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Projecto de Investigao
Author: Antnio Moreira Monteiro
Dep. Cincia & Tecnologia
Universidade de Cabo Verde
Supervisor: Adilson de Jesus Martins da Silva
Universidade de Cabo Verde
April 24, 2015
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Contents
1 Reviso Elementar da lgebra Matricial 3
1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Definies e Notao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Matriz Adio e Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 A Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 O Trao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 O Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 A Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Matrizes Particionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 A fila de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 matrizes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.11 Forma Quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Espaos Vectoriais 18
2.1 Independncia e Dependncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Bases e Dimenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Bases e Dimenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Matriz Linha e Independncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Bases ortonormais e Projees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Matrizes de Projeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Interseo e Soma de Espaos Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Inversa Generalizado 25
3.1 A inversa Generalizado de Moore - Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Algumas Propriedades Bsicas da inversa de Moore - Penrose . . . . . . . . . . . 26
3.3 A inversa de Moore - Penrose da Matriz Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 A inversa de Moore - Penrose da Matriz Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 A Continuidade da inversa Moore - Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Outras inversas Generalizas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Matrizes Especiais e Matrizes Operadores 31
4.1 O produto de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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Resume
O presente artigo tem como pressuposto fundamental a anlise e reflexo concernente im-
portncia da lgebra em Estatstica na formao profissional do pedagogo e alguns aspectos que
consideramos vitais, tais como a Estatstica no mundo contemporneo e o seu ensino nos cur-
sos de Pedagogia. Para isto, faz-se necessrio relatar a importncia das anlises quantitativas
versos qualitativas na pesquisa e no ambiente educacional, buscando subsdios para a captao
da relao entre a Estattica e a Educao, e do aprofundamento da discusso a respeito da
Estatstica aplicada a Educao.
Palavras chaves: A importncia da Estatstica para os Pedagogos, Contribuies da Estatstica
na educao, Ensino da Estatstica nos cursos de Pedagogia.
1 Reviso Elementar da lgebra Matricial
1.1 Introduo
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1.2 Definies e Notao
Definition 1.1. Sejam K um corpo, m e n nmeros inteiros positivos, designam - se por matriz
sobre K, cujos elementos se designam - se por escalares, a todo o quadro de elementos de K
dispostos em m linhas e n colunas.
K em particular, pode ser o conjunto dos nmeros reais,R neste caso, as matrizes dizem - se
reais. Uma matriz A de dimenso m n, uma matriz rectangular dado por:
A = (aij) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
......
am1 am2 amn
(1)
onde, (i,j) o elemento de A, isto , aij = (A)ij . A uma matriz quadrada de ordem m se
m = n, enquanto que uma matriz m 1 e 1 n so chamados vector coluna e vector linha,respectivamente representado por
a =
a1
a2...
am
(2)
a =(a11 a12 a1n
)(3)
Os elementos da diagonal m n da matriz A so a11, a22 a1n. Se todos os outros elementosde A igual a zero, A chamado da matriz diagonal, representado por
A = diag(a11, , amm) =
a11 0 00 a22 0...
......
0 0 amn
(4)
onde aij = 0 e i 6= j.Se a adio, aii = 1 para i = 1 m, logo
A = diag(1, , 1) (5)
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ento a matriz A chamado de matriz identidade de ordem m e escreve - se
A = I = Im (6)
Se A = diag(a1, , am) e b um escalar, ento vamos usar Ab para chamar matriz diagonal, ouseja
Ab = diag(ab1, abm) (7)
Para quaisquer m m da matriz A,DA chamamos a matriz diagonal com elementos diagonaisiguais aos elementos diagonais de A e, para algum m 1 vector a, Da chamamos da matrizdiagonal com elementos diagonais igual aos componentes de A, isto DA = diag(a11, , amm)e Da = diag(a1, , am).Uma matriz tringular inferior uma matriz quadrada em que so nulos todos os elementos
acima da diagonal principal,representado por
A =
a11 0 0a21 a22 0...
......
an1 an2 amm
(8)
onde i < j e aij = 0.
Uma matriz tringular superior, todos os elementos abaixo da diagonal principal igual a zero,
representado por
A =
a11 a12 a1n0 a22 a2n...
