Series de Fourier. *Curso de TitulacinModelado y Anlisis de Sistemas Elctricos bajo Condiciones de Operacin no SenoidalesFacultad de Ingeniera ElctricaUniversidad Michoacanade San Nicols de Hidalgo

Febrero de 2003

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Series de Fourier. *Series de FourierContenido1. Funciones Peridicas2. Serie trigonomtrica de Fourier3. Componente de directa, fundamental y armnicos4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno5. Clculo de los coeficientes de la Serie de Fourier6. Simetras en seales peridicas7. Fenmeno de Gibbs8. Forma Compleja de las Series de Fourier9. Espectros de frecuencia discreta10. Potencia y Teorema de Parseval11. De la serie a la Transformada de Fourier.12. Obtencin de la serie de Fourier usando FFT13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales

Series de Fourier. *PrembuloEl anlisis de Fourier fue introducido en 1822 en la Thorie analyitique de la chaleur para tratar la solucin de problemas de valores en la frontera en la conduccin del calor.

Ms de siglo y medio despus las aplicaciones de esta teora son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Fsica moderna, Electrnica, ptica y por supuesto, Redes Elctricas entre muchas otras.

Series de Fourier. *Funciones PeridicasUna Funcin Peridica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.f(t)=f(t+T)

A la constante mnima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la funcin

Repitiendo la propiedad se puede obtener:f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...

Series de Fourier. *Funciones PeridicasEjemplo: Cul es el perodo de la funcin

Solucin.- Si f(t) es peridica se debe cumplir:

Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere queT/3=2k1p, T/4=2k2pEs decir,T = 6k1p = 8k2pDonde k1 y k2 son enteros,El valor mnimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24p

Series de Fourier. *Funciones PeridicasGrfica de la funcinT

Series de Fourier. *Funciones PeridicasPodramos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una funcin peridica.

Esto no es as, por ejemplo, consideremos la funcinf(t) = cos(w1t)+cos(w2t).Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que w1T= 2pm, w2T=2pnDe donde

Es decir, la relacin w1/ w2 debe ser un nmero racional.

Series de Fourier. *Funciones PeridicasEjemplo: la funcin cos(3t)+cos(p+3)t no es peridica, ya que no es un nmero racional.

Series de Fourier. *Funciones PeridicasTarea: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son peridicas:f(t) = sen(nt), donde n es un entero.f(t)= sen2(2pt)f(t)= sen(t)+sen(t+p/2)f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)f(t)= sen(2 t)

Series de Fourier. *Serie Trigonomtrica de FourierAlgunas funciones peridicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonomtrica de Fourierf(t) = a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+... + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...Donde w0=2p/T.Es decir,

Series de Fourier. *Serie Trigonomtrica de FourierEs posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el trmino ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como

Podemos encontrar una manera ms compacta para expresar estos coeficientes pensando en un tringulo rectngulo:

Series de Fourier. *Serie Trigonomtrica de Fourier

Con lo cual la expresin queda

Series de Fourier. *Serie Trigonomtrica de FourierSi adems definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como

As,

y

Series de Fourier. *Serie Trigonomtrica de FourierTarea: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y qn, de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como

Series de Fourier. *Componentes y armnicasAs, una funcin peridica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la ensima armnica de f(t).

A la primera armnica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.

Series de Fourier. *Componentes y armnicasA la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.

Los coeficientes Cn y los ngulos qn son respectiva-mente las amplitudes y los ngulos de fase de las armnicas.

Series de Fourier. *Componentes y armnicasEjemplo: La funcin Como ya se mostr tiene un periodo T=24p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w0=1/12 rad/seg.Componente fundamental es de la forma:0*cos(t/12).Tercer armnico:cos(3t/12)=cos(t/4)Cuarto armnico:Cos(4t/12)=cos(t/3)

Series de Fourier. *Componentes y armnicasEjemplo: Como puede verse, la funcin anterior tiene tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su componente de cd es cero, en cambioTiene tantas partesarriba como abajo de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.

Series de Fourier. *Componentes y armnicasTarea: Cul es la componente fundamental, las armnicas distintas de cero y la componente de directa de f(t) = sen2t f(t) = cos2t ?Justifcalo adems mostrando la grfica de las funciones y marcando en ellas el periodo fundamental y la componente de cd.

