_prve_vjezbe_-_2010_11

GFMO | Akademska 2010./2011. godina


PRIMIJENJENA MATEMATIKA uvodne vjebe

Primijenjena matematika | Rjeavanje nelinearnih jednadbi

Osnovni zadatak: Za danu neprekidnu funkciju f (x), treba nai vrijednost x = takvu da je

f () = 0

x

f(x)

f(1)=0 f(2)=0 1 2


Primijenjena matematika | Rjeavanje nelinearnih jednadbiOsnovni koraci u pronalaenju korijena

Lokalizacija nula

- crtanje grafa funkcije (runo, Excel, MathCAD, Matematica, ...)

- inkrementalno pretraivanje

- prethodna iskustva, ...

Poboljanje rjeenja

- metode na zatvorenom intervalu (metoda bisekcije ili polovljenja,

metoda ''regula falsi'')

- metode na otvorenom intervalu (prosta interacija, Newtonova

metoda, modificirana Newtonova metoda, metoda sekante ili sjeice)


Primijenjena matematika | Rjeavanje nelinearnih jednadbiPonaanje nelinearnih jednadbi u blizini korijena

x

f(x)

2

a)

x

f(x)

b)

x

f(x)

c)

1 x

f(x)

d)

2 1 3


x

f(x)

e)

1=2 x

f(x)

f)

1=2=3

x

f(x)

g)

2=3 1 x

f(x)

h)

Ponaanje nelinearnih jednadbi u blizini korijenaPrimijenjena matematika | Rjeavanje nelinearnih jednadbi


Metoda polovljenja intervala - bisekcija

x

f(x)

b=b0

f(b)

f(c)

f(a)

a=a0 a1 a2

c=b1 c=b2 c=a3

Ako je f(a)f(c)

Primjer

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

f(x)=x2-2

21

Nai pozitivni korijen jednadbe f (x) = x 2 2. Postupak rjeavanja zaustaviti kada vrijednostrazlike izmeu dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 xi |

1. Lokalizacija nula

2 [a,b]=[1,2]f (1)= 10

2. Primjena algoritma

[ ]

1 2 1.52 2

( ) (1.5) 0.25 0, ( ) (1) 1 0 1, 1.5

1,1.5

a bc

f c ff a f a a b c

+ += = == = >= = < = = = =




[ ]

1 1.5 1.252 2

( ) (1.25) 0.4375 0, ( ) (1.5) 0.25 0 1.25, 1.5

1.25,1.5

1.25 1.5 1.3752 2

( ) (1.375) 0.109375 0, (1.5) 0.25 0 1.375, 1.5

1.3

a bc

f c ff b f a c b b

a bc

f c ff a c b b

+ += = == = = = = =

+ += = == = = = = =

[ ]75,1.5 1.41425 =

itd., itd., itd., ............. 14. iteracija




Prednosti:

Korijen jednadbese nalazi unutar granica nekog intervala, tako da je konvergencijazagarantirana.

Maksimalna greka metode je |bn-an|.

S obzirom da se svakom iteracijom interval polovi, broj iteracija n, a time i brojraunanja funkcije, koji je potreban da se prvobitni interval (bn,an) smanji naodreeni interval (bn,an), dobiva se iz

0 0

0 0

1( ) ( )2

pa je1 log( )

log(2)

n n n

n n

b a b a

b anb a

=

=

Osnovni nedostatak ove metode je spora konvergencija, odnosno veliki brojiteracija radi postizanja eljene tonosti.

Metoda polovljenja intervala - bisekcijaPrimijenjena matematika | Rjeavanje nelinearnih jednadbi


Metoda ''regula falsi''

x

f(x)

b

f(b)

f(c)

f(a)

ac=x1

c=x2

( , )a b

Ideja: aproksimirati funkciju pravom linijom izmeu krajnjih toaka poetnog intervala, i nai toku x1, koja predstavlja prvu aproksimaciju rjeenja. Postupak ponavljati do eljene tonosti ili pronalaska rjeenja.

1 ( )( ) ( )b ax b f b

f b f a=

Ako je f(a)f(xi)

Primjer


1. Lokalizacija nula

2 [a,b]=[1,2]f (1)= 10

2. Primjena algoritma

[ ]

1

1

1

2 1( ) 2 2 1.333333( ) ( ) 2 ( 1)

( ) (1.3333333) 0.222222 0, ( ) (2) 2 0 1.333333, 2

1.333333, 2

b ax b f bf b f a

f x ff b f a x b b

= = = = = = = = =




[ ]

2

2

2

3

3

2 1.333333( ) 2 2 1.4( ) ( ) 2 ( 0.222222)

( ) (1.4) 0.04 0, ( ) (2) 2 0 1.4, 2

1.4, 2

2 1.4( ) 2 2 1.41176( ) ( ) 2 ( 0.04)

( ) (1.41176) 0.00692 0,

b ax b f bf b f a

f x ff b f a x b b

b ax b f bf b f a

f x f

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

1.4142 =

itd., itd., itd., ............. 6. iteracija




x

y

xi xi+1

1 ( )i ix g x+ =

1 1 1 2| | i/ili ( )i i ix x f x + +

Metoda proste iteracije (fiksne tocke)

Ideja: Napisati jednadbu oblika f(x)=0 u obliku x=g(x) i iterativno je rijeiti.



Uvjet konvergencije:

1 1

1 1

1 1

1

( ) ( )

( ) ( ) '( )( ) ... ( )

'( )( )

'( )

'( ) 1

i i i

i i i

i i i

i i i

i

i

x e g x g

g g x g x x

x e g x

x e g e

e ge

+ +

+ +

+ +

+

= =

= + +

= =

= =

= x

y

0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

4

5

f(x)=xg(x)=1+2/x

Uvjet konvergencije:

Metoda proste iteracije



x

f(x) M0

x0

x1

M1

M2

x2

Ideja: aproksimirati funkciju tangentom u poetnoj aproksimaciji, i nai toku x1, koja predstavlja sljedeu aproksimaciju rjeenja. Postupak ponavljati (traenje tangente u novoj aproksimaciji) do eljene tonosti ili pronalaska rjeenja.

1

1

1 1

1

( ) ( )iz '( )

ili ( ) ( ) '( )( ) ...

( )'( )

i i

i i

i i i i i

ii i

i

f x f xf xx x

f x f x f x x x

f xx xf x

++

+ +

+

= = + +

=

1 1 1 2| | i/ili ( )i i ix x f x + + dok se ne postigne eljena tonost, tj.

Newtonova metoda



Primjer

Nai pozitivni korijen jednabe f (x) = x 2 2. Postupak rjeavanja zaustaviti kada vrijednostrazlike izmeu dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 xi |

2

1

1

0

1

2

( ) 2'( ) 2

1 22

31 23 1.8333332 31 21.833333 1.4622122 1.833333

i ii i i

i i

i ii

f x xx x xf x x

x xx

x

x

x

+

+

= = = +

= = + = = + =

x

y

0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f(x)=x2-2

x2

x0x1

Newtonova metodaPrimijenjena matematika | Rjeavanje nelinearnih jednadbi


34

5

1 21.462212 1.4152 1.4622121 21.415 1.414212 1.4151 21.41421 1.414212 1.41421

x

x

x

= + = = + = = + =

1.41421 = x

y

0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f(x)=x2-2

x2

x0x1

Newtonova metoda



Prednosti:

To nost metode je drugog reda, pa se svakom iteracijom udvostruava broj znaajnih znamenki.

odline osobine lokalne konvergencije.

Nedostaci:

Problem odreivanja prve derivacije.

Newtonova metodaPrimijenjena matematika | Rjeavanje nelinearnih jednadbi


Ideja: aproksimirati funkciju tangentom u poetnoj aproksimaciji, i nai toku x1, koja predstavlja sljedeu aproksimaciju rjeenja. Postupak ponavljati, koritenjem vrijednosti prve derivac. za poetnu aproksimaciju, do eljene tonosti ili pronalaska rjeenja.

1

0

10

( )'( )

'( ) '( )

( )'( )

ii i

i

ii i

f xx xf x

f x f x

f xx xf x

+

+

=

=

=

1 1 1 2| | i/ili ( )i i ix x f x + +

dok se ne postigne eljena tonost, tj. x

f(x) M0

x0

x1

M1 M2

x2

M2

x3 x3

Modificirana Newton-Raphsonova metoda



Primjer

Nai pozitivn korijen jednadbe f (x) = x 2 2. Postupak rjeavanja zaustaviti kada vrijednostrazlike izmeu dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 xi |

2

10 0

02

1

2

2

2

13

( ) 2'( ) 2

3

3 23 1.8333332 3

1.833333 21.833333 1.606482 3

...1.41437 21.41437 1.41429

2 3

i ii i i

f x xx x xf x x

x

x

x

x

+= =

== =

= =

= =x

y

0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f(x)=x2-2

x2

x0x1

1.41429 =

Modificirana metodaNewton-RaphsonovaPrimijenjena matematika | Rjeavanje nelinearnih jednadbi


x

f(x) M0

x0

x1

M1 M2

x2

M3x3

Ideja: nelinearna funkcija f(x) se lokalno aproksimira linearnom funkcijom g(x) (sjeica). Korijen funkcije g(x) je sljedea aproksimacija.

1

1

1

11

1

( )'( )

( ) ( )'( ) ( )

( )( ) ( )

ii i

i

i i

i i

i ii i i

i i

f xx xf x

f x f xf x g xx x

x xx x f xf x f x

+

+

=

= =

=

1 1 1 2| | i/ili ( )i i ix x f x + + dok se ne postigne eljena tonost, tj.

Metoda sjeice (sekante)



Primjer


11

1

0 1

2

3

7

( )( ) ( )

4, 33 43 7 27 142 32 2 1.62 7

......1.41423 1.416061.41423 0.000055

0.000055 0.005221 1.41421

i ii i i

i i

x xx x f xf x f x

x x

x

x

x

+

= = =

= == =

= =

x

y

0 1 2 3 4 5-10123456789

101112131415

f(x)=x2-2

x3

x0x1x2

1.41421 =




Prednosti:

To nost metode je reda 1.62, pa je metoda znatno bra od proste iteracije. U sluaju kada je brzina izraunavanja vrijednosti funkcije povoljna u odnosu na izraunavanje prve derivac. funkcije (tonije, do 43% bra), metoda je bra i od Newtonove metode.




Problemi u numerikom rjeavanju jednadbi

nedovoljno dobra poetna aproksimacija

konvergencija prema pogrenom korijenu

korijeni koji su blizu jedan drugom

mnogostruki korijeni

To ke infleksije (prevoji)

kompleksni korijeni

loe postavljena nelinearna jednadba

spora konvergencija



Smjernice u traenju korijena

Proces lokalizacije bi trebao ograniiti korijen.

Dobra poetna aproksimacija je veoma vana.

Metode sa zatvorenim intervalom su sigurnije nego one sa otvorenim, jer zadravaju rjeenje u zatvorenom intervalu.

Metode sa otvorenim intervalom, kada konvergiraju, openito konvergiraju bre od metoda sa zatvorenim intervalom.

Za funkcije bez naglih promjena u ponaanju, veina algoritama uvijek konvergira ako je poetna aproksimacija dovoljno blizu. Za ove sluajeve unaprijed je mogue procijeniti brzinu konvergencije.



Mnogi, ako ne i veina, inenjerskih problema su jednostavni i dobro se ponaaju. U takvim sluajevima, jednostavne metode, kao to je Newtonova metoda, mogu se primijeniti bez bojazni da se radi o nekom specijalnom sluaju.

Ako se neki problem treba rijeiti samo jednom, ili mali broj puta, efikasnost nije u prvom planu. Nasuprot tome, ako se rjeavanje neke jednadbe obavlja veliki broj puta, veoma vano je koristiti efikasnije metode.

Smjernice u traenju korijena



Treba biti poznat maksimalan broj iteracija.

U sluaju da metoda koristi prvu derivac. funk., f (x), mora se paziti da ovavrijednost u toku prorauna ne bude jednaka nuli.

Test konvergencije oblika |xi+1-xi |, te vrijednost funkcije |f (xi+1 )| se moraju uzetiu obzir.

Kada se dostigne konvergencija, konana procjena korijena bi se trebala uvrstitiu funkciju f (x), kako bi se zagarantiralo da je f (x)=0 u granicama eljenekonvergencije.

eljene osobine metoda za rjeavanje nelinearnih jednadbi



_prve_vjezbe_-_2010_11

Documents