Coordenadas en el plano

Poligonal Cerrada

Primera versión: 04/01/2006 Última actualización: 08/02/2007

Se efectuó la medición planimétrica de una poligonal cerrada con cinta y teodolito como muestra el siguiente croquis ilustrativo

X=N

A

P B

C

D

Y

1200,2m 831m

677,5m 1371,3m

250º 159º

341º

97º

31º 128º

96º

36º

358º α

Determinación y compensación de los ángulos internos Problema: Deducir los ángulos internos de la poligonal en función de las lecturas dadas en la figura. Calcular el error de cierre angular, verificar que esté dentro de tolerancia (T = 5º), y compensar los mismos si es pertinente. Solución: Toda figura cerrada de n lados tiene una condición geométrica de cierre angular: la suma de los ángulos internos es igual a 180º(n-2) En función de esta condición matemática se procederá a “cerrar la figura” que consiste en compensar los ángulos deducidos de las mediciones de campo, que como sabemos están provistas de errores. Antes de compensar la figura hay que deducir los ángulos mediante la diferencia de lecturas; sabiendo que el limbo aumenta su graduación en sentido horario los ángulos serán: A = dir AD – dir AB = 96º - 36º = 60º B = dir BA – dir BC = 128º - 31º = 97º C = 360º - (dir CD – dir CB) = 360º - (341º - 97º) = 116º D = dir (DC) – dir (DA) = 250º - 159º = 91º Debido a los errores de observación, la condición de cierre angular no se cumple, quedando un error residual llamado “error de cierre angular”. Este error es la diferencia entre el valor que me da las mediciones y el valor teórico, para nuestro ejemplo:

180º ( 2)

(60º 97º 116º 91º ) 180º (4 2)364º 360º4º

ii

nα

α

α

α

ε α

εεε

= − −

= + + + − −= −=

∑

El error total εα = 4º, es decir, la suma de los ángulos interiores que surge de nuestra medición es mayor al valor teórico y por lo tanto tenemos un exceso; esto significa que de alguna manera hay que sacar en total 4º. Un detalle a tener en cuenta antes de pasar a la compensación es la tolerancia T, este valor nos indica el límite de error que podemos cometer, y de no estar dentro de tolerancia el error de cierre εα implica efectuar nuevamente las mediciones. La condición para poder compensar es:

εα < T, Para nuestro ejercicio 4º < T, por lo tanto podemos proceder a compensar los ángulos La forma más simple de compensar angularmente una figura cerrada es repartir este error total en partes iguales a cada ángulo, dividiendo el εα por el número de vértices del polígono, pero aplicando este valor con el signo contrario al del error:

Los ángulos internos corregidos serán: A = 60º + c = 60º - 1º = 59º B = 97º + c = 97º - 1º = 96º C = 116º + c = 116º - 1º = 115º D = 91º + c = 91º - 1º = 90º Por lo tanto, los ángulos compensados ahora verifican la condición de cierre de la figura: Nota importante: A partir de este momento los ángulos que se utilizarán para los cálculos posteriores serán éstos valores angulares compensados

Determinación del acimut Problema: Calcular el acimut de la dirección AP (redondear al grado) basándose en alguno de los datos conocidos, y luego el acimut de cada lado de la poligonal.

Nota: utilizar la siguiente nomenclatura: ej. acimut de la dirección AB = (AB)

2237, 46 2517,88

3572,55 3734, 45A P

A P

X m X mY m Y m

= == =

Solución: Para el caso de una poligonal cerrada las condiciones de arranque son similares que para el caso de una poligonal abierta, para darle coordenadas a los puntos en un determinado marco de referencia es necesario contar con alguno de los siguientes elementos: i) Un punto de coordenadas conocidas en ese marco y el acimut de alguna dirección para orientar

la poligonal en ese marco, ii) Dos puntos con coordenadas conocidas en ese marco, de los cuales se calculará el acimut de

arranque Los elementos que tenemos como dato son las coordenadas de dos puntos, a partir de las cuales podemos calcular el acimut de arranque del primer lado de la poligonal AB. Como primer paso determinamos el acimut de la dirección AP:

