predavanja_9

8/19/2019 predavanja_9

1/9

1

6.3 Joule-ov zakon

Na osnovu iskustvenih saznanja, poznato je da se električni provodnici zagrijavaju,

tokom prolaska električne struje kroz njih. Tu pojavu, prvi je analitički uspješno opisao

Joule (James Presccott Joule, 1818- 1889).

Da bi pronašao egzaktne uzročno-posljedične veze, između električnog rada, koji seobavlja prilikom toka stalne jednosmjerne električne struje I, kroz provodnik električne

otpornosti R i količine toplote, koja se tokom tog procesa oslobađa, Joule je odabrani

izolovani provodnik električne otpornosti R, postavio u kalorimetar, a potom pristupio i

mjerenju količine toplote, koja se razvija u tom kalorimetru, tokom provođenja različitih

varijanti pomenutog eksperimenta.

Nakon što je uspostavio stalnu jednosmjernu električnu struju kroz provodnik električne

otpornosti R, ustanovio je da se pri dva puta dužem vremenskom intervalu, toka

električne struje I, oslobađa i dva puta veća količina toplote. Potom je ustanovio i da se

pri tri puta dužem vremenskom intervalu toka električne struje I, oslobađa tri puta većakoličina toplote, te da se i pri n puta dužem vremenskom intervalu toka električne struje I,

oslobađa i n puta veća količina toplote. U skladu sa ovakvim rezultatima Joule jeformirao sasvim ispravan zaključak, da je iznos električnog rada, koji se tokom

određenog vremenskog intervala toka stalne jednosmjerne električne struje, kroz

provodnik električne otpornosti R, pretvara u toplotu, direkno proporcionalan vremenu

trajanja tog procesa t.

Provodeći isti eksperiment, i u uslovima kada je sve bitne karakteristike analiziranogsistema zadržao nepromijenjenim, osim jačine stalne jednosmjerne električne struje, koju

je odlučio mijenjati, primjetio je da pri dva puta većoj jačine stalne jednosmjerne

električne struje, dolazi do čeverostruko veće količine oslobođene toplote, odnosno da pri

n puta većoj jačine stalne jednosmjerne električne struje, dolazi i do n2 puta većekoličine oslobođene toplote.

Analogne eksperimente, potom je obavio i sa nekoliko različitih vrsta električnih

provodnih materijala, te došao do zaključka da je količina toplote A, oslobođene tokomtakvih eksperimenata, direktno proporcionalna sa električnim otporom upotrijebljenih

provodnih materijala, kroz koje je usmjeravana stalna jednosmjerna električna struja. Ova

serija, prethodno opisanih eksperimenata, omogućila je Joule-u, da analitički povežeodnose između relevantnih veličina I, R i t, relacijom:

A = R · I2 · t (6.23)

Upravo iskazani odnosi, spoznati putem eksperimentalno stećenih iskustava, danas semeđutim mogu uobličiti i uz korištenje pretežno teoretskih podloga, zasnovanih na

dosada predočenim pojmovima iz osnova elektrotehnike.

U tom smislu na slici broj 6.7 (a) prikazan je beskonačno mali dio strujne tube, dužine dl

i normalnog poprečnog presjeka ds. Pod pretpostavkom da pri prolasku stalne

jednosmjerne struje dI, kroz analizirani dio strujne tube, između njenih krajeva vlada

potencijalna razlika, odnosno električni napon, dU, tada za održavanje takvog

energetskog stanja treba iz nekog energetskog izvora angažovati električnu snagu:

dP = (dI) · (dU) =(J·ds)·(E · dl) (6.24)


2/9

2

Slika broj 6.7 Fizikalna osnova za izvođenje Joule-ova zakona u diferencijalnom obliku

Sa slike 6.7 je vidljivo da su vektori J i ds, odnosno ds i dl kolinearni, što daje

mogućnost da se uspostave relacije: (J·ds) = J·ds ; (E · dl) = ((E · J )/J)·dl ;dV= (dl)(ds) , nakon čega je moguće relaciju (6.24) zapisati i u obliku predočenom sa

(6.25):

E · J

dP= J·ds · —— dl = E · J ·dV (6.25)

J

odakle se lako dolazi do relacije za zapreminsku gustinu električne snage, p = (dP)/(dV),

koja se angažuje iz raspoloživog energetskog izvora i u skladu sa zakonom Joule-a,

pretvara u toplotu, unutar strukture provodnog materijala, kroz koji se usmjerava upravostalna jednosmjerna struja gustine J .

dP

p = —— = E · J = ρR · J2 = σP · E

2 (6.26)

dV

Relacija (6.26) je u literaturi poznata kao Joule-ov zakon u diferencijalnom obliku. Sobzirom da je jedinica mjere za aktivnu električnu snagu, odnosno električnu snagu

angažovanu aktivnim električnim otporom R, vat, (W), to je jedinica mjere za

zapreminsku gustinu električne snage p, definisana sa ( W·m-3

).

Iskoriste li se gornji rezultati za određivanje električne snage koju će neki provodnikkonačne zapremine, poput provodnika sa slike 6.7 (b) , preuzeti iz vanjskih energetskih

izvora i pretvoriti, u skladu sa zakonom Joule-a, u toplotu, formira se relacija (6.27):

P = I2 · R = ⋅ ⋅∫V

E J dV (6.27)

U opisanim uslovima između, tačaka poprečnog presjeka A1 i poprečnog presjeka A2,vlada potencijalna razlika, odnosno električni napon, UA1-A2 = R·I , pri čemu električni

potencijal poprečnog presjeka A1, zadovoljava relaciju : VA1 > VA2 , a stalna


3/9

3

jednosmjerna električna struja I, prvo ulazi u poprečni presjek A1, a tek potom u

provodnik, pridružene mu električne otpornosti R.Pri ispunjenju prethodno navedenih uslova , uobičajno je reći da su električna struja I i

električni napon , UA1-A2 , usaglašeni po znaku i smjeru.

6.4 Jednačina kontinuiteta električne struje i prvi Kirchhoff-ov zakon

Pri definisanju zapreminski raspoređenog električnog naboja, unutar neke zapremine V,

ograničene zatvorenom površi s, konstatovano je da, ukoliko se zapreminska gustina tako

lokalizovanog naboja označi sa ρ, tada se ukupna količina električnog naboja q unutar te

zapremine, određuje prema relaciji:

q =

V

dVρ⋅∫ (6.28)

Nije teško zaključiti, da do promjene iznosa obuhvaćenog električnog naboja q, možedoći ukoliko u analiziranu zapreminu uđu novi električni naboji istog znaka kao i

električni naboj q, ili pak istu oblast napusti dio električnih naboja istog znaka kao i q.

Bilo koja od spomenutih varijanti, očigledno dovodi i do obrazovanja kondukcionih, ili

konvekcionih električnih struja.

Prethodna rasuđivanja formalizovano se mogu iskazati u obliku relacije (6.29), koja je u

elektrotehnici poznata kao jednačina kontinuiteta električne struje.

∂ dq

∫S

J ···· ds = - —— (V

dVρ⋅∫ ) = - —— (6.29)

∂ t dt

Znak (-) ispred izraza za brzinu promjene električnog naboja q, posljedica je činjenice da pozitivnom izlaznom fluksu vektora gustine električne struje J, odgovara negativan

prirast ∆q , iznosa ukupnog električnog naboja q.Jednačinom kontinuiteta se može tumačiti i tvrdnja da je algebarski zbir električnih

naboja u prirodi nepromjenljiv.

U skladu sa prethodno uvedenom definicijom stacionarnog strujnog polja, odnosno

definicijom stalne jednosmjerne struje u takvom polju je sigurno ispunjen uslov:

(dq/dt)=0, odakle proizilazi logičan zaključak da se za stacionarna strujna polja,

jednačina kontinuiteta transformiše u relaciju:

∫S

J ···· ds = 0 (6.30)


4/9

4

Posljednja relacija se može, uz pomoć jedne od osnovnih teorema matematičke discipline,

Teorija vektorskih polja- teoreme Gauss-Ostrogradskog prevesti i u ekvivalentandiferencijalni oblik, iskazan sa (6.31)

div J = 0 (6.31)

Diferencijalnim oblikom jednačine kontinuiteta, za stacionarna strujna polja, posebno senaglašava da je stacionarno strujno polje bezizvorno polje, odnosno da su linije

stacionarnog strujnog polja zatvorene same u sebe (električni naboji se kreću unutar

strujnih tuba, poput nestišljive tečnosti). Odnosi iskazani relacijam (6.30) i (6.31)

predstavljaju prvi Kirchhoff-ov zakon u integralnom, odnosno diferencijalnom obliku

respektivno.

