付録８１１のアプローチ 1. 本付録では電磁波（光）の軌道・スピン角運動量ついて古典的に扱う。 2. スピン角運動量は直線偏光状態では零、円偏光状態では非零、右・左回りで大きさは同じ、符号が異なる。 3. 電磁波（光）のスピン角運動量は偏波ベクトルの自転によるものと考える。 4. 付録812：単一光子の角運動量はどうする。量子的な扱いについて検討する。 5. 付録813：軌道角運動量は波数ベクトルの自転によるものではないか？

（付録）

「電磁波（光）の角運動量」

1. 復習：電磁波（光）のエネルギー 2. 運動量・角運動量（実空間）

3. 軌道・スピン角運動量

4. 円偏光状態

5. 螺旋状態

暫定版 修正・加筆の可能性あり

８１１－1

８１１－2

電磁波（光）のエネルギー（１）

単位体積当たりの電磁波エネルギー（エネルギー密度）：真空中 光の古典的扱い：波としての光（電磁波） 単位体積当たりの電磁波エネルギー 別名：エネルギー密度 1. 振動電場Ｅのエネルギー密度 2. 振動磁場Ｈのエネルギー密度 3. 両者の和：電磁波エネルギー密度 4. 振動電場と振動磁場はいつも一緒：電磁波

vacuum

0 0 0

1 1

2 2emU E E H H E E

3 3

3 *

, 2

,

e e

e

i

i

i ti t

i

t e d

t e d

t E E

E E

k kk

k

k r

k

k r

k k k k

k k k k k

k k

E r E E k

E E E r E E

E e e

フーリエ変換・逆変換：平面進行波展開

波数ベクトル空間：複素共役 実空間振幅電場Ｅが実数であることと等価

全空間電磁波（光）のエネルギー：実空間/波数ベクトル空間

3 22 3 3

0 0, 2t d d

kE r r E k

実空間：振幅電場Ｅ(ｒ,ｔ)

θk：初期位相

８１１－3

電磁波（光）のエネルギー（２）

計算例

3 2

0

3 33 3 ' 3

0 '

3 3 '3 3 3

0 '

3 3 3

0 0 '

3 3

0

3 * 3

0

3 2 3

0

3 '3

,

2 2 '

2 2 '

2 ' '

2

2

2

' 2

i i

i

i

d t

d e d e d

d e d d

d d

d

d

d

d e

k r k r

k k

k k r

k k

k k

k k

k k

k

k k r

r E r

r E k E k

E E r k k

E E k k k k

E E k

E E k

E k

k k r

８１１－4

復習：電磁波（光）の運動量密度

微小領域に作用する内力・外力の両方を含む力の総和の内訳 • 右辺第一項：微小領域内の電荷に作用する内力・外力の両方を含むローレンツ力 • 右辺第二項：電場Ｅ、磁場Ｈが時間変化する微小領域に作用する力 • 時間変化する電場Ｅ、磁場Ｈ（即ち、振動電場Ｅ、振動磁場Ｈ）とは電磁波（光）にほかなら

ないから、第二項は微小領域に存在する電磁波（光）に作用する力

charge 2dV dV dV

t c

E Hσ f

微小領域：dV

定義：電磁波（光）の運動量密度 • 単位体積当たりの電磁波（光）

の運動量（背景：真空） • momentum density

2 2c c

E H SG ポインティング・ベクトル

Poynting vector、参照：603-6

右辺第二項 力とは：運動量の単位時間変化

微小領域に作用する力：何が言いたいのかな？ • 微小領域に作用する力は「電荷に作用する内力・外力の両方を含むローレンツ力」と「電磁波（光）に作

用する力」の総和 • 電荷が存在しない状況ではローレンツ力は微小領域に作用しない。 • 微小領域内の電磁波（光）に作用する力は電磁波（光）運動量の時間変化を伴う。

