4-5 角动量 耦合 角动量的本质 对易关系

角动量基本对易关系

0],ˆ[

],[

ˆ

2

i

kijkji

i

jj

jeijj

j

换组算符

)ˆˆ(2

1ˆ),ˆˆ(2

1ˆ

ˆ_)ˆˆˆˆ(2

1ˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆ

20

2

0

jji

jjjj

jjjjjj

jj

jjijj

jijj

yx

z

yx

yx

0]ˆ,ˆ[

0]ˆ,ˆ[

ˆ]ˆ,ˆ[

ˆ2]ˆ,ˆ[

02

2

0

0

jj

jj

jjj

jjj

CSCO

??,

ˆ

ˆ

}ˆ,ˆ{

0

22

02

m

mmmj

mmj

m

jj

对固定的 )0(

)1(

,.....,1,

,...2,1),1(2

1

max

1

jj

jjjm

ssj

mj

m

m

归一化

jmjjjmj

jmmmjjjmj

jmmmjjjmj

jmmjmj

jjjjjj

22

0

)1(ˆ

1)1()1(ˆ

1)1()1(ˆ

ˆ

,.....,1,

矩阵元

mnmn

mnzmnz

mn

mnymny

mn

mnxmnx

jjj

njnjjmj

nnjji

nnjji

jnjjmj

nnjj

nnjjjnjjmj

22

1

1

1

1

)1()ˆ(

ˆ)ˆ(

)1()1(2

)1()1(2

ˆ)ˆ(

)1()1(2

)1()1(2

ˆ)ˆ(

10

01,

0

0,

01

102

2/1

321

i

i

j

j

轨道角动量

)/(

int

xxYlmx

lm

egerlj

lm

两个角动量的耦合 两个独立角动量

0]ˆ,ˆ[

,...,,,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ

,...,,,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ

21

222222222

111111111

ji

kijkji

kijkji

jj

jjmmjjeijjj

jjmmjjeijjj

}

,,{

)12)(12(

}ˆ,ˆ,ˆ,ˆ{:

222

11122112211

21

22

212

1

jmj

jmjmjmjmjmj

foldjjseigenstateCommon

jjjjCSCO zz

另两个变量 总角动量及其分量

0]ˆ,ˆ[

ˆ]ˆ,ˆ[

ˆˆˆ

2

21

z

kijkji

JJ

JeiJJ

jjJ

总角动量

jmj

jmjjmjmjjJ

jmjjjjjmjjJ

jmjj

seigenstate

JJjjCSCO

z

z

)()(ˆ

)()1()(ˆ

)(

}ˆ,ˆ),ˆ,ˆ{(:

2121

212

212

21

222

21

?j

)max(mj

基之转换

0)(

)(

)ˆˆ(

)ˆˆ(ˆ

2211221121

2211221121

2211221121

21

22112211

2211

21

21

21

21

21 2211

jmmjmjmjmjmmm

jmmjmjmjmjmm

jmmjmjmjmjjj

jmjjjmJjmm

jmmjmjmjmj

mjmjCjm

mm

mm

mmzz

zzz

mm

mm

jmmjmj

0

;

2211

21

jmmjmjotherwise

mmm

)12)(!2(1

,...,1,

,...,1,

21

212121

21

21

jj

jjjm

jjjjjjj

jj

jjj

j

jm

Clebsch-Gordan 系数

jmmjmjC

jmmjmj

2211

2211

酉变换

1

2211

UUUU

matrixunitaryU

jmmjmjU

基本例子 2

1

2

1

)2/12/12/1(2

100

2/12/111

)2/12/12/12/1(2

110

2/12/111

012

1

2

1

211

21

2121

21

纠缠态

L-S 耦合