ELECTROMAGNETISMO

ELECTROMAGNETISMO

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS-ESPE EXTENSIN LATACUNGAErazo Bassantes Yaritza PaulinaIngeniera Electrnica e Instrumentacin, Quinto, Escuela Politcnica del Ejrcito Extensin Latacunga, Mrquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.email: yaritzapaulina_012@hotmail.comFecha de presentacin:22 de febrero del 2015

Diagramas de SmithRESUMENLa carta de Smith es una herramienta grfica que permite la obtencin de diversos parmetros de las lneas de transmisin y la resolucin de problemas de adaptacin de impedancias, evitando las operaciones con nmeros complejos que suelen implicar estos clculos. La carta de Smith se puede utilizar para una variedad de propsitos incluyendo la determinacin de la impedancia, adaptacin de la impedancia, optimizacin del ruido, la estabilidad, etc. Por tratarse de una relacin grfica entre la impedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexin del voltaje en el mismo punto de la lnea, se pueden evitar los laboriosos clculos con nmeros complejos para conocer la impedancia de entrada a la lnea o el coeficiente de reflexin, como veremos a continuacin.ABSTRACTThe Smith chart is a graphical tool that allows obtaining various parameters of transmission lines and problem solving impedance matching, avoiding operations with complex numbers which often involve these calculations. The Smith chart can be used for a variety of purposes including determining the impedance, impedance matching, noise optimization, stability, etc. Being a graphic relationship between the impedance standard input and the reflection coefficient of the voltage at the same point on the line, you can avoid the laborious calculations with complex numbers to find the input impedance to the line or the reflection coefficient, as discussed below.PALABRA CLAVE Smith Impedancia Estabilidad

INTRODUCCIN

LA CARTA DE SMITHLa carta de Smith consiste en la representacin grfica, en el plano del coeficiente de reflexin, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta grfica permite la obtencin de diversos parmetros de las lneas de transmisin y la resolucin de problemas de adaptacin de impedancias, evitando las operaciones con nmeros complejos que suelen implicar estos clculos.

Construccin de la carta de Smith Recordemos la expresin del coeficiente de reflexin en la carga, , en funcin de sta, ZL, y de la impedancia caracterstica de la lnea, Z0:(1)que se puede expresar en forma de mdulo y fase , o como parte real e imaginaria .La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedancia caracterstica de la lnea Z0, tambin puede escribirse en sus partes real e imaginaria como:(2)Dnde:

Es la resistencia normalizada Es la reactancia normalizada

A partir de (1) y (2) se pueden obtener las partes real e imaginaria de :

(3)

Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) para las partes real e imaginaria y por eliminacin de r o x, respectivamente, pueden obtenerse las siguientes ecuaciones:(4)(5)Si representamos la ecuacin (4) sobre el plano para valores de r constante, las grficas obtenidas son crculos de radio centrados en el eje real en los puntos: . Los distintos valores de r dan lugar a crculos de radio diferente con centro en distintas posiciones del eje real. La figura 1 muestra, en lnea continua, los casos , 1 y 2. Todos los crculos pasan por el punto (1, 0). La ecuacin (5), para valores de x constante, tambin describe crculos de radio , centrados en . En la figura 1 se muestra, en lnea discontinua, los casos para x=0, 0.5, 1 y 2. Nuevamente, todos los crculos pasan por el punto (1, 0).

Representacin de impedancias normalizadasLa interseccin de un crculo r y un crculo x define un punto que representa una impedancia normalizada .

Por ejemplo:

El punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada 0.5+j un cortocircuito, = 1, se representa en el punto (-1, 0) un circuito abierto, = 1, en el punto (1, 0).

Obtencin del coeficiente de reflexin

Si pensamos en la carta de Smith como una representacin en polares, la distancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el mdulo del coeficiente de reflexin y el ngulo con respecto al eje real positivo se corresponde con su fase.(6)(7)

La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del mdulo (en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el crculo r=1).

Todas las impedancias que presenten el mismo mdulo del coeficiente de reflexin se situarn sobre un crculo centrado en el origen. Por ejemplo, el punto se corresponde con un coeficiente de reflexin y en la figura se observa el crculo que representa .

Obtencin de la ROE

Si recordamos la expresin que relaciona la razn de onda estacionaria (ROE) con el coeficiente de reflexin:(8)

y la comparamos con la expresin (2) vemos que la ROE coincide con el valor de la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexin es cero, es decir, la interseccin del crculo || = cte. con el eje real positivo.

Situacin de los puntos y

Partiendo de la expresin de la onda de tensin en la lnea en funcin del coeficiente de reflexin:(9)es fcil comprobar que la posicin de mximos y mnimos ser: los mximos: cuando la fase del coeficiente de reflexin sea cero (semieje X positivo). los mnimos: cuando la fase del coeficiente de reflexin sea (semieje X negativo).

Transformacin de impedancias

Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente de reflexin en cualquier punto z de la lnea viene dado, en funcin del coeficiente de reflexin en la carga, por la expresin:

(10)

Un caso particular es el de las lneas sin prdidas

(11)

Por lo tanto, en una lnea sin prdidas, un desplazamiento se traduce en un cambio de fase del coeficiente de reflexin, pero el mdulo se mantiene constante. Por ejemplo, un desplazamiento de supone un incremento de fase de sobre el crculo de mdulo constante. Esto nos lleva a la obtencin de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde con la impedancia vista desde ese punto.

De esta forma, la transformacin de impedancias producida a lo largo de la lnea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse sobre crculos centrados en la carta (espirales si hay prdidas). La carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su permetro en (en longitudes de onda), una para los movimientos hacia el generador y otra para los movimientos hacia la carga.

Obtencin de admitancias Partiendo de la ecuacin de la impedancia vista desde un punto z hacia la carga ZL, en una lnea sin prdidas:(12)Si normalizamos y vemos el caso particular de :

(13)Obtenemos la admitancia de carga normalizada. Vemos como el transformador acta como un inversor de impedancias. Un desplazamiento de un cuarto de longitud de onda equivale a un cambio de fase de radianes en el coeficiente de reflexin, por lo tanto el punto de la admitancia est diametralmente opuesto al de la impedancia correspondiente.

Tambin es posible emplear la carta de Smith como diagrama de admitancias, muy til para resolver problemas de conexiones de lneas en paralelo (donde las admitancias se suman). Si se trabaja con admitancias normalizadas las posiciones de cortocircuitos y circuitos abiertos estn invertidas respecto de la carta de impedancias y tambin se invierte la posicin de los lados capacitivo e inductivo.

DESARROLLO

a.- Clculo de parmetros 1. Localizar en la Carta de Smith las siguientes impedancias (tomar Z0=50 ): Z1=0 , Z2=-j100 y Z3=50+j75 Las tareas que se proponen a continuacin deben resolverse empleando la Carta de Smith y mediante las ecuaciones de las lneas de transmisin:2. Calcular sus admitancias correspondientes. 3. Obtener el coeficiente de reflexin en la carga, la relacin de onda estacionaria en la lnea y la distancia del primer mnimo de la onda estacionaria de tensin a la carga, para los tres casos. 4. Calcular la impedancia de entrada de una lnea de transmisin de impedancia caracterstica 50 y 0.3 de longitud, cargada con las impedancias del ejercicio anterior. 5. La impedancia de entrada de un tramo de longitud l de la lnea anterior terminada en circuito abierto es una reactancia capacitiva de 90. Cul es la longitud elctrica l/ de la lnea?

b.- Adaptacin de impedancias

6. La lnea de transmisin de la figura presenta una impedancia caracterstica de 50 y est cargada con una impedancia de ZL=100+j75. Determinar la longitud (l2) y la posicin (l1) del cortocircuito necesario para adaptar la lnea.

APLICACIN EN MATLAB

En MATLAB podra ser:

Funcionalidades de la carta de Smith: Lectura directa del coeficiente de reflexin en mdulo y fase (mediante la superposicin de curvas de resistencia conductancia y reactancia susce ptancia-, tambin se lee el valor de la impedancia). Obtencin del valor del coeficiente de reflexin en cualquier punto de una lnea sin ms que hacer una rotacin a travs de punto de una lnea sin ms que hacer una rotacin a travs de una circunferencia de coeficiente de reflexin constante (centro el origen y radio R). Representacin de admitancias/impedancias sin ms que hacer un giro de 180 (en la carta de Smith convencional). Adaptacin de impedancias mediante movimientos en, Adaptacin de impedancias mediante movimientos en, principalmente, dos familias de circunferencias: coeficientes de reflexin constantes y resistencias (conductancias) constantes

CONCLUSIONES La carta de Smith constituye la herramienta bsica para el anlisis de cualquier circuito de microondas. Consiste en una representacin en el PLANO POLAR de los coeficientes de reflexin de los coeficientes de reflexin. Por la aplicacin biyectiva entre coeficientes de reflexin e impedancias a cada coeficiente de reflexin en el e impedancias a cada coeficiente de reflexin en el plano polar le corresponde un valor de impedancia o admitancia.

BIBLIOGRAFA http://datateca.unad.edu.co/contenidos/208018/208018-AVA/UNIDAD_2/uso%20de%20la%20carta%20de%20Smith.pdf https://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=19&cad=rja&uact=8&ved=0CFgQFjAS&url=http%3A%2F%2Fdatateca.unad.edu.co%2Fcontenidos%2F208018%2F208018-AVA%2FUNIDAD_2%2FCARTA%2520DE%2520SMITH.pdf&ei=4WHqVIaBDoeVNuvRg9gI&usg=AFQjCNExEueolY5qnGMcLSHVu4gg4VVABQ&bvm=bv.86475890,d.eXY http://www.ugr.es/~tejada/manuales/DCIM/tema2.pdf http://www.tsc.uc3m.es/~jvazquez/CartadeSmith.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Carta_de_Smith

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