Series de Fourier. *Ortogonalidad de senos y cosenosSe dice que un conjunto de funciones fk(t) son ortogonales en el intervalo a

Series de Fourier. *Ortogonalidad de senos y cosenosEjemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo 1< t

Series de Fourier. *Ortogonalidad de senos y cosenosTarea:Dar un ejemplo de un par de funciones que sean ortogonales en el intervalo:0

Series de Fourier. *Ortogonalidad de senos y cosenosAunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2

Series de Fourier. *Ortogonalidad de senos y cosenos2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):

3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):

Series de Fourier. *Ortogonalidad de senos y cosenos4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):

5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):

Series de Fourier. *Ortogonalidad de senos y cosenosPara calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son tiles las siguientes identidades trigonomtricas:

cos A cos B = [cos(A+B)+cos(A-B)]sen A sen B = [-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A cos B = [sen(A+B)+sen(A-B)]Adems:sen2q = (1-cos2q) cos2q = (1+cos2q)

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieDada una funcin peridica f(t) cmo se obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieMultiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando de T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, integrando de T/2 a T/2, obtenemos:

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieEl intervalo de integracin no necesita ser simtrico respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no slo se da en el intervalo de T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:

(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)

las frmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieEjemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente funcin de periodo T:

Solucin: La expresin para f(t) en T/2

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieCoeficientes an:

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieCoeficiente a0:

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieCoeficientes bn:

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieSerie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armnicos 3, 5 y 7 as como la suma parcial de estos primeros cuatro trminos de la serie para w0=p, es decir, T=2:

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la Serie

Series de Fourier. *Clculo de los coeficientes de la SerieTarea: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente seal senoidal rectificada de media onda de periodo 2p.

Series de Fourier. *Funciones Pares e ImparesUna funcin (peridica o no) se dice funcin par (o con simetra par) si su grfica es simtrica respecto al eje vertical, es decir, la funcin f(t) es par si f(t) = f(-t)

f(t)

t

Series de Fourier. *Funciones Pares e ImparesEn forma similar, una funcin f(t) se dice funcin impar o con simetra impar, si su grfica es simtrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente:-f(t) = f(-t)

f(t)

t

Series de Fourier. *Funciones Pares e ImparesEjemplo: Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t+1/tg(t) = 1/(t2+1), Solucin:Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es funcin impar.Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es funcin par.

Series de Fourier. *Funciones Pares e ImparesEjemplo: La funcin h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una funcin arbitraria.Solucin:Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es funcin par, sin importar como sea f(t).

Series de Fourier. *Funciones Pares e ImparesEjemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2)+1h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2)

Series de Fourier. *Funciones Pares e ImparesComo la funcin sen(nw0t) es una funcin impar para todo n0 y la funcin cos(nw0t) es una funcin par para todo n, es de esperar que:

Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendr trminos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n

Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendr trminos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n

Series de Fourier. *Funciones Pares e ImparesPor ejemplo, la seal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una funcin impar, por ello su serie de Fourier no contiene trminos coseno:

Series de Fourier. *Simetra de Media OndaUna funcin periodica de periodo T se dice simtrica de media onda, si cumple la propiedad

Es decir, si en su grfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:

f(t)

t

Series de Fourier. *Simetra de Cuarto de OndaSi una funcin tiene simetra de media onda y adems es funcin par o impar, se dice que tiene simetra de cuarto de onda par o impar

Ejemplo: Funcin con simetra impar de cuarto de onda:

f(t)

t

Series de Fourier. *Simetra de Cuarto de OndaEjemplo: Funcin con simetra par de cuarto de onda:

f(t)

t

Series de Fourier. *Simetra de Cuarto de OndaTarea: Qu tipo de simetra tiene la siguiente seal de voltaje producida por un triac controlado por fase?

f(t)

t

Series de Fourier. *Simetras y Coeficientes de Fourier

SimetraCoeficientesFunciones en la serieNingunaSenos y cosenosParbn=0nicamente cosenosImparan=0nicamente senosmedia ondaSenos y cosenos impares

Series de Fourier. *Simetras y Coeficientes de Fourier

SimetraCoeficientesFunciones en la serieNingunaSenos y cosenos de onda paran=0 (n par)bn=0Slo cosenos impares de onda imparan=0bn=0 (n par)Slo senos impares

Series de Fourier. *Simetras y Coeficientes de FourierPor ejemplo, la seal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una funcin con simetra de de onda impar, por ello su serie de Fourier slo contiene trminos seno de frecuencia impar:

Series de Fourier. *Fenmeno de GibbsSi la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca para lograr una aproximacin en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos ms armnicos, la sumatoria se aproximar ms a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armnicos.

Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos anterior:

Series de Fourier. *Fenmeno de Gibbs

Series de Fourier. *Fenmeno de Gibbs

Series de Fourier. *Fenmeno de Gibbs

Series de Fourier. *Fenmeno de Gibbs

Series de Fourier. *Fenmeno de Gibbs

Series de Fourier. *Fenmeno de Gibbs

Series de Fourier. *Fenmeno de Gibbs

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierConsideremos la serie de Fourier para una funcin periodica f(t), con periodo T=2p/w0.

Es posible obtener una forma alternativa usando las frmulas de Euler:

Donde

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierSustituyendo

Y usando el hecho de que 1/j=-j

Y definiendo:

Lo cual es congruente con la frmula para bn, ya que b-n=-bn, ya que la funcin seno es impar.

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierLa serie se puede escribir como

O bien,

Es decir,

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierA la expresin obtenida

Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n=0, 1, 2, 3, ...

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierLos coeficientes cn son nmeros complejos, y tambin se pueden escribir en forma polar:

Obviamente,

Donde ,Para todo n0,

Para n=0, c0 es un nmero real:

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierEjemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la funcin ya tratada:

Solucin 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonomtrica (an y bn):an=0 para todo ny

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierPodemos calcular los coeficientes cn de:

Entonces la Serie Compleja de Fourier queda

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierSolucin 2. Tambin podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierComo w0T=2p y adems

Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.

Series de Fourier. *Forma Compleja de la Serie de FourierTarea: Calcular los coeficientes cn para la siguiente funcin de periodo 2p. A partir de los coeficientes an,bn Directamente de la integral

Series de Fourier. *Espectros de Frecuencia DiscretaA la grfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).

A la grfica del ngulo de fase fn de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t).

Como n slo toma valores enteros, la frecuencia angular w=nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son grficas discretas.

Series de Fourier. *Espectros de Frecuencia DiscretaDada una funcin peridica f(t), le corresponde una y slo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto nico de coeficientes cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la funcin en el dominio del tiempo.

Series de Fourier. *Espectros de Frecuencia DiscretaEjemplo. Para la funcin ya analizada:

Se encontr que

Por lo tanto,

Series de Fourier. *Espectros de Frecuencia DiscretaEl espectro de amplitud se muestra a continuacin

Observacin: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=nmero de armnico = mltiplo de w0).

Series de Fourier. *Espectros de Frecuencia DiscretaTarea. Dibujar el espectro de amplitud para la funcin senoidal rectificada de onda.

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalEl promedio o valor medio de una seal cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede calcular como la altura de un rectngulo que tenga la misma rea que el rea bajo la curva de f(t)1f(t)t

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalDe acuerdo a lo anterior, si la funcin peridica f(t) representa una seal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo est dada por

Si f(t) es peridica, tambin lo ser [f(t)]2 y el promedio en un periodo ser el promedio en cualquier otro periodo.

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalEl teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-plejos cn de Fourier de la funcin peridica f(t):

O bien, en trminos de los coeficientes an, bn:

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalUna consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado:

El valor cuadrtico medio de una funcin peridica f(t) es igual a la suma de los valores cuadrticos medios de sus armnicos, es decir,

Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es la componente de directa.

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalPara aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relacin entre los coeficientes complejos cn de la serie

Y los coeficientes reales Cn de la serie

Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es la componente de directa.

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalPor un lado

Mientras que

Entonces, Por lo tanto,

Adems, para el armnico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrtico medio es

Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrtico medio ser C02.

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalEjemplo. Calcular el valor cuadrtico medio de la funcin f(t):

Solucin. Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalLa serie numrica obtenida converge a

Por lo tanto,

Como era de esperarse.

Series de Fourier. *Potencia y Teorema de ParsevalTarea.

Calcular el valor cuadrtico medio para la seal senoidal rectificada de media onda de periodo 2p.

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierLa serie de Fourier nos permite obtener una representacin en el dominio de la frecuencia para funciones peridicas f(t).

Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de funciones no peridicas?

Consideremos la siguiente funcin periodica de periodo T

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierTren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierLos coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w=nw0.

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierEspectro del tren de pulsos para p=1, T=2

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierSi el periodo del tren de pulsos aumenta:t

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierEn el lmite cuando T, la funcin deja de ser peridica:

Qu pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de Fourier

-50050-50050

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierSi hace T muy grande (T): El espectro se vuelve continuo!

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierEl razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresin de una funcin f(t) no peridica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armnicos de frecuencia nw0, sino como una funcin continua de la frecuencia w.