Tokom rješavanja praktičnih primjera iz proračuna električnih krugova, češće je u

upotrebi integralni oblik prvog Kirchhoff-ovog zakona. Kada se prvi Kirchhoff-ov

zakon primjenjuje na električne krugove, u kojim je kretanje električnih nabojakanalisano kroz linijske-žičane provodnike, relacija (6.30) se može pojednostaviti u oblik

predočen sa (6.32):n

1k

I=

∑ k = 0 (6.32)Relacija (6.32) tvrdi da je algebarska suma svih električnih struja, koje dolaze ili odlaze u

čvorište električnog kruga jednaka nuli (čvorište električnog kruga je mjesto u njegovoj

električnoj šemi, na kojem se sastaje tri ili više grana razmatranog električnog kruga).

Termin algebarska suma struja, koristi se u cilju naglašavanja da razmatrane struje mogu

imati ili pozitivan, ili negativan predznak. Formalno je ispravno, električnim strujama

koje napuštaju čvorište, pridružiti predznak (+), pošto je njihov smjer usaglašen sasmjerom vektora gustine električne struje, koji sa vektorom jedinične normale na površ s

(usmjerenim od površi s ka okolnom prostoru) zaklapa oštar ugao. Slično tome, strujama

koje dolaze u čvorište treba pridružiti predznak (-), jer je njihov smjer usaglašen sa

smjerom vektora gustine električne struje, koji sa vektorom jedinične normale na površ s

(usmjerenim od površi s ka okolnom prostoru) zaklapa tupi ugao.

Treba naglasiti da se u analitičkoj notaciji, koju koriste Osnove elektrotehnike, Električni

krugovi i Teorija elektromagnetnih polja, simbolom I naglašava da je riječ o stalnim jednosmjernim strujama.

Slika broj 6.8 Primjena prvog Kirchhoff-ovog zakona na čvorište u koje se vezuje

pet grana nekog električnog kruga


5/9

5

6.5 Elektromotorna sila u osnovnom električnom krugu.

Termin osnovni električni krug, podrazumjeva električni krug koji se sastoji od jednogizvora električne energije i jednog potrošača električne energije (izvor električne energije

pri tome može biti bilo naponski, ili pak strujni izvor električne energije; u tehničkoj

literaturi se ravnopravno sa navedenim terminom izvor električne energije, koristi itermin generator električne energije). U električnim krugovima stalnih jednosmjernih

struja i napona, potrošač je po pravilu predstavljen sa aktivnim električnim otporom R,

kako je to predočeno i na slici 6.9.

Slika broj 6.9 (a) Električna polja u naponskom izvoru i van njega, (b) Struktura

osnovnog električnog kruga

Da bi se u električnim krugovima stalnih jednosmjernih napona i struja, mogla održavatistacionarna raspodjela električnih naboja, odnosno konstantnost električnih potencijalaunutar određenih područja, pored kulonskih - elektrostatičkih sila, moraju postojati i

druge - neelektrostatičke sile. Ove sile (one se u teoretskoj elektrotehnici obično

označavaju terminom strane sile) ponašaju se kao svojevrsni posrednici, putem kojih se

drugi vidovi energije transformišu u električnu energiju, kako bi se stvorile pretpostavkeza obavljanje električnog rada u razmatranom električnom krugu.

Označi li se ta strana sila simbolom F * , tada električno polje E * , uzrokovano tom

silom, ima smjer unutar generatora kao na slici 6.9 (a). Na račun energetskih resursa -akumuliranih unutar prikazanog generatorskog elementa (najčešće su ti resursi

nelektričnog porijekla i obično formirani u sklopu određenih hemijskih reakcija) na

krajevima tog elementa se ostvaruje povećana koncentracija pozitivnog električnog

naboja q i negativnog električnog naboja (–q). Tako koncentrisani električni naboji

dovode međutim i do pojave sila elektrostatskog polja između tih naboja, koja se jasno

najjednostavnije reprezentuje preko vektora jačine elektrostatskog polja Eel , sa smjerom

i u generatorskom elementu i van njega, kao na slici 6.9.