......
0 0 amm
(9)
onde i > j e aij = 0.
A matriz escalar em que aij = 0, i 6= j, aij = 1, i = j, diag1, 1, ..., 1 representa - se por ei ou Inou simplesmente I, chamamos de matriz unidade ou identidade.
O zero escalar escrito 0, enquanto que o vector zero, chamado de vector nulo, e a matriz cujos
elementos so todos nulos a matriz nulo, denota-se por (0).
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1.3 Matriz Adio e Multiplicao
Discutem - se nesta seco as principais operaes com matrizes:adio de matrizes, multipli-
cao de uma matriz por um escalar e multiplicao de matrizes.
Definition 1.2. Sejam A = [aij ], B = [bij ] Mm n(K). Define-se A+B matriz C = [cij ],tal que cij = aij + bij , {(ij) {1, ,m} {1, , n}}
Remark 1.1. Se as matrizes A e B no forem do mesmo tipo, isto, se no tiverem as mesmas
dimenses e / ou o corpo subjacente no for igual, no possvel determinar A+B, pelo que a
soma de A com B diz-se indefinida.
Definition 1.3. Seja A = [aij ] Mmn(K) e K um escalar. Define-se o produto de porA e denota-se por .A matriz B = [bij ] Mmn(K) tal que bij = aij ,(ij) {1, . . . ,m} {1, . . . , n}
Se A dado por m p e B dado por pn, ento C = AB,mn, onde o elemento, cij , dado por
cij = (A)i.(B)j =
pk=1
aikbbj (10)
Geralmente o produto AB = BA, nem sempre so iguais e se A2 = A, A neste caso diz-se uma
matriz Idempotente.
Theorem 1.1. Sejam as matrizes A, B e C, com e os escalares, as seguintes propriedades
so verificadas.
1. A+B = B +A
2. (A+B) + C = A+ (B + C)
3. (A+B) = A+ B
4. (+ )A = A+ A
5. AA = A+ (A) = (0)
6. A(B + C) = AB +AC
7. (A+B)C = AC +BC
8. (AB)C = A(BC)
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1.4 A Transposta
Definition 1.4. Denomina-se matriz transposta trocando ordenadamente linhas por colunas, ou
seja a transposta de uma matriz A, representa-se por A,obtido trocando as linhas e colunas de
A.
Se A m p e B dado por pm, ento o elemento (i, j) da matriz (AB) se escreve
((AB))ij = (A)j .(B).i =p
k=1 ajkbki = (B)i.(A).j = (BA)ij
Theorem 1.2. Sejam os escalares e e as matrizes A e , define-se
(a) (A) = A.
(b) (A) = A.
(c) (A+ B) = A + B.
(d) (AB) = BA.
A uma matriz quadrada mm, se A = A, ento A tambm mm, conclui -se que
A uma matriz simtrica;
A uma matriz anti - simtrica se A = A.
Se Eij = eiej , geralmente, ei,mej,m produz uma matrix m n, tendo 1 como nico elemento
diferente de zero na posio (i, j), e se A uma matriz m n, ento
A =mi=1
nj=1
aijei,mej,n (11)
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1.5 O Trao
Definition 1.5. Definida apenas em matriz quadrada. Seja uma matriz A m m, o trao deA, tr(A), definido como sendo a soma dos elementos da diagonal de A, ou seja
tr(A) =mi=1
aii (12)
Se A uma matriz m n e B nm, logo AB uma matriz mm e
tra(AB) =mi=1
(AB)ii =mi=1
(A)i.(B).i =mi=1
mi=1
aijbj,ibji =mi=1
nj=1
bjiaij (13)
Theorem 1.3. Sejam as matrizes A e B e um escalar, temos as seguintes operaes
(i) tr(A) = Tr(A);
(ii) tr(A) = tr(A);
(iii) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);
(iv) tr(AB) = tr(B);
(v) tr(AA) = 0; se e somente se A = (0)
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1.6 O Determinante
O determinante uma outra funo definida pela matriz quadrada. Se A uma matriz mm,ento o determinanate denominado por | A |, dado por
| A |= (1)f(i1,...,im)a1i1a2i2 . . . amim=
(1)f(i1,...,im)ai11ai22 . . . aimm
A soma de todas as permutaes, (i1, . . . , im) do conjunto dos nmeros inteiros (1, . . . ,m) e da
funo f(i1, . . . , im) igual ao nmero de transposio necessria para mudar i1, . . . , im) para
(1, . . . ,m)
A transposio a troca de dois inteiros. O determinante produz todos os produtos de m termos
dos elementos da matriz A, um elemento selecionado apartir de cada linha e de cada coluna de
A.
