okokokaaaa

13012036 Ifan Murdiyadi

1

UJIAN TENGAH SEMESTER II

TK 2106-KOMPUTASI TEKNIK KIMIA

TAKE HOME TEST

1. Soal nomor 1 meminta tulisan berisi program untuk menentukan parameter kinetika reaksi

konsekutif berikut ini.

퐴 퐵 퐶

Persamaan diferensial reaksi konsekutif tersebut tertera di dalam soal dan data konsentrasi spesi

A dan B untuk beberapa waktu t disajikan dalam tabel. Berdasarkan program yang telah dibuat,

optimasi dilakukan dengan metode Nelder-Mead (simpleks) dan diperoleh nilai-nilai parameter

reaksi terkait ialah sebagai berikut:

Sebagai tambahan, dimasukkan juga perintah untuk menampilkan grafik pembanding data yang

tersedia di dalam tabel dan data hasil regresi nonlinier pada model kinetika reaksi di atas.

Diperoleh grafik sebagai berikut.

Tampak pada gambar 2, selisih yang

terjadi antara data model terhadap

hasil regresi nonlinier tidak bernilai

besar. Artinya, nilai parameter

kinetika yang dikeluarkan MATLAB

sebagaimana tercantum dalam

gambar 1 sudah benar dan dianggap

dapat mewakili data hasil percobaan.

Gambar 1. Output Program pada Command Window Sesaat Setelah Dijalankan

Gambar 2. Tampilan Grafik oleh Program


2

2. Sebelum menyelesaikan persamaan diferensial pada soal nomor 2, dilakukan penurunan

persamaan diferensial yang tertera dalam soal menjadi persamaan diferensial yang mengandung

variabel bebas r dan variabel terikat T. Berikut ini adalah penurunannya.

a. 0 ≤ 푟 ≤ 푅 푑푑푟푟 푞 = 푆 푟 … (1)

dengan

푞 = −푘푑푇푑푟

… (2)

푆 = 푆 1 + 푏푟푅

… (3)

Substitusi (2) dan (3) ke (1) diperoleh

푑푑푟푟 푞 =

푑푑푟푟 −푘

푑푇푑푟

= −푘푑푑푟

푟푑푇푑푟

= −푘 (2푟푑푇푑푟

+ 푟푑 푇푑푟

)

−푘 2푟푑푇푑푟

+ 푟푑 푇푑푟

= 푆 1 + 푏푟푅

푟 = 푆 푟 + 푏푟푅

−푘 2푑푇푑푟

+ 푟푑 푇푑푟

= 푆 푟 + 푏푟푅

푑 푇푑푟

=1푟

−푆푘

푟 + 푏푟푅

− 2푑푇푑푟

= −푆푘

1 + 푏푟푅

− 21푟푑푇푑푟

b. 푅 < 푟 ≤ 푅

푑푑푟푟 푞 = 0 … (4)

dengan

푞 = −푘푑푇푑푟

… (5)

Substitusi (5) ke (4) diperoleh

푑푑푟푟 푞 =

푑푑푟푟 −푘

푑푇푑푟

= −푘푑푑푟

푟푑푇푑푟

= −푘 2푟푑푇푑푟

+ 푟푑 푇푑푟

= 0

푑 푇푑푟

= −2푟푑푇푑푟


3

Kaninosasi dilakukan dengan memisalkan T=T(1) dan dT/dr=dT(1)/dr=T(2). Diperoleh

d2T/dr2=dT(2)/dr. Fungsi yang digunakan untuk menyelesaikan T(r) untuk 0 < r < Rf dibuat

dalam fungsi fun1, sedangkan untuk batas Rf < r < Rc, bentuk kanonikal ditulis dalam fungsi

fun2. Dengan menggunakan metode shooting method dan berbekal nilai syarat batas yang

diberikan dalam soal, nilai awal T saat r=0 ditentukan. Penentuan dilakukan dengan menebak

nilai T saat r=0, lalu dengan nilai tersebut persamaan kanonikal diselesaikan dengan ode23. Hasil

akhir berupa nilai T saat r=RC dicocokkan dengan nilai batas dalam soal. Diinginkan nilai suhu

pada permukaan luar hasil integrasi numerik bernilai sama dengan syarat batas dalam soal.

Setelah nilai awal ditemukan, persamaan kanonikal diselesaikan dengan diintegrasikan

menggunakan ode23 dengan nilai awal yang sudah didapat. Hasil integrasi dialurkan dalam

sebuah grafik. Grafik yang ditampilkan program ialah sebagai berikut.

Berdasarkan buku Transport Phenomena 2ndedition karangan Bird, Stewart, dan Lightfoot, pada

halaman 298 terdapat penyelesaian analitik hubungan T terhadap r.

Gambar 3. Tampilan Grafik Hubungan T dan dT/dr Terhadap r

Gambar 4. Penyelesaian Analitik T(r) Sumber: Bird, Stewart, dan Lightfoot. Transport Phenomena 2nded., p-298


4

Oleh sebab nilai kC tidak telibat dalam persamaan kanonikal, maka titik potong grafik T(r) pada

sumbu T di program tersebut ditentukan oleh MATLAB. Berdasarkan persamaan 10.3-20, titik

potong grafik T(r) pada sumbu T mengandung konstanta kC yang tidak terlibat dalam program.