( )

3734, 45 3572,55 161,9( )2517,88 2237, 46 280, 42

( ) 30º

P A

P A

Y YAP arctgX X

AP arctg arctg

AP

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟−⎝ ⎠≈

El acimut de arranque de la poligonal es el correspondiente al lado AB que se calcula con ayuda del acimut AP y del ángulo α α= 360º - (dirAP – dirAB) α=38º

Entonces el acimut del lado AB es: (AB) = (AP) + α = 30º + 38º (AB) = 68º Una vez que conocemos el acimut de arranque (AB) y los ángulos internos del polígono, pasamos a calcular el acimut de los otros lados del mismo. El mecanismo general es sencillo: Acimut del lado (i, i+1) = acimut del lado (i-1, i) + 180º - ángulo i En nuestro ejemplo, para calcular el acimut del lado BC, denotado como (BC), sería de la siguiente manera: Acimut del lado BC = acimut del lado AB + 180º - ángulo B, que con la notación correspondiente se escribe: (BC) = (AB) + 180º - B = 68º + 180º - 96º = 152º Para el resto de los lados: (CD) = (BC) + 180º - C = 152º + 180º - 115º = 217º (DE) = (CD) + 180º - D = 217º + 180º - 90º = 307º

Determinación de las coordenadas provisorias Problema: Calcular los incrementos ΔX y ΔY para cada lado de la poligonal adoptando el sistema de ejes de la figura, y en base a ellos determinar las coordenadas provisorias de los puntos B, C y D completando la siguiente planilla

Nota: redondear valores al centímetro!!! Solución: Mediante operaciones trigonométricas y adoptando el sistema de ejes de la figura determinamos las fórmulas generales para calcular los incrementos ΔX y ΔY:

, 1

, 1

( , 1) cos( , 1)( , 1) ( , 1)

i i

i i

X lado i i i iY lado i i sen i i

+

+

Δ = + +

Δ = + +

Con éstas fórmulas calculamos los incrementos:

cos( ) 1200, 20 cos 68º 449,60

( ) 1200, 20 68º 1112,81

cos( ) 831 cos152º 733,73

( ) 831 152º 390,13

cos( ) 677,5 cos 217º 541,08

( ) 677,

AB

AB

BC

BC

CD

CD

X AB AB m m

Y ABsen AB msen m

X BC BC m m

Y BCsen BC msen m

X CD CD m m

Y CDsen CD

Δ = = =

Δ = = =

Δ = = = −

Δ = = =

Δ = = = −

Δ = = 5 217º 407,73

cos( ) 1371,3 cos307º 825, 27

( ) 1371,3 307º 1095,17DA

DA

msen m

X DA DA m m

Y DAsen DA msen m

= −

Δ = = =

Δ = = = −

Una vez determinados los incrementos ΔX y ΔY se calculan las coordenadas provisorias X* e Y* para cada punto:

* *1 1,

* *1 1,

i i i i

i i i i

X X X

Y Y Y− −

− −

= + Δ

= + Δ

*

*

* *

* *

* *

* *

2237, 46 449,60 2687,06

3572,6 1112,81 4685,36

2687,06 733,73 1953,33

4685,36 390,13 5075, 49

1953,33 541,08 1412, 25

B A AB

B A AB

C B BC

C B BC

D C CD

D C CD

X X X m m m

Y Y Y m m m

X X X m m m

Y Y Y m m m

X X X m m m

Y Y Y

= + Δ = + =

= + Δ = + =

= + Δ = − =

= + Δ = + =

= + Δ = − =

= + Δ

* *

* *

5075, 49 407,73 4667,76

1412, 25 825, 27 2237,52

4667,76 1095,17 3572,59A D DA

A D DA

m m m

X X X m m m

Y Y Y m m m

= − =

= + Δ = + =

= + Δ = − =

Los valores obtenidos se los vuelcan en una planilla tipo:

Cierre y precisión Problema: Calcular el error de cierre en cada componente (X e Y) y el error de cierre lineal εT. Determinar la precisión de la poligonal. Solución: Dado que las mediciones angulares y lineales fueron tomadas en el terreno en forma independiente, por más que hayamos compensado angularmente la figura todavía persisten errores provenientes de las distancias medidas. Estos errores lineales influyen en el cálculo de las coordenadas propagándose a lo largo de toda la poligonal y manifestándose cuando hacemos el control de cierre en el primer punto. En una poligonal cerrada el error de cierre en cada componente viene dado por la diferencia entre la componente calculada a partir de las mediciones (X´, Y´) y la que tenemos como dato (X, Y), es decir:

εX= X´ - X εY= Y´ - Y

Para nuestro ejemplo el contraste de coordenadas lo hacemos con el punto A que es dato:

*

*

2237,52 2237, 46 0,06

3572,59 3572,55 0,04X A A

Y A A

X X m m m

Y Y m m m

ε

ε

= − = − =

= − = − =

El error total lineal de la poligonal viene dado por:

2 2

2 2(0,06 ) (0,04 ) 0,07

L X Y

L m m m

ε ε ε

ε

= +

= + ≈

La precisión lineal de la poligonal viene dada por la siguiente fórmula:

1:L

longitud totalσε

=

La longitud total de la poligonal es la suma de todos los lados: L= AB + BC + CD + DA = 4080m Reemplazando los valores en la expresión de la precisión:

40801:0,07

1: 58000

σ

σ

=

≈

Compensación Problema: Verificar si el error de cierre esta dentro de tolerancia (T=10cm), en caso positivo compensar las coordenadas de los puntos. Efectuar cálculos y completar la siguiente planilla:

nota: redondear valores al centímetro!!! Solución: Antes de compensar las coordenadas es necesario verificar que nuestras mediciones estén dentro de tolerancia, esto significa que hay que controlar que los errores que nos arrojan los cálculos en función de las magnitudes medidas no superen cierta cota superior de error, que constituye un límite que indica si nuestras mediciones están o no provistas de errores groseros o de algún sistematismo no corregido. Cuando el error total supera la tolerancia se deben efectuar nuevamente las mediciones! La condición para proceder a compensar las coordenadas es: εL < T Para nuestro ejemplo 0,07m < T por lo tanto podemos compensar. Las fórmulas generales para corregir las coordenadas provisorias son las siguientes:

Xi Xi

Yi Yi

dX c lados hasta el punto iL

dY c lados hasta el punto iL

ε

ε

= = −

= = −

∑

∑

0,06 1200, 2 0,024080

0,04 1200, 2 0,012 0,014080

0,06( ) (1200, 2 831 ) 0,034080

0,04( ) (1200, 2 831 ) 0,019 0,024080

0,06( )

XB

YB

XC

YC

XD

dX AB m mL

dY AB m m mL

dX AB BC m m mL

dY AB BC m m m mL

dX AB BC CDL

ε

ε

ε

ε

ε

= − = − ≈ −

= − = − = − ≈ −

= − + = − + ≈ −

= − + = − + = − ≈ −

= − + + = − (1200, 2 831 677,5 ) 0,044080

0,04( ) (1200, 2 831 677,5 ) 0,026 0,034080

( ) 0,07

( ) 0,04

YD

X XA X

Y YA Y

m m m m

dY AB BC CD m m m m mL

dX AB BC CD DA L mL L

dY AB BC CD DA L mL L

ε

ε ε ε

ε ε ε

+ + ≈ −

= − + + = − + + = − ≈ −

= − + + + = − = − = −

= − + + + = − = − = −

Una vez calculadas las correcciones pasamos a determinar las coordenadas definitivas que consiste simplemente en sumar la corrección correspondiente a la coordenada provisoria de cada punto:

*

*

i i i

i i i

X X dX

Y Y dY

= +

= +

Los valores obtenidos se vuelcan en la planilla tipo: