FABIO MANOEL KRAVETZ

A MATEMATICA DAS PIRAMIDES

Monografia apresentada como requisiteparcial II obtencao do titulo de Especialistaem Educar;:IIo Matematica, Curso de P6s-Graduac;ao em Educac;ao Matematica,Universidade Tuiuti do Parana.Orientador: Prof. Dr. Jorge Bernard

CURITIBA

2003

RESUMO

Este trabalho apresenta urn estudo sabre as piramides, tanto na area da geometria

quanta na area da hist6ria. Procurei mostrar a importancia da geometria para a

evolu9iio da humanidade e atraves da geometria espaeial apresentei formulas

impcrtantes para a exeeu9iio de caleulos com as piramides. Explorando um poueo a

histona escrevi textos sabre 0 surgimento das piramides e como foram construidas ecomo Tales de Mileto mediu a altura de uma piramide usando apenas uma vara.

Buscando relacionar a matematica com as constrwyoes egipcias, escrevi sabre cincopiramides egipeias: a piramide de Keops, a piramide de Kefren, a piramide de

Miquerinos, a piramide de Djoser e a piramide Torta.

iii

SUMARIO

RESUMO ...

INTRODUC;:AO ..

1.1 OBJETIVOS ..

1.2 A IMPORTANCIA DA GEOMETRIA ...

1.3 A GEOMETRIA ESPACIAL. ...

1.4 COMO SURGIRAM AS PIRAMIDES ...

1.5 COMO FORAM COSTRUIDAS .

2 A GEOMETRIA DAS PIRAMIDES .

2.1 0 CONCEITO DE PIRAMIDE. ...

. iii

. 01

. 01

. 01

. 03

. 03

. 04

.06

. 06

2.2 ELEMENTOS DE UMA PIRAMIDE... . 06

2.3 CLASSIFICAc;:Ao DAS PIRAMIDES PELO NUMERO DE LADOS DA BASE ..072.4 PIRAMIDE REGULAR RETA.... . 07

2.5 AREA LATERAL DE UMA PIRAMIDE. ..

2.6 AREA TOTAL DE UMA PIRAMIDE. ..

2.7 VOLUME DE UMA PIRAMIDE. ..

...08

...08

. 08

2.8 SECC;:AO TRANSVERSAL DE UMA PIRAMIDE.... . 09

2.9 TETRAEDRO..... ..11

3 A FAC;:ANHA DE TALES DE MILETO... . 12

4 AS PI RAMI DES DO EGITO.... . 14

4.1 A PIRAMIDE DE KEOPS.... . 14

4.2 A PIRAMIDE DE KEFREN... . 16

4.3 A PIRAMIDE DE MIQUERINOS... . 18

4.4 A PIRAMIDE DE DJOSER.... ...20

4.5 A PIRAMIDE TORTA... . . 22

5 CONCLUSAO... . 25

REFERENCIAS... . 26

iv

INTRODUCAO

1.1 OBJETIVOS

o ensina da matematica, teve inicio no periodo das anti gas civiliza¢es, einfluenciou0 seu desenvolvimento ate as dias atuais. Este trabalho busca mostrar aimportancia da geometria para 0 estudo das piramides e mostrar urn poueD da

cultura egipcia que contribuiu tanto para 0 conhecimento de varias ciancias, eprincipalmente mostrar a relac;ao das constru¢es egipcias com a matematica.

Tentarei mostrar claramente, com a melhor das intenyoes todes esses topicos, etambem atraves da realizac;ao desse trabalho procurare; tirar 0 maior proveito para 0

meu aprendizado, buscando e tentando colher informa,oes uteis que sejam

satisfat6rias para que par meio da pesquisa eu possa engrandecer meuconhecimento.

1.2 A IMPORTANCIA DA GEOMETRIA

Muito cedo, as homens tiveram que dividir 0 espayo com a natureza, anima is eentre si. Primeiramente, para proteger-se dos animais refugiavam-se no topo dasarvores. Mais tarde, observando que alguns animais usavam cavernas e impel ida

pela necessidade de abrigar-se das intemperies, 0 homem passou a disputar as

cavern as com os animais. Com a passar do tempo, as cavernas encontradas, feitaspela natureza, tornaram-se insuficientes, e 0 homem passou a construir os pr6priosabrigos. Estas primeiras construyaes, mesmo que feitas de sobreposiyao de blocos

de pedras, a exemplo das cavemas, devem ter contribuido para a formayao de

noc;6esgeometricas como formas, e medidas. Ao construir seus abrigos, a homemacumulou conhecimentos. Certamente percebeu quer algumas pedras deveriam ficar

em pe para sustentar outras que, por sua vez, deveriam ficar afastadas e paralelasao chao e para conseguir montar este arranjo precisava de pedras apropriadas. Da

mesma maneira, deve ter experimentado diferentes formas na tentativa de otimizar

seus instrumentos de caga e pesca. Nesta fase do homem coletor, podemos afirmar

que para ele, 0 ponto de referencia de organizagao do espago e 0 proprio corpo,

como se espago se reduzisse apenas ao lugar delimitado ate onde vao os limites de

seu corpo. Entao, longe, perto, em eima, embaixo, atras, enfrente sao rela90es

estabeleeidas a partir de si mesmo e nao de um objeto em rela9aOao outro. Mais

tarde, quando 0 homem fixa-se na terra, par descobrir que pode produzir seu

alimento, ha um desenvolvimento muito rapido das rela90es espaeiais. A diferen9a

do homem eoletor, 0 homem produtor fixa-se em determinadas regioes, delimita

porgoes de terra para cultivar, constroi suas habitacoes com cana, madeira, pedra e

excremento de animais, cria os instrumentos para cultivar a terra, os utensflios

domestieos. 0 homem de forma aos objetos visando sua utilidade e pratieidade.

Certamente um objeto para comer e mais pratico se imitar a concha das maos, ou a

outros similares que encontra pronto na natureza e que cumprem esta func;ao da

mao para comer, como cascas de frutas em forma conca va. A imitacao destes,

eonfeeeiona objetos e gradativamente, vai aperfei90ando suas bordas ate Ihe

conferir a forma perfeitamente circular. Do mesmo modo, urn caminho trac;ado pelas

inumeras pisadas do ir e vir sugere-Ihe uma linha reta, assim como 0 cipo que

amarra 0 montinho de gravetos que usa para contar as ovelhas que carrega para

alimentar 0 fogo. Fica entao evidente que 0 homem nao copia meramente as formas

da natureza, mesmo porque, nela nao encontra a linha reta, ou 0 circulo perfeito, ela

as recria mediante a a980, impulsionada pela necessidade de se suprir de

instrumentos que Ihe possibilitem superar os limites que Ihes sao proprios, por ser

ele tambem natureza. 0 homem cria, abstraindo as formas que imprime aos objetos

que constr6i. A este respeito diz Alexandrov: "Na verdade, 0 homem primeiro deu

forma a seus materiais e somente mais tarde reconheceu a forma como algo que se

imprime a materia e que pode, por conseguinte, ser considerada em 5i mesma

fazendo abstra90es daquela". Aleksandrov e outros, (1985, 38).

Nao poderiamos supor que este e um principio norteador para 0 ensino da

geometria?

Observando e refinando as formas dos objetos para deles fazer 0 melhor uso, 0

homem conseguiu melhorar seu trabalho manual e desse modo elaborar, com maior

preeisao, tambem a no,ao abstrata de forma. A partir deste movimento de

observagao, a98.-o e criaryao de formas e relagoes espaciais 0 homem desenvoJve

modos de ver e interpretar a natureza e passa a dizer entao que 0 mundo e

inerentemente geometrico. Mas 0 homem teve que manufaturar muitos objetos,

construir inumeras cabanas, esticar muitas cordas, fazer inumeras medi¢es para

adquirir uma no(:iio clara de formas, linha reta, medida, como sendo aquela

qualidade comum a todos os casos particulares. Atravessando os seculos, 0 homem

produtor evoluiu e vamos encontra-Io dominando rela~6es geometncas que Ihe

possibilitaram construir as piramides no Egito, os aquedutos em Roma, os grandes

templos na Grecia ate conseguir reunir seus conhecimentos em urn solido e

consistente tratado te6rico da geometria: Os elementos de Euclides. Nao ha duvida

que esse corpo de conhecimento organiza 0 mundo segundo uma visao das linhas

retas porque foi assim que 0 homem veio construindo sua visao geometrica do

mundo. Dado a a~ao e a consciencia humana evoluiram interdependentemente, e

possivel que 0 homem ainda hoje projete novas vis6es do mundo que nao s6 a das

linhas retas.

1,3 A GEOMETRIA ESPACIAL

A geometria espacial (euclidiana) funciona como uma amplia(:iio da geometna

plana (euclidiana) e trata dos metodos apropriados para 0 estudo de objetos assim

como a rela~ao entre esses elementos. Os objetos primitiv~s do ponto de vista

espacial, sao: ponto, retas, segmentos de retas, pianos, curvas, angulos e

superficies.

Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao: comprirnento de

curvas, areas de superficies e volumes de regi6es s6lidas.

Foi 0 matematico grego Arquimedes (sec.III a.c) que, durante seu banho,

reparando que 0 nivel da agua da banheira em que estava, aumentava conforme ele

mergulhava seu carpo, descobriu que os corpos possuem volume.

1.4 COMO SURGIRAM AS PIRAMIDES

No periodo pre-dinastico, au seja, a anterior ao ana 2920 a.c, os carpos eram

enterrados em covas retangulares ou ovais cavadas na areia. 0 cadaver era

colocado de lado, numa postura fetal, enrolado numa esteira de junco e ao seu redor

eram dispostos alguns pertences pessoais como pulseiras colares, instrumentos de

caga e vasos contento comida e bebida. As vezes tais sepulturas eram revestidas

com pranchas de madeira unidas nos cantos por meio de tiras de couro, formando

uma especie de caixao ao redor do corpo. A areia ardente e seca conservava

natural mente 0 corpo. 0 calor da areia absorvia a umidade, sem a qual as bacterias

nao podiam proliferar e provocar a decomposi9aO. Essa forma humilde de

sepultamento, ironicamente, preservava 0 corpo em melhores condi90es do que 0

mais elaborado dos tUmulos e as mais custosas tecnicas de rnumifica9aO.

Por cirna de tais sepulcros nao existia. provavelmente. nenhurn tipo de

construc;ao. a nao ser, talvez, urn monte de areia escorado lateralrnente por

estruturas de madeira. E claro que a fragilidade desse pequeno esquema permitia

que a areia se dissipasse e que 0 cadaver e seus pertences ficassem muitas vezes

expostos e se danificassem ou ate mesmo se destruissem, caso nao fossem

novamente enterrados. 0 que raramente ocorria.

No infcio da era dinastica os fara6s e os nobres da corte procuraram evitar a

destruic;ao de seus tumulos, construindo sobre eles uma estrutura que ficou

conhecida com 0 nome de mastaba. Essa forma evoluiu no decorrer da III dinastia.

para piramide de degraus e. na dinastia seguinte, para a piramide verdadeira.

Dois fatores importantes influenciaram 0 desenvolvimento da arquitetura das

primitivas sepulturas egfpcias: a necessidade de prover prote~o suficiente para 0

corpo e a cren98 de que a tumba deveria suprir seu proprietario com as

necessidades basicas do alem-tumulo.

1.5 COMO FORAM CONSTRUioAS

Na realidade nao existe registros que expliquem como as piramides foram

construidas e, portanto, tudo 0 que se dig a a respeito nao passa de especula9ao

ainda que baseada em indicios. Na visao de Her6doto, turmas de 100 mil

trabalhadores. revezando-se em turnos que duravam tres meses, leva ram 20 anos

para construir a Grande Piramide. Atualmente os egiptologistas acreditam que

aquele monumento foi edificado por urn numero menor de trabalhadores e em

menos tempo. A ideia de que as piramides foram construidas por escravos para um

fara6 tirana esta hoje descartada. E improvavel que os egfpcios tivessem escravos

naquela epoca, pois sua sociedade era basicamente composta por camponeses.Impossibilitados de trabalhar nos campos durante tres meses do ana par

causa da inundac;ao, esses homens estavam condenados a ociosidade nesse

periodo. 0 empenho que demonstravam na construyiio das piramides pode ser

expllcado pelo fato de que acreditavam que 0 farae era urn deus e ajudar a construir

seu tumulo era, antes de tudo, uma honra.

