seilstatik

Institut für Angewandteund Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik IKapitel 7: Seilstatik 1

7.2 Anwendung auf typische Belastungsfälle

7.2.1 Seil unter Brückenlast (Hängebrücke)

→ Eigengewicht des Seils gegenüber Brückenlast vernachlässigbar

x

y

f

L

q0 = const.

l

A B

Oft ist bei gegebenenGrößen q0, l, und L

der Durchhang f desSeils gesucht.

Seilkurve:

(5) : y′′(x) =1

Hq(x) =

1

Hq0 ⇒ y′(x) =

q0

Hx + C1

⇒ y′′(x) =q0

2Hx2 + C1x + C2 (9)

Randbedingungen: y(0) = 0 und y(l) = 0

y(0)(9)= C2

!= 0 ⇒ C2 = 0 (10)

y(l)(9,10)

=q0l

2

2H+ C1l

!= 0 ⇒ C1 = − q0l

2H(11)

(10), (11) in (9):

y(x) =q0l

2

2H

[(x

l

)2

− x

l

]

→ (quadratische) Parabel (12)

Bestimmung von H:

(8) : L =

∫ l

0

√√√√√√

1 +

[q0

H

(

x − l

2

)]

︸︷︷︸

=y′(0)

2

dx

L =

∫ l

0

√

1 +

[q0l

2H

(

2x

l− 1

)]2

dx (13)



Substitution:q0l

2H

(

2x

l− 1

)

= sinh u

Lösung: L =H

2q0

[u + sinh(u) cosh(u)]u(x=l)u(x=0) (14)

→ Transzendente Gleichung, aus der H bei gegebenem L numerisch ermittelt werden kann.

Analytische Näherungslösung:

Annahme = „flach gespanntes Seil“ mit |y′| ≪ 1

hier: |y′|max = |y′(0)| = |y′(l)| = q0l

2H≪ 1

Mit der Reihenentwicklung

√1 + u = 1 +

1

2u − 1

8u2 +

1

16u3 − . . . ≈ 1 +

1

2u

folgt aus (13) näherungsweise

L =

∫ l

0

1 +1

2

[q0l

2H

(

2x

l− 1

)]2

dx

=

∫ l

0

1 +q0

2l2

8H2

(

4x2

l2− 4

x

l+ 1

)

dx

=

[

x +q0

2l2

8H2

(4

3

x3

l3− 2

x2

l+ x

)]

0

l

L = l +q0

2l3

8H2

( 4

3− 2 + 1

︸︷︷︸

= 1

3

)= l +

q02l3

24H2

H2 =q0

2l2

24

l

L − l⇒ H =

q0l

2√

6

1√

Ll− 1

(15)

(15) in (12) ergbit die Seilkurve für ein flach gespanntes Seil unter Brückenlast:

y(x) =√

6l(L − l)

[(x

l

)2

−(x

l

)]

(16)

Berechnung des Durchhangs f :

Aus der Symmetrie des vorliegenden Problems ist sofort ersichtlich, dass die maximale Auslenkungdes Seils bei x = a = l

2auftritt. Ansonsten ist a aus der Bedingung y′(a) = 0 zu bestimmen.

• Für Seilkurve ohne Näherung:

f = −y

(l

2

)(12)= −q0l

2

2H

(1

4− 1

2

)

=q0l

2

8Hmit H aus (14) (17)



• Für straff gespanntes Seil (Näherung):

f = −y

(l

2

)(16)= −

√

6l(L − l)

(1

4− 1

2

)

=

√

3

8(L − l)l (18)

Zahlenbeispiel: l = 100m, L = 102m ⇒ f(18)=

√75m ≈ 8, 66m

Zusatz: Seikraft

(6) → S(x) = H√

1 + y′2(x)

• Für flach gespanntes Seil unter Brückenlast (Näherung):

(16) → y′(x) =

√

6(L − l)

l

(

2x

l− 1

)

⇒ S(x)(15)=

q0l

2√

6

√

l

L − l

√

1 +6(L − l)

l

(

2x

l− 1

)2

S(x) =q0l

2

√

l

6(L − l)+

(

2x

l− 1

)2

(19)

Die Seilkraft wir maximal an den Lagerungen, d.h. bei x = 0 und x = l.

