ola gia tis askiseis

8/13/2019 Ola Gia Tis Askiseis

http://slidepdf.com/reader/full/ola-gia-tis-askiseis 1/14

1

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Μιγαδικοί

1. Ιδιότητες συζυγών:

Αν i z 1 και iδγ z 2 είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε:

1. 2121 z z z z

2. 2121 z z z z

3. 2121 z z z z

4. 2

1

2

1

z

z

z

z

.

2.Μέτρο:

Αν 21 , z z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε

|||||| 2121 z z z z

||

||

2

1

2

1

z

z

z

z

3. Τριγωνική ανισότητα

χωρίς απόδειξη: |||||||||||| 212121 z z z z z z

***Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους.

***Η εξίσωση: 0,0 ρ ρ| z z | παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K z ( )0 και ακτίνα ρ.

***Η εξίσωση ||| 21 z z z z | παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος A z ( )1 B z ( )2 .

Εφαρμογές

1.Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το άθροισμα

νi i i i S 32 .(

11

iiiS ν

και = 0,i,-1+i,-1,)

2. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο

αριθμόςi z

z

2

1

είναι α) φανταστικός β) πραγματικός.

3. Αν για τους μιγαδικούς ν z z z ,...,, 21 ισχύει

12

2

1

1

i z

i z

i z

i z

i z

i z

ν

ν ,

να αποδειχτεί ότι κανένας από αυτούς δεν είναι πραγματικός αριθμός.

4. Αν για το μιγαδικό z ισχύει 22(2 |i) z | , να βρεθεί: α) Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z στο μιγαδικό επίπεδο.

Bbs



2

β) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του | z | .

Εφαρμογές

1. Έστω οι συναρτήσεις x x f ln)( και x x g )( . Να βρείτε τις: i) gof ii) fog .

*** Γενικά fog gof .

*** Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση "11" .

***** Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι 11 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες πχ.

0,1

0,

)( x

x

x x

x g (Σχ. 34, σελ 153).

*** Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και 1 f είναι συμμετρικές ως προς

την ευθεία x y που διχοτομεί τις γωνίες xOy και yO x

Bbs



3

Όρια

3. Όριο και διάταξη

Αν 0)(lim0

x f x x

, τότε 0)( x f κοντά στο 0 x (Σχ. 48α)

Αν 0)(lim0

x f x x

, τότε 0)( x f κοντά στο0

x (Σχ. 48β)

Αν οι συναρτήσεις g f , έχουν όριο στο 0 x και ισχύει )()( x g x f κοντά στο 0 x , τότε

)(lim)(lim00

x g x f x x x x

4. Ιδιότητες

Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0 x , τότε:

1. )(lim)(lim))()((lim000

x g x f x g x f x x x x x x

2. )(lim))((lim00

x f κ xκf x x x x

, για κάθε σταθερά R κ

3. )(lim)(lim))()((lim000

x g x f x g x f x x x x x x

4.)(lim

)(lim

)(

)(lim

0

0

0 x g

x f

x g

x f

x x

x x

x x

, εφόσον 0)(lim

0

x g x x

5. )(lim|)(|lim00

x f x f x x x x

6. k x x

k

x x x f x f )(lim)(lim

00 , εφόσον 0)( x f κοντά στο 0 x και .

7.ν

x x

ν

x x x f x f

)(lim)]([lim

00

,*ν

Κριτήριο παρεμβολής

Έστω οι συναρτήσεις h g f ,, . Αν

)()()( x g x f xh κοντά στο 0 x και

)(lim)(lim00

x g xh x x x x

,

Τότε:

)(lim0

x f x x

.

Βασικά όρια:

Για το πολυώνυμο: 01

1

1)( α xα xα xα x P ν

ν

ν

ν και xo ϵ R.

)()(lim 00

x P x P x x

.

Για ρητή συνάρτηση)(

)()(

xQ

x P x f , όπου )( x P , )( xQ πολυώνυμα του x και xo ϵ R με 0)( 0 xQ .

Bbs



4

)(

)(

)(

)(lim

0

0

0 xQ

x P

xQ

x P

x x

, εφόσον 0)( 0 xQ

Tριγωνομετρικά όρια

Θυμάμαι ότι: και αρχικά: άρα:

|||ημ| x x , για κάθε x ϵ R

(η ισότητα ισχύει μόνο όταν

0 x )

Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης

Αν 1α (Σχ. 60, σελ 185), τότε Αν 10 α (Σχ. 61, σελ 185), τότε

0lim

x

xα ,

x

xαlim

xα x

loglim0

,

xα x

loglim

Απροσδιόριστη μορφές )()( και )(0 . Και:

)()( , )()( και0

0,

.

