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7/21/2019 S2_Aplicaciones_Parábola

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SEPARATA N° 06

Matemática I

P.F.R. 2014 01

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Aplicaciones de la ec. de la parábola

1. Dada la siguiente ecuación de la parábola:2x 2x 6y 6- = + . Determine:

a) El vértice de la parábola.

b) La ecuación de la recta directriz y la menor distancia del foco a la recta directriz.c) Trace la gráfica, indicando la ubicación del vértice, el foco y la recta directriz.d) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el

centro de la parábola. e) Hallar los puntos de intersección de la recta con la parábola.

2. Una parábola tiene por ecuación 2P : 3y 12y 2x 9 0 . Determinar:

a) El vértice de la parábola, los puntos de intersección con los ejes y su gráfica

correspondiente.

b) La ecuación general de la recta que contiene al lado recto.

c) La ecuación general de la recta que pasa por el foco y por el punto de intersecciónde la parábola con el eje de las abscisas.(graficar en el plano)

3. En el gráfico mostrado el vértice de la parábola

pasa por la recta 05: x y L . Determinar:

a) Las coordenadas del vértice, del foco y la

ecuación de la parábola.

b) La ecuación general de la circunferencia

cuyo centro es el foco y es tangente al

vértice de la parábola.c) Los puntos de intersección de la parábola

con el eje de las ordenadas.

4. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (1,4) a laparábola y2 + 3x – 6y + 9 = 0

5. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (-2,4) a la

parábola x2 – 6x

– 4y + 17 = 0

6. Una recta L pasa por el foco de una parábola que tiene vértice en el origen y con eleje focal horizontal. La recta L corta a la directriz en el punto A (-3,8). Deducir laecuación de la parábola y calcular las coordenadas del punto de los puntos deintersección de la parábola y la recta.

x

y

M

N



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7. La superficie interior de un faro tiene forma de un reflector parabólico. Se observa quepara un diámetro de 20 pulgadas la profundidad correspondiente es de 10 pulgadas.a) Deducir la ecuación de la parábola (considere que el faro reflector tiene centro en

el origen de coordenadas).

b) Determine las coordenadas de foco y el diámetro del faro tres pulgadas hacia

fuera del foco.

8. Un depósito con agua tiene la sección axial en forma parabólica, cuando el nivel delagua alcanza una altura de 10 m el ancho del depósito mide 20 m.a) Deducir la ecuación de la ecuación de la parábola (considere que el extremo

izquierdo de la sección axial del depósito está ubicado en el eje de las ordenadas

y que el vértice está en el eje de las abscisas)

b) Si el nivel del agua asciende 150 cm ¿cuál es el nuevo ancho del depósito?

9. Un faro buscador tiene un reflector parabólico queforma un “cuenco” de 12 pulgadas de orilla a orilla,y 8 pulgadas de profundidad, como se ve en lafigura. Si el filamento del bulbo está en el foco, ¿aqué distancia del vértice del reflector se encuentra?a) Deducir la ecuación de la parábola.b) Calcular la distancia focal.c) Expresar la ecuación de la recta directriz.d) ¿A qué altura la parábola presenta un

diámetro de 8 pulgadas?

10.El espejo de un telescopio reflector tiene la forma de un paraboloide (finito)de diámetro 20 cm y profundidad 5/2 cm ¿A qué distancia del centro delespejo se concentra la luz? (Ver figura 1)

11.El interior de la antena de TV por satélite es un disco con forma deparaboloide (finito) de diámetro 12 pies y profundidad de 2 pies, como semuestra en la siguiente figura. Encuentra la distancia desde el centro deldisco hasta el foco. (Ver figura 2)

Figura 1 Figura 2



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12.Los cables del tramo central de un puente colgante tienen la forma de unaparábola. Si las torres tienen una separación de 800 metros y los cablesestán atados a ellas 400 metrosarriba del piso del puente, ¿quélongitud debe tener el puntal queestá a 100 metros de la torre?Suponga que el cable toca el pisoen el punto medio del puente.

13. Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre si 300 m y seextienden 80 m por encima de la calzada. El cable (que tiene la forma de unaparábola) es tangente a la calzada en el centro del puente. Determinar la altura delcable por encima de la calzada a 50 m y a 100 m del centro del puente (asumir que la

calzada es horizontal).

14. Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una parábola. Lastorres que sostienen los extremos del cable están separadas 300 pies y cada unatienen una altura de 120 y 160 pies. ¿A qué altura se encuentra el cable a 50 m de latorre más alta? (ubicar la parábola con vértice en el origen de coordenadas)

15. El cable de un puente suspendido se aproxima a la forma de una parábola. Ladistancia horizontal entre los puntos más elevados es 80 m y el punto más bajo(vértice) está a 120 m por debajo de los puntos más elevados. Deducir la ecuación de

la parábola si:a) Si el vértice se coloca sobre el eje “y ” negativo y los puntos más altos en el eje x .b) Si se coloca el origen de coordenadas en el extremo superior izquierdo del cable.c) Si el vértice se encuentra en el punto (70; 20).

16. Una mosca que se mueve siguiendo una trayectoria parabólica de acuerdo a la

siguiente ecuación 7x4xy 2 y es observada por otra mosca la cual se mueve

de acuerdo a la siguiente ecuación x6xy 2 .

a) Calcular las distancias más próximas al eje de las abscisas a partir de los

recorridos de ambos insectos.b) Deducir la ecuación de la recta que pasa por los vértices de ambas parábolas.c) Deducir la ecuación de la circunferencia siendo los vértices de las parábolas

extremos del diámetro dicha circunferencia.



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17. El puente de Gladesville (1964) en Sydney, Australia, se eleva sobre el río Parramattacon un arco de hormigón en forma parabólica separado entre los extremos (B y C) unadistancia de 305 m. Desde unpunto A del arco se tiene unaaltura de 21,73 m hasta lasuperficie del río ubicado en elpunto G que dista de la orilla en B31,25 m. Determine la alturamáxima del puente sobre el río yla ecuación de la parábola quedetermina el arco. (sugerenciaubicar el origen de coordenadasen el punto B)

18. Unos ingenieros de tránsito están diseñando un tramo de carretera que conectaráuna calzada horizontal con una que tiene pendiente del 20% (es decir, pendiente 1/5),como se ilustra en la figura. La transición suave debe tener lugar sobre una distanciahorizontal de 800 pies, con unapieza parabólica de carreteraempleada para conectar lospuntos A y B. La ecuación delsegmento parabólico es

c xb xa y 2

y además

se tiene que la pendiente de larecta en el punto P(x, y) sobre la

parábola está dada por

b xam 2 .

a) Halle las coordenadas del punto B.b) Encuentre la ecuación de la parábola que tiene una recta tangente de pendiente

0 en A y 1/5 en B.

19. Una piedra es lanzada con un ángulo de 53° conrespecto a la horizontal, con una velocidad de 50 m/sdesde una azotea de 131,25 m. La altura (ordenada)tiene con el tiempo tiene una dependencia parabólica de

acuerdo a la siguiente expresión 254025.131 t t y

Calcular:a) La máxima altura alcanzada por la piedra.b) El instante en qué alcanza la máxima altura.c) El instante en qué impacta contra el piso.d) El máximo alcance horizontal.

A

CB G

AB

x

y

8 00 ft



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20.El logo de la tienda de comida rápida es como se muestra en la figura, si lafigura está representada por dosparábolas idénticas, pero una de ellasesta desplazada verticalmente 10 cm.

Si consideramos origen decoordenadas en el vértice de laparábola del lado izquierdo:a) Deducir las ecuaciones de las

parábolas que pasan por el borde

superior del logo.

b) Deducir el punto de intersección

de las parábolas.

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