S(0) =q0l

2

√

1 +l

6(L − l)= S(l) (19a)

Zahlenbeispiel von oben: S(0) ≈ 1, 53q0l = 1, 53 GBrücke

Bemerkung:

Aus (6) ist sofort ersichtlich, dass S(x) minimal ist für x = a = l2, wo y′(a) = y′

(l2

)= 0 gilt.

S(a) = S

(l

2

)

= H , d.h. and der „Durchhangstelle“ ist die Seilkraft nur gleich dem Horizontalzug H.

7.2.2 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie)

Streckenlast = Eigengewicht des Seils (homogen)gleichmäßig verteilt über der (Bogen-) Längskoordinate s des Seils⇒ q(s) = q0 = γ = ρ g ; 0 ≤ s ≤ L



dsq(s) = γ

dy

q(x)

dx

Es gilt, dass die Vertikalkräfte gleich sein müssen:

⇒ γds = q(x)dx (20)

Außerdem gilt:

ds2 = dx2 + dy2 (21)

aus (20) und (21):

q(x) = γds

dx= γ

√

1 +

(dy

dx

)2

= γ

√

1 + y′ 2 (22)

Einsetzen in die Differenatialgleichung der Seilkurve (5) ergibt:

y′′(x) =γ

H

√

1 + y′ 2(x) (nichtlineare) DGL der Kettenlinie (23)

Lösung der (nichtlinearen) Differentialgleichung (23):

• Substitution: y′ = u ; y′′ = u′ = dudx

• Trennung der Variablen

• Integration

du

dx=

γ

H

√1 + u2

∫ u

u=u0

du√1 + u2

=γ

H

∫ x

x=x0

dx

arsinh(u)|uu0=

γ

H(x − x0)

arsinh(u) =γ

H(x − x0) + arsinh(u0)

u = y′ =dy

dx= sinh

( γ

H(x − x0) + arsinh(y′

0))

∫ y

y0

dy =

∫ x

x0

sinh( γ


0))

dx

y(x) = y0 +H

γ

[cosh

( γ


0))

− cosh (arsinh(y′

0))︸︷︷︸

=√

1+y′

0

2 aus: cosh2 z−sinh2 z =1

](24)



Wahl eines speziellen Koordinatensystems (Ursprungslage):

x

y

A

B

Hγ

f

x0 = 0

y0 =H

γ

y′

0 = 0

⇒ y(x) =H

γ+

H

γ

[

cosh(γ

Hx) − 1

]

y(x) =H

γcosh(

γ

Hx) Kettenlinie = Kurve des Seils unter Eigengewicht (25)

Bestimmung von H:

aus (8): L =

xB∫

x=xA

√

1 + y′2(x)dx(25)=

xB∫

xA

√

1 + sinh2(γ

Hx)dx

=

xB∫

xA

cosh(γ

Hx)dx =

H

γ

(

sinh(γ

HxB) − sinh(

γ

HxA)

)(26)

→ Transzendente Gleichung, aus der H bei gegebenem L numerisch ermittelt werden kann.

Analytische Näherungslösung:

Annahme: „straff gespanntes Seil“ (= „flach durchhängende Kette“) mit:

y′(x) ≪ 1 , d. h. sinh(γ

Hx) ≈ γ

Hx ≪ 1

Mit der Reihenentwicklung

cosh u = 1 +u2

2!+

u4

4!+

u6

6!. . . ≈ 1 +

u2

2!

folgt aus (25) näherungsweise:

y(x) =H

γ+

γ

2Hx2 Kurve des straff gespannten Seiles unter Eigengewicht (27)

→ Das straff gespannte Seil hängt unter Eigengewicht näherungsweise parabelförmig durch (vgl.konstantes q(x) unter 7.2.1).



Mit (27) folgt aus (8), wie auch aus (26) unter Verwendung von sinh u ≈ u + u3

3!:

L = (xB − xA) +γ2

6H2(xB

3 − xA3)

⇒ H =γ√6

√

xB3 − x3

A

L(xB − xA)(28)

Berechnung des Durchhangs f (von Aufhängung A aus):

f = y(xA) − y(0) (siehe Bild) (29)

• Für die Kettenlinie (ohne Näherung):

(25) → f =H

γ

(

cosh(γ

HxA) − 1

)

mit H aus (26) (30)

• Für das straff gespannte Seil (näherungsweise):

(27) → f =γ

2HxA

2 mit H aus (28) (31)

Zusatz: Seilkraft

(6): S(x) = H√

1 + y′2(x)

• Für Kettenlinie:

S(x)(25)= H

√

1 + sinh2(γ

Hx) = H cosh(

γ

Hx)

(25)= γ y(x) (32)

⇒ Smax = γ ymax,

d.h. die größte Seilkraft tritt bei xA oder xB auf (Lager!) mit

ymax = max{yA, yB}

• Für straff gespanntes Seil:

S(x)(27)= H

√

1 +γ2

H2x2 =

√

H2 + γ2x2(28)= γ

√

xB3 − xA

3

6(L − (xB − xA))+ x2 (33)

⇒ Smax tritt an den Rändern, d.h. in einem der Lager auf, also in xA oder xB.

Für ein symmetrisch aufgehängtes Seil mit

y(xA) = y(xB) und xB − xA = l, d.h. xA = − l2

und xB = l2, folgt aus (33):

Smax = S(− l

2) = S(

l

2) =

γ l

2

√

1 +l

6(L − l)(vgl. (18)) (34)



Beispiel: Freileitung

x

y

A B

f

l

L

Geg.:

γ = 120 Nm

l = 100 mL = 110 m

Ges.: Durchhang f , maximale Seilkraft Smax (mit Näherung)

(31) → f =γ

2Hx2

A,B =γ

2H(± l

2)2 =

γl2

8H

(28) → H =γ√6

√√√√( l

2)3 − (− l

2

3)

L − ( l2

+ l2)

= − γl

2√

6

√

l

L − l

⇒ f =

√

3

8l(L − l) (vgl. (18))

f =√

375 m ≈ 19, 4 m

⇒ H ≈ 7746 N ≈ 7, 7 kN

(34) → Smax =γl

2

√

1 +l

6(L − l)≈ 9788 N ≈ 9, 8 kN

Bemerkung:

|y′

max| = |y′(± l

2)| ≈ γ

H

l

2≈ 0, 77

|y′

max| ≪ 1 ist nicht sehr gut erfüllt, dennoch ist die Näherung sehr brauchbar.



Hängende Kette. Gateway Arch, St. Louis, MO, USA.

7.2.3 Seil unter Einzelkraftbelastung

→ Einzelkräfte sind groß im Vergleich zur Gewichtskraft des Seils ⇒ q(x) ≈ 0

x

yA B

f

l

L

F

Durchhang: Aus der Geometrie erhält man für das undehnbare Seil

f 2 +

(l

2

)2

=

(L

2

)2

⇒ f =1

2

√L2 − l2 (35)

Seilkurve:

(5) → Hy′′(x) = q(x) = 0 ⇒ y′′(x) = 0 ⇒ y(x) = C1x + C2 (36)

Für das gewählte Koordinatensystem gilt:

y(0) = 0 und y

(

− l

2

)

= y

(l

2

)

= f (37)

Aus (36) und (37) folgt mit (35):

y(x) =

√

L2

l2− 1 |x| (38)

Die Seilkurve besteht also aus zwei Geraden ( bzw. aus mehreren Geraden im Falle mehrerer Einzel-kräfte)



Seilkraft:

A B

f

F

L2

L2

S Sα

l

Kräftegleichgewicht: 2S cos α = F

Geometrie: cos α =fL2

=2f

L

⇒ S =Fl

4f(39)

(39) mit (35) : S =F

2

L√L2 − l2

=F

2

1√

1 − l2

L2

(40)

Für l → L : S → ∞Für l = L : S = F

2

Zusatz: Für den Horizontalzug H folgt aus der Geometrie:

H = S sin α; sin α =l

L⇒ H = S

l

L(41)

⇒ H =F

2

l√L2 − l2

(42)

Bemerkung: (41) folgt auch aus (5) mit y′2(x) = L2

l2− 1 aus (38).

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