2 A GEOMETRIA DAS PIAAMIDES

2.1 0 GONGEITO DE PIAAMIDE

Gonsideremos um poligono contido em um plano (por exemplo, 0 plano

horizontal) e urn ponto V localizado fora desse plano. Urna piramide e a reunia.o de

todos os segmentos de reta que possuem um extrema pertencente a regiiio

poligonal e 0 outro extremo em V. 0 ponto V recebe 0 nome de vertice da piramide.

2.2 ELEMENTOS DE UMA PIAAMIDE

Base VerticeA base da piramide e a regiao plana poligonal sabre aqual S9 apoia a piramide.Verticeo vertice da piramide e 0 ponto isolado P maisdistante da base da piramide.EixoQuando a base possui um ponto central, isto e,quando a regiao poligonal e simetrica au regular, 0

eixo da piramide e a reta que passa pelo vertice epelo centro da base.AlturaDistancia do vertice da piramide ao plano da base.Faces latera isSao regioes planas triangulares que passam pelo vertice da piramide e por doisvertices consecutivQS da base.

Arestas LateraisSao segmentos que tem um extremo no vertice da pirilmide e outro extremo numvEirtice do poligono situado no plano da base.ApotemaE a altura de cada face lateral.Superficie LateralE a superficie po lied rica !ormada por todas as faces laterais.Aresta da baseE qualquer um dos lados do poligono da base.

2.3 CLASSIFICAC.AO DAS PIR.AMIDES PELO NUMERO DE LADOS DA BASE

2.4 PIR.AMIDE REGULAR RETA

Pirilmide regular reta e aquela que tem uma base poligonal regular e a projec;iio

ortogonal do vertice V sabre a plano da base coincide com 0 centro da base.

R raio do circulo circunscritoraio do circulo inscrito

I aresta da baseap I apotema de uma face lateralh I altura da piramide

a! I aresta latera!

2.5 AREA LATERAL DE UMA PIRAMIDE

As vezes podemos construir f6rmulas para obter as areas das superficies que

envolvem um determinado solido. Tal processo e conhecido como a planificao;iio

desse solido. Isto pode ser realizado se tomarmos 0 solido de forma que a sua

superticle externa seja feita de papelao ou algum outro material.

No caso da piriimide, a ideia e tomar uma

tesoura e cortar (0 papelao) a piriimide

exatamente sabre as arestas, depois reunimos

as regioes obtidas nurn plano que pode ser 0

plano de uma mesa.

As regioes planas obtidas sao congruentes

as faces laterais e tambem a base da piriimide.

Se considerarmos uma piramide regular cuja

base tern n lados e indicarmos par Aface a area

de uma face lateral da piriimide, entao a soma

das areas das faces laterais recebe 0 nome de area lateral da piriimide e pode ser

obtida por:

Alateral = n Aface

2.6 AREA TOTAL DE UMA PIRAMIDE

Atotal = Alateral + Abase

A area total de uma piramide e a soma da area da base com a area lateral. ista

e:

2.7 VOLUME DE UMA PIRAMIDE

Para entender a formula que permite calcular a volume de uma piramide,

podemos pensar num caso muito evidente: uma piriimide quadrangular regular cuja

base seja uma face de um cubo (de aresta a) e cujo vertice seja 0 centro desse

cubo.

------_._---- ....'l~':

---~ ..::/ !I,.. I

/,f I, I I- I I\ -L,. I, I _ I

I " -- J---';t-----:,:;\, ,,""\, ..'------------).'

Ve-se claramente que no cuba cabem sels piramides iguais aquela - tantas

quantas as faces do cubo. 0 volume de cada uma e, entao, a sexta parte do volume

do cubo, ou seja, V = a3 + 6. Como a altura, h, de cada piramide e metade da aresta

do cubo, ou seja, a aresta do cubo vale 2h, temos entao que 0 volume da piramide

pode ser escnto da seguinte fonma: V = (Ao, x 2h) + 6 = (Ao, x h) + 3, e portanto, 0

volume de uma piramide e igual a urn ter~o do produto da area da base pela suaaltura.

o Principia de Cavalieri autoriZ8-nos a afirmar que esta conclusao e valida para

qualquer piramide.

V = 1I3.ab.h

2.8 SECCAO TRANSVERSAL DE UMA PIRAMtDE

Sec~o transversal de uma piramide e a inters9y8o da piramide com urn planoparalelo a base da mesma. A secyiio transversal tem a mesma forma que a base,

isto 19, as suas arestas correspondentes sao proporcionais. A razao entre uma arestada se~o transversal e uma aresta correspondente da base e dita razao de

semelhan9B.

Observacoes sabre seccoes transversa is:

Numa piramide qualquer, a sec~o transversal e a base sao regioes poligonaissemelhantes. A razao entre a area da secyao transversal e a area da base e igual ao

quadrado da razao de semelhan9B.

10

Ao seccionar uma piramide per urn plano paralelo a base, obtemos outra piramide

menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos a piramide original.

Se duas piramides tem a mesma altura e as areas das bases sao iguais, entao as

sec¢es transversais localizadas a mesma distancia do vertice tern areas iguais.

V~lioVolume da sec~ilo ate 0 vertice(volume da pirfunide menor)Volume da pirfunide (maior)Area da secl'ao transversal(base da pirfunide men or)

Area da base da piramide (maior)Distiincia do vertice a secyao(altura da piriimide menor)

H Altura da pirfunide (maior)

VSW;AO

Vbase

Assim:

h

Apiram H

h'

H'

VseO;iO

Vbase

h'

VtroDCO = V piramide - V pirMenor

II

2.9 TETRAEDRO

o solido que possui, no total, quatro faces e chamado tetraedro. 0 tetraedro e,pois, uma piramide de base triangular .

