一

a

bc

a

b

c

abcba2

14)( 22

222 cba

a

bc

S 大正方形＝ c2

S 小正方形＝（ b-a ） 22

S 大正方形＝ 4·S 三角形＋ S 小正方形

¼´£ºc2=4 1

2ab+(b-a)2

C2=2ab+a2-2ab+b2

a2 + b2 = c2

弦图

　　现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！

证法二：

证法三：

a

a

b

b

c

c

伽菲尔德证法 :

)ba)(ba(2

1S 梯形

2S c

2

1ab

2

1ab

2

1S 梯形

∴ a2 + b2 = c2

求出下列直角三角形中未知的边

610

AC

B

x

x

x

8

64

62102

x

2

045

2

22

422

2222

x

x

x

xx

解：

比一比看看谁算得快！

求下列直角三角形中未知边的长 :

可用勾股定理建立方程 .方法小结 :

8

x

17 16

20

x12

5

x

3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 13 84 85 15 112 113

3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 13 84 85 15 112 113

8 ， 15 ， 17 12 ， 35 ， 37 20 ， 21 ， 29 20 ， 99 ， 101 48 ， 55 ， 73 60 ， 91 ， 109

8 ， 15 ， 17 12 ， 35 ， 37 20 ， 21 ， 29 20 ， 99 ， 101 48 ， 55 ， 73 60 ， 91 ， 109

常见勾股数常见勾股数

(1) 求墙的高度 ? （精确到 0.1

米）解：

BCAB22 ∴AC=

∵∠ACB=90°AB=3 ， BC=1

= 1322 = 8 ≈2.8

( 米 )

(2) 若梯子的顶端下滑 50 厘米 ,底端将向外水平移动多少米 ?

A

A′

B B′

3m

1m

C

∴ AB2=AC2+BC2

有一架 3 米长的梯子靠在墙上 , 刚好与墙头对齐 , 此时梯脚 B 与墙脚 C 的距离是 1 米。

2. 求下列图中表示边的未知数 x 、 y 、 z 的值 .

①

81

144

x yz

② ③

625 576

144

169

S1

S2

S3S4

S5S6

S7

ÒÑÖªS1=1,S2=3,S3=2,S4=4,ÇóS5¡¢S6¡¢S7µÄÖµ

命题 2 如果三角形的三边长 a,b,c

满足 那么这个三角形是直角三角形 .

222 cba

由以上例子 , 我们猜想 :

B ) (,2)( 22 则此三角形是

满足条件、、三角形三边长

abcba

cba

A、锐角三角形 B、直角三角形

C、钝角三角形 D、等边三角形

1.

练一练

已知：如图，四边形 ABCD中，∠ B ＝ 900 ， AB ＝ 3 ， BC＝ 4 ， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求四边形 ABCD 的面积 ?

A

B

C

D

S 四边形 ABCD=36

中考链接

如图有一张直角三角形纸片，两直角边 6AC cm ， 8BC cm ，

现将直角边 AC沿 CAB 的角平分线 AD折叠，使它落在斜边

AB上，且与 AE重合，你能求出CD的长吗？

B

D

C

A

E

一个工人师傅要将一个正方形 ABCD（四个角都是直角，四边都

相等，边长为a）的余料，修剪成如四边形 ABEF的零件. 其中

BCCE4

1 ， F 是CD的中点.

（1）试用含 a的代数式表示 22 EFAF 的值；

（2）连接 AE △，则 AEF是直角三角形吗？为什么？

3.（10分）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13海里的 A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120海里，乙巡逻艇每小时航行 50海里，航向为北偏西 40° ，问：甲巡逻艇的航向？

C

BA

8 、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使 A 与 B 重合，折痕为 DE ，若已知 AC=10cm ， BC=6cm, 你能求出 CE 的长吗？

CA

BD

E

如图，已知长方形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm, 在边 CD 上取一点 E ，将△ ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F ，求 CE 的长 .

10 、如图 , 把长方形纸片 ABCD 折叠 ,使顶点 A 与顶点 C 重合在一起 ,EF 为折痕。若 AB=9,BC=3, 试求以折痕 EF 为边长的正方形面积。

A B

CD

G F

E

11 、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走 8 千米，又往北走 2 千米，遇到障碍后又往西走 3 千米，在折向北走到 6 千米处往东一拐，仅走 1 千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的距离是多少千米？

A

B

8

2

3

6

1

3 、在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC＝ 13cm ， BC=10cm, 求△ ABC 的面积和 AC 边上的高。

A

B CD

13 13

10

H

提示：利用面积相等的关系提示：利用面积相等的关系

BHACADBC 2

1

2

1

4 、 已知等边三角形 ABC 的边长是 6cm ，(1) 求高 AD 的长； (2)S△ABC

A

B CD

解： (1)∵△ABC 是等边三角形， AD 是高

在 Rt△ABD 中, 根据勾股定理222 BDABAD

cmAD 3327936

ADBCS ABC 2

1)2(

)(393362

1 2cm

32

1 BCBD

5 、 如图，∠ ACB=∠ABD=90° ， CA=CB ，∠ DAB=30° ， AD=8 ，求 AC 的长。

解：∵∠ABD=90° ，∠ DAB=30°

∴BD= AD=42

1

在 Rt△ABD 中, 根据勾股定理4848 22222 BDADAB

在 Rt△ABC 中， CBCACBCAAB 且,222

242

12 2222 ABCACAAB

62 AC

又 AD=8A B

CD

30°

8

6 、 如图，在△ ABC 中， AB=AC ， D 点在 CB 延长线上，求证： AD2-AB2=BD·CD A

B CD

证明：过 A 作 AE⊥BC 于 E

E∵AB=AC ，∴ BE=CE

在 Rt △ADE 中，AD2=AE2+DE2

在 Rt △ABE 中，AB2=AE2+BE2

∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)

= DE2- BE2

= (DE+BE)·( DE- BE)

= (DE+CE)·( DE- BE)=BD·CD

例、已知：在△ ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C的对边分别是 a 、 b 、 c ，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c 。试判断△ ABC 的形状。 例、已知：如图，四边形 ABCD ， AD∥BC ，AB=4 ， BC=6 ， CD=5 ， AD=3 。求：四边形 ABCD 的面积

A

B C

D

E

例、已知：如图，在△ ABC 中， CD 是 AB边上的高，且 CD2=AD·BD 。求证：△ ABC 是直角三角形。

B A

C

D

1 ．若△ ABC 的三边 a 、 b 、 c ，满足（ a－ b ）（ a2 ＋ b2 － c2 ） =0 ，则△ ABC 是（ ）A ．等腰三角形； B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形； D ．等腰直角三角形。 2 ．若△ ABC 的三边 a 、 b 、 c ，满足 a ：b ： c=1 ： 1 ：，试判断△ ABC 的形状

3 ．已知：如图，四边形 ABCD ， AB=1 ， BC= ， CD= ， AD=3 ，且 AB⊥BC 。求：四边形 ABCD 的面积

4

3

4

13

A

B C

D

4 ．已知：在△ ABC 中，∠ ACB=90° ， CD⊥AB 于 D ，且 CD2=AD·BD 。求证：△ ABC 中是直角三角形

1 ．若△ ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，求△ ABC 的面积 2 ．在△ ABC 中， AB=13cm ， AC=24cm ，中线 BD=5cm 。求证：△ ABC 是等腰三角形 3 ．已知：如图，∠ 1=∠2 ， AD=AE ， D为 BC 上一点，且 BD=DC ， AC2=AE2+CE2 。求证： AB2=AE2+CE2

B C

A

E

D

4 ．已知△ ABC 的三边为 a 、 b 、 c ，且 a+b=4 ， ab=1 ， c= ，试判定△ ABC 的形状

?吗 说明理由△ABC是直角三角形 n )是正整数 ，m,n,>(m

且

cb,a, 分别为△ABC三角形的三边 1、已知

nm=c2mn,=b,n-m =a 2222

分析：先来判断 a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则 a=9,b=40,c=41,c最大。

2222222222 )()2()( cnmmnnmba 解：

∴△ABC 是直角三角形

练一练

思考题 1 （ 05 、江苏宿迁）如图，将一根 25 ㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为 8 ㎝、 6 ㎝和 10 ㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是　　　　㎝．

AB

C

9 、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５ cm ，１０ cm 和６ cm ， A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点， A 点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是多少？

B

A A

BC

探索与提高：

如图所示，现在已测得长方体木块的长 3 厘米，宽 4 厘米，高 24 厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点 B 处。

A C

D

B

GF

H

（ 1 ）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点 A 爬到点 B 处，有无数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗？（ 2 ）若蜘蛛爬行的速度是每秒 10 厘米，问蜘蛛沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓到苍蝇？

A C

D

B

GF

H

A

B

我怎么走会最近呢 ?

有一个圆柱 , 它的高等于 12 厘米 ,底面半径等于 3 厘米 , 在圆柱下底面上的 A 点有一只蚂蚁 , 它想从点 A爬到点 B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 ? (π 的值取 3)

B

A

高12cm

B

A长 18cm (π 的值取 3)

9cm

∵ AB2=92+122=81+144=225= ∴ AB=15(cm)

蚂蚁爬行的最短路程是 15 厘米 .

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