NEWTON-RAPHSON İTERASYON YÖNTEMİ

1ii

ii xx

0)x(f)x(f

f(x)

xxi (Başlangıç değeri)

f(xi)-0

Xi+1

Bu noktadaki eğim f'(xi)f(xi)

0

1ii xx

)x(f)x(fxx ii1ii

)x(f)x(f

xxi

ii1i )x(f

)x(fxx

i

ii1i

ε (Fark)

)x(f)x(f ii

Doğrusal olmayan denklem çözümü:

Newton-Raphson Örnek 1:

Doğrusal olmayan denklem çözümü:

142 Denklemini sağlayan θ değerlerinden birini bulunuz.

0)(f 14f 2

11

21

2f

n1n xx,

ff

θ f f ' ε1 -1.5858 2.3536 0.6738

1.6738 0.4368 3.6534 -0.1196

1.5542 0.0139 3.4213 -0.0041

1.5501 -0.00013 3.4134 3.95e-5

-1 0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

tet

(tet + 1)1/2 + tet2 - 4

f(tet

)

1.55

Doğrusal olmayan denklem çözümü:

Newton-Raphson Örnek 2:

6.1)u3cos(u5 Denklemini sağlayan u değerlerinden birini bulunuz.

-6 -4 -2 0 2 4 6

-30

-20

-10

0

10

20

30

u

5 u - cos(3 u) - 8/5

f(u)

0)u(f 6.1)u3cos(u5f

)u3sin(35f

n1n xx,

ff

u f f ' ε1 4.3899 5.4233 -0.8094

0.1905 -1.4883 6.6229 0.2247

0.4152 0.1569 7.8429 -0.0200

0.3952 0.00025 7.7801 -3.32e-5

Doğrusal olmayan denklem takımı çözümü:

Newton-Raphson iterasyon yöntemi doğrusal olmayan denklem takımlarının çözümünde de kullanılır. Denklem takımı sözkonusu olduğunda birden fazla değişken söz konusu olduğu için denklemlerin değişkenlere göre kısmi türevleri kullanılmaktadır.

f1(x1,x2)=0

f2(x1,x2)=0ff

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

ff

xf

xf

xf

xf

x1 ve x2 için Başlangıç Değerleri atanır ve bilgisayar programında (newtonrn) belirtilen satırlarda değişiklikler yapılarak iterasyon gerçekleştirilir. Değişkenler programda xb() olarak belirtilmiştir.

Newton-Raphson Örnek 3:

252y3x 22

merkezi (3,2) koordinatlarında olan ve yarıçapı 5 olan çemberin denklemidir. y=x2 parabolü ile çemberin kesim noktalarını bilgisayarda nasıl bulursunuz?

2

2

221

xyf

252y3xf

1yf

,x2xf

2y2yf

,3x2xf

22

11

Doğrusal olmayan denklem takımı çözümü:

Bilgisayar programında aşağıdaki değişiklikler yapılır.

Sub newtonrn_Click()

- - -

40 n=2

41 xb(1)=1:xb(2)=-1:xh(1)=.001:xh(2)=.001

-- -

45 ‘…Error equations…

a(1,1)=2*(xb(1)-3):a(1,2)=2*(xb(2)-2)

a(2,1)=-2*xb(1):a(2,2)=1

b(1)=-((xb(1)-3)^2+(xb(2)-2)^2-25)

b(2)=-(xb(2)-xb(1)^2)

46 ‘...

-- -

End sub

1 2 312

4

9

x

y

(-1.82, 3.321)

(2.643, 6.987)