| A | pode ser lido apartir dos cofactores. O menor elemento de aij , dado por mij , o determi-nante de (m 1) (m 1) obtida aps de removido a linha e a coluna de A.O cofactor de aij dado por Aij = (1)i+jmij . Para algum i, . . . ,m o determinanate de A podeser obtido expandindo o nmero de linhas,
| A |=mj=1
aijAij (14)
ou o nmero de colunas
| A |=mi=1
aijAij (15)
Por outro lado, se os cofactores de uma linha ou coluna so combinados com elementos de uma
linha ou coluna diferente, reduz a zero, isto , se k 6= i, entomj=1
aijAkj =mj=1
ajiAkj = 0 (16)
As propriedades de determinante so bastante simples para verificar utilizando a definio de
um determinanate ou a frmula da expanso dado em (14) e (15).
Theorem 1.4. Se um escalar e A uma matriz mm, ento temos as seguintes propriedades:
(a) | A |=| A |
(b) | A |= m | A |.
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(c) Se A uma matriz diagonal, ento | A |= a11 . . . amm = mj=1aii
(d) Se todos os elementos da linha ou coluna de A so zeros, | A |= 0.
(e) Se duas filas ou colunas de A so proporcionais ao outro, | A |= 0.
(f) O intercmbio de duas linhas ou colunas muda o sinal de | A |.
(g) Se todos os elementos ou colunas de A so multiplicados por , ento o determinante
multiplicado por .
(h) O determinante de A alterado quando um mltiplo de uma linha ou coluna adicionado a
outra linha ou coluna.
Considere uma matriz C, m m cujas colunas so fornecidas pelos vectores c1, . . . , cm, isto ,podemos escrever, C = (c1, . . . , cm). Suponhamos que por algum vector b = (b1, . . . , bm) e matriz
A = (a1, . . . , am), temos
ci = Ab =m
i=1 biai
Ento, se encontrar o determinante de C por expanso ao longo da primeira coluna C, obtemos
| A | =mj=1
cj1Cj1
=mj=1
(mi=1
biaji)Cj1
=
mi=1
bi(
mj=1
ajiCj1)
=mi=1
bi | (ai, c2, . . . , cm) | (17)
de modo que o determinante de C uma combinao linear de m determinantes. Se B uma
matriz mm e definimos C = AB, em se seguida, atravs da aplicao da derivao acima, emcada coluna de C,vemos
| C | = | (m
i1=1
bi11ai1 , . . . ,m
im=1
bimmaim) |
=
mi1=1
. . .m
im=1
bi11 . . . bimm | (ai1 , . . . , aim) |
=
bi11 . . . bimm | ai1m, . . . , aim) | (18)
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onde esta soma final sobre toda permutao de (1, . . . ,m), deste teorema (e)que implica
| (ai1 , . . . , aim) |= 0
se ij = ik para algum j 6= k. Finalmente reordenar as colunas em | (ai1 , . . . , aim) |= 0 e usandoo teorema 1.4(f), temos
| C |= bi11, . . . , bimm(1)f(i1,...,im) | (ai1 , . . . , aim) |=| B || A |Este resultado muito til resumido abaixo.
Theorem 1.5. Se A e B so matrizes da mesma ordem, ento, | AB |=| A || B |
1.7 A Inversa
Uma matriz A mm para os quais | A |6= 0 diz - se uma matriz no singular. Neste caso, existeuma matriz no singular denominado por A1 e chama-se a inversa de A, tal que
AA1 = A1A = Im (19)
Esta inversa nica desde que, se B outra matriz m m satisfazendo a inversa da frmula(19) para A, ento BA = Im, assim
B = BIm = BAA1 = ImA1 = A1
As seguintes propriedades bsicas da matriz inversapode ser facilmente verificada usando a fr-
mula (19).