Συνέχεια

Πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο 0 x , τότε είναι συνεχείς στο 0 x και οι συναρτήσεις:

g f , f c , όπου R c , g f , g

f , || f και ν f

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 0 x .

Εφαρμογές

1. Για ποια τιμή του α η συνάρτηση

0αν,

ημ

0αν,22

x x

x

x α x

)( x f είναι συνεχής;

2. Να δειχτεί ότι η εξίσωση 4συν x x έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα )2,( π π .

Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο )( 0 x f , τότε η

σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο 0 x .

00

ημημlim x x x x

α) 1ημ

lim0

x

x

x

00

συνσυνlim x x x x

β) 01συν

lim0

x

x

x

x

xαlim , 0lim

x

xα

xα x

loglim0

,

xα x

loglim

Bbs



5

Θεώρημα Bolzano

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ β α . Αν:

η f είναι συνεχής στο ],[ β α και, επιπλέον, ισχύει

0)()( β f α f ,

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),(0 β α x τέτοιο, ώστε

0)( 0 x f .

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης 0)( x f στο ανοικτό διάστημα ),( β α .

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ β α . Αν:

η f είναι συνεχής στο ],[ β α και

)()( β f α f

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των )(α f και )( β f υπάρχει ένας, τουλάχιστον ),(0 β α x τέτοιος,ώστε

η x f )( 0

Η εικόνα )( Δ f ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι

διάστημα.

Θεώρημα - Μέγιστης και ελάχιστης τιμής

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο ],[ β α , τότε η f παίρνει στο ],[ β α μια μέγιστη τιμή Μ και μια

ελάχιστη τιμή m. (Σχ. 69δ)

Δηλαδή, υπάρχουν ],[, 21 β α x x τέτοια, ώστε, αν )( 1 x f m και )( 2 x f M , να ισχύει

M x f m )( , για κάθε ],[ β α x .

Δλδ: Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το ],[ β α είναι το κλειστό

διάστημα ],[ M m , όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της και

Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ),( β α

, τότε

το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ),( Β Α (Σχ. 71α), όπου

)(lim x f Αα x

και )(lim x f B

β x

.

Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ),( β α , τότε το σύνολο τιμών της στο

διάστημα αυτό είναι το διάστημα ),( A B (Σχ. 71β).

Bbs



6

Διαφορικός λογισμός

Θεώρημα (Παραγωγισιμότητα συνέχεια)

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0 x , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

*** Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο 0 x , τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 x .

Εφαρμογές

1. Για ποιες τιμές του α ϵ R, η συνάρτηση

0,1

0,)(

3

22

x αx x

x α x x x f είναι:

i) συνεχής στο 00 x ; ii) παραγωγίσιμη στο 00 x ;

2. Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης x x f ln)( , στο οποίο η εφαπτομένη

διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

3. Oι ευθείες 1ε και 2ε είναι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης x x f ημ)( στα

σημεία 0)(0,O και ,0)(π A αντιστοίχως. Να βρεθούν:

i) Οι εξισώσεις των 1ε και 2ε

ii) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι 1ε , 2ε και ο άξονας των x .

4. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων1

1)(

x

x f και 1)( 2 x x x g έχουν

κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο 1)(0, A και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης αυτής.

5. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου 222: ρ y x C στο σημείο του ),( 111 y x M .

6. Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μία λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό. Μία συσκευή μέτρησης δείχνει

ότι τη χρονική στιγμή 0t που η ακτίνα r του κυματισμού είναι 50 cm, ο ρυθμός μεταβολής της r είναι 20cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε που περικλείεται από το κυκλικό κύμα, τη

χρονική στιγμή 0t .

