prosojnice predavanja (pdf)

ZgodovinaIteracijske metode

Iteracija v kompleksnemFraktal in fraktalna skatlasta dimenzija

Uporaba

Jasna PrezeljUP FAMNIT in UL FMF

Popotovanje od korena do fraktala

Iteracijske metode in numericna analiza



Uporaba

Koreni

Babilonska metoda za racunanje korenov: tablica YBC (YaleBabilonian Collection) 7289 (1800 do 1600 pr.n.s.) Zapis je vsestdesetiskem sistemu:1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 .

= 1.414212963,√2 .= 1.414213562.




Uporaba

Kotne funkcije

Jamsid Al Kasi (1380 - 1429) je racunal sinus 1 stopinje. Zarezultat je dobil

0.017452406437283517.

Danasnji racunalniki nam dajo rezultat

0.017452406437283513.




Uporaba

Babilonska metoda

Koren stevila a je resitev enacbe x = 12

(

x + ax

)

. Graficno topomeni presek grafov funkcij y = x in f (x) = (x + a/x)/2. Zaa = 3 dobimo naslednjo sliko:

1 2 3 4

1

2

3

4

5

Figure: Presecisce grafov




Uporaba

1 2 3 4

1

2

3

4

5

Figure: Iskanje preseka z iteracijo




Uporaba

Splosna formula

Splosna iteracijska formula za izracun√

a,a > 0 po Babilonskimetodi je

xn+1 =12

(

xn +axn

)

.




Uporaba

Navadna iteracija

Babilonska metoda je poseben primer navadne iteracije.S predpisom x 7→ f (x) je dana funkcija f . Radi bi ugotovili, aliza dan zacetni priblizek x0 zaporedje iteratov

x0, x1 = f (x0), x2 = f (x1), ...

kam konvergira. Oglejmo si nekaj preprostih primerov.f (x) = x/2 : Dobimo zaporedje xn = x0/2n in to gre k 0.f (x) = 3x : Dobimo zaporedje xn = x03n in to gre cez vsemeje za x0 6= 0.f (x) = x : Dobimo zaporedje xn = x0 za vsak zacetnipriblizek x0.

f (x) = x(1 − x) (logisticna enacba): rezultat je odvisen odzacetnega priblizka.




Uporaba

Newtonova ali tangentna metoda

Nicle funkcije y = x2 + ax + b poiscemo s pomocjo iteracijskefunkcije

f (x) = x − x2 + ax + b2x + a

.

Babilonska metoda za√

3 je poseben primer Newtonove zaa = 0 in b = −3. Oglejmo si metodo na primeru y = x2 − x − 2.




Uporaba

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-2

2

4

6

8

10

Figure: Newtonova metoda




Uporaba

Newtonova metoda za splosno (enkrat zvezno odvedljivo)funkcijo f je dana s predpisom

xn+1 = xn − f (xn)

f ′(xn)

z zacetnim priblizkom x0. Dodatno moramo predpostaviti, da jef ′(xn) 6= 0,n ∈ N0.




Uporaba

Sinus 1 stopinje

sin 72o =12

√

5 +√

52

in cos 72o =

√5 − 14

,

sin 15o = sin(60o − 45o) =

√3

2

√2

2−

√2

212=

√2(√

3 − 1)4

,

sin 12o = sin(72o − 60o) =12

√

5 +√

52

12−

√5 − 14

√3

2=

=18

(√3 −

√15 +

√

10 + 2√

5)

in podobno




Uporaba

Sinus 3

sin 3o =12

√

√

√

√

√

√

√

√

√

9 −√

5 −√

6(

5 +√

5)

2

(

4 +

√

7 +√

5 +

√

6(

5 +√

5)

).

To je priblizno

0.052335956242943765....




Uporaba

Sinus 1

Naj bo a = sin 3o in x = sin 1o. Po adicijskih izrekih dobimozvezo

4x3 − 3x + a = 0.

Jamsid Al Kasi je enacbo prepisal v obliko

x =a + 4x3

3

in za izracun uporabil navadno iteracijo

xn+1 =a + 4x3

n

3, x0 = a/3.




Uporaba

-0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Figure: Al Kasijeva metoda

Za rezultat je dobil

0.017452406437283517.




Uporaba

Nekaj iteratov

0.0174453187476479442407062098696928062436727513133880.0174523978055319026253512786272245144397117003224600.0174524064267670583031190858987064563282077917156050.0174524064372707001395342220119719475618593116070990.0174524064372834972091421809891799030156167960105120.0174524064372835128004002608173354751904091448059270.0174524064372835128193958071384088627077899048194990.0174524064372835128194189502855614895374162881378460.0174524064372835128194189784819213664811246134388130.0174524064372835128194189785162742876748993219641250.0174524064372835128194189785163161414177120843890740.0174524064372835128194189785163161924100506268913780.0174524064372835128194189785163161924721769366378100.017452406437283512819418978516316192472252627976412




Uporaba

Iteracija v kompleksnem

Omenjene metode lahko uporabimo na kompleksnih stevilih.Radi bi ugotovili, kaksni zacetni priblizki so dopustni, daiteracija konvergira in ce konvergira, kam.Prvi se je s tem sistematicno ukvarjal Mandelbrot. Studiral jepolinome oblike x2 + c za razlicne c.




Uporaba

Babilonska metoda za√

3

Figure: Tocke, za katere metoda ne deluje




Uporaba

Newtonova metoda za f (x) = x4 − 1





Uporaba

Al Kasijeva metoda v kompleksnem, a = sin 3o

-0.5 0.5

-0.5

0.5





Uporaba

Ista metoda za a = 1 + 2i

-1.0 -0.5 0.5

-0.5

0.5

1.0





Uporaba

Figure: Logisticna funkcija f (x) = 3.5x(1 − x)




Uporaba

Figure: Logisticna funkcija f (x) = 0.1x(1 − x)Iteracijske metode in numericna analiza



Uporaba

Figure: Logisticna funkcija f (x) = (1 + 0.5i)x(1 − x)




Uporaba

Figure: Logisticna funkcija f (x) = x(1 − x)




Uporaba

Figure: Newtonova metoda za(

x4 − 1) (

x4 + 4)




Uporaba

Figure: Newtonova metoda(

x4 − 1) (

x4 + 4)




Uporaba

Figure: Klasicna Al Kasijeva metoda




Uporaba

Figure: Al Kasijeva metoda pri parametru a = 1 + 1.7i




Uporaba

Mandelbrota je zanimalo, kako bi locil polinome oblike x2 + c,pri katerih je mnozica ’slabih’ zacetnih priblizkov - Juliajevamnozica - povezana, od tistih, pri katerih je Juliajeva mnozica(popolnoma) nepovezana. Ugotovil je, da je to za parametre ciz t.i. Mandelbrotove mnozice, ki je tudi sama fraktal(natancneje, rob je fraktalen).




Uporaba

Figure: Mandelbrotova mnozica (Robert W. Brooks, Peter Matelski,1978)




Uporaba

Figure: Mandelbrotova mnozica




Uporaba

’Definicija’ fraktala

samopodobnost pri poljubnih povecavah

pri nobeni povecavi ni podoben delu krivulje ali ploskve

obicajno je definiran z iteracijami




Uporaba

Dimenzija in skatlasta dimenzija

dimenzija mnozica velikost roba r stevilo elementov Nr

d = 1 A = [0,1] 1/5 5d = 2 A = [0,1]x [0,1] 1/6 36d = 3 A = [0,1]3 1/4 64

Opazimo:

(1/r)d = N oziroma d =log N

log(1/r).

Cantorjeva mnozica ima po tej logiki dimenzijo log(2)/ log(3),saj imamo na n-tem nivoju 2n intervalov dolzine 1/3n.




Uporaba

Definicija skatlaste dimenzije je

d = limr→ 0

log Nlog(1/r)

Ocene skatlaste dimenzije za ’naravne’ fraktale so:

povr. pljuc povr. mozganov brokoli brit. obala norv. obala2,97 2,79 2,66 1,25 1,52




Uporaba

Uporaba

kompresija slik, kodiranje

meteorologija, astronomija

elektrotehnika, strojnistvo

gradbenistvo

medicina




Uporaba

Kompresija slik

Michael Barnsley prvi zacne uporabljati fraktale za kompresijoslik (Fractal Image Format - FIF) Natancneje, kompresijo naredis pomocjo iteracijskih funkcijskih sistemov (IFS).

Figure: Barnsleyeva praprot




Uporaba

Kodiranje

Poseben primer iteracij - imenujejo se hiperbolicne preslikavena torusu - se lahko uporabljajo za skrivanje sporocil v slike(steganografija). Sliko transformiramo s preslikavo, ki imavisoko periodo. Naslovniku povemo podatke za preslikavo (4stevila) in kolikokrat jo mora uporabiti na sliki. Arnoldova mackaima periodo 15.




Uporaba

Figure: Arnoldova macka




Uporaba

Meteorologija

Michel Henon je predlagal diskretno verzijo Lorenzovegamodela atmosferske konvekcije (spremembe toplote zrakazaradi dvigovanja toplega zraka). To je preslikava oblike(x , y) 7→ (1 − 1.4x2 + y ,0.3x). Preslikava je kaotcna - iteratitock ne konvergirajo, se pa priblizujejo mnozici, ki je znana kotHenonov cudni atraktor. Njegova fraktalna dimenzija je okoli1.26.

Figure: Henonov cudni atraktorIteracijske metode in numericna analiza



Uporaba

Astronomija

Astronomi se ze dolgo casa ukvarjajo z vprasanjem, ali je nassoncni sistem stabilen. Poincare je predlagal studij t.i.Poincarejevih prerezov. S tem pridemo do iteracijskih preslikavna ravnini.

Figure: Poincarejeva preslikava (Enc. Britannica)




Uporaba

Elektrotehnika

Konstrukcija fraktalnih anten. Lahko so manjse, dosezejo sirsipas frekvenc in imajo manj izgub.

Figure: Antena v obliki preproge Sierpinskega (Fracantenna Inc.)




Uporaba

Strojnistvo

Za ohlajanje vezij je bil razvit model na osnovi fraktalnestrukture krvozilja, ki je uspesno pri prenosu snovi po telesu.

Figure: Profil za hlajenje (Tanner Labs)




Uporaba

Gradbenistvo

Jeklene pletenice imajo samopodobnostno strukturo.

Figure: Pletenica




Uporaba

Medicina

Diagnostika: slike CT, MR vsebujejo ogromno podatkov, ki jih sprostim ocesom ne zaznamo, lahko pa pomagajo pri zgodnjemodkrivanju bolezni.

rakasto pljucno tkivo ima drugacno skatlasto dimenzijo odzdravega

se pred pojavom tumorja se spremeni struktura krvozilja nanivoju kapilar - stopnja samopodobnosti se zmanjsa.

mitohondrijska membrana ima fraktalno strukturo

spremembe skatlaste dimenzije citoplazemskih struktur priuporabi razlicnih steroidov




Uporaba

levkemija: skatlasta dimenzija membrane levkocitov prilevkemiji je znatno manjsa kot pri zdravih levkocitih

mozgani: anatomske, funkcionalne, molekularne lastnostiso fraktalne

....

(www.medicographia.com)




Uporaba

Figure: Trikotnik Sierpinskega in Pascalov trikotnik (Kate Berryman)




Uporaba

Hvala za pozornost!


prosojnice predavanja (pdf)

Documents