Theorem 1.6. Se um escalar diferente de zero e m m matriz no singular de A e B,ento:
(a) (A)1 = 1A1,
(b) (A)1 = (A1),
(c) (A1)1 = A,
(d) | A1 |=| A |1,
(e) Se A = diag(a11, . . . , amm), ento A1 = diag(a111 , . . . , a1mm),
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(f) Se A = A, ento A1 = (A1),
(g) (AB)1 = B1A1
Tal como acontece com o determinante de A, a inversa de A pode ser inversa pode expressa em
termos em termos de cofactores de A. Seja A#, chamado de adjunto de A ser a transposio da
matriz de cofactores de A, isto , os elementos de A# (i, j), Aji, o cofactor de aji. Ento
AA# (i, j) = A# (i, j)A = diag(| A |, . . . , | A |) =| A | Im
desde que (A)i.(A#).i = (A#).i(A)i. =| A | resulta (14) e (15), e (A)i.(A#).j = (A#)i.(A).j = 0,para i 6= j resulta (16). A equao acima proporciona a relao
A1 =| A |1 A#
A relao entre o inverso do produto de uma matriz e o produto da inversa, dado pelo teorema
1.6(g) uma propriedade muito til. Infelismente, um relacionamento to bom no existe entre
o inverso de uma soma e soma dos inversos, temos no entanto, o seguinte resultado, que as vezes
til.
Theorem 1.7. Supondo que A e B so matrizes no singulares, com A m m e B ser n n.Para qualquer matriz C m n e algum matriz D n m segue-se que se A + CBD singular,ento
(A+ CBD)1 = A1 A1C(B1 +DA1C)1A1
Proof. A prova envolve simplesmente verificar que (A + CBD)(A + CBD)1 = Im para (A +
CBD)1 dado anteriormente, neste caso temos
(A+ CBD)A1 A1C(B1 +DA1C)1DA1 =Im C(B1 +DA1C)1DA1 + CBDA1 CBDA1C(B1 +DA1C)1DA1 =
Im C(B1 +DA1C)1 B +BDA1C(B1 +DA1C)1DA1 =Im CB(B1 +DA1C)(B1 +DA1C)1 BDA1 = Im CB BDA1 = Im
Se m = n e C e D So matrizes identicas, ento obtm-se o seguinte caso especial do teorema
1.7.
Suponha que A e B e A+B so todas matrizes no singular mm, ento
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(A+B)1 = A1 A1(B1 +A1)1A1
Obtemos outro caso especial do teorema 1.7 quando n = 1
Corolrio 1.7.2. Seja A ser uma matriz no singular m m. Se c e d so vectores m 1 eA+ Cd o singular, ento
(A+ cd)1 = A1 A1cd/(1 + dA1c)
Exemplo 1.2: Teorema 1.7 pode ser particularmente til quando m maior que n e a inversa
de A bastante fcil de calcular. Por exemplo, suponha temos A = Is.
B =
1 11 2
C =
1 0
2 1
1 10 2
1 1
D =
1 11 20 1
1 0
1 1
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1.8 Matrizes Particionado
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1.9 A fila de uma matriz
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1.10 matrizes ortogonais
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1.11 Forma Quadrtica
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2 Espaos Vectoriais
2.1 Independncia e Dependncia Linear
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2.2 Bases e Dimenso
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2.3 Bases e Dimenso
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2.4 Matriz Linha e Independncia Linear
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2.5 Bases ortonormais e Projees
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2.6 Matrizes de Projeo
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2.7 Interseo e Soma de Espaos Vectoriais
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3 Inversa Generalizado
3.1 A inversa Generalizado de Moore - Penrose
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3.2 Algumas Propriedades Bsicas da inversa de Moore - Penrose
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3.3 A inversa de Moore - Penrose da Matriz Produto
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3.4 A inversa de Moore - Penrose da Matriz Soma
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3.5 A Continuidade da inversa Moore - Inverse
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3.6 Outras inversas Generalizas
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4 Matrizes Especiais e Matrizes Operadores
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4.1 O produto de Kronecker
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