7. Aν το συνολικό κόστος παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι )( x Κ και η συνολική

είσπραξη από την πώλησή τους είναι )( x E , τότε )()()( x K x E x P είναι το συνολικό κέρδος και

x

x K x K μ

)()( είναι το μέσο κόστος.

i) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους μηδενίζεται όταν ο ρυθμός μεταβολής του

κόστους και ο ρυθμός μεταβολής της είσπραξης είναι ίσοι.

ii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους μηδενίζεται όταν το μέσο κόστοςείναι ίσο με το οριακό κόστος

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων - Κανόνες παραγώγισης

0)( c

1)( x

1)( ρ ρ ρx x

x

x

2

1)(

x x συν)ημ(

)())(( x f c xcf

)()())()(( x g x f x g x f

)()()()())()(( x g x f x g x f x g x f

Bbs



7

Θεώρημα - Rolle

Αν μια συνάρτηση f είναι:

συνεχής στο κλειστό διάστημα ],[ β α

παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ),( β α και

)()( β f α f

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),( β αξ τέτοιο, ώστε:

0)( ξ f

Θεώρημα - Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.

Αν μια συνάρτηση f είναι:

συνεχής στο κλειστό διάστημα ],[ β α και

παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ),( β α

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ),( β αξ

τέτοιο, ώστε:

α β

α f β f ξ f

)()()(

Εφαρμογές

1. Nα αποδειχτεί ότι:

i) Η συνάρτηση x λ x λx x f 1)()( 23 , λ ϵ R, ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του

Rolle στο διάστημα 1][0, .

ii) Η εξίσωση 01)(23 2

λ x λx , λ ϵ R έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα 1)(0, .2. Να αποδειχτεί ότι για τη συνάρτηση γ βx αx x f 2

)( , 0α και για οποιοδήποτε διάστημα ],[ 21 x x , ο

αριθμός ),( 210 x x x , που ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, είναι το κέντρο

του διαστήματος ],[ 21 x x , δηλαδή είναι2

21

0

x x x

.

3. Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μία διαδρομή 200 χιλιομέτρων σε 2,5 ώρες. Να αποδειχθεί ότι κάποια χρονική

στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 80 χιλιόμετρα την ώρα.

x x ημ)συν(

x x ee )(

xnx

1)(

naaa x x)(

)1()( nx x x

x x

2))((

)()()()(

)(

)(

x g

x g x f x g x f

x g

x f

)())(())(( x g x g f x g f

Bbs



8

Θεώρημα

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν

η f είναι συνεχής στο Δ και

0)( x f για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω δυο συναρτήσεις g f , ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν

οι g f , είναι συνεχείς στο Δ και

)()( x g x f για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ x να ισχύει:

c x g x f

)()(

ΣΧΟΛΙΟ

Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση

0,1

0,1)(

x

x x f .

Παρατηρούμε ότι, αν και 0)( x f για κάθε ),0()0,( x , εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο

),0()0,( .

Εφαρμογή

Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει

)()( x f x f για κάθε x (1)

i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση x e

x f x φ

)()( είναι σταθερή και

ii) Να βρεθεί ο τύπος της f , αν δίνεται επιπλέον ότι 1(0) f .

Θεώρημα – παράγωγος και μονοτονία

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.

Αν 0)( x f σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Αν 0)( x f σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Εφαρμογή

Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση 2συν)( x x x f , ][0,π x είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το

σύνολο τιμών της.

Bbs



9

Επίσης να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 2συν x x έχει ακριβώς μια λύση στο ][0,π .

Θεώρημα – ακρότατα και παράγωγος (Fermat)

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 0 x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0 x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: 0)( 0 x f

Προσοχή

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f είναι διαφορετική

από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων. Επομένως οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν

α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ είναι:

1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.

2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το

μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

Θεώρημα - Παράγωγος και ακρότατα

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ),( β α , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0 x , στο

οποίο όμως η f είναι συνεχής.

i) Αν 0)( x f στο ),( 0 xα και 0)( x f στο ),( 0 β x , τότε το )( 0 x f είναι τοπικό μέγιστο της f .

ii) Αν 0)( x f στο ),( 0 xα και 0)( x f στο ),( 0 β x , τότε το )( 0 x f είναι τοπικό ελάχιστο της f .

iii) Aν η )( x f διατηρεί πρόσημο στο ),(),( 00 β x xα , τότε το )( 0 x f δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f

είναι γνησίως μονότονη στο ),( β α . (Σχ. 35γ).

ΣΧΟΛΙΑ Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα ],[ β α , όπως γνωρίζουμε (Θεώρημα §1.8),η f

παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:

1. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f .

2. Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων.

3. Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f .

Εφαρμογές

1. Nα βρεθεί το ]3[0, x έτσι, ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος να έχει μέγιστο

εμβαδό.

2. Έστω η συνάρτηση x x x f ln1)( .

i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ii) Να αποδειχτεί ότι 1ln x x , για κάθε 0 x .

