables, toda vez que los clientes brindan un margen de una semana en la fecha de entrega, bien sea antes o despus de la fecha de entrega solicitada. En trminos generales, el tamao de los distintos pedidos de los diferentes clientes representa una tercera parte de la capacidad de carga de los transportes. A cada uno de los clientes se enva mensualmente entre uno y tres transportes.

Para resolver la programacin de la distribucin y el modelado matemtico, se utiliza un procedimiento exacto: la programacin lineal entera (PLE). En Ferrer et al. (2000) en el que se propone un algoritmo heurstico del tipo lanzamiento (dispatching), para aplicarse en los casos en los que la PLE no sea adecuada teniendo en cuenta el tamao del ejemplar que se pretenda estudiar.

La programacin de la distribucin como un problema de asignacin de recursos a tareas y programacin de la secuencia de ejecucin, se plantea mediante la aplicacin del algoritmo de lanzamiento, con el cual se van seleccionando continuamente recursos (transportes) y las tareas (pedidos) a ejecutar con el recurso seleccionado, hasta programar las tareas pendientes. Las selecciones se basan en criterios por determinar, que pretenden disminuir los costos intentando cargar los transportes al mximo y disminuir el nmero de viajes por hacer.

Los parmetros caractersticos para este modelo PLE son los siguientes:

SA: Cantidad de unidades de tiempo del horizonte de programacin.SH: Vehculos disponibles. CH: Capacidad de carga del transporte ND: Destinos. Zd: Costos de viaje hacia el destino d.N: Cantidad de pedidos.FNi: Fecha mnima de entrega del pedido i. FXi: Fecha mxima de entrega del pedido i.Ki: Carga del pedido i.Di: Destino del pedido i

Para representar la carga de los transportes se incorpora un parmetro que permite representar la restriccin de capacidad de carga con una variable unidimensional; por ejemplo, el peso, el volumen o el nmero de prendas que caben dentro del vehculo.

A continuacin se expone la formulacin del modelo para los casos donde la flota es limitada que, como se ha explicado, condiciona la programacin de la distribucin a todos los clientes conjuntamente; y por otra parte la flota ilimitada, que considera independientemente la distribucin a cada cliente.

Flota limitada

Las variables binarias que utilizadas en PLE son las siguientes:

Givt: El pedido i es entregado (o no) con el vehculo v en la unidad de tiempo t.Vvdt: El vehculo v llega (o no) al destino d en la unidad de tiempo t.

SH ND SA[min]Z = (Vvdt xZd) v-1 d-1 t-1fx SH G ivt =1,1iN,.. t-FN v-1G ivt Vvt,1iN,1vSH,FNitFXi,..d=Di

ND Vvdt 1,.1vSH,1tSA.. d=1

NCH (K t xGivt ) 1vSH,1tSA,.. t-1

La restriccin garantiza que cada pedido se tomar un solo da con un solo vehculo entre las fechas de entrega mnima y mxima. La verifica que cada pedido sea despachado con un vehculo que va al cliente, destino correcto el da que se enva el pedido. La restriccin limita a uno los despachos realizados por unidad de tiempo por un vehculo, y la restringe que se supere la capacidad de carga de los vehculos. El lmite de la flota puede ocasionar que el problema no sea factible. En este caso, la flota mnima que permitiera entregar todos los pedidos a tiempo se puede presentar en forma iterativa, aumentando el nmero de vehculos disponibles hasta conseguir la solucin del problema.

Flota ilimitadaLas variables binarias que se utilizan en PLE son las siguientes:Xivt: El pedido i es entregado (o no) con el vehculo v en la unidad de tiempo t.Vvt: El vehculo v es usado (o no) en la unidad de tiempo t.

El modelo con PLE es el siguiente:

SH ND NT[min]Z = (VVT XzD) v-1 d-1 t-1fx SH G ivt =1,1iN,.. t-F N v-1G ivt Vvt,1iN,1vSH,FNitFXi,..

NCH (K t xGivt ),1vSH,1tSA.. t-1

La restriccin garantiza que los diferentes pedidos se toman un solo da con un solo vehculo entre las fechas de entrega mnima y mxima. La limita que cada pedido se enve con un vehculo que va al cliente, destino correcto el da que se enva el pedido y la restringe que sea superada la capacidad de carga de los vehculos.

RESULTADOS

Gracias a los datos de la empresa en anlisis, se han creado ejemplares aleatoriamente en los que se vara: el nmero de pedidos a entregar, el margen de fechas de entrega variaciones temporales- y el horizonte de planeacin (tiempo). El tiempo mximo de resolucin se calcula, para cada ejemplar, proporcional al nmero de pedidos.

La aplicacin del modelo a la empresa estudiada se ha realizado considerando la planificacin para cada destino de forma independiente y con una flota suficiente para que puedan entregarse todos los pedidos.

A continuacin se muestran los resultados que corresponden a un destino (flota ilimitada), comparando el caso de variacin temporal de una unidad de tiempo escenario 1- y de dos unidades de tiempo escenario 2-. Para los dos escenarios se hace un comparativo entre el nmero de ejemplares resueltos, de cada 100, variando el tiempo mximo de resolucin entre el valor calculado a partir del nmero de pedidos, que est comprendido entre 200s y 1000s, un 50% del mismo y un 10% del mismo.

Adicionalmente, se cotejan el nmero de ejemplares resueltos en el caso de que se llegara a considerar un nmero mximo de Transportes diferentes (1, 2 y 3). El modelo se aplica a un horizonte temporal determinado. En este trabajo se presentan los resultados para un horizonte de 5 unidades de tiempo y para un horizonte de 10 unidades de tiempo.

De esta manera, la Tabla 1 presenta los resultados obtenidos para el primer horizonte temporal y la tabla 2 para el segundo horizonte temporal considerado. En las Tablas 1 y 2 se puede observar que el margen en la entrega de pedidos no afecta significativamente en el nmero de ejemplares resueltos.

Por otra parte, en las grficas se puede observar este comportamiento, ya que el nmero de entregas requeridas hace que el margen no vare sustancialmente (fig.1) con relacin a los horizontes de planeacin supuestos. La cantidad y nmero de ejemplares resueltos no cambia de forma significativa al cambiar dichos mrgenes (fig.2).

A su vez, La trayectoria trazada presenta una considerable disminucin en los tiempos proyectados para las entregas. Los ndices marcados en las grficas responden a los tiempos de entrega con variaciones mnimas en los mismos tiempos previstos. (fig. 2)

Tambin se puede apreciar que el modelo permite la consideracin de los mrgenes en las fechas de entrega de los pedidos. Este aspecto es muy relevante, principalmente al momento de optimizar los procesos de entrega del producto.

Tabla 1: Cantidad de ejemplares resueltos, de un total de 200 Para un horizonte temporal de 5 unidades de tiempo.

Escenario 1Escenario 2

Ejemplares123123

100%194190198194192194

50%194188192192188194

10%180182182180176178

Tabla 2: Cantidad de ejemplares resueltos, de un total de 200 Para un horizonte temporal de 10 unidades de tiempo

Escenario 1Escenario 2

Ejemplares123123

100%140118108144134125

50%126108102128120112

10%188140136184168160

2

1

Figura 1. Significancia entre el nmero de entregas requeridas y los horizontes de planeacin supuestos

Fig. 2 Significancia entre el nmero de entregas requeridas y los horizontes de planeacin supuestos

CONCLUSIONES

El modelo de transporte de distribucin que tiene como fundamento la adicin de unidades origen- destinos resulta apropiado para modelar en la empresa seleccionada y brinda la oportunidad para disear e implementar un procedimiento exacto para la programacin de la distribucin de esta empresa del sector textil y de cualquiera que tenga caractersticas similares.

Los resultados obtenidos se calcularon en dos formas aleatorias a partir de los datos entregados por la empresa seleccionada, demostrando que el modelo permite obtener el ptimo en un porcentaje elevado de ejemplares para horizontes de tiempo que son los utilizados por la empresa, ya que 5 unidades de tiempo corresponde a una planificacin de 5 meses.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Laporte, G. The vehicle routing problem: an overview. European Journal of Operational Research, 59, 345-358 (1992).

Baker K.R y G.D Scudder. Sequencing with earliness and tardiness penalties: a review. OP, 38 (1), p. 22 (1990).

Baita, F., W. Ukovich, R. Pesento, R y D. Favaretto, Dynamic routing and inventory problems: a review. Transportation Research. Part a. 32 (8), 585-598 (1998).

Hal, Z., R. Batta y R. Szczerba, Supply-Chain optimization Players, tools and issues.OR Insight. 14, (2), 20-30 (2001).

Azizoglu, M. y S. Webster.Scheduling a batch processing machine with incompatible job families. Computers & Industrial Engineering, 29, p. 325 (2001).

Ferrer, A.C. y M. A. de los Santos. Un modelo de transporte de distribucin. Actas del XIV Congreso de Ingeniera Mecnica. Madrid, (2000).

Jayaraman, V. y H. Pirkul, Planning and coordination of production and distribution facilities for multiple commodities. European Journal of Operational Research. 133, 394- 408 (2001).

Verma, S. y M. Dessouky. Single-scheduling of unit-time jobs with earliness and tardiness penalties. Mathematics of Operations Research, 23 (4), 930-943 (1998).