•TQlrudro:4f~tstrii.n(uloJequilltenu

o tetraedro e uma figura bastante importante por ser urn solido plat6nico. Platao

professa que Deus criou a mundo a partir de quatro elementos basicos: a terra, 0

logo, 0 ar e a agua. Como a matematica sempre teve urn papel importante de

representayao da natureza, mais especificamente, a geometria, Platao busca entao

descobrir suas essencias especlficas lazendo apelo a geometria e definindo suas

essencias par 4 objetos geometricos, as poliedros regulares, que encarnavam aos

olhos dos gregos harmonia e uma certa perfei9iio.

Pia tao descreve 0 tetraedro como 'elemento e origem' do logo, 0 octoedro do

ar, 0 icosaedro da agua, 0 cuba da terra, enquanto 0 dodecaedro representa a

imagem do universe no seu todo: "permanecendo urna Quinta combina!y8o, Deus

utilizou para 0 desenho do universo·.

Tetraedro (Modelo do Fogo): solido lormado por 4 laces,

triangulos equilateros , e em cada vertice concorre 3

laces. Este solido representa 0 logo, porque segundo

Platao 0 atomo do logo teria a lorma de urn poliedro com

4 lados (tetraedro).

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3 A FACANHA DE TALES DE MILETO

Por volta do ano 600 a.c, 0 sabio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao

Egito. 0 farao ja conhecia sua fama de grande mate matico. Ouvira dizer ate que

Tales era capaz de uma incrivel fa98nha: podia calcular a altura de uma constru9aO,

par maior que fosse, sem subir nela.Par ordem do monarca, alguns matematicos eglpcios foram ao encontro do

visitante e pediram-Ihe que calculasse a altura de uma das piramides. Tales ouviu-oscom atenyao e se disp6s a atenda-Ios imediatamente.

Ja no deserto, proximo a piramide, 0 sabio fincou no chao uma vara, na vertical.

Observando a posi91io da sombra, Tales deitou a vara no chao, a partir do ponto em

que foi fincada, marcando na areia 0 tamanho do seu comprimento. Depois, voltou a

vara a posi91io vertical.

- Vamos esperar alguns instantes, disse ele. Daqui a pouco poderei dar a

resposta.

Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado

momento, a sombra ficou exatamente do comprimento da vara. Tales disse entaDaos egipcios:

- Vao depressa ate a piramide, me9am sua sombra e acrescentem ao resultadoa medida da metade do lado da base. Essa soma e a altura exata da piramide.

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Essa fa98nha de Tales nao e exatamente urn segredo, mas urn grande

conhecimento de geometria, usado para resolver uma questao pratica.

No momento em que a vara e sua sombra tern exatamente 0 mesma tamanho,

formam urn tri€mgul0 retangulo e isosceles, semelhante a Dutro triangulo retangulo e

isosceles formado pela piramide e por sua sombra.

Por semelhan98 de triangulos, Tales deduziu que a altura da piramide e igual asombra mais a metade da base.

Numa representa~ao mais simples:

Li~~:~:~~~~~s ~

altura

da Lpiramide var8 '

A'B'A B sombra da vara

sombra da piramlde + meladedo lado da base da piramide

Enfim, Tales usanda apenas uma simples vara, duas sombras, teve umamagnifica ideia que ficara para sempre na hist6ria da matematica.

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4 AS PIRAMIDES DO EGITO

4.1 A PIRAMIDE DE KEOPS

A quantidade de pedra talhada que foi usada para erguer a piramide de Keops.

nac pode ser computada com exatidao, pais 0 centro de seu interior consiste de urn

nucleo de rochas cujo tamanho nac pode ser determinado com precisao. T odavia,

estima-se que quando pronta e intaeta devia ser formada por dois milhoes e 300 mil

blocos de pedra. cada um pesando em media duas toneladas e meia. sendo que as

maiores deles pesavam 15 toneladas. 0 peso total do monumento tern sido avaliado

em 5.273.834 toneladas.

Sua parte interna fai erguida com a rocha de qualidade inferior que se encontra

normal mente naquelas vizinhanyas e todo 0 seu revestimento tai feito com a pedra

calcaria branca de exeelente qualidade da regiiio de Tura. localidade perto do Cairo.

o pesquisador Max Toth conta que as pedras de revestimento, perfeitamente

trabalhadas. com uma superfieie de contato de aproximadamente 3.25 m'. estavam

bern cimentadas que as juntas entre elas tern uma separa~aode nac mais de O,6m.

Esse cimento tern uma tal retentividade que existem fragmentos de pedra de

revestimento ainda unidos pelo cimento, embora 0 resto dos bloeos de ambos os

lados tenha side destruido. Pena que eiviliza90es posteriores tenham arrancado

quase todas as pedras calearias do revestimento. Com exce9iio de algumas pe9as

junto da base, para uso em construy6es modernas.

Os pesadissimos bloeos. alguns pesando eerca de 50 toneladas. usados para

revestir as camaras e corredores internos sao de granito e foram extraidos das

pedreiras de Assuii. localizadas a 800 quil6metros de distaneia. As faces da

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piramide brilhavam com a luz do sol e as eglpcios Ihe deram 0 nome de Akhet

Khufu, Resplandecente E Keops, ou Akhuit, A Resplandecente. Tambem

chamavam-na de A Piramide que Eo 0 lugar do Nascer e do Per do Sol.

A base da grande piramide e urn quadrado de 232,805 metros de lado, ou seja,

uma superficie de 53.824 m'.

Sua altura e de 148 metros. E 0 quadrado da altura e exatamente igual a

superficie de cada uma das faces triangulares. Essa altura de 148 metros

multiplicada por 10 elevado a 9' potencia, e igual a distancia media da terra ao sol.