Bbs



10

3. Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης )( x Π κάθε μονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του

πλήθους x των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα με τον τύπο x x Π 640000)( . Το κόστος παραγωγής

μιας μονάδας είναι 4000 δρχ. Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο 1200 δρχ.για κάθε μονάδα προϊόντος,

να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό

κέρδος.

Θεώρημα - Παράγωγος και ακρότατα

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ),( και 0 x ένα σημείο του ),( στο οποίο η f

είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.

Αν 0)( 0 x f και 0)( 0 x f , τότε το )( 0 x f είναι τοπικό μέγιστο.

Αν 0)( 0 x f και 0)( 0 x f , τότε το )( 0 x f είναι τοπικό ελάχιστο.

Θεώρημα –Κυρτότητα – Κοιλότητα

΄Εστω μια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ

ό του Δ.

Αν 0)( x f για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

Αν 0)( x f για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ.

ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται “κάτω” (αντιστοίχως “πάνω”)

από τη γραφική της παράσταση (Σχ. 39), με εξαίρεση το σημείο επαφής τους

Θεώρημα – Σημεία καμπήςΑν το ))(,( 00 x f x A είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης

της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε 0)( 0 x f .

Π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ είναι:

i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται, και

ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f (Σχ. 43).

Θεώρημα – Ασύμπτωτες.

Η ευθεία β x λ y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , αντιστοίχως στο , αν

και μόνο αν

λ x

x f

x

)(lim R και

β x λ x f

x])([lim R,

αντιστοίχως

λ x

x f

x

)(lim R και

β x λ x f

x])([lim R.

***Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.

Bbs



11

***Οι ρητές συναρτήσεις)(

)(

xQ

x P , με βαθμό του αριθμητή )( x P μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του

βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

****Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f

αναζητούμε:

***Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται. ***Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής.

***Στο , , εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ),( α , αντιστοίχως ),( α

.

Κανόνες de l’ Hospital.

Θεώρημα 1ο (μορφή0

0)

Αν 0)(lim0

x f x x

, 0)(lim0

x g x x

, },{0 x και υπάρχει το)(

)(lim

0 x g

x f

x x

(πεπερασμένο ή άπειρο),

τότε: )(

)(lim

)(

)(lim

00 x g

x f

x g

x f

x x x x

.

Θεώρημα 2ο (μορφή )

Αν

)(lim0

x f x x

,

)(lim0

x g x x

, },{0 x και υπάρχει το)(

)(lim

0 x g

x f

x x

(πεπερασμένο ή άπειρο),

τότε: )(

)(lim

)(

)(lim

00 x g

x f

x g

x f

x x x x

.

Εφαρμογές

1. Δίνεται η συνάρτηση1

42)(

x

x

e

e x x f . Να αποδειχτεί ότι:

i) Η ευθεία 2 x y είναι ασύμπτωτη της f C στο

ii) Η ευθεία 2- x y είναι ασύμπτωτη της f C στο .

2.Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: x e

x x f )( .

Μελέτη συνάρτησης και χάραξη της γραφικής της παράστασης

Στην παράγραφο αυτή θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που αποκτήσαμε μέχρι τώρα,

μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με ικανοποιητική ακρίβεια. Η πορεία

την οποία ακολουθούμε λέγεται μελέτη της συνάρτησης και περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα:

1ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f .

2o Eξετάζουμε τη συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της.

3ο Βρίσκουμε τις παραγώγους f και f και κατασκευάζουμε τους πίνακες των προσήμων τους. Με τη

βοήθεια του προσήμου της f προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f ,

Bbs



12

ενώ με τη βοήθεια του προσήμου της f καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη

και βρίσκουμε τα σημεία καμπής.

4ο Μελετούμε τη “συμπεριφορά” της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της

(οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ.)

5ο Συγκεντρώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα σ’ ένα συνοπτικό πίνακα που λέγεται και πίνακας

μεταβολών της f και με τη βοήθειά του χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της f . Για καλύτερησχεδίαση της f C κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της f .

ΣΧΟΛΙΟ

1) Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι ά ρ τ ι α, τότε η f C έχει

άξονα συμμετρίας τον άξονα y y , ενώ αν είναι π ε ρ ιτ τ ή, η f C έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των

αξόνων Ο. Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης μπορούμε να περιοριστούμε στα A x , με

0 x .