6/9

6

Na osnovu naprijed izloženog proizilazi da unutar generatora očigledno djeluje

rezultantno električno polje E = E * + Eel , pod čijim uticajem se, pri specifičnoj provodnosti izvora σPi , pojavljuje električna struja čija je gustina određena relacijom: E

= σPi · J . To rezultantno polje, u unutrašnjosti generatora ima isti smjer, kao i strujnelinije vektora gustine struje J, dakle od stezaljke generatora koja se nalazi na negativnomelektričnom potencijalu, ka stezaljci generatora, koja se nalazi na pozitivnom električnom

potencijalu.

Unutar generatora važi relacija:

BnA

E∫ · d l =BnA

E∫ *· d l +BnA

E∫ el · d l (6.33)

u kojoj je unutrašnja elektromotorna sila izvora označena sa :BnA

E∫ *· d l = E iUnutrašnja elektromotorna sila izvora E i , nastoji u izvoru pokrenuti električne naboje u

smjeru koji je suprotan smjeru djelovanja sila elektrostatičkog polja Eel .Elektrostatsko polje, kao što je već ranije konstatovano, pripada klasi konzervativnih

vektorskih polja, zbog čega je linijski integral vektora jačine elektrostatskog polja Eel , po bilo kojoj zatvorenoj putanji jednak nuli. Saglasno tome opravdano je pisati da je:

∫BnAmB

E el · d l = ∫BnA

E el ·dl + ∫AmB

E el · dl = 0 → ∫AmB

E el · dl = ─ ∫BnA

E el ·dl

nakon čega se relacija (6.33) može pisati i kao:

E i = BnA

E∫ · d l + ∫AmB

E el · dl (6.34)

S obzirom da je na spoljašnjem dijelu zatvorene putanje BnAmB, to jeste dijelu te

putanje koji leži van izvora električne energije-dakle putanji AmB, E = Eel

BnA

E∫ *· d l = E i =BnA

E∫ · d l ─ BnA

E∫ el · d l =BnA


E el · dl

posljednja relacija se može pisati i u obliku:

E i =BnA


E · dl (6.35)

Prvi integral u relaciji (6.35) nije ništa drugo do pad električnog napona , odnosno

gubitak električnog napona, koji se dešava unutar generatora električne energije zbog protivljenja generatora da se uspostavi električna struja I, čiji je vektor gustine već ranije


7/9

7

označavan sa J. Ovo protivljenje se fizikalno izražava preko unutrašnjeg aktivnog

električnog otpora generatora r.Drugi integral u relaciji (6.35) predstavlja pad električnog napona, ili gubitak električnog

napona, pri savladavanju protivljenja priključenog potrošača aktivne otpornosti R,uspostavljanju stalne jednosmjerne električne struje I, u prostom električnom krugu sa

slike 6.9. Prema tome relaciji (6.35) je praktično ekvivalentna sa relacijom (6.36)

E i =BnA


E · dl = r · I + R · I (6.36)

Napon UAB , koji se registruje između krajeva potrošača aktivne električne otpornosti R,

očigledno je usaglašen i po znaku i po smjeru sa električnom strujom I, koja je prolazeći

upravo kroz taj aktivni električni otpor R i dovela do uspostavljanja tog električnog

napona.

Slika 6.10 (a) prikazuje slučaj usaglašenosti smjera električne struje I i njome izazvanog pada napona na otporniku R, električnog napona UAB, dok slika 6.10 (b) prikazuje slučajneusaglašenosti smjera električne struje I i njome izazvanog pada napona na otporniku R,električnog napona UAB .

Slično tome, slika 6.10 (c) prikazuje slučaj usaglašenosti smjera električne struje I i

elektromotorne sile izvora električne energije E, dok slika 6.10 (d) prikazuje slučaj

neusaglašenosti smjera električne struje I i elektromotorne sile izvora električne energije

E. U oba ova slučaja, ukoliko je proizvod: E·I > 0, tada izvor električne energije radi u

generatorskom režimu rada (pražnjenje akumulatora). Relacija E·I < 0, uz oznake kao na

slikama 6.10 (c) i 6.10(d), signalizira da tada izvor radi u potrošačkom režimu rada(punjenje akumulatora).