Artinya, nilai kC sudah ditentukan secara otomatis oleh MATLAB sedemikian sehingga

persamaan diferensial tersebut memiliki penyelesaian yang memenuhi syarat batas. Untuk

membuktikan validity hasil yang dikeluarkan MATLAB, akan ditentukan beberapa parameter

pembanding terhadap hasil analitik.

Keterangan: Oleh sebab tidak ditemukan nilai Sno, b, dan kF dari literatur, digunakan asumsi

nilai-nilai konstanta tersebut sebagai berikut. Sno=5000 kal/cm3s, b=40, kF=300. Nilai RF (jari-

jari bola nuklir) dan RC (jari-jari cangkang aluminium) dipilih senilai 4 cm dan 10 cm berturut-

turut (RF < RC). Nilai To yang dipilih adalah 500 (satuan suhu).

Tabel 1. Klarifikasi Keberterimaan Hasil Penyelesaian Numerik

Penyelesaian Analitik Penyelesaian Numerik Keterangan

Untuk setiap r pada rentang 0

hingga RC, fungsi T(r) merupakan

fungsi nonlinier dengan r sebagai

variabel bebas.

Grafik T(r) pada Gambar

3 bukan berupa garis

lurus.

Penyelesaian analitik dan

numerik memiliki kecocokan

dari segi linieritas fungsi T(r).

Pada 0 < r < RF, fungsi dT/dr

ditentukan dengan menurunakn TF

terhadap r. Diperoleh:

푑푇푑푟

=푆 푅

6푘(−

2푟푅

−6푏푟5푅

)

Pada r=0, dT/dr=0

Pada 0 < r < RF, dT/dr < 0

Grafik T(r) pada 0 < r < 4

bersifat monoton turun,

sedangkan pada r=0,

grafik T(r) berada dalam

kondisi stasioner. Grafik

dT/dr pada grafik berada

di bawah sumbu x (selalu

negatif)

Penyelesaian analitik dan

numerik memiliki kecocokan

pada tinjauan ini. Fungsi y(x)

disebut monoton turun pada

rentang [a,b] jika dy/dx<0

pada rentang tersebut

Pada RF < r < RC, fungsi dT/dr

ditentukan dengan menurunakn TC

terhadap r. Diperoleh:

푑푇푑푟

= −푆 푅3푘 푟

(1 +35푏)

Pada 0 < RF < r < RC, dT/dr < 0

Pada rentang 4 < r < 10

grafik T(r) monoton

turun. Nilai dT/dr pada

rentang ini juga selalu

negatif (berdasarkan

Gambar 3)

Penyelesaian numerik

memiliki kecocokan dalam

hal kemonotonan dengan

fungsi hasil penyelesaian

analitik.

Pada 0 < r < RF, fungsi d2T/dr2

ditentukan dengan menurunkan

dTF/dr terhadap r. Diperoleh:

Grafik T(r) cekung ke

bawah pada rentang 0 < r

< 4.

Hasil numerik memiliki

kecocokan dengan hasil

analitik dari segi kecekungan.


5

푑 푇푑푟

=푆 푅

6푘(−

2푅

−18푏푟5푅

)

Pada 0 < r < RF, d2T/dr2 < 0

Fungsi y(x) disebut cekung

bawah pada rentang [a,b] jika

d2y/dx2<0 pada rentang

tersebut.

Pada RF < r < RC, fungsi d2T/dr2

ditentukan dengan menurunkan

dTC/dr terhadap r. Diperoleh:

푑 푇푑푟

=2푆 푅

3푘 푟(1 +

35푏)

Pada 0 < RF < r < RC, d2T/dr2 > 0

Grafik T(r) cekung ke atas

pada rentang 4 < r < 10.

Hasil numerik memiliki

kecocokan dengan hasil

analitik dari segi kecekungan.

Fungsi y(x) disebut cekung

atas pada rentang [a,b] jika

d2y/dx2>0 pada rentang

tersebut.

Nilai d2T/dr2 pada r=RF

- Ditinjau dari 0 < r < RF

푑 푇푑푟

=푆 푅

6푘(−

2푅

−185

)

푑 푇푑푟

< 0

- Ditinjau dari 0 < RF < r < RC

푑 푇푑푟

=2푆3푘

(1 +35푏)

푑 푇푑푟

> 0

Pada Gambar 3, grafik

dT/dr memiliki corner

point pada r=4 (dalam hal

ini r=RF). Oleh sebab

kurva tersebut tidak

mulus pada r=RF, turunan

kurva tersebut (dalam hal

ini d2T/dr2) pasti diskotinu

di sana.

Penyelesaian numerik

memiliki kecocokan dengan

penyelesaian analitik.

Penyelesaian analitik

menunjukkan bahwa pada

r=RF, fungsi d2T/dr2 akan

mengalami diskotinuitas. Hal

ini terbukti dari hasil

penyelesaian numerik yaitu

munculnya corner point pada

grafik dT/dr saat r=RF

sebagaimana terlihat di

Gambar 3.

Berdasarkan validasi yang disajikan dalam Tabel 1, dapat disimpulkan bahwa grafik yang dihasilkan

dari penyelesain numerik memiliki kecocokan dengan hasil penyelesaian analitik. Dengan demikian,

grafik distribusi T pada setiap r yang diminta pada soal 2 sudah diselesaikan.

okokokaaaa

Documents