2) Αν μια συνάρτηση f είναι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με περίοδο Τ , τότε περιορίζουμε τη μελέτη της f C σ’ ένα

διάστημα πλάτους Τ .

Εφαρμογές

1. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση: 114)( 34 x x x f .

2. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση :1

4)(

2

x

x x x f .

Bbs



13

Ολοκληρώματα

Θεώρημα - Παράγουσες

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε

όλες οι συναρτήσεις της μορφής: c x F xG )()( , c R,

είναι παράγουσες της f στο Δ και

κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή: c x F xG )()( , c R.

Θεώρημα – Ολοκλήρωμα γραμμικού συνδυασμού

Έστω g f , σ υ ν ε χ ε ί ς συναρτήσεις στο ],[ β α και μ λ, R. Τότε ισχύουν

β

α

β

αdx x f λdx x f λ )()(

β

α

β

α

β

αdx x g dx x f dx x g x f )()()]()([

και γενικά

β

α

β

α

β

αdx x g μdx x f λdx x g μ x f λ )()()]()([

Θεώρημα – («Σπάσιμο» διαστήματος ολοκλήρωσης)

Αν η f είναι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημα Δ και Δγ β α ,, , τότε ισχύει

β

γ

γ

α

β

αdx x f dx x f dx x f )()()(

Για παράδειγμα, αν 3)(3

0

dx x f και 7)(4

0

dx x f , τότε

473)()()()()(3

0

4

0

0

3

4

0

4

3 dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f .

Θεώρημα – Ολοκλήρωμα και διάταξη

Έστω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα ],[ β α . Αν 0)( x f για κάθε ],[ β α x και η

συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε : β

αdx x f 0)( .

Θεώρημα – Το ολοκλήρωμα ως αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης

Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η

συνάρτηση x

αdt t f x F )()( , Δ x ,

είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει: )()( x f dt t f x

a

, για κάθε Δ x .

Θεώρημα -Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα ],[ β α . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο

],[ β α , τότε: β

ααG β Gdt t f )()()(

Bbs



14

Εφαρμογές

1. Δίνεται η συνάρτηση: dt t x F x

2

21)(

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F .

ii) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η F .

2. Nα βρεθεί συνάρτηση f τέτοια, ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο 3)(2, A και

να ισχύει 12)( x x f , για κάθε x R.

3. Η είσπραξη )( x E , από την πώληση x μονάδων ενός προϊόντος 100)(0 x μιας βιομηχανίας,

μεταβάλλεται με ρυθμό x x E 100)( (σε χιλιάδες δραχμές ανά μονάδα προϊόντος), ενώ ο ρυθμός

μεταβολής του κόστους παραγωγής είναι σταθερός και ισούται με 2 (σε χιλιάδες δραχμές ανά μονάδα

προϊόντος). Να βρεθεί το κέρδος της βιομηχανίας από την παραγωγή 100 μονάδων προϊόντος,

υποθέτοντας ότι το κέρδος είναι μηδέν όταν η βιομηχανία δεν παράγει προϊόντα.

4. Nα υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

i) dx e x x 2 ii)

xdx x ημ2

iii) xdx x 1)ln(4 3 iv) xdx e

x ημ2 .

5. Ο πληθυσμός )(t P , 200 t , μιας πόλης, που προέκυψε από συγχώνευση 10 κοινοτήτων, αυξάνεται με

ρυθμό (σε άτομα ανά έτος) που δίνεται από τον τύπο /10)(

t tet P , 200 t , όπου t είναι ο αριθμός των

ετών μετά τη συγχώνευση. Να βρεθεί ο πληθυσμός )(t P της πόλης t χρόνια μετά τη συγχώνευση, αν

γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήταν 10000 κάτοικοι κατά τη στιγμή της συγχώνευσης.

6. Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

i)

dx

e

e

x

x

2)(1

ii)

xdx εφ .

7. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

i) dx π

x )6

ημ(2 ii) dx x 21

1 iii) dx x x

9921)( .

8. Δίνεται η συνάρτηση: dt t x F x

2

21)(

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F .

ii) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η F .

9. Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

i) dx x

x x

2

1

2 1 ii) dx

x

x

4

1

1 iii) dx x

5

1|2-| .

10. Nα βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων x x f ημ)( , x x g συν)( και τις ευθείες 0 x και π x 2 .

11. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της x x f ln)( , τον

άξονα των x και την εφαπτομένη της f C στο σημείο 1),(e A .

ola gia tis askiseis

Documents