• 質問１： 「微小領域内の電荷に作用する内力・外力の両方を含むローレンツ力」は「微小領域に作用する内力・外力の両方を含む全ての力」と考えてよい？

• 解答：微小領域内の電磁波（光）に作用する力を含める。

参照：605

８１１－5

運動量・角運動量（実空間）

運動量密度：真空中

2

, ,,

t tt

c

E r H rG r

全空間角運動量：空間全体で積分

3 3

2

, ,,

t td t d

c

E r H rZ rr G r rr

波数（運動量）空間：平面進行波展開

角運動量密度：真空中

2

, ,, ,

t tt t

c

E r H rz r r G r r

3 3, 2 , e

i tit e d E

kk r

k k k kE r E k E e

電磁波の運動量密度：参照605 • マクスウェルの応力テンソル（stress tensor）から導出 • 振動電場Ｅ、振動磁場Ｈは実空間に対応 • 波動性はマクスウェルの方程式で記述

簡単のため：波数（運動量）ベクトル空間からベクトルを省略

８１１－6

軌道角運動量（１）

全空間角運動量：導出811-10

3 3 * *1

2 d i i

k k k k k

k

Z k k E E E E

3 3 *12 , , ,L

x x x

d ik k k

k k k k

k

Z k k E E

右辺第一項：軌道角運動量 二重下線：微分不感

* *

* * * * *

e

, ,

i t

kx ky kz

kykx kzkx ky kz

xx x x x

E E t E

E E E

EE EEE E E E

k k k k

k

k k k k k k k k k

k

kk k k k

E E E e

E

E E

偏波ベクトル（単位ベクトル） 特徴：軌道角運動量は偏光状態に無依存

８１１－7

軌道角運動量（２）

一例：平面進行波（単一波数ベクトル）の場合

0 0 0

0 0 0 0

, ,

, ,

, , , , , 0

kx ky kz

kx x x ky y y kz z z

x y z x y z L

E E E

E k k E k k E k k

k k k k k k

kE

k k Z

納得：平面進行波の軌道角運動量は零 計算例：一部のみ

0

0

3 3 *

3 3 *

0

0

3 * *

0 0

0

12

12

, 0

0

x x

L

kykx kzx kx y z

xx x x

x x x x

x x x

x x k k

d i

i d

EE Ed dk E dk dk

k k k

k k k kdk k k

k k

k k k

k

k k

k k k

k

k k k

Z k k E E

k k E E

k E E

注意：デルタ関数の微分は原点で零

８１１－8

スピン角運動量（１）

再掲：全空間角運動量

3 3 * *1

2 d i i

k k k k k

k

Z k k E E E E

3 3 *1

2S d i

k k

k

Z k E E

右辺第二項：スピン角運動量

2* * e i tt E k

k k k k k k k kE E E e e E e

偏波ベクトル（単位ベクトル） 特徴：スピン角運動量は偏光状態に依存

確認：直線偏光状態のスピン角運動量は零

* * 0 k k k k k k

e e e e e e

二重下線：微分不感

８１１－9

スピン角運動量（２）

左円偏光の場合：参照811-14 • 偏波ベクトルが複素数 • スピン角運動量は非零

進行方向：ｚ軸正方向

*

1

1 1 1 01 1

022

0 0 0

L i i i

i

k k ke e e e

右円偏光の場合：参照811-14 • 偏波ベクトルが複素数 • スピン角運動量は非零

進行方向：ｚ軸正方向

*

1

1 1 1 01 1

022

0 0 0

R i i i

i

k k ke e e e

これまでにわかったこと： • 電磁波（光）の全空間角運動量は軌道角運動量とスピン角運動量の和 • 軌道角運動量は偏光状態に無依存であり、特に、平面進行波（単一波数ベクトル）の軌道角運動量は零 • ラゲール・ガウシアンモード（Laguerre-Gaussian）で展開すれば非零軌道角運動量となる（説明省略）。 • スピン角運動量は偏光状態に依存する。 • 直線偏光状態では零、円偏光状態では非零、右・左回りで大きさは同じ、符号が異なる。 • 電磁波（光）のスピン角運動量が偏波ベクトルの自転（円偏光状態）によるものであることが明確になった。

これから調べたいこと： •付録812：単一光子の全空間角運動量はどうなる？ •付録813：スピン角運動量が偏波ベクトルの自転（円偏光状態）によるものであるなら、軌道角運動量はどのベクトル（実は波数ベクトルの自転）によるもの？

８１１－10

計算例（１）

振幅電場Ｅ：古典的な波動関数

3 3 *

3

, 2 ,

e e , e

i

i

i ti t i

t e d

t e d

t E E E E

k kk k

k r

k k k

k r

k k

k k k k k k k

E r E E k E E

E E E r

E e e

定義：電磁波の角運動量密度

3 3 2 3

2

62 3 ' 3 3

'

62 3 ' 3 3

'

6 ' ' '2 3 3 3

'

2 '

2 '

2 '

i i

i i

i i i

d d c dc

c d e d e d

c d e d e d

ic d d d i e i e e

k r k r

k k

k r k r

k k

k k r k k r k k r

k k k

E HZ r r G rr rr E H

rr E k H k

r E k H k r

r k k E H r r

８１１－11

計算例（２）

続き：計算例

6 '2 3 3 3

'

3 3

6 '2 3 3 3

'

3 '3

32 3 3

'

32 3 2

2 '

2 '

' 2

2 ' '

2

i

i

i

ic d d d e

d f d f

ic d d d e

d e

ic d d

ic d i k

k k r

k k k

k k k k k k

k k r

k k k

k k r

k k k

k k k k k

Z r k k E H

kF k F

r k k E H

k k r

k k k k E H

k E H H k E

32 3 2 2 2

3 2 3 2 2 2 2 2

2

2 , x y z

ic d i k k c

d k k k k k

k k k

k k k

k E k E

k E k E

二重下線：微分不感

部分積分； Integration by parts

下線部：参照811-14

８１１－12

計算例（３）

22

2 2

2 2

3

2

0 2

2

, ,

=

2

x x xk k k

k

f f

k

k k

f

k k

k k k

k

k

k k k k

k k k k k k k

E k

k k k k k k k

k k

k

k

k

k

A C B A B C

E E k

A A

E k E E k E

E k

A B C

E k E E k E

A

E k

E E E

Z

E

E E

2 3 2

3 2 3 2 22

d k

d k k

k k k

k k k k k

k E k E

k E E k E E

続き：計算例

８１１－13

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

2

2

3 2 3 2

2

2

2

2

2

2

d k

d k

d k k i

d i

k

k f f

k i k

k k k

k k k

k k k k k

k

k k k

k k k k k k

k

k k

k

Z k k E E

k k E E A A

k k

E E

E

E E E E E E

k

E

k E E E E

3 2 3 2

2 2 23 2 2

3 32 22

3 3

3 3 * *

2

22 2

12

12

d k i i

kk

d i i

d i i

k k k k k k

k k kk

k k k

k k k k k

k

k k k k k

k

k k E E E E

Z k k E E E E

k k E E E E

計算例（４）

続き：計算例

８１１－14

計算例（５）

続き：計算例

2

2

0

2 2

3 3 *

3 3 *

=

, ,

, 2 ,

, 2 ,

i

i

i k

i

k

i ii

k k

i t t

t e d

t e d

k

k k

k k

k E

k k k k

k k

k r

k k k

k r

k k k

A C B A B C

H k E

k H k k E

k E k k k E k H E

k H E H r E r

E r E E

A

k E E

H r H H

C

k H

B

H

実空間：アンペールの法則

８１１－15

円偏光状態（１）

右円偏光：右回り（時計回り） Right circular / clockwise 螺旋状態(helicity)：負

左円偏光：左回り（反時計回り） Left circular / counterclockwise 螺旋状態(helicity)：正

0

0

cos cos

cos2

cos sin2

z

x

y

z

E kz t t

E kz t

t t

時間に対して時計回り（右回り） 時間に対して反時計回り（左回り）

0

0

cos cos

cos2

cos sin2

z

x

y

z

E kz t t

E kz t

t t

８１１－16

円偏光状態（２）

右円偏光：位置に対して反時計回り

0

0

cos cos

sin cos2

t

x x

t

y y

E kz E kz t

E kz E kz t

混乱状態：右円偏光とは？ • 時間に対して時計回り（右回り）。位置に対しては反時計回りなので、位置に対して右ネジ回転（右手系） • 時間に対して右回りなのか、位置に対して右手系なのか区別しないと大混乱 • 右円偏光は位置に対して右手系であるということでわかりやすいのですが • 時計は時間経過とともに針が回転するから、位置に対して反時計回りという表現はやや苦しい。