Dista.ncia que 56 pode ser calculada em inicios de nossa sacula, 0 SEkulo xx. NaD

obstante, existe urna ligeira diferen98 entre 0 numero dado pela piramide e 0 que os

peritos recentemente estabeJeceram, mas ista naD demonstra que 0 calculo da

piramide nao seja exato, pais 0 de nossos sa bios tambem pode nao se-Io.

o perimetro total da base da grande piramide e de 931,22 metros. Se dividirmos

este numera par 2 vezes a altura da piramide, que quando foi construida era de

148,208 metros temos 0 valor de pi=3,1416.

A medida empregada para a constru",o e 0 cevado sagrado, ou seja 0,635660

metros. Se multiplicarmos essa cifra por 10 milh6es, obtemos 6.356.600 metros, que

e precisamente 0 valor que a ciencia atual atribui it longitude do raia do centro da

terra aD polo. De forma que 0 c6vado sagrado da piramide representa a decima

milionesima parte do raio polar da terra, com diferenya de apenas urn centesimo de

milfmetro.

o cevado se dividia em 25 polegadas de 25,4264 mm. E as duas diagonais da

base, somadas entre si, dao 25.800 poJegadas, ou seja, 0 numero de anos que

constitui 0 "Grande Ano" zodiacal, 0 conjunto de precessao de equinocios, cujas

repercussoes Sao tao importante nos calendarios.

Ademais, multiplicando a longitude do c6vado piramidal por 100 bilh6es, obtem-

se a longitude percorrida pel a terra em sua orbita, num dia de vinte e quatro horas.

o volume da piramide multiplicado pela densidade de suas pedras da a

densidade media do globo terrestre, posto que em sua constru",o se empregou

pedra de constru~ao cuja densidade media e 2.06.

o paralelo 29°58'53" no qual se acha 0 centro da grande piramide merece, 0

qualificativo de verdadeiro meridiano zero, jli que atravessa simultaneamente 0

maximo de terras emersas, e porque divide exatamente essas terras em duas partes

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iguais: com efeita, existem tantas terras emersas a leste como a oeste do dito

meridiano.Se fossem prelongadas as diagonais da base da Grande Piriimide, elas

delimitariam exatamente 0 delta do Nile e 0 meridiana que passa pelo cume divide 0

referido delta em duas partes iguais.

Par causa de tudo iSSQ, entre Qutras coisas, cabe super que a piramide foi

construida na epoca em que 0 limo do Nilo ainda nao havia preenchido 0 Delta,

quando ainda estava no fundo do golfo em forma de V, muito regular.

As quatre faces da piriimide se inclinam em um iingulo de cerca de 51°52' em

rela9iio ao solo. A entrada fica na face norte a uma altura de cerca de 16 metres e

76 centimetres medidos vertical mente em reJacao aD solo. A camara encontra-se a30 metros abaixo do niver do solo, ficou inacabada, e em seu piso existe urna covaquadrada que parece ser 0 inicio de um trabalho destinado a aprefundar 0

compartimento. A camara e retangular e mede 8 metres e 25 centimetres por 14

metros e tem altura de 3 metros e 50 centimetres. Na parede sui da camara, no lado

oposto a entrada, existe urna passagem sem saida cavada rusticamente na rocha e

que ficou inacabada. Logo ap6s a entrada he tres grandes blocos de granito

vermelho, com 1 metro e 82 centimetros cada, colocados um ap6s 0 outro, que

vedavam totalmente a passagem e deveriam funcionar como obstaculos para quem,eventualmente descobrisse a entrada do corredor.

4.2 A PIRAMIDE DE KEFREN

Embora visualmente de a impressao de ser rnais alta que a piriimide de Keops,

par S9 encontrar em terreno mais elevado, a piramide de Kefren e mais baixa que

aquela.

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Sua altura original era de 143 metros, 0 que tornava tres metros mais baixa que

a primeira quando ambas estavam intactas. Hoje ela mede 136 metros 8, portanto, ecerca de apenas urn metro mais baixa que a grande piramide em seu estado atua!.

Cad a lado da base mede 125 metros e, portanto, a area que ocupa e de 146 mil e

225 metros quadrados.

Nela chama logo a atengElo a perman em cia ate hoje em seu topo de boa parte

do reyestimento de pedras calcarias. A luz do sol do meio dia ainda brilham de forma

deslumbrante.

Na base tambem foi preservada parte da camada rente ao chao, que era a

(mica em gran ito vermelho de toda a piramide.

o monumento tem duas entradas, ambas cerca de 12 metros a leste do ponto

central de sua face norte. 0 teto, piso e paredes de toda a S8<;80 inclinada do

corredor, bern como de pequena parte da s8c;ao horizontal sao revestidos de granito

vermelho.

Quase toda camara mortuaria foi talhada na rocha. A camara mede 14 metros e

17 centimetros na dire9iio leste/oeste, cinco metros de largura e seis metros e 85

centfmetres de altura.

Existem cavidades retangulares de aproximadamente 30 centimetros de

profundidade junto ao topo das paredes norte-suI. 0 espaC;o de pouco mais de 10

metros que separava a pin3mide do alto muro que a cercava era todo pavimentado.

No lado sui esse espac;o era urn pouco maior e ai, frente ao centro da pin3.mide de

Kefren, havia urna (mica piramide secunda ria.

Para alem dos muros 0 eminente arque610go Sir Flinders Petrie encontrou uma

sarie de galerias que sup6e-se sejam os abrigos onde residiam os operarios

encarregados de erguer todo 0 complexo piramidal. Cada um dos 91

compartimentos encontrados media aproximadamente 26 metros e 80 centimetros

de comprimento, do is metros e 90 centimetros de largura e dois metros de altura. As

paredes da galeria eram de pedac;os rusticos de pedra calcaria reyestidos de barro,

sendo que 0 piso tambam era coberto desse ultimo material.

No lado da entrada as paredes terminavam em largas pilastras de pedra calcaria

talhada, enquanto que ao fundo era simples, fechayam as galerias em angulo reto e

corriam para lela mente a oeste da piramide de Kefren.

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4.3 A PIRAMIDE DE MIQUERINOS

Miquerinos reinou poucos anos e nao houve tempo para concluir urn

monumento bern acabado como de seu pai. Grande parte do trabalho foi terminado

as pressas, usou-se material de qualidade inferior e ate mesma algumas partesforam deixadas inacabadas. Era comum que sucessores de urn fara6, fossem ou

nao seus filhos, terminassem a obra do seu antecessor. Assim os estudiosos,

supoem que Shepseskaf, filho e sucessor de Miquerinos, tenha completado algumas

das edifica90es de tijolo do complexo piramidal e uma inscri9aO encontrada no

templo funerario atesta isso. Cada lado da base desse monumento mede 108 metros

e 66 centimetros, perfazendo uma area ocupada de 11 mil e 807 metros quadrados,

enquanto que sua altura era, original mente, de 66 metros e 44 centfmetros, sen do

que hoje essa dimensao esta reduzida a 62 metros e 18 centimetros. As carreiras

inferiores da pinlmide sao revestidas de granito vermelho, polido em algumas delas

e em estado bruto em outras, e as demais de pedra calcaria polida. Os antigos

egipcios deram-Ihe 0 nome de Neter Men-Kau- Re, divino e Miquerinos ou Neteret, a

divina. Os subterraneos da piramide parecem demonstrar que houve uma mudanya

de pianos durante sua construyso. Inicialmente cavou-se urn corredor descendenteatraves da rocha, a qual levava a urna camara mortuaria retangular. Ao S8 decidirpar urn novo projeto, 0 piso dessa camara foi aprofundado e urn segundo corredor

foi perfurado por baixo do primeiro. Os estudiosos supoem-se que a causa da

mudan9a tenha sido a decisao de aumentar 0 tamanho do monumento, tornando-se

necessaria, portanto, construir 0 corredor em posic;ao mais baixa, para que S8

preservasse a entrada na face norte da piramide aproximadamente a uma mesma

altura com rela,ao ao solo no que diz respeito aquilo que havia sido planejado no

projeto original. 0 segundo corredor e revestido de granito ate 0 ponto em que

penetra no substrato rochoso. No ponto em que se inicia sua se,ao horizontal, ele e

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ampliado, formando urna antecamara que apresenta as paredes de pedras

decoradas com paineis esculpidas em relevo. Bloqueando a passagem da

antecamara para a camara mortuaria existem tres partas levadir;8S de granito, asquais se encaixam em canaletas verticais talhadas nas paredes. Supoe-se que t8is

portas eram baixadas por meio de cordas que corriam sobre cilindros de madeira

fixados no topa de cada canal eta. Par sob todo esse conjunto existem ainda Qutras

duas camaras e uma rampa que as acessa partindo em declive do centro do piso da

camara mortuaria original e terminando numa curta passagem horizontal. A primeira

de tais camaras fica a direita da passagem e a ela se chega par urn lance de

escada. E urn recinto retangular com quatro cubicuJosfundos em sua parede leste edois na parede norte, tudo cavado na rocha. Os arqueologos afirmam que os

primeiros quatro reeintas destinavam-se a reeeber as quatro vfsceras do faraa, emseus respectivos vasas canapas, enquanto que as dernais destinavam-se a receberas coroas reais. A segunda camara esta situada no outro extrema da passagemhorizontal e visava substituir a camara mortuaria original. 0 seu piso, paredes e tetosao total mente de granito, sendo que esse ultimo e arredondado, formando uma

especie de abobada. Nesse local foi encontrado urn sarcofago vazio, que se perdeu

quando 0 navio que 0 transportava naufragou na costa espanhola. Era retangular,

feito de basalto e suas faces externas estavam esculpidas com paineis decorativas.Os alicerces do templo do vale eram de pedra, mas sua estrutura era quase que

totalmente de tijolo cru. A cal98da que 0 unia ao templo mortuario era formada por

um aterro de pedra, sobre 0 qual se construiu urn corredor de tijolos revestidos, tantopor dentro quanto por fora, de argamassa branca e coberto com barrotes demadeira. No templo mortua rio os alicerces e a parte interna de algumas das paredeseram de pedra calcaria local. Em alguns trechos existem pisos de granitos e paredes

revestidas do mesmo material, mas uma grande parte da construyiio foi completada

apenas com tijolo cru. Estudiosos avaliaram que alguns dos blocos de pedra calcariadas paredes do templo mortuario chegam a pesar 220 toneladas, enquanto que as

pedras graniticas mais pesadas do seu revestimento, todas transportadas de Assuii,

localidade distante cerca de 804 quil6metros de Gize, devem Ter peso excedente a

30 toneladas. Os arque610gos encontraram, ao escavarem os templos do vale e

mortuario, urn grande numero de estatuas e estatuetas, a maioria das quais

representa 0 fara6 Miquerinos sozinho ou como membra de um grupo. No templo do

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vale, por, exemplo foram encontrados quatro lindos ccnjuntos esculpidos em

ardosia, representando 0 rei, a deusa Hator e uma divindade protetora de um dos

nomos em que S8 dividia 0 pais. Qutras obras de arte encontradas formavam urna

estatua de ard6sia representando 0 fara6 e a rainha principal, Khamerernebty II, e

quinze estatuas inacabadas do rei. Estimativas feitas com base nos fragmentos de

esculturas descobertas no complexo piramidal de Miquerinos, levam a crer que la

existiram entre 100 e 200 estatuas separadas. Ao sui do monumento estao

enfileiradas tres piramides subsidiarias que, ao que tudo indica, jamais foram

concluidas. A maior, e cuja construyao mais avan90u, e revestida parcial mente de

granito. As outras duas nao chegaram ate a fase do acabamento. Junto a face leste

de cada uma delas ha um pequeno templo funerario. Edificados com tijolo,

provavelmente foram erguidas por Shepseskaf ap6s a morte do pai. Nao existem

indicios de a quem pertenciam tais piramides. Pelo tamanho, e provavel que a maior

se destinasse ao sepultamento da rainha Khamerernebty II. Em outra foi enccntrado

um pequeno sarc6fago de granito, contento alguns 05505 humanos aparentemente

de uma mulher mo~a, 0 que leva a supor que teria sido 0 tumulo de uma princesa ou

rainha jovem. Se desconhece totalmente a quem destinava a terceira piramide.

4.4 A PIRAMIDE DE DJOSER

Muito mais que uma simples piramide, 0 tumulo do faraD Djoser formava urn

complexo funerario.Todo 0 ccnjunto de varios patios e constru~iies ligados a piramide ocupava

uma area de 545 por 277 metros, ou seja, 150965 m' e estava cercado por um

grande mura de pedra. Essa muralha, maciera, com mais de nove metros de altura

perfazia um perimetro de mais de 1600 metros.

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Em sua parte extern a, a cada quatro metros, era dotada de basti6es

retangulares par toda a sua volta, todas de tamanho uniforme , com exceyao de 14

que eram mais largos. Em cada urn desses basti6es mais largos, espac;ados

irregularmente ao longo da muralha, foi esculpida uma imita9ao de uma porta de

folha dupla fechada, dando ao bastiao a aparencia de um portao em forma de torre.

Na realidade havia uma unica entrada para todo 0 complexo, situada junto ao canto

sui da parede leste. Ali, duas torres franqueavam uma estreita passagem que

conduzia a urn corredor de entrada ladeado par colunas. No interior de tais torres fai

esculpida uma imita9ao de uma porta de folha dupla aberta.

A pin3:mide em 5i tern seis degraus e atinge a altura de cerca de 60 metros,

equivalente a de um pr<;diode 20 andares.

Sua base e retangular com 125 metros na dire9ao leste/oeste e 110 metro na

direyao norte/sui, ocupando uma area de 13751 m2. Foi detectado pelos

escavadores que 0 monumento safreu altera~6esno seu planejamento durante a

construc;ao e algumas delas sao ctaramente visiveis. Ficou evidente que 0 nueleodo monumento e uma estrutura de pedra em forma de caixa quadrada, com 63

metros de lado e oito de altura.

Par baixo da piramide ha uma camara mortuaria e urn conjunto de passagens

e pequenas camaras usadas para armazenar 0 equipamento funerario e para 0

sepuJtamento dos membros da familia real.

De tais galerias subterraneas foram desenterrados, por exemplo, milhares de

belissimos pratos, travessas e vasos de alabastro, xisto, cristal de quartzo e de

diversas outras pedras.

No interior da maioria de tais vasilhames nao foi eneontrado eomida ou

qualquer outra substancia. Ao que pareee bastava a presenya do recipiente e a

reeitayao de uma formula magiea pelos saeerdotes para que assegura-se ao rei um

suprimento constante daquilo que eventualmente deveria estar contido nos vasos.

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4.5 A PIRAMIDE TORTA

Ao que tudo indica, 0 fara6 Snefru foi um dos mais laboriosos construtores do

antigo Egito. No planaIto libio, a 10 km de Sqqara, mandou-os erguer, durante seu

reinado de 24 anos, duas enormes piriimides e deu-Ihes names apropriados.

Piriimide Refulgente do sui e Piriimide Refulgente. Elas estao 12ate hoje. A primeira

e conhecida atualmente como piramide torta e a Segunda como piramide vennelha.

Em conjunto elas tem mais pedras do que a piramide de Keops. Sabe-se, tambem,

que Snefru construiu templos por todo 0 Egito e parece Ter sido responsavel pela

edifica9iio dos primeiros templos do vale e suas cal~das, bem como das primeiras

piramides men ores, subsidiarias, postadas junto das estruturas principais e que,

posteriormente, se tornaram rotineiras.

Os arque61ogos tern sugerido que a piramide torta teria side concluida as

pressas, 0 que teria exigido uma reduy80 na sua altura e explicaria seu formato, a

que e confirmado pelo fatc das pedras da parte superior da obra terem sido

assentadas com muito menos cuidado do que as da parte inferior. Tambem pode Ter

ocorrido que 0 angulo de inciina9iio da piramide tenha side reduzido pelo arquiteto

para tentar diminuir 0 volume imenso de esforc;o sobre as paredes das camaras

internas que, acredita-se poderiam estar apresentando rachaduras durante a

construcao.

Cada face da piramide mede, aproximadamente, 189 metros em sua base e sua

altura deve Ter sido de 102 metros, correspondente a um predio de 34 andares.

Entre todas as piramides ainda existentes, essa e a que esta externamente melhor

conservada, pois nenhuma outra preserva tanto do revestimento feito com a pedra

calcaria da localidade de Tura. Um visivel aperfei90amento no metodo de aplica9iio

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do revestimento e de colocagao dos bloeDS deve ser a causa dessa maior

durabilidade.

InMita tambem se apresenta essa piramide pelo fato de possuir duas entradas:

urna em sua face norte e Dutra na face oeste. Mai5 au menes no centro da face norte

e a urna altura de cerca de 12 metros do solo, urna abertura da acesso a urn

corredor descendente, 8streito e de teto baixo, que penetra inicialmente na piramide

e depois no solo rochoso. A uma distancia de aproximadamente 73 metros e 60

centimetros da entrada torna-se plano por cerca de 80 centimetros e, nesse ponto,

sua altura sobe para 12 metros e 65 centimetro, formando um vestibulo estreito e

majestoso com mais au menes cinco metros de comprimento. Imediatamente ap6s

surge a primeira camara mortuaria que mede seis metros e 24 centimetres per 11

metros e 27 centimetros e tem altura de cerca de 17 metros. Seu piso foi elevado,

par meio de bloeDs de pedra, a urna altura de seis metros e 24 centimetros aeirna do

piso do vestibula. 0 mais interessante nessa camara e seu teto em ponta. Ele foi

formado deslocando-se apenas uns poucos centimetros para dentro cada uma das

15 carreiras superiores de calcaria nas quatro paredes, 0 que deixou no topo um

pequeno espa'Yo que mede somente um metro e 60 centfmetros por 30 centfmetros.

Na parede que fica do lado oposto a entrada da camara, ha uma passagem com tres

metros de comprimento que leva a uma cova profunda que foi encontrada cheia de

blocos de pedra e pavimentada. Acima dela ergue-se perpendicularmente uma

especie de p090 ate uma altura de quase 13 metros. Uma Segunda passagem parte

do teto da camara em aclive e atinge a parede do p090. Dois blocos de pedra foram

encontrados abrigados em recessos existentes dentro do pO'Yo: um no lade norte,

imediatamente abaixo da abertura da passagem superior e a outro no lad a sui,

proximo ao topo do pO'Yo, provavelmente destin ado a tapa-Io. Os blocos entretanto,

nao foram, posicionados nas aberturas. Por sua vez, da face oeste da piramide parte

um segundo corredor que conduz a uma segunda camara funeraria. Ele penetra em

declive no monumento, faz um percurso de 64 metros ate atingir 0 nivel do solo e dai

prossegue horizontal mente por mais 20 metros. Nesse ponto ergue-se a Segunda

camara funeraria que, a exemplo da primeira, tambam tern 0 teto em ponta e 0 piso

elevado a uma altura de quatro metros e 26 centfmetros par meio de camadas de

pequenos blocos de pedra. Os arque610gos encontraram esse segundo corredor

parcialmente bloqueado com pedras e mesmo sua entrada estava recoberta pela

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camada da cobertura da piramide. 0 unico meio de atingir a camara superior, depois

que a piramide ficou pronta, era atraves de uma passagem talhada toscamente a

partir de uma abertura no lado sui do teto da camara inferior e que atingia urn ponto

na se.;:ao horizontal do corredor superior. Nesse corredor havia duas partas

corredi<;:asque isolavam completamente 0 trecho onde desembocava passagem de

liga<;:ao.Apenas a porta mais afastada da camara funeraria foi encontrada fechada.

Dentro dessa piramide os arqueologos encontraram apenas algumas cordoalha

e cestas de datarreo incerta, bern como as restes desmembrados de uma caruja e

parte dos esqueletos de cinco morcegos, reunidos e colocados dentro de uma caixa

de madeira posta em uma cavidade do piso de um dos corredores. Nenhum vestigio

de sarcofago foi achado em qualquer das camaras. 0 nome do faraD Snefru foi

encontrado escrito com ocre vermelho em duas das pedras do monumenta, urna

delas localizado abaixo do piso da camara funeraria superior.Urna Segunda piramide, bern menor, foi construida a uma distancia de 55

metros ao sui da piramide torta. Cada um dos seus lados mede cerca de 55 metros

na base e sua altura alcanrrou 32 metros e 54 centimetr~s. Internamente passui um

corredor descendente, que parte de uma entrada localizada acima do solo no centro

de sua face norte, uma curta passagem horizontal e uma passagem ascendente que

abre uma camara mortuaria medindo pouco mais de dois metros quadrados. Frente

a entrada do monumento ha um pequeno santuario com uma cavidade no centro do

piso e na face leste da piramide erguiam-se duas estelas de pedra calcaria com

quatro metros e 87 centimetros de altura e 0 topo arredondado, os quais ladeavam

um pequeno altar de pedra.

o complexo funerario da piramide torta nao apresentava um templo rnortuario

propria mente dito. Havia apenas urn recinto aberto para oferendas, com urn altar e

duas estelas de pedra calcaria. 0 altar, coberto por lajes apoiadas sobre duas

paredes laterais de pedra, era formado por tres blocos calcarios e uma mesa de

oferendas de alabastro, a qual se inseria em uma cavidade talhada na superficie

superior dos blocos, propria para recebe-Ia. 0 recinto era cercado por muros de

proteyao feitos tambem de pedra.

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5 CONCLUS.A.O

As piramides foram construidas com 0 objetivo de proteger os tumulos dos

fara6s. Hoje em dia esses monumentos sao conhecidos pela sua beleza e a

perfeiyao de como foram construidas.

Na geometria as piramides sao consideradas figuras s6lidas, logo e na

geometria espacial que se deduz f6rmulas para realizar calculos importantes,

como area total, volume, etc.

Os egipcios, mesma as de epocas muito remotas tinham muito

conhecimento, principalmenle conhecimentos malemalicos. Atraves de suas

construc;6es S8 nota que conheciam alguns teoremas da geometria. Conheciam

lambem as numeros naturais e as numeros racionais positivQs, bern como urn

valor aproximado de it.

Os templos e as piramides dos egfpcios sao criac;6es geometricas do mais

alto rigor, cuja construc;ao exigia elevados conhecimentos malemalicos e

astron6micos.

No decorrer da realiza9iio deste trabalho, as inten90es de tentar alcan98r a

sua perieic;ao, foram as melhores possiveis.

Atraves dele, pude compreender a impormncia da civllizac;ao egipcia para a

desenvolvimento de varios campos da ciemcia.

Ao concluir a realiza9iio desse trabalho, foi imensa, a minha satisfa9iio pelo

conhecimento adquirido, tenho certeza que esse conhecimento nao sera utilizado

em vao e que significara muito ao longo de minha vida.

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REFERENCIAS

[1) VIVEIRO, T.C.N.G. e CORREA, M.l.P. Manual Compacto de Matematica, l'edi<;iio. Sao Paulo: Editora Rideel, 1996.

[2) GUElLl, O. Contando a Historia da Matematica, 5' edi9aO. Sao Paulo: EditoraAtica, 1997.

[3) BERMAN, F. 0 Enigma das Piramides, l' edi<;iio. Sao Paulo: Editora DCl,1995.

[4) JAMES, T.G.H. Mitos e Lendas do Antigo Egito. Editora Melhoramentos,1978.

[5) MilLARD, A. Os Egipcios, Editora Melhoramentos, 1982.

[6) GIOVANNI, J.R. e BONJORNO, J.R. Matematica Fundamental. Vol. (jnico. SaoPaulo: Editora FTD, 1994.