Slika 6.10 Primjeri usaglašenosti smjera električne struje I i električnog napona UAB

odnosno usaglašenosti električne struje I i elektromotorne sile E

6.6 Drugi Kirchhoff-ov zakon za električne krugove

U okviru provedene analize odnosa, između karakterističnih električnih veličina, u

prostom električnom krugu sa slike 6.9, pomoću relacije (6.36) je definisana i jednačinanaponske ravnoteže za to kolo.


8/9

8

Odnosi uspostavljeni u toj relaciji, mogu se međutim uspješno primjeniti i na bilo koju

drugu složeniju zatvorenu putanju, ukoliko je ona formirana od grana koje ulaze ustrukturu šeme nekog linearnog električnog kruga. Pri tome, unutar svake od tih grana

mogu postojati i međusobno različiti, kako izvori električne energije, tako i potrošačielektrične energije. Uopštena metodologija, za opisivanje odnosa unutar takvih dijelova

električnih krugova, formulisana je drugim Kirchhoff-ovim zakonom, koji glasi:

U proizvoljnoj zatvorenoj konturi složenog linearnog električnog kruga, algebarska suma padova napona, uzrokovanih prolaskom struja I jk , kroz aktivne električne otpore R jk ,

uravnotežena je algebarskom sumom elektromotornih sila E jk , koje djeluju unutar te

razmatrane konture. Ovakva tvrdnja se formalno analitički izražava relacijom:

Σ I jk · R jk = Σ E jk (6.37)

Simboli j, k najčešće uzimaju vrijednosti prirodnih brojeva, a unutar posljednje relacije,

oni naglašavaju da se unutar razmatrane zatvorene konture, analizira i grana koja

povezuje čvorište j i čvorište k.

Podcrtavanje termina, algebarska suma padova napona, odnosno algebarska suma

elektromotornih sila, u drugom Kirchhoff-ovom zakonu ima za cilj da upozori svojekorisnike da predznak ispred pojedinih sabiraka u relaciji (6.37) može biti kako pozitivan,

tako i negativan.

Da bi se znalo tačno, koji predznak treba pridružiti pojedinim sabircima, odabranu

zatvorenu konturu treba prvo orijentisati, i to bilo u smjeru kretanja kazaljke na satu, bilo

u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke na satu. Potom treba i u svim granama,

koje sačinjavaju razmatranu zatvorenu konturu, ukoliko to unaprijed nije propisano,

predpostvaiti smjerove struja, što se kanališu tim granama. Nakon ovih predradnji, preostaje samo da se uvažava pravilo po kojem: ukoliko je smjerstruje I jk u grani (j-k), podudaran sa smjerom orijentacije razmatrane zatvorene konture,

tada je pad električnog napona I jk · R jk , koji se dešava na otporniku R jk , zbog prolaska

te struje, pozitivnog predznaka.

Slično tome, ukoliko se struja koja bi krenula sa one stezaljke izvora elektromotorne sile

E jk koja ima veći električni potencijal, podudara sa smerom orijentacije razmatrane

konture, tada djelovanje te elektromotorne sile u toj konturi, treba uzeti sa pozitivnim

znakom.

Primjer 6.1 U linearnom električnom krugu kao na slici, poznate su slijedeće vrijednosti:

E 1 = 18 V, E 2 = 12 V, R 1= 12 Ω , R 2= 2 Ω, R 3= 6 Ω, R 4= 4 Ω. Odrediti

vrijednosti stalnih jednosmjernih struja u svim granama električne šeme sa slike koristeći

I i II Kirchhoff-ov zakon, za električne krugove.


9/9

9

RješenjeOrijentiše li se jedna kontura u smjeru ABCD, a druga u smjeru BEFC tada je moguće

pisati da je:

E 1 = R 1I1 + R 3 (I1 ─ I2 )

E 2 = (R 2 + R 4 ) I2 ─ R 3 (I1 ─ I2 )

Poslije uvrštavanja posebnih vrijednosti važi da je:

─18 = 18 I1 ─ 6 I2

12 = ─ 6 I1 +12 I2

I1 = ─ 0,8 A; I2 = 0,6 A

Pgen = - I1 · E1 + I2 · E 2 = 21,6 W ; PR = 12·0,64+2·0,36+6·1,96 + 4·0,36 = 21,6 W

predavanja_9

Documents