제6 장불확실성하에서의선택...
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▪ 미래의 일에 한 불확실성에 직면하고 있는의사결정자가 보이게 될 행태의 분석.
▪ 불확실성하의 의사 결정과정에 한 분석은“조건부상품”이란 개념을 매개로 하여
일반적인 소비자 이론의 틀 안에 포함.
⇒“조건부상품”은 상황이 어떻게 나타나느냐에 따라그 크기가 달라진다.
⇒ 불확실성하의 의사 결정은“위험에 한 태도”에 따라 선택의 결정이 달라진다.
6.1 선택의 기본모형
▣ 불확실성과 위험부담 (불확실성 ≈ 위험성)
현실경제는 경제 주체들이 미래에 한 불확실한 전망
하에서 경제적 결정을 내려야 하는 경우가 많다.
위험부담에 한 태도는근본적으로 불확실성 하에서의 선택을 하는 사람의‘선호체계’와 끈 닿아 있다.
동일한 기회집합에 직면하고 있는 사람들이라 할지라도이 선호 체계의 차이에 의해서 구체적인 선택이 다르게나타난다.
의사 결정자의 기회집합
(1)조건부 상품: 여러 가지 상황이 나타날 수 있을 때, 나타난 상황에 따라 그 크기가 달라지는 상품.
예) 10만원을 가진 사람(A)이카드를 가지고 돈내기를 하는 사람(B)을 길거리에서 만남.
카드 세 장: 두 장-민들레, 한 장-장미
▪ 장미를 뽑았을 경우 A는 건 돈만큼 더 얹어서 돌려 받는다: A의 지갑 속의 돈을 Cr로 표기해 하나의 상품(조건부 상품)으로 간주
▪ 민들레인 경우 몰수: A의 지갑 속의 돈을 Cd로 표기해 하나의 상품(조건부 상품)으로 간주
A의 선택은 자신의 효용을 극 화하는 Cr 과 Cd의 조합을 선택하는 것
결국 내기에 얼마를 걸 것인가를 선택
(2)예산선A는 내기에 전혀 돈을 걸지 않을수도 있으며 그녀가 가진돈(10만원)의 범위 내에서자유로이 걸 돈을 선택할 수 있다.
F(초기의 부존)점은 A가 전혀돈을 걸지 않았을 경우, 가질 수 있는 두 상품의 조합.
예산선: F점과 H점을 이은 선분
초기부존 (10만원) = (1/2)Cr + (1/2)Cd
(3)등기 치선내기에서 장미를 뽑을 확률과 민들레를 뽑을 확률은 각각 1/3, 2/3으로주어져 있다.
이와 같은 확률분포를 이용하여 특정한 선택이 의미하는 기 치를구할 수 있다.
□ 기 치
어떤 상황이 일어날 확률에그 상황에서의 가치를 곱한 것을 모든 상황에서 더한 것.
기 치 = P х Cr + (1 – P) х Cd
예) A가 3만원을 이 내기에 건다면, 1/3 х 13만원 + 2/3 х 7만원 = 9만원
(3)등기 치선
처음 상태와 같은 기 치를 주도록 하려면?
10만원 = 1/3 х Cr + 2/3 х Cd
Cd = -1/2 х Cr + 15만원
민들레가 그려진 카드의 숫자가 장미가그려진 카드의 숫자의 두 배이므로 장미를뽑은 경우 건 돈의 두 배를 주면 된다.
등기 치선(공정승산선):불확실성 하의 선택 상이 되는 조건부상품의 조합 중에서 동일한 기 치를 주는것들의 집합을 그림으로 나타낸 것
그러므로 공정한 내기를 하는 사람이가지게 될 예산선은등기 치선과 일치한다.
(4)위험성의 의미
불확실성 하에서 행하는 선택의요체는 그 선택으로 말미암아위험을 부담하게 된다.
여기서 위험 부담을 전혀 하지않는다는 것은 F를 의미
그리고 “무위험선”에서 좌우로멀어질 수록 위험의 정도는증가한다.(R과 K는 위험성이 극 화 된경우)
의사 결정자의 선호체계와 선택□ 위험 기피적인 태도
: 보험에 가입 또는 자산의 분산 등.□ 위험 선호적인 태도
: 복권 구입 또는 카지노에서의 도박 등.□ 위험 중립적인 태도
▪ 어떤 사람이 위험 부담에 해 이 세가지 중에서 어떤 부류에 속하는태도를 갖고 있느냐를 판가름 하는 기준은그의 선택이 내기의 기 치와 어떤 관계를 갖고 있느냐에 있다
위험 기피자: 기 치상으로 볼 때 자신에게 유리한 경우로라도 충분히유리하지 않다고 판단 되면 내기를 안 한다.
위험 선호자: 기 치 상으로 자기에게 불리한 경우에도 내기에 응한다.
위험 중립자: 순전히 기 치에 입각하여 선택한다.
의사 결정자의 선호체계와 선택:(1)위험 기피적인 태도
공정한 내기에 응하지 않을 것이다. (i) 공정한 내기의 최적 선택: F
유리한 내기에서는 동일한 기 치를 주는 여러 선택 가능성 중에서 가장위험성이 작은 것 선택.
(ii) 유리한 내기의 최적 선택: M 돈의 일부만 내기에 건다.
6.2 선택모형의 응용: 보험시장에서의 선택
▪ 공정한 보험시장에 가입하려는 위험 기피자(A)의 선택과정을 분석
A의 상황가정) 6억 원의 총재산
집에 불이 날 확률: 1/4불이 났을 경우 재산 손실: 4억 원 2억 원의 총재산: 두 조건부 상품(Wn, Wf)
A가 화재보험에 가입 안 할 경우, A의 기 치 = (1/4) x 2 + (3/4) x 6 = 5억원
A가 화재보험에 가입할 경우:
가정) A는 보험회사(B)에게 보험료(I)를 지불하고 화재가 났을 경우 보험금(C)를보상 받는다. 공정한 보험: B의 기 이윤은 제로이다. 즉 기 이윤 = (1/4)(I – C) + (3/4)(I) = 0 4I = C (다시 말해 공정한 보험시장에서 1원당 4원의 보험금을 받는다)
A의 기 치 (5억 원) = (1/4)(Wf – I + C) + (3/4)(Wn – I)
그리고 공정한 보험, 4I = C, 을 고려하면
Wn = (-I/3)Wf + (20/3)
A의 등기 치선(예산선)은 선분(CD).A의 최적선택은 D점이다.
무위험선의 오른쪽은 선분(DE)는 사고발생시 소득이 더 많아지는 영역:보험회사는 보험판매를 하지 않는다
근거: 도덕적 해이의 문제 발생.
따라서 1억원의 보험료를 내고 가입하여4억원 보상이 상한선이다.
니콜라스 베르누이의 ‘상트 페테르부르크’의 역설
동전을 계속 반복해서 던지는 게임.
규칙: n번 던지는 동안 최초로 앞면이 나오면 경기는 중단되고 2(n)을얻을 수 있는 게임.
예) 첫 번째 던져서 앞면이 나오면 2원을 받음, 세 번째에 앞면이 나오면 8원을 받음
게임이 n번째에서 끝날 확률: p(n) = (1/2)(n).기 수익=(1/2)x2 + (1/2)(2)x2(2) +…+(1/2)(n)x2(n)+… = ∞
기 수익이 무한 일 때 합리적인 사람이 얼마를 지불하고 이 게임을하겠는가?무한 라면? 백 만원이라면? 많은 사람들이 이 게임에 응하지 않을 것이다.
다니엘 베르누이사람들이 관심을 갖는 것은 기 수익이 아니라 효용이라는 것을 발견.
6.3 기 효용의 이론: 기 효용 이론의 기본 가정
앞에서 보았던 모형들에서는 두 가지만 가능한 상황, 따라서 두 개의조건부 상품을 전제.
폰노이만 그리고 모겐스턴이 개발한 기 효용이론은 불확실성이결부된 상태에서의 선택을 분석하는데 폭 넓게 적용할 수 있는도구가 된다.
기 효용 이론의 기본가정:기 효용 이론의 경우도 일반 효용이론의 경우와 같이 불확실성에직면한 소비자의 선호체계가 만족 시켜야 할 몇 가지의 기본 가정혹은 공리로부터 출발.
불확실성 하에서의 선택 복권에 한 선택예)장미카드를 뽑는 내기: L = (Cr, Cd; pr, pd)
(1) 완비성과 이행성(2) 연속성
p의 확률로 주는 복권 L(p)이 있을때, p=1이면 A를 갖는 것보다 L을 선호하고, p=0이면 반 일 때, L과 A에 차이를 못 느끼는 확률 p가 존재.
(3) 독립성: A와 B라는 상(prizes)을 똑 같은 확률 p로 갖는 복권 LA(p) LB(p)가
있을 때, A와 B에 차이를 못 느끼면 LA(p)와 LB(p) 사이에도 차이를못 느낀다.
(4) 부등확률: 똑 같은 상을 주는 두 복권이 있을 때, 의사결정자는 상을 탈 확률높은 복권 선호.
(5) 복합 확률: 구체적인 상 A를 탈 확률만 같다면, 의사결정자는 복권에 의한 결정과정이몇 단계를 거쳐야 되느냐에 개의치 않는다.
불확실성 하에 있는 의사결정자의 선호체계가 다섯 가지의 공리를모두 만족 시킨다면 합리적인 의사 결정자는 기 효용을 극 화시키려는 태도를 보인다.
두 가지 상(prizes)이 각각의 확률로 구성되어 있는 하나의 복권을고려해 보자.
L = [w1, w2; p, (1 – p)]
이 복권을 통한 효용은 다음과 같다
U(L) = p x U(w1) + (1 – p) x U(w2)
: 여기서 U(L)은 기 효용함수 그리고U(w1) 와 U(w2) 는 VNM 효용함수.
VNM 효용함수의 도출
L = [w1, w2; p, (1 – p)]기 치 w0 = p x w1 + (1 – p) x w2
위험 기피자는 공정한 도박에참여하지 않는다.
근거) 현재의 기 치 w0로부터 얻을수 있는 효용이 공정한 도박에참여한 후 얻을 수 있는기 효용보다 크기 때문이다.
U(w0) > p x U(w1) + (1 – p) x U(w2):
U(p x w1 + (1 – p) x w2) > p x U(w1) + (1 – p) x U(w2)
: 위험 기피자는 복권의 기 효용이기 치가 주는 효용보다 작다.
w2w1 w0
U(w0)
U(w1)
U(w2)
효용수준
이득의 수준(원)
기 효용의 성격
위험프레미엄(Risk Premium)이란위험부담을 회피하기 위해 지불할용의가 있는 금액
위험 중립자(Risk neutral player)는위험프레미엄이 제로이다.
기수성: VNM의 효용지표는기수성을 가진다고 할 수 있으나기수성의 구체적인 내용을 보면한계효용학파가 생각했던 기수성과차이가 있다. 실질적인 의미에서 볼때 오히려 서수적이다.
w2w1 w0
U(w0)
U(w1)
U(w2)
U(L)
i
j
k
g
h
M
위험 프레미엄
효용수준
이득의 수준(원)
6.4 위험한 자산의 선택에 관한 이론: 포트폴리오의 성격
어떤 사람이 보유하는 여러 가지 자산을 통틀어 포트폴리오 라고 한다.
왜 다양한 자산을 보유하려 하는가?☞ 각 자산마다 수익성과 위험성이 다르기 때문.
일반적으로 수익성이 높은 자산은 위험성도 크다.
근거) 수익성이 높고 위험성이 낮은 자산이 있다고 하자.그 자산의 수요는 증가하고 자산의 가격이 올라 수익성은떨어지게 된다.
투자가는 수익성과 위험성을 고려하여 적절한 포트폴리오를선택함으로써 효용을 극 화 하려고 할 것이다.
가정)두 가지 자산: 무위험자산 (f) 과 위험자산(k)
무위험 자산의 수익률은 rf위험자산의 기 수익률은 E[rk]단 rf < E[rk].
무위험자산의 위험성은 전혀 없다고 가정. 수익률의 표준편자 σ가 위험성의 정도를 표. 위험자산 수익률의 위험성은 σk.
어떤 투자가의 전 재산: 1a 만큼을 위험한 자산으로 보유 그리고 (1 – a)을 안전한 자산으로보유.
포트폴리오의 기 수익률E[rp] = aE[rk] + (1 – a)rf
포트폴리오의 위험성Var(rp) = a Var(rk) σp = aσk
적절한 포트폴리오를 선택한다는 것은 투자가가 자신의 효용을극 화하려는 의도에서 a의 값을 선택한다는 것.
투자가의 효용함수: U(E[rp], σp)
투자가의 효용 극 화 문제
Max {a} U(E[rp], σp)s.t E[rp] = rf + a(E[rk] – rf)
σp = aσk
a = σp/σk을 식 (7.6)’에 입하면
E[rp] = rf + (E[rk] – rf)σp/σk
투자가의 효용극 화 문제는 주어진 예산 제약하에서효용함수의 값을 극 화하는 a의 값을 구하는 것이다.
Max {a} U(E[rp], σp)s.t E[rp] = rf + a(E[rk] – rf)
σp = aσk
Max U(rf + a(E[rk] – rf), aσk)
1계 미분조건:∂U/∂a = (∂U/E[rp])(E[rk] – rf) + (∂U/∂σp)σk = 0.
–(∂U/E[rp])/(∂U/∂σp) = (E[rk] – rf)/σk
여기서 (∂U/E[rp]) > 0, (∂U/∂σp) < 0
위험성은 비재화의 성격을 갖고 있다. σp의 값이 커짐에 따라 효용수준이 낮아진다.
A점(a = 0): 투자가가 안전한자산만을 보유하기로 선택한 것을의미한다B 점(a = 1): 위험한 자산만을보유하기로 선택한 것을 뜻한다.
E[rp] = rf + (E[rk] – rf)σp/σk 에서기울기 (E[rk] – rf)/σk는위험성의 가격이다.포트폴리오의 위험성 σp이 일정한폭으로 커지면 기 수익률 E[rp] 는이 비율만큼 커지게 된다.수익성과위험성이 그 비율로 교환될 수있음을 뜻함.
투자가의 효용은 E점에서 극 화된다.
σk
위험성
σp
기 수익률E[rp]
rk
rf
E
B
A
기울기:(E[rk] – rf)/σk
