FCTP, SEMESTRUL 1

Examen partial la Algebra si geometrie

NUMARUL 1Numele si prenumele:Specializarea:Grupa:

Problema 1. (1 puncte) Aratati ca pentru o aplicatie liniara de spatii vectoriale f :V −→W , nucleul lui f este subspatiu vectorial ın V .

Problema 2. (3 puncte) In spatiul vectorial real R3, consideram multimile:

W1 ={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x3 = x1 − x2

},

W2 ={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x2 = x3 = 0

}.

1. Verificati ca W1 si W2 sunt subspatii ın R3.

2. Aratati ca W1 ⊕W2 = R3.

3. Descompuneti vectorul v = (8,−4, 7) din R3 sub forma v = v1 + v2, cu v1 ∈ W1 siv2 ∈W2. Este aceasta descompunere unica?

4. Se poate exprima vectorul v = (8,−4, 7) ın functie de coloanele matricei de la Pro-blema 3?

Problema 3. (2 puncte) Fie f : R3 → R3 o aplicatie liniara al lui R3 a carui matriceın baza canonica este:

A =

1 0 1−1 1 1

0 −1 0

.

Sa se calculeze matricea aplicatiei liniare g = 2f2 − 3f + 2 · 1R3 , unde f2 = f ◦ f si1R3 : R3 → R3 este functia identica, ın aceeasi baza.

Problema 4. (3 puncte) Se da matricea:

A =

5 −6 −6−1 4 2

3 −6 −4

.

Calculati:

1. Polinomul caracteristic.

2. Valorile proprii.

3. Un vector propriu.

Nota: Timp de lucru: 1h si 50 min.

4 DECEMBRIE 2009