注意：位置に対して反時計回り（右ネジ回転）

0

1

2

3

4 1.0

0.5

0.0

0.5

1.01.0

0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

z

右手系 右手のつもり 三角：爪

時間軸ではない！

進行方向：ｚ軸正方向

８１１－17

円偏光状態（３）

複素数表示：右円偏光 複素数表示：左円偏光

1

1

1exp

2

1exp

22

exp2

, ,0

exp

2

x

y

x y

R

x yR

E i kz t

E i kz t

ii kz t

E E

i kz t

i

E

e

e ee

1

1

1exp

2

1exp

22

exp2

, ,0

exp

2

x

y

x y

L

x yL

E i kz t

E i kz t

ii kz t

E E

i kz t

i

E

e

e ee

正規直交完備系：complete orthonormal system

1 0 1, ,2 2

x y x yL R

z

i i

e e e ee e e e

８１１－18

円偏光状態（４）

進行方向：任意

0

1

2

3

4 1.0

0.5

0.0

0.5

1.01.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1e2e

0 e n k

右手のつもり 白色：爪

時間軸ではない！

1

1 21

exp

2

R

R

i t

i

E e k r

e ee

1

1 21

exp

2

L

L

i t

i

E e k r

e ee

左円偏光 右円偏光

正規直交完備系：complete orthonormal system

1 2 1 21 0 1, ,

2 2

L R

z

i i

e e e ee e e e

８１１－19

負のhelicity

螺旋状態（１）

進行方向：ｚ軸正方向 固有状態（ベクトル）と固有値

1 1 1 1

0 0

ˆ ˆ ˆ, , 0 0

0 0 0

L L R R

z z z

i

J J J i

e e e e

1

0

1

1 0 0 1 11 1 1

0 02 2 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 01

0 0 0 0 02

1 0 0 0 1

1 0 0 1 11 1 1

0 02 2 2

0 0 0 0 0 0

L

z

R

i

i i i i

i

i

i

i i i i

e

e e

e

11

20

i

螺旋状態(helicity) ：行列表示演算子Jｚの固有状態に対応

正のhelicity

赤色：ｘｙｚ基底

電磁波（光）：縦波は無視

８１１－20

螺旋状態（２）

進行方向：ｚ軸正方向 青色：円偏光基底

1 0 1

1 1 0 0 0 11 1

0 , 1 0 , 02 2

0 0 0 1 1 0

L Ri i

e e e

基底変換（ change of basis）：行列表示

0

1

1 0 1

1 0 1 1 01 1ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 , 0 0 12 2

0 1 0 1 0

, 0z

T

L R

x y z

a i

b T T i i T T

c i

a

b a b c c

c

e ee e e e e e

赤色：ｘｙｚ基底

縦波は無視

８１１－21

螺旋状態（３）

計算例

1 1 1

1 1

' 0 0 ' 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ' 0 0 ' 0 0

' 0 0 0 ' 0 0 0

' '

ˆ ˆ' ' ,

' '

'

'

'

a i a a i a

b i b T b T i TT b

c c c c

a a

T b T b

c c

1

1 0 1

0 0 1 0 0

ˆ ˆ, 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

z z

L R

i

T i T

e e e

８１１－22

螺旋状態（４）

計算例

1

1

1

0 0 0 0 1 01ˆ ˆ ˆ0 0 1 0 12

0 0 0 1 0

0 0 0 01ˆ ˆ ˆ0 0 0 02

0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 11ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0 , 02

0 0 0 0 0 1 0 1 0

x

y

z

J T i T

i

i i

J T T i i

i i

i

J T i T T i i

８１１－23

螺旋状態（５）

0 0 0 0 1 00 11ˆ ˆ0 0 1 0 11 02

0 0 0 1 0

0 0 0 001ˆ ˆ0 0 0 0

020 0 0 0

0 0 1 0 01 0

ˆ ˆ0 0 0 0 00 1

0 0 0 0 0 1

x x

y y

z z

J i

i

i ii

J i ii

i i

i

J i

電磁波（光）の螺旋状態を記述する３×３行列： Jx、 Jy 、Jz • 量子数１（整数）の角運動量演算子（行列表示：３×３ ）と一致（参照809） • 量子数1/2（半整数）の角運動量演算子（パウリ行列：２×２） と不一致（参照810） • 電磁波（光）のスピン角運動量から量子性（量子数１ ）を垣間見ることになる。

計算省略：やや飛躍するかもしれないが パウリ行列：Pauli matrices