As, la serie

Al cambiar la variable discreta nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierComo

La serie queda

O bien,

cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoria se convierte en

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierEs decir,

Donde

Estas expresiones nos permiten calcular la expresin F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierNotacin: A la funcin F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir

En forma similar, a la expresin qu enos permite obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F 1 ,es decir

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierEjemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente

Solucin. La expresin en el dominio del tiempo de la funcin es

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de Fourier

Integrando

Usando la frmula de Euler

Obsrvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierEn forma Grfica

Series de Fourier. *De la Serie a la Transformada de FourierTarea. Calcular la Transformada de Fourier de la funcin escaln unitario u(t):

Graficar U(w)=F[u(t)]Qu rango de frecuencias contiene U(w)?Cul es la frecuencia predominante?

Series de Fourier. *La Transformada Rpida de FourierCuando la funcin f(t) est dada por una lista de N valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que est discretizada o muestreada, entonces la integral que define la Transformada de Fourier:

Se convierte en la sumatoria

(Donde k es la frecuencia discreta)Llamada Transformada Discreta de Fourier

Series de Fourier. *La Transformada Rpida de FourierLa Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el clculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de clculo enorme para N grande.

Se han desarrollado mtodos que permiten ahorrar clculos y evaluar de manera rpida la Transformada discreta, a estos mtodos se les llama

Transformada Rpida de Fourier (FFT)

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de FourierPodemos hacer uso de la FFT para calcular los coeficientes cn y c-n de la Serie compleja de Fourier como sigue:

Ejemplo: Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p y periodo T.

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de FourierLa versin muestreada f(k) de f(t) slo puede tomar un nmero finito de puntos. Tomemos por ejemplo N=32 puntos cuidando que cubran el intervalo de 0 a T (con p=1, T=2):

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de FourierPara obtener estas 32 muestras usando Matlab se puede hacer lo siguiente:

k=0:31f=[(k23)]Plot(k,f,o)

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de FourierCon los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante la FFT, por ejemplo, en Matlab:

F=fft(f)/N;

Con lo que obtenemos 32 valores complejos de F(n). Estos valores son los coeficientes de la serie compleja ordenados como sigue:

n1234...16171819...32F(n)c0c1c2c3...c15c-16c-15c-14...c-1

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de FourierPodemos graficar el espectro de amplitud reordenando previamente F(n) como sigueaux=F;F(1:16)=aux(17:32);F(17:32)=aux(1:16);F(n) queda:

Y para graficar el espectro de amplitud:stem(abs(F))Obtenindose:

n1...13141516171819...32F(n)c-16...c-3c-2c-1c0c1c2c3...c15

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de Fourier

Si deseamos una escala horizontal en unidades de frecuencia (rad/seg):

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de Fourierw0=2*pi/T;n=-16:15;w=n*w0;Stem(w,abs(F))

Obteniendo:

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de FourierTambin podemos obtener los coeficientes de la forma trigonomtrica, recordando que:

Podemos obtener

Para el ejemplo se obtiene: a0=0.5, an=bn=0 (para n par), adems para n impar:

n13579111315an0.6346-0.20600.1169-0.07620.0513-0.0334 0.0190-0.0062bn-0.06250.0625-0.06250.0625-0.06250.0625-0.06250.0625

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de FourierComo el tren de pulsos es una funcin par, se esperaba que bn=0; (el resultado obtenido es errneo para bn, pero el error disminuye para N grande):

Series de Fourier. *La FFT y la Serie de FourierTarea: Usar el siguiente cdigo para generar 128 puntos de una funcin peridica con frecuencia fundamental w0=120p (60 hertz) y dos armnicos impares en el intervalo [0,T]:N=128;w0=120*pi;T=1/60;t=0:T/(N-1):T;f=sin(w0*t)+0.2*sin(3*w0*t)+0.1*sin(11*w0*t);

Usando una funcin peridica diferente a la subrayada:a) Graficar la funcin.b) Obtener y graficar el espectro de amplitud de la seal usando la funcin FFT

Series de Fourier. *Medidores DigitalesLa FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo electrnico digital con la capacidad de clculo de espectros de frecuencia para seales del mundo real, por ejemplo:

Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N.) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls) Power Platform PP-4300

Series de Fourier. *Medidores DigitalesEl Fluke 123 scope meter

Series de Fourier. *Medidores DigitalesTektronix THS720P (osciloscopio digital)

Series de Fourier. *Medidores DigitalesAnalizador de potencia PP-4300

Es un equipo especializado en monitoreo de la calidad de la energa: permite medicin de 4 seales simultneas (para